时间：2022-02-18 19:21:30
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇参数方程，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
问题1：经过点M（x，y）的直线有多少条？
问题2：再加一个什么条件就可以确定一条直线？
教师：请同学们说出经过点M（x，y），倾斜角为θ的直线的方程。
学生：根据点斜式，斜率k=tanθ，所以直线方程为y-y=tanθ（x-x）。
2.新课讲解
教师：能否引进一个参数，使得直线上任何一点M（x，y）都能用这个参数来表示？
学生：利用|MM|，就是利用M到M的距离。
教师：如果利用距离的话，一个参数就会对应两个点了，如何解决这个问题呢？
学生：根据方向来区分，向上是正的，向下是负的。
教师：很好，那跟方向有关的话，我们能想到什么？
学生：向量。
教师：不错，那我们能否找到一个单位向量和直线是平行的？如果可以的话，那p的坐标是什么？并给出提示：op要满足什么条件就会和直线是平行的？
学生：可以，根据斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），记==（cosθ，sinθ）。
教师：因为和是共线的，所以就可以用表示出来，即=t，那么，M的坐标如何用参数来表示呢？
学生：根据向量相等，就能得出直线的参数方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。
教师：这个参数方程跟哪种曲线的参数方程是很像的，有什么区别？
学生：跟圆的参数方程很像，区别在于，在直线的参数方程中t是参数，在圆的参数方程中θ是参数。
教师：参数t的几何意义是什么呢？
学生：因为=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距离。
教师：什么时候是正的，什么时候是负的？
学生：根据向量的数乘可知，如果与同向，则t是正的，反之t是负的。
教师：很好，那我们看一下的方向有什么特点？
学生：根据倾斜角θ的范围，可以知道的方向总是向上的。
教师：所以我们直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，则t是正的，反之t是负的。
教师：那M所对应的参数是多少？
学生：根据参数的几何意义可知，M所对应的参数是0。
3.例题讲解
例1：已知直线l∶x+y-1=0与抛物线y=x交于A、B两点，求线条AB的长和点M（-1，2）到A，B两点的距离之积。
学生：思考，互相交流。
教师：直线l的参数方程是什么？
学生：因为M（-1，2）在直线l上，θ=，所以直线l的参数方程是x=-1-ty=2+t。
教师：能否利用参数，线段AB的长就是什么？
学生：根据参数的几何意义可以得出，|AB|=|t|+|t|。
教师：那如何解出t，t呢？
学生：因为t，t是A，B两点所对应的参数，而A，B两点是直线与抛物线的交点，所以将直线的参数方程代入抛物线方程，得到2+t=（-1-t），化简得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的两个解。
教师：那|MA||MB|=？
学生：根据韦达定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。
教师：求|AB|能不能也根据韦达定理，不解方程来做？引导学生从向量的角度来考虑，因为=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韦达定理呢？
学生：|AB|=|t-t|==。
教师：说明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所对应的两个参数。
那A，B的中点P所对应的参数等于多少呢？
学生：猜测中点P所对应的参数为。
教师：通过画图来解释，或者根据向量=+。
例2：经过点M（2，1）作直线l，交椭圆+=1于A，B两点。如果点M恰好为线段AB的中点，求直线l的方程。
知识与能力：1、理解圆的参数方程 ，能熟练求出圆心在原点、半径为r的圆的参数方程；2、理解圆心不在原点的圆的参数方程 ，能根据圆的圆心坐标和半径熟练的求出圆的参数方程；3、了解参数方程的概念；4、能进行圆的普通方程与参数方程互化，并能用之解题；过程与方法：在学习中探索出圆的参数方程并能对其进行应用；
情感态度与价值观：通过本节的学习让学生感受数、形、式间的联系；
二、教学重点：圆的参数方程的推导及圆的参数方程与普通方程的互化；
三、教学难点：对圆的参数方程 的推导及应用其解题；
四、教学方法：探索发现法 问题式教学法
五、课时安排：1课时
六、教学过程设计：
Ⅰ、知识回顾（课件展示，教师引导学生回顾知识点，学生完成以下横线空格的填写）
1、圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，它表示的是以C(a,b)为圆心，以r为半径的圆；
2、圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0），它表示的是以 为圆心，以 为半径的圆；
Ⅱ、新课
1、圆的参数方程的推导
（1）如图,设O的圆心在原点,半径是r,与x轴正半轴的交点为P0,在圆上任取一点P,若将OP0按逆时针方向旋转到OP位置所形成的角∠P0OP=θ, 求P点的坐标：
点P的横坐标x和纵坐标y都是θ的函数，即 ①
显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x,y)都在O上。我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程，θ是参数．
（2）圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程是怎样的？
如图O 可以看成由O按向量 平移而得到即对于O上任意一点P1(x1,y1)，在O1上必有一点P（x,y），使 ，又因为 ， ,所以(x1,y1)=(x-a,y-b)即是
从而 ②，代入②式可以得到圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程是 （θ为参数）
2、参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数， ③并且对于t的每一个允许值，方程组③所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
3、参数方程和普通方程的互化
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标 、 关系的方程，叫做曲线的普通方程．将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化．
4、例题解析
例1 曲线C： （θ为参数）的普通方程是： ；
例2 若直线y=x-b与曲线 有两个交点，则实数b的取值范围为 ；
解析：方法1：（代数法）由 ，由 得
方法二：（几何法）由 ，则圆心（2,0）到直线y=x-b的距离 解不等式得：
练习：若曲线 （θ为参数）与直线x++y+a=0有公共点，求a的范围；
例3 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A(12,0)是x轴上的一定点，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？
解：设点M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为 ，设点P(4cosθ,4sinθ)，由线段中点坐标公式得 ，即点M轨迹的参数方程为 ，点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．
练习：课本P89，练习3
例4 已知实数x、y满足方程x2+y2+2y=0，（1）求x+y的最大值；（2）求 的取值范围；
解：由原方程可得：x2+(y+1)2=1，它表示圆，参数方程为
（θ为参数，0≤θ
（1）
当 时，x+y有最大值
（2） 的值可看成是过圆上任意一点(x,y)与点（2,0）的直线的斜率k，即 由圆心（0，-1）到直线kx-y-2k=0的距离d≤r得 解不等式得 即
练习：1、若x2+y2，则x+y的取值范围是 ；
2、（课本P91第11题）求函数 的最大值和最小值；
Ⅲ、小结：1．圆心为原点、半径为r的圆的参数方程 ，
（θ为参数）；2．圆心为O1（a,b），半径为r的圆的参数方程
（θ为参数）；3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性。
关键词：高考；极坐标；参数方程
2009年高考是辽宁省进行新课改后迎来的第一个高考，至今已经历时四年。由于新课程改革，教材增加了部分新内容，所以高考题型也增加了22（平面几何初步），23（极坐标与参数方程），24（不等式选讲）三道选做题，考生要从中三选一。因此，部分高中选择主讲《4-4极坐标与参数方程》。坐标系是解析几何的基础，为了便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系就是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表现形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更灵活。参数方程可以帮助学生用更灵活的办法解决问题。那么，近几年高考中有关“极坐标与参数方程”的问题都考查了那些知识点？以那些形式出现的呢？
一、极坐标系与直角坐标系的互化
在求解有关极坐标问题时，可以转化为相对熟悉的直角坐标方程进行求解。若最终结果要用极坐标表示，可以将直角坐标再次化为极坐标。例1：（2009年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ-π3=1，点M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；（2）设MN的中点为点P，求直线OP的极坐标方程.解：（1）由ρcosθ-π3=1得ρ（12cosθ+32sinθ）=1。从而C的直角坐标方程为12x+32y=1，即x+3y=2。θ=0时，ρ=2，所以M坐标为（2，0），θ=π2时，ρ=233，所以N坐标为（0，233）。（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为（0，233），所以中点P的直角坐标为（1，33），则点P的极坐标为（233，π6）所以直线OP的极坐标方程θ=π6，ρ∈（-∞，+∞）。点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.例2：在极坐标系中，已知点O（0，0），P（32，π4），求以OP为直径的圆的极坐标方程。解： 设点Q（ρ，θ）为以OP为直径的圆上任意一点， 在RtΔOQP中，ρ=32cos（θ-π4）， 故所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。可以看到，利用极坐标系解决本题非常简洁。可是，我校学生的学习基础和理解程度，大部分学生不能想到或是理解这种方法。那么，我们看看下面的这种解法。解法二：点O的直角坐标是（0，0），点P的直角坐标是（3，3），所以线段OP的中点C的直角坐标是（32，32），线段OC=（32）2+（32）2=322。故以OP为直径的圆的直角坐标方程是（x-32）2+（y-32）2=（322）2，即x2+y2-3x-3y=0，化为极坐标方程是ρ=3cosθ+3sinθ，即所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。通过解法的对比，学生可以比较出两种解题方法哪个更为优化，哪个更好理解，从而选择适当的方法进行解题。
二、参数方程与普通方程的互化及简单应用
将参数方程中的参数消去后可以得到普通方程。消去参数常用的方法有代入法，有时也利用代数或三角函数中的恒等式消去参数。需要注意的是，在消去参数的过程的等价性，即坐标的变化范围不能扩大或缩小。例3：（2010年辽宁省高考理科23题）已知P为半圆C：x=cosθy=sinθ ， （θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程.解：（1）由已知，点M的极角为π3，且M的极径为π3，故点M的极坐标（π3，π3）。（2）点M的直角坐标为（π6，3π6）， A（1，0）故直线AM的参数方程为x=1+（π6-1）ty=3π6t （t为参数）点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。例4：（2011年辽宁省高考理科23题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ （φ为参数），曲线C2的参数方程为x=acosφy=bsinφ （a>b>0，φ为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1、C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合.（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1；当α=-π4时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积.解：（1）曲线C1的普通方程为x2+y2=1，故曲线C1是圆心在原点，半径为1的圆；曲线C2的普通方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），故曲线C2是焦点在x轴的椭圆；由题意知a=3，b=1。（2）当α=π4时，A1（22，22）、B1（255，255）；同理，当α=-π4时，A2（22，-22）、B2（255，-255）；故等腰梯形A1A2B2B1的面积为310。点评：本题考查点是参数方程和普通方程的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。例5：（2012年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，圆C1： x2+y2=4，圆C2：（x-2）2+y2=4（1）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1、C2的极坐标方程，并求出圆C1、C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，及学生的计算能力。
三、利用参数方程（或者极坐标）解决直线与圆（椭圆、双曲线）的位置关系问题
（一）对于圆、椭圆及双曲线，它们的参数方程与三角函数有关，通常用来研究对应曲线上与点有关的最值问题。这也是参数方程的主要应用之一。例6：（2011年福建高考21题（2））在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα （α为参数）.（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π2），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：（1）把极坐标系下的点P（4，π2）化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上。（2）因为点Q在曲线C上，故可以设点Q的坐标为（3cosα，sinα）， 从而点Q到直线l的距离为 d=3cosα-sinα+42=2cos（α+π6）+42=2cos（α+π6）+22 因此，当cos（α+π6）=-1时，d取最小值，最小值为2。点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化的思想。（二）直线参数方程t的几何意义例8：（2010年福建高考21题（2））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ。（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|。解：（1）由ρ=25sinθ得x2+y2-25y=0，即x2+（y-5）2=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3-22t）2+（22t）2=5，即t2-32t+4=0，由于Δ=（32）2-4×4=2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32t1t2=4 ，又直线l过点P（3，5），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。点评：本小题主要考查直线的参数方程及参数t的几何意义（极大化简了计算过程）、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。本题也可以化为直线的普通方程，然后求出点A、B，继而求出|PA|+|PB|，但计算量较大。四、在高考中经常涉及的考点
考点1：理解参数方程是以参变题量为中介表示曲线上的点的坐标的方程是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通的互化。考点2：理解极坐标方程是以极径、极角为变题量的方程，掌握极点在原点，极轴在x轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化。考点3：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法.考点4：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法.考点5：掌握过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα （t为参数），此时t有几何意义，即t=MM0.虽然在选做题的三道题中，极坐标与参数方程相对简单，但随着选择此题的考生逐渐增多，此考题难度也逐年增加。但是只要明确考纲，理解并掌握以上知识点，就可以以不变应万变，成功地求解该题。
参考文献：
[1]2009年各省高考数学理科试题
[2]2010年各省高考数学理科试题
二星题：立足重点，查漏补缺
三星题：立足难点，提升能力
一星题
1． 极坐标方程（ρ-1）（θ-π）＝0（ρ≥0）表示的图形是
（A） 两个圆 （B） 两条直线
（C） 一个圆和一条射线 （D） 一条直线和一条射线
2． 若0＜x＜，求函数y=x2（1-3x）的最大值．
二星题
3． 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为θ=（ρ∈R），它与曲线x＝1+2cosα，y＝2+2sinα（α为参数）交于点A和点B，则AB＝．
4． （1） 已知x，y∈R且a，b>0，求证：ax2+2by2≥；
（2） 已知a，b，c∈R+且abc＝1，求证： ++≥．
三星题
5． 已知x，y∈R+ 且+=1，求+的最小值．
6． 当a，b∈R且a≠0时，不等式a-b+a+b≥a•（x-1+x-2）恒成立，求实数x的取值范围．
7． 在极坐标系中，已知点A（，0）到直线l：ρsinθ-＝m（m＞0）的距离为3．
（1） 求实数m的值；
（2） 设P是直线l上的动点，Q在线段OP上，且满足OP•OQ=1，求点Q的轨迹．
8． 已知圆O的参数方程为x＝2cosθ，y＝2sinθ（θ为参数），直线l1的参数方程为x＝1+tcosθ，y＝1+tsinθ（t为参数，≤θ≤），直线l2的参数方程为x＝1-tsinθ，y＝1+tcosθ（t为参数，≤θ≤）．
（1） 已知直角坐标系中，点P的坐标为（-，1），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线，求该切线的极坐标方程；
（2） 若直线l1与圆O交于A，B两点，直线l2与圆O交于C，D两点，求AB•CD的最值．
【参考答案】
1． C
2． 解： 0＜x＜， 1-3x>0． y=x2（1-3x）＝x•x•（1-3x）＝•••（1-3x）≤3=． 当且仅当=1-3x即x＝时等号成立，此时函数有最大值．
3．（提示：由题意可得，直线的普通方程为x-y=0，曲线的普通方程为（x-1）2+（y-2）2＝4． 圆心到直线的距离为=， AB=2=）
4． 证明： （1） a，b>0， 要证原不等式，即证≥（x+2y）2． 根据柯西不等式可得＝+（ax2+2by2）≥（x+2y）2， 原不等式得证．
（2） a，b，c∈R+且abc＝1， ++=+••（b+c）=+•（b+c）≥2＝ ． 同理可得，++≥；++≥． ++≥-++-++-+=++≥•＝．
5． 解：令a=，b=，则x=，y=． +=a+b=1， +=•+•＝+. +［（a+1）+（4+b）］≥（a+b）2， +≥＝. 当且仅当•=•即x＝5，y＝时，+ 有最小值．
6． 解： a≠0， x-1+x-2≤恒成立． x-1+x-2≤min． a-b+a+b≥a-b+a+b=2a，当且仅当（a-b）（a+b）≥0时，等号成立， ≥=2． x-1+x-2≤2． 解得x的取值范围是，．
7． 解： （1） 以极点为原点、极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则点A的直角坐标为（，0）. ρsinθ-=ρsinθ-ρcosθ=m， 直线l的普通方程为x-y+m＝0. 点A到直线l的距离d==1+m=3，又m＞0， m=2．
（2） 由（1）得直线l的方程为ρsinθ-=2． 设P（ρ0，θ0），Q（ρ，θ）， 点P（ρ0，θ0）在直线l上， ρ0 sinθ0-＝2（①）． 由OP•OQ＝1，Q在线段OP上可得ρρ0＝1，θ＝θ0（②）． 将②代入①，得sinθ-=2，即ρ=sinθ-． 这就是点Q的轨迹方程．
把ρ=sinθ-两边同乘以ρ，得ρ2=ρsinθcos-sincosθ=（ρsinθ-ρcosθ），化为普通方程得x+2+y-2=， 点Q的轨迹是以-，为圆心、为半径的圆． 在极坐标系中，ρ==，tanθ==-1． 又在直角坐标系中，直线l过第一、二、三象限， θ为第二象限角. 在极坐标系中点Q的轨迹是以，为圆心、为半径的圆．
8． 解： （1） 由题意可得，圆O的普通方程为x2+y2=4． 圆O是以（0，0）为圆心、以2为半径的圆． OP＝＝2， 点P在圆O上． 如图1所示，以直角坐标系的原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P作圆O的切线PM，设M（ρ，θ）． tan∠POx==-， ∠POx=，∠POM=-θ．又∠MPO=，OP=2， cos∠POM==cos-θ，该切线的极坐标方程为ρcos-θ=2．
（2） 由（1）得圆O的普通方程为x2+y2=4．
把直线l1的参数方程代入圆的普通方程，整理得t2+2（cosθ+sinθ）t-2＝0． 设该方程的两根为t1，t2，则AB=t1-t2=＝＝2．
一、坐标系
了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化．
特别提醒：
1．平面上任意一点的极坐标不是唯一的；
2．点的直角坐标化为极坐标，通常用如下方法：ρ=x2+y2，tanα=|yx|，α∈（0，π2），
当θ在第一、第二、第三、第四象限时，极角θ分别取α、π－α、π+α、2π－α；
3．极坐标方程与直角坐标方程互化要注意其等效性．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的x轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（ρ，θ），则互化公式是x=ρcosθy=ρsinθ 或ρ2=x2+y2tanθ=yx；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨慎漏解．
例1 取直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则点M（－1，－3）的极坐标为_____________．
分析：把直角坐标化为极坐标主要是求出求出ρ与角θ即可．
解：利用互化公式，可得ρ=2，tanα=3，又点M是第三象限内的点，可得θ=43π，故点M的极坐标为（2，43π）．
点评：可以利用数形结合，直接得出答案；也可以利用互化的公式得出答案但也要注意点的位置与极角的关系．
例2 若限定ρ≥0，0≤θ≤2π，则曲线ρsinθ=2与曲线ρ=4sinθ的交点的极坐标为_____________．
分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，可求出交点的直角坐标，再化为极坐标或联立方程即可求出ρ与角θ．
解：法一：把两个极坐标方程化为直角坐标方程，可得y=2与x2+（y-2）2=4，利用数形结合可得到交点坐标为（2，2）和（－2，2），由ρ≥0则ρ=22，由tanθ=±1，又0≤θ≤2π，θ=π4或θ=3π4．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．
法二：把ρ=4sinθ代入到ρsinθ=2，注意到ρ≥0，得到sinθ=22，从而θ=π4或θ=3π4，再得到ρ=22．则两曲线交点的极坐标为（22，π4）或（22，3π4）．
点评：本题用了两种解法，化成直角坐标要稍麻烦一点，直接联立方程可以方便的求出ρ与角θ．
二、曲线的极坐标方程
了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程．
特别提醒
1．在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ρ=r；
2．在极坐标系中，以 C（a，0）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是ρ=2acosθ；
3．在极坐标系中，以 C（a，π2）（a>0）为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ρ=2asinθ；
4．在极坐标系中，θ=α（ρ≥0）表示以极点为起点的一条射线；θ=α（ρ∈R）表示过极点的一条直线；
5．在极坐标系中，过点A（a，0）（a>0），且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是ρcosθ=a．
例3 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____________．
分析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化．要把已知条件与x=ρcosθy=ρsinθ 联系起来，即可得到曲线的直角坐标方程．
解：将ρ=2sinθ+4cosθ，两端同乘以ρ得，ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，则
x2+y2=2y+4x，即x2+y2－4x－2y=0．
点评：本题中曲线的极坐标方程只要在两端同乘以ρ，再根据直角坐标和极坐标直角的关系就很容易得出该曲线的直角坐标方程．
例4 已知圆心在M（a，0），半径为R，试写出圆的极坐标方程．
分析：先建立直角坐标系找出动点P所在的三角形，再利用三角形中的余弦定理.
解：如图，在OPM中，由余弦定理可得：
ρ2－2aρcosθ+a2－R2=0．
点评：建立直角坐标系找出动点P所在的三角形是解决此类问题的关键，三解形中的余弦定理是解决本题的工具．
三、参数方程
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义．理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用．会进行曲线的参数方程与普通方程的互化．
特别提醒：
1．曲线的参数方程不是唯一的，选择不同的参数，得到的参数方程也不同；
2．注意直线的参数方程中参数的几何意义及其应用．
例5 直线x=3+tsin40°y=－tcos40° （t为参数）的倾斜角是_____________．
分析：将参数方程化为直线参数方程的标准形式即可得到直线的倾斜角，也可以将参数方程化为直线的斜截式方程，求出斜率k，进而得出倾斜角，但计算量比较大．
解：将参数方程化为x=3－tcos130°y=－tsin130° （－t为参数），对照直线的参数方程可得倾斜角为130°．
点评：本题所给出的直线方程的参数形式比较容易让人混淆，t不是定点（3，0）与直线上的点之间的距离，如果不认真分析就比较容易出错．本题解题方法的选择也至关重要．
3．参数方程与普通方程的互化：
（1）参数方程转化为普通方程
把参数方程转化为普通方程，其基本方法是“消去参数”．消去参数的具体方法要根据参数方程的特点来考虑．一般地说，当f（t），g（t）都是多项式时，常采用代入消元法；当f（t），g（t）都是t的三角函数时，常借助三角恒等式等．在转化的时候，还必须使两种方程的变量的取值一致．
参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：代入法、三角法、平方法等．
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数．
例6 把参数方程x=21+t2y=2t1+t2（t为参数）化为普通方程．
分析：观察方程组里的两个式子的分母相同，所以把两个式子相比就得到t用x，y来表示的关系式，再将其代入到参数方程中即可．
解：由原方程组得yx=t，把t=yx代入x=21+t2得x=21+（yx）2，化简得：x2+y2－2x=0（x≠0），这就是所求的普通方程．所以它表示的曲线是以（1，0）为圆心， 1为半径的圆除去原点（0，0）．
点评：在用代入消元法的时候关键要得到t的一个关系式，之后再代入到参数方程中的x式或y式即可．
（2）普通方程转化为参数方程
把普通方程化为参数方程，一般有如下思路：
（1）F（x，y）=0选取参数tx=f（t），y=g（t），（t为参数）．
例7 直线l的普通方程是2x－y+2=0，把其化为参数方程．
分析：可以选取一个参数t，直接令x=t，代入方程后则可求出y关于t的关系式．
解：选t为参数，令x=t，则y=2t+2．得参数方程为x=t，y=2t+2.（t为参数）．
点评：选定参数t以后，将普通方程化为参数方程的问题就转化为已知t，分别求解x、y的问题了，它和求动点轨迹的参数方程的方法类似．
4．转化思想在解题中的应用
（1）在圆中的应用
例8 已知实数x、y满足x2+y2+2x－23y=0，
（1）求x2+y2的最大值；（2）求x+y的最小值．
分析：从几何意义来考虑，设P（x，y）是圆C：x2+y2+2x－23y=0上的一点，可利用圆的参数方程得到P点的坐标，再来求解最值问题．
解：原方程配方得：（x+1）2+（y－3）2=4，它表示以（－1，3）为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表示为x=－1+2cosθ，y=3+2sinθ （θ为参数，0≤θ
（1）x2+y2=（－1+2cosθ）2+（3+2sinθ）2
=4（3sinθ－cosθ）+8
=8sin（θ－π6）+8
当θ－π6=π2，即θ=2π3时，（x2+y2）max=16．
（2）x+y=2（sinθ+cosθ）+3－1=22sin（θ+π4）+3－1，
当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，（x+y）max=3－22－1．
点评：利用圆（x－a）2+（y－b）2=r2的参数方程x=a+rcosθ，y=b+rsinθ（θ为参数），来设P点的坐标，就把目标函数由二元转化为一元，促使问题顺利解决．
（2）在椭圆中的应用
例9 求椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的内接矩形的面积及周长的最大值．
分析：把椭圆的标准方程转化为参数方程x=acosαy=bsinα，即可设出椭圆的一个点的坐标，从而得到内接矩形的边长，即可列出面积与周长的表达式来求最值．
解：如图，设椭圆x2a2+y2b2=1的内接矩形在第一象限的顶点是A（acosα，bsinα）（0
S=4FA×EA=4acosα·bsinα=2absin2α≤2ab，
当且仅当α=π4时，Smax=2ab，
L=4（FA+EA）=4acosα+4bsinα
=4a2+b2sin（α+φ）≤4a2+b2，
当sin（α+φ）=1时，Lmax=4a2+b2，此时α存在．
随着新课改的不断深化，基于对高中学生学习能力和状况的研究，并为了平衡数学教材教学内容，直线参数方程内容比例已经显著减少.在实际教学中，教师也选择进行教学重心的偏移.然而，作为高中数学体系的重要组成，其在实际解题应用中，尤其是一些灵活性和深刻性要求较高的数学习题中，能够发挥极佳的应用优势.榱吮Vぱ生数学知识结构体系的完整性，提高学生的数学素养和解题能力，教师应对直线参数方程在高中数学解题中的应用进行系统讲解和分析.
一、直线参数方程应用于最值求解题
高中几何图形中最值问题解析是重点和难点.有些学生数学基础不扎实，且在解题和答题中的灵活性不强，无法充分应用所学的数学知识进行辨证式解题.这些学生不能明确已知条件，且无法抓住题目的重点，往往选择以自身所掌握的单一化解题方式进行剖析和解答，不仅耗时较长，而且最终答案难以保证正确率.例如，已知两条抛物线C1：y2=3x+5和C2：y2=5-3x相交于一点A，在A处作两条直线和抛物线相交于B、C点，求|AB・||AC|的最大值.在看到题目时，学生一方面怯于抛物线知识点的多和杂，另一方面对于已知条件的分析和应用也不到位，无法实现有效解题.如果应用直线参数方程进行解题，则能够高效地完成解答.基于已知条件，列出抛物线C1和C2的方程组，即y2=3x+5和y2=5-3x，进而明确交点A的数值.其后，通过抛物线图形和A点坐标得出最终B、C两点的方程组.由BC与两条抛物线存在着交点这一条件，最终利用三角关系获得相应结果.对本题的解题过程进行分析，应用直线参数方程进行解题，不仅解题过程思路清晰，而且快速高效，以图形和已知条件作为推到元素，便能很快获得问题答案.因此，学生应有意识地加强相关题目的解题训练，提高解题效率.
二、直线参数方程应用于定值类数学题
定值类数学题同样是高中数学中的重点和难点.在面对相应题目时，学生往往找不到解题方向，缺乏具体的着眼点，导致数学学习自信心逐渐降低.对于此类题目的解题而言，单纯利用已知条件，即题目变量并不明确为横纵坐标的点亦或是由点构成的直线，且点属于未知元，直接进行解题很难找出有效的解题思路.而利用直线参数方程知识，将原有条件转化为一个参变元，则解题过程清晰且简单.例如，已知抛物线C3∶y2=4Bx（A>0）中 ，求证其x轴的正半轴上存在点 A，使过A点的抛物线的任何一弦长满足为常数值.要想进行解题，需明确A点坐标，进而得出A（a，0）（a>0）.为过A点直线进行参数方程设定，即x=a+bcosθy=bsinθ.应用参数方程和已知抛物线方程，通过抛物线图形判断，获得第三已知量，最后求证出x轴的正半轴上存在点A.证明题是高中数学习题中的重要题型，对于学生逻辑思维能力和推导能力的提升有着重要意义.在教学中，教师应引导学生充分利用已知条件，完成参数方程设置，进而一步步推导出题目要求.
三、直线参数方程应用于轨迹问题
对于轨迹问题的解答，往往需要借助已知条件进行画图，在图形观察过程中找出解题的突破口，最后得到所需答案.有些学生由于图形构建和理解能力上的欠缺，往往在面对轨迹问题时难以下手.这就要求教师在进行相应知识点的讲解时引导学生掌握高效的解题推导方法.以圆曲线方程问题为例，题目通常给出圆的方程，并给出相关已知条件，让学生求出动点关于圆曲线的方程.此类问题有着很强的数形结合特色，需要学生在解题过程中充分结合几何图形知识和方程知识，利用直线参数方程完成动点关于圆曲线的方程.在解题过程中，学生首先应明确题目所给条件，并将已知条件进行整理，以已知条件作为基础，设定出过原点直线的方程组.然后以已知条件为基础画出相应图形，在数形的配合下，明确动点方程组，并实现动点方程组向已知量的转化.最后以已知量作为补充，解答出轨迹问题的答案.从数学出题结构来看，此类题型往往为数学试卷后部的推导解答题，不仅解题过程相对复杂，且难度较大，需要花费一定时间.如果学生没有扎实的数学基础，且无法充分应用直线参数方程作为解题参考，就使解题过程漫长且艰难，浪费大量考试时间.因此，学生应在平时多进行相关习题的训练，以打牢基础，为解题进行充足准备.
总之，直线参数方程在高中数学知识体系中具有的重要地位.在高中数学教学中，教师要依据教学实际情况，将直线参数方程与其他知识点进行串联讲解，使学生进行知识的融会贯通，确保学生的知识体系的完整性.
2016年高考全国卷23题如下：
（选修4-4：坐标系与参数方程）在坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=acost，y=1+asint， （t为参数，a>0），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.
（Ⅰ）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
笔者参加了今年的高考评卷工作.据笔者调查，相当多的文科考生认为这道题“不好做”，第一问“还可以”，第二问“看不懂”，“很难算”.笔者认为，“注重概念，绵里藏”是这道题的显著特点，尽管题目的表述给人的感觉很平和，但要想彻底解决它，需要有点真功夫才行.来自阅卷现场的数据也说明了这一点：该题全省文科平均分4.2分，理科平均分6.7分（满分10分），文科的难度系数为0.42，理科的难度系数为0.67.在高考数学的六道大题中，这道题的难度相对较小，原本以为可以拿高分，这样的得分结果，远低于命题预期.
学生的答卷暴露出哪些问题？对极坐标与参数方程的课堂教学有什么启示？笔者对此进行了初步的分析与思考.
二、典型错误及解题分析
1.典型错误一：没有判断C1的曲线类型或判断错误.
例如，有的考生这样作答：“C1的参数方程为x=acost，y=1+asint （t为参数，a>0），C1是椭圆”，或者“曲线C1是过定点（0，1），斜率为tant的直线（t为参数），y-1x=tant”，或者“曲线C1为圆锥曲线”“曲线C1为抛物线”“曲线C1为双曲线”.
原因分析：这样作答的考生没有把握概念的本质特征，不理解圆的参数方程这个概念，辨别不清邻近的数学概念，混淆了圆的参数方程与椭圆的参数方程、直线的参数方程，把常数a当作参数，把圆的参数方程当成了直线的参数方程，消去的是常数a而不是参数t，导致参数方程化为普通方程时化错.
2.典型错误二：没有化曲线C1的参数方程为直角坐标方程或化错.
有的考生这样作答：“由x=accost，y=1+asint，得x2=acos2t，y2=1+asin2t，x2+y2=1+2a”，或者“x2=cos2t，（y-1）2=sin2t”.
原因分析：这样作答的考生没有掌握运算化简的算理cost=xa，sint=y-1a，cos2t+sin2t=1.
不知道如何消去参数，运算求解能力低下.
3.典型错误三：没有对常数项a进行平方.
“曲线C1的直角坐标方程为x2+（y-1）2=a，（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a，ρ2-2ρsinθ+1-a=0”，a少了平方，由此一路往下一直到第二问，总是错在同一个地方，导致严重失分.
原因分析：这一类考生由于粗心导致计算错误，运算求解能力低下，基础训练不充分.
4.典型错误四：没有求解曲线C1的极坐标方程.
有的考生判断了曲线C1的类型，求出了C1的普通方程后，还没有求曲线C1的极坐标方程，尚未得到题目需要的结果，就直接跳到第二问进行作答.
原因分析：这一类考生或者审题不清，漏看题目的要求，没有看清第一问有两个考点；或看清了题目的要求，但不清楚极坐标方程与直角坐标方程这两个概念，或者没有掌握转化的算理x=ρcosθ，y=ρsinθ，不知道该如何把直角坐标方程化为极坐标方程.
5.典型错误五：没有充分化简曲线C1的极坐标方程或化错.
例如，有的考生化简的最终结果是“ρ2cos2θ+（ρsinθ-1）2=a2”，或者“ρ2-ρsinθ-1-a2=0”或者“ρcos2θ+ρsin2θ-2ρsinθ+1-a2=0”.
原因分析：这一类考生不明确化简要达到什么程度，或者是平时的教学中教师没有做出明确的要求，或者是教师提出了要求而考生没有留意，或者是尽管留意了但是不会平方差公式导致无法展开（ρsinθ-1）2，或者移项后没有变号，或者不记得cos2θ+sin2θ=1.
6.典型错误六：没有讨论极径ρ的取值范围.
例如，有的考生所下结论为：“曲线C1的极坐标方程为ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”.
原因分析：这一类考生对极坐标的定义理解不透，考虑问题不全面，不明确极径ρ的取值范围.他们没想到“ρ=2ρsinθ+1-a2ρ”中的ρ出现在分母，不能取0，与正确答案ρ2-2ρsinθ+1-a2=0相比，ρ的取值范围中缺少了0，曲线C1对应的图形少了一个点（0，0）.
7.典型错误七：没有得到曲线C3的直角坐标方程y=2x.
原因分析：这一类考生不清楚经过极点的直线的极坐标方程为θ=α0，对应直角坐标系中经过坐标原点的直线，或者忘记了斜率的概念，斜率k=tanα0=2，求不出对应的方程y=2x.
三、教学思考
1.概念教学时，让学生明确概念的来龙去脉，让学生感受知识的发生、发展过程，悟透概念的本质，尤其是圆的参数方程的概念.上文中提到的错误一、错误四、错误六和错误七与概念有关.
2.结合教材《选修4-4坐标系与参数方程》第23页圆的参数方程的概念，进行调整并且对概念进行拓展外延.例如，这样调整：
设圆O的半径是r，点M（x，y）从初始位置M0出发，按逆时针方向在圆O上作匀速直线圆周运动，OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度为变数t，以O为坐标原点，OM0所在的直线为x轴，建立直角坐标系.过点M向x轴作垂线，交x轴于点D，三角形OMD为直角三角形.OD=x=rcost，MD=y=rsint，所以x=rcost，y=rsint （t为参数），t的取值范围由旋转的角度大小而定.
例如，当t=π2时，点M落在y轴上；当t大于0而小于2π时，表示的图形是扇形的弧；当t大于等于0且小于等于π2时，表示的图形是圆心角为π2的扇形的弧；当t大于等于0且小于2π时，表示的图形是一个圆.
归纳拓展：圆心在坐标原点（0，0），半径为r的圆的参数方程可表示为x=rcost，y=rsint （t为参数）；
圆心在（x0，y0），半径为r的圆的参数方程可表示为x=x0+rcost，y=y0+rsint （t为参数）.
3.解题教学时，展示算理，详细展示具体的运算求解过程.
4.由教师进行点拨，师生一起根据解题过程，引导学生M行解题回顾与反思，并进行方法的提炼与领悟.
例1已知曲线C1：x=-4+cost，y=3+sint （t为参数），C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ为参数），C3：x=3+2t，y=-2+t （t为参数），C4：x=1+s，y=1-s （s为参数）.
（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）化C3，C4的方程为普通方程.
解（1）平方和消参法：由曲线C1：x=-4+cost，y=3+sint， 得cost=x+4，sint=y-3，因为cos2t+sin2t=1，所以（x+4）2+（y-3）3=1，曲线C1是圆；
由C2：x=8cosθ，y=-2+8sinθ （θ为参数），得cosθ=x8，sinθ=y+28，因为cos2θ+sin2θ=1，所以x82+y+282=1，即x2+（y+2）2=64，曲线C2是圆.
归纳点拨：对比C1与C2的参数方程，发现两个方程中，一个方程的参数用t来表示，另一个方程的参数用θ来表示，但它们代表的曲线都是圆，说明代表变量的参数与所用的字母无关.
（2）代入消参法：C3：x=3+2t，y=-2+t （t为参数），由y=-2+t得t=y+2，
代入x=3+2t得x=3+2（y+2），C3的普通方程为x-2y-7=0.
加减消参法：因为C4：x=1+s，y=1-s （s为参数），所以x+y=（1+s）+（1-s）=1，即x+y=1为C4的普通方程.
接着提出以下问题，让学生感悟解题规律：
判断参数方程所表示的曲线类型的方法是什么？消去参数有什么方法？各种方法的特点是什么？如何选择合理的方法？
归纳点拨：判断参数方程所表示曲线的类型的方法是把参数方程化为熟悉的普通方程.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常用的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法等.
5.整合单元内容时，对知识点进行归纳整理，对概念进行纵横对比，区分概念的异同，使学生明确概念间的差异，悟透概念的内在联系.例如，
① 圆心在（x0，y0），半径为r的圆的方程.
普通方程：（x-x0）2+（y-y0）2=r2；
参数方程：x=x0+rcost，y=y0+rsint （t为参数）；
极坐标方程：（ρcosθ-x0）2+（ρsinθ-y0）2=r2或
ρ2-2ρx0cosθ-2ρy0sinθ+x20+y20-r2=0.
② 直线的参数方程为x=x0+tcosα，y=y0+tsinα （t为参数）（其中（x0，y0）为定点，α为直线的倾斜角）.
③ 椭圆x2a2+y2b2=1的参数方程为x=acosα，y=bsinα （α为参数）（a≠b）.
区别：圆的参数方程中，正、余弦的系数相同，正、余弦值是变化的；椭圆的参数方程中，正、余弦的系数不同，正、余弦值也是变化的；直线的参数方程中，正、余弦值是固定的常数，作为变量t的系数出现.
6.结合常用三角公式，进行综合训练.
极坐标与参数方程的内容，常常和三角恒等变换的内容一起出现，综合性较强.因此，在授课之前，有必要帮助学生复习三角恒等变换的相关公式，强化这些公式的记忆和运用.比如，二倍角公式、辅助角公式、降幂公式、两角和与差公式、平方和公式以及正切公式的商数关系等内容，都需要引起高度重视.
总的来看，这道高考试题加大了对概念的考查力度，在把握概念的本质属性方面提出了较高的要求，反映出命题者对基础的重视，反映了让学生在解题之余重视基本概念的命题意图.在考查基础知识的同时，加大了同一模块知识间的综合力度，具有一定的综合性，要想解得快、准，考生必须对教材中的知识点清清楚楚，既不能有遗漏，也不能一知半解，否则，就会影响解题进程，甚至得到错解.而高考是具有高度选拔性的考试，试题必然是在数学本质的表层上戴上特别的饰品，这就要求学生掌握数学的本质，抓住数学的精髓.在教学中如果只注重解题训练和类型归纳，忽视对概念的理解和把握，考生在考试时就会出现按图索骥、机械解题，题型一变，就不能适应，只好望题兴叹，本来不难的试题也解答不好.
【参考文献】
1 激发兴趣，生探索之根
孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，可见兴趣在数学学习中的重要性．通过恰当的问题复习旧知识可使学生迅速进入状态，积极思考，激发兴趣，为新知识的学习做好必要的知识上的准备．
师：请看幻灯片上的问题，思考可用什么方法解答．
练习：在圆x2+y2=12上求点P，使点P到直线l:x-y+8=0距离最小．
生（1）： 用数形结合法，由图1知，其最小距离为圆心到直线距离与圆半径的差 ．
生（2）：平行移动直线l:x-y+8=0与圆
x2+y2=12相切，最初相切的直线与直线l的距离，就是所求的最小距离．
生（3）：利用圆的参数方程 x=23cosθ
y=23sinθ求解．
师：从刚才各位同学的解法中，你有什么感想？
生（4）：数形结合法最简单，生（2）方法比较复杂．
2 创设疑问情境，萌探索之芽
“学启于思，思启于疑”，学生积极的思维往往是以对问题的质疑开始，又在解决问题的过程中得到发展．因此，教学中要依据教材内容的特点，在新旧知识的衔接上创设质疑情境，使学生由被动接受迈向主动探索．
师：刚才这道题，大家均能积极思考，找到了解决问题的多种方法，并分析了各种方法的优劣．现在我将此题恰当地变动一下，看哪一位同学能继续引领大家走向成功的彼岸．
变式1：在椭圆 3x2+y2=12上找一点P，使点P到直线l:x-y+8=0的距离最小．
生（2）：可以像刚才一样，移动直线l:x-y+8=0与椭圆3x2+y2=12相切，最初与椭圆相切的直线与直线l之间的距离就是所求的最小距离．
生（5）：这样运算比较复杂，但刚才最简单的数形结合法又不能用了，要是椭圆也有参数方程可能会简单一点．
师：对，请大家回忆一下圆的参数方程的相关概念，看能否找到求椭圆的参数方程的方法．
3 联想辨析――开探索之花
世界充满着联系，也充满着矛盾．已知与未知、现实与需求、正确与错误的联系与交替不时造成学生认知冲突，教学中教师可利用和制造这些矛盾冲突进行联想辨析，把学生带入发现问题并解决问题的探索性学习活动中．
师：很对，那么参数θ又有何几何意义呢？
生5：设M（acosθ,bsinθ)为椭圆上任一点，则θ是以x轴的正半轴为始边，OM为终边的角．
师：你是怎样想到的？
生（5）：我是类比圆的参数方程得到的．
师：果真如此吗？有无不同意见？
生众：深思，有的动手在草稿上画图验证．
生（6）：画出图3，感觉不对．
师：那么椭圆参数方程中参数的几何意义到底是什么呢？请大家先观察一下椭圆的参数方程x=acosθ (1)
（2）则是x2+y2=b2的参数方程x=bcosθ
y=bsinθ中的第二个式子．
师：对，这样看来，（1）可看成圆x2+y2=a2上一点的横坐标，（2）可看成是圆x2+y2=b2上一点的纵坐标，换言之，点（acosθ,bsinθ）的横坐标与圆x2+y2=a2上一点的横坐标相同，纵坐标又与圆x2+y2=b2上一点的纵坐标相同．由此，你能作出点M（acosθ,bsinθ)吗？
图3图4生（3）：能，如图4，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，分别以a,b为半径作两个同心圆，过原点O作射线分别与两个圆相交于A、B两点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，则M点的横坐标等于A点的横坐标，M点的纵坐标等于B点的纵坐标，设∠xOA=θ，那么M点的坐标为M（acosθ,bsinθ)．
师：由此你知道椭圆参数方程x=acosθ
生（2）：如图4，参数θ表示∠AOx．
师：经过刚才的探索之旅，我们知道椭圆参数方程中参数的几何意义是∠AOx而不是∠MOx，那么这两者之者有无关系呢？（又一次点燃了学生的求知欲望）
生（5）：有，如图
4 体验成功――结探索之果
每个人心中均有探索的欲望，教师在教学中如能创设一个适当的环境，让学生经历探索过程，体验成功的愉悦，感受探索结果的应用价值，必将使学生开出“智慧之花”，结出“成功之果”．
师：经过刚才的探索，我们得到了椭圆的参数方程，明确了参数的几何意义，下面我们看能不能应用它解决变式1．
|4cos(θ+60°)+8|2≥22，所以椭圆上点到直线的最短距离为22．
师：从中我们看到椭圆参数方程的坐标，它在某种情况下确实为我们的解题带来很多方便，下面我们来看变式2（2007湖北高考模拟题）．
变式2：已知椭圆方程为3x2+y2=12，过原点且倾斜角分别为θ和π-θ (0＜θ≤π4)的两条直线分别交椭圆于点A、C和B，D．则四边形ABCD面积的最大值等于，此时θ=．
图5生（7）：如图5，根据椭圆的参数方程可设点A的坐标为xA=2cosφ
所以四边形ABCD的面积S=4xA・yA=83sin2φ，因为 0＜φ≤π4，
师：有无不同意见？
生众：沉思．
生（8）：不对，当点A的坐标为（2cosφ，23sinφ）时，根据椭圆参数方程中参数的几何意义，角φ不是直线AC的倾斜角θ，φ与θ的关系为tanθ=ymxm=asinφbcosφ，即 tanθ=3tanφ，
因为 0＜φ≤π6，所以 0＜2φ≤π3．
由生（7）的结果S=4xA・yA=83sin2φ知Smax=83・32=12,此时θ=π4．
师：椭圆与圆一样具有参数方程，应用参数方程在许多时候能给我们的解题带来许多便利，但要特别注意椭圆的参数方程与圆的参数方程中参数几何意义的不同，忽视这一点，将导致我们得到片面的，甚至错误的结论．下面请大家拿出草稿纸做课堂练习（略）．
5 教学反思
以往的教学流程往往是这样：先提问或复习圆的参数方程及相关概念、作用，然后指出圆有参数方程，椭圆有无参数方程？今天我们主要解决这个问题，请大家看幻灯（出示新教材高中《数学》第二册（上）第101页例5），接下来与学生一起探索得出点M轨迹的参数方程为x=acosθ
y=bsinθ (1)，θ为参数，θ∈［0,2π)，消去参数θ，得椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1 (2)，并指出方程（1）就是椭圆（2）的参数方程，最后举例说明椭圆参数方程的应用．在这样的学习过程中，课堂主要是以接受式学习为主，学生对椭圆参数方程的来源及参数意义的认识是很肤浅的，再加上后续应用环节中很少提及参数的几何意义．由此我们就不难理解为什么有这么多的同学对变式2的错误解法看不出来的原因．新课程标准解读中明确指出：学生的数学学习不能仅仅是掌握一些概念和技能，而必须经历探索、猜想、推理等过程，把形成解决问题的一些基本策略作为一个重要的课程目标．弗赖登塔尔的“现实数学”思想也认为，数学来源于现实，必须应用于现实，数学教育如果脱离了那些丰富多彩而又复杂的材料，就将成为“无源之水，无本之木”．在本节课的教学中，教师从练习入手，通过变式创设了一个恰当问题情境，使学生现实地感受到探索出椭圆参数方程的必要性，然后在与圆的参数方程的类比猜想中，通过教师的主导作用几经反复，终于自己探索出例5的主要内容，明确了椭圆参数方程及其参数的几何意义，充分享受到探索后成功的愉悦．在随后有针对性的变式2的练习中，进一步巩固了椭圆参数方程及其几何意义．这样的教学有效地提高了学生探索与解决问题的能力，落实了教学目标．由此我想，为有效地配合、促进新课程理念的实施，防止学生走进题海战术的死胡同，培养学生的探索与创新能力，在高考中是否可以考虑适当延长高考时间，增加猜想、探索、类比考查内容，从而让学生走出为在规定时间内考出好成绩而花大量时间进行应试训练这种应试教育模式．
关键词:水和水蒸汽热力性质 IAPWS-IF97 IFC-67 计算模型
中图分类号:TK1 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2011)09(a)-0131-02
Calculation Model of the Thermodynamic Properties of Water and Steam―IAPWS-IF97
Ding Feng1 Guo Qunlong2
(1.Xinjiang Zhongtai Chemical Company Wulumuqi 830009;
2.Central-south Design Institute of Electricity Wuhan 430072)
Abstract:Compared with traditional calculation model IFC-67, IAPWS-IF97, as a new calculation model for thermodynamic properties of water and steam,is greatly improved in terms of computing speed and accuracy.Since the advent of IAPWS-IF97,it was widely used in engineering practice and numerical calculation.This paper will introduce the reason of developing IAPWS-IF97 from the shortcomings of IFC-67 and give a comprehensive introduction to the calculation principle and model of IAPWS-IF97.
Key words:thermodynamic properties of water and steam;IAPWS-IF97;IFC-67;calculation model
水和水蒸汽作为一种常规的工质,已被广泛运用热能工程及其它一些科学研究领域,因此,精确计算水和水蒸汽的热力性质在工程运用、科学研究等各领域内具有十分重要的意义。
在热工计算中,一般要求水和水蒸汽的热力性质各参数之间的关系式互为已知的,这样在知道部分参数的情况下,可以根据个参数之间的关系式计算出其它参数。然而水和水蒸汽的各个参数之间的关系是非常复杂的非线性关系,计算的工作量是非常庞大的,因此国际水和水蒸汽协会在1997推出一套计算水和水蒸汽的模型――IAPWS-IF97以替代原来普遍采用的IFC-67,与IFC-67相比,这一模型具有计算速度快、精确度高等优点。所以这一模型在推出以后迅速得到了广泛的运用,并被许多学者编制成了水和水蒸汽性质查询软件,由于查询软件非常使用非常方便,所以人们对这一计算模型的原理并不是很清楚,所以本文将介绍这一模型的计算方法,并与传统的计算方法进行比较[1]。
1IAPWS-IF97概述
IAPWS-IF97是国际水和水蒸汽性质协会提供的1997年工业用计算模型的简称,这一模型的诞生主要因为随着计算机技术的发展及工业对计算精度的要求越来越高,原先的计算模型IFC-67已经不能满足工业运用的要求,IFC-67主要有以下几个缺点。
(1)在某些区域,IFC-67已经不能满足最新标准的精度。
(2)对于某些性质来说,在区域边界上存在相当大的不一致性。
(3)参数音速w并没有包含在IFC-67中。
(4)IFC-67并不是基于当前适用的温标ITS-90。
(5)IFC-67是基于早期的数据,并没有于最新的科学标准相关联。
基于以上这些IFC-67的缺点,1997年国际水和水蒸汽性质协会公布了最新的计算公式―― IAPWS-IF97。于IFC-67相比,IAPWS-IF97具有以下特点。
(1)有效范围。对于IAPWS-IF97,有效范围为0℃≤t≤800℃,p≤100MPa,800℃≤t≤2000℃,p≤10Mpa;而对于IFC-67,有效范围为0℃≤t≤800℃,p≤100Mpa。增加了一段高温段。
(2)准确性。IAPWS-IF97计算得到的水和水蒸汽的性质参数与IAPWS-95计算得到的结果相比较,其偏离要小于IST-85规定的大小。
(3)区域边界上的一致性。在边界上由各区域方程计算得到的结果所允许的偏离。
单相区:Δv=±0.05%,Δh=±0.2kJkg-1,Δcp=±1%,Δs=±0.2Jkg-1K-1,Δg=0.2kJkg-1,Δw=±1%。
饱和区:Δps=±0.05%,ΔTs=±0.02%,Δg=0.2kJkg-1。
(4)计算速度。由国际动力公司及相关工业的实验数据证实:在普遍使用的1区、2区和4区,IAPWS-IF97公式计算速度比IFC-67公式快5.1倍。在3区IAPWS-IF97公式计算速度比IFC-67公式快3.6倍,在高温区5区,IAPWS-IF97公式的计算速度则比IFC-67公式快12.2倍[2]。
2IAPWS-IF97的计算模型
图1给出了IAPWS-IF97划分有效区域的方法,由图中可以看到,有效范围被分成五个区域,各个区域都有各自的方程,在区域1、2、5用吉布斯自由能公式g(p,T)表示,在区域3用亥姆霍兹自由能公式f(ρ,T)表示,而在区域4即饱和区用公式ps(T)表示[3]。
为便于以后更好的理解,现给出以后将用到的相关常数的意义及数值。
比气体常数:R=0.461526KJkg-1;摩尔气体常数:Rm=8.3145Jmol-1kg-1;临界参数:TC=647.096k,pc=22.064MPa,ρc=322kgm-3三相点参数:Tt=273.16K,pt=611.657pa。
区域1的吉布斯自由能方程。
这一方程是通过一个无量纲参数表出的。
式中:
,,,,Ii、Ji是常数。
这一方程称为基本方程,同样适用于靠近饱和线的亚稳态区域,其它参数的方程可以通过全微分由此方程推得,如比体积,则有。
区域2的吉布斯自由能方程。
这一方程同样是通过一个无量纲参数表出的,但被分成两部分:理想气体部分和剩余部分。
上式在压力大于10MPa时适用于靠近饱和线的亚稳态区域,但当压力小于等于10MPa时,会出现比较大的不一致性,因此有一个辅助方程来表示压力小于等于10MPa时的亚稳态区域,参阅文献[1],该公式的有效区域为当p≤10MPa,饱和线和5%的湿度线之间的区域。
同理其它热力性质的参数的公式也可以由这一基本方程推得,可查阅相关文献。
区域3的亥姆霍兹自由能方程。
这一方程是通过无量纲参数表出的。
式中:
,,,,其余皆为常数。
该方程适用于过热水和过热汽的亚稳态区域。
区域4的饱和压力方程。
该方程通过隐式二次方程的形式描述饱和线。
区域5的吉布斯自由能方程。
这一方程同样是通过一个无量纲参数表出的,被分成两部分:理想气体部分和剩余部分。
区域2和3之间的边界方程。
其他区域之间的边界都可由两边区域的方程求得,但区域2和区域3在边界处存在比较大的不一致性,因而采用辅助的方程来描述改边界。
3导出方程
当已知的参数不是上述基本方程中的参数时,要想通过上述基本方程求得其他参数就必须得通过迭代的方法实现,但是迭代将减慢计算的时间,如果要能够直接得到其他参数的基本方程就可以节省许多计算时间,IAPWS-IF97通过提供所谓的导出方程使得上述得以实现,因而可以节省大量的计算时间。
IAPWS-IF97为区域1和区域2提供导出方程T(p,s)和T(p,h),同时为区域4提供导出方程Ts(p),通过这些导出方程和基本方程,在这三个区域内,当已知参数不为基本方程中的参数时,也可以直接导出其他参数的方程。
区域1的导出方程T(p,s)和T(p,h)。
这些基本方程是通过无量纲参数表出的。
区域2的导出方程T(p,s)和T(p,h)。
由于在区域2中当和的精度要求不同,因而为了满足这一要求,将区域2分为三个子区域,划分方法如图2所示。
各区域的导出方程形式分别以下标a、b、c示之。
而对于a区域s*=2kJKg-1K-1,b区域s*=0.7853kJKg-1K-1,c区域s*=2.925kJKg-1K-1。
区域4的导出方程Ts(p):
其中D是ps的参数,。
4结语
人们对于计算速度的要求越来越高,旧的计算模型IFC-67已不能满足要求,因而促使了IAPWS-IF97的产生。在绝大部分区域内,IAPWS-IF97的计算速度超过IFC-67的五倍以上,因而可以满足人们对计算速度的要求。IAPWS的另一个优点是不但适用于稳态区域,同时还可以用于亚稳态区域,同时导出方程的引入可以根据任意基本参数的组合导出其他基本参数。IAPWS-IF97的有效范围能够满足目前工业上的绝大部分运用,目前已有很多学者根据IAPWS-IF97编制了许多计算水蒸汽参数的软件,以便较准确的查询水蒸汽参数。
参考文献
[1] 王培红,贾俊颍,等.水和水蒸汽性质的IAPWS-IF97计算模型[J].动力工程,2000,20(6):988～991.
关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法
1 引言
连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。
众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的公共的位移插值函数，文[9]把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线函数”的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决 连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。
目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。
2 分片检验的要求
因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：
(1)
其中，A：单元域， 为位移的不协调部分，有：
(2)
为位移， 为位移的协调部分。
方程(1)可以理解为：在常内力情况下，不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方程(1)
(3)
对(3)式中的 项应用格林公式，并应用坐标变换公式：
(4)
其中 、 分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数，即为文中的网线函数， 、 为单元边界外法线的方向余弦。对含 的项再分步积分得：
（ >r时 ）
(5)
r表示单元的边数， 表示结点的位移参数。对(3)中的含 项也进行分步积分并整理有：
(6)
同样，对 项再分步积分得：
(7)
ai、bi、ci为由各边的nx与ny组成的参数， 表示位移函数在结点处的值。
(4)、(5)、(6)、(7)便是通过分片检验所需满足的方程。
(4)、(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为应变约束条件；(6)、(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求，这里称之为位移约束条件。成熟的有限元法都自觉或不自觉地应用了这些条件。
传统的位移法构造的协调元自动满足了上述各式，下面对其它有限元分析方法进行分类分析。
3 使用应变约束的有限元法
方程(4)、(5)是对应变的要求，没有涉及刚移，同时应力和应变之间只有一个线性关系，所以，假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。
方程(4)、(5)表达的是应变与位移之间的关系，它们必然与弹性力学的几何方程：
(8)
有着密切的关系。把几何方程(3.1)写成弱形式：
(9)
、 、 为权函数，应用两次格林公式变换上述方程：
(10)
在上式中，单元边界上的 、 、 分别以它们对应的网线函数 、 、 代替：
(11)
如果方程(11)中 、 、 是应力的变分，即满足了齐次的平衡方程：
(12)
则方程(12)变为：
(13)
此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。
方程(11)与(13)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程(11)与(13)中当 、 、 分别取常数，另两个为零时，便可得到方程(4)或(5)，即符合分片试验的要求。
拟协调元与杂交混合元便是采用方程(11)对应变或应力进行离散，而应力杂交元采用的是(13)式。不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发，而拟协调元是由假设应变入手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换，如果应力与应变设在同一空间，仅是设应力与设应变的不同是不会影响最终结果的。
从方程(11)与(13)的来源(9)式可以看出，几类单元中的应变（或应力）只在较弱的意义上满足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组，有限元法中已经使用了平衡方程的弱形式—最小势能原理，这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证，单元应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大。
由以上讨论可见，在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时，常取面积坐标作为检验函数基，因三个面积坐标之和为1，固在离散每个应变时，检验函数应取遍三个面积坐标，这样便保证了检验函数为常数时式(5)或(6)成立。
精化直接刚度法虽然从设位移出发，但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用。
在方程(4)的两边同时除以单元的面积 ，变为：
(14)
上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式：
(15)
其中 与文[7]中相一致， 为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式：
(16)
其单元的平均应变：
(17)
不一定满足式(14)，因此把平均应变进行修正，即换成式(18)中表达的所需形式，修正后的应变阵为：
(18)
这样便保证了单元能够通过分片检验。此外，得到 时还可使用(6)式，从而得到与式(14)不尽相同的形式。
因此，可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变，使其通过分片试验的有限元分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。
4 使用位移约束的有限元法
使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。
4.1 广义协调元和双参数法
方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求，与其相应的有限元法是广义协调元和双参数法。从(6)、(7)可以看出，若使单元通过分片检验，则应包含条件：
或 （i=1，…，r）
(19)
广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文[8]中的算例看出。
对于某些特殊形状的单元来说，方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件，非必要条件，这一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知，矩形薄板单元不满足 连续，可以验证它同样不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高，其原因是它满足方程(6)和(7)。
4.2 增加位移中的广义参数
可以增加位移函数中的广义参数，通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数，这样得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函数的空间，但它的应用还非常少，其主要原因是计算中涉及求逆运算。目前计算机技术及软件的高速发展，尤其是代数运算软件的出现，这种做法也许会有一些生命力。下面举一个通过这种方法改善单元性能的例子。
在构造三角形单元时，人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折，面积坐标的应用解决了对称性的问题，但Zienkiewicz元（BCIZ元）的性能不佳也是人所共知的。今位移函数的基取完全的三次式，含十个基函数，采用面积坐标可写成如下形式：
(20)
其中 为Zienkiewicz元的单元位移函数， (i=1，2，3)为三个面积坐标，C为待定参数。以下通过C的确定来改善单元的性质。因只有一个待定参数，方程(6)不可能完全得到满足，考虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程：
(21)
应用方程(21)可以确定出参数C，其中 由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性插值函数来表达。定出C后便可用常规方法得到单元刚度阵。 对边长为0.5的方板做图示两种网格划分，坐标原点在1点，其中图二中5点坐标为(0.2，0.15)，边界结点的位移参数按任意的二次挠度场 给定，计算5点的挠度及转角，表1列出了Zienkiewicz元和改进的Zienkiewicz元结果。
表1 分片试验
2×2交叉网格
不规则网格
改进前
0.030052
0.065000
0.11000
0.017090
0.053492
0.091089
改进后
0.029375
0.065000
0.11000
0.016666
0.051481
0.085748
精确值
0.029375
0.065000
0.11000
0.016650
关键词:华系与外系轿车 性能参数 价格关系
中图分类号:F416.471 文献标识码:A
文章编号:1004-4914(2010)10-027-02
一、问题的提出
中国汽车市场上不但有合资品牌,还有像吉利、奇瑞、华晨、比亚迪、力帆、哈飞等企业这样的中国自主汽车品牌。本文将这些中国自主汽车品牌称为“华系汽车”,而将合资品牌称为“外系汽车”。华系汽车在进入汽车市场后采取的重要竞争手段是较低的价格和高的性价比。那么,华系汽车企业轿车产品的性能与价格间的关系如何?与外系汽车有何差别?这是一个值得研究的问题。其研究结果将有助于帮助企业制定价格策略并判断性能参数的改进对价格决策制定的影响。
二、研究方法
对于一个轿车产品而言,价格主要受性能参数和配置参数的影响。另外,不同的企业之间,同等级别汽车之间还存在品牌溢价的差别。当然,各年份因企业价格策略调整而导致的轿车价格的变化也是影响价格的因素。为了便于标记说明,笔者用P表示价格;用H表示核心参数。配置参数中,与价格线性关系最为显著的指标是安全参数、外观参数、舒适参数和享乐参数,分别用字母A、W、S、X表示;在价格的影响因素中,各年份价格策略对价格的影响十分显著,因此要排除各年份对价格的影响,笔者用Y表示年份代码,其中假定2004年Y=0,2005年Y=1,依此类推。
本文通过预研究得知,性能指标是影响价格最重要的因素,笔者将性能与价格关系称之为性能价格方程,用P1表示性能价格,如方程(1)所示。
P1=F(H)(1)
但性能价格还受到年份的重要影响,将年份影响带入性能价格方程后就得到修正性能价格,用P1’表示。修正性能价格方程如(2)所示。
P1’=F(H,Y)(2)
汽车价格剔除性能价格后,其剩余部分主要是受配置参数影响的部分。价格与配置参数之间构成的回归方程,笔者称之为配置价格方程,用P2表示配置价格,如方程(3)所示。
P2=F(A,W,S,X)(3)
通过性能价格与配置价格回归后,汽车实际价格与价格P1’、P2之和仍有差异,笔者将这部分差异归于统计误差造成的。
不同企业同等级别汽车存在价格差异,笔者称之为品牌溢价,用Pv表示,两个品牌之间的溢价是各自性能价格与配置价格之和后的差值,品牌溢价方程如(4)所示。
Pv=(P1’+P2)2-(P1’+P2)1(4)
笔者试图通过以上四个方程,对华系与外系汽车产品价格及其相关因素的影响进行对比分析,探讨华系汽车企业应如何在价格竞争方面采取何种策略,以弥补其产品技术不足,从而获得弱势后入者的竞争优势。
三、资料收集
1.研究样本。本文选取五家在国内取于领先地位的华系汽车公司作为华系企业样本,它们分别是奇瑞、吉利、比亚迪、华晨中华和哈飞汽车集团。选取日系丰田、德系大众、美系福特、韩系现代和法系雪铁龙等五家外系汽车作为对比样本。
2.资料来源。本文所用数据来源于主要汽车网站提供的轿车价格与性能及配置参数资料。根据中国互联网络信息中心(CNNIC)网站影响力认证系统调查的“2009年中国十大汽车网站排行”和Alexa汽车门户网站排行榜,选择新浪汽车网、太平洋汽车网站和汽车之家三个专业汽车网站作为主要的数据来源。
通过对三家网站的统计,共搜集10家案例企业2004―2009年6年间在国内推出的所有汽车样本进行对比研究。其中,5家外系企业共计35个品牌(非进口)548款样本,五家华系企业35个品牌513款样本。
关于价格,我们选取这些样本企业公布的价格。关于每款汽车性能与配置指标的分析数据,笔者以汽车之家网站公布的180个参数配置为准,按照产品的五个层次理论,并参考东风乘用汽车公司3位专业人士意见和雷怀英(2008)的划分将这些指标归纳为6个大类、55个指标,以便于后文量化数据后统计分析。本文选取的汽车性能与配置指标分类如表1所示。
关于性能与配置指标量化方法,笔者将所选二级指标分为两类,一类为定量,一类为定性。基于对研究结果的可量化性,假定同一大类指标下各定性指标重要程度相当,根据配置安装情况进行“0”、“1”变量的量化处理,部分指标处理结果居于0~1之间(白让让,2008)。
四、研究结果
1.华系汽车与外系汽车的性能价格。
笔者发现,汽车价格是一组围绕主要性能参数上下分布的离散数据,这组数据具有显著的线性相关性,其中起重要作用的性能参数就是汽车发动机功率。笔者称这种由核心性能决定汽车价格的线性关系为性能价格方程。通过统计回归可知,样本总量、华系样本、外系样本的性能价格方程分别为:(1)P=-6.846+0.218H;(2)P=-2.423+0.139H;(3)P=-6.771+0.242H。这三个方程的显著性水平P
由方程自变量H前面回归系数可以看出,外系轿车性能参数对价格的影响高于华系,外系标准回归系数0.867>0.830的华系标准回归系数。为了更为直观看出华系与外系性能价格方程的走势,笔者画出性能价格方程如图1所示。
由于性能价格方程受到不同年份价格策略调整的严重影响。为了剔除这一因素对价格的影响,笔者采用修正性能价格方程作为对比,修正性能价格回归方程系数如表3所示。
修正后的性能价格方程,显示了年份对于价格的负相关影响。其中,外系汽车每年降价力度为0.791万元,华系汽车为0.803万元。
2.华系汽车配置价格。汽车价格中剔除性能价格后的部分主要受配置参数的影响。为了搞清楚这些配置对价格影响力度大小及影响规律,本文通过配置价格方程进行判断。在进行多元回归之前,笔者希望了解各配置指标与配置价格之间的相关度大小,如表4所示。
由表4可知,外观参数与配置价格相关性系数不高,显著性水平P>0.01。其它配置参数与配置价格相关程度极高。当然,这样的相关度显示并不能排除多重线性相关的可能性,笔者仍需采用强迫进入方式下的Logistic回归来找出各配置参数回归系数的大小来判断这些参数指标对配置价格的影响程度。通过多元线性回归,笔者统计各参数指标回归系数如表5所示。
表5中标准回归系数的大小能够说明相应配置参数对配置价格的影响,但这种影响并不是简单的正负相关性,而是表示企业所采取的产品改进策略,这种策略并不一定反应在汽车价格上。但我们从标准回归系数绝对值大小可以看出,华系车和外系车配置参数对配置价格影响力度是不相同的。如外系车对配置价格影响最为显著的配置参数是享乐和外观参数,其次是安全和舒适参数;华系车对配置价格影响最为显著的配置参数是享乐和安全,其次是外观和舒适。
享乐参数被各企业列为配置价格影响因素之首,这是因为目前消费市场不成熟所致。消费者想提升驾车的享乐性,必须付出比别人更多的购车代价。外系车将外观参数列第二位,是因为外系车需要更多投入来了解中国文化,制造符合中国消费观念的汽车造型。华系车最为需要考虑的是汽车安全性,因为在这个配置参数上华系汽车与外系汽车存在短期内难以追赶的差距。因此,华系企业在不断投入和改进,但绝不会以改进安全参数作为汽车提价的理由。
3.华系汽车与外系汽车间的品牌溢价。根据前文定义,汽车产品溢价是相对的,是两个不同产品级别汽车各自性能价格与配置价格之和比较后产生的差值。由于汽车排量大小的不同,不同级别的汽车的品牌溢价的高低是有所不同的。在这里,笔者统计了华系与外系汽车在1.6L、1.8L、2.0L和2.4L等四个代表排量上,品牌溢价的情况,其统计结果如表6所示。
由表5可知,通过性能价格方程与配置价格方程计算的汽车价格与实际均价的偏差不大,说明价格方程的拟合程度比较高。由产品溢价公式及计算出的数据可知,外系汽车总体相对华系汽车的产品溢价高达7.53万,代表排量1.6L、1.8L、2.0L、2.4L汽车的品牌溢价分别为3.30万、4.08万、5.57万和10.96万。可见排量级别越高,外系汽车相对于华系汽车的品牌溢价越高。采用此产品溢价计算公式,同样可以比较不同公司同级别产品、同公司不同品牌产品之间的品牌溢价。通过了解公司之间产品品牌溢价之间的高低,有益于企业制定合适的价格策略与促销策略,以帮助消费者作出理智的购车选择。
五、结论
通过对华系汽车与外系汽车的比较研究,本文发现轿车产品价格与核心性能参数的关系显著,且由于外系汽车相对华系汽车的品牌溢价随轿车级别的提高而增加的原因,外系汽车公司轿车的价格随核心性能变化较华系汽车要大。另外,轿车配置对产品价格的影响具有较复杂的关系,并不一定正相关,但享乐参数对价格的影响最显著。
参考文献:
1.雷怀英.汽车质量调整价格指数的实证研究.统计研究,2008(11)
2.白让让.中国轿车产业中的产品线扩展.中国工业经济,2008(7)
本文着重研究了设计约束方程组的求解方法，详细讨论了可以计算机编程实现的数值算法的技术细节。约定：除特别声明外，文中具有长度量纲的参数其单位为m，角度的单位为rad，井眼曲率和角度变化率的单位为rad/m。
2设计基础
设计井眼轨道由连续光滑的多段空间曲线构成，每个分段空间曲线称为设计井段。悬链线轨道由4个设计井段构成———直井段、圆弧过渡段、悬链线段、稳斜段。方位漂移轨道设计的方法是先在垂直剖面图上进行设计，规定每个设计井段的井斜角变化规律，然后再结合方位变化率进行空间轨道设计。
2.1井斜角函数
在每个设计井段上，井斜角随井深变化的规律是相同的，可以用下面的井斜角函数来表示：α=f(L)(1)L=L-Lb式中：α为设计井段上任意点处的井斜角；L为井深增量；L为设计井段上任意点处的井深；Lb为开始点处的井深。直井段和稳斜段：α=αb(2)式中：αb为设计井段开始点处的井斜角圆弧过渡段：α=αb+kαL(3)式中：kα为造斜率。悬链线段[3]：cotα=cotαb-La(4)式中：a为悬链线特征参数，m。
2.2井斜单元
在设计轨道上任意取一连续曲线段，称之为井段。本文用设计井段和井段来区分设计轨道上具有不同属性的连续曲线段。设计井段上的任一井段称为一个井斜单元[2]。井斜单元小于或者等于、但不大于某个设计井段；一个设计井段可能划分为多个井斜单元。下面的情况绝不会出现：某个井斜单元的上端点在一个设计井段内部，而下端点在另一个设计井段内部。
2.3方位单元
将从井口到靶点的垂深划分为连续的m个区间，每个区间称为垂深区间，在每个垂深区间上给定方位变化率的数值。按照垂深与井深的对应关系，每个垂深区间对应于设计轨道上的一个井段，该井段上的方位角变化规律如下：准=准b+k准L(5)式中：准b为井段开始点处的方位角；准为井段上任意点处的方位角；k准为方位变化率。具有上述性质的井段称为设计轨道上的一个方位单元，简称方位单元[2]。
2.4计算单元
对于方位单元可能会出现下面的情况：上端点在一个设计井段内部，而下端点在另一个设计井段内部。为了避免出现这种情况，可以将方位单元再划分成多个更小的井段，使得每个井段都是一个井斜单元。这种既是井斜单元又是方位单元的井段称之为计算单元，文献[2]中也称为细分单元等。但笔者认为“细分”这个词的语义不甚明晰，由于在漂移轨道设计时是以这样的井段为最小划分单元的，因此笔者认为称之为计算单元更言简意赅。
3设计约束
方程组假设整个设计轨道可以划分为n个计算单元，则可以给出下面的设计约束方程组[2]：ni=1ΣNi-Nt=0(6)ni=1ΣEi-Et=0(7)ni=1ΣHi-Ht=0(8)式中：Ni、Ei、Hi分别为第i个计算单元的北坐标增量、东坐标增量、垂深增量；Nt、Et、Ht分别为靶点的北坐标、东坐标、垂深。已知参数包括：造斜点深度、圆弧过渡段造斜率、悬链线段初始井斜角、稳斜段井斜角、垂深区间及方位变化率。求解设计参数：定向方位角、悬链线特征参数、稳斜段的段长。
3.1坐标增量计算
坐标增量计算公式如下：Ni=LiLi-1乙sinαcos准dL(9)Ei=LiLi-1乙sinαsin准dL(10)Hi=LiLi-1乙cosαdL(11)Si=LiLi-1乙sinαdL(12)式中：Li-1、Li分别为第i个计算单元的开始井深和结束井深；Si为水平投影长度增量。式(9)、式(10)中的定积分无法写成封闭的形式，在计算时只能使用数值积分法[4]。
3.2独立未知数与隐含未知数
方程组(6)～(8)只有3个方程组，理论上可以求出3个未知数，要求这些未知数之间是独立的。另外可以看到，在完成设计约束方程组求解之前，某些井深单元的端点井深或井斜角等参数是未知的，例如悬链线段上的井深单元。这些未知数也需要在求解过程中确定出来，不过它们都可以根据已知设计参数或者独立未知数计算出来，称之为隐含未知数。
4垂深增量公式
在坐标增量公式中，垂深增量公式(11)具有比较特殊的意义，这不仅在于积分函数只与井斜角有关、从而有可能求出积分的原函数，而且方位单元是根据已知垂深来确定的，利用垂深已知性可以确定出井深单元的其他参数来。
4.1显式公式将式(2)～(4)代入式(11)，得：直井段和稳斜段：Hi=Licosαi(13)圆弧过渡段：Hi=sinαi-sinαi-1kαi(14)悬链线段：Hi=a1sinαi-1-1sinαiii(15)
4.2推论如果知道一个井深单元的上端点的井深和井斜角，则可以计算出下端点的井深和井斜角以及段长。例如，假设造斜率或者曲线特征参数为已知数，则从式(14)、式(15)可以先求出井斜角αi，再代入式(3)、式(4)求出段长Li和井深Li。而对于稳斜单元，可以直接从式(13)求出这些参数。
4.3用于降维处理如果能够将要求解的某个独立未知数用其他的独立未知数来表示，则可以将求解三元非线性方程组问题简化成求解二元非线性方程组问题。未知数的减少可以降低方程组的求解复杂度，从而提高计算速度。对整个设计轨道列出垂深方程，如下：Hz+sinαbkα+a1sinαb-1sinαtii+lcosαt=Ht(16)式中：Hz为造斜点垂深；αt、l分别为稳斜段的井斜角和段长。从式(16)解得：l=Ht-Hz-sinαbkα+a1sinαb-1sinαtiicosαt(17)可见，稳斜段长l可以从式(7)直接计算出来，求解设计约束方程组时只需要使用前两个方程代式(6)、式(7)即可。如果用均匀网格法来求解方程组，初始网格点个数为：200×2000×2000=8×108当稳斜段长不作为独立未知数时，初始网格点个数减少为：200×2000=4×105即求解的空间规模降低了3个数量级，求解难度降低。
5求解方程
组记方程(6)～(8)的左端分别为F1、F2和F3，无论使用哪种数值算法求解该方程组，都需要反复计算这3个值。
5.1隐含未知数的递推计算
用{hrr=0，1，…，m}表示方位单元的端点垂深序列(已知设计参数)，h0=0，hm=Hz。第r个方位单元上的方位变化率kr为已知设计参数。用Ω={Hii=0，1，…，n}表示最终得到的计算单元的端点垂深序列，H0=0，Hn=Hz。第i个计算单元上的方位变化率Ki待确定。对于设计轨道上的第j个设计井段，假设已知其上端点处的井深L0(j)、垂深H0(j)、井斜角α0(j)，则其他已知参数会出现三种情况：①已知设计井段的垂深增量H(j)，例如直井段。在方位单元垂深序列中查找两个下标号r1和r2，使得下式成立：hr1-1≤H0(j)<hr1(18)hr2-1<H0(j)+H(j)<hr2(19)则将H0(j)、hr1、hr1+1、…、hr2-1、H0(j)+H(j)增加到集合Ω中，并计算出上述每个垂深处的井斜角和井深(见上述4.2节)。②已知设计井段下端点处的井斜角α1(j)，例如圆弧过渡段、悬链线段等。根据式(14)、式(15)可以求出垂深增量H(j)。求出垂深增量H(j)之后，归结为第①种情况。③已知设计井段的段长L(j)，例如稳斜段。用式(1)计算设计井段下端点处的井斜角α1(j)，然后归结为第②种情况。在完成上面步骤之后，该设计井段被分解成多个计算单元，且每个计算单元端点处的井深、井斜角、垂深、方位变化率等关键参数都已经确定。进一步，用式(5)计算计算单元端点处的方位角；用式(9)、式(10)或者其等价的显式表示式来计算计算单元的北坐标增量、东坐标增量、北坐标、东坐标等等。完成第j个设计井段的计算单元划分和井身参数计算后，继续对第j+1个设计井段执行同样的操作，直到最后一个设计井段。上述递推过程完成之后，得到F1、F2和F3的确定值。
5.2设计约束方程组的数值求解
经过降维处理之后的设计约束方程组(6)、(7)为二元非线性方程组，没有解析解，需要使用数值算法求数值解(近似解)。求解非线性方程组的数值算法有很多种[5，6]，大部分算法需要使用导数信息，并且迭代初始值对算法的收敛性有较大影响，如果迭代初始值选择不当，则迭代过程可能不收敛或者收敛速度很慢，在方程组有多个解的情况下，还有可能收敛到伪解。算法研制的最终目的是为钻井设计人员(用户)提供一套可靠性好的计算机软件，用户在使用该软件时，只需要给定必要的设计参数，不必设置太多的算法控制参数就能够快速求出轨道设计问题的解来。本着这一原则，下面给出一个具体的迭代算法———缩半网格法。记x、y、z为方程组(6)～(8)的3个独立未知数：定向方位角、悬链线特征参数、稳斜段的段长。方程左端分别记为F1(x、y、z)、F2(x、y、z)和F3(x、y、z)，前面已经说明从垂深增量方程可以将某个参数z表示为其他2个参数的函数[见式(17)]：z=λ(x，y)(20)再记：F(x，y)=F1(x，y，λ(x，y))2+F2(x，y，λ(x，y))2(21)假设未知数取值范围为：xmin(0)≤x≤xmax(0)(22)ymin(0)≤y≤ymax(0)(23)用步长为δx(0)和δy(0)将约束矩形划分为Mx(0)×My(0)的网格，其中：δx(0)=xmax(0)-xmin(0)Mx(0)(24)δy(0)=ymax(0)-ymin(0)My(0)(25)令：xi=xmin(0)+i×δx(0)，i=0，1，…，Mx(0)(26)yi=ymin(0)+j×δy(0)，j=0，1，…，My(0)(27)对每个网格点(xi，yj)，利用垂深方程求出对应的第3个待定参数zij=λ(xi，yj)，然后使用5.1节中的方法求出全部的隐含未知数并得到方程左端项的值，再代入式(21)求出网格点函数值Fij。求出所有的网格点函数值中最小的函数值，对应的网格点为(x(0)，y(0))，以该网格点为矩形中心将初始矩形缩小一半，得到新的约束矩形：xmin(1)=max{xmin(0)，x(0)-wx(0)}(28)xmax(1)=min{xmax(0)，x(0)-wx(0)}(29)ymin(1)=max{ymin(0)，y(0)-wy(0)}(30)ymax(1)=min{ymax(0)，y(0)-wy(0)}(31)其中：wx(0)=(xmax(0)-xmin(0))/2(32)wy(0)=(ymax(0)-ymin(0))/2(33)用新的约束矩形重复上述计算过程，直到约束矩形的边长或者最小函数值小于给定的允许误差时停止迭代过程。
6结论
