时间：2023-05-29 18:24:28
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇平面图形的周长和面积，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：数学概念；本质；意义
“面积和面积单位”是青岛版三年级下册数学第五单元“我家买新房子了――长方形和正方形的面积”第一课时的教学内容。教材通过“餐厅和厨房哪个大呢？”引出面积的意义。通过“为什么结果不一样呢”这一问题，让学生体会统一单位的必要性，并向学生介绍常用的面积单位。
但在整个单元学完后，当把周长和面积混合在一起来解决实际问题时，学生却区分不开到底要求的是周长还是面积，并且不能正确使用长度单位和面积单位。产生这些问题的根源到底在哪儿呢？笔者认为主要是学生没能建立起正确的“周长”和“面积”概念，区分不开“周长”和“面积”的概念本质。为了帮助学生正确区分周长和面积，并能正确使用长度单位和面积单位，我们必须让学生明确周长和面积的概念本质。现就“面积和面积单位”的教学思考及改进说明如下。
一、对教材的思考
教材通过“餐厅和厨房哪个大呢？”让学生思考：比餐厅和厨房的大小，比的是什么，怎样比才能知道哪个大？体会实际地面的大小不便于直接比较，可以借助平面图比较。在比较的过程中，学生可能想到把两个平面图重叠起来进行比较，得不到答案，再将不重叠的部分剪接后比较；用圆片摆一摆；用正方形摆一摆等方法进行比较。在学生经历了大量的探索后，教师向学生说明，厨房、餐厅地面的大小就是它们的面积，引出面积的意义。
《面积和面积单位》是一个传统的教学内容，很多教学设计也大都从比较两个图形的大小来引出面积和面积单位。但这样设计是否合理呢？我们深入思考一下，在比较时，我们的目标指向的是什么？我们的目标指向的是谁大谁小，学生当然思考的是怎样才能比较出谁大谁小，所以他们往往就陷入方法的纠缠。（切、贴、补……）其实，比较大小是个外在的行为，而不是平面图形本身的属性。面积是一种量，量都是对事物具体属性的描述，所以面积应是平面图形本身的一种属性。我们的教学设计应直接指向平面图形的这种属性。笔者想能否直接从描述图形的大小来引出面积和面积单位。
再者，教材通过“为什么结果不一样呢？”这一问题，引导学生发现由于选择的测量单位不同，得到的结果也不相同。进而体会到统一单位的必要性，并向学生介绍常用的面积单位。
在学习计量单位前，通常都有这样一个导入环节，讲述学习计量单位的意义和必要性。不论在二年级还是在四年级，老师都要不断重复计量单位的意义和必要性。在小学数学中，计量单位的学习内容是十分丰富的，有长度单位、质量单位、时间单位、面积单位、体积单位等等，基本贯穿了小学数学学习的始终。是不是每一类计量单位的学习都要设计这样一个环节，重复这个过程呢？
该知识是在学生已经掌握了长度和长度单位，长、正方形的特征及其周长计算的基础上进行的。是学生学习几何初步知识的一次飞跃。作为教师我们要深刻钻研教材，让数学知识整体化、结构化。我们可以考虑将长度、面积、体积的概念学习结合起来，通过有目的的活动，让学生感受到：学习长度应该要测量，应该有单位，学习面积也一样，也要测量，也应该有测量单位。长度、面积、体积的知识本身及其教学，都存在着一种可类比的结构，面积和体积的学习基础就是长度。
教学中，我们可以以学生已有的长度单位作为新的面积单位学习的起点，强调两者之间的联系和区别，既有利于面积单位空间概念的主动建构，又加强了面积单位与长度单位的对比，以避免对于面积单位和长度单位产生的混淆，并且有助于数学知识结构网的形成。
二、对教学方法的改进
1.引入的修改
（1）复习周长和长度单位。课件出示小明家新房的平面图。说明：这是小明家刚买的新房。他们准备对厨房的四周装上石膏线（课件显示装修的位置），如果想要知道需要多长的石膏线？接下来你会做哪些事情？告诉你厨房的长是3米，宽是2米，你能算出来吗？这里的10米是什么意思？你能比划一下10米有多长？因此我们要给周长加上一个长度单位。
（2）引出面积。他们还要给厨房的地面铺上地板砖。你能指出要铺的区域吗？那这部分区域指的是什么呢？揭题。
2.面积意义的教学改进
“面积的认识”设计如下：（1）物体表面的大小就是它们的面积。a.我们一起来摸一摸数学书的封面。你摸到的数学书的面积在哪里？说给同学听一听。课桌呢？b.数学书的封面和课桌的面的面积哪个大？（2）理解平面图形的面积。a.刚才大家指出了厨房的面积了，你还能指出哪些房间的面积？平面图形的面积又是指什么？b.出示图形。你觉得这个图形的面积在哪里？（课件出示图形的颜色把整个屏幕都涂满了）这是怎么回事呢？c.只有封闭图形才有大小，我们把封闭图形的大小称为它们的面积。
3.面积单位的教学改进
学习长度要测量，要有长度单位，请你回忆一下，我们学过的常用的长度单位有哪些？请你用手势比划一下。学习面积也一样，也要测量，也应该有面积单位。你认为用什么做单位来测量比较好呢？（教师提供一角硬币、小长方形、小正方形若干）为什么？长度单位有厘米、分米、米等，你认为面积单位应该有哪些？然后向学生介绍常用的面积单位。
刘加霞说：“把握数学的本质是一切教学法的根。”在概念教学中，有些教师往往对概念当中的名词、术语等在形式上和细微处理上孜孜以求，出现了形式和繁琐的倾向，冲淡了实质，脱离了学生的认知实际。我们应从事物的整体、本质和内在联系出发，对概念进行全面分析，突出其本质属性，才能使学生正确理解概念。
参考文献：
关键词：教育管理；小学数学；概念图；构建
近二十年以来，把学生作为知识灌输对象的行为主义学习理论，已经让位于把学生看作是信息加工主体的认知学习理论。建构主义理论正是这种转变中的主要理论研究成果。随着多媒体计算机和Internet网络教育应用的飞速发展，建构主义学习理论正愈来愈显示出其强大的生命力，并在世界范围内日益扩大其影响。
建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习，也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者。学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象。
如何在小学数学课堂中促进学生的主动、有效的建构呢？概念图就是一个可以选择的工具。下面是笔者借助概念图，在数学复习课中引领学生建构知识的教学实践。
一、借助概念图，帮助学生建立知识的结构
学生学习数学的过程是数学认知结构形成的过程。在这个过程中，通过概念图工具的应用，使学生在教师的指导下，把教材知识结构转化成自己的数学认知结构，新知识和原有知识之间的联系，从而不断完善和修正自己的知识结构，获得数学知识的提升。
例如，学习了课程标准（苏教版）实验教材六年级下册《平面图形的复习》后，教师引导学生将所学的四边形归一归类，并表示出各类四边形之间的关系。学生按照自己对所学内容的理解，结合着自己的记忆、思维和联想，绘制出了概念图（见图1）。
概念图帮助学生明确所学知识与前后知识之间的内在联系，理清概念间的逻辑结构，让学生在头脑里形成不断系统化的数学认知结构。
二、借助概念图，引导学生经历知识的形成过程
建构主义认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。因此，只有发挥主观能动性，根据已有的知识、经验亲身经历、体验，探究知识的形成过程才是最有效的学习。教师借助概念图，有效引导学生经历知识的形成过程，让学生发挥自主精神，加深对知识的理解及记忆，提高学习效率。
如在教学《平面图形的周长和面积复习》一课时，由于这部分内容涉及的概念很多，如周长、面积以及六种平面图形的周长和面积计算公式等。如果教师讲解，那么只能使学生回顾零碎的知识点，而不能明确知识之间的内在联系。教师通过引导学生讨论复习内容，明确复习的任务：平面图形的周长和面积，然后老师以一思维含金量颇高的问题组织讨论：“在小学阶段，我们首先学习的是长方形的周长和面积面积计算，这是为什么呢？”这一问题促使学生主动思考，自主地把各个平面图形的面积计算与长方形联系起来，让学生明确：我们学过的平面图形是以长方形的面积公式为基础推导出来的。学生在复习组织形成概念图（见图2）的过程中，不仅复习了相关知识，还经历了知识的形成过程。
三、借助概念图，帮助学生明确数学的思想方法
日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神，数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”因此，学习方法比知识本身更为重要。
数学中很多知识表面看起来毫不相干，其实他们之间存在着千丝万缕的联系，把他们联系在一起的就是“数学思想与方法”。融入了概念图的教学让学生从零碎、片断的机械式学习提升为注重关系、脉络并充满主动探究活力的有意义学习。
例如，在教学苏教版国标本六年级下册《立体图形的体积复习》一课时，从表面看，长方体、正方体和圆柱体的体积计算方法各不相同。教师在和学生一起复习了这几种立体图形的体积计算方法后，引导学生思考：这几个立体图形的体积计算方法各不相同，你能不能把这几种计算方法统一成同一个计算公式？这样，在复习的过程中，学生将它们的计算方法统一成：体积=底面积×高，并体会到:立体图形的体积计算方法和平面图形的周长、面积计算方法的推到过程是一样的，都是运用转化的数学思想方法，将新知识变成原有知识，教师顺势指出：这是一种有效的学习方法（见图3）。
再例如，学习苏教版国标本六年级下册《解决问题的策略》单元后，考虑到学生独立整理有困难，教师和学生共同用概念图来归纳“转化”的策略在小学阶段的运用，整理出了下面的概念图（见图4）。在该教学中，学生更深刻地感受到了数学思想方法的强大，增强了自觉运用数学思想方法的意识，取得了良好的教学效果。
总之，概念图可以帮助学生自己来提炼概念、建立概念间的联系，理清新旧知识间的关系，并体会蕴含在其中的数学思想方法，是教师教、学生学的有效辅助手段之一。
【参考文献】
从学生角度出发，特别是一些后进生，今天学了明天忘，学习的反反复复对他们来说是家常便饭. 一些已经学习过的知识，由于时间或其他原因，早“还”给老师了. 等教师在课堂中讲得如火如荼之时，这些后进生却是不知所措，这样的复习效果可想而知.
结合上面分析，笔者认为总复习课堂效率问题是重难点问题，其中提升学生的复习热度和积极性，提高复习课堂的高效性最为关键. 一堂课40分钟是有限的，应充分考虑如何充分利用40分钟时间，不断从课堂形式、复习内容等多维度设计复习活动，确保所有学生高效参与到复习活动中，从而提升总复习课堂的效率.
一、结合复习要点，自主整理知识
在整理与复习活动中，笔者有这样的感受：学生通常用“条目式”形式来整理一些重要知识要点，一些后进生甚至以白纸上交. 这些现象使笔者产生思考，学生在学习知识后，他们习得的知识更多的是理解和掌握层面，而对于知识间关系层面的是整理与复习中的“盲点”，也是总复习活动的“重点”. 如何解决这个“盲点”和“重点”间的矛盾呢？简单地让学生自己去整理知识，这个方法效果不理想，这样下去只会恶性循环. 如果给学生一个相关复习要点，让学生按照这个复习要点去整理，学生理解的知识是否能更丰富、多样和深刻呢？
在复习“平面图形的周长和面积”时，笔者首先给学生提供了复习要点：
（1）什么是平面图形的周长？
（2）各平面图形周长的计算方法？
（3）什么是平面图形的面积？
（4）各平面图形面积的计算方法？
（5）各平面图形面积的推导过程？
通过给学生提供条理清晰、重难点明确的复习要点，学生在整理时能读懂教师设计复习要点的意图. 在阅读同学整理的知识中，笔者欣喜地发现学生整理的平面图形周长和面积相关知识丰富了不少，更可喜的是学生整理知识的方法、方式多了，不光有条目式，有同学还采用画图式，也有同学采用表格式……这些不正是我们在整理复习过程中，所要培养学生的整理知识的能力吗？未上整理复习课，学生已经在学习运用归纳梳理、整理复习的方法，这正是反映了以学生为主体地位，让学生自主进行整理和归纳知识.
二、参与小组活动，自主梳理知识
在以往的总复习课中，教师通常会把自己整理的知识网络呈现给学生，以帮助学生清晰认识理解各知识间的联系. 在这样形式下的复习，学生显得较为被动，牢牢受牵于教师的“知识网络”.
新课程倡导以学生为主体的学习方式，笔者认为在总复习过程中，更要体现这一理念，充分发挥学生在总复习活动中的地位，特别是在复习活动最难的“梳理关系”环节，更要让学生参与和梳理知识间的结构和网络. 有些教师担心学生梳理的知识网络不够完整，或浪费宝贵的复习时间. 笔者认为这样的梳理知识活动是非常必要的，原因有多方面：其一，学生在梳理知识结构时，也是复习和巩固知识的时机，并且这时复习巩固的效果较好，相比被动接受教师的知识网络有一定优势；其二，在梳理知识过程中，学生对知识间的联系进一步明确，即便是不完整或错的，这些也是复习过程中的宝贵资源；其三，最为重要的是学生归纳和梳理知识的能力得到发展，这是一种非常重要的学习方法，多给些复习时间，是一种真正数学思维的训练和发展.
知识梳理一直是总复习课的重难点问题，教师该如何让学生进行自主地梳理呢？在复习“平面图形的周长和面积”时，笔者采用了小组合作的形式开展，复习过程中采用了两次不同层次的小组合作交流.
第一次活动：各平面图形的面积公式推导过程
小组活动，交流平面图形面积的推导过程.
展示小组活动要求：每名同学选择1~2个平面图形，向组内同学交流平面图形面积的推导过程.
第二次活动：可利用信封里的学具动手进行折一折、摆一摆等，来帮助理解推导过程.
（1）小组活动要求：
根据各平面图形面积推导过程的联系，想一想各平面图形间的关系. 小组合作动手摆一摆，在桌上展示各平面图形间的这种关系. 将平面图形面积间的关系画在作业纸上，进行全班交流.
（2）师生交流，逐步形成平面图形间的关系图.
在两次小组活动过程中，学生参与的热情和积极性明显提升，学生言语表达、动手操作等各方面能力得到锻炼，最为可贵的是在同学相互合作下，大家形成了较为完整的知识结构和网络.
笔者认为在小组活动中要注意几点：第一，复习过程中的难点问题，可以采用小组活动形式，引导学生通过集体力量来解决，同时可以实现相互学习、长短互补的效果；第二，明确活动步骤和目标，甚至可以设计每名同学所要完成的小组活动目标，让学生真正参与到小组合作活动中.
三、预设多层练习，自主强化技能
“题海”战术容易成为总复习课堂的主角，而这种形式可能对学生巩固知识有一定帮助，但机械重复的练习对学生学习积极性以及思维的拓展会产生负面影响. 如何激发学生练习的积极性，而不是简单重复地参与“题海”战术，如何设计多层练习，引导学生自主强化技能，这些直接影响总复习课堂的效率.
笔者在巩固“圆的复习”时，设计了以下多层练习，来帮助学生更深入理解圆的知识.
1．长方形纸上最多能画几个直径6 cm的圆？（如图1）
（1）估一估最多能画几个.
（2）请你算一算.
（3）全班汇报.
长：21 ÷ 6 ＝ 3（个）……3（cm）
宽：12 ÷ 6 ＝ 2（个），
3 × 2 ＝ 6（个）.
（4）课件展示如图2.
2． 长方形纸上画一个最大的圆，能画多大？
（1）为什么是直径12 cm的圆？
（2）全班讨论.
（3）课件展示.
3． 长方形中的大圆和小圆有什么关系？你会从哪几个角度去想？（如图3）
（1）学生思考计算.
（2）全班交流.
C大（2倍）C小 S大（2倍）S小
C大（2倍）C小 S大（4倍）S小
教师借助于长方形和圆的简单素材，设计了三个层面不同的练习，将圆的相关知识融于一体，同时激发了学生的兴趣，学生参与练习的积极性较高，能自主巩固圆的相关知识. 教师要善于设计练习，充分利用素材，一题多解，一题多用. 在练习过程中，引导学生进行自主分析比较，归纳应用，经历把实际问题抽象成数学模型，从而提升复习课堂的效率.
四、探究思维特征，自主体会方法
总复习课不光是知识的整理，更是方法的学习和归纳. 教师一味地讲授我们学了什么方法，用了什么方法，真正运用到平时学习中的知识并不多，这样的教学更像是过场式. 怎样来帮助学生更深刻体会学习方法，来体现总复习课的重要价值呢？
在复习“平面图形的周长和面积”时，笔者进行了多次引导，让学生充分体现在思维过程中的共同特征，帮助学生自主体会和感受在思维过程中的重要方法.
探究一：转化思想
这些关系图有什么共同特征？ 新图形面积转化为旧图形面积.
师生讨论，发现总结：在转化之前要先寻找联系，再根据相互的联系，将新知识转化为旧知识，进而推导出解决新知识的方法.
探究二：整理知识的方法
师：课上到这里，我们一起来回顾一下，刚才我们是怎么整理和复习的？
同学们刚才用了很多整理知识的方法：条目式、表格式、网络图式等，这些是非常好的整理知识方法.
师：这些方法有什么好处？
清晰地呈现知识及关系.
探究三：
【关键词】创设情境 测量 教学效果
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）02-0146-01
“测量”一直是小学几何课程的重要内容，它不仅仅在现实生活中有着广泛的应用，并且能够帮助学生更好地把握图形的特征，同时，测量的过程也提供了一个学习和应用其他数学知识（包括数与运算、图形、统计等）的机会。因此，测量的教学长期得到广大教师的重视。特别是随着新课程的实施，教师们对这部分教学又有了新的理解，开始重视建立测量单位的必要性，注重单位的实际意义，重视估测及其在现实生活中的作用，同时鼓励学生在测量过程中，根据实际问题选择合适的测量方法和工具。而对创设具体情境，可以加强学生对所没量的量的实际意义进行深刻理解。
教学中应重视结合具体的情境，使学生对所要测量的量（如长度、周长、面积、体积）的实际意义加以体会。为了说明这一点，不妨来看一个实际的课堂教学片段：学生对面积的“困惑”。
学生已经学习了面积的意义和长、正方形面积的计算方法，本节课是探索平行四边形的面积。教学伊始，教师提供了一个长是10、宽是6的长方形，学生通过以前的知识马上得到长方形的面积为60。然后教师提供给学生一系列的平行四边形，它们相邻的两条边的长度还是10和6，只是两条邻边的夹角越来越小，也就是平行四边形越来越“歪”了。
教师鼓励学生得到这些平行四边形的面积，开始时学生绝大部分认为面积还是60。接着，教师鼓励学生仔细观察这些平行四边表，有的学生开始觉得这些平行四边形的面积不相等。但是还是有很多的孩子认为面积就应该是60。并且提出自己的理由，如有一个孩子提道：这些平行四边形都可以看成长方形逐渐拉动而成的，在整个拉动的过程中面积应该不变。
针对这个想法，老师试图通过课件演示，使学生“强烈”感受到：在拉动过程中，平行四边形的“大小”变化很大了。如图，教师觉得这下肯定很有说服力了。但还有一些学生站起来说：“确实我发出它们的大小不一样，但是它们的面积应该是一样的。”有意思的是，这些学生中绝大部分在教师开始复习什么是面积时，他们都能正确地描述了面积是“物体的表面或者封闭图形的大小”。
有的老师可能会说，这是不是一个“偶然”现象呢？前些年，教育部成立了“建立国家中小学生学业质量分析与指导系统”项目组。其中小学数学组开始了小学生数学学业质量评价体系的研究和构建，并且在此基础上对三年级学生的数学学业质量进行了大样本的测试。下题是这次测试中的一道题目：
小明用同样长的两根铁丝围成了A、B两个图形，比较它们的面积，那么（ ）。
A.甲比乙大 B.乙比甲大
C.一样大 D.无法比较
题目中两个图形的面积差异是明显的，但在所做的全国常模抽样测试中随机抽取了1700份样本，有38%的学生选择了“一样大”的选项，
学生将面积与周长混淆了。
以上片段和题目反映了学生对于周长、面积理解的困难，尽管他们能用自己的语言描述出什么是周长和面积，但遇到具体情况，往往更加“依赖”于计算公式，自然地把10和6相乘，或者受到“同样长”等的干扰。因此，教学中，教师应设计丰富多彩的活动，使学生对周长、面积、体积等所测量的量有比较丰富的体验，而不是很快进入到公式的学习。比如，教师在教学周长、面积的时候，设计了描一描图形的边线、摸摸图形的面的活动，这些都是非常好的尝试。
教学复习的目的，就是为了让学生更好的掌握所学知识，以便能够举一反三，达到融会贯通的效果。在此阶段，需要教师针对教学复习能起到一个很好的指引作用。所以在复习课上，教师要根据这一阶段的复习内容进行合理的规划，并针对复习内容创设新的学习环境，让学生感觉在学习新知识。例如，在复习学习平面几何图形的周长与面积时，可以利用相似图形如象棋图引导学生对平面图形的计算，并通过他们共有的特点进行周长面积的计算。在复习计算时，要针对这类型题型进行总结，可以通过发问的形式，让学生们增强学习计算的兴趣，各抒己见。这样学生在复习的过程中，不仅仅加深了对此类题型的巩固，更加开动了学生们学习的热情，并结合实际生活中存在的问题进行相关问题的计算与解答。这种情景创设的方法极大地推动了学生们自我学习的热情，激发了他们开动脑筋的求知欲望，让学生们更加清楚地了解到复习的重要性。
二、开展有效教学活动，让学生自主整理知识体系
1.设计复习提纲，引导构建知识网络。文章主要以计算“平面图形面积”为例，通过不同图形进行讨论分析，长方形、圆形、梯形和平行四边形，将其分成四个小组，然后让学生们自由发挥，彼此之间进行对比，也可以结合实际，来计算四种图形的面积以及他们之间所存在的共同点以及不同点。在此基础上，将每个不同图形的计算方式逐一进行演示，让学生们相互学习。这样学生在讲解的过程中，不仅仅加深了对面积计算的推理依据，更加可以构建良好的学习氛围，将知识进行合理的构建，找出它们之间存在的某种联系。
老师可以通过询问的方式，让每个学生准确的梳理不同图形的面积推理方式，学生在回答的过程中，就是一个自我学习和认知的过程。这样不仅仅避免了反复学习的枯燥性，更加可以强化学生自我开动脑筋去解决一些实际其他所存在的问题。
教师通过举例说明，可以引导学生有一个很好的思维方式，将彼此之间存在的内在联系有机的整合在一起，学生在学习的过程中，极大地构建了自我学习创新的能力，有效的复习不仅仅可以增加学生的学习能力，巩固他们对这类知识的学习，更加可以锻炼他们自我学习的认知能力，培养他们良好的学习能力。
2.设计操作活动，引导发现规律，温故而知新。在进行巩固复习时，为了增强学生的学习兴趣，满足获得学习新知识的欲望，所以在进行体积面积计算的同时，可以采用生活上的一些常识实验，进行测量。这样不仅仅可以增强学生们的学习兴趣，更加可以针对实验来对计算进行合理的推断与解释。在进行体积计算时，可以通过做马铃薯测试实验进行计算，合理的分析出对长方形、正方形、圆形等不同体积的计算，通过底乘高进行合理的计算。通过这种实验计算，不仅仅让学生们亲自感受到了实验的兴趣，还让学生们对体积计算进行了深刻的理解与掌握。通过设计实际操作，不仅仅可以引发学生们触类旁通的学习能力，而且在原有的基础上，对旧的知识进行了巩固，加强，概括，这种温故而知新的学习效果，可以更加体现出复习的目的和效果。
三、精心设 计复习题，让学生自主解决问题
复习的过程，就是为了让学生更好的巩固学习，培养学生自主学习的能力。在复习的过程中不仅仅要注重单项学习的巩固，更加要注重综合学习的能力，在学习内容以及方式方法上都有所创新。可以让学生们自主进行学习兴趣的开拓。教师可以拟定一些特定的学习内容，让学生们自主的发挥。通过合理有效的复习不仅仅可以增强学生对该数学知识的学习，更加可以提高他们自我解决问题的能力，促进学生自我创新的能力。文章主要针对如何计算平面图形的周长以及面积进行举例分析。
1.在一张长20厘米、宽15厘米的长方形纸片内，剪一个最大的正方形，正方形的周长和面积分别是多少？如果在这个正方形纸片内剪一个最大的圆，圆的局长和面积分别是多少？
2.一个梯形，下底长18分米，如果下底缩短8分米。就变成一个平行四边形，面积将减少28平方分米，原来梯形的高是多少分米？以上练习，具有一定的综合性、挑战性和创新性，让学生在自主解决问题的基础上，进一步明确平面图形知识间的内在联系，既巩固了已掌握的数学知识，又提高了数学能力，有效地促进学生的发展。
四、开展同伴互助活动
学生在复习的过程中，可以通过互相学习，相互促进的学习进步方式进行巩固复习。在复习过程中，优等生可以带动差等生一起进行互动学习，这样不仅仅可以将学习资源进行有效合理的互动，更加可以带动后进生很好地进行复习知识的学习与掌握，拉小了优等生与后进生之间的差距，同时，也拉近了学生们之间的友谊感情。在实际的教学复习中，这种教学方式是提高教学效率有效的方式之一。一些优等生可以代替老师的职能，对学习上有困难的同学加以帮助，激发他们的学习热情，后进生也可以放下心里的芥蒂，与优等生共同探讨学习方法，不仅仅能够将自己的意见很好的表达出来，也可以解决教师资源紧缺的问题，这种方式，长久坚持下来不难看出，是一种有效的学习复习方式。优等生在传授知识的同时，对知识有了系统了的认知与梳理。差等生在接受知识的学习时也比老师传授的接受效果要好。实践证明，良好的沟通以及良好的学习氛围，不仅仅可以有效的增强学习效果，更加可以拉近优等后进生之间的距离，消除后进生的自卑心理，也培养了优等生自我表达的能力，以及他们主动帮助弱者的思维方式与能力。复习学习知识，不仅仅要求个人进步，更是集体团队的整体进步与学习。
关键词：小学数学；总复习；指导 中图分类号：G623.5文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）08-0163-011.罗列复习要点，自主整理知识
在复习教学中，笔者发现学生通常用单一的"条目式"整理知识要点，后进生更是白纸上交。这些现象给了笔者莫大的思考，多数学生习得知识停留在单独的知识层面，对相互联系的知识层面思考较少，孩子们习得的知识较散，没有系统知识组块。知识组块是整理与复习的"盲点"，更是总复习活动的"重点"。如何处理"盲点"和"重点"的关系？简单让学生去整理知识，学生无所适从，效果并不理想。这时，教师要给孩子自主整理的"脚手架"，提供给学生相关的自主复习要点，让学生按复习要点自主整理，整理后进行交流讨论。这样的自主整理过程，孩子从被动变主动，积极性高涨。
如复习"平面图形的周长和面积"时，笔者先提供了复习要点：①什么是平面图形的周长？②各平面图形周长的计算方法？③什么是平面图形的面积？④各平面图形面积的计算方法？⑤各平面图形面积的推导过程？
复习中提供条理清晰、0重难点明确的复习要点，学生能读懂教师设计复习要点的意图，能系统复习和自主整理知识。
阅读学生整理的知识时，笔者欣喜地发现学生整理的平面图形周长和面积的相关知识丰富了……这些不正是我们在整理复习过程中所要培养的学生整理知识的能力吗？
2.开展专题复习方式，加强针对性训练
重视班级学生的分层导学，发展共性，培养个性，激励学生相互检查，共同提高。在分层导学中，确立优生的主要目标是审题准确，解题灵活，中等生的主要目标是细心检查，学困生的主要目标是打牢基础。在操作过程中，要求把学生的各种反馈信息分层，即时归纳整理，确立复习思路和复习重点，加强针对性。既重视学生的共同缺陷，又重视个体差异。注重单元试卷、综合试卷、学生自我评价的反馈，把每一章节的知识联系在一起复习，加强知识的连贯性，调动学生的复习积极性，提高每节复习课的效果。要灵活选择时机进行专题测试，在专题测试试卷评析的基础上查漏补缺之后，综合各单元所反映的情况，进行综合性试卷反馈，有的放矢地进行针对性补缺、定向复习，发现问题再进行定向突破。
3.利用学习合作小组进行以优生带差生
教师要根据学习成绩，结合学生性格，最大限度地进行合理搭配，组成最优化的、实力相当的学习小组。这样既可以用群体智慧解决问题，又可以让每一位"差生"都有自己的榜样，有意无意地仿效榜样，达到以优生带差生的目的。教师要经常有意识地布置一些需要集体合作才能完成的任务，通过研究性学习或质疑探讨等形式，让他们相互启发，进行智慧碰撞，最终达到提高自己的目的。教师还要有意识地安排一些以组为单位的知识竞赛，这样既可激发学生的学习兴趣，又可以让优生主动帮助差生，差生主动求助于优生，促使整体水平的提高。
4.以纠错取代多练，提高复习效率
在复习中要注意全面检查学生对数学知识的掌握情况，对于尚未掌握的内容要采取具体措施加以补救，力争全面掌握所学的数学知识。很多老师都把多练作为帮助学生弥补知识缺陷的法宝，但由于学生在复习当中学的、练的都是以往学过的知识，经常重复会使他们厌烦，降低学习效果。因此，在教学过程中，教师要关注每一个学生的优势，要求学生在精做老师布置的练习后，特别关注学生的错题，让每一个学生把自己错误的原因找到，使学生真正做到查漏补缺，提高效果。要求学生做到人手一册"总复习错题集"，经常翻阅分析,力争不再犯相同的错误，真正提高复习效率。
5.做好优秀学生和学困生的复习指导
"冰冻三尺，非一日之寒"，毕业班中数学的学困生不是一天两天形成的，而是不懂的知识长期没得到及时解决，慢慢累积而成的。学生差异必然存在，"培优补差"成为重点工作。不然"两极分化"的现象会日趋严重。
如何让优等生"吃饱"呢？我认为课上把作答的机会多给"中、下游"学生，让"优等生"作出评价，相互帮助、共同提高；课后让优等生参与编题，指导后进生解答；优等生选做提高题，留有更多时间去进行数学阅读，丰富数学综合素养，使之真正"吃得饱"，并不断确立更高远的学习目标，使其"百尺竿头更进一步"。
对于学困生，可以安排在两个阶段，一是补课前，把下一课内容预先温习提示，让其对新复习课心中有底，增强他们学习数学的勇气；二是补课后，把现学的内容再次疏导，查原因，针对性点拨、强化巩固，结合作业降低要求，"因材施教"、"分层施教"。对有所进步的学生要及时的予以表扬，提高他们学好数学的自信心。
【关键词】数学习题 有效设计
【中图分类号】G622【文献标识码】A【文章编号】1006－9682（2011）03－0165－03
“练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段。”随着课程改革的不断深入，有效教学理念逐渐深入教育工作者的心中。教师们都能自觉地依据新课程的理念精心设计新授内容的每个环节，使学生学得轻松、有趣、有效。但值得关注的是，教师们对于数学习题的设计还存在着“逮到题目就做”、“题海战”、“以量取质”的现象。几乎所有教师都有海量的习题“储备”，几乎可以“信手拈来”。也正是因此，导致了教师习题选择随意性和学生练习的低效甚至无效。在教学中如何对习题进行加工、变化、提炼，拓展学生的思维广度和深度，构建科学、高效的课堂教学，从而真正达到“轻负高质”？
一、习题设计体现趣味
心理学家布鲁纳说过：“学习的最好刺激，就是对学习材料的兴趣。”《数学课程标准》也指出：“从学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事物，以激发学生的学习兴趣与动机……”。因此，这就要求教师在设计习题时，要把题型、格式推陈出新，以唤起学生的新奇感，并设计具有一定趣味性和挑战性的习题，使学生一看到作业就来劲，跃跃欲试，寓学于乐。
如在教学“数的整除”单元复习时，可设计让学生猜猜老师电话号码的习题，猜出后拨个电话给老师。
（ ）既不是质数又不是合数。
（ ）3的最小公倍数。
（ ）比所有自然数的公约数少1的数。
（ ）一位数中最大的合数。
（ ）一位数中最大的偶数。
（ ）最小的质数。
（ ）最小的合数。
（ ）一位数中最大的奇数。
（ ）5的最大约数。
（ ）既是质数又是偶数。
（ ）一位数中最大的质数。
学生根据这些条件猜出号码后，拨通电话果然是老师，学生觉得十分有趣。
有趣的猜谜活动吸引了学生，“吊”起了学生的学习胃口，让学生“吃”得津津有味，这样的作业学生才乐做、爱做。
又如，一年级的10以内数的加减法。可以设计：
说中练。习题设计不拘泥于书面作业的形式，应引导学生运用语言展开自己的思维过程。可以请家长协助，进行听算练习，可以和家长对口令，也可以编一些数学题给家长听……这样，不仅使学生巩固了新知，为学生提供了展示自我的机会，培养了学生的语言表达能力，而且让学生体验数学就在我们的身边，感受到数学与生活的联系。也是家长能更好的了解孩子的学习情况。
玩中练。好玩是每个孩子的天性，也是孩子生活的组成部分。如果老师把习题设计成“玩”，让孩子在玩中练，练中玩，孩子会感受到做作业是一种很开心的事。可以用数字卡片两人一起玩，如：8的组成，我出数字卡片3，你出几？对了卡片就归谁，最后谁的卡片多谁就是胜利者；可以和同学、家长做拍手游戏，如7的组成，一边拍手一边念：你拍1来我拍6，1和6组成7，你拍2来我拍5，2和5组成7……；还可以玩数字卡片（或扑克牌），玩法：每人拿出一张卡片，先比一比大小，再算加减，谁做对可以得到一张牌，最后谁多谁就胜。
画中练。一年级的孩子特别喜欢画画，根据孩子的这一特点，经常性的布置一些画画作业，将数学、语文、美术等学科融为一体，学生的兴趣浓厚。如画鲜花配绿叶：叶子可以写数的组成，花瓣可以写等于这个数的加法和减法算式，每个花瓣都是孩子的想象空间。然后比一比谁画的鲜花最美，谁画的花瓣最多。这既把所学的知识进行了整理和复习，又可以培养学生的口算、想象和思维能力。
二、习题设计强调分层
数学的习题浩如烟海，如何从“题海”中解放出来，重要的一条就是挖掘习题的潜在内容，设计要有层次，步步登高，循序渐进。一般分为三个层次：一是模仿性题目，练习基本的、单项的、带有模仿性的题目；二是再造性题目，练习一些新旧知识混合在一起的题目；三是拓展性题目，练习个别带有灵活性、深化型的题目。引导学生向更广的范围、更深层次去联想，纵横引伸，把所学知识在更大范围内进行归纳、演变，促进知识融会贯通、解题能力和思维能力得到提高、解题方法和策略的形成。
在教学《分数的基本性质》时，我带领学生用画一画、比一比、找一找其他相等的分数，通过再次动手操作进一步感知相等的分数。
【深入】
每人动手画一画，比较 、 、 的大小。
用这组图找一找其他相等的分数。
不借助图，再想两个与 、 、 大小相等的分数。
问：分子、分母都不同，分数的大小一样，为什么？
【拓展】
送信游戏，设计了四个信箱：与 相等的分数、与 相等的
分数、与 相等的分数、与 相等的分数。
学生任选一个信箱，按要求在信封上写一个相应的分数，并将它投入该信箱中，所投的信上的分数不能重复……
通过阶梯式的设计，不仅分散了难点，还使学生将所学的知识融会贯通、学习兴趣高涨。便于提高学生思维的灵活性和创新性、培养学生思维的多样性与广阔性，从而发展学生、勇于探索、勇于创新的发散思维能力。
如教学《平行四边形的面积》，在练习设计时，我就根据本课的教学目标以及重点和难点进行分层次的习题设计：
第一层次：模仿性习题设计。
我会计算：
设计意图：借助基本变式图形的面积计算达到帮助学生牢固掌握面积计算公式，并熟练应用面积计算公式解决简单的平行四边形面积计算的目的。
第二层次：再造性习题设计。
你能找到面积相等的平行四边形？
我能解决：（单位：厘米）
设计意图：借助找面积相等的平行四边形感悟等底等高的平行四边形面积相等的本质特征，打破一定要利用公式求图形面积的思维定势。
第三层次：拓展性习题设计。
求出这个图形的面积。
设计意图：学生可以分别求出两个平行四边形的面积，相加后就是这个组合图形的面积。还可以通过割补、变化移动等方式看成一个大长方形，拓展了学生的思路，提升学生思维的灵活性和创新性。
根据不同的学习内容以及学生的学习差异，设计不同类型的习题，不仅可以真正起到巩固新知的目的，而且还可以进一步拓展学生的思维，提升学生思维的灵活性。
三、习题设计体现联系
在复习课时，要让知识以网络的形式进行呈现，让学生体会知识的连贯性，所以要选择有针对性、典型性、启发性和系统性的问题，引导学生进行练习，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。如教学六年级《平面图形周长和面积的复习》时，我紧紧抓住“周长”和“面积”，通过算一算、比一比、判一判等形式，让学生融会贯通。
1．比一比
两个图形：比较一下，你有什么发现？
两个图形组合，面积不变，周长有变化。
2．判一判
（1）把一个长方形的木框拉成一个平行四边形，面积和周长都不变。（ ）
通过长方形木框拉动：长方形演变到平行四边形的过程，让学生发现面积变化，周长不变。
（2）等底等高的平行四边形，面积相等，周长也相等。（ ）
几何画板演示：拖动平行四边形，面积始终不变，周长变化。长方形周长最短，越倾斜，周长越长。
3．算一算
练习时，通过题组的形式呈现练习内容并进行一题多解或一题多变，做到举一反三，学生在练习中不断受到启发，在练习中进一步形成了知识结构。在对比练习中，帮助沟通与辩析，在综合发展练习中，提高学生的解题能力。
例如：我在教学《平面图形的周长和面积总复习》时，复习最后，我设计了一道实践题：老师家里最近在装修房子，为了体现一下数学平面图形的简洁美，设计了一道门（包含了本课学习的有关平面图形），要给平行四边形、三角形、圆形的周围装上三合板条，请同学们帮老师算一算，要准备多少三合板条呢？……经过同学们的帮助，门做好了，除了玻璃、门锁部分，其余都要涂上棕色油漆，涂油漆部分的面积是多少呢？在此过程中帮助学生学会用数学的眼光观察生活，培养学生把数学应用于生活的能力。
四、习题设计突出开放
在数学教学中，只要把封闭式习题加以改良，就会变成更有趣、富有挑战性的开放式的习题，使学生有机会运用一系列思考策略进行活动，以巩固和实践相关的知识和技能，发展数学思维能力，使他们由模仿走向创新。
传统的练习设计，条件是所求问题的充要条件，容易给学生造成思维的定势。当遇到条件不足或条件有余时，感到束手无策或疑惑不解，设计开放的习题可以提高学生分析问题、解决问题的能力。
如有这样一道习题：“在一个等腰三角形中，顶角的度数是一个底角度数的2倍，求这个三角形三个内角的度数。”
我把它改编为：“在一个等腰三角形中，一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，求这个三角形三个内角的度数。”
在改编的习题中，可以是顶角的度数是底角的2倍，也可以是底角的度数是顶角的2倍，因此，它的条件是开放性的。其答案分别为：90°、45°、45°和72°、72°、36°。
又如，有两个同样的长方形，长都是4厘米，宽都是2厘米。拼成一个正方形，拼成的正方形的周长是多少？
我改编为：有两个同样的长方形，长都是4厘米，宽都是2厘米。任意拼成一个图形，拼成的图形的周长是多少？
这样学生的思维打开了，解题的方法就多样了，答案也就不唯一了。
总之，习题进行再设计后，练习量和以前比减少了，远离了“题海战术”。从长远看，“习题有效设计”为学生提供自主探究的机会，培养了他们数学应用的意识，令学生学习更主动、更有效，是从简单的“学会”到广泛的“会学”、“乐学”的“捷径”指导，从根本上减轻了学生的学业负担，提高了学习效率。
参考文献
1 ［美］加里•D.鲍里奇.有效教学方法（第四版）（易东平译）［M］.南京：江苏教育出版社，2002
2 斯苗儿.小学数学课堂教学案例透视［M］.北京：人民教育出版社，2003
关键词：空间观念；观察；操作；探索交流
在图形与几何的教学中，教师要注重培养学生的空间观念和空间想象力。空间观念是创新精神所需的基本要素，没有空间观念，几乎谈不上任何创造发明。因为许多创造发明都是以实物形态呈现的，作为设计者首先要从自己的想象出发，画出设计图，然后根据设计图做出模型，再根据模型修改设计，直到完善成型。这是一个充满想象力和创造性的探究过程，这个过程也是人的思维不断在二维和三维之间转换、利用直观进行思考的过程，空间观念在这个过程中起着至关重要的作用。
一、通过观察形成空间观念
心理学家告诉我们：感知觉是人类认识世界的第一通道；小学生的思维和认识具有很大程度的具体形象性，他们对图形的认识，在一定上主要依赖于对物体、图形的观察。我们在进行空间与图形的内容教学时，应尽可能提供模型教具，让学生进行观察，通过看一看、摸一摸、比一比等一系列活动，形成对物体的表象，这也是学生形成空间观念的基础。如进行“观察物体”这一课的教学，让学生从正面、侧面和上面观察由4个小正方体搭成的立体图形。如果教学中没有模型，只是用一张立体图画让学生进行观察，很多学生可能分不清哪些面是侧面、上面和正面，特别是对侧面的视图是很难判断的，甚至因为立体图角度的变化，马上模糊了上面和正面的视图。实践表明，如果提供足够的模型正方体，让学生根据立体图画的物体摆一摆，再进行观察、感悟、比较、记忆，能让学生内在的形成对视图的表象。同时，教师要引导学生把从正面、侧面和上面观察到的视图，用正方形摆一摆或画一画，再进行观察。小学生的空间观念是比较薄弱的，要掌握立体图，还是要转化到平面图上的。让学生从不同角度，用不同的方式感知和认识物体，这样才能正确感知、判断立体图从正面、侧面和上面观察到的视图，逐步帮助学生建立、形成空间观念。
二、在动手操作中形成空间观念
小学生的思维处在形象思维向抽象思维过渡阶段，但仍以形象思维为主。因此，动手操作在学生形成空间观念的过程中有着极其重要的作用。心理学研究证明：视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与操作，有利于空间观念的形成和巩固。动手操作能让学生感受知识形成的过程，使学生通过动作形成表象，再通过动作制约改造表象，并逐步正确地概括表象，使头脑中知识的理解、记忆不断加深，从而发展学生的空间观念，培养学生空间想象能力和思维能力。
在教学中，我感觉学生在学习了求长方形的面积公式后，很容易与求周长的公式混淆。分析原因，我认为可能是没有足够理解面积、周长的意义。如果完全建立了对周长、面积的空间观念后，这个问题就不会出现了。在教学周长时，可以让学生说说对周长的理解，再找找身边的平面图形的周长，形成周长的空间观念。而求长方形的周长时，可以让学生量课本、作业本、课桌四边的长，再计算出周长。开始，学生可能会量四条边的长，量着量着，他们会发现，只要量相邻两条边的长就能计算出周长了。周长就是相邻两条边和的2倍。教学面积时，可以让学生用单位面积的小正方形摆不同的长方形，再看看长是多少，宽是多少，面积是多少，怎么得到面积的，与长和宽的关系是什么。这样，学生形成了周长和面积的空间观念之后，计算时就不会再出现混用计算公式的现象了。
三、在探索交流中形成空间观念
交流是学生内部思考外化的过程。教学过程中，我们要把直观图形和语言表述结合起来，使学生能用准确、简明、通俗的语言描述物体及图形的特征，形成空间观念。如在教学“长方形和正方形的特征”时，为了让学生自主探索发现长方形的特征，可以让学生动手量一量、折一折、比一比。教学进行到这里，需要学生交流自己的发现：长方形的对边相等，四个角都是直角。通过方法的迁移，学生可以自主探索正方形的特征，交流结果：正方形的每条边都相等，四个角都是直角。在发现了正方形和长方形的特征之后，可以引导学生从边和角两方面比较长方形和正方形的异同，再进行交流：相同点是都有四条边，对边都相等，四个角都是直角；不同点是长方形只有对边相等，正方形每条边都相等。这样既培养了有条理思维的习惯，又加深了他们对概念的理解，形成了对长方形和正方形的空间观念。学生在用语言表述的过程中，必须注意分清图形的本质特征和非本质特征，特别要注意不漏掉本质属性。
“面积”这个概念具有较强的抽象性，学生理解起来会有一定的难度。之前听过一节《面积的认识》，课堂中老师通过各种活动让学生感受面积、认识面积。活动非常丰富，氛围也很轻松。可学生真的“学”到了吗？这节课在教学认识平面图形的面积时，老师要求学生分别涂出长方形和正方形的面积，在涂的过程中有一个学生突然问：“老师，这个要不要涂满？”其实这个学生真的是在思考，可当时老师可能没听到，这个声音就这样盖过去了。学生并没有真正地理解什么是“面”。后来在这节课中，大部分学生出现了三次将周长和面积概念搞混的情况。
听了这节课，我个人觉得那个学生之所以问“要不要涂满”，说明他对面的概念还很模糊。那怎样让学生自主感受面、认识面积呢？对于认识面积，应该有这样几个步骤：面的认识面的大小面积（物体表面的面积和平面图形的面积），故认识面积的基础还是对“面”的认识。
如何让学生真正地充分地感受面呢？最直观的是去“摸”，通过感官触摸初步感受面。要让“学”在课堂上真发生，教师就要真正地“改”变我们的课堂。我在教学这一课时，课前通过前置性作业，要求学生在家里摸一摸身边物体的面，说说感受。课前这样的动手操作，能让每个学生有充分的时间去感受，也能促使一些学生进行深一步的思考，是学生主动学习的过程。从收上来的作业看，大部分学生摸的都是平面，感觉有的面粗糙、有的面光滑。但是少数几个学生写了几个这样的疑问：“为什么面都是平平的？面可以是弯曲的吗？球有面吗？”学生的求知欲被真正地激发出来了。首先面有“平面”和“曲面”，这是对面的宏观的整体认识。于是我在课堂上就将这些问题抛给了学生，让他们仔细回忆一下自己的生活经验来判断，很快学生举例说明水杯的侧面就是弯弯的，继而也肯定了球是有面的，面是可以弯曲的。通过学生摸感受质疑反思再次感受验证，这一系列的活动让学生对面有了一个全面的了解，他们能真正地“学”起来了。
但是面又分物体的表面和平面图形的表面，当然感知物体的面更容易。可是有的学生在摸物体表面的时候，只是用手指一划，他对哪些部分是“面”没有一个完整的概念。那如何让学生直观感受面呢？于是课前我又设计了“将你摸的面印到白纸上的活动”。学生的想法还是很多的，有的把橡皮表面涂上颜料，再印到白纸上；有的把1元硬币放到白纸下面，用铅笔在纸上涂；有的把橡皮按着白纸上，描出边线，再把里面的部分涂上颜色……课堂上我请了一位学生把橡皮涂上色，再印到纸上。观察这个过程后，我问学生：“为什么要把颜料涂满橡皮？”学生个个抢着说：“这整个部分都是它的面。”再请一个学生先画边线，再涂色。紧接着问学生：“这个边线里面为什么涂满？”学生终于意识到这个边线里面的整个部分都是它的面积。通过操作观察反思形成表象的过程，让学生充分意识到面到底指哪个部分。
对于“面”的教学，我主要通过课前的“摸一摸”“涂一涂”两个操作活动让学生充分感知，课堂上让学生演示，适时追问，整个过程以学生为主，让教，真改变；学，真发生。
在学生充分感知面的基础上，课堂上让学生全面感知物体的面，要求学生指一指黑板的面和数学书封面。再让学生去观察教室里物体的表面，说一说有什么感受。这里需要让学生充分地说一说，哪个物体面大，哪个物体面小。学生充分感知了物体的面有大有小后，再给出“面的概念”――黑板面的大小是黑板面的面积。这句话比较拗口，需要让学生仔细读一读。理解完后，紧接着追问：“黑板的面积指什么？”这时学生就知道黑板的面积指的是整个黑板面的大小了。对于“面的大小”是以观察身边物体的面为主，让学生确实感觉到面的大小，这也是对“面”的认识的提升。
在充分认识了物体“面”的基础上，感受了物体面的大小，进而知道了物体“面积”的含义。但仅仅知道物体“面积”的含义还不完整，还需要引导学生认识平面图形的面积。之后的教学中，主要通过涂正方形、长方形的面积，感受平面图形的面积，再通过观察、重叠、数方格比较面积大小。
整个教学面积的过程：认识物体面积再认识平面图形的面积比较面积大小，整个过程学生都能亲手操作，直观感受，从活动中获得“面积的概念”。
整节课通过前置性学习的设计，让学生充分感知面，激发学生的学习兴趣；课中给予充分的时间展示学生的前置学习作品，鼓励学生小组合作交流，学生自主探索，自我建构，最终形成对“面积”的认识，让“学”真发生！
【关键词】启迪 思维 本质
【教材分析】
思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映，它是认知的核心成分。数学是思维的体操，让学生在掌握数学知识的同时学会思考，促进其思维发展是数学教学的灵魂，也是每一位数学教师所应追寻的价值取向。
人教版数学五年级上册第六单元练习十九，是一节W习了“平行四边形的面积计算公式”后的专项练习课。教材中除了紧接新授课安排的一些简单计算和解决问题（1～5题）之外，有一半以上的篇幅（6～11题）涉及对平行四边形面积的进一步理解以及在理解的基础上解决问题，其中第6、7、8三道题（如图2～图4）主要涉及平行四边形面积的决定要素――底和高；而第5题（如图1），更像把平行四边形放在了一个坐标系中进行研究。细细分析这些题目，它们的最大特点是通过对面积的计算来理解平行四边形的面积与其高和底的相关性，发展学生分析问题、思考问题的能力。
【教学实践】
怎样有效地利用这些题目，让学生通过解决问题，实现在认知和思维能力上得到进一步的发展？笔者抓住问题本质，以学生存在疑问的点为切入口，将题目进行有机整合，以便关注平行四边形面积的本质，启迪学生的数学思维。
一、在比较辨析中，进一步理解“高”与平行四边形面积的关系
平行四边形面积计算公式的推导主要是通过割补法来得出，而学生在新授课时容易把平行四边形的面积计算方法定位在“底×邻边”上。因此，“高”是决定平行四边形面积的其中一个因素，必须进一步加以理解。
课始，进行一些简单的基本练习之后，笔者抓住：“根据平行四边形易变形的特性，把它进行拉动，思考平行四边形的面积是否发生变化？”课件出示平行四边形的拉动过程，并将其中两个平行四边形作为研究对象，辅之以网格图（如图5），在引导学生作出判断并用自己的方法加以证明。很快，有的学生通过“整体剪拼”的方法，将平行四边形转化成长方形，并得出长方形的长相等、宽不同，因此面积不同；有的学生则通过计算，得出第一个平行四边形的面积为18cm2，第二个平行四边形的面积为12cm2，两者面积不同；有的学生则从平行四边形的面积计算公式出发，发现两个平行四边形底相同，高不同，第一个平行四边形的面积更大。
在此基础上，笔者出示图6两个平行四边形，让学生比较它们之间的面积大小。有了刚才的经验，学生很快得出结论，两个平行四边形的面积一样大，因为它们底和高一样。随后，把图6中右边的平行四边形移动到与左边图形的底重合（如图7），接着再出现一个平行四边形（如图8），进一步明确等底等高的平行四边形面积相等。
和高作为平行四边形的两个重要元素，决定了平行四边形的面积大小。当然，作为特殊的平行四边形，长方形的面积由它的长和宽决定。这一点学生也在原有的认知基础上，有了更深的体会。之所以将这两个问题进行整合，是因为它们之中一组是等底等高的平行四边形，另一组是等底但不等高的平行四边形。在处理教材时，我们需看到它们的不同之处，更应看到它们背后的本质问题，即在底相等的情况下，高决定了平行四边形的面积大小。
二、在动静结合中，进一步理解“同底”条件下平行四边形的面积关系
在完成第一个环节后，笔者继续利用刚才的素材进行提问：第一组的平行四边形拉动时，什么时候面积最大？为什么？学生通过观察和思考，以及对平行四边形面积计算公式的理解，很快发现在底不变的情况下，高最大时面积也最大。当拉成长方形时，高也就是长方形的宽是最大的，此时，平行四边形就是长方形，面积最大。笔者继续追问：有没有面积最小的时候？学生自然顺着前面的思路回答：有，当高为0的时候，平行四边形面积最小。笔者没有急于下结论，而是问：再想想，如果高为0，这个平行四边形会怎样？此时，出现了不同的声音：
生1：当高是0时，平行四边形就变成了一条线段，它的面积最小。
生2：高不能是0，如果高是0，那平行四边形就没有了。
看到学生已经隐约感受到了高的取值范围，笔者表示赞同第二种意见：平行四边形的高无限接近0，因此它的面积也无限接近0，但不会等于0，否则就不能称之为平行四边形了。
学生在新授课中通过剪拼等方法得出平行四边形的面积计算公式后，容易将之它视为孤立的、静态的规则。因此设计这样一个环节，使静态化计算面积的方法动起来，并进一步体会高的变化引起的面积变化。另一方面，也让学生适当地体验变量的取值范围，初步渗透极限思想。
三、在图形变化中，进一步理解“底和高”两个维度与面积之间的关系
紧接着，笔者趁热打铁，先后出示了以下内容（如图9～图10），使学生加深对平行四边形中底和高的作用的认识。
学生通过两组图形的观察、思考和交流，进一步加深了对平行四边形的面积大小由底和高决定的理解。
在观察两组图形时，学生发表了如下意见：
生1：（图9）竖的那一组平行四边形底不变，高在变，面积也在变，它们的面积变大了；横的那一组图形，底在变长，高不变，面积也变大了。
生2：（图10）平行四边形的底和高都在变化，它的面积变化更大了。
教师追问：看来，是谁决定了平行四边形的面积大小？
生：平行四边形的底和高决定了平行四边形的面积大小。
师：那长方形呢？
生：长方形的长和宽。
师：长方形的长和宽与平行四边形的底和高有什么相同之处？
生：它们都是朝着横和竖两个方向的。
在此基础上，教师出示面积单位cm2、dm2、m2、km2，请学生说说对这些单位的理解。一开始学生对这些面积单位没有特别的感受，于是，笔者提醒学生应与刚才的发现相结合，在教师的提示下，学生逐渐有所感悟。
生1：这些单位都有平方，单位右上角都有一个“2”。
生2：这些单位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。
生3：这些单位表示（图形的）两个方向（维度）相乘。
随后，笔者继续设疑（出示图11），要求计算出三个平行四边形A、B、C的面积，并分析比较底和高的变化与面积变化的关系。
生1：A的面积是6×5=30，B的面积是12×10=120，C的面积是24×20=480。
生2：我发现图形A与图形B之间，底扩大2倍，高扩大2倍，而面积扩大了4倍。
生3：图形B与图形C之间，底扩大2倍，高扩大2倍，面积就扩大了4倍。
生4：图形A与图形C之间，底扩大4倍，高扩大4倍，面积是30和480，面积扩大了16倍。
生5：这些图形的底与高和面积之间的倍数关系是底扩大的倍数乘高扩大的倍数，就是面积U大的倍数。
这一环节是对前面两个环节的整合与发展，通过图形之间的整体变化让学生进一步理解平行四边形的底和高与面积的关系，帮助学生通过迁移、拓展，从整体的视野来加深对两种平面图形的面积及其计算方法的认识，同时在学习与思考的过程中，理解底和高的变化与面积变化之间的关系，为后续学习三角形、梯形等平面图形的面积打下认知基础。
从二维的角度去分析面积及面积的计量单位，有助于帮助学生将图形、面积计算公式、面积单位及面积单位间的进率有机统一起来，形成整体，便于理解。学生对面积的二维性质的理解，也有助于为后续更好地理解立体图形的相关内容做准备。
【教学反思】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“通过数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。体会数学知识之间等的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。”这为我们的数学教学指明了方向：在重视数学基础知识和基本技能的同时，更应关注数学的基本思想和基本活动经验，为学生的后续发展奠定基础。当教材中出现能够发展学生数学思维、拓宽学生视野的素材时，作为数学教师应有敏锐的嗅觉，及时捕捉住这些有价值的学习素材。
上述三个环节的学习与研究，结构上环环相扣，内容上层层深入，紧紧抓住平行四边形易变形的特性，从底不变、高的变化来分析平行四边形的面积变化；再到等底等高面积相等，然后同底条件下研究什么情况下面积最大，什么情况下面积会越来越小；最后研究底和高均发生变化与面积变化之间的联系。在掌握数学基础知识、发展数学基本技能的同时，学生的思维得到了充分发展。学生分析问题的角度慢慢从一个维度逐步向两个维度推进。
【中图分类号】 G625.3 【文献标识码】 C
【文章编号】 1004―0463（2016）09―0104―01
圆面积”教学中，主要是教会学生通过操作，来对圆面积的计算方法进行深入的了解，要求学生明确对平面图形的认识和测量，采用做实验的方法来进行圆面积的推测，运用圆面积计算公式来解决实际生活中的问题。通过这样的形式，帮助学生理清解题的思路，有助于教师能够更好地进行“圆面积”教学的开展。
一、学生不能充分掌握“圆面积”教学方法的原因
1.对公式推理理解不深刻
在计算圆面积中，需要学生掌握计算的公式，根据公式进行推理，进而计算出圆面积。但是在实际教学中，教师对圆面积公式的讲解情况不清晰，不能对学生做好系统的分析，导致大多数学生不能对该公式充分理解，一旦对题型的意思发生曲解，学生在解题过程中，就会表现出束手无策。例如，数字36，学生能够很快地知道正方形的边长的6，正方形的边长可以作为圆形的半径，学生可以利用圆的面积公式S=πr2能够快速地求出圆的面积，但是如果把36改成20，学生就会表现得无从下手，学生在求圆的面积时，总是先想到求出圆的半径，再利用公式求出圆的面积。教师在教学中忽视了对学生讲述圆的面积时r2的π倍，其实圆的面积与r2有着最直接的关系。
2.缺少“圆面积”探究经验
在小学数学学习圆的面积时，教师没有充分考虑到小学生的认知能力，认为小学生只需掌握基本的公式，不需要进行漫长的探究过程。所以在圆面积推导过程中，往往忽视对学生圆面积探究的过程，导致学生在解题过程中，不能充分理解圆面积公式。
3.缺乏运用和练习
教师在进行圆面积讲解中，把主要的精力放在了公式套用的计算上，学生往往只能采用观察和推理的手段来进行计算公式的推导，在练习中学生缺少了对公式的推导，在运用过程中，必然就会缺少对推导过程的理解，学生只能机械地通过套用公式的形式进行计算，不利于学生对公式进行深入的理解，导致学生缺乏运用和练习。
二、促进小学数学“圆面积”教学方法有效实施的对策
1.重视情境操作
教师在教学过程中，应该加深对操作情境的理解，使学生加深对几何图形周长和面积的理解程度，对图形的实际意义和变化的本质进行深刻的理解。首先，教师通过描绘的形式，进行圆面积概念的理解。教师在实际教学中，导入了4个大小不一的圆形，学生可以运用笔来描画或者用线绕取的方式来进行圆面积的计算。用线绕圆形一周能够充分表现圆的周长和圆的面积，让学生再次感受圆面积和周长的区别。其次，通过比较和感悟的形式来进行圆面积大小变化的比较。在进行圆面积计算的过程中，教师仍然运用导入的方式，来对圆面积进行观察和实验的形式，进而引发学生的深入思考，提高学生的思维能力。
2.运用直观的方法，探究公式的本质
在探究圆面积计算的过程中，教师可以采用猜想和感知的形式进行圆面积的求取。教师在教学设计中，出示了三个大小不一样的圆形和正方形，让学生来进行图形面积的猜测。学生在解题过程中，可以采用计算和拼接的方式，对几何图形的面积进行探讨，让学生明确面积之间的关系，引发学生的猜想。也可以通过估测和感知的形式进行圆面积的求取。教师可以在课件上出示正方形，以正方形的顶点作为圆心，边长作为半径，在正方形上画一个圆，来进行圆面积的估测。通过这一过程，能够使学生更充分地了解到圆面积公式的推理过程。
3.运用多维的解题方式，进行探索
连续几年毕业班的教学生涯，与面对一样困惑的同事们进行研讨，我们做了一些的尝试，即以复习课为载体培养学生自主整理知识、查漏补缺与质疑问难的能力，并形成持续探究的热情。下文就简要阐述我们的一些实践尝试与思考。
一、课前问题驱动，从被动等待走向自主整理
在传统的课堂上，教师的行为是"带着知识走向学生"；而在自主性学习的课堂上，教师的行为是"带着学生走向知识"，即主体性教育的着力点，就在于对学生进行独立性和自主性的培养。因而在数学课堂中我们要首要之事是开放观念，信任学生，都要赋予学生更多的自利。因此复习课前，我们都是充分激发学生学习主动性，以问题驱动，引导学生主动复习。
例如在复习"平面图形的周长和面积"一课时，结合课本"整理与反思"部分的相关问题，适当进行整合与扩充，教者推出了一下课前思考的问题：
1.什么是平面图形的周长和面积？
2.大家已经学过哪些平面图形的周长和面积计算公式？
这些计算公式是怎么推导出来的？推导方法上有什么共同点？
3.你还知道哪些与求平面图形的周长或面积相关的知识或规律？
4. 你能整理易错题或其它问题来向大家挑战吗？
分析上述问题，可以发现前面两问是将课本上梳理知识体系的部分进行了整合，有相关概念的复习与基本计算方法的回顾，也有一些思想方法与能力凸显过程性内容的沟通。同时后两题还增添了查漏补缺、质疑问难方面的要求。初始阶段学生还有些困难或不适应，但随着时间的推移，学生主动思考的积极性明显增强。正如教育心理学所述：学习目标看作是"老师交给的任务"还是认同为"自己的学习需求"，对于学习者能否真正开展自主性学习过程是很关键的一步。这样的尝试，彻底改变了以往教师一味发问学生等待应答的局面，更凸显了教者对学生的信任，激发了学生学习探究的原动力。
二、课中走上讲台，从单一聆听走向主动思辨
分析一些不太满意的复习课，我们发现主要有两种现象：要么就是教师讲个不停，因为要复习的知识点实在太多，等到要让学生做题时，下课铃也快响了；要么就是干脆一节课都做题，以题海战术来让学生惊心（那么多那么难的抱怨），让自己放心（好像类型都点到就完成任务了）。事实上让学生走上讲台岂不是一种新的解放？
1. 展示知识框架，比较鉴别促内化
有了学生的课前整理，课堂伊始，很自然组织学生根据复习问题交流所整理的知识框架，探讨存在的疑问或自己收集后或创作的一些习题。一般首先汇报基本概念与知识体系的梳理方面的内容。学生中生成的差异性资源不仅让师生眼前一亮，也充分凸显了资源、智慧的相互碰撞与分享互补。请看下面两例：
在小组交流后的集体交流，呈现在我们眼前就是这样表格式或流程图式等比较多元化的框架作品。左图知识点特别完整清晰，甚至有了自己的其它补充。右图（虽是基本复制了课本，但也是一种学习）突出了"转化"这一思想方法及知识发展的线索。当学生走上讲台慷慨陈述时显得很自信，因为他们亲自体验了整理的过程，特有成就感。他们的整理不仅让同学眼前一亮，更让同学在比较鉴别、修正完善中自主地进行了知识的整体建构。
2. 互解自出习题，主动评价促思维
教师不能低估学生的能力，事实上时常有学生来质疑课本乃至一些练习上的说法有误，仔细推敲还真是有理有据。所以让他们收集或出些习题，自是难不倒他们。当我们放开信任胸怀、提供交流空间，把提问解问与评价权交还学生，会发现有很多惊喜等着你，下面不妨例举一二。
【例一】"（1）等底等高的三角形面积是平行四边形的一半。 （ ）" "（2）如果三角形面积是平行四边形面积的一半，它们一定等底等高。 （ ）"
【过程简述】辨析题（1）大家都意见一致，也很会阐述理由，可是辨析题（2）出现了冷场，因为已知底与高的关系推理面积关系容易，由面积关系逆推底与高的关系却有难度，且学生对部分知识难点已有些遗忘。虽有同学基于以往经验很机智地回答："有的话可以正说，但不一定反说也对"，但还有学生有些茫然。在同学期待中出题者自述理由："就算面积有一半的关系，但形状可以变的"。仍未得到一致信服的声音。正在大家颇感为难静思默想之际，有位王同学跳出来说："我想到办法了，我想举个例子，比如三角形底3厘米、高4厘米，面积是6平方厘米，而平行四边形面积就是12，那它可以是底3厘米、高4厘米，也可以是底2厘米、高6厘米，所以这句话是错的。"此刻出题学生露出由衷的赞赏："我也没想好怎么说服大家，你回答得太好了。确实有些时候遇到难以解决的问题，举例法也是一个非常好的方法！"
【例二】
【过程简述】当学生展示题（1）时，相当多同学都能灵活变通，将正方形对角线轻易变换角度，转化为已知圆的半径，直接口算出了面积。此刻有张同学站了起来："我这儿的图有点相似，圆和正方形结合的，不过我的题可要动动脑筋呢，我也想来考考大家"。虽只有部分同学能解答，但之后出题的张同学评价值得推敲："解决问题时我们要学会换个角度思考，比如题（2）正方形的边长就是圆的半径，而我们不会求，但正方形的面积就是边长的平方也就是半径的平方，所以不一定只有知道半径才能求面积。记得以前老师曾说过的化未知为已知，这也是一种转化的方法。"
"始终要相信孩子，他们不知道在什么时候会给你一个惊喜。"确实学生的自出题把平时易混淆的概念或错误及挑战性的问题适时地呈现出来，在安全和谐的氛围中平等地对话互动，既检验了学生知识掌握水平与问题解决能力，也激活了学生的思维，提升了主动探究思辨的热情。更难能可贵的是，学生的互相评价不仅有具体思路的概括，更有思想方法的提升，此刻除了赞叹又何须老师画蛇添足的重复评价呢！
三、课后持续分享，从独善其身走向互助共进
课堂上交流了部分整理作品，互解了部分自出题。还有很多同学因时间的限制有机会交流展示，学生很不甘，教师也很遗憾。如何让更多的学生受益呢？我们的主张是将课堂复习持续延伸至课后。让大家一起分享，一起体验自主复习的成就感。
1. 汇集习题自主出卷
学生整理习题各有特色，有概念辨析类，有基础运用类的，也有综合运用思考挑战类的。课堂未及全部展示并互相解答完成的，教师提出更高要求：请组长与同伴一起商讨将组内自出题（按复习专题）分类整理，做成一张综合复习卷，老师会选择较好的一份全班练一练。虽然有些题是学生收集而非自己创编的，但收集择优何尝不是自主学习能力的体现。之后的评卷，老师即时表扬这是哪组同学出的基础题，这又是哪组同学出的挑战题，学生相当自豪，有效调动了学生的积极性。
2. 自主评比共享精华
学生整理的知识框架也是各有特色。为分享不同整理特色，以取长补短共同提高，某一阶段后，我们会把学生自认为整理最为满意的作品编上号码张贴于班级"分享园"，让学生自主投票，选出优秀作品分评一、二、三等奖。从概念流程图、表格汇集到图文列举等真是精彩纷呈。学生自主评品中，不仅分享到了不同风格的整理方法，也不知不觉中严苛了自己后续复习整理的要求，自主复习从外推走向内需。
3. 数字上传丰富资源
