时间：2023-05-29 17:50:24
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇整式乘法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1、单项式与多项式相乘。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、乘法公式(Identities)：也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式。
（来源：文章屋网 ）
因式；教材；学情；教法
〔中图分类号〕 G633.62
〔文献标识码〕 C
〔文章编号〕 1004―0463（2011）
07（A）―0075―01
一、教材分析
“分解因式”一节内容在义务教育课程标准北师大版八年级《数学》下册第二章第一节，从内容上来看有：1.分解因式法；2.提公因式法；3.运用公式法。主要经历从整式乘法到分解因式的恒等变形，并结合小学、中学的有关知识，运用观察、类比等手段，使学生了解分解因式的意义和概念。通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，使学生认识因式分解与整式乘法的互逆关系，从而发展学生的逆向思维能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。
二、学情分析
八年级学生已经学习了整式乘法的各种运算公式，如平方差公式、完全平方公式等，体会和感受了数式与代数式在进行乘法运算时的相似关系。因此，对于整式乘法的运算已不再陌生。在本节“分解因式”的学习中，由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难。因此，教师要引导学生尝试一种新的思维模式，进行整式乘法的逆向思维。
三、教法探讨
1.体现由易到难、逐渐提升的理念。现行数学教材的特点是交叉编排，螺旋上升。即由简单到复杂，由低层次的展开到高层次的综合，不断深化。关于数式的计算对于八年级学生来讲比较容易理解，也能轻松掌握和运用。因此，在本课教学的第一环节我先设置了“看谁算得快”的活动，出示式子2.67×132+25×2.67+7×2.67，让学生用简便方法计算，从而很自然地过渡到因式分解的概念上。然后，又出示式子993-99让学生计算。许多学生都能轻松自如地先提取公共的因式99，然后再利用平方差公式求出结果为98×99×100。此时，我提问：“这个式子能够被哪些数整除？”巧妙地引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是把一个多项式化为积的形式。从而强化学生对因数分解的理解，并为学生类比因式分解搭一个台阶。
1.1专家对整体教学的认识
章建跃博士认为：日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林.长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔.把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢.也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识.
孙维刚老师认为：整体教学这种做法所起到的作用是“使学生发现知识之间盘根错节，又浑然一体，而到后来，知识好像在手心里，了如指掌，不再是一堆杂乱无章的瓦砾、一片望而生畏的戈壁滩.”[1]
1.2全息教学论下的整体教学释义
全息论的核心思想是：宇宙是一个不可分割的、各部分之间紧密关联的整体，任何一个部分都包含整体的信息.从信息观点看，教学过程就是教学信息的输通过程.而教学信息就是教学系统中传递的信息，全息性是信息的最根本属性.正如王存臻在《宇宙全息统一论》一书中指出的“全息”的基本含义：部分（子系统）与部分（子系统）、部分与整体（母系统）之间包含着相同的信息或部分包含着整体的全部信息.此即为全息律，用于教学系统即为教学全息律.它是基于全息理论的基础上发展而来的，根据全息理论，我们可以将全息教学论的核心内容表达为：基于信息的多层次全方位的关联性，在信息传递过程中，各种信息载体（语言、文字、图象、实物等）所传递出的有限信息经过处理可以获得最大限度的信息量.因此，在教学过程中，通过改进各种信息载体的组合及正确处理由此传递的信息，可以使学生最大限度地获得知识和技能，从而提高教学质量[2].基于此，着眼整体，通览全局，整合教材，轻负高效的“整体教学”应运而生.基本认识为：整体教学就是立足系统进行教学，即用整体观念统领教学系统，依据课标对现行教材进行教学内容的科学整合与整体架构，形成逻辑关联的新单元结构，用整体方法优化教学脉络并付诸实践，便于学生对原有的知识进行同化和顺应，建构起迁移能力强的知识和方法体系，督促学生有效把握解决问题的一般套路和策略，形成和积累相应的数学活动经验，发展思维与学力，化知为智，落实德化育人的旨归.
1.3全息论下《整式的乘除》的整体规划
数、式就是一对全息元，从数的角度思考式、从式的角度思考数，可以发现，数是式的具体反映，式是数的高度概括，看似相异，实则相通，一定条件下可以互相转化，“数、式通性”的说法即是见证，基于此，本单元教学把数的运算迁移到式的运算中来，打通了数、式之间的横隔，揭示了它们之间的内在关联，有助于认知负荷的降低与认知能力的提高.现行人教版教材本章共18课时，若立足整体对本章教材重新规划、适度整合，即成8课时.
第1课时：立足乘方的意义，依次探索同底数幂的乘法、除法、幂的乘方、积的乘方（这一课时直接衔接于有理数的乘方运算）；
第2课时：立足幂的运算性质、乘法对加法的分配律，依次研究单项式的乘法、单乘多、多乘多；
第3课时：立足多乘多，从一般到特殊，探索出基本公式（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，以此为起点，探寻出乘法公式；
第4课时：习题课，通过变式演练乘法公式；
第5课时：立足同底幂的除法运算性质及乘除互逆关系，探研单项式除以单项式、多项式除以单项式；
第6课时，利用互逆关系，研究多项式的因式分解；
第7课时：习题课，演练因式分解，体验互逆关系；
第8课时，全章复习，形成知识的整体缩影.
2案例课题：整式的乘法（即上文中的“第2课时”）
3教学目标
3.1类比数的运算，实施先行组织，明确整式的运算类型，构建起单元知识体系，并对乘法的类型合理定位，整体感知整式乘法的基本类型，渗透分类意识；
3.2运用“转化”的方法发现并归纳单项式的乘法法则，进而发现单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则，经历“观察—尝试—猜想—验证—概括”的系列过程，锻炼观察、发现、归纳以及语言表达能力.
3.3在编题中领会法则的意义，能熟练运用法则进行计算，体验化归思想.
4教学重难点
单项式的乘法是本节的重点，多项式乘法法则的发现是其难点.
5教学实录
5.1类比导入，再现结构
师：从小学一路走来，你们可以说久经“算”场了，请同学们一起回答我们已经认识了数的哪些运算？
生：加、减、乘、除、乘方、开方
师：说得好，加、减、乘、除、乘方我们已经比较熟悉了，开方也已经初步认识，同时我们对式已有所了解，并对整式做了探讨，当时借助数的运算已经推测出整式的运算类型，回顾一下有哪些呢？
生：也有加、减、乘、除、乘方、开方.
有理数加
减
乘
除
乘方
开方整式加
减
乘
除
乘方
开方
师：我们把这种思考问题的方式叫——
生：类比
师：对，叫类比，这是发现问题、提出问题常用的方式，也是一个好的思考习惯；现已经完成了整式的加减运算，那类比数的运算，同学们觉得接下来该研究整式的什么运算？
生：整式的乘除
师：先研究乘法还是除法？
生：乘法.
师：那么，整式乘法又有哪些基本类型呢？该怎样去运算？下面我们一起来研究.
点评这一环节的教学可圈可点，执教者通过类比数的运算建构整式的运算体系，同时让学生从整体上感知“整式的乘法”在结构中的地位，为进一步学习整式的“运算”指明了方向，假以对比，突出关联，这是教学全息律的一种体现，在渐次清晰“数式通性”的同时，为有序思维做好了铺垫，是关注学生“会学”的体现.
5.2开放思维，法则探究
5.21开放引路，类型落定
问题：下面有四个整式，从中任选两个构造乘法运算：2x，3x3y2，x3+x2y，2x2-xy2.
（1）你能写出哪些算式？
（2）试着将你写出的算式分类，你认为整式乘法有哪几种基本类型？
（3）你能尝试着运算吗？
师：我们先解决前两个问题
生1：（1）-2x·3x3y2；
（2）-2x·（x3+x2y）；
（3）-2x·（2x2-xy2）；
（4）3x3y2·（x3+x2y）；
（5）3x3y2·（2x2-xy2）；
（6）（x3+x2y）（2x2-xy2）
师（面向全体）：其他同学还有补充吗？
生：没有了.
师：那么我们就再请这位同学说明一下，你认为6个算式可分为哪几类？
生1：可分三类：单项式乘单项式，单项式乘多项式、多项式乘多项式.
整式加
减
乘单×单
单×多
多×多
除
乘方
开方
师：以上三类式子，你认为先研究哪一类较为合适？研究的一般顺序是？所遵守的原则是？
生2：先研究单项式乘以单项式，然后依次研究单项式乘多项式、多项式乘多项式，按照从简单到复杂的原则进行.
点评本环节执教者以开放题为载体，立足整体，通过问题引路，在问与追问中，穷尽算式与类型，使得本节的主题条分缕析，然后遵循从简单到复杂的认知序列，确定研究起点，层级推进，明确任务，搭建结构，用知识的内在联系驱动学生的探索与发现，是值得提倡的教学举措.
5.22拾级而上，转化探寻
师：那就从最简单的乘法算起：-2x·3x3y2=？谁能快速完成？
生3：-6x4y2.
师：说得好！计算正确、快捷.
师（追问）：112a2b·（-4ab3c）=？
生3：-2a3b4c.
师：通过以上两个问题，大家认为单项式乘以单项式该如何进行？请思考后回答.
生4：先把系数相乘，再把字母相乘.
师：谁有不同认识，请补充？
生5：字母相乘还应分成两类，一类是两个单项式都有的字母，一类是只在一个单项式里出现的字母，都有的按同底数幂运算，只在一个里的照写就行了.
师：说得很到位，稍微规整一下就是单项式乘以单项式的法则，谁来尝试？
学生尝试后成共识：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式.
师：接下来我们研究——
生：单项式乘以多项式.
师：刚才构造了（2）、（3）、（4）、（5）4个这一类型的运算，现选择（2）进行研究，该如何计算，先思考，再回答
生：尝试进行时……
师（尝试完成后）：前后4人小组交流自己的做法，并尝试归纳单项式乘以多项式的方法.
生6：计算结果为-2x4-2x3y，用的是乘法的分配律a（b+c）=ab+ac，即用-2x分别与单项式x3和x2y相乘，变成了-2x·x3与-2x·x2y的和，进一步计算而得.
师：这位同学说得很好，单项式乘以多项式看似比单项式乘以单项式复杂了，但其实就是小学学过的分配律，一个转化就成了我们熟悉的“单项式乘以单项式”.再次见证了转化的威力！
下面试试自己的身手把剩余的三个完成，好吗？
（3）-2x·（2x2-xy2）；（4）3x3y2·（x3+x2y）；（5）3x3y2·（2x2-xy2）
三生板演，其他同学在台下完成.
（4）、（5）板演正确，但（3）出现问题：-2x·（2x2-xy2）=-2x·2x2-2x·xy2=-4x3-2x2y2
师：让这位同学说说自己的想法.
生7：我用分配律把-2x分别去乘以后边多项式的两项2x2和xy2，得到这个结果.
师（追问）：请这位同学回顾一下多项式的概念？
生7：几个单项式的和.
师：说得很好，就是几个单项式的和，既然这样，那多项式2x2-xy2的项分别是什么？
生7：哦，我知道了，是2x2和-xy2.
师：同学们认为呢？
生：说得对，但他前面的计算不是这样认识的.
师：这个题目再次提醒我们，对概念的认识要精准，来不得丝毫的马虎，凭感觉往往会走偏，这位同学已经意识到自己的问题并做了纠正，鼓励一下！（全体同学掌声鼓励）
师：刚才我发现下面有几个同学也是这么做的，暴露出了对概念认识的浅薄，现在大家知道该怎样处理了吗？
生：知道了.
师：好，那谁能用文字语言表述一下单项式乘多项式的法则？
生8：略.
师：表述清晰，同学们能表达吗？
生：能.
师：根据自己的理解，仿照-2x·（x3+x2y），请同学们编写2个单项式乘以多项式的计算题？完成后同位交换互答，然后互相检查、交流.
生：编题中……
教师巡视，3分钟后，选择有代表性的4道题目展示：
（1）3x3（2x2y-4y3z）；（2）-2a（3b-4c）；
（3）（-6ab）·（112ab2-113a2b-6ab）；
（4）（2x-4x3-8）·（-112x2）
说明选择以上题目的角度：单项式有带正号、负号的；其位置的摆放有前、有后的；多项式的项数有两项、三项等特点
4名同学板演，其他同学台下完成，总体完成较好.
师：同学们编得不错，解答得也很好，说明对“单乘多”的认识已由初步走向了深入.到现在还有哪一类计算没解决？
生：多项式乘以多项式
师：那我们能否借助前面获得的经验，乘胜追击，把（x3+x2y）（2x2-xy2）算出？
生：一时语塞，等待、观望.
学生独立思考2分钟后，开始有举手示意会的，但较少，笔者见状，组织4人小组展开讨论，并巡视指导……
4分钟后，交流开始.
生9：仍用分配律，不过我把（x3+x2y）看成了一个“整体”，仿照单项式乘以多项式的方式计算的，即（x3+x2y）·2x2+（x3+x2y）·（-xy2），再重复单项式乘以多项式的方式而算出.
生10：我的计算不一样，我看（x3+x2y）前面是正号，所以先把（x3+x2y）的括号去掉.
师（惊讶）：去括号？！那你的计算结果和生9的一样吗？
生10：一样.
师：一样！好，说下去.
生：把它分别乘以（2x2-xy2），得x3（2x2-xy2）+x2y（2x2-xy2），再用分配律展开
师（如释重负）：哦，这样计算的，同学们看一下，她这样算实际上走了怎样的一条路？
生：她是把（2x2-xy2）看做整体了，
师（面向全体）：同学们，这样算可以吗？
生：可以.
师：这位同学说把括号去掉是不合适的，她实际上把（2x2-xy2）视为整体，用分配律把（2x2-xy2）分别乘以x3与x2y了，显然与生9的思路是一样的，只是整体元素看待的差异，都很好！这种思想很值得学习！
师：不难看出，多项式乘以多项式的运算，我们可以把它变成怎样的运算？
生：单项式乘以多项式.
师：现在我们对照刚才计算的结果，思考一下，能否直接把多项式乘以多项式过渡到单项式乘以单项式呢？
生11：能，把它们都乘一遍.
师：能具体一些吗？
生11：用第一个多项式的第一项分别乘完第二个多项式的两项，再用第一个多项式的第二项分别乘完第二个多项式的两项，最后把四个积加起来.
师：说得很好，谁能再精简一下语言，尝试表述多项式乘以多项式的运算法则？
生12：略.
师：可见，通过刚才的法则，也可以直接把多项式乘以多项式一步到位变成单项式乘以单项式，使得运算变得更简捷.同学们，同位交流一下，想法把法则变成自己的解题武器.
生：互相提问，气氛热烈……
师：至此，本节课的设定任务基本完成了，请同学们回顾一下整节课，贯穿始终的一个重要的数学思想是——
生：转化思想
师：是的，转化在这一节课帮了我们的大忙，同时让我们感触到了它的魅力！转化可以说无处不在，当我们遭遇困惑时，不妨转换一个视角，或许思路就豁然洞开！
点评这一环节是教学实施的核心，执教者以转化为主脉，引动学生循着单项式乘以单项式的轨道，渐次探明单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则，其中多乘多是个难点，学生至此有了阻力，执教者思路一转，组织学生通过独立思考——小组合作——集体交流的多维方式，帮助学生拨开云雾，把难点突破，可贵的是，执教者面对难点，没有刻意地化难为易，降低门槛，而是把它组织成了质疑——析疑——解疑——释疑的探寻过程，磨练了学生的探索力，提升了学生的思维力.
5.3照应课始，点石成金
师：同学们一节课自编自解，完成得不错，通过近几节的学习，我们反观已经建立起的运算体系，已经完成了哪些部分？
（通过学生的问答，把新研究纳入知识的整体框架中.）框图局部修改为：
整式加√
减√
乘单×单√
单×多√
多×多√
除
乘方
开方
师：从框架中可以看出，下一步将研究什么？
生：理应是除法运算了，
师：乘法完成后，自然想到了除法，但现在的问题是一般的整式乘法已经学完，在一般之下，我们常常还要研究一般中的——
生：特殊.
师：说得好！研究问题常常遵循着这样一个套路：从特殊到一般，或从一般到特殊，明天我们将展开对多项式乘法特殊结构的探索.
点评本小结打破了“谈收获”的惯习，而是全局立意，照应课始，把所学纳入系统，使学生在局部完善的驱动下，展开微探索，同时以问答的方式，引发学生的思考，微调乘法之下为除法的惯性认识，揭示出一般之下往往研究其特殊关系的基本套路，为下一节课明确了任务，使得本节的终点成为新的起点，这种前后贯通的做法，值得借鉴，同时，这种具体化行为彰显出执教者全息教学论下的整体观.
6反思与自评
合理规划，整体推进，其实映照出的就是对教学简约的追求，削枝强干，凝结体系，抓好起点，开掘数学的内部力量，不断让知识在系统内生长、壮大，从而成为脉络清晰的知识地图、逻辑框架，便于学生的记忆、存储、提取，如此设置，知识的出现自然、顺畅，有水到渠成之感，新旧知识的对接浑然天成，认知结构在生长中不断完善，能有效降低学生的认知负荷，以赢得学习的效率.
7总评
这一堂课，是滨州市2013年初中数学研讨会观摩课改进后的实践课例，执教者用刚入学一个月的初一学生，一节课学习了三课时的内容，其容量之大，难度之高，不必多言，堪称大胆.从整堂课可见，看点不断、精彩连连，效果不错.对于本节，一般习惯于探出单项式乘以单项式法则后，学例题、强反馈、固新知，反复演练，而本节待单乘单完成后，并没有止步于此，而是以此为起点，积极前进，去攻克新的堡垒——单项式乘以多项式，然后借助已有的分配律的基本经验，瞬时打开局面，探出运算法则，至此，通过自编自解，进一步深化单乘多、单乘单，在这个过程中去领会转化思想.稍事调整后，乘胜追击，突破最后一道屏障——多项式乘以多项式，这一法则“难缠”，可谓让学生遭遇“劫难”，但功夫不负有心人，通过个别引领、小组交流，接近一半的小组有了想法，一个小组的整体看待，破解了疑点，另一个学生不规范的表述，深化了认识，这种转化具有较高的思维含量，小组的作用发挥得淋漓酣畅，在磕磕绊绊中把它拿下，有效地实现了难点的突破.
通览整节课，充分流露出一条内在的逻辑线索，层层递进，循环巩固，清澈的课堂上，写着简约、凝着大气，思想方法潺潺流淌，数学的本色充分展露，不失一节有创意的课，彰显出执教者的胆识与智慧.
参考文献
现实生活中，我们经常会遇到“似曾相识”的情境，如果把“似曾相识”的东西作比较，再加以联想总结，可能会获得许多意想不到的收获. 这种“把类似问题进行比较、联想，由一个数学对象已知的性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比. 我们现在学习的“二次根式”，可与整式的相关知识进行类比. 我们通过下面几例的分析，来共同感受“类比思想”的应用.
一、 “同类二次根式”与“同类项”
【解析】（1）（2）组中的二次根式被开方数相同，称为同类二次根式；而第（3）组中二次根式，经过化简后被开方数也相同，所以也是同类二次根式.
【感悟】七年级时确定同类项的方法：一看字母要相同，二看相同字母的指数分别相同，三不看系数. 现在判断同类二次根式的方法：一化为最简，二看被开方数，三不看根号外的系数.
二、 “合并同类二次根式”与“合并同类项”
【感悟】整式的加减的实质就是合并同类项，而二次根式加减的实质就是合并同类二次根式；利用类比的思想可归纳二次根式加减的步骤：一化简，二寻找，三合并.
三、 “二次根式的乘除运算”与“整式的乘除运算”
【解析】二次根式的乘除运算中，出现了类似多项式乘以单项式、多项式除以单项式，多项式乘以多项式的运算，因此整式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 同学们自己尝试计算.
【感悟】整式的乘除法法则类似地应用于二次根式的乘除法运算，所不同的是二次根式运算的结果不仅要不含同类二次根式，还要化为最简. 利用乘法公式可以使二次根式运算简单便捷.
我们“结识新朋友，不忘老朋友”，要展开联想的翅膀，将新旧知识联系归类，积累数学经验，提升学习能力. “类比思想”方法是解决陌生问题的一种常用策略，它让我们充分开拓思路，运用已有知识、经验，将陌生的、不熟悉的问题与已有知识和经验类比，从而创造性地解决问题. 通过“类比”，可以使一些复杂问题简单化；有了“类比”，我们的思维将更加开阔，今后我们还期待着会用“类比”来解决其他复杂的新问题.
二、重点、难点分析
本节的重点是：单项式乘法法则的导出.这是因为单项式乘法法则的导出是对学生已有的数学知识的综合运用，渗透了“将未知转化为已知”的数学思想，蕴含着“从特殊到一般”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一.
本节的难点是：多种运算法则的综合运用.是因为单项式的乘法最终将转化为有理数乘法、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等运算，对于初学者来说，由于难于正确辩论和区别各种不同的运算以及运算所使用的法则，易于将各种法则混淆，造成运算结果的错误.
三、教法建议
本节课在教学过程中的不同阶段可以采用了不同的教学方法，以适应教学的需要.
(1)在新课学习阶段的单项式的乘法法则的推导过程中，可采用引导发现法.通过教师精心设计的问题链，引导学生将需要解决的问题转化成用已经学过的知识可以解决的问题，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，学生始终处在观察思考之中.
(2)在新课学习的例题讲解阶段，可采用讲练结合法.对于例题的学习，应围绕问题进行，教师引导学生通过观察、思考，寻求解决问题的方法，在解题的过程中展开思维.与此同时还进行多次有较强针对性的练习，分散难点.对学生分层进行训练，化解难点.并注意及时矫正，使学生在前面出现的错误，不致于影响后面的学习，为后而后学习扫清障碍.通过例题的讲解，教师给出了解题规范，并注意对学生良好学习习惯的培养.
(3)本节课可以师生共同小结，旨在训练学生归纳的方法，并形成相应的知识系统，进一步防范学生在运算中容易出现的错误.
教学设计示例
一、教学目的
1.使学生理解并掌握单项式的乘法法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算.
2.注意培养学生归纳、概括能力，以及运算能力.
3.通过单项式的乘法法则在生活中的应用培养学生的应用意识.
二、重点、难点
重点：掌握单项式与单项式相乘的法则.
难点：分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则.
三、教学过程
复习提问：
什么是单项式?什么叫单项式的系数?什么叫单项式的次数?
引言我们已经学习了幂的运算性质，在这个基础上我们可以学习整式的乘法运算.先来学最简单的整式乘法，即单项式之间的乘法运算(给出标题).
新课看下面的例子：计算
(1)2x2y·3xy2;(2)4a2x2·(-3a3bx).
同学们按以下提问，回答问题：
(1)2x2y·3xy2
①每个单项式是由几个因式构成的，这些因式都是什么?
2x2y·3xy2=(2·x2·y)·(3·x·y2)
②根据乘法结合律重新组合
2x2y·3xy2=2·x2·y·3·x·y2
③根据乘法交换律变更因式的位置
2x2y·3xy2=2·3·x2·x·y·y2
④根据乘法结合律重新组合
2x2y·3xy2=(2·3)·(x2·x)·(y·y2)
⑤根据有理数乘法和同底数幂的乘法法则得出结论
2x2y·3xy2=6x3y3
按以上的分析，写出(2)的计算步骤：
(2)4a2x2·(-3a3bx)
=4a2x2·(-3)a3bx
=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x2·x)·b
=(-12)·a5·x3·b
=-12a5bx3.
通过以上两题，让学生总结回答，归纳出单项式乘单项式的运算步骤是：
①系数相乘为积的系数;
②相同字母因式，利用同底数幂的乘法相乘，作为积的因式;
③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式;
④单项式与单项式相乘，积仍是一个单项式;
⑤单项式乘法法则，对于三个以上的单项式相乘也适用.
看教材，让学生仔细阅读单项式与单项式相乘的法则，边读边体会边记忆.
利用法则计算以下各题.
例1计算以下各题：
(1)4n2·5n3;
(2)(-5a2b3)·(-3a);
(3)(-5an+1b)·(-2a);
(4)(4×105)·(5×106)·(3×104).
解：(1)4n2·5n3
=(4·5)·(n2·n3)
=20n5;
(2)(-5a2b3)·(-3a)
=[(-5)·(-3)]·(a2·a)·b3
=15a3b3;
(3)(-5an+1b)·(-2a)
=[(-5)·(-2)]·(an+1·a)b
=10an+2b;
(4)(4·105)·(5·106)·(3·104)
=(4·5·3)·(105·106·104)
=60·1015
=6·1016.
例2计算以下各题(让学生回答)：
(3)(-5amb)·(-2b2);
(4)(-3ab)(-a2c)·6ab2.
=3x3y3;
(3)(-5amb)·(-2b2);
=[(-5)·(-2)]·am·(b·b2)
=10amb3
(4)(-3ab)·(-a2c)·6ab2
=[(-3)·(-1)·6]·(aa2a)·(bb2)·c
如果一个多项式的各项都含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，把乘法公式反过来就可以用来把某些多项式分解因式。
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。
（来源：文章屋网 ）
一、单项式
1、单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，如：2a中的数字因数2就是它的系数。
注意：
1单项式的系数包括其前面的符号，如单项式-25X的系数是-25，而不是25。
2当系数是1或-1时，1常省略不写，但符号是负号时不能省略。如1×a=a，-1a=-a，它们的系数分别是1和-1。
3π是一个常数，而不是字母，如2π 的系数是2π，而不是2。
4特别注意判断分数形式的单项式的系数，如 也可写成 ，其系数是 ，而不是-3。
5单项式系数是带分数时，要写成假分数，如
。
2、单项式的次数
单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
如： 的次数是1+1=2， 次数是6。
二、多项式的项
多项式中，每个单项式叫做这个多项式的项，其中，不含字母的项叫常数项。注意：多项式的项包括其前面的符号。
如：中， 中， ， ，-2是它的项，
-2是常数项。
三、同类项
1、定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项。
含相同字母
2、判断同类项的两个标准
相同字母指数相同
如： 与 是同类项。
注意：
1同类项与各项系数无关，如： 与 是同类项。
2同类项与字母顺序无关，如： 与 是同类项。
3所有的常数项是同类项。如：2和π是同类项。
四、合并同类项
1、把多项式中的同类项合并成一项，叫合并同类项。
2、合并同类项的理论依据：乘法分配律的逆运用。
如 ，反过来
，
3方法：把同类项的系数相加作为新的系数，而相同字母及字母指数不变。如：
五、去括号法则：
1、如果括号外的因数是正数，去括号后原来括号内各项的符号不变。如
2、如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项符号改变。如：
3、去括号时，要注意乘法分配律的应用，括号内的每一项都要乘以括号前的因数。
六、整式加减的运算法则
一般，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
七、例题讲解。
例：已知 ，求
的值。
解：
且
=
=
当 ， 时
原式=
注：对于一个形式复杂的式子，先化简，然后再代入求值可以简化计算。
预习策略
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2015）07A-
0108-01
在当前的“自主、合作、探究”的学习模式下，“预习”这一环节在不知不觉中被教师和学生所遗忘。很多学生课前不预习，教师也不重视，课堂上教师讲得头头是道，学生却不知所云。主要原因是大部分学生对预习没有主动性，没有正确的预习方法，只是把预习当成一种任务来做。但随着自主探究教学模式广泛应用，课前预习的重要性已不容置疑。
一、课前预习的意义背景
数学具有自身的逻辑严密性，知识的系统性、抽象性、逻辑性、科学性都比较强，数学知识必须先经过学生的自主探究，再经过周密细致的思考，与已掌握的相关知识紧密联系，同化到已有的知识结构中去，才能更好地掌握新的知识，形成数学能力。离开了学生的自学、思考，教师传授的知识就是死板的、零星的，不能为学生传道解惑，达不到相应的教学目的。因此，指导学生进行课前预习是非常有必要的。
二、课前预习的地位价值
本校是一个县级民族中学，农村孩子占80%以上，学生学习能力水平参差不齐。调查结果显示，经常预习的学生的数学平均成绩要高于不预习的学生的成绩，而且差异是显著的。经过多年的教学实践，笔者认为课前预习的学生有三大收获：①可以了解下一节数学课要学习的内容。②运用已有知识独自解决一些问题，巩固旧知。③通过长期的预习有利于提高学生的自主学习能力、阅读能力和培养学生良好的学习习惯。综上所述，课前预习是提高学生数学知识效率的保证。
三、课前预习的方法运用
从调查结果看，造成学生在预习中存在的问题有主观因素，也有客观因素，不同年龄阶段的学生有不同程度的学习问题，只有找出原因，才能更好地解决问题。
（一）致力于培养学生的预习习惯
从调查统计来看，对“你觉得有预习的必要吗”的问题绝大多数学生的回答是肯定的。但是，因为没有养成良好的预习习惯，没有一定的预习经验，导致学生的预习是时有时无，根本达不到预习的要求。这时需要教师给学生提供一些预习方向，可以印发一些预习学案，根据学习内容设计一些联系新旧知识的解答题。比如学习分式的基本性质，可以类比分数的基本性质提出有关问题，并于课前分发给学生，为学生提供了独立思考的条件，逐步培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进一步养成良好的预习习惯。
（二）注重有效预习方法的指导
预习不只是圈一圈、读一读、画一画定理、法则和公式，同学之间相互合作探究数学规律也是很重要的，只有亲历知识的形成过程，才能真正发现并掌握数学规律，总结出重要的性质定理。笔者认为，在浏览整节内容后，学生还要具体做到以下两点：①找出主要知识点，熟记概念、公式、法则、公理和定理等教材中的蓝体字。比如在预习《整式乘法》中的平方差公式时，笔者举出几道具有平方差特征的例子，让学生运用多项式乘以多项式的法则来计算，然后引导学生观察算式和计算结果的特征，总结出具有这种特征的式子的运算规律，并用自己的语言表达出来。学生亲自体验和经历了知识的形成过程，加深了对公式和法则的理解，增强了学习的信心。②教材中的问题、例题、思考、探究等也要求学生类比旧知动手算一算，经历一番思维训练，才能发现问题，才会有目的地听课，提高整体听课的效率。比如在分式方程的学案中，笔者先举出一个含有分数系数的一元一次方程让学生复习其解法和步骤，然后进行变式把分数的分母添上未知数得出一道分式方程，引导学生参照一元一次方程的解法互相探索讨论，归纳分式方程的解法。
四、课前预习取得的效果
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，而预习正是数学活动的开始，做好预习就是给学生的数学学习活动起了个好的开头。①对没有掌握好的旧知及时补缺；②掌握新知重难点，提高听课效率；③提高自主学习能力。例如，在预习《因式分解》时，学生首先复习整式的乘法概念，结合例子容易观察出是把几个整式的乘积化为一个多项式的形式，也就是积化和差的形式，把这样的形式反过来，就是和差化积，这样的形式就是因式分解。学生很自然地理解了因式分解的概念，也容易得出因式分解与整式乘法是互逆的过程，明白了因式分解的结果也可以用整式的乘法来检验，有了这样的认知基础，学生就会积极主动地参与因式分解的学习。
二、重点、难点分析
本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用.
1.幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
(都是正整数)
幂的乘方
的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质.
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成.
幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如.
2.积和乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即
(为正整数).
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如：
3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).
4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等.
三、教法建议
1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如
对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明
可以写成.这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基础上再导出性质.
2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明：
(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质.
(2)记清幂的运算与指数运算的关系：
(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);
幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.
3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么.三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因;要注意防止两个错误：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
幂的乘方与积的乘方(一)
一、教学目标
1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算.
2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力.
3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力.
4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神.
5.渗透数学公式的结构美、和谐美.
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、尝试指导法.
2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题.
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
准确掌握幂的乘方法则及其应用.
(二)难点
同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用.
(三)解决办法
在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质.
3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用
(二)整体感知
幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式.
(三)教学过程
1.复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示.
(2)计算：①②
2.探索新知，讲授新课
(1)引入新课：计算和和
提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法.计算过程按课本，并注明每步计算的根据.
观察题目和结论：
推测幂的乘方的一般结论：
(2)幂的乘方法则
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
字母表示：.(，都是正整数)
推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据.
(3)范例讲解
例1计算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2计算：
①
②
解：①原式
②原式
练习：①P971，2
②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()
A.B.
C.D.
(四)总结、扩展
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
1．数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计等方面的直观感觉。建立“数感”有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情景中的数量关系。
数感可以理解为能够进行“数学地思考”．数学教学中发展学生的数感主要是指，培养学生具有应用数字表示现实中的数量关系的能力；在不同情况下能够选用适当的方法进行心算、笔算、机算或估算的能力；对所得数据进行检验，分析其现实意义和精确性的能力。
通过实际背景理解数的意义，是发展学生数感的有效手段．如学生理解－2可以表示后退两步， ■可以表示边长为1的正方形的对角线长等，有助于在学生头脑中确立有理数、实数等数的概念。能将这些数的概念与它们所表示的实际含义准确联系起来，就是学生的数感得到了发展的体现。
对数的大小及运算结果的估计，都与学生的数感有密切的联系。如用平方夹逼法来计算■ 的大小，用有理数估计2－■的范围等，有助于学生对无理数的理解。指导学生每做完一道题目，先估计一下数值，然后与实际计算所得的答案比较，能够使学生及时觉察出错误并加以更正。这样的良好估算习惯的形成过程也是学生的数感得到发展的过程。
2．符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
数学课程的一个任务就是使学生感受和拥有使用符号的能力。然而数学教学中，理解“符号运算”似乎是一个极大的难关。例如，在解决“每千克苹果的价格为6元，用代数式表示n千克苹果的总价。”这一问题时，有的学生总希望n是一个具体的数值，而不是一个大小不确定的字母．换言之，树立用字母表示数的意识，是学生建立符号意识的必由之路。
事实上，学生已有的生活经验中潜藏着“符号意识”，这是发展学生的“符号意识”的重要基础。比如，当他们看到店门前精致的“M”时，立刻就可想到麦当劳．这种生活中的符号意识对数学中的符号意识的形成起着积极的促进作用。如遇到“每千克苹果的价格为6元，用代数式表示n千克苹果的总价”这一问题时，可以先给出一些具体的数值进行计算，然后用6×来表示每个运算的结果，学生一般易于接受这一表示形式．此时再将换作n，突出这里的n的符号作用，从而使学生理解，原来这些符号只是在自己头脑中挖掘出来的．教师引导学生经历这样的探索、体验的过程，有利于学生的符号意识的形成。
教师要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号意识。例如对于公式a2－b2=(a+b)(a－b)，可以通过图形的剪拼帮助学生理解其实际意义，加深学生对公式的理解．重要的不是结果的正误，而是在解决问题的过程中是否进行了正确运用了符号意识进行思考。
3．运算是“数与代数”的重要内容，运算是基于法则进行的，通常运算满足一定的运算律。学习这些内容有助于理解运算律，培养运算能力。
初中数学课程标准淡化了推理证明，随之而来的就是对运算能力的要求相对突出。
数与式的运算是中学阶段所有运算最基础的内容．方程(组)、不等式、函数等运算都是建立在数与式的运算基础之上．这部分运算包括有理数及实数的运算、整式及分式的运算、整式乘法的逆运算――因式分解等。
数学教育理论认为数学概念教学应该注重概念产生的背景、提出（引入）过程等环
节[1];数学概念学习APOS理论模型认为学生学习数学概念进行心理建构的第一阶段就是操作或活动阶段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科书的演变过程中，因式分解内容也从讲解式发展到启发式，尤其注重从实际的例子引入，以便学生理解[3]。不难看到，概念的背景和引入是概念教学非常重要的起步。至此，笔者将因式分解概念的背景介绍和引入作为备课的重点之一，让学生通过这节课体会因式分解概念学习的必要性和重要性。
一、基于概念背景的因式分解教学设计
为更好地引入因式分解这一概念的背景，笔者进行了如下的教学设计片段：
二、基于概念背景的因式分解思考
笔者将课程的引入设计为以上三重思考，通过一些例子来渗透因式分解这一概念的必要性和重要性，让学生在一个大的背景下学习因式分解概念。
1. 因式分解与学科内容的逻辑关系
因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系。因式分解是后续学习分式、二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具。因此，“思考1”的设计是想让学生体会到因式分解和后续学习的密切关系。笔者选择从分式化简的角度来引导学生思考，学生通过和很容易想到了要想化简，只需要将分子 写成乘积的形式。
2. 因式分解与实际应用
“思考2”展示了长方形草坪和长方体纸盒的设计问题：当长方形草坪的面积一定时，如何设计它的长和宽，当长方体包装盒的体积一定时，如何设计它的长、宽、高。尽管这样的设计不唯一，但学生通过12=4×3和ab=a b也容易想到将a2-b2写成两个式子乘积的形式，将a3+2a2b+ab2写成三个式子乘积的形式，这样的问题让学生切实感受到生活中的一些实际问题也需要用到“将某个式子写成乘积的形式”，同时让学生感受因式分解有其几何背景。
3. 因式分解与思维训练
在评课活动中，老师们曾提到，“思考1”和“思考2”的设计是在他们意料之中的，但“思考3”的设计在他们意料之外。有老师问到，这样的问题学生在学完本课之后能解决吗？笔者认为“思考3”的设计目的并不是让学生一定会对n4+4进行因式分解，而是想让学生感受因式分解在数学史中的地位和作用，同时用这样一个数学史的问题引起学生的兴趣和思考，带着这个问题学完本章，在章节结束时顺其自然地解决这个问题。在实际授课过程中，笔者感受到学生对“思考1”和“思考2”的回答很流畅，而对“思考3”的回答就没那么顺畅了。笔者提示学生从具体的数入手计算，学生们行动起来，并把得到的数进行质因数分解，说明它是合数，也由此想到了是否能把n4+4也写成一些式子乘积的形式。
三、小结
至此，学生已经对“把某个式子写成乘积形式”这一变形的印象非常深刻了，此时提出因式分解的概念便水到渠成。后续教学过程就是围绕因式分解与整式乘法是互逆变形的关系归纳概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后讲解了一种因式分解的基本方法―提公因式法。在本课的最后，笔者又回到了课程起始的三个思考，学生恍然大悟，要解决这三个问题，其实就是对a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4进行因式分解。
整堂课下来，学生给笔者的感觉是他们多多少少体会到了学习因式分解概念的必要性，概念的产生也没有那么突兀。这使笔者感到这样的思考和备课是很有意义的。回顾已有学者、研究者对数学概念教学的研究，我们看到，概念的背景和引入虽然只是概念教学的一部分，但它却是概念教学非常重要的起步。在数学教科书的演变过程中，我们洞察到因式分解概念教学越来越注重从实际例子引入，从大的背景出发，启发学生思考，使概念在课堂中的产生顺理成章。
概念的背景也许并不止这些，但只要教师在教学时或多或少地设计一些有关概念背景的教学并持之以恒，就能对学生的学习和教师的成长大有裨益。
参考文献：
[1]李善良. 数学概念学习研究综述[J]. 数学教育学报， 2001（8）：19-22.
[2]鲍建生， 周超. 数学学习的心理基础与过程[M]. 上海： 上海教育出版社， 2009： 380.
关于任何事物的知识都有五个层次或者要素：事物的名称、定义、形象，有关事物的智识或者知识，以及事物本身，下面给大家分享一些关于八年级上册数学复习提纲2020，希望对大家有所帮助。
八年级上册数学复习提纲1分式及基本性质
一、分式的概念
1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：
(1)分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用;(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;(3)分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件
(1)分式有意义的条件：分式的分母不等于0;
(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：
当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使=0的条件是：A=0，B≠0。
5、有理式
整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。
分类：有理式
单项式：由数与字母的乘积组成的代数式;
多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质
1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：==，其中M(M≠0)为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的次幂、所有不同字母及指数的积。(2)如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
在约分时要注意：(1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的公约数，相同字母的最低次幂;(2)如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分;(3)约分一定要把公因式约完。
三、分式的符号法则：
(1)==-;(2)=;(3)-=
分式的运算
一、分式的乘除法
1、法则：
(1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。(意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘)。
用式子表示：
(2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示：
2、应用法则时要注意：(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”;
(2)当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方
1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：(其中n为正整数，a≠0)
2、注意事项：(1)乘方时，一定要把分式加上括号;
(2)在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分;(3)最后结果要化到最简。
三、分式的加减法
(一)同分母分式的加减法
1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：
2、注意事项：(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号;
当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
(二)异分母分式的加减法
1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：。
2、注意事项：(1)在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
(2)若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。
四、分式的混合运算
1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。
遇到括号时，要先算括号里面的。
2、注意事项：(1)分式的混合运算关键是弄清运算顺序;
(2)有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律;(3)分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。
可化为一元一次方程的分式方程
一、分式方程基本概念
1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、理解分式方程要明确两点：(1)方程中含有分式;
(2)分式的分母含有未知数。
分式方程与整式方程区别就在于分母中是否含有未知数。
二、分式方程的解法
1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。
途径：“去分母”。
方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。
2、解分式方程的一般步骤：
(1)去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。
3、分式方程的增根。
意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。
三、分式方程的应用
1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。
2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：
(1)审题。理解题意，弄清已知条件和未知量;
(2)设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种;
(3)找出题目中的等量关系，写出等式;
(4)用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程;
(5)解方程。求出未知数的值;
(6)检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。
零指数幂与负整数指数幂
一、零指数幂
1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1(a≠0)。
2、特别注意：零的零次幂无意义。
即00无意义。若问当x=_____时，(x-2)0有意义。答案是：x≠2。
(2)按照定义分为：
二、负整数指数幂
1、定义：任何不等于的数的-n(n为正整数)次幂，都等于这个数的n次幂的倒数，
即a-n=(a≠0，n为正整数)
2、注意事项：
(1)负整数指数幂成立的条件是底数不为0;
(2)正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂，即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围;
(3)要避免像5-2=-2×5=-10的错误，正确算法是：。
三、用科学计数法表示绝对值小于1的数
1、规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幂，把它表示成a×10-n(n为正整数)，其中1≤|a|
2、注意事项：
(1)n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的那个零)。如-0.00021=-2.1×10-4
(2)注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。
(3)写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。
八年级上册数学复习提纲2第一章一元一次不等式和一元一次不等式组
一、一般地，用符号“”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式的解不，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.求不等式解集的过程叫解不等式.
由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组
不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。
等式基本性质1：在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，所得的结果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.
二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变.(注：移项要变号，但不等号不变。)性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基本性质、若a>b,则a+c>b+c;、若a>b,c>0则ac>bc若c
不等式的其他性质：反射性：若a>b,则bb,且b>c,则a>c
三、解不等式的步骤:1、去分母;2、去括号;3、移项合并同类项;4、系数化为1。四、解不等式组的步骤:1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集。五、列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：(1)审题;(2)设未知数，找(不等量)关系式;(3)设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)(4)解不等式组;检验并作答。
六、常考题型：1、求4x-67x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1r的解适合2(x-5)8a,求a的范围.
3、当m取何值时，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。
第二章分解因式
一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、a2-b2=(a+b)(a-b)3、a2±2ab+b2=(a±b)2二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mcm(a+b+c)4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：(1)若各项系数是整系数，取系数的公约数;(2)取相同的字母，字母的指数取较低的;(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:(1)若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式.分解因式的方法：1、提公因式法。2、运用公式法。
第三章分式
注：1°对于任意一个分式，分母都不能为零.
2°分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.
3°分式的值为零含两层意思：分母不等于零;分子等于零。(中B≠0时，分式有意义;分式中，当B=0分式无意义;当A=0且B≠0时，分式的值为零。)
常考知识点：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加减乘除运算。3、分式方程的解法和其利用分式方程解应用题。
第四章相似图形
一、定义表示两个比相等的式子叫比例.假如a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,这时组成比例的四个数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d为外项，c、b为内项.假如选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比(ratio)AB∶CD=m∶n，或写成=，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项.假如把表示成比值k，则=k或AB=kCD.四条线段a,b,c,d中，假如a与b的比等于c与d的比，即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割的定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，假如,那么称线段AB被点C黄金分割(goldensection),点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618.引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形:各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.
二、比例的基本性质：1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么.假如(b,d都不为0)，那么ad=bc.2、合比性质：假如,那么。3、等比性质：假如=…=(b+d+…+n≠0)，那么。4、更比性质：若那么。5、反比性质：若那么
三、求两条线段的比时要注意的问题：(1)两条线段的长度必需用同一长度单位表示，假如单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比;(2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关;(3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数.
四、相似三角形(多边形)的性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例,相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法，判断方法有：1.三边对应成比例的两个三角形相似;2.两角对应相等的两个三角形相似;3.两边对应成比例且夹角相等;4.定义法:对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两个全等三角形一定相似.2、两个等腰直角三角形一定相似.3、两个等边三角形一定相似.4、两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
七、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。假如两个图形不只是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比。
八、常考知识点：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质和判定。相似多边形的性质。
八年级上册数学复习提纲3变量与函数
一、变量与常量
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，叫做变量。
常量：在某一变化过程中，取值(数值)始终保持不变的量，叫做常量。
2、注意事项：
(1)常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的;
(2)离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的;
(3)在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。如三角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。
二、函数概念
1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。
2、对函数概念的理解，主要抓住三点：
(1)有两个变量;
(2)一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化;
(3)自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。
三、函数的表示法：(1)列表法;(2)图象法;(3)解析法。
四、求函数自变量的取值范围
1.实际问题中的自变量取值范围
按照实际问题是否有意义的要求来求。
2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围
例1.求下列函数中自变量x的取值范围
(1)解析式为整式的，x取全体实数;
(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义;
(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义;
(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。
3.函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值;
实际上就是以前学的求代数式的值。
函数的图象
一、平面直角坐标系
1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中水平的数轴叫做横轴(或x轴)，取向右为正方向;竖直的数轴叫做纵轴(y轴)，取向上为正方向;两轴的交点O叫做原点。在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。
2、坐标平面内被x轴、y轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
注意：x轴、y轴原点不属于任何象限。
3、平面直角坐标系中的点分别向x轴、y轴作垂线段，在x轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标，在y轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。
点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。
写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。
如P(3，2)横坐标为3，纵坐标为2。
特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。
所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。
4、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。
5、坐标的特征
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数;在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数;
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数;在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数;
(2)x轴上点的纵坐标等于零;y轴上点的横坐标等于零.
6、对称点的坐标特征
(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反;
(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同;
(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。
(4)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同;
(5)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。
7、点到两坐标轴的距离
点A(a，b)到x轴的距离为|b|，点A(a，b)到y轴的距离为|a|。
二、函数的图象
1、意义：对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。
2、作函数图象的方法：描点法。
步骤：(1)列表;(2)描点;(3)连线。
3、一般函数作图象，要求横轴和纵轴上的单位长度一定要一致，按照对应的解析式先计算出一对对应值，就是坐标，然后描点，再连线;
画实际问题的图象时，必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便，建立直角坐标系时，横轴和纵轴上的单位长度可以不一致。
一次函数
一、一次函数的概念
之所以称为一次函数，是因为它们的关系式是用一次整式表示的。学习此概念要从两个方面来理解。
(1)从其表达式上：
一次函数通常是指形如：y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，凡是成这种形式的函数都是一次函数。而当b=0时，即y=kx(k≠0的常数)，则称为正比例函数，其中k为比例系数。
(2)从其意义上：
它们表示的是两个变量之间的关系，这种函数关系具有特定的意义，如，如果说两各变量之间具有一次函数关系，我们就可按照概念设出函数关系式，成正比例关系的也同样，如，若s与t成正比例关系，我们便可设s=kt(k≠0，t为自变量)
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是y=kx这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的固定正比例关系，如a+3与b-2成正比例，则可表示为：a+3=k(b-2)(k≠0)
二、一次函数的图象
正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解析式也称为“直线y=kx+b，直线y=kx”。因为一次函数的图象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个点，在通过两点作直线即可。
1、画正比例函数y=kx(k≠0的常数)的图象时，只需要这两个特殊点：(0，0)和(1，k)两点;
2、画一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的图象时，只需要找出它与坐标轴的两个交点即可。
一次函数与x轴的交点坐标是：(0，b)，与y轴的交点坐标是：(-，0)
3、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。
4、将y=kx的图象沿着沿着轴向上(b>0)或向下(b
5、求两一次函数的交点坐标：联立解两各函数解析式得到的二元一次方程组，求的自变量x的值为交点的横坐标，求出的y的值为交点的纵坐标。
三、一次函数的性质
一次函数的性质是由k来决定的。
1、正比例函数y=kx(k≠0的常数)的性质
(1)当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。
(2)当k
2、一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的性质
(1)当k>0时，①当b>0时，图象经过一、三、二象限，y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。②当b
(2)当k0时，图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。②当b
四、确定正比例函数好一次函数的解析式
1、意义：
(1)确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx(k≠0的常数)中的常数k;
(2)确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)中常数k和b。
2、待定系数法
(1)先设待求函数关系式(其中含有未知的系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。
(2)用待定系数法求函数关系式的一般方法：①设出含有待定系数的函数关系式;②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数方程(组);③解方程(组)，求出待定系数;④将求得的待定系数的值代回所设的关系式中，从而确定出函数关系式。
五、一次函数(正比例函数)的应用。与方程的应用差不多，注意审题步骤。
反比例函数
一、反比例函数
1、定义：形如y=(k≠0的常数)的函数叫做反比例函数。
2、对于反比例函数：
(1)掌握其形式y=，且k为常数，同时不能为0;等号左边是函数y，右边是一个分式，分子是一个不为0的常数，分母是自变量x，若把反比例函数写成y=kx-1，则x的系数为-1;自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数y的取值范围也是不为0的一切实数;
(2)将y=转化为xy=k，由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值，即某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。
(3)“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s=(k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。
二、用待定系数法求反比例函数表达式。由于反比例函数y=中只有一个待定系数，因此只需要一组对应值，即可求k的值，从而确定其表达式。
三、反比例函数的图象
1、意义：
(1)名称：双曲线，它有两个分支，分别位于一、三或二、四象限;
(2)这两个分支关于原点成中心对称;
(3)由于反比例函数自变量x≠0，函数y≠0，所以反比例函数的图象与x轴和y轴都没有交点，无限接近坐标轴，永远不能到达坐标轴。
2、画法(描点法)：(1)列表。