时间：2023-05-29 18:18:57
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇乘法分配律练习题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学目标：通过试卷讲评，使学生在集错、析错、评错、改错、省错的过程中提升分析问题和解决问题的能力；对学生集中出现的问题进行重点讲评，达到评重讲难的目的。
教学重点、难点：纠正“凑整”的错误思想；解决学生在简算中出现的“混淆乘法结合律和乘法分配律”问题。
教学准备：试卷、课件、自习本、错题本。
教学过程：
师：有请今天的小老师。（一生走到台前，其他生鼓掌欢迎）
小老师：大家好！首先进行口算练习（引领全体学生喊出口算口号）：口算天天练，步步我当先！快乐无限组起立。（小老师课件出示10道简算题）
快乐无限组开火车计算练习，随后同学对本小组的表现进行评价。
小老师：感谢各位同学对快乐无限组的评价，请老师进行点评。
师：快乐无限组的表现非常出色，百分之百的正确率让他们为本组赢得了荣誉，希望今后能够继续保持。今天这节课，我们要对运算定律和简便运算的测验试卷进行讲评。
一、引导检查
师板书：测验试卷讲评。
小老师：（课件出示学习目标、检查提示）请某同学读一读学习目标和检查提示。
小老师：下面请小组长分发试卷，开始。
各小组长分发试卷，学生检查开始。（学生填写统计表，自行或在同学、组长的帮助下改正错题；组长统计全组错题情况；结束后组长宣布统计完毕。）
二、指导展示
（全部统计完毕，小老师出场）：哪个小组想来展示？（小组长举手）某某，请你来展示。
一小组长拿着统计表上台：（介绍自己组名、人数及整体考试情况，从集错、析错、改错、评错和省错这五个环节逐一分析）。第一大题考的是运算定律公式和定义，我们组做得比较好，全部过关；第二大题中的第3小题是我们组错得最多的一道题，我想请做错的同学亲自来分析一下。一生拿卷儿上台展示134-75+25=134-（75+25）。
师：我们认真观察这道题，不止是这个小组，其他小组的错误率也比较高。
该生在幻灯下指卷分析：这道题是134减75加25，当时给我的感觉就是减25，因为75和25，加在一起正好是100，然后134减100这样好计算，所以就把这道题判断对了。
师：那你现在知道是哪错了吗？
生：知道。只注意数字，没注意符号。如果是加的话就不能用减法性质来做。
师：很明显，同学们做错的原因主要是把注意力集中到凑整上，全然不顾算理是否正确；然而在判卷的过程中，老师还发现有的同学虽然注意到了算理，但受到思维定式的影响，把不该凑整的也进行了凑整，课件展示：480÷（24×5）=4.8。
师：这是第四题计算中的一道小题，出了什么问题？
生：他把24乘5当成25乘4，24乘5等于120，答案应该是4.
师：（课件出示两种算式）老师希望大家今后遇到这两种算式时，一定要加以区分，不能因为整百的数计算起来简便就急于求成，从而出错。
师：下面，我们运用乘法结合律来做一道题。（课件出示48×25，生完成，小组长继续分析完剩下的题。）
小老师：请其他小组继续补充。
另一小组长：（补充说明错的不同的题目，依旧从五个环节进行分析…）我们组错得最多的是简便计算的第5题。
师：这道题是咱们班丢分最多的一道题，我们来认真分析一下。
小组长：（拿试卷进行分析32×25×125）。首先把32分成4乘8 的形式是正确的，但是他做到这里时把运算符号写错了，应该继续根据乘法结合律来做，中间用乘号连接。错误的主要原因还是把乘法结合律和乘法分配律弄混，见到四个数就想到用乘法分配律。其实前面这一步就是连乘法，根本就没有乘法分配律里出现的加号或减号，所以也只能用乘法结合律来做。
师：这位同学分析得非常到位，其实这种问题还有一个需要同学们注意的地方。（课件出示）
生：应该把4和25还有8和125用小括号括上。如果不括上，后面的运算顺序就得变，就不简便了。
师：（课件出示正确答案）所以，今后遇到类似的问题一定要从这两个方面引起注意。还有哪个小组想来补充？（没有组长再举手）
师小结：通过大家的展示，老师发现同学们检查得都比较认真。我这里也有一张统计表，把你们出现的问题大致归为两类。一类是受思维定势影响，看到有特殊数据可以“凑整”，就把注意力集中到“凑整”上，从而导致出错，以判断题的第3题和计算题的第7题最为突出。还有一种就是把乘法分配律和结合律运用混淆，集中体现在简便运算的第1题和第5题上。同学们今后应深入理解乘法结合律及分配律的意义，从而灵活运用，正确计算。下面我们就通过练习巩固一下这部分知识。（组长分发练习题）。
三、辅导检测
1.生做练习题：（组长完成后下地检查指导直至全部完成，课件出示答案，各组长汇报本组练习情况。）
师：通过汇报，老师发现同学们对这部分知识掌握得还不错，让我们乘胜追击，进行达标检测。
关键词:去括号法则;分配律;试验
中图分类号:G632文献标识码:文章编号:1003-2851(2010)08-0148-01
一、问题的提出
我国各种版本的初中数学教材都有 “去括号法则” 一节的教学内容。而学生在学习“去括号法则”时经常会出现不能正确使用法则解题的错误,虽然通过教师多次纠正但仍不能彻底矫正。“能不能用其它去括号的方法来代替这一法则呢?”
我到一个学校调研听课,内容为“去括号法则”。(教材:义务教育课程标准实验教材(北师大版))。教师讲完法则后出了一组练习题。坐在我旁边有三个学生在做练习:“去括号 -3(5m-2mn+4)”。他们分别出现了以下解题过程:
生1:-3(5m-2mn+4)= -5m+2mn-4;
生2 :-3(5m-2mn+4) = -15m+2mn-4 ;
生3 :-3(5m-2mn+4)= ―(15m-6mn+12)= -15m+6mn-12.
显然生1和生2的解都是错误的,而生3才正确。课后我问生1和生2, “你们为什么要这样解?”,“你们解法的依据是什么?”他俩都说“我们是用去括号法则来解。根据去括号法则,括号前面是负号,应将括号和它前面的符号去掉,括号里面的各项改变符号即可”。生3说“去括号法则是在括号前只有负号时才能用,这里出现了-3,要用法则必须先变为括号前只有负号才行”。看来他们都是记住了法则的,但理解的深度不同。生1和生2只是表面上记住了法则而机械地套用,生3是真正理解了法则且正确地运用了法则解题,结果也正确,但解题长度增加了。而这触发了我的如下思考:由于去括号法则的理论依据是乘法分配律,能否不讲去括号法则,而只用乘法分配律直接去括号呢?如果这一想法成立,则既可以避免学生的上述错误,又可缩短解题长度,节约了学生的学习时间和减少了教材的篇幅。因此,它既对学生的学习有利而且对中数学教材的建设也很有价值。
二、研究的过程与方法
在实验研究阶段,我们在本校七年级两个班分别采用 “用去括号法则” 去括号和“用乘法分配律” 去括号的教学实验。前者我们称之为“对比班”,后者称之为“实验班”。在“对比班”则完全按课本上的内容和要求教学,并讲明去括号法则的依据是乘法分配律。“实验班”则不讲去括号法则,直接用乘法分配律去括号。对于形如“-(x-2y)”的情况,去括号时把括号前的符号看成“-1”再用分配律。在结束新课后我们编制了14道只涉及去括号内容的题对这两个班进行测试。目的是通过测试比较两种方法对学生解题正确率和解题速度两个方面所产生的影响。
在调查研究阶段,我们选择另一所完全按教材编写要求进行“去括号法则”教学的学校进行测试。由于学生在学习去括号法则时已明确了法则的理论依据就是乘法分配律,因此学生对两种方法都了解。我们这次测试的目的是调查了解学生在学了“去括号法则”一段时间后到底愿意选用那种方法进行去括号。测试时间选在学生学完“去括号法则”结束2个月后,测试对象为该校初2010级七年级1、2、两个班共90名学生。这次我们编制了10道涉及综合运用去括号内容的习题。
三、研究结果的统计分析
对“去括号法则”掌握的程度,我们根据学生作对题的个数分为成四类:
(1)作对试题1到3个题的学生为掌握较差(差);(2)作对4 到7 个题的学生为基本掌握(中);(3)作对8 到11 个题的学生为较好掌握(良);(4)作对 12到14 个题的学生为熟练掌握(优)。
统计对比如下:
用去括号法则所用时间为9到14分钟;用乘法分配律解题所用时间为7到10分钟。
由统计结果得,做对1到3个题(差)和4到7个题(中)两种程度的学生,实验班与对比班(均以9%比10%)差距不大,但做对8到11个题(良)和作对12到14个题(优)的两类学生,则实验班明显优于对比班。(37%比33%和49%比43%)。在解题的时间上,实验班最快的要比对比班快2分钟,而最慢的则更显出优势,实验班比对比班少用4分钟。
[关键词]乘法分配律；难点；策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）17-0020-03
笛Э纬瘫曜贾赋觯骸霸谑学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”其中， 运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
乘法分配律是小学数学中一个非常重要的运算定律，合理使用乘法分配律可使计算简便，大大提高学生的计算效率，提升学生的计算能力。由于乘法分配律的变式很多，一直都是学生掌握不好的内容。
【错例1】概念理解不清，造成丢三落四。
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【错例2】为了凑整而凑整，生搬硬套。
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【错例3】对乘法分配律理解错误，造成计算错误。
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【错例4】混淆乘法分配律和乘法结合律。
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在课堂上几乎所有的学生都表现出能够理解和运用乘法分配律，独立作业时怎么会出现这五花八门的错误呢？我陷入了思考：
①乘法分配律到底难在哪？如何突破这些难点呢？
②是我的教学存在问题吗？
③如何在教学之初改进，并在错误发生之后进行矫正呢？
基于此，我对自己以往的教学经历及学生各种类型的错误进行一一分析，同时深入研究教材的编排和知识的结构，得出学生在乘法分配律应用计算过程出现错误的原因有以下几方面。
第一，复杂。乘法分配律不但符号复杂，形式也复杂。乘法交换律“a×b=b×a”和乘法结合律“（a×b）×c=a×（b×c）”都只有一种乘号运算符号，不管怎么变，运算符号始终不会变，而且等式两边的数字个数都不变。乘法分配律“（a+b） ×c=a×c+b×c”含有加号和乘号两种运算符号，且等号两边的符号、数字的个数及运算顺序也不完全一致。这样，形式上的复杂多样，给学生的理解和记忆增添了难度。
第二，抽象。乘法交换律和乘法结合律直观而形象，学生几乎看着公式就能准确描述出定律。乘法分配律文字语言表述为“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。”既是“分别相乘”，又是“再相加”等关键词语，学生觉得抽象又复杂，难以归纳，造成记忆负担。
第三，多变。乘法交换律和乘法结合律在应用中模式固定，最多是交换一下位置，改变一下运算顺序。如25×7×4×9=（25×4）×（7×9）=100×63=6300。乘法分配律在应用上变化多样，有基本应用的，如36×55+64×55=（36+64）×55、（125+41）×8=125×8+41×8；还有各种变式应用的，如99×35、38×99+38、26×36+13×28……这样在“变”中找“不变”，又在“不变”中找“变”，对学生提出了很高的要求。
如何才能让学生更好地掌握和运用乘法分配律，为学生将来的数学学习打下扎实的基础呢？
一、在比较中赢得探究
探究学习是学生不断经历猜想、验证、思辨的过程。在探究学习时，教师提供的探究学习材料是学生进行有效探究的前提和基础。
以往的教学都是从一道题目入手（如学校购买校服，上衣每件35元，裤子每条25元，买3套，一共需要多少元？），引导学生得到35×3+25×3和（35+25）×3，进而让学生观察、举例、总结、应用。这样的教学素材缺少了对内在运算意义的引导，忽视了对乘法分配律和结合律的联系和比较，使得学生的注意力只放在算式的形式结构变化上，而这样的记忆犹如搭在一堆流沙上的建筑，稍加干扰就立刻散架，甚至无法复原。为此，我重新设计学习材料。
1.引入
题目：城西文具店有练习本2箱，每箱4包，每包有25本，一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：（2×4）×25或2×（4×25）。
（2）这里运用了什么运算定律？
（3）乘法结合律中，什么变了，什么没变？
（4）括号中的乘法能不能变成加号？为什么？
引导学生明确：“2”表示“2箱”，“4”表示“4包”，“25”表示“每包25本”，单位不同，不能相加；乘法结合律中的乘号不能变成加号。
2.展开
题目：城西文具店有练习本2包，每包25本。又采购了同样的练习本4包，现在一共有多少本练习本？
（1）学生列式后计算：25×（2+4）或25×2+25×4。
（2）“2”表示什么？“4”表示什么？25×（2+4）这个算式中加号能否改成乘号？为什么？
引导学生明白：“2”表示“2包”，“4”表示“4包”，单位相同，可以相加。“2+4”表示一共有6包练习本；这里的加号不能变成乘号。
小结：2×4和2+4虽然只是一个小小的运算符号不同，但代表的是2和4之间完全不同的两种关系。“2×4”表示“2箱一共8包”，“2+4”表示“2包加上4包，一共有6包”。
（3）如果把25×（2+4）中的括号去掉，得到25×2+4，这里发生了什么变化？结合每个数表示的意义和数与数之间的关系进行解释。
小结：要正确解答这道题，括号不能去掉。
3.进一步讨论
（1）25×（2+4）要去掉括号应该写成什么？写一写并解释为什么。
（2）同样是去括号，为什么25×（2+4）=25×2+25×4中，“25”出现了两次，而2×（4×25）=2×4×25中，“25”只出现了一次？
（3）比较2×4×25和25×（2+4），每个数表示的意义是什么？2×4和2+4表示的意义相同吗？
4.归纳总结
（1）25×（2+4）=25×2+25×4算式的左右什么变了，什么没变？为什么可以这样变？
（2）用自己的话说说算式的特点，再用自己喜欢的符号表示出来。
（3）揭示概念：这个运算定律叫作“乘法分配律”。
……
两组探究材料的设计，注重数学材料内在的层次性和逻辑性，由学生已经掌握的乘法结合律的特点和内在意义引出乘法分配律，再将两种运算定律结合具体事例进行了解释和反复对比，最后在形式结构上进行比较。比起以往的教学，虽然没有过多地强调外在形式的简单记忆，但无论算式的外在形式怎样变化，学生的思维始终围绕运算的意义进行理解。
二、在理解中掌握内涵
很多学生能熟记公式，但不会灵活运用。因此，乘法分配律的教学既要注重外形结构，更要注重内涵本质：a×（b+c）=a×b+a×c中，为什么等式两边是相等的？
1.从解决问题的角度
根据以上问题情境可知，25×（2+4）是先求练习本的总包数，再求练习本的总本数；而25×2+25×4是分别求原来2包和又采购了4包的本数，再求总本数，因此得出25×（2+4）=25×2+25×4。
2.从乘法意义的角度
以25×（2+4）=25×2+25×4为例，左边表示6个25，右边表示2个25加4个25，一共是6个25，因此等式两边是相等的。
3.从数形结合的角度
如图1，求大长方形的面积，既可直接用“长×宽”，也可分别求出两个小长方形的面积后再相加，因此可得25×（2+4）=25×2+25×4。
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图1
4.从乘法竖式计算的角度
两位数乘两位数，如24×12，即求12个24是多少，等于10个24与2个24的和，列式为24×（10+2）=24×10+24×2=240+48=288。（如图2）
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图2
让学生思考：三位数乘两位数的竖式是不是也符合这个乘法分配律？如150×12，学生会顺着前面的思路，很快得出150×12就是求12个150是多少，就是等于10个150加上2个150，即150×12=150×10+150×2=1500+300=1800。这样，通过乘法竖式计算就能帮助学生有效巩固乘法分配律的算理和算法。
三、在多变中更易巩固
利用运算定律进行简单计算时，由于题目形式多样，学生出现计算错误是在所难免的，尤其是在学习乘法分配律之后，如何灵活使用运算定律，常常让许多学生苦恼。为此，引入“一题多解”题型，可以培养学生思维的`活性。要注意的是，练习题要少而精，要富有思维含量，从而点燃学生思维的火花，达到巩固知识的目的。
题目：简便计算：25× 。你能将题目补充完整吗？
生1： 25×44=25×4×11=1100。
生2： 25×44=25×（40+4）=25×40+25×4=1000+100=1100。
生3： 25×99=25×（100-1）=25×100-25×1=2475。
生4： 25×102=25×（100+2）=25×100+25×2=2525。
生5：25×4+75×4=4×（25+75）=4×100=400。
生6：25×32×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。
生7：25×56+50×22
=25×56+（50÷2）×（22×2）
=25×56+25×44
=2500。
……
不同的学生就有不同的补充方法。接着，要求学生给这些题分一分类，并说一说是根据什么分类的。
在这一环节中，不同层次的学生可以量力而为，即使是学困生也能写出一两题。由于题目是学生自己设计的，这使得他们在计算时更加投入，应用运算定律也更加仔细，教学效果显著。
四、在练习中拓展延伸
要让学生能够运用所学的知识解决实际问题。教师就需要对教材的内容进行再加工，从而加深学生对知识的理解，拓宽学生的思路，以培养学生的发散性思维。
1.初步拓展
出示：57×102-57×2。
引导： 57×102与57×2各表示什么意思？57×102-57×2又表示什么意思？ 100个57是怎样得到的？
这样，学生很快就明白此题怎样算才比较简便，很快就解答出来了。在此基础上教师可继续提问：“这一个题目与我们前面学的有什么不一样？你准备怎么办？”
学生在练习本上举例验证，并相互交流，最后提炼出a×b-a×c =a×（b-c）。
2.总结延伸
出示：79×67+79×31+79×2。
有了前面的基础，学生很快就发现a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m。
引导：难道只限于三个数吗？四个数、五个数，或者更多呢？
学生纷纷动手尝试，通过激烈的讨论，得出了：
a×m+b×m = （a+b） ×m
a×m+b×m+c×m= （a+b+c） ×m
a×m+b×m+c×m+d×m= （a+b+c+d） ×m
……
通过这样的引申，学生在深刻理解乘法分配律内涵与外延的同时，感受到数学的无穷魅力，从而产生了浓厚的求知欲。
五、在坚持中培养习惯
学生在作业中常出现各种错误，如125×25×8×4=（125×8）+（25×4）=1000+100=1100。学生看到红红的大叉后往往会说：“我为什么把‘×’写成了‘+’呢？”
可见，要提高作业的正确率，良好的作业习惯是保障。教师除了要求学生认真审题、书写规范之外，还要培养学生在进行简算时，结合递等式“每一步都相等”的特点，一步一回头，每做一步都要思考变化的依据是什么，前后是否相等，这样做有没有道理，等等。通过这样的习惯培养，学生的解题思路以及自我审查、自我反思等能力都会得到不断提高。长此以往，不仅学生的学习习惯得到培养，学生思维的严谨性及逻辑性也会得到发展。
一、培养思维能力要在教学环节点上下功夫
培养思维能力要体现在教学环节点上，不论是教学新知识，还是复习，组织学生练习，都要注意结合具体的内容有意识地进行培养。数学课上，组织游戏趣味型数学活动，发展学生思维的自主性。例如学习“人民币的认识”这一课，可以通过创设模拟的商场，让学生在组内进行买卖活动，在充满趣味性的自主活动中，学生不仅认识了人民币，而且也学会了简单的兑换。这样，学生在学习中有着更显著的自主性。学生实实在在地体会到生活中的数学，切实感受数学与自己学习生活的密切联系，使他们学会用数学的眼光去观察身边的事物。
在教学新知识时，通过设疑创设情境，设置一些似是而非的知识障碍，让学生陷入“圈套”造成学生的知识冲突、矛盾，产生不足之感，激起思维，唤起求知欲，于是就会动脑筋寻思，引导学生去分析、推理，最后归纳出正确的结论。例如，教学两位数乘法，关键是通过直观引导学生把它分解为用一位数乘和用整十数乘，重点要引导学生弄清整十数乘所得的部分积写在什么位置，最后概括出用两位数乘的步骤。学生懂得算理，自己从直观的例子中抽象、概括出计算方法，不仅印象深刻，同时发展了思维能力。
在组织练习时，要突出关键，抓好本质。在教学中看到，有的老师也注意发展学生思维能力，但不是贯穿在一节课的始终，而是在一节课最后出一两道稍难的题目来作为训练思维的活动，或者专上一节思维训练课。这种把培养思维能力只局限在某一节课内或者一节课的某个环节内，是值得研究的。当然，在教学全过程始终注意培养思维能力的前提下，为了掌握某一特殊内容或特殊方法进行这种特殊的思维训练是可以的，但是不能以此来代替教学全过程发展思维的任务。培养学生思维能力要体现在年级教学上首先要明确各年级都担负着培养学生思维能力的任务。学数学就如鱼和网，这里鱼就是知识，网就是方法，有了这张网就能捕抓到更多的鱼，所以“授人以渔”一直是我教学中的主旋律。
二、培养学生思维能力从设计好练习题中下功夫
培养思维能力的最有效办法是通过解题的练习来实现。因此设计好练习题就成为能否促进学生思维能力发展的重要一环。一般地说，课本中都安排了一定数量的有助于发展学生思维能力的练习题。但是不一定都能满足教学的需要，而且由于班级的情况不同，课本中的练习题也很难做到完全适应各种情况的需要。因此教学时往往要根据具体情况做一些调整或补充。
设计练习题要有针对性，要根据培养目标来进行设计。例如，为了了解学生对数学概念是否清楚，同时也为了培养学生运用概念进行判断的能力，可以出一些判断对错或选择正确答案的练习题。举个具体例子：“所有的质数都是奇数。”如要作出正确判断，学生就要分析偶数里面有没有质数。而要弄清这一点，要明确什么叫做偶数，什么叫做质数，然后应用这两个概念的定义去分析能被2整除的数里面有没有一个数，它的约数只1和它自身。想到了2是偶数又是质数，这样就可以断定上面的判断是错误的。
设计多种练习形式。通过多种练习形式，不仅有助于加深理解所学的数学知识，而且有助于发展学生思维的灵活性，并激发学生思考问题的兴趣。例如，讲过乘法分配律，除了像课本中的练习题，给出两个数相加再乘以一个数，要求学生应用运算定律写出与它相等的式子以外，还可以给出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，让学生判断哪个是错误的；或者用3种图形代替具体的数，写成两个式子，如（+）×和×+×，让学生判断它们是不是相等，并说明根据。这些练习都有助于培养学生演绎推理的能力。
设计一些有不同解法和有多个答案的练习题，对于发展学生思维的灵活性和创造性有很大益处。但是，做有不同解法的练习题时，不宜让学生片面追求解法的数量，而要引导学生运用不同的思路，或运用不同的知识去解决，并且要找出简便的解法。
设计的练习题的难度要适当，要是大多数学生经过努力思考运用所学知识能够正确解答出来的。在教学中为了发展学生思维，往往出一些超过大纲课本范围的题目，这样不仅会增加学生负担，而且由于难度太大，不利于激发学生学习兴趣，也不能有效地发展学生的逻辑思维和思维的灵活性。
三、培养思维能力从培养语言表达能力下功夫
人们的思维与语言是密不可分的。语言是思维的工具。心理学认为，借助语言人们把获得的感觉、知觉、表象加以概括，形成概念、判断，进行推理。通过语言表达还有助于调节自己的思维活动，使之逐步完善。在数学教学中，要发展学生思维能力，就要引导学生去分析、比较、综合、抽象、概括、判断、推理，而教师要了解学生这些思维活动的情况，也需要让学生用语言表达出来，然后对学生思维的过程给予肯定或纠正。有经验的教师总是注意让学生用语言表达自己的计算过程和解题思路，结果学生思维能力有较快的提高。由于课堂教学时间有限，为了使学生都有用语言表达他们思维的训练机会，可以把指名发言、集体讨论和同桌两人对讲等不同方式结合起来。教师还应有意识有计划地注意帮助差生，鼓励差生发言，推动他们积极思维，以便促使他们的数学成绩和思维能力都取得较大的进步。
四（下）计算专练
四则运算（-）
班级
姓名
1、口算：
11×70=
0×536=
34×5=
84×2=
35×30=
180×4=
19×6=
24÷12=
99÷11=
36÷18=
96÷6=
60÷12=
91÷13=
85÷17=
51÷17=
2、用递等式计算：
17+83-25
41×3-76÷2
8×（54-49）-33
284-27
×4
73-6×12+34
81÷（21-12）×13
四（下）计算专练
四则运算（二）
班级
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用递等式计算：
145÷5×6
27+（18
-12）
×7
52-18×2+31
125-15÷5
（75+25）×（43-36）
120÷4-360÷4
四（下）计算专练
四则运算（三）
班级
姓名
1、口算：
25×40=
104×4=
200×8=
12×50=
300×20=
21×7=
15×6=
13×4=
48÷12=
90÷30=
54÷27=
320÷4=
420÷21=
48÷2÷3=
30×2÷1=
12×3÷6=
482×20≈
751÷3≈
99×33≈
604÷60≈
2、用递等式计算：
6×（4×25）
43×4-65×2
960÷5+56×20
69÷3×（85-65）
（76+54）÷5
168÷4+17×6
四（下）计算专练
四则运算（四）
班级
姓名
1、口算：
15×80=
80×60=
101×40=
48×50=
17×20=
130×7=
75×2=
25×4=
52÷13=
74÷37=
54÷27=
100÷4=
86÷43=
60÷2÷5=
45×2÷9=
12÷3×4=
111×40≈
208×20≈
197×50≈
93×21≈
2、用递等式计算：
13×24÷12
（119-8）÷3
（32-14）÷（36÷6）
43×4-65×2
0×54+84÷3
20+30×0-6
四（下）计算专练
四则运算（五）
班级
姓名
1、递等式计算：
29×（3+9）
36×13-552÷8
125－54÷9
56÷（102-94）+126
0×（35÷7）+86
（18-18）÷（18+18）
179-4×9÷6
63+24÷8-2×3=75
2、把合适的数填在里。
÷（54÷6）=8
÷3-15=4
50+×8=250
420-7×=0
四（下）计算专练
四则运算（6）
班级
姓名
1、递等式计算：
（75+25）×（43-36）
12×（78-69）
43×4-64÷8
78÷3+（120-95）
69÷3×（85-65）
35+24×2÷8
49÷7×（81-72）
（78-29）÷7×12
2、在算式中合适的地方添上小括号，使算式成立。
63+24÷8-2×3=66
63+24÷8-2×3=75
四（下）计算专练
四则运算（七）
班级
姓名
1、递等式计算：
5×80-30÷6
214÷2×3+42
200-26+480÷60
37+9×（36-12）
246÷（26+15）×2
（466-25×4）÷6
（35+46）÷（356-347）
（50-25×2）×16
2、计算109-2×（12÷4-0×8）+12×（0+3）
四（下）计算专练
四则运算（八）
班级
姓名
1、递等式计算：
（585-235）÷14×6
18×（79-79）÷27
510-（48+48÷6）
（395+26×5）÷23
3200÷（1208-72×14）
41×（32-14）÷6
63+（24÷8）-2×3
35+24×（24÷8）
2、在下面各算式中添上运算符号和括号，使等号两边相等。
9
9
9
9
9=10
9
9
9
9
9=0
四（下）计算专练
（一）加法运算定律
班级
姓名
计算下面各题，怎样简便就怎样计算。
362+233+138
526+327+274
182+765+108
24+128+476+572
368+2649+1351
89+101+111
999+99+9
728+598
挑战题：
1、用简便方法计算：
256+249+251+246+253
2、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-……+1990
四（下）计算专练
（二）乘法运算定律
班级
姓名
1、口算：
25×2=
125×2=
4×25=
25×8=
4×125=
75×4=
25×5=
125×8=
2、运用乘法运算定律进行简便计算：
25×18×4
35×103
125×4×8×25
4×7×5×8
8×（125×9）
（25+12）×4
67×99+67
37×28+63×28
3、计算：
25×32×125
四（下）计算专练
简便计算（一）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
848-172-228 457-188-157
45+65-45+65
812-47-153-112
6×7×5×8
（13+50）×20
201×12
226×99+226
2、简便计算：5498-1928-387-1072-1613
四（下）计算专练
简便计算（二）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
698-432+502-368
462+74+138+126
25×16
125×72
48×35+52×35
19×37+81×37+43
25×64×125
125×48
2、请用两种简便算法计算125×64
四（下）计算专练
简便计算（三）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
618-（352-272）
576-（176+280）
75+43-75+43
78×99+78
125×25×8×4
99×28
24×9-24×7
150÷25÷2
2、用简便算法计算37×15+37×10×6+37×25
四（下）计算专练
简便计算（四）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
398-305
694-36+42
45×405
85×32-85×28
25×34×40
60×（13+45）
750÷5÷2
1280÷5÷128
2、计算28×11111+99999×8
四（下）计算专练
简便计算（五）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
25×24
125×24
125×32×25
42×35+58×35+67
54×47-54×37-38
125×（8+80）
3200÷4÷25
350÷14
2、计算19999+9999×9999
四（下）计算专练
简便计算（六）
班级
姓名
1、怎样简便就怎样计算：
25×（4×8）
（25+18）×4
39+52+161+42
89×101
2000÷125÷8
68×12-68×2
9+99+999+9999
（18+18+18+18）×25
2、计算111×2+222×3+333×4
小学数学计算分层专项练习
——四年级（下）怎样简便怎样算（1）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：怎样简便就怎样算。
48×37＋63×48
99×21＋21
573－（173＋85）
125×23×8
288÷48＋12×48
3800－568÷8×10
挑战聪明：怎样简便就怎样计算。
11111×44＋22222×28
1－2＋3－4＋5－6＋……＋99
小学数学计算分层专项练习
——四年级（下）怎样简便怎样算（2）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：怎样简便就怎样算。
573－174－126
53＋99×53
32×25
400＋612÷12×4
102×17
480－（32＋32÷4）
挑战聪明：怎样简便就怎样计算。
125×32×25
55×83＋44×83＋83
小学数学计算分层专项练习
——四年级（下）怎样简便怎样算（3）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：怎样简便就怎样算。
79×25－39×25
101×27－27
716－（216＋45）
125×24
（650－180）×5＋560
1843－45÷9×24
挑战聪明：怎样简便就怎样计算。
1999＋999×999
111×2＋222×3＋333×4
小学数学计算分层专项练习
——四年级（下）怎样简便怎样算（4）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：怎样简便就怎样算。
89×101
99×23＋23
456－（156＋120）
25×48
74×25÷74×25
（664＋68）÷（37－33）
挑战聪明：怎样简便就怎样计算。
（23＋23＋23＋23）×25
37×15＋66×15－3×15
小学数学计算分层专项练习
——四年级（上）竖式计算（除法1）
姓名
班级
计算过关：请你在规定的时间内完成过关题目。
48×160=
319×26=
408×25=
97÷3=
272÷36=
495÷45=
972÷47=
420÷60=
380÷70=
576÷18=
930÷31=
小学数学计算分层专项练习
——四年级（上）竖式计算（除法2）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：请你在规定的时间内完成过关题目。
176×47=
25×360=
409×23=
164÷5=
158÷25=
287÷43=
590÷27=
3600÷90=
345÷23=
252÷25=
3276÷84=
小学数学计算分层专项练习
——四年级（上）竖式计算（除法3）
姓名
班级
座号
等第
计算过关：请你在规定的时间内完成过关题目。
322×27=
25×679=
209×30=
264÷8=
349÷35=
587÷34=
680÷25=
8100÷90=
445÷32=
258÷38=
776÷84=
挑战聪明：请你积极开动脑筋，展示你的智慧。
1
3800÷400=（
）
×
4
5
A、9……2
B、9……200
8
C、90……2
D、900……200
乘法分配律练习题
姓名：
类型一：（注意：一定要括号外的数分别乘括号里的两个数，再把积相加）
（40＋8）×25
125×（8+80）
36×（100+50）
24×（2＋10）
86×（1000－2）
15×（40－8）
类型二：（注意：两个积中相同的因数只能写一次）
36×34＋36×66
75×23＋25×23
63×43＋57×63
93×6＋93×4
325×113－325×13
28×18－8×28
类型三：（提示：把102看作100＋1；81看作80＋1，再用乘法分配律）
78×102
69×102
56×101
52×102
125×81
25×41
类型四：（提示：把99看作100－1；39看作40－1，再用乘法分配律）
31×99
42×98
29×99
85×98
125×79
25×39
类型五：（提示：把83看作83×1，再用乘法分配律）
83＋83×99
56＋56×99
99×99＋99
75×101－75
125×81－125
91×31－91
乘法运算定律综合练习
姓名
班级
38×62+38×38
75×14—70×14
101×38
12×98
55×99+55
55×99
12×29+12
58×199+58
42×79+42
52×89
69×101—69
55×21—55
125×（80+8）
125×（80×8）
125×32×25
99×99+99
38×7+31×14
25×46+50×27
79×25+22×25—25
9999×2222+3333×3334
运算定律与简便计算练习题
一、判断题。
1、27+33+67=27+100
（
）
2、125×16=125×8×2
（
）
3、134-75+25=134-（75+25）
（
）
4、先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。（
）
5、1250÷（25×5）=1250÷25×5
（
）
二、选择（把正确答案的序号填入括号内）（8分）
1、56+72+28=56+（72+28）运用了
（
）
A、加法交换律B、加法结合律C、乘法结合律D、加法交换律和结合律
2、25×（8+4）=（
）
A、25×8×25×4
B、25×8+25×4
C、25×4×8
D、25×8+4
3、3×8×4×5=（3×4）×（8×5）运用了
（
）
A、乘法交换律B、乘法结合律C、乘法分配律D、乘法交换律和结合律
4、101×125=
（
）
A、100×125+1
B、125×100+125
C、125×100×1
D、100×125×1×125
三、怎样简便就怎样计算（35分）。
355+260+140+245
102×99
2×125
645-180-245
382×101-382
4×60×50×8
35×8+35×6-4×35
四、应用题。
（14分）
1、雄城商场1—4季度分别售出冰箱269台、67台、331台和233台。雄城商场全年共售出冰箱多少台？
2、第三小组六个队员的身高分别是128厘米、136厘米、140厘米、132厘米、124厘米、127厘米。他们的平均身高是多少？
简便计算练习
姓名：
班级：
527＋199
735－198
105×99
865－198
75×98
68×99＋68
63×88＋88×37
58×99＋58
25×49＋75×49
575－78－22
48×89＋48
367－199
56×102
75×48＋75×52
（20＋4）×25
99×11
32×（200＋3）
68×39＋68
239×101
38×25×4
42×125×8
（25×125）×8×4
78×125×8×3
（125×25）×4
（125＋25）×4
127+352+73+4
89+276+135+33
5+204+335+96
25+71+75+29
+88
243+89+111+57
399＋（154＋201）
480＋325＋75
78+53+47+2291＋89＋11
36+18+64
168＋250＋32
85＋41＋15＋59
78＋46＋154
130-46-34
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
168－28－72
437－137－63
244+182+56
200－173－27
124+68+76
263－96－104
970－132－68
400－185－15
472－126－124
603+421
745-305
951-395
19+199+1999
34+304+3004
798+321
325-156+675-144
8+98+998+9998
99999+9999+999+99+9+4
44＋37＋56
163＋49＋261
74＋（137＋326）
249＋402
189＋35＋211＋165
483－236－64
582－157－182
65×5×2
15×23×4
36×25
25×125×32
35×22
5×（63×2）
540÷45÷2
540÷36
216＋305
25×32
47＋236＋64
6×（15×9）
402＋359
43＋78＋122＋257
25×（26×4）
25×44
354＋（229＋46）
25×（4×12）
25×（4+12）
64×64＋36×64
99×99+99
49×99+49
49×99+49
⑴ a＋b
＝b＋a
88＋56＋12
178＋350＋22
56＋208＋144
⑵ (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
（23＋56）＋47
286＋54＋46＋4
582＋456＋544
⑶ a×b＝b×a
25×37×4
75×39×4
65×11×4
125×39×1
⑷ (a×b)×c＝a×(b×c)
19×75×8
62×8×25
43×15×6
41×35×2
⑸ a×(b＋c)
＝a×b＋a×c
136×406＋406×64
702×123＋877×702
246×32＋34×492
⑹ a×(b－c)
＝a×b－a×c
102×59－59×2
456×25－25×56
43×126－86×13
101×897－897
⑺ a－b－c＝a－(b＋c)
458－45—155
2354－456－544
68547－457－123－420
⑻ a－b＋c＝a＋c－b
4235－4067＋765
3569＋526－1569
45682－7538＋14318
⑼ a÷b÷c＝a÷(b×c)
4500÷4÷75
16800÷8÷25
248000÷8÷125
5200÷4÷6
⑽ a÷b×c＝a×c÷b
4500×102÷90
3600÷80×2
125÷20×8
250÷75×30
⑾ a－b＝a－(b＋c)＋c
429－293
1587－689
8904－1297
87905－388
⑿ a－b＝a－(b－c)－c
2564－302
25478－9006
5024－502
1251－409
⒀ a＋b＝a＋(b＋c)－c
254＋489
5021＋897
654＋793
654＋4999
⒁ a＋b＝a＋(b－c)＋c
124＋4005
1235＋607
248＋803
2005＋45687
⒂ 254＋246＋744＋1054
5897＋568－897＋432
45627－258－742－1627
⒃ 321×46－92×27－67×46
75×32×125
65×16×125
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
或a×（b＋c）＝a×b＋a×c
加
加
因 加
因 加
因
的性质：a－b－c＝a－（b＋c）
带着加减号搬家：a－b－c＝a－c－b
a－b＋c＝a＋c－b a＋b－c＝a－c＋b
怎么简便怎么算：
（23＋56）＋47
25×277×4
125×（3＋8）
462－83－117
8×（30×125）
3200÷25÷4
425－38＋75
5246－（246＋694）
25×6＋25×4
360÷（18×
4）
32×105
598＋735
99×38＋38
98×34
25＋75－25＋75
48×125
一、培养学习兴趣，激发学生发散思维的积极性
在教学中，教师要十分注意激起学生强烈的学习兴趣和求知欲，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考.
1.通过直观的教具，激发学生发散思维的积极性.通过具体的教学实物，能够冲击学生的视觉，激发他们的兴趣.例如，一年级下册《认识图形》单元中《认识长方形、正方形和圆》.在课前，让学生把自己喜欢玩的积木带来，通过积木来认识、学习这节课的内容.一年级的学生，仍处在好动、好奇都特别强烈的阶段，情绪容易调动，而积木又是他们喜欢玩的游戏，那节课的内容一直围绕着积木向主题展开，感觉是边玩边学.这样学生就处在一个想学的阶段，情绪高涨，思维敏捷，思考问题的思维当然也就开阔.
2.通过创设教学情境，激发学生思维的积极性.情绪是影响积极性的一个导火线，创设愉快的教学情境，也可激发学生的学习兴趣，是学生的情绪高涨，诱发出学生创新的思维活动.例如，在教学《年、月、日》的认识时，一上课可以设置一个使学生感到非常意外的问题：小明前几天刚过了第18个生日，而他爷爷却刚刚过了第16个生日.为什么呢？学生就会想：怎么可能呢？爷爷怎么比孙子过的生日还少呢？学生的求知欲马上就被调动起来，很快就进入主题的探究.
3.通过多媒体教学，激发学生发散思维的积极性.除了创设出来的愉快情境外，也可以利用多媒体辅助教学，因为多媒体是集声、光、动画为一体，化抽象为具体，变枯燥为有趣，化静为动，这些对学生思维的发展，提供了良好的环境.例如，在教学《两位数减一位的退位减法》中的“23-8”时，计算机画面上首先出现小棒，两捆加三根怎样减去八根，学生可以先自己先动手操作，试一试怎样减，探求方法.然后，按一下正确答案，出现的画面就会是两捆零三根小棒和一只小熊，按照学生摆的方法，小熊把一捆小棒拆开，然后和三根小棒放在一起，去掉八根小棒，等于十五根小棒.小熊边做边说，再加上适当音响和音乐.在这个过程学生可以亲自操作，可以亲眼目睹这个过程，认识两位数减一位数退位减法的关键就是不够减的向前一位借一，在个位上加十再减.这一系列的动态过程中，学生可以反复操作，抓住重点，从而得到正确的结论，学会知识，完成教学任务.这一环节，借助多媒体的色彩、声音、动画演示，不仅激发学生的学习兴趣，而且还可以启发学生的思维，提高教学质量.
二、设计好练习题，培养学生发散思维能力
培养学生的思维能力同学习计算方法、掌握解题方法一样，也必须通过练习.而且思维与解题过程是密切联系着的.培养思维能力的最有效办法是通过解题的练习来实现.设计好练习题就成为能否促进学生思维能力发展的重要一环.一般的说，课本中都安排了一定数量的有助于发展学生思维能力的练习题.但是，不一定都能满足教学的需要，而且由于班级的情况不同，课本中的练习题也很难做到完全适应各种情况的需要.因此教学时往往要根据具体情况做一些调整或补充.
1.设计练习题要有针对性.要根据培养目标来进行设计.例如，为了了解学生对数学概念是否清楚，同时也为了培养学生运用概念进行判断的能力，可以出一些判断对错或选择正确答案的练习题.举个具体例子：“所有的质数都是奇数.”如要作出正确判断，学生就要分析偶数里面有没有质数.而要弄清这一点，要明确什么叫做偶数，什么叫做质数，然后应用这两个概念的定义去分析能被2整除的数里面有没有一个数，它的约数只1和它自身.想到了2是偶数又是质数，这样就可以断定上面的判断是错误的.
2.设计多种练习形式.通过多种练习形式，不仅有助于加深理解所学的数学知识，而且有助于发展学生思维的灵活性，并激发学生思考问题的兴趣.例如，讲过乘法分配律，除了像课本中的练习题，给出两个数相加再乘以一个数，要求学生应用运算定律写出与它相等的式子以外，还可以给出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，让学生判断哪个是错误的；或者用3种图形代替具体的数，写成两个式子，如（+）×和×+×，让学生判断它们是不是相等，并说明根据.这些练习都有助于培养学生演绎推理的能力.
一、巧变教材，分解难点，让学生自主学习
教材是传播知识的载体，是落实课程标准、实现教学目标、实施教学的重要资源，但是即使是新教材，因为它的“普遍性”和“一般性”的特点，决定了我们在具体的教学过程中必须要根据教学对象的不同，灵活有效地处理好教材。
案例一：等腰三角形的性质“三线合一”的教学：对于等腰三角形的性质“三线合一”这一节课的教学，按教材处理是通过教具让学生掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高所在的直线都是三角形的对称轴的知识，亦即等腰三角形的“三线合一”，然后再用全等的知识进行几何的推理论证，最后进行性质的运用。但是笔者发现采用该方法后，很多学生不会应用“三线合一”的性质解决问题，于是笔者改变策略，一开始让每个学生任意作一个三角形，然后再在你所作的三角形的同一边上作角平分线、中线和高，随后，找出下面三个学生的结果让大家观察和比较，并提出问题：为什么第三个同学的三角形的三条重要线段会重合呢？第三个同学所画的三角形是什么三角形呢？然后老师和同学共同总结出：等腰三角形的“三线合一”。最后用三角形全等的知识进行几何推理。
这节课经过这样改动后，对“三线合一”的理解更深刻了，知道在等腰三角形的前提下，只要知道其中一线，就可以推导出其他两线的结论，在作业中也会应用“三线合一”解决问题了。
二、灵活地处理教材，让学生学得更自然
教师应当关注学生的发展，创造性地处理、驾驭教材，从学生的实际出发，通过更换素材，增加编排，改变编排等方式，对教材进行有效再加工，进一步发挥教材的示范作用和例题的示范作用。
案例二：去括号法则的教学：笔者曾到一个学校听课，内容为“去括号法则”。教师讲完法则后出了一组练习题，坐在旁边有三个学生在做练习：“去括号-3（2a-3ab+6）”。他们分别出现了以下解题过程：
学生甲：-3（2a-3ab+6）= -2a+3ab-6；
学生乙：-3（2a-3ab+6）= -32a+3ab-6；
学生丙：-3（2a-3ab+6）= -（6a-9ab+18）= -6a+9ab-18.
显然学生甲和学生乙的解法都是错误的，而学生丙的解法才正确，为了应对甲、乙同学这样的思维误区，笔者采用了对比实验的方法进行研究。在所教的两个班分别采用“用去括号法则”去括号和“用乘法分配律”去括号的教学实验，结果表明，用乘法分配律去括号比用去括号法则去括号正确率高而且解题速度快。
去括号法则本质上是乘法分配律的应用，因而直接用乘法分配律去括号是回归到本质。用乘法分配律去括号时没有中间转化的环节，可直达结果，从而减少了出现错误的机会，提高运算的正确率。
三、创设问题情境，让学生自主建构知识
目前教材正在进行改革中，需要我们的教师建设性、创造性的使用教材，创设出适合学生开展有效学习的问题情境。情境创设中，我们要把社会中心的“用”，学科中心的“序”和儿童中心的“趣”很好的结合起来。
案例三：“平方差公式”的教学：在学习“平方差公式”一课时，可以创设如下的问题情境：从前，有一个庄园主，把一块边长为米的正方形土地租给老王种植，第二年，他对老王说：“我把这块地的一边减少3米，相邻的另一边增加3米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”老王一听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧。”回到家中，他把这事和邻居们一讲，大家都说：“老王，你吃亏了！”老王非常吃惊。聪明的你知道老王吃亏了吗？在学生被生活化的问题所级引，而又感到疑惑，并争先恐后地表达自己的见解时，自然地引入新课――平方差公式。
问题情境要符合学生的认知情况，问题不能太难，也不能太易，要做到直观鲜明，能激发学生学习兴趣和求知欲，从而调动学生思维的积极性。
四、巧变课本习题，培养学生学习灵活性
思维的灵活性是数学思维的重要品质，在课堂练习时，如果教师的训练方式单一，习题的形式雷同，就会使孩子的思维趋于僵化，形成负迁移。
案例四：在学习“全等三角形”时，教师出示题目。
如图，在ABC中∠BAC=90°，AB=AC，过点A任意作一条直线l（l不与边BC相交），并作BDl，CEl，垂足分别为D、E，试说明线段DE、BD、CE之间的数量关系。因为对图形很熟悉，学生很快得出“DE=BD+CE”。此时教师不能认为此题已解决，应设置如下变式训练：
（1）如果条件中的三个90°都改为60°，这三条线段之间的关系还成立吗？学生仿照前面找相等角的方法，同样可证出DAB≌ECA，进而得出这三条线段的关系。
（2）如果把60°改为140°呢，是否也有相同结论？学生思考片刻后，易得到肯定回答。
（3）结合（1）、（2），你有何发现？此时，学生豁然开朗，很自信地回答：“当∠BDA=∠BAC=∠AEC时，DE=BD+CE都是成立的。”
教师从一道例题出发，营造了一个生动、动态的探究情境，通过变式训练和提问，学生不仅熟悉了图形的特征，掌握了方法，而且对所学知识达到“知其然，又知其所以然”的境界。
教材是学生学习的资源，是教师引导学生学习的桥梁，但教材只是一个文化中介，不是唯一的教学依据，所以，教师教学的重点不应是教材内容的完成，而应充分利用教材，整合资源，为学生提供合适的学习素材，合理的想象空间，积极探索的情境，以便使学生由能学习真正转为会学习。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室编：初级中学课本《代数》第一册[M].人民教育出版社，1989年10月第二版
[2]人民教育出版社中学数学室编：九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第一册[M].人民教育出版社，1993年10月第一版
[3]人民教育出版社中学数学室编：义务教育初中数学试验课本《代数》第一册 [M].人民教育出版社，1994年10月第一版
关键词：数学复习；分层复习
六年级数学期末总复习是一学期教学中的一个重要环节，是使学生进一步理解、掌握、巩固和运用所学知识的系统化过程。这个过程对学生来说，知识容量多、跨度大、知识的综合性强，再加上进入总复习阶段后，学生数学学习之间的差异越来越大，如何应对这种差异，面向全体学生，促进学生的全面发展，成为我们探讨的重点。在我们看来，学生没有优差区别，差会变优，优会变更优，只是他们的能力还没有充分发挥出来。针对学生的特点，我根据学生的差异性，实行因材施教，采取分层复习。现在简述如下：
一、实施分层复习的原则
（一）差异性原则。
分层复习的目的是尊重学生间的差异。根据现代心理学研究把学生的差异分为可变差异和不变差异。可变差异就是指学生在知识储备、学习策略、态度与技能等方面的差异，这种差异是习得的，是可以改变的。不变差异是指学生在个性特征、兴趣爱好等方面的差异。相对于可变差异而言，他们在短时间内不可改变，这些差异是学生的优势差异，我们要利用学生的这些特质促进学生个体优势的发展，做到学有专长。基于这些认识，我采用了“正视差异、利用差异、发展差异”的原则。
（二）主体性原则。
在实施分层复习的各个环节，要充分落实学生学习的主体性。实施分层复习、照顾学生差异的目的就是为了更好地体现和发挥学生学习的主体性，让学生成为学习的主人，让学习成为学生“我愿意、我能够、我深信”能做好的事情，也只有使分层复习真正体现了学生的主体性，分层复习的效果才能到得明显地提高。
二、实施分层复习的一些粗浅做法
（一）回顾整理，准确分层。
六年级数学知识具有很强的逻辑性、系统性，它们之间往往都是纵向发展。横向联系着的，复习时，我根据知识本身的逻辑顺序和内在联系，把这本书中的知识体系砍成四大块：概念性的基础类、计算类、解决问题类、能力挑战类。明确知识结构，从而给学生更好的分层，使每一层学生都能深刻地理解和掌握应该学会的知识。
为了准确地把握学生层次，我根据一学期来，全班每一个学生的智力和非智力两个方面不同层次的学习情况，把全班学生相对分成A、B、C三个层次。而学生所处的层次不是一成不变的，不同类的知识分层也要相应的调整，采用了动态的观点、发展的眼光观察学生，随时注意学生的考试成绩、课堂表现、课后作业等，合理进行调整，以调动学生学习积极性。
（二）突出比较，目标分层。
我把每个单元的知识要点穿线整理，把典型题列成表格。一题多问、一题多改、一题多解等各种形式编排复习。复习时，我除了要精心设计问题，启发引导学生把教材直接给出的知识内容进行比较，如：《运算定律与简便计算》中的运算定律整理后，例出多种题型进行对比，便与掌握，在乘法分配律的复习中我就是这样做的。因为乘法分配律的变形题非常多，学生往往因为理解不透，出现一些错误。在这个知识点上我整理出了这些题型：①a×c+b×c=（a+b）×c；②（a+b）×c=a×c+b×c；③47×201=47×（200+1）；④47×199=47×（200-1）；⑤47×99+47；⑥47×2+47×5+47×3=47×（2+5+3）；⑦47×18-47×5-47×3=47×（18-5-3）。还把教材中那些以文字作提示的内容也进行了比较，并且对复习中的一些例题或习题也应有意识地要求学生进行变换条件和问题的练习，让学生在同中求异、异中求同的过程中，从而更好地培养学生思维的深刻性，提高学生的辨析能力。
在对知识进行比较中，方便了对知识目标的分层，就是将原来统得过死的单一性教学目标改为因人而异的弹性目标。复习时，要以学困生“吃得了”，中等生“吃得好”，优秀生“吃得饱”为原则。对不同层次的学生，提出不同的学习要求，让“不同的人在数学上得到不同的发展”，这是课程标准提出的新理念。就拿刚才的乘法分配律的教学来说吧，C层学生只要求把基本的题型①、②两种掌握了就可以，掌握准确，练习扎实；B层学生要求掌握的不但有①、②基本题型，还要掌握③、④、⑤三种变形题；A层学生就已经有能力完全掌握①-⑦的所有题型，对比其中的相同点与不同点，把知识学透彻。在以前的复习课堂上，学生进行练习时，经常会看到这样的情况，学困生反应迟钝，解题速度慢，难以在规定的时间内把题做完。而优等生则反应灵敏，解题速度快，完成之后无事可干，浪费了不少学习时间。我根据这一实际，对学困生只提出一般要求，用一种基本的方法解答可以了，只要求完成必做题。而对于优等生则要求能用多种方法解答的，尽量要用多种方法，还要求找出最佳方法。我在实际的复习中，以前存在的一些问题的确得到了有效地解决。
（三）知识综合，方法分层。
复习中使学生提高综合运用知识和灵活使用解题方法的能力，是复习的最终目的，因此，既要有一定数量的基本练习题和稍作变化的习题，又要有一些综合性练习题和富有思考性的习题，做到有层次，有坡度，具有一定的弹性，以适应不同层次学生发展的需要。如：①0.7中有（ ）个0.1。②0.7中有（ ）个0.01。③0.7在（ ）和（ ）两个整数之间。④在0.7与0.9之间有（ ）个一位小数。⑤在0.7与0.9之间有（ ）个小数。把知识综合起来复习，难度加大，方法的分层由为重要了。优等生的复习以自主梳理结合教师的点拨；中等生的复习以小组合作进行梳理结合教师的讲解；学困生则是以教师的辅导梳理回忆再现学过的知识，并结合优生的帮助进行复习。
（四）因材施教，评价分层。
【关键词】小学数学教学，数学思维能力培养
我国小学生的数学思维能力发展存在一些问题，不少学生的数学思维能力未得到充分开发，或发展缓慢，这既有学生自己的原因，也有教师教学方面的原因。而学生数学思维能力的培养、发展不仅关系到学生今后人生的命运，更是关系到一个民族、国家的命运。因而，笔者就此问题进行了分析、探究。
一、小学数学教学学生思维能力培养的重要性
学生数学思维能力的培养、发展是社会发展的需要，也是一个民族、国家发展的需要，正因如此，我国教育大纲将数学思维能力的培养、发展作为最重要的教育目标之一，它也是数学课程最重要的环节。数学思维能力是数学课程的核心，也是数学能力中的核心能力，是学生学好数学必须具备的能力。这就要求教师在数学教学中高度重视学生数学思维能力的培养与发展，使他们的数学思维具有灵活性、逻辑性、多向性、深刻性。
二、小学数学教学学生思维能力培养
（一）培养数学比较思维能力
俄国教育家乌申斯基说“比较是一切理解和思维的基矗”。比较也是唯物辩证法的重要思维意识，一切事物因比较而存在，有好才有坏，有大才有小，有新才有旧……比较在数学思维能力中同样很重要。通过比较，才能使一些相似的概念、法则原理、推理、研究对象等被区分得清清楚楚，学生才能把握各自的本质属性，理解才更深刻，逻辑思维才更严密与清晰。
如在认识毫米、厘米、分米、米这几个长度单位时，我让学生用尺亲自测量自己头发的粗细、数学教材的长与宽、自己的身高，通过不同长度单位在实际物体上的展示，即通过实际物体的长短，使学生深刻认识了这几个长度单位所代表的数量，做填写长度单位的题目时正确率也很高。
我在教学位置与方向知识点时，一些学生总把画在纸上的“上北下南左西右东”与实际生活中辩论方向的方法弄混。为此，我专门把这个题目拿出来在全班讨论，让学生自己找出在实际生活中怎样正确辩认方向的方法，并把它画在纸上变成地图。在学生遇到困难时，我适度点拨，告诉学生可利用太阳从东边升起，在西方落下的意识来寻找实际生活中怎么正确辩认方向的方法，而不告诉他们答案。学生最终自己弄出了正确答案，并深刻地理解了画在纸上的地理位置方向规则与实际生活中正确辨认方向的方法的区别与联系，学生的数学思维能力也得到了很好的培养、发展。
（二）培养学生数学创新思维能力
创新思维是一个民族、国家在当今竞争日益激烈的环境中立于不败之地的法宝，非常重要，创新思维也属于数学思维能力的一个极重要的方面，在教学中培养学生的数学创新思维能力，能极大推动学生数学思维能力的发展，并激发学生学习数学的浓厚兴趣，同时培养了学生的探索、创新精神。
一次，在讲了乘法分配律后，我在黑板上出相关练习题时故意板书错误“（9+6）÷3”，目的是解决许多同学在做相关题时不自觉地运用乘法分配律变换的“除法分配律”问题。结果，一个学生兴冲冲地说我把符号弄错了，应是乘号；另一个学生则胸有成竹地说“老师，我能很快计算出结果”。我让后者上黑板演述。他很快搞定：
（9+6）÷3
=9÷3+6÷3
=3+2
=5
我再让同学们按运算的正常顺序计算一遍，看结果是否一样。结果是一样的。学生争相说发现了一个新规律――除法分配律。我没立即否定他们，也没立即打击他们，而是再给学生出了一道类似的题目。学生也很快用这两种方法计算出来，计算结果完全一样。之后我连着出了另外类似两题“9÷（1+3）”“15÷（3+5）”，学生仍按上述方法做，却发现两种算法结果不一样。我顺势启发学生“我们刚学了乘法分配律，除法分配律存在吗？”并让学生自己讨论找出原因。每个班上都有聪明的学生，他们找到了答案，除法是乘法的逆运算，除法不存在分配律，只有当除数相同时，才能运用类似乘法的分配律。
（三）培养学生数学发散思维能力
发散思维是产生创新思维的一种极重要途径，它也是创新思维能力的重要组成部分，同时是数学思维能力极重要的一个方面，而且创新思维也属于数学思维能力的一个极重要的方面。一个数学问题，可能有多种解决方案，通过发散思维从不同角度、不同途径找到不同的解决方案，从而找出与他人不同的解决方案，在这个过程中，会有新发现，若在人生中，可能会发现人生成功的机会从而成就人生。这样做，也会使学生的数学思维能力从横向、纵向两方面拓展，即拓展了学生数学思维能力的广度与深度。
如，一次课堂上，我给学生出了这样一道应用题“一个人骑一辆自行车上午3小时行驶了90千米，照这样的行驶速度，下午他再骑自行车行驶2小时，这天他骑自行车一共行驶了多少千米？”大多数学生用了这两种解法“90÷3×（3+2）=150”“90÷3×2+90=150”。我激励学生找出第三种解法，聪明学生在班上总有的，他上黑板写了出来“90×2-90÷3”。我再次让学生讨论这三种解法哪种最简便最不易出错，学生答第一种，我问学生第三种方法的可取之处是什么，学生说创新性，比较隐秘，能开发人的创新思维，产生新的发现，取得人生成功的机会。
通过这堂课，我使学生明白了发散思维的意义所在，学生也学会了如何运用发散思维。
小学生数学思维能力的培养、发展事关学生今后学业与人生的命运，事关我国的各方面发展，教师必须在小学数学教学中把它作为数学的核心能力来探索、研究最佳解决方案。
【参考文献】
一、求新——提供新鲜的东西引起兴趣
兴趣是学习的动力。当学生对学习产生兴趣时，学生的心理活动就会处于激活状态，富有满足感和愉悦感 ，从而积极性高涨，思维活跃，注意力集中，“我要学”的意识增强。这时，学生的被动学习将会转变为主动求知，厌学情绪将会转变为乐学欲望。因此，从学生的学习兴趣入手，创设新型的教学情境，正是“知之者，不如好之者；好之者，不如乐之者”教育思想在教学学科中的具体体现。我们要积极探索，大力倡导。在练习中也要体现一个“新”字。
（一）题型新
教材中的题型设计，虽然具有一定的科学性，但就习题本身而言，练习形式比较单调。因此，在挖掘快乐因素上主要应在组织完成练习的形式和对习题处理方法上下功夫。可以根据儿童的好动、好胜、好表现的天性，让学生“动”，使学生在活动中学，在活动中得到快乐；让学生“比”，使学生在竞争中不断前进；让学生“炫”，使学生在考别人中进步；让学生“用”，使学生感受数学的价值。所以在创设题型时，要关注学生，让他们快乐学习。如有些问题可以引入竞争机制，有些习题用讨论、争议的方法更适合学生的口味，除此之外，在练习中根据学生学习情况还可以创设游戏性，娱乐性较强的数学游艺宫，脑筋转转弯、数学灯谜会，幸运大抽奖，看谁中状元等练习。在一节课里，根据教学需要如果给学生恰到好处的创设一两处快乐学习的激发点，就能克服学生厌学的心理障碍，使单调的数学习题趣味化和多样化，真正起到优化教学的目的。这不仅有助于加深理解所学的数学知识，而且有助于发展学生思维的灵活性，并激发学生思考问题的兴趣。例如，讲过乘法分配律，除了像课本中的练习题，给出两个数相加再乘以一个数，要求学生应用运算定律写出与它相等的式子以外，还可以给出一些等式，其中有的不符合乘法分配律，让学生判断那个是错误的；或者用3种图形代替具体的数，写成两个式子，如（＋）×和×＋×，让学生判断它们是不是相等，并说明根据。这些练习都有助于培养学生演绎推理的能力。真正做到让每一个学生“动”起来，让学生的思维“飞”起来，让我们的课堂“活”起来，充分体现在现代课堂教学活动中教学要开放，课堂要开放，学生思维要开放。
（二）题材新
数学是一门学科，更是一种文化。因此，数学练习设计要走出数学学科，让学生去领略另外学科的精彩。设计时综合学生所学科目，确立了以学科知识为基础，以情景主题为背景，适时的穿插另外学科知识，丰富发展数学的内涵，让学生学习数学学科以外的知识，从而领略数学的精彩。如学习《百分数应用题》时，设计这样两道练习：①春池春水满，春时春草生。春人饮春酒，春鸟戏春风。这首诗中“春”字比全诗总字数少（ ）%。②请用百分数表示下列成语:百里挑一（ ）；百发百中（）。这两题都融合了语文知识，在解决数学问题的同时，也学到了古诗和成语的知识，学生的兴趣更为浓厚。
（三）方式新
素质教育的一个重要特点是面向全体学生。在我们平时的练习过程中，练习形式一般有四种即一问一答、板演、笔头和操作。这样的形式不能让全体学生一起思考，一起练习。如果我们精心设计，让全体学生都加入到这样的练习形式中，就能体现出教学的全体性。
二、求活——挖掘习题本身的内在力量保持兴趣
数学教学的一个重要任务是培养学生的灵活思维能力。灵活的思维能力表现在能从不同角度，运用不同的方法，对题目进行分析推理，从而获得不同的结果。这种思维能力的培养，需要开放式的课堂结构，需要教师设计出灵活性较大的练习题。
（一）空间的灵活性
我们课堂教学可以让学生离开座位，教室的每个角落，每个同学都可以作为学生的练习场地与合作伙伴，也可以让学生走出教室，走向生活与社会。作为自然科学基础课的数学只有实现回归自然，融入生活，教育的多向性目标才能实现。
一、三心――“用心”、“耐心”、“花心”
1.学会“用心”----用心创设互动的思维情境
众所周知，人的思维在现成的知识结论中不活跃，而在形成结论的整个探索过程中较活跃。因此，教师要巧设各种有效的思维情境，诱发学生学习的积极性，激发学生的思维，调动起学生自主地参与知识的获得过程、问题的解决过程，从而对问题深入地理解。
案例：《圆的认识》教学片断
师：大家都知道画圆有种特定工具
生：圆规。
师：同学们都准备了一把圆规，你能试着用它在白纸上画出一个圆吗？
生：能。
学生尝试用圆规画圆，交流，明确圆规画圆的基本方法。
师：如果老师今天忘记带圆规却需要画一个圆？你能帮我想一个好办法吗？
师：虽然忘记带圆规，但老师身边有很多其他的材料。你能利用这些材料，试着画出一个圆吗？
学生以小组为单位，利用手中的工具和材料画圆。
……
2.学会“耐心”----耐心培养学生良好的思维习惯
所谓思维习惯，是指人的思维活动在不断的发展过程中逐步形成的一种自觉性、习惯性思维方式，是思维品质的重要组成部分。我们都知道学生的思维习惯，不是靠一天两天就能培养出来的，需要长期的努力与坚持。思维训练的最佳途径是由学生自己主动去思考，因为学生主动思考过的理解最深，也最容易掌握知识的内容、规律和联系。做为教师，我们不可能代替学生去思维。我们能做的是耐心的引导学生慢慢养成思维的习惯。
3.学会“花心”----公平公正的对待每个孩子
由于学生的生理发展、心理发展的差异，以及环境教育的影响，学生之间在思维能力上势必存在着一定的差异。我们发现每一个学生的思维培养过程是一个渐变的过程，都要经过“自我认识――独立思考――求进”的过程，因此教师要耐心地对待思维能力暂时落后的学生，并经常鼓励他们。赏识+尝试=成功。只要我们对学生有信心，有耐心，持之以恒，循循善诱，任何学生的思维总有“发光”的时候。教师的“花心”，其实是对学生的一种公正的喜爱。
二、二意――“有意”、“创意”
1.学会“有意”――有意识的去训练学生的思维能力
婴儿需要在大人的有意训练下才能真正学会自己走路。思维能力的训练也应该是一种有目的、有计划、有系统的教育活动。教师要结合数学教学过程有意识地搭建一些能促进思维发展的“脚手架”，让学生在思维活动中掌握思维方法，促使思维能力不断上“台阶”。
①让学生在独特见解的诉说中思考
特级教师常说的一句话就是：教师的施教之功，贵在引路，妙在使学生主动思考。作为一名普通的数学教师也要学会在数学课堂中精心设计能激发学生思维火花和求知欲望的悬念，让每个层次的学生在积极思考后用自己的语言叙述思考的过程和结果。学生对独特见解的诉说过程对教师来说是获取学生思维的最佳方式，对学生来说则是思维能力提高的最佳途径。这样的过程看似要花些时间，但它常常可以使学生的思维在不断交叉、撞击中，生成新的火花。
案例：《圆的认识》一课中的“画圆”环节
教师要求学生在纸上尝试用圆规画一个圆。结果发现学生出现了如下一些问题：起点和终点不能重合；画出的圆成了椭圆；将弧线画得时隐时现，粗细不匀。
教师将学生的作品投影后，质疑：为什么会出现这样的情况呢？请仔细思考后，和你的同桌交流一下你认为出错的原因是什么。
生1：我认为画圆时，起点和终点不能重合，可能是因为圆心没有固定好。画圆时，圆规的一脚离开了圆心。
生2：我认为将圆画成了椭圆肯定是因为半径发生了变化。画圆时，圆规两脚的夹角一定要固定好。
生3：我认为出现第三种情况是因为画圆时手腕的用力不均匀，圆规的使用方法不正确引起的。
师：怎样才能画一个正确的圆？我们在画圆时应该注意哪些问题呢？
学生通过讨论交流，很快总结出了画圆的方法和注意点。
……
②让学生在开放性的解题过程中思考
学生在解答开放性的巩固练习题中能提高思维的敏捷性、灵活性和深刻性。因为开放性的数学题目比较容易打破解题常规，克服思维定势，拓展思维领域，进而培养学生思维的灵活性、广阔性、创造性。
案例：《乘法分配律》一课中的拓展练习环节
师：出示一道开放性的巩固练习题：
将下面的算式补充成可以利用乘法分配律进行简便计算的算式后进行计算。
35×49+（ ）×（ ）
先让学生独立思考计算后进行交流、讨论。
生1：35×49+（ 35 ）×（ 51 ）
师：这道题可以用乘法分配律进行简便计算吗？谁能来算一算。
生2：35×49+ 35×5135×（49+51）=35×100=3500
师：你们还有不同的填法吗？
生3： 35×49+ 65×4949×（35+65）=49×100=4900
生4：35×49+（ 35 ）×（ 1 ）35×（49+1）=35×50=1750
生5：35×49+（ 49 ）×（ 5 ）49×（35+5）=49×40=6190
……
2.学会“创意”――用有创意的评价语言去评价学生的思维过程
思维是一个动态的过程，因此评价学生的思维不能仅仅是基于他们思维的结果。教师评价学生思维能力的发展状况，要关注学生差异，动态评价，唤醒学生的求知欲望，触及学生的“最近发展区”，激活思维。
比如“你能开动脑筋想出这么有特色的方法，你是小神童吗？”
“你们小组能够在这么短的时间内一题多解，思维的能力快超过电脑了！”
“你很会抓住重点，抓住重点问题就解决了！”
“你真善于总结方法，很会学习。”
……
错解：是.
评析： 受分数线的影响，误以为 是分数.是不是分数，不能光看形式，而要看结果.如果假设它是分数，则它必是有理数，与它是无理数相矛盾！所以它不是分数.
正解：不是.
例2 计算： .
错解：原式＝ + =1 .
评析： 误以为存在结论“ = + （a≥0，b≥0）”，其实，一般情况下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.
正解：原式＝ = =1 .
例3 化简： .
错解：原式＝ =m+n .
评析： 解答有两个错误：一是m＋n是一个整体，必须加括号；二是并不知道m+n是正是负，因此要加绝对值.
正解：原式＝ =｜m+n｜ .
例4 把式子a 中根号外的因式适当改变后移到根号内，并使原式的值不变.
错解：原式＝= .
评析： 利用公式a= （a≥0）时，前提是a≥0.根号外的负因式（数）不能移进根号内，如-2≠ .因此，在将根号外的因式（数）移进根号内前，一定要先判断所移因式（数）是否非负.
正解：由题意可知- ≥0，得a0.
原式＝-（-a） =-=- =- .
例5 化简： .
错解：原式＝ + = + = =2 .
评析： 在a≥0，b≥0时，有 = • ，但一般情况下 ≠ ± .
正解：原式＝ = .
例6 化简： .
错解：原式＝ = .
评析： 解答忽视了“m
正解：由题意得m
原式＝ = =- .
例7 计算： ÷ × .
错解：原式＝ ÷1= .
评析： 乘、除是同级运算，应按照从左到右的顺序做，不应先算后面的乘法.
正解：原式＝ × × = .
例8 计算： ÷2 .
错解：原式＝ ×==m.
评析： 这里把除法变为乘法时，把2 的倒数误认为.
正解：原式＝ ×==2.
例9 计算： ÷（ + ）.
错解：原式＝ ÷ + ÷ = + .
评析： 受“乘法分配律”的影响，误以为存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”这一结论.
正解：原式＝ = =3 -2 .
例10 已知0
错解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.
评析： 这里忽视了“0
正解：由0
原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.
例11 化简： .
错解：原式＝ = - .
评析： 当x＝y>0时， - =0，错解是将原式分子分母都乘以一个可能等于0的式子，所以这种方法是错误的.
正解1：（1） 当x＝y时，代入原式，得原式＝0.
（2） 当x≠y时， - ≠0，解法同错解.
综合（1）（2），得原式＝ - .
正解2：显然x，y均为非负数.
原式＝ = - .
练习题
已知方程x2+3x+1=0的两个根为α，β，求 + 的值.
解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.
由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3，α β=1.
原式＝ + = = =-3.