时间：2023-05-29 18:17:45
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇有理数的混合运算习题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
[关键词]认知结构；变化；知识系统化；延伸
跨入中学校门的七年级学生，学习方法仍然停留在小学阶段的囫囵吞枣、不求甚解、死记硬背，认知结构未发生根本变化。有些学生因学不得法而成绩逐渐下降，久而久之失去学习信心和兴趣，陷入厌学的困境。因此重视对七年级学生数学学习方法的指导是非常必要的。
一、严格要求，养成良好的解题习惯
中学的学习内容与小学截然不同，不但内容新、知识广，而且难度大、要求高，仅仅靠死记硬背得不到成效。学生在解题时往往忽视解题过程，只是看结果，书写马虎又不规范。教师要教会学生，解题前要仔细弄清题意，再考虑解答方法；要有解答的详细步骤和过程，并能清楚每一解题步骤依据是什么，对学生的书面练习提出严格要求。
二、课前预习，注意培养学生的自学能力
预习是培养学生自学能力的重要环节。学生在完成当天功课的前提下应每天预习。在未养成预习习惯前，教师要进行预习指导，可以在黑板上帮助写一些预习提纲。如讲授有理数混合运算前，给出预习提纲：有理数的运算我们学过哪几种？其中一级运算、二级运算、三级运算分别有那些？有理数的混合运算顺序如何？问题的循序渐进，由浅入深，既是对已学过的有理数运算的概括总结，又涵盖了新课重点、难点，为新课讲授奠定了基础。
三、读读议议，开发学生的智力宝库
“读议讲练”是课堂教学的重要经验。在读和议之前，教师板书提纲，提出问题，这样学生在读议时就有目的、有方向。如在讲“有理数除法法则”时，可提问：“什么样的倒数等于它本身？大于它本身？小于它本身？”让学生议论。有一个学生就归纳得很好：“正负1的倒数等于它的本身，大于0而小于1的倒数，大于-1而小于0的倒数都小于它本身。”学生有了读议习惯后，教师的重点应放在巡回指导上，听学生的争论，解答疑问参与讨论，然后归纳小结或引导学生小结练习。
四、启发思维，加强对定义概念的理解
概念是一种思维形式。建立概念，不仅要遵循由特殊到一般，由局部到全体的观察方法，还要遵循由现象到本质、由具体到抽象的认识规律。一切分析、推理、想象都要依据和运用概念，通过透彻理解和灵活应用概念掌握运算的技巧。
1.新的概念及时练。如在讲到“绝对值的概念”时，教师可提出例题：+3的绝对值是多少？-3的绝对值是多少？绝对值是3的数有哪几个？绝对值是0的数呢？有没有绝对值是-5的数？为什么？在学生回答问题时，他们对绝对值的概念就实现了由现象到本质，由具体到抽象的认识。
2.重要概念着重练。在讲新的重要概念之后，除选配比较简单的习题用于增强学生对新概念的理解外，还需用概念全面分析和正确解答问题。如教师讲授“绝对值概念”时，给出例题：x、y为有理数，已知x=3，y=4，求x-y的值。对于这样的问题，刚刚开始接触绝对值的学生，往往很难下手，可以引导学生先分别求解x、y，再以讨论的形式求x-y的值，即巩固了绝对值的概念，又提高了学生的解题技能。
3.易混概念对比练。易混概念是学习中的难点，既要讲清相同点和相异点，还要加强对比练习。如讲授“乘方”，为了使学生正真理解乘方的定义，可给出习题，学生通过练习比较既掌握了它们各自的特点，又能区别它们的相异点。
五、归纳延伸，师生共同探究答疑解惑
一、 强化审题习惯，避免失误，培养学生的计算能力和变形求解能力
在中学数学中，培养学生准确的计算、求解能力是主要任务之一，而在这方面学生恰恰容易出现一些失误。其原因之一是“轻敌”，认为都会做只要做出来就没错，二是只注意方法技巧的运用，不注意审题，不论计算、化简还是解方程、解方程组，认为都摆在那儿，题目没有什么可审，对题目要考你什么，须注意什么，哪些地方容易出错根本不想，导致不必要的失误。例如：计算（a-b）÷（a+b）?(1/(a+b）)，这是一个乘除混合运算题，同级运算应是先算前面的。题目虽然简单，但也要认真审题，否则容易得出“a-b”的错误结果。
二、要求学生动笔之前，先说出题目所具备的特点，培养学生的观察能力
观察能力在人的一切实践活动中具有重要的作用。一个人如果对周围的事物不能进行系统周密的观察，他就不能获得大量的感性知识，他的思维就缺乏坚实的基础。一些技巧性题目，肯定其特点也会更加突出，如果发现了这些特点就容易找到解决它的技巧和办法。如（1/3）2000×3 2001 底数（1/3）×3＝1指数2001＝2000+1所以（1/3）2000×3 2001 ＝(1/3)2000×32000×3＝［(1/3) ×3］2000×3＝3。再如已知a+(1/3)＝3 求a2+(1/a2)的值。根据已知条件求值，须把要求值的代数式用含a+1/a的代数式来表示。学生如果还观察不出特点来，不妨让学生先计算（a+1/a）2。 （a+1/a）2＝a2+2+1/a2 不难发现a2+1/a2＝（a+1/a）2-2。
不先让学生动笔解题，而是先让学生说出其特点，既降低了难度便于学生寻找解题技巧，又培养了学生的观察能力，对学生的发展将产生重大影响。
三、一题多变、一题多思，培养学生思维的灵活性和应变能力
一题多变、一题多思是培养学生思维的灵活性和解决问题的应变能力和良好途径。《几何》上有一题我做了如下处理。
圆O1和圆O2外切于点A，BC是圆O1和圆O2的公切线，B、C为切点。求证：AB垂直AC。（证明略，图略）此题两圆相外切的典型题。在证完此题后进一步提出以下问题让同学思考，讨论，探讨。
1、 延长CA交圆O1于D，连结BD，BD是直径吗？
2、 连结CO2并延长交圆O2于E，B、A、E共线吗？
3、 BC2＝BD?CE吗？
4、 过E作圆O1的切线EG，G为切点，能得EG＝CE吗？
通过以上题目的多变多思，不仅能复习回顾综合应用前面的知识，而且使学生意识到一个图形、一个题目会有多种变化，所学过的知识、技能、方法都可能一展风采，因此所学知识、技能、方法、技巧不是单一的，更不是只针对一个问题的。大千世界，千变万化，等待我们去解决的问题也是形形，因此要把学过的知识技能方法技巧学牢、学活，培养自己思维的灵活性和解决问题的应变能力。
四、多对比、类比，培养学生对问题的辨别能力
有比较才有鉴别。在例题习题教学中有意识地进行对比类比，既能使学生对知识内容有更进一步的理解，又能使学生进一步认识各种知识之间的联系和区别，更能培养学生对问题题目的分析辨别能力。
在有理数的乘法运算中穿插了两个有理数加法的题目，一是要锻炼学生的审题习惯，二是让学生思考回味有理数乘法与有理数加法的区别。
而在授完有理数除法一节课堂小结时的四个计算中有两个是有理数相乘，一是进一步锻炼审题习惯，二是思考回味有理数除法与乘法的相似之处。
教学中通过多对比、类比有助于使学生弄清知识、方法间的联系与区别，有助于学生的审题习惯和辨别能力。
五、鼓励学生的不同见解，鼓励学生质疑，培养学生的创新、创造能力
怀疑常常是创新的开始。学生有不同看法或提出质疑，这正是求知欲、创造欲的流露，它必将推动学生去思考去探索，从而去发现去创新。
在例题习题教学中，学生之间，学生与老师之间很可能有不同的见解，甚至有学生怀疑所谓的正确的见解、正确的方法，教师都应给予鼓励，并给学生展示自己的见解或发表不同意见的机会，如板演自己的思路见解，讲出怀疑的理由等。这无形中鼓励了学生参与教学、发表不同见解和质疑，在课堂上就形成了一种良好的学习环境和气氛，而这些不同的见解和质疑就是一种创新、创造的萌芽，长久下去就会大大提高学生的创新创造能力。
一、学生学习兴趣的衔接问题
学习兴趣是对学生学习活动或学习对象的一种力求趋近或认识的倾向。如对数学有兴趣，则能唤起学生的求知欲，能推动学生去克服学习上的困难。“灌”和“压”的办法，使不少的小学教师把数学课堂教学教得枯燥无味，使不少学生听到数学就头痛，对数学学习 “望而生畏”。在教师的严加管束下，学生虽然没有兴趣，但也只得被动地勉强应付。可到了中学，强调自觉学习，教师稍一放松督促辅导，学生就对数学敬而远之。学生对数学缺乏兴趣，会引起动机与效果间的恶性循环。所以，在小学，教师要以鼓励、诱导、启发等教学方法，使学生树立学习的信心，进而培养他们的学习数学的兴趣。中学教师也要继续注意激发学生的学习兴趣问题。这是一项极其重要的衔接工作。
二、教学内容的衔接问题
从整体上讲，小学数学是中学数学的基础，中学数学是小学基础的引申和发展。小学教师在使学生认真学习小学数学的基础知识和技能的基础上，特别要把握好四个衔接点的教学，为中学数学的教学做好渗透和铺垫工作。
（1）算术数与有理数的衔接。学生在小学阶段只学过算术数（整数、分数、小数），进入初中后，引入了负数概念，把数的范围进一步扩大到有理数范围，数的计算也相应地从加、减、乘、除四则运算增加了乘方、开方运算。这次过渡，负数的引进是关键。这就要求教师必须讲清有理数的特点。为了搞好知识间的过渡，一要淡化概念，如讲代数式的概念时，先让学生认识各种形式的代数式，再去归纳代数式的概念。二要务必使学生熟悉算术的四则运算，弄懂符号法则有理数的运算，即可轻而易举过关。
（2）数与式的衔接。初一代数第一章代数初步知识中，引进了代数式的概念，进而研究有理式的运算。这种由数到式，就是从特殊的数到一般的抽象的含字母的代数式的过渡，是数学上的一个大的转折点，实现了由具体到一般，由具体到抽象的飞跃，意义十分重大。这次过渡，代数式的概念是关键，使学生明确“式”也具有数的一些性质，以及字母表示数的意义。不过，在小学里学生已接触过用字母表示数的形式，如简易方程中的未知数X，一些定律和公式也用字母表示，初步体会到字母比数更具有一般性。所以，教学中应揭示数与式的联系和区别，数可以看成是式的特殊情况，数的运算可以看成是式的运算的特殊情形。此外，还应加深对字母的认识，A可以表示正数、负数，还可以表示0，学生易于接受，同时还要引导学生从式的观点来看待数的问题，便更有居高临下之感。
（3）由算术四则运算到列方程解应用题的衔接。小学应用题是用算术法解题，是把未知数放在特殊的位置，用已知数求出未知数。进入初中后，用列方程来解应用题，把未知数用字母来代替，根据已知条件设法找出等量关系，列出方程，求出未知数。刚开始，有的学生因为习惯用算术法来解题，对于列方程解应用题不够重视。这时，教师应选择一些用列方程解此算术法简便的应用题作为范例，用两种方法进行对比，让学生体会到列方程解应用题的优越性。布置学生的课外作业时，也可以要求用两种方法解题，从而激发学生的学习积极性，同时还要重视灵活运用知识，培养分析问题和解决问题的能力。
（4）从“实验几何”到“论证几何”的衔接。小学数学里学习的几何初步知识，是通过让学生量一量、画一画、拼一拼、折一折得到一些几何概念，基础是属于实验几何的范畴，往往侧重于计算，缺少逻辑论证。学习中学平面几何的关键在于需要逻辑推理论证的能力。而在小学，这方面恰恰是薄弱点。从“实验几何”发展到“论证几何”，过渡的桥梁则是逻辑推理论证能力。在小学数学教学中，可以如下几方面做好衔接工作。①充分发掘小学数学教材里潜在逻辑推理因素。②在应用题教学中，逐步让学生说出分析推理过程，并学会用语言和数学符号表达数量之间的关系。③在几何初步知识教学中，适当安排具有推理论证因素的练习题。
三、教学方法的衔接问题
目前，“衔接”上最大的问题是教学方法的严重脱节。小学教学进度慢、坡度缓；而中学教学进度快、坡度大。小学直观教学多，练习形式多；而中学直观教学少，练习形式少，教师辅导也少。小学重感性知识，口头回答问题多；而中学重理性知识，书面回答多。小学强调直观演示、偏重形象思维；而中学强调推理论证，偏重抽象思维。所以，学生刚进中学感到不适应。现行的九年制义务教育数学教材，已明显渗透了初中数学知识。为此，初中数学教师应注意研究小学的数学教学方法，吸取其中优点，针对初一新生的特点和习惯改进数学教学方法。要认识新旧知识之间联系，用已有的知识和技能来学习新的知识和技能，这种教学方法一般都能收到较好的效果。在初一阶段，特别要注意新旧知识的衔接。如：复习算术解法结合代数解法进行列方程解应用题的教学，复习整数、分数(小数)的混合运算，为学习有理数的混合运算作准备。
关键词：数学教学；当堂检测；设计理念
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）23-089-01
“学讲方式”是通过学生的“自主学习”“合作学习”来达到一定学习效果的一种学习方式。那么，教师如何才能做到对学生的课堂学习起到监控作用呢？”当堂检测案“由此应运而生了。教师运用”当堂检测案“可以充分的了解学生对当堂课所学的知识的掌握和运用情况，从而帮助教师调整自己的教学进度，改进自己的教学方法。“当堂检测”是一种简单、有效的检查方式。当然，在使用“当堂检测”的时候要注意一些问题。
一、当堂检测要面向全体学生
在制定当堂检测案的时候要面向全体学生，题目要求不要太难，全班只有少部分的优等生能够完成，这种检测不能起到检测的目的，反而会大大削弱大部分学生学习的积极性；当然题目也不能太简单，所有的学生都能完成，这也起不到培优补差的效果。所以，作为一名初中数学老师，在钻研教材的基础上还要认真的研究学生，了解他们的学习，了解他们的心理。只有这样才能制定一份较好的，适合的当堂检测案。
二、习题的内容要紧扣重点
“当堂检测案”在注意面向全体学生同时，教师还要注意“当堂”二字。这里所指的“当堂”，意思是说老师在编写“当堂检测案”的时候要紧扣围绕本节课所要达到的教学目标，把握学生应该掌握的重点、难点来设计练习题。通过当堂课的练习使学生进一步掌握本节课的重、难点知识和能力。例如，教学《有理数的乘法和除法》，这节课的教学目标是：
1、会进行有理数的乘法运算，能用乘法运算律简化运算；
2、会把有理数的除法运算转化为乘法运算；
3、会进行有理数的乘除混合运算。
教师可以根据本节课的教学目标设计了几道计算题，让学生当堂完成，教师可以根据学生完成情况来了解学生的学习情况。
教师的当堂检测紧紧围绕本节课的学习目标，通过这种针对性的练习让学生进一步的灵活运用有理数的乘除法额运用规律。当堂检测的内容不需要多么的丰富或是太多，只要能够体现本节课的知识点或是能够帮助老师了解学生对知识的掌握情况就可以了。
三、当堂检测的方式灵活多样
当堂检测目的是通过一定的练习来了解学生对本节课知识的掌握情况，教师可以根据每一节课的具体内容来设计练习，同时作为一名初中数学教师，我们在制定检测案的时候，决不能拘泥于练习的形式，对于比较简单的内容，教师可以采用口答的形式来检查学生，对于一些计算题，教师可以通过几道计算题让学生 直接到黑板板演，对于一些实践操作题，教师可以让学生利用课外的时间来完成。
四、当堂检测要落到实处
当堂检测要落到实处，意思是说教师对于每节课的当堂检测不能流于形式，不能为了检测而检测，教师要让检测真正的发挥他应有的作用。
首先，教师要将练习从题型，题量，内容上制定相应的练习，将目标检测落到实处。
另外，在每节课检测时候，教师要及时对练习进行批改，可以面批，也可以小组互改，教师要及时对学生练习的情况进行整理，对学生错误的地方进行讲解，及时的将错题落实到位，也可以要求学生整理所有的错题，帮助学生以后复习。
最后，教师对于当堂检测的结果要向学生及时的公布，让学生了解自己的情况，教师决不能对考试的结果不闻不问，或者对学生的成绩大加指责，使他们失去信心。
当堂检测从教师层面来说可以帮助教师及时、全面的了解学生，使自己的教学有的放矢；从学生层面来说，可以对学生进行一对一的检测，从而鼓励先进，促后进，给好的学生以鼓励，给较薄弱的学生形成压力，从而产生动力，使其上课更加认真。
五、当堂检测要及时批改
当堂检测第一要落实到“当堂”上，当堂包括本节课的知识点，包括本节课的练习，第二要落在“检测”上，“检测”是指练习、测试等检查方式。如果教师对于学生的当堂检测试卷没有及时批改，或根本没有批改，那么，教师是不可能了解学生的学习情况的，又何谈改进教学方法呢？再说如果教师经过很长时间才批改试卷，那么，也不能及时了解学生的情况。更不能及时调整自己的教学。
总之，教师只要能够灵活运用好当堂检测案，就可以有效的提高课堂教学效率，全面提高课堂教学质量。教师在教学过程中如果能落实好“学――测――评”，从而实现教与学的有效协调。教师如果能够认真实施当堂检测案，及时进行反馈，及时调整自己的教学，确保完成教学任务。
作为一名初中数学教师，我们不仅要在教学方法上、教学手段上下功夫，更要在课堂练习上多多思考，从而充分调动学生学习的积极性，提高他们学习的兴趣。
参考文献：
[1] 《杜郎口旋风》，李炳亭，山东文艺出版社，2006年7月
北师大版初一数学上册知识点有哪些你知道吗？学习数学只依靠一些学习方法还是难以说很完善的，如果对它没有兴趣不了解学习的意义还是很难静下心来在这上面下功夫的。共同阅读北师大版初一数学上册知识点，请您阅读！
初一上册数学知识点一、：代数初步知识。
1.代数式：用运算符号“+-×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式(字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式)
2.列代数式的几个注意事项：
(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“?”乘，或省略不写;
(2)数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“?”乘，也不能省略乘号;
(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a;
(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×应写成a;
(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式;
(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a.
二、：几个重要的代数式(m、n表示整数)。
(1)a与b的平方差是：a2-b2;a与b差的平方是：(a-b)2;
(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b,则三位整数是：100a+10b+c;
(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n;偶数是：2n，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1;
(4)若b>0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2.
三、：有理数。
1.有理数：
(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;
(2)有理数的分类:①②
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;
(4)
2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
3.相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;
(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;
(3)
4.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
(2)绝对值可表示为：初一上册知识点绝对值的问题经常分类讨论;
(3)
(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|?|b|=|a?b|,
5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数
四、：有理数法则及运算规律。
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加，仍得这个数.
2.有理数加法的运算律：
(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
4.有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.
5.有理数乘法的运算律：
(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.
6.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.
7.有理数乘方的法则：
(1)正数的任何次幂都是正数;
五、：乘方的定义。
(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;
(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;
(3)
(4)据规律底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.
2.
3.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
4.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.
5.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减;注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.
6.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.
六、：整式的加减。
1.单项式：在代数式中，若只含有乘法(包括乘方)运算。
或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2.单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数;系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
3.多项式：几个单项式的和叫多项式.
4.多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项;多项式里，次数项的次数叫多项式的次数;注意：(若a、b、c、p、q是常数)是常见的两个二次三项式.
5.整式：单项式和多项式统称为整式.
七、：整式分类为。
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
3.去(添)括号法则：去(添)括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号;若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
4.整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.
5.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大(或从大到小)排列起来，叫做按这个字母的升幂排列(或降幂排列).注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂(或降幂)排列.
八、：一元一次方程
1.等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”!
2.等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式;
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.
3.方程：含未知数的等式，叫方程.
4.方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;注意：“方程的解就能代入”!
5.移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
6.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).
8.一元一次方程的最简形式：ax=b(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).
9.一元一次方程解法的一般步骤：整理方程……去分母……去括号……移项……合并同类项……系数化为1……(检验方程的解).
九、：列一元一次方程解应用题。
(1)读题分析法:…………多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法:…………多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.
十、：.列方程解应用题的常用公式。
七年级数学上册学习方法一、看书习惯
这是自学能力的基本功。根据美国和前苏联对几十所名牌大学的调查表明，那些卓有成就的科学家有20%~25%的知识是来自学校，而75%~80%的知识是靠他们离校后通过工作、自学和科研来获得的。根据心理规律，初中学生已经具备阅读能力，但由于在小学受直观模仿习惯的影响，使众多学生误把数学课本当作习题集。所以从初一开始就应重视纠正自己的错误学习习惯，树立数学课本同样需要阅读的正确思想，并注意总结如何阅读数学课本的方法。
1.每一节课前都务必养成预习的习惯，努力在预习中发现自己不懂的问题，以便能带着问题听讲。
课堂上注意老师如何阅读课文，从中培养自己掌握如何分析定义、定理中的关键字、词、句以及与旧知识的联系。
2.经常归纳总结学过的知识，培养复习习惯。
刚开始时，可跟着老师总结一节课或一个单元的内容，一个阶段后可根据老师提出的复习提纲，自己带着问题去钻研课文，最后过渡到由自己归纳，促使自己反复阅读课文，及时复习，温故知新。
二、笔记习惯
“好记性不如烂笔头”。中学数学内容丰富，课堂容量一般比较大，为系统学好数学，从初中时期就必须重视培养做课堂笔记的习惯，课上做笔记还可约束精力分散，提高听课效率。一般，课堂笔记除记下讲课纲目外，主要是记老师讲课中交代的关键、思路、方法及内容概括。特别注意随时记下听课中的点滴体会及疑问。在“听”与“记”两个方面，听是基础，切莫只顾“记”而影响“听”。
为了使课堂笔记逐步提高质量，同学间应进行适当的交流，相互取长补短。
三、动手实践、合作交流习惯
“实践出真知”。动手实践能集中注意力，提高学习兴趣，能加深对学习对象的印象和理解。在动手实践中，能把书上的知识与实际事物联系起来，能形成正确深刻的概念。在动手实践中，能手脑并用，用实际活动逐步形成和发展自己的认知结构，能形成技能，发展能力。在动手实践中养成“做前猜想-----动手实验-----操作结果-----归纳总结”的习惯。
“三人同行，必有我师”。同学间相互交流学习结果，各抒己见，取长补短。能达到动脑、动口、动手、激发思维、活跃气氛、调动积极性的作用。
四、作业习惯
数学作业是巩固数学知识、激发学习兴趣、训练数学能力的重要环节。有些同学视作业为负担，课后只凭着课堂上的印象匆忙作答，往往解法单一;有的还字迹潦草、马虎粗心、格式不规范、甚至抄袭。这就错失了训练良机，严重地响了学习效果。应该正确认识做作业的目的性，培养良好的作业习惯。良好的作业习惯应包括：
1.要养成作业前看书的习惯。
做作业前要认真阅读复习课文、观察例题的解题格式、步骤和方法。这正是“磨刀不误砍柴功”。
2.要养成审题的习惯。
读题后，先弄清题目是什么题型、它有什么条件、有哪些特点等。
3.要养成独立作业的习惯。
若有特殊情况，不能如期完成，可向老师说明情况：如遇到难题不会做时，可向老师或同学请教，弄懂以后独立完成。切不可为了应付任务而去抄袭。
4.要养成对已做作业进行再思考的习惯。
不少同学不重视对已做作业进行再看、再思考，从而导致错误做法在头脑中形成定势。有的题目做错，老师订正过了，你还错，就是这个原因。常此下e5a48de588b662616964757a686964616f31333335333163去，在新知识和做新作业中会出现更大的错误，为了巩固作业的成果，同学们在每次做新的作业之前，务必对前一天的作业进行反馈。反馈内容包括：(1)题目类型;(2)解题思路与方法;(3)出错问题的原因;(4)订正出错问题;(5)收集出错问题(就是将自己出错的问题专门收集在一个地方，标注出以上四项内容，以便将来复习时纠错)。
五、思维习惯
科学的思维方法和良好的思维习惯是开发智力、发展能力的钥匙。心理学告诉我们，初一阶段是学生从形象思维向抽象思维转变的重要时期，所以这时候一定要重视良好的思维习惯的培养。根据初中数学内容的特点，良好的思维习惯包括逻辑性、周密性、发散性、收敛性、逆向性。
1.逻辑性。
这是要求学生“答必有据”切忌想当然。在推理演算过程中，能够懂得其中每一步的依据，不懂之处就不写，设法弄懂之后再继续推理演算。
2.周密性。
这是要求学生全面的考虑问题。如：已知点C在直线AB上，线段AB=8cm，线段BC=3cm，求线段AC的长。全面考虑问题就要分点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上两类进行讨论：当点C在线段AB上时，AC=AB-BC=8-3=5cm;当点C在线段AB的延长线上时，AC=AB+BC=8+3=11cm。培养这种习惯，应特别注意老师在课堂上指出的“易出错或想不全”的情形与原因。
3.发散性。
这是要求学生运用多种办法解决一个问题。培养这个习惯，要特别注意老师在讲一题多解时的思考方法、问题推广延拓时的分析，在数学学习过程中努力养成寻求一题多解，一题多变的习惯。
4.收敛性。
这是在发散思维的基础上进行归纳总结，以达到多题一解、举一反三。发散与收敛两种思维综合运用可相得益彰。
5.逆向性。
这是要求学生把某些公式、法则、定理的顺序颠倒过来考虑。如计算：
(-0.38)×4.58-0.62×4.58，可以逆向运用乘法分配律，就得到简便计算的方法
初一上册数学知识点总结有理数及其运算板块：
1、整数包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。
正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。
2、正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。
3、绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“||”表示。
整式板块：
1、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式。
2、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3、整式：单项式与多项式统称整式。
4、同类项：字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
一元一次方程。
1、含有未知数的等式叫做方程，使方程左右两边的.值都相等的未知数的值叫做方程的解。
2、移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项等。
其实，七年级上册数学知识点总结还包括很多，但是我想，万变不离其宗。
一、多种类型课的变式教学
1．概念课中的变式教学 教学实践中发现，有些学生虽然能背熟定义、公式，但对概念的理解却十分肤浅，这些学生利用所学知识解题时，常常发生错误。为了能使学生牢固地掌握概念的本质属性，确定概念的内涵和外延，在讲清每个概念的来龙去脉后，教师还应该适当地采用变式训练。 例如在上了“绝对值”的概念后，为了让学生进一步理解绝对值的概念，首先应让学生理解绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离；其次，应让学生理解绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。第三，绝对值的数学符号表达式|a|=a(a>O)；|a|=-a(a10。下列变式例题可以考察绝对值的概念。例题：判断下列语句是否正确?
①没有绝对值是一3的数；
②绝对值是它本身的数是0；
③任何有理数的绝对值都是正数；
④0是绝对值最小的数；
⑤如果两个有理数不相等，那么这两个数的绝对值也不相等；
⑥任何有理数的绝对值都大于它本身；
又如在上了“同类项”的概念后，教师可设计如下的练习进一步巩固同类项的概念。若下列每对都是同类项，试问括号内应填上什么样的数或字母：
①―5x2y3和x()y3
②―5x2y3和x()y()
③―5x2和x()y3
④―5()2()()和x2y3
数学中有许多概念、法则、公式、定理和方法，因内容相近致使学生在学习中发生混淆。演变、辨析、对比，就是对某一问题给出有正有误的答案，让学生辨别哪个正确，哪个错误。并说出根据，这样的“变式教学”能促进学生把握问题的实质，使学生客观地评价事物，提高辨别是非的能力，培养思维的批判性。
2．例题课中的变式教学
目前，数学教师在例题讲解方面采用的是“教师讲例题，学生仿例题”的公式化的教学，这种单纯性地讲授和简单地套用阻止了学生思维的发展.而教材中的例题富有典型性和深刻性，那么如何引导学生充分利用例题揭示其深刻性，领悟其奥妙性，这就要求我们教师对课本例题进行“深加工”。
在“一元二次方程的应用”中的例题：[例题]某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。如果商场计划每月赚得利润8000元，请问售价应定为多少元?每月应进货多少?若老板想仓库租金尽量少?售价应定为多少元?
[变式1]该种衬衫每涨价2元，售量减少20件。又怎么样呢?
[变式2]该种衬衫每涨价3元，售量减少20件。想赚得利润12000元，请问售价应定为多少元?每月应进货多少?
[变式3]某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。商场能否每月赚得利润10000元，请说明理由?
[变式4]某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，该种衬衫每涨价1元，售量减少10件。商场每月能赚得最大利润为多少元?售价应定为多少元?每月应进货多少?
本题是列一元二次方程解应用题。列一元二次方程可以解决生活中的行程、工程、浓度、利润等一些问题，在设未知数解决这些问题时，要审清题意，直接或间接设好未知数，找对等量关系。在教学中，本人抓住问题的本质，对题目进行精心变式，达到举一反三的效果。
3．复习课中的变式教学
复习课教学旨在引导学生将学习的知识系统化，同时教师适当地精选习题，训练学生的解题技巧和方法。目前，不少教师在上复习课时，总是让学生做大量的习题，诸如第一类练习，第二类练习等，企图覆盖各种习题和内容的解法，这样的题海战术必然会造成学生负担过重的后果。为了避免这一弊端，本人在上复习课时采取了精选习题进行变式训练的方式。在“有理数混合运算”的复习课教学中，本人安排如下的练习：3×(2)2-6÷(-3)+(-1)101×|-2|，学生完成后，可将后面的底数-1换成(1-7)÷6，再逐步增加中括号或绝对值得到如下三种变式题。
[变式1]3×(2)2-6÷(-3)+(1-7)÷6]101×|-2|
[变式2]3×[(2)2-6]÷(-3)+[(1-7)÷6]101×|-2|
[变式3]3×[(2)2-6]÷[(-3)+[(1-7)÷6]101×|-2|
通过以上三种不同形式的变式练习，学生对有理数混合运算法则有了深刻的理解，特别是运算顺序，使学生了解到“ll”不仅代表绝对值符号，而且具有括号的作用。
不管是哪种变式教学，重要的是要选好“变式点”，让学生在变式中巩固概念，掌握方法，提高数学学习的能力和水平。通过对教学中的定理和命题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，暴露问题的本质，揭示不同知识点的内在联系。通过“变式教学”，使一题多用、多题重组的教学设计能增加学生的新奇感和参与感，教学、学习中的兴奋点不断闪现，从而激发学生的好奇心、求知欲和创造力，提高学生参与教学活动的兴趣和热情，取得较好的教学效益。
二、变式教学应注意的问题
变式教学不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习．的需要。遵循学生的认知规律而设计教学变式，其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧，完成“应用一理解一形成技能一培养能力”的认知过程。因此，数学变式设计要巧，要有一定的艺术性，要正确把握变式的度。一般地，设计数学变式，应注意以下几个问题：
1．变式数量的确定
数学变式的数量确定是一个首要的问题，原因是：第一，课堂时间有限，这个客观条件促使我们必须考虑问题变式的数量；第二，即使将数学学习时间拓展到课堂以外，我们仍不可能提供并且教授学生关于某个特定数学内容的所有变式，因为不可能穷尽所有的变式，我们也没必要提供并且教授学生关于某个特定数学内容的所有变式。所以，数学教学就是教会学生通过体验有限变异这样一个过程学会面对未来变异的本领，其实这种理念在数学教学中早有体现，如学会迁移、举一反三、触类旁通、灵活运用数学知识和数学方法、通过解有限道题的练习获得解无限道题的能力就是这种理念的早期提法和朴素表达。
2．变式问题的合理性
由于变式数量的有限性，所以必须选择好的问题进行变式，这里所说的好的问题主要是指：一是问题必须包含合理的变异，所谓的合理，既指形式上的，也指内容上的，还指变异数量上的，形式应是有所变化的，内容应是能够接受的，数量应是恰如其分的；二是问题必须包含尽可能多的不再重复的变异，只有这样，有限问题才能包含尽可能多的变异，从而也就构成有效的问题变式。
3．变式要遵循的原则
一、同课异版教材研读
简算教学中“运算定律”的教学是非常重要的，为了能更好地深入研究，笔者以“交换律”一课内容为例展开研究。“交换律”是人教版四年级下的教学内容，教材中的安排是将加法交换律和乘法交换律分开来的，但由于对交换律形式的思考，很多教师将两者整合在一起教学，具体如下：
【传统案例】
1. 新课导入：对“朝三暮四”的理解
2. 探究新知
（1）3+4=4+3，通过对算式的观察，探究加法交换律，练习巩固。
（2）在加法交换律的基础上继续猜想验证，探究乘法交换律，练习巩固。
3. 课堂小结
整个过程切入点足够新颖，学生在课堂上的回答也是频频出彩――“我发现3+4的和与4+3的和是一样的，所以交换加数的位置，和不变。”“我觉得乘法和加法一样，比如说3×4=4×3。”“我也同意，不过0不可以……”“我发现加法交换律和乘法交换律其实是一样的。”
确实，在该案例中，教师对教材进行了一定的处理，既变换了情境，也整合了教学内容，调整呈现方式。教学后的课堂评价也不错，但是仔细思考会发现，虽然教师将加法交换律和乘法结合律整合在一起教学，可是在实际课堂中展开还是有先后顺序的，先学加法交换律，后学乘法交换律，某种程度还是将这两个内容割裂开来，并没有从本质上进行沟通。从课堂上学生的回答也可以发现，学生对于这两者的内在联系已经有所体会，觉得是可以“相通”的。
对于学生“出乎意料”的表现与“热闹非凡”的课堂氛围，就能认为这样的教学设计是有助于学生学习的吗？其实这样的设计只是知识表面的联结，并没有触及运算定律本质的教学，鉴于这样的思考，笔者再次从教材入手展开研究。
笔者将“人教版”和“北师大版”关于《运算定律和简便计算》这一单元的知识编排整理如下：
人教版 北师大版
编排位置 四年级下册 四年级上册
已有知识基础 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
笔算多位数除以两位数 笔算多位数加减法
笔算三位数乘两位数
呈现方式 独立单元 三位数乘两位数乘法单元内
知识编排顺序 加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
简便计算（运算定律的应用及算法多样化） 乘法结合律
乘法交换律
加法交换律与结合律
乘法分配律
是否有问题情境的呈现 全部 乘法结合律
乘法分配律
通过以上的对比，可以看出：
1.两个版本教材都把“运算律”的内容放在了四年级，知识点的内容都包含加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的五大定律及运算定律的应用。从知识点编排的紧凑程度上看，两个版本的编排都非常紧凑，尤其是人教版，知识点编排非常密集。
2.两个版本明显的不同表现在五大定律呈现的顺序上。人教版是先学加法运算律后学乘法运算律；北师大版是先学习乘法结合律，然后在其巩固练习中直接呈现乘法交换律，接着过渡到加法交换律与加法结合律上，最后出现乘法分配律。虽然说这样安排可能是出于顺应某些学生的已有知识经验的考虑，比如说，虽然我们没有进行系统的交换律的学习，但是在以前的学习过程中，实际上学生已经对这两个规律有所体验，甚至还有所应用，像解决“有5个盘子，每个盘子里有3个苹果，一共有多少个苹果？”学生回答5×3和3×5都是对的，这说明他们已经在利用乘法交换律来解决问题了，但是这不代表学生已经学过了两个交换律了。“学生不仅要学习结果性内容，也要学习过程性内容”。如果教师认为学生已经有了相关经验就等同于学会了某个知识的话，那么教学就进入了只重视学习结果的误区。因此，笔者还是认为先学习加法运算定律比较符合学生知识结构的构建。
仔细分析可以发现，如果能够抓住知识点的联系和迁移，又能缓解学生学习节奏过于紧密的情况，显然是两全其美的。因此，笔者尝试将这个单元的内容重新进行调整：
将单元内容重新整理后，不再是按照运算来分，而是按照“运算律”的共同点来划分，这样更可以挖掘运算律的本质内涵，也可以缓解学生学习知识点过于紧凑的弊端。基于这样的考量，笔者重新设计了“交换律”这一课。
【改进案例】
师：同学们，我们已经学过了哪些运算？
生：加、减、乘、除。
师：这都是我们已经学过的运算。现在老师这里有一个式子，我们一起看：ab=ba（课件出示），你觉得这个可能是哪些运算符号呢？
学生猜测：+、-、×、÷……
师：看来同学们有不同的想法，到底表示什么运算符号呢，你能不能想办法来验证一下。在想办法之前我们先来看一下要求（课件出示要求）：
（1）你认为可能代表哪种运算符号？或者不可能是哪种运算符号？
（2）自己想办法来说明你的猜想。
（3）把你的想法写在作业纸上。
学生静静地在课堂上思考着，动笔写下自己的想法。
……
整节课学生都围绕着“表示什么运算符号，自己想办法验证”来展开。讨论到“+”时就有了加法交换律，讨论到“×”时就有了乘法交换律，讨论到“-”和“÷”时也明白了为什么没有减法和除法的交换律。真正从本质上理解交换律的内在含义，并学会运用加法意义和乘法意义来解释验证交换律的正确性。让学生不断地在思维上突破并融合，相信学生经历了这样的学习过程，对于交换律的本质属性应该有了进一步的了解。
同一节课研读不同版本的教材，是为了更好地理解知识点在体系中的地位和结构，可以将单独的知识点放入单元体系中去观察和对比，通过的比较方法来分析教材，让自身对教材中知识点前后的逻辑关系和知识点的本质有更好的理解，同时，这样研读不同的教材所收获的内容，也可以作为教师自身的知识储备。
二、基于小、中学教材衔接的思考
同一教学内容在小学阶段不同版本教材中虽然编排顺序和体系会有所不同，但是对学生小学阶段所需掌握的要求是差不多的，课标里明确了第一、二学段简算内容的掌握要求。但许多教师有时也会遇到这样的情况――在教学有些简算内容时，对于算理无法给出恰当的解释，或者能够给出的解释超出了学生的知识范围。面对这种情况，大多数教师的做法就是回避这些问题，如以下这个案例。
【传统案例】
五年级上册，要求怎样简便就怎样算：
（1）4.25-1.64+8.75-9.36
（2）0.9+9.9+99.9+999.9
习题（1）教学：要求学生仔细观察习题，引导发现数据特征，学生很快发现有两组数据能凑整，分别是4.25和8.75，1.64和9.36。于是解答此题为：（4.25+8.75）-（1.64+9.36）。随后教师反问学生，这道题用到了什么运算定律，学生会说用到加法结合律还有减法的性质，教师听到学生这样的答案也挺满意，觉得学生掌握得还不错了。
习题（2）教学：引导学生观察算式特征，学生快速发现这里每个数的末尾都是9，教师引导学生思考，看到9会想到什么，学生经过思考会说出再加1就能凑整，于是解答此题为：（0.9+0.1）+（9.9+0.1）+（99.9+0.1）+（999.9+0.1）-0.4。随后教师反问学生，为什么要减去0.4，学生有了之前的引导思考，也能顺利回答出之前加了4个0.1，所以后面要减去0.4，多加了要减去。
仔细思考教师对于这两题的教学，从表面来看似乎没什么问题，但深入研究就会发现还是有问题存在的。在做了这两题后，笔者曾经进行过一次学生的课后访谈：
（1）4.25-1.64+8.75-9.36 （2）0.9+9.9+99.9+999.9
师：这题中，为什么1.64和8.75交换位置后加减符号也变了呢？（即变成4.25+8.75-1.64-9.36）
生1：这个……我也不知道，老师这么说的。（犹豫不确定）
生2：我知道，这是在用加法交换律，后面的使用减法交换律……（笃定的语气）
生3：不对！这里使用减法的性质，没有减法交换律。（马上反驳） 师：那这题你是怎么想到这样去做？
生4：因为末尾有个0.9啊。（自信的口吻）
生5：因为它要凑整，加上0.1最方便。（思辨过后的语气）
生6：因为这样简便呀。（笼统的回答）
从学生的访谈结合之前教师通常的教学，我们就可以发现：学生对于这两题为何这样简便来计算并没有真正掌握，只是看到外表数的形式的变化，而没有真正理解为何这样变化的本质。其实这两题对于小学生来说要求算出正确的结果并不是很困难，只要教师进行专项训练加以巩固就能达到要求。可是我们的简算教学并不只是停留在会生搬硬套上就可以了，更要挖掘简算的本质。
要深入挖掘知识本质，作为教师不妨把视角放宽一些，来看看第三学段中对相关内容的要求及初中阶段的教材，或许能有一些帮助。
第一学段 第二学段 第三学段
数的运算（简算相关内容要求） 认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步） 探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算 理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算
从《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求来看，可以看出小学阶段重在掌握简便计算的基本方法和技能，能够灵活运用解决一些简单的简便运算；初中阶段重在简便计算的灵活运用，随着数的范围的扩大，将小学阶段所运用的运算律全部纳入到有理数的计算中。
此时，我们来研读初中教材中有理数简便计算的内容可以知道，简便计算的灵活运用主要包括以下几个方面：
（1）互为相反数的两个数可以先加。
（2）符号相同的两个数可以先加。
（3）几个数相加得整数可以先加。
（4）同分母的分数可以先加。
（5）能凑整时可以加括号先分组求和。
习题（1）如果按照初中的运算思路就是符号相同的两个数可以先加，而且减法是加法的逆运算，算式就是4.25+（-1.64）+8.75+（-9.36），这样一来就很清楚，这里用到的就是加法交换律和加法结合律。习题（2）就是体现初中“分组求和”凑整的思想。有了这些衔接的思考，可以进行重新设计。
【改进案例】
（1）4.25-1.64+8.75-9.36
师：大家知道在加法中我们交换位置，结果不变，其实在计算中，只要是同一级运算，改变运算顺序，它的结果也是不变的。加、减是同级运算，乘、除也是同级运算，比如说这里减1.64加8.75交换位置后就是加8.75减1.64，结果是不变的，再利用加法结合律和减法的性质巧妙解答这题。
在常规教学的基础上，教师巧妙地引导学生将加法交换律拓展到了同级运算的交换律，学生在中年级四则运算的学习中，已经知道加、减法是同级运算，所以学生也不难理解。同时又化解了学生对于减法是加法的逆运算、带着符号搬家的理解，注重了中小学衔接的关注，也更为深入地理解了交换律在运算中的本质。
（2）0.9+9.9+99.9+999.9
师：观察算式当中每个数的尾数都是9，这时候我们通常会想到与9凑整的方法，在凑整时也要考虑凑成最方便计算的整数，还要注意“多加要减，多减要加”的规则。像这样特征的算式，我们可以考虑用凑整分组求和的方法来算，可以使计算得到简便，这也是我们常用的一种简便技巧。
在学生基本掌握运算律的前提下，教师对学生的回答要有适当小结，在小结过程中还要渗透中小学衔接的要求，其实这种凑整分组的方法也就是以后初中有理数分组求和的基本技巧，这里提前渗透。如果教师能及时点拨、抓住要领，相信学生能够通过一定的训练来掌握灵活运用运算律的方法的。
摘要：数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学，是所有理科的基础学科，它的概括性、抽象性和逻辑性都很强。不少学生在小学数学成绩较好，到了中学却不令人满意。原因之一：中学教学无论是教学方还是接受方都存在一个与小学教学相衔接的问题。因此，在初中数学教学中，初一是引导入门、打好基础的关键阶段。下面结合本人的教学实践，谈几点关于如何搞好初一数学入门教学的体会和做法，与大家共同探讨：
关键词：初一数学 学生的信任 精讲多练
一、留给学生一个良好的第一印象，取得学生的信任
初一学生的兴趣很大程度受老师的影响，一般地说学生会安静地听完第一堂课，然后对你掂斤估量，觉得你的教学水平怎么样，工作经验如何，并且与心中的楷模――自己的小学老师作比较。学生在这一比较中，是以积极主动的态度来适应你，还是以消极、挑剔的态度来对付你，影响着他们学习兴趣的增减。所以教师要充分利用好第一堂课的机会，凭借教师优异的教学素质，敏锐的数学智慧来感染学生，征服学生，激发起学生学习的浓厚兴趣，这将为以后的教学工作打下良好的基础。
如在初一的第一节课是这样设计的：本节课不安排新课内容，主要介绍一些与数学有关的趣味知识。首先板书“+”、“一”、“×”、“÷”、“=”五个小学数学常用的符号，问学生：你们知道这些符号的含义吗？学生都能纷纷说出其意思。接着又问：你们知道它们是怎样来的吗？学生说不出来。就向他们介绍了常用数学符号的由来。“+”：是15世纪德国数学家魏德美所创，在横线上加一竖，表示增加的意思。“一”：也是魏德美所创，在加号上减去一竖，表示减少。“×”：是18世纪美国数学家欧德莱首先使用，乘是增加的另一种表示方法，所以将“+”号斜了过来。“÷”：是18世纪瑞士人哈纳所创，意思是表示分界，所以用一横线把两个点分开。“=”：是16世纪英国学者列科尔德发明，他认为世界上只有用这两条平行而又相等的直线符号来表示等值最为恰当；接着，还给学生讲了“数学家巧解实际问题的传奇故事”，举例告诉学生从丑常的生活小事（如猜单双等）到高精尖的卫星运动轨道无不存在数学知识的运用，介绍了数学中的7种高效思维方法等；最后动手随意而迅速地剪出五角星，提问学生你能画一个圆刚好经过一个已知三角形的三个顶点吗？你能在一个三角形中画出一个最大的圆吗？又通过简单作图画出了三角形的外接圆和内切圆，还提问学生：你能画一条直线把等腰梯形分成面积相等的两部分吗？有几种分法？学生迅速地说出了几种回答，接着给出了这道题的答案并告诉他们：你们只要认真学好数学，它会告诉你们比这多得多的数学知识，你们可以比老师画得更快，做得更好。这节课涉及的这些问题一般都是学生没有接触过且又都很感兴趣的，因此这节课学生听得很认真，他们充分感受到了数学的趣味性和实用性，对初中数学的学习充满了向望和极大的热情。课后通过了解学生，他们通过这一节课对数学产生了浓厚的兴趣，他们一直喜欢学习数学。
二、进度适当，精讲多练，稳扎稳打
心理学告诉人们，成功和失败在学生心理上会引起不同的情感体验，对学习产生不同的影响，刚进初中的学生所具备的知识能力相对还比较欠缺，如果有的教师“望生成龙”心切，刚开始一味赶进度，以腾出更多的时间来复习或用来补充内容，提高要求，这很容易造成学生对教师所讲知识没时间去消化，理解不透彻，导致作业无从下手，错误率高，测验得不到好成绩，这给学生增加了失败的情感体验。尤其当学生接连遭受失败时，学习数学的兴趣被挫伤，其后果是使学生对数学产生害怕，厌恶情绪，甚至产生“反正学不好，干脆不学了”的想法，这对教师以后的教学工作极为不利。因此初一教学进度要适当放慢。
如有理数的运算中学生能够记住运算法则却不能熟练正确运用等，针对初一学生兴趣和意志力特点，在每一个运算法则学完后都安排有练习课，使学生能够巩固做学知识，为后面的学习打下基础。同时在教学内容的安排上有梯度，课堂上有意识地多安排一些练习的时间，精选一些中下学生“跳一跳，能摘得着”的例题，习题进行训练，让每位学生都有机会体验学习的成就感。
如在有理数的加法混合运算一课中设计了如下练习：0.可以说是人类最早接触的数了。祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是O了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。大家都知道，温度计上的O摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：零碎、小数目的；不够一定单位的数量……至此，大家知道了“没有数量是0，但O不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。”“任何数除以O即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。
总之，初一数学是中学数学的基础，数学又是所有理科的基础学科，初一数学入门教学效果的优差直接影响到学生整个初中阶段的学习兴趣和学习质量，因此对每位中学数学教师，应足够重视，把好初一数学教育这一关。
关键词：兴趣；信赖；进度；分层；分组
中图分类号：G633.6文献标识码：B文章编号：1672-1578（2018）01-0143-01
刚步入初中的新生因课程种类的增多，知识难度的加深，教学内容和思维方式的要求提高，以及学习环境的改变，使得大多初一学生措手不及。因此在初中数学教学中，初一是引导入门，打好基础的关键阶段。下面结合本人的教学实践，谈几点关于如何搞好初一数学入门教学的体会和做法，抛砖引玉，与大家共同探讨，希望能得到各位同行的指正。
1.留给学生一个良好的第一印象，取得学生的信任
初一学生的兴趣很大程度受老师的影响，一般地说学生会安静地听完第一堂课，然后对你掂斤估量，觉得你的教学水平、工作经验如何，并且与心中的楷模--自己的小学老师进行比较。学生在这一比较中，是以积极主动的态度来适应你，还是以消极、挑剔的态度来对付你，影响着他们学习兴趣的增减。所以教师要充分利用好第一堂课的机会，凭借教师优异的教学素质，敏锐的数学智慧来感染学生，征服学生，激发起学生学习的浓厚兴趣，这将为以后的教学工作打下良好的基础。通过与学生进行对话与交流，使他们充分感受到数学的趣味性和实用性，对初中数学的学习充满了向望和极大的热情。课后通过了解学生，他们通过这一节课对我产生了深深的认同、信服和接纳，从此，学生对数学产生了浓厚的兴趣，他们一直喜欢学习数学。知识是美丽的，是法力无边的，我正是用数学迷人的魅力取得了学生的信任和拥戴。
2.进度适当，精讲多练，稳扎稳打
心理学告诉我们，成功和失败在学生心理上会引起不同的情感体验，对学习产生不同的影响，刚进初中的学生所具备的知识能力相对还比较欠缺，如果有的教师"望生成龙"心切，刚开始一味赶进度，以腾出更多的时间来复习或用来补充内容，提高要求，这很容易造成学生对教师所讲知识没时间去消化，理解不透彻，导致作业无从下手，错误率高，测验得不到好成绩，这给学生增加了失败的情感体验。尤其当学生接连遭受失败时，学习数学的兴趣被挫伤，其后果是使学生对数学产生害怕，厌恶情绪，甚至产生"反正学不好，干脆不学了"的想法，这对我们以后的教学工作极为不利。因此初一教学进度要适当放慢。如有理数的运算中学生能够记住运算法则却不能熟练正确运用等，针对初一学生兴趣和毅志力特点，我在每一个运算法则学完后都安排有练习课，使学生能够巩固做学知识，为后面的学习打下基础。同时我在教学内容的安排上有梯度，课堂上有意识地多安排一些练习的时间，精选一些中下学生"跳一跳，能摘得着"的例题，习题进行训练，让每位学生都有机会体验学习的成就感。如我在有理数的加法混合运算一课中设计了如下练习：将下列各式统一成加法后再计算：
（1）1-4+3―2
（2）-2.4+3.5-4.6+3.5
（3）（-7）-（+5）+（-4）-（-10）
（4）3/4-7/2+（-1/6）-（-2/3）-1
这一组题目，由易到难，礼貌，兼顾到每一个层次的学生，以能者多做为原则，使学生思维处于高度兴奋和积极探讨的状态之中，学生接受和输出的信息大大增加，达到了个层次互补提高的目的。
开始阶段也应多一些对作业的讲评，使学生在讲评中获取成功感受，明白失误原因，消除疑难问题。总之，进度要适当，教师教的节奏与学生学的节奏和谐发展，稳步推进。
3.分层导学，激发学习兴趣
乡村初一学生知识水平起点低，理解接受能力差异大，大面积的学困生对课本上的例题，习题感到无从入手，为了扭转这种局面，我在课堂教学中实施分层讲解和实施合作学习，并在练习的设计上适当分层。在课堂教学中对全班学生根据学习基础和座位特点进行了分组，小组内的互助帮扶合作学习，同班学生互相交流，同时结合本校教学教研组"小组合作学习"课题研究要求，我则加大了"优帮差"的比重。指导个合作学习小组根据本组学习实际，定期召开小组长会议，收集、了解存在的问题，研究、讨论解决的办法，加强小组内优生对"学困生"的指导帮扶，学习检查，"兵教兵"互助合作，为"学困生"请教问题，追求进步提供了充分的技术和环境保障，优生在教的过程中也提高了自身对知识的理解、把握和灵活应用水平。
4.和谐师生关系，提高教学质量
良好、融洽的师生关系能使师生双方体验到愉快的情绪，保持良好的合作，从而提高教学质量。在数学教学过程中，要提高數学教学效果，需要师生共同配合。学生亲其师，是因为教师爱其生。初一学生一般都会由喜欢老师而喜欢他所任教的学科，因此教师要在课堂上对全班每个同学都抱着积极、热情、信任的态度，从而使学生从内心升腾起对老师的信赖和爱戴。教师要主动热情地和学生建立良好的师生关系。特别加强与"学困生"之间的交流、了解和指导帮扶，融洽师生关系。要热爱学生，关心学生的学习和成长，营造融洽的师生关系。总之在充满情趣的课堂气氛中开展数学教学活动，让学生在愉快的情感体验中形成良好的学习品质，积极主动地学习，可使我们的教学工作取得事半功倍的效果。
5.结语
新课改倡导对学生进行合作、自主探究的学习方式，而现代社会和教育的发展，不仅要求学生具有基本的能力，还要求学生具备合作意识和合作能力。因此，在数学教学过程中运用合作学习，培养学生的合作意识和能力，具有重要的现实意义。本文结合初中数学教学实践，就数学教学中的合作学习进行了研究。
1 认真组织好合作学习
合作学习中教师已经不再是单纯的知识传授者，教师必须根据学生的实际情况，确定教学目标和任务，组织教学内容，选择教学方法和手段，使学生成为课堂活动的主体。教师负责组织设计教学资源，为学生营造良好的学习氛围，积极引导学生参与到课堂合作学习活动中来，为合作学习顺得开展创造条件。例如，在教“直角坐标系的概念”时，教师要求学生把课桌椅全部并拢，取出两根塑料绳，一头绑上一个箭头，任意指定一个学生作为原点。于是每个学生都有了一对数作为位置。教师请学生观察自己的位置，给出坐标，请相应的学生站起来。例如请第一象限y=x直线上的学生站起来等，课堂气氛相当生动活泼。特别地，坐标原点可以设在不同学生手里，学生没有动，坐标却不同了。这种合作学习经历对学生建立坐标观念，很有好处，而且能调动学生兴趣，连学习成绩很差的学生也乐于学。
2 创设情境，激发学生的兴趣
爱因斯坦曾说：“兴趣和爱好是最大的动力”，学生如果有了对数学思维的兴趣和爱好，就会带着一种高涨的、激动的情趣从事学习和思考，因此如何引发兴趣，激起学生的探索欲望则是学习数学的关键。在初中数学教学中实施合作学习也不例外，只有在合作习中激发起学生的学习兴趣，才能更好地发挥合作学习的作用，提高教学效果。因此，在合作学习实施之初，教师首先应当针对不同课题和内容创设问题情境，以此激发学生的求知欲和学习兴趣。如在“有理数的加减混合运算”内容中（综合练习课），本人设计了“小动物接力赛跑”活动，把学生分成四组，分别代表红队，蓝队，黄队，绿队，各队都从原点出发随着得分情况在数轴上移动，凡答对一题则加上+1、+2、+3分（本队同时相应向左移动）答错一题则加上-1、-2、-3分（本队同时相应向右移动，不同题有不同的分值），看最后谁的得分最多。这样一来，就激发了学生的兴趣，全班同学都带着高涨的情绪来学习，既复习了数轴，又引入新课，让学生很轻松学会有理数加减法则等数学知识。因此，为了更好的实现合作学习，需要我们老师们精心设计，充分调动学生学习的兴趣，让学生更好的参与到合作学习中去。
3 分配好合作目标，培养合作意识和能力
在小组合作学习过程中，要帮助学生明白：自己在合作学习中必须承担一份工作，这份工作对能否完成学习任务很重要，而且学习任务的完成要靠小组伙伴的共同努力，因此大家必须齐心协力，个人不能游离在小组之外。这样才能逐渐让学生懂得怎样合作，逐步提高合作技能。如教完全等三角形这一单元后，让学生以小组为单位，用一节自习课的时间设计一份自测题。在准备过程中，小组成员要共同协商，确定本单元的重难点，然后围绕重难点参考课外习题或书后练习题选择适当的题目作为自测的内容。在选择题目的过程中，他们要把一些基本题以填空、选择、判断、计算的形式作为基本考核内容，而把一些与实际紧密联系的题目或综合性、灵活性强的题目作为提高题，并且在每题目的旁边都写明考查的意图。自测题出完后，有的同学要负责抄写，有的同学要准备恰当的学具，组要负责检查核实。这样，学生在这种活动中就可以体验到合作意识与方法，体验到合作的成功。长期坚持下去，学生就会形成合作意识，掌握合作方法。
4 合理安排教学内容进行合作学习
有效的合作学习就是要很好地完成教学目标，因此有效合作学习的内容应该是教学的重点、难点，在进行这些比较重要的知识点的教学时，如果采用合作学习策略可以使学生主动参与到学习活动之中，对问题进行主动的探究，并通过合作找到解决问题的关键，使学生对知识点的理解更加深刻，掌握得更牢固。比如，在学习七年级上册字母表示数之“去括号”时，去括号法则是本节课的重点，总结去括号法则，并能利用法则解决简单的问题这是本节课的教学目标之一，而去括号法则中的当括号前是“一”进行去括号则是本节课的难点，针对这节课的重点和难点，在教学时教师需要做的工作就是先用实物火柴棒搭正方形，也就是教材引例的实展示，然后根据所列的不同方式的式子，利用运算律去括号，对运算结果进行比较，引导学生清楚每个步骤的依据，培养学生有条理的思考，再请学生进行简单的分析，说出不同与相同之处，最后采取小组合作学习的学习方式，由小组进行充分地研究之后，总结去括号法则，这期间，学生在讨论的过程中很容易并且印象很深地完成了知识的内化，注意到二者的区别，达到很好的效果。
当然，合作学习作为一种有效的学习方式，我们应在初中数学教学实践中合理利用合作学习，让学生真正通过自己合作探究来学习知识，不断提高学生的合作意识和合作能力，提高教学的效果，但为了更科学合理的发挥合作学习的作用，还需要我们广大数学老师在今后的教学实践中，不断摸索，善于总结，只有这样才能更有效的促进数学教学新课改的实施。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2012）11B-0059-01
一堂好的习题课，不仅可以帮助学生巩固基本知识，提升基本技能，解决学生在学习中存在的问题，消除学生的某些困惑，同时还能帮助教师发现自己教学中的不足， 积累教学经验。本文结合初中数学教学实践谈谈习题课如何选题。
一、依靠教材，注重学生基础知识的巩固与基本技能的提高
教材是帮助教师开展教学活动的基本文本，是基本的教学资源。课本习题是专家根据有利于学生巩固知识、提高能力的原则精心筛选的，我们应当结合教学实际从中选择有关习题对学生进行训练。必要时教师还要对教材上的一些习题进行加工改造或重新设计。一般来说，“双基”类习题学生容易上手，答题准确率高，做这类题有助于学生提升自信心，激发学习热情，产生“想学”的愿望。
二、贴近学生，注重深化学生对数学知识、数学思想方法的理解
学生作业中的错误是各种各样的，其原因往往是因为学生对数学知识、数学思想方法的理解不深所致。在平时的教学中，教师应认真对待学生课内外练习中的错误，及时弄清学生错误的原因，找出这些错误的共性，并将其记录整理好，编成错题组。上习题课时，让这些错题重现，通过纠正错误来查漏补缺，达到使学生深入理解的目的。
案例一：计算52-3×[-32+（-2）×（-3）]+（-5）2 。
有理数的混合运算，对初一学生来说，可谓是个难点。对于本题，学生在作业中的错误主要是将-32的计算结果写成9，而且屡做屡错，所以应把它作为一个典型习题要求学生反复练习，强化学生的认识，使学生明白-32=-（3×3），而非-32=（-3）×（-3）。
习题课可从学生作业中的错误出发，让学生进行体现以“纠错、交流”为目的的对话。对话中学生表达个人的观点，理解他人的观点，最终在不同观点的碰撞中提高认识。在交流中指出错误、纠正错误是为了共同形成新的认识、新的观点。对于学生的错误，教师也可以因势利导，随机应变，把学生的错误当做反面教材，认真分析，寻找根源，给学生指出思考的方向，使课堂教学获得高效。
三、联系生活，注重学生应用意识的培养
习题课教学应围绕学生某一阶段所学的数学知识设计一些实际应用问题，让学生在提高分析问题、解决问题能力的同时，增强应用意识。
案例二：要测量不能到达的两个目标A、B间的距离，一种测量方法如下：（1）选择两个观测点C、D，测出它们之间的距离，并按一定的比例尺将它们画在纸上；（2）在点C测出∠ACD和∠BCD的度数，在点D测出∠ADC和∠BDC的度数，在纸上画出点A、B，并量出A、B间图上距离。如何根据比例尺求出A、B间的实际距离？按这个方法实际测量一下。
通过对这样的实际问题的解决，不仅能深化学生对数学基本知识、基本原理的理解，而且更为重要的是，能让学生切身感受到数学学习不是枯燥的、无用的、毫无意义的，而是有趣的、真实的、贴近生活的，是人生不可或缺的，从而能进一步激发学生学好数学的愿望与信心。
四、贯彻课标，注重学生的思维训练与能力培养
1.设置“变式”习题串， 发展学生的集中思维能力。开展“变式”训练，可引导学生从多角度、多层次去分析问题、解决问题，从而抓住问题的本质，找到解决一类问题的规律，使学生的解题能力得到提高。
案例三：如图1，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，试猜想四边形 EFGH的形状，并说明理由。
此题可作如下变化：
变式1：如果四边形ABCD分别是平行四边形、矩形、菱形、正方形，中点四边形EFGH分别是什么特殊四边形？为什么？
变式2：如果四边形ABCD是凹四边形时，原结论仍然成立吗？
由于以上变式习题之间有着内在的联系，因此能引起学生的关注，激发他们的兴趣，促使他们积极探索其中蕴含的规律，有效促进他们的思维能力深入发展。
2.设计“一题多解”，培养学生的发散思维能力。“一题多解”是数学习题课一种常用、有效的教学方法。教师可以有意识地精选那些可用多种思路来完成的典型习题，引导学生从多个角度去尝试解决问题。
案例四：一个零件形状如图2a所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是20°和30°。李叔叔量得∠BCD=142°，就可断定这个零件不合格。你能说出道理吗？
在练习中学生会自觉地通过比较从找出的b、c、d等各种解法中筛选最简方法。这个过程提高了学生的解题能力，使学生能融会贯通基础知识与基本方法，并能有效地激发学生的创新意识，培养学生的发散思维能力。
一、关于新知识的引入
首先，设置问题应让学生感到有学习的“需要”和“必要”，需要才能引发创造。如：合并同类项法则的引入，在此之前学生非常习惯用分配律来完成合并同类项，但是当同类项较多时，步骤复杂，学生极易出错，基于解决这一问题需要，会比较自然地引出合并同类项法则的严格定义。这样做既让学生了解到根除严格定义的必要性，又可培养学生的探讨能力和抽象能力。其次也可以利用学生对有色彩的、有声响的、会变化的刺激物最感兴趣，最容易集中精力的特点，利用事物、音响、多媒体课件来引入，可以使学生愉快、主动地学习。
二、让学生自己去探究发现新知识
教学教材中的知识内容，前后联系密切，学生用以前学过的知识完全能自主获得新知识。如在学习有理数的加减混合运算时，在学完加、减、乘、除、乘方运算的学生，完全有能力完成较简单的加减混合运算和规律。因此，可以大胆放手让学生去找规律。学生用自己发现的知识去解决问题会有很高的兴致，并且对学生的学习能力和探索研究大有裨益。
三、例题教学中让学生尝试解题
以前例题教学的一种模式往往是教师(或是师生一起)完成1个例题，总结出方法，然后学生套用该题的解题模式去做巩固性练习题。对好多学生来说，这仅仅只是学会了“模仿”，非常不利于调动学生学习的主动性，也不利于学生理解能力的培养和对知识的理解掌握，更不利于激发学习的兴趣。事实上，学习的乐趣一是在于对知识的探求；二是来自对知识应用的欣赏与感悟。获得了知识，只相当于得到了解决问题的工具，该工具有哪些作用?怎样巧妙、准确、灵活的应用?应使学生在解决教师设计的问题中自己感悟领会，如让学生运用所学知识尝试解题(教师可适当点拨。要敢让学生大胆出错)，然后教师再订正(或引导下学生自我订正)，使学生得到解题成功的体会，师生再一起品味知识应用的美妙，总结如何用好。
四、重视课堂提问的作用
数学教改中课堂提问，对增强教学效果起到了非常重要的作用。以前的课堂提问，大多局限于提问记忆的知识内容，而忽略提问的若干作用，如激发兴趣、启迪思维；训练语言的表达能力，强化明确对问题的理解或开发等。我们常说，课堂上应让学生多动手、动口、动脑，其中“动口”是很重要的一个方面。要发挥提问的作用，增强提问的效果，首先教师课前一定要精心策划要提问的问题，并设计提问的语言，做到针对性强且简明易懂，避免提问的模糊性、盲目性、随意性；其次，应预设提问的结果和效果，并根据学生的实际做好铺垫，顺好渠道，如在学习平行线性质时，先让学生画一条直线，在画直线外画一点，让学生过这点作已知直线的平行线，然后再问平行线的性质。学生完全可以在教师的启发引导下自己悟出结论(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)。在这一点上设计提问比教师直接指明，学生掌握的效果会好得多。
五、课堂小结及课外作业
