时间：2023-05-29 17:46:50
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角形的面积教学设计，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】 梯形面积；教学；设计；反思
一、教材和学生学习能力分析
“梯形的面积”的教学是在学生认识梯形特征，学会平行四边形、三角形面积计算，形成一定空间观念的基础上进行教学的. 它的教学目标：（1）使学生理解并掌握梯形面积的计算公式，能正确地应用公式进行计算.（2）通过操作，渗透旋转、平移的数学思想，培养学生的迁移类推能力、抽象概括能力和创新能力.（3）培养学生善于动脑、小组合作的良好学习习惯和对数学的学习兴趣. 教学重点：理解并掌握梯形的面积计算公式. 教学难点：梯形面积公式的推导过程.
二、教学设计理念及流程
根据教学内容，为了达到教学目标，突出重点，分化难点，教学应在复习旧知识的基础上提出新问题（如何求梯形面积公式） ，采用小组合作探究的学习方式，通过拼图、讨论、检验，推导出梯形的面积. 小组合作探究讨论后，采用适当的课件演示辅助教学，帮助学生深入理解梯形与已知图形间的拼拆关系，再用已经学习过的三角形、平行四边形等的面积公式，计算出梯形的面积.
三、课件设计
根据教材内容，将整个教学内容设计为五个环节，即复习―设疑导入新课―梯形面积公式推导―例题讲解―巩固提高，用Flash制作课件，采用菜单式界面，由左侧菜单进入各个教学环节，由各页面内的按钮实现相应分环节或演示的教学. （图1）（教学中可用相应按钮随时跳转到各个教学环节，选用课件的各个部分）
（一）复习
在此环节内设计三个分环节，分别由复习1、复习2、复习3三个按钮进入各个分环节：①求出下列图形面积（图1）；②平行四边形面积公式推导（拼图演示）（图2-3）；③三角形面积公式推导（拼图演示）（图4-5）.
教学中，先让学生回忆以前学过的图形面积求法，快速求出复习1的图形面积，加强学生对平行四边形、三角形面积公式的记忆.
再让学生回忆一下平行四边形面积、三角形面积的推导过程，然后课件展示，复习2：平行四边形面积公式推导过程中的图形拆分拼凑，复习3：三角形面积公式推导过程中如何旋转拼图，师生一起对已学习知识、方法进行总结，加深学生对已学知识、方法的巩固.
（二）设疑导入新课
在复习1，2，3的基础上，课件出示（图6），教师引导学生观察分析：要比较它们的面积大小，就必须求出梯形的面积，从而导入新课：梯形的面积.
（三）梯形面积公式推导
先把学生分组，各组根据已经学过的平行四边形面积、三角形面积的推导方法，拿出预先准备好的梯形纸板拼图、观察，讨论：如何求梯形的面积？
然后师生一起总结：如何求梯形面积. 课件展示（四种方法）：
方法一：用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，设计时让两个梯形先重合在一起（上面一个为黄色），再让上面一个梯形向右平移、旋转，再向左拼图（图7-8）.
让学生根据拼图过程探索发现，拼成的平行四边形与原来的梯形面积之间的关系，从而通过求平行四边形面积推导出梯形面积公式.
方法二：将一个梯形拆分为两个小三角形，设计时先让动态从左上角到右下角画线拆分梯形为两个三角形，再将其移动一点距离（图9-10）.
让学生看见梯形的面积等于两个三角形面积和，从而通过三角形面积推导出梯形面积的求法.
方法三：将梯形分为一个三角形和一个平行四边形，设计课件让画面先从左上角起作梯形右边线的平行线，将梯形分成一个三角形和一个平行四边形，通过课件的演示，学生看到：梯形面积等于三角形面积和平行四边形面积之和，从而推导出梯形面积公式（图11-12）.
方法四：将梯形拆分后拼成一个大三角形. 设计课件：先作梯形一边CD的中点，再从A点向中点连线，从梯形上分割出一个三角形出来，再将割出的三角形旋转补于如图4所示的位置，让学生通过观察、分析得出：梯形的面积和大三角形面积一样大，从而推导出梯形面积公式（图13-14）.
除了上面四种方法以外，教师可让学生充分发挥自己的想象力，找出更多推导梯形面积公式的方法.
（四）例题讲解
例题讲解时先出示题目、图形，让学生思考说出解答方法，再一步步讲解求解过程（图15-16）.
（五）巩固与提高
巩固与提高中设计如下内容：让学生能灵活运用梯形面积公式，解决实际问题，了解等底等高的梯形面积相等（图17-22）.
四、设计反思
（一）这样的教学设计，不仅使整个教学过程条理清楚，还把学生动手操作与课件辅助教学结合起来，不仅培养了学生动手动脑的能力，还培养了学生分析综合的能力.
（二）由复习旧知识，采用类比方法推导梯形的面积公式，不仅加强了新旧知识的联系，同时培养了学生利用旧知识解决新问题的能力，即知识正迁移能力.
（三）梯形面积推导演示课件设计了四种梯形面积推导的方法，不仅达到对学生拼图活动综合总结的目的，同时，课间演示形象直观、化难为易，让学生在轻松的学习中牢固掌握推导梯形面积公式的多种方法，培养了学生的发散思维能力，渗透了平移、旋转的数学思想.
（四）课件采用Flash制作，设计了灵活的按钮，便于教师根据教学情况选用，达到因材施教的目的. 教学中，切忌把课件当成电影放，那样会适得其反.
关键词：数学课堂；思维训练；三角形的面积
数学教学的核心是对学生进行思维训练，而对学生思维能力的培养和训练，主要是通过课堂教学来实现的。在此我以《三角形的面积》教学为例进行详尽的阐述。
一、创设情境，激发思维
赞可夫曾说：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”教师在课堂教学中有意识地创设情境（如实物情境），则开门见山，吸引学生的注意力，更能调动学生的思维活动。如：
（出示一个三角形）
师：这是一个什么图形？
生：三角形。
师：三角形的面积又该怎样计算？
二、操作交流，发展思维
苏霍姆林斯基有一句名言：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要则更强烈。”教师在教学设计中应针对儿童的这种心理特点，创造机会让学生去探索，而不能用教师的演示来代替学生的活动。要解决数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间的矛盾，关键在于动手操作、主动探究。
1.小组合作
师：既然是研究三角形的面积，我们先研究它的计算方法，同学们借助以往的知识和经验思考一下，我们该如何去探索和研究三角形面积的计算方法？
生：思考片刻。
师：很多同学有想法了，如果还没有思路可以看看书，或者和老师一起合作完成，同时我给大家准备了一些学具，请大家借助学具探索三角形面积的计算方法。（课件出示教具和要求）
生：探究计算方法，教师个别小组指导。
2.小组展评
一小组：我们组是用两个锐角三角形拼成了一个平行四边形，算出平行四边形的面积再除以2就是三角形的面积，我们组得出的公式是：三角形的面积=底×高÷2
二小组：…
三、适时点拨，拓展思维
作为认识活动的主体――学生，具备丰富个性的能动的主体。封闭式教学容易造成他们思维狭窄、呆板。教师在教学中应注意适时点拨，拓展学生思维的空间，才能培养出学生思维敏捷、思路宽、有创造性等良好的思维品质。如：
师：同学们很能干，通过自主探索，寻找到了三角形的面积计算公式，为了深入地理解公式，并且对以后的探索和研究有所启发，我想采访一下大家。
师：请问我们要算的是三角形的面积，为什么要拼成这些图形？（手指着黑板上的图形）
生：三角形的面积不会算，拼成会算的图形然后就能找到三角形的面积。
师：你的意思是，遇到一个新问题，三角形的面积不会算，把它变成，或者说转化成会算的图形，这种转化的思想你们可用的真好！以前用过这种转化的思想没有？
生1：用过，平行四边形转化成长方形，得到平行四边形的面积。
生2：小数除法，我们转化成整数除法。
师：你们真是学以致用的好学生！
四、理解碰撞，思维创新
当学生学习新知后，教师应有目的地设计有层次的、有坡度的练习，才能使学生思维能力的发展得到巩固和螺旋式的提高。同时引导学生产生认知冲突，激发数学学习兴趣，感受探索问题的乐趣，培养学生对数学及数学学习的热爱。
1.操作验证，完整概念
师：我们这儿有好几个三角形，是不是任意找两个三角形都能拼成平行四边形？
生：不是。
师：你觉得什么样的两个三角形才能拼成这些会算的图形？（手指拼成的图形）
生：一样的两个三角形。
师：能具体说说是三角形的什么一样吗？
生1：大小一样。
生2：还要形状一样。
师：同学们真会观察，在数学上，形状和大小一样的三角形我们叫做完全一样。（板书完全一样）
师：那请大家想个办法，让我们一眼就看出这两个图形是完全一样的？（手指拼成的平行四边形）
生：把它们重叠起来。（生上台示范，用重叠的办法，让大家看清楚这两个三角形是完全一样的）
师小结：同学们刚才通过操作知道了：两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形。（补充板书完整这个结论）。当然了这儿的长方形也是属于平行四边形的，所以我们可以概括的拼成平行四边形。
2.精设问题，深入探究
师：再来看看我们的公式？还有没有什么疑问？
生：为什么要除以2？
师：问得好！底乘高算的是什么？为什么要除以2？
生：底乘高算的是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积，要算一个三角形的面积所以要除以2。
师：说得真有道理，底乘高算的是这个平行四边形的面积，（描一半的虚线框），除以2就等于一个三角形的面积。（取下一个三角形）
师：再看看公式里面的底乘高是谁的底、谁的高？
生1：平行四边形的底和高。
生2：三角形的底和高。
师：等待……
生：还像是平行四边形的高，又是三角形的底和高。
师：请一位同学来指拼成平行四边形的第，再请一位同学指三角形的底，看有什么发现？
生：这个平行四边形的底就是三角形的底。
师：你们真会观察，所以以后我们算三角形面积的时候，可以直接运用三角形的底和高进行计算。
3.整理过程，系统思维
师：好我们来一下我们刚才探究公式的过程，我们通过操作，观察、发现、推理得出三角形的面积公式（边说边指板书对应的内容），同桌再具体说说我们是怎样得出这个公式的？
生说公式的由来，师补充板书。
师：请一位同学给大家完整地说说我们是怎样得到公式的？
师：我们用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，平行四边形的底和高就是三角形的底和高，平行四边形的面积等于底乘高，所以一个三角形的面积等于底乘高除以2。
生：掌声。
4.问题冲突，创新思维
师：同学们真能干，通过用两个三角形来拼这种方式得到了两个三角形的面积计算方法。还有没有用其他思路去探究三角形面积的计算方法呢？
生上台展示介绍：把一个三角形从中间剪开，可以拼成一个平行四边形，这个三角形的高变成了原来的一半，所以三角形的面积等于底乘高除以2。
师：大家听明白了吗？
生：多数摇头。
一、导入
上课开始，老师拿出准备的崭新红领巾对学生说，学校准备制作质地优良的红领巾，现在想请大家帮忙：这个红领巾需要多少布料，大家知道该怎样计算吗？
生：求它的面积。
师：我们知道这种图形的求解公式吗？（不知道）这是一个什么图形？（三角形）三角形的面积公式我们学过吗？（没有）我们今天就学习“三角形的面积公式”。（板书）请大家回顾一下我们以前学习了哪些图形的面积公式？
生：长方形、正方形、平行四边形。
师：谁来说说这些图形的面积公式是怎样推导出来的？
生答。
师：谁来说说这些图形的面积公式？
生答，师板书。
设计意图：利用生活中的红领巾所用布料导入，贴近学生生活，让学生知道，数学问题来源于生活，是解决问题的工具。复习以前学习的图形面积公式，回忆平行四边形的面积推导过程，唤醒学生的思维，为进一步探究三角形的面积公式作准备。
二、猜想
师：我们知道平行四边形的面积公式是把平行四边形转化成正方形或长方形，而我们的红领巾是三角形，如果我们要想得出三角形的面积公式的求法，可以将三角形转化成什么图形再进行计算呢？
学生猜测：正方形？长方形？平行四边形？
师：我们用实践证明到底三角形转化后会成为一个什么图形。
三、探究
活动一：
师：刚才大家知道了我们以前是通过“剪切”的方法把平行四边形转化成我们学习过的长方形或正方形推导出面积公式。现在你们的桌上有老师为你们准备的“红领巾”（按比例缩小的红色小纸片）以及一些小工具，想一想，我们要怎样做，才能推导出这个小“红领巾”面积的求法？提示：可以两个人合作。
根据惯性思维，学生在拿到小“红领巾”之后，首先想到的是对这个三角形进行裁剪。
学生活动（动手裁剪三角形），教师巡视。
学生汇报。
师：你是怎么做的？
生1：我沿着顶点作高，然后用剪刀沿高剪开，成了两个三角形，再把一个三角形倒过来，拼在一起，成为一个长方形。（边做边演示）
老师拿出一个较大的纸质三角形，让学生上讲台演示。学生沿顶点作高剪成两个三角形，再拼成一个长方形以后将其贴在黑板上。
师：这两个三角形有什么特点？
生1：完全相同。
师：你是从哪个地方判断这两个三角形完全相同的？
生1：将这两个三角形重叠，能完全重合在一起。
师：其中一个小三角形与大三角形有什么关系？
生1：小三角形是大三角形的一半。
师：你从哪看出来的？
生1：底是原来的一半。（师板书：底）
师：我们的红领巾是一个等腰三角形，因此从顶点作高，将底边分成了两半。我们可以观察到现在拼成的长方形的长和宽与三角形的什么有关系？
学生观察。
生反馈：长方形的长是三角形的底的一半，宽是三角形的高。
长方形的面积=长×高，红领巾的面积=底
×高。
引导学生归纳：三角形的面积=ah。
活动二：
师：不知大家刚才注意到没有，我们是把这个小“红领巾”剪成了两个完全相同的三角形拼成一个长方形。如果我们有两个相同的“红领巾”，用两个完全相同的三角形直接拼，会怎样呢？现在大家拿出桌上绿色的三角形，注意：大家拿着手中的三角形和同学进行比较，是否完全相同。请大家进行合作，2个人、3个人、4个人都可以，拼一拼，会得到一个什么结果呢？
学生活动后汇报。
师：你们是几个人进行的合作？
生2：我们是两个人，我们把两个三角形拼在一起，得到了一个平行四边形。
师：为什么你们只有两个人合作，老师说的可以3个人、4个人合作？
生：我们只需要两个人就够了。
老师请汇报的两个同学上台在黑板上把图形拼出来。
师问生2：这个平行四边行的面积公式是什么？
生2：S（平行四边形）=ah。
师：这个平行四边形的底和高与三角形的底和高有什么关系？
生2：平行四边形的底和高就是三角形的底和高。
师：这个发现有意思。
课件演示：这个平行四边形的底和高就是三角形的底和高。
师：这个面积与你的三角形有什么关系？
生2：我的三角的面积是这个平行四边形的一半，如果要求出我的三角形的面积，要用上面平行四边形的面积除以2。
三角形的面积=平行四边形面积？圯S（三角形）=ah。
师：大家看一看，这两种方法得出来的结果是一样的。大家说说哪种方法更简单？
生：两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形。
师：是啊，只要我们开动脑筋，一个问题我们可以找到许多种解决方法，在这些方法中，我们就可以选择一种最为简便的方法。
设计意图：活动一是承接学生思维的延续性，让学生体验、感受到思维的完整性，知道三角形的面积公式有两种方法可推导出。活动二中学生每人只有一个三角形，真实地感受合作来源于需要，只有合作才能解决问题，人数过多的合作是一种资源的浪费。
活动三：
师：刚才大家初步得出了三角形的面积公式，知道三角形只要知道它的底和高，就能求出它的面积。现在我告诉大家“红领巾”的底和高，请大家帮忙计算出它所需要的布料。
学生计算。
四、验证
师：我们的红领巾是一个等腰三角形，一个特殊的三角形哦，我们还有些什么样的三角形？
生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形。
师：嗯，老师给你们准备的黄色三角形，是各种各样的三角形，却只有一个，自己想，该怎样做？
学生拿出工具袋，使用拼凑的方法完成三角形面积公式的验证。
得出结论：所有三角形都可以用两个完全相同的三角形拼成一个正方形、长方形或平行四边形，都可以用S（三角形）=ah求三角形的面积。同学们得出的结论是正确的。
五、练习
略（针对相对应的底和高及生活中的问题进行练习）。
六、拓展（拼七巧板）
师：如果让我们对除等腰三角形外的其他一个三角形用剪切法拼，该怎样做呢？用我们工具袋里所提供的黄色三角形进行活动。提示：前面我们是把底平均分成两份，把高平均分成两份又会怎样？
设计意图：提高学生的动手动脑能力，拓展学生视野，体验数学解决问题多元化之美。
《正弦定理》是中职类数学书第二册第10章第2节“解斜三角形”第一课学时的内容。它是在学生已学过的直角三角形的边与角关系上对解斜三角形边与角关系的进一步深化，也为后面余弦定理的推导与应用设下伏笔。
笔者设计以下教学目标：学会正弦定理及三角形的面积公式，同时渗透数形结合、分类讨论的基本数学思想。
本堂课通过精心设计的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在教师的指导下解决问题。同时，采用“学案导学”和“多媒体辅助”有机结合的教学模式。
二、教学呈现
1.创设情境，布疑激趣
教师：我的一个三角形教具模型坏了（拿出模型），现在只知道∠A=45°，∠C=30°，AC长为50 cm，我很想修好这个模型。
学生：讨论，只要知道AB和BC的长度是多少就可以解决问题。
【设计意图】创设情境，激发学生的学习欲望。
2.探索新知，证明定理
教师：带着疑问，一起来探索。问一下同学们，你知道三角形的哪些知识啊？
学生：积极发言。
教师：在三角形中，有六个元素，而刚才的三角形显然是个斜三角形，ABC的六个元素有何关系？
学生：思考，决定构建直角三角形
教师：分组合作，第一组作AC的高，第二组作BC的高，第三组作AB的高，给出结论。
第一小组学生：作BDAC交AC于D，
在RtADB中，=sinA，
在RtDBC中，=sinC，从而得到BD=csinA=asinC。
第二小组学生：得到AE=bsinC=csinB
第三小组学生：得到CF=asinB=bsina
教师：将三个结论写于黑板上。那三角形的面积能不能用以上的结论给出？
学生1：可以。SADB=basinC=bcsinA
学生2：SADB=basinC=acsinB
教师：很好。我们可将上述式子连起来写成SABC=absinC=bcsinA=acsinB，这就是三角形的面积公式。同学们，能不能用文字来叙述一下三角形面积公式呢？
学生：锐角三角形的面积等于任意两边与其夹角的正弦乘积的一半。
教师：很好。这个面积公式适用于任何一个三角形。因此，三角形的面积公式可以这样叙述：任何三角形的面积等于任意两边与其夹角的正弦乘积的一半。下面我们来练习：
已知ABC中，a=10，b=12，C=30°，求SABC
学生：思考，口答。
教师：同学们，谁可以试试出些求三角形面积的题目。
学生1：已知ABC中b=15，c=12，A=60°，求SABC
学生2：已知ABC中a=30，c=20，b=45°，求SABC
学生：在纸上快速写出式子，回答“老师”。
教师：刚才我们用“作高法”进行了三角形面积公式SABC为了不使学生有“头重脚轻”的感觉，因此，把它写成。这就是正弦定理。同学们，你能用文字来叙述它吗？
学生：任何一边与它的对角的正弦比值相等。
教师：很好。
【设计意图】让学生亲身经历推导的过程，及时应用“你编他解”的形式，培养学生举一反三的能力，用文字叙述，提高学生观察、归纳的能力。
3.应用定理，解决问题
教师：现在请同学们思考一下，能不能用刚才探讨出来的正弦定理解决引例中提出的问题？
学生思考，解决问题。
教师：巡回指导。
学生1：先求∠B=180°-∠A-∠C=105°，求边c时，可用，同理利用正弦定理。
教师：很好。然后在黑板上规范写出了过程。同学们，观察本题，看看六个元素中已知什么求什么？
学生1：已知两角和第三角的对边，求另外两边和一角。
教师：那么，已知两角和其中一边对角呢？同学们会求吗？
学生：能。
教师：这是正弦定理的第一种应用，已知两角和任一边，求其他元素。同学们，请思考一下。例2：已知ABC中，∠B=45°，a，求∠A和∠C。如何解决？
学生：尝试解决问题。得出了sinA=，∠A=60°。
教师：sinA=，∠A=60°这个答案对吗？请思考一下特殊角三角函数值。∠A=60°或120°。这是本节课的难点所在。总结本小题，答案也许不唯一。
【设计意图】通过让学生思考，解决问题，教师把解题步骤写到黑板上，起示范作用；关键是对角的判断，答案的不一定唯一，这是本节课的难点所在。
4.课堂练习，提高巩固
练习1：在ABC中，已知c=10，∠A=45°，∠C=60°，求a，∠B，b（结果保留两位小数）
练习2：在ABC中，已知∠B=60°，a=，求∠A（结果保留到1°）
学生：完成解题。
教师：巡回指导，用实物投影仪展示学生规范的解题步骤，让学生校对答案。
【设计意图】在学生练习过程中老师巡视，对发现的问题及时解答，投影学生答题情况。
5.小结反思，提高认识
教师：引导学生对本节课所学内容进行归纳总结。
学生：选派代表总结归纳。学生总结的三角形面积公式，正弦定理及正弦定理适用的两种情形。
教师：我们还学会了分类讨论的数学方法。刚才，学生总结到已知两边和其中一边对角，能用正弦定理，那已知两边和任一角，能解出三角形吗？比如，∠C=45°，a吗？
【设计意图】让学生归纳总结本堂课所学到的知识，设计问题，激发学生的学习欲望。
6.布置作业，知识延拓
书本第55页练习1/3，5，6；实践作业：搜索资料，了解正弦定理还应用于哪些方面？如：航海、军事等。
【设计意图】对本节课所学知识进行巩固，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。
教学片断一：“三角形的认识”中顶点和边的关系的教学
师（教学三角形的组成之后）：用字母来表示三角形的三个顶点，这个三角形就有名字了，叫做三角形ABC。按照老师的要求，找一找AB边是哪条边。哪位同学上来指一指？
生1（走到黑板前指）：AB边是这一条。
师：顶点C呢？
生1（指）：是这个点。
师：来一个有难度的。与AC边相邻的两条边是指——
生2：AB边和BC边。
师：那么，与顶点A相对的边是谁？与AC边相对的顶点又是谁呢？
生3：与顶点A相对的边是BC，与AC边相对的顶点是B。
师（出示三角形教具）：老师这里还有一个三角形，能给它取个名字吗？（学生在师的引导下取名为三角形ACD）
师：你能出一道题目给你的同学做吗？
生4：三角形ACD中，CD边相对的顶点是谁？
生5：顶点A的对边是谁？
……
师：在老师发给大家的作业纸上找一个三角形，先给它取个名字，再按照刚才的方式跟你的同桌互相说一说。
……
思考：学生在教师第一次示范讲解用字母表示边和顶点、相邻的边、相对边等知识的环节中获取的经验已经较为充分，后续两个环节完全按照教师的设计进行，虽然学生同桌之间互相提问等方式使课堂气氛较为活跃，但缺少了学生思维的有效参与。
教学片断二：“平行四边形面积”中关于面积计算方法的探索
师：如何计算平行四边形的面积？
生1：我认为平行四边形的面积是底乘高，即沿着平行四边形上边的端点引出一条高，把它分成一个直角梯形与直角三角形，然后拼成长方形。
生2：我认为平行四边形的面积是长乘宽（指平行四边形的斜边）。
师：哦，你是怎么想的？
生2（边演示边回答）：我先围成一个平行四边形，然后把它稍微变化了一下，发现它变成了一个长方形，因为长方形的面积是长乘宽，所以平行四边形的面积也是长乘宽。
师：这位同学探索出了平行四边形的面积是相邻两条边的乘积，同意他的观点的同学请举手。（有近一半的学生同意他的观点）谁来说说你为什么不同意他的观点？
生3（指着长方形模型的宽）：如果把平行四边形拉成长方形，那么它的宽就会变短。（其他学生不知所云）
师（出示平行四边形的模型）：平行四边形容易变形，如果把它拉成长方形后，面积有没有变化？（学生思考）
生4（操作）：把平行四边形转化成长方形，它们的长和宽都是一样的，所以就可以把平行四边形面积看成是计算长方形的面积，就是用相邻的两条边相乘。（其他学生纷纷点头赞同）
师：现在，赞成平行四边形面积用相邻两边的长度相乘的同学请举手。（绝大多数学生都举起了手）
师：好。刚才老师把平行四边形拉成了长方形，现在我继续来拉，请你们接着看。（师拉动平行四边形的框架，直到边几乎重合）你们发现了什么问题？
生5：两条边的长度没有变，但是面积变小了，这方法好像不行啊！
师（问生2）：现在你觉得平行四边形的面积可以用邻边相乘吗？
生2：好像不行了。
师：的确，平行四边形不能用邻边相乘的方法来计算它的面积。那么，平行四边形的面积到底该怎么来计算呢？……
思考：第一个问题，生1的回答是绝大多数教师期望在课堂上得到的，但授课教师却以生2回答中的错误作为切入点进行教学。笔者分析后认为，生2的方法是因知识的负迁移产生的错误，直观演示的过程影响了部分学生的判断和认知。教师采用因势利导的教学方法，让学生主动发现错误，使他们的思维发生碰撞并自然地转向于探寻正确的方式解决问题。
上述两则教学片断在我们的课堂实践中并不鲜见，从教学环节对于课堂内容的作用来看：片断一的设计旨在突破认识三角形的高和画高的这一教学难点；片断二则是让学生经历“猜想——操作——验证”的过程，探索出计算平行四边形面积的正确方法。从教学设计的角度深入挖掘，也体现了教师的两种不同思路：前者偏向于课前预设和教学理念，后者更注重课堂生成和教学理解。抛却这些一概不论，如果仅从课堂上学生注意力的集中程度和思维的参与情况来说，两个教学片断的效果是显而易见的。从这两个片断延伸开去，笔者对当前小学数学课堂教学中存在的一些问题，结合自身的教学实践进行了反思。
1.倾向于回归理性的数学课堂，是否应该更多点激情？
小学数学课堂的教学改革是一个持续和渐进的过程，正所谓褪尽浮华始见真，数学学科的本质和自身特点决定了课堂教学要回归理性，这在当前已逐渐成为广大一线教师的共识。于是，在众多的公开课和展示课上，我们更倾向于关注教学设计如何为达成教学目标服务、重难点的突破采用了什么方法，在教学效果的检测上也单纯地通过练习或作业的反馈获得。以上种种本无可厚非，但这样的思路在教学实践中体现过甚，则会忽略课堂教学最基本的一些要素，其中非常重要的一点就是激情。古希腊哲人普罗塔戈说过：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把要被点燃的火把。”因此，在学生第一次接触某个知识点时，教师应该强化对正确方法的刺激。但在教学片断二中，教师一句最平常不过的提问反而使学生的错误得到了看似合理的呈现和强化，该教师敏锐地捕捉到了学生的这一错误，利用课堂生成的教学资源激发了学生的思考热情。这样的做法有助于帮助学生突破思维定式，使他们的认识更加深刻。真实的数学课堂，类似的错误比比皆是，在错误碰撞中激发出的思维火花，恰恰会成为点燃头脑这个火把的火种。
2.逐步走入模块化的数学课堂，是否应该更多点活力？
不可否认，经过较长时间的课堂教学改革也会有所沉淀，并逐步成为教师的一种主动意识和习惯，如各个课堂环节的设置和意图越来越清晰、强调环节之间的衔接和过渡等。其中，教学设计也成了依据不同教学内容的照方抓药，或是在出现多种选择方案时的对号入座，如教学片断一中对顶点和对边关系的教学在一定程度上体现了这种模块化课堂教学的缺陷，因为本课教学的主要目标是理解三角形的意义、掌握三角形的特性和画高，其中又以画高作为教学难点。这样看来，教师设置该环节的实际功能显得单一，在具体实施的过程中，“教师示范讲解——指名学生回答——互相提问解决”的模式化进程，让学生经历的却是对一个简单问题多次重复探究的低效活动，导致学生思维发展的机会和主动参与的激情也在不知不觉间溜走。基于课堂教学中出现的这种现象，笔者认为教师应该切实关注学生的实际需求，主动寻求打破模式化课堂教学的途径，从而为小学数学课堂注入更多的活力。
3.各种理念禁锢下的数学课堂，是否应该更多点自由？
（一）地位和作用
本课为湘教版八年级上册第二章第五节《全等三角形》第一课时所教授的内容，在三角形的相关知识中具有重要的地位和作用：它是探究三角形全等条件的基础，是证明线段相等、角相等的重要依据，也是渗透对应思想的重要一课，同时为学生之后学习三角形相似奠定基础，而学生之前已经学习了三角形和图形平移、旋转、翻折的基础知识，因此，该课在有关三角形的知识结构中具有承上启下的作用.
（二）教学目标
1.知识与技能：（1）理解全等图形、全等三角形的概念及全等三角形的表示方法；（2）能熟练找出全等三角形的对应顶点、对应边和对应角；（3）掌握全等三角形的对应边、对应角相等的性质，并能运用该性质进行简单的几何推理.
2.过程与方法：（1）让学生经历观察、猜想、合情说理、归纳总结的过程，获取全等三角形的基础知识；（2）让学生观察、分析图形变换的规律，寻找全等三角形经过图形变换后的对应关系，提高学生的识图能力和简单的几何推理能力，积累数学活动经验.
3.情感态度与价值观：（1）通过引导学生观察图形的平移、旋转、翻折过程，培养其运动观点；（2）通过引导学生观察图形变换及亲自动手操作，发展其空间观念，培养其几何直观；（3）通过组织学生经历观察、分析、交流、讨论的过程，培养其独立思考和团队合作的意识与能力.
（三）教学重难点
1.重点：探究全等三角形的性质，准确辨认全等三角形的对应元素.
2.难点：运用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.
二、教学设计
（一）教法选择
本课属于几何类新知课，教法上我们拟采用新知课的四环节教学模式进行设计：第一环节“问题导入”，旨在设疑激趣；第二环节“新知探究”，重点是合情归纳；第三环节“变式应用”，重点是图形变换；第四环节“总结升华”，重点是应用思维导图沟通新旧知识间的联系.
（二）教学内容的考量因素
1.基础性.学习三角形全等，是之后学习三角形相似的基础，因此，在课中渗透对应思想至关重要.
2.关联性.全等三角形与图形变换息息相关，图形变换就是一种全等变换，所以在运用全等三角形解决问题时，常常可以通过图形变换来寻找或构造全等三角形.
3.拓展性.全等三角形是几何图形由线、角的开放图形到封闭图形的过渡，研究范围可拓展到对图形形状、周长、面积的多元探究，因此在教学素材的选取上，我们拟选择平移、旋转、翻折三种图形变换作为变式教学的载体，将全等三角形的概念和性质融合在具体的问题中，通过问题解决培养学生的识图能力和计算说理能力，进而突破教学的重、难点.当然，对于本文所呈现的教学设计，我们还可以根据学情的不同做适当的删减.若学生基础好，整体水平高，可选择梯度大的问题进行教学；若学生基础薄弱，整体水平较低，可选择坡度缓的问题进行教学.变式教学的宗旨是更精确地因材施教，让不同层次的学生都能得到相应的发展.
（三）教学过程
1.问题导入：设疑激趣，操作导入
在“问题导入”环节，让学生观察、猜测老师手中的纸片有几张（看似只有一张，但又似乎不止一张；图片形状如图1所示），使学生的直觉与教师的提问暗示产生冲突，在这似是而非的情境中，学生的探究兴趣被激发，而全等图形“完全重合”的概念已巧妙地隐含在这个猜测游戏中.
问题1：猜猜老师手中的纸片有几张？
2.新知探究：合情说理探究法
在“新知探究”环节设计两个小问.第一小问引导学生从整体角度观察全等图形与全等三角形的特点，使之从中发现两组图形“完全重合”的共性；第二小问引导学生从微观元素观察全等三角形的对应点、对应边、对应角的关系，进而运用“合情说理”进行新知归纳.
问题2：（1）观察老师手中的两组图形（见图2、图3），说说它们有什么共同特点？（2）若老师将图3中的两张图片重叠在一起，请观察这两个三角形，说说它们有哪些对应关系？
引导学生归纳全等三角形的概念及性质.
（1）全等图形定义.能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
（2）全等三角形的概念及性质.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.表示：用符号“”连结，如ABCDEF，读作“ABC全等于DEF”.点的对应与线的对应分别如图4、图5.全等三角形的性质如图6.
3.变式应用：几何变式中的“图形变换”变式
在这个环节，共设计四个问题，从问题3到问题6.
问题3安排一组根据图形变换设计的变式图，由平移（沿BC边平移，点B的对应点E分别在BC边上、在BC的顶点C处、在BC的延长线上，见图7、图8、图9）旋转（绕ABC的顶点A旋转，旋转角分别小于∠BAC、等于∠BAC、大于∠BAC，见图10、图11、图12）翻折（沿BC边翻折，沿过点B的任意一条直线如BF、BD翻折，分别见图13、图14、图15）；
问题4选取平移变换所得的图7进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角已知一个角求对应角已知两个角求其余角已知一条边求对应边用字母变式线段的长度（由特殊到一般）找与BE（平移距离）相等的线段（问题由封闭到开放）；
问题5选取旋转变换所得的图10进行问题设计，设计思路是由找对应边、对应角已知一个角求角已知两个角求角找与∠1（旋转角）相等的角；
问题6选取轴对称变换所得的图13进行问题设计，设计思路是由找对应相等的线段找等腰三角形判定线的位置关系已知垂线段求面积问题，问题设计由浅入深、层次推进.
设计以上4个问题，旨在引导学生通过观察图形变换，培养识图能力，进一步探究图形在变换过程中蕴含的变化规律和数量关系.
问题3：请同学们运用图形的平移、旋转、翻折规律，分析下列图形分别是经过了怎样的变换得到的.
问题4：如图7，将与重合的沿边向右平移至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.
变式1：若∠A=100°，则∠D=________.
变式2：若∠A=100°，∠B=40°，你能求出图中哪些角？
变式3：若AB=5cm，则DE=_______.
变式4：若BC=acm，将DEF由点B出发，沿BC平移bcm，你能用a、b的代数式表示哪些线段长度？
变式5：连接AD，图中与BE相等的线段有_______.
问题5：如图10，将与重合的绕点旋转至如图所示的位置，指出图中的对应边、对应角.
变式1：若∠B=50°，你能求出哪个角，它的值是多少？_______.
变式2：若∠B=50°，∠C=30°，你能求出图中的哪些角？
变式3：图中与∠1相等的角是_______.
问题6：将与重合的沿翻折至如图13所示的位置，并连结，请找出图中对应相等的线段.
变式1：请写出图中所有的等腰三角形.
变式2：试判定AD与BC的位置关系，并说明理由.
变式3：若OA=2cm，BC=5cm，你能求出哪些量？
经过以上变式应用教学，可引导学生归纳全等三角形性质的以下应用.
（1）全等变换.平移、旋转、轴对称都是全等变换.
（2）对应关系.图形位置：通过图形形状确定对应关系；符号位置：通过字母位置确定对应关系.
（3）数量和位置.平移：对应点的连线相等且平行（或共线）；对应边相等且平行（或共线）；对应角相等.旋转：对应边相等；对应角相等；对应边的夹角等于旋转角.翻折：对应点的连线被对称轴垂直平分；对应边相等；对应角相等.
4.总结升华：思维导图归纳法
在这个环节，用三个小问引导学生回顾本节课的学习内容，沟通新旧知识间的联系，强化图形变换在全等三角形中的应用，在图形变换变式应用中掌握平移、旋转、翻折的特征.
问题7：通过本节课的学习，你掌握了哪些新的知识？这些新知与哪些旧知之间有紧密联系？通过问题解决，你从中收获了什么？
细细品味10位青年教师的教学风采，我真切感受到教学设计所折射出的教育理念和教育思想，不禁被他们的改革精神和教育智慧深深折服。下面仅以无锡安镇实验小学黄芳老师执教的《认识三角形》为例，谈自己的感受，以飨读者。
1.视角上：体现一个“融”字。
首先是几何知识与现实生活的“融”。教学中，黄老师不仅借助课件让学生欣赏生活中的三角形（如各种交通标志的面等），还通过“生活中还有哪些地方也能看到三角形？”等话题的追问，把空间与图形的学习“融”入学生的真实生活，在几何世界与现实生活之间打开了想象的“通道”，让学生在空间和图形知识的现实背景中理解几何概念、探索几何秘密、发现几何规律。其次是数学知识与探究方法之间的“融”。教学中，黄老师不满足于学生找到“从学校到少年宫走哪一条路近”的答案，而是引导学生说出“你是怎样想的”，从而渗透可以从“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”这两种不同的思考角度去解决同一个问题，不仅如此，黄老师还引导学生“用以前学过的‘两点之间线段最短’来解释‘三角形中任意两条边长度的和大于第三边’的结论”，沟通了知识之间内在的联系，使所学知识融会贯通。
2.教学中：突出一个“做”字。
黄老师让学生通过画一画感知三角形顶点、边和角的特征；通过围一围发现不是任意三条线段都能围成三角形；特别是当教师追问“是不是任意三条线段都能围成三角形”、而从未涉及这一问题的学生都傻眼了时，黄老师随即巧妙地组织学生“把一根小棒任意折成三段，围一围看是否一定能围成三角形”……在就地取材但却卓有成效地“做”数学活动的过程中将原本难以想象的结论直接呈现在学生面前，学生在强烈的认知冲突中引发新的探究欲望，带着新的问题、新的期盼进入探究活动。
3.设计上：呈现一个“新”字。
黄老师紧扣三角形三边关系，引导学生展开“质疑——猜想——验证——发现规律”的数学探究活动。在学生通过“做”数学已经证实了“不是任意三条线段都能围成三角形”这个事实后，黄老师紧追不放——“围不成的困难在哪里？”引发学生对“怎样的三条线段才能围成三角形？”的自觉追问和探究欲望；当学生初步得出“三角形的任意两边之和大于第三边”时，黄老师又引导学生“反过来想围不成的例子，另外两条边长度的和也大于第三边，为什么还是围不成呢？”使学生的数学思维朝着概念的本质特点不断生长、生长……为了让学生更有效地开展猜想验证活动，黄老师引导学生“用数学式子”表示三条线段之间的关系（围成或围不成）。伴随着“做”数学的不断深入，学生的活动经验不断积累，直观感知不断丰富，数学表象更加清晰，为抽象概念的本质特征提供了可能。
4.互动中：彰显一个“美”字。
精心的教学设计和良好的专业素养使黄老师的课堂教学呈现出美的意蕴。“从这个句号中，你又能看出问号吗？”“如果红边和黄边长度不变，蓝边长度在什么范围内就能围成三角形了呢？”“先由问号经历猜想验证后变成句号、再由句号看出新的问号……”互动中的每个设问和总结都涵盖着丰富的数学思想和推理空间，彰显出教师的创造之美和智慧之美。
细细品味黄老师执教的“认识三角形”，在静悄悄的思维体操中能真切地感受到她对数学研究的执着与热爱。作为同行，在钦佩的同时，更愿意像黄老师所说的那样：从句号中发现新的问号。在此，就相关问题与黄老师作进一步探讨与商榷，仅供参考。
1.体验替代，自主建构欠火候。
学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为有效的知识。从这个意义上说，学生的学习具有“不可替代性”。对三角形概念的建立、特征的把握，需要在大量材料感知的基础上，通过聚类分析、对比发现和抽象概括，才能提炼出三角形的本质特征，进而进行定义和命名。在三角形概念的教学中，教师只是借助实物上抽象出来的三个三角形，通过用简单的“观察”替代了学生“做”三角形过程中对边、角、顶点等要素特征的丰富体验，学生没有经历透过不同形状三角形的表面现象进行辨析比较、发现共同特点、抽取本质属性的过程。在三角形三边关系的探究中，教师也是以“个别”回答替代了“全班”同学的探究活动，而后的小组实验只是在得出结论基础上进行的运用与判断，并非实质性的猜想、验证和发现。因而，学生对三角形的认识还没有实现真正意义上的自主建构。
2.过于精细，方法结构欠清晰。
【关键词】教学语言；语言艺术；习惯性用语；思维；人格
师，以身正令其行，以学高为其范，以睿语启其心智，以谆谆教诲而不忘于子弟，以贻误子弟而遗臭于世人.所谓“窥一斑而知全貌”，往往从教师的教学语言，就能品评出教师的高风师德，判别出教师的学术修养，也能推测出教师的学众民意.数学教师的教学语言尤其应注意严谨、精准，因数学学科知识更显理性，教师的教学语言更要注意表达的艺术，极力形成自己的语言风格.
一、慎思习惯性用语是数学教师语言艺术修炼的必修课
语言是思维的高级形式，习惯性的语言背后往往意味着思维的固化.习惯成自然，如果对自己习惯性语言所造成的负面影响浑然不觉，教学无疑逆水行舟.
在“平行四边形的面积计算”教学中，常常听到教师问：“要计算平行四边形的面积，必须知道平行四边形的什么？”学生答：“要计算平行四边形的面积，必须知道平行四边形的底和高.”在“三角形的面积计算”教学中，教师问：“要计算三角形的面积，必须知道三角形的什么？”学生答：“要计算三角形的面积，必须知道三角形的底和高.”以此类推，在计算梯形、圆形、长方体、正方体、圆柱体等图形的周长、面积或者体积时，教师习惯于使用“必须”一词提问，而学生也浑然不觉，似乎“底和高”是满足于“必须知道”的唯一条件.
知道底和高就是计算这类图形问题的必须条件吗？当然不是.在现实生活中，根据图形之间的关系，很多时候是可以进行巧妙作答的.比如，一个等腰直角三角形，知道斜边长8 cm，求三角形的面积？此三角形不知道底和高，那么是不是就不能解答呢？事实上，解答此题的方法非常多.用四个完全一样的等腰直角三角形拼合成边长为8 cm的正方形，求出正方形面积为64平方厘米，再除以4就可以求出一个三角形的面积是16平方厘米.除此以外，还可以用翻折法、剪拼法、拼合法等多种方法解答.早在南宋时期的数学家秦九韶就在《数学九章》中指出了“已知三角形的三边长求其面积”的秦九韶公式.在国外，阿基米德也发表了“已知三角形的三边长求其面积”的海伦公式.
马立平在《小学数学的掌握和教学》一书中，把退位减法中的“退一当十”和向高位“借一当十”两种习惯性用语做过深刻的分析.从中不难看出习惯性用语对学生思维的潜在影响：“退”这个术语就暗示了它与“进”的概念的关系……我的学生中有些可能已经从他们的父母那里学到“借一当十”.我会向他们解释我们不是借一个10，而是分解一个10.“借数”不能解释为什么可以拿一个10到个位上，但是“退位”可以.在说退位的时候，蕴含的是高位上的阿拉伯数字确实是由低位上的数值组成的.它们是可以转换的.术语“借数”绝没有意味着进位——退位的过程.“借一个单位并把它变成10”听起来是随意的.我的学生会问我怎么能从十位上借？我们如果借了什么东西以后是要还的.我们怎么还，又还什么？
又如，在六年级分数除法教学时，老师常常预设类似“67÷3，57÷3，57÷34”的式子.学生往往会习惯性的计算67÷3=6÷37=27，而在计算57÷3=5÷37，57÷34=5÷37÷4时学生会觉得无法计算，甚至很多老师也确认无法计算.于是，师生往往得出结论“分子、分母除不尽，没办法计算”，从而认定这样的计算方法行不通.其实不然，以上两题可以利用分数的基本性质继续计算.如，57÷3=5÷37=5÷3×37×3=521，57÷34=5÷3×3×47÷4×3×4=2021.把该算法和“除以一个数等于乘以一个数的倒数”进行沟通，能让学生更明白算理和算法.
习惯性语言的背后是惯性的思维.有些语言在我们浑然不觉的习惯下，既束缚了自己又束缚了学生的思维发展.数学教师要慎思习惯性用语对思维的禁锢.
二、准确、简洁是数学教师教学语言的基本要求
一堂精彩的课，创新的教学设计固然重要，教师的语言和学生的童言妙语也令其增色不少.同理，教师一句不恰当的、不准确的教学语言也能令听者兴致大败，犹如一盅美味佳肴突然浮出一粒耗子屎.
以三角形单元的教学为例.在一次市级赛课中，有一节“三角形分类”的课例.老师制作了大量的三角形卡片，颜色各异.在给三角形制定分类标准时，大家讨论得出了按边分类、按角分类、按颜色分类.整个过程热热闹闹，教学流畅.可是，三角形能按颜色分类吗？颜色是三角形的属性吗？颜色是三角形卡片的属性，就三角形而言，没有颜色这样的属性，更不能成为分类的标准.同理，老师常常要求：“请大家拿出一个三角形.”试想，三角形能否拿出来？
又如，在小学阶段，三角形被定义为“由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形”.一部分老师对概念使用了“围成”后为什么要继续使用括号“（每相邻两条线段的端点相连）”做备注感到困惑.这种教学语言困惑的背后暴露的恰恰是教师们专业素养的欠缺.我们知道：以“组成”描述的图形包括不封闭的平面图形，以“围成”描述图形包括了形如“”类的图形，单独使用两者都不能准确定义三角形.同理，在教学三角形稳定性时，老师们较为传统的做法是制作三角形木框，组织学生拉一拉，体会一下三角形比较稳固，常常听到的教学语言是“拉得动吗？”“拉不动，所以三角形很稳固”等.试想，拉不动是三角形稳定性的本质吗？如果能换一换教学语言“拉一拉，变形了吗？”是否更能扣住三角形不易变形的本质呢？
在 “观察物体”公开课听课中，老师强调了“观察物体一次最多只能看到三个面”.这时，有学生举手发问：“老师，看钻石，可以看到多个面呢，看多棱柱也能看到多个面呢.”面对如此问题，教师当场陷入了僵局，不知如何应对.教师的失语暴露出教师对“投影与视图”数学知识的欠缺.如果说失语暴露的是教师专业素养的缺失，那么，语言错误暴露的就是专业素养出错.在平移和旋转的公开课教学里，老师现场举例：摩天轮的吊椅是旋转现象.摩天轮的吊椅怎么会是旋转现象呢？在三角形拼摆教学中，常听到教师使用“用两个不一样的三角形围成的图形是不规则图形”的语言.用两个三角形围成的多边形怎么不是规则图形呢？很明显教师对规则图形和基本图形的概念造成了混淆.这些教学语言的错误令听课者情何以堪.
准确、简洁是数学的美，数学教师的语言必须准确、简洁.教师准确的、简洁的数学语言不仅彰显专业素养扎实，更是对学生语言能力发展进行良好熏陶和培养，所谓言简意赅，潜移默化.
三、提升教学语言艺术，应形成自己的鲜明风格
如果说准确简洁的语言反映着教师的术业修养，那么语言的风格折射出的就是教师的人格魅力.现代的学子们，灵性灵动，喜欢新事物，追求鲜明的个性，排斥单一和枯燥的说教.如何开启他们的内心世界，如何调动他们的学习兴趣，教师的教学言语风格将最先被他们所甄选.教师的语言风格很大程度上左右着课堂学习的效率，那些专业知识造诣深厚但教学语言生硬的教师，是很难驾驭现代的课堂.
一、 暗示情境不能主观臆断，要科学验证
苏教版数学一年级上册第28页《有趣的拼搭》有这样一幅插图，看哪个滚得最快？
球滚得最快，所以教材就用插图暗示我们：球在最下面，它应该滚得最快。但我们仔细分析一下，怎样才能说明球滚得最快呢？这个插图中的暗示有点问题，要说明球和其他物体相比滚得最快，应该这四个物体放在同一高度，并且同时放手，让它们滚下，看哪一个最先到底，从而看出谁滚得最快。笔者对该插图的暗示还有一个疑问：球和圆柱同时从很低的高度滚下，学生的肉眼能看清楚它们谁滚得更快吗？这些都需要我们用实验来验证。可能有些教师认为这个实验是物理实验，作为数学课不需要重点研究这些问题。在这里，我想强调暗示不能主观臆断，要通过科学的方法去验证，要让学生养成一种科学的态度，用科学的态度处理数学规律与结论。
二、 暗示引导不能喧宾夺主，要紧扣教材
苏教版数学四年级下册第53页《找规律》有这样一个插图：
要解决这个问题，教材暗示：先在下面用线连一连，再回答。如果按照这个暗示，学生可以比较容易解决该问题。但这一节课的内容是找规律，是关于排列与组合的问题。教材插图的暗示与组合关系有关系，但学生可能体会不到组合的含义。教师要让学生体会到组合的含义以及它和排列的区别，我个人觉得教材可以去掉这个暗示。教学时，可以让学生把每一场的对阵双方写下来：红队――黄队，红队――蓝队，红队――绿队，黄队――蓝队，黄队――绿队，蓝队――绿队，得出结论：一共比赛六场。如果有学生写出多于六场的比赛，如出现了黄队――红队等，教师正好抓住这个机会，让学生来探讨：红队――黄队和黄队――红队是不是同一场比赛？通过讨论与交流，学生肯定会对组合的含义有一个初步的理解。这个插图的暗示作用为什么会喧宾夺主？笔者觉得教材插图的暗示没有体现组合的含义。
三、 暗示方式不能过于明显，要润物无声
这是苏教版数学五年级上册第12页《平行四边形的面积》一节的插图。教学时，笔者总是觉得这种暗示太明显，为什么要转化成长方形？如果可能直接得到平行四边形面积计算公式（事实上，这样的公式是有的），那么还要转化做什么呢？教学设计时，我们是不是可以这样改：教师先给出一个平行四边形，再引导学生用数格子的方法（回到定义去）来数出平行四边形的面积，这样的暗示让学生感觉到很自然，然后把这个平行四边形放在透明方格纸下，也就会出现象例2这样的图形。这时候，教师不要急着提问：你能把例2的平行四边形转化成长方形吗？而是让学生想办法得出它的面积。如果学生用不满一个算半格的方法得出平行四边形的面积，教师则可以提醒学生，这种方法得出的面积可能不精确，能不能有一种方法得到它的精确面积呢？这样学生就会真正理解为什么要把平行四边形转化成长方形，这样学生才能从一个简单操作者变成一个积极思考者。
四、 暗示形式不能画蛇添足，要讲究自然
苏教版数学五年级上册第15页《三角形的面积》有这样一个插图：
例4后面是例5，例5：从第127页上照下图选两个完全一样的三角形剪下来，看看能不能拼成平行四边形……从例5我们可以看出，例4中插图的作用就是暗示两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。笔者有一个想法，能不能去掉插图中没有涂色的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，教学就从直角三角形入手，提问学生：你能说出这个直角三角形的准确面积吗？学生很自然考虑把这个直角三角形和它右上方的直角三角形拼成一个长方形，涂色的直角三角形的面积是这个长方形面积的一半。一般情况下，不会考虑如插图所示的那个直角三角形。虽然长方形是特殊的平行四边形，教材的插图只想暗示我们：两个完全相同的三角形都可以拼成一个平行四边形。虽然这样的理由有一定的道理，但是按照学生的思维习惯，一般都会考虑拼成长方形，而且这种研究问题的过程也符合人们的认识规律：先考虑特殊的三角形――直角三角形，得出一个猜想，当三角形是锐角三角形或钝角三角形时，再进行类比，从而归纳出一般性的结论。这样，在解决问题的过程中学生可以积累更多的数学基本活动经验，也可以体会到直角三角形作为一种特殊三角形它也有其特殊的性质。
五、 暗示效果不能急于求成，要理解消化
【关键词】 数学教学 空间思维 能力培养
数学教学有着丰富的历史和文化内涵，结合具体的定理介绍一些相关的数学史实是十分必要的。教学设计要有弹性，给学生的发展提供足够的空间考虑到学生的差异，教学设计的编写要体现一定的弹性，满足学生在 “空间与图形”内容方面的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展。简要谈谈我在数学教学过程中，是如何培养学生的空间思维能力的。
一、教学内容尽量体现空间与图形的学习过程
内容的呈现要突出对实践活动过程的体验和几何活动经验的积累空间与图形的学习过程，包括对图形的观察、操作、归纳和类比等大量实践活动。学生空间观念的培养，推理能力的发展，对图形美的感受，几何发现等都是在数学实践活动中进行的。这样，既能够提高学生的兴趣，也能够使他们体会定理的形成过程及证明的必要性和价值。图形与变换的内容包括用变换研究图形的性质，用变换认识、解释现实世界中有关现象，以及利用变换设计图案等过程。教学设计要充分设计多种实践活动，使学生体会利用图形变换能够更好地认识图形与现实世界的广泛联系，积累运用变换的方法解释或处理实际问题的活动经验。
二、教学素材与实际相结合
素材的选取宜注意选择那些具有现实背景的、有趣的、富有挑战性的，同时有丰富的数学内涵的内容空间与图形的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用，因此，教学设计应尽量以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材。例如，变换的研究对象不仅包括长期以来人们所习惯的标准的几何图形，而且包括丰富多彩的现实世界中的二维、三维图形。充分选择和展现具有现实背景、能够体现变换思想的素材，将是这部分内容教学设计的重点。例如，在安排轴对称内容时，可以选择徽标、枫叶、雪花等现实的图案为研究对象，可以设计 “利用简单的图案，选择不同的对称轴设计对称图案”等数学实践活动，也可以选择一些有趣的问题作为素材。如，某汽车的车牌被前面的物体挡住，但从地面的水面上可以看到车牌的影子。你能从影子中确定该车的牌照号码吗？在教学设计中，不仅要展现对称 （二维图形的对称和三维图形的对称）给人的视觉上的美感，而且应当反映其中的一些科学道理 （例如，飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）。
三、教学内容做到图文并茂
选择图文并茂、形式多样的呈现方式多彩的图形是这部分内容学习的重要素材。教学设计应该增加插图，做到图形与启发性问题相结合，图形与必要的文字说明和推理论证相结合，数与形相结合，计算与推理相结合，充分发挥图形直观与坐标表示的作用，使教学设计案例图文并茂，富有启发性。内容的呈现方式应当多种多样。例如，在编写 “图形的放大或缩小”教学设计时，可以利用图形之间的相似关系，也可以利用坐标的方法。注重教学设计呈现方式的多样化，可以激发学生的兴趣，丰富学生对内容的理解。
四、紧跟新课标的课改精神
把握 《全日制义务教育数学课程标准》的基本要求《全日制义务教育数学课程标准》中列出的目标是面向全体学生的，教学设计时应充分考虑这一点。处理变换内容时，不能照搬变换几何的理论，而是用变换的方法和思想处理图形问题，尽量体现变换的工具作用，而不是刻意追求对变换性质的研究，尤其是不刻意追求对变换性质的严格证明。关于几何证明的内容是围绕三角形、四边形的基本性质而展开的，其中包括作为推理依据的几何概念和公理，以及由此推出的一些结论 （如 “三角形内角和等于180度”及 “三角形的外角等于不相邻的两内角的和”），这样做可以使学生更关注定理本身和证明的基本过程。“图形与坐标”的学习重点是对坐标法的体会和简单应用，不要任意扩大范围和难度。例如，由已知顶点坐标求三角形、四边形的面积是指，在坐标系中用割补法处理图形。这样的处理形象直观，既联系学生的已有知识和经验，又体现出用坐标法求非常规图形面积的作用。在平面直角坐标系中探究图形之间的对称、平移和相似关系，主要运用点对称、点平移和三角形相似的判定来帮助理解。
五、教学设计要有弹性
关键词：信息技术 自主能力 探究能力 。
在信息时代的今天，信息技术的作用越来越广，尤其是与学科整合后，教师将信息技术作为一种先进的教学工具，为学生的学习内容提供了丰富多彩的呈现形式，可跨越历史长河，缩短时空距离；可创设生活情境，激发学生自主探究的兴趣和精神，在动态的演示过程中理解知识的形成与发展，达到突破重点、解决难点的目的。
一、创设情境，提出问题
“问题是数学的心脏”。如果问题独立存在，那它是孤立、抽象的。只有把问题赋于生活情境中，用多媒体课件进行动态演示，通过听觉、视角，才能激发学生自主探索的兴趣。我们知道，数学源于生活，用于生活，问题情境不仅包含与数学知识有关的信息，还包括那些与问题联系在一起的生活背景，它是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间联系的桥梁。因此，在教学设计时，我们应根据不同的教材内容创设不同的生活情境，让学生从生活原形中提出数学问题，体会身边处处有数学，从而了解数学的价值，增强应用数学的意识。
如在教《三角形的认识》一课时，我先拍摄生活中有关三角形的实物图片（如自行车、房屋顶、电线杆上的三角架等）制成课件。课始，让学生观察带有音、画的课件，提出观察的要求：“请同学们认真观察，你发现什么共同特征？”一会儿，学生异口同声说：都有“三角形”，再通过动画效果，从这些实物图上抽取数学模型“三角形”。师：这就是我们这节课要探究的“三角形”。你想了解“三角形”的哪些知识？有的学生说：为什么自行车、房屋顶都有“三角形”？“三角形有什么作用？”有的说：我们学过长方形、正方形的特征，“三角形”又有什么特征呢？有的说：“怎样求‘三角形’的面积和周长？”……真是“一石激起千层浪”。学生一下子提出了很多有价值的问题。心理学研究表明，“意识到问题的存在是思维的起点，也为主动参与提供了可能。”有了问题，思维才有方向；有了问题，思维才有动力。因此，好的问题情境，不仅在新课导入时，而且要在整个教学过程中，使学生有“一波未平，一波又起”之感，自始至终主动参与学习活动。
二、自主探索，解决问题
苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需求，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈。”《数学课程标准》指出，“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”这些理念都特别强调教学要以学生为主，为学生搭建自主探索的平台，让学生尽情地发挥他们的探索欲、好奇心和创造潜能。杜绝教师一手包办，端“现成的饭”给学生吃。
如：在解决“为什么自行车、房屋屋顶都有三角形？”这一问题时，我让学生用学具中的小棒搭一个长方形，再搭一个三角形，分别用力拉一拉这两个图形，你发现了什么？通过动手操作、比较，学生马上就会发现：“三角形不容易变形，具有稳定性”这一特征。
又如：在解决“三条线段围成的图形叫三角形”，是不是任意三条线段都能围成三角形呢？这一问题时，我让学生在游戏中探究原因，先让学生将一根吸管任意剪成三段。问：你剪成的三小段能摆成三角形吗？有的学生大声回答说：能！。也有的学生却小声说：不能。这时我说：“为了验证你们的猜想是否正确，请将剪成的三小段在桌上摆一摆吧。”让学生利用学具，在操作中自主探究，寻找答案，如果遇到困难，同桌可以讨论，商量解决。给学生充分的探究时间和空间，这时教师以合作者的身份参与学生的探讨，对学困生给予及时的点拨和指导。学生通过动手操作、探讨有了新发现，争着汇报。再利用多媒体课件进行演示：当两边之和小于或等于第三边时，围不成三角形；当两边之和大于第三边或三边相等时，能围成三角形，通过演示验证学生的探索结果，在演示中修正操作方法，在交流中完善自己的观点和论述。著名数学家波亚利认为，“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”学生在解决问题的过程中，体验着科学的探究方法感受着成功的喜悦与合作学习的快乐。
三、展示过程，突破难点
教育心理学告诉我们：“人们从听觉获得的知识能够记忆约15%，从视角获得的知识能够记忆约25%。如果同时使用这两种传递知识的工具，就能接受知识约65%。”因此，在解决教学中的重、难点时，一定要充分利用信息技术，通过声音、动画，把教师讲不清道不明，学生不容易理解的知识，一一展示出来，才能加深理解、便于记忆，达到突破重点，解决难点的目的。
实现素质教育的主渠道是课堂教学，课堂教学的好坏对素质教育的成败有着最直接的关系。可是，长久以来，我们小学课堂教学一贯采用的是“讲解加练习”的教学模式，而这在农村小学教育中则更为普遍。这种教学模式的主要弊端是忽视了培养学生的主体性、创造性和实践性能力，仅仅把学生当成了被动接受知识的容器。在现代教育中要使学生学习能力得到培养，必须从加强课堂实践性做起，让学生既动脑又动手，理论联系实际，在实践操作中培养能力。在这方面陶行知先生有过精辟的论述，提出了“生活教育”理论，指出：教学做合一，是生活法，是实现生活教育之方法。一切生活的教育，要以“做”为中心，教和学都要围绕着“做”。它是对“重教轻学、重书本轻实践”的一种反抗，对我们今天的课堂教学改革有深刻的启示。
一、在做中教：改变传统授课方式，引导学生积极主动学习
《数学课程标准（2011版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动……”。在教学中，我们应从生活实际出发，创设情境，激发学生的学习兴趣和探索欲望。
“贪玩好动，嗜爱游戏”是小学生的天性，如果把数学做成一种游戏，旨在尊重利用学生这一天性，让其主动地、自觉自愿地去学习。教师可以让学生带着好奇心在玩乐中认识事物，吸取数学知识和经验，并应用于实际生活。例如，在教学“元、角、分的认识”时，教师可拿出标有价格的钢笔、文具盒、玩具飞机、排球等物品，让学生模拟生活情境，扮演成营业员或顾客进行买卖，在游戏中加深对人民币的认知，体验成功的快乐。
又例如在苏教版三年级下册《平移和旋转》的教学中，在导入环节，播放一段录像：教师带领学生在优美的旋律中走进游乐园，屏幕上出现各种游乐项目：激流勇进、波浪飞椅、弹射塔、勇敢者转盘、滑翔索道等。学生热情高涨，一张张小脸上露出兴奋的表情，随着影片中的声音时发出“嗖--嗖”的声音。有趣的导入吸引了学生们的注意力，激起学生的好奇心：老师怎么会在数学课上放这么一段视频？这就吸引学生们愿意积极主动地去学习。真正做到在做中教，与实际生活相联系，体会生活中处处有数学，生活中处处用数学。
二、在做中学：改变被动接受方式，在实践中主动探究和学习知识
陶行知先生说“做就是实施，是亲自动手调查研究，分析解决问题”，新《课标》强调学生的学习是一个动手实验，自主探索，合作交流的过程，强调让学生亲历知识产生的过程，这样，陶行知关于“教学做合一”的思想就具体为实践，自主探索。现代教学论认为“要让学生动手做数学，而不是用耳朵听数学”，教学中教师应重视学生的直接经验，极力将教学设计成看得见，摸得着的物质化的实践。
我在教学三角形面积公式的推导时，并不是把“两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形”这种做法强行灌输给学生，而是让学生回忆以前的旧知识，想平行四边形的公式是怎样推导的，能否用割补法将三角形转化为长方形、正方形、平行四边形。学生通过实践，有如下方法。
1.用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，每个三角形面积是平行四边形面积的一半。
2.将三角形的腰中点割开，再拼成一个平行四边形。
平行四边形的底是三角形的底，高中有三角形的一半，平行四边形的面积等于底*高/2，三角形面积等于平行四边形面积，所以三角形面积等于底×高÷2
3.三角形割补成长方形，高不弯，底缩小一半。
长方形的面积等于（底÷2）×高，三角形面积=底×高÷2
“教学作合一”的思想强调教的方法根据学的方法，学的方法根据做的方法，具体体现为教师教学的过程不是把知识强灌给学生，而且巧妙地经过引导和讨论和交流，让学生观察、操作质疑和调整中逐步领悟其中的道理。让学生参与知识产生的过程。这样做不但切实地突出学生的主体作用，而且为知识的理解运用打下了坚实的基础。
例如我在教学圆的认识这一课时，关于直径、圆心的知识并不直接告诉学生，而是将一些大小一样的圆纸片发给学生，要求学生对折，并将折痕用水彩笔描下来，并且用直尺量一量每一条折痕的长度，让学生思考，你发现了什么，学生通过折量，会发现，白痕都一样长，多条折痕交于一个中心点，折痕的两端都在圆上，老师再教学圆心、直径的概念，学生就能理解得非常深刻，这个教学过程，通过让学生自己折、猜想，逐步发现直径的本质，教师的教学只起引路的作用，充分发挥学生的主体作用，让他们自主地探究，去发现。
当今时代，创新是民族进步的灵魂，是社会发展的不竭动力。陶行知的“教学做合一”思想实际上就是以培养学生的创造力为最高目的的。我们的课堂教学要紧紧围绕这一点，不断提出新方法，新课题，用“做”培养学生的创造力。所以说，做是课堂教学中的中心环节，也是实践性的体现。我们在课堂教学中时时处处都应该把有利于学生创造潜力的发挥当作教学的第一要义，让学生真正成为教学的主人，鼓励他们既要动手又要动脑。实践才能出真知，实践才能有创造。
（作者单位：张家港市白鹿小学）
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