时间：2023-05-30 08:54:02
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇解方程五年级，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：小学五年级;数学;教学;方程
一、解方程在数学教学中存在的问题
新课标把解方程方面的知识编排在第九册的教科书上，给教师在这个阶段的教学带来了很大的不便之处，需要教师花费更多的精力和心血来讲授方程，让学生更能理解方程的基本性质。因此，教师可以在教学中适当改变教授方程知识的顺序，让学生能够在课堂中通过思考问题的本质，并尝试通过自己的研究来理解解未知方程的学习过程，对于解未知方程有一个具体的理解思路，找出解方程的学习规律。因此，教师应该有自己的一套解方程的教学方式方法。
二、在教学中教育学生解方程的方式方法
解方程方面的知识教学方法多种多样，一个好的教学方法是决定学生是否能够更好、更有效率地学习到小学数学解方程的知识点。而由于个人性格上的差异，每个教师在教育中都有一种独具特色的教育方法。
1.教师应在教学中合理地安排自己的教授内容
科学地安排教授学习任务对于教师和学生来说是非常有必要的。如果教师想要在解方程方面给学生打下学习的基础，就必须学会科学地安排自己教授的学习任务，这样能使得学生进一步认识到解方程在小学数学教育中的重要性，更加能够理解方程中的基本性质和解方程的一般规律。
2.教师要正确引领学生，让学生进行知识的探索
一个方程必定有两种及以上的解法，教师可以在教学中用方程的性质引领学生的思维，把复杂的方程逐渐的简单化，尽量与学生的日常生活融为一体，使学生在生活中学习到更多数学方程的新知识，让学生在日常生活中积累一定关于方程的数学知识，使学生在生活中逐渐地了解小学数学解方程的知识;加强小学生自主探索小学数学解方程的能力。例如，小学数学一元一次方程中，“2x+10=22”学生可以通过直接移项得到2x=22-10，合并方程等式的右边得到2x=12，两边再同时除以一个2，就可以得到答案x=6。但是教师如果让学生自己进行解方程运算，就能够找出另外一种解题的方法：先等式两边同时除以2得到x+5=11，再通过移项得到x=6。从方程的解法中，就能够发现第二种解题方法比第一种解法较之简单。所以，教师的教学方法对于学生的学习来说是非常重要的。
3.遵循循序渐进的原则，多与学生在课堂中进行沟通
沟通是教师与学生进行解方程知识交流的一座桥梁。教师通过在课堂教学中与学生建立良好的师生关系并进行沟通交流，可以启发学生学习小学数学知识的思想，使学生通过观察事物的本质、思考事物本身的性质，慢慢地尝试问题的解决方法，并进行相互讨论、总结，得出方程的解决方案来。所以，教师应该更加倾向于对于学生来说更为有利的交流式教学。
总而言之，小学数学解方程在数学知识中起着非常大的作用。所以作为小学数学教师就必须改良自己的教学方法，整理出一套独具特色的教学方案，改善学生学习数学知识的质量和学习知识的效率。
参考文献：
[1]崔凤莲.对小学阶段根据“等式的性质”解方程的冷思考[J].中国科教创新导刊，2011（15）：111.
小学阶段是学生数学思维形成的奠基时期，也是以形象思维为主的时期。小学阶段的数学教学区别于高中和大学阶段的以抽象逻辑思维为主的教学，它以实用性和生活化为主要特点，强调数学知识的简单应用。数学模型思想强调对实际问题情境的抽象和概括，即将实际问题抽象、简化为由各种数学符号组成的普通表达式、公式、运算法则、已知定理等数学模型。模型思想是《义务教育数学课程标准》着重强调的一种数学思维能力。基于此，小学数学的学习和模型思想的培养存在契合点，而且也是可行的。在小学阶段培养学生的模型思想是十分必要和紧迫的。
《义务教育数学课程标准》中指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”这实际上就是要求每一个数学教师把学生学习数学知识的过程当做帮助学生建立数学模型的过程，并在建模过程中培养学生的数学应用意识，引导学生自觉地用数学方法去分析、解决生活中的问题。它还明_要求教师引导学生建立数学模型，不但要重视结果，更要关注学生自主建立数学模型的过程，让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。
此外，在小学数学教学中还要重视学生数学思想方法的培养。教师要善于引领学生运用多种思想方法思考问题，可以将未知的问题转化为已知的问题，使学生将这一模型的构建与已学知识进行对比，拓展学生解决问题的视野，为以后其他未知问题的解决架桥铺路，也为以后的数学问题找到新的解决途径。
五年级学生初学解方程，在出示课本中解方程例1时，学生借助图示比较轻松地列出等量关系和方程。
例1图意：左边盒子里有x个球，右边有3个球，一共有9个球。
学生列出等量关系：
盒子里球的个数+3个球=球的总数
x+3=9
五年级学生已经有了丰富的数学知识，能够一眼看出来左边盒子里有6个球。追问学生是怎么知道盒子里球的数量时，学生很一致地回答：“9-3=6。”接着问学生这是利用什么知识找出的x的值，有学生答：“移项变号。”这是学生在课外学习班老师教给学生解方程的方法。统计了班上已经学过解方程的学生人数，举手的有50人，全班一共有56人，已经在课外班学习的人数占全班人数的89%。这么多学生都学过了解方程，按说老师应该很高兴，教学也应该很轻松，但在我的追问下，所有学习过解方程的学生都利用的是移项变号的知识来解方程，这里的移项变号也就是学生在四年级下册学习的加、减、乘、除各部分间的关系，学生借用四则运算解方程已经是近十年前的教学要求了。在实验版教科书中，就已经把原来利用四则运算解方程的方法修改为利用等式的性质来解方程。也就是说，从实验版教材出版的那一刻，实验版教材已经依据《义务教育数学课程标准》的要求，建立了义务教育阶段数学知识的阶梯。利用等式的性质解方程是与初中阶段利用方程解决问题的知识相通。包括求出方程的解后，有关方程的检验学生也没有学习。通过比较，学生在课外学习班提前学习的知识只能是速成，忽略了学生获得知识的过程，学生只是一个个学习的机器，忽略了学生是独立的个体，他们有思想、有创新、有激情、有学习的冲动。虽然学生没有学习过利用等式的性质解方程，但知识之间是相通的。
在解方程之前引领学生学习等式的性质，学生掌握得很扎实。所以直接向学生提出要求：为了与初中教科书的知识做好衔接，学生必须掌握利用等式的性质解方程的方法。思考一：如何利用等式的性质也就是天平平衡的原理，才能既让天平保持平衡又可以看出x表示多少呢？思考二：怎样把这个过程在方程中表现出来，使方程左右相等，又能得出x等于多少？在问题提出后，学生认真思考，并说出自己的想法。然后借助直观课件的演示，印证学生的思路。在直观课件的帮助下，学生的思维得以调整和完善，并借助直观实物抽象出解题的模型，完善学生利用加法等式性质进行解方程的过程。学生借助利用等式的性质解方程的模型，并能利用建立的模型方法解决同一类方程。求出方程的解后，引导学生对所解方程进行检验，即结合用字母表示数的知识，引领学生把x的值代入方程进行检验，方程左边=方程右边，x的值就是方程的解。
在熟练掌握了利用加法的等式性质解方程的基础上，学生已建立了利用等式性质解方程的模式，再让学生解决减法、乘法、除法的方程时，学生会利用已有的知识储备，利用对应的等式性质去解决。同时学生对利用方程解决生活中的问题比较容易接受，摆脱了五年来只会用数学方法解决问题的局限，学生会大胆尝试用不同的方法解决，既起到互相检验的作用，解决问题的能力也大大提高了。从长远来看，学生的综合能力和数学素养也得到了有效提高！
从算术发展到方程是人类认识的飞跃。方程对学生形成良好思维方法和品质，发展学习能力和解决实际问题能力具有独特作用， 是小学数学跨越性教学内容。目前存在的不注重方程所导致的小学数学教学困惑，可以通过优化方程课改策略来破解。
一、小学数学教学的主要困惑
1.学习是为了解决问题，应用题必然是小学数学重点内容，而应用题却还是教和学的难点。
2.方程是解应用题的良方，可教材中方程内容简课时少，没法保证熟练掌握，难以体现列方程解应用题的优势。
3.一些学生受算术思维定势影响，习惯用算术法解方程和应用题，不喜欢用等式基本性质解方程和列方程解应用题，遇到稍难方程或应用题时就害怕，从而不爱数学。
4.一些教师基于算术教学习惯和学生喜好，不注重方程教学。遇到较难应用题时，总是想用算术法，感觉也有点难。这时可能会想到方程，但列出方程后又把它转化为算术式才呈现给学生，很别扭。
5.应用题难数学难，因而社会上热充于“小学奥数”。有些所谓“小学奥数”，很多是用算术法难解答而用方程易解答的实际问题，却总是诱导学生用算术法解答，以显示其深奥和价值来吸引学生，实际上是误导和折腾学生。
二、小学教学方程的独特作用
1.方程是算术向代数发展的关键性开端。算术只是一种算法，而方程思想则体现了建模思想和化归思想等数学思想方法，是一种最基本和应用广泛的数学思想。各种类型的实际问题大多可转化为数学问题；各种类型的数学问题大多可转化为代数问题；各种类型的代数问题大多可转化为方程来解决。在小学， 方程可以解决整数、小数、分数、百分数和比例的许多实际问题，解决代数和几何的许多实际问题，解决鸡兔同笼问题、植树问题等许多所谓“小学奥数”问题。
2.在方程教学中，学生从己有的生活经验出发，亲身经历将许多实际问题抽象成方程形式的数学模型，进而解决问题的过程，既获得对数学知识理解掌握，又在思维能力、运算能力、分析解决问题能力、情感态度与价值观等方面得到发展。
3.小学教学用等式基本性质解方程，用方程解应用题，有利于加强中小学教学衔接。在中学方程是一条主线，无论是代数还是几何，方程思想都无处不在。小学生学好方程，可以更好地实现由算术向方程思想发展，为中学学习打好基础。
三、小学方程课改策略的优化
1.优化教材编排
现行教材编排，一类是四年级学习解方程，五年级学习列方程解应用题。另一类是将方程内容都安排在五年级学习。分段编排把紧密联系的知识割裂开来不利于系统学习掌握，把知识与解决实际问题割裂开来也不利于发展能力。完整编排比较好，但可以优化。一是在前期更多地渗透一些代数初步知识，孕育方程意识；二是方程的例题和练习题再丰满些，课时多点，以突出重点和突破难点；三是后续应用方程多些，以巩固方程知识和解决较难的实际问题；四是可考虑将方程从五年级前移到四年级编排，这有利于方程的学习掌握和应用，有利于帮助学习其它数学知识。
2.优化方程意识的孕育
在教学方程前，根据教学内容特点，更多地渗透一些代数初步知识，孕育方程意识。如用符号、、或（）等表示数；用字母表示运算定律；在形如方程的式子中求符号表示的数：+6=15，5×=20，（）÷8=4；在解答应用题时列出形如方程的算式，如一年级应用题“小明有12块糖，吃了 5块，还剩几块？”，可能有学生列出算式：5+7=12，回答还剩7块。这时教师应肯定。
3.优化用字母表示数的教学
用字母表示数，可以表达和研究有普遍意义的数量关系，是学习方程的基础。教材编排的四道例题层层递进，各有重点。教学时，应引导学生参与一系列教学活动，用符号表示数过渡到用字母表示数，表示运算定律，表示计算公式，用含有字母的式子表示数量和数量关系，学习“平方”以及数与字母相乘的书写方法，学习代入求值，感受字母代数的优点。用含有字母的式子表示数量和数量关系是重点和难点，应增加例题进行示范引导，并增加练习题进行专项训练。可以补充形如方程的式子书写训练，如：比a少8的数是15，b的3倍是18，比a的5倍多2的数是32等，为后续教学列方程解应用题作铺垫。
4.优化方程意义的教学
教学方程意义时，应先介绍天平使用方法，然后按步骤边设问边演示边提问，让学生边观察边思考边交流，进而揭示方程的意义。感悟方程意义只是初步，理解运用才是目的。因此应充分利用变式，突出对比，补充列举不同类型的方程让学生试作判断。如：16+3y=7×4，18=2x-3.5，x÷5=6.4，8+a=b等。并且请每个学生试写一个方程，尝试运用。
教学等式基本性质时，也应是按步骤边设问边演示边提问，让学生边观察边思考边交流，感悟天平保持平衡的道理，进而揭示等式的基本性质。教材没有出现“等式基本性质”的名称和内容，给后续解方程造成了困难。因此，应引导学生从天平保持平衡道理到等式基本性质的知识迁移，概括出等式基本性质的内容，让学生理解并熟练掌握，为学习解方程提前突破难点。
5.优化解方程的教学
解方程的教学应从复习巩固天平保持平衡道理和等式基本性质引入。先以100+x=250为例，引导学生分别用四则运算各部分关系和等式基本性质求未知数x的值。应突出用等式基本性质解方程的过程及书写：100+x-100=250-100，x=150，并强调这种方法在解更复杂方程时很有用，以提高学生积极性。然后引出方程的解与解方程和概念。在此基础上，教学形如x+a=b， ax=b的方程解法，就可以直接引导学生用等式基本性质了。应结合解题过程正确板书，示范解题步骤和书写格式，包括验算。应针对教材中想一想的问题，补充例子，教学形如x-a=b和x÷a=b的方程解法。
为了熟练掌握用等式基本性质解方程的方法，体现这种解法的优势，以及分散后续列方程解应用题的难点，应增加课时，补充教学一些稍复杂方程的解法，如2x-2.8=10.4，x+3x=16.8，2×（x-3.6）=5.8等。暂不教学形如a-x=b和a÷x=b的方程，因为方程变形过程及其算理解释比较麻烦。回避这两种类型方程，并不影响列方程解应用题，当需要列出这两类方程时，总可以根据数量关系，列成形如x+b=a或bx=a的方程。这也体现列方程解应用题，可以化逆向思维为顺向思维的优势。
方程思想是一个建模和化归过程，它必须经历由简入繁、由易变难、循序渐进的过程，不可能一蹴而就。那么如何在小学阶段有序地培养学生的方程思想呢？笔者针对这一问题进行了探索。
一、早期渗透
一至四年级的数学学习学生主要运用的是算术思维，如果在算术思维中适当渗透代数知识的学习，对五年级方程的学习就能水到渠成。其实翻阅各版本教材，不难发现，在第一学段甚至是第一册教材中就有许多方程的雏形，在很多练习中也能找到渗透“方程思想”的素材。
（一）早期渗透等式性质
学生认识方程的最大困难在于受等号是“输出结果”的影响，如4+5=9，从左往右运算，始终拘泥于具体运算，而不会把“4+5”看成是一个结果，学生始终认为“4+5”是一个算式，一个式子，必须要写出9才是答案。因此，在学生的头脑中只有实现“=”由“输出结果”向“相等关系”的转变，其对方程的认识水平才能发展。在小学低年级日常教学中要加强等式性质的渗透，将方程思想贯穿于问题解决之中，为今后的方程教学打下良好的基础。如一上计算5+（ ）=12时，教师可结合天平称物体的具体情境（左边5个垒球，右边12个垒球，天平的左边应增添几个垒球，天平才平衡），通过演示来帮助学生学习，让学生感悟到左边必须加上7个垒球，这时天平才会平衡，即括号里的数填7。在此基础上让学生进行变式：写出5+7=（ ）+（ ）的算式，然后转化为图形算式：5+7=+2，让学生在操作天平的同时，体验“代入”思路，构造图形等式，推算结果，体验等式性质。
（二）早期渗透方程思想
一年级的教材中有这样的习题：桌子上有5本书，书包里还有一些书，一共有12本书，书包里有多少本书？学生也会列成：5+7=12（本），答：书包里有7本书。很多教师都不会去思考学生的想法，直接判学生错。学生对这种算法形成的原因到底是什么呢？一年级学生在解题时并未意识到未知数和已知数的不平等，他们更关注事情的发展顺序。因此，当题目的叙述与事情的发展顺序相反时，由于缺少“从结果推算出原有条件”的能力，往往将未知数与已知数混在一起，按照事情的发展顺序列出算式。这一根据题目叙述“直陈直写”的列式方式却恰恰是小学中高年级方程思想的核心，是学生必须掌握的基本方法。
在教学中教师应该呵护学生这种同等看待已知数和未知数的想法，这是方程思维的萌芽。先肯定5+7=12的合理性，然后引导学生用、（ ）代替未知数进行列式：5+=12、5+（ ）=12或12-5= （ ），从而让学生分清什么是已知的，什么是未知的。这样的教学能使学生经历从实物素材抽象到图形素材，为从图形素材抽象到字母符号素材的思维发展奠定基础。同时，这样的安排不仅符合学生的思维发展规律，而且促进了学生对减法意义的理解，最重要的是保护了学生与生俱来的方程意识。
二、现期调整
（一）重组教材，整合框架
人教版实验教材正式进入方程学习是在五年级上册第四单元，教材编排主线是先用字母表示数，然后在天平的演示下构建方程意义，接着是在具体情境中进行x±b=c和ax=b、x÷b=c的教学，最后是ax±b=c、（a±x）×b=c、ax±bx=c三类稍复杂方程的教学。教材将方程的解法融入具体情境中，算用结合，增加了学生学习的难度。学生一边要在现实问题中收集分析有用的数学信息，将它们抽象成数学语言，同时又要关注方程解法技能的习得，往往会顾此失彼。所以在实际教学中，笔者在教学了方程意义后，先教学“x±a=b、ax=b、a-x=b、x÷a=b、ax±b=c、a（x±b）=c、ax±bx=c”等各类方程的解法，最后教学用方程解决实际问题。在教学稍复杂方程解法时，笔者有意不使用新的问题情境，而是用学生熟悉和已掌握的问题类型来帮助学生理解算理，让学生从“以算促用”自然地过渡到“以用引算”。用新方法解决旧问题，对学生来说问题是熟悉的，只有解ax-b=c的方法是新的，无形中降低了学习的难度，找到学生学习方程的新的发展点，激发了学生学习、使用方程的动力。
（二）重构教学，建立模型
有许多教师在教学时总是将目标落在“知识与技能”这一维度上，把方程意义的学习等同于让学生记忆“含有未知数的等式”这句话，在解方程中只重视结果，注重单纯的技能训练，没有“建模”和“用模”的痕迹。
1.以“质变”为认知核心，识别“序”的架构
方程的实质是用等号将相互等价的两件事情联立起来，而小学生的思维发展规律是从实物到半抽象的图形再到字母符号的过程。学生在低段的学习中已经经历了实物到图形的过程，在课堂教学中教师要把方程的本质作为学生认知的核心，注重实质，逐步建立方程思想。在教学“简易方程”时不仅要让学生理解“=”表示左右两边的相等关系，让学生从“象形方程”到“简写方程”再到“符号方程”，帮助学生体验符号代替数的简洁，体会方程的意义，从而让学生理解方程是关于已知数和未知数相等关系的“天平”，促进对方程实质的理解和领悟。
2.以“联系”为思维路径，洞察“联”的因果
要让学生初步领会方程思想，不能就题论题，而应当从方程的视角抓住众多事物的共同普遍性的本质，以实质上具有同类关系的问题为主线突出相应的解法要点，达到触类旁通、体验方程的思想和价值。如稍复杂方程以“王阿姨到水果店买苹果和梨各2千克，梨每千克2.8元，王阿姨一共付了10.4元，苹果每千克多少元？”为切入口，让学生形成“ax+ab=f”与“a（x+b）=f”的两积之和模型。教师还可以将例题进行变式，把“王阿姨到水果店买苹果2千克，梨每千克2.8元，买了3千克，梨比苹果多付3.6元，苹果每千克多少元？”变式为ax+m=bc的总量相等的模式，还可以变为其他一些形式。
学生在此类问题的分析、讨论、验证中可以逐步发现此类问题的共性，从而将本质属性抽取出来：只有一个量作为未知数，不管如何变化，都是总量相等。同时，也在辨析中突破了“ax+ab=f”与“a（x+b）=f”两积之和的基本型，从而打破了例题界限，在众多形态各异的表象背后蕴藏着千丝万缕的联系和高度概括意义的数学思想方法，催化了两积之和方程模型的建构，提升了方程建模的理性高度。
3.以“矛盾”为探究理念，丰富“探”的内涵
在方程教学中一直以来争议最大的就是解方程是依据等式基本性质还是四则运算的关系？或者是两者兼顾？到底哪一种好，众说纷纭。在人教版教材中四则运算的方法只在解方程的起始课中出现了一次，教材的意图是突出用等式的性质进行教学。针对这一“矛盾”，笔者在平行班中进行了对比教学：班级①先学习用等式基本性质解方程，然后学习用四则运算的关系解方程；班级②以等式基本性质为主，以四则运算的关系为辅；班级③只学习用等式基本性质，对四则运算的关系只在第一课时一笔带过。教学之后，对三个班级进行了检测，结果发现：班级③的正确率最高，学生解题基本上不受各部分关系的影响；但是班级③的学生虽然正确率高，而速度明显要比其他班级慢得多。
在后续教学中，为了提高学生的书写速度，笔者在教学列方程解决问题时先要求学生用完整、规范的步骤书写。在学生熟悉步骤后，让学生简化书写程序，可以将题目中表示未知数的量直接用“x”表示，然后列方程并解答。检验时运用直接代入法进行检验。这样就大大提高了解答的速度，同时也提高了学生主动选择用列方程解决问题的自觉性。
4.以“发展”为关注视角，追踪“发”的轨迹
在实际教学中，教师要站在系统的高度来处理方程教学内容，以初中代数教学视角来统领小学方程教学，以发展的眼光看待学生方程思想的形成过程。
如在教学ax=b中，教师呈现了以下的题组：
① 一个正方形的周长是60厘米，它的边长是多少？
② 某人骑自行车4小时行了60千米，平均每小时行了多少千米？
③ 甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？
学生通过分析都很快列出方程：4x=60。然后教师进一步引导学生质疑：“4x”在以上三题中分别表示了什么含义？以上题组创设的数学情境简单易懂，易于让学生找出基本的等量关系，当学生会用数学语言对等量事实进行清楚的描述与概括后，教师让学生根据自己的生活经验编一道用方程“4x=60”解答的实际问题。在教学中教师用“发展”的视角利用问题情境的变式，而保持基本数学模型的不变，引导学生领会问题间的内在联系，抓住问题的实质，使学生在简单的现实情境中感受数学建模思想。
三、后期延展
正如前文所述，学生方程思想的形成不是一蹴而就的，是一个由易到难、由简到繁不断螺旋上升的过程。学生虽然经历了从文字方程到图形方程，再从图形方程到字母方程的过程，初步建立了方程思想，但要想让方程思想在学生脑海里深深烙上印记，就必须在后续的教学中结合相应的教学素材不断反复地加以强化。比如在学习人教版“简易方程”后，教材紧接着安排了“多边形面积”的内容，那么多边形面积计算公式的推理过程，多边形面积的等积变形，也可以与方程教学有机结合。如：一个等腰梯形的周长是52厘米，腰长为6厘米，如果下底缩短4厘米，面积就要减少9平方厘米。求这个梯形的面积。在分析解题时要让学生建立“原梯形面积=现梯形面积+9”的加法模型，利用加法模型让学生用方程思想解答平面几何题。这一过程实质上是把几何中的“形”的问题，借助于代数中的“数”去揭示几何量之间的内在联系，从而达到解决问题的目的。还有六年级的分数、百分数的应用、正反比例等知识的学习，教师都应有意识地和方程教学相联系。
关键词：
开学后的第二周周末，一位以前曾经教过的学生通过QQ问了我一个六年级数学中的问题：有两块布料，第1块长148米，第2块长100米，两块布料各剪去同样的一段后，第1块剩下布料是第2块剩下布料的3倍，两块布各剪去了多少米？学生设每块布料剪去了x米，列方程：148－x＝3（100-x）。可是她自己却解不了这个方程，而她的很多同学甚至列不出方程。
笔者在连续三年从事高年级数学教学，在高年级的《方程》单元教学中，也发觉了一些值得探索的现象和问题。
一、方程教学中的常见问题
苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》教材要求学生根据等式的性质来解方程。
例题一：解方程x＋65＝100。
错解1：
解：
＝x＋65＝100
＝100－65
＝35
错解2：
解：
＝x＋65＝100
＝x＋65－65＝100－65
＝x＝35
第一种错误，学生并没有掌握解方程的基本方法，没有使用等式的性质解方程，而是受到以往算术方法的影响，使用“一个加数等于和减另一个加数”进行计算。第二种错误，学生虽然知道用等式的性质解方程，却并没掌握解方程的书写格式，导致用等号将解方程的每一步进行了连接。
例题二：学校食堂原有1500千克大米，上一周用掉一些后，还剩1014千克大米。学校食堂上一周用掉多少千克大米？
学生设学校食堂上一周用掉x千克大米，得方程：1500－x＝1014。
学生列出的方程是正确的，然而这样的方程，大多数学生却解不出来。因为在五年级下学期学生只学习利用等式的性质解形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程，没有学过形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。而这样的方程，利用“减数＝被减数－差”则很容易解决。
此类题目，让教师非常为难。一方面，新教材考虑到小学数学和初中数学的衔接，采用等式的性质解方程，并不提倡再回到以往使用四则运算的算式各部分之间关系解方程的老路上来，从学生的认知水平出发，只教形如“x±a＝b，x÷a＝b，ax＝b”的方程；而另一方面，当遇到实际问题时，难保学生不列出形如“a－x＝b，a÷x＝b”的方程。不教使用四则运算的算式各部分之间关系解方程，怕学生考试吃亏，教了又怕学生在认知上产生混乱。
二、影响学生方程学习的原因
1.题目命制的影响
目前市面上的各种教辅材料层出不穷，有些解决实际问题类的题目，无法列出教材中所学习的几种类型的方程，还有一些单纯解方程的题目竟也超出了学生所学范围，让教师和学生无所适从。
2.教师因素的影响
在小学阶段，算术方法不可能被方程方法所取代，导致一些教师对引导小学生从算术方法向方程方法的顺利过渡没有得到足够的重视。另一方面，在列方程解决实际问题的教学中，教材所呈现的题目难度相对较低，有的甚至可以直接用算术方法口答。教师教学过程中注重强调方程格式，培养学生良好的解方程的习惯。而学生不习惯于写“解：设……”，感觉算术解法简单，列方程反而繁琐复杂，甚至有学生觉得，这么简单的题目还要列方程，这不是“没事找事”吗？这样一来，学生对方程方法的接受和运用产生困难，必定影响其将来的学习。
三、促进小学生方程学习的建议
1.逐步渗透代数思维
在四年级进行“用字母表示数”的教学之前，教师就可以开始渗透代数思维。例如，在低年级可以用括号或者其他有趣的符号来表示数，到了四年级学习“用字母表示数”时，学生就已经有了一定的认知基础，有利于高年级方程的学习。
2.突出方程方法的优越性
在列方程解决实际问题的教学中，教师除了注重格式的教学之外，还应当注重突出方程方法的优越性。教师可以有意识地设计一些用算术方法非常繁琐、而用方程方法比较容易的题目，让学生意识到方程的优越性。
3.注重教学过程中的引导
列方程解决实际问题的关键就是找准等量关系。教师在教学过程中，可以首先设计一些含有未知量的列式题，让学生感受将已知量和未知量放在一起进行考虑。解决实际问题的过程中，可以适当地寻找同一题目的多种等量关系，选择最适宜自己解题的等量关系列方程。
4.重视作业及试题设计
l.1.005读作( )，它里面有( )个千分之一，精确到百分位是( )。
2.六亿五千零七万八千写作( )，把它改写成用万作单位的数是( )，省略亿后面的尾数是( )。
3.5千米60米=( )千米。 ( )日=36小时
9.08平方米=( )平方分米， ( )毫升=4.05立方分米。
4.4÷5=(——)=8∶( )=0.( )=( )%=( )成。
5.一节课的时间是( )分，再加上( )是l小时。
6.用分数表示下面各图形中的阴影部分。
( ) ( ) ( )
7.把32分解质因数是( )。
8.12和18的公约数是( );16、24和48的毅小公倍数是( )。
9.4∶5和 ∶ 可以组成比例是因为( )。
10. 的倒数是5的( )%。
11.钟表上分针转动的速度是时针的( )倍。
12.右图是由两个棱长都是2厘米的正方体拼成的一个长方体，这个长方体的表面积是();体积是()。
13.要挖一个长60米，宽40米，深3米的游泳池，共需挖出( )立方米的土，这个游泳池的占地面积是( )。
二、判断题。正确的在( )括号内打“√”，错误的打“×”。(共5分)
1.含有未知数的式子叫方程。 ( )
2.圆周长的计算公式C=2πr，其中的C和r成反比例关系。 ( )
3.不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况，这样的统计图是折线统计图。 ( )
4.植树节学校一共种了2000棵树，未成活的有4裸，成活率为96%。( )
5.右面正方形的面积为4平方厘米，则阴影部分的面积为2平方厘米。
( )
三、选择题。将正确答案的序号填在()里。(共5分)
1.①粉笔;②硬币;③水管，这些物体中，一定不是圆柱体的是( )
2.一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，圆柱体的体积是圆锥体的( )。
[① ②3倍;③ ]
3.比3小的自然数有( )个。[①3;②2;③无数]
4.①圆;②三角形;③四边形，这些图形中，一定是轴对称图形的是( )。
5.把10克盐溶于40克水中，盐与盐水重量的比值是( )[① l∶ ;② ;③ ]
四、操作题(共10分)
l.一个运动场长为200米，宽为120米，请用 的比例尺画出它的平面图。(先分别算出运动场的长和宽各应画多少厘米)
2.①量一量右面线段的长为( )。
②以这条线段的长为半径，画出一个圆来。
③算一算所画的圆的周长为( )，
面积为( )。
五、计算题(共35分)
l.直接写出下面各题的得数。 (4分)
34×5= 0.37+ = 0.99÷1.l= 10.6- =
× = 0.375÷ = 40×101= 254+98=
2.解方程。 (6分)
① ② ∶ =5∶0.4 ③2.75 十 ×3=
3.下面各题，怎样算简便就怎样算。 (15分)
①2.8÷ × ÷0.7 ② ×4.8÷( ÷ +0.2)
③0.4×9×25 ④ × +0.25×0.125
⑤ +5.8- +4.2 ⑥ ×[12.6-( +0.125÷12.5%)]
4.列式计算(5分)
①4.5与 的差的24%是多少?②一个数的6倍是10.2与 的和，求这个数。(列方程)
5.求图中阴影部分的面积。 (5分)
六、应用题。 (共25分)
l.下面各题，只列出综合算式，不解答。 (10分)
①六一儿童节，同学们做纸花，六年级做了120朵，五年级做了100朵，六年级比五年级多做百分之几?
②六年级有男生80人，比女生多 ，女生有多少人?
③王庄去年总产值为23.5万元，今年比去年增加了20%，今年的产值是多少万元?
④小林的妈妈在农业银行买了6000元国家建设债券，定期3年，年利率为2.89%，到期她可获得利息多少元?
2.学校食堂五月份烧煤9.3吨，六月份烧煤9吨，两个月平均每天烧煤多少吨? (5分)
首先，从编者的角度研读教材。
教材是编者根据教学的总体目标、学习规律和学生的认知心理等特点精心编写的，只有站在编者的角度上研读教材、了解教材的编排体系和理解编者的意图才能更好地把握教材。一般来说研读教材可分以下几个步骤。
系统了解全册教材内容。掌握编排体系，明确各个部分与整体的关系，讲课时才可以做到前后呼应：前边做好孕伏工作，后边逐步整理，便于学生形成认知结构。例如在教学五年级的“确定位置”之前就必须认真研读二年级“确定位置”的教学内容，把握学生已有的知识基础，再利用二年级课本上的“班级座位表中某生的位置有多种不同的表述方式”的情境作为教学引入，让学生感到复杂、重复、无规则，从而产生寻找简洁的述说方式的欲望，从而揭示课题“用数对确定位置”。
全面分析单元教材内容。教学一个新的单元，必须全面研究单元内容的层次与结构，明确单元教学的目的要求，掌握重难点，抓住知识点。一般情况下，各个知识点是依据学生的认知心理，由简单到复杂，由此及彼，依次安排，以便学生逐步认识、积累和掌握相应的知识内容。例如，五年级的“方程”单元，首先教学方程的意义，再教学等式的性质，然后根据等式的性质解方程，最后用方程知识解决生活中问题。教师只有了解整个单元的知识脉络，心中有数，才能致力于某一课的教学。
具体研究例题教学内容。首先必须明确教材中的例题主要让学生学习什么，以便围绕知识点组织教学、开展教学活动。研究例题的知识点，还需要关注例题所涉及的知识与运用范围。例如，五年级“公倍数和最小公倍数”的例题让学生通过动手操作感悟“两个数的倍数就是这两个数的公倍数，其中最小的一个就是最小公倍数，只要求学生掌握求两数最小公倍数的方法就可以了”。但教材习题还扩展到“用最小公倍数方法解决生活中列车的发车问题”、“房屋装修铺地的问题”……所以教师应把例题所涉及的知识与运用范围纳入教学目标，才能使学生触类旁通、灵活运用，进而发展能力。
其次，从教者的角度用好教材。
教师不仅要从作者、编者的角度来体会教材，更要从教者的角度来体会教材。教者角度就是教师以“主导者”的角度对教学目的、重点、难点、特点、疑点等加以综合考虑，充分发挥教师个人的主观能动性。
教师在研读教材时应有整体观念，不仅要了解本学期的全册教学内容，还要了解前一册和后一册的教学内容。例如哪些内容过去放在这个年级学习，由于教材的改编，放在另一个年级了；有关某方面的内容学生已经有怎样的知识基础；哪些知识内容是和后面有联系的，可以组合的……一定要全面了解，做到前后贯通，心中有数。教师的教学目标，也是学生的学习目标。因此，教师需围绕编者的意图，考虑学生的特点，对学生的兴趣、难点和希望，要认真剖析、合理取舍：与教学目标关系密切的要巧妙运用，加以诱导、启发；与教学关系不大的要稍加点拨；与教学毫无相关的要“弃之不惜”。
最后，从学生的角度理解教材。
一、数学教学中强化方程思想遇到的障碍分析
方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获得解决。方程思想的核心体现就是建模思想与化归思想。
1.渗透建模思想存在的障碍
（1）强势的算术思维定势
所谓的定势，是指由于心理操作活动的积累而形成的解决问题的刻板和准备状态，是人们在过去经验的影响下，解决问题的倾向性。学生从一年级到四年级，所接触的、学习的都是基于现实数字的操作。经过四年的数学训练，学生已经习惯于用算术法解决问题，“通过运算得到结果”这一心理操作过程在学生头脑中已根深蒂固。
（2）解题步骤繁杂，学生心理排斥
算术法是用算式来表示思维的过程，从形式上来看相对简洁。而列方程解应用题有其严格、规范的步骤与格式，特别是要写出一长串的文字，以说明将哪个未知数假设成已知数，学生感觉书写上特别烦琐，从而排斥用方程法解决问题。
（3）列方程存在方法上的缺陷
由于学生长期用算术法解决问题，而用方程法时未知数要参与列式、运算，这对于有些学生来说是一个比较难理解的过程，所以有些学生不是不喜欢“方程”，而是不会运用，只能“敬而远之”。具体表现在以下几方面：不会找等量关系式、不会假设合适的未知量、不会解方程。
2.渗透化归思想存在的障碍
（1）学生方面的原因
①已有经验的负向迁移
学生虽然从第二学段才开始学习解方程，但学生从一年级开始已积累了与方程思想有关的符号、等式的意义等经验。笔者在教学完“等式的性质”后，请学生运用已有的经验自主探究出解方程的方法，收集学生作品进行统计分析后发现，77.5%的学生倾向于运用已有的解方程的雏形经验来解方程，这势必对学生学习利用等式的性质来解方程带来负面影响。
②学生嫌其书写格式麻烦
为尽量避免学生运用四则运算关系解方程经验的负向迁移，强化用等式的性质来解方程，教师往往要求学生写出利用等式的性质的思维过程，而这种形式上的烦琐又引起了学生心理上的反感。
（2）课程方面的原因
①解方程课时安排过少
新教材在编排上将解方程和列方程解决实际问题融合在一起，安排了10个例题的教学内容。学生既要学习列方程解决实际问题的策略，又要探索解方程的方法，这样的安排难点过于集中，影响了学生解方程技能的形成。
②难点突出又过于集中
教材的解方程教学，只安排了形如x±b=c、ax=b、x÷a=b、ax±b=c、ax±bx=c，而忽略了a÷x=b、a-bx=c、3x+6=4x-2等类型方程解法的教学，而在具体的问题解决中列出这样的方程是无法避免的。
二、小学高年级数学教学中强化方程思想的策略
1.在列方程教学中强化建模思想
（1）体会优势，让列方程成为学生的应然选择
①方法对比，在过程中感受方程建模思想的价值
学生从开始学习到列方程解决稍复杂的实际问题，会面临复杂的问题情境，学生运用算术思维解决问题受挫，冲突引发需求，此时教师引导学生运用方程建模的思想解决问题，学生经历了实现顿悟的过程，从而体验到方程分析法的优势。
②问题比较，在运用中感受方程建模思想的适用性
当学生在进行了一定的列方程解决问题的训练之后，也不可避免由算术思维的定势走向了方程分析法的定势。所以教师要通过设立对比性练习，让学生感悟到根据顺向思维能直接列出算式计算出结果的问题适用于算术法，而逆向思维的、数量关系隐蔽的问题应该尝试用列方程的方法来解决。
（2）重点突破，加强寻找等量关系的方法指导
教师要寻求合适的教学策略帮助或促进学生识别、分析问题中的数量关系，建构起问题中的等量关系，这是方程教学的关键。要注重从情境本身去建构等量关系，而不是只强调抽象的等量关系。
①抓关键句转译数学语言，确定等量关系
语言表达是完善思维活动过程的必要手段。方程分析法的显著优势是顺向思考，教师给予学生说的机会与时间，学生抓住关键语句将题中的事理按顺序说出，能进一步促使学生将生活情境转译成数量关系，这是学生把握等量关系的有效前提。
②数形结合有效表征问题，确定等量关系
学生对问题进行正确的表征，是有效解决问题的前提。在数学教学中要引导学生将问题中的信息用画线段图的方式进行表征。借助直观形象的线段图，学生能更容易找到等量关系，从而顺利实现方程的建模。
③根据常见的数量关系，确定等量关系
有些数量关系在生活中经常接触，学生比较熟悉。对于这样的数量关系，可以让学生在充分体验的基础上再进行抽象。在解决问题的应用中，教师要关注巩固常见的数量关系，这对帮助学生寻找等量关系有着至关重要的作用。
④把握不变量，确定等量关系
面对复杂的问题情境，学生往往会感到束手无策，不知如何确定等量关系式。笔者在教学中常利用“不变量”的思维，让学生通过“不变量”找出等量关系列出方程，这样就大大降低了教学的难度。
2.在解方程教学中强化化归思想
（1）运用操作原型，专项突破体会抵消思想。
学生在理解了等式的性质之后，教师引导学生利用等式的性质来解方程，发现学生在接受上有很大困难。仔细研究教材，再次发现学生缺乏消元的相关经验，特别是面对形式化的方程时，不知该如何消元，为何要消元。
[案例1]教学x+10=15
师：你能运用自己的方法求出x的值吗？
（大多数学生运用四则运算的关系来求解，学生交流后，教师进一步引导。）
师：你能运用我们今天学习的等式的性质来解方程吗？
（只有少数几个同学举手）
师：有点困难，看老师为你提供的材料，能给你带来启发吗？
生1：我们可以将左边拿去10g，要使天平保持平衡右边也要拿去10g。
生2：我们将等式的左右两边都减10就可以了。
师：等式两边为什么要同时减去10呢？
生：这样就可以把x+10变成x，我们就可以求出答案了。
操作原型是跨越算理与算法之间的桥梁。教师注重拉长相关教学细节，以使学生操作本身所蕴藏的抵消思想得以逐步显性化。学生在操作的过程中，丰富了体验，顺利实现抵消经验的自然积淀。在此基础上，教师要加强抵消思想的专项训练，例如：x-15=60，x-15+15=60，以实现算法的自动化。
（2）延续利用画图，以用促算体会化归思想
新教材将方程教学与列方程解决问题融合在一起，在解决复杂问题时，很多教师都能引导学生画图来表征问题以实现方程的建模，但画图的价值也仅限于列方程。在实际教学中，笔者将实际问题的解决与解方程结合到一起，“以用促算”收到了良好的效果。
这样的微调更为直观形象，方程的运用本身促进了算法的内化，化归思想也能更容易为学生所理解。
（3）题型延伸类比，整体建构提升化归思想
慈溪阳光实验学校505班 孙璐瑶
“世上只有妈妈好，有妈的孩子像个宝……”这首儿歌让我们真切的感受到了妈妈对我们的爱是多么伟大。虽然爱体现在几件平凡的小事中……
昨天晚上我睡着后，不知过了多少时间，我又迷迷糊糊地醒来了。忽然，我仿佛看到了一个人影走进了我的房间。由于我不知道这到底是不是做梦，而且又很困，所以又马上睡着了。
今天早上，妈妈跟我说：“璐瑶，昨天晚上你睡着时，把被子踢到了地上。幸好我去你房间看过几次，要不然你的感冒又要加重了！”
“什么？”我问道，“怪不得昨天三更半夜我感到有人影进我房间，我还以为是梦。原来是妈妈来给我盖被子呀！谢谢妈妈！”
“妈妈，那么晚了你还来我房间帮我盖被子，你不困吗？而且天那么黑，你不怕有鬼？”没等妈妈说话，我又抢着说。
“傻孩子，要是你没睡好，我怎么能睡得安稳？”妈妈笑道。
还有几次，我学奥数那里的家庭作业中，出现了几道难题。我不会做，去问妈妈。妈妈先用解方程的方法教我，见我听不懂，妈妈再找到另外的方法解释给我听。直到我听懂后，妈妈才肯放心的走开。
妈妈的爱，是需要你去发现的。说不定在几件平凡小事中，却能体现出妈妈对我们的大爱。
五年级:孙璐瑶
[教学内容]
人教版五年级上册73页
[教学目标]
1.使学生初步理解和掌握列方程解决一些简单的实际问题的步骤，掌握简易方程的解法，提高解简易方程的能力。
2.让学生自主探究，分析数量之间的等量关系，并正确地列出方程解决实际问题，培养学生的主体意识、创新意识以及分析、观察和表达能力。
3.使学生感受数学与现实生活的密切联系，体会数学在生活中的应用价值和学习数学的乐趣。
[教学重点]
正确设未知数，找出题目中的等量关系，会列方程，并会解方程
[教学难点]
根据题意分析数量间的等量关系
[教学方法]
创设情境、自主探索、合作交流
[教学过程]
一、铺垫引入
1.解方程
x+8=16 43Ha x=38
2.说出下列题中的等量关系
（1）我们班男生比女生多8人。（2）实际用煤比计划节约5吨。（3）实际水位超过警戒水位0.64m。
3.引入新知
师：同学们平时经常锻炼身体吗？你们平时都喜欢做哪些运动呢？
生：跑步、打羽毛球……
师：看来同学们喜欢的运动还真不少！
出示教材第73页例1主题图，分析图中获得的信息，看图分析。
生：小明的成绩为4.2lm，超过了学校原纪录0.06m。
师：根据刚才的信息，你能提出一个数学问题吗？
生：学校的原跳远纪录是多少？
师：原跳远纪录不知道我们能否用未知数表示？你能用一种新的方法来计算吗？
这节课我们就来一起学习如何用方程解决实际问题。
（板书课题：实际问题与方程）
二、探究建模
1.合作探究，解决问题
个人独立思考列式，小组内交流自己的想法。
2.交流汇报，达成共识
师：怎么列式呢？哪个小组来汇报下你们的想法？
生：4.21Ha0.06=4.15（m），所以学校原跳远纪录是4.15m。
师：同学们还有其他方法吗？你能找出题里的数量关系吗？
生：也可以用方程来求解。由于原纪录是未知数，可以把它设为xm，再根据题意列出方程。
师：你能写出具体解题过程吗？
生：解：设学校原跳远纪录是xm，
原纪录+超出部分=小明的成绩
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x=4.15
所以学校原跳远纪录是4.15m。
答：学校的原跳远纪录是4.15m。
师：很好！但是这位同学忘了检验计算结果是否正确。有同学能说说该如何检验吗？
生：把x=4.15代入方程，得
方程的左边=x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程的右边，
所以求解结果正确。
3.归纳小结，提升认识
师：同一个问题，我们用了几种不同的方法解决？都合理吗？
（可以用算术的方法，也可以列方程解答。）
用方程的思路解决问题，你认为关键是什么？
生：寻找分析题目里的数量关系，找到等量关系，根据等量关系列出方程。
三、练习巩固
1.完成教材第73页“做一做”的第（1）小题和第（2）小题。
你从题中能知道哪些信息？有哪些等量关系？说出所给条件的单位不统一，要化成统一的单位。
2.小组讨论怎样找到相等的关系，指名汇报并板书。
四、回顾小结
师：这节课学习了什么？用方程解决问题应注意哪些问题？（列方程解应用题，关键是要找出题目中的等量关系，根据等量关系式假设未知数为x，然后再列方程解应用题。）
[板书设计]
实际问题与方程
解：设学校原跳远纪录是xm。
原纪录+超出部分=小明的成绩
x+0.06=4.21
x+0.06Ha0.06=4.21Ha0.06
x =4.15
把x =4.15代入方程，得
方程的左边 =x+0.06
=4.15+0.06
=4.21
=方程右边，
关键词：教学反思；利用；借鉴 教学反思的重要性是众所周知的，几乎所有的教育专家都强调课后反思对教师专业成长的重要性。然而，却很少有人会想到去利用这些宝贵的教学反思。“前事不忘，后事之师”，自己或他人教学反思中所提及的教学问题一般都是教学上的难点，是普遍存在的教学问题，是需要我们教师去仔细琢磨、研究的问题。而教学反思中出现的亮点部分或许就是解决教学难点的一种方法或尝试。平时多多琢磨自己或他人的教学反思，不但有助于教师教学水平的提高，避免一些不必要的失误，而且能够有效地提高教学成效。
一、“磨”教学反思——有效发现认知盲点，对症下药
一些缺乏经验的教师，尽管课前做了精心准备，教学中还是会遇到许多实际问题。不同教师在同一课时教学中出现的问题往往雷同，如果事先借鉴了教学反思，就可以及时对症下药，有效避免同类问题的出现，从而提高学生学习效率，提升他们的学习自信心。
例如：教学“小数乘整数”（人教版五年级上册第1页）这一课时，本校的一位教师依照优秀教案，先教学例1，出示教材主题图（买风筝），询问学生从中了解到什么信息，再提问：“买3个风筝多少钱？”引导学生列式后，先让学生尝试计算，再交流不同的算法，最后重点引导学生用竖式计算。在教学例2时，出示“0.72×5”，重点讨论小数乘整数的计算方法，最后是练习“做一做”。布置课后作业（以下是“作业本”中部分有代表性的题目）：
1.28×4 18.3×15 7.25×4 4.66×150
一堂课下来，教师自我感觉良好，但学生课后作业却错误百出，问题何在？原因是教材中出示的两个例题，第二个因数都是一位数，而在课后练习中，学生需要独自面对的几个认知盲点，教学设计中并未给予解答（如下表）。
本人在备课时，由于事先参考了“人教论坛版主王飞云的‘人教版新课标教材五年级上册教案（且行且思）’中关于‘第1课时小数乘以整数’的教后小记”，在课堂教学时，有针对性地选择题目进行练习，及时扫清学习盲点，课后作业表明学生掌握得十分理想。
二、“磨”教学反思——合理安排课时，分散难点
新教材没有固定的课时安排，教师可以根据本班实际灵活安排。把握本班实际和课时难度是合理安排课时的前提，教师也可根据平行班中水平相似班级的教学情况来确定本班教学课时数。
例如：在教学“稍复杂的方程（一）”（人教版新课标教材五年级上册第65页例1）时，我事前认为先依据“比黑色皮的2倍少4块”列出相等关系“黑色皮的块数×2－4=白色皮的块数”，写出方程“2x－4=20”，学习方程的解法是可以用一课时来完成的。但实际教学后发现这一课时过于匆忙，教学效果并不理想。原因是初次接触稍复杂的方程解法，中下水平的学生一时难以掌握，而且练习中还出现了诸如“4x－3×9=29”之类的变式练习，再加上检验，许多学生难以掌握；同时，学生仍习惯于用算术思维解题，以至于独立练习时出现“x÷2+4=20，x÷2－4=20或x－4÷2=20”之类的错误。同级段的施老师听说了我的教学情况后，结合本班实际，将这一部分内容分为两课时，第一课时专门用来学习解方程，将此类方程的解法学扎实；第二课时专门用来学习列方程解决问题，逐步导入，有效地减轻了教学难度，并获得了很好的效果。
三、“磨”教学反思——减少失败的概率，提高教学成效
教学中总是存在着许多难点，善用教学反思提早做好准备，能有效地提高教学成效。
例如：第一次教学“人教版新课标教材四年级上册第112页数学广角中的烙饼问题”时，我是根据自己的理解，将食物模型操作与表格统计法（如下表）相结合的。
但由于学生本身对表格的解读能力不强，再加上表格不能体现出锅里有没有位置浪费这个关键性的问题，实际教学效果并不理想。事后我琢磨了很多教师教学本教时出现的问题以及不同的教学策略，发现一位教师的画图法能起到很好的教学效果，画图法既能将动态的过程以静态的形式形象地显示出来，还能让锅的利用情况一目了然，如下图：
有了前车之鉴，第二次教学“烙饼问题”时，我就完全放弃了表格法，先花半节课时间让学生充分地通过画图来表示自己的想法，结合图形来发表自己独到的见解，再在丰富感性材料的基础上探究其中的奥秘。事实证明，这种教法有效地突出了重点、突破了难点，很适合当前学生的认知水平，从课后作业情况来看，全班除3人外都已掌握这一课时的内容，效果极佳。
四、“磨”教学反思——杜绝“师源性错误”的发生
“师源性错误”是指由于教师教学的错误而造成学生间接性的认知错误。教师由于经验不足、一时疏忽或教材意图不明都会造成“师源性错误”。
如：教学人教版新课标教材四年级上册第115页“数学广角”中的“排队等候问题”时，许多教师会产生误会，自己等候的时间是否计算在内，如果仅按个人想法就容易背道而驰。如果事先了解过他人的教后反思或调查过教研论坛中相关的信息，就会发现很多人都犹豫过自己等候的时间是否计算在内的问题，最后都是依据教参的意思计算在内的，难怪部分教师备课时稍不留神就会误入歧途。
一个教师，在钻研教材、自我探索的基础之上，如果还能多“磨磨”自己或他人教学反思中提及的教学问题或建议，所收获的可能不仅仅是课堂教学的效率和效益，更重要的是在不断思考、不断借鉴的过程中伴随着教师逐步成长的自身能力的提升。如果说写反思是教师成长的基础，那么“磨”教学反思就是教师成长的催化剂。让我们行动起来，多“磨磨”教学反思，提高教学成效吧！
参考文献：
［1］张万祥，万玮.教师专业成长的途径.华东师范大学出版社，2005-10.
［2］朱永新，袁振国.中国教师：专业素质的修炼.南京师范大学出版社，2003-12.
一、 教科书中“式与方程”的衔接特征
1. 主体内容的独立单元式螺旋上升
小学数学中的“式与方程”主要包括用字母表示数、简易方程和列方程解决简单的实际问题等内容。苏教版小学数学教科书就“式与方程”的内容，根据学生的心理特征、知识间的逻辑关系等情况，在编排方式上采用了螺旋上升式。其具体的设置情况如表1所示。
表 1 苏教版教科书“式与方程”主体单元设置情况
苏教版教科书在四年级下学期最后一个单元安排了用字母表示数，这是在学生经过第一学段的准备后，明确设置代数知识，要求渗透代数思想方法的独立单元。在此单元中教材大部分内容是先通过简单的问题情境，让学生先理解字母可以表示数，进而逐步提升原有问题情境的复杂性，循序渐进地引导学生熟练地使用含有字母的式子表示各种基本的数量关系。其中的例题大多数采用了归纳的思想方法，通过特例、由算式表示数量等，启发学生归纳出一般的规律，而这个一般规律需要用含有字母的式子来表示。如下例所示：
摆1个三角形用3根小棒
摆2个三角形用小棒的根数是：2×3
摆3个三角形用小棒的根数是：（ ）×3
摆4个三角形用小棒的根数是：（ ）×3
……
摆a个三角形用小棒的根数是：（ ）×（ ）
问题：你知道这里的a可以表示哪些数么？[1]
接着再学习化简形如“ax±by”这样含有字母的式子，这部分需要列出的含有字母的式子已经达到了以三步运算为主，且是后继学习形如ax+by=c式方程的基础。
到五年级下册第一单元方程部分，教材首先结合具体情境――“用式子表示天平两边物体的质量关系”，引导学生了解等式和方程的关系，理解并会应用包含四则运算的简单方程。其中有关等式的性质是贯穿整个方程学习的核心――“等式两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍然是等式”，“等式两边同时乘以或除以同一个不等于0的数，所得的结果仍然是等式”。这样使先前等式性质与新知充分联系起来。教材另外重点强调的是未知数的表达既可以是“x”，亦可以是“y”，还可以是“a”，甚至可以是任何字母，即数学不再是单纯地研究量的科学，还是研究结构的科学，“变量不再表示数，而是表示一个给定域中的类[2]”（如在五年级下册苏教版教材第2页到第3页都刻意用不同的字母来表示等式中的未知量）。同时拓展了字母代数的含义，做到有机地与“式与方程”前一单元内容的衔接。
到六年级上册的方程单元，考虑到学生已经能够熟练地运用等式的性质来解形如x+a=b、ax=b和x÷a=b的方程，对于ax±by的化简也已学过，教科书主要设置用形如ax+b=c、ax÷b=c和ax+bx=c的方程来解决实际问题，并引导学生自主探索有关方程的解法。三个独立单元的学习使学生分析、抽象概括的能力得到增强，符号感得到逐步发展，与此同时，对方程解的准确性检验，在文化层面上还传递了一种自省的内涵。
2.多层面的渐进式前置渗透
表 2 “式与方程”前置性内容简要分析
由符号“”“”“（ ）”“”这些既可表示填写数的空位，也可用来表示数的符号这样的孕伏阶段逐渐过渡到图形面积计算公式和一些运算定律的前置性知识，为正式学习字母表示数做好铺垫。由25+（ ）=18+（ ）等算术或代数的结构关系式进行呈现与渗透，体现代数知识的结构特征与代数思维的关系性等。如此形成从不同层面的情境、不同层面的知识、不同层面的思维进行前置性渗透，为学生后继“式与方程”的学习奠定基础。
3.多元化的散点式后置拓展
小学数学的“式与方程”实际上是代数学习的一个开端与显性知识模块，后继其他知识点的学习可以此为基础进行拓展。现选取“比与比例”以及六年级上册《解决问题的策略》中的“替换与假设策略”内容对方程知识的隐性延伸做稍微的阐述：第一，方程“等价思想”的拓展应用。具体表现为六年级上册认识比单元《大树多高》中测量大树高度的实践活动就是利用“在同一地点，同时测量不同的竹竿，高度与影长的比值是相等的”这种等价思想列出具有对应性的方程的。第二，方程“假设思想”的拓展应用。具体表现如解决问题策略单元的例2“全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有多少只？”教材试图启发学生使用多种具体的假设方法解决问题，这些均属于方程知识的实际应用，单元后面的“鸡兔同笼”问题也有异曲同工之效。如此通过或显性或隐性、不同数学知识模块以及不同知识领域对方程知识进行散点式的拓展、渗透与巩固，有效地强化与提升了“式与方程”与其他知识内容的衔接与融合。
二、 教科书中“式与方程”衔接的建议
1.加强“式与方程”单元编排的系统性
“式与方程”模块在苏教版教科书划分为四、五、六三个年级的各一个单元来编排，虽然设置了针对性的衔接点，但时间跨度较长，由于遗忘等会造成衔接的困难，同时也会对形成系统的数学知识产生不利影响。知识系统性的不完整，对学生的灵活运用是具有破坏性的，所以可适当集中设置，如将五、六年级两单元合并为一单元，增强方程体系的系统性。这样安排也能更好地贯彻《数学课程标准（2011版）》中降低的解方程的要求（由之前“理解等式的性质”到现今的“依据等式的性质来解方程”），在人教版的小学数学教科书中此内容就编排在5年级上册的一个单元里。
2.注重“式与方程”内容与学生数学活动经验的衔接
“式与方程”三部分内容的衔接符合知识之间的逻辑关系，强调了数学的现实情境，以及数学与现实的衔接，但在设置与衔接中缺少对学生数学活动经验的关注。《数学课程标准（2011版）》明确要求：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平与已有的知识经验基础上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会。帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”因此教科书在前面的引入到后继的复习阶段，可由学生依据自身已有的知识经验自主设计问题，来让其他同学解答，使所学内容与学生的活动经验紧密结合。通过相互间基于数学基本活动经验的讨论与交流，提升彼此的活动经验与解决问题的能力，促进数学学习的个性化，拓展数学的本原性知识，获得更广泛的数学活动经验。
3.增加“式与方程”与相关数学史知识的衔接与提升
苏教版教科书在“式与方程”三个模块中，仅有两册书在“你知道吗？”中提及一点数学史知识，一个是最早有意识地系统使用字母的数学家韦达，另一点是介绍我国古代数学家李治的“天元术”与朱世杰的“四元术”，对相关数学史的渗透与拓展存在不足。如对方程及代数具有重要贡献的笛卡尔的有关观点：“如果我们要解决一个问题，我们首先假定解已经得到了，并且给解的结构中需要的每个量命名――不论是未知量还是已知量。平等对待未知量和已知量。然后，我们必须想方设法建立量和量之间的自然关系，直到我们发现用两种表达式表示同一个量。因为这两个表达式表示同一个量，所以可以建立等式[2]。”这是笛卡尔在1637年出版的《几何学》中最早提出的方程，这一特别的等式的概念未曾提及。由此可见，具有明显文化符号特征的数学史知识需要更多地在编排中给予关注，将相关史实所蕴含的人文内涵传递出来，体现数学作为人类文化子系统的特征[3]。
由于小学数学教科书综合性强，可读性与易读性要求高，在关注整套教科书的编排，关注“数与代数”“图形与几何”等大模块设计的同时，还要进一步关注各个主题之间的有机衔接与融合，注重各主题间的优化与渗透，以充分发挥教科书的功能与价值，增进教科书的有效使用。
参考文献
[1] 义务教育课程标准实验教科书《数学》（四年级下册）[M].南京：江苏教育出版社，2012：106.
