时间：2023-05-29 18:21:25
例1（贵州省黔南）如图1-1，是由半圆和三角形组成的图形，请以AB为对称轴，作出图形的另一半（用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法和证明）。
分析画较复杂平面图形的轴对称图形，可采用化整为零，再聚零为整策略进行分析观察。本题对称轴左面是由半圆和三角形组合成，只需分别作半圆和三角形的轴对称图形即可。
解：分别作半圆和三角形关与直线AB的轴对称图形即可，如图1-2所示。
例2（北京市海淀）如图2-1是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。
解：本题答案不惟一，所补图形如图2-2~图2-5所示：
二、最短路线与轴对称
例3、（浙江省绍兴市）台球是一项高雅的体育运动，其中包含了许多物理学、几何学知识。如图3-1是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，击秋者想通过击打E球先撞击球台的AB边，经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点？请在图中用尺规作出这一点H，并作出E球的运行路线（不写画法，保留作图痕迹）。
分析根据轴对称变换的性质，本题关键是作点E或点F关于AB的对称点。
解：作点E关于直线AB的对称点E'，连接E'F，设E'F与AB交于点P，球E的运动路线就是EP-PF（如图3-2）
说明关于轴对称的两个图形全等，对称轴是对应点连线段的垂直平分线。
例4（浙江省湖州市）如图4-1，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）。
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=时，PAB的周长最短；
（2）设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m= ，n= （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由。
分析第（1）问可通过作A关于x轴对称点？，把线段之和转化成一条线段解决；第（2）问是几何最值问题，通常借助对称知识解答，运用的数学原来是“两点之间，线段最短”。
解：（1）如图4-2，作点A（2，-3）关于x轴的对称点A'（2，3），连接A'、B，交x轴于P。
点A'、B坐标分别是（2，3）、（4，-1）直线A'B的解析式为y=-2x+7，当y=0时，x=3.5，即p=3.5。
（2）如图4-3，作点A（2，-3）关于y轴的对称点A'（-2，-3），点B（4，-1）关于x轴的对称点B'（4，1），连接A'B'，交y轴于N，交x轴于M，根据轴对称性质可知此时四边形ABMN的周长最短。
三、坐标与轴对称
例5、（海南省）ABC在平面直角坐标系中的位置如图5-1所示。（1）作出ABC关于y轴对称的A1B1C1，并写出A1B1C1各顶点的坐标；（2）将ABC向右平移6个单位，作出平移后的A2B2C2，并写出A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察A1B1C1和A2B2C2，它们是否关于直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴。
分析要作出三角形关于x轴或y轴的对称图形，关键是作出三角形的对称点，本题应分别作A、B、C关于x轴或y轴的对称点。
解：（1）所作图形如图5-2所示。A1（0，4），
B1（2，2），C1（1，1）；（2）A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；（3）A1B1C1与A2B2C2关于直线x=3轴对称。
一、怎样切蛋糕
例1小明过生日，妈妈给他买了一盒生日蛋糕.现要把它切成三块，小明吃的那块占一半，而爸爸的、妈妈的各占四分之一.已知蛋糕是圆形的，且厚度均匀.请问应该怎样切？
分析：圆是轴对称图形，沿着它的对称轴（直径所在的直线）对折后两边能够重合，也就是说沿着对称轴切能把它分成相等的两部分，并且每一部分又是一个轴对称图形.
解：将蛋糕沿着直径切一刀分成两份，每份是个半圆形.再沿着其中的一个半圆形蛋糕的对称轴切一刀，便把这半块蛋糕切成相等的两份.
点评：解答本题要明确圆以及半圆都是轴对称图形，并能找到它们的对称轴.
二、如何将不等关系变为相等关系
例2某校八（2）班在一次数学探究性学习活动中，节目主持人小明出了一道题目：“如何把下列等式（如图1）变成一个真正的等式？”很长时间没有人能答出来，小英仅仅拿了一面镜子，就很快解答出了这道题目.你知道她是怎样做的吗？
分析：观察图1，显然等式不成立，只有5＋3＝8，因此需要将图1中的“2”变成“5”.借助镜子，利用轴对称的性质，可使这个等式成立.
解：利用镜子，建立轴对称图形，把镜子如图2所示放置，镜子里面的等式就是一个真正的等式.
点评：本题既用了轴对称的知识，又用了物理中镜子成像的知识.
三、残月还是轴对称图形吗
例3“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”，都知道满月是轴对称图形，对称轴有无数条.那么残月还是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴呢？请画草图说明.
分析：残月相当于由两个圆的一部分弧线组成的图形：一个圆是轴对称图形，两个圆放在一起也是轴对称图形，对称轴是通过两个圆的圆心的直线.
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与生活联系的主要内容。在自然界和日常生活中，具有轴对称性质的图形很多。教材通过立交桥、交通标志、天安门、剪纸（窗花）等的实物图让学生观察、分析它们的共同特征，再做剪纸实验，然后揭示轴对称图形；而关于两个图形成轴对称，关键点是让学生理解这是两个图形之间的一种位置关系，即两个图形沿某条直线折叠后能够重合。在教学中要让学生学会研究、发现、归纳、比较、运用的研究问题的方法，这对今后学习数学是有帮助的。
【教学目标】
知识与技能
1.了解轴对称图形和对称轴的定义；
2.能辨别一个图形是否是轴对称图形，并能理解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别与联系；
3.了解轴对称的性质。
过程与方法
通过观察、思考和动手操作，培养学生的探索与实践能力，并让学生关注生活，学会观察，增强交流。
情感、态度与价值观
引导学生领略自然世界的美妙与对称世界的神奇，激发学生数学审美情趣。
【教学重难点】
教学重点：认识轴对称图形的特点，建立轴对称图形的概念，准确判断生活中哪些物体是轴对称图形。轴及轴对称的性质。
教学难点：找轴对称图形的对称轴及轴对称的性质。
【教具准备】
多媒体课件、直尺、剪刀和彩纸等。
【教学过程】
一、情景创设，欣赏图片，将生活中的对称美牵引到数学中来（先不提轴对称现象）
教师：我们生活在图形的世界中，利用图形的某种特征我们想象和创造了许多美丽的事物。（教师出示多媒体课件飞机、窗花、蝴蝶、交通标志、天安门等图片）
问：这些图形有什么共同的特征？你能再举出几个生活中具有类似（对称）的物体，并与同桌交流吗？
二、动手操作，合作交流
（一）轴对称图形
1.做一做：老师把一张长方形的彩纸对折，折痕处不要完全剪短（先对折，再多次对折得出不同的图案），想一想，展开后会是一个什么图形？（教师多演示几遍）
2.结合先前观看的图片，请大家想一想：能发现它们有什么共同点？（提出对称现象）
3.前后或同方同学议一议：再引导学生归纳轴对称图形的概念。
归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠（对折），直线两旁部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
练习：
试一试：下面的图形是轴对称吗？如果是，指出它的对称轴。
（二）轴对称
1.出示教材第59页图片（多媒体展示），让学生讨论：这些图片有什么共同点？你能概括出来吗？
学生在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形就能够重合。
2.教师加以引导总结归纳出轴对称的概念：把一个图形沿着某一条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
3.练习
（1）找出26个大写英文字母中，哪些是轴对称图形？
（2）小明站在镜子前，从镜子中看到对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是多少？
（三）关于某条直线成轴对称的图形的性质特征
观察、类比轴对称图形和成轴对称的两个图形的特点，引导学生对轴对称和轴对称图形的区别和联系进行讨论交流，加深
理解。
1.思考：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
学生归纳：成轴对称的两个图形全等；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的。
2.轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
在学生讨论的基础上得出：
区别：轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊性的图形。
联系：轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果将两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
三、巩固练习
教材第60页练习题。
四、归纳小结
师：这节课你学到了什么？
（1）轴对称、轴对称图形的概念；
（2）轴对称和轴对称图形的区别和联系；
（3）你能准确判断轴对称图形，并能找出它的对称轴吗？
五、作业
关键词：初中数学；对称美；教育
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-386-02
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.
一、轴对称
像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.
例1，要在河边l修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？
分析：要解决这个问题，找出点A关于直线l的对称点 ，连结 交直线 于点P，则点P就是到A、B两村庄的距离之和最短的点的位置。
由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。
该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通。
例2、实验探究：
下面设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：
①每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；
②A球击中B球，意味着B球在A球前进的路线上，且B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；
③球撞击桌边后的反弹角等于入射角，如图2，设桌面上只剩下白球A和6号球B，希望A球撞击桌边上C点后反弹，再击中B球。
（1）给出一个算法（在电脑程序设计中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点C，并求出C点坐标；
（2）设桌边RQ上有一球袋S（100，120），给出一个算法，判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋S中（假定6号球被撞击后的速度足够大）。
解：（1）作A点关于x轴的对称点 ，连接
因为球撞击桌边后的反弹角等于入射角
则 与x轴的交点即为电脑所要找的C点
（2）因S（100，120）满足直线 的解析式 ，因此，可判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能落入球袋S中。
二、中心对称
中心对称是指两个图形绕某一点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称广泛存在于几何问题中，巧妙利用好中心对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效途径，常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。。
例3：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长.
四川省苍溪县白驿镇初级中学校 冯正伟
教材分析
教学要求：通过学生的动手操作、观察、想象和判断，理解轴对称和轴对称图形的概念，并会识别和判断。
知识体系：轴对称图形两个图形成轴对称
地位：我们知道，几何研究的对象是图形，对称性是图形的一个重要特征。初中所学平面几何图形，很多都具有轴对称性，它们的性质也主要由轴对称性得来，而平面几何又是立体几何的基础，因此，本节教材与前后教材的逻辑关系是承上启下，具有举足轻重的作用。
学情分析
课前通过对轴对称图形和轴对称的认识的小测验，我发现以下问题：
1.学生对对轴对称图形和轴对称的认识，只停留在表象的基础上，缺乏理论依据。
2.学生对轴对称图形和轴对称这两个概念的认识模糊，相互混淆。
3.学生不能全面考虑轴对称图形的对称轴的数目。
4.大多数学生不能认识到对称轴是直线，而认为是线段。
学生从小学到现在已经对轴对称图形有了丰富的感性认识，但是缺乏理性的认识，因此，本节教学的认知发展线是：感性理性训练理性。
教学目标
知识目标：理解轴对称和轴对称图形的概念，会识别和判断轴对称图形和两个图形成轴对称。
能力目标：通过学生的动手操作、观察、想象和判断，培养学生的实践能力。
情感目标：培养学生创造美，感受数学美的情趣。培养学生严谨的学习态度。
教学重点和难点
教学重点：轴对称图形和两个图形成轴对称的概念并会运用概念识别和判断轴对称图形和两个图形成轴对称。
教学难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的概念的区别。
教学过程
一、创设问题情境，剪纸引入新课
1.教师指导学生剪纸： 树叶、蝴蝶、“囍”，学生随老师剪纸。
2.教师问：“这些剪纸有什么共同特征？”学生对折后，观察发现，交流，回答。教师板书。
设计意图：剪纸引入，暗示了轴对称图形的特征，为得出轴对称图形的概念埋下伏笔。丰富了学生的感性认识，激发了学生学习几何的兴趣。
二、轴对称图形的概念教学
1.教师问：“我们所学几何图形中，哪些也具有这一特征？”学生回顾反思，回答，交流。师生评价。
2.教师问：“我们身边有这一特征的图形吗？”？教师提示（多媒体演示），学生联想，回答，交流。
设计意图：把轴对称图形与数学本体联系，与学生身边的实例联系，让学生对本节内容产生一种亲近感。
3.教师问：“我们把具有这一特征的图形叫做什么图形？你能给出它的定义吗？”学生回答，交流。教师指导，板书。
设计意图：让学生归纳得出定义，明白定义的由来。
4.教师问：“从这一定义中，你能得出判断一个图形是否是轴对称图形的方法吗？要特别注意什么？”学生回答，交流。教师板书。
设计意图：让学生从定义中得知轴对称图形的判断方法，让学生真真意义上从“学会”变为“会学”。
5.课堂训练。
A、判断下列图形是否是轴对称图形，若是，请指出对称轴。
教师出示剪纸作品：三角形、平行四边形、圆、角、等腰梯形。学生判断，回答，交流。教师指导：对称轴的数目，对称轴的形状。
B、猜符号游戏：下列符号都是轴对称图形，有对称轴一旁的部分，(教学论文 )你能猜出这个符号是什么？日 0……
学生猜想，回答，交流。师生评价。
设计意图：通过各种有趣的训练，让学生学会知识，方法的运用，感知图形美。体验知识的价值。
三、两个图形成轴对称的概念教学
1.“将一张纸对折，在折痕的一边滴上一小滴墨水，再沿折痕折起来，展开，得到什么图形？有几个？再做几个，你们发现这些图形有何共同特征？”
教师示范指导，学生随老师制图，观察发现，交流，回答。教师板书。
2.教师问：“我们身边有这样的图形码？”学生联想，回答，交流。
3.教师问：“我们把具有这一特征的两个图形叫做什么？你能给出定义吗？”教师指导。学生思考，回答，交流。教师板书。
4.教师问：“你能从定义中得知如何判断两个图形是否成轴对称吗？你还能得出什么？”学生回答，交流。教师板书。
5.判断下列两个图形是否成轴对称……（多媒体演示）
四、两个概念的联系及区别的教学
1.教师问：“你能利用滴有墨水的图片说明轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系吗？”分小组交流，代表发言，总结。教师指导、示范、板书。
设计意图：让学生通过滴墨水制作轴对称图形和制作两个图形成轴对称，感知这两个概念的区别与联系，符合学生的认知规律，突破了教学难点。
2.教师总结：“事物之间在一定条件下是可以转换的。”
设计意图：教师画龙点睛，向学生渗透了辩证唯物主义的思想。
五、课堂训练
教师出示检测题组。学生训练，交流。
设计意图：通过检测，实现师生间的信息交流，达到信息的完全准确。
六、课堂小结
教师问：“
【案例描述】
片断一：欣赏对称美
课件演示现实生活中的一些对称现象。如艾菲尔铁塔、人民英雄纪念碑、天安门城楼、各国国旗、蝴蝶、蜜蜂、蚂蚁等。重点引导学生观察飞舞的蝴蝶。
师：蝴蝶的外形有什么特点？
生：“蝴蝶的体型匀称” ，“蝴蝶的左右两边的翅膀一样” ，“蝴蝶的左右两边的翅膀对折能够重叠” 。
【评析】形象逼真对称图课件的演示将纯数学化知识变为学生易于接受的直观动态现象，学生欣赏着对称的事物、对称的图形，初步地感受到数学对称美带给的乐趣。
片断二：研究对称美
⒈感知对称特征。（让学生回过头来再看课件：天安门、飞机、桥）
师：“同学们仔细观察这些物体，你发现了什么共同特征”。
生：“左右两边完全相同” ，“像这样的一些物体都是“对称”的。（板书：对称）
师：“在日常生活中你还见过哪些对称的建筑物、物体或图形”？
生：“有数字、汉字、成对的窗户、平行的双轨、上海大剧院……”
⒉认识轴对称图形。
⑴教师把：飞机、奖杯、天安门图片事先发给学生。
师：“请同学们把手中的这个图形折一折，体验一下” ；通过折一折，你发现了什么？（同桌互相讨论，学生汇报，教师利用多媒体演示对折的过程，让学生看清看懂天安门城楼图片左右两边完全重合；飞机图片上下完全重合；奖杯图片左右完全重合。）
师：“这些图形对折后两边能完全重合，（板书：完全重合）这样的图形我们叫做对称图形。”（板书：对称图形）
⑵认识对称轴。
师：“是沿着什么地方完全重合的？谁来指一指？”（学生上讲台指点）
“这就是刚才的折痕（板书：折痕），请动笔描下折痕，这条折痕在数学上我们叫它---轴。因为轴的两边是对称的，我们又叫它---对称轴。”
“像上面我们对折过的这些图形叫做轴对称图形”（板书；轴对称图形）
“刚才我们通过对折认识了轴对称图形，谁来说一说什么样的图形是轴对称图形？”（让学生用自己的话说：对折后两边完全重合的图形叫做对称图形）
⒊找几何图形的轴对称图形。
课件出示一组图形，让学生辨析哪一个是轴对称图形，小组内的同学互相讨论，有不同意见的就从信封拿哪个图来验证一下。
师： “你们小组内的意见统一吗？哪个组愿意派一个代表向大家汇报一下？你们组有不同的意见吗？”（请学生到讲台指图说）说完用多媒体课件展示几何图形的对称轴。
【评析】“美”无处不在，学生正是从生活中的对称美”学习数学，找到数学“美”中的奥秘，探究出：对称找出轴对称图形认识对称轴找出轴对称图形。这恰是数学的奇异与统一美在学生心中显得那样妙趣横生，令人神往。
片断三：寻找对称美
⒈出示交通标志：指出哪些是轴对称图形。
⒉电脑显示：2008、中国、CHINA、奥运五环旗。（指名分别说一说）
师：“今天，我们认识轴对称图形，在你生活周围还有哪些物体是对称的？”
据学生回答，教师再作补充：
自然界中有许多对称现象，如蝴蝶、蜻蜓、昆虫；著名建筑：故宫、埃菲尔铁塔…
师生共同总结：生活中处处有对称现象，图形类、国旗类、标志类、鱼类、生活用品类、昆虫类、数字、文字等。（用课件显示再一次回到生活中的对称）
【评析】数学中处处存在着美：数的美，形的美，比例的美，对称的美。学生通过寻找生活中的对称美，联想到生活中：平行的双轨、相交的马路、成对的窗户、明亮的双眼、勤劳的双手、蝴蝶的双翅、天上的月亮与水中月的倒影等，展示着大自然和人类创造中对“二”的情有独钟，三人为众，三木为森，三日为晶，这些向学生描述着构字的美学法则。
片断四：创造对称美
师：“这些轴对称图形真是太美啦！你想自己做一个轴对称图形吗？小组内讨论：怎样做轴对称图形。”
学生分组合作、交流汇报、黏贴作品。⑴把纸对折，用剪刀剪，或用手撕，都可以得到轴对称图形。⑵先把纸对折，在折痕的一边画一幅水粉画，也可以得到轴对称图形。
【评析】用学到的对称知识，动手扮靓生活，美化教室做到学以致用，学以创造，用心灵体验这便是教学的最高境界。
【教学反思】
一、“美”用心灵呵护
学生在认知过程中欣赏美、挖掘到美，到生活中寻找对称美，并去创造美。“美”要用心灵呵护，才能体会到学习的喜悦，调动学习的积极性，激发思维，培养合作精神。这样，学生在课堂上的表现能让老师看到他们在成长在发展，学生体验到审美的愉悦。实现课程目标关注的态度、情感、价值观。黑格尔说：“唤醒各种本来睡着的情绪、愿望和，使它们活跃起来，把心填满，使一切有教养的人或无教养的人都能深切感受到凡是人在内心最深处和最隐处所能体验和创造的东西……在赏心悦目的关照和情绪中尽情欢乐”。“美”需要经营与呵护。
二、“美”中求知识
引导学生在操作中认识对称美，多种感官的参与，如通过用眼看、动手折、互相说、比一比等活动。让学生探求到美的事物中贮藏着丰富的数学知识，激发探究欲望，找到对称特点和对称轴。在“美境”中学到的知识，记忆犹新，终身难忘，从而使学生感受数学的博大精深，感悟数学的深邃与美丽。
三、“美”善于发现
《数学课程标准》指出“重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学与理解数学；数学教学必须从学生熟悉的生活情境感兴趣的事情中提供观摩与操作的机会，使学生感受到数学的美，对数学产生亲切感。数学知识来源于生活，又应用于生活。练习中通过识别交通标志、数字、汉字、字母、奥运五环标志，哪些是轴对称图形。这样既巩固了新知，又从 “美”中受到爱国教育。
一、教学分析
1、教材地位、作用
《图形的运动与坐标》在华师大版数学八年级(下)第18章《图形的相似》第5节第2课时。本章继轴对称、平移、旋转后介绍了相似，相似也是图形之间的一种变换，生活中有大量存在相似图形，从生活实际出发，认识相似图形的特征并用于解决一些简单的实际问题，让学生体会图形经过平移、旋转、轴对称、相似变换后坐标的变化情况。加深对图形的认识，初步体会数形结合的思想。
2、教学目标
知识目标：在同一直角坐标系中，感受图形变化后各点坐标的变化和图形的变化(平移、轴对称、旋转、放大、缩小);并发展学生数形结合的思想。
能力目标：培养学生的观察能力和动手能力。
情感态度目标：在观察、探索的过程让学生获得发现的喜悦，体验数学活动中充满着探索和创造;引导学生敢于面对学习和生活中的困难和挫折，培养坚强的意志品质。
3、教学重点和难点
重点：同一直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小，探索图形的位置变化引起的点的坐标的变化，点的变化引起的图形的位置的变化。
难点：通过观察、分析、概括把坐标思想与图形变换的思想联系起来，形成数形结合意识。
二、学情分析
1、学生起点分析
八年级下学期的学生已具有图形的平移、旋转、轴对称、相似等变化知识储备，同时已学过建立适当的坐标系来描述物体的位置，能结合具体情景，灵活运用多种形式确定物体的位置，这也是为本节学习图形变化后各点坐标变化带来了知识的可能，但缺乏数形结合意识，所以应加以引导、点拨和启发。
2、教学环境分析
本节是设计在一个平等、民主、合作的环境下进行;同时引入现代教学手段，形成教学环境的选择的多样化。
三、教学方法、手段
教学方法：探索式教学方法。整个教学过程是由问题展示到问题解决，中间围绕“观察----发现----归纳”三个环节组织教学。整个教学模式是由“教师怎么教”转向“学生怎么学”，是从以教师为课堂核心转变为以学生发展为核心，是创新的体现。
教学手段：电脑、实物投影仪等现代教学设备。
四、学法指导
1、感知认识：学生通过认识图形的位置变化引起点的坐标的变化，本节从游戏导入点的位置变化引起坐标的变化
2、实践、探索：通过实例进一步观察图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小，探索位置变化引起的点的变化经过小组讨论，团结合作，发现、归纳、总结规律。同时每一个学生自己试一试在直角坐标系中画一个自己喜欢的一个图形，并写出图形变化后对应点的坐标，达到巩固目的。
3、迁移拓展：怎样用所学的知识测量我校旗杆的高度。(承上启下的作用)
五、理论依据、数学思想
1、理论依据：本节在教学中采用以学生的发展为核心，让学生真正做到课堂的主人，整节是围绕学生的观察感知，实践，概括把坐标思想与图形变化的思想联系起来。
2、数学思想：本节发展数形结合，形象思维的数学思想。
第二层次：教学展开分析
(一)课题引入：设计一个简单游戏，在班级座位中创造性地建立直角坐标系，确定每位同学在这个坐标系中的位置，接着将一个球按线在班级坐标系中运动，引导学生去发现这个球的移动对坐标变化的影响，并由此过度到图形变化中关键点的坐标变化。这样的设计能较为生动的引导学生进入本节课的教学情景中，同时也能感受将“游戏问题转化为数学问题”的过程。
(二)感知阶段：
例：将右图中的ΔAOB沿x轴向右平移3个单位后得到ΔCDE，三个顶点的坐标有什么变化呢?请回答(1)平移后ΔCDE顶点坐标为多少?(2)比较顶点坐标你发现了什么?
(沿X轴向右平移之后，三个顶点纵坐标都没有改变，而横坐标增加一样数)
问：1、沿任意方向平移三角形顶点坐标怎么变化?
2、图形作轴对称、旋转、放大或缩小，对应点坐标如何变化?
设计意图：使学生明确本节是研究图形变化对应点坐标如何变化，从平移入手，懂得研究的方法;老师的提问为学生指明方向。但得让学生明确平移方向不是唯一。
(三)深入探究：演示课件
1、请学生观察ΔAOB，画出以X轴，Y轴为对称轴的对称图形，写出了对应点的坐标，四人小组讨论对应点的变化情况，并汇报，(关于X轴对称，横坐标不变纵变为相反数，关于Y轴对称，纵坐标不变横变为相反数)
2、请学生继续观察ΔAOB，画出绕O旋转1800的图形写出了对应点坐标，四人小组讨论对应点坐标变化情况，并作汇报。问旋转任意角度呢?对应点的坐标作如何变化?(留给学生思考)
(图形关于原点对称，横纵皆为相反数)
3、三角形变大(缩小)时顶点坐标变化情况。
问：(1)ΔAOB和它缩小后得到ΔCOD三角形顶点是多少?
(2)你能求出它们的相似比吗?(3)对应点的坐标有什么关系?
(放大或缩小，横坐标都扩大或缩小相同的倍数)
4、学生取出自己准备的坐标纸建立直角坐标系，并任意画出自己所熟悉喜欢的图形，画出以X轴Y轴对称的对称图形作出它经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的图形并写出对应点的坐标。
5、完成课堂练习P91习题1、2
设计意图：让学生自己动手、观察，动脑，与同学合作交流达到本节目标。使学生明确图形运动与坐标变化规律，解决本节重点问题。培养学生的动手能力与观察能力，发展学生数形结合思想，解决难点问题。打破教材束缚画三角形、四边形的范围，由学生画自己“喜欢的图形”进一步研究图形运动与坐标;激发学生学习兴趣;使学生敢于面对学习和生活的困难和挫折，培养学生坚强的意志品质。
(四)迁移拓展：假如给你一把尺子你会测出我们学校旗杆的高度吗?
设计意图：通过知识拓展承上启下的作用。
(五)课堂小结：
(1)图形沿x轴平移，横变纵不变;
图形沿y轴平移，纵变横不变;
(2)图形关于x轴对称，横不变，纵为相反数;
图形关于y轴对称，纵不变，横为相反数;
(3)
您正在看的中学综合是:图形的运动与坐标。图形关于原点对称，横纵皆为相反数。
(4)放大或缩小，横纵坐标都扩大或缩小相同的倍数。
(六)布置作业：同步练习P351、2、3
第三层次：教学设计和教学结果预测以及评价
在举例之前，首先让我和同学们一起分析一下物理的光的反射定律和平面镜成像特点中究竟存在着怎样的轴对称。
1、光的反射定律：①反射光线与入射光线、法线在同一平面内；②反射光线和入射光线分居在法线的两侧；③反射角等于入射角。从上面三条可画出如图1的一个基本的光路图，从中我们可看出这是一个以法线为对称轴的对称图形（包括法线两侧的光线和平面镜）。
2、平面镜成像特点：①平面镜所成的像和物体到镜面的距离相等；②像和物体大小相等；③像和物体的连线与镜面垂直。由上述三条可画的基本图形（如图2），从中我们又能看出这是一个以平面镜为对称轴的一个成轴对称图形（包括物和像）。
由上述两个轴对称图形作基础，我们在解决物理中的平面镜的有关问题时就经常使用数学中的轴对称知识。
一、确定平面镜的位置和反射光线
例1（南京市中考题）如图3所示，S是发光点，S'是S在平面镜中的像，L是射向平面镜的一条入射光线，在图中画出平面镜的位置和L的反射光线。
分析与解（如图4）①根据平面镜成像特点，S与S'是关于平面镜成轴对称，所以连结S和S'，作SS'的垂直平分线MM'，则MM'即为平面镜的位置；②根据反射定律画出反射光线，平面镜画出后，延长L交MM'于O，过点O作法线ON，再作出L关于ON的轴对称图形OP，则反射光线为OP。
二、确定光源的位置
例2（广西中考题）某发光点S发出的两条光线经平面镜反射后分别沿O1A与O2B方向射出，请根据平面镜成像规律，在图5中画出发光点S的位置。
分析与解（如图6）根据光的反射定律画出入射光线，分别过O1、O2作法线O1N、O2N，再以O1N、O2N为对称轴分别作出O1A与O2B的轴对称图形即为入射光线SO1、SO2，交点为S，则S就是发光点的位置。
三、确定像的位置
例3（河北省中考题）在图7中，根据平面镜成像的特点，画出物体AB在平面镜MN中的像A'B'。
分析与解（如图8）根据平面镜成像特点，以MN为对称轴，分别作出点A和B的对称轴点A'和B'，连结A'B'即为AB平面镜中的像。
四、确定最短路径
例4（威海市中考题）如图9所示，树上停着一只乌鸦，而地上有几个小虫子，那么，乌鸦从树上P点飞下来吃哪一个虫子再飞到对面篱笆墙上的Q点，它飞行的路程最短，请你根据学过的光学知识为它设计一条飞行路线。在图中作出示意图，你所依据的物理知识是 。
分析与解该题是一道平面镜成像的变式题，要求学生能灵活运用光学知识解决生活实际中的路程问题，所依据的物理知识是光的反射定律、光的直线传播和平面镜成像特点。（如图10）以地面为界面（即看成是平面镜）作为对称轴作出P或Q的对称点P'或Q'，再连结PQ'或P'Q，从而画出如图10所示意图：P―O―Q即为乌鸦吃虫的飞行最短路径。
五、确定光照范围
例5（重庆市竞赛题）商场里竖直墙上用平面镜MN装饰，在楼上楼梯口A处有一点亮的电灯。请在图11中标出电灯通过平面镜能照亮楼下水平地面的范围。（作出光路图）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（） A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1 2．在ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（） A． B． C． D． 3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3） 4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3 5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③ 6．如图：在RtABC中，∠BAC=90°，ADBC于点D，BD=1，AC= ，则AD等于（） A． 1 B． C． 2 D． 3 7．如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（） A． 2 B． 4 C． 8 D． 8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（） A． B． C． D． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．二次函数y=ax2+4x+a的值是3，则a的值是． 10．在RtABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA=． 11．过O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为cm． 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号）． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1． 14．在ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的长． 15．已知：如图，ABC中，ADBC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值． 16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式． 17．如图，AB是O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OEAC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）求劣弧AC的长． 18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．（1）求CD的长；（2）求tanA的值． 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分）19．已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0． 20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上．（1）确定m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标；（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？（4）当x取什么值时，y＜0？ 21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明． 22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式． 24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m．（1）求抛物线的解析式；（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB= SMAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 2014-2015学年北京六十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．二次函数y=x2﹣2x+3的对称轴为（） A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1考点： 二次函数的性质．分析： 根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．解答： 解：y=x2﹣2x+3中，a=1，b=﹣2，c=3，x=﹣ =﹣ =1．故选C．点评： 本题考查了二次函数的性质，熟悉二次函数的对称轴公式是解题的关键． 2．在ABC中，∠C=90°，cosA= ，那么sinA的值等于（） A． B． C． D． 考点： 同角三角函数的关系．分析： 根据公式cos2A+sin2A=1解答．解答： 解：cos2A+sin2A=1，cosA= ，sin2A=1﹣ = ，sinA= ．故选B．点评： 本题考查公式cos2A+sin2A=1的利用． 3．二次函数y=﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）考点： 二次函数的性质．专题： 压轴题．分析： 根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．解答： 解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．故选B．点评： 主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 4．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3考点： 二次函数图象与几何变换．专题： 压轴题．分析： 利用二次函数平移的性质．解答： 解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．点评： 本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题． 5．下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（） A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③考点： 命题与定理．分析： 判断命题是否为假命题，就要判断由题设能否推出结论，能推出，则该命题为真命题；不能推出，则该命题为假命题．解答： 解：①由于圆沿着每条直径所在直线对折后能够完全重合，所以圆是轴对称图形；由于圆绕着圆心旋转180°后能与本身重合，所以圆是中心对称图形；所以此命题为真命题，故本选项正确；②垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，是真命题，故本选项正确；③相等的圆心角所对的弧相等，说法不确切，应为“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”，故本选项错误；故选A．点评： 考查了命题与定理，不仅要熟悉命题的概念，还要熟悉圆的定义及相关知识，难度不大． 6．如图：在RtABC中，∠BAC=90°，ADBC于点D，BD=1，AC= ，则AD等于（） A． 1 B． C． 2 D． 3考点： 相似三角形的判定与性质．分析： 根据∠BAC=90°，ADBC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，证得ABC∽ADC，得到比例式 ，求得CD，根据勾股定理即可得到结论．解答： 解：∠BAC=90°，ADBC，∠BAC=∠ADC=90°，∠C=∠C，ABC∽ADC， ，AC2=BC•CD，即（2 ）2=（1+CD）•CD，解得：CD=4（负值舍去），AD= = =2．故选C．点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7．如图，在O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD的长为（） A． 2 B． 4 C． 8 D． 考点： 垂径定理；勾股定理．分析： 连接OC，根据PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．解答： 解：连接OC，PA=2，PB=8，AB=10，CO=5，OP=5﹣2=3，在RtPOC中：CP= =4，直径AB垂直于弦CD，CD=2CP=8，故选：C． 点评： 此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 8．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（） A． B． C． D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．分析： 根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．解答： 解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣ ＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．点评： 应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．二次函数y=ax2+4x+a的值是3，则a的值是 ﹣1 ．考点： 二次函数的最值．分析： 根据二次函数的值公式列出方程计算即可得解．解答： 解：由题意得， =3，整理得，a2﹣3a﹣4=0，解得a1=4，a2=﹣1，二次函数有值，a＜0，a=﹣1．故答案为：﹣1．点评： 本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况． 10．在RtABC中，∠C=90°，a=1，b=2，则cosA= ．考点： 锐角三角函数的定义．分析： 首先求得c的长度，然后由余弦函数的定义求解即可．解答： 解：在RtABC中，由勾股定理得：c= = = ．cosA= = ．故答案为： ．点评： 本题主要考查的是勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握余弦函数的定义是解题的关键． 11．过O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8 cm，那么OM的长为 3 cm．考点： 垂径定理；勾股定理．分析： 根据垂径定理及勾股定理即可求出．解答： 解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB最短的是垂直平分直径的弦CD已知AB=10cm，CD=8cm则OD=5cm，MD=4cm由勾股定理得OM=3cm． 点评： 此题主要考查学生对垂径定理及勾股定理的运用． 12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象，根据图形判断①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正确的是（填写序号） ②④ ． 考点： 二次函数图象与系数的关系．专题： 压轴题．分析： 首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点的位置来判断出a、b、c的位置，进而判断各结论是否正确．解答： 解：根据二次函数的图象知：抛物线开口向上，则a＞0；（）抛物线的对称轴在y轴右侧，则x=﹣ ＞0，即b＜0；（）抛物线交y轴于负半轴，则c＜0；（）①由（）知：c＜0，故①错误；②由图知：当x=1时，y＜0；即a+b+c＜0，故②正确；③由（）（）可知：2a＞0，﹣b＞0；所以2a﹣b＞0，故③错误；④由于抛物线与x轴有两个不同的交点，则=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；由（）知：a＞0，则8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正确；所以正确的结论为②④．点评： 由图象找出有关a，b，c的相关信息以及抛物线的交点坐标，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根据图象判断其值． 三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算： cos45°﹣ tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题： 计算题．分析： 原式第一、二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．解答： 解：原式= × ﹣ × ﹣1+ =﹣1．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．在ABC中，∠A=30，tanB= ，BC= ．求AB的长． 考点： 解直角三角形．分析： 作CDAB于D，先解RtBCD，求出CD、BD；然后在RtACD中利用∠A的正切求出AD的长；那么根据AB=AD+BD即可求解．解答： 解：作CDAB于D．设CD=x，根据题意得BD=3x．在RtBCD中，由勾股定理得x2+（3x）2=（ ）2，解得x=1．所以CD=1，BD=3．在RtACD中，∠A=30°，tanA= ，AD= = ．AB=AD+BD= +3． 点评： 本题考查了解直角三角形，作辅助线把三角形分解成两个直角三角形，再利用三角函数求解． 15．已知：如图，ABC中，ADBC于点D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值． 考点： 解直角三角形．分析： 首先根据所给比例求得AD与DC的比值，从而可求得答案．解答： 解：AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，AD：BD：DC=8：12：15．AD：DC=8：15．ADBC，tanC= ．点评： 本题主要考查的是锐角三角函数的定义，根据已知条件求得AD：BD：DC=8：12：15是解题的关键． 16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于（2，0）、（4，0），顶点到x轴的距离为3，求函数的解析式．考点： 抛物线与x轴的交点．分析： 根据已知条件易求顶点为（3，3）或（3，﹣3）．所以设该二次函数的解析式为顶点式y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．解答： 解：由题意知，顶点为（3，3）或（3，﹣3）．设抛物线的表达式为y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．①当顶点为（3，3）时，抛物线过（2，0），a（2﹣3）2+3=0，a=﹣3．抛物线解析式为y=﹣3（x﹣3）2+3，即y=﹣3x2+18x﹣24；②当顶点为（3，﹣3）时，抛物线过（2，0），a（2﹣3）2﹣3=0，a=3．抛物线解析式为y=3（x﹣3）2﹣3，即y=3x2﹣18x+24．点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要分类讨论，以防漏解． 17．如图，AB是O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OEAC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）求劣弧AC的长． 考点： 垂径定理；三角形中位线定理；圆周角定理；弧长的计算．分析： （1）由垂径定理知，由E是AC的中点，点O是AB的中点，则OB是ABC的BC边对的中位线，所以OE= BC；（2）由圆周角定理得∠A= ∠BOC=30°，根据平角的意义求得∠AOC的度数，再利用弧长公式求得弧AC的长．解答： 解：（1）OEAC，垂足为E，AE=EC，AO=B0，OE= BC=4；（2）∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠A= ∠BOC=30°，在RtAOE中，sinA= ，即OA= = =8，∠AOC=180°﹣60°=120°，弧AC的长= = π． 点评： 本题利用了垂径定理，三角形中位线的性质，圆周角定理，正弦的概念，弧长公式求解． 18．如图，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．（1）求CD的长；（2）求tanA的值． 考点： 解直角三角形．分析： （1）根据30°所对的直角边是斜边的一半进行计算；（2）根据锐角三角函数的概念，只需求得AD的长，再根据勾股定理求得BD的长即可．解答： 解：（1）在RtBDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°， ；（2）在RtBDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°， ， ．∠CBD=30°，∠A=15°，∠A=∠ACB，．AB=BC=10．在RtCAD中， ．点评： 此题综合运用了30°的直角三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的概念． 四、解答题（本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题4分，第22题6分）19．已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）写出当x为何值时，y＞0． 考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象．专题： 应用题．分析： （1）根据配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．（2）画图象的步骤：列表、描点、连线；（3）当y＞0时，即图象在x轴上方的部分，再写出x的取值范围．解答： 解：（1）y=x2+4x+3，y=x2+4x+4﹣4+3，y=x2+4x+4﹣1，y=（x+2）2﹣1；（2）列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …图象见图．（3）由图象可知，当x＜﹣3或x＞﹣1时，y＞0． 点评： 本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法，注意：二次函数的解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）． 20．已知：抛物线y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的图象经过原点，且开口向上．（1）确定m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标；（3）当x取什么值时，y随x的增大而增大？（4）当x取什么值时，y＜0？考点： 二次函数的性质．分析： （1）图象经过原点，即x=0时，y=0，列方程求解，同时要注意开口向上，即m﹣1＞0；（2）把得出抛物线的一般式用配方法转化为顶点式，可求顶点坐标；（3）画抛物线时，要明确表示抛物线与x轴，y轴的交点，顶点坐标及开口方向等；（4）观察图象，可直接得出y＜0时，x的取值范围．解答： 解：（1）由题意得 ，解得m=2；（2）抛物线解析式为y=x2+2x=（x+1）2﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣1）；（3）抛物线如图如图所示；由图可知，x＞﹣1时，y随x的增大而增大；（4）由图可知，当﹣2＜x＜0时，y＜0． 点评： 考查了二次函数的性质，抛物线的顶点式适合与确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，（小）值，增减性等；抛物线的交点式适合于确定函数值y＞0，y=0，y＜0． 21．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明． 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．分析： 过点P作PDAB于D，在RtPBD和RtPAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．解答： 解：没有触礁危险．理由：过点P作PDAC，交AB延长线于D．设PD为x，在RtPBD中，∠PBD=90°﹣45°=45°．BD=PD=x．在RtPAD中，∠PAD=90°﹣60°=30°AD= = x，AD=AB+BD， x=12+xx= =6（ +1），6（ +1）＞12，渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险． 点评： 本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键． 22．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的数量是y台，请写出y与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（2）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是z元，请写出z与x之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）（3）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？考点： 二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题： 销售问题．分析： （1）用x占50的分数乘以4，再加上8台，整理即可得解；（2）用每一台冰箱的利润乘以一天销售台数，整理即可得解；（3）根据利润的函数解析式，令z=4800，解关于x的一元二次方程，再根据使百姓得到实惠解答．解答： 解：（1）根据题意得：y=8+4× = x+8；（2）根据题意得：z=（400﹣x）•（ x+8）=﹣ x2+24x+3200；（3）根据题意得：﹣ x2+24x+3200=4800，整理，x2﹣300x+20000=0，（x﹣100）（x﹣200）=0，解得，x1=200，x2=100，要使这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，x=200．答：要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠每台应降200元．点评： 本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，（1）根据x所占50的分数列出销售台数是解题的关键，（3）要注意使百姓得到实惠的条件限制． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；（1）求a的值；（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式． 考点： 二次函数综合题．专题： 综合题．分析： （1）将B点坐标代入抛物线C1的解析式中，即可求得待定系数a的值．（2）在抛物线平移过程中，抛物线的开口大小没有发现变化，变化的只是抛物线的位置和开口方向，所以C3的二次项系数与C1的互为相反数，而C3的顶点M与C1的顶点P关于原点对称，P点坐标易求得，即可得到M点坐标，从而求出抛物线C3的解析式．解答： 解：（1）点B是抛物线与x轴的交点，横坐标是1，点B的坐标为（1，0），当x=1时，0=a（1+2）2﹣5， ．（2）设抛物线C3解析式为y=a′（x﹣h）2+k，抛物线C2与C1关于x轴对称，且C3为C2向右平移得到， ，点P、M关于点O对称，且点P的坐标为（﹣2，﹣5），点M的坐标为（2，5），抛物线C3的解析式为y=﹣ （x﹣2）2+5=﹣ x2+ x+ ．点评： 此题主要考查的是二次函数解析式的确定、二次函数图象的几何变化以及系数与函数图象的关系，需要熟练掌握． 24．如图，抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB的宽为20m．涨水时水面上升了3m，达到了警戒水位，这时水面宽CD=10m．（1）求抛物线的解析式；（2）当水位继续以每小时0.2m的速度上升时，再经过几小时就到达拱顶？ 考点： 二次函数的应用．分析： （1）先设抛物线的解析式为y=ax2，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解；（2）由（1）可知抛物线的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的长度，进而求出时间．解答： 解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2．设D（5，b），则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得： ，解得 ，y=﹣ x2；（2）b=﹣1，拱桥顶O到CD的距离为1， =5小时．所以再持续5小时到达拱桥顶．点评： 本题主要考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 25．下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，﹣4）．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使SPAB= SMAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 考点： 二次函数综合题．专题： 压轴题．分析： （1）由顶点坐标确定m、k的值，再令y=0求得图象与x轴的交点坐标；（2）设存在这样的P点，由于底边相同，求出PAB的高|y|，将y求出代入二次函数表达式求得P点坐标；（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b的取值范围．解答： 解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）2+k的顶点坐标，所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，令x2﹣2x﹣3=0，解之得x1=﹣1，x2=3．A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）；（4分）（2）在二次函数的图象上存在点P，使 ，设P（x，y），则 ，又 ， ．二次函数的最小值为﹣4，y=5．当y=5时，x=﹣2或x=4．故P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；（3）如图，当直线y=x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，故可知y=x+b在y=x+1的下方，当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=﹣3，由图可知符合题意的b的取值范围为﹣3＜b＜1时，直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点． 点评： 本题考查了由函数图象确定坐标，以及给出面积关系求点的坐标和直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．
类型一：关于二次函数图像的平移问题。
例1、将抛物线y=x2-2x+3向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线，解析式是 。
点评：抛物线的平移，其实质是顶点的平移，因此先把抛物线配成顶点式y=a（x-h）2+k，再按顶点横坐标“左移加右移减”，顶点纵坐标“上移加下移减”的规则进行。
解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，平移后的抛物线解析式为：y=（x-2）2-1=x2-4x+3。
类型二：根据二次函数的图像，确定系数间的关系、顶点坐标、对称轴等问题。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示。给出以下结论：①a+b+c
A、③④ B、②③ C、①④ D、①②③
点评：由已知抛物线在坐标系中的位置，判断与系数a、b、c有关的代数式值等有关的问题，应从五个方面进行思考：①开口方向，②与y轴交点的大致位置，③对称轴与y轴的相对位置，④与x轴交点的个数，⑤自变量取特殊值时对应的函数值的符号。答案为B。
类型三：二次函数图像与坐标轴的交点问题。
例3、函数y=kx2-6x+3（k≠0）的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 。
点评：函数y=ax2+bx+c与x轴的交点个数，由判别式“=b2-4ac”来确定。当>0时，抛物线与x轴有两个交点；当=0时，抛物线与x轴有且仅有一个交点；当
解：由=（-b）2-4×3k=36-12k≥0得k≤3，k的取值范围是k≤3且k≠0。
类型四：根据题目已知条件，确定二次函数的解析式等有关问题。
例4、如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别较于A、B两点，把OAB绕点O顺时针旋转90°得到OCD。
①求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；②在所求抛物线上面是否存在点P，使得直线CP把OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在请说明理由。
点评：在求二次函数的解析式时，要根据题目条件，恰当设出解析式，常见有三形式：①一般式y=ax2+bx+c（a≠0）；②顶点式y=a（x-h）2+k（a≠0）；③交点式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）x1、x2为抛物线与x轴的两个交点的横坐标），本例根据题目条件求出A、B、D三点坐标，可设一般式，从而求得。
解：①由已知得：
A（-2，0） B（0，4） C（0，2） D（4，0）
设经过A、B、D三点的抛物线为y=ax2+bx+c，则有4a-2b+2c=0c=416a+4b+c=0解得a=-，b=1，c=4
抛物线的解析式为：y=-x2+x+4。
若存在点P满足条件，则直线CP必须过OD的中点E（2，0），不难知道经过C（0，2）、E（2，0）的直线为y=-x+2，于是设点P的坐标为P（m，-m+2），把P点坐标带入抛物线的解析式得：-m2+m+4=-m+2即m2-4m-4=0，解得m=2±2 满足条件的点P有两个：P1（2+2，-2）；P2（2-2，2）。
类型五：用配分法或公式法求求二次函数图像的顶点坐标、对称轴及最大（小）值等。
例5、试求出抛物线y=x2+x-的顶点坐标，对称轴方程及函数的最大（小）值。
点评：配分法与公式法是常用的两种方法，其中公式法较为方便，因此应熟记公式：顶点坐标：（-，），对称轴是直线x=-。
解：将a=，b=1，c=-带入上述公式得该抛物线的顶点坐标（-1，-3），对称轴是直线x=-1，函数有最小值是-3。
类型六：从不同角度思考，解决与二次函数有关的生活实际问题等综合应用题。
例6、如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图像交与A、B两点，其中A点坐标为（3，4），B点在y轴上。①求m的值及这个二次函数的关系式；②P为线段AB上的一个动点（点P不与A、B重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；③D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由。
点评：该类题型综合性大，应用知识多，因此应认真审题，理解题意，探求解题思路，从而进行正确解答。
略解：①把点A（3，4）带入y=x+m中，m=1，由于知道抛物线的顶点坐标为C（1，0） 设y=a（x-1）2，把点A（3，4）带入抛物线中，得a=1。所求二次函数解析式为y=x2-2x+1。
②设P、E两点的纵坐标为y1、y2，则有：PE=h=y1-y2=（x+1）-（x2-2x+1）=-x2+3x即h=-x2+3x（0
一、基础知识复习
步骤（1）先画一个基本图形
师：这是什么图像？
生（全体）：抛物线；
师：它所对应的是什么函数？
生（全体）：二次函数；
师：该函数的一般形式是什么？
生（全体）：一般形式是：y=ax+bx+c（a≠0）。
【设计目的】通过图像，更好更直观地帮助学生记忆知识点。
步骤（2）通过该抛物线的图像的特征，你可得到哪些结论？并说明理由。
生1：因为开口向上，所以a>0图像与y轴交于负半轴，所以c
师：那你能指出b的符号吗？
该生有点迟疑，教师适时引导。
（通过对称轴在y轴的右侧和a的符号，就可以判断出b
生2：因为图像与x轴有两个交点，所以>0。
教师根据学生的回答，归纳二次函数与x轴的交点个数与 =b2-4ac的关系：
（a）图像与x轴有两个交点，则>0；
（b）图像与x轴有一个交点，则=0；
（c）图像与x轴有一个交点，则
步骤（3）已知A（-1，0），B（3，0），现在你又可以得到哪些结论？
生3：对称轴为直线x=1；a-b+c=0；a+b+c
师：由图像的形状，你还可看出什么？
生4：增减性。当x？燮1时，y随着x的增大而减少；
当x≥1时，y随着x的增大而增大。
师：你能根据已知条件求出该二次函数的解析式吗？
生（全体）：不能，还需要知道一个点。
步骤（4）已知与y轴的交点C为（0，-3），请求出该抛物线的函数解析式。学生在下面做，教师巡视。然后，叫两位做法不一样的学生上去板演。下面是两种不同的解法。
解法一：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）分别代入上式
得a-b+c=09a+3b+c=0C=-3解得a=1 b=-2c=-3
所求的抛物线的解析式为y=x2-2x-3
解法二：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入上式，得-3a=-3，解得a=1
所求的抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）即y=x2-2x-3
让学生上去板演的目的：（1）体现一题多解思想，打开学生解决问题的思路。
（2）注意书写的规范和步骤的严密。
步骤（5）请求出该抛物线的顶点坐标，并写出顶点式。该抛物线可由怎样的二次函数经过平移得到。
【设计目的】复习如何求顶点坐标，一般式化顶点式，以及平移的知识点。
二、知识点的综合运用
问题1 请在抛物线的对称轴上找点P，使得AP+CP的长度最小。
分析：AP=BP，则AP+CP=BP+CP，当C、P、B三点共线时，BP+CP长度最小，即AP+CP的长度最小。此时P点就是直线CB与对称轴的交点。
问题2 在抛物线上找点P，使得BCP是直角三角形，其中以BC为直角边。
情况一：CD=，CB=3，BD=2，BCD是直角三角形，其中∠BCD=900，P点的坐标为（0，-3）
情况二：如果所示，易得∠EBO=450，则EBO是等腰直角三角形，E点的坐标为（0，3），则直线BE的解析式为y=-x+3
P点的坐标为（-2，5）
问题3 求出BCD面积
其中，H就是直线CB与对称轴的交点。
【设计目的】第二种方法不是教材中要求掌握的，它出自于课时特训，但它却是一种很不错的方法，也应用很广，有必要值得我们学生去了解和掌握。这有助于提高学生的解题能力。
问题4 请在位于x轴下方的抛物线上找点M，使得BCM面积最大。
【设计目的】动点问题是近几年中考的热点问题，同时也是学生难掌握的题型，所以有必要多接触这种题型。在这题中又把上题刚刚提到的面积公式再重温了一下，及时巩固新知。
问题5 求四边形ACDB的面积
方法一：利用CB分割成两个三角形。
方法二：利用y轴、对称轴分成三部分。
本题实际上是刚才问题3的拓展和延伸
问题6 在x轴上找点F，在抛物线上找点G，使得四边形FGAQ是平行四边形。其中Q是C关于对称轴的对称点。
分析：有四种情况。通过几何画板来演示，这是解决有多种情况的问题的很好的手段。
【设计目的】本题用到了重要的数学思想――分类讨论思想。这种题型也是近年中考的热点问题之一，特别会出现在中考压轴题中。由于情况多样复杂，使得解题变得困难，学生往往都不能完整解答。所以在平时教学中应加强训练，掌握解这种题型的技巧。
关键词：图像变换 平移变换 伸缩变换 对称变换
从《高中数学考试大纲》、《考试说明》以及高考命题趋势可以知道，对“函数的图形变换”这一知识点的考察，在历年来高考试题中频频出现。而函数图像有关的试题，包含有“要从图中（或列表中）读取各种信息；注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换；注意函数的对称性、函数值的变化趋势；运用数形结合思想来解题的能力”等等，各个方面都可以设计考题。
本文仅从“图像变换”这一个角度，谈谈自己的点滴教学心得。
在对“图像变换”的最初教学中，每每感到已经讲解得明明白白、清清楚楚的知识点，总有部分学生常在实际解题中出错或混淆，是学生自身的知识迁移能力差？还是知识掌握的不牢固？或者根本就是教学失败？对此，我进行了深深的思考。
高中的知识在涉及到“图象变换”的地方主要有以下章节《函数》、《三角函数》、《平面向量》，并且每次的思考角度与背景都有不同。
一、在《函数》这一部分中主要是从图像变换前后的差异入手，从而归纳出函数图像变换的规律，并加以记忆。
函数图像变换的几个重要性质：
①平移变换：
函数y=fx+a（a>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；
函数y=fx+a（（a
函数y=fx+b（b>0）的图像是把函数y=fx助图像沿y轴向上平移b个单位得到的；
函数y=fx+b（b
②伸缩变换：
函数y=fωx（ω>0）的图像是把函数y=fx的图像沿x轴伸缩为原来的1ω得到的；
函数y=Afx（A>0）的图像是把函数y=fx的图像沿y轴伸缩为原来的A倍得到的.
③对称变换：
由函数y=f（x）图像作关于y轴的对称图像从而得到函数y=f（-x）的图像。
由函数y=f（x）图像作关于x轴的对称图像从而得到函数y=-f（x）的图像。
由函数y=f（x）图像作关于原点（O，0）的对称图像从而得到函数y=-f（-x）的图像。
由函数y=f（x）图像去除y轴左边部分，保留y轴右边部分同时作其关于y轴对称图像从而可以得到函数y=f（|x|）的图像。
由函数y=f（x）图像保留x轴上方的图像不变，同时作出x轴下方部分关于x轴的对称图像，（或者认为是将下方图像关于x轴翻折上去）从而可以得到函数y=|f（x）|的图像。
由函数y=fa+x图像作关于直线x=a对称的图像可以得到函数y=fa-x的图像.
由函数y=f（x）图像关于直线y=x作出对称图像可以得到y=f-1（x）。
说明：以上变换均在定义域允许的范围下或存在有意义的条件下进行。
学生在记忆知识点时可以依靠口诀：“左加右减，上加下减”记平移变换；“纵乘横除”记伸缩变换；“奇偶相关，正负变号”记对称变换。
二、《三角函数》中的图像变换主要针对三角函数这一类型特别给出，作为函数的一种，其变化规律也应该符合以上结论。
三、《平面向量》中的图像平移变换，则是侧重对函数图像变换中的平移变换进行学习与研究。
点F（x，y）按照向量=h，k平移后得到点F′（x′，y′），其平移公式为x′=x+hy′=y+k
同样可以推导出：函数y=f（x）按照向量=h，k平移后得到函数y-k=f（x-h）的图像。如果与前面平移规律相比较，可以对应为：
当h>0，k>0时，由函数y=f（x）向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。
当h>0，k
当h0时，由函数y=f（x）向左平移h个单位，再向上平移k个单位得到函数y-k=f（x-h）的图像。
当h
由以上知识归纳，可以有三种不同的题型设计方法：
（1）已知平移前的函数解析式与平移向量，求平移后的函数解析式；（2）已知平移前后的函数解析式，求平移向量；（3）已知平移向量与平移后的函数解析式，求平移前的函数解析式或解析式中的字母的值或取值范围。
由于以上诸多的一般结论记忆困难，可以将平移向量在直角坐标系中作出图像，再进行对应，可以解决在叙述中的相互转换。
例题解析：
例1、设f（x）=2-x，g（x）的图像与f（x）的图像关于直线y=x对称，h（x）的图像由g（x）的图像向右平移1个单位得到，则h（x）为 。（答： h（x）=-log2（x-1））
分析：依据图象变换的顺序，首先得到g（x）=-log2x，再根据“左加右减”得h（x）=-log2（x-1）。
例2、如若函数y=f（2x-1）是偶函数，则函数y=f（2x）的对称轴方程是 。（答：x=-12）.
分析：函数y=f（2x）的图像可以看成由函数y=f（2x-1）的图像向左平移a=h，k得到。所以图像的对称轴也由y轴向左平移了12，所以函数y=f（2x）的对称轴为x=-12。
例3、把函数y=log2（2x-3）+4的图像按向量a平移后得到函数y=log24x的图像，则a= ； （答：a=（-32，-3））
评析：这就是属于“已知平移前后的函数解析式，求平移向量”这种类型的题。初看，2x变换为4x应该有伸缩变换，单纯平移变换似乎无解，其实这里我们应该注意到log2（4x）=1+log22x，即说表面上的伸缩变换在对数中，可以由纵向的平移变换替换的.
分析：因为log24x=1+log22x，所以，只需按照向量a=（-32，-3）平移，就可以将y=log2（2x-3）+4的图象变换为y=log24x的图象。
例4、已知f（x）是R上的增函数，令F（x）=f（1+x）-f（1-x），则F（x）在R上的单调性是（ ）（答：A）
（A）增函数 （B）减函数 （C）先增后减 （D）先减后增
解法一：f（1-x）是由f（x）左右对称翻转后再右移1个单位得到，
f（1-x）是减函数，则-f（1-x）是增函数，f（1+x）是由f（x）右移1个单位得到，
仍然是增函数，
f（1+x）-f（1-x）是实数集上的增函数；
解法二：特殊化法，如f（x）=2x，则可以更快捷地得到结论
例5、要得到y=cos2（π4-x）的图像，只需将函数y=sin（2x-π3）的图像（ ）（答：C）
（A）向左平移π3个单位 （B）向右平移π3个单位 （C）向左平移π6个单位 （D）向右平移π6个单位
分析：注意到y=cos2（π4-x）=cos（π2-2x）=sin2x
因为y=sin2x向右平移π6个单位可得到y=sin2（x-π6），即y=sin（2x-π3）
故y=sin（2x-π3）向左移π6可移回得y=sin2x，也即y=cos2（π4-x）.
通过对以上知识的归纳与深刻理解，学生对“图像变换”已经感到心中有数。因为只有理解了“图像变换”的本质，掌握了在不同背景下的变换却拥有同一变换原理，才可以从容面对变化万千的各种“图像变换”。
附练习：
（1）、若f（x+199）=4x2+4x+3，则函数f（x）的最小值为__ __。（答：2）；
（2）、要得到y=lg（3-x）的图像，只需作y=lgx关于_____轴对称的图像，再向__ __平移3个单位而得到。（答：y；右）；
（3）、函数f（x）=x・lg（x+2）-1的图像与x轴的交点个数有_ ___个。（答：2）
（4）、将函数y=bx+a+a的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图象关于直线y=x对称，那么（ ）（答：C）
（A）a=-1，b≠0 （B）a=-1，b∈R （C）a=1，b≠0 （D）a=0，b∈R
（5）、将函数y=f（x）的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为 （答：f（3x+6））；