时间：2023-05-29 17:51:13
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇概率公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
引言
随机现象存在于我们日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论知识在生命科学和医学中有着广阔的应用天地.本文主要利用概率论中的全概率公式与贝叶斯公式，分析临床诊断上的相关问题.
一.全概率公式与贝叶斯公式在生物医学上的应用
（一）全概率公式与贝叶斯公式
在古典概率中.全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，它能将复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.全概率公式与贝叶斯公式是条件概率的两个基本公式.基于条件概率和概率的可加性，可以得到全概率公式和贝叶斯公式.
定理1（全概率公式）
设，（称为的一个剖分），，则对任
一事件A，有.
定理2（贝叶斯公式）
基于定理1条件，则对任一事件A（）有
.
（二）全概率公式与贝叶斯公式在临床鉴别诊断上的应用
疾病的诊断主要依据化验检查、症状、体征，但是有些疾病的症状、体征非常相似，该如何鉴别呢？医生往往凭直觉和经验，但经验还需理论的科学的评判.
一个52岁的家庭妇女，甲状腺肿已6年，近5个月有增大，咳嗽、气哽，但无吞咽困难，声音也不嘶哑，无烦躁，甲状腺部位无疼痛.经检查，甲状腺功能正常，腺体小而坚硬，结节性，易随吞咽动作而上下活动，锥体叶未触及，颈淋巴结无明显肿大，血沉52mm/hr，麝香草酚浊度3.9单位，甲状腺24hr摄取率68%，48hrPBI1.01%（每升血浆）.BEI为93.6%PBI，沉淀试验阴性.试诊断此病为（1）淋巴瘤性（2）单纯性（3）甲状腺癌中那一种甲状腺病.
解：设{淋巴瘤性甲状腺肿}，{单纯性甲状腺肿}，{甲状腺癌}，
记该病例的22个征候群则分别为，则鉴别的具体做法如下：
（1）制定征候群的条件概率统计表：用155个病例资料为标准，按三种进行征候群的统计，频率作为条件概率的估计.
（2）计算患者条件概率（B为患者症状）如果对每种甲状腺 来说，各个征候彼此独立，那么则有；由此可得：10-1；10-1.
（3）比较患者患各病的后验概率：假定三种甲状腺病互不相容，引用贝叶斯公式.其中为先验概率，可得：，，.显然 最大，故诊断该病人为淋巴瘤性甲状肿，手术结果也证实了这个诊断.
二.总结
在研究受随机影响的医学问题时，需要用全概率公式和贝叶斯公式研究数据有效的收集、整理、分析以及对生物医学问题做出的推测和预测.全概率公式与贝叶斯公式是统计学的基础，为基础医学、临床检验、临床医学等采取决策和行动提供了重要的依据及建议，以推进生物医学的发展，从而促进社会进步.
参考文献：
[1] 盛骤，谢式千.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]张仲，刘泗章.医药生物数学基础[M].北京：中国医药科技出版社，1992.
[3]刘定远，唐明春.医学数量分析[M].北京：中国协和医科大学出版社.1998.
关键词：概率；计算；方法
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）53-0198-02
概率的公理化定义方面的公式是概率论古典概型问题中的重要公式，它本身公式繁多，许多问题更夹杂了排列、组合、函数、不等式等数学问题，使得概率问题更加复杂多变，只有掌握好正确的方法才能使问题快捷求解。
一、概率的公理化定义公式
（一）基本公式
概率的公理化定义中所涉及的概率计算的基本公式：设Ω为样本空间，A为事件，
以上公式再结合事件与集合的关系、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式或贝叶斯公式后，概率运算的问题就变得更加麻烦了，不掌握好处理概率的好的方法，就步履维艰了。
二、求解概率问题的方法和技巧
（一）文氏图法，利用文氏图解决两个事件概率的运算问题
数形结合是数学中最好用的方法之一，用文氏图来记忆有关概率的一些公式会非常容易，若掌握了文氏图与概率公式的对应，对于这么多的公式也没必要全都装进脑袋，遇到概率的运算问题画画文氏图就能轻松解决了，特别是两个事件的概率运算问题。
例1.对于任意两个事件A和B，则P（A-B）是（ ）。
（A）P（A）-P（B） （B）P（A）-P（B）+P（AB）
（C）P（A）-P（AB） （D）P（A）+P（B）-P（AB）
本题是两个事件的差的概率，按照集合的文氏图画法可知，左椭圆区域表示事件A，右椭圆区域表示事件B，左椭圆中白色区域为事件A-B，把事件的概率用对应区域的面积来理解，很容易得出C选项是正确的。
（二）转化法，正确理解所求事件的概率，尽量把事件划分成简单易求概率的事件，再利用对应公式求解
在处理概率的问题时，有些同学就是找不到问题的突破口，也不知道用哪个公式来求解问题，特别是对于复杂的事件，若是不能把它分解成相互独立、不重复也不遗落的简单事件，就很难实现问题的求解，因为很多概率问题就是通过事件的关系所对应的公式运算来进行的。
例2.进行一系列独立试验的成功率都是p，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率是多少？
本题的难点是如何理解“试验成功2次之前已经失败3次”，这说明进行了5次试验，第5次试验成功，前4次试验中有一次是试验成功，其他3次都失败了，那么“试验成功2次之前已经失败3次”等同于“前四次试验只有1次成功且第5次试验成功”，因此记A={第5次试验成功}，B={前4次试验只有1次成功}，A、B为相互独立的事件，P（A）=p，B事件的概率为伯努利概型本题中的关键问题就是对于复杂事件的分解，这直接决定着问题是否能顺利得到结果，复杂事件的理解要经过认真咀嚼，理顺它意思中包含怎样的基本事件以及他们之间是怎样的关系。一些明显的字眼“且”、“或”、“同时发生”、“至少有一个发生”、“不发生”等所表达的事件的关系一定要明白，在不含有这些字眼的复杂事件中再认真思考如何分解成简单事件。
（三）推演法，根据题中的条件推演出相应的结论
很多问题中的条件实际上就是一种概率的运算关系，再通过表达出的数学关系和表现形式结合公式进行推导就能得到结论。
例3.若事件A、B、C同时发生必导致事件D发生，试证：P（A）+P（B）+P（C）-P（D）≤2
本题中，由条件可知ABC？奂D，则有P（D）≥P（ABC），这和本题中要证明的不等式不谋而合，再从公式中寻找有事件乘法公式的，即P（AB∪C）=P（AB）+P（C）-P（ABC），则P（ABC）=P（AB）+P（C）-P（AB∪C），同理：P（AB）=P（A）+P（B）-P（A∪B），则有 P（D）≥P（ABC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB∪C）-P（A∪B）≥P（A）+P（B）+P（C）-2.
三、小结
概率的计算不仅仅是用排列组合的知识就能解决的了，它加入了概率公理化定义的公式后，变成了比较复杂的数学问题，需要理解事件、结合公式的应用或是推导，以及应用数学的思想方法和解题方法。概率问题的求解，也需要我们不断地去探索和实践，我们要勇于面对困难，勤思考、多总结，这样才能成功的解决概率方面的问题。
参考文献：
关键词： 概率与统计 易错点 应对技巧
概率与统计是高中的一个重要知识点，也是学生在运用中很容易错的一个知识点.下面我结合这几年在教学过程中的感受，谈谈概率与统计的易错点.具体从以下几点进行剖析.
一、易错点分析
1.基本事件的总数算错.
2.错用独立重复试验概率公式.
3.对于复杂的概率问题没有及时应用对立事件的性质求解.
二、错点应对技巧
1.要以课本概念和方法为主，以熟练技能、巩固概念为目标，查找知识缺漏，总结解题规律.
2.相互独立事件首先要概念清楚，善于把所求概率事件划分为几个独立的事件.一般地，解答这类问题往往需要综合运用等可能事件的概率公式.
3.对于互斥事件，要首先搞清概念，然后要善于将一个事件划分为若干个互斥事件的和，能灵活运用公式求概率，还要善于灵活运用“正难则反”的思想来求复杂事件的对立事件的概率.
三、例题剖析
易错点1：基本事件的总数算错
例1：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于?摇?摇?摇?摇.
解：从5个白球和3个黑球中摸出3个球，共有C种方法，摸到2个黑球有CC种方法，摸到3个黑球有CC种方法.至少摸到2个黑球的概率p==.
误区警示：求等可能事件的概率，首先明确等可能事件中的基本事件是什么，其次要明确由基本事件组成的一般事件中包含基本事件的可能结果有多少种，最后由定义求解其概率.
易错点2：错用独立重复试验概率公式
例2：甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局为胜，比赛结束.设各局比赛相互之间没有影响，求：
（1）前三局比赛甲队领先的概率；（2）本场比赛乙队以3∶2取胜的概率.
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1-0.6=0.4.
（1）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜两局”为事件B，
则P（A）=0.6=0.216,P（B）=C×0.6×0.4=0.432.
所以前三局比赛甲队领先的概率为P（A）+P（B）=0.648.
（2）若本场比赛乙队以3∶2取胜，则前四局双方应以2∶2战平且第五局乙队胜.
所以，所求事件的概率为C×0.4×0.6×0.4=0.138.
误区警示：第二问中“乙队以3∶2取胜”，并不是五局比赛中乙恰好胜了三次，通过该题，明确比赛中求概率的方法，要结合所学知识，灵活地应用到实际中来，不能盲目地套用公式.
易错点3：对于复杂的概率问题没有及时应用对立事件的性质求解.
例3：从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验，每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：
（1）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（2）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
解：（1）解法一：从10位同学中选出3位参加测试的选出方法有C=120（种）.至少有一位男同学可分为以下三种情况：1男2女；2男1女；3男.于是有CC+CC+C=100（种）选法，于是=为所求.
解法二：“至少有一位男同学”等价于“不都是女同学”，而都是女同学的情况有C种，所以至少有一位男同学的概率是1-=.
（2）解：10位同学中女同学甲和男同学乙同时被选中的概率为，他们通过测验的概率是×，这两类事件应该是相互独立的，是同时发生的，应该使用乘法得，××=.
误区警示：“至少有一个男生”的情况有三种，容易漏掉且计算量大，通过求对立事件的概率，则为我们开辟了：正难则反“之门，体现了转化思想.对于复杂的概率问题，我们可用P（A）+P（）=P（A+）=1这个公式，转化为先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率，从而使问题简单化.
四．规律总结
1.P（A）=是等可能事件的概率，又是计算这种概率的基本方法，其中n是基本事件的总个数，m是事件A包含的基本事件的个数，所以求这类事件的概率，首先要明确基本事件是什么，其次要明确由基本事件组成的一般事件中包含基本事件的可能结果有多少种，最后由定义求其概率.
2.当A与B是互斥事件时，P（A+B）=P（A）+P（B）,所以对于复杂的概率通常有两种常用的解题方法：一是将所求事件化成彼此互斥事件的和；二是先去求事件的对立事件的概率，然后再求所求事件的概率.
3.独立重复试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验，n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为CP（1-p），使用此公式求概率时应先考查是否满足下列条件：①在一次实验中某事件A发生的概率是一个常数P；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中恰好发生了k次的概率.
五、探究与突破
1.熟练应用排列组合知识的基本公式计算事件的概率.无论是基本事件的总数，还是由基本事件组成的一般事件的总数的计算都是综合运用了排列、组合的知识，是排列、组合知识的深化和延伸.这说明排列、组合知识是解决有关等可能事件的概率的工具和基础.
关键词：差分方程；概率；递推关系；全概率公式
■差分方程概述
1． 差分的概念
设函数y=f（t）中的自变量t取所有的整数，并记其函数值为y■．当t=…，-2，-1， 0，1，2，…，其对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，yn，…，差yt+1－yt称为函数y■的差分，也称为一阶差分，记为Δyt，则函数y=f（t）在时间t的一阶差分为Δyt=yt+1－yt．
一阶差分的性质
（1）若y=C（C为常数），则Δyt=0；
（2）对于任意常数k，Δkyt=kΔyt；
（3）Δ（ayt+bzt）=aΔyt+bΔzt．
函数y=f（t）在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即
Δ2yt=Δ（Δyt）=Δ（yt+1－yt）=Δyt+1－Δyt=（yt+2－yt+1）－（yt+1－yt）=yt+2－2yt+1+yt．
同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分．
一般地，k阶差分（k为正整数）定义为
Δkyt=Δ（Δk-1yt）
=Δk-1yt+1－Δk-1yt
=■（－1）iC■yt+k-1，
这里C■=■．
2. 差分方程的概念
含有自变量、自变量的函数及其差分的方程，称为差分方程． 出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶． n阶差分方程的一般形式为
F（t，yt，Δyt，…，Δnyt）=0或F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0．
3. 差分方程的解
如果将已知函数y=f（t）代入方程F（t，yt，yt+1，…，Δyt+n）=0，使其对t=…，-2，-1，0，1，2，…成为恒等式，则称y=f（t）为方程的解． 含有n个任意独立常数c1，c2，…，cn的解y=（t，c1，c2，…，cn）称为n阶差分方程的通解．在通解中给任意常数c1，c2，…，cn以确定的值所得的解，称为n阶差分方程的特解．
4. 线性差分方程及其解
形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=f（t）的差分方程，称为n阶非齐次线性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）和f（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0，f（t）≠0．
而形如yt+n+a1（t）yt+n-1+a2（t）yt+n-2+…+an-1（t）yt+1+an（t）yt=0的差分方程，称为n阶齐次线性差分方程． 其中a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）都是t的已知函数，且an（t）≠0．
如果a1（t），a2（t），…，an-1（t），an（t）均为常数（an（t）≠0），
则有yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f（t），?摇?摇
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+any■=0，分别称为n阶常系数非齐次线性差分方程和n阶常系数齐次线性差分方程．
5. 一阶、二阶常系数线性差分方程的解
引理1 对于一阶常系数非齐次线性差分方程yn+1=ayn+b，其中a， b为常数且a≠1，若已知y1=c（c为常数），则yn+1=anc+■b．
证：（递推法）
若a≠1，
yn+1=ayn+b
=a（ayn-1+b）+b=a2yn-1+（a+1）b=a2（ayn-2+b）+（a+1）b=a3yn-2+（a2+a+1）b
=any1+（an-1+an-2+…+1）b
=any1+■b
=anc+■b．
引理2 对于二阶常系数齐次线性差分方程yn+2=ayn+1+byn，其中a，b为常数，若已知y1=m1，y2=m2（m1，m2为常数），则yn+1=■+■，其中λ1，λ2是方程λ2-aλ-b=0的两根．
证：（特征根法）
λ2－aλ－b=0是差分方程yn+2=ayn+1+byn的特征方程．
已知λ1，λ■是方程λ2-aλ-b=0的两根，则差分方程的解为
yn+1=c1λ■+c2λ■．
已知y1=m1，y2=m2，代入上式得
m1=c1λ1+c2λ2，m2=c1λ■+c2λ■，
解得
c1=■，c2=■，
yn+1=■+■．
■将概率问题转化为差分方程问题
1. 概率问题与差分方程二者间的关系
由差分方程的定义可知，差分方程是研究函数在一给定点x=k上的函数值f（k）与在x=k附近的N个点上的函数值之间的关系的方程，因而其适用于解决概率中一些涉及离散型随机变量的问题．
2． 将概率问题转化为差分方程问题的途径
利用差分方程巧解概率问题的关键是如何将概率问题转化为差分方程问题．常见的有两条途径：一、借助递推公式建立差分方程；二、借助全概率公式建立差分方程．
（1）借助递推公式建立差分方程
递推公式：是指可以通过给出数列的第1项（或前若干项），并给出数列的某一项与它的前一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式． 递推公式实质即为差分方程，建立递推公式就是先设所需求的函数值，再确定该函数值与其前面项间的关系．
例1 A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对手接着掷，第一次由A开始掷． 求第N次由A掷的概率为pn，求pn．
解：A、B两人掷出的点数和为3的倍数的情况有：1+2，2+1，3+3，4+2，2+4，5+1，1+5，5+4，4+5，6+3，3+6，6+6共12种情况，A、B两人掷骰子所有可能出现的结果数是6×6=36种，则事件“A、B两人掷出的点数和为3的倍数”的概率为■=■；事件“A、B两人掷出的点数和不为3的倍数”的概率为1－■=■．
第N次由A掷有两种可能：（1）第N-1次由A掷且掷出的点数之和为3的倍数，则第N次仍由A掷；（2）第N-1次由B掷且掷出的点数之和不为3的倍数，则第N次由A掷．
第1种情况的概率为■pn-1；第2种情况的概率为■（1-pn-1）． 由分类计数原理得
pn=■pn-1+■（1－pn-1）=－■pn-1+■，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．
由引理1知
pn=an-1c+■b，其中a=－■，b=■，c=p1=1， 则pn=－■n-1+■・■=■+■－■n-1．
例2 求N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数．
解：设N位二进制数中，数字0与1相邻的二进制数的个数为f（n）． 对于二进制数而言，其第一位上的数只有0或1两种可能性．若第一位上的数为0，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为1，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）；同理，若第一位上的数为1，则要求满足条件的二进制数，第二位上的数必须为0，且后面的N-2位上的数0与1必须相邻，其个数为f（n-2）． 由分类计数法得：f（n）=f（n-2）+ f（n-2）=2 f（n-2）， 这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．
λ2－2=0是f（n）=f（n-2）+f（n-2）=2f（n-2）的特征方程，解得λ1=■，λ2= －■，则
f（n）=c1（■）n+c2（-■）n．
又因为f（1）=2，f（2）=2，代入上式得■c1-■c2=2，2c1+2c2=2，
解得
c1=■，c2=■，
f（n）=■（■）n+■・（-■）n．
例3 有人玩掷硬币走跳棋的游戏．已知硬币1出现正反面的概率都是■，棋盘上标有第0站，第1站，第2站，……，第100站． 一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正而，棋子向前跳一站（从k到k+1）；若掷出反面，棋子向前跳二站（从k到k+2），直到棋子到第99站（胜利大本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束． 求棋子跳到第N站的概率．
解：设棋子跳到第N站的概率为Pn． 由题意知，P0=1，P1=■．
棋子跳到第N站有两种可能：（1）先跳到第N-1站，掷出正面，再跳到第N站；（2）先跳到第N-2站，掷出反面，再跳到第N站．
第1种情况的概率为■Pn-1；第2种情况的概率为■Pn-2． 由分类计数原理得Pn=■Pn-1+■Pn-2，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．
λ2－■λ－■=0是Pn=■Pn－1+■Pn－2的特征方程，解得λ1=1，λ2=－■，则
Pn=c1+c2－■n
又因为P0=1，P1=■；代入上式得
c1+c2=1，c1-■c2=■，
解得c1=■，c2=■，
则Pn=■+■－■n．
（2）借助全概率公式建立差分方程
设实验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，两两互不相容，且P（Bi）>0 （i=1，2，…n），则
P（A）=P（B1）P（AB1）+P（B2）P（AB2）+…+P（Bn）P（ABn）
上式称为全概率公式．
全概率公式在概率论中占有极其重要的作用，通过应用全概率公式可把概率论中一些极其复杂的事件的求解分解成若干个互不相容的简单事件的求解． 同时借助全概率公式可以构造等式，建立起差分方程，从而为概率问题的求解寻求了另一个途径．
例4 一布袋中装有黑、白色的乒乓球各一只，每次从布袋中任取一球，取出的球不放回，同时放入一黑球，求第N次取到黑球的概率．
解：记An=第N次取到黑球；■=第N次取到白球． 设第N次取到黑球的概率为Pn．
显然，An∪■=Ω（必然事件），An∩■=■，则An，■是空间Ω的一个划分，且P（An）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（An）=P（An－1）P（AnAn－1）+P（■）・P（An■）
其中P（AnAn－1）=■，P（An■）=1，
则Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．
λ+■=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■・Pn－1的特征方程，解得λ=－■，则
Pn=c1－■n+■是差分方程的齐次解．
又因为自由项为1，所以设特解为D．
代入Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=1－■Pn－1得，D=■，
则差分方程的通解为Pn=c1－■n+■．
将P1=■代入Pn=c1－■n+■，
解得
c1=■，
则
Pn=■－■n+■．
例5 设电子在整数点集｛0，1，2，…，n｝上作随机游动． 已知质点在t时刻的位置是a，由于受外力的作用，电子的位置会发生变动． 假设电子以概率p移动到a+1，以概率1-p移动到a-1． 求质点从a出发在0被吸收的概率．
解：记B=质点从k点移动到k+1点，P（B）=p；■=质点从k点移动到k-1点，P（■）=1－p． 设Ak=质点从k出发在0处被吸收，P（Ak）=Pk．
显然，B∪■=Ω（必然事件），B∩■=■，则B，■是空间Ω的一个划分，且P（B）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Ak）=P（B）P（AkB）+P（■）P（AkB）
=P（B）P（Ak+1）+P（■）P（Ak－1），
即Pk=pPk+1+（1－p）Pk－1，这是一个二阶常系数齐次线性差分方程．
pλ2－λ+（1－p）=0是Pn=■Pn－1+（1－Pn－1）=－■Pn－1的特征方程，解得λ1=■，λ2=■，则
Pn=c11+■n+c21-■n．
例6 在N重贝努利实验中，设事件A出现的概率为p，求在N次试验中事件A出现偶次的概率．
解：记Bk=第K次实验时事件A出现偶次，P（Bk）=Pk；■=第K次实验时事件A出现奇次，P（■）=1－Pk． C=第K次实验时，事件A出现，P（C）=p；■=第K次实验时，事件A不出现，P（■）=1－p．
显然，Bk-1∪■=Ω（必然事件），Bk-1∩■=■，则Bk－1，■是空间Ω的一个划分，且P（Bk－1）>0，P（■）>0，则由全概率公式知：P（Bk）=P（Bk－1）P（BkBk－1）+P（■）P（Bk■）
=P（Bk－1）P（■）+P（■）P（C），
即Pk=Pk－1（1－p）+p（1－Pk－1）=p+（1－2p）Pk－1，这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程．
由引理1知
Pn=an-1c+■b，其中a=1－2p，b=p，c=p1=0，
则
Pn=■．
3． 总结
【关键词】贝叶斯公式；数据挖掘；条件概率；先验概率
数据挖掘是从现实生活中收集数据，对实际问题进行科学分析研究进而解决，共分为三个部分，分别是数据收集部分、模型设计部分和问题解决部分.数据收集是通过查阅文献资料、网络搜索等途径寻找解决问题所需要的各种原始数据，进而通过对原始数据内容的甄别、过滤，获取有效信息并最终运用到自己设计的模型中.模型设计需要针对实际问题进行建模，并利用已收集的数据进行问题求解.可以利用已有的数学算法、数据挖掘技术或者设计新的方法来解决问题，其中可能需要一定程度的数学推导和计算机编程.数据挖掘通常通过数学、统计、在线分析处理、情报检索分类等诸多方法来实现上述目标.
在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称：P（A）是A的先验概率或边缘概率.P（A|B）是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率.P（B|A）是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率.P（B）是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量.按这些术语，贝叶斯法则可表述为：后验概率=似然度×先验概率标准化常量.P（B|A）P（B）称为可能性函数，这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率.所以，条件概率可以理解成这样的式子：后验概率=先验概率×调整因子.
这就是贝叶斯推断的含义.我们先预估一个“先验概率”，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了“先验概率”，由此得到更接近事实的“后验概率”.在这里，如果“可能性函数”P（B|A）P（B）>1，意味着“先验概率”被增强，事件A的发生的可能性变大；如果“可能性函数”=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果“可能性函数”
贝叶斯公式看起来很简单，但是在自然科学领域应用范围极其广泛.同时理论本身蕴含了深刻的思想.在大数据时代，从海量的数据中进行数据挖掘进而解决相关问题，贝叶斯公式也有着广泛的应用.比如，要设计一款疾病自我预诊断系统，从自己身体的各种不舒适体征来判断是否患有某种疾病，那么要从面对庞大的各种疾病数据中，寻找自己需要的数据并设计模型进行判断.下面我们以发烧为例，用贝叶斯公式建立简单自我肺炎自我预诊断判断系统.
数据挖掘主要有数据准备、规律寻找和规律表示3个步骤.首先，是数据准备阶段.数据准备是从相关的数据源中选取所需的数据并整合成用于数据挖掘的数据集；规律寻找是用某种方法将数据集所含的规律找出来；规律表示是尽可能以大众可理解的方式将找出的规律表示出来.数据挖掘牵涉了大量的准备工作与规划工作，事实上许多专家都认为整套数据挖掘的过程中，有80%的时间和精力是花费在数据预处理阶段，其中包括数据的净化、数据格式转换、变量整合，以及数据表的链接.可见，在进行数据挖掘技术的分析之前，还有许多准备工作要完成.
首先，要尽可能找到所有会引起l烧的疾病，这个难度比较大，不过现在计算机网络发达，使得大数据的处理成为可能.为了方便叙述，我们不妨把从网上查找到的有关发烧的资料以模型的方式简单化处理，设所有引起发烧的疾病有A1，A2，A3，…，An种，并且这n种病相互之间是独立的互不影响的.通过数据挖掘得知，n种疾病的发病率分别为P（A1），P（A2），P（A3），…，P（An），发烧表示为事件S，n种疾病发病时发烧的概率分别为P（S|A1），P（S|A2），P（S|A3），…，P（S|An），根据贝叶斯公式可知发烧是由A1疾病引起的概率为
同样可以算出发烧是由其他疾病引起的概率，最可能的当然就是概率最大的那个.仅仅有一个症状判断疾病是不准确的，对于其他症状，比如，咳嗽事件W，我们用同样方法可以算出P（A1|W），根据P（S∪W）=P（S）+P（W）-P（SW）等相关公式，可以算出同时发烧咳嗽时患A1疾病的概率，当多个症状同时计算时，显著性一定会增大，判断当然也会更准确.最后，还可以对判断结果给出置信区间，做相关的假设检验，这里就不再一一累述.
【参考文献】
目前大学生普遍存在两个问题:一是概率论中的全概率公式与贝叶斯公式及大数定理与中心极限定理学生难于理解，学生普遍对统计中的参数估计、假设检验、回归分析等概念感到太抽象、思维难于开展、解题方法难以掌握;二是学生完成这门课程学习后仍不能真正地理解所学的统计学概念，也很难运用所学的概率统计知识讨论具体问题。究其原因是我们传统教学中没有将本课程与实际问题相结合，没有通过案例培养学生解决实际问题和处理数据的能力。随着概率论与数理统计的基本原理在各个领域的广泛渗透，概率论与数理统计课程越来越受到重视。研究生入学数学考试题中，概率论与数理统计所占比例已达20%～25%。为了尽早培养学生的概率论与数理统计的思维方式，一些简单的古典概型概率、期望与方差，以及抽样等也已出现在中学课程里，各省市高考试题中，概率论与数理统计所占比例上升，2010年达10%～16%。为此本文探讨如何根据目前学生的具体情况，调整教学内容，改进教学方法，激发学生学习兴趣，培养学生解决实际问题和处理数据的能力，提高教学效果。
一、调整教学内容
教学内容应该改变以往“重概率、轻统计”和“重运算技巧、轻数学思想”的传统教学思想，删减其中一些复杂的计算，加强统计中基本理论和基本数学方法的教学。减少概率论课时，加大统计内容，增加统计课时。
1.概率方面，古典概型概率、期望与方差等内容在中学接触过，学生接受较快故可以弱化;减少概率论课时，将重点放在条件概率、乘积公式、全概率公式与贝叶斯公式上，加强随机变量的内容。
2.统计方面，突出“厚基础”“重应用”的特色，增加统计课时，强调假设检验和回归分析等原理的分析与实际应用，着重培养学生应用统计中的基本原理去解决实际问题的能力。
二、改进教学方法
概率论与数理统计是一门在解决实际问题的过程中发展起来的学科，概率论与数理统计的思想方法、原理、公式的引入，最能激发学生的兴趣，并印象深刻的是从贴近生活的问题及案例引入。教师在授课过程中可从每个概念的直观背景入手，精心选择一些跟我们的生活密切相关而又有趣的实例，从而激发学生的兴趣．调动他们学习的积极性和主动性。
1.概率论部分的教学。(1)概率论内容的学习中，学生一般不能很好地理解全概率公式与贝叶斯公式的原理。举例:某大学学生对概率论与数理统计课程的兴趣程度可分为四个层次:很感兴趣，较感兴趣，一般，没有兴趣。最近的一项调研统计表明此四个层次的学生数之比为:1∶3∶4∶2。而这在四类同学中该课程一次性能通过的可能性分别为:0．98，0．88，0．50，0．20。1)考试在即，在即将参加此门课程考试的学生中任抓一学生考察，试问该生此次考试该门课程一次性通过的可能性为多大?2)考试结束，阅卷老师发现某名学生顺利通过此次考试，试问该生对此课程兴趣层次是属于一般的可能性有多大?身边的例子激起了学生的兴趣，通过1)的解答很快让学生理解全概率公式，通过2)的分析让学生理解贝叶斯公式的原理。(2)大数定理的教学。大数定理是概率论中非常重要的定理，在教学中如果仅仅将定理的内容告诉学生，很多学生不能理解。讲课时举例子:在装有7白球与3黑球的盒子里任意抽取一个记下结果再放回去，当抽取白球时计1，抽到黑球时计0，不停地重复下去，就得到一组由1、0构成的数字，如一人抽取得到:10010111010111000101111111100000001010010111011000从数据中你看不出任何特征与规律，换一个人来重复这一试验，他也会得到这样一串由1、0构成的数据，同样杂乱无章，但结果与第一人的结果不同。虽然如此，当做的试验次数越来越多时，这一串串杂乱的数中1所占的比例随做的试验次数的增加愈来愈稳定到一个值上，这个值就是盒子内白球的比率7/10。比率的稳定性只有在数串长度足够大(实验的次数足够多)时才能表现出来，这就是大数定理这个名称的由来。历史上概率论方面重要的学者雅各布•伯努利证明了在一定条件下“当试验次数愈来愈大时，频率愈来愈接近于概率”，这个结论称为伯努利大数定理。此定理的意义在于对经验规律的合理性给出了一个理论上的解释。在现实生活中，很难甚至于不可能达到伯努利大数定理中的理想化条件，但大部分的情况下与之非常接近，因此伯努利证明的结论“基本上”能适应。
2．统计部分的教学。学生经常觉得统计部分的参数估计、假设检验、回归分析等内容杂、头绪乱。在教学过程中，可以引入案例，对每一个案例进行分析:(1)要解决什么问题?(2)有些什么方法，而这些方法的基本思想是什么?合理性?(3)运用这些方法解决问题的基本步骤是什么?(4)如何将这些方法运用于实际问题中?这样能使学生理清思路，从整体上把握统计的基本思想，如假设检验可以用食品生产线上的产品质量检验的案例分析;回归分析可以用资源评估的案例来分析等。
3.加强与其他学科的联系，提高学生运用能力。在教学中，通过一些实际案例将教学内容与学生所学的专业相结合，让他们运用统计方法解决一些专业上的统计分析问题，如对生物、食品专业的学生可以让他们将自己做的实验数据以统计的方法处理，对于海洋专业的学生可以让他们进行海洋环境数据分析;对于金融专业的学生，可以让他们了解一些基于概率论与数理统计的经济与管理模型。让学生真正感到学有所用，不仅可以提高学生的学习兴趣，又可以在实际应用中掌握概率论与数理统计基础知识，学会运用这些知识解决实际问题，一改“授之以鱼”为“授之以渔”。
4.开设上机实验课，培养学生应用数学软件来解决问题的能力。许多学生完成概率论与数理统计的学习后，在专业课程中，面对大量数据，需要运用统计思想方法分析时往往出现无从下手的现象，造成这种现象的原因有两方面:(1)缺乏灵活运用所学知识解决实际问题的能力;(2)数据量大，计算过于繁，手工难以实现。对于第一种情况我们通过案例将教学内容与学生所学的专业相结合来提高学生的运用能力。针对于第二种情况开设上机实验课，让学生掌握相关的计算机统计分析软件，训练学生应用数学软件来解决问题。这不仅提高了学生的学习兴趣，也加强了学生运用概率论与数理统计原理解决实际问题的能力。总之，根据学生的具体情况，适当地调整教学内容，通过贴近生活、与学生所学的专业相关的案例分析，激发学生的学习兴趣，引入上机课程，培养学生应用数学软件来解决问题的能力，有效地提高教学质量。
关键词：列车；地铁列车运行图；运行时间偏离；缓冲时间；列车区间
中图分类号：U231文献标识码： A
当前地铁列车在实际运行过程中，区间运行时间以及停站时间都会出现不可避免的波动，而且这种运行时间相比较图定时间来说，其时间偏离性会呈现出一定随机性。为了能够确保列车运行质量，需要我们在编制地铁列车运行图时，加入一定量的缓冲时间，以用来缓解当前一辆列车运行出现时间偏离后对后续列车所造成的干扰。但从提高地铁线路高峰小时通过能力角度讲，可在其运营高峰期内选择较小缓冲时间，以实现晚点列车的相关恢复工作能顺利延伸到平峰期内进行。这时就需要对非晚点的列车区间运行时间偏离以及停站时间偏离进行相应的研究。
一、追踪列车时间
以深圳地铁2、5号线卡斯柯移动闭塞信号系统为例，并进行以下设定：移动闭塞信号系统；列车为AMC （Automatic Mode Controlled with Driver）自动驾驶模式；双线线路；列车每站停车并停于正线站台。
在该地铁系统中，列车经过车站的实际运行间隔通常大于在区间的实际运行间隔时间。所以在对线路通过能力进行计算时，其列车间隔时间应该以列车经过车站的实际间隔时间为准。
在列车经过车站时主要包括以下内容：即进站运行、制动停车、停站作业以及起动出站等。而对列车间隔时间（h）进行追踪时也由以下作业时间组成：
即h=t运行+t制动+t停站+t起动 （1）
其中，公式里t运行主要代表列车从区间匀速运行到进站制动开始的时间（s）；而t制动则代表列车从最初施加制动到车站内实际停车时间（s）；t停站代表着列车入站后停留时间（s）；t起动则代表着车从起动后到离开车站的实际运行时间（s）。
车站站台中心线
_____________________________________________________
t起动 t制动t运行
(t停站）
图1追踪列车间隔时间组成
此外，列车在2个相近车站间的实际运行时间，即列车区间运行时间t区间组成如下图所示：
车站中心 车站中心
________________________________________________________________
t起动
t制动 t运行t起动
t区间
其中t区间=t制动+t运行 +t起动（2）
先假设各站列车的t起动相同，依据公式（1）以及公式（2）可以得出：
h=t区间+t停站（3）
二、列车运行时间偏离
一般来讲，基于列车非晚点情况下，其区间运行时间偏离主要存在于列车进站制动过程中，也就是列车区间运行时间即t区间实际与停站时间即t停站实际都会与图定时间相偏离。这种情况下的偏离可以用以下公式来表示：
t区间实际=t区间+1 （4）
T停站实际=t停站+2 （5）
其中公式中的1代表着区间运行时间随机干扰变量（s）；而2 代表着停站时间随机干扰变量（s）。
在对地铁列车运行图进行铺画时，为了有效确保列车运行图的实际弹性，我们需要在对列车间隔时间进行计算时，增加相应的偏离缓冲时间即t偏离缓冲，而在此过程中，h’代表着图定运营列车间隔时间。
即h’=h+t偏离缓冲 （6）
先假设后续列车的实际运行时间并未出现偏离，那么前列列车的实际运行时间与后续列车的实际时间出现偏离时的间隔时间即h实际可以用以下公式表示：
h实际=h’－1－ 2（7）
而前列列车对后续列车不会造成干扰的基本条件是
h实际-h≥0 （8）
由上述公式可得
t偏离缓冲－1－2≥0 （9）
所以，可以利用前列列车对于后续列车所形成的干扰概率p来表示t偏离缓冲取值对于运行列车的影响情况：
即 p=p（1 +2 －t偏离缓冲>0） （10）
假设随机干扰变量=1+2那么可将公式（10）改写成为：
P=p（-t偏离缓冲>0） （11）
该公式利用概率模型形式来对干扰概率p以及随机干扰变量还有t偏离缓冲这几个变量之间关系。
三、列车运行时间偏离
先假设（11）公式中的随机干扰变量服从于某种概率分布，且其实际概率密度函数用f（x）表示，那么前列列车对后续列车所造成的干扰概率p则为：
P=p（-t偏离缓冲>0）= （12）
对于既定的干扰概率上限po，可以利用以下方式来对最小偏离缓冲时间进行计算：
P=p（-t偏离缓冲>0）==Po（13）
其中公式里的（13）解法需要依据具体分布函数的实际类型来确定。
由（4）、（5）公式可以得出
即=t区间实际+t停站实际-t区间-t停站=t-to） （14）
其中，t=t区间实际+t停站实际
t0=t区间+t停站
由上述（14）公式可以得出，的实际概率分布主要是受到列车实际停站时间以及列车区间运行时间的影响。
而在列车运行过程中，相关负责人可以通过慢行方式将即将到站的列车偏离时间控制在允许范围内。但当前对于列车晚点之后的实时恢复则缺少有效控制手段。为了能够减少与控制列车晚点情况，列车在实际运营过程中普遍存在“赶早不赶晚”的情况，所以列车区间的实际运行时间多成偏态分布。这种情况下就可以选择使用偏态特征的分布函数进行表示，比如通过分布或者是对数正态分布进行相应的表示。
此外，由于收到车站客流发送等随机因素的影响，大多数列车停站时间也多呈偏态分布，这种情况下，也可以选择使用分布或者是对数正态分布进行相应的表示。
四、算例
以深圳某一地铁线为例，选择该地铁线某天全天次列车从A站到相邻B站实际区间运行和在B站所实际停战时间，将相应晚点列车数据删除后，保留该278列列车的实际运行时间，并将其作为基础数据。
先设定总运行时间为t=t区间实际+t停战实际，同时选取各次列车相应的总运行时间ti（i=1,2,....n）作统计样本，并选择对数正态分布函数对其t频数分布进行拟合。
对数正态分布概率分布密度函数g（x；u，）为：
g（x；u，）=e-(lnx-u)2/22t>0
通过对数正态分布函数g（x；u，）参数以及极大似然估计值是：
U==5.16
而2==0.00193
而=0.044
那么其t的实际概率分布密度函数约是
G（x）=e-（lnx-5.16）2/0.00386x>0 （16）
此外其相应的拟合优度判定系数约是
R2=1-=0.963
通过相应的调查，该线路在对当天列车从A站运行至B站的实际图定实际时间是123s，而在B站的实际图定停站时间约是60s。那么其图定列车的总运行时间约是t0=123+60=183s。而其样本均值t=174.04
先设定=t-173.53，那么由上述公式（16）可以推导出其实际的概率函数为：
f（x）=xx>-173.53 （17）
通过将公式（17）代入上述所讲公式（13），可以得计算出干扰概率上线即Po所取值时所对应的最小偏离缓冲时间。而通过相关的研究数据显示，待Po=0.010时，那么该列车的最小偏离缓冲时间实际约是19s，而当前行列车处于非晚点情况下时，其最终的运行偏离时间会对后行列车产生影响的实际概率将小于0.010.
总结：
近些年，随着我国经济的不断发展以及城市化进程的加快，地铁运营受到人们越来越多的关注。本文就根据地铁系统对于列车运营间隔时间的组成，来分析和研究列车区间运行时间与停站时间以及追踪相应列车的间隔时间关系，以此来构建偏离缓冲时间概率模型，并据此对列车运行时间偏离下的地铁列车运行图缓冲时间进行分析。就此为日后进一步研究基于列车运行时间偏离的地铁列车运行图缓冲时间提供了一定理论支持。
参考文献：
[1] 刘海东,毛保华,何天健,丁勇,王璇.不同闭塞方式下城轨列车追踪运行过程及其仿真系统的研究[J]. 铁道学报. 2005(02)
下面我们就2008年各省市的概率与统计部分试题的设置及考查的要点加以评述。
概率与统计部分的题目除几个特殊的地区，如江苏、宁夏、海南、上海为填空题外，其余地区对这部分内容的考查大部分放在了解答题部分。从这些题目的设置看位置相对靠前一些，按规律属于得分题目，考查的知识点不外乎是求某一事件发生的概率P，随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ，偶尔也会考查到方差Dξ的问题。
有些概率的题目会结合现代科技问题或是现实生活常见问题，考生只要透过现象抓本质，那么每一道题都在掌控之中，下面以2008年全国卷（一）的第20题为例“现题说法”。
已知五种动物中有一种患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物，血液的化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没有患病，下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到确定患病动物为止。
方案乙：先任取3只，将它们的血液混合在一起化验，若结果呈阳性则表明患病动物为这3之中的1只，然后逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取一只化验。
（I）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（II）ξ为依方案乙所需化验次数，求ξ的期望。
此题看似复杂，又是化验又是阴性阳性，还有甲乙方案，实际仔细分析就会发现并不是很困难。由题意分析知：依甲方案可能需化验1次、2次、3次、4次，而依方案乙所需化验次数为2次或3次。任取3只混合化验为1次，若呈阳性则需再化验1次或2次的结果，故此时共需化验2次或3次；若成阴性，则需再化验1次可的结果，此时共需化验2次。分析出这些，题目就很明了了。
在第（I）问中方案甲所需化验次数不少于方案乙的情况包括大于和等于两种情况，而从它的反面考虑就是方案甲所需化验次数少于方案乙，从而求出概率。第（II）中所问的ξ的期望先要求出它的分布列，然后根据数学期望的（II）ξ的可能取值为2、3。
即ξ的分布列为
如果再增加一问，那么考查的内容就齐了。比如增加求的方差。
到这我们就把高考中概率与统计的设计题目题型都涉及了，而从分析的过程看题目不难，属于中档题，题目的做法大致不再累述。
一、认识古典概型，`兴致盎然
先认识古典概型：（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型．
（2）特点：①试验结果的有限性；②所有结果的等可能性．
（3）古典概型的解题步骤：①求出试验的总基本事件数n；②求出事件A所包含的基本事件数m；③代入公式P=mn即可解答．
（4）基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）．
例1 已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2－bx+1，设集合P={1，2，3}，Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b．（1）求函数y=f（x）有零点的概率；（2）求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率．
分析：本题是古典概型问题，要抓住求出基本事件数和基本事件总数，从而解决上述问题．
解：（a，b）共有（1，－1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况．
（1）若函数y=f（x）有零点，则需Δ=b2－4ac≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），6种情况，所以函数y=f（x）有零点的概率为615=25．
（2）若函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数，需对称轴x=b2a≤1．
有（1，－1），（1，1），（1，2），（2，－1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，－1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），13种情况．所以函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率为1315．
点评：利用古典概型公式求概率时，要注意学会把事件转化，如事件函数y=f（x）有零点等价于Δ≥0，即b2－4ac≥0，事件“函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数”则等价于事件“对称轴x=b2a≤1．”
二、认识几何概型，情趣盎然
认识几何概型的定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等，用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
几何概型的基本特点是：（1）在每次试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无穷多个；（2）在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等即基本事件的发生是等可能的．当然，在计算几何概型的概率时，则应该注意相应问题的着眼点．
例2 设点（p，q）在|p|≤3，|q|≤3均匀分布出现，求方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数的概率．
分析：根据一元二次方程有实数根的充要条件找出p、q的约束条件，进而确定区域的测度．
解：由于|p|≤3，|q|≤3，所以（p，q）的点集组成了边长为6的正方形，所以面积=62=36，
由方程x2+2px－q2+1=0的两根都是实数，得到Δ=（2p）2－4（－q2+1）≥0，则p2+q2≥1，所以当点（p，q）落在如图所示的阴影部分时，方程的两根都是实数．则由图象可知道区域
d=S正方形ABCD－SO=36－π，所以原方程两根都是实数的概率P=36－π36=1－π36．
点评：对于与方程相结合的问题，则同样可以构造图形进行解决．
三、把握事件关系，正难则反
例3 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，三人中至少有一人达标的概率是_____________．
分析：若从正面考虑至少有一人达标有七种情形，三人中恰好有一人达标、三人中恰好有二人达标和三人全部达标，很繁，所以可运用正难反易思想，进行反面考虑．
解：先求三人无一人达标的概率．设甲、乙、丙分别达标为事件A、B、C，则P（A）=0.8，P（B）=0.6，
P（C）=0.5，且A、B、C相互独立，所以三人无一人达标的概率为P（）·P（）·P（）=0.2×0.4×0.5
=0.04，则所求的概率为1－0.04=0.96．
点评：有些问题当从正面求解繁琐或无法求解时，可从其反面进行思考，通过否定结论的反面来肯定结论正确，这就是正难则反的思想，运用这一数学思想解决问题，往往能收到化难为易，化繁为简的奇效．
当然，对于概率及其应用的高考命题方向：主要是二项分布、超几何分布、条件概率和相互独立事件的概率等，它们有各自显著的特点，各有对应的计算公式，要能熟练应用．
认识独立重复试验及其概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（k）=CknPk（1-P）n-k．它是［（1-P）+P］n展开式的第k+1项．
同时要特别注意二项分布问题：二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述，与n次独立重复试验恰有k次发生的概率与之对应，是概率论中最重要的分布之一，我们不妨来看看二项分布之基本知识应用题．
四、走进二项分布，探究关键
例4 100件产品中有3件不合格品，每次取一件，有放回取3次，求取得不合格品的件数X的分布列．
分析：因为每次抽取的结果只有两种，即合格与不合格，且有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验，从而随机变量X服从二项分布．
解：X可能取的值为0，1，2，3，由于是有放回地取每次取一件，连续取三次，所以这相当于做3次独立重复试验，一次抽取到不合格品的概率p=0.03．因此X～B（3，0.03）．
P（X=0）=C03×0.030×（1－0.03）3=0.912673．
P（X=1）=C13×0.03×（1－0.03）2=0.084681．
P（X=2）=C23×0.032×（1－0.03）1=0.002619．
P（X=3）=C33×0.033×（1－0.03）0=0.000027．
则X的概率分布如下表：
点评：二项分布的模型是可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的过程．
五、思索超几何分布，发现内涵
一般地，若一个随机变量X的分布列为P（X=r）=CrMCn－rN－MChN，其中r=0，1，2，3，……，l，l=min（n，M），则称X服从超几何分布，记为X～H（n，M，N），并将P（X=r）=CrMCn－rN－MCrN记为H（r；n，M，N）．
例5 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任意取3件，求取得次品数的概率分布，并求至少取得一件次品的概率．
分析：本题是超几何分布，可利用超几何分布的概率公式求解．
解：设随机变量ξ表示取出次品的个数，则ξ服从超几何分布，其中N=15，M=2，n=3，则ξ的可能取值为0，1，2，相应的概率依次是
P（ξ=0）=C02C313C315=2235，
P（ξ=1）=C12C213C315=1235，
P（ξ=2）=C22C113C315=135，
则ξ的概率分布表如下：
则至少取得一件次品的概率为P（ξ=1）+P（ξ=2）=1335．
点评：建立超几何分布的关键是求得P（ξ=k）的组合关系式，利用超几何分布的概率公式进行验证，然后利用公式求出取其它的值的概率，建立ξ的概率分布．
统计试题涉及的知识点主要是抽样方法、解读直方图、判定相关关系及了解独立性检验的含义和运用、回归分析等等，但其考查的形式则是填空题为主，且常常以实际问题为背景
六、走进抽样问题，分类重点
例6 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
分析：因为机构改革关系到各种人的利益，个体差异较大，故采用分层抽样方法为妥．
解：因为10020＝5，105＝2，705＝14，205＝4，
所以从副处级以上干部人中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人，因副处以上干部与工人都人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部70人采用00，01，02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
点评：分层抽样的特点是全面考察到各种层次不同代表合理比例，大大提高了样本的代表性．同时在利用分层抽样方法抽样时需注意：分层抽样要将性质相近的个体归入一层，性质差异较大的个体归入不同层；分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定．总的原则是，层内样本的差异要小，而层之间的样本差异要大，且互不重叠．
七、研究茎叶图，注意转化
例7 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示：（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高比较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm的同学，求身高至少为173cm的同学被抽中的概率．
分析：（1）根据茎叶图将甲、乙两组同学的身高的数据还原，结合平均数的计算公式算出10位同学的平均数，由此即可估计这两个班的平均身高；
（2）根据甲班10位同学身高的数据，结合方差计算公式算出10位同学身高的方差，即得甲班的样本方差；
（3）根据乙班10名同学身高的数据，找出身高至少为173cm的同学人数，结合随机事件的概率公式．
解：（1）由茎叶图，得甲班的10名同学的身高分别为
182 179 179 171 170 168 168 163 162 158，
得他们的平均身高为1=110（182+179+179+…+158）=170.0cm．
乙班的10名同学的身高分别为
181 170 173 176 178 179 162 165 168 159，
得他们的平均身高为2=110（181+170+173+…+159）=171.1cm
（2）甲班的样本方差为s2=110［（182－170）2+（179－170）2+…+（158－170）2］=57.2cm2
（3）乙班这10名同学中有5名同学的身高大于或等于173cm，
从这10名同学中任意取5名同学，身高至少为173cm的同学被抽中的概率为P=410=0.4．
[关键词]贝叶斯网络；中医专家系统；信息熵
模拟中医专家进行诊疗历来就是中医现代化过程中的一个重大课题，同时也是将中医辨证的主观判断转化为客观逻辑推导的必由之路。中医专家系统，是根据中医专家的“整体思维，辨证论治”的诊疗特点，在一定的数学平台之上，根据“望、闻、问、切”得出的症状体征，给出诊断结果的智能计算机程序。迄今为止已经出现了上百种中医专家系统，这些中医专家系统的数学模型包括了贝叶斯公式法、最大似然法、模糊数学法等等，但是在这些中医专家系统中，往往把临床表现当作一个孤立的症状来看待，事实上，不同的症状之间由于中医的整体观念，往往存在着某种形式的因果关系。我们利用贝叶斯网络可以解决这个问题。
贝叶斯网络是1981年由R．Howard和J．Matheson提出来的，20世纪80年代早期，贝叶斯网络成功地应用于专家系统中对不确定性知识的表达，中医辨证是以大量的不确定性知识作为判断基础的，而贝叶斯网络应用于中医专家系统目前还处于探索阶段。
1贝叶斯公式
先验信息是指在抽样之前有关统计问题的一些信息，一般来说，先验信息主要来源于经验和历史资料。如果9是离散随机变量，先验分布可以用先验分布列 ，表示。这时候后验分布也是离散形式：
我们称这个公式为贝叶斯公式。如果有一个病人发热(我们设发热这个事件为x，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病θ1，θ2，θ3，…。我们假定θ1，θ2，θ3，…是互斥的，医生可以凭借以往的经验估计出发病率P(θi)i=1，2，…，n)，我们称P(θi)为先验概率。我们要进一步考虑一个人在发热的情况下患病θi的可能性，就是P(θi|x)(i=1，2，…，n)的大小，它可以由贝叶斯公式算出，这个概率P(θi|x)是在获得新的信息(发热)后，病人得θ1，θ2，θ3，…的可能性，我们称P(θi|x)是后验概率。如果我们把x视为观察的结果，把θ1，θ2，θ3，…理解为原因，则贝叶斯公式反映了因果的概率规律，并作出“由果溯因”的推断。应当说，贝叶斯公式结合了主观的先验知识和客观的概率统计结果，形成了一个主客观可以接受的条件概率。
中医诊断的本质就是根据病人体现出的症状的集合得出“证”来。不可否认，不同的症状之间有可能存在一定的因果关系，这就需要引入贝叶斯网络的理论，建立起基于信息熵的贝叶斯网络，并且在此基础上探讨中医专家系统的数学模型。
2贝叶斯网络
贝叶斯网络(BayesianNetworks,BN)又称为概率网络或者因果网络，它是用来表示不确定性变量集合联合概率分布的图形模式，它反映了变量间潜在的依赖关系，它主要由两个部分组成，一部分是有向无环图(directed acyclic gragh．DAG)，有向无环图中的每一节点表示一个随机变量，图中两节点若存在着一条弧，则表示这两节点相对应的随机变量是概率相依的，两节点间若没有弧则说明这两个随机变量是相对独立的。按照贝叶斯网的这种结构。显然网中的任一节点Xi均和非Xi的父节点的后裔节点的各节点相对独立。网中任一节点Xi均有一相应的条件概率表CPT(conditionalprob―abilitytable,CPT)，用以表示节点Xi在其父节点取各可能值时的条件概率。若节点Xi无父节点，则Xi的CPT为其先验概率分布。贝叶斯网的结构及各节点的CPT定义了网中各变量的概率分布。
贝叶斯网络能表示任意概率分布，它们为这些能用简单结构表示的分布提供了可计算优势。
假设对于顶点xi，其双亲节点集为Pai，每个变量xi的条件概率为P(xi|Pθai)，则顶点集合X={x1，x2，……，xn)的联合概率分布可如下计算：
贝叶斯网络的结构学致有两种算法，一种是基于搜索或者打分的方法，这类方法的缺点是时间复杂度高，计算量大，效率低；第二种方法是根据因果独立性分析，由专家或者资料分析，给出相应的因果模型和相应的分布概率。我们采用贝叶斯网络的第二种构建方法。
在贝叶斯结构学习的过程中，我们可以将信息熵的大小作为判断两个症状之间是否具有因果关系的依据。
3信息熵
信息熵是信息论中对不确定性的一种度量。仙农信息论认为，如果某一个信息源中某种信号出现的概率是只，则它所带来的信息熵就是：I(xi；yi)为交互信息量(简称互信息量)，表示信宿(消息传送的对象和接收者)收到一个消息yi后所获得的关于xi的信息量。也就是说，信宿收到一个消息后所获得的平均信息量等于信源不确定性减去信宿收到一个消息后对信源尚存在的不确定性。
如果我们认为症状i存在的概率是xi，症状i存在的概率是xj，在症状i存在的前提下症状i存在的概率是P(xi|yi)，则症状xj从症状xj那里获得的信息量是
我们可以适当设定阈值，当I(xi；yi)的值大于阈值时我们便认为xi和yi具有因果关系。
算法1：贝叶斯网络构建
输入：症状数据集，证数据集
输出：反映症状之间、症证之间因果依赖关系的贝叶斯网络步骤：
creatarcfrom证to症状ifP(症状证)exist；P(症状|证)//如果存在，则构建从证到症状的弧k=count(症状)；//计算所有涉及的症状的总个数
fori=l to k
forj=l tok
{if≠ij}
{if I(症状i；症状j)>w)
{creatarcfrom症状ito症状j}；//构建症状之间的因果依赖关系
arc(i，j)=；P(j|i)//描述症状i和症状j之间的概率分布
算法2：贝叶斯网络预测
输入：算法1构建的贝叶斯网络，给定症状集D
输出：分类m
步骤：
t=max(i)；//求出最大概率的类别
数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力，包括空间想象直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。考试分为理工农医和文史财经两类理工农医类。复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分。文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。考试中可以使用计算器，考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：
1.知识要求
本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题
2.能力要求
逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确图形，根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容
理工农医类
第一部分 代 数
(一)集合和简易逻辑
1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。
3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二伙函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题
5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数
6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图像和性质。
7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、图象和性质。
(三)不等式和不等式组
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。
2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集
3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。
(五)复数
1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义
2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算
(六)导数
1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义
2.理解导数的概念及其几何意义
3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明
2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。
(三)三角函数的图象和性质
l.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的图象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简图，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题
(三)多面体和旋转体
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积
2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积
3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台与二项式定理
1.了解分类计数原理和分步计数原理
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算～些事件的概率
5.会计算事件在n独立重复试验中恰好发生k次的概率
6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值
(三)统计初步
了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差
文史财经类
第一部分 代 数
(一>集合和简易逻辑
1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系
2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性
3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的图象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二次函数的概念，掌握它的图象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的图象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题
5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质
(三)不等式和不等式组
l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集
2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题
3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题
(五)导数
1.理解导数的概念及其几何意义
2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数
3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。
2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明
(三)三角函数的图象和性质
1.掌握正弦函数、余弦函数的图象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的图象和性质
3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件
5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。
2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题
3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题
(三)圆锥曲线
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台
l.了解分类计数原理和分步计数原理
2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率
4.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率
5.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
1.通过对几个试验的观察分析，经历几何概型的建构过程;
2.通过问题情境，总结归纳几何概型的概念和几何概型的概率公式;
3.会用几何概型的概率公式对简单概率问题进行计算，体会数形结合的数学思想;
4.能根据古典概型与几何概型的区别判别某种概型是古典概型还是几何概型;
5.通过大量生活实例，感受生活中处处有数学，树立数学服务于生活的观点.
二、教学重点
1.掌握几何概型的基本特点;
2.会用几何概型的概率公式对简单概率问题进行计算.
三、教学难点
判断一个试验是否为几何概型;如何将实际背景转化为几何度量.
四、教学方法
引导启发式、对话式.
五、教学过程
活动一 游戏中的几何概型
1.教师给出问题情境：甲乙两人玩转盘游戏（转盘如右图所示），规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜. 在这种情况下求甲获胜的概率是多少？
（设计意图：创设问题情境，旨在激起学生学习数学的热情，调动学生主体参与学习活动的积极性，并让学生体会身边的几何概率模型.）
2.学生会很快得到答案：.教师提出问题：“有什么方法可以说明概率为■？”学生分小组完成转盘实验，填写《实验数据记录表》。
3.教师用计算机模拟转盘实验.
教师小结：我们发现，指针指向B区域的频率有大于0.5的，有小于0.5的，但总是在0.5附近摆动. 实验次数越多，频率在概率附近的摆动幅度越小.
（设计意图：一方面是调动学生学习的积极性，以最快的速度进入学习状态.另一方面，让学生再次完成大量重复随机试验，进一步理解概率的统计定义. 而计算机的模拟实验也让学生再次感受到信息技术在数学学习中的意义.）
活动二 感受情境，建构新知
问题情境1：从1984年洛杉矶奥运会开始，韩国射箭女队就开始了在奥运舞台上的称霸之路. 直到2008年北京奥运会，中国箭手张娟娟成为第一个打破坚冰的“勇者”，先后战胜韩国箭手闯入决赛，并且在决赛中以一环的优势绝杀韩国箭手朴成贤，打破了韩国队在这一项目上二十多年的称霸，向世界证明了韩国女队并非不可战胜，堪称最有价值的一次突破.
奥运会射箭比赛的靶面直径是122cm，黄心直径是12.2cm，假设箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
（设计意图：通过张娟娟的成就，培养学生的爱国之情，增强民族自豪感，进行情感教育. ）
问题情境2：有一杯800ml的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出100ml，求小杯水中含有这个细菌的概率？
问题情境3：某人在7U00 ～ 8U00的任意时刻随机到达单位，求他在7U10 ～ 7U20之间到达单位的概率.
（设计意图：三个问题情境让学生认识到概率与我们的生活息息相关，激发了学生的兴趣. 对具体情境进行仔细分析，让学生跨越“古典概型”，体验试验结果在等可能发生的前提下，从少到多，从疏到密，从有限到无限，从量变到质变，培养学生的理性精神和辩证思想. 同时，问题情境覆盖长度、面积、体积三个层面，为后续教学做好铺垫.）
教师提出思考问题：
问题1：上述三个问题有哪些共同特点？与之前所学的古典概型一样吗？
教师板书：①无限性;②等可能性.
问题2：上述三个问题中的概率，你是怎样计算的？能不能模仿古典概型的计算公式，得到一个一般性的结论呢？
（设计意图：明确指令，帮助学生从直观感受上升到理性认识，为后续教学埋下伏笔.）
活动三 形成定义，对比辨析
定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型.
几何概型的概率公式：
教师提出问题：几何概率模型和古典概率模型的区别有哪些？请同学分组讨论，填写下表.
（设计意图：让学生明确几何概型和古典概型的区别与联系，进一步理解和掌握几何概型.）
活动四 理论迁移 学以致用
例一海豚在水池中自由游弋，水池的横剖面为长30m，宽为20m的长方形. 求此海豚嘴角离岸边不超过2m的概率.
教师提出以下问题，引导学生分析题意，正确选择几何度量.
①试验的全部结果所构成的区域是什么？其几何度量是什么？
②记事件A：“此海豚嘴角离岸边不超过2m”，构成事件A的区域是什么？其几何度量是什么？
学生很快给出答案：
（设计意图：给出几何概型的简单例题，通过引导分析，帮助学生建构起解决几何概型问题的一般方法和步骤.答题的格式和规范表述，将解题教学落到实处.）
活动五 小结归纳 布置作业
教师提问：通过这节课的学习，你有哪些收获呢？
作业
