时间：2023-05-29 17:47:02
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角形三边关系，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、深入理解教材，创新学具
探究材料的准备是教师设计探究性学习活动的重要内容。探究本身要有利于学生操作，有利于学生探索、发现。教材是给三根小棒，由学生摆一摆看发现了什么。教学“三角形的特性”时，教师应该深入理解教材，创新学具：
学具选择方案一：准备5厘米、8厘米、10厘米、13厘米、18厘米的小棒各一根。
提出问题：“你们能用小棒摆三角形吗？”学生异口同声说“能”。老师补充问题：“一定能吗？”“现在我们就来一起试一试”。然后出示活动要求：
1.合作探究，每摆一次，就记录一次。
2.说一说，你是怎么摆成三角形的？什么样的图形是三角形？
本案例中，学习材料的价值不在于材料本身，而在于小棒长度是精心设计的。小棒的根数不多，但便于探究，而且这个长度在学生围三角形时各种情况都能出现。特别是5厘米、8厘米和13厘米这三根起到了突破易错点的作用。通过操作这样的学具，学生明白了三角形三边之间的关系。
学具选择方案二：每人准备3至5根长10厘米的塑料小棒，每次把一根10厘米长的小棒剪成三段（每段剪成整厘米数），再把3段围起来，看能不能围成一个三角形？
1.动手剪，再摆一摆；
2.小组汇报一下各自的剪法，并积极讨论长度为多少厘米的三根小棒能围成三角形？
3.指名说一说，你是怎么摆成三角形的？什么样的图形是三角形？
本案例中，学习的材料是10厘米长的塑料小棒，学生可以自主操作，在亲自剪拼的过程中初步领会什么样的三根小棒能围成三角形，继而引出本节课的教学难点：当三根小棒分别长2厘米、3厘米、5厘米时，能围成三角形吗？最终让学生透彻地理解三角形三边之间的关系。
二、利用“错误资源”，成就精彩课堂
1.试错――诱导明理。
最好的学习就是在错误中学习。错误可以促进学生的探究性学习，让学生经历错误、认识错误、纠正错误，才能更好地防止错误。有些错误可以引起我们的思考，怎样让错误变得有价值呢？这正是我们需要思考的问题。
“两边之和等于第三边，围不成三角形”是教学的难点。学生在尝试错误的过程中自己发现、自己判断，不断思考、讨论，在现实面前学会透过现象思考数学的本质。这种在错误中反思，在反思中探究，在探究中最终发现的数学学习经历，是形成正确认识的重要途径。
案例及简析：
眼睛欺骗了我们：
在教学“三角形三边关系”时，教师在学生自主活动的基础上，故意制造错误让学生尝试：把10厘米的线段剪成2厘米、3厘米、5厘米，能不能围成一个三角形？
多数学生不加思考地大声喊：“能！”
教师非常认真地问：“能吗？还是让我们亲自尝试一下吧！”
一位跃跃欲试的同学怎么也围不成，不禁有些犹豫。
下面的同学也有些着急，纷纷支招：“再往下按就成了！”见此情景，教师马上对一位支招的同学说：“你快来帮帮他。”小男生立即跑上来帮助，终于看似接上去了，他松了一口气。
这时教师用实物投影仪放大看似围成的三角形，问同学们：“你们看到了什么，有什么想说的吗？”
这时有的学生会发现：“这三条线段根本围不成三角形！”有的学生会发现：“3+2=5，5和5重合了，围不成三角形的。”
有的同学恍然大悟：“3+2=5，5和5相等，那还能拱得起来吗？”
这时多数学生醒悟了：“当然拱不起来了！”教师继续说：“原来眼睛也会欺骗我们，数据3厘米、2厘米、5厘米是围不成三角形的。”
教师有意制造一些错误，目的是让学生在经历错误数的过程中体会正确认知的形成过程，让学生学会辨析，学会比较与判断。引导学生透过现象看本质，在修正已有认知、克服某些经验负迁移、克服某些思维定式的过程中，将实践与数学原理很好地结合起来。
2.将错就错――悟中求。
教师要学会把学生课堂上的错误放大、再放大，不急于定论，让学生充分暴露自己的观点，在“光天化日”之下，将错误的原因一一昭示，对错误认识得越深刻、越全面，越能促进对真理的掌握。
案例及简析：
能围成三角形吗？
教学“三角形三边关系”后，教师出示了这样一道判断题：“2、3、8这三条线段能不能围成三角形？”学生很快就回答不能。教师听后话锋一转：“这三条线段不能围成三角形，是因为2厘米太短了，现在老师把它换成x，想象一下，x是多少的时候就能围成三角形了？”
这时，有同学随口说出“比5大就成”。
教师肯定地说道：“好！那我们就数一数都有哪些比5大的数。”学生数：“6、7、8、9、10、11、12、13、14、……”
忽然出现了一个不同的声音：“老师，x不能比10大！”接着传来另一个声音：“不能大于11。”教师诧异地问：“哎，11+3不是大于8吗？怎么不成了？他说不能大于10，你说不能大于11，怎么回事呀？”
说不能大于11的学生理直气壮地说：“当x不断变大，超过8时，3+8就得比x大。当x是10时，3+8=11比10大可以。”
教师引导他们：“你们举一个例子来说明一下，让大家听听看。”
不大于11的学生说：“x=10.9行不行呀？”不大于10的学生小声地嘟囔：“3+8=11大于10.9，可以。”
教师启发大家：“咦，原来x是会变的，不断变大，它摇身变成了长边，这时候我们考虑问题就要换个角度了。那么这个x究竟有没有限制？应该怎样限制呢？”
……
受思维习惯影响，学生经常会不深入思考就得出结论。教师在教学时应抓住错误引发学生的争议，引导学生全面比较，因条件的变化，辩出其所以然。
因“错”制宜，充分利用错误中合理的、可利用的因素，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度、全方位地审视条件、问题、结论之间的内在联系，是深化认识、培养学生创造性思维的有效办法。要让学生通过“将错就错”的学习体验，对自己的认识进行回顾和分析，从而既激发思维，又做到让意外殊途同归，实现有效引导。
当课堂上出现这样那样的问题时，教师的处理方式直接影响着学生的学习过程，教师应该抓住这些资源并“化腐朽为神奇”。
三、利用想象和推理来帮助完成图形与几何的抽象
图形的认识需要经历抽象的过程，有时这样的过程还是较为困难的，经历的过程也是漫长的，因为学生往往因为生活经历或年龄特点，难以打破固有的认识，或是难以一次性地真正完成抽象，那么就需要教师引导学生进行一定程度的推理，使抽象的过程得以顺利完成。我们不妨来看一个教学片段。
教学片段：
背景：当学生利用3厘米、5厘米、8厘米的三根小棒拼摆三角形时，一部分学生说能够摆成，一部分学生说不能。由此可见，不通过学生动手操作，我们是无法说服学生“当两边之和与第三边相等时，不可以摆成三角形的”。
师：我们先来看屏幕，如果我们把3厘米和5厘米的小棒连接起来是几厘米？
生：8厘米。
师：好，如果我们把这条连接好的线段与第三条线段的一端对齐，那么，另一端怎么样了？
生：两端都对齐了。
师：请大家闭上眼睛想象一下，如果左端不动，我提起中间的端点会怎么样呢？
生：右边的端点会靠左，对不齐了。
师：如果右边不动，我们提起中间的端点会怎么样？
生：左边的端点就向右走了，对不齐了。
师：孩子们通过想象进行推理，你们认为两边之和等于第三边时能够拼成三角形吗？
生：不能。如果两边之和多那么一点点就可以拼成了。
例1已知ABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则ba的取值范围为.
分析从题目中的结果出发，利用三角形的三边关系，消去变量c.
解因为b+2c≤3a，所以2c≤3a-b.
因为两边之差小于第三边，
所以c>a-b，c>b-a，
即3a-b>2（a-b），
3a-b>2（a-b），解得a+b>0，
5a>3b.
所以ba
因为c+2a≤3b，所以c≤3b-2a.
因为c>a-b，c>b-a，
所以3b-2a>a-b，
3b-2a>b-a，解得4b-3a>0，
2b-a>0.
即ba>34.又由于ba
评注本题可以用题目中两个条件和三角形三边关系，同时除以a后，再换元，用线性规划方法处理.
例2已知三角形ABC的三边长为a，b，c，满足b+c≤2a，c+a≤2b，求ca的取值范围.
分析从题目中的结果出发，利用三角形的三边关系，消去变量b.
解由题意知
b+c≤2a，
c+a≤2b，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，同时除以a，得到ba+ca≤2，
ca+1≤2（ba），
1+ba>ca，
1+ca>ba，
ba+ca>1.
令ca=x （x>0）， ba=y （y>0），
所以x+y≤2，
x+1≤2y，
1+y>x，
1+x>y，
x+y>1.
其可行性区域如图1所示，
所以0
即0
例3已知三角形ABC的三边a，b，c成等差数列且a2+b2+c2=84，求b的取值范围.
分析三角形三边成等差数列，想到三个数成等差数列的常用设法，设公差大于等于0，简化计算.
解令a=b-d，c=b+d （d≥0），
由于a2+b2+c2=84，
则（b-d）2+b2+（b+d）2=84，
所以3b2+2d2=84，即2d2=84-3b2.
由于d2≥0，所以0
因为任意两边之和大于第三边，c为最大边，
所以a+b>c，即2b-d>b+d，即b>2d，即b2>4d2，
所以b2>2（84-3b2），即b2>24，b>26.
又因为0
评注不少学生的答案是0
例4在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2=ac，求sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范围.
分析从结果出发，遇切化弦，根据条件转化成边，利用三角形三边关系求解.
解sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC=sinA+cosAsinCcosCsinB+cosBsinCcosC
=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sin（A+C）sin（B+C）=sinBsinA=ba.
由三角形三边关系得到b2=ac，
a+b>c，
a+c>b，
b+c>a，
a>0，b>0，c>0，
所以b2
b2>a（a-b），②
b2>a（b-a）.③
由①得（ba）2-ba-1
由②得（ba）2+ba-1>0，则ba>5-12，
由③得（ba）2-ba-1>0，则ba∈R，
【教材呈现】
原题1：下面哪组线段可以围成一个三角形？为什么？
原题2：一个三角形，两边的长分别是12厘米和18厘米，第三条边的长可能是多少厘米？在合适的答案下面画“√”。
原题3：先量出下面两根小棒的长度，再想一想，能和它们围成三角形的第三根小棒的长可能是多少厘米？
原题4：从学校到少年宫有几条路线？走哪一条路最近？
在实际教学中，逐一解决以上习题固然能巩固“三角形任意三边之和大于第三边”这一知识点，加深对三角形三边关系的理解。但是，总是以小棒为载体，运用结论进行判断和选择，学生始终感觉在进行数学训练，兴趣淡然，体会不到这一知识内涵的丰富性以及在生活中的广泛应用。为此，我对练习进行了重新设计。
【教学片段】
师：这节课我们一起研究了三角形的三边关系，知道了三角形任意两边之和都是大于第三边的。这个知识在生活中用处可大着呢！不信，你看！
第一组：
师：木匠王师傅要找三根木料做一个三角形，他挑出了这样三根，能做出来吗？出示：
生：不能，因为第二根加第三根小于第一根。
师：只判断这两根就确定啦？
生：我觉得只要有两条边的和小于第三边就肯定不行了。
师：那你为什么不先判断第一根加第二根，或者第一根加第三根呢？
生：第一根最长，再加一根更长，肯定大于第三根。
师：那能不能围成，最关键是看什么？
生：两条短一些的边加起来大于最长的边。
师：哦！难怪你们这么快，原来还有这个窍门啊！
第二组：
师：王师傅试了试，果然做不成三角形。无奈之下，换了一根。这回，能做起来吗？
出示：
生：还是不能，因为第二根加第三根的和等于第一根，还是围不成。
师：为什么选7+3来判断？
生：因为7和3是较短的。这一组如果符合要求，其余的也一定符合要求！
师：说得真棒！
第三组：
师：王师傅两次都没做起来，有些不高兴了，他拿起锯子，把最长的一根锯掉了一段！这回，他成功了吗？
出示：
生（很失望）：还是没有！
师：怎么又失败了呢？这最长的一根已经被锯短了呀！
生：不对，因为这一锯，让第二根成为最长的了，3厘米加3厘米小于7厘米，两条短边加起来小于最长的边，还是做不成！
第四组：
师：王师傅一气之下，把这根锯短的扔掉了，他决心重新寻找！你们能给王师傅一些建议？（取整数）
出示4：
生：5厘米。
师：可以吗？
生判断：3厘米+5厘米>7厘米，能围成三角形。
生：8厘米也可以。
师：行吗？其他学生判断。
……
师：大家你一言我一语，都有道理！王师傅想，你们要是能给我个范围就好了！
生交流，汇报。
生：我认为只要大于4厘米小于10厘米都可以。
师：为什么？
生：如果正好是4厘米，那么3+4=7，围不成，所以要比4厘米多;如果正好是10厘米，那么3+7=10，也围不成，所以要比10厘米少。
师：看来，第三根的长度除了要比两根之和短，还有什么要求？
生：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
师：有了大家的建议，王师傅终于找到了合适的木料！
生不禁欢呼……
第五组：
师：王师傅完成了任务！一看时间，不早了，得赶紧回家！
出示：
师：王师傅从木料场回家，有几条路可走？他会选择哪一条路呢？
生：中间一条。
师：为什么？
生：两边的路是弯曲的，中间的是直的，两点之间线段最短。
师：用我们今天学的知识能解释吗？
生：中间一条路和两边的路合在一起，可以看作两个三角形。每个三角形中，两边之和又是大于第三边的，所以中间的路最近。
【设计思考】
特级教师吴正宪提出，要让孩子享受既有“营养”又“好吃”的数学学习，单调的练习题如何烹饪成适合孩子的美味？本节课，主要做了以下思考：
有“营养”，要有明确的目标定位。课前，我首先对教材中安排的4道习题进行了研究。题1是根据每组中3条线段的长度判断它们是否能围成三角形，巩固对三角形三边关系的认识，强化对三角形特征的认知。题2引导学生根据给定的三角形的两条边，讨论第三边的长度所在的区间，并选择合适的第三边的长度，使学生更深刻地理解三角形的三边关系，培养思维的条理性和严密性，发展空间观念。题3要求先测量长度，再判断能与之围成三角形的第三根小棒的长度。促使学生在寻求第三根小棒长度的过程中，初步形成三角形两边长度的差小于第三边的认识，进而加深对三角形三边关系的认识与理解。题4则是让学生应用三角形的三边关系解决简单的实际问题，使学生在解决问题的过程中不断加深对三角形三边关系的理解。
以上习题的训练目标成为我练习设计的首要定位，即：无论以何种形式呈现，内在的达成目标应该是既定不变予以落实的。
有“营养”，要有助于提升思维能力。
教材习题是通过不同的要求，达成学习目标的，但每道题在独立练习时，目标指向性比较单一，一道题解决一个问题。而关于三边关系的知识，内在联系是非常紧密的，三条边中任意一条边长度的改变都有可能引起整体的变化。是否可以通过“变式”来沟通知识的联系，让学生在不断的思维转换中加深对三边关系的理解？这一想法成为练习设计的落脚点。于是梳理不同类型三角形的特点并有机串联，第一组是两边之和小于第三边的类型，通过追问，引导学生得出判断的简便方法，只要判断两条短边之和大于第三边即可。第二组呈现两边之和等于第三边的情形，用于巩固。第三组则在第二组的基础上，将最长的变为最短的，此举，从形式上来看，只是改变了一根小棒的长度，但从本质上讲，此时三角形三边的长短关系则发生了变化，较短边不再是前两组的7和3，而是3和3，这就促使学生重新审视三边长度整体把握后再作判断。第四组只给定两根小棒的长度，思考第三根小棒的长度区间，不仅考虑两根之和大于第三边，还要考虑两边之差小于第三边。最后一组将知识应用于生活。此环节没有出示过多的习题与要求，只是在一组练习的基础上通过不断地变式，由浅入深，逐步提升思维含量，培养学生的思维能力。
“好吃”，要能激发儿童兴趣。
很多学生抱怨数学冰冷、枯燥、无趣，那往往是因为我们将原本鲜活的内容生硬地呈现在了学生面前。课堂上，学生为了做题而做题，数学与生活成了两张皮，学生丝毫体会不到所学的数学知识离开了课本在生活中能有何应用？儿童的心理特征决定了只有有趣的，才是他们愿意学的。激发学习兴趣，理应成为教师课堂教学的重要任务。上述案例中，笔者反复思量，寻找与三边关系紧密结合的生活原型，创造性地设置出木匠王师傅做三角形的情境，学生在帮助王师傅寻找合适木料的过程中，积极性被充分调动起来，体会到了问题解决后的愉悦之情。
“好吃”，要站在儿童立场解决问题。
[关键词]以学为中心；探究学习；以学定教
以学为中心是对课堂实质言简意赅的表达。在践行过程中，教师要努力促使学生向文本、同伴和老师学习，同时根据进程调整应对，评价成果。四年级《三角形三边关系》一课，意图让学生经历数学探究活动了解三边关系，发展观察操作对比抽象等能力，并渗透分类集合对应等数学思想方法。几年间，笔者三次同课异构，让学生成为学习的主人是始终不变的努力方向。
第一次实践：小组合作，探究学习
首次执教《三角形三边关系》时关注课堂从形式到内容的变更，尝试教与学的双向变化。学生六人一组开展三项操作活动，他们尝试自主、合作、探究的新型学习方式，通过动手、动眼、动口、动脑主动获取知识。
活动一：研究不能围成三角形的情况
测量三根小棒的长度并记录数据，看能否围成三角形，想想为什么（课堂上提供了两组不同长度的小棒，分别是2cm、5cm、8cm和4cm、4cm、8cm。每一组学生都只能接触到其中一组数据。）学生用“2+5
活动二：研究能围成三角形的情况
学生提出猜想：也许两根较短小棒的和大于第三根小棒，就能围成三角形。他们各自想办法，有人指出可以换掉不合适的那根小棒。他决定选择一根替换三根小棒中的一根再试试看能否围成三角形，并用式子表述理由。学生充分操作之后汇总数据总结出“只要两根较短小棒的和大于第三根小棒，就能围成三角形”，并验证了猜想。
【反思】师生的角色转变是一种觉醒。教师原来是把持话语权的主角，现在退而组织学生的数学活动，尽管探究行动在事先设定的框架内开展，但学生分工合作分享交流，课堂效果很好。同时我也考虑两个问题：第一，将不能围成三角形的两种情况剥离出来探究，这一安排是否合适？第二，活动的设置是不是可以多考虑学生可能的思路和需要重新设计？
第二次实践：问题导学，活动导思
再次琢磨时，我围绕发展学生的空间观念和推理能力的主旨，以问题导学、活动导思为主线组织教学，从量到摆再到算逐步推进。
问题一：我们可以用什么方法研究三角形的三边关系？
学生如预设中表示或量或摆，教师因势利导设置两层活动：
第一层：测量三角形边的长度，观察有否规律？（单单观察数字，学生发现不了隐含的关系，只能借助摆小棒进一步求解。）
第二层：从四根小棒（3cm、3cm、6cm、7cm）中选择三根摆一摆，看看能否围成三角形，并记录。
学生在讨论中得到“3+3=6，3+37”三个式子，慢慢靠近“必须两根小棒长度和大于第三根小棒时，才可以摆成三角形”的结论。
问题二：从小棒长度关系来看，三角形的三边可能存在什么关系？
学生回到之前测量过的三角形去寻找答案，逐渐梳理出几个不等式，并得出：三角形任意两边之和大于第三边。
问题三：三条长度分别是3cm、6cm、2cm的线段能不能围成三角形？
通过计算发现只要满足“两条较短边之和大于第三边”即可围成三角形。探究活动从直观小棒至抽象式子，知识建构向符号化的方向纵深行进。
【反思】纵观全课，课堂更多考虑了学情因素，三个问题在层层递进中逻辑严密。学生主动操作、辩论解疑，既培养了推理能力，又发展了空间观念。在活动开展过程中，教师用问题掌控课堂，学生量摆算时少了主观能动性。
第三次实践：任务驱动，以学定教
第三次设计此课恰逢教材改编，我选择完全回归文本，让学生带着任务自学，基于经历而积累经验，在课堂交流中基于需要，着力帮助学生完成自主建构。
一、布置自学
1.自学课本62页例3，小明家到学校有几条路？哪条路最近？为什么？
2.参照例4提供的数据（单位：cm） ，剪出四组纸条分别摆三角形。思考为什么有的数据可以摆成三角形，有的却不能？
A.6、7、8 B.4、5、9 C.3、6、10 D.8、11、11
二、汇报交流
课始，学生引用文本“两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离”作答第一个问题。当给三段路赋长度值后，他们用“500+ 800>1000”加以解释，还用“1000+ 800>500”和“500+ 1000>800”说明小明从家去邮局和从邮局到学校的最短路程，表示可以用“三角形任意两边之和大于第三边”阐述两点间直线距离最短的原因。
自学问题二分三个阶段展开汇报：
1.作品展示
首先展示的是用“6、7、8”和“8、11、11”围成的三角形，引导学生认识三条线段首尾相接视为围成三角形。大家一致认为因为3+6
2.数据分析
至此，课堂交流自然锁定“到底是什么因素决定三条线段可以围成三角形”，学生意识到“是线段之间的长度关系决定的”，学生整理出四组式子进行对比分析，发现当两条短边之和不能大于第三条边时，就围不成三角形。
3.解释应用
一道开放式问题用以拓展提升：改变3cm、6cm、10cm一组中的10cm纸条的长度（取整厘米数），再与3M、6M的纸条围成一个三角形，有几种修改方案（可剪可摆可算）？学生计算得出长度取值范围是8cm到4cm。教师借助工具绘图，让学生感受到当数据改成5cm、4cm时，原有6cm长的线段就变成了三角形里的最长边了，用以判断的长度关系也要随之修正。
【反思】在自学任务驱动下，呈现更多学的行动和思的较量。教师总是担心学生看书之后都懂了教师还怎么教，其实很简单，真懂了就不用教，没真懂就好好琢磨如何以学定教，一知半解比蒙昧无知起点更高，终点更远。
行走在以学为中心的课堂边上，不同思考有不同收获，让学生立于课堂是首要考量，离于课堂仍有力后续发展是核心任务。
参考文献：
一、 考查图形平移的要素
例1 （2013・广东广州）在6×6方格中，将图1-①中的图形N平移后位置如图1-②所示，则图形N的平移方法中，正确的是（ ）.
A. 向下移动1格
B. 向上移动1格
C. 向上移动2格
D. 向下移动2格
【解析】结合图形可以看出，将图1-①中的图形N向下平移2格后，就到达了位置如图1-②所示，故答案选D.
【点评】图形的平移包含两个要素，一是平移的方向，二是平移的距离. 因此，判断平移的时候，只需要沿平移的“路径”进行平移便可确定其两要素.
二、 考查图形平移的性质
例2 （2012・浙江义乌）如图2，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC，即可得出答案.
解：根据题意，将周长为8个单位的ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF，
AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC.
又AB+BC+AC=8，四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10. 故选C.
【点评】平移的基本性质主要有：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 由性质得到CF=AD，DF=AC是解题的关键.
三、 考查三角形的三边不等关系
例3 （2013・湖北宜昌）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）.
A. 1，2，6 B. 2，2，4
C. 1，2，3 D. 2，3，4
【解析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，实际计算时，只需求出两个较小边的和，看看是否大于第三边即可. 对于A，1+24，能组成三角形，故此选项正确. 故选D.
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，应用好三角形的三边关系定理是解题的关键.
四、 考查三角形的内角和
例4 （2013・四川达州）如图3，在ABC中，∠A=m°，∠ABC 和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…；∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=______°.
【解析】如图4，在A1BC中，根据三角形内角和定理，有∠A1=180°-∠A1BC-∠1-∠2，
又因为A1B和A1C是两条角平分线，
故∠A1=180°-∠ABC-∠1-（180°-∠1）=180°-∠ABC-∠1-90°=90°-（∠ABC+∠1）=90°-（180°-m°）=.
同理，∠A2=∠A1=，∠A3 =，…，∠A2013=.
故答案为.
【点评】在找规律之前，发现∠A1与∠A不在同一个三角形中，故在它们所在的两个三角形中分别应用三角形内角和定理.
五、 考查多边形的内角和公式
例5 （2013・江苏扬州）一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（ ）.
A. 七边形 B. 六边形
C. 五边形 D. 四边形
【解析】根据多边形的内角和公式可知，这个n边形满足：（n-2）×180=108n. 解得n=5. 所以应选C.
关键词：初中数学;双边互动;方式运用
一、抓住新知内涵要义，实施双边互动，实现初中生知识素养的有效提升
新知教学是学科教学活动的重要组成部分，也是学生学习素养培树的基础阶段.初中生新知内涵的有效掌握，有助于学生问题解答、思维评析活动的有效开展.传统的“教师讲、学生听”的单向性教学形式，严重压制了学生的学习潜能，压抑了学生学习新知主动性.教学实践证明，学生参与的教学活动，才是“真正”的教学活动.因此，在新知教学活动中，教师在认真研析教材内容，掌握教学目标要求，确定教学重难点等内容的基础上，与学生开展双边互动交流活动，引导学生一起进行新知概念、性质、定理等内容的学习活动，使学生“知其然，更知其所以然”，逐步积淀数学知识经验，提升数学学习素养.
如,在“三角形三边关系性质”教学活动中，教师在研析教材内容及目标要求等基础上，认识到该节课的教学重点是：“三角形三边关系的定理和推论”，学习难点是：“三角形按边分类关系的原则”. 因此，在三角形三边关系教学活动中，教师设计以下教学过程：
师生动手实验，研究三角形三边的关系
1.实验操作，深入理解三角形的定义
（1）用三支木棍动手拼成三角形，并回答三角形的定义
（2）引导学生思考：不在同一直线上的三条线段一定能“首尾相接”？
把一支短木棍截得足够短，看是否能组成三角形？得出：当较短的两条线段之和小于或等于较长线段长时不能首尾相接.不在同一直线上的三条线段一定能组成三角形是有条件的，其中任意两边线段的长度之和必须要大于第三条线段.
2.猜想并证明三角形的三边关系定理
继续刚才的问题构成三角形后，三角形的三边满足什么关系？
学生得出猜想定理：三角形两边之和大于第三边.
引导学生用“两点间线段最短”来推导，并写出符号表示方法：
AB+AC＞BC AC+BC＞AB AB+BC＞AC
3.演绎推理，发现推论.
师问：那么两边之差？
学生：由上面式子 移项可得出推论：三角形两边之差小于第三边.
通过对上述教学过程的分析，可以发现，教师引导学生，并与学生进行有效互动，使学生能抓住和领悟三角形三边关系性质要义，从而实现了初中生对该节课内容精髓的有效掌握，推进了教学活动进程.
二、注重解题策略传授，实施双边互动，实现初中生探究思维的有效锻炼
学习能力培养，是新课改下初中数学教师有效教学活动的根本任务和要求.在教学活动中，教师在初中生学习能力的培养上，抓住数学问题的发展特性，设置实践探究舞台，提供探析、思考时机，注重解题过程引导和指导，让初中生在师生有效互动中，实现探究思维的有效锻炼.图1
问题：如图1所示，BD是ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：ABE≌CDF．
在该问题教学中，教者实施探究式教学策略，将师生之间的双边互动渗透其中，先让学生进行自主探析活动，并经过小组探析，掌握条件内容和要求，学生分析得出：根据角平分线性质与平行线性质证明∠ABD=∠CDB，再根据平行四边形性质证出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定ABE≌CDF.
接着教师要求找出该问题的解答策略，学生此时经过小组探析认为：“”，学生得出如下解题过程：
证明：ABCD中，AB=CD，∠A=∠C， AB∥CD ，
∠ABD=∠CDB.∠ABE= ∠ABD，
∠CDF=12∠CDB， ∠ABE=∠CDF.
在ABE与CDF中∠A-∠C
AB=CD，
ABE≌CDF（ASA）.
最后，教师与学生进行问题案例解题规律方法的归纳总结活动.
三、开展多样评价活动，实施双边互动，实现初中生学习习惯的有效养成
传统教学活动中，教师在总结提升阶段，不注重对学生学习活动过程的评价和分析，导致学生对自身学习活动及表现不能有及时、客观、全面的认识，在一定程度上降低了初中生学习效能提升，阻碍了初中生学习习惯的养成.而总结提升阶段师生互动评价性教学活动的有效开展，能够为教师对学生的及时指导以及学生对自身学习实际的全面认识提供了时机.因此，在教学活动中，教师在评价性教学策略的运用上，要改变教师“一言堂”的模式，采用师生评价、生生互评的多样评价形式，让学生双边互动的多样性评价活动中，既评析出他人的解题不足，又认识到自身的改进之处，从而使初中生群体在双边互动评价活动中树立良好学习习惯.
・案例呈现・
片段一：课前谈话，激发兴趣
师：同学们，你们认识我吗？(板书：认识)要想认识一个人，通常要了解这个人的什么呢？（根据学生的回答板书：名字、外形、特征）
【导引1】认识图形正如认识人一样，一般要知道它的姓名、相貌、性格特征等。三角形的名称和形状，学生已经认识，本课重点在是认识三角形的特征。课前活动，教师把“人”和“物”相联系，有助于学生明白本课的学习重点。
片段二：联系实际，引入课题
师：同学们，今天赵老师要看看谁的眼睛最亮，谁的记性最好？（教师课件显示长方形、三角形、正方形、三角形、圆，2秒后隐去）
师：刚才出现的图形中哪种图形最多？
生：（犹豫）好像是三角形。
师：看来呀，好多同学看得不准哦。再来看一遍。（课件重新显示）
师：对了，果然是三角形最多。我们继续看。（课件显示“长方形、正方形、圆”，2秒后隐去）
师：这次少了什么图形？
生：（斩钉截铁）三角形。
师：这次大家都看清楚了，的确少了三角形。（在“认识”前补充板书：三角形的）
【导引2】教师设计“比眼力”和“比记性”的游戏活动，既让学生集中了注意力，又巧妙地在“多”与“少”的比较中一下子推出了主人公――三角形，非常自然地连接上了学生原有的认知基础。
师：是啊，我们对三角形并不陌生，因为我们在以前的学习中已经初步认识了三角形。（出示教材情景图，如图1）你能在图中找到三角形吗？
第一个学生到大屏幕上指出一个三角形后，教师沿着学生所指三角形的三条边边指画边数“1、2、3”。接着学生也上台边指边数指认图中的三角形。
师：在我们身边你能找到三角形吗？
学生找到三角尺、红领巾等实物后，自觉采用边指边数的方式指认和描画三角形。
【导引3】从游戏中、照片上和自己身边找三角形，强化了学生对三角形的视觉印象。教师让学生指三角形时，边沿着三角形的边指画口数“1，2，3”，让学生对三角形边的特征感觉更充分。
片段三：动手操作，探索新知
师：刚才同学们在生活中找到了许多的三角形，那你能用老师提供的材料想办法做出一个三角形吗？（小组活动结束后，分别上台展示）
生：我是用小棒摆的。
师：你用了几根小棒？（板书：3根）
学生上台用实物投影演示围三角形的过程，教师提醒学生要注意首尾相接。
生：我是在钉子板上围的。
师：你把橡皮筋分成了几段？（板书：3段）
生：我是沿三角尺的边画的。
师：你画了几条线段？（板书：3条）
生：我是用纸折的三角形，折出了三条边。
师：（画一个角）这个图形你们认识吗？请说出它各部分的名称。（学生回答，教师板书，如图2）
师：你会把角变成一个三角形吗？由角的各部分名称，你能说说三角形各部分的名称吗？（板书如图3）
师：通过刚才的做一做和现在的变一变，你知道些什么？（根据学生的回答板书：三角形有三条边，三个角，三个顶点）
师：谁知道，三角形是根据什么来取名的呢？
生：三角形是根据“三角形有三个角”这个特征来取名的。
师：对啊！那你认为还可以给它取个什么样的名字呢？并说说你的理由。
生：我想，根据“三角形有三条边”这个特征，三角形可能还可以叫做三边形。对吗？
师：你说的不错，确实我们也可以把三角形称为三边形。
教师指着“3根小棒”“3段橡皮筋”“3条线段”的板书：为什么这里的数据都是“3”？
生：因为三角形有三条边。
【导引4】教师让学生在汇报做三角形的过程中关注三角形的构造。然后，教师让学生把以前学过的角变成三角形，沟通了知识间的联系，更重要的是，从角过渡到三角形，学生很容易得到三角形各部分的名称。另外，教师还让学生思考三角形名称的由来，不仅扩大了学生的知识面，而且进一步强化了三角形的边角特征。
师：（出示教材“想想做做”第1题的点子图）你会画三角形吗？请你在点子图中画出两个不同的三角形。
师：（展示学生作品后）你发现了什么？
生：三个点可以画出一个三角形。
师：是吗？（指着直线上的三个点）这三个点可以画出一个三角形吗？
生：不能。因为三条边重合在一起了。
生：不在一条直线上的三点才能画出三角形。
师：刚才我们知道了不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形。那么是不是任意三条线段都能围成三角形呢？请从10cm、6cm、5cm、4cm四根小棒中任选三根围一围，看看能否围成三角形。
学生汇报了6cm、5cm和10cm，4cm、5cm和6cm，。6cm、4cm和10cm这三组小棒，认为能围成三角形。
生：反对！我认为6cm、4cm、10cm这三根小棒不能围成三角形。
师：到底能不能呢？我们待会儿研究，再看看有没有其他情况？
生：我选择了4cm、5cm、10cm三根小棒，不能围成三角形。
师：这一情况大家没有异议吧？（学生意见统一）那好，请同学们仔细观察一下，这三根小棒围不成三角形是什么原因造成的？
生：是4cm和5cm这两根小棒长度的和小于10cm这根小棒的长度。
师：也就是说三角形的两边之和不能小于第三边，是这样吗？（学生又产生争议）
师：你们在争论什么呢？
生：就是刚才出现了两边之和正好等于第三边的情况。
师：好，就问题辩论一下。支持能围成的正方和否定能围成的反方，来说说各自的理由。
正方：我认为，只要把6cm、4cm两根小棒的两头往下压一压，就能围成一个扁扁的小三角形。
反方：反对，我认为6cm、4cm两根小棒的两头压下去后，仍然不能围成三角形。
师：看来，小棒太粗了，有误差，小棒也太圆了，难重叠，我们还是请电脑来演示一下。
电脑演示：6cm的小棒与4cm的小棒“碰头”后的长度与10cm的小棒正好相等，与10cm的小棒重合一起，这样就形成一直线上的三个点，与刚才“不在直线上的三个点可以确定一个三角形”的结论相同。至此，学生都同意“6cm、4cm、10cm三根小棒不能围成三角形”的观点。
【导引5】教师通过组织学生画点子图、现场摆小棒、根据同学回答进行辩论和观看电脑动画演示等活动，充分地让学生从多个角度体验、认识、分析、归纳三角形边的特征，正确得出“不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形”结论。同时，教师预设了用小棒摆三角形可能会出现问题的细节，采用辩论的形式激起了学生思维的。
师：研究了这么多，你们认为要能围成三角形，三角形三条边的长度要符合什么样的条件？
生：三角形的两边之和要大于第三边。
师：是不是三角形每两条边的和都要大于第三边呢？
学生一一列举出能围成三角形以及不能围成三角形四种情况中的三边关系，发现结论成立。
师：那么，在判断能不能围成三角形时，是不是一定要把所有的两边之和都算出来和第三边作比较？
生：不必。我发现，只需要看其中两条较短边的长度和是不是大于最长边就行。
【导引6】在研究三角形的三边关系时，教师采用了从反例切入，让学生一下子找到了围不成三角形的症结所在，由此想到把三角形的两条边的长度和与第三边的长度进行比较这一研究思路。然后，由点及面，扩展到三角形每两边的长度和与第三边长度的比较，由反到正，把在反例中得到的猜想扩展到在正例中进行验证，最后在正例与反例的比较中，发现了线段围成三角形的快捷判断方法。
・专家导引・
在日常学习中，学生对于一个知识点更多地是关注它是什么，往往忽视它为什么是这样。也就是说，学生很少过问这一个知识为什么它一定要以这种方式存在而非其他的形式。如果我们引导学生明白其中的道理后，他们就能够把知识看清、看明、看透。可以说，只有学生“入木三分”地理解知识，对知识的掌握才能够达到“入骨三分”。
一、给知识找到出身的理由
知识并不是独立存在的，我们总能找到它存在的理由。知识的存在价值有两种取向，一种是为人们更好地生活而存在，这是知识的实用价值；另一种是为人们更好地学习而存在，这是知识的基础价值。
“三角形”知识同样跳不出这样的存在理由。所以，在教学中，教师应该组织学生在两个领域中寻找“三角形”，一是在身边的事物中寻找“三角形”，二是在学过的书本中寻找“三角形”。对前者，教师在教学设计中一般都能体现，对后者，教师往往不太关注。而本课的教学设计，教者不仅注重了从生活实例中引出“三角形”，而且添加了从以前学过的旧知识“角”中引出“三角形”。这样在知识渊源上找到新旧知识的生长点，将更有利于学生抓住知识的生长的关键，实现知识的“芝麻开花节节高”。
二、给知识找到取名的理由
知识的取名也不是无缘无故的，很多情况下我们也能够找到给它取名的理由。例如“三角形”的取名就反映了“三角形有三个角”这一特征，“等腰三角形”和“等边三角形”的取名还反映了“三角形有两条边相等”和“三角形三条边都相等”这一性质。在其他领域的知识中，这样“名”符其“实”的例子普遍存在。所以，在教学中，有时对概念名称进行咬文嚼字，会有利于学生对知识的理解和掌握。
在本课中，教学三角形的特征后，回过来让学生想想三角形的取名，能够让学生明白“三角形”这一名称存在的理由，然后教师顺势再让学生根据“三角形有三条边”这一特征猜想三角形的另一个名称――“三边形”，既开阔了学生的知识视野，又加深了学生的知识理解。
三、给知识找到结论的理由
在教学中，教师大多会注意规律性知识形成的过程和结果，不仅让学生摘得“结论”的“果实”，而且让学生看到“结”论的过程。除此，我们还应该注意的是，让学生看到“结”论的理由。
在本课教学中，三角形的三边关系这一知识结论采用的是让学生通过探究实验这种不完全归纳法得到的。但不完全归纳法本身存在着难以让学生信服的“缺陷”，所以，在教学中，教师应该想方设法让学生为确信知识找到更多更好的理由支持。例如教师不妨把探究活动开放一些，让学生任意选择材料围三角形，这样得到的结论可以更“完全”一些；又如在探究“三角形的两边之和等于第三边”时，由于操作的误差，学生难以得到精确的结论，此时教师利用之前“在点子图中画三角形”活动中得到的“不在同一直线上的三个点可以确定一个三角形”结论，从理论上给“当三角形两边之和等于第三边时，围不成三角形”找到让学生确信的理由。
关键词：数学；活动；基本经验
在新课程改革背景下，《义务教育数学课程标准（2011年版）》从课程目标上对数学活动经验提出了要求，即在“双基”的基础上提出了“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。也就是说，我们在平常的小学数学教学中，要在保证以往“双基”的基础上，还必须启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验。
所谓数学活动基本经验是指学习主体（即学生）通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。我认为，数学活动基本经验的积累，要与教学内容相结合，要与学生已有的知识和生活实际相联系，这样才能有更好的效果。
一、引导学生在教学活动中获得数学基本经验
课堂教学是我们教师传授知识的主要途径，也是学生获得知识的主要渠道。因此，要充分利用平时上课的时间，在有限的课堂时间内，不但要达到完成教学任务的目标，也要达到传授数学活动基本经验的目的。这就要求我们在上课之前要充分做好备课工作，结合具体内容让学生在数学学习活动中去“经历过程”，在“做”数学中体验数学，感悟数学，让学生充分经历直观感知、观察发现、实践探索、空间想象、归纳类比、猜想验证、演绎证明等数学活动的过程，积累一定的数学活动经验。下面，我以教学《三角形三边关系》为例说明。
在课堂上，我布置给学生三个任务：一是进行选择：4根小棒选3，动手围三角形；二是进行交流：到底怎样的3根小棒才能围成三角形？三是进行实践：给你2根，你能配第3根小棒来围成三角形吗？经过一段时间的动手操作，学生通过比选材料，在“用小棒围三角形”的过程中，呈现出较大的思维空间。学生在操作实践的基础上，通过观察、比较、概括、抽象等一系列的思维活动，从“与三边长度有关―其中两边的长度和与第三边长度关系―任意两边的长度和大于第三边”等多个层面不断探索能围成三角形的条件，教师也不时地在关键处加以引导、启发，让学生的认识从直观走向抽象层面，从而在更深层次上理解了三角形三边关系的本质特点。这样，为学生创设多样化的、开放性的探究情境，引领学生在广阔的数学背景下自由驰骋，学生在这样的数学活动中产生了积极的情感体验，获取了对三角形的三边关系概念的感觉，把握了数学过程的本质，丰富、积累了对这一知识的活动经验，潜移默化地提升学生的数学素养，学生所积累的探究经验将更科学、更丰富。
二、引导学生在自我感悟中获得数学基本经验
学生是学习的主体，是数学活动基本经验的获取者。我们在教学中一定要发挥学生的主观能动性，引导学生通过自己的探索、思考、发现从而获得数学知识，进一步从中积累数学经验。
如，在《角的认识》中，我们可以创设这样一个情境：给每个学生一个口袋，口袋里面放了一些物品，让学生从中摸出一个角。在学生纷纷举着自己摸出的角之后，老师说：“看着你们摸得这么好，我也想摸摸。你们能给我说说是怎么摸出来的吗？”孩子们说：“角有一个尖点，扎得慌。”教师伸手摸出一个图钉；孩子们又说：“角还有两边。”教师伸手摸出的是一支削得很尖的铅笔；孩子们急忙又补充说：“角是平的。”教师摸出一片树叶，“尖尖的，平平的，怎么没有角？”孩子们回答说：“两条边应该是直的。”这回教师摸出了一个三角板，教师真诚地对学生说：“谢谢你们帮助我找到了摸角的感觉。”教师有意识引导学生进行体验，使学生认识并抓住角的关键特征。在教学活动中，我们还可以把探索物体长度的测量和长度单位的建立过程，探究不同的树叶长宽之比，探索小数点的移动使数值发生变化，探索三角形的三边关系等设计成数学活动。通过引导学生操作、猜测、验证，发现问题、研究问题和解决问题，引导学生在自我感悟中获得数学基本经验。在这个过程中，学生获得的不仅仅是认识相关的知识，得出相应的结论，而且积累了如何去探索、发现，如何去研究的经验。
三、引导学生在总结提高中获得数学基本经验
知识并不是一个孤立的存在，而是一个完整的体系。要引导学生在学过的旧知识与刚学的新知识之间寻找联系点，梳理出知识脉络，整理出知识框架，从而巩固已掌握的知识，并从中得到数学经验。
考点一三角形三条边之间的关系
例1（2015・崇左）如果一个三角形的两边长分别为2和5，则第三边长可能是（）
A.2B.3
C.5D.8
分析：设ABC的三边长满足分别为a，b，c且a>b，则a-b
解：这个三角形的第三边c的长满足5-2
点评：已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第三边的范围，然后作出选择.
例2（2015・南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A.5，6，10B.5，6，11
C.3，4，8D.4a，4a，8a（a>0）
分析：根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可.
解：10-5
11-5=6，三条线段不能构成三角形.故选项B错误.
3+4=7
4a+4a=8a，三条线段不能构成三角形.故选项D错误.故选A.
点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此题的关键.
例3（2015・巴中）若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a2-9+（b-2）2=0，则第三边c的取值范围是.
分析：根据非负数的性质列式，求出a，b，再根据“三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求解即可.
解：由题意，得a2-9=0，b-2=0.解得a=±3，b=2.a>0，a=3.3-2=1，3+2=5，1
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时这几个非负数都为0.本题还考查了三角形的三边之间的关系.
考点二三角形的内角和外角
例4（2015・滨州）在ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于（）
A.45°B.60°
C.75°D.90°
分析：首先根据∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，求出∠C的度数占三角形的内角和的几分之几，然后根据分数乘法的意义，求出∠C等于多少度即可.
解：180°×53+4+5=180°×512=75°，即∠C等于75°.故选C.
点评：此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是三角形的内角和是180°.
例5（2015・昆明）如图1，在ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（）
A.60°B.65°
C.70°D.75°
分析：首先根据CD∥AB，可得∠A=∠ACD=65°；然后在ABC中，根据三角形的内角和定理，求出∠ACB的度数为多少即可.
解：CD∥AB，∠A=∠ACD=65°.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-65°-40°=75°，即∠ACB的度数为75°.故选D.
点评：此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握.解答此题的关键是要明确：（1）定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.（2）定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.（3）定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.此题还考查了三角形的内角和定理.
例6（2015・桂林）如图2，在ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）
A.110°B.120°
C.130°D.140°
分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
解：由三角形的外角性质，得∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°.故选B.
点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，比较简单.
例7（2015・枣庄）如图3，平面上直线a，b分别经过线段OK两端点，则a，b相交所成的锐角是.
分析：构造三角形，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得出结论.
解：如图4，延长a，b交于点A.由三角形的外角性质，得a，b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°.故答案为30°.
点评：本题考查了“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质，熟记性质是解题的关键.
考点三三角形中的重要线段
例8（2015・永州）如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得SPAB=SPCD，则满足此条件的点P（）
A.有且只有1个
点评：本题考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半.
例14（2015・盐城）如图11，点D，E，F分别是ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若ABC的周长为10，则DEF的周长为.
分析：由于D，E分别是AB，BC的中点，则DE是ABC的中位线，那么DE=12AC，同理EF=12AB，DF=12BC，于是易求DEF的周长.
解：如图11，D，E分别是AB，BC的中点，DE是ABC的中位线.DE=12AC.同理有EF=12AB，DF=12BC.DEF的周长=12（AC+BC+AB）=12×10=5.故答案为5.
点评：本题考查了三角形的中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系.
考点五等腰三角形和等边三角形
例15（2015・湖北）如图12，在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.若BE=2，则AE的长为（）
A.3B.1
C.2D.2
分析：先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°-∠B-∠ACB=90°，然后在RtCAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=12CE=1.
解：在ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，CE=BE=2.
∠B=∠DCE=30°.CE平分∠ACB，∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°.
∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.
在RtCAE中，∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
AE=12CE=1.故选B.
点评：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义及三角形内角和定理.
例16（2015・滨州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为（）
A.2B.22-2
C.2-2D.2-2
分析：由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长，然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长.
解：等腰直角三角形外接圆半径为2，此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为22.它的内切圆半径为r=12（22+22-4）=22-2.故选B.
点评：本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别.直角三角形的内切圆半径r=12（a+b-c）（a，b为直角边，c为斜边），直角三角形的外接圆半径R=12c.
例17（2015・温州）如图13，点A的坐标是（2，0），ABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数y=kx的图象经过点B，则k的值是（）
A.1B.2
C.3D.23
分析：首先过点B作BCOA于C.根据AO=2，ABO是等边三角形，得出点B的坐标，进而求出反比例函数解析式.
解：过点A作BCOA于C.点A的坐标是（2，0），AO=2.ABO是等边三角形，OC=1，BC=3.点B的坐标是（1，3）.把B（1，3）代入y=kx，得k=3.故选C.
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出点B的坐标是解题的关键.
例18（2015・营口）如图14，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）
A.25°B.30°
C.35°D.40°
分析：分别作点P关于OA，OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN.由对称的性质得出PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.进而得出∠AOB=12∠COD.再证OCD是等边三角形，可得∠COD=60°，即可得出结果.
解：如图15，分别作点P关于OA，OB的对称点D，C，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN.点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA.点P关于OB的对称点为C，PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB.OC=OP=OD，∠AOB=12∠COD.PMN周长的最小值是5cm，PM+PN+MN=5cm.DM+CN+MN=5cm，即CD=OP=5cm.OC=OD=CD，即OCD是等边三角形.∠COD=60°.∠AOB=30°.故选B.
点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质.熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决本题的关键.
例19（2015・昆明）如图16，ABC是等边三角形，高AD，BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边GEF，则ABH与GEF重叠（阴影）部分的面积为.
分析：根据等边三角形的性质，得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°；根据等边三角形的判定，得MEH的形状；根据直角三角形的判定，可得FIN的形状；根据面积的和差，求出答案.
解：如图16，ABC是等边三角形，高AD，BE相交于点H，BC=43，AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°.∠BHD=90°-∠HBD=60°.∠MHE=∠BHD=60°.BG=2，EG=BE-BG=6-2=4.以GE为边作等边GEF分别交AD，AB于M，I，N，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，MHE是等边三角形.SABC=12AC・BE=12AC×3EH，EH=13BE=13×6=2.∠BIG=∠FGE-∠IBG=60°-30°=30°，∠IBG=∠BIG=30°.IG=BG=2.IF=FG-IG=4-2=2.∠FIN+∠F=90°，∠FNI=90°.又∠FIN=∠BIG=30°.FN=1，IN=3.S五边形NIGHM=SEFG-SEMH-SFIN=34×42-34×22-12×3×1=532.故答案为532.
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定.利用图形的割补法是求面积的关键.
考点六中考多解题
例20（2015・营口）【问题探究】
（1）如图17，锐角ABC中分别以AB，AC为边向外作等腰ABE和等腰ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图18，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长；
（3）如图19，在（2）的条件下，当ACD在线段AC的左侧时，求BD的长.
分析：（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据“SAS”即可证EAC≌BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA，EB，EC，证明EAC≌BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AEAB于A，交BC的延长线于E，证明EAC≌BAD，可得BD=CE，即可求解.
解：（1）BD=CE.理由如下：∠BAE=∠CAD，∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，
AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，EAC≌BAD.BD=CE.
（2）如图20，在ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA，EB，EC.∠ACD=∠ADC=45°，AC=AD，∠CAD=90°.∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
AC=AD，
EAC≌BAD.BD=CE.AE=AB=7BE=72+72=72，∠AEC=∠AEB=45°.又∠ABC=45°，∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°.EC=BE2+BC2=（72）2+32=107.BD=CE=107.
（3）如图21，在线段AC的右侧过点A作AEAB于A，交BC的延长线于点E，连接BE.AEAB，∠BAE=90°.又∠ABC=45°，∠E=∠ABC=45°.AE=AB=7，BE=72+72=72.又∠ACD=∠ADC=45°，∠BAE=∠DAC=90°.∠BAE-∠BAC=∠DAC-∠BAC，即∠EAC=∠BAD.在EAC和BAD中，AE=AB，
∠EAC=∠BAD，
Ⅰ引入师：前面我们学习了三角形，讲课之前我们先来回顾一下三角形哪些元素与“三”有关 生：三个顶点，三个角，三条边 师：几何里我们通常研究物体的形状、位置还有大小，今天我们来学习三角形三条边的大小关系。大家把书翻到64页
（引入不能太长，又不能和要讲的内容无关）
Ⅱ新课 一、发现定理
师：三角形的三条边有什么样的大小关系呢？我们一起通过画图来研究
活动：任意画ABC，测量其三边，并填空AB+BC___AC，AB+AC____BC，AC+BC____AB（先让学生们说他们的发现，教师再展示自己的）发现：任意两边之和大于第三边。
一、证明定理
师：我们每个人画的三角形不一样，但结果却是一样的，说明我们的发现具有一定普遍性。该如可为我们的发现寻找一个理论上的依据呢？（这个问题比较困难，需要教师给一点提示） 师：从A经过B到C是一条什么样的路线？
生：折线
师：从A直接到C是一条什么路线？
生：直线
二、得到定理
1.三角形任意两边之和大于第三边
四、简单运用定理、引出做题捷径
例1 有三根木棒长度分别为
（1）3cm，4cm，5cm
（2）3 cm，4cm，9cm
这三根木棒能否构成三角形？（让学生严格按照定理，说出两问过程，教师记录在黑板上）师：三条边能否构成三角形，命运是由谁来决定的？
生：较短两边之和大于最长边，可以构成三角形较短两边之和小于最长边，不能构成三角形
三、完善做题捷径
师：如果较短两边之和等于最长边，能否构成三角形呢？
活动：拿三根木棒2cm，4cm，6cm摆三角形（学生动手，教师用课件展示）
师：较短两边之和等于最长边时，同样不能构成三角形
四、总结做题捷径
2捷径 ①较短两边之和大于最长边，可以构成三角形②较短两边之和小于或等于最长边，不能构成三角形
Ⅲ 巩固、提高
一、基础知识关
1. 有四根木棒长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm
（1）从中任选三根有几种选法 （2）哪些可以构成三角形
二、综合运用关
2.①等腰三角形一边长5cm，一边长8cm，求其周长
②等腰三角形一边长4cm，一边长8cm，求其周长
三、巩固提高关
3.一条长18cm的绳子能否围成一个一边长4cm的等腰三角形
Ⅳ小结
师：我们来回顾一下今天学了哪些
内容
生：（定理、捷径内容）
Ⅴ作业 课本P65 1、2
一、动手操作，激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师，有了兴趣，学生的学习效率会有明显地提高。一堂课应做到课伊始，趣已生；课继续，情更深；课已完，余未尽。在设计教学方案时，教师应将传统课堂上教师单一操作演示、学生简单地模仿操作的模式转化为具有探索性、创造性的实践活动，让学生通过动手操作去发现事物的奥秘，体会学习的快乐。
案例一：三角形的三边关系
课前让学生准备五根长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的小纸条。
师：我们知道三角形具有稳定性，这节课请同学们自己动手摆摆，看这些纸条能摆出多少种不同的三角形。
师：是否任意三条线段都能围成三角形呢？哪些不能围成三角形？
生：不是。例如：（1）2cm，3cm，5cm；（2）2cm，3cm，6cm；（3）2cm，4cm，6cm都不能围成三角形。
师：能围成三角形的三条边间有什么关系呢？
师生共同讨论后得出结论：三角形任意两边之和大于第三边。
二、动手操作，体会知识形成过程
从建构主义来看，数学学习是学生自已建构数学知识的活动。在数学活动过程中，学生与教材及教师间产生交互作用，从而形成数学知识。在教学的过程中，教师要注意引导学生加深对知识形成过程的体验，让他们在充分的体验中有所感悟和发现。
案例二：等腰三角形的性质
教师拿出一张长方形纸，先将它对折，再沿着直线一刀剪下去，剪出一个三角形，最后将其展开，并要求学生照做。
师：这个三角形是我们刚学习的什么特殊图形？
生：轴对称图形。
师：除此之外这个三角形的边有什么特征？
生：两边相等（折叠后完全重合）。
师：找找看在此三角形中是否还有其它相等的边或角？
师：同学们相互讨论一下，然后用几句话来概括等腰三角形的性质。
经过教师的引导，学生的讨论与总结，最后得出等腰三角形的性质。
三、动手操作，理解公式、概念
在数学公式、概念的教学中，教与学双方都存在一个误区，那就是以为公式、概念是前人作出的定义，学生的学习只是为了了解概念的内涵。因此，教师在教学中常常是直接让学生知道结论，而忽略了让学生学习概念的过程。笔者认为教师应利用创设情境的方法，让学生参与学习概念的形成过程，这不但有利于学生理解概念，还有利于学生学习能力的提高。
案例三：勾股定理（课前让学生准备四个全等的直角三角形）
提问之后教师再引导学生描述直角三角形三边关系，然后提出勾股定理。
四、动手操作，感受空间图形
“空间与图形”教学的目的是为了培养学生的形象思维和抽象思维能力，发展学生的空间观念。动手操作能调动学生的多种感官，使学生的认识由感性上升为理性，能有效地促进学生思维，对“空间与图形”的教学有着极为重要的作用。
案例四：正方体的展开图
1.通过动手操作，将学生剪的各种不同的正方体展开图进行展示。
师：大家沿着正方体的棱把正方体剪开，会得到什么样的图形。请你动手剪一剪，注意不能剪散。
学生动手操作，教师巡视指导。然后学生展示作品，并通过旋转、翻折，区别不同的展开图。
2.动手折一折，看看展开图能否折成正方体。
师：很高兴大家能通力合作，得出如此多的展开图。那么正方体的展开图是否只有这几种呢？其实正方体的展开图共有11种不同的结果，想知道其余的图形吗？
师：请你用手中的展开图折一折，看看这些展开图能否折成正方体。
3.总结展开图的规律。
小学数学
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）12A-
0031-01
在小学数学课堂教学中，教师的教和学生的学是基于探究这一活动载体而展开的，最终目的是将感性的现实抽象为数学问题。这是一个带领学生解决数学问题的过程，此时教师所要扮演的角色不是灌输者，而是引导者，引导学生充分发挥主体性，积极投入数学探究，激发思考潜力，发展数学能力。但事实上，教师在实践操作环节往往过分注重引导学生解决生活中的数学问题，而忽略对数学本质的把握，导致学生只知其一不知其二，遇到问题不知道灵活处理。如何设置数学活动发展学生的数学思考力呢？笔者认为，把握好数学本质是关键。
一、创设生活情境，培养思考意识
在小学数学教学中，有经验的教师常常会将生活中的数学引入课堂，并整合教材内容进行教学，营造学生熟悉的数学情境，帮助学生将生活实际和数学问题建立联系，同时设置一些数学问题，打破学生的已有认知，激发学生的求知欲望，培养学生的问题意识。
例如，在教学北师大版六年级数学下册《长方体的表面积》时，笔者将生活和数学问题结合起来，设计了这样的教学活动：首先出示一个长方体木块，让学生将这个木块涂漆，然后引导学生独立思考，提出自己的想法。有学生问：是要将每一个面都涂上油漆吗？学生的这个问题让笔者产生了新的思路，于是展开追问：你认为现实生活中使用长方体的面有哪几种情况？学生结合生活实际，认为有的是需要计算3个面的，有的是需要计算4个面或5个面的，也有计算2个面的。笔者让学生举例说明。学生指出，长方体的鱼缸就是需要计算5个面的，底面不用计算；在粉刷教室的四面和顶部时只粉刷5个面，底面也不用计算。那么，该如何计算表面积呢？需要注意什么问题？学生很快理解了表面积的计算原则：首先要确定实际应用中使用了几个面，然后再进行计算。这样不断引发学生的思维冲突，让学生积极投入数学探究的情境之中，有效培养了学生的问题意识。
二、提供操作空间，训练思考层次
建构主义理念认为，学生在学习新知的过程中，教师的强加灌输毫无用处，因为学生的学习并不是从一无所有开始的，每一个学生在学习之初就已经有了基础：一方面是潜在的数学认知，另一方面是隐性的数学经验。因此，在教学时，教师要给学生提供足够的操作空间让学生充分实践和体验，促进学生对数学本质的理解，建构数学概念。
例如，在教学北师大版四年级数学下册《三角形的三边关系》时，笔者设计了这样的教学过程：先让学生动手操作，将一根吸管剪成三段不同长度的吸管，然后将这三段吸管连接起来，看看能否围成一个三角形。学生操作后发现有三种情况：一是两边之和大于第三边；二是两边之和小于第三边；三是两边之和等于第三边。究竟哪一种情况能够围成三角形呢？笔者引导学生展开操作，并猜想和思考：如果将两边固定，让第三条边变得越来越长，会发生什么变化？学生先进行猜想，然后再实际操作，最终验证后认为，只要最短的两条边之和大于第三边就可以围成一个三角形，但如果第三边变长到大于两边之和，那么就不能围成三角形。也就是说，要将这三根吸管围成三角形，必须要能满足一个条件，即最短的两边之和大于第三边。这样学生对三角形的三边关系有了深刻的理解，经历了一个从表象到内化的过程，让数学思维步步深入，有效建构了三角形三边关系的数学概念。
三、建构模型，提升思考维度
在小学数学教学中，学生探究的本质是要理解数学模型的建构过程，从理解到掌握，再到内化运用，这是数学学习的关键，也是教学的难点。为此，教师要设计多层次的数学探究活动，帮助学生从感性认识逐步过渡到理性认知，建构数学模型，提升思考维度。
例如，在教学北师大版五年级数学上册《平行四边形的面积》时，为了让学生建立平行四边形的面积模型，笔者展开了四个层次的引导设计。层次一：你认为可以将平行四边形和长方形建立联系吗？如何求平行四边形的面积？学生认为，可以将平行四边形转化为长方形。层次二：如何让平行四边形转化为和它面积相等的长方形？学生动手操作，将长方形的侧边剪开拼到另一边，这样就形成了一个面积相等的长方形。层次三：平行四边形的底边、高与长方形的长、宽有什么关系？如何求平行四边形的面积？学生通过推理，得到平行四边形的面积为底边乘高。层次四：我们采用什么方法求出平行四边形的面积？学生经过反思后指出，是将平行四边形转化为长方形，而后进行归纳推理得到的面积公式。由此，学生一步步推导出了面积计算公式的数学模型，从不同的维度提升自己的思维能力，为下一步学习三角形、梯形的面积做足了准备。
