时间：2023-05-30 08:53:57
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学符号，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数学符号按一定的规则组织起来,就成为数学思维活动的物质载体。数学符号的载体功能大致表现于以下三个方面:
1.表示一般规律
数学符号是抽象思维的产物,它可以表示一般的数量关系及变化规律。
如(a,b):(1)表示平面直角坐标系中点的坐标,a为横坐标,b为纵坐标;
(2)表示实数开区间;
(3)表示a,b二数的最大公约数。
符号Δ:在代数中表示一元二次方程的判别式;
在平面解析几何中Δ=b2-4ac表示二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的判别式。根据Δ的值为负为正为零,直接判定是椭圆,双曲线或抛物线的曲线方程。
2.建立数学模型
面对一个符号化的数学问题,例如我们熟悉的方程,函数的表达式等等我们要意识到它们可能是某种数学模型的符号表达式。因为任何符号形式,在某种意义上都是对存在的描述。寻找数学模型的思考过程,被一些学者称之为“火热的思考”。数学模型既能够揭示一个符号形式结构的问题背景,又能够具体,形象地解释这种冰冷的符号形式结构。一个抽象的,甚至枯燥乏味的符号化的数学问题,一旦通过想象联系上了具体,形象的数学模型,冰冷的符号问题一下子就变成一个熟悉、亲切、生动、丰富的具体问题。数学问题解答的一个关键就是:把所要解的问题不断转化成解决过的问题。因此,为符号化的数学问题寻找合适的模型是数学问题解决的一个隐含的要求。
例1.求不定方程x+y+z+t=8的正整数解的个数。
分析:学生一看到题,一般不能马上解出这道题,因为它需要分类讨论,很不简单。
如果我们把它想成投篮模型:可以解释x+y+z+t=8的正整数解个数的问题模型。把8个篮球投入4个球筐中,每个球筐都至少要投一个球,也就是相当于在这8个篮球的7个间隔中插入3个“+”号的状态,而在7个间隔中插入3个“+”号的方法个数是■=35。于是不定方程:x+y+z+t=8的正整数解的个数问题就轻松地给解出来了。
3.表达数学思维模式
数学中的基本原理以及某些典型的数学问题的解法是思维过程的思维反映块,相当于房屋建筑中的一些组合构件,它们适用于某一类特定问题的化归,因而是一些较低层次的具体的数学思维模式。
例如:求向量正交的条件,a=(1,1,2,4),b=(3,x,0,1)
解:a与b正交,有(a,b)=0
得到3+x+4=0
从而x=-7
这里(a,b)=0表示a与b正交,它借助变元把人们的运算经验表示为“相对稳定的思维模式”。
二、符号暗示信息
符号具有意指作用,能暗示信息,波里亚说“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。”
1.符号原始状态的暗示信息
例如:“■”的原始寓意是根号下非负;logax的原始寓意是x>0,a>0且a不等于1。
例2.设x是实数,y=x-1+x+1,下列四个结论:
(1)y没有最小值;
(2)只有一个x使y取到最小值;
(3)有有限多个(不止一个)x使y取到最小值;
(4)有无穷多个x使y取到最小值。
其中正确的是()
A.1 B.2 C.3 D.4
简析:在y=x-1+x+1中含有两个绝对值,而去绝对值的一般方法到高中才学习。故此题对于初中学生来说,很难直接去掉两个绝对值符号。其实,学生如果能注意回到数学符号“”的“原始状态”,则问题就会迎刃而解了。在数轴上,每个实数x对应一个点p(如图1),则x-1+x+1的“原始状态”是点p到-1、+1表示的点A、B的距离之和PA+PB,当点p在线段AB外时,PA+PB>AB=2;当点p在线段AB上时,PA+PB=AB=2,又线段AB上有无数个点,故有无数个点个x使y取到最小值2。
■
(如图1)
2.数学符号引申的信息
“数学符号带给人们的,远比人们带给它的多”,在数学题的条件或结论中往往含有一些对探求解题思路、正确完整求解有益的信息,发掘并利用这些信息对提高解题能力,培养思维的科学性和深刻性是大有裨益的,特别地,在题设条件里地位相同的未知量暗示着它们在解答中的地位也相同,这已成为一种原理――“不充足理由律”。根据这个原理在很多时候能使我们预测到问题的解或者发现解题的途径。
例3.设实数s、t分别满足19s2+99s+1=0,t2+99t+19=0,并且st≠1,求■的值。(1999年全国初中数学竞赛试题)
简析:题旨在考查学生灵活运用化归思想和韦达定理,可以说是一个较为简单的题目,但实际上是参赛学生失分率较高的一道题,这是因为题设中给出的地位相同的两个条件,而学生却认为是两个不同的方程,不能直接运用韦达定理,于是,思维受挫。事实上,下面的解题策略恰是“不充足理由”的一个具体运用)。
解:易见s、t均不为零(由条件st≠1所引申的信息)
故方程19s2+99s+1=0可以转化为■■+99■+19=0
这与方程t2+99t+19=0的对应系数相等
因此问题就转化为以t,■为根的一元二次方程为x2+99x+19=0
由韦达定理知t+■=-99,t×■=19
从而易得■=-5
三、数学符号可以约简思维,促进思维“机械化”
这里说的思维“机械化”是指缩减解题过程,使用符号的推演可以演示思维推演。
比如在数理逻辑中,概念、判断、推理、证明已全部符号化了。
例如:每个三角形内角和都等于180°,A是三角形,所以A的内角之和等于180°。
证:令P(X)表示“X是三角形”,Q(X)表示“X的内角和等于180°”
上述推理即为?坌X(PX)Q(X),P(A)Q(A)
①?坌X(PX)Q(X)
②P(A)Q(A)
③P(A)
④P(A)∧(P( A)Q(A))
⑤Q(A)
又如关于微积分的基本公式■f(x)dx=
F(b)-F(a)f(x)是a,b上连续函数,F(x)是f(x)的原函数),这个公式以简洁的符号揭示了定积分和不定积分这两个概念间的内在联系。本来人们计算定积分必须计算积分和的极限,现在有了这一般方法,极大的约简了思维。
参考文献
[1]刘云章主编.数学符号学概论[M].合肥:安徽教育出版社,1993.
[2]宁连华等.心智图象对问题解决的认知功能探析[J].中学数学杂志.曲阜:2002.
[3]汪正东.化归是一种创造性思维[J].北京:2000.
[4]A.D.亚历山人洛夫.数学它的内容.方法和意义[M].北京:科学出版社,2001.
［摘 要］符号意识主要指人们主动地、普遍地运用符号去表达研究的对象。对于学生来说，就是要完成从日常语言、数学语言、符号语言的转换。建立“符号意识”有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学教学中通过利用生活经验勾起符号意识、组织探究活动经历符号化过程、解决现实问题体悟符号价值、经历整理归类构建符号体系等，注重培养学生的数学符号意识，从而使学生的数学综合素养得以提升。
［关键词］符号意识 培养 数学素养
［中图分类号］ G623.5
［文献标识码］ A
［文章编号］ 1007-9068（2015）11-072
《数学课程标准（2012年版）》指出：符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。数学符号意识不仅在学生数学学习的过程中对数学世界的描述、规律揭示和概括、问题的解决具有重要的作用，而且还将作为数学素养的一种表现形式体现着学生的综合素养。学生数学符号意识的形成，将直接对其数学学习起到推动的作用。
因此，作为小学数学一线教师，努力研读课标理念并同时着力培养学生的数学符号意识，将是一件刻不容缓的事。那我们在教学中应怎样培养学生的数学符号意识呢？笔者现结合自己的实际教学，谈自己的一些做法。
一、利用生活经验，勾起符号意识
1．利用生活环境，及时渗透信息符号
学生数学符号意识的培养，是一个潜移默化、逐步发展的过程，重视学生的生活符号经验是这个过程的基础性工作。学生入学前积累的生活符号经验，将对学生今后数学符号意识的发展起着至关重要的作用。数学知识来源于生活实际，数学符号更是与日常生活紧密联系。在学生生活学习的任何一个角落，学校、家庭、社区、大街、广场、公园……无一不是被符号包围着。如，医院门口的标记，表示这里是耐克品牌的专卖店；等等。这些生活中的符号看似与数学符号沾不上边，而实际上对学生数学符号意识的培养起着启蒙的作用。学生在生活中，逐渐体会到符号与生活信息紧密相连，每一种符号都有与其相对应的信号、信息，这种对应的意识和替代思想就是数学符号意识的启蒙。如果我们能在学前将生活信息符号及早地进行渗透，那么学生在今后的数学学习过程中，主动地用数学符号表达数学信息的积极性将会大大提高。
2．挖掘生活经验，主动使用数学符号
学生生活符号的经验是学生用数学符号进行数学表达的基础和前提。然而，实际教学中，用符号表达数学信息似乎存在一个极大的难题。究其原因主要在于教师没能有意识地鼓励学生用符号表示的要求和习惯，这在低年级的课堂中尤为突出。一些最简单的数学符号，如“＋、－、＝、＞、＜”等的教学，教师认为没有必要去解释和探究，更没必要让学生自己去表达和创造。这对学生今后自觉地去运用数学符号造成了巨大的障碍。因此，挖掘学生生活符号经验，主动促其使用符号，成为教师在学生符号意识培养的整个道路上的一项不可忽视的教学理念和教学行为。如，教学“有余数除法”后，学生碰到这样一个题目：在公园里的湖边种树，每两棵柏树之间种上柳树和桃树，已知第一棵种的是柏树，那么第100棵种的是什么树？在课堂上解决这样的问题，让学生凭空在脑子里想像是有很大困难的。如果课堂上教师与学生只是口头交流，相当一部分的学生会不知所云。因此，在这里教师就应适时地引导学生用符号来表示这道题目的意思。于是笔者提问：你有什么办法把这道题目的意思画在纸上吗？学生经过思考，想出了好多精彩的策略，通过讨论大家觉得用“……”来表示种树的方法最简单明了。这样，学生再通过观察可以找出规律，解决问题。
二、组织探究活动，经历符号化过程
1．在具体情境中理解符号意义
小学生的年龄特征和认知特点决定了其思维形式是以形象思维为主，小学生在具体情境中学习起来会更加认真更加投入。因此，在数学符号的教学中，教师要有意识地为学生创设生动形象的课堂教学情境，利用诙谐幽默的课堂语言，以尽最大的可能帮助学生理解和掌握抽象的数学符号。如在教学“解方程”时，学生对43＋（ ）＝62这样的填括号的题目是比较熟练的。而要把这道题转变成43＋x＝62这样求未知数x的题目，学生在认识上需要转一个弯。那如何比较形象生动并自然地把括号变成x呢？笔者是这样引导的：这个（ ），中间分得那么开，两半隔得那么远，有一天，它们站累了想休息一会，于是它们就背靠背地靠在一起成了x（课件中演示括号两半向中间靠拢并交叉而过的背靠背的动画）。在括号两半背靠背休息的动画情境中，在教师富有童趣的课堂语言中，学生明白了x的意思实际上就是原来的括号，x的值就是原来括号里要填的数。学生在乐呵呵地看动画片的情境中，毫不费劲地深刻理解了x的意义。
2．在探究活动中经历符号化过程
《数学课程标准解读》指出：“无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号感的决定性因素。”还说：“学生的数学符号感不强，一个主要的原因是教师没有给学生提供机会经历‘从具体事物学生个性化的符号表示学会数学地表示’这一逐步符号化、形式化的过程。”这一段的论述充分说明了学生数学符号意识的培养需要一个学生参与学习探究活动的过程，不是教师“告诉式”地讲给学生听就能培养起来的。因此，在课堂上，如何组织引导学生从“个性化的符号表示”到“学会数学地表示”，经历这一符号化的过程，将是培养学生数学符号意识的重要举措。只有学生充分经历了这一过程，学生符号意识的培养才得以实现。例如，在“乘法分配律”教学中，笔者首先提供给学生两组题：
再组织同桌同学进行计算比赛，左边的同学做左边这一组题，右边的同学做右边这一组题。比赛后发现，同桌两位同学的计算结果都是相等的，但左边同学的计算速度却远没有右边同学的快。接着让学生观察左右两组算式，并提问你有什么发现？得出“两个数的和与一个数相乘，可以用两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加”的规律。在学生对这一规律的反复口述中，发现用语言表达这一规律有很多不便之处。从而再次提问：你有什么办法，创造一个式子，很简洁明了地把这一乘法分配律表示出来？学生经过思考，很快就有很多有创意的表示方法出来了，如：
（数1＋数2）×数3＝数1×数3＋数2×数3
（＋）×＝×＋×
（a＋b）×c＝a×c＋b×c
学生在这一探究活动中充分经历了知识产生发展的过程，个性化地把乘法分配律准确地表达出来。不管哪一种表示方法，都是学生在头脑里对一个运算定律的符号化的过程，继而在不断地比较和修正的过程中，学生学会了数学地表示。
三、解决现实问题，体悟符号价值
数学符号语言可准确简约地表示和反映数量关系和变化规律中最本质的属性，并推进数学的发展。因此，在教学中应当生动地展示现实问题情境，让学生感到引入符号的必要性，并从中体验到优越性，体悟符号的价值，从而激发学习兴趣，强化认知动机。
如“用字母表示数”一课的教学中，笔者设计了这样一个现实问题：星期六，老师去杭州办点事，在台州车站候车室的公告栏里看到一则失物招领启事：
思考：失物招领里面X到底是几元钱？为什么不写明真实的钱数，而用这个字母来表示？
学生说到，X元可能是10元，也可能是100元，还可能是……，如果写明真实的钱数担心会有坏人冒领。
在这个现实的问题中，学生感觉到确实要把真实的钱数隐藏起来，采用X这一符号（字母）表示钱数则显得非常必要。
再比如，学生在解答稍复杂的应用题时，往往会遇到题目很长，条件很多，读起来很费劲的情况。因此，在碰到此类题目时，可引导学生把各个条件罗列出来，去除一些对解题无关的信息，并符号化地表示各个条件，这样可以大大地提高学生解题的正确率。如，圆柱的体积是圆锥的2倍，圆锥的高与圆柱的高的比是2∶5，圆锥的底面积与圆柱的底面积的比是多少？在读题的基础上引导学生把条件和问题进行符号化：V柱＝2V锥，h锥﹕h柱＝2∶5，求S锥∶S柱＝（ ）。这样，题目就变得异常的简洁。通过经常的训练，学生尝到了通过符号化把一些文字叙述较长的题目缩简成几个符号和数字组成的条件能给解题带来方便的甜头，更加促使学生自觉用数学符号去表达和交流的愿望，并在长期的坚持中培养学生的符号意识。
四、经历整理归类，构建符号体系
数学知识是不断发展的，越发展，它的符号化程度就越高。从小学一年级的数字符号、运算符号等，到高年级的概念符号和结论符号；从单个表示的符号，到符号化的数量关系和意义、性质、定律、法则……，无不体现着数学符号体系在学生的头脑里的逐渐构建。到了六年级，教师可以组织学生把丰富多彩的数学符号进行梳理归类，使之形成一个体系结构，经过和学生的共同努力，最终形成了下面的表格。
关键词：小学数学；符号；意识培养；意识形成
学生进入小学后是记忆和吸收知识最好的阶段，在这一阶段学生的学习意识和学习习惯都在慢慢地形成与完善，所以小学是数学符号意识培养与形成的重要阶段。
一、什么是数学符号
数学符号的出现与运用要比数字晚，并且要比数字多。数学符号和数字一样是世界通用的，现阶段存在并使用的数学符号有200多个，在小学的数学教科书中常用的数学符号约有10种，虽然数量较少，但是都是数学符号中最为基础的符号。数学符号的种类主要有运算符号、关系符号、结合符号、性质符号、省略符号、排列组合符号、离散数学符号、数量符号。其中，在小学数学中能用到的数学符号则只有前三种。
二、小学数学符号意识的培养方法
1.让小学生明白数学符号的重要性
数学符号是学习数学不能缺少的部分，没有数学符号就没有数学这一既抽象又具有逻辑的学科，由于数学是门抽象的学科，所以在学习数学的过程中，如何能对数学符号形成意识就变得十分重要。而小学数学是学习数学的开始，让学生们认识到数学符号的重要性是使他们掌握数学符号意识的重要步骤，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提到：要培养小学生数学符号意识就要让学生们明白数学符号的重要性。数学符号的重要性在于其可以通过一种固有的定式将原本比较复杂而抽象的数学问题表现得更加直观，让小学生们可以直观地掌握数学的运算过程。
2.建立小学生对数学符号的初步认识
在对小学生进行数学符号的讲解时一定要联系实际，尽可能地联系小学生们生活中遇到的问题，这样做是为了更好地让小学生明白通过数学符号可以决定自己在生活中遇到的问题，还能够更好地让小学生们吸收数学符号方面的知识，同时也能培养小学生们对数学符号的初步认识。在生活中，小学生的年龄都很小，喜欢玩在一起，并且分享自己的玩具和零食，但是也会因为分享过后都会出现一些分配不均的小矛盾，要想分得更加合理就可以通过数学符号组成的数学式了，如：小明有10根铅笔，小东有6根铅笔，小明希望和小东的铅笔放到一起，可是因为铅笔太多了，当小明和小东将铅笔放到一起时却数不清一共有多少支铅笔了。这时教师就可以将加号引入到学生的计算中，并直观地让小学生知道加号是将数字进行整合的数学符号，运用加号就是让铅笔变得越来越多，让小学生对于数学符号有个初步的认识，使小学生在心里有个初步的意识，数学符号是能直接告诉他们铅笔是多了还是少了。这样可以建立起小学生对数学符号的初步认识。
3.让小学生对数学符号形成意识
在我们生活中不论是什么情况下都能产生出数学，所以教师应通过联系日常生活更加直观地让小学生们面对数学符号。如：教师在教学生们“+”号时，可以通过一些图片，如红十字标志，或者是通过事物进行整合的过程，通过实物或者是图片，在教室中有21名男同学，有17名女同学，那我们班级一共有多少名同学呢？首先我们将21名男同学写在这，将17名女同学写在这，中间我们放个“+”号，这样一来，我们就能得出一个数字38，所以我们班一共有38名同学。所以我们班级同学的总数就是男同学和女同学的数量相加，这样学生就能有一个数学计算要使用数学符号的意识，这样就能慢慢形成对数学符号的意识。这种数学教学过程中，不断地通过联系实际、联系符号，结合一些学生们长遇到的具体情境，能够更好地让学生们了解到数学符号存在的重要性，
体会到在进行数学计算的过程中只有使用数学符号，才能够清楚和简明地表达出不同情境事物数量关系和变化规律。这样学生们能够有意向主动地形成数学符号意识。
三、强化小学数学符号意识培养与形成
为了能更好地对小学生数学符号的意识培养与形成进行强化，就一定要解决数学符号的抽象性和小学生思维的形象性之间的矛盾，这就要求小学数学教师在进行教学的过程中多为小学生创设一些应用数学知识的情境，以此来更好地帮助小学生们强化对数学符号意识的培养与形成。如在教学中需要通过进行多次运算时，就可以出示：老师比小明大17岁。小明在1岁的时候，老师是多少岁呢？老师在26岁时小明是多大呢？小明4岁时，老师应该是多大呢？这时学生回答：1+17；26-17；4+17。通过这样一个将学生和教师都能加入的例子来强化学生对数学符号意识培养的形成。更好地体现出数字恒定的情况下，变化的是数学符号。只有更好地掌握数学符号才能解开问题，得到答案。
数学符号本身是一种十分抽象的思维变换模式，但是它又是一种可以直观地将一些数学问题进行表达的方式，它是抽象和直观的综合体，是一种数学智慧的结晶。作为小学生，他们不能很好地理解数学符号，也很难直接地就明白数学符号所真正要传达的意思，但是在学习数学的过程中，如果能很好地了解各个不同的数学符号的功能和定义，就不能运用数学符号来解决数学题，就不能很好地学习数学，所以要想对数学符号有意识就要从小学数学开始，因为小数数学是基础，教师应通过连线生活，联系教学例子让学生们开始初步认识数学符号。培养学生对数学符号意识形成的阶段是小学学习数学的重要阶段，这个时候学生是最容易形成客观及主观意识的。教师应该通过联系实际引导学生学习，促进小学数学符号意识的培养和形成。
参考文献：
[1]赵耀昌.大数学家.从小讲究学习方法[J].聪明泉：少儿版，2002（7）.
[2]王静.如何教好小学数学[J].新课程研究：上旬刊，2011（6）.
关键词： 低年级学生 数学符号感 培养方法
我们生活在一个被“符号化”的世界。看到人行道上的绿灯，知道现在可以过马路了；看见商场里的禁烟标志，知道这表示禁止吸烟；看到路口有标志“―”，表示此路不通；看见商场门口标志“P”知道可以停车；生活中处处都有符号，数学也有数学的符号，它蕴涵的规律，是对世界的简单描述，它能让你对这个变化的大千世界不再是“雾里看花”。
【案例】这是一道小学一年级学生经常做的题目，16+（）=32，学生做起来相当得心应手，在一次练习中，题型改成16+=32，=（），好几个孩子困惑了：“老师！这题我们没学过，我不会做！”对结果进行统计，正确率不到50%。
思考：无论是（）还是都只是一种符号，学生面对一个陌生的符号表现出来的惊恐态度不得不让我们深思。罗素说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”充分认识数学符号感的重要性及教育价值，确立科学与人文融合的新教育价值观，对学生终生数学学习都有着重要意义，但现实的教学和学习中，数学符号感投入得怎样，学生的数学符号感培养得怎样？当看到在现实中存在的一些问题时，不得不让我们深思。
一、什么是数学符号感
数学的基本语言是文字语言、图像语言和符号语言，其中最具数学学科特点的是符号语言，数学发展到今天，已成为一个符号的世界。符号就是数学存在的具体化身。数学符号感就是能从变化多变的世界和从数量关系里，用简单的数学符号和公式进行概括的能力，把一个无法琢磨的世界能够用数学进行认识和描述。
二、培养学生数学符号感的思考和策略
新课程对培养学生数学符号感提出了具体的要求：能从具体情景中抽象出数量关系和变化关系，并用符号表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转化；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
（1）挖掘学生已有生活经验中潜在的“符号意识”
这是发展学生符号感的重要基础。其实在学习之前，学生已积累了大量的符号经验，如℃、、等。“儿童的智慧在手指尖上”，教学中教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，让学生如同“在游泳中学会游泳”一样“在做数学中学习数学”。
如教学“找规律”时。教师课件出示：路边这排树有什么规律？
生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。
师：我们能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢？（这时，老师给了学生自主探索、实现自我的空间，他们有的摆，有的画，有的用数字表示，有的用拼音代替，当全班交流时的，结果让人惊喜不已。）
生1：我是用三角形和正方形表示的：……
生2：我是用不同颜色的圆圈表示的：……
生3：我是用不同颜色的正方形表示的：■■■……
生4：我是用数字表示的：121212……
多么富有个性的创造。这正是已有的符号观念在起作用，他们惊喜地发现自己也是“研究者、探索者、发现者”。
（2）让学生感到引入符号的必要
数学符号的引入可简短地表示和反映数量关系和空间观念中最本质的属性，并推动数学的发展。因此，在教学中应当生动地展示这种情境，让学生感到引入符号的必要性，并从中体验到优越性，从而激发新奇感，强化认知动机。
教学“认识=、>、3、3”比“大于”更简洁。“3可以转换为3
（3）在实际问题情境中帮助学生建立符号感
“兴趣是最好的老师”，在教学中应该不断培养学生的兴趣，老师可以从实际生活中提出新颖、有趣、亲切的问题，让学生急于解决，但又无法解决，从而唤起学习的迫切心理。当学生全身心投入到解决问题的过程中，寻找到了解决办法后，才能充分体验到知识内化的魅力，获得持久的学习动力。
（4）采用逐步渗透的方法培养符号感
培养学生的符号感，必须有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。在低年级数的计算中，就用（）、、、、？等代替变量x，让学生在其中填数，例如1+2=，6+（）=8；一些逆向思维的题目也允许用这种填空的方式完成，如树上有25只鸟，飞走了一些后，还剩12只，飞走了多少只？可以列式25-（）=12。到了二年级，认识乘除法后，还可以向学生介绍一些符号背后有趣的故事，使学生感受到每个数学符号的出现，往往就意味着新的知识、新的观点、新的方法和新的思维的降临。比如由“÷”可以联想到乘法，由“-”可以联想到加法等；也可以有意识地引导学生画线段图解决小学数学中的复合应用题，有意识地训练学生用自创符号（图形、标记）表达题意，以便于解答，还可以不断加大数学语言符号与日常语言符号的互译等。
“数学来自生活，用之于数学”，数学是对生活和世界变化规律的高度抽象和概括。数学符号感的培养对学生一生的数学学习影响都是深远的，它直接影响到学生数学意识和数学精神的培养，能使学生的思维更深刻，对规律用符号进行概括的能力更强。但还有许多地方值得深深思考：数学符号是对现实的抽象描述，如何才能找到抽象的数学符号与现实生活鲜活之间的平衡点？脱离生活的数学符号只能是“镜花水月”。
参考文献：
[1]刘天，孙晓天.数学课程标准解读.北京师范大学出版社，2001.5.
符号意识的培养是数学课程标准中所明确的核心任务之一，其根本要求是通过合情推理与知识运用，促使学生能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律，从而促进数学思考，实现数学学习的突破。
一、学用符号，表明关系
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。因此，在数学教学中要指导学生学习用恰当的符号去表达实际问题中的数量关系、逻辑顺序以及相关的数量等，使原本较为深奥和抽象的数学概念、性质、法则、公式等能够更加清晰、准确、直观地呈现在学生的面前。
如，在“两、三位数除以一位数”的教学中，为帮助学生建构对应的解题模型，可以引导学生把具体数量符号化，以便学生形成一种整体感知，形成对应的思维模式。先让学生做练习“超市中有文艺书120本，是连环画的3倍。连环画有多少本？”形成解题感知；再变换习题“文艺书是a本，是连环画的3倍。连环画有多少本？”通过把120本换成a本，把特殊的习题变成规律性的问题，促使学生形成对应的分析思考方法，形成相应的解答经验，从而帮助学生建构科学的解题模型。
上述的教学案例也许有拔高的嫌疑，但如果教师通过合适的教学契机，相机地进行渗透，那数学教学就会收到事半功倍的实效，学生的符号意识会得到深刻的熏陶，成为数学学习的有力武器。
二、学用符号，理清特征
符号意识不仅能揭示数量关系，更能帮助学生使用符号进运算和推理，从而获得较为科学的、简洁的一般性结论。因此，在教学中教师就得创设适宜的学习情境，营造合适的探究氛围，给予学生经历“由具体的事物——个性化的符号表示——科学地数学表示”这一逐步深入、符号化的过程，使学生在操作、实践、交流中实现知识的升华，逐步形成数学化过程，同时也使学生在具体的运用中逐步感悟到符号化的优越性。
如，在“长方形和正方形的周长计算”教学中，当学生积累了一定的周长计算经验和方法后，可以设计习题：画一个长方形，用自己喜欢的方式计算出长方形的周长。有的学生是先测量出自己所画长方形的长和宽，再计算它的周长；有的则用汉字“长”和“宽”进行标注，从而计算出长方形的周长；有的则设计不同的符号，长用，宽用，再写出自己周长的计算算式“×2＋×2”，或者是“（＋）×2”；还有的则用a表示长，b表示宽，得到周长“a×2＋b×2”或“（a＋b）×2”；等等。
学生用自己喜爱的方式来计算长方形的周长，这个由数量到符号的过程实质就是数学化的学习过程，更是符号化的提炼过程。这样的活动不仅改善了练习的质态，更有利于学生思维的发展。真实的案例，灵动的编写，还使学生感悟到符号的神奇，促进了学生对知识的理解。
三、学会符号，拓展认知
符号具有“万能”的作用，这需要教师科学地引领，让学生在学习中发现规律，学会用符号表示规律，从而实现学习的升华。因此，在具体的教学中，教师要善于引导学生解决实际问题，学会用符号揭示规律，让数学学习演变为快乐的体验之旅。
如在三年级数学实践活动中，就可以指导学生思考、探究活动中蕴藏的数学规律。首先，用小棒摆1个三角形，数一数用了几根小棒，填好表格。其次，按照表格的提示，摆2个三角形，用几根小棒，摆3个、4个……接着引导学生观察：如果多摆1个三角形，你有什么新的发现？学生会根据自己的实践和同伴的互助，发现活动中隐藏着的基本规律。第1个三角形用3根小棒，再摆出1个三角形时只要增加2根小棒就可以，第3个、第4个等都是这样的特征。学生很快就梳理出规律。最后追问：“摆10个，会是怎样的情况？100个呢？如果要摆出a个三角形呢？”学生会在前面具体的活动中感悟规律，发现规律，能够较清晰地理解三角形的个数与小棒之间的内在联系。当要摆出a个三角形时，学生就会思考：第1个三角形是用3根，其余的（a－1）个则会用小棒（a－1）×2，这样就得出小棒的总根数3＋（a－1）×2（根）。还会有部分学生想到：如果第1个三角形看成2＋1根小棒，那么a个三角形就会用a×2＋1（根）。
三角形的个数由具体的数字到抽象的字母，促使学生把特殊的情况延展到一般的情况，实现思维的蜕变，促进认知的升华。同时，也让数学学习充满了探究的情趣，洋溢着成功的快乐。
数学语言包括文字语言、图表语言和符号语言三大类，这三者中最抽象、最能体现数学思维的便是数学符号语言。数学符号语言的抽象性不仅体现在数学符号单个元素的抽象性上，更表现为数学符号语言的语法的抽象性。
在《现代汉语词典》中，对语法的解释是“语言的结构方式，包括词的构成和变化、词组和句子的组织。”数学符号语言的语法便是数学符号语言的结构方式。数学符号语言脱胎于自然语言，那么，数学符号语言的语法与自然语言的语法有怎样的关系？
二、数学符号语言的语法与自然语言的语法的关系
（一）数学符号语言的语法与自然语言的语法的相通之处
从数学符号语言从它的演变来看，教学符号语言是自然语言的一部分，但从逻辑上来看，它又有人工语言的特点。蒙太格在《普遍语法》中认为，自然语言和人工语言没有实质区别，自然语言与人工语言在结构规律方面是相通的。简而言之，数学符号语言的语法与自然语言的语法有相通之处。数学符号语言的语法与自然语言的语法一样，都是随着符号（文字）的产生、发展而日益完善。在很多情况下，数学符号语言的词、句是可以与自然语言进行结构上一一对应的，例如：“Rt∠”（直角）就是“Rt”（直的）与“∠”（角）的组合，就是“直的角”也就是“直角”;“∥，∥，∥”即“因为……，所以……”这与现代汉语的语法结构完全相同;“6>5”读作“六大于五”，而“A+形容词+于+B”的语法结构在古代汉语中也存在。
（1）毛先生以三寸之舌，强于百万之师。（《史记?平原君虞卿列传》）
（2）夫子曰：“小子识之，苛政猛于虎也。”（《礼记?檀弓下》）
（二）数学符号语言的语法与自然语言的语法的分化之处
自然语言的语法为数学符号语言语法的早期构建提供了基础。随着数学学科的发展，数学思维所要求的严密性、高度抽象性和概括性，使得数学符号语言的构造更加精密与抽象，数学符号语言的语法特点也逐渐区别于自然语言而显现出来。自然语言是呈线性排列的，词序、语序的变化通常是前后调换的（在空间形式上，由于排版的不同，前后位置不一定指左右、也可能指上下，如在古代，汉字是上下排列的。）。例如：“你救了我”与“我救了你”;“哥哥和弟弟开玩笑”与“哥哥开弟弟的玩笑”;“我回家了先”与“我先回家了”等。然而，数学符号语言有在词序或语序上进行前后变化、上下变化、对角变化等，例如：“4÷2”与“2÷4”;“”与“”;“34”与“43”;“”与“”。部分数学符号语言是经过多次抽象，故其结构与自然语言有较大差异，例如：“”是由连乘式子“1×2×3×……×10”抽象得来，而四则运算源于加法，乘法也是从加法抽象而来的，学生学习的加法又是从自然语言中的动词“合”“并”所表示的动作中抽象得来的。
三、数学符号语言的语法特点
（一）结构化
在数学表达式中，数学符号并非像普通文字一样呈线性排列，而是有规律地分布在二维空间中。例如：中，以为基准，可以分为内部（）、水平左部（）、水平右部（+1）和左上部（3）。在数学中有一类较为特殊的运算符号，称为绑定符，它们不但规定了运算的形式，而且也规定着运算操作的作用范围，常见的绑定符号有：∑（求和符号）、∏（求积符号）、∫（积分符号）∪（并集符号）和∩（交集符号）等等。含有绑定符的数学表达式结构化的特点则更为突出，例如：在中，以∑为基准，可以分为水平左部（）、上部（k）、下部（i=1）和水平右部（）。其中“∑”规定运算的形式，水平右部规定了运算操作的对象的形式，而上下部规定了操作对象的范围，水平左部则是在整个操作过后的结果进行一个乘法运算。由于书写习惯的不同，这类数学表达式的上下部也被书写成上下标的形式（在基准符号的右上部与右下部），如：。
（二）抽象性
抽象性是自然语言语法的基本特征，也是数学符号语言的语法特点。数学符号语言语法的抽象性主要体现在两个方面：
1.无限的表达式，有限的规则。如“1+2”“3×4”“11-5”“15÷3”等都是“数字+符号+数字”的形式;“23”“52”“3888”等都是“数字+数字上标”的形式。
2.简要的表达式，复杂的操作。人类部分最基础的运算概念是建立在图与动作（变化）的基础上的，与动作分离的最初思维方式就是将动作图示符号化，所以，最初的符号是可以与操作进行一一对应的。表达式的抽象程度越高，则越难与操作进行对应。例如：“”与“1+2+3+……+99+100”，这两者表达的意思一样，但是后者更容易与操作进行对应，所以就语法的抽象程度来说，前者高于后者。
（三）数学符号的分类
由于分类标准的不同，数学符号分类的结果也是不一样的，如有学者按照数学符号的功能，将数学符号分成了元素符号、运算符号、关系符号、约定符号、性质符号和辅助符号。也有学者参考我国的“六书”（汉字的造字六法）对数学符号进行分类。根据数学符号自身的意义与在数学语句表达中的作用，笔者将数学符号与自然语言中的词性分类法作了分类。
1.名词
通常来说，名词是表示人或事物名称的词，如“人、牛、北京、友谊、上面”等等。数学符号中也存在许多名词性符号，“”表示三角形，“”表示圆，“⌒”表示弧，“∠”表示角，“max”表示最大值，“min”表示最小值。
2.动词
动词是表示人或物的动作、存在、变化的词，如“跑、看、飞、有、起来、上去”等等。相当于数学符号中的“”（存在，是“exist”首字母大写的翻转）“+”“-”“×”“÷”“>”“
3.数词
表示数目多少或顺序多少的词叫作数词，数词分为序数词和基数词。在数学中，常见的基数有“1”“2”“3”“4”等，而序数通常搭配文字“第”，如“第1”“第2”“第3”等。
4.量词
量词是表示人、事物或动作的单位的词，如“米”“摩”“秒”“千克”“开”“安”“坎”“次”等。相当于数学符号中的“m”“mol”“s”“kg”热力学温度单位“K”发光强度单位“cd”“times”等。
5.代词
代词是代替名词、动词、形容词、数量词、副词的词，包括：人称代词;疑问代词;指示代词。而在数学中存在许多用字母代替具体数的例子，这类字母常见的有“x”“y”“z”“a”“b”“c”等，有时这些字母还会在右下角编号，如“x1”。
6.形容词
形容词是表示人或事物的性质或状态的词，如“高、大、白、冷、安静”等等。在数学中可以发现少数形容词：“”是任意的，是“arbitrary”首字母大写的倒置，“Rt”中的“Rt”是直的，是“right”的缩写。
7.副词
副词是修饰或限制动词和形容词，表示范围、程度等，而不能修饰或限制名称的词，如“都、很、也、居然、更”等等。离散数学中的模态词“”（必然）、“”（可能）都是典型的情态副词。
8.连词
关键词：代数学；代数符号；未知量
代数符号的引入和发展经历了漫长的历史过程的。现在的代数符号和现代数码一样，是经过世界各民族共同努力，经过几千年不断演变而逐渐形成的。尽管整个符号系统发展得如此缓慢，但无论是古代的希腊，还是东方的中国，人类都以其各自独有的文化，建树着一座座数学史上的丰碑。由于没有一套良好的符号系统，古代的欧洲和阿拉伯数学家，都为形如ax+b=0这样一个简单的一元一次方程困惑过。这似乎是不可思议的，因为在今天，这样的方程对于任何一个中学生都是不屑一顾的。然而古代数学家曾为此求助于一种较为烦琐的“试位法”。早在公元1世纪我国古代数学著作《九章算术》中，就曾使用过同样的方法，不过，书中用的是另一个名称，叫“盈不足”。由此可见，一个可靠而又简洁的符号系统对于数学的发展起着多么巨大的作用！大约始自15世纪末至17世纪中叶，代数学才真正进入符号代数时期。让我们遵循时代的脚步来探寻代数学符号的源头。
一、代数学符号的萌芽
1.古代巴比伦的代数记号
公元前4000年左右，生活在西亚的底格里斯河和幼发拉底河之间的地带（相当于现在的伊拉克一带），即“美索波达米亚”地区的人民相继创造了西亚上古时期的文明。那时候，已经有了象形文字，大约于公元前1900年形成了奴隶制的巴比伦王国。巴比伦人的代数方程是用语文叙述并用语文来解出的。他们常用“us”（长），“sag”（宽）和“asa”（面积）这些字来代表未知量，并不一定因为所求未知量确实是这些几何量，而可能是由于许多代数问题来自几何方面，因而用几何术语成了标准做法。且看如下例子是如何说明他们是怎样用这些术语表示未知量和陈述问题的：“我把长乘宽得面积10，我把长自乘得面积，我把长大于宽的量自乘，再把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积。问长和宽分别是多少？”很明显，这里的文字“长、宽和面积”，只不过是分别代表两个未知量及其乘积的方便说法。这个问题的现今写法就是
xy=10
9（x-y）2=x2。
值得一提的是，巴比伦人有时也用记号表示未知量，但这种记法只是偶尔用之。在有些问题里，他们用两个苏美尔文字表示两个互为倒数的未知数。又因为这两个文字在古苏美尔文里是用象形记号的，而这两个象形记号当时已不流行，所以结果就等于用两个特殊记号来表示未知量。
从出土的古巴比伦的泥板上的楔形文字中发现，巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量，采用了少数几个运算记号，解出了含有一个或较多未知量的几种形式的方程，特别是解出了二次方程，甚至某些三次、四次（可化为二次的）和个别指数方程，并且能够把它们应用于天文学和商业等实际问题中去，这些都是代数的开端。
2.古代埃及的代数记号
埃及人创造了一套1到1000万的有趣的象形数字记号，有自然数和分数的算术四则运算，但分数的表示和运算方法繁杂。在古埃及有限的代数里实际上没有成套的记号，在埃及的草片文书中，加法和减法用一个人走近和走开（来和去）的腿形来表示，记号“г”用来表示平方根。除此之外，古埃及人把未知数称为‘堆’（hau），它本来的意思是指数量是未知数的谷物的堆。在兰德纸草上有一个方程问题：“有一堆，它的 加它的 ，加它的 ，再加它全部共为33”，埃及人的写法非常的有趣：用现在的计算形式写出来就是：x+ x+ x+ x=33.纸草的作者用算术方法正确地解决了这个问题：x=14 。
3.古代希腊的代数记号
在希腊，一个对代数有着特殊贡献的人是必须提到的，他就是亚历山大时期的著名数学家丢番图。他的一部巨著《算术》也像某些埃及的草片纸本一样是个别问题的汇集。丢番图做出的一步重大的进展是在代数中采用一套符号。由于我们没有他的亲笔手稿而只看到很久以后的本子，所以不能确切地知道他引入了哪些符号。据说他用来表示未知量的记号是“s”，就像我们的“x”一样，这“s”可能同用在希腊字末尾的那个希腊字母σ是一样的，而丢番图之所以用它来表示未知量，可能就是因为用字母表示数的希腊记数制中只有这个字母没有被用来表示数。丢番图把未知量称作“题中的数”。我们的“x2”丢番图记为ΔY，而Δ是希腊字δνυαμιs的第一个字母。x3是KY；这里的K是从κνβο而来的。x4是ΔYΔ，
x5是ΔKY；x6是KYK。在这套符号里，KY没有清楚地表明是x的立方，而我们的x3则明白表出它是x的立方。丢番图的S=1/X，他又用一些名次称谓这些乘幂，例如称x为“数”，称x2为“平方”，称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方-立方”，称x6为“立方立方”。
出现这一套符号当然是了不起的，但他使用三次以上的高次乘幂更是件了不起的事。古典希腊数学家不能也不愿考虑含三个以上因子的乘积，因为这种乘积没有几何意义，但在纯算术中，这种乘积却确有其意义，而这正是丢番图所采取的观点。
丢番图写加法时把相加的各项并列在一起，把所有负项都写在正项之后。加法、乘法和除法的运算记号是没有的。符号用来表示相等。代数式的系数都是特定的数；他不用表示一般系数的符号，因他确实用了一套记号，所以后人把丢番图的代数称作缩写代数，而把埃及，巴比伦的代数称作文字叙述代数。
丢番图的解题步骤是像我们写散文那样一个字接着一个字写的。他做的运算是纯算术性的，不求助于几何直观来作具体说明。总的说来，丢番图发展了巴比伦的代数，采用了一整套符号，使得代数学发展到了一个新的阶段，这些都是非常了不起的。所以丢番图也被后人奉为代数学的鼻祖。
4.古代印度和阿拉伯的代数记号
在数学史上，希腊人的后继者是印度人。公元2～12世纪是印度数学的时期，印度人大大推进算术和代数的进展。他们最先制定了现在世界通用的印度――阿拉伯数码。在代数上他们用缩写的文字和一些记号来描述运算。当有一个以上的未知量时，他们用颜色的名称来代表。例如，第一个叫未知量，其他的就叫黑的、蓝的、黄的等。每个字的头一个字母也被他们拿来作为记号。这套记号虽然不多，但足够使印度代数称得上是符号性的代数，并且符号肯定比丢番图的缩写代数用的多。
从9世纪开始，外国数学发展的中心转向了阿拉伯和中亚细亚地区。阿拉伯数学起着承前启后的作用。他们发展了代数，建立了解方程的方法，得到一元二次方程的求根公式。在此必须一提的是阿拉伯数学家花拉子米，他从印度回国后著《代数学》一书。他的第一个贡献是创建“代数”这门学科的名称。代数来自于阿拉伯文的“al-jabr”.阿拉伯文“jbr”的意义是“恢复”“还原”。解方程时将负项移到另一端，变成正项，也可以说是一种“还原”。书名后面的那个阿拉伯文“muqabala”原意为“对抗”“平衡”，用来指消去方程两端相同的项或合并同类项，也可译为“对消”。花拉子米称未知量为“东西”或（植物的）“根”，从而把解未知量叫做求根。可惜的是阿拉伯人没有采用成套的符号。他们的代数完全是用文字叙述的，比起印度人甚至比起丢番图都后退了一步。
5.古代中国的代数记号
中国古人很早就有了关于方程的知识，早在秦汉时期，天文历法有了较大的发展，为了编制历法，当时的中国数学家就已经知道了一些方程的解法。起初，人们还用“天、上……仙”九个字分别表示未知数的正幂，用“地、下……鬼”九个字表示负幂，用“人”表示常数项。以后经过简化，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中使用了天元术，明确地用“天元”表示未知数一次项，“立天元一为某某”相当于现代数学中的“设x为某某”，用天、地表示方程的正次幂和负次幂，用“太”表示常数项。规定正幂在上、常数和负幂在下。根据问题设未知数，列出两个相等的多项式，进行多项式运算，最后列出有待求解的方程，并且建立了设立方程解决实际问题的方法。天元术已有现代列方程记法的雏形，难怪现代史家称它为“半符号代数”。在天元术中，一次项系数旁记一“元”字（或在常数项旁记一“太”字），“元”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示常数和各负次幂（或“太”以上的系数表示各正次幂，“元”以下的系数表示各负次幂）。
约公元50年成书的《九章算术》，是中国流传至今最古老的一部数学专著。在这本书中就已经使用了“方程”这个名词，把天元术的原理应用于联立方程组，并且出现了解一元一次方程和一元二次方程等许多代数问题。由于中国古代使用算筹计算，利用算筹的位置表示未知数及其次数，只用算筹摆出其系数就可以求解，1247年南宋秦九韶引入了一元高次方程的一般解法，除了用位置表示未知数及其次数外，还用了一些专门术语。
把天元术的原理应用于联立方程组，先后产生了二元术、三元术和四元术。这是十三世纪中到十四世纪初我国宋元时期数学家又一辉煌成就。现有传本的朱世杰的《四元玉鉴》就是一部杰出的四元术著作。所谓四元术，就是用天、地、人、物四元表示四元高次方程组。列式的方法是：在常数右侧记一“太”字，天、地、人、物四元和它们的乘幂的系数分别列于“太”字的下、左、右、上，相邻两未知数和它们的乘幂的积的系数记入相应的两行相交的位置上，不相邻的几个未知数的积的系数记入相应的夹缝中。我们用x、y、z、u分别表示天、地、人、物四元。用“元”代表未知数的说法，也一直沿用到现在。
二、代数学符号的发展
在16世纪以前，自觉运用一套符号以使代数的思路和书写更加紧凑更加有效的人只有丢番图，但他基本上是简写或缩写。记号上的所有其他变动无非是标准文字的缩写，而且颇为随便。例如p代表plus（加），m代表minus（减），等等。尤其是用符号表示未知量及未知量的乘幂的进展更为缓慢。像radix（拉丁语“根”），res（拉丁语“东西”），cosa（意大利语“东西”），coss（德语“东西”）这类的词，都曾被用于作未知数，因此，在当时代数是以“cossic”术（意即求根术）之名出现的。15、16世纪不少欧洲数学家在改进符号方面做了许多贡献。现代用的等号“=”叫雷科德符号（Recorde’ssign），是雷科德（R.Recorde）在1557年出版的一本书《硕智石》中第一次作为等号使用的。书中写道：“为了避免反复使用‘isequalto’这个短语，我采用了一对等长的平行线段来表示，因为没有任何其他两样东西比一对等长的平行线段更显得相等了。”但其推广非常缓慢，后来的著名人物如开普勒、伽利略等人一直用文字或缩写语如aequab，aeqantar，ae，esgale等表示相等，笛卡儿在1637年还利用“=”表现代“±”号的意义，而用“∞”作等号。直到17世纪晚期，用“=”作等号才为人们所接受，并逐渐得到通用。
摘要：符号是数学的语言。是人们进行表达、计算、推理、交流和解决问题的工具，学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义，会运用符号解决实际问题，发展学生的符号感。英国著名数学家罗素曾说过：“数学就是符号加逻辑。”可见，数学符号在学习数学中有着举足轻重的地位。在具体情境中培养学生的“符号感”，其实就是教给学生在数学王国中遨游的方法。小学高年级是小学学段与初中学段重要的过渡时期，此间学生“符号感”的培养对后续学习的重要性不言而喻。
关键词：小学数学 符号教学
为发展学生的符号感，在数学教学中，教师应尽量给学生提供机会经历从“具体事物的认识----个性化的符号表示----学会数学表示”这一个逐步符号化、形式化的过程。
一、经历过程----感知符号的意义
数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征。数学中的符号语言有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。儿童的思维以具体的形象思维为主，抽象的符号对他们来说较枯燥、空洞，难以激发兴趣，教师要创设情景，使他们对所学内容感兴趣，唤起已有的经验，经历把知识符号化的过程。从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步，但也是比较困难的一步。因此要尽可能从实际问题引入，从具体的、确定的数引入用字母表示的数，做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括，采用逐步渗透的方法，发展用字母表示数的能力。如在教学“加法的交换律和结合律”时，教材从实际事例引入，通过学生解答，初步发现不同算法间的联系，接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律，发现规律，同时，教材从用符号表示规律过渡到用字母的式子表示这些规律，使得规律的表达更加准确、简明、形象，既便于掌握，又发展了他们的符号感，也为后面教学用字母表示数做好了铺垫。
二、数形结合----培养符号的意识
培养学生的符号感，就必须树立符号意识，有目的、有意识、有计划、有步骤地渗透于数学教学的始终。在一年级“认数”单元，教材十分注意加强对数的实际意义的理解，在认识了1--5以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验，体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的/顷序。教材还十分重视帮助学生建立数的大小概念，把握数的大小关系。在教学“=”“>”“3”和“3”“”“
三、实践活动----深化符号的运用
学生在生活中接触很多用符号来表示的情境，使学生积累了很多潜藏的“符号意识”，这是培养学生符号感的重要基础。数学符号的学习过程应遵循从感性理性运用的辩证过程。因此，教学中教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，在解决问题中熟练符号的使用。如四年级下册“解决问题的策略”单元，单看例题中的条件，大部分同学有点无从下手，借助画图，标出题目中的条件，一眼就看出增加的部分是个小长方形，增加的面积就是一个小长方形的面积，它的长与原长方形的宽相同、小长方形的宽就是原长方形的长增加的长度，利用长方形面积公式就很容易求出长方形的宽，进而求出最后问题。在解决实际问题的过程中学会用画直观示意图、线段图等方式整理相关信息，进而分析实际问题中的数量关系，确定解决问题的正确思路，找到解决问题的方法，这样，将解决具体问题的思维操作转化为对符号的操作，有利于增强学生建立数学模型的意识，提高解决实际问题的能力，培养学生的数学语言表达能力，进一步深化符号感。
总之，数学知识的学习是把客观现实申存在的事物和现象以及它们之间的相互关系变为符号和公式的过程，这需要有较高的抽象概括能力。因为这当中有一个从具体——表象——抽象——符号化的过程，这对一个成人来讲也不是一件很容易的事，对小学高年级的学生来说难度就更大了。日常教学中，根据学生的认知特点，在教师的引导下，帮学生理顺数学概念、规律等符号化的一般关系，从体验到理解运用，再从理解运用到按需要创新，步步为营，螺旋上升，对培养学生“符号思想”，提升“符号感”意识有较好的实践价值。
数学的符号语言是以数学符号为主要词汇，来表达数学概念、法则、定理、公式等数学规律的一种特有语言，是人们进行计算、推理、交流和解决问题的工具。数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系等有确定的符号表示。
一、在具体的情境中，鉴赏符号的直观性
数学的产生和发展与现实生活密不可分，符号语言是按照感知规律和数学思维活动进行呼应，学生已有的生活经验潜藏着符号意识，具备鉴赏象形符号、缩写符号、约定符号的潜在能力。
在教学过程中，如果能创设适宜的问题情境，将会有助于学生体会数学符号的作用。自然数是一种个体对象符号，在一年级教学“认数5”时，通过实物或多媒体，在具体情境中数出“5”个人，“5”棵树，“5”只鸟、“5”朵花？？，它们的数量都是“5”，我们可以用“5”个圆片来表示5个人，5棵树、5只鸟、5朵花，还可以用数字“5”来表示。这就是对数量进行“符号化”。当我们看到数字“5”时，就会和数量是5的具体实物联系起来。当学生理解了数字5的实际含义后，进一步扩大其外延，数字5还可以表示顺序，如同学们排成一横队时，从左往右数，小红在第5个；数字5还可以表示代号，如5号运动员是小明。
我们要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，让学生如同“在游泳中学会游泳”一样“在做数学中学习数学”。如教学《有余数除法》时，出现了这样一道发展题：在一条小河一旁种树，每两棵柳树中间要种一棵桃树，第一棵种的是柳树，那么第100棵是什么树？这样的题目，光让学生用脑子想，确实有点困难，但我们也无法找到这么一条河让学生去数河边的树，当然我们在课堂上也只能“纸上谈兵”了 。学生各抒己见，有的说可以画出来看看，有的说可以拿东西来摆一摆，这些方法当然都可以，于是我问：“你们打算用什么表示柳树、桃树呢？”“ 、 ”、“、”、“柳、桃 ”……学生们一连说了好几个答案，最后我们一致选出了最简单的表达方式进行排列：……看着这么简便的符号，学生一下子就找到了规律，也很快地解决了这道难题。
二、建构探究模式，体验符号表达的简约性
新课程改革很关注对学生探究能力的培养，注重培养学生探究性学习，认为学生学习数学的过程应该是一个学生亲自参与、丰富、生动的思维过程，要让学生经历一个实践和创新的过程。我们的符号数学，更离不开学生的探究学习。在小学数学的教材中出现的符号，大多表示数学的基本概念和规律。而数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象。小学教材中出现的公式、定律一般都是用简洁明了的字母来表示。用字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。
在教学《乘法结合律》时，可以设计旧知迁移、猜想规律――合作探究、验证猜想――集体探讨、总结规律――学以致用、解决问题的教学环节，让学生在学习加法结合律的基础上，猜想出乘法结合律的存在，然后给学生充分探究的时间，分小组进行合作学习，学生经过举例探究，终于验证了自己的猜想是正确的，再让学生把自己的猜想用简洁的语言概括出准确的规律，并让学生用不同的符号表示，因为有了前面的基础，学生很快想到了用字母表示：（a×b）×c=a×（b×c），这个字母规律是学生自己探究概括出来的，所以它的意义不用作任何解释，学生都能明白，运用起来也就得心应手了。
三、应用数形结合，感受符号的转换性
生活中，符号间的转换是丰富多采的，这里所说的符号间的转换，主要是指表示变量之间关系的各种表示法之间的转换。表示变量之间关系的方法除了表格、关系式、和图象法之外，还有语言描述法，它们构成了变量之间关系的多重表示。如应用a-b+c=a+c-b时，我常形象地跟学生们说这叫“带着符号搬家”。用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，也是解决问题的重要策略。从数学学习心理的角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习的核心。能把变量之间关系的一种表示形式转换成另一种表示形式，构成了数学学习过程中的重要方面。人们常用“形数结合”的方法来分析和解决问题，从某种意义上说就这种转换思想的应用。
四、创造发展空间，鼓励符号的个性化
教育学家苏霍姆斯林基说：“如果老师不想办法使学生产生情绪高昂和智力震动的内心状态，就急于传授知识，不动情感的脑力劳动就会带来疲倦，没有欢欣鼓舞的心情，没有学习兴趣，学习就会成为学生的沉重负担。”因而符号感的培养不能只停留在让学生学会用书本上固定的方式去表达我们所发现的规律及数量关系。为学生创造一个自由发展的空间，鼓励学生用自己独特的方式表达具体情境中的数量关系和变化规律，不但可以发展学生的符号感，激发学生的学习兴趣，更可以促进学生创新思维的发展。
在教学《加法结合律》这节课时，其中有一个教学环节，就是当学生能用语言来表述规律后，还要让学生用字母来概括规律。我是这样设计的：“同学们，像25+（75+68）=（25+75）+68这样的等式你们还能说出几个呢？” 学生们就各自展开思考，举出了大量的例子，当然，这类例子举不胜举。于是，我又问：“这样的例子多的说也说不完，那可怎么办呢？你们能不能用一个等式来表示呢？”学生们个个抓耳挠腮，冥思苦想，结果真是五花八门，什么都搬出来了。如：（a+b）+c=a+（b+c）、（？+！）+，=？+（！+，）、（+）+=+（+），甚至还有用汉字表示的：（学+习）+好=学+（习+好）。学生运用了大量已有的符号，创造性的结果有很多很多，课堂气氛非常的活跃。我们在课堂上为他们创造了自我发展的空间，让他们想怎么表示就怎么表示，他们真正体会到自己是学习的主人，每个学生都能获得成功带来的。自信心有了，学习兴趣高了，创造思维发展了，这就是让学生创造性地使用符号给我们带来的收获。
五、联系生活实际，鼓励学生运用数学符号解决问题
数学来源于生活，扎根于生活，更要应用于生活。生活是培养学生符号感的摇篮和沃土，数学新课标又明确指出：学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。因此数学教学要联系学生的生活实际，尽可能让学生运用符号来使复杂的问题简单化，从而轻松地解决问题。
关键词：小学数学教学；符号语言；分析
（一）数学符号教学的重点是准确理解数学符号的含义
由于数学符号具有高度的集约性、抽象性、丰富性、精确性，学生难以真正理解其含义。因此，如何帮助学生准确理解数学符号的含义便成为数学符号教学的重点和难点。数学符号教学容易停留在机械学习的层面，即学生在没有充分理解数学符号的情况下，死记硬背数学公式或表达式，使得对数学符号语言的认识停留在表面上。任何一个符号表达式都包括两方面内容：语义内容与语法内容。语义内容指符号表达式所表达的内在数学含义，例如“a+b=b+a”这一表达式的语义内容是：在“+”这种运算中，元素的次序不同并不影响运算的结果。语法内容指符号表达式的形式结构。与机械学习相对的是奥苏尔贝的有意义的学习理论。数学有意义的学习是在思考、理解符号所表示的知识后，将其融会贯通的学习形式。
（二）教学中重视对符号的语义的分析
在概念教学中，必须重视对符号的语义分析。符号只是代表概念的物质外壳，如果学生不了解符号的涵义，那就什么也不知道。而且对于一个符号，学生如果只是一知半解地使用它，那是很难掌握和应用自如的。正如斯托尼亚尔所说：“学生如果不理解数学语言表达式的意义，就不能把非数学问题化成数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的。”在教学中，我们要自始至终给表示概念的符号赋予具体的内容。例如：“+”所表示的内容就是把两份以上的东西和起来。让学生理解了它的内容学生就知道在什么情况下可以用到“+”了。
（三）要使用通俗性语言进行数学符号的教学
使用通俗性语言数学符号的抽象性使学生普遍感到难以理解，因而成为教学的难点。遵循直观性原则，建立具体模型人们总是希望借助直观、具体的事物理解抽象的事物。直观性原则指在教学中让学生观察所学事物或教师的形象描述，引导学生形成对所学事物的清晰表象，丰富他们的感性知识，使他们正确理解书本知识，发展其认识能力。直观性原则反映了人类认识的基本规律。在引入一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的实体模型，使同一知识对象可以通过多样化的载体呈现出来，形成一定的感性认识。
（四）对数学符号进行教学时要注意数据中的信息
数学，特别是数论中的许多定理都是从发现某种数字规律开始的，正如欧拉所说：“今天人们所知道的数的性质，几乎都是由观察发现的，并且早在严格论证确认其真实性之前就被发现了，甚至到现在还有许多关于数的性质是我们所熟悉的而不能证明的，只有观察才使我们知道这些性质。”因此，在平时的教学中，我们要注意引导学生观察题目中所给的数据的特征，获得可贵的信息，发现解题思路。
（五）在对数学符号进行教学时提倡动手实践
提倡动手实践，获得感性认识不少学生都存在对数学符号记不住、分不清的问题。他们认为数学就是枯燥的符号加概念、是数字游戏，没有实际意义，习惯于教师讲、学生听的授课模式，很少主动探讨问题。教育心理学研究表明，如果学生只听讲，不读书，只能记住所学内容的15%；如果只看书不听讲，只能记住所学内容的25%；如果既读书又听讲，则可记住所学内容的65%；如果在听讲、读书的同时动手实践，让耳、眼、口、手、脑等多种感官同时积极参与活动，相互影响、相互促进，则能获得更好的学习效果。如讲授2+3时，可以拿实物让学生自己数一数。学生在这些实物的作用下，通过各种感官及大脑的复杂反应活动，建立起关于事物的特征与联系的感觉、知觉、表象或观念，从而获得了对事物的感性认识。
（六）在教学数学符号时要运用科学的思维方法
理解数学符号学生在获得感性认知的基础上，能否理解所学知识，与学生是否掌握科学的思维方法有关。思维方法是思维的钥匙，掌握了科学的思维方法，才能对已获得的感性材料进行合理加工、处理，把握事物的本质特性和内在联系，获得简洁的概括性认识。科学的思维方法和数学紧密联系，体现在教学活动之中，并且在教学活动中得到培养和发展。在整个教学活动中，教师起到引导、点拨作用。
（七）在教学数学符号时要重视对比、辨析
认识符号本质要引导学生将新的数学符号与相关的旧知识进行对比，分析它们的区别与联系，帮助学生理解不同符号的内在逻辑联系和符号自身的含义。重视口头语言与符号语言的转化训练数学语言要求极其精炼、准确、富有严密的逻辑性，对概念、定理的叙述必须严密完整、准确无误，不可随意编造、简化，学生首先将符号语言内化，然后将其转化为口头语言，也就是说，口头语言能够促进学生对符号语言的理解。在将符号语言转化成口头语言时，学生经常感到“只能意会，无法言传”，存在较大困难。然而，学生对这两种语言进行相互转化的能力普遍较差，这种现象在立体几何的学习中表现得尤为突出，学生常常对用符号语言表述证明过程感到困难。可见，培养学生对两种语言相互转化的能力不容忽视。
总之，数学符号语言教学具有长期性的特点，不可急于求成。
参考文献：
[1] 李星云.小学数学教学热点问题探讨之三 促进小学生数学知识建构的有效策略[J]. 广西教育. 2006（10）
（重庆师范大学重庆北碚400700）
摘要：符号化思想对小学数学教育意义重大，渗透符号化思想是小学数学课程任务之一，系统把握小学数学教材中符号化思想的体现，深入挖掘教材借助多种教学方法有利于符号化思想在教学中的渗透。
关键词：符号化思想；小学数学教学；渗透
一、教学中渗透符号化思想的意义
符号化思想是指用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容。其本质一是要有尽量把实际问题用数学符号来表达的意识；二是要充分把握每个数学符号所蕴含的丰富内涵和实际意义。渗透并不是明白而告之，是指教师有意识地把一种思想有计划有目的的隐形地向学生传递。
近几十年各国开展了数学教育现代化运动，对符号化思想也有了深刻的认识。我国《义务教育数学课程标准（2011版）》将“符号意识”作为十大核心概念之一，足以凸显符号化思想对小学数学教育的重要意义。
二、符号化思想在小学数学教材中的体现
通过全面分析《义务教育数学课程标准（2011）》及人教版《义务教育小学数学教材》发现，符号化思想在教材中主要体现在以下四个方面。
1、数学符号
小学教材中常见的符号主要有以下几类：
（1）元素符号，表示数或几何图形的符号。如阿拉伯数字：1、2、3……；表示数的字母：x、y、z；表示几何图形的符号：L表示直线、∠表示角、表示三角形（2）运算符号，如四则运算符号+、-、×、÷；集合间的运算，如∩、∪、＼等（3）关系符号，表示数、式、图或集合之间的关系的符号。如，等号=、近似等号≈、不等号（大于号）；表示直线、平面之间的平行或垂直关系的符号，如∥、等（4）结合符号，如圆括号（）、方括号[]、大括号（）、花括号{ }、括线―等（5）约定符号，规定某种符号表示某种特定含义的符号。“”表示因为，“”表示所以，“n！”表示阶乘，即表示“1・2・3…（n-1）・n”等（6）性质符号，表示数或形的性质的符号.“+”是正号，“-”是负号等（7）多用符号，有少数数学符号能表示两种（个）数学概念“+”、“-”作为运算符号，分别表示“加”、“减”又可作性质符号用，分别表示“正号”、“负号”（8）计量单位符号，表示重量的单位K、g、t；长度单位cm、m等（9）分隔符号，加、减、乘法竖式中的横线。
2、变元思想
变元思想是列方程解应用题的基础，为方程、函数等代数学核心内容做准备。比如，+=10对于这样的问题学生可能回答非常随机，若要引导学生有规律的思考问题，就需要借助符号，将其中一个不超过10的自然数表示为x，那么另一个就是10―x，这样就变成一个方程。这就是变元的思想。
3、用符号表示数的思想
用符号表示数能一般性的解释一种规则。比如，解释加法交换律时，先通过2+3=5，3+2=52+3=3+2……等例子启发学生猜想这个结果是否具有一般性？若具有一般性又将如何表达？引导学生思考，如果用a和b表示两个数，类比上面的数学结果，一般性的结论就可以写成a+b=b+a。其实符号不仅可以表示数，也可以像数一样运算，并且运算结果具有一般性。
4、列方程解决问题的思想
在列方程解决问题的过程中涉及到了以上三个方面的思想，可以说是符号化思想的集中体现。如《全日制义务教育数学课程标准（2011）》例51、鸡兔同笼等问题。
尽管，符号化思想体现在教材中的不同位置，但是符号化思想在教材中的渗透并不是杂乱无章的，而是逐步由数学符号变元思想符号代表数列方程解决问题渗透的。
三、符号化思想在小学数学教学中的渗透
我国《义务教育数学课程标准（2011版）》中明确要求：“要使学生能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”，可见渗透符号化思想是小学数学课程任务之一，把握以下几方面有利于教学中渗透符号化思想。
1、挖掘教材中渗透的符号化思想
（1）梳理数学符号。符号是数学存在的具体化身，数学符号的使用推动的数学的发展。可见，符号于数学的重要性。那么，梳理符号不仅是罗列教材中有哪些符号，而是潜藏在符号背后的意义和伴随着符号产生发展历程的数学思想。这就需要认真研读数学史料。
（2）分析、重组、拓展教材。课前教师在认真研读课标的基础上主要从相关数学知识和符号化思想两个方面，数学符号、变元思想、用字母表示数和列方程解决问题四个维度进行教材分析后，根据数学本身和学生的认知情况重组教材，最后结合学生的生活经验拓展教材，使教学内容富有弹性，教学素材更加丰富，有利于学生感悟和获取。如，教学“确定位置”时就可以与确定学生座位联系起来，教学内容会更符合学生的生活经验；研读课标后就会发现表示位置的“数对”在例10得到体现，进而为我们提供一种教学思路将学生的座位抽象成例10的表格，而其中不仅蕴含了符号表达的思想，更是坐标的雏形。
2、在灵活多样的方法中渗透符号化思想
（1）借助具体情境。在具体的情景中更能激发学生的学习兴趣，情景是符号化思想的萌芽点。如，在教学“负数”时就可以创设这样的情景：小朋友的妈妈做生意，在三月份赚了5000元，四月份亏了2000元。请小朋友们选择自己喜欢的方式准确、简洁的表达上述信息。有的同学用√、×来表示正、负，这正是符号化思想的萌芽。
（2）采用形象化的手势。小学生以形象思维为主，基于这样的特征。切不可直接教学抽象的数学符号，此时就需要借助形象化的手势，在生动形象的手势中逐步渗透数学符号的形。如，教学>、
（3）联系数学史。学生学习数学与数学历史发展具有相似性，在重走历史创造符号过程中渗透符号化思想。如，教学“负数”时，一开始教师不直接给出表示正、负的符号，而是让学生经历创造符号的过程后再引出“+”、“―”。
3、在实践中渗透符号化思想
我们生活在一个“符号化的世界，这是渗透符号化思想的重要基础。比如表示加油站、紧急出口、卫生间等标志。因此，我们必须开放小教室，把周围社会生活广阔的天地作为学生学习的“大课堂”，组织学生通过收集、访问等实践活动，在做中学、用中学，在活动中渗透符号化思想。
课题名称：小学数学符号化思想教学研究
参考文献：
[1]姜彩清.数学符号化思想与小学数学教学[J].教育科研论坛，2009，（8）.
《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。符号意识对学生而言，主要是指能主动地、普遍地使用符号表达数学思想，凸显并抓住问题本质。建立符号意识，让数学模型在文字描述中水落石出，使学生在符号表示中准确地找到解决问题的方法。
一、使用符号表示数，让数学思维灵活起来
灵活地运用数学符号，可以简明地表达数学思想，简化运算，加快思维的速度，促进思想的交流。例如，三年级的一道题：2支水笔和1支钢笔一共12元，2支钢笔和1支水笔一共18元，1支钢笔和1支水笔各要多少元？此类问题对于没学过方程的三年级学生而言有很大难度，若使用方程去解实际上也是使用了数学符号。教学中，我提示学生用和去表示水笔和钢笔的价格，学生把问题表示成以下符号形式：++=12，++=18；接下来我又提醒学生仔细观察二者之间的联系，学生通过组合把符号变成以下形式：（+）+（+）+（+）=30。可见，运用并加工符号，能巧妙地解决难题。
二、使用符号表示变化（规律），让数学思维严密起来
直接找出数字变化的规律，对学生而言难度不大，难的是数字变化都是隐含的，即变化要找，规律也要找。学生找准了数字是怎样变化的，再找准变化的规律就不难了。例如，四年级的一道题：1张方桌可以坐4人，10张方桌拼起来最多可以坐多少人？此题若有学生认为答案是40人，那么他的思维就很随意，只考虑了“最多”，忽略了“拼”这个题眼。教学中，我提醒学生别急着计算答案，先按照题目意思动手画一画。学生的画法如下：
可见，学生把“拼”和“最多”两个因素都考虑了，符号表示让学生的思维变得严密。
三、使用符号表示数量关系，让思维显像起来
线段图可视为大型的数学符号，使用线段图是解决数学问题一种常用的思考策略。它使抽象的数量关系以形象、直观的方式显像出来，能清楚地反映出数学模型的结构特征，同时也符合学生的认知规律。例如，六年级的一道题：甲乙两人分别在AB两地，甲从A地行使到B地需4小时，乙从B地行驶到A地需5小时。甲乙两人同时同方向出发，经过多少小时甲追上乙？此题涉及工程问题的重点和行程问题的难点，整体难度系数较高。教学中，我首先让学生画出线段图帮助学生理清题意。学生画完线段图后，还是不知如何解决；接着我让学生用方程试试，学生最终列出方程：1/4×1/5=1。此题学生连续2次使用符号才解决问题，可见数学符号对于思维显像的重要性。
“授人以鱼，不如授人以渔”，让学生主动地使用数学符号便是授学生以渔。数学是一门方法性较强的科学，使用数学符号是其中一种普遍而有效的方法，为学生数学思维的发展提供了载体、降低了难度，也为今后解决更抽象、更复杂的数学问题打下坚实的基础。
