时间：2023-05-29 17:49:27
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇三角形中线定理，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
摘 要： 解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分；而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是和三角函数、平面几何、解析几何、平面向量等知识相结合.为了更好地把握解三角形知识和其他知识的综合运用，总结在解题中体现的函数、方程、数学结合的数学思想方法变得非常重要.高考题型是考查知识点为主，所以对于这几部分知识的综合应用越来越多，更需要我们平时在做题中加以积累，总结题型、方法，遇到问题才能驾轻就熟，处理问题才能游刃有余.
关键词： 解三角形 函数 方程 数形结合
解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分；而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是和三角函数、平面几何、解析几何、平面向量等知识相结合.为更好地说明解三角形知识和其他知识的综合运用，以及在解题中体现的数学思想方法，本文以一例具体说明.
前不久在江苏省泰州中学高三数学质量检测试卷中偶得一题：等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则ABC的面积的最大值为？摇？摇？摇.
因为题目的主要条件是①AB=AC；②腰AC上的中线BD的长为3.如何用好腰相等、中线这个条件变得非常重要，也是解决这个问题的关键.对于应用这两个条件的方法不同，带来我们解决数学问题的思想方法不同，就关键条件的运用，具体有七种方法.
一、海伦公式与基本不等式的结合（函数的思想）
解法7.分析：根据条件等腰三角形ABC，中线BD，可联系平面几何的知识，作底边上的中线，这样中线的交点即为三角形的重心，三角形的重心分中线的比为1：2，利用数量关系可以把求ABC面积的最值问题转化为求BEG的面积的最值问题.而BEG为直角三角形，面积相对表示，这需要有细致的观察能力，力求以形助数，利用数形结合思想处理问题也很快捷.
总之，解三角形相关问题，主要是正弦定理和余弦定理的应用.正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或者等量关系就可以通过约分达到解决问题的目.运用余弦定理时，要注意整体思想的运用.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论.解决正弦定理和余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解.当然在建立相等关系和解决具体问题时需要用到函数、方程、数形结合的思想方法.
一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则两个三角形全等。证明：根据勾股定理，可求出第三边对应相等，根据边角边证明两三角形全等。
直角三角形斜边中线定理是数学中关于直角三角形的一个定理，具体内容为：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（来源：文章屋网 ）
方法如下:
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
（来源：文章屋网 ）
例1 已知直角三角形的两边的边长分别为3和5，求该三角形的第三边的边长。
分析 已知直角三角形的两边，未指明是直角边还是斜边，因此边5可能是直角边，也有可能是斜边，所以要进行分类讨论求解。
解 根据三角形的边角大小关系可知，3一定是直角边，而5可能是直角边，也可能是斜边，故可分类求解。
（1）当边5为直角边时，三角形的第三边为斜边，长度为==。
（2）当边5为斜边时，三角形的第三边为直角边，长度为===4。
所以这个三角形的第三边的边长为或4。
点评 直角三角形的第三边分为两类：直角边和斜边。当已知两边求第三边时，要分析其边是直角边还是斜边，若题目未指明，则要进行分类讨论求解。
二、方程思想
例2 如图1所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的长。
分析 折叠就是轴对称，因为ADE与AFE关于AE对称，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根据勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一边，不能求解。而在RtECF中，FC=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
设EC=x cm，则EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
则EF的长为5 cm。
点评 勾股定理只能用于已知直角三角形的两边求第三边。当在直角三角形中，只知一边，又知另两边的相应关系时，可用勾股定理建立方程（组），通过解方程（组），即可求得该三角形的边长。
三、化归思想
例3 如图2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的长。
分析 题中的三角形未确定是直角三角形，不能用勾股定理，由条件∠B=60°，想到构造含30°角的直角三角形，为此作ADBC于D（如图3所示），则有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长。
解 作ADBC于D，因为∠B=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根据勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根据勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
点评 利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用。当题目中没有垂直条件时，经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理。
四、转化思想
例4 如图4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5。求线段EF的长。
分析 已知BE、CF，要求EF，但这3条线段不在同一三角形中，所以关键是转化，根据直角三角形的特征以及三角形中线的特殊性质，不妨先连接AD。
解 连接AD。
因为∠BAC=90°，AB=AC。又因为AD为ABC的中线，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因为∠EDA+∠ADF=90°。又因为∠CDF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根据勾股定理得，
(1)知识目标：1、掌握等腰三角形的两底角相等，底边上的高、
中线及顶角平分线三线合一的性质，并能运用
它们进行有关的论证和计算。
2、理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间
的联系。
(2)能力目标：1、定理的引入培养学生对命题的抽象概括能力，
加强发散思维的训练。
2、定理的证明培养大胆创新、敢于求异、勇于
探索的精神和能力，形成良好的思维品质。
3、定理的应用，培养学生进行独立思考，提高独
立解决问题的能力。
(3)情感目标：在教学过程中,引导学生进行规律的再发现，激发
学生的审美情感，与现实生活有关的实际问题使
学生认识到数学对于外部世界的完善与和谐，使
他们有效地获取真知，发展理性。
教学重点等腰三角形的性质定理及其证明。
教学难点用文字语言叙述的几何命题的证明及辅助线的添加。
达标进程
教学内容
教师活动
学生活动
一、前置诊断，开辟道路
1、什么样的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角。
首先教师提问了解前置知识掌握情况。
动脑思考、口答。
二、构设悬念，创设情境
1、一般三角形有哪些性质？
2、等腰三角形除具有一般三角形的性质外，还有那些特殊性质？
把问题作为教学的出发点，激发学生的学习兴趣。
问题2给学生留下悬念。
三、目标导向，自然引入
本节课我们一起研究——等腰三角形的性质。
板书课题
了解本节课的学习内容。
四、设问质疑，探究尝试
请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。
[问题]通过观察，你发现了什么结论？
[结论]等腰三角形的两个底角相等。
板书学生发现的结论。
[问题]可由学生从多种途径思考，纵横联想所学知识方法，为命题的证明打下基础。
[辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？
[问题]1、此命题的题设、结论分别是什么？
2、怎样写出已知、求证？
3、怎样证明？
[电脑演示1]
[投影学生证明过程，并由其讲述]
从而引出定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
通过电脑演示，引导学生全面观察，联想，突破引辅助线的难关，并向学生渗透转化的数学思想。
引出学生探究心理，迅速集中注意力，使其带着浓厚的兴趣开始积极探索思考。
继续观察图形
[问题]1、指出全等三角形中还有哪些
对应边、对应角相等？
2、等腰三角形的顶角的平分线又有什么性质？
设问、质疑
小组讨论，归纳总结，培养学生概括数学材料的能力。
教学内容
教师活动
学生活动
[辨疑]一般三角形是否具有这一性质呢？
[电脑演示2]
从而引出推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边，并且垂直于底边.
“三线合一”性质等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
[填空]根据等腰三角形性质定理的推论，在ABC中
（1）AB=AC，ADBC，
∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）AB=AC，AD是中线，
∠＿=∠＿，＿＿；
（3）AB=AC，AD是角平分线，
＿＿，＿=＿。
通过电脑演示，引出推论1，并引入[填空]、强调推论1的运用方法。
电脑演示给学生对推抡1留下深刻印象，并通过[填空]了解推论1的运用方法。
五、变式训练，巩固提高
达标练习一
A组：根据等腰三角的形性质定理
(1)等腰直角三角形的每一个锐角都等于多少度？
(2)若等腰三角形的顶角为40°，
则它的底角为多少度?
(3)若等腰三角形的一个底角为40°,则它的顶角为多少度?
B组：根据等腰三角形的性质定理
(1)若等腰三角形的一个内角为40°,则它的其余各角为多少度?
(2)若等腰三角形的一个内角为120°,则它的其余各角为多少度?
(3)等边三角形的三个内角有什么关系?各等于多少度?
从而引出推论2等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
题目设计遵循由易到难的原则，引导学生拾阶而上。沟通等腰三角形的性质定理和三角形内角和定理的联系，并引出推论2。
A组口答练习
B组讨论后回答。
掌握等腰三角形性质定理的应用，训练学生的类比思维，让学生获得从问题中探索共同的属性和规律的思维能力。
教学内容
教师活动
学生活动
达标练
A组：等腰三角形斜边上的高把直角分成两个角，求这两个角的度数。
B组：已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100°。求顶架上∠B、∠C、
∠BAD、∠CAD的度数。
理论联系实际,
充分体现数学解决实际问题的作用,培养学生的应用意识,提高数学修养。
A组口答
B组独立解答.
加深理解定理及推论1，能初步灵活地运用它们进行计算和论证。
布置作业：1、看书：P1——P3
2、课本P5想一想
教案设计说明
本节课是在学生掌握了一般三角形基础知识和初步推论证明的基础上进行学习的，担负着训练学生会分析证明思路的任务，等腰三角形两底角相等的性质是今后论证两角相等的依据之一，等腰三角形底边上的三条主要线段重合的性质是今后论证两条线段相等、两个角相等及两条直线垂直的重要依据。因此设计时，我分别从几个方面作了精心策划：
1、创设丰富的旧知环境，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”。
2、提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感到自己就象科学家那样提出问题、分析问题、解决问题，去发现规律，证实结论。发挥学生学习的主观能动性，培养学生的探索能力、科学的研究方法、实事求是的态度。
3、在巩固应用时，训练题组的设计具有阶梯性，加强了变式训练，便于及时反馈。实际应用充分体现了数学解决实际问题的作用，培养学生的应用意识，提高数学修养。
案例1：如图，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE交BC、BD于点E、F，AC、BD相交于点O. 求证：OF= CE.
1. 直接利用三角形中位线定理证明
证明：过点O做OG∥CE，交AE于点G
AO=OC， OG∥CE
∴OG是ACE的中位线
∴OG= CE
又∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
评价：学生在学习了三角形中位线定理后，结合此题中的“O点是AC的中点”这个条件，最容易想到构造AEC的中位线OG，转化为证明线段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比证明
证明：∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°
∴AOF∽ABE
∴ = = ①
又∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°
∴ABF∽ACE
∴ = = ②
BF=BE
∴①×②得 = ，即OF= CE
评价：“a= b”型结论的等价结论是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比来解决.寻找相似三角形或构造相似三角形是本题的关键.
3. 利用线段和差b=a+a证明
证明：
四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD
∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理：BF=BE
OF=DF-DO，OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即：OF=CE
评价：“a= b”型结论的等价结论还可以是“b=a+a”，利用线段的和差关系以及线段的等量代换可以证出.
案例2：已知： 等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分线，交BC于点E，BF⊥AE交AE的延长线于点F.求证：AE=2BF.
思路分析：由于此题条件中没有明显的中点条件，因此利用三角形的中位线定理证明比较困难，能否想到利用相似三角形的相似比来证明呢？图中BFE与ACE显然相似，但BF是BFE的直角边，而AE是ACE的斜边，明显不对应，于是可以想到构造以BF为斜边的直角三角形，这样就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比证明
证明：过F点做FM∥CA交BC于L点，交AB于M点.
FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
FM∥AC，MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°
∴BFL∽AEC
∴ = = ，即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中线定理证明
证明：做AE的中点M，连接CM.以AB为直径做圆O，则F、C、A、B四点共圆.
∠ACB=90°，MA=ME
∴CM= = = AE
∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
评价：利用AE是直角ΔACE的斜边，联想到斜中线定理，转化为证明线段BF=CM即可.
3. 利用折半方法证明
证明：做AE的中垂线交AB于G，交AE于M，连接EG.
MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∠EBG=45°
∴EB=EG
∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∠F=∠EGM=90°
∴BFE≌EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
评价：把较长的线段AE折半，转化为证明线段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法证明
证明：延长BF、AC交于H点.
∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF
∴ABF≌AHF
∴FB=FH，即BH=2BF
∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°
∴BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
评价：此种方法采用的是间接加倍方法，若直接加倍，则“延长BF到H点，使BH=2BF”，此时就要证明A、C、H三点共线，非常棘手，所以用间接加倍方法更有利.
教学启示
1. 解题教学时应重视常规解题方法的教学
教师在几何课证明教学时，应着重于对常规思维方法的分析，努力帮助学生找到最容易想到的、最容易掌握的解题方法，以使学生能突破原有的思维障碍，使教学建立在学生通过一定努力就可能达到的智力发展水平上，并据此确定知识与方法的广度、深度.案例1中利用三角形中位线定理来证明，而案例2则采用加倍或折半的方法更适合学生.
2. 不断渗透等价转化等数学思想，培养学生创新思维
知识结构
重难点分析
本节的重点是矩形的性质和判定定理。矩形是在平行四边形的前提下定义的,首先她是平行四边形,但它是非凡的平行四边形,非凡之处就是“有一个角是直角”,因而就增加了一些非凡的性质和不同于平行四边形的判定方法。矩形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续,又是以后要学习的正方形的基础。
本节的难点是矩形性质的灵活应用。由于矩形是非凡的平行四边形,所以它不但具有平行四边形的性质,同时还具有自己独特的性质。假如得到一个平行四边形是矩形,就可以得到许多关于边、角、对角线的条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,经常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
教法建议
根据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议教师在教学过程中注重以下问题:
1.矩形的知识,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的知识作为引入。
2.矩形在现实中的实例较多,在讲解矩形的性质和判定时,教师可自行预备或由学生预备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加了学生的参与感又巩固了所学的知识.
3.假如条件答应,教师在讲授这节内容前,可指导学生按照教材145页图430所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增强了学生的动手能力和参与感,有在教学中有切实的体例,使学生对知识的把握更轻松些.
4.在对性质的讲解中,教师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先预备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.
5.由于矩形的性质定理证实比较简单,教师可引导学生分析思路,由学生来进行具体的证实.
6.在矩形性质应用讲解中,为便于理解把握,教师要注重题目的层次安排。
矩形教学设计
教学目标
1.知道矩形的定义和矩形与平行四边形之间的联系;能说出矩形的四个角都是直角和矩形的的对角线相等的性质;能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。
2.能运用以上性质进行简单的证实和计算。
此外,从矩形与平行四边形的区别与联系中,体会非凡与一般的关系,渗透集合的思想,培养学生辨证唯物主义观点。
引导性材料
想一想:一般四边形与平行四边形之间的相互关系?在图4.5-l的圆圈中填上“四边形”和“平行四边形”的字样来说明这种关系:即平行四边形是非凡的四边形,又具有一般四边形的一切性质;具有一些非凡的性质。
小学里已学过长方形,即矩形。显然,矩形是平行四边形,而且矩形还具有四个角都是直角(小学里已学过)等非凡性质,那么,假如在图4.51中再画一个圈表示矩形,这个圈应画在哪里?
(让学生初步感知矩形与平行四边形的从属关系。)
演示:用四根木条制作一个平行四边形教具。利用平行四边形的不稳定性,演示如图4.52,当平行四边形的一个内角由锐角变为钝角的过程中,会发生怎样的非凡情况,这时的图形是什么图形(矩形)。
问题1:从上面的演示过程,可以发现:平行四边形具备什么条件时,就成了矩形?
说明与建议:教师的演示应充分展现变化过程,从而让学生深切地感受到短形是无数个平行四边形中的一个特例,同时,又使学生能正确地给出矩形的定义。
问题2:矩形是非凡的平行四边形,它除了“有一个角是直角”以外,还可能具有哪些平行四边形所没有的非凡性质呢?
说明与建议:让学生分组探索,有必要时,教师可引导学生,根据研究平行四边形获得的经验,分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性,还可提醒学生,这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”矩形的四个角都相等(矩形性质定理1),要学生给以证实(即课本例1后练习第1题)。
学生能探索得出“矩形的邻边互相垂直”的特性,教师可作说明:这与矩形的四个角是直角本质上是一致的,所以不必另列为一个性质。
学生探索矩形的四条对角线的大小关系时,如有困难,可引导学生测量并比较矩形两条对角线的长度,然后加以证实,得出性质定理2。
问题3:矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形,矩形的对角线既互相平分又相等,由此,我们可以得到直角三角形的什么重要性质?
说明与建议:(1)让学生先观察图4.53,并议论猜想,如学生有困难,教师可引导学生观察图中的一个直角三角形(如RtABC),让学生自己发现斜边上的中线BO与斜线AC的大小关系,然后让学生自己给出如下证实:
证实:在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=BD(矩形的对角线相等)。
,AO=CO
在RtABC中,BO是斜边AC上的中线,且。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例题解析
例1:(即课本例1)
说明:本题难度不大,又有助于学生加深对性质定理的理解,教学中应引导学生探索解法:
如图4.5-4,欲求对角线BD的长,由于∠BAD=90°,AB=4cm,则只要再找出RtABD中一条直角边的长,或一个锐角的度数,再从已知条件∠AOD=120°出发,应用矩形的性质可知,∠ADB=30°,另外,还可以引导学生探究AOB是什么非凡的三角形(等边三角形),课本用了第一种解法,并给出了解几何计算题书写格式的示范;第二种解法如下:
四边形ABCD是矩形,
AC=BD(矩形的对角线相等)。
又。
OA=BO,AOB是等腰三角形,
∠AOD=120°,∠AOB=180°120°=60°
∠AOB是等边三角形。
BO=AB=4cm,
BD=2BO=24×4cm=8cm。
例2:(补充例题)
已知:如图4.5-5四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,EF平分∠BED交BD于点F。
(l)猜想:EF与BD具有怎样的关系?
(2)试证实你的猜想。
解:(l)EF垂直平分BD。
(2)证实:∠ABC=90°,点E是AC的中点。
(直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半)。
同理:。
BE=DE。
又EF平分∠BED。
EFBD,BF=DF。
说明:本例是一道不给出“结论”,需要学生自己观察猜想讨论的几何命题,有助于发展学生的推理(包括合情推理和逻辑推理)能力。假如学生不适应,或有困难,教师可根据实际情况加以引导,这种练习,重要的不是猜对了没有?证实了没有?而是让学生经历这样一种自己研究图形性质的过程,顺便指出:求解本题的重要基础是识图技能能从复杂图形中分解出如图4.56所示的三个基本图形。
课堂练习
1.课本例1后练习题第2题。
2.课本例1后练习题第4题。
小结
1.矩形的定义:
2.归纳总结矩形的性质:
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线平行且相等
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4.矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成四个全等的等腰三角形。因此,有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决。
作业
我说课的内容是人教版八年级下册第十二章第三节——等腰三角形的性质，对于这堂课的教材分析及教学设计，现从教材分析、教学目标、教法学法分析、教学过程、几点说明五个方面给大家介绍：
1教材分析
首先是教材地位和作用分析：本节课是在学生学习了一般三角形和轴对称的基础上学习的一种特殊的三角形，主要学习等腰三角形的性质。本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形，等腰梯形等几何图形的预备知识，还是证明角相等，线段相等及两条直线互相垂直的重要依据。因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置，起着承前启后的作用。另外，研究和学习本课，对于培养学生的思维能力、分析能力，养成在等腰三角形中添加适当辅助线的意识，以及向学生渗透转化的思想等方面起了很大的作用。在此基础上，我确立本堂课的教学重点是等腰三角形的性质，难点是等腰三角形性质的证明。
2教学目标
这堂课的教学目标确定以下三个方面：
（1）使学生掌握等腰三角形的性质定理，并能进行初步应用
（2）培养学生在等腰三角形中添加适当辅助线的意识，并通过添加辅助线，向学生渗透转化的思想，从而深入领会分析几何证明题的方法。
（3）使学生进一步了解追寻规律，研究问题的方法，尤其是研究几何对象的基本思路。
3教法与学法分析
组织学生以小组活动为载体，交流探究为主线进行学习，鼓励学生积极感知，大胆猜想，并引导他们探究，论证，努力为学生搭建一个自由交流学习的空间和平台，促进学生新的知识，能力生成。
4教学过程
4.1首先是兴趣导入，复习旧知。师生共同欣赏一组轴对称图形的图片，并让学生按照轴对称图形的特点，利用两个三角板构造一组图形，要求：
（1）拼出的图形是轴对称图形；（2）拼得的轴对称图形是三角形。
学生以小组的形式按要求拼图，教师收集成果，并及时设问：
你拼出了一个什么样的三角形？并质疑：“等腰三角形除了具有一般三角形的性质及两腰相等的特点外，还有哪些特殊的性质？”从而引出课题。
学生通过自己动手，感知等腰三角形的对称性，有趣的活动不但激发学生的学习兴趣，还对接下来的性质探究和证明做铺垫。
4.2设置情景，引导探究。首先，让学生用直尺等工具在纸上画一个等腰三角形，思考这样一个问题“如果让你来研究等腰三角形的特殊性质，你觉得要从哪些要素加以分析？”让学生分成小组探讨，学生在探讨过程中，想到一般三角形的构成元素：边，角，以及三角形的重要的三种线段，得到的结论可能不唯一，有些学生会想到从等腰三角形的两个底角出发加以研究，还有思维灵活的同学可能会想到从等腰三角形的底边上的中线，底边上的高和顶角的角平分线加以研究；思维更加灵活，想象空间更宽广的学生会想到两腰上的中线，高加以研究，对于学生的探讨结果，老师进行归纳，归纳出以下四个元素是我们这堂课研究的主要内容：（1）两个底角；（2）底边上的中线；（3）底边上的高；（4）顶角的角平分线。引导学生的注意力集中到这四个方面来，面对这四个元素，再追问：“你可以用哪些方法分析这些要素？”大部分同学能想到用量角器测量，画图的方法。思维灵活的同学能想到利用轴对称性质对折等腰三角形。教师针对学生的探究方法给予肯定，并让学生亲自操作，同时设问：“你发现这四个元素可能存在什么样的关系？说说你猜想”学生通过实验进行猜想，会发现两个底角相等，三条线段为同一线段。老师再次归纳学生的结论，并对他们的探究成果给予肯定。通过这个环节，不仅使学生体会到知识的发生，发展过程，还能较好的培养学生发现问题，解决问题的能力。
4.3证明猜想，形成定理。老师先质疑：“哪个同学画出的等腰三角形没有这两个特点？”同时设问：“所有的等腰三角形都具备这两个特点吗？”对于学生的肯定回答，老师声明，要想加以确认，必须进行理论证明，让学生感受数学的严谨性。
这样用文字证明的几何问题，包括了证明的三个步骤，对于学生来说有一定的难度，因此，我决定通过三个问题的解答，帮助学生理顺思路，化解难题。问题一：找出命题“等腰三角形两个底角相等”的题设，结论，并根据画出的图形写出已知，求证。这个设计，使学生体会将文字语言翻译成数学语言，帮助学生写出已知，求证。问题二：证明两个角相等的方法有哪些？ 该问题供给学生解决新问题的思路，引导学生用旧知识，解决新问题，体会数学中的转化思想。问题三：怎样把等腰三角形分成两个全等三角形呢？本题中辅助线的添加是这堂课的一个难点，由此，我决定让学生把课堂开始拼得的等腰三角形拿出来，并让学生回忆拼图的过程，学生能够很快发现等腰三角形是用两个全等的三角形组成，重合的线段是对称轴。在此基础上继续设问：当这条对称轴隐藏起来了，怎样把等腰三角形分成两个全等的三角形？由于对知识的发生，发展有了充分的了解，学生通过探讨，可能会出现以下三种解决方法：（1）做底边的中线（2）做底边的高（3）做顶角的角平分线。以以做底边上的中线为例，让学生陈述证法，老师板书，规范书写。
这个过程不仅使学生了解了做证明题的三个步骤，而且使学生体会到数学中化未知为以知的转化思想，让学生体验数学中发现，再创造的过程，进一步培养了学生分析问题，解决问题的能力。
4.4讲练结合，加深认识。 第一题是口答练习，使学生能够利用性质一解决问题，第二题是将证明的理论翻译成数学语言，为以后解决角度相等，线段相等，线段垂直的问题提供了新的依据和方法。并再此基础上设问：“若等腰三角形中的三线出现一线，你会想到什么？若等腰三角形中的三线一线未出，你应该想到什么？”听过这个问题的解答，使学生对性质定理的认识实现了飞跃。第三题源于课本，师生共同完成，目的在于培养学生正确应用所学知识的应用能力，巩固所学性质。
4.5归纳小结，当堂测试。 首先小结部分引导学生自己总结知识点，思想方法上的收获，帮助学生构建比较完善的知识结构，归纳数学学习中常用的思想方法，从而提高他们自主学习，独立学习的能力。
当一个人进入社会之后,还要在工作中不断学习新的知识和技能,这时候,一个人学习效率的高低则会影响他(或她)的工作成绩,继而影响他的事业和前途。那么你们知道关于初三上册期末数学复习资料内容还有哪些呢?下面是小编为大家准备2021年初三上册期末数学复习资料大全，欢迎参阅。
初三上册期末数学复习资料章一1.通过猜想,验证,计算得到的定理：
(1)全等三角形的判定定理：
(2)与等腰三角形的相关结论:
①等腰三角形两底角相等(等边对等角)
②等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一)
③有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
(3)与等边三角形相关的结论：
①有一个角是60°得等腰三角形是等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③三条边都相等的三角形是等边三角形
(4)与直角三角形相关的结论：
①勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
②勾股定理逆定理：在一个三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形
③HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等
④在三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半
2.两条特殊线
(1)线段的垂直平分线
①线段的垂直平分线上的点到线段两边的距离相等
互为逆定理{
②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
③三角形的三条垂直平分线交于一点，并且这一点到这三个顶点的距离相等
(2)角平分线
①角平分线上的点到这个角的两边距离相等
互为逆定理{
②在一个角的内部，并且到这个角的两边距离相等的的点，在这个角的角平分线上
3.命题的逆命题及真假
①在两个命题中，如果一个命题的条件与结论是另一个命题的结论与条件，我们就说这两个命题互为逆命题，其中一个是另一个的逆命题
②如果一个定理的逆命题是真命题，那么他也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理
③反正法：从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件，定理相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，使命题获得了证明
初三上册期末数学复习资料章二1.平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质定理:
(1)两组对边分别相等
(2)平行四边形对角相等
(3)对角线互相平分
判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.等腰梯形
定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形
性质定理：
(1)同一底上的两个角相等
(2)等腰梯形的对角线相等
判定定理：
(1)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形
定理：夹在两条平行线中间的平行线段相等
3.三角形和梯形的中位线：
(1)三角形的中位线
定义：三角形中任意两边中点的连线，叫三角形的中位线(三角形有三条中位线)
性质定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
(2)梯形的中位线
定义：梯形两腰中点的连线，叫梯形的中位线，梯形的中位线平行于上底下底
性质定理：梯形的中位线等于上，下底之和的一半
4.矩形特殊的平行四边形
定理：一个角是直角的平行四边形是矩形
性质定理：
(1)矩形的四个角都是直角
(2)矩形的对角线相等
判定定理：
(1)三个角都是直角的四边形是矩形
(2)对角线相等的平行四边形是矩形
推论：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半
逆定理：如果一个三角形中，一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
5.菱形特殊的平行四边形
定义：一组邻边相等的的平行四边形是菱形
性质定理：
(1)菱形的四条边都相等
(2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条线平分一组对角
判定定理：
(1)四条边都相等的四边形是菱形
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
面积计算：菱形的面积等于其对角线乘积的一半
6正方形特殊的平行四边形
定义：每一个角都是直角，并且邻边相等
性质定理：
(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角
(2)对角线互相垂直，平分，相等，并且每一条对角线平分一组对角
判定定理：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形
(2)一组邻边相等的矩形是正方形
(3)对角线相等的菱形是正方形
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形
7.连接四边形各个中点得到
(1)依次连接任意四边形各边中点能得到平行四边形
(2)依次连接平行四边形各边中点能得到平行四边形
(3)依次连接菱形各边中点能得到矩形
(4)依次连接矩形各边中点能得到菱形
(5)依次连接正方形各边中点能得到正方形
第四章视图与投影
1.三视图
主视图左视图
俯视图
(1)主视图与左视图要高平齐
(2)主视图与俯视图要长对正
(3)俯视图与左视图要宽相等
2.投影
①平行投影
②中心投影
视点，视线，盲区
第五章反比例函数
k
1.定义：y=-(k≠0)
x
xy=k(k≠0)
y=kx-1(y≠0)
k
2.性质：y=-(k≠0)
x
①k>0时，图像在一，三象限，并且在每个象限内y随x增大而减小
②k
3.会与一次函数相结合
一次函数：y=kx+b(k≠0)
性质①k>0时，y随x的增大而增大
②k
b:在y轴上的截距
第六章频率与概率
1.理论概率
(1)只涉及一步试验概率
多次试验得到的试验频率就等于理论概率
(2)涉及两步试验
①树状图
②列表法
(3)试验做估
初三上册期末数学复习资料章三1.一元二次方程：只含有一个未知数X的整式方程，并且可以化成aX?+bX+C=0(a≠0)形式称它为一元二次方程
aX?+bX+C=0(a≠0)一般形式
aX?叫二次项bX叫一次项C叫常数项a叫二次项系数b叫一次项系数
2.一元二次方程解法：
(1)配方法：(X±a)?=b(b≥0)注：二次项系数必须化为1
(2)公式法：aX?+bX+C=0(a≠0)确定a,b,c的值，计算b?-4ac≥0
若b?-4ac>0则有两个不相等的实根，若b?-4ac=0则有两个相等的实根，若b?-4ac
若b?-4ac≥0则用公式X=-b±√b?-4ac/2a注：必须化为一般形式
(3)分解因式法
①提公因式法：ma+mb=0m(a+b)=0
平方差公式：a?-b?=0(a+b)(a-b)=0
②运用公式法：{
完全平方公式：a?±2ab+b?=0(a±b)?=0
③十字相乘法
例题：X?-2X-3=0
1\/111
×｝X?的系数为1则可以写成{常数项系数为3则可写成{
1/\-31-3
--------
-3+1=-2交叉相乘在相加求值，值必须等于一次项系数
一、教学误区
1.数学思维的含金量不高
苏科版《义务教育教科书・数学》（以下称“苏科版”）八年级上册教材，在“等腰三角形的轴对称性”这一内容中，就探究“等腰三角形的性质”提供了下列教学素材：把等腰三角形纸片（图1）沿顶角平分线折叠，你有什么发现？
……
探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一内容，又提供了下列教学素材：剪一张直角三角形纸片，如图2（1）。
……
把纸片按图2（2）所示的方法折叠，再把纸片展开并连接CD（如图2（3）），你发现了什么？
……
教材的编写意图，显然是要让学生通过实验操作来获取等腰三角形的性质及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”等一系列的结论。这种由操作到结论的方法，解决问题的入口宽，操作简便，不失是一种帮助学生探究问题的好办法。
教学中，如果将教材中的操作原封不动地呈现给学生，对于基础差一点的学生，运用这种方法，显然在激发学生兴趣的同时也获取了知识。而对于基础好一点、思维能力强一点的学生，让他们被动地按照上述的操作指令进行实验，即使得到有效结论，也只是在茫然中获取的。这种“指令性操作”，只有折叠的技术要求，没有思维的活动内涵，久之，势必削弱学生数学思维的含金量。如果只是用技术做实验，那么数学课与技术课、劳技课还有差别吗？建立在“指令性操作”这一层面上的实验与教学中一贯反对的“告诉式”、“注入式”教学有差别吗？这值得研究与探讨。
2.实验价值利用率不大
“苏科版教材”（八年级上册），在“多边形的内角和与外角和”这一内容中，提供了下列教学素材：
在小学里，我们曾经把一个三角形的3个角拼在一起，发现了“三角形的内角和是180°”的结论。（笔者以下称“拼角实验”）
如图3，在ABC的边AC所在的直线绕点A按逆时针方向旋转的过程中，直线AC与边BC的延长线分别交于点C1、C2、C3……
（1）在上述过程中，哪些角的大小发生了变化？
（2）度量∠BAC与∠ACB，并求它们的和;度量∠BAC1与∠AC1B、∠BAC2与∠AC2B、∠BAC3与∠AC3B……并分别求它们的和。你发现了什么？
（3）当直线AC绕点A旋转到AC′，使AC′∥BC′时，度量∠BAC′的度数，你发现了什么？（笔者以下称“转角实验”）
“拼角实验”主要是发现三角形内角和定理，并由拼角实验的启发，得到证明三角形内角和的辅助线。而在实际教学中，老师只开发出实验的发现价值，实验结束后，没有将研究的价值从拼角的过程中迁移到论证的辅助线的作法上来，这样就丧失了这个实验的教学价值。
同样，在“转角实验”中，其价值一是用“控制变量法”来研究三角形的内角和。即控制三角形中的一个内角∠B不变，通过变化∠BAC、∠ACB的大小，发现∠BAC与∠ACB的和不变，进而得到三角形的三个内角的和不变，是一个固定值，从而激发学生进一步的探究欲望。价值二是探究三角形三个内角和这个固定值是多少，发现三角形内角和定理。价值三是从实验的过程中，寻找到证明三角形内角和定理的辅助线的另一种作法，从而为证明三角形内角和为180°服务。在教学过程中，教师往往将转角实验单一地理解为发现三角形内角和定理，价值一、价值三被忽视了。
3.数学本质的迁移性不强
“苏科版教材”（七年级上册）有这样一道习题：
桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻转3只，能否经过若干次翻转使7只杯子的杯口全部朝下？
教学中有不少教师让几位同学拿上7个纸杯到讲台桌旁进行实验，或者让学生预先准备好纸杯，上课时自我实验。第一次，翻动后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻动后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻动后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分钟过去了，两分钟过去了，四分钟过去了……时间一分一秒的流逝了，学生却随着时间变得昏昏沉沉，手忙脚乱，连翻动了几次也数不清，怎么也想不出来解决这个问题的思路。最后，教师不得不告诉学生，无论翻动多少次，杯口朝上的都是奇数不是偶数，所以无论翻动多少次都是不可能杯口全部朝下的，这才将本问题勉强解决了。究其原因，这是教师、学生看不清问题而造成的。
二、矫正方法
1.数学实验要在价值立意上作设计
数学实验的价值立意必须是建立在数学思维活动之上，如果离开了数学思维，将实验定位在按提供的实验程序进行机械的操作，那只能算是一个简单的技术活动，这样的活动只有动手没有动脑，已偏离数学的轨道，失去了数学味道，在数学教学上就没有意义了。
要凸显数学实验的教育价值，必须让其既具有科学实验的一般立意，又具有数学学科特有的思维魅力。即让数学实验也遵循科学实验“目的――实验――猜想――论证――结论”的一般规律。基于这样的认识，可以对文中提及的“等腰三角形的性质”的教学素材进行如下处理。
实验1：探究“等腰三角形的性质”
【实验目的】通过1次折叠1个等腰三角形形成2个全等的直角三角形的活动，发现等腰三角形的性质。
根据上述实验目的，教师可以设计下列活动，让学生进行数学思考。
（1）师：今天老师为同学们准备了一些等腰三角形纸片和直角三角形纸片，这节课就和同学们玩玩这些纸片，同学们有没有兴趣？
设计意图：用这样的开场白，来激发学生的积极性。
（2）师：如何将手中的1个等腰三角形纸片，通过1次折叠形成2个全等的直角三角形？
设计意图：提出这个问题，引发学生弄清折叠的要求，进而探寻折叠的方法。这个过程，就是教师层面上设计数学实验的过程，主要由教师站在数学背景的高度来提出问题，让学生探寻实验方案。
【实验活动】让学生根据教师提出的实验要求，在思维场景中去探寻折叠与相等、对称的关系，从而让学生进行数学思考，而不是让学生麻木地去折、去猜、去碰，最终形成学生层面上的实验方案，进而达到教材中折叠的技术要求。
方案1：根据“相等原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――相等（数学结论）”这一“相等”的思路，进行折叠。
方案2：根据“对称原理”形成折叠方案。即沿着“折叠（数学活动）――重合（数学观念）――对称（数学结论）”这一“对称”的思路，进行折叠。
学生经过这个思维背景再进行数学实验（折叠），不但验证了自己的想法（方案）可行可用，而且还锤炼了数学思维。对于思维层次不高的学生，让他们自主地构建上述活动显然有困难，这个困难主要是怎么设计出折叠的方案，而对于折叠的技术，他们在与其他同学讨论交流中，也能完成这样一个折叠操作，并且在这个活动中并没有降低课本对他们的基本要求。
【数学猜想】实验是表征，通过实验发现数学结论才是本源。为此，实验后，教师要让学生直逼数学本质。这个活动一般可运用下列方法来进行。
师：通过这个数学实验，你可以得到哪些数学结论？
设计意图：让学生通过实验的过程，得到“等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在的直线都是它的对称轴;等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的高线、中线、顶角平分线重合”数学猜想。
【数学证明】实验得到的数学猜想，是基于直觉和简单逻辑下形成的，那么就有必要对数学猜想进行数学证明，因为数学的最高境界便是证明。为了实现上述目的，可以设计下列问题，引发学生证明。
师：你上述的猜想一定正确吗？
设计意图：引发学生进行理性证明。
【数学结论】通过折叠，辅之于观察、抽象、归纳、简单的推理等思维活动，形成了数学猜想;通过数学论证，即通过严格的数学推理、有力的数学证明，得到了绝对真理的数学结论。如何证明这个数学结论，是脱离数学实验，另辟蹊径;还是回归实验，探寻灵感？显然是要让学生透过实验现象，探求形成现象的本质，完成论证猜想的证明。所以在这个教学环节中，探究辅助线的作法，一定要让学生回归折叠的过程，不仅要让学生正确地引出辅助线，而且还要让学生体验辅助线诞生的必要性与合理性，这才能体现数学实验的本质价值。
【经验积累】任何一个数学活动，都要让学生形成活动经验。因为只有活动没有经验的过程，只能是一个执行命令的过程，它永远停留在重复别人想法的过程中，所以只有通过活动形成自己特有经验，才是一个将别人的想法内化为自己知识的过程，这才是学习的真正目的。这个实验活动，带给学生的经验主要有上述提及的“相等思维”和“对称思维”这两种思维方法，它既是设计折叠实验方案的基本思路，也是解决折叠问题的基本方法。
完成了探究等腰三角形的性质后，还可以用下列实验活动来探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的问题
数学实验2：探究“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
问题1：既然1个等腰三角形纸片通过1次折叠可以形成2个全等的直角三角形，那么可不可以将一个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形呢？
问题2：从将1个直角三角形通过2次折叠，形成2个等腰三角形的实验中，你们又可以得到哪些数学猜想？
问题3：你准备如何来论证这个结论？
……
这三个问题链的设计，也是基于“目的――实验――猜想――论证――结论”的理念。有价值的思维永远不是建立在技巧上，而是体现在解决一类问题的通法上，因为它是教育规律在教学实践中的具体体现。
2.数学实验要在过程分析上作整合
在“等腰三角形的性质”中，已提及到数学实验要在其过程中吸取养分，下面再根据“三角形内角和定理”，重点谈谈这个话题。
三角形内角和的实验，其立意就是把三角形的三个内角，适当地“搬搬家”，组合变成我们熟知的180°的角。学生在学习此内容时，已有平角的度数是180°、邻补角的度数是180°、平行线形成的同旁内角的和是180°等知识诸备。就“拼角实验”而言，形成新角的过程一是形成平角，二是形成邻补角。就“转角实验”而言，形成新角的过程是平行线下的同旁内角。这三种拼角的过程非常重要，它是形成证明三角形内角和定理辅助线的关键，也是设计这个实验的价值所在，教学中不容忽视。
（1）拼角实验下产生的辅助线
①由拼成平角的实验（图4），可以构造出过点A引BC平行线DE的辅助线（图5）的证法。
②由拼成邻补角的实验（图6），构造出延长BA到E，并过点A引BC平行线AD的辅助线（图7）的证法。
（2）转角实验下产生的辅助线
由拼成平行线下的同旁内角互补的实验（图8），可以构造出过点A引BC平行线AD的辅助线（图9）的证法。
通过实验，可以得到三角形内角和为180°的假设，通过证明，得到了三角形内角和定理。看似这一过程比较圆满，在此建议增加一个对上述思维过程的反思环节。可以引导学生对上述实验活动进行研究反思，正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“拼角实验”，才可以通过“拼角实验”顺利寻找出将三角形的三个内角拼成一个平角的辅助线、才可以顺利寻找出将三角形的三个内角拼成邻补角的辅助线来证明内角和定理;正因为三角形的三个内角的和是180°，我们才可以设计出“转角实验”，才可以顺利寻找出通过将三角形的三个内角拼成平行线形成的同旁内角的辅助线来证明此定理。
3.数学实验要在问题本质上作文章
数学实验与理性思维怎么处理，一直是数学实验关注的问题。物理、化学实验，常常是重过程现象，更重实验结果。而数学实验教学中，要关注的是动手思考的习惯，更注重的是实验过程中数学本质的揭示。一个好的数学实验，要能引导学生思考问题，在实验中抽象出一般的原理，用数学语言讲出数学故事。
文中所提及的“翻转杯口”的实验，如果教师看不清、看不准这个问题的数学本质，只能是引导学生机械地进行这个实验，学生必然得不到深层次的思考。这个问题的数学本质是将实验中的问题抽象为通过改变乘积中因数符号的个数，进而确定积的符号是否发生变化这样一个数学问题。基于这样的认识，就能找到这个问题规律化的结论。因此，可以将本问题作如下拓展。
结合上述解题经验，请探究：给定正面向上的扑克牌m张，每次翻动n张（m不能被n整除），试研究是否可以经过改变一张或几张牌的正反面，将桌面上的扑克牌全部反向。
我们不妨将正面向上的每张牌看成数+1，反面向上的每张牌看成数-1，每翻动一张牌，则桌子上所有牌所写的数的积就改变一次符号（由-1变为+1）。类似于，若一次翻动n张，就改变n次符号。因此，若n为奇数，由于奇数个-1的积为-1，桌子上所有牌所写的数的积就改变了符号;而若n为偶数，由于偶数个-1的积为+1，桌子上所有牌所写的数的积仍保持原来的符号。
当m为奇数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面向上，须改变积的符号。由上可见，若n为偶数，那是不可能做到的;而若n是奇数，则有可能做到，且翻动的次数必须奇数次。
当m是偶数时，要将所有正面向上的牌最终翻动成都反面朝上，不须改变积的符号。由上可见，若n为奇数，须翻动偶数次可达目的;若n是偶数，翻动次数可以是奇数也可以是偶数（如表1）。
数学实验随着课程改革的深入，越发显示出其强大的生命力，这是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在实施这一理念中教学行为上的一些偏差，我们期待更好更多的数学实验教学成果的涌现。
以现代教育思想观念武装头脑，是探索数学研究性学习的关键。现代教育思想观念要求，在探索研究性学习时，要以现代化教育思想观念武装自己的头脑，要能跳出数学看数学。新课标的教育理念认为，创新意识和创新能力不是教出来的，而是通过独立的思考和有利于创造性思维的环境激发出来的。要在课堂教学中合理渗透过程是探索数学研究性学习的突破口。
案例：《等腰三角形性质定理二》探讨课
1.提出问题
等腰三角形，除了两个底角相等的性质外，还有哪些性质呢？
2.实验探索
先用一张长方形纸片剪一个等腰三角形。将等腰三角形对折，使两腰重合，然后打开对折的三角形，观察折痕，猜想折痕有哪些性质，等腰三角形有哪些性质？
3.设置问题
（1）这个猜想是等腰三角形所特有的吗？不等边三角形会不会也有这些特点呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具备这个特点呢？
4.推理论证
（1）出示一个不等边三角形（用《几何画板》），画出同一边上的高线、中线、角平分线，观察三线并不重合。
（2）慢慢拖动三角形一顶点，将不等边三角形转化为等腰三角形，发现底边上的高线、中线、顶角的平分线互相重合。
（3）在教师的指导下，由学生证明发现的结论。
5.得出结论
本节探讨课变直接给出定理为发现定理，让学生人人参与定理的发现过程，活跃学生的思维。
一、数学开放题是实施数学研究性学习的载体
例如，怎样测量学校旗杆的高度。针对各种不同的实际情况，设计出不同的测量方法。
这是一道综合开放题，其条件、策略、结论都是开放的。（1）条件的开放性。可考虑的各种不同的条件大致有：旗杆的大小，旗杆周围的地理环境和测量者能涉足的位置、测量工具。（2）策略的开放性。可考虑的各种不同的策略大致有：直接测量、利用勾股定理进行计算。利用相似三角形的比例关系进行计算，利用三角函数进行计算等。通过这样的活动不但使学生巩固了解直角三角形的有关知识，而且使学生体会了数学的应用，以及如何创设条件将一个现实问题转化为一个数学问题。
二、注重用数学知识和数学方法处理周围的社会生活问题是研究性学习的延伸
教师在注重对学生的基础知识、基本技能进行教学的同时，更应重视学生数学思想和方法的学习以及数学能力的提高，要让学生多思、多想、多探索、多领悟，引导学生增强自己理解、分析、归纳等处理问题的能力。让学生凭借自己的智慧和能力，积极、独立地思考问题，主动探索知识，创造性地解决社会生活实际问题。
如，裁缝师傅要想在一块三角形的布料上剪出一个半径尽可能大的圆做裙子，应该如何剪才能符合要求？这个问题可归纳为怎样作一个圆和三角形的三边都相切的问题。又如，木工把一块直角三角形的木板加工成一张正方形桌子的台面，方法有很多，但若要求台面的面积最大，他应该怎么做呢？这个问题归结为二次函数的最大值问题。
关键词：面积方法；初等几何；面积比；等积变形
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）21-167-01
面积方法直观、形象，与三角形全等相比更具普遍性。面积方法几乎可以证明初等几何中的所有定理，它的思想依据简明、简洁，内涵却深刻、丰富，具有特殊的几何意义，其实际应用高明、独到，往往可以化难为易，化复杂为简单，在初等几何问题的解决中显示出了强大的生命力，对解决某些几何问题有事半功倍的效果，其巧妙之处为人称道，本文将通过实例来说明。
一、解决线段关系
证明线段的比例关系
例1.证明塞瓦定理（考虑任意点在三角形内）。
如图1，设 为 内任意一点， 、 、 分别交对边于 、 、 。
则 。
分析：直接考虑它们的比例关系很难下手，若能将线段之比转化为相应三角形的面积比，就会更简单。
证明：设 、 、 的面积分别为 、 、 ，
分别过 、 作 、 垂直于 ，垂足为 、 ，
则 ∽ ，
由性质2
，
（1）
同理有
（2）
（3）
（1）×（2）×（3）得：
。
二、证明角的关系
下边是一个很简单但很好的例子，问题设计得非常巧妙，用面积再合适不过.
例2. 如图5， 中， 、 是 、 边上的点，且 ， 、 交于G。
求证： 平分
分析：连接 、 ，已知 ，若
善于观察，会发现 和 的面积是相等
的，都等于 面积的一半，看出这一点
也就知道下一步该做什么。
证明：作 、 分别垂直于 、 ，
、 是垂足，再连接 、 ，
则则SBCF=SDCE = ABCD，
而 ，
，
≌ ，
= ，即 平分 .
本题由等面积、等底得出等高，进而求得三角形全等，对应角相等。
三、面积法作图
面积方法可以作图，下面例举个简单例子。
例3. 已知 ， 为 上一点，求作一过 的直线平分 的面积。
分析：我们知道，三角形任一条中线刚好平分三角形的面积，我们考虑利用其中线和等积变形来作图。作法：
1.如图3，作中线 ，连接 ；
2.过 作 ∥ 交 于 ；
3.连接 ，则 即所求直线。
证明：
是中线，
，
又 ∥ ，
，
=
=
在初等几何中几乎到处都能见到面积方法的身影，面积方法的应用变得越来越普遍，它的思想和方法也越来越完善，相信面积方法能走得更远。
参考文献：
