时间：2023-05-29 18:01:03
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇复数的概念，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
(1)掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是.注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对()叫做复数的.
②复数用复平面内的点Z()表示.复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是.由于=0+1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度.
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数.但当时，是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.
④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写.要学生注意.
(5)关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数(不能认为与或是共轭复数).
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当时，与互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.
(6)复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么.两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a，b来说，a
(ii)如果a
(iii)如果a
(iv)如果a0，那么ac
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系.
2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.
3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部，虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数.
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件.
教学难点
用复平面内的点表示复数M.
教学用具：直尺
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习提问：
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部：
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：的充要条件是且。
例如：的充要条件是且。
例1：已知其中，求x与y.
解：根据复数相等的意义，得方程组：
例2：m是什么实数时，复数,
(1)是实数，(2)是虚数，(3)是纯虚数.
解：
(1)时，z是实数,
,或.
(2)时，z是虚数,
，且
(3)且时，
z是纯虚数.
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面.
复数可用点来表示.(如图)其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上.
4.复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的.
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用表示.若，则：;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数.
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称.
三、练习1,2,3,4.
四、小结：
1.在理解复数的有关概念时应注意：
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复
数集与复平面上的点注意事项：
(1)复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
(2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：
（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．
教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．
2、重点、难点分析
（1）正确复数的实部与虚部
对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是,复数的实部和虚部都是实数。
说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：
注意分清复数分类中的界限：
①设，则为实数
②为虚数
③且。
④为纯虚数且
（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数，即
（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：
①任何一个复数都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对()叫做复数的．
②复数用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，而不是()，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．
③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点()()都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．
由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．
④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．
（5）关于共轭复数的概念
设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．
教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．
（6）复数能否比较大小
教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：
①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：
(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；
(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；
(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；
(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)
（二）教法建议
1．要注意知识的连续性：复数是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．
2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．
3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．
复数的有关概念
教学目标
1．了解复数的实部，虚部；
2．掌握复数相等的意义；
3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．
教学重点
复数的概念，复数相等的充要条件．
教学难点
用复平面内的点表示复数M．
教学用具：直尺
课时安排：1课时
教学过程（）：
一、复习提问：
1．复数的定义。
2．虚数单位。
二、讲授新课
1．复数的实部和虚部：
复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2．复数相等
如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。
即：的充要条件是且。
例如：的充要条件是且。
例1：已知其中，求x与y.
解：根据复数相等的意义，得方程组：
例2：m是什么实数时，复数,
(1)是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.
解：
(1)时，z是实数,
,或.
(2)时，z是虚数,
，且
(3)且时，
z是纯虚数.
3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．
复数可用点来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．
4．复数的几何意义：
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．
5．共轭复数
（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）
（2）复数z的共轭复数用表示．若，则：；
（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．
（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．
三、练习1,2,3,4.
四、小结：
1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部；
（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义；
（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。
【关键词】概念 认知 名词数 迁移
一、引言
概念迁移研究是语言迁移研究的最新方向，根据Jarvis & Pavlenko（2008）理论，概念是人对世界的基本认知，涉及跨语言影响的八个基本领域，即物体、情感、人称、性别、数、时间、空间和运动。任何语言都有数的范畴，数有单复之分，由于使用不同语言的人们对名词数形态句法运用的不同，通常将语言分为量词语言 （classifier language） 和非量词语言即名词类语言 （noun class language）两大类。量词语言如日语和汉语普通话，这些语言在句法和词法上缺乏数的标志，但有复数概念。非量词语言如英语和法语是典型的单复数语言，有明显的复数标记。本文将从名词数的分类以及数的概念范畴进行概念迁移解释。
二、概念迁移理论概述
“概念迁移”这一术语由Aneta Pavlenko于1998年首次提出。异于语言迁移（Odlin 1989）主要侧重于研究其他任何已习得（或未完全习得）语言与目标语之间异同点所产生的影响，概念迁移从语言与认知的接口处，即概念这一层面来研究语言迁移现象。语言使用者由于受另外一种语言习得的概念和概念化模式的干扰，会影响其对当前语言的理解和产出（Jarvis 2007）。Jarvis & Pavlenko（2008）提出涉及跨语言影响的八个基本领域，即物体、情感、人称、性别、数、时间、空间和运动。
国内概念迁移研究刚刚起步。在理论方面主要注重概念迁移的理论介绍和发展脉络的梳理（如：姜孟，2009；李锡江，刘永兵2013；等）。实证研究方面的研究较少，主要是对空间介词，动词，名词等词汇概念迁移的研究（如：张会平，2013）。
三、名词数的概念迁移解释
1.物体名词 （count noun）与物质名词 （mass noun）。语法上通常将名词分为可数名词与不可数名词。概念上将其分为物体名词与物质名词。物体名词指那些在外形上有完整边界的物体，在概念表征上主要突出物体的形状及可数性，在形态句法上有数的标记，例如“book-books”。物质名词则指在外形上没有完整边界的物质，在概念表征上突显的是物质的材料，例如 tea， coffee， water。这些名词没有复数，但是前面可带有非限定量词（indefinite quantifiers），例如，little，much。然而，在一些语境中不可数名词也可以标记复数，例如，“beauty（美丽），beauties（美人）。”
2.“数”的概念范畴。根据概念迁移理论，人们的习惯性思维方式会影响人们在语法现象上的分类方式，从而在语际之间产生迁移。由于英汉两类语言在物体数量的句法标记上要求是不同的，名词类语言如英语为母语的人们习惯有形态标记，在他们的思维里，复数概念范畴和复数标记大部分是对等的。量词类语言如汉语为母语的人们则无需形态标记，仅有“们”这个后缀词可表示复数，如“人们”。在表达复数概念时可以借助某些限定词，如“很多（人）”或重复某些量词，如“一辆辆（车）”。英语本族语者在使用英语时会本能的为名词添加复数标记，而汉语中虽然也有数的概念范畴，但母语为汉语的英语学习者在英语学习中，由于其语法概念表征的不同，常会在形态句法上标记名词的数时出现偏误，出现表证丢失的情况。汉语者在学习英语时，需要重新调整原有的语法概念系统，否则容易出现概念迁移，表现在语言的句法层面依据母语中标记某物体与物质的标准，来标记英语中对应的物体与物质，如英语中“chalk”是不可数名词，而汉语中的“粉笔”则可数，可以表示为“几支粉笔”。
然而同为名词类语言，在一种语言中被看作可数的名词，而在另一种语言中可能会被标记为不可数名词。例如在英语中，news（新闻）属于不可数名词范畴，但在法语中却被标记为可数名词nouvelle（s），在这种情况下，这两种语言的使用者在学习对方语言时，也需要重新调整原有的概念。
四、结语
在二语习得中，母语是量词语言的人们在学习名词类语言时，由于概念的不同，他们常会在形态句法上标记名词的数及使用相应限定词时出现偏误，出现表征的丢失。这种迁移不仅是语言层面的句法迁移，最根本的是概念范畴的迁移。因此，无论在学习或是研究时应从更深层的概念角度挖掘名词数习得偏误的原因。
参考文献：
[1]Aneta Pavlenko.SLA and acculturation：conceptual transfer in L2 learners’narratives.Paper presented at AAAL，Seattle，WA，1998：1-19.
[2]Jarvis S.Theretical and methodological issues in the investigation of conceptual transfer[A].VIAL，2007（4）：43-71.
[3]Jarvis，S.& Pavlenko，A.Crosslinguistic Influence in Language and Cognition.Routeledge：New York，2008.
[4]Odlin，T.Language transfer； Cross-linguistic Influence in Language Learning.Cambridge，UK：Cambridge University Press，1989.
[5]姜孟.概念迁移：语言迁移研究的新进展[J].宁夏大学学报（人文社会科学版），2010（32）：166-171.
关键词：数；语义；语法；语用
认知语用学是近些年来兴起的交叉学科，它在语言哲学、语言与思维等方面的研究上有了长足的进展。认知语用学所关注的是一个人脑中的基本概念，是怎样通过符号来“表现”交际意图，并达到某种预期的交际效果的。数是人类最早的最基本的概念之一。任何语言中都有表达数的概念的符号，但这种符号表达形式并非都是通过语法手段来实现的，也就是说，语言符号表现数的概念并不总是显性的。在不同语言系统中，词汇意义和语法意义关系的体现会不尽相同。本文通过对数的概念在语义、语法、语用三个层面的不同表现的分析，探讨如何在具体语境中推断出与目的意图相关的“数”。
一、数的概念与概念叠加
认知学认为概念是人脑对客观事物的抽象概括。可以想象，人脑中数的概念的建立，一方面是因为外部世界大多数的事物是“可数的”，一方面也因为客观世界中至少存在着一种单复数的对立关系——即有些事物是可数的，而另一些事物则相反是不可数的。
在微观语言系统中，存在着三种不同形式表达数的概念：
①事物概念与数无关(或完全重合)；
②事物概念表现数的最大值和最小值；
③事物概念与数的概念的有限对立。
既然事物的概念与数的概念关系如此密切，那么在语言符号中就会有所表现，或为词汇化(lexicalized)，或为语法化(grammaticalized)：要么以词汇形式，要么以语法形式来表现概念。JohnLyons曾举“thatsheep”和“thosesheep”为例，指出两个“sheep”在表达形式(word-form)上相同，但内容形式(word-expression)不同。这应属于概念词汇化的情况，即事物概念与数的概念没有(或已经)通过词的形式表现出来。这在英语中属于个例。而在缺乏词汇曲折形式变化的汉语中，表达事物概念时，核心概念得以“强化”，从属概念的“数”却被“忽略”，导致汉语名词通常只表现概念意义，不具有语法意义或可数不可数的范畴意义。也就是说，汉语中缺乏严格意义上的数的对立形式，事物的概念与数的概念无关或完全重合(overlapping)是普遍现象。总之，汉语是通过词汇和词序来表示各种语法范畴的，也就是说，还要增加一些数量词与名词连用才能表现名词的数。反观英语，普遍以可数和不可数的形式来表现数的对立：名词既具有词汇意义(明确的概念指称和系统意义)，同时又具有语法意义(可数不可数或单复数的语法范畴)。这在综合性语言中并非个例，即语言的表达形式必须体现“数”的对立，要么是单数，要么是复数；要么取数的最大值，要么取数的最小值，并以词的形式把事物的概念和数的概念叠加(word-lapping)起来，表现为任意一个名词的双重性。当然，在现代汉语中，也有了数的概念的有限对立形式：单音节的人称代词和指人名词可以带上语素“们”来表示复数，如“我们”、“孩子们”等等。
Lakoff从认知角度看待英语中单复数的问题，认为单数是英语里数的形态范畴中的无标记成员，因此在认知上要简单一些。由此推论，认知上的简单性反映为形式上的简单性。在汉语中，名词都属于无标记成员，在语义和语法层面上表现了所谓的简单性。但是，这种简单性的形成源于汉语思维的概括性，并不由此进一步表现为语用层面的简单性。事实恰恰相反，这种形式上的简单性在语用层面上引起很多麻烦，需要更多的语境，甚至是文化因素的干预，才能使语言交流得以实现。
基于以上分析可以看出，无论表现数的概念与事物的概念是重合还是叠加，都反映了两者间的密切关系，反映了语言与思维的紧密联系，反映了语言中文化的印迹，也反映了不同语言表达形式上的语用倾向性。
二、语法的“数”与语言表达倾向
数的概念与所指的概念在综合性语言中常常出现一种叠加，而这种概念叠加在语符编码时的直接表现，就是单复数概念的语法化——以固定的显性的标记“黏着”在表现事物概念的名词或代词上。在语法层面上，数的概念也要有所表现。以英语为例，有三种形式：
①单复数形式与概念一致；
②单数形式，复数概念；
③复数形式，单数概念。
第一种情况无疑是普遍的，有代表性的，而其他两种则是对一般功能的补充，即用人为的单复数的形式，使不可数的功能变成“可数”，或者相反。这种涉及语言使用者习惯的表达方式，是一定量的交际功能因素语法化现象，仍然属于内化的、非语境化的语法范畴，或者也可称之为“习惯法”。请看例句：
(1)Ihavetwonewst。tellyou.
(1’)lhavetwogoodnewst。tellyou.
(2)I’veboughttwoshirtsandtwotrousers.
(2’)I’vcboughttwoshirtsandtwopairsoftrousers.
句(1)中的“twonews”不合语法，可句(1’)中“twogoodnews”则语法正确；句(2)中的“twoshirts”合乎语法，“twotrousers”却是错误的，只能说“twopairsoftrousers”。一样的名词，不一样的表达，我们可以明显地感觉到一种人为的“约定俗成”。无论是概念的叠加，还是这种人为的“置放”，正是由于这种单复数概念上的对立关系，才在某种特定语言中建立了数的符号标记。这种符号标记，即语法上的数(grammaticalnumber)，又与实际所指(referentialnumber)存在着一种对应或不对应的关系：有时是复数形式，单数概念，如英语的“trousers”和法语的“fiponsailles”；有时是单数形式，复数意义，如英语的“everybody”，法语的“toutlemonde”。
语法化与词汇化、显性与隐性，是语言表达形式和内容形式之间关系的不同表现，是在历史、文化、思维方式等因素的制约下长期形成的。“在语言表达中，涉及到数的概念时，无非有两个方向，一是要求表达准确，一是要求表现模糊。”
汉语缺乏严格意义上的数的对立形式，表达倾向会模糊一些。以“昨天我和朋友约会去了”为例，相应的英语为：
(3)Yesterday，Imadeadatewithoneofmyfriends.(或Yesterday，Imadeappointmentswithmyfriends.)
就两种语言中涉及的两个名词“约会”和“朋友”而言，汉语无标记、无数的概念；而在英语中，则必须体现“date(appointment)”、“friend”的数：或为单数，或为复数，即约会和朋友的概念与数的概念必须叠加在一起，以词汇意义与语法意义相结合的形式来表现内容。在这个层面上，英语的两种意义做到了高度的一致，而汉语则是分离的，模糊与清晰的表达倾向一目了然。
三、数的语用充实
根据Morris的符号学原理，语言的内容形式和内容实体之间的关系可以在三个层面上获得：
①在语义系统中获得系统价值；
②在语句层次上，从命题或句子中获得定义：
③在语用层次上，通过推理获得含义。
在语言使用过程中，一旦涉及到数的问题，人们总是试图在语法结构(grammaticalnumber)和实际所指(referentialnumber)之间找到一种直接的联系，以便迅速、有效地“解码”，更好地在具体语境中推断出与目的意图相关的数的概念，进而达到预期的交际效果。
谈到语境，暂且不把它泛化或多元化，仅仅用来指语言语境，即上下文。这也是为了突出单复数概念在交际意图的影响下，与编码概念的区别。同其他词语的概念一样，数的概念也应在特定语境下得到充实，包括对原型意义的选择、调整、扩充或缩小。
请看以下例句：
(4)Inmanycountries’womanliveslongerthantheman.
(5)It’shardtobcascientistanditisevenhardertobeaman.
(6)Womenlikechatting，butmendon’t.
句(4)是基于统计数字的表达，零冠词的单数形式，恰恰表达的是与数无关的概念，而重在表现性别的对立。而句(5)中的“aman”以数的最小值出现，除了与前面的ascientist的呼应意义之外，也远远超出了性别和数的概念，“扩充”到指任何人。句(6)的women/men取数的概念的最大值——复数，但对任何一个读者或听者来说，则会感受到个体的集合。
通过以上英语例句的分析，可以看出数的表达形式与实际所指之间存在着某种约定俗成的联系，而这种联系的意义至少要在语言语境下得以显现。然而在汉语中，绝大多数名词为零标记，缺乏“数”的符号信息，在语言语境的作用下会如何表现，请看以下例句：
(7)“老师来了!”
(8)“学生来了!”
仅仅根据语言形式和句子本身，显然不具备任何“数”的意义，使人无法判断老师或学生为几人。然而，当语境扩大到实际交际中时，根据语用学的相关理论，交际双方处在共享的社会文化及情景等语境中，发话人既会尽可能地省去不必要的信息，又要充分地表达自己的意图。那么，这两句话所表达的数的概念会不尽相同。即使没有其他的更现实的语境(地点、手势，能否见到所指人等)，也可以推测老师通常是一个人，而学生则相反不止一个人。然而，对母语为英语的入学习汉语来说，他们常常会处于数的困惑中，无论是口语还是书面语，都未提供客观的现实的符号表征，对数的选择和判断就无从做起。而对讲汉语的人来说，虽然离不开解读者的背景知识和认知程度，但仍属于一种常规意义的推断。包括语言符号本身的语境因素越多，对交际意图的判断就会越加准确。那么语境化的潜在趋势是否会解决所有“数”的问题呢?
我们再来对比一下英语和汉语：
(9)明天一早，我要乘车去车站。
(9’)Tomorrowmorning，I’lltakethebus(es)tothestation.
首先，我们假定英语发话人和汉语发话人处在相同的语境，也暂且不去考虑汉语“车”这个名词的抽象化问题，对应的英语给了一些既可以优先编码同时又可以“优先解读”(preferredreading)的概念，这其中就包含数的概念，“morning”、“I”、“station”为单数，“bus”或为单数或为复数。那么，对于英语句子(9’)可以依赖语境，选择、推理、具体化与充实从而形成以下的命题内容：
Thedayafterthespeaker’sspeech，thespeakerwilltakethebus(es)tothestation.
此时，它几乎包括了与目的和意图相关的所有信息内容，尤其是数的概念与意义。而对于汉语句子(9)，通常会作以下解读：
说话的第二天早上，说话人要坐车(一般为公交车)去车站(一般为火车站)。括号内为通常情况下的推断，当然句子的含义仍可以得到进一步的语境充实，可能涉及更多的时代与文化背景，但那并非我们所关注的。在汉语中，“数”的概念在充分体现交际目的和意图的话题中常常被忽略；如果(9’)句的听者不知说话人是否要倒车(该名词缺乏数的表现)，就会为进一步获取此类的信息，而引起下一个话轮：
“用倒车吗?”
根据Sperber&Wilson的关联理论，人们首先假定话语是相关的，然后寻求相应的满足关联条件的语境，最后作出话语理解。名词的概念与数的概念的叠加，在语言交际过程中会有不同的表现，两者之间联系越紧密，意图与概念就越清晰，话语就越“省力”，而这种清晰和“省力”又符合语言表达的基本倾向。
复数是选修2-2的内容。第一章导数及其应用，主要介绍了导数的概念、导数在研究函数中的作用，微积分基本定理等内容；第二章推理与证明，主要介绍了合情推理与演绎推理及各种证明方法：如分析法、综合法、反证法、数学归纳法；第三章数系的扩充与复数的引入，主要介绍了复数的概念与运算。
复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。
（来源：文章屋网 ）
1.名词的意义:表示人、事物或抽象概念的词叫做名词。如:Shanghai,LiLei,desk。
2.名词的种类:分专有名词和普通名词。
I.专有名词:表示人名、月份、日期、地名等。如:China,Jim,Harbin,June,Shandong。
(1)专有名词在拼写时第一字母要大写。
(2)专有名词(除特殊外)其前不加冠词,也没有复数形式。
II.普通名词:表示某人或某事物的名称。
普通名词分为:
(1)个体名词:表示单个的人或事物。如:boy,teacher,apple,computer.
(2)集体名词:表示一群人或一些事物的总称。如:family,people,police,class.
(3)物质名词:表示无法分为个体的物质。如:water,cotton,money,sea.
(4)抽象名词:表示抽象概念的词。如:health,help,progress(进步),friendship(友谊).
注意:通常情况下,个体名词和集体名词是可数的,称为可数名词,有单、复数之分,物质名词和抽象名词一般是不可数的,称为不可数名词,通常只有单数。
二、名词的数
要表示两个或两个以上数的概念时,要用名词的复数形式。
I.可数名词(个体名词和集体名词):有单、复数形式。可数名词的复数形式变化如下:
1.规则变化:
(1)一般情况下,绝大多数名词后+s,清辅音后读[s],元音,浊辅音之后读[z],如:desk―desks,map―maps,bag―bags,day―days.
(2)以s,x,sh,ch,结尾的词加-es读作[iz]。bus―buses,brush―brushes。
(3)以字母f结尾的名词变f、fe为v再加es。如:life―lives,但roof-roofs。
(4)以辅音字母加y结尾的词;变y为i再加es。如:family―families。
(5)以辅音加o结尾的词加es读[z],初中英语中,这样的词为:hero―heroes。
2.不规则变化:
(1)常见的有:child―children,man―men,woman―women,foot―feet,tooth―teeth,mouse―mice。
(2)单复数同形。如:Chinese,deer,fish,sheep。
(3)有些集合名词形式上是单数,但却用复数。如:police,people,cattle(牛)。
(4)有些名词通常只有复数形式,谓语也是复数,这些名词有:glasses(眼镜),goods(货物),clothes(衣服),trousers(裤子),greens(蔬菜),arms(武器)。
(5)表示“某国人”的名词单、复数变化如下:
①单、复数形式相同:a Chinese―two Chinese;a Japanese―four Japanese
②词尾加-s:a Russia―three Russians;a German―five Germans
③变man为men:an Enelishman―eight Englishmen;an Frenchwoman―nine Frenchwomen
国人复数变化可概括为:中日不变,英法变,其他s加后边。
Ⅱ.不可数名词(物质名词和抽象名词)一般用单数形式,但要注意以下几种情况:
1.物质名词在表示不同类别时,可用复数。
fruit(水果)―fruits(各种水果)
2.有些物质名词的单、复数形式表示不同的意义。
water(水)― waters(海水或河水、湖水)
green(绿色)―greens(青菜)
3.物质名词在表示数量时,常用of短语来表示,of之前表示数量的名词可以是单、复数。
of之后的名词是物质名词,则用单数;如是可数名词,则用复数。如:a glass of water
III.名词作主语时,主、谓语的一致关系。
1.谓语动词必须在人称和数两方面和它的主语一致。
2.集体名词看作整体时,谓语动词用单数;把集体名词看作整体中的组成部分和各成员时,谓语动词用复数。
3.指多数人或物的名词,如:people,police,cattle(牛)谓语动词用复数,people当“民族”讲时有单、复数之分。
The Chinese people are brave and hardworking.中国人民是勤劳勇敢的。
4.用and连接两个以上的单数名词时,谓语动词要用复数。如and连接的两个名词是指明同一个人或同一个概念时,谓语动词则用单数。如:
(1)The brother andsister are both students.
(2)The doctor and writer is going to give us a talk.这位医生兼作家将给我们作个报告。
5.在there be;either…or…;neither…nor…;not only…but also…句型中,谓语动词采取就近原则。如:
Either you or he is going to buy the book.不是你就是他要买这本书。
三、名词的格
英语中名词有三个格:主格(作主语),宾格(作宾语),和所有格。其中只有名词的所有格有形式变化。
名词所有格:有些名词加“’s”表示所有关系,这种形式叫名词所有格:构成形式如下:
Ⅰ.表示有生命的名词所有格
1.单数名词后加“’s”,复数名词不是以s结尾的也加“’s”。
2.以s或es结尾的复数名词的所有格只在名词后加“’”
3.表示几个共有一件事物,只需在最后一个名词之后加“’s”,如表示各自所有,则需在各个名词后加“’s”。
4.表示这种“店铺,某人家”的名词所有格后面一般省略它所修饰的名词。
5.有些指时间、距离、国家、城镇的无生命的名词也可加“’s”表示所有格。
Ⅱ.表示无生命的名词,一般与of构成词组,表示所有关系。
of格的用法:
1.表示部分时,前面的词有a,an,some,any,few,two,no,several之类的修饰语时,常用“of词组+所有格”的形式表示所有关系。
a friend of my sister's=one of my sister's friends我妹妹的一个朋友
2.of后面的名词必须是指人的名词。
关键词：高中数学；概念教学；情境化
概念是整个高中数学学习的基础！研究表明，概念在学生头脑中的生成仅仅依靠讲授是不够的，因为讲授一般只可以让学生对概念形成一些浅层的理解，比如说让学生知道什么叫“异面直线”，但这个概念的内涵与外延却需要学生在自主学习中去生成属于自己的理解，比如“异面直线”是一个空间概念，“异面”是其本质特征，有形的异面与无形的异面属于其内涵，异面直线之间的距离等则是其外延. 在这里需要强调的是，“属于学生自己的理解”只有在学生为主的情境中才能发生，因此对于高中数学概念学习而言，情境化就是一个重要的策略.
[?] 高中数学概念教学中的情境化策略概述
高中阶段的数学概念相对更为抽象，因此建立一个真正的概念并不是一件容易的事情. 数学教学研究者指出，抽象的概念一般需要经历一个心理加工过程，才会真正内化为学生能够熟练运用的基本知识. 而这个心理加工的过程一般都是情境化的，因此我们才提出了情境化的概念教学策略.
概念情境化的教学策略主要是指让重要的数学概念在情境中生成. 这其中有两个关键的施力点：一是重要的数学概念. 我们理解的重要有两个角度，第一个是知识构成角度的重要，第二个是学生学习角度的重要，在情境化的概念教学策略中，我们更看重后者，因为数学知识的构建关键在于概念的理解，因此学生感觉困难的才是教师需要施力的. 二是情境. 创设情境是课程改革以来受到人们高度重视的教学策略之一，对于概念教学而言，我们的理解是情境必须是概念的情境，也就是说情境的创设一定要基于学生的认知实际，瞄准概念掌握的最终目标来进行.
因此，我们就可以发现，概念情境化的教学策略实施关键在于教师对于学情的掌握，以及对概念的研究. 还以上面所说的“异面直线”的概念为例，学生理解直线很容易，理解异面有一定的困难. 因此教师就应该从生活中去寻找异面的实例，这也不难――教室的墙壁就是；然后要跟学生一起在这样的情境中将墙壁抽象成“面”，将墙壁上的线（窗框等）抽象成“线”，不同的线处于异面之上，这样就形成了较好的异面直线的表象；最后在此基础上进一步理解其内涵与外延，这样就能深化对这一概念的理解.
[?] 高中数学概念教学中的情境化策略实施
具体到实施过程中，我们会发现情境化策略要想取得成功，更多地在于根据不同类型的概念选择不同的策略，并且在实施过程中要注意针对学生的实际，进行细节的处理. 如果说在上述第一点的简述中所举异面直线的例子还只是简单概念的情境化的话，那对于重要的数学概念而言，就需要下更多的工夫.下面分不同的情境逐一例析：
示例一：椭圆概念的情境化教学策略.
高中学生掌握椭圆概述的优势在于概念名称比较熟悉，这可以避免因为名称的陌生而产生的距离感. 但这种熟悉背后隐藏着另外一些概念掌握的难点，如学生容易误认为不是正圆的都是椭圆（包括不对称的“圆”），还有学生对于椭圆的理解局限于某一定义，而实际上椭圆实际上有多种定义方式. 衡量一个学生有没有真正掌握椭圆概念，可以通过学生对不同的定义是否都能理解来判断――这背后蕴藏的心理学理解是，如果学生真正理解了椭圆概念，那他一定能够理解不同的定义方式. 因此，我们可以采取这样的情境化策略：
第一步，体验椭圆的诞生过程. 其可以分两小步完成，一是学生自由地在纸上画出自己理解的椭圆，则学生画的一般多为不正的圆. 二是用一根细线和两个钉子，在木板上画出椭圆. 这个情境中学生既有体验，又有比较，能够帮助学生建立丰富的直觉经验.
第二步，数学化理解. 将体验过程数学化，用数学语言总结体验过程. 这是所创设的体验情境发挥作用的重要步骤，也是防止因情境而情境的有效措施. 在刚刚的体验中，学生获得的是操作得出的具有实物性质的椭圆，而现在则需要的是学生思维中的数学性质的椭圆. 因此，“到两点的距离之和为定值（常数）”的概念必须由学生自主得出，解析式、长轴、短轴、焦距等概念可以由教师提出，但这些附属概念的含义学生必须理解，而这些都是基于这一步骤的.
示例二：复数概念教学的情境化策略.
复数绝对是一个抽象的概念，很多学生在初次学习复数时根本不知道复数为何物，就算到了高考复习时，很多学生对于复数知识也是敬而远之. 很大程度上，就是因为复数的初始学习过程中，没有真正理解这一概念. 而运用了情境化策略之后，可以化解传统讲授模式中一半以上学生的问题.我们的情境创设的思路是这样的.
第一步：回顾所学数集的扩充历史. 这是帮学生重现不同阶段数集学习的过程，以帮助学生形成或加强数集是可以扩充的思维定式. 如果学生已有这一定式，那么意味着数集的扩充是可以被其加工的；若学生在学习过程中不善总结，则无法形成这一定式，需要教师辅助生成.
第二步：提出实际的问题. 简单如x2=-1，则x的值为多少. 像这样的问题，一般难以从生活中寻找到恰当的实际情境，这也是数学抽象性的一种体现，因此以原有认识为基础提出新的问题，不失为创设情境的一种策略.这里也提醒我们，情境不一定是物质的，也可以是思维的，不一定是形象的，也可以是抽象的. 这一问题的解决不在情境论述之列，故不赘述. 当然，在复数概念中，i是核心标志，需要着力解释清楚.
第三步：对问题的解决进行反思. 问题解决之后必须要引领学生认识到：复数概念的引入既是为了解决平方为负的实际问题，同时也是数集可以扩充的另一佐证. 因此复数并不是一个全新的概念，其只是数集扩充的新的阶段而已. 通过树立这样的认识，让学生产生复数并不是孤立的概念，而只是原有概念的拓展.
事实证明，通过类似情境的创设，可以将复数这一新的概念纳入到学生原有的数学认识当中去，从而降低理解的难度，增加理解的有效性.
示例三：异面直线的距离概念的情境化教学策略.
异面直线的距离既是一个独立的概念，又可以看做异面直线概念的外延. 在异面直线概念的基础上构建异面直线的距离概念，需要学生较强的空间想象能力. 那么，在学生想象能力不足以支撑这一概念形成的情形下，我们又该采取什么样的教学策略呢？笔者进行了如下尝试.
第一步：回顾异面直线概念，回忆点到直线距离概念，建构同一平面内两平等线的距离概念. 这一步的设计目的在于为异面直线的距离概念建立打好“异面直线”和“距离”两个关键词基础.
第二步：教师出示两条异面直线（可以用两根长木棒代替），学生观察完毕后放下教具，引导学生在大脑中形成表象. 然后提出问题：这两根异面直线上哪两点的距离是最适宜作为定义异面直线的距离的？这一问题具有发散性，又具有内敛性. 其发散在没有指明思考的方向，因此学生有可能在大脑中异面直线的表象上去寻找不同的点，其内敛性体现在最终会寻找到距离最短的两个点. 这一步骤是情境化的重点，如果学生凭想象难以构建，则还可以用教具重新模拟，具体做法是用皮系在两个异面直线（长木棒）上，然后分别在两长木棒上滑动，看什么时候皮缩到最短.
第三步：寻找数学定义，具体略.
[?] 对高中数学概念教学中情境化策略的思考
主谓一致三原则
我们常说的“主谓一致”其实可以分为“语法一致”“意义一致”和“就近一致”三条小原则。
“语法一致”即句子的主语和谓语在语法形式上保持一致：主语为单数时，谓语动词用单数形式；主语为复数时，谓语动词用复数形式。比如：
The house is located near a highway.
All the goods have been sent to them.
在“语法一致”的基础上，还要考虑“意义一致”。有时候，主语在形式上为单数，但表示的是复数的意义，那么谓语动词就要根据主语的意义使用复数形式。有时候，主语在形式上为复数，但表示的是单数的意义，那么谓语动词则应相应地使用单数形式。比如：
My family are all looking forward to your arrival.
The United States was founded in 1776.
当句子中出现并列主语时，需要遵循“就近一致”原则，即谓语动词的单复数形式取决于最靠近谓语动词的主语。这种情形在neither...nor...， either...or...， there be等句型中最常见。比如：
Neither his parents nor Tom is at home.
There is a book and some pens on the desk.
要注意的是，“就近一致”原则不适用于“并列成分作为整体担任主语”的情况。
什么是“作为整体担任主语”？比如在Lily and Jim are best friends一句中，Lily and Jim就属于并列成分作为整体担任主语，因为are best friends是对他们两个人这个团体而言的，少了谁都谈不上是“一对好朋友”。而在Neither his parents nor Tom is at home一句中，“不在家”这个状态是可以分别针对Tom和他的父母而言的，这个句子可以改写成His parents are not at home and neither is Tom，所以虽然这个句子的主语是并列的，但不是“作为整体担任主语”。
总之，为避免主谓搭配错位，同学们一定要记住：先确定主语中心词，再判断它的单复数。在实际应用中，会有不少迷惑视线的情况，需要同学们细心辨别。
确定主语中心词
一般情况下，主语中心词很好找，但遇到以下三种情况，同学们往往会找错主语中心词。
一、倒装句结构
倒装句的常见结构为“副词/介词短语 + 谓语 + 主语”，这时候，不少同学会将介词短语中的名词当作主语，据此判断谓语动词的单复数形式，这实在是大错特错。在倒装句中，谓语动词后面的名词才是真正的主语，谓语动词的单复数形式应该与它保持一致。比如：
Between the two windows （hang/hangs） a picture.
句意为“两扇窗之间挂着一幅画”。这是个倒装句，真正的主语中心词是a picture，而不是介词短语中的two windows，所以谓语动词应该用单数形式hangs。
二、主语有后置修饰语
有些句子会用along with， among， and not， apart from， as much as， as well as， besides， but， except， in addition to， including， excluding， like， more than， no less than， plus， rather than， than， unlike， together with， with等引出一个短语，对主语作补充说明。这些短语实为状语，可移至句末，但不少同学会错把它们当作并列主语。遇到这种情况，应先剔除这些短语，再来确定谓语动词的单复数形式，切莫根据这些短语中的名词来判断谓语动词的单复数形式。比如：
Traditional folk arts of Tianjin like paper cutting （was/were） being exhibited at the culture show of the 2010 Shanghai World Expo.
句意为“传统的天津民间艺术，比如剪纸，在2010年上海世博会的文化展示活动上展出”。句中的主语中心词既不是Tianjin，也不是paper cutting，而是traditional folk arts，因此谓语动词应该用复数形式were。
三、先行词后有修饰成分
在定语从句中，先行词是从句的主语中心词，谓语动词的形式取决于先行词的形式。当从句与先行词之间有其他修饰成分时，同学们很容易错把这个修饰成分中的名词当作先行词。这时，务必根据语境和句意，仔细分析，正确判断作为主语中心词的先行词。比如：
Finally another material is painted onto the stones which （is/are） used to protect them from water forever.
句意为“最后，在这些石头上涂上另一种材料，以防止它们被水侵蚀”。句中的关系代词which指代的是another material还是stones？分析句意，可知them指代的是stones，which指代的是material，是单数，谓语动词应该用is。又比如：
He is the only one among Chinese writers who （has/have） won the Nobel Prize for Literature.
句意为“他是中国作家中唯一获得诺贝尔文学奖的”。句中的先行词是the only one，所以谓语动词应该用has。
判断谓语单复数
其实，遇到复杂的句型，只要细心地分析情境及句意，找准主语中心词并不很难。与之相比，判断谓语的单复数就要复杂些，因为不仅要看主语中心词的单复数情况，还要看它们表达的意义是单数还是复数，有时还要考虑“就近一致”。这时，同学们很容易被以下三种现象所迷惑。
一、被并列成分作为整体担任主语迷惑
前面提到过，当主语由并列成分作为整体担任时，不适用“就近原则”，此时要根据作为整体的并列成分表意的单复数来确定谓语动词的单复数形式。
比如Lily and Jim are best friends一句中，Lily and Jim作为整体担任主语，表示的是“两个人”，是复数，所以谓语动词用are。
并列成分作为整体担任主语还有下面几种情况：①表示“一种东西”，如bacon and eggs（腊肉荷包蛋）、bread and butter（奶油面包）；②表示“一个概念”，如truth and honesty（真诚）；③表示“拥有双重身份的一个人或事物”，如a singer and actor（歌手兼演员）；④表示“一整套的事物”，如a knife and fork（刀叉）。这时，并列成分作为整体，表示的是单数的意义，谓语动词要采用单数形式。比如：
A poet and artist （was/were） invited to give us a talk on Chinese literature and painting.
句意为“那位诗人兼艺术家被请来给我们进行一次关于中国文学和绘画的讲座”。句中的主语a poet and artist指的是拥有诗人和艺术家双重身份的一个人，所以谓语动词应该用was。如果要表示“诗人和艺术家”，则应该用a poet and an artist。又比如：
With the development of modern agriculture and industry， more and more waste and poison （is/are） poured into the water， the soil and the air.
句意为“随着现代农业和工业的发展，越来越多的有害物质被排放到水中、地里和空气中”。句中的waste and poison指的是“有害物质”这个概念，是单数的，所以谓语动词用is。
二、被单数含义中心词所在的短语迷惑
当句子的主语是短语时，有时候，短语的中文含义是复数的，但它的中心词是单数，这时，同学们很容易忽略中心词，只根据短语的含义来判断谓语动词的形式，导致出错。比如当主语是“more than one/many a + 单数名词”这样的短语时，虽然整个短语表示复数含义，但它的中心词是单数名词，谓语动词应该用单数形式。请看下面两个例句。
More than one student （was/were）late for class yesterday.
More students than one （was/were）late for class yesterday.
这两个句子从字面看都是“不止一名学生昨天迟到”的意思，但前一句侧重表示“一个学生迟到了，其他还有学生迟到”，虽然more than one student的中文意思为复数，但句意强调的是其中的one student，即中心词是one student，所以谓语动词应该用was。而后一句侧重表示“很多学生迟到，不止一个”，句意强调的是more students，是复数，所以谓语动词用were。
三、被集体名词迷惑
集体名词可分为两种，一种只能用来表示复数，如cattle，folk， people， police， public， youth等；另一种既能表示单数又能表示复数，如army， band， class， club， committee， company， crew， crowd， enemy， family， government， group， population， staff， team， troop等。后一种集体名词在表示一个整体时，谓语动词要用单数形式；在表示整体中的成员时，谓语动词用复数形式。比如：
The class （consist/consists） of 45 students and the whole class （is/are） all diligent.
迁移可分为顺向迁移与逆向迁移。顺向迁移指的是“先前的学习对后继学习的影响”；逆向迁移指的是“后继学习对先前学习的影响”。不论顺向迁移还是逆向迁移，又都有正负之分。对学习起到促进作用的是正迁移，对学习起到干扰或抑制作用的是负迁移。例如，在学习复数的开方时，必须先掌握方根、复数的相等、复数的三角形式、复数的乘方、三角函数的周期性，这些知识是否扎实，将直接影响到复数开方学习的好坏。如果学生对上述知识有清晰的认识，教师又引导得法，那么学生就能轻松地实现知识的迁移，也就是由实数方根的概念转化到复数方根的概念。这是顺向正迁移。反之，学生学过复数方根后，如果能正确理解并掌握复数方根的概念和求法，那么学生对方根的概念就比以前更全面更深刻，进入了一个较高的层次。这就是逆向正迁移。
迁移是检验我们在教学中是否发展了能力开发了智力的一个可靠标准。如果教师在教学中能引导学生自觉地实现知识的正迁移，做到概念清晰，运算熟练，思维敏捷，学生的能力就得到了发展；反之，在教学中不仅不能使学生顺利实现正迁移，反而产生负迁移，学生头脑中概念模糊，手足失措，思维呆板，学生的能力也就停滞不前了。
在数学教学中怎样运用迁移规律来提高我们的教学效果呢？
首先，我们注意到学生“先前所学知识”与“后继所学知识”之间的关系大致可分为特殊与一般关系、一般与特殊关系、并列平行或交叉关系三种类型。
例如，幼师数学中二项定理需要在多项式的乘法法则，两数和的平方与立方公式的基础上进行学习。这样，先前所学的两数和的平方与立方公式就是二项式定理的特殊情况。学生学过两角和与差的正弦、余弦和正切公式后，倍角公式则可作为这些公式的特殊情况，这里先前所学知识则是倍角公式的更为一般的情况。学过排列后，再学习组合，排列与组合则属于并列平行交叉关系。
由于事物之间的联系的多样性和复杂性，并且事物是不断变化和发展的，因此知识之间的这三种关系并没有绝对的界限，在一种关系之内也可能穿插有其它两种关系。
下面，我们分别从这三种关系上来探讨如何运用迁移规律提高教学效果。
一、特殊到一般关系的迁移
这时新知识直接依赖于学生头脑中已有的知识。要想顺利地实现知识的顺向正迁移，学生头脑中原有的知识必须扎实。特别是与新知识有关的原有概念必须清晰理解；与新知识有关的定理公式必须牢固掌握；与新知识有关的思想方法必须基本熟悉。因此，讲课之前复习旧的有关知识是必须的一个过程，讲解新课中，对旧知识存在的矛盾必须充分揭示，并注意启发引导学生探讨旧知识的发展方向，使学生自己必然得到由特殊情况导出更一般情况的结论。
二、一般到特殊关系中的迁移
这时，新知识也直接与学生头脑中原有的知识有关，但新知识有自己的特殊点，要使学生的学习能顺利向正迁移，就是在这种特殊点上的迁移。因此，在讲课中除了复习有关的旧知识以外，还必须提出一系列问题使学生能从一般转化到特殊上去。举例不仅有正面例子，还应有反例，使学生理解这种特殊究竟特殊于何处。
例如，学生学习了反函数的概念之后，再学习对数函数，则对数函数作为指数函数的反函数是反函数中的特殊情况，讲解对数函数时，除复习反函数、指数函数的定义外，还应提出与对数函数有关的一系列问题。如：
指数函数中的定义域、值域、对应关系分别是什么？
指数函数中的对应关系是否是从定义域到值域的一一对应。
设指数函数y=ax（a>0、a≠1）的定义域是A，值域是B，则对应关系xax是否存在逆对应？逆对应是哪一个集合到哪一个集合的对应？
把集合B、A分别作为定义域、值域，对应关系为xax 的逆对应，那么所得的函数是什么函数？
这样，通过上述问题，就突出了对数函数的特殊点，很自然地引出了对数函数的定义。再举出反例y=logax?、y=3logax让学生识别是否为对数函数，从而使学生进一步理解对数函数概念，实现了知识的顺向正迁移。
在此之前，学生虽然知道了什么是反函数，但具体例子不够丰富，对反函数概念的理解仍停留于形式上，学过对数函数并真正理解与掌握后，就进一步丰富了他们对反函数的认识，这是逆向正迁移。
利用排列、组合公式解答应用题，也是把一般性原理应用于特殊场合，解答应用题时，应突出每个问题的特殊点，但应与一般性原理紧密结合，这样多次反复，学生就能自觉地实现知识的正迁移。
三、并列平行或交叉关系中的迁移
这时，新知识与学生头脑中原有知识相对地独立，但它们可能都从属于过去所学某种知识的更一般的范围之内，也可能都是后继所学知识的特殊情况。例如，集合中的交集与并集的关系是并列平行关系，但它们都从属于过去所学的集合概念之内。函数y=Asinx的图像与函数y=Sinωx的图像是并列交叉关系，但它们都是今后学习的函数y=Asin（ωx+φ）的图象的特殊情况。
当新知识与邻近所学知识是并列平行或交叉关系时，讲解中要运用分析、比较方法，找出新旧知识之间不同点和结合点，明确它们的异同，掌握它们之间的联系和区别。
例如，学生学过交集的定义后，再来学习并集时，讲解中应把并集与交集进行对比，明确集合A和B的并集与A与B的交集一样，都是由集合A与B完全确定的集合，区别在于并集中元素的属性是属于A或属于B，要求属于其中某一个集合即可，当然也有可能同时属于A和B；而交集中元素的属性则要求同时属于A和B。这种对比可以通过若干具体例子进行，让学生自己通过比较分析，进一步理解并集概念，从而能顺利实现知识的正迁移。
排列与组合是并列交叉关系，学过排列后讲解组合时，应通过各种具体实例的对比，使学生能判别每一个具体问题究竟是排列问题还是组合问题，虽然排列与组合的区别仅在于顺序上，但学生遇到具体问题往往就茫然不知所措，因此，这种对比要不断进行，要由易到难，由简单到复杂。
关键词：主谓一致；主语；谓语
作者简介：魏罕秀，任教于甘肃省皋兰县二中。
主谓一致，一般来说，谓语必须与主语和人称在数上保持一致。其一致性涉及三方面，既语法上一致，意义上一致，就近一致。具体用法如下：
一、主语是下列情况的，谓语用单数
1.如果主语由“manya,morethanone+单数名词”构成，尽管从意义上看是复数，但谓语动词仍用单数形式。如：
Manyachildhasmadethatmistake.(许多孩子都犯那种错误。)
Thereismorethanoneanswertoyourquestion.(你的这个问题不止一个答案。)
注：“morethan+数词+复数名词”作主语时，谓语动词用复数形式。如：
Morethanonethousandworkersareworkinginthisfactory.(有1000多名工人在这家工厂做工。)
2.“……四则运算（即加、减、乘、除）……”表示整体概念，谓语动词多用单数形式。如：
88and2is100.(88加2等于100。)
Fivetimesfouris20.(5乘以4等于20。)
3.“a+单数名词+ortwo”作主语，谓语动词用单数；但“oneortwo+复数名词”作主语，谓语动词用复数。如：
Adayortwoispassed.(一两天过去了。)
Oneortwohourshavebeenspent.(一两天过去了。)
4.由each,every修饰的名词作主语，或由each…andeach…，every…andevery…，no…andno…连接名词作主语时，谓语用单数。如：
Eachmanandeachwomanhasachancetoberaisedinourcompany.(在我们公司，每个男女都有提升的机会。)
Noboyandnogirldoesn’tgotoschoolattheageofseveninthisvillagebecauseoftheHopeProject.(由于希望工程，我们村七岁的男孩女孩都去上学。)
注：each位于复数主语后或句末，则不影响谓语动词的数。如：
Thestudentseachhaveadictionary.(学生们每人都有一本字典。)
5.every-,any-,some-等构成的复合不定代词作主语，谓语用单数。如：
Thereissomethingwrongwiththemachine.(这台机器有问题。)
6.all表示物时，谓语动词用单数。如：
Allwassilent.(万籁俱寂。)
Alloftherubbishwascleanedaway.(所有的垃圾都被清除了。)
注：当all作主语表示人时，谓语动词用复数。如：
Allbutonewereherejustnow.(除一人外，都刚刚在这儿。)
7.动名词、动词不定式、名词从句或由and连接的两个疑问代词作主语时，谓语动词常用单数。如：
ToholdtheOlympicGamesisarichprizeforacountry.(对于一个国家来说，承办奥运会就是一份丰厚的奖品。)
Whenandwheretobuildthenewfactoryisnotdecidedyet.
注：当what从句作主语时而表语是复数时，谓语动词也可用复数。如：
Whatwebadlyneedherearecompetentteachers.(我们这儿急需的是合格的老师。)
8.在“It+be+被强调部分+that(who)…”结构中，“be”用单数。如：
Itisnotonlyblindmenwhomakesuchstupidmistakes.(不仅仅是盲人犯这样的错误。)
二、主语是复数形式，而谓语用单数形式
1.国名、人名、书名、组织机构等专有名词做主语，即使形式上是复数，谓语动词仍用单数。如：
TheUnitedStateisadevelopedcountry.
2.以-ics结尾表示学科的名词，如politics，physics，athletics，mathematics等做主语时，谓语用单数。如：
Mathematicsisdifficulttolearn.
注：当以-ics结尾的表示学科的名词前有物主代词修饰，指某人的某方面知识时，谓语用复数。如：
Hisphysicsarepoor.
3.当表示时间、距离、价格度量衡等的名词作主语时，谓语用单数。如：
Tenyearsisquitealongtime.(十年是漫长的时间。)
Fifteenmilesseemslikealongwalktome.(步行15分钟对我来说是较长的时间了。)
注：如果是指某一个体，则要根据语法一致的原则，谓语动词用复数形式。如：
Twentyyearshavepassedsinceweparted.(自从我们分手以后已经20年过去了。)
4.“One+andahalf+复数名词”做主语时，谓语动词用单数。如：
Oneandahalfapplesisleftontheplate.(盘子里还有一个半苹果。)
5.有些用来表示有两个对应部分组成一体的名词复数，如trousers,glasses,compasses等做主语，前面若有“一条，一副，一把”之类的单位词，谓语用单数；若没有单位词或单位词是复数，则谓语用复数。如：
Thereisapairofglassesonthedesk.(桌子上有一副眼镜。)
Alltheglassesaremadeofglass,notplastic.(所有的玻璃杯都是由玻璃制成的，而并非塑料。)
6.thenumberof短语做主语时，谓语动词用单数。如:
Asaresult,thenumberofpeoplewhotravelbyplaneinChinaislargerthaneverbefore.因此，中国乘飞机旅行的人数比以往多了。
注：anumberof短语做主语时，谓语动词一般用复数，如：Thenumberofpeopleinvitedwasfifty,butanumberofthemwereabsentfordifferentreasons.（邀请了五十人，但由于种种原因，大多数人没来。）
三、主语是单数形式，而谓语动词用复数形式
1.一些集体名词，如cattle,police,people,militia（民兵）等，在句子中做主语时，谓语用单数。如：
Shortlyaftertheaccident,thepoliceweresenttokeeporder.(事故后不久，警察被派来维持秩序。)
2.有些以-sh,-ese,-ch结尾的表示国家、民族的形容词与the连用时表示复数含义，谓语动词用复数。如:
TheChinesearekindandfriendly.(中国人亲切、友好。)
3.当“the+形容词（过去分词）”指一类人作主语，如theold,theyoung,therich,thedead,谓语用复数。如:
Therichliveahappylife,whilethepoorliveahardlife.(富人过着快乐的生活，而穷人过着艰难的生活。)
四、谓语动词的单复数根据主语的具体情况而定
1.一些集体名词，如family,class,team,population,company,public,government,group,club等做主语时，当作为整体时，谓语动词用单数；如果作为一个个体成员来考虑时，谓语动词用复数。如：
Myfamilyarecomingwithme.(我的家人将和我一块儿来。)
HisfamilyhasjustmovedtoBeijing.(他家刚搬到北京。)
2.一些表示部分概念或不定量的名词或代词作主语，形式上为单数，但谓语动词的单复数应根据of后接名词的单复数而定，这些词有half,most,some等。如：
Themostofhistimeiswastedoverit.他的大部分时间都浪费在这上面了。
Halfofthebooksarenovels.一半书籍是小说。
3.名词前有alotof,lotsof,plentyof,percentof等时，根据具体情况决定谓语动词的单复数。
Thereareplentyofeggsinthebasket.(篮子里有很多蛋。)
Lotsofmeathasbeensoldout.(很多肉已销售。)
4.用and连接的名词作主语指两个人和物时，谓语用复数；指同一个人和物时，谓语用单数。如：
Theworkerandwritercomesfromasmalltown.(这位工人兼作家出身于一个小城镇。)
5.由notonly…butalso,either…or,neither…nor或or连接的并列主语，谓语动词的单数形式或复数形式依最靠近他的名词的单复试形式而定。如：
EitheryouorIamgoingtoanswerhisquestion.(你和我必须有一个要回答他的问题。)
NotonlyhebutalsohisfriendshavebeentoNewYork.(不仅他而且他的朋友都去过纽约。)
.aswellas,besides,like,with,alongwith,togetherwith,nolessthan,except,but,ratherthan等构成的短语不看作主语，谓语动词的数与第一个主语的数保持一致。如：
ThemanwithhisdaughtersandsoniswatchingTV.(这个人和他的儿女在看电视。)
Thegirlsaswellastheteacheraredancing.(姑娘们和这位老师在跳舞。)
7.在therebe句型中，若有一系列并列主语时，根据就近原则，be应与他相邻的名词的数保持一致。如：
Thereisadeskandthreechairsintheroom.(房子里有一张桌子和三把椅子。)
8.在here引起的倒装句中，如果主语不止一个时，谓语动词常与最靠近的主语一致。如：
Hereareafewenvelopesandsomepaperforyou.(给你一些信封和纸。)
1.感受复数的有关概念题型
例1已知复数z=a2-7a+6a2-1+（a2-5a+6）i （a∈R），试求实数a分别取什么值时，z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
分析本题可找出复数的实部和虚部，并根据题意找出符合实数、虚数的条件来确定.
解（1）当z为实数时，则a2-5a-6=0，a2≠1，即a=-1或a=6，a≠±1，得a=6.故当a=6时，z为实数.
（2）当z为虚数时，则有a2-5a-6≠0，a2≠1，即a=-1且a≠6，a≠±1，求得a≠±1且a≠6.因此当a∈（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.
（3）当z为纯虚数时，则有a2-5a-6≠0，a2-7a+6a2-1=0.即a≠-1且a≠6，a=6.故不存在实数a，使z为纯虚数.
点拨复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数.合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类问题的关键.
2.感受复数相等
例2已知x+y-xyi=24i-5，其中x 、y∈R，求x、y的值.
分析此类题型其实质是在实数集中解方程，通常的方法是由复数相等的充要条件将其转化为实数集上的方程组，进而求得方程的解.
解x、y
∈R，x+y∈R，xy∈R，则根据题意得到x+y=-5，-xy=24.可以解得x=3，y=-8，或x=-8，y=3.
点拨（1）运用复数相等的充要条件“a+bi=c+dia=c，b=d”时，应该注意大前提a、b、c、d∈R，否则解题时容易出现错误.
3.感受复数方程问题
例4已知关于x、y的方程组
（2x-1）+i=y-（3-y）i，（2x+ay）-（4x-y+b）i=9-8i.①②
有实数根，求实数a、b的值.
分析由于x、y是实数，根据两个复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题来解决.
解由（1）得到2x-1=y，1=-（3-y），可解得x=52，y=4.再将其代入方程（2）得到（5+4a）-（6+b）i=9-8i.
又a、b∈R，5+4a，6+b=8.可以解得a=1，b=2.
点拨一个有关复数的方程，相当于两个实数方程，由此能求出两个未知数.本题利用复数相等的充要条件将复数问题转化为实数问题来解决.这是解决此类问题的基本方法.
4.感受复数中的数学思想问题
例4复数z满足zz+2iz=3+ai （a∈R），且复数z对应的点在第二象限，求实数a的取值范围.
分析可以利用常规解法，令z=x+yi（x，y∈R），化虚为实，寻求解法，探求a的取值范围，可以利用方程思想，函数思想来解决.
解设z=x+yi（x，y∈R），则x2+y2+2i（x-yi）=3+ai，即x2+y2+2y+2xi=3+ai，则
x2+y2+2y=3，2x=a.（1）（2）
由复数z对应点在第二象限，故
x0，（3）
下面的问题就是如何由（1）（2）（3）出发，探求a的取值范围.
方法一：方程思想
由（1）（2）组成方程组，解出
x=a2，t=-2±16-a22. （4）
把（4）代入（3）即可转化为求a的取值范围问题.
由a2
-2±16-a22>0，得到-23
方法二：函数思想
（1）（2）两等式可以看作x、y、a三个量之间相互依存、相互制约的关系式.本题最后求解的是a的取值范围，不妨从（1）（2）中解出x、a关于y的函数解析式，利用函数值域的方法，求出a的取值范围.
由（1）a=x2，再由（3）x
（2）代入（1）得
y2+2y+a24=3，解出a2得到a2=4[4-（y+1）2].
由（3）y>0，可以知道（y+1）2>1.则a2
-23
关键词： 数学史 数学教学 概念教学
我国新一轮的基础教育课程改革正在进行，它要求教师改变传统的教学方式，确立一种新的教育观念。数学史为我们的数学教学改革提供了一个新的视角，数学史融入中学数学课堂教学这一问题受到越来越多的关注[1].
1.数学史融入中学数学课堂教学的作用
1.1激发学生的学习兴趣
数学在学生心目中是一门非常抽象的、枯燥的学科.究其原因会发现，在传统教学中，学生学习知识只是进行简单的记忆和推理，不知道定理和公式的由来，有的老师常常会说“这是规定”，打消了学生的好奇心，久而久之学生就失去了对数学的兴趣.“兴趣是最好的老师”.有教育专家指出：一个能激起学生学习兴趣、使学生对数学着迷的教师才是最优秀的教师.通过介绍数学史中与数学知识相关的趣闻逸事能激发学生的学习兴趣，一旦有了兴趣，学生就会主动去学习.
1.2有助于学生更好地理解数学
数学史中记载了许多数学知识的产生、发展过程，把数学史融入数学教学让学生身临其境般地感受数学的发展，从而更深入地理解数学.运用数学史，让学生能够理解蕴含在数学知识中的思想方法的来源，使知识的脉络更加清晰，便于学生理解、记忆[3].例如刘徽在《九章算术》中，提出割圆术作为计算圆的周长、面积的基础，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆.他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣！”这是朴素的极限思想.适当地讲解这些知识，不仅开阔了学生的眼界，而且拓展了学生的思维，从而让学生更好地理解数学.
1.3有利于培养学生的坚强意志和探索精神
在解决数学问题的过程中，数学家表现出的刻苦钻研的精神、顽强的意志力、敢于坚持真理的品质深深地感染着学生，在培养学生的坚强意志和探索精神方面发挥着很好的作用.培养学生的坚强意志和探索精神最直接的办法就是给他们讲人物事迹.例如：华罗庚初中毕业后因家境贫穷无法继续上学，但他并没有悲观气馁，而是发奋自学，成为伟大的数学家，为祖国争得了荣誉；数学王子高斯在没有保证研究结果绝对正确之前，绝不发表，这样的坚持真理的精神值得我们学习；牛顿、欧拉、陈景润等数学家的事迹也都是很好的素材.
1.4提高学生的审美能力
英国数学家罗素说：“数学不但拥有真理，而且具有崇高的美，是一种冰冷而严肃的美，不像绘画或音乐那样有华丽的服饰，它可以纯粹到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境地.”[4]古希腊数学家普罗克洛斯断言：“哪里有数，哪里就有美.”翻阅数学史，可以发现数学史是一门美的科学，它本身就展示了数学家创造数学的活动，数学作为一种创造活动具有艺术的特征，这就是对美的追求.数学史中蕴涵着许多美的宝藏，在数学课堂教学中融入数学史知识渗透审美教育，对学生审美能力的提高起着重要作用.例如：毕达哥拉斯认为，圆是最美丽的平面图形，球是最美丽的立体图形，因为他们在每个方向上的图形都是对称的，加法和减法、乘法和除法、指数和对数、微分和积分也都充满了对称美.函数符号经过数学家的不断修改得到y=f（x）这一简单表达式，体现了简洁美.我们可以从数学史料中挖掘一些审美的好题材，以更好地对学生进行审美教育，提高学生的审美能力.
2.数学史融入中学数学课堂教学的策略
张奠宙先生提出了应用数学史将数学的“理论形成”转化为“养成教育”的途径：
①揭示数学发展的规律，形成正确的数学观；
②返璞归真，揭示数学发展的过程，并使之适合今天的课堂教学；
③提供真实的历史材料，包括原始问题、原始论据、原始过程，增强真实感，体现数学的人文精神.
以上三点为数学史的运用指明了方向，在实际教学过程中，数学史融入教学的方式有很多.下面以运用数学史的教学案例展示数学史融入中学数学课堂教学的策略.
2.1在导入新课中运用数学史
在课堂教学中，导入课题是一个很重要的环节，引入新课的方法是多种多样的，如果有与教学内容相关的数学史资料，不妨利用数学史引入，能引起学生的注意，激起学生的求知欲.
例如无理数的引入.先介绍它的历史发展：古希腊时代毕达哥拉斯学派的成员希伯索斯在用勾股定理计算边长为1的正方形的对角线时，发现对角线的长度是一种从来没见过的“新数”，打破了该学派所信奉的“万物皆数”的信条，引起了人们极大的恐慌，这件事在数学史上被称为第一次数学危机.因为发现和研究这一“新数”，希伯索斯被投入海中处死.那么他到底发现的是一种什么样的数呢？
2.2在概念教学中应用数学史
讲解某个数学概念时，适当讲述概念的发展历史，能使学生从整体上掌握概念.数学史家M・克莱因坚信历史是教学的指南，他为此对美国的“新数运动”进行了批判：数学家花了三百年的时间才理解复数，我们却直接告诉学生复数是一个有序实数对.这种“强加”式的教学不利于学生对概念的理解，每个数学知识都有它的起源、发展，以及数学家为之付出努力的佚事，如果介绍数学概念的发展史进行概念教学，能更好地帮助学生理解数学概念[5].
例如，复数概念教学.首先提出问题：先让学生解方程x -10x+40=0.学生发现此方程的根的判别式Δ=10 -4×40=-60
其次，介绍复数发展的历史背景：数的概念是在实践中发展起来的，在原始社会，由于计数的需要，人们建立了自然数的概念.随着科学的发展，数也得到了发展，为了表示相反意义的量，引进了负数.为了解决分配中遇到的将某些量等分的问题，人们引进了有理数，它们就是一切形如 的数，其中m∈z，n∈N，n≠0，这样，就把整数集扩大到有理数集.为了解决量与量之间的比值不能用有理数表示的矛盾，又引进了无理数.从解方程x -10x+40=0，发现方程没有实数解，原因是负数不能开平方，为了解决这个问题，引进了虚数.12世纪，印度数学家婆什伽罗在研究方程过程中注意到了负数的开平方问题，他指出：“正数、负数的平方都是正数，因此，一个正数的平方根是一个正数和一个负数，负数没有平方根，因为负数不是平方数.”当时他并没有意识到“负数的开平方”背后隐藏着巨大的数学奥秘，他的一句肯定的话遏制了后人对这一问题进行探索的愿望，以至于在很长的时间里，各国数学家对这个问题都采取了回避的态度.直到1545年，“负数平方根”重新引起了关注，数学家卡丹在求解“把10分成两部分，使其乘积等于40”的问题（相当于求方程x -10x+40=0）时，果断将10分为5+ 和5- ，当时让人感到不可思议.但利用它，这个方程就可以迎刃而解了.整个17世纪，许多数学家已经在解方程中开始应用虚数，其中，笛卡尔在1632年首次给出虚数的名称，意为虚构的，不存在的，但大多数人对虚数作为数持怀疑态度.直到18世纪挪威的测绘员韦塞尔和法国的会计师阿尔甘借助笛卡尔的平面直角坐标系，对复数做出了让人信服的解释，终于揭开了虚数的神秘面纱.到了19世纪，复数应用日益广泛，复数的概念才最终得以确立.
最后，得出复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数被称为复数.当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫做虚数，当a=0，b≠0时，叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi的实部和虚部.
数学史在中学数学课堂教学中有着非常重要的作用，把数学史融入数学课堂教学不是简单的介绍或移植，而是把数学史的理论研究转化为实践的过程，数学史融入中学数学课堂教学的案例尚须丰富.
参考文献：
[1]汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法[J].数学教育学报，2006，15（1）：16-18.
[2]朱家生.数学史第二版[M].北京：高等教育出版社，2011.
[3]张楠，罗增儒.对数学史与数学教育的思考[J].数学教育学报，2006，15（3）：72-75.