时间：2023-05-29 18:21:25
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇抛物线及其标准方程，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1.关于“如何引入课题”
在我们的日常生活中，抛物线有着重要而广泛的应用，例如，探照灯就是利用抛物面的光学性质制作而成，将点光源发出的光，折射成平行光，照射到足够远的地方.教师在引入课题的时候可以利用多媒体向学生展示一些类似的例子，让学生直观地感受抛物线，同时对比二次函数及其图像，向学生抛出“如何给出抛物线的定义”，从而引出新课.
2.关于“抛物线定义的教学”
在介绍抛物线的画法时，教师应尽量创造条件，让学生亲自动手画出抛物线，引导学生细心观察动点的运动过程，并用数学语言描述动点的运动规律，用心体会数学语言的精确性.在画抛物线的过程中，使学生明白抛物线上的点所满足的几何条件，引导学生概括出抛物线的定义.对抛物线的定义特别要强调的是定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过定点F垂直于直线l的一条直线.如，到点F（1，0）和到直线l：x+y-1=0的距离相等的点的轨迹为：x-y-1=0，该轨迹是过定点F（1，0）且垂直于直线l：x+y-1=0的一条直线.
同时，也可以恰当使用信息技术帮助学生理解抛物线的概念，例如几何画板等，以便让学生更直观地看到动点的运动轨迹.但有时教师由于课时等因素的限制，一般都会在课下就做好课件，课堂上直接演示.实际上用几何画板演示抛物线的形成过程时，建议教师让学生亲历课件制作的过程，演示过程中注意动点的运动速度的控制，引导学生边观察、边思考，这样的过程会有利于学生在动态变化中强化对几何概念的认识.
由于在教学中圆锥曲线方程的推导都需要建立坐标系，故教师要引导学生有意识地加强对“如何建系”的思考，例如抛物线方程的推导中为什么不将定点设在坐标系的原点处？或是以定直线为y轴？这样的思考无疑会有利于学生理解标准方程的意义，进而进一步理解解析几何的本质.特别要注意的是，学生可能会提出各种建系的方式，为了使抛物线方程最后的形式简洁，教师应与学生共同分析并做计算，从而找到较好的建系方式.与此同时还要强调动点所满足的几何条件，因为这是求曲线方程的关键.
还有在推导的过程中会遇到方程的化简.在很多情况下，学生都会遇到类似的方程的化简、利用多个等式于不等式的关系解决如变量的取值范围等问题.由于学生在初中阶段方程的学习仅限于整式方程中的一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程和二元一次方程组，以及可化为一元一次方程的分式方程，不等式的学习也仅限于一元一次不等式，高中阶段学习了一元二次不等式，教师从学生这样的经历不难看出，学生在学习本章时代数变形的学习经历是非常有限的，这就造成了一部分学生在具体的解题过程中缺乏信心、经验不足.因而，建议教师结合学生遇到的具体困难，加强对学生的指导和示范，帮助学生积累代数变形的经验，提高代数推演的能力.
另外，一条抛物线由于它在坐标系内的位置不同方程也不同，于是希望学生自己归纳出抛物线开口向左、向上、向下三种情形下的方程，并求出相应的顶点坐标、焦点坐标.建议画出表格的第一、第二列，引导学生根据抛物线的对称性将下表补充完整.
4.关于“知识巩固”
考虑到抛物线的定义，几何图形，标准方程要求掌握，所以在设置例题的时候要有梯度，例如：求下列抛物线的焦点和准线方程：
同时，为了强调圆锥曲线的应用体现数学的应用价值，可以选取实际应用的例子，帮助学生树立模型观念，为运用这些模型解决实际问题做了良好的铺垫.
关键词：探究学习；小组合作；问题意识
探究学习可以增加学生对数学的理性认识，加深对数学问题的理性思考，有助于培养数学思维意识. 本文从分析“抛物线及其标准方程”一节教学实录出发，充分体现学生数学思维的培养，体现学生在当今课堂中的主体地位.
1.创设情境，导入新课
活动一：
师：在初中我们学习过二次函数的图象就是抛物线.请同学们思考一下，生活当中，有没有抛物线的的影子呢？请大家举例.（学生思考片刻后，回答踊跃）
生1：拱桥、彩虹.
生2：投篮所形成的弧线.
师：很好，大家举的例子都符合.
（课件展示图片（大桥、彩虹、喷泉、投篮）和Flas：投篮运动，并配以优美的音乐）.
师：这节课我们将从曲线和方程的角度来学习抛物线.（引出本节课题：抛物线及其标准方程）.
【设计意图】通过创设情境，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活.
2.问题引导，共探新知
活动二：
师：课前让大家思考了教材64页“信息技术应用”中提出的问题.（用ppt展示）
已知：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂
直平分线交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
师：请同学们仔细观察！（利用几何画板演示画图过程）
（学生观察画图过程，积极思考并讨论）
师：谁来谈谈自己的看法？
生4：点M随着H的运动，始终有|MH|=|MF|.也就是点M与定点F和定直线的距离相等.
生5：点M的轨迹是抛物线.
师：很好，你们观察得很仔细，值得称赞.（学生鼓掌）请同学们尝试一下，给抛物线下个定义.
生5：到点 F 的距离和到直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.
师：这样归纳完整吗？
生6：平面内到一个定点F 和到一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做物线.
生7：还要注意定点不能在定直线上.
师：为什么啊？
生8：如果这样，就只能找到一个点.
师：我们继续来思考：若定点F恰好在定直线上，轨迹会是什么图形？（学生积极思考，相互讨论）
生8：当定点F在定直线上时，满足条件的点的轨迹是一条直线.
生9：且是过点F垂直于直线的一条直线.
师：大家觉得这两名同学的想法可以统一吗？（大家七嘴八舌，观点基本一致）
师：说得很好！这里F 叫做物线的焦点，定直线L 叫做物线的准线.（教师板书：抛物线的定义：把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.其中点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.）
【设计意图】首先利用几何画板动画演示抛物线的生成过程，可以起到化解难点作用.其次经历了一次让学生自行归纳、完善定义的过程，使他们对抛物线的定义有更准确的把握，印象更为深刻，同时也锻炼了学生类比、归纳总结的能力.
活动三：
师：了解了抛物线的定义，接下来我们最想知道的就是抛物线的方程了，那么如何求抛物线的方程呢？
师：请同学们回想一下，之前我们学过的求曲线方程的基本步骤是怎样的？
生8：建系；设点；列式；化简；证明.
师：很好.类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，我们该如何建系呢？（小组讨论，集中探索）
（教师巡视，一段时间后用实物投影展示学生作品）
方案（一） 方案（二） 方案（三）
师：大部分小组都是上面三种建系方案中的一种.猜想一下，哪个好呢？
生9：方案二比较简单.
生10：方案一比较简单，它是以定直线为y轴，定点F在x轴上设计的，结果应该比较简单.
生11：方案三以抛物线的顶点为原点，定点F在x轴上，具有一定的对称性，结果应该更好一些.
师：看来大家的意见不是很统一啊！那就让我们亲自验证一下吧！请同学们按照求曲线方程的步骤得出三种方案的抛物线方程.（提示：不妨设焦点F到准线的距离为p（p>0）.）
（一段时间后，找小组代表上黑板展示过程，师生共同点评）
方案一 方案二 方案三
师：同学们，哪种简单啊？
生众：方案三.
【设计意图】这一环节，通过有启发性的活动，使学生在分析探究中，不断获得解决问题的方法，有效解决教学重难点.
师：我们把方案三得到的方程叫抛物线的标准方程.注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x 轴对称.（教师板书：抛物线的标准方程）
3.新知应用，巩固提高
例1：求下列抛物线的焦点坐标、准线方程：
（1）， （2）
【设计意图】熟悉焦点、准线与标准方程的关系.强调解决抛物线问题时要先转化为标准方程.
例2：请同学们参照上面的例题，自编一道题目.
【设计意图】培养学生创新、发散思维.
l结语
为了充分调动学生的积极性，本节采用“引导探究”式的教学模式，贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线”的教学思想，通过教师的适时引导，生生、师生间的交流互动，启迪学生思维；让学生构建自己的知识体系，体验合作学习的快乐.
参考文献
本专题内容主要包含直线的方程、圆的方程，直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及其几何性质的应用，曲线与方程等知识，是高考考查的重点内容． 平面解析几何知识在历年高考试题中都占有较大的比重，一般选择题、填空题有2题左右，解答题1题，分值大约20分． 选择题、填空题主要考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的定义、方程和其简单几何性质的应用等重要知识，关注基础知识的应用、运算能力和数形结合思想的渗透．解答题大多数以圆锥曲线（主要是椭圆和抛物线）为载体，综合直线、圆、向量、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对坐标法思想、方程思想、数形结合思想、等价转化思想、设而不求思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．
1． 考纲解读：
（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素（两个点、一点和方向）．
（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；了解直线的倾斜角的范围；理解直线的斜率和倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．
（3）根据斜率判定两条直线平行或垂直，根据两条直线平行或垂直的位置关系求直线方程中参数的值．
（4）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）的特点和适用范围；根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；体会斜截式与一次函数的关系．
（5）了解二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
（6）探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式；会求两条平行直线间的距离．
2． 考场对接：
通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中，本节内容主要以选择题、填空题为主要题型，考查两直线的位置关系，属于基础题，难度不大．对直线与方程的考查，还渗透在平面解析几何的解答题中，与其他知识（圆与圆锥曲线）结合出题．
3． 经典例题：
（2012浙江）设a∈r，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）
a． 充分不必要条件
b． 必要不充分条件
c． 充分必要条件
d． 既不充分也不必要条件
失分警示 本题属于基础题，解题时注意判断充分必要条件的步骤，即先验证充分性，再验证必要性，最后综合起来下结论． 在表述的时候要弄清顺序关系，以防发生概念错误．
方法突破 在研究充分和必要条件时，可先求一者的等价条件，再和另一者作比较．
完美答案 当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0显然平行；若直线l1与直线l2平行，则有■=■，解得a＝1或a＝-2． 故选a．
4． 命题趋势：
直线的方程、两直线的位置关系、距离问题一直是高考考查的热点问题，单纯考查直线的知识一般在选择题、填空题中出现；直线和其他知识的交汇问题一般出现在解答题中，有一定的难度．
1． 考纲解读：
（1）回顾确定圆的几何要素（圆心、半径，不在同一直线上的三个点等），在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；根据问题的条件，选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的一般方程和标准方程之间的关系，会进行互化．
（2）根据给定直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）；根据圆的方程判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）．
（3）用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
（4）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想，感受“数”与“形”的对立和统一；初步掌握数形结合的思想方法在研究数学问题中的应用．
（5）通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；掌握空间两点间的距离公式及其应用．
2． 考场对接：
圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的重点，在2012年高考试题中，主要在选择题、填空题中考查直线与圆、圆与圆的位置关系，尤其是含参数的问题，考题基本上属于中低档难度的题．
3． 经典例题：
（2012天津）设m，n∈r，若直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，则m+n的取值范围为（ ）
失分警示 本题属于中档题，考查直线与圆的位置关系，不等式的性质. 注意不要忽略了m，n∈r这个条件，在运用基本不等式时注意其成立的条件，求取值范围时注意不要扩大或缩小范围．
方法突破 由直线与圆相切的条件可以得到一个关于m，n的等式，观察等式的性质，利用基本不等式的形式消除差异，化为关于m+n的不等式，解出其取值范围即可．
完美答案 因为直线（m+1）x+（n+1）y－2=0与圆（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化简得mn=m+n+1. 又当m，n∈r有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■. 故选d．
■ （2012江苏）在平面直角坐标系xoy中，圆c的方程为x2+y2－8x+15=0，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则k的最大值是_________．
失分警示 本题属于中档偏难题，解答本题时不要被题中的表面意思所迷惑，要透过现象看本质，认真审清题意，将题意中的关系进行合理的转化．
方法突破 数形结合理解题意，将两圆的位置关系化为圆c的圆心到直线y=kx－2的距离的取值范围问题去处理．
完美答案 圆c的方程可化为（x－4）2+y2=1，若直线y=kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆c有公共点，则圆c上的点到直线上的点的距离的最小值小于或等于1，则圆心c（4，0）到直线y=kx－2的距离小于等或等于2. 所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．
4． 命题趋势：
预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查圆方程的求解，直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，特别是含参数的位置关系问题仍将是考查的重点和热点． 而在解答题中，则有可能考查以圆为背景的综合试题，特别是圆与圆锥曲线的
整合问题．
1． 考纲解读：
（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
（2）掌握椭圆的定义和几何图形及标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
2． 考场对接：
纵观2012年高考数学试题可以看出，选择题、填空题主要考查椭圆的定义、标准方程和几何性质的理解与应用，椭圆的离心率等相关知识，难度中等；解答题主要考查椭圆的标准方程、几何性质的应用，特别地，直线与椭圆的位置关系问题是考查的热点问题，且有一定的难度．
3． 经典例题：
失分警示 结合图形，审清题意，注意三角形哪个角是底角，细心运算，避免发生运算失误．
方法突破 求解圆锥曲线的离心率（或其范围）的关键是根据已知条件寻求一个关于a，b，c的等式（或不等）关系，再结合a，b，c的固有关系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）关系，从而求得离心率（或其范围）．
4． 命题趋势：
椭圆是命题的热点内容，预计2013年的高考仍将在选择题、填空题中考查椭圆的标准方程、离心率的求解等知识，难度中等；将在解答题中重点考查直线与椭圆的位置关系问题，可能还会出现一些创新题型，如新定义题型、探索性问题、定点定值问题等，此类问题难度较大．同时，会加强椭圆与圆，椭圆与双曲线，椭圆与抛物线等知识的交汇问题的考查力度．
1． 考纲解读：
了解双曲线的定义、图形和标准方程，会求双曲线的标准方程；会用双曲线的标准方程处理一些简单的实际问题；了解双曲线的简单几何性质．
2． 考场对接：
分析2012年高考试题可以看出，双曲线的考题基本上以选择题、填空题为主，主要考查双曲线的定义、方程和简单几何性质的应用，且出现了双曲线和圆、椭圆、抛物线等的整合问题，总体难度中等．
3． 经典例题：
（2012浙江）如图1，f1，f2分别是双曲线c：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦点，b是虚轴的端点，直线f1b与c的两条渐近线分别交于p，q两点，线段pq的垂直平分线与x轴交于点m． 若mf2＝f1f2，则c的离心率是（ ）
失分警示 本题的解题思路并不难得出，但运算量较大，在认真审题的前提下避免发生运算错误，同时注意双曲线的离心率的取值范围，谨防增根．
方法突破 本题考查双曲线的几何性质的应用，离心率的求解，突破的关键是正确求出p，q两点的坐标（用a，b，c表示），再求出pq的垂直平分线的方程，进而用a，b，c表示出m的坐标，由mf2＝f1f2列出等式，最终化为a，c的关系．
4． 命题趋势：
预计2013年高考仍将在选择题、填空题中考查双曲线的标准方程的求法、定义和几何性质的应用，其中离心率的求解和渐近线问题是考查的热点． 此外，仍会加强将双曲线和其他知识（如圆、椭圆、抛物线）进行交汇出题，题目难度中等偏低．
1． 考纲解读：
（1）掌握抛物线的定义、图形和标准方程，会求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单性质，会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
（2）了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；了解求曲线方程的一般步骤，能求一些简单曲线的方程；掌握求直线和圆锥曲线的交点坐标的方法；进一步体会数形结合思想．
2． 考场对接：
透过2012年高考数学试题可以看出，抛物线是考查的热点问题，考题既在选择题、填空题中出现，也在解答题中出现．选择题、填空题重点考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的定义和性质的应用，以及抛物线在实际问题中的应用，同时还出现了抛物线与双曲线的交汇问题，难度中等． 解答题重点考查直线与抛物线的位置关系，抛物线与其他知识（如圆、不等式等）的整合问题，且出现了探索性问题，难度较大．而曲线与方程的考查则渗透在以上各大知识板块之中．
3． 经典例题：
（2012安徽）过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若af=3，则aob的面积为（ ）
失分警示 本题属于中档题，有一定的思维量，认真审题，找准关系，运算准确，避免发生思维受阻和运算错误．
方法突破 显然ab是抛物线的焦点弦，且已知af=3，若结合抛物线的定义，则可以求点a的坐标，从而直线ab的方程便可以得到解决，具体见如下的解法一． 本题也可以设角度（见如下的解法二），通过三角关系来表示线段的长度，从而求出三角形的两边及其夹角的正弦值，再求面积．
（1）求抛物线c的方程；
（2）是否存在点m，使得直线mq与抛物线c相切于点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点m的横坐标为■，直线l：y=kx+■与抛物线c有两个不同的交点a，b，l与圆q有两个不同的交点d，e，求当■≤k≤2时，ab2+de2的最小值．
失分警示 本题难度较大，综合性强，涉及的知识点多，属于直线、圆和抛物线的综合问题，解答时要注意数形结合思想的使用，审清题意. 解答第（1）小题难度不算大，但第（2）小题是一个探索性问题，有较大的运算量，需要扎实的运算功底，第（3）小题将直线、圆和圆锥曲线综合起来，难度较大，需要较强的分析问题和解决问题的能力．
方法突破 第（1）小题结合抛物线的定义以及圆的相关性质可以列出一个关于p的方程，求解即可；第（2）小题可先假设存在点m，利用抛物线的切线斜率和直线mq的斜率相等列等式求解；第（3）小题的解题目标是将ab2+de2表示为关于k的函数，从而化为求函数的最值问题去处理，但求两线段的长度需要用到直线与圆锥曲线相交弦长公式ab=■，以及直线与圆的相交弦长公式de=2■等．
完美答案 （1）x2=2y．
向量因兼具数与形的双重特征，因此它既是几何关系的转译工具，也是一种运算工具. 它在解析几何中的运用主要体现在将几何关系以其独有的“语言”进行表述；另外，因向量具有坐标形式及其自身的运算法则（如加法、减法、数量积），使得向量在解决有关长度、角度等问题时具有得天独厚的优势，历年高考试题中关于这一点均有体现.
■
对于经向量“包装”的表述形式，解决办法是去除其包装，还原问题的几何本质；对于涉及垂直、共线、角平分线、距离等问题时可考虑用向量工具来帮忙解决.
■
■ 如图1，已知抛物线C的对称轴为x轴，且过点A（4，4），F为其焦点，E为点A在x轴上的射影.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求∠FAE的角平分线所在的直线l的方程.
■
图1
破解思路 （1）由已知设抛物线的标准方程，求出参数p，代回即可.
（2）本题有多种解法，但利用向量工具可优化求解的过程.
经典答案 （1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0），代入A（4，4），得2p=4，所以求得抛物线C的方程为y2=4x.
（2）（方法一：向量夹角公式）设G（x0，0），■=（-3，-4），■=（0，-4），■=（x0-4，-4），则由cos∠FAG=cos∠EAG，得■=■，代入解得x0=■，故∠FAE的角平分线所在直线的方程为3x-y-8=0.
（方法二：直线方向向量）如图2，设射线AF的方向向量为e1=■=-■，-■，射线AE的方向向量为e2=■=（0，-1），所以射线AG的方向向量为e=e1+e2=-■，-■. 所以直线AG的斜率为k=■=3，故∠FAE的角平分线所在直线的方程为3x-y-8=0.
■
图2
■ 如图3，已知点F（a，0）（a>0），动点M，P分别在x，y轴上运动，且■・■=0，动点N满足■+■=0.
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线l（不垂直于x轴）与曲线C交于A，B两点，K是F关于原点的对称点，求证：点K在以AB为直径的圆外.
■
图3
破解思路 （1）将向量的表述形式“翻译”成几何关系（如题中的■・■=0，■+■=0分别表示垂直、共线几何关系）.
（2）将几何关系用向量“语言”进行转述，利用向量的“特长”优化代数的解题进程（如本题“点K在以AB为直径的圆外”可表述为“■・■>0”），其中将点及向量进行“坐标化”是解题中必不可少的两个步骤.
经典答案 （1）因为■+■=0，所以点P为MN的中点. 设动点N（x，y），则由题意得M（-x，0），P0，■. 由■・■=0得-x，-■・a，-■=0，整理得y2=4ax（a>0），即为所求动点N的轨迹C的方程.
（2）设直线l：x=my+a（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则■=（x1+a，y1），■=（x2+a，y2），■・■=（1+m2）y1y2+2am（y1+y2）+4a2 ①.
联立x=my+a，y2=4ax消去x得y2-4amy-4a2=0，所以y1+y2=4am，y1y2=-4a2，代入①得■・■=4a2m2>0. 所以点K在以AB为直径的圆外.
■
1. 设直线x=2与双曲线C：■-y2=1的渐近线相交于点E1，E2，O为坐标原点，任取双曲线C上的点P，若■=a■+b■（a，b∈R），则（ ）
A. 0
1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.
3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.
解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.
4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
答案：C 解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故选C.5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.
6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.
解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.
7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：D 解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.
8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.
解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.
9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.
10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.
解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.
二、填空题
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.
解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.
12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.
答案： 命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.
解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.
答案：2 解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，
=， M为AB的中点，
|BM|=|AB|，又斜率为，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，
p=2.
14.
【关键词】数学 课堂练习 有效设计
新课程理念要求教师对数学课堂教学进行精心设计，提高课堂教学的有效性，其中课堂练习是课堂教学中的一个重要环节。新课程理念指导下的课堂练习应是优质、高效的，应该是有利于学生能力发展的，那么怎样才能设计优质、高效的课堂练习呢？
一、重视数学课堂练习的多样性和趣味性
课堂练习的设计如果不具有多样性、挑战性和趣味性，学生很难保持持久的兴趣。因此设计课堂练习不仅在题型上力求多样性，填空、选择、解答、证明分别运用，而且应注重实践、创造性，同时要将平淡乏味的数学问题置于有趣的问题情境之中，让学生在愉快而富有挑战性心态下完成知识的构建。在高中数学课堂教学中，教师一方面要把良好的学习方法有意识的融进教学方法中，把自己的学习体会融进课堂教学中，使学生潜移默化地接受，从而使学生能找到适合自己的学习方法；另一方面在课堂教学中，教师高超的教学技巧，流畅且幽默的语言表达，机智且灵活地组织课堂教学以及对教材独到的理解都能激活学生学习的兴趣，活跃学习气氛，使教师和学生双边的积极性都受到激发。
二、引导学生学会练习，发挥学生的主体作用
学生是学习的主体，新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能内化为其认知结构中。传统的课堂设计是“教师问，学生答，教师写，学生记”！学生只能机械被动地学习，不能平等对话、沟通、交流。新课标要求教师必须转变角色，尊重学生的主体性。所以在新的理念指导下教师的课堂练习设计应面向全体学生，突出学生的主体性，充分发挥学生的主观能动性，让学生主动参与探究问题。在平时的教学中，还应根据不同的教学内容、不同的教学目标，结合学生的特点选用不同的教学方法，努力创设一种和谐、愉悦的教学氛围和各种教学情境，精心设计教学过程和练习。在课堂上给予学生自主探索、合作交流、动手操作的权利，让学生充分发表自己的意见。久而久之，学生体会到了成功的喜悦，就会激发出对数学的好奇心、求知欲以及学习数学的兴趣，觉得数学不再是那些枯燥、乏味的公式、 计算 、数字，从思想上变“被动接受”为“自主学习”。
三、“活”用课本例习题，培养学生的创新能力
数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解放出来，重要的一条就是挖掘例习题的潜在内容，引导学生向更广的范围，更深层次去联想，纵横引伸，把所学知识去更大范围内进行归纳、演变，促进知识融会贯通，解题能力和思维能力得到提高，解题方法和策略形成。其方法有：变式练习、一题多解、改变成开放题等。例如：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。
不少教师认为该题太简单，只需设抛物线方程为y=2px（p>0），再将点M代入即可，因而一带而过。教师可以带领学生继续深入研究本题，给出变式练习。
变式1：如何改变上述问题中的条件，使得其解法分别是设抛物线的标准方程为y2=-2px（p>0）、x2=2py（p>0）、x2=-2py（p>0）。此问题并不难，但能激发学生观察、对比、分析和概括，让学生也参与到变式教学的问题设计当中来。
变式2：已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程.有了上面的铺垫，学生应能想到用分类讨论手段解决。
变式3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（a，b）（ab≠0），求它的标准方程。此时学生仍可利用分类讨论解决，但在教师的引导下，通过对照结果以及变式1中的情况，还是有可能概括出此时抛物线的方程可设为y2=2mx（m≠0），以避免分类讨论。到此时学生完全可以自己类比出变式4及其解决方法。
变式4：已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（a，b）（ab≠0），求它的标准方程。解法是可设抛物线的方程y2=2mx（m≠0）。
这样学生通过自己分析、概括，参与问题设计，使得对抛物线标准方程的理解将更深入。通过一题多变的练习和阶梯式的设问，不仅分散了难点，使学生将所学的知识融会贯通，培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生勇于探索勇于创新的发散思维能力。
四、例题练习生活化，凸显“做”数学的价值
理解和记忆数学基础知识是学好数学的前提。
一、什么是理解?
按照建构主义的观点,理解就是用自己的话去解释事物的意义,同一个数学概念,在不同学生的头脑中存在的形态是不一样的。所以理解是个体对外部或内部信息进行主动的再加工过程,是一种创造性的“劳动”。
理解的标准是“准确”、“简单”和“全面”。“准确”就是要抓住事物的本质;“简单”就是深入浅出、言简意赅;“全面”则是“既见树木,又见森林”,不重不漏。对数学基础知识的理解可以分为两个层面:一是知识的形成过程和表述;二是知识的引申及其蕴涵的数学思想方法和数学思维方法。
二、什么是记忆?
一般地说,记忆是个体对其经验的识记、保持和再现,是信息的输入、编码、储存和提取。借助关键词或提示语尝试回忆的方法是一种比较有效的记忆方法,比如,看到“抛物线”三个字,你就会想到:抛物线的定义是什么?标准方程是什么?抛物线有几个方面的性质?关于抛物线有哪些典型的数学问题?不妨先写下所想到的内容,再去查找、对照,这样印象就会更加深刻。另外,在数学学习中,要把记忆和推理紧密结合起来,比如在三角函数一章中,所有的公式都是以三角函数定义和加法定理为基础的,如果能在记忆公式的同时,掌握推导公式的方法,就能有效地防止遗忘。
总之,分阶段地整理数学基础知识,并能在理解的基础上进行记忆,可以极大地促进数学的学习。
关键词：高中数学；复习课；问题解决；思维能力
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-010X（2015）24-0062-04
高中生自我监控意识和综合思维能力较弱，还不能完全脱离具体事物而进行高度的抽象思维概括活动，难以自发地对不同阶段的知识与技能、过程与方法进行整合，使之系统化、网络化、完整化，经常呈现出单一、割裂或散点式的认知状态。这种状态严重阻碍了学生对数学建模、数学探究与数学文化及其内涵的理解、掌握与应用，更加阻碍了数学学科在学生长期可持续发展过程中的价值发挥。因此，要求教师必须以课程标准为准绳，科学合理地安排好复习课，有目的、有计划地组织教学，才能不断提高学生解决问题的能力与水平。下面主要介绍复习课的功能、任务及其操作模式，供同行们参考。
一、复习课的功能与任务
实践证明，复习课是在认真分析学生年龄特点及其认知规律的基础上，全面提高其数学学习、探究与应用能力（其中包括学生个体自我组织、规划数学活动能力以及对学习过程与结果进行自主监督、控制能力等）的一种重要课型。
（一）复习课的功能
1.复习课为学生提供了构建知识体系、提炼解题方法、体验数学思想的机会，能够帮助学生提高发现问题与解决问题的一般能力。
2.复习课为学生提供了将所学知识、技能、思想与方法综合运用和创新的机会，能够帮助学生积累数学活动的基本经验，有利于优化其认知结构。
3.复习课为学生提供了整体视野和对自身学习能力与水平进行再认知的机会，能够帮助学生对已经学过的数学内容做完整性与合理性的审视、评价与重建。
（二）复习课的主要任务
1.系统梳理基础知识，形成结构化知识网络，以便于学生对知识的理解、记忆和储存。
2.揭示规律，总结策略，逐步提高学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力。
3.让学生熟练掌握并灵活运用数学课程标准中规定的高中生必备的基本技能和思想方法。
4.让学生反复经历方法探究、思路调整、思维优化等解题过程，不断地将其中蕴含的数学模型、思想方法、思维路径有机的联系起来。
二、复习课的一般操作模式
从上述分析可知，复习课的主要目标是“夯实基础、激活思维，最大限度地发展学生的问题解决能力”。因此，我建议复习课至少应该包括下面三个环节。
（一）课前布置学案，自主复习
导学案能够有效利用学生的课余时间，促使学生提前参与到学习中来。学生只有在课前进行必要的知识储备，从基本题型的练习入手，逐步变式，进而复杂化，课上才能展示综合性较高的数学问题，才能促使学生在问题解决的过程中，总结解题方法和策略。
复习课，教师应该为学生回顾知识提供必要的线索，但绝对不能代替学生整理和思考。课前要给学生提供独自整理知识的机会，让学生通过看书、查阅资料等方式独自解决并把回忆起的知识用纸笔记录下来，用自己喜欢的方式建构知识之间的联系。也只有让学生自己做了，经历了，知识才能内化到头脑中，形成体系。也许他们课前做得不是很完美，但只要有了这个基础，课堂教学就不会是“空中楼阁”，学习会更实效、高效。
（二）课上合作交流，拓展提升
如何让学生成为学习的主人，“问题引领、自主探究、合作交流”都是比较好的方式。复习课的一项重要工作是教师根据学生的“作品展示”情况，逐步引导学生剖析问题、联想与类比，不断总结解题方法与策略，发展归纳概括能力。
在学生课前准备的基础上，教师可以从以下几方面组织引导并加以操作。
1.通过展示和评价等方式，培养学生的反思能力
以课前“导学案”为载体，课上先展示部分学生的知识梳理、方法归纳和解题过程（思维方式的外在显现），再让其他同学做点评。评价应以学生互评为主，教师为辅，这样既能调动学生的学习积极性，又能督促所有学生做好前期准备，还能让同学之间有对比思考，可以从多角度、多方面对基础知识与基本技能进行“恢复”。这种做法要比教师在黑板上写，投影上显示，学生在笔记本上记录更有实效。
在学生“展示”过程中，教师一定要多问“为什么？”，例如，“你为什么这样想？”“还有其它想法吗？”“为什么选择或放弃这个方法？”“这处错误是怎样发生的？”“其他同学还有没有补充？”等等，促使所有学生养成题后反思的意识和习惯，同时也是对学生“说知识、说解题”等能力的有益培养，在此过程中，可以训练学生思维的缜密性，语言的表达能力，解题的纠错能力等。
2.利用“一题多解”，培养学生的发散思维
“一题多解”是引导学生从题目的不同侧面观察、不同角度审视，利用不同方法求解同一道题目，是通过较少的题目复习较多的知识与方法，从而培养学生解题的思考能力和技能技巧，激发学生的求知欲，让学生体会成功的喜悦。
复习过程中，教学生解答出一道题目容易，让学生掌握好一种解题方法和思维方式较难。这需要帮助学生加强知识的纵横联系与系统归纳，需要在方法的多样选择中进行分析和思考，需要梳理出不同解法的思路并加以提炼，需要对不同解法进行比较、鉴别和优化，以加深学生对题目本质的深刻理解。通过“一题多解”，能够突破学生平时先入为主的思维定势，拓展其解题思路，引导学生多角度、多层次地思考问题，将思维由封闭状态转化到开放状态，其目的并不在于“多解”，而在于思维的“多层次”和“多角度”。
例如，设P是椭圆=1上任意一点，过左焦点F1的弦为PA，且的值。
【点评】教学实践证明，有些学生注意到这是圆锥曲线上的动点问题，通过设点坐标（直角坐标或极坐标），转化为解方程（组）问题，体现方程思想；有些学生注意到直线与圆锥曲线的位置关系，通过设出直线方程，采用设而不求，避免求点坐标运算，同样利用方程思想；还有学生注意到焦半径，利用圆锥曲线的第二定义，结合平面几何知识进行判断和证明，减少运算量，体现了数形结合、转化和化归思想。多种思维方式和解法不仅加强了学生对基本题型、基本方法的理解与再认识，而且让学生获得了高水平的思维训练，提高了他们的发散思维能力。
3.利用“一题多变”培养学生的思辨能力
“一题多变”是通过变换条件或探求不同结论或改变问题情境等多种途径，引导学生从多方向、多层次、多角度出发思考同一问题，不断强化学生对知识的理解与掌握和思维的变通与创造，进而培养学生思维的灵活性。
复习过程中，教师可以通过类化不同变式的共同属性而突出题目的本质，借助“如果去掉某个条件会怎样变化？”“假如换一种问法呢？”“假如将其中一个条件换成另一个条件呢？”等启发式提问，引导学生的思维活动呈现层级推进并逐步深入，满足不同学生的学习需求。构造变式题的活动可以帮助学生巩固知识、训练思维、开阔视野，促进学生对解题方法的全面思考，其中的关键是“变”，“变”能促使学生思维不再局限于固定模式和定式思维，从而提出新问题或发现同一问题的多种解法或多种结果。
例如，复习抛物线性质的一道变式题。
课本原型：过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，且两交点的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2。
变式1：过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，过点A、B分别作准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。
变式2：（改变M、N的作法）过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，O为原点，直线OA、OB分别交准线于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。
变式3：（变定点为动点）过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的直线交抛物线于两个不同的点A、B，直线l：x=-为抛物线的准线，C是抛物线上的动点，直线AC、BC与准线分别交于M、N，求证：以MN为直径的圆过焦点F。
变式4：（变焦点、准线为极点、极线）抛物线y2=2px（p>0），极点P（t，0），极线l：x=-t，C是抛物线上的动点，过P的直线交抛物线于A、B两点，直线AC、BC分别交极线于点M、N，则M、N的纵坐标之积为定值-2pt。
一般化：设圆锥曲线E的一个焦点为F，相应的准线（定直线）为l，C为E上的动点，过F且斜率不为0的直线与曲线E交于点A、B，直线AC、BC分别交准线于M、N，则以MN为直径的圆过焦点F。
变式5：（与相关知识点建立联系）直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A、B两点。
（1）若OABO=4，求弦AB的中点到直线x+=0的距离；
（2）O为坐标原点，试判断向量是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。
【点评】上述题组是围绕抛物线中的定点（焦点）和式子y1y2=-p2，从课本问题出发复习和推广了圆锥曲线的诸多共同性质，符合学生的认知规律，逐步探究更是活跃了他们的数学思维。
4.利用“多题一解”提炼通性通法，培养学生对问题的理解力
“多题一解”是指针对一个关联性较强的题组，从不同问题的解法中寻找出不变的“规则”，梳理出一条思维“主线”，整理出“通性通法”，进而帮助学生从中学会抽象与概括、分析与综合、总结与归纳的具体方法，真正理解具体与抽象、特殊与一般的逻辑关系，最终达到举一反三、触类旁通的目的。
复习过程中，我们要充分挖掘知识点之间的联系，分析各解法的互通性，在“异中求同、同中求异”过程中将知识结构转化为认知结构，并借助“同质异形”题组，使学生发现解法的本质，从而加深学生对“通法”的深层次理解。
例如，在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c。
（1）若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则A= 。
（2）若8b=5c，C=2B，则cosC= 。
（3）若2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为 。
（4）若（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），试判断ABC的形状。
【点评】虽然上述问题的条件和设问都不同，但只要借助正余弦定理将“边转化为角”或将“角转化为边”，问题将迎刃而解。这类题组有利于学生把握问题的实质，沟通知识间的联系；有利于多方面、多角度去分析问题、解决问题；有利于复习“一块”掌握“一类”，从而调动学生的学习积极性，提高学生的思维能力，培养学生思维的发散性和创新性，让学生思维在问题之间自由飞翔。
（三）课后总结反思，完善学案
1.题后反思。学生完成解题后，可以从“还有没有更好的解法？”“问题还可以怎样引申？”“问题的解决方法适用于哪种类型的题目？”等多方面进行反思，在反思中明晰问题的本质，对解题方法归纳总结，培养学生的批判性思维与发散性思维。
2.课后反思。我们要求学生根据课上师生辨析讨论的结果，在学案中总结解题策略的要点，整理问题的不同解法，进一步明晰问题解决过程中体现的数学思想和思维方式。可以采用以下策略：
（1）研究解题方法。对不同的解题策略与方法进行讨论、比较、优化，并为最佳的解题方法命名。
（2）提炼策略核心。理解常用解题策略的本质，把握其使用范围和要点，思考在问题解决过程中用到了什么策略，其核心要素是什么？从感性升华到理性，使其成为下次解决问题的思维起点和基础。
1． 直线与方程
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
（2）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
（3）掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．
（4）会求两直线的交点坐标．
（5）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
2． 圆与方程
（1）掌握圆的标准方程与一般方程．
（2）能判断直线与圆、圆与圆的位置关系．
（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
3． 圆锥曲线
（1）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及其简单性质．
（2）了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质．
（3）能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题．
（4）理解数形结合的思想．
（5）了解圆锥曲线的简单应用．
4． 曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
1． 遵循《说明》，用好课本?摇
重视教材的基础、示范作用，教材中的例题、习题本身在知识考查的导向性、解题的规范性、习题的典型性等方面都可圈可点，是复习的重点，同时解析几何部分不少高考试题都是以课本问题为原型的加工、改造、综合，用好课本是备考取胜的法宝之一．
2． 基础扎实、基本技能熟练?摇
这部分双基内容丰富，问题多样，解法灵活，比如椭圆、双曲线以及抛物线的定义，三类曲线中的基本量以及曲线的几何性质等． 只有熟练掌握基础知识，我们才能为综合性问题的解决打好基础．
3． 着力提高运算能力?摇
解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法． 运算能力的提高绝对不是背运算技巧，必须在游泳中学会游泳，在运算的过程中提高运算能力，对运算的程序、步骤认真反思，对不同的解题途径分析对比，积累丰富、合理的运算经验，唯有如此，在面临新颖的情景的时候我们才能运算自如．
4． 重视数学思想方法
解析几何部分思想方法的地位作用尤其明显、突出，如数形结合思想、方程思想、函数思想等，思想方法不是标签，不是空洞的理念，对解题策略、解题路径的制定具有很高的价值，但是思想方法需要体验、归纳，才能自觉运用于分析解决问题的过程，达到优化解题思维、简化解题的目的．
“问题解决”数学教学力求让学生学习发现问题的方法，开掘创造性思维潜力，培养主动参与、团结协作精神，增进师生、同伴之间的情感交流，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题、解决问题的能力和意识。在不同的学段，创设数学情境、引导学生提出问题和解决问题的方式有较大差异。经过长期的教学实验研究，笔者认为开展“问题解决”数学教学时可参照以下教学策略来实施。
一、动机激发策略
在课堂教学中，教师应该把学生吸引到有趣味、有挑战性的学习活动中，让学生体验成功所产生的愉悦和成就感，学会正确地对待挫折，从正、反两方面来有效地激发学生的学习动机。在每一节课的引入开始都可以设置问题情境。例如，在解析几何中讲“抛物线及其标准方程”时，教师在带领回顾椭圆、双曲线的定义后，可提出“平面内到定点与定直线距离相等(即e=1)的点的轨迹是什么”这一问题。实际上，学生在学习了椭圆与双曲线后，心中就有一个疑问，即e=1时，点的轨迹是什么?教师提出的问题与学生心中的疑团相吻合，就能激起学生探究问题的兴趣，使学生产生进一步研究下去的动力。
二、层次设计策略
在课堂教学中，教师应该从“自主、合作、体验、发展”等层次为学生提供概念、定理的实际背景，设计定理、公式的发现过程，让学生体验分析问题、解决问题的思考过程，领悟寻找真理、发现规律的方法和思想。例如，在“抛物线及其标准方程”这节课里，笔者提出问题：“如何由抛物线的定义导出抛物线的标准方程?”然后组织学生分组讨论，并进一步引导学生思考如何建立直角坐标系。实践表明，全班学生在这一过程中能集思广益，这不仅使学生主动获得了知识，而且增强了每个学生的思考能力。又如，在立体几何中讲“柱体的体积”时，为了分散柱体体积公式推导这个难点，笔者设置了三个问题：第一，求长方体体积的条件是什么?第二，若一个棱柱、圆柱与长方体底面积、高都相等，它们的体积大小有何关系，为什么?第三，由长方体体积公式能否得出棱柱、圆柱的体积公式?通过这几个问题的解决，柱体体积公式的推导过程就留在学生的大脑中，教师作进一步的理论证明，就能使学生加深对柱体体积公式的理解。
三、主体发展策略
在课堂教学设计的过程中，教师应充分发挥其主体作用，组织并落实多种形式的课堂实践活动，使学生在活动过程中提高认识能力和情感控制能力，发展个性特长。在教师的引导下，学生要认真观察具体实例中反映的数量关系或几何特征，积极主动地思考与探究解决问题的方法。例如，在讲解“平面向量的数量积”时，为了在引入数量积的概念这一问题上发挥学生的主动性，笔者设计了以下问题。
教师：“我们学习了向量的几种运算?”
学生：“加法运算、减法运算、数乘运算。”
教师：“那么向量的加法、减法运算对应的物理背景是怎样的?”
学生：“力(运动)的合成对应向量的加法运算，力(运动)的分解对应平面向量基本定理。”
教师：“类比物理背景，猜想向量是否还有其他的运算?”
通过以上几个问题，学生自然地联系到了力作用于物体产生运动而做功，把“功”看成两个向量的一种运算就可对应一种向量的新的运算，学生就能主动将所学的物理知识“功”与向量的数量积的运算结合起来。
四、探究创新策略
【关键词】电梯;舒适性;缓冲减振;ADAMS仿真;内置减震装置
0 引言
电梯随着城市高层建筑的发展而发展，电梯作为一种重要的垂直交通工具，舒适性是其评价标准中的主要因素之一。
电梯的震动是电梯乘坐舒适的重要指标。正常情况下，乘坐时间短且震动幅值小，不会影响乘客安全。但振动到达一定值，且频率在人的敏感带时，或者电梯起制动特性差，都会使乘客感到明显不适。这种情况尤其表现在高速电梯以及身体条件差的乘客上。为减小电梯的振动与冲击，工程技术人员一方面从控制角度出发，提出理想电梯运行曲线的方法对电梯运行速度进行优化控制。另一方面从缓冲与减振角度出发，提出加装减振器的方法来减小轿厢振动与冲击。
本文就特殊敏感人群提出在厢内设计隔振缓冲装置的方法，并对简化力学模型进行了分析和仿真
1 减震系统的动力学模型
1.1 动力学模型
为研究方便，将人体、隔离装置、电梯组成的系统进行简化，建立减震器与弹簧并联的动力学模型。
1.2 系统输入分析
1.2.1 理想的电梯运行曲线
电梯的速度是电梯运行规律的决定因素，它直接影响电梯的舒适性。常见的理想速度曲线中抛物线一直线综合速度曲线因算法快速，结构灵活，实现起来更容易满足电梯速度控制的各项要求，最为常见，其起动加速和减速制动段速度曲线为抛物线型，稳速运行阶段为直线型。
1.2.2 实际的电梯运行曲线
实际的电梯运行曲线除了与电梯的运行速度和加速度有关外，还受到电梯曳引系统的转动惯量、随机因素等多方面因素的影响，因此有必要对电梯的实际运行曲线进行测量。选择某型号电梯作为研究对象，对其运行加速度进行测量，由结果可知加速度曲线与抛物线―直线综合性理想曲线较为吻合，且存在随机波动，这种随机波动同样会对电梯的舒适性造成影响，因此再分别研究以正弦振动函数、正弦半波冲击函数、理想速度控制曲线函数作为输入时的系统的输出特性。
2 仿真分析
ADAMS软件是目前应用广泛且具权威的机械系统动力学仿真分析软件，它使用交互式图形环境和零件库、约束库、力库创建完全参数化的机械系统几何模型，其求解器采用多刚体系统动力学理论中的拉格朗日方程法，建立系统动力学方程，对虚拟机械系统进行静力学、运动学和动力学分析，输出位移、速度、加速度和反作用力曲线。
2.1 仿真模型的建立
所建立的系统仿真模型如图1所示。仿真模型主要由人体、隔离装置、电梯及它们之间的约束关系和作用力组成。其中建模方法是：将电梯的位移激励s分为两部分，一部分是理想曲线，另一部分为振动。
2.2 仿真实验方案
以上述实验电梯作为仿真对象，对上行阶段进行仿真试验。隔振元件暂取减振器，其刚度K=1891.2N/m。以CATIA人机工程模块中国（台湾）80%人体质量（m=73.803kg）作为人体仿真质量。
为探究装置对随机波动的隔离作用，仿真试验中，以不同频率（1Hz、5Hz和10Hz）振幅为10mm的正弦信号作为激励，测量人体的位移响应和加速度响应作为电梯舒适性的评价指标。同时随机波动中含有冲击成分，实验中以冲击信号激励系统，以人移响应的峰值作为评价指标。
图1 缓冲装置多体动力学仿真模型
人体对于加速度的变化比较敏感，所以除了应做到给定速度数值连续、加速度数值连续外，还应做到加速度的变化率没有突变。为探究隔离装置对理想曲线的影响，以理想曲线作为输入计算人体的响应。将电梯的运动学参数代入模型，得到电梯加速度曲线方程。用ADAMS进行编译，并将其输入图中滑动副作为电梯激励，测量人体加速度和加速度变化率。
2.3 正弦激励分析
当频率为1Hz时，人体的位移响应和加速度响应均大于相应的位移激励和加速度激励。因为此频率接近隔离装置的固有频率（0.87），产生共振现象。而当频率为5Hz和10Hz时，人体的位移响应和加速度响应均小于相应的位移激励和加速度激励。且隔振装置对频率为10Hz的激励阻隔效果更加明显。
为进一步探究隔振装置对不同频率激励的阻隔效果，用ADAMS对装置的幅频特性进行计算，由计算结果可知隔离装置对低于固有频率（0.87）的激励阻隔作用不明显，且当激励源的频率接近固有频率（0.87）时，不仅起不到隔振作用，反而会因为共振现象使振动加强;当激励源的频率大于1Hz时，随着频率的增加，隔离效果会增强。资料表明，人体对振动的敏感频率为4―8Hz。因此，隔离装置可以对处于人体敏感频段的振动有效隔离。
2.4 正弦半波位移冲击分析
系统输入为正弦半波位移激励，其方程为：
s=0.01×sin（2πt）（t≤0.05）
s=0（t>0.05）
仿真结果显示隔振装置能够有效缓和电梯的位移冲击，可将冲击波峰值将为原来的16%。对由于电梯运行不稳引起的冲击有很好的缓和作用，可有效提高使用者的抗冲击能力。
2.5 理想运行曲线激励
由理想运行曲线作为系统输入的仿真结果，可知以抛物线―直线型理想速度曲线运行的电梯在由二次曲线和比例曲线相互过渡及电梯起动和制动时，加速度曲线连续，但其变化率产生了跳变，影响了电梯的舒适性。而缓冲减振装置上人体速度响应曲线的加速度及其加速度变化率时刻保持连续，因此其舒适性优于以抛物线―直线型理想速度曲线运行的电梯。同时，隔振装置会使加速度曲线和加速度变化率曲线的峰值增加，这有可能会影响其隔离效果。
3 结论（下转第308页）
（上接第106页）（1）分析了电梯隔震的现状，发现针对电梯内乘客特殊个体的减震需要的措施尚为空白。
（2）隔离装置可以有效隔离处于人体敏感频段的振动，是在原有电梯减震措施基础上的效果加强，这对一些敏感人群具有相当大的作用。
（3）隔振装置可使冲击波峰值降低为原来的16%，这样在电梯的相同运行状态下，具有厢内减振装置会使得乘客感受到的最大振动锐减;若最大振动减至人的有感范围下，乘客甚至不会感受到明显振动。
（4）隔离装置可使加速度曲线较为尖锐的拐角变得平滑，使加速度变化率时刻保持连续。人体不仅对加速度敏感，对加速度的变化也很敏感;隔震装置使得加速度平缓的改变，有效增加了电梯的舒适性。
（5）隔振装置会使加速度曲线和加速度变化率曲线的峰值增加，其对电梯舒适性的影响需进一步研究。
【参考文献】
[1]张长友，朱昌明，吴广明.电梯系统垂直振动分析与抑制[J].振动与冲击，2004， 22（4）：72-75.
关键词：数形结合；学前教育专业；一元二次不等式；教学设计
教师面对的是一个个鲜活的生命个体，怎样让我们的课堂充分体现出学生的主观能动性，为每个学生创设出动脑、动口、动手的机会，创设和谐、宽松、高效的课堂教学是每个教师都在思考并希望解决的问题。因此，教学设计需要从学生熟悉的内容出发，根据数学的学科特点和学生的实际情况，深入钻研教材，分析教学任务，有针对性地设计教学方案。
1客观分析教材
1．1学习一元二次不等式的重要性
在幼儿师范学校，数学是一门重要的文化课程。为提高学前教育专业学生的数学素养，必须努力提高数学课堂教学质量，使学生切实掌握从事幼儿教育工作和进一步学习所需要的数学基础知识和基本技能，进一步提高学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际问题的能力；结合数学教学进行思想教育，进一步培养学生的良好的个性品质、辩证唯物主义观点和科学态度。解一元二次不等式需要通过讨论一元二次方程的解的情况、画出对应二次函数的示意图、观察函数图象得出一元二次不等式的解集。因此，理解和掌握数形结合法求解一元二次不等式可以有效提高学前教育专业学生的数学思维能力、运算能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。
1．2教学内容分析
教材是学生学习的重要载体，是教师教学的客观依据。一元二次不等式及其解法这一部分内容编排在二次函数的图象和性质之后，接下来是一元一次不等式组、绝对值不等式的解法，再是一元二次不等式的解法。本节内容教学重、难点：数形结合法解一元二次不等式。
为此，可以将求解一元二次不等式的相关内容归纳如下：1、将具体例子进行细化，分步进行：第一步，确定方程的根的情况；第二步，画出对应二次函数的对应图形；第三步，观察图形，结合二次函数的图象的意义确定一元二次不等式的解集。2、数学的学习方法之一是数形结合，用此方法形象直观，容易掌握，多给学生强调此方法，让学生习惯于数形结合法解决数学问题，因此不要求学生记忆书上结论，避免学生死记硬背。3、举例强化。
2深入了解学生
2．1学生的学习风格
学前教育专业学生是一个特殊的群体，男女比例严重失调，女生人数占绝大多数。她们的数学基础差，学习意志薄弱，对数学不感兴趣，学习数学感到吃力，她们认为数学是“豆芽学科”，在幼儿园中组织各项活动不会用到现在所学的数学；他们的“专业思想”狭隘，偏科现象十分严重。
我校周洪老师曾采用《所罗门学习风格自测问卷表》进行过问卷调查，通过对调查问卷的整理分析，发现学前教育专业学生的学习具有倾向性特征，她们的学习风格倾向于序列型学习者，习惯于按线性步骤理解问题，每一步都合乎逻辑地紧跟前一步，倾向于按部就班地寻找答案；序列型学习者能对主题的特殊方面知道许多，但联系到同一主题的其他方面或不同的主题时，她们就表现得很困难，同时她们不喜欢抽象概念的学习，因此畏惧数学。同时，学前教育专业学生非常活跃，她们喜欢在集体讨论中学习，所以，在数学教学中，需要对学生的学习方法进行指导，培养良好的数学学习习惯，用日常学习行为（记笔记、做作业、认真听课）的变化去影响和改变她们对数学学科的认识；需要顺应学生的数学学习风格，加强师生之间、同学之间的互动和交流，为学生创设和谐、宽松的数学教学情境。
2．2学生的知识储备情况
用数形结合法解一元二次不等式需要用到确定一元二次方程的根的情况、画出二次函数的大致图象，因此，需要了解学生对以上知识的储备情况。
虽然学前教育专业学生以女生为主，多数学生的初中数学底子薄、基础差，但是一元二次方程是初中数学非常重要的内容之一，绝大多数同学都能够利用判别式来判断一元二次方程的根的情况并利用求根公式去求解。二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，当a＞0时，抛物线的开口向下，学生对此了如指掌。但是，什么情况下抛物线与x轴有交点，有几个交点，什么情况下抛物线与x轴无交点就不明白了。为了能够解决这一问题，我们需要把一元二次方程的根的情况和二次函数的图象与坐标轴的交点结合起来，二者相联系即可达到目的。
3教学目标
教学目标是师生通过教学活动预期达到的结果或标准，是对学习者通过教学以后将能做什么的一种明确的、具体的表述，主要描述学习者通过学习后预期产生的行为变化。
本节内容的教学目标是理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握数形结合法解一元二次不等式；培养学生数形结合的能力和分类讨论的思想，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力；激发学生的学习热情，培养学生勇于探索的精神、勇于创新的精神，同时领会事物之间普遍联系的辩证思想。
4教学方法
教学方法是教师和学生为了实现共同的教学目标，完成共同的教学任务，在教学过程中运用的方式与手段的总称。
教学时涉及到用语言传递信息、通过引导探究、分组讨论寻求解答、以实际训练解决问题等方法，故使用谈话法、探究法、讨论法、练习法，
5教学过程
教学过程，指教学活动的展开过程，是教师根据一定的社会要求和学生身心发展的特点，借助一定的教学条件，指导学生主要通过认识教学内容从而认识客观世界，并在此基础之上发展自身的过程，合理设计教学过程，有助于学生进行知识系统深化。此内容紧紧围绕教师组织，学生探究，知识运用的顺序开展教学活动。
5.1引入