学科想象的生成策略

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的1篇学科想象的生成策略，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

摘要：数学学科想象是指学生在数学学习过程中基于自身对学习内容的感知理解、已有知识和经验以及他人的帮助和指导进而对学习内容进行意象建构的学习活动。数学学科想象能促进学生想象力的发展，助力数学问题的解决，推动数学学科的革新。发展学生的数学学科想象，数学教师在课堂上可采取如下策略：精心组织材料，引导学生多维思考；巧用直观教具，辅助学生进行探索；嵌入信息技术，助力学生大胆想象；善于利用“数感”，鼓励学生借“感”发挥。

关键词：数学学科想象内涵学科核心素养

数学课堂本是充满疑惑和想象的地方，但在实际的课堂教学中却存在为了追求“效率”“高分”而无视赋予数学以趣味之想象的现象。2022年4月21日，教育部颁布的《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《数学课程标准》）在对数学学科核心素养内涵的阐释中就明确指出要使学生“形成对数学的好奇心与想象力”，学生数学学科想象的培育理应作为数学学科的目标之一，贯穿数学教学的全过程。然而，在实际的数学课堂教学中，数学学科想象却未得到足够的重视。鉴于此，本文讨论数学学科想象的内涵、价值及其生成策略的问题。

一、数学学科想象的内涵

1.数学学科想象的含义

从古希腊、罗马时期一直到启蒙运动晚期，想象一直被抑制，让位于理性。柏拉图（Plato）视其为“理智的较低层部分”[1]，亚里士多德（Aristotle）认为“想象可能是一种有用的智力的仆人”[2]，诸如此类的对于想象的误解直到19世纪浪漫主义作家对想象的大力推崇才得以缓解。近现代以来，想象身上的污名被逐渐洗净，想象的重要性得到世人的公认，杜威（Dewey，J.）更是直言“想象是与肌肉运动差不多的、构成正常的人类活动的必须的一部分”[3]。那究竟什么是“想象”呢？通过文献梳理，发现对想象的定义主要可以分为以下三类。其一是通过分析想象的内在生成元素来定义想象。如，在心理学上“想象”被视作为一种高级的认知活动，是指“对头脑中已有的表象进行加工改造，形成新形象的过程。”[4]在《教育大辞典》中，“想象”被解释为“对过去经验和已有记忆表象加工改造，构成新意向或观念的心理过程。内容可能是过去经验的心理回顾，也可能是对未来的计划。”[5]其二是从想象的外在表现形式对想象进行界定。如，杜威（Dewey，J.）认为想象是“使任何活动不呆板”[6]的事物；MaxineGreene将想象定义为“从不同的角度看待事物”[7]。其三是对前两种定义的综合。如郭元祥教授认为“想象不仅是图像或表象生成的精神活动和心理活动及其所表现出来的能力，更指向心灵的灵活性和超越性，是一种能动思考多种可能性的活动和能力，通过意识到隐藏的或另类的可能性来更加批判地把握现实。进而从对真实事物的遇见中或基于语言、文字、符号的表述中预见一种不在眼前的可能状态、景象、意象或意境。”[8]概括而言，从想象发生的开端、过程、结果三方面来看，想象具有如下特点:在起始阶段，想象表现出对象性和基础性。对象性是指想象的发生基于对客体“此在”的感知、认识、思考、探索，不是无根无源消极的幻想。基础性是指想象的发生源自一定的知识、经验或情感等可供加工利用的材料，正如KeiichiTakaya所言：“一个人缺乏知识或技能是无法变得有想象力的”[9。由此可知，由于学生个体已有知识背景的不同，想象的结果存在差异的概率较大。在想象的过程中，想象表现出灵活性和内隐性。灵活性如克尔隆·伊根（Egan，K.）所指，“是一个人具有用一种不被诸如传统、文化标准、习惯性思维和别人传递的信息等事实紧紧限制的方式进行思考的能力和倾向”[10]，是想象自由的表现。内隐性指出想象活动的进行存在于想象主体内部，具有非外显性，想象主体之外的人难于窥视。从想象的生成结果看，想象具有超越性和开放性。超越性具有创造性意味，指想象的结果新颖、不同寻常。超越性具有强烈的个体属性，其评判标准基于想象主体的想象结果是否超越自己迄今为止取得的成就。开放性是指想象生成的结果具有不确定性，对任何可能的结果形式均保持开放。什么是数学学科想象呢？在中国知网（CNKI）以主题为检索项，“数学学科想象”为检索词，截止时间设置为2022年8月1日，共计检索期刊文献73条。对检索结果整理发现研究者多从“数学直观想象素养的培养”角度出发研究“数学”与“直观想象”二者间的关系，并未有对“数学学科想象”的内涵进行深入剖析的研究。将检索词重新设定为“学科想象”，共计检索有效文献9条。其中，罗祖兵教授认为学科想象“是基于学科知识和学科逻辑的想象”[11]。胡革新校长把学科想象定义为“基于感知和已有经验，对符号知识进行加工而构建新的图像、意象、意境和意义的认知过程。”[12]郭元祥教授认为学科想象是“一种‘意象性的认知’，是学生在学科学习中基于感知理解、思维过程、已有经验和学科知识的加工而建构意象的学习活动，是学科学习的重要学习方式，是基于形象思维建立新的图像表征并建构意象的一种综合学习能力。”[13]上述关于“学科想象”的定义大同小异，但其均有力地论证了想象之于学科学习的重要性。就数学学科的学习而言，“想象发挥着比其他体验更为重要的作用”[14]，数学学科想象是学科想象在数学学科上的具体展开，是数学化的学科想象。数学是研究数量关系和空间形式的科学，“数”与“形”的抽象本就兼具想象特性，因此学生学习数学学科的大门更需要由想象来开启。具体而言，数学学科想象是指学生在数学学习过程中基于自身对学习内容的感知理解、已有知识和经验以及他人的帮助和指导进而对学习内容进行意象建构的学习活动。数学学科想象从触发到想象结果的生成具有和想象一样的六大特性，但其所涉及的知识结构、经验基础等有其特有的学科属性。数学学科想象是学生在数学学科的学习过程中表现出的一种素养，并不是想象在数学领域的简单迁移运用，恰如KeiichiTakaya所言：“一个在某一活动领域充满想象的人在不同活动领域可能有也可能没有丰富的想象力”[15]。

2.数学学科想象的表现形式

《数学课程标准》中提出的三大核心素养和数学学科想象发生的过程特性之间存在对应关系，表明数学学科想象内在于数学核心素养的培养过程之中，数学学科想象是学生数学核心素养的一种表现形式。具体说来，数学学科想象包括以下三方面的内容：第一，在“用数学的眼光观察现实世界”素养维度，数学学科想象表现为对数学问题的集中、指向以及对数学问题解决中涉及到的数学概念、规则、命题、公式、运算法则等数学学科知识的掌握。第二，在“用数学的思维思考现实世界”素养维度，数学学科想象表现为运算能力、推理意识或推理能力，并强调这种数学思维过程源于“灵感突现”以及对数学问题的“直觉”。第三，在“用数学的语言表达现实世界”素养维度，数学学科想象表现为数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识、创新意识，并强调最后结果的呈现形式与之惯常的结果相比存在差异。综上所述，数学学科想象的具体表现形式见表1。

二、数学学科想象的价值

1.促进学生想象力的发展

教育部颁布的《数学课程标准》从官方角度明确提出发展学生的“好奇心、想象力和创新意识”。由此可见，培育学生的想象力已成为数学学科的重要任务之一。然而，通过数学培育学生的想象力在实践层面却遭到双重阻碍。其一，学生想象力的培被视为艺术类学科的专属权利。《义务教育艺术课程标准（2022年版）》在课程性质上指出“义务教育艺术课程包括音乐、美术、舞蹈、戏剧（含戏曲）、影视（含数字媒体艺术），是对学生进行审美教育、情操教育、心灵教育，培养想象力和创新思维等的重要课程”。虽然艺术课程在官方文件中指出是培养学生想象力的“重要课程”，但在实践中却被认为是培养学生想象力的“唯一课程”。艺术课程对于培养学生想象力的功能不容置疑，但“没有理由让人相信，某一领域富有想象力与其他领域富有想象力有必然联系。想象力不是一种可以被单独开发、然后被应用于各种背景的能力”[16]。数学对于学生想象力的培养有其特定、不可替代的作用。其二，反复、盲目地刷题成为数学课堂教学的主旋律。受高考考试招生制度“唯分数论”等的影响，中小学数学课堂教学中仍存在满堂灌的教育现象。数学教师将学生原本可以用以观察、探索、思考、想象的时间偷换为学生做题、练习的时间，学生沦为做题的机器，“数学使诸多人心醉的巨大的惊奇和乐趣在学校教育中被大量破坏了”[17]，数学课堂变相成为学生想象力的屠宰场。其实数学是一门充满想象的学科，掌握数学知识与培养学生的数学想象力并不冲突。学生对于呈现的数学教学材料，结合自身原有知识经验，在脑海中进行探索求知，得出多样的答案，也是学生想象力的体现。当前的数学课堂教学过于重视学生对知识的正确掌握，为了防止学生对知识的错误理解，几乎不给学生留有思考的空间，而选择直接呈现问题的结果，这种教学做法易导致学生在考试时对于灵活性、开放性题目的作答情况极差。唯有在日常数学教学中注重给予学生足够的思考时间、出错的机会，学生的数学想象力才能肩负起实践的考验。

2.助力数学问题的解决

在做数学的过程中，数学学科想象扮演着重要的角色。虽然对于数学问题的解决，逻辑推理必不可少，但是“想象不是与理性相区别的事物，而是给予理性灵活性、活力和生动性的事物。”[18]中小学的数学教学内容涉及数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大领域，其中综合与实践领域重在解决实际问题，是前三大领域知识的综合运用。无论是在单一领域的问题解决中还是在混合领域的问题解决中，数学学科想象都是开启未知问题解决大门的钥匙。如，在圆面积公式的学习中，学生怎么能想到把圆进行无限等分转换成平行四边形进而来进行圆面积的求解呢？除教师引导之外，正是想象赋予学生刹那间的灵感，以及二者之间产生关联的“可视化”，使得学生有了思考以及动手实践的方向。正是学生的数学学科想象促进圆面积公式的意义生成。与之相比，如果不借助想象，教师直接将圆的面积公式告诉学生，学生或许短时间内能够借助圆的面积公式解决数学问题，但是这对于学生来说，终究是表层学习，在复杂的变式面前学生仍然束手无策。简言之，数学学科想象在数学问题解决的过程中以增加学生思维的灵活性，赋予学生解题“直觉”，最后促成数学问题的解决。

3.推动数学学科的革新

数学学科是一个动态的存在，始终处于一个不断修正、更新，向前发展的过程之中。第一次数学危机的出现使得人们对数的认识从有理数扩充到了无理数，标志着由毕德哥拉斯学派建造的长达几百年的“万物皆数”（指整数）的信念宝塔的崩塌；第二次关于“无穷小究竟是不是0”的数学危机促成了微积分以及实数领域的完善；第三次数学危机的出现（罗素悖论）使得早已被千家万户接纳的集合论思想受到质疑……每一次“数学危机”的出现，都是数学学科领域的一次重大革命性突破，具有不可估量的价值。试问在数学学科前进的道路上，什么因素起着至关重要的作用呢？答案是想象，数学学科想象。“想象对于找出问题的解决办法是重要的，但它并不满足检验和证明的需要，而探索真理却以此为先决条件。”[19]爱因斯坦也指出：“想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”[20]具体来说，数学学科想象助推数学学科进步的力量主要体现在以下两方面。第一，通过解决现实冲突直接推动数学学科的向前发展。以小学数学为例，在解决半个苹果与一个苹果是否都能用“1”来表示的冲突中，学生对数的认识从自然数扩充到了分数；在解决零上10℃与零下10℃是否都能用“10”来表示的冲突中，学生对数域的掌握从正数扩充到了负数。在解决此类现实冲突中处处可见数学学科想象的身影。第二，通过回答数学难题间接助力于数学学科的进步。如古希腊时期留下的三大几何问题之一———“化圆为方”（即用尺规作图，做一个正方形与给定的圆面积相等）。各代数学家都对此进行了不懈的探索，最后该难题由德国数学家林德曼所破解。林德曼借助数学学科想象提出了π的超越性，也就是π不可能是任何整系数代数方程的根。在π的超越性概念下，不仅该几何问题得到了解决，数学代数领域也有了新的发展。数学学科想象在数学学科的进步中所发挥的作用恰如克尔隆·伊根（Egan，K.）所说：“如果我们想解决我们以前从未解决的问题，我们就必须让大门为未知半开着，而那扇门是由想象来打开的”[21]。正是在数学学科想象的推动下，才有今天如此异彩纷呈的数学王国。

三、数学学科想象的生成策略

1.精心组织材料，引导学生多维思考

“多维思考能锻炼学生思维的灵活性，思维方式不再单一化和固化。”[22]数学教师在课堂上善于引导学生对所提供的教学材料进行多维思考，是培养学生数学学科想象的重要方式。多维思考是指对一个事物进行多角度的思考。比如，在求解长方体体积的时候，除了可以用惯常的“长×宽×高”的长方体体积计算公式来进行求解，学生还可以思考能否转换成正方体来求解（扩大或缩小）？能否转换成四棱柱来求解（切割）？能否建立空间直角坐标系来求解？等等。要培养学生的多维思考能力，教师在日常的教学中就要注重材料的精心组织。材料的有效组织，可以从以下两方面着手：第一，多用变式。变式是指在不改变知识的本质概念下，从不同的角度来呈现知识。如，在“一个三角形的三角和等于180°”这一知识点的教学中，教师可以通过让学生分别动手量一量锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三个角的度数，在相加求和来进行教学。教师亦可以通过正方形、长方形等来进行教学，因为正方形、长方形的四个角都是直角，四角之和是360°，沿着对角线将正方形、长方形划分成两个三角形之后，便自然而然地得出三角形的三角之和是180°的结论。显然，通过变式不仅促进了学生对该知识点的深度认知，还给予学生的数学思维、数学学科想象更大的发展空间。第二，提供正、反例。以“对顶角的性质”的学习为例，正例的提供多是基于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”这一定理，在实际教学中教师可以构造两相交直线的情境考察学生对于该知识点的掌握情况。但是紧接着教师如果给出一个反例：已知∠1和∠2相等，请问它们是对顶角吗？就会让学生进一步明晰：相等的角不一定是对顶角，对顶角定理的逆定理不成立。比如两直线垂直，那么一个角和它的相邻角就都是90°，但是二者并不是对顶角。正、反例同时出现的数学教学有利于学生对相关知识学习的深层次厘清，同时促进学生的多维思考。总之，教师对教学材料的精心组织，有利于增加学生思维的灵活性，进而促进学生数学学科想象的生成。

2.巧用直观教具，辅助学生进行探索

中小学生的逻辑思维能力随着年龄的增长逐渐从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维，但无论在哪个阶段，直观教具的使用对于学生理解知识、减轻思维负担，启发学生想象都有助力作用。如，在北师版小学一年级上册第一单元关于“10以内的数”的教学中，学生对于数的认识便借助于直观形象的真实事物或图片，诸如“一个橘子”、“两根香蕉”、等等。采用直观教具进行教学对于低年级学生来说不仅符合其认知发展规律，还有利于他们感知、想象。当学生们知道一个橘子是“1”的时候，那么一头大象、一座房子、一辆公交车等等就都是“1”。采用直观教具进行的教学相比于直接使用抽象符号“1”进行教学更有利于学生利用数学学科想象探索这个世界，获得对世界更全面、深入的感知。由上可知，在使用直观教具时需要注意以下两点。第一，直观教具的选择要贴近学生生活。只有从学生已有生活经验出发，学生才会对所学内容感到“熟悉”，进而促进知识学习的意义生成。第二，直观教具的使用要服务于教学内容。直观教具的使用是作为手段，在教学过程中辅助学生展开想象，获得对知识意义的更鲜活、更深层次的理解，若将直观教具的使用作为目的，则背离了使用直观教具的初心。

3.嵌入信息技术，助力学生大胆想象

“教育信息技术的革新为教育教学注入活力与动力，推动教育教学效率与质量不断提升”。[23]数学课堂教学从最初的只能借助于教师的言传身教到19世纪后半叶幻灯片的出现、20世纪70年代，融合了文字、图片、声音、视频等多种媒体于一体的电子计算机的出现，再到今天AI（人工智能）、VR（虚拟现实）、AR（增强现实）、MR（混合现实）等技术的相继出现，标志着课堂教学各种“可能性”的实现。对于学生来说，教育技术的不断革新则为其进行探索、想象提供了物质条件上的支撑。如在探究“圆的面积”时，采用的策略是将圆等分为多个扇形，然后拼接成一个近似的平行四边形（S=dr），此处平行四边形的底则为圆周长的一半（d=πr），平行四边形的高为圆的半径（r），从而得出圆的面积公式S=πr2。但是圆的周长是曲线，平行四边形的底是线段，二者怎么能建立起直观的联系呢？答案就是想象。此时若在实际教学中借助教育技术，实现对圆的无限等分，便可以形象地建立起圆的周长与平行四边形的底二者之间的联系，即使得“化曲为直”可视化。从这个角度可以说，只要学生“敢想”，技术上就能提供验证。为充分发挥信息技术在培养学生数学学科想象中的作用，增进数学教师的信息技术应用能力可以从以下两方面入手。第一，购买线上培训资源。在信息化程度越来越高的智慧时代，通过学习线上培养数学教师信息技术应用能力的课程，可以高效、便捷地提升数学教师的信息技术应用能力。诸如七点半学苑、千聊等平台上有大量的相关课程，学校应出资统一购买此类课程，为数学教师的无忧学习提供后勤保障。第二，加强线下学科互涉。数学教师和信息技术等教师之间应加强沟通，取人之长，补己之短，通过学科之间适度地相互融合，实现数学课堂与信息技术的深度融合，丰富数学课堂教学，为学生数学学科想象的生成提供技术上的支撑。

4.善于利用“数感”，鼓励学生借“感”发挥

“数感”是一种直觉式的预感，有着工具性的依靠特征。“数感”在《义务教育数学课程标准（2022年版）》中是数学核心素养的主要表现之一，其内涵为：“对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟”[24]。然而此处所指出的“数感”不仅包括作为上述概念所提出的“数感”，还包括对数学图形的感悟、数学符号的感悟、数学问题的感悟等等，简言之，是对“数学”整体的一种感觉。这种数学感觉区别于情感意义上对数学的喜好，更多的指向数学问题解决。数感类似于美国著名教育学家布鲁纳（Bruna.J.S.）提出的直觉思维，需要进行澄清的是数感和直觉一样，不是只有形式而无内容。布鲁纳（Bruna.J.S.）在《教育过程》中指出：“有关学习的一些实验表明，为了有效地用直觉方法运用材料，精通材料是重要的。”[25]换言之，数感的产生建立在学生对数学知识具有一定的掌握之上。数感如同想象一样，人皆有之，数学教师在课堂教学中要善于引导学生顺着这种感觉继续进行思考、想象、探索。具体而言，在教学中为了帮助学生借“感”发挥，教师可采取下述策略。第一，将自身借“感”发挥的内隐过程显性化。如在一些需要做辅助线段的几何题中，教师可以用言语分享自己的解题思路。在具体操作中，教师应该首先表明自己觉得应该怎么做辅助线，即用尚不充分的证据来进行猜测。如果有学生问道“为什么要这么做呢？”，教师可以明晰地回答给学生“感觉”。在接下来的教学时间里，教师就在做好辅助线的基础上，一步步地反推以验证自己猜想的正确性。在这个解题过程中，教师不仅示意了学生如何借感发挥，其本身也成为一个可供效仿的榜样。第二，教授各种启发式方法。如前所述，数感不是胡思乱想、凭空捏造，而是建立在对特定知识的感知、理解基础之上。从这个角度讲，数感的发生有迹可循。就具体的启发式方法而言，主要有：联结法，即将知识融入已学知识的体系中，综合整体知识的特点进行想象；相关法，即提炼出知识的典型特征，并将其与相关的材料进行整合，从而进行想象，等等。第三，给学生留够时间，鼓励学生探索。数感很玄妙，学生难以用语言解释清楚。因此，当学生产生了感觉之后，教师应尽量给予学生足够的时间，鼓励学生继续思考下去，切忌不加思考地否定学生、打击学生。

参考文献

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作者:邱丽 单位:华中师范大学教育学院