时间：2023-05-29 18:21:28
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇等式的性质，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
等式的基本性质，是学生在刚刚认识了等式与方程的基础上接触到的。它是系统学习方程的开始，其中蕴涵的“化归思想”，直接给学生指明了解出方程的明确方向。同时，它也对学生后续学习不等式、函数，起着重要的基础作用。在接触这些知识时，我们可以把知识内容加以练习，再次加深等式性质的理解，为进一步深入学习相关知识奠定基础。
本节课的学习，是在学生生活中常见的、比较容易理解的实验基础上掌握等式的两个基本性质，引导学生通过观察，发现规律，为今后运用等式基本性质解方程打好基础，培养学生数学思维能力。
二、教学目标
知识与技能：理解并能用符号语言表述等式的基本性质，能用等式的基本性质解决简单问题。过程与方法：在用式子表示实验结果、讨论、归纳的活动中，经历探索、总结等式基本性质的过程。
三、教学重点与难点
教学重点：利用等式的基本性质解决简单问题。教学难点：两个等式性质的灵活运用，明确目的。
四、教学程序（分三部分教学）
（1）联系实际，激趣引入。大家可以直接看出像4x=24、x+1=3这样的简单方程的解。但是形如3x+7=32-2x的方程，仅靠观察来解就比较困难了。因此，我们还要讨论怎样解方程。方程首先是等式，所以我们要先来看看等式具有什么性质。首先激发探究兴趣，提出问题：“同学们，你用天平做过游戏吗？这节课，我们就利用天平一起来探索天平游戏中所包含的数学知识。”
（2）自主探索，合作交流。【学习等式的基本性质1】
①具体情境，感受天平平衡。利用多媒体依次展示天平图的各个操作，让学生通过观察，用语言来描述发现，与同桌交流。这样由具体演示到抽象概括，使学生记忆深刻，充分体现了学生为主体，教师为主导的原则。图1、图2的教学模式（篇幅所限，图略，下同）：先让学生观察，问：你发现了什么？然后提问：怎样变换，能使天平仍然保持平衡呢？待学生思考片刻，再进一步提问：往两边各放1个杯子，天平会发生什么变化？生口答，验证。接下去，继续提问：如果两边各放上2个茶杯，天平还会保持平衡吗？两边各放上同样的一把茶壶呢？生答，再一一演示验证。图3、图4的教学模式和前面一样。
②总结抽象，认识规律。通过上面的观察，先用一句话归纳图1和图2的内容。（等式的两边都加上或减去相同的数，等式不变。）再以第一句话为基础归纳出图3和图4的内容。（等式的两边都乘或除以相同的数等式不变，0除外。）教师指出这是等式的一个非常重要的性质，同时要让学生自己举例，检验等式的性质，加深印象。在这个过程中，要让学生认识到，我们在天平的两边同时放任何一样的东西，天平都是平衡的。让学生体会，一会儿我们在用字母表示规律时其中字母取值的任意性，再次加深学生对字母表达运算的认识，从学习的各个过程解决学生遇到的难点。
板书：等式的基本性质
（3）巩固练习，深化认识。练习题的设计，低起点，小台阶，循序渐进，符合学生接受知识的特点，培养学生的灵活性，使学生逐步获得成功的满足感。
【在横线处填空】
①用适当的数或式子填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。（4分）
1）如果x+8=10，那么x=10+___； 2）如果4x=3x+7，那么4x-___=7；3）如果-3x=8，那么x=__； （4）如果x=-2，那么__=-6.
②完成下列解方程。 （11分）
1）3-x=4. 解：两边____，得3-x-3=4_____.于是-x=______.两边____，得x=____.
2）5x-2=3x+4. 解：两边____，得____=3x+6；两边____，得2x=_____；两边____，得x=_____。
③解答题：利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
在此过程中，引导学生寻找发现问题，利用等式的性质解方程，我们要把方程化成什么形式？（X=a的形式）明确运用知识的目的，让学生学会总结分析学习内容，养成良好的学习习惯。
【课堂检测】
④解答题：利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）x+3=2；2）-x-2=3；3）9x=8x-6；4）8y=4y+1
【拓展训练】
⑤利用等式的性质解下列方程。（20分）
1）7x-6=-5x；2）-x-1=4；3）2x+3=x-1；4）+2=+2
⑥当x为何值时，式子x-5与3x+1的和等于9？（7分）
⑦列方程并求解。 （8分）
一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，个位与十位上的数字之和是10，求这个两位数。（提示：设个位上的数字为x）
⑧如果方程2x+a=x-1的解是x=-4，求3a-2的值. （8分）
⑨等式（a-2）x2+ax+1=0是关于x的一元一次方程（即x未知），求这个方程的解。（8分）
五、关注学生的学习体会和感受
1、常规思维法 不等式的证明最基本的方法就是求差比较法，基于此，有如下的解法
证法一a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=a2 -2ab+b2+c2-2ac+a2+c2-2bc+b2-a2-b2-c2
=（a-b）2+（c-a）2+（c-b）2-a2-b2-c2
=（a-b）22-c2+（c-a）2-b2+（c-b）2-a2
=（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
又a，b，c为ABC的三边
a-b+c>0 a-b-c0
c-a-b0 c-b-a
（a-b+c）（a-b-c）+（c-a+b）（c-a-b）+（c-b+a）（c-b-a）
a2+b2+c2
利用不同的组合，然旧利用求差比较法可以得到
证法二 a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
又a，b，c为ABC的三边
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正则不等式可以相乘，得到
a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）>0
-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
a2+b2+c2
2、利用分析法，结合三角形的边角关系和同向正则不等式可以相乘的性质可以得到
证法三：a，b，c为ABC的三边
a>0，b>0，c>0且a+b>c，a+c>b，b+c>a
利用同向正则不等式可以相乘，得到
a（b+c）>a2 b（a+c）>b2 c（a+b）>c2
又 2（ab+bc+ca）
=ab+ac+bc+ba+bc+ac
=a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）>a2+b2+c2
a2+b2+c2
在讨论题目的证明过程中，有的同学想到了这样的证明方法：
证法四a，b，c为ABC的三边
a-b
（a-b）2
上述三个不等式相得
（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
这种证明简明扼要，非常优秀，说明学生的思维是非常敏捷的。只是在三角形中由a-b
（a-b）2
证明：a，b，c为ABC的三边
|a-b|
（a-b）2
上述三个同向不等式相得
（a-b）+（b-c）2+（a-c）2
即a2+b2+c2
题目证明完成后，进一步引申，可以得到下面的命题：
已知a，b，c为ABC的三边，求证关于x的不等式
x2+（a+b+c）x+ab+ac+bc>0的解集为R。
证明： a，b，c为ABC的三边
x2+（a+b+c）x+ab+ac+b
由前面的命题可知
（a+b+c）2-4（ab+ac+bc）
=a2+b2+c2-2（ab+bc+ca）
=（a2-ab-ca）+（b2-ab-bc）+（c2-bc-ac）
=a（a-b-c）+b（b-a-c）+c（c-b-a）
=-〔a（b+c-a）+b（a+c-b）+c（b+a-c）〕
课标联接：理解等式的性质，利用等式的性质来解方程，提高我们用所学的数学知识解决数学中的实际问题的能力，树立我们应用数学的意识。
学习目标：
（1）知识与能力：①、理解等式的性质（A层）②、掌握等式的性质解方程（B层）③、能够灵活应用等式的性质解决相关的问题（C层）。
（2）过程与方法：①经历用天平探索等式的性质的过程，培养学生的动手能力和善于观察、总结的能力；（A层）；②经历用等式的性质解一元一次方程的过程，培养学生的计算能力和应用能力（B层）；③在利用等式的性质解方程的过程中，感悟数学问题的探索性和条理性。（C层）。
（3）情感、态度和价值观：经历用天平探索等式的性质的过程，让学生体验到数学是从实际生活中产生的，同时又应用于实际生活中，由此感受数学的实用价值
学习重点：等式的基本性质
学习难点：用等式的基本性质解方程。
学习时间：一课时。教学方法：分层次教学、讲授、练习相结合。学习过程：
一、创建问题情境，导入课题
问题：同学们，4x=24，x+1=3是方程吗？你们能够看出它们的解吗？但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的。因此我们还有讨论怎样解方程。首先我们先看看等式具有一些什么样的性质。
二、讲授新课
1、探索规律
像m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y，这样的式子，都是等式，我们通过以下实验来探索一下等式的一些性质。
实验一：观察总结在平衡的天平两边加同样重的砝码，天平两边是什么样的状态？在平衡的天平两边都减同样重的砝码，天平两边又是什么样的状态？规律总结：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
用式子表示：如果a=b，那么a±c=b±c
实验二：观察总结
在平衡的天平两边都加同样倍数的小铁球和砝码，天平两边是什么样的状态？在平衡的天平两边都减同样倍数的小铁球和砝码，天平两边是什么样的状态？规律总结：等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍相等。
用式子表示：如果如果a=b，那么ac=bc如果如果a=b，那么=
2、范例点击，应用所学
例1利用等式的性质解下列方程
（1）x+7=26（A层）
（2）-5x=20（A层）
（3）-x-5=4（B层）分析：要使方程x+7=26转化成x=a（常数）的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减7就得出x的解。你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式吗？
解：（1）两边减7，得x+7-7=26-7，于是x=19
（2）两边除以-5，得=于是x=-4
（3）两边加5，得-x-5+5=4+5，化简，得-x=9两边乘-3，得x=-27
三、巩固练习
新课改以来，沪教版教材倡导加减法或乘除法的互逆关系来解答方程。凡教授过现行沪教版《简易方程》章节的教师，都会遇到这样的教学现状：虽然利用加减法或乘除法的互逆关系学生能够解决形如X+12=47、（23+X+18）÷2=30简单或较复杂的一元一次方程；但一遇上类似X+6=3X两边带未知数的方程时，学生运用算术法来求解的过程明显有困难。
而且对学生而言，在小学阶段依据算术法解方程思想越巩固（沪教版教材从第七册开始，就要求学生运用四则运算关系熟练地求出方框中的未知数），这样的教学后果会造成学生到了初中后，方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。
所以引发笔者这样的思考：关于“等式性质”这一内容我们的课标是怎么规定的？其他版本的教材中是否出现“等式性质”这一内容？在小学五年级进行“等式性质”教学是否符合学生的认知特点？
二、研读与比较
基于上述所提问题，笔者进行了以下的实践：
（一）研读国家课程标准有关对“式与方程”的规定
《义务教育数学课程课标（2011版）》中提出“了解等式的性质，能够用等式的性质解简单的方程”。另外，对于解方程，《标准（2011版）》明确“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待，是代数思想的本质之一。开始从算术方法到代数方法可能显得繁琐，特别是对于简单的数量关系，算术的方法操作起来容易些，但在解简单方程时还是应当用等式性质，一方面体现代数的方法的本质，另一方面也是与第三学段（中学）学习方程的思路一致。
（二）比对沪教版一期课程标准与二期课程标准对“等式性质”内容的规定
通过比对沪教版两期的课程标准（如下表）（表略），我们不难发现对“等式性质”这一教学内容的规定，在一期课改时是放入小学阶段的，但到了二期课改就从小学阶段中移除了。由于课标的指向变化了，所以导致相应的教材亦是如此，一期课改的教材将“等式性质”这一内容编在了四年级第二学期中，二期课改教材就没有该内容了。
（三）查阅多种教材版本，比较其内容编排
在了解了《课标》规定后，查阅了人教版、苏教版、北师大版关于《简易方程》中解方程方法介绍的编排内容，又采集了沪教版关于这章的编写内容（如下表格）（表略），发现前三个版本都明确要求学生运用等式性质来解答方程，但我们沪教版还是要求学生运用算术法求解方程的。
通过比较，国家课程标准对“等式性质”放于小学阶段学习有明确规定，说明专家团队是建议在此学段进行“等式性质”学习的。另外，比较了国内具有代表性的多种版本教材对于“等式性质”的编写，和国家课程标准完全吻合。不禁自问：上海的课程标准没有这样的规定，小学阶段教材自然也就缺少“等式性质”这一内容了，可学生的实际学习情况又是十分需要这一知识。能不能在教学中将这一知识弥补进去？如果要补在什么地方比较适合呢？学生的实际学习情况又会如何？
三、课程内容的思考与调整
（一）思考
通过比较以上四个版本关于《简易方程---解方程》的编排，作为执教者会思考：像这种依据加减法或乘除法的互逆关系来解方程的方法，一到初中就会被“有理数运算律、消元“等方法取代。而且这些方法不利于中学所学的方程解法的延伸，对学生的后续学习也会产生干扰。竟然如此，在教学这个内容时，能不能借鉴其他三个版本的编排内容，紧紧围绕《课标（2011版）》将“等式性质”作为小学解方程的另一种方法呢？
（二）调整实施
在以上前期思考下，笔者主要借鉴北师大版对教材教学内容编排的基础上，重新的调整及补充了课程内容。具体调整补充如下表：（表略）
四、课程内容实施后的实际现象与效果
笔者按照上述的分析，将等式性质（一）与加减法关系、等式性质（二）与乘除法关系进行了融合，并分二个课时进行教学。
在课堂上，一开始学生解答形如：x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b（a≠0）未知数在一边的方程时都不愿意运用等式性质来求解。从四年级第一学期开始学生已经对运用算术法“求（ ）中的未知数”娴熟有加，在不断地操练中，学生积累了比较丰富的感性经验，形成了一定的解题定势，所以就算学生了解了等式性质，但他们的第一反应还是想到用加减法或乘除法的数量关系来求解，也是情理之中的事。
但当学生遇到“X+6=3X”一题时，他们的解法出现了分化的现象：近三分之一的学生将“6”看作是一个加数，把X看成是另一个加数，利用“一个加数=和-另一个加数”的数量关系求得了X的值；剩下的学生有一部分开始也想到了利用加减法关系来求解，因为始终出现“X=3X-6”或“3X-6=X”两边都带X的变式，无法成功地将未知数X移至等式一边而放弃旧方法，想到了等式性质这一新方法，有的学生提出质疑认为“此题不能解”。
面对学生不同的认知冲突，执教者将事先准备好的“利用等式性质具体解题的学习材料”以信封的形式提供给有需要的学生，让他们通过阅读学习材料来尝试独立解答。从课堂的实际反馈来看，在剩下的学生中多数学生能通过自学，成功的运用等式性质求得了未知数X的值。具体过程是：“X+6-X=3X-X，2X=6，X=3”。随后，又安排学生们对两种解法进行比较，最终得出选择适合自己和题目类型的解方程方法才是最佳方法的观点。
“等式的性质”是数与代数中“简易方程” 的部分内容，是学生在认识了等式与方程的基础上进行教学的，在教科书中占用重要的地位；它是系统学习方程的初步，是学习解方程基础和依据，其核心思想是构建等量关系式的数学模型；对将来学习解一元一次方程中的移项、合并同类项有着至关重要的作用，学生对等式的性质探究过程中还渗透着转化、归纳等重要的数学思想方法。更有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生的数学语言和符号意识；更有助于加深和巩固所学的算术知识；同时更有利于加强中小学知识上的衔接与应用。
人教版教科书，首次在“简易方程”单元把“等式的性质”作为单独的内容编排，并安排一课时时间进行教学，强化了等式性质教学。从方程的意义上讲，这样编排更有利于学生对方程意义的深入理解，也为今后学习解方程明确了方法。学生在探究“等式的性质”的过程，实际就蕴含了解方程的方法。在解方程的过程中，学生就会熟练地利用等式性质转换来正确地解方程，解决实际问题。为将来进一步学习，打下了坚实的基础。
下面仅以“等式的性质”教学设计看新课程背景下我们教师是怎样解读课标、研读教材、构建新课堂。
1.解读实施“课标”以学生为主体
两位教师的教学设计，都不同程度体现了2011版《数学课程标准》理念。二位教师新课导入，都是以复习什么是方程入手，考虑了知识的整体结构，使“等式的性质”的学习，起到了承上启下的作用，这也是“数学课程标准”提出的。在教学过程的设计上，注意创设活动情境，引导学生自主探究，合作交流。通过引导学生在天平实际操作中观察、归纳、发现、抽象出等式的性质，体验等式的性质。这充分体现了以学生为主体，以教师为主导的新课程教育思想理念。
2.研读教材，渗透思想方法，形成基本活动经验
新版教科书中“等式的性质”是按独立的一课时进行编排的，可见这部分知识的重要。“等式的性质”是学生在掌握了一定的算术知识（包括整数、小数的四则运算及应用），已初步接触了一些代数知识（如运算定律）的基础之上进行学习的。“等式的性质”的学习是在学生实验操作的基础上，感知等式的基本性质。两位教师读懂了教材，读懂了学生。通过引导学生操作、观察、比较、抽象概括，探索发现规律，构建数学模型。
例如：二位教师设计的天平实验操作的环节，都引入了字母来表示不同的物品，把文字语言转化为符号语言，有利于学生把实际操作发现的结果抽象为用字母表示的等式，同时也渗透了符号化的数学思想。如党老师设计的三个天平图的练习（看图，并用字母写出等式），最后一幅图，学生要联系前两个天平图才能写出等式。这个开放的习题设计，不仅引导学生用联系的发展的眼光整体地看问题，同时也体现了代换的思想。学生在学习中不仅掌握基本数学思想，还形成了基本活动经验。
3.自主探究、合作交流、动手实践，构建新课堂
《数学课程标准》指出：“学生的数学学习和活动应当是一个生动的主动和具有个性的过程。”“动手实践、主动探索与合作交流，是学生交流的主要方式”也是课程改革的核心理念。新一轮课程改革，不仅改变了教科书的结构、课堂教学结构，更重要的是改变了教学方式和学习方式。《数学课程标准》指出：“教师是教学活动中，组织者、引导者与合作者。”在教学中，二位教师的教学设计都体现出引导者的作用。学生学习掌握“等式的性质”，这一教学环节是在教师的启发引导下，通过动手实验操作，观察发现，归纳推理，抽象感知，学生亲历了学习新知的过程。二位教师精心设计课堂，给学生创设自主探究、合作交流的机会，真诚地与学生合作，共同构建一种新的课堂文化。学生在自主探究、合作交流中学习新的知识，建立数学模型。
4.研读教科书，用好教科书
随着新一轮课程改革的不断深入，大多数教师在读懂教材的基础上，大胆地对教材进行重组加工，加工后的情境更贴近学生的实际生活，更有利于学生感知知识的形成过程，加工后的习题不仅具有基础性，还有拓展性，有利于提高教学质量。
二位教师在教材使用和教学设计上，有须要商榷的地方。比如：谢老师的教学设计过于拘泥于教材中的情境，用教科书中图给出的物品，生活中不容易找到正好的具有等量关系的合适物品，也不利于学生实际操作和感知知识的形成过程。相比较党老师的设计，选取的物品就相对好一些，有利于学生的实验操作和感知“等式的性质”。习题选用上谢老师多数选用了教科书中的题目，比较党老师的习题设计更基础一些。党老师的习题设计比较开放。如果二位教师的习题设计，能互相融汇，既有基础题，巩固题，拓展题等不同层次的习题。就更有利学生对新知的巩固和思维的拓展。有利于落实数学课程“四基”“四能”的培养目标。
一改以往利用四则运算的各部分关系来解方程。在研究了新课程标准后，我决定以新课程理念为中心，坚决向学生传授等式的原理解方程这一新思路和新方法。教学下来却发现，学生接受并不像想象中那么容易，出错率非常高。主要表现在当未知数是减数和除数这两种情况时的方程的解法出错，学生对中间出现的负数的处理有了难度。代了十几年小学数学了，以前一直认为列方程是难点，解方程小菜一碟，没想到现在解方程也出现了难题。利用等式的性质来解方程难道没有其优越性吗？新课程这样设置的出发点和着眼点是什么呢？
原来，在新课程改革时，一些数学专家认为小学用算术思路解方程，到了中学却是用等式的基本性质来教学解方程，小学的思路对中学代数起步教学产生了一定的影响。因此，在小学阶段利用等式的性质解方程用意在于和初中数学教学接轨。
在明白原因后，为了与初中数学紧密结合，我坚定不移地将等式的性质作为解方程的唯一思想来进行教学，但是一学年过后，学生的掌握程度依然不高。新教材有意回避了当未知数是减数和除数这两种情况时的方程的解法，但是小学数学经常出现这一类的问题，我们是不能回避的。学生不习惯在方程的两边同时加一个代数式，例如“8-x=3”，他们在方程两边同时减去8，变成了“8-x-8=3-8”，继而变成“-x=-5”而不会解了。好多学生不习惯利用等式的性质解方程，而是不自觉地就利用加减乘除法各部分结果来解答方程，老师又不能说人家错，引发了知识运用的空前混乱。我只好妥协地将两种方法柔和起来应用，却惊讶地发现学生都喜欢用四则运算算理这种方法，正确率立马提高到95%以上，出错的原因多是计算粗心和通分。我的心中却有了许多忐忑，是不是违背新课程的理念了呢？在与老师们多方教研后，我又上网查阅了大量的资料和咨询了多名小学数学专家后，思想逐渐由乱变得稳定，逐渐地形成了如下的认识，供大家批评指正：
一、新课程标准没有错，应该把利用等式的性质解方程看做首选进行教学
加减乘除四则运算是小学一至四年级学习的重要知识，其实学生对他们已经了如指掌，已经熟练掌握。列方程其实就是要把逆向思维转换为顺向思维，本身就是对学生以前一直惯用的算术方法的挑战。
例如“公园里，猴子比大象多5只，猴子有15只，大象有多少只？”学生很容易列出“15-5=10（只），大象有10只”。但是，在学了方程后，他们就学会了列出“解：设大象有x只，15-x=5”这样一个方程。这就是思维的变换，如果仍然用四则运算理解方程，对于学生来说还有什么能力提高可言？因此，利用等式的性质来解方程就是一次学生知识结构的变革和知识水平的提高。课改的教师切不可放弃这种方法，应该努力实践，大胆拓展学生的思维。
等式的性质这个知识点应该作为一个重点来进行讲解，学生不理解或者理解浅显模糊，都会给后来的解方程带来障碍。教材是利用天平来帮助学生理解等式的性质的。当天平两端什么东西也没放的时候，天平左右两端是平衡的。当往天平一端放物体而另一端不放的时候天平就会向有重物的那一端倾斜。当往没有重物的那端逐步放砝码的时候，天平就会平衡。当我们同时从天平两端都加上（或去掉）相同的重物时，天平依然平衡。由此引出：等式两边同时加上（或减去）同一个数，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是
等式。
对于“8-x=3”这样的方程可以利用等式的性质，方程两边都加上x就变成了“8=3+x”也就是“3+x=8”然后方程两边再同时减去3变成“3+x-3=8-3”，继而得出x=5。用这个方法来解方程要复杂和繁琐。不过，老师要记住这是一种新的思维、新的角度、新的策略，不可忽视。同样可以这样解答，是有点麻烦，但其中糅合了等式的性质，又学习了新知识是非常值得的！
二、解方程时以等式的性质为主，四则运算为辅，共同完成教学任务
《义务教育数学课程标准》中明确提出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化”。我个人理解，这与教材要求用等式的性质解方程并不矛盾，新课程的理念就是要让学生的知识得到拓展和延伸，它也并没有反对大家利用四则运算算理来进行解方程，作
为教师要牢记课改的神圣使命，切不可盲目地追求高分率，图方便弃难就易，而影响学生的知识体系的形成。
我认为在教学中要以利用等式的性质解方程为主，同时不反对学生利用加减乘除法各部分之间的关系来解方程。对于“8-x=5”或“8÷x=3”这类方程就放手让学生用“减数=被减数-差”或“除数=被除数÷商”来解决，但不能放松等式的性质的探究，要让学生学会用等式的性质来解决这类问题。
三、学生对方程的解法由单纯到模糊，再由模糊到清晰的过程，是符合事物发展的辩证规律的
新旧知识的冲突是不可避免的，能不能迅捷地接受新知识也是判断一个人能否不断革新挑战自己的重要标准。由于受到旧知识的影响，学生都习惯用过去的经验来处理现在遇到的问题。学生在接受新知识时，出错最多的时候，也正是我们教师需要反思和改进的时候。这说明他们对新知识理解不够，只有精讲多练，理论联系实际，才能让他们对知识的理解逐渐深入，形成完整的、清晰的认知结构和能力。
参考文献：
人教版七年级数学下册主要包括相交线与平行线、平面直角坐标系、三角形、二元一次方程组、不等式与不等式组和数据的收集、整理与表述六章内容。下面小编给大家分享一些七年级下数学知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
七年级下数学知识点1第一章 相交线与平行线
一、知识框架
二、知识概念
1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。
3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、内错角、同旁内角：
同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。
内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。
同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。
6.命题：判断一件事情的语句叫命题。
7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。
8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
9.定理与性质
对顶角的性质：对顶角相等。
10垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
12.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
13.平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
判定2：内错角相等，两直线平行。
判定3：同旁内角相等，两直线平行。
本章使学生了解在平面内不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系,研究了两条直线相交时的形成的角的特征,两条直线互相垂直所具有的特性,两条直线平行的条件和它所有的特征以及有关图形平移变换的性质,利用平移设计一些优美的图案.重点:垂线和它的性质,平行线的判定方法和它的性质,平移和它的性质,以及这些的组织运用.难点:探索平行线的条件和特征,平行线条件与特征的区别,运用平移性质探索图形之间的平移关系,以及进行图案设计。
七年级下数学知识点2第一章 平面直角坐标系
一.知识框架
二.知识概念
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做(a,b)
2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;
竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。掌握本节内容对以后学习和生活有着积极的意义。教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
七年级下数学知识点3第一章 三角形
一.知识框架
二.知识概念
1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
6.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
7.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
8.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
9.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
10.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
11.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
12.公式与性质
三角形的内角和：三角形的内角和为180°
三角形外角的性质：
性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)·180°
多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
多边形对角线的条数：
(1)从n边形的一个顶点出发可以引(n-3)条对角线，把多边形分词(n-2)个三角形。
三角形是初中数学中几何部分的基础图形，在学习过程中，教师应该多鼓励学生动脑动手，发现和探索其中的知识奥秘。注重培养学生正确的数学情操和几何思维能力。
第八章 二元一次方程组
一.知识结构图
二、知识概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次。
方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
本章通过实例引入二元一次方程,二元一次方程组以及二元一次方程组的概念,培养学生对概念的理解和完整性和深刻性,使学生掌握好二元一次方程组的两种解法.重点:二元一次方程组的解法,列二元一次方程组解决实际问题.难点:二元一次方程组解决实际问题
七年级下数学知识点4第九章 不等式与不等式组
一.知识框架
二、知识概念
1.用符号“”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。
7.定理与性质
不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
本章内容要求学生经历建立一元一次不等式(组)这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式(组)的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。
七年级下数学知识点5第十章 数据的收集、整理与描述
一.知识框架
二.知识概念
1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。
2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。
3.总体：要考察的全体对象称为总体。
4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。
5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。
6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。
7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。
8.频率：频数与数据总数的比为频率。
在以前人教版教材中，学习解方程之前首先要求学生掌握加、减、乘、除法各部分之间的关系，然后利用加减乘除各部分之间的关系来求出方程中的未知数，而今人教版教材的设计是借用天平使学生首先感悟“等式”，知道“等式两边都加上或减去同一个数、同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立”这个规律。在老方法中，只要记住加减乘除各部分之间的数量关系就可以解任何简单的方程，但是学生必须要去记加减乘除各部分之间的关系。新方法只要学生能明白等式的性质（也就是天平的平衡原理），就可以解方程。这样的设计减轻了学生的负担，培养了学生分析数量和解决问题的能力。但在实际的方程教学中，还是存在一些问题。
形如x±a=b一类的方程利用等式的基本性质，学生很容易解决；形如ax=b与x÷a=b一类的方程，利用等式的基本性质，学生也很容易解决。但是，形如a-x=b和a÷x=b之类的方程，学生就无从下手了――如果利用等式的基本性质解，方程变形的过程及算理解释比较麻烦。这种情况，很多教师利用老方法解方程（减数=被减数-差，除数=被除数÷商），也解决了这类问题。但是，对于两边都有未知数的方程（比如用方程解答盈亏问题时会列出两边都有未知数的情况），不管是老方法还是等式的性质，都不能很好地解决，以至于很多学生非常困惑，不只一次地说：“老师，有些应用题，我能列出方程，可是却解不出来，怎么办呢？”
针对这种情况，我一直在思考怎样才能很好地解决。新教材中的等式的性质有点趋向七年级的教学方法，意图是与七年级的教学接轨。这种设计是为了让小学生尽快接受初中一年级（七年级）的教学方法，并为七年级打下良好的学习基础。因此，我翻阅了七年级的教材。当看到“移项”时，我灵机一动：既然等式的性质小学生能用，那移项为什么不能拿到小学来讲呢？这样不管是未知数在减号之前还是之后，等式两边是否有未知数，不是都能解决了吗？有了这种想法，我就开始对部分学生实施这种教法。
如：教学3x+7=37-2x时，要让学生首先明白：方程中的每一顼都必须是带着它前面的符号，等号两边的第一个数，都是省略了加号的。移项就是从方程的左边移到右边，从右边移到左边，而移动的那一项必须要改变符号，即“加号变减号”、“减号变加号”。移动的目的是把未知项和未知项放在等号的一边，把常数项和常数项放在等号的另一边（一般是先观察未知项）。没有移动的那一项要照抄下来。最后一步再利用等式的性质，两边同时除以与x相乘的数，就求出了x的解。具体过程如下：第一步，把右边的“-2x”移到左边变成“+2x”，同时把左边的“+7”移到右边变成“-7”，两边没有移动的照抄下来，即：3x+2x=37-7。第二步，分别计算左右得：5x=30。第三步，利用等式的性质，两边同时除以与x相乘的“5”，即5x÷5=30÷5，得x=6。
对于未知项在减号后面的情况，如135―5x=45，同样可以用移项的方法解决。因为移项要变号，所以一般看到未知项前面是减号，就把带减号的未知项移动到等号的另一边，使它变成加号。此题的具体步骤是：第一步，把左边“-5x”移到等号的右边变成“+5x”，因为要放在右边第一个，所以“+”可省略不写，同时把右边的“+45”移到左边，变成“-45”，即：135-45=5x。第二步，算出90=5x。第三步，利用等式的性质，两边同时除以与x相乘的5。最后一步，要按习惯把x放在左边，得x=18。
而对于非常复杂的方程，如7（x+6）-3x=4（2x+5），必须要先去掉括号，再化简，最后再移项，求出x的解。具体步骤是：第一步，去括号得：7x+42-3x=8x+20。第二步，观察到左边，一共有三项，所以化简得：4x+42=8x+20。第三步，移项，把左边的“+4x”移到右边，变成“-4x”，同时把右边的“+20”移到左边，变成“-20”，得：42-20=8x-4x。第四步，算出22=4x。第五步，利用等式的性质两边同时除以与x相乘的4，并把x放在左边，得x=5.5。
用移项的方法，学生容易明白，但在自己做的时候，还是易把符号混淆，还需要多加训练。训练到一定程度后，不论多么复杂的方程，学生解起来都是得心应手，也不担心在解应用题时列出方程不会解了。后来，我又在全班推广这种方法，让学生牢记“移项变号”，并由简单方程到复杂方程，逐步增加复杂程度，学生反响良好。几年后，学生到了初中，我原来的学生告诉我，当学到一元一次方程时，他们已经不用老师讲这一节内容了。
所以，经过几年的实践，我认为，完全可以把初中的这一内容提到小学来解决，只要突破这一难点，“列方程解应用题”的难点将会迎刃而解。
[关键词]掌握学习策略 掌握数学
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-052
布卢姆教学理论的核心内容是“掌握学习理论”。所谓“掌握学习”，就是在“所有学生都能学好”的思想指导下，以集体教学（班级授课制）为基础，辅之以经常、及时的反馈，为学生提供所需的个别化帮助以及所需的额外学习时间，从而使大多数学生达到课程目标所规定的掌握标准。数学是一门高度形式化的学科，在这门学科中有许多为了学习者教学起见而制定的明确结构。因此，在数学中，代数学家能够很容易地决定：代数的基本模式或结构，是通过理解交换律、分配律和结合律显示的。当学生掌握了这种结构，就能鉴别他们所必须解答的所有代数题都是这三种类型中这一或那一类型的变体，并能够解答它们。鉴于数学学科的结构和学生认知发展的特点，如果教师能很好地运用掌握学习策略，那么教师的课堂教学就能够促进学生掌握数学。
一、掌握学习策略的实质
有充分的证据证明，学校学习中确实存在个别差异。这种差异形成的原因，主要来自于学生掌握新的学习任务所需要的基础知识和技能的程度、学生学习形成动机以便参与学习过程的程度和教师教学适合于学生的程度等三大变量。总的来说，学习中的差异和学生的学习水平是由学生的学习史和他们所受的教育的质量决定的。如果在这两方面进行适当地改变，就可缩小学生之间的差距，大大提高他们的学习水平。
掌握学习的策略问题，是一个确定怎样方能把学习者的个别差异与学和教的过程联系起来的问题。教师必须尽力保证使全部学生在自我发展方面有成功的学习经验。
掌握学习策略是受特定种类学习的能力倾向、教学的质量、理解教学的能力、毅力、允许学习的时间主要五种变量制约的，教师运用掌握学习策略在于寻求如何利用这些变量的各种方式。掌握学习有许多可供选择的策略，每一种策略必须通过某些手段把教学与学习者的需要联系起来，从而找到对付学习者的个别差异的某种途径，每一种策略必须包括能够对付上述五种变量的某种途径。
二、掌握学习策略的实践思考
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具。小学数学中，代数领域的简易方程是最能体现数学学习规律和特征的内容。学习简易方程的过程，是学生在学习了一定的算术知识的基础上，逐步转向代数学习的典型过程。从方程模型的构建过程中可以反映出教学中是如何利用掌握学习策略促进学生掌握数学的。这一单元主要的学习内容是等式的性质和解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。学习目标是理解并掌握等式的性质，并能用等式的性质解简单的方程；掌握解形如x±a=b、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并能正确地进行检验；会用方程解决简单的实际问题。让学生经历从生活情境到方程模型的构建过程，使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，积累数学活动的经验，感受方程的思想方法和价值，发展抽象思维能力和增强符号感。
根据信息加工理论，我们认识到学习的主要因素不是重复和练习，而确保学习的最可靠的条件是先前学习的必备能力。如果学生确实学会了这个技能，他很可能将学会新技能而无需重复。从掌握学习策略上看，我们要为学生学习简易方程提供好的先决条件：理解常见的数量关系；掌握交换律、结合律、分配律等运算定律；能用字母表示数，用含有字母的式子表示数量、数量关系和公式，求含有字母的式子的值，化简形如ax±bx的式子。而这些学习任务已经在以前的学习中完成，需要我们教师做的事情就是了解学生对上述内容的掌握情况，如果确认学生已经掌握，我们就可以进行简易方程的教学。
三、掌握学习策略的实施
掌握学习策略要求将学习分为小的单元，让学生每次学习一个小的单元并参加单元测试，指导学生以80%～100%的掌握水平通过评价测验为止，然后再进入下一个单元的学习。我们把简易方程学习分为等式和方程、等式的性质和解简易方程、列方程解实际问题三个小单元。下面就结合掌握学习策略依次说明三个小单元的教学过程，并尝试分析学生的掌握学习效果。
1.通过类属学习认识方程
利用生活中的天平把包摄水平较高的等式概念呈现给学生。鉴于等式和方程之间的关系，对于方程来说，等式具有最大的解释潜力，因为等式的介入，学生学习方程这个新概念的困难就可避免。当含有字母的等式出现时，学生通过比较和观察，就能进行适当的分类，并归纳出“像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式是方程”。在此基础上，进一步通过集合图来理解等式和方程的类属关系。从理解认知心理上分析上述过程可以看出，学生通过以前对等式的学习与理解，在认知结构中已经有了一般的和包摄的概念，在碰到进一步分化的学习材料时，它便能起到类属的作用。这样有意义的接受学习和保持就会最容易、最有效地发生，这也反映出类属学习要比总括学习更容易。
在制定策略时，我们需要清楚地知道一些必需的先决条件，拟定规定的操作程序，以及评价这些策略的一些结果。教学目标和教学内容的详细说明，是让教师和学生双方知道预期目的的一个必需的先决条件。把详细的说明转化成评价的程序，有助于进一步解说学生学完一段内容或一门课时应该能够达到什么标准。用来估价教学结果的评价程序（形成性评价和总结性评价）有助于教师和学生知道什么时候的教学是富有成效的。其中必须伴随有对教学过程和结果的诊断，并能开出相应的处方。这样，通过使用诊断程序和可供选择的教学方法和材料，使大部分学生达到预定的成绩标准，以补充正规集体教学之不足。这些策略和方法的运用中，毫无疑问的是有些学生在学习某些内容时所花的时间要比别人多。但是如果大多数学生在分配给这些学习任务的时间结束时，都达到掌握的水平的话，掌握学习就产生情感的和认知的结果。对方程含义的认识，在学生知道方程含义的基础上，我们将通过判断哪些式子是等式，哪些式子是方程，能否举出方程的例子来诊断学生是否掌握。针对需要帮助的学生，教师还要进一步让学生对等式和方程进行辨析，并安排学生将算式中的用图形表示的未知数改写成用字母表示等练习来保证掌握学习。
2.利用等式性质学会解方程
（1）利用天平平衡图探索概括等式的性质
根据小学高年级学生的思维正从具体的表象思维向抽象的符号思维发展的特点，我们在教学等式的性质时，通过天平平衡图让学生探索并理解等式的性质。例题中安排了四组图片，先让学生观察并依次填写出四个等式：50+10=50+10，50+a=50+a，x+a=50+a，x+a-a=50+a-a，然后再让学生联系天平保持平衡的过程，通过观察、分析、比较、讨论等多种方法归纳概括出等式的性质，这里鼓励学生创造性地发现数学规律，并能用自己的语言进行描述，力求提高学生的思维能力和表达能力。在此基础上，引导学生得出：等式两边同时加上或减去同一个数，结果仍然是等式。并且告诉学生这就是等式的性质。而对于“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，结果仍然是等式”。这个补充性质的学习，可以看做学习的延续，是概念的迁移和深化，也是对先前概念掌握情况的评价诊断，通过这个程序就能确切地判断学生掌握学习的情况。
（2）通过等式的性质迁移到方程的解法
根据掌握学习策略的反馈要求，在学生知道等式性质的基础上，教师要进一步评价学生掌握学习的情况，故安排填空练习，让学生根据等式的性质在里填运算符号，在里填数。x-25=60，x-25+25=60；x+18=48，x+18-18=48。教师要让学生说出填空的依据，并说出等式两边是怎样变化的，是加上同一个数还是减去同一个数，以期学生真正理解等式的性质。当完成上述任务，确认学生掌握时，教师要让学生把两组算式继续填写下去，得到x=85；x=30。此时让学生知道，85、30分别表示两个未知数的值（也就是两个方程的解）。请学生回顾填空的过程，体会利用等式的性质，使方程左边只剩下一个未知数，方程右边是一个数，也就是利用等式的性质，我们可以求出方程中未知数的值。这就把根据等式性质的填空迁移到方程的解法上面了，这种学习迁移正是为学习解方程作出“特定的准备”，使学生具有学习解方程的必备能力。
（3）由求未知数的值来建构解方程的方法
让学生观察天平的平衡图，根据相等关系列出方程：x+10=50。教师提出问题：你能求出方程中未知数的值吗？启发学生利用等式的性质，把方程的两边同时减去10，使方程左边只剩下x，即可求出未知数的值，这时让学生知道，x=40就是未知数的值，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，而我们求方程的解的过程叫做解方程。教师示范板书解方程的过程，并提出书写的注意点。而提出问题：x=40是不是正确的答案呢？使学生知道解方程后需要检验。师生共同学习检验的方法，把x=40代入原方程，看看左右两边是不是相等。抓住方程中相等关系这个核心，让学生进一步体会利用等式的性质解方程的过程。
3.在列方程解决实际问题的过程中体会方程的思想方法和价值
（1）通过简单的数量关系的分析建构列方程解决问题的方法
出示简单的实际问题：小红今年的体重是36千克，比去年增加了2.5千克，小红去年的体重是多少千克？
让学生根据条件和问题找出数量之间的相等关系：去年的体重+2.5=今年的体重；今年的体重-去年的体重=2.5。继续提问，要列出方程首先要干什么？（找出未知量，并用字母表示）教师告诉学生，列方程首先要设未知数，然后再根据数量间的相等关系，也就是我们刚才找到的等量关系式列方程。当学生解出方程后，还要提醒学生检验结果是否正确。
在掌握基本知识的基础上，教学还要通过具有乘除法数量关系的方程来建构出比较完整的列方程解决简单问题的模式，这也是按照掌握学习策略要求，运用评价反馈手段诊断学生的掌握学习情况。
（2）通过用方程解答稍复杂的实际问题体会方程的价值
通过列形如ax±b=c、ax±bx=c的稍复杂方程来解决实际问题，不仅可以让学生经历将现实问题抽象为方程的过程，而且通过用方程的思想方法来解决稍复杂的实际问题，可以充分体会方程思想的应用价值。对于这类问题，重点就放在数量关系的分析上，让学生能找出相等的数量关系，这里不考虑已知和未知的量。抓住相等关系这个核心要素，就能迅速地列出方程。而在解稍复杂的方程时，我们要把重心放在让学生弄懂怎样把新方程转化为我们学过的方程上，即通过转化使复杂的变成简单的。当学生能够列方程解决问题时，教师有必要利用学生用方程思想方法解决问题的体验，来体会这类实际问题用方程解答比用算术方法解决时思维更顺畅。通过顺向思维和逆向思维的比较体会中，感受到方程思想方法的价值，从而使学生喜欢代数，掌握数学。
掌握学习策略的任务，是要找到改变个别学生对学习需要的时间的途径，以及找到为每一个学生提供所需要的那样一种时间的途径。掌握学习的策略也就必须找到解决教学问题以及学校组织（包括时间）问题的某种途径。
简易方程是小学数学教材第二学段中的重要学习内容，是第三学段方程和方程组学习的基础。过去，在学习解简易方程之前，学生都要先学习加减乘除各部分之间一些基本的数量关系，然后根据加减乘除各部分之间数量关系来解方程，可以说，只要记住加减乘除各部分之间的数量关系就可以解任何简单的方程。2001年新课改之后，小学阶段方程教学发生了很大的变化，加减乘除各部分之间数量关系不再成为解方程的依据，只要学生能明白等式的性质，也就是天平的平衡原理，就可以解方程，这样的设计使学生学习方程不再需要记忆加减乘除各部分之间的数量关系，从而减轻了学生的负担，培养了学生分析数量和解决问题的能力。但在实际的方程教学中，还有一些问题值得教师去研究思考。
“了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程”是《数学课程标准（2011年版）》中对简易方程教学的要求。“了解等式的性质，学习解答形式为x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，并解答简单的实际问题”是青岛版等小学数学教材对方程教学的具体要求。那么形式是x±a=b、ax=b、ax±b=c、ax±bx=c的方程，是不是将简易方程完整地呈现了？其实，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程，笔者认为也应该属于简单的方程。但为什么教材中没有出现形式是a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程呢？是教材编写者遗漏了吗？笔者认为，遗漏是不可能的，原因其实就是利用等式的性质解简单的方程，像a-x=b、a-bx=c这几种方程，利用等式的性质来解，在方程的左边就会出现“-x”现象，而在小学阶段，学生还没有学习含有负数的计算。而a÷x=b这样的方程，利用等式的性质进行常规思考，好像也不好解答。
因为课标、教材都没有涉及像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程教学，所以，很多教师在实际教学中，就尽量避免a-x=b、a-bx=c、a÷x=b的方程出现。那么这样的方程，教师真的能回避吗？笔者查阅了人教版和青岛版教材中有关方程的内容，发现：其实在这些教材中，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程还是不可避免地出现了。如青岛版小学数学四年级下册第12页第6题中的第（2）题，如下图所示。
全国小学学校数量统计图
按照教材的设计，用方程解答问题（2）时学生最好能列成方程x+3.11=42.58。但如果学生列出方程42.58-x=3.11，是不是也可以呢？这不正是a-x=b的方程形式吗？又如，青岛版小学数学四年级下册第12页中的第7题，如下图所示。
要用方程解答，问题（1）学生列出方程361.4-x=40.3、问题（2）学生列出方程219-x=16，是不是也可以？这也不正是a-x=b的方程形式吗？再如，人教版小学数学五年级上册第66页练习十二中的第2题，如下图所示。
可以发现，这道题按照设计要求，学生最好能写成5x+3=1428，但如果学生列成方程1428-5x=3其实也是可以的，这也不就是a-bx=c的方程形式吗？基于此，笔者认为在方程教学中，有些问题尽管课程标准和教材没有呈现，但教师是不能回避的。
既然不能回避，笔者认为方程教学就很值得教师来思考。有的教师认为，利用等式的性质来解决像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程，对学生来说难度过大，很多学生不能掌握，弄不好会对方程教学产生不利影响。真的是这样吗？其实笔者认为，只要教师真正抓住了等式的性质（天平的平衡原理）这一教学主线，让学生真正明白其中的道理，像a-x=b、a÷x=b、a-bx=c这样的方程对学生来说还是能解决的，而且并不是难事，甚至对学生深刻理解等式的性质还有很好的帮助。以下是学生在笔者的引导下，解答稍复杂方程的两种不同过程，如下图。
对于第一个学生的做法，有的教师认为：等号左边应该是x，右边才是结果，学生这样写是错误的。是不是真的错了呢？笔者认为，第一个学生的做法其实是很有道理的，等号左边是x、右边是结果只是常规写法，在这种方程里学生能解出方程本身就值得表扬，毕竟对学生来说方程左边出现了“-x”是不好理解的，如果利用等式性质将“-x”转移到方程等式右边变成x，这也不失为一种很好的解决方法。对于第二种解法，学生是利用等式的性质，先将x由方程左边移到右边， “-2x”就变成了2x，然后再根据等式的性质，将方程左右两边交换位置，在不改变方程结果的情况下，却将方程变成他们能解决的形式，这其实不也正体现了学生对等式的性质（天平的平衡原理）的真正理解吗？学生利用等式的性质（天平的平衡原理）通过自己的努力解决了教材中没有的形式为a-x=b、a÷x=b、a-bx=c的方程之后，不仅加深了对等式性质（天平的平衡原理）的理解，而且学生解决数学问题的潜能也一下子被开发了出来，这对学生来说其实是非常有益的。
当然，以上只是笔者的思考和实践，到底小学方程如何教学，学生要学习到什么程度，还需要大家来共同思考。期望笔者的抛砖引玉，能为大家的方程教学带来更多思考。
（山东省烟台市芝罘区文化路小学 264000）
一、利用导数的几何意义研究函数间的距离等问题
函数y=f（x）在点x0处的导数f ′（x0）表示曲线y=f（x）在该点处切线的斜率．如果曲线y=f（x）在点x0处可导，则曲线y=f（x）在点（x0，f ′（x0））处的切线与法线的方程为：y－y0=f ′（x0）（x－x0）．
例1．（2012年高考浙江卷理，16）定义：曲线C上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋（y＋4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
【评析】
导数的几何意义表现为曲线的切线斜率值，从而利用导数可求曲线y＝f（x）的切线，并进一步将导数融合到函数与平面几何的交汇问题中．
二、利用导数研究函数与线性规划交汇的问题
线性规划除解决实际问题外，它还能“以形助数”把抽象的符号语言转化为直观的图形语言，并借助“形”的几何直观性来阐明“数”的抽象性，因而兼有数的抽象和形的直观，从而体现了数学的应用性、工具性特点．
例2.（2012年高考陕西卷理，14）设函数f（x）＝lnx，x>0-2x-1，x≤0， D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在D上的最大值为 ．
【评析】
本题以分段函数为载体，利用导数求切线方程、简单线性规划问题，考查综合应用知识解决问题的能力．
三、利用导数研究函数与方程（零点）交汇的问题
利用导数性质分析函数零点是近年来高考命题的热点题型，其实质上就是对函数极值、最值知识掌握应用情况的进一步考查．
例3．（2012年高考福建卷文，22）已知函数f（x）＝axsinx-■（a∈R）且在［1，■］上的最大值为■．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．
【分析】
当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．
【评析】
给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式．在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．
四、利用导数研究函数与数列交汇的问题
数列作为实质意义上的函数，利用导数研究数列的单调性及最值问题比用传统方法更为简便.在解决导数背景下的数列问题时，充分利用函数性质和目标式的结构特点，仔细观察，大胆尝试，就一定能找到数列与函数式之间的联系，为成功解题找到合理方法．
例4.（2012年高考四川卷理，22）已知a为正实数，n为自然数，抛物线y=-x2＋■与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（Ⅰ）用a和n表示f（n）；
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）当0
【分析】
本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题．
【评析】
本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．
五、利用导数研究函数与不等式交汇的问题
证明不等式的方法有许多，导数作为研究一些不等式恒成立问题的工具，体现了导数应用上的新颖性以及导数思想的重要性．由导数方法研究不等式时，一般是先构造一个函数，借助对函数单调性或最值的研究，经历某些代数变形，得到待证明的不等式．
例5．（2012年高考辽宁卷文，21）设f（x）＝lnx+■-1，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜■（x－1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，f（x）＜■.
【分析】
本题可直接由所证不等式构造函数，讨论其单调性、最值，从而达到证明不等式的目的．
【评析】
证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的不等式通过构造函数转化为f（x）>0（或f（x）
摘要：不等式作为高考解答题中的一个部分，重要性可想而知。但现在的不等式用以前的常规解法，往往解不出来。通过近几年的高考试题，我们发现有些不等式可以利用“构建函数”的方法来求解。
关键词：构建；函数；不等式；导数
函数作为高中数学知识的重点内容，在高考中占有非常重要的地位.而运用函数的思想解题，一直都是高中数学的一个重难点.本文从构建函数的角度，谈谈函数在解不等式方面的应用。构建方法就是在解数学题的过程中使已知与未知，条件与结论建立联系，使本来模糊不清的关系豁然开朗，层次分明。不等式是高考中的必考内容，特别是不等式的证明，常用分析法、综合法、反证法、归纳法等等来求解，而构建思想在解决不等式问题中也起到举足轻重的作用。现在随着高考的改革，构建函数（尤其是可导函数），并利用函数的一些性质解不等式成了当前的高考热点。
构建函数解不等式中的参数取值范围
例1、已知函数，如果当时，不等式恒成立，求的取值范围。
此题设了两个函数，利用导数的性质判断出函数的单调性得解，应该说这是我们经常会遇到的一种类型。而且这种恒成立的不等式问题是比较简单的，函数能容易构建的题型。
构建函数求不等式的解集
本题比例1稍微难点，关键在于构建函数这一步，剩下的解不等式可以通过图像法来求解。
三、构建函数证明不等式
本题是从结论入手，把要证明的不等式变形，然后观察左右两边结构的特点，相同之处在哪，不同之处在哪，最后构建一个合适的函数来证明。
总之，有些不等式若用初等方法来解决，往往会出现复杂的运算过程。但是根据题目的特点巧妙地构建一个函数，在构建函数的背景下运用函数的单调性，将不等式问题转化为我们耳熟能详的函数问题来研究，就会得到简捷的证明。所以在处理某些不等式问题时要善于利用函数的性质来开拓思路，转化问题的焦点，寻找解题的最优方法。构建函数解不等式难度大，涉及面广，形式灵活。我们应以学生为中心，以问题为主线，以培养学生能力为目标来组织教学。通过教学让学生了解利用构建函数解不等式，提高学生分析问题和解决问题的能力。
