时间：2023-05-29 18:21:34
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇一个圆柱与一个圆锥，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
（江苏省海门市实验小学，226600）
一、课前分析与思考
“圆锥的体积”是苏教版小学数学六年级下册第二单元的内容。教材首先出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生直观估计圆锥的体积是圆柱的几分之几，然后通过实验验证猜测，探索等底等高的圆柱和圆锥的体积关系，最后用数学式子表示实验结论，得出圆锥的体积公式。这样的编排，意在引导学生经历“猜测—验证”的过程，从而在学到知识的同时，积累探索的经验，培养学习的能力。但在实际教学时，往往存在这样几个问题：等底等高的圆柱和圆锥是教师（教材）给出的，学生在教师（教材）的要求下进行猜测及实验；操作方式（不管是用水还是用米倒来倒去）也是教师（教材）提示的，学生只是照做。也就是说，学生的思维是封闭的，学生的“牛鼻子”始终被教师（教材）的无形的“绳子”牵着。
对此，有教师提出在实验验证环节提供尽可能多的不同大小的圆柱和圆锥，当各个小组做出的实验结果不一致时，
再引导学生质疑和交流，从而找到规律并总结出求圆锥体积的公式。这样的教学更具实验味、探索味，但问题是：这样大范围的实验是否有必要（即圆锥和圆柱的底和高不完全相等的情况，是否一定需要通过实验，才能证明它们之间没有直接关系）？课上做这样的实验要花费大量的时间，学生的确经历了过程，但学生的思维得到提升了吗？
面对这些问题，我思考：课上做实验到底是为了什么？我们怎样做实验？这节课除了让学生经历“猜测—验证”的数学学习过程，还能让学生学到些什么？能不能做到在节约时间的基础上，让学生既明白做实验的必要，又充分经历实验的过程，同时还在思维水平上有所发展呢？
细读教材，我发现相关练习中有这么一道题：
判断下面（图1）的圆锥与哪个圆柱的体积相等。（单位：cm）
很明显，在研究圆锥的体积时，教材注重分析圆锥和不同圆柱之间的关系：不仅仅是与圆锥等底等高的圆柱，还有等底而高是圆锥三分之一的圆柱、等高而底是圆锥三分之一的圆柱（注：上述题目中，第二个圆柱底面直径与圆锥底面直径是3倍关系，故面积是9倍而非3倍关系，所以这个圆柱不能起到应有的作用，故下文笔者对此作了改编）。数学本来就是研究数量之间关系的一门学科，所以，我决定对这道题进行适当改编，从“圆锥与不同圆柱之间的关系”入手，教学《圆锥的体积》这一课。
二、课堂实践与收获
（一）在“选择关系”中萌生转化思想
师（出示一个圆锥）今天我们要研究圆锥的体积。按照我们以前研究图形的面积，研究长方体、正方体的体积等方法，你觉得应怎样研究圆锥的体积？
生转化成圆柱。
师为什么不转化成长方体或正方体？
生圆锥和圆柱最有关系，底面都是圆形的。
师（出示各种圆柱，如图2）
如果要研究这个圆锥的体积，你选择哪一个圆柱呢？
（大部分学生选择第①、第②个圆柱，理由是：第①个圆柱与圆锥等底等高，第②个圆柱和圆锥等底。
少部分学生选择第③个圆柱。没有学生选择第④、第⑤个圆柱。）
师（对选择第①、第②个圆柱的学生）为什么这样选择？
生这样可以把圆锥的体积转化成圆柱的体积。
生第④、第⑤个圆柱的数据和圆锥的相差太远，应该没有什么关系。
师没有什么关系？我想你的意思是，如果底和高是任意数据，那么不同的圆柱和圆锥的体积就会有不同的关系。这样就找不到规律，也就总结不出求圆锥体积的公式了。是这样吗？
生是。
师那第③个圆柱不也和圆锥有密切联系吗？高相等呀。
生底不知道。
［说明：首先，提问“你觉得应怎样研究圆锥的体积”，旨在激活学生思维，使他们自觉地想到用转化思想。接着，提供不同底和高的圆柱，让学生选择，实际上是引领学生对转化的进一步思考。选择的过程是思辨的过程，也是理性分析的过程。通过选择，排除了与圆锥的底和高没有直接关系的圆柱，既能培养学生思维的深刻性，也使接下来的实验操作更真实、更简洁、更有效。］
（二）在“猜测关系”中提升空间观念
师那么，你们选择的这些圆柱的体积与圆锥的体积有什么关系呢？请猜一猜。
生圆锥体积是第①个圆柱体积的三分之一，圆锥体积和第②个圆柱体积相等。
生我觉得，圆锥体积是第①个圆柱体积的二分之一。
［说明：猜测实际上是学生对圆柱与圆锥关系的进一步思考。这里的猜测，仅仅是在直观观察的基础上，根据自身经验的初步估计，既有利于培养学生的空间想象能力，也为后续的实验做了心理上的准备。］
（三）在“验证关系”中理解体积公式
师下面我们就来做实验，看看大家的猜测是否正确。
（由于学具种类及数量的限制，大部分小组研究的是和圆锥等底等高的圆柱。实验分两次。第一次，主要让学生感知一共倒了3次，那么圆锥体积是和它等底等高圆柱体积的三分之一，从而验证猜测的正确性，并提炼出圆锥的体积公式，进一步明晰圆锥和等底等高圆柱体积之间的关系。第二次，实验重新开始，当倒了1次后——）
师请仔细观察，此时所倒的水变成了什么形状？和圆锥有什么联系？
生水是圆柱形的。
生水的底面积与圆锥的底面积相等，水的高是圆锥高的三分之一。
生体积相等。
生就是黑板上的第②个圆柱。
师看来这个圆柱和圆锥的关系不一般。它们之间有这样的关系：（边板书边说）圆柱和圆锥等底等体积，圆柱的高是圆锥高的三分之一。
［说明：如果本节课的教学重点仅仅放在让学生通过实验感知“V＝1/3Sh”这条公式上，那是远远不够的——很多学生通过自学，早已知道这个计算公式。我们的重点应该放在圆锥和与它相关的一些圆柱的关系上，如圆锥和与它等底等高的圆柱之间的关系，圆锥和与它等底等体积的圆柱之间的关系，圆锥和与它等高等体积的圆柱之间的关系。这里精心设计了两次实验，第一次是落实学习重点，让学生感知圆锥体积公式的正确性；第二次是突破学习难点，让学生感知等底等体积的圆柱和圆锥的关系。这样，能够让学生站在更高的角度看待圆锥的体积。当然，作为“圆锥的体积”的第一节课，对圆锥和与它等高等体积的圆柱的关系不作研究，因为这两者之间的关系比较抽象，无法通过实验直观地看到。］
（四）在“运用关系”中提升几何直观能力
（在练习环节，教师先后出示了2道具有挑战性的问题。）
问题1小明在写圆锥体积公式时，这样写道：V＝1/3（Sh）。你知道他为什么要加上一个括号吗？
生他想提醒我们,这个表示的是什么。
生是与圆锥等底等高的圆柱的体积。
师对应的是黑板上的哪一个图？
生第①个圆柱。
师这样的圆柱是怎样的呢？请想象一下。
（学生开始想象、比划。）
生如果黑板上的第③个圆柱的底面积正好是圆锥底面积的三分之一的话，就是这样的圆柱。
一、复习旧知
我们已经学会计算圆柱的体积，请你回忆一下如何计算圆柱的体积？
二、探究新知
圆锥的体积与圆柱的体积有没有关系呢？
你能猜测一下等底、等高的圆柱和圆锥的体积之间的关系吗？
如何计算圆锥的体积呢？
三、知识应用
（一）做一做
1. 一个圆锥形的零件，底面积是19cm2，高是12cm，这个零件的体积是多少？
2. 一个用钢铸造成的圆锥形铅锤，底面直径是4cm，高5cm。每立方厘米钢大约重7.8g。这个铅锤重多少克？（得数保留整数）
（二）解决问题
1. 填空
（1）一个圆柱的体积是75.36m,与它等底等高的圆锥的体积是（ ）m。
（2）一个圆锥的体积是141.3m,与它等底等高的圆柱的体积是（ ）m。
2. 一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等。已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？
想一想，当一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等时，圆锥的高与圆柱的高又是什么关系呢？
3. 一个圆锥形沙堆，底面积是28.26m2，高是2.5m。用这堆沙在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？
... ... ...
张知阳的问题是：“一个圆锥和一个圆柱底面积和体积都相等，如果圆柱高12厘米，那么圆锥的高是多少？你是怎么想的？”
姚力承正好在旁边听到了，就凑上来说：“这还不简单，我一想就明白了。这道题肯定和■也有关系，不是圆柱的高是圆锥的■，就是圆锥的高是圆柱的■。”
张知阳哭笑不得：“拜托，我就是不明白到底谁的高是谁的■，你不要给我两个选项让我做选择题好不好？”
我连忙补充说：“张知阳说的没错，大家都知道圆锥和圆柱之间，底面积、高不可能都相等。如果相等的话，那么圆锥的体积不就只有圆柱的■了吗？”
高原峰不愧是我们班的数学天才，他不假思索地说了一个很好玩的故事：“从前有一个国家，我们就叫它几何国吧。几何国里有两个孩子，它们是兄弟俩。一个叫圆柱，另一个呢，当然就叫圆锥了。在几何国里，比较每个人的成就大小，就是比谁的体积大。当然了，哥哥圆柱长得又粗又壮，在等底等高的情况下，它的体积总是要比弟弟圆锥的体积大得多。为什么呢？”
高原峰自问自答，拿起笔来在面前的本子上写了两个式子：
圆柱体积：V=Sh=πr2h 圆锥体积：V=■Sh=■πr2h
“我们都知道，求圆锥的体积，就相当于把等底等高的圆柱体积乘上■。换句话说，即使圆锥的底面半径和圆柱一样大，高也一样长，圆锥的体积也只有圆柱的■，明显小多了呢！因此，圆柱大哥非常得意，它觉得自己简直是个天才，生下来就优势明显，和圆锥弟弟比赛体积，那肯定是赢定了。”
故事吸引了越来越多的同学，大家都笑了起来。关丹秋说：“这听起来好像是龟兔赛跑的故事啊。”
高原峰竖起了大拇指：“正是这样，圆锥看到哥哥得意的样子，就像乌龟那样，心里暗暗地为自己加油。它想：我的头是尖尖的，体形天生就比圆柱瘦小，体积计算起来肯定是吃亏的。但是不要紧，爸爸妈妈说过‘勤能补拙’嘛，在底面积和圆柱一样大的情况下，只要我努力锻炼，长得越来越高，一直高到是圆柱的3倍，那么就能抵消这■的天生劣势，我的体积就和它一样了。”
“哗！”同学们为精彩的故事鼓起掌来。掌声惊动了正在讲台桌前准备下节课的刘老师，他走过来听了介绍后说：“这个故事确实很形象生动，而且包含了数学道理。不过，你们有没有从另一个角度想想，如果限制圆锥的高必须和圆柱一样，那么圆锥还有什么办法能够和圆柱体积一样大呢？”
张知阳是这个话题的提出人，他说：“我明白了！还有一种办法，就是圆锥的底面积是圆柱的3倍，这样同样能抵销■的劣势，圆锥的体积照样能和圆柱一样！”
高原峰点点头说：“可以归纳一下，因为圆锥‘先天不利’，所以它的体积要想和圆柱相等，只有两条路可走。”
同学们异口同声地问：“是哪两条路？”
高原峰说：“一是长高，二是长胖。”
教材分析
本小节的教学内容包括圆锥的认识和圆锥的体积，它是在学生掌握了圆的周长、面积和圆柱的表面积、体积的基础上进行教学的．它是小学阶段几何知识的最后部分．通过教学，使学生认识圆锥，掌握圆锥的特征以及各部分名称；理解求圆锥体积的计算公式，会运用公式计算圆锥的体积．
圆锥体是人们生产、生活中经常遇到的形体．教学这一部分内容即能发展学生空间观念，为今后的学习打下基础，又可以帮助学生掌握解决实际圆锥问题的方法．
教材通过直观引导学生观察、实验、判断推理得出圆锥体积的计算公式．这样不仅帮助学生建立空间观念，还能培养学生抽象的逻辑思维能力，激发学生的想象力．
根据对过去学生试卷的分析，在计算等底等高圆柱、圆锥体积的变形题中，错误率比较高，主要原因是对等底等高的圆柱、圆锥的体积之间的关系不清，因此教学中对于算理的推导要特别注意．
教法建议
本小节的教学内容包括圆锥的认识和圆锥的体积，它是在学生掌握了圆的周长、面积和圆柱的表面积、体积的基础上进行教学的．通过教学，使学生认识圆锥，掌握圆锥的特征以及各部分名称；理解求圆锥体积的计算公式，会运用公式计算圆锥的体积．
教学圆锥的认识，重点是掌握圆锥的特征及各部分名称．教学时首先需要复习已学的圆柱体的特征，然后结合实物，通过对比，使学生掌握圆锥的特征．教学圆锥的高的测量方法是教学的难点，教师可引导学生猜测、动手实测操作，利用课件演示测量过程，使学生顺利突破难点．教学时要充分的为学生提供自主探索空间．
教学圆锥的体积，重点是体积公式的推导过程．教学时可以按照“演示：利用课件演示圆锥体的形成；猜想：你觉得圆锥的体积和什么立体图形有关系？有什么关系？操作：通过实验（包括等底等高和不具备等底等高条件的多个实验）引导学生推导圆锥体的体积公式；验证：进行基本计算”四个步骤组织学生创造性学习．教学中通过学生大胆的猜想尝试与创新，自主探究，推导圆锥体的体积公式．教学时要充分的为学生提供创造空间．
教学目标
使学生认识圆锥，掌握圆锥的特征及各部分名称．
教学重点
圆锥的特征及各部分名称。
教学难点
圆锥的高的测量方法。
教学步骤
一、铺垫孕伏
1、出示圆柱体，引导学生说出圆柱体的特征．
2、什么叫圆柱的高，并在实物或几何图形中指出．
3、导入，今天我们学习一个新的几何体——圆锥．（板书课题）
二、探究新知
1、大家在生活中见过圆锥体吗？
2、一个长方形通过旋转，可以形成一个圆柱体，那么你们知道圆锥体是怎样形成的吗？（课件演示：圆锥的形成）下载
3、圆锥的认识（课件演示：圆锥体的认识）1、圆锥有一个顶点，底面是一个圆
2、圆锥周围的面是一个曲面（侧面）．
3、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高
4、测量圆锥的高（课件演示：测量圆锥体的高1或2）下载
（1）引导学生讨论：圆锥有几条高？
（2）用直尺和三角板如何测量圆柱的高．
5、圆锥侧面的展开图（继续演示课件：圆锥体的认识）下载
（1）想象圆锥体的侧面展开图
三、随堂练习
1、说出圆锥的特征．
2、说出圆锥各部分名称．
3、指出下列各图是由哪些图形构成的？
首先，训练以模仿为主，缺乏必要的变式，导致学生只掌握了知识的外壳，而忽略了数学的本质。学生能够运用圆锥的体积公式V=■sh进行体积计算，主要得益于教师的反复强调与强化练习。教学中，尤其是学生掌握了圆锥体积公式之后的练习，仍然是围绕“已知圆锥的底面半径（或直径、周长）和高，求圆锥体积”这种基本的题型，强调的是“要求圆锥的体积，不能忘乘■”，而没有能及时地作变式训练。这种反复的、大量的、机械的强化训练，致使学生一看到求圆锥体积，就条件反射地乘■或除以3，因而一再地出现上述错误，就不足为奇了。
其次，思维如同单行线，缺乏必要的对比，导致学生只能顺向而行，不能把握题目内涵。对于V=■sh这一公式的推导，教师在教学中花费了大量时间，进行了充分探索，学生也是学得透彻，因而运用这种方法计算圆锥的体积，在学生脑海中确立了牢固的地位。但这仅仅是圆锥体积计算的一个方法，还有其他方法教师未能涉及，即使在学生出现错误之后，教师的评讲也是局限于“就题论题”，没有对圆柱和圆锥的体积计算方法作有效的、针对性对比，致使学生的思维如同单行线，只会依据公式求圆锥体积，不能够分析、把握题目的内涵。
问题的结症找到了，那么如何避免这样的错误呢？我觉得在学生熟练掌握圆锥体积计算方法后，有必要作针对性的补救。我设计的教学是：
一、 在实践中感悟
1.出示一些不规则的石块，提问：怎样才能测出这些石块的体积？（由于学生在学习《长方体与正方体》这一单元时，已经有了基础，很容易想到：可以将石块放入盛有水的量杯中，看水上升的体积）
2.如果将石块改成圆锥，上升的体积还等于圆锥的体积吗？
3.将量杯换成圆柱形容器，想一想，如何利用这个已经告诉我们底面半径的容器来测量圆锥的体积呢？将圆锥放入水中，在完全浸没的情况下，上升的这一段水柱的体积与圆锥的体积有怎样的关系？如果此时要求圆锥的体积，实际是求什么的体积？为什么不需要乘■呢？
4.学生实际操作实践。
【设计意图：“数学教学，实际是数学活动的教学。”这一环节的设计，主要是让学生直观感受圆锥的体积等于上升的水柱的体积，而如果容器为圆柱形，则上升的这一段水柱也为圆柱，要求圆锥体积，在这里其实就是求上升的这一段圆柱形水柱的体积，故无需乘■。】
二、 在对比中提升
在上述实践的基础上，设计以下的三组对比题：
第一组：
1.一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。求圆锥形铁块的体积。
2. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，再放入一个底面半径2厘米，高3厘米的圆锥形铁块（完全浸没），求圆锥的体积。
3. 一个圆柱形容器，底面半径3厘米，在里面放一些水，水深3厘米再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），这时水深5厘米。求圆锥的体积。
第二组：
1.一个圆柱形铁块的底面半径3厘米，高10厘米，将其铸成圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？
2.一个圆柱形铁块正好可以熔铸成底面半径3厘米，高10厘米的圆锥形零件，这个零件的体积是多少立方厘米？
第三组：
1. 一个圆柱形容器，底面半径6厘米，在里面放一些水，再放入一个圆锥形铁块（完全浸没），水面上升2厘米。已知圆锥的底面半径2厘米，求圆锥的高。
2.一个圆柱形铁块的半径4厘米，高6厘米，将其铸成底面半径3厘米的圆锥形零件，求零件的高。
【设计意图：乌申斯基曾说：“比较方法是各种认识和各种思维的基础。”小学生在每一课的学习中所获得的知识常常是局部的、分散的，会有“见叶不见枝、见木不见林”的现象，需要通过比较，来理解知识的内在联系与区别。在这一环节中，教师设计了三组比较题组，从而进一步把握相关知识的本质，建构起合理的认知结构，促进思维能力的发展。】
三、 在反思中完善
由刚才的实践以及对比训练，你觉得要求圆锥的体积，是不是一定要乘■？那么在什么情况下要乘■，在什么情况下不需要呢？（引导学生得出：在告诉我们圆锥的底面半径与高的情况下，求圆锥的体积，就需要乘■。）
【设计意图：在实践操作以及比较训练的基础上，引导学生自我反思总结，归纳出具有更高抽象性、概括性、包容性的认识，形成活化的知识组块，检查自我数学认知结构，融会贯通并有序储存，从而优化认知结构。】
在运用了上述的补救措施后，学生几乎没有再犯类似的错误。而通过对上述错例的分析与反思，也给我们一定的启示。
1.科学设计练习，把握数学思想。数学教学中一定量的练习是必要的，但练习不是单纯的题目堆砌，更不能一成不变，要注意量与度的平衡，否则适得其反。教师要重视对练习题型的重组与变式，把握其中蕴含的数学方法，巧妙地将转化、模型等数学思想有意识地渗透于学习过程中，使学生解一题，会一类；同时，当学生出现典型的“通病”时，要仔细分析错因，采取针对性措施，而不是就题论题。只有在科学合理训练的基础上，学生才能掌握更多的思维机制和数学思想，教学才能高屋建瓴。
一堂成功的数学课，不在于教师制造出多少花样、用了多少学具、让学生进行了多少次小组合作学习，关键在于学生是否积极去自主探索知识的形成过程，而学生积极参与学习的背后不知隐藏着多少教师对课堂的精心设计。“能让学生在一种探其究竟而欲罢不能的氛围中掌握本课所学的知识，就是一节高效的课堂教学。”所以，又到教学“圆锥的体积”一课，我不禁思考怎样才能上好这节课。
根据以往的教学经验，虽然我在课堂上反复强调计算圆锥的体积时不要忘记乘1/3，但“圆锥的体积”一课教学之后，还是有大部分学生容易忘记，究其原因是学生对圆锥体积公式的推导过程印象不深刻，总是容易遗忘圆锥与它等底等高的圆柱体积的关系。因此，重新教学此课，我多下工夫备课。常言道：“学贵有疑。”于是我精心设计教学，大胆创新，处处设疑，旨在激发学生的兴趣，加深他们对圆锥和与它等底等高的圆柱体积之间关系的认识。
首先，动态设计，疑中求知。
课件出示：
（让学生从中选择一个合适的圆柱和圆锥一起研究它们体积之间的关系）
师：你能从这些圆柱和圆锥中，选择一个合适的圆柱和圆锥一起来研究它们体积之间的关系吗？（学生小手林立，兴奋不已）
生1：我选中间一个圆柱。
师：为什么？
生1：因为圆锥的高和圆柱的高都一样。
生2：因为它们等底等高。
师：也就是说，研究圆柱和圆锥体积之间的关系要有一个统一的标准，那就是等底等高。（板书：等底等高）
课件出示：估计一下，这个圆锥的体积是圆柱体积的几分之几？
书上例题是直接出示两个等底等高的圆柱和圆锥，让学生寻找圆柱和圆锥体积之间的关系，这样教学固然可以，但学生对圆柱和圆锥体积之间的关系处于一种被动告知的状态。这种被动接受知识的结果，显而易见，就是学生为什么总容易忘记等底等高的圆柱和圆锥体积之间关系的原因了。所以，我决定把例题稍作改动，从学生的生活经验出发，让学生凭借自己的感觉先从图中找出一个和圆锥相应的圆柱一起研究它们体积之间的关系，再引导学生说一说圆柱和圆锥体积之间的关系，使学生明白这里要做到公平就必须有一个前提——等底等高的圆柱和圆锥。这种让学生自己通过观察寻找出研究的圆柱和圆锥体积之间关系的前提条件的方法，学生对知识的掌握能不牢固吗？这样教学，还为学生继续研究圆柱和圆锥体积之间的关系奠定了良好的基础。
其次，巧设倒水，探索新知。
最近几年，刘谦的魔术风靡全国，可以说是老少皆爱。那么，刘谦的魔术为什么会有如此大的魅力呢？细细想来，刘谦的魔术从开始表演到结束都是时时刻刻扣人心弦的，即使表演结束很长一段时间后还是那么让人回味无穷、意犹未尽，激人想去探个究竟。我想，我们的课堂教学也应具有刘谦魔术的魅力，让学生想深入探究所学知识。
所以，课堂教学中，我提供圆柱、圆锥、沙子等实验用具，让学生验证这一组圆柱和圆锥（如下图）是否等底等高。
师：现在我们就来验证一下。做实验时，为了减少误差，我们一定要注意尽量不要把水撒到外面。
师：现在我给圆锥倒满水，请你猜猜圆锥里的水倒进圆柱后，水位大概在圆柱的什么位置？
生：
师（第一次倒水）：现在请你看看，猜对了吗？（学生一片欢呼，为自己猜对而高兴）
师：我们接着给圆锥倒满水后再往圆柱里倒，猜一猜，要几次才能把圆柱倒满？
生（异口同声）：三次。
（师第二次演示将圆锥里的水往圆柱里倒，学生齐呼“两次”，接着师又倒了一次水，学生齐呼“三次”，学生用热烈的掌声庆祝自己的猜测是正确的，脸上露出如获至宝的笑容）
师：那么，通过刚才的验证，你知道圆锥和它等底等高的圆柱体积之间有什么关系吗？
生1：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
生2：圆柱体积是和它等底等高的圆锥体积的三倍。
（师板书：圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的1/3）
师（总结）：通过刚才的实验和总结，可以怎样表示圆锥的体积？
生回答师板书：圆锥的体积＝底面积×高×1/3。
……
以往教学此课，教师总认为学生自己做实验了，就一定能找出圆锥体积是和它等底等高的圆柱体积的1/3。其实不然，以前学生做实验大多流于形式，只顾着操作，感觉好玩，并不是边做边思考。这里做实验的目的是让学生通过思考“圆锥和圆柱体积之间为什么是这样的关系”的问题，使学生通过思考和探究，不仅“知其然”，而且“知其所以然”。为了让实验能吸引学生积极去思考，在探索等底等高圆柱和圆锥体积之间的关系时，我没有让学生亲自动手实验，而是设计了两次猜测、三次倒水的环节来激发学生探究的欲望。“我猜得对不对？”“我的结果正确吗？”“圆柱和圆锥体积之间到底有什么关系呢？”……通过对几个不同问题的猜测，既营造了良好的课堂氛围，又激发了学生的好奇心。学生的第一次猜测是不自信的，他们对自己的猜测是否正确持怀疑态度，但经过第一次倒水验证之后，学生品尝到成功的喜悦，从而增强自信心。我继续引导学生进行猜测：“我们接着给圆锥倒满水后再往圆柱里倒，猜一猜，要几次才能把这个圆柱倒满？”这时学生充满自信地齐声回答“三次”。接下来，我倒水进行验证，更是给学生带来获取胜利的心理满足。通过这样一个验证的过程，激发了学生浓厚的学习兴趣和强烈的探究欲望，谁能说这节课学生对等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系没有掌握呢？这才真正体现教师的主导作用和学生的主体作用相结合，有效培养了学生的自主探究能力。
再次，注重算法指导，创造高效课堂。
以往教学“圆锥的体积”这部分内容后，发现有一部分学生对等底等高的圆锥和圆柱体积之间是什么关系说得头头是道，但一落实到圆锥体积的计算中，十之八九忘记去乘三分之一。即使有些学生不忘记，但由于计算圆锥体积时不得方法，往往导致计算错误，做题正确率很低。针对上述现象，教学本节课时我注意以下几点，力求让学生在这些方面得到很好的弥补。
一、巧算铺垫，埋下伏笔
口算：3．14×12×1/3＝
3．14×6×1/3＝
3．14×15×1/3＝
3．14×32×1/3＝
先让学生口算并说一说是怎样想的，师再引导学生进行总结：“计算的时候为了简便，能约分的要先约分再计算。”
学生在计算时往往忽略了简便算法，导致计算起来比较复杂，特别是含有3．14这样复杂的小数计算时，更是学生在计算中跨不过去的一道坎。所以，课前复习时，教师要给学生适时渗透简便计算的方法。如出示3．14×12×1/3让学生口算并说一说自己是怎样想的，引导学生寻找出先约分再计算的方法，从而降低计算的难度，为后面巧算圆锥的体积打好基础。
二、算法渗透，构建课堂
教师在引导学生探索出等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系后，教学重点应转移到算法指导上。所以，课堂中我是这样做的。
1．试一试（大屏幕出示）
先让学生读题理解题意，找条件并说说怎样求问题，再独立列式。学生解题时教师注意算法指导，强调计算圆锥的体积应列综合算式，先约分再计算，这样可以降低计算难度，提高计算的正确率。
2．“练一练”第1题
请学生根据条件先求出底面积，再求体积，然后集体订正。
底面积：2×2×3．14＝12．56
体积：12．56×6×1/3＝25．12
让学生说一说怎样计算后，师强调：“计算圆锥体积时列综合算式比较简便，同时避免先算12．56×6再去乘1/3的问题，应该先将6和1/3约分，再乘12．56，符合‘列综合算式，先约分再计算；第一步计算时想法约去三分之一，降低计算难度’的原则。”
今天，柳老师带来了一个圆柱与圆锥，我们十分疑惑。柳老师对大家说：“今天，我们学圆柱与圆锥，顺便做一个实验。”“数学课做实验。”我们百思不得其解，柳老师这葫芦里卖的是什么药？
实验开始了，我与齐思瑜挑了两个实验。我们先把一个圆柱里的水装满，在用圆锥挤压。这样就可以算出圆锥的体积。我拿着装满水的杯子，用圆锥挤压。我们小心翼翼地把水到进圆锥里，正好两杯，那这就说明圆锥的体积= sh。我们接着做第二个实验。用圆锥从水里拿了一瓢水放进圆柱里。齐思瑜数着：“一瓢、两瓢、三瓢。”我们把圆柱装满了，这就说明我们成功了。
这堂数学课结束了。数学课真有趣，我们及学到了丰富的知识，又有趣地完成了
实验。
（考试时间：120分钟
满分：100分）
题
号
一
二
三
四
五
六
总分
得
分
一、用心思考，正确填空。
25%（第1题第3、4空和第3题的第②小题每两空1分，其余每空1分，共计25分）
得
分
评分人
1、6.8立方米=（
）立方分米
600毫升=（
）升
4.8米＝（
）米(
)厘米
5时15分＝（
）时
2、（
）既不是正数也不是负数；零下3
0C记作（
）0C。
3、①写出两个比值是3的比，并组成比例是（
）。
②如果a×4＝b×6，那么a：b＝（
）：（
）。
4、在一幅地图上标有把它写成数值比例尺是（
）；如果在这幅地图上量得泸西到昆明的距离为4.9厘米，那么泸西到昆明的实际距离是（
）千米。
5、把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少要摸出（
）个球，才能保证取到两个颜色相同的球。
6、一个圆柱的底面直径是4cm，高是15cm，它的侧面积是（
）cm2，表面积是（
）cm2，体积是（
）cm3。
7、把2米长的圆柱形木棒锯成三段，表面积增加了4dm2，原来木棒的体积是（
）d
m3
8、一个长5cm、宽3cm的长方形按3:1放大后的图形的面积是（
）。
9、一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱体，圆住体的体积是（
）cm3
，再把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体的体积约是（
）cm3
10、如果y=15x,x和y成(
)比例；如果y=,
x和y成(
)比例。
11、在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是，另一个内项是（
）。
12、一个圆柱的底面半径为2厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是（
）立方厘米。
13、一个圆锥体与和它等底等高的圆柱体体积相差30立方厘米，这个圆锥体的体积是（
）立方厘米。
14、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积相等、体积也相等，圆锥体的高是3.6分米，圆柱体的高是（
）分米。
15、一个表面积50平方厘米的圆柱体，底面积是15平方厘米，把2个这样的圆柱体拼成一个大圆柱体，这个大圆柱体的表面积是（
）平方厘米。
二、仔细推敲，明辨是非。
6%（对的打“√”，错的打“×”。）
得
分
评分人
1、正方形的面积和边长成正比例关系。
（
）
2、容积100L的圆柱形油桶，它的体积一定是100立方分米。
(
)
3、把一个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的。
（
）
4、新坝小学六年级有106名学生，分成三个班，不管怎么分，总有一个班至少分到36名学生。
（
）
5、三角形的面积一定，它的底和高成反比例。
（
）
6、两个侧面积相等的圆柱，它们的底面积也一定相等。
（
）
三、反复比较，慎重选择。
6%（把正确答案的字母填在括号里）
得
分
评分人
1、把一个圆柱的侧面展开，不可能得到（
）。
A、长方形
B、正方形
C、平行四边形
D、三角形
2、一个圆柱体的底面半径是3厘米，高是18.84厘米,它的侧面展开图是（
）。
A、正方形
B、长方形
C、两个圆形和一个长方形组成
3、甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（
）。
A、∶
B、8∶15
C、15∶8
4、下面（
）杯中的饮料最多。
5、买同样的书，花钱的总数与（
）成正比例。
A、书的本数
B、书的页数
C、书的单价
6、两种相关联的量（
）。
A、成正比例
B、成反比例
C、不一定成比例
四、一丝不苟，巧妙计算。
29%
得
分
评分人
1、直接写出得数。（6分）
3.6＋7.9＝
3－＝
3.14×4²＝
0.25×8＝
55÷＝
1÷×＝
2、下面各题，怎样简便就怎样算。（8分）
÷9+×
2－÷－
87×
－+－
3、解方程或比例：（6分）
χ∶
＝∶4
＝
χ－×45＝12
4、列综合算式或方程解下列各题。（9分）
（1）
甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲数是30，丙数是多少
（2）
比例的两个外项分别是20和50，一个内项是0.25，另一个内项是多少？
（用比例解）
（3）
一个数的比它的少18。这个数是多少？
五、动手操作。
得
分
评分人
1、（1）画出三角形向右平移5格后的图形；（1分）
（2）画出三角形绕0点逆时针方向旋转900
后的图形；（1分）
（3）画出三角形按2:1放大后的图形。（1分）
O
2、根据下面条件在下图中标出各地的位置。
学校正西方向500米是少年宫，少年宫正北方向300米是动物园，动物园东偏北300，距离动物园400米处是医院。先确定比例尺，再画出上述地点的平面图。
（1）你选用的比例尺是（
）。（1分）
（2）在下边的平面图中画出上述地点。（3分）
北
学校
六、解决问题。
27%
得
分
评分人
1、一台洗衣机的原价是800元，国庆期间商店打七五折出售，便宜了多少钱？（4分）
2、在一幅比例尺是1:6000000的地图，量得甲、乙两城之间的公路长5厘米。一辆汽车以平均每小时60千米的速度从甲城开往乙城，需要多少小时才能到达？（4分）
3、一个圆柱形的蓄水池,从里面量底面周长31.4米,深2.4米，在它的内壁与底面抹上水泥。抹水泥部分的面积是多少平方米？（4分）
4、一间房子要用方砖铺地，用面积是9平方分米的方砖，需用96块，如果改用边长是4分米的方砖，需用多少块？（用比例解）（5分）
【教学片段】
新课导入，揭示课题以后。
师：你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关？（师出示大小不一的圆锥）
生：底面积和高。
师：那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。为什么？
生：圆柱。因为它们的底面都是圆，侧面都是曲面。
师：嗯，它们外形上有相似之处。并且我们可以从一个圆柱里得到一个最大的圆锥。那你能大胆猜测一下它们的体积可能存在什么样的关系吗？
生：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。
（学生马上说出了这样的关系也是在我的意料之中，但我认为学生应该还有其他的想法）
师接着又问：还有谁来说说你的想法？
台下一片寂静，没有学生再表达自己的想法，也许他们已经看过了书上的结论，所以没有学生再提出其他的想法。
接下环节就是动手实验，验证猜想。同学们都选择了一组等底等高的圆锥和圆柱做实验。师接着提问，为什么你们选择这样一组材料做实验呢？
当我抛出这个问题的时候，又没人发表意见。
我就接着追问：为什么不是等底等高的圆锥和圆柱，它们的体积就不是3倍关系了呢？
台下举手的学生寥寥无几。
剖析自己的教学过程，反思自己的教学行为，尤其是教师的课堂教学提问，暴露出以下三个问题。
（一）问题跳跃性太大，前后无太大关联
在揭示圆锥的体积这一课题后，问学生：“你觉得圆锥的体积会跟什么条件有关？”学生回答到底面积和高。然后接着又问：“那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。”课后，我又对这两个问题进行反复推敲，发现它们之间的联系并不是很紧密，跳跃性太大。本来我可以顺着第一个问题的答案，把学生引导到圆锥的体积和底面积、高这条思路上来。可我抛出的第二个问题，又把学生带到了分析圆锥和圆柱之间的关系上来了，两个问题似乎没有很好地串联起来。如果教师设计的问题缺乏系统性，“东一锄头，西一棒”，这样就会导致学生思维混乱，不得要领。因此，教师在设计问题时应注意前后呼应、彼此衔接、环环相扣，促使学生循序渐进地得出正确的结论。
（二）问题过深，不易回答
在引导学生探究圆柱的体积为什么是等底等高的圆锥体积的3倍时，我向学生提出了这样一个问题：“为什么不是等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积就不是3倍关系了呢？”抛出这个问题时，课堂气氛霎时凝固了。我还连续追问，可学生始终答不上来。现在回想这个问题，确实比较拗口，而且也很难回答，才会导致学生暂时出现教学上的“休克状态”。维果茨基认为，人的认知水平就在这“已知区”“最近发展区”和“未知区”之间循环往复，螺旋上升的。因此，问题的设计必须准确、清楚，符合学生的认知特点，遵循学生的认知水平。
（三）问题模糊，针对性不强
在得出圆锥体积的计算方法后向学生提问：“我们在计算圆锥的体积时应注意什么？”我的本意是提醒学生在计算的时候不要忘记乘三分之一，而学生的答案有很多，浪费了很多时间。有时教师的提问缺乏准确性和针对性，才会导致学生要么无言以对，要么风马牛不相及。为此，只有简洁科学且富有启发性和探索性的提问，才能激起学生思维的发展，才能“一问激起千层浪”。
在平时的教学中我也一直在思考，综观有效的数学课堂，教师的提问一般都关注以下四个点。
一、抓住新旧知识的连接点提问，使教学更顺畅
例如，一教师教学“三角形面积的计算”一课，由于学生已经掌握了长方形和平行四边形面积的计算方法，学会了用割补法得出平行四边形的面积计算方法，因此可以设计以下几个问题，让学生通过动手操作、观察分析、自主探索、合作交流等方法解决问题：
平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？推导过程对你有什么启示？
你能用三角形学具，通过剪、摆、拼得出三角形的面积计算方法吗？
看似简单的探究三角形面积的计算方法，但探究的过程目的性非常明确，紧紧抓住新旧知识的连接点提问，充分利用已有的数学思想和方法，解决新的问题，且环环相扣，教学过程清新自然，层层深入，又具有很强的针对性。有张有弛的教学节奏，学生学得兴趣盎然，知识的获得是那样轻松自如。因此，教师在教学指导中的提问就要把准新旧知识间的衔接点，促使学生的思维由此及彼，由未知转向已知，使知识的呈现更显得水到渠成。
二、抓住新知的增长点提问，促进理解
让我们来看看特级教师黄爱华的《圆的周长》教学片段。
师：同学们，什么是圆的周长？
生：圆一周的长度叫做圆的周长。
师：请同学们闭上眼睛想一想，圆的周长展开后会是什么呢？
生：会是一条线段。
师：我们如何测量圆的周长呢？（板书：圆的周长）
生：我是用滚动法测量出圆的周长的。
师：如果要测量大圆形水池，你能把水池立起来滚动吗？
师：还有其他方法测量圆的周长吗？
生：用绳子绕一周，量出绳子的长度也就是圆的周长。
师：你能用绳子测量出这个圆的周长吗？（师把系着小球的细绳的另一端固定在黑板面上，用力甩动小球，让学生观察甩动后形成的圆）
生：不能。
师：用滚动法、绳子测量法来测量圆的周长都有一定的局限性，那么能不能研究出一种求圆周长的方法呢？
师：圆周长的大小是由什么决定的呢？要找到这个规律我们先来做个实验。（两球同时甩动，形成大小不同的圆。学生发现：圆周长的大小与半径、直径有关）
师：圆的周长到底与它的直径有什么关系呢？
（学生动手测量得出结论：圆的周长是它直径的3倍多一些）
黄老师的提问总是在不知不觉中唤起学生的学习热情，而后根据学生的回答，教师提出相应的问题，让学生不断地产生矛盾冲突，再逐渐提高问题的难度。他善于寻找学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点，即在知识的“增长点”上设置悬念，在学生可能形成的数学思想、价值观念等生长点上设计问题，促进学生认知结构的形成，促进学生认知能力的提高，最终使学生的“最近发展区”化为“已知区”。因此，我们教师要根据教学内容的特点，抓住新知的本质，尽可能使设计的问题呈现逐步上升的趋势，提高学生思维的密度和效度，构建有效的数学课堂。
三、抓住知识的关键点提问，突破重难点
华应龙老师在教学《平行四边形面积的计算》时有这么一个片段。
在学生猜想，动手验证后，汇报。
生：老师你看，因为平行四边形很容易变成一个长方形。长方形的面积是长乘宽，这样就能用相邻的两条边相乘得到平行四边形的面积。
师：赞成用相邻两条边的长度相乘的，请举手。（大部分同学举起了手）。那你们再看（教师顺着学生拉动的方向，继续慢慢拉动平行四边形的框架，直到几乎重合），通过刚才的操作，你有什么想法？
生：我发现问题了，两条边的长度没变，乘积也没变，可是框架里面的面积变了。
生：平行四边形的面积不是长方形的面积。
……
用相邻两条边的长度相乘，这是学生在探究平行四边形的面积计算方法时真实的想法。但是这个错误的想法要让学生真正明白，华老师利用将平行四边形的框架拉成几乎重合，帮助学生抓住关键点，并适时提问，让学生产生认知冲突，有效地帮助学生纠正错误的认识，将学生带到柳暗花明的境地。
知识的关键点也是教学中的重难点，是那些对学生思维有统领作用的知识，理解了关键点，教学目标的达成也便显而易见了。我们知道学生对知识的认知掌握过程，总是要经历一个由不懂到懂，由浅入深这样一个认知过程。因此，抓住知识的关键点提问，就能很容易地突出重点，突破难点，学生对新知的理解就会轻松很多，进而达到理想的教学效果。
四、抓住知识的疑难点提问，发散思维
如某教师在教学《圆锥的体积》这一课的教学片段。
师：当圆锥的高是圆柱高的3倍时，要使它们的体积相等，它们的底面积之间有什么关系呢？
学生讨论作答。
师紧接着追问：老师这里有一组等底等高的圆锥和圆柱，要使它们的体积变成相等，若只能改变其中一个图形的大小，不改变原有图形的形状，你会怎么办呢？
生1：圆锥的高不变，底面积扩大3倍。
生2：圆锥的底面积不变，高扩大3倍。
生3：圆柱的高不变，底面积缩小到原来的1/3。
生4：圆柱的底面积不变，高缩小到原来的1/3。
教师在教学了等底等高的圆锥和圆柱，圆柱的体积是圆锥体积的3倍后，又提出了富有挑战性又有探索价值的疑惑，引导学生展开讨论。巧妙地提问能给予学生足够的思维空间，学生能够利用已有的知识寻求多种答案，有效地促进了学生的思维，促使学生积极地自主学习。
有效的教学提问必须能促进学生分析综合能力的发展，激起学生强烈的求知欲，达到发展智力，培养能力的目的。教学上的疑难点是最让学生难以消化的地方，也是教师最关注的地方，也是教学内容的重中之重。因此，在疑难处每一个细节教师都应巧妙地设计提问的内容，这样，不仅能促进学生的思维，帮助学生更好地理解知识，而且还能让学生的思维发展到更广、更深处。
基于上述反思，我又重新修改了我的教学设计。
【教学设计修改稿】
新课导入，揭示课题以后。
出示等底不等高的圆锥，师问：这两个圆锥哪一个体积大？那这两个呢？（不等底但等高的圆锥）
师：那你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关呢？
生：底面积和高。
老师顺势就把V=sh写在黑板上。
师：那么这样得到的是不是圆锥的体积呢？
生：不是。是圆柱的体积。
教师出示四组材料：等底等高的圆柱圆锥、不等底但等高的圆柱圆锥、等底但不等高的圆柱圆锥、不等底不等高的圆柱圆锥，但每组的圆锥都是同样大小的。
生：老师我明白了是与这个圆锥等底等高的圆柱的体积有关。
师：那么请你猜猜看这个圆锥的体积和这个等底等高的圆柱的体积之间存在怎样的关系呢？
鼓励学生大胆猜测。
有了猜测，学生就动手操作验证自己的想法。
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）09-0115-02
1.探究圆锥的体积与圆柱体积之间的联系
师：老师今天为大家准备了一个圆锥、一个圆柱，想请大家用他们做一个有趣的实验。有兴趣吗？
学生们兴奋不已，高喊道：有兴趣！
师：那我们就开始实验吧！
镜头再现：分组开始简单议论，然后，小组成员争先恐后地抢领材料，迫不急待地动手操作，顿时教室内一片喧哗，热闹非凡，教师频频点头微笑，暗自得意。因为学生们忙忙碌碌边议论、边争吵、边动手……课堂上热闹异常，学生们也非常活跃。不知不觉，5分钟已经过去，有的学生不再做实验了，而在玩自己的事情了；有的学生还在埋头忙着，但显得很迷茫；有的东张西望……
师：大家有结论吧！那组愿意来回答一下？
生：我们小组用圆柱的容器盛满沙子倒入圆锥中，倒满3下，还洒出了一些。
生：不对！我们也是这样做的，发现没有盛满3下。
……
师：靳某某你们小组怎么做的啊？
生：我们做了2次，不是多了，就是少了，最后大家看书了，知道应该是3倍的关系。
师：噢！看来你们小组很听认真的，知道将实验和看书结合，是很了不起的学习方式，大家都要好好地向他们学习。
【分析思考】
"学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程。"所以，创设情境让学生投入到数学活动中去，通过活动的实践研究实现学习的突破。静思该教学片段，数学活动蜕变为数学实践活动，学生们只知道去实践，却没有明确的实践目的，不知道活动的方法与策略，更不知道观察活动的现象，提炼活动的本质，只停留在做和看的层面，而没有体现在猜想、归纳、比较等诸多的思维层面。数学活动的核心的价值就是利用活动帮助学生积累必要的感知，丰富学习的认知表象，促进学生学会梳理，从而透过现象去把握数学本质。
数学活动的重点是数学思维的活动，而非动手操作与身体的活动，即重在"思动"而非"形动"。纵观该片段的教学，我们始终会感到思维的欠缺，真正的数学活动需要形动，更需要思维的同步跟进，或者是更深层次的跟进，力戒表面上的热闹，气氛的活跃，而应着力激活学生的思维，让学习与思考协同发展。同时，对活动选取的介质也是我们必须深思的一个层面，案例中沙子的选用，有其可取的一面，盛取方便；但也有难以克服的一面，盛取沙子有的学生压实了，有的是随意取的，故而导致在倒入圆锥容器时误差不断，我们看到三组学生的回答就是最好的例证。"数学教学是数学活动的教学"，为此，我们要细化数学活动，让其发挥其促进积累、激活思考的根本目的，让数学学习变得理性。
2.探究圆锥的体积与圆柱体积之间的联系
师：老师为大家准备了3个圆柱，1个圆锥，下面请大家用这组学具做一组实验。要求：1、小组实验时服从组长的分工，并做好详细的记录。2、观察实验中出现的现象，并思考为什么会这样？3、思考：选用哪种学具组合实验是最有代表性的，为什么？从中我们又有什么新的认识？4、实验注意：不要大声喧哗，注意纪律；水不要随意地盛取，按方法仔细地取；实验要细心，更要聚精会神。
生1：用圆柱A和圆锥做实验，发现A中的水是圆锥的3倍还多；圆柱B中的水正好是圆锥的3倍；C中的水比圆锥的3倍少。
生2：不完全一样的，我们 A和C的实验正好和你们相反，只有B的结论是一样的。
生3：我们的实验也和你们的不完全一样……
师：噢！一点也不同吗？
生3：不是的。B和圆锥的实验是一样。
师：其他小组的实验呢？
学生们一起回答，有相同的，也有不相同的，但是每一组的B和圆锥的实验结论是一致的。
师：这是一件很有趣的实验，为什么会出现B和圆锥的实验大家的结果是一样的呢？请小组中再仔细地研究一番，看看有没有新的发现的呢？
生：圆柱A与圆锥等底高不等，C与圆锥等高不等底，它们的结果就不是3倍的关系； B与圆锥等底等高，它们是3倍的关系。
生：通过刚才的交流，我们研究结论是：当圆柱与圆锥是等底等高的，圆柱的体积是圆锥的3倍。
师：你们是这样的结论吗？
生：圆柱与圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱的三分之一。
生：所以圆锥的体积=圆柱的体积÷3。
生：V圆锥=1/3sh。
……
【分析思考】
审视这则案例，我们发现了教学预设的精密化程度的提高，也看到了数学活动真正的价值所在。精细化的预设，让活动有章可循，也为高效的活动，有效的学习助力。
一、导入教学激发学生的学习兴趣
在教学中，教师如果善于巧妙导入新课，自然会激发学生学习的兴趣，使学生产生好学之乐。如何激发？这就要求教师根据教材内容，创设有趣的情境，让学生于特殊的环境中去感知、体验。创设教学情境，应从学生喜闻乐见的实情、实物、实例入手，采用猜谜、讲故事、做游戏等形式，激发学生主动参与的乐趣。
二、自主学习让学生进入角色
《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”学生对数学活动参与的程度与学习时产生的情感因素密切相关。教师在课堂教学中要建立起民主平等的师生关系，营造和谐的学习氛围，使学生产生“心理安全”及“心理自由”的情感。学生可以无顾忌地表达自己的想法，自觉参与的欲望必然增强。
在课堂中，要营造民主、平等、和谐的氛围，首先教师应该更新教育观念，相信每一个学生通过自己的努力都可以在原有的基础上得到发展，对待每一个学生都应该一视同仁，使每一个学生都有平等表现自己的机会，都能享受成功的愉悦。其次，教师在评价学生回答的问题时，应多用一些激励性的语言，如“你说得不错”、“你真聪明”，以及“不要紧，慢慢说”、“ 想想”等尊重、期盼性的语言。这种以学生的发展为本的课堂教学必然会激发学生乐学的情感。
三、参与探索活动，获取成功的体验
数学是愉快教育的源泉，因为数学中经常出现“问号”，有“问号”就可以激发学生的学习需求。而变“问号”为“句号”，完成知识上的“转化”，则必须通过自身的探索实践来实现，这样才会使学生产生满足的愉、成功的喜悦感。而这种情感将会激发学生更高的学习积极性，促使学生不断地去追求新的成功。因此，学生的求知欲被激发后，教师要充分发挥学生的主体作用，让他们积极地参与探索新知识的学习活动，给他们创造获取成功的机会。例如圆锥体的教学，可以改变以前那种“教师演示学生看，老师推导学生听”的教法，为了激发学生的兴趣，使他们主动、积极地参与探求新知的学习活动，可以进行如下设计：
1、猜一猜。
出示一个圆锥和一个圆柱容器，提问：圆柱与圆锥联系密切，同学们猜一猜，这个圆锥的体积是圆柱的几分之几？让学生进行大胆的猜测。学生为了知道自己猜对没有，实验验证已成为迫切需要。
2、倒一倒。
让学生进行操作演示（等底等高的圆柱和圆锥），学生观察后发现：“圆锥体积是圆柱体积的三分之一。”问：圆锥体积一定是圆柱体积的三分之一吗？再演示（不等底不等高的较小圆锥容器），让学生往刚才圆柱容器倒水，使学生直观地感知到“圆锥体积不一定是圆柱体积的三分之一”。那么，在什么条件下，圆锥体积一定是圆柱体积的三分之一呢？带着这个问题，老师让学生重新观察前面的圆柱和圆锥，并分组讨论。在学生得出“圆锥体积是与它等底等高的圆柱体的体积的三分之一”的结论后，再用与小圆锥等底等高的圆柱容器，让学生再次实验验证，学生为自己观察所得的结论被证实而高兴。
3、练一练。
教师让学生运用实验得出的结论进行下面的练习，并说出思考过程。
（1）一个圆锥体积是18立方米，与它等底等的高圆柱体积是多少？
（2）有一个圆柱和一个圆锥，它们的底面半径相等，高也相等。圆柱体积是6立方米，圆锥体积是多少？
这样通过练习丰富了学生的感性认识，为学生归纳圆锥体积计算公式做好了孕伏。
学生自己积极地参与了“猜一猜”、“倒一倒”、“练一练”、“想一想”的教学实践活动，发现了规律，总结出了圆锥体积的计算公式。由于自己积极参与探索活动，并获得了成功，从而产生了愉快和喜悦。
四、精心设计练习，激发学习兴趣
[关键词]数学教学 教学模式 复习 四重 潜心
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）01-019
在农村小学，尚有不少的常态数学复习课依然存在着内容单一、训练单调等现象。“究竟如何使数学复习课教学有新意”“怎样才能让数学复习课教学更有效呢”，这是我们一线数学教师普遍关注的课题和话题。为改变传统的“整理内容系统复习针对训练布置作业”的复习课教学模式，我从2011年秋季开始，采用了“四重”环节复习教学模式。可以说，践行的复习课教学新模式充分体现了复习是师生双边活动的展示过程，是各层次学生对知识技能掌握程度的暴露过程，更是激励每个学生重开数学智慧大门的逻辑起点。
一、重温基础知识，激发学生动手操作
为改变传统的数学复习课让学生自主复习或背诵基本概念、公式等知识点的现象，我在复习课伊始出示了长30cm、40cm的两根铁丝。
教学环节1：
问题（1）：以30cm、40cm两根铁丝为条件，你能够想出哪些平面图形？
问题（2）：如何利用平移、旋转得到圆柱体和圆锥体？
……
“复习课就是要我们做题目”，对于问题（1），学生的惯性思维被两根铁丝给打破了，真是不破不立。全班学生个个劲头十足地在草稿纸上作图，但大多画的是平面的角、长方形、三角形和圆（如图1）等，学生复习的热情出乎我的意料。
但对于问题（2），有40%左右的学生犯难了，他们不是看天花板，就是咬笔头。我通过课件动态演示图形的变化过程（如图2），顿时学生的思维变得灵活起来，使学生真正理解了概念的基本元素。
二、重组技能技巧，激起学生潜心复习
为延展两根铁丝的空间想象，也为突破难点、疑点问题的解决，我再引导学生从经历想象到画图的过程。
教学环节2：
问题（3）：你能依照铁丝的长度画出圆柱、圆锥吗？
问题（4）：你认为按图3旋转得到的两个圆柱体的体积、侧面积相等吗？（生先猜测答案）
课堂上先让学生自己画图并计算圆柱体的体积、侧面积，再让学生交流，最后由学生集体作出评价（课件相应展示图形及计算过程）。问题（4）列式为V1=π402×30、V2=π302×40，从列式中可以发现这两个圆柱体的体积不可能相等，从而推出这两个圆柱体的表面积也不同。
有很大一部分学生误认为这两个圆柱体的体积是相等的，且表面积也是相等的，但通过演算得出其体积和表面积均不相等，使得这些学生的疑点问题得到解释，难点也随之突破。
教学环节3：
问题（5）：你认为按图4旋转而得的两个圆锥的体积相等吗？
问题（5）是很多学生百思不得其解的难点问题，因为大多数学生对以垂直轴线旋转的圆锥体（图5）认同度较高，而对以水平轴线旋转的圆锥体（图6）没有想象到。
为了把学习的主动权交给学生，特别是交给有疑惑、有问题的学生，通过个体的计算和全体学生的参与评价，学生能明确以水平轴线与垂直轴线旋转所形成的圆锥的体积不会相同。
三、重塑主体框架，激活学生的解题思路
图7与图9的圆锥等底等高，图8与图10的圆锥等底等高，使学生进一步明确了本节课复习的重要内容是八个字，即“等底等高，三分之一”。随后我设计了生活实例的题目，如下：“（1）自找一个圆柱、圆锥，量出必要的数据，计算出体积。（2）一个圆柱的侧面积是471平方厘米，高是15厘米，求圆柱的底面半径是多少厘米？（3）一个圆柱形的灯笼，底面直径是24厘米，高是30厘米。在灯笼的下底和侧面糊上彩纸，至少要多少平方厘米的彩纸？”
题目的数量数不胜数，题目的形式千变万化，但学生若能真正掌握灵动的思想方法，在圆柱、圆锥的体积计算中或在圆柱表面积计算中能把握“等底等高，三分之一”的要旨，再加上与实际（如上题的灯笼只算一个底面）情况的分析，那么学生的解题能力一定会有明显的提升。
四、重开智慧大门，激励学生认真应对
在教学实践和访谈调查中，我发现学生对圆柱、圆锥相关的综合题普遍存在着畏惧感。因此，我在复习课的最后环节往往设计应用广泛且需要一定综合思维能力去解决的题目，对学生进行训练。
教学环节5：
（1）切出来的问题。
王师傅要将一根长12分米的圆柱形钢条平行于底面切成不均匀的3段，表面积增加了12.56平方分米，原来这根钢条的体积是多少立方分米？
（2）削出来的问题。
王师傅将其中一根圆柱形钢条削成一个最大的圆锥，其中削去了12.56立方分米，那么这根钢条原来的体积是多少立方分米？
（3）铸出来的问题。
王师傅打算将另一根12.56立方分米的圆柱形钢条铸成一个底面积是5立方分米的圆锥，那么圆锥的高度会有多少呢？
理清了知识脉络，不代表完成了复习任务。有效的复习，还需要有效的练习来支撑。“整理与复习”课的知识涵盖力求全面，题目设计需精准取舍。如有关圆柱与圆锥的练习题不计其数，可上述三道题目具有较强的代表性，“切、削、铸”的问题虽然只有一字之差，但在数学题中的意思却完全不一样。课堂教学中，我以这三道题为切入点，引领学生根据题目仔细思考、辨析，找到合适的解题思路，同时让学生感受到体积、表面积之间变与不变的关系。其中，“铸出来的问题”是这三道题中较难的一题，在实际教学中很多学生都会忘记用圆柱体积除以三分之一。通过这种对比的题组练习，既能在视觉上激发学生的思考，又为学生尽快找到解题策略、揭示解题规律提供了一条捷径。
