时间：2023-05-30 08:54:24
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇圆的面积练习题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、整合习题，丰盈教学资源
教材习题的编排是逐条独立呈现的，但它们之间是有内在联系的，随着教学内容的不断推进，教材编排的某种题型，会适度变化提高后分散在一册教材的不同单元的练习中，对于那种教材中并不是以新知形式出现过，又有些难度的习题，我们如果按照进度一题一题地做单项练习，必然增加了学生的练习难度，教师在使用时要尽可能地考虑其系统性，使其更具有结构性，把一些既有难度又有联系的习题有机地整合起来，这样丰盈了教学资源，也取得了很好的实效。
案例1：六年级上册第27页
（3）张大伯的一块农田去年种普通水稻，产量是1200千克。今年改种新品种水稻后，产量不去年曾产二成，今年的产量是多少千克？
六年级上册第32页：
5.一百货商店所有商品都按八五折出售，一部摄像机原价5000元，一盒录音带原价30元。爸爸带了4500元想买一部摄像机和10盒录音带，他带的钱够吗？
六年级上册教材P27的“成数”问题、及百分数应用里的“折扣”问题的练习题频繁出现在整册教材中，可教材并没有提供相应的例题教学，我借鉴了我在低段教材练习题研究的成果，把“成数”问题和百分数应用里的“折扣”问题中的一道道单薄的习题进行了有效的重组，演绎成了一堂课。于是，我设计了一节新课《成数与折扣》。并在我校以公开课形式进行了研讨，在评课活动中，我校教师的“七嘴八舌”，使我感受到了这一创造性设计的成功。
教学设计如下：
课后反思：在往届的教学中，我曾经遇到过类似的无数烦恼。像“成数”和“折扣”这知识点是突然间在课后练习题中出现的。为避免教材中练习题出现的这一不尽人意的现象，我用一整节课的时间，对“成数”与“折扣”此类题目做相应的整合，以一节新授课的形式由易到难，层层递进，学生探究发现了“成数”、“折扣”与分数和百分数的内在联系，化解了教材中此类练习题给学生不同时段带来的解题困扰，也有效减免了老师遇到的后续困扰。
在六年级的两册教材中，我们遇到的无例题教学的练习题类型还有很多。我先后尝试增设了《单位“1”》、《特殊的方程》、《利息税》等新授课。把知识点进行有机整合，进而突破练习中的难点，减少新教材中此类练习题给我们师生带来的缺憾。只要我们教师能用系统的、有联系的眼光审看习题，处理习题，我们的课堂和我们的孩子将有无尽的收获！我愿在摸索中探索，探索中摸索，对教材中既有难度又有联系的练习题进行有机整合，以丰盈我们的教学资源，取得实效。
二、搭“脚手架”，发展学生思维
小学生的思维发展的特点是：从具体形象思维到表象联想，再由表象联想逐步形成对简单事物的抽象逻辑思维能力。为了加速从具体形象思维向抽象思维过渡，使学生的思维能力早期得到开发，我们可以运用教材中思维含量较高的练习题，对他们进行思维训练，适时引领，逐步提升。如何使一道道习题演绎的饱满而丰盈，富有张力，这对我们教师的教学引导艺术也是一种考验。
案例2：六年级上册第13页
在教学圆周长的第二课时时，我仔细钻研了教材，及时和老教材作了比较，发现《圆的认识》这一个单元更注重数学知识与生活的联系，注重数学知识的形成过程，并且增加了数学背景知识的介绍，数学书的第14页的《数学阅读》――圆周率的历史。继续研究我发现圆周长和圆面积的练习中，多处涉及到了关于正方形的内接圆问题。
思路理清后，我先创设了一个趣味性的问题情境，让学生独立思考、计算。很快，学生都有了自己的解答。接下去的追问使课堂上生成了意料中的精彩。
师：如果要把这两个图形组合在一起，你认为圆应该画在正方形的里面还是外面呢？请你说说你的理由。
生1：我认为圆画在正方形的里面吧！
师：为什么？
生2（补充）：因为正方形周长更长，圆的周长更短。
生3：我有不同的理由。我认为既然直径和边长是相等的，圆的周长是直径的3倍多一点，正方形周长是边长的4倍，那么圆周长要短一些，所以圆要画在里面。
结合探讨的理论，我适时板书：直径的2倍
思维的闸门一下子打开了。教师在原题的基础上，巧妙地进行追问，让学生的思维在鼓励和期待中碰撞，闪耀出火花，真正挖掘出练习题中的智力因素，这样为学生拓展了思维的空间，提高了学生的思维水准。
师再度追问引领：在这个范围之间，可以是2倍多一些，也可以是3倍多一些。多一些又是多多少呢？古代数学家们为了得到圆周长是直径的几倍的精确结果，他们把圆外面的正方形做了进一步的细化，请你阅读数学书第14页《圆周率的历史》。
师：请有兴趣的孩子以数学日记的形式写《学后感》。
第二天，拜读着孩子们的习作，我想本次“数学故事”（P13）的改编，不仅拓展了学生的思维空间，而且让学生进一步明确了圆周率为什么是直径的3倍多一些的道理。我们一线老师只有认真钻研教材，对教材的练习题作深入的思考，继而自主开发，有效引领，才能更好的达成教学目标，发展学生的思维，收获意想不到的收获。
三、适时操作，培养探究能力
新教材的一个重要特点是：让学生的学习方式以探究式学习和动手实践为主。教材所提供的习题材料是以静态形式出现的，而知识的发生与发展往往经历了从量到质的动态变化过程；同时，对小学生来说，动态的材料往往比静态的材料更能吸引他们的注意力。因此，作为教师应深入研究教材、研究学生，充分挖掘静态练习题中所包含的动态因素，变“静”为“动”，以“动”促使学生的多种感官参与数学学习。进而激发学生的学习兴趣，从而促进学生思维与数学知识的和谐结合，提高学生的学习效率。
教材里的有一部分练习光靠笔头上写写，嘴巴上说说，远远不够，需进行实践操作，加强感悟，在实践活动中，问题将迎刃而解。
案例3：六年级上册第20页
我在第一个班上课的时候，出乎意料的是：一部分学生的直观感受是小羊走的是个正方形，面积是6×6=36（平方米）。我在黑板上画示意图演示后，有的开始信了，有的认为“听老师的没错”，也信了。当我到第二个班上课的时候，我果断做出了一个决定，走出教室，来到操场。我在操场上请一个人扮演小羊，找来了绳子，“小羊”手拿粉笔，亲自画出了自己能够行走的“地盘”，得到了一个大家眼见为实的“圆”。
这样有趣的一个实践活动，给孩子们的学习增添了无限活力，学习劲头高了，学习也有方法了！
四、精心设计，发展综合能力
《圆的面积》是六年级上册的学习内容，上完练习课后在《每课一练》中出现了图1，图2这样两道题，笔者对这两道习题的进行了两次教学实践，由此引发了对两种不同教学方式的思考。
案例4：
[设计一]：呈现习题――独立解题――统一讲评
⒈呈现习题。同学们请打开《每课一练》P10，完成第2题。
⒉独立解题。请静静的思考，独立完成这两道题目。
⒊统一讲评。请学生讲解解题的思路，以及具体求阴影部分的算式和答案。
[课后反思：遭遇尴尬]
《设计一》主要是让学生利用已有求圆面积和正方形面积知识，解决求阴影部分面积的题目，强调学生对矩中圆表象特征的单一理解，然而在学生解题的过程中却遭遇了这样的尴尬。
从《设计一》遭遇的尴尬中，我们对这两道练习题的目标进行了重新定位，从练习题的有效探究，有效运用两个维度入手，进行了第二次的教学设计。
[设计二]呈现习题――独立解题――统一讲评――探究关系
⒈呈现习题。题目与设计一相同，增加了一个问题：阴影部分面积是整个图形面积的百分之几？
⒉独立解题。与设计一相同。
⒊统一讲评。与设计一相同。
⒋探究关系。猜一猜：为什么这两个图形阴影部分占整个图形面积的21.5%。
画一画：还有的阴影部分也占整个图形面积的21.5%。
理一理：它们之间存在着怎样的本质关系。
[课后反思：收获惊喜]
两个设计都试图让学生经历“巩固旧知――强化技能――形成能力”这一过程，因为在《设计一》遭遇了尴尬，所以使《设计二》给我们带来了较多的惊喜：
让教师从茫然无措到胸有成竹，探究关系有效沟通了图形之间的关系；教学中从直接告知到探究发现，画图操作引发学生更深入的数学思考；学生从独立解题到整体认知，沟通联系构建更完整的知识能力结构。经过这样的训练，不仅可以使学生对知识之间的内在联系更加清晰，形成良好的知识结构，而且可以使学生思维广阔、灵活，发展学生的学习能力和创造性思维能力。
通过对六年级教材习题的实践研究，我们实验教师对课程改革有了更深刻的认识，收获颇丰。在教学实践过程中关注习题短期功能的同时，进一步关注了习题的长远学习价值，通过解题来锻炼和发展学生思维，对教材中的每一道习题进行充分研究、细心揣摩，透过习题的练习功能看到习题的学习功能，将练习题用足、用好、用到位，使习题的深刻内涵进行外化，发挥了其应有价值。
【参考文献】
[1]黄爱华.《小学数学课堂教学艺术》.河北教育出版社，1999
[2]顾晓东，沈晓东.《数学教材内涵透视与精加工策略》.江苏：《江苏教育》，2007.9
[3]张雪清.《关于教材及教材中的练习题》.《中小学教材》，2006.7
一、精心设计练习内容，让学生进入积极、主动参与的心理状态中。
心理学研究表明：兴趣是最活跃、最现实的心理分成，是一种带趋向性的心理特征。当学生对某种事物发生兴趣时，他们就会主动地、积极地、执著地去探索。因此，选择练习内容时，要充分考虑学生感兴趣的、能让他们主动参与练习活动的练习内容。
1.根据学生年龄特征设计趣味题，把“要我练”变为“我要练”。
布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣。设计学生感兴趣的练习题，能够让学生产生积极的情感和练习的主动性。
如：我在教一年级的10以内的加法时，根据学生喜欢小动物的特点，用彩色纸剪了一些小动物图片，贴在黑板上。我贴了6只小白兔在吃萝卜后，就问：猜猜老师还要贴几只？一共有几只？孩子们对此兴趣盎然，在猜的过程中，1人贴，1人猜，大家算，使学生不仅会算6+（ ）=（ ）的题，还激发了学生积极主动参与练习的兴趣，使其自觉进入练习状态。
2.切合学生实际设计操作题，让学生动手、动口、动脑相结合。
知情合一的学习活动才是最有效的学习，而引起学生情感体验的基础是最有效的生活经验。因此，注重实践，多选择一些贴近学生生活实际的操作题让学生练习，可以促进学生在自主实践中练习、理解、深化数学知识。
如：在教学用百分数解决问题后，我设计了一道这样的家庭作业，两人一组（自己选择同伴），用一分钟的时间做口算题，然后算一算自己做的题数占对方的百分之几。在做的过程中，同学之间互相检查、督促、帮助，学生在学中做，在做中悟。面对这种作业，学生主动练习的热情十分高涨。
3.根据学生的差异设计选做题，让学生自主选择题目完成。
由于学生间存在着个体差异，为了充分调动学生主动参与的兴趣，教师可以设计灵活多样的练习题，让学生自主选择题目解答，这能调动学生练习的主动性。
如在“圆的面积”的练习课中，我设计了这样一组自选题：同学们，你们想为自己的小组加分吗（我们班实行小组间加分评比，分多为胜）？今天又有一个为小组加分的好机会哦。我这里有10分、5分、2分、1分的题卡，只要做对题卡上的题，就给自己小组加上相应的分值。
10分题卡：一个半圆，直径5分米，求它的周长和面积。
5分题卡：一个圆的周长是1256厘米，这圆的面积是多少？
2分题卡：D=6厘米，C=（ ），S=（ ）。
1分题卡：R=4米，S=？
在练习过程中，学生可以根据自己的数学能力自由选择题目，优生一般会选择难度较大一点的题目，分值大一些，“差生”则会选择基础题。总之，全班学生都表现得非常积极主动，课堂气氛异常活跃。
4.根据学生、时间、环节选择开放题，让优生更优。
二、精心设计练习方法，让学生的思维在练习中得到自由发展。
让学生自主选择练习方法，可以使学生的个性得到充分张扬。一道练习题的不同方法能为不同层次的学生拓宽相应的视野，长期训练，学生的求异思维、创新思维会得到积极发展。
如六年级上册学了圆的面积后，有这样一道题：一个长方形和一个圆面积相等，圆的直径是16厘米，长方形的长是16厘米，求长方形的宽是多少厘米？一般的方法是先算圆的面积，再用面积除以长方形的长求出宽。特殊方法是：16÷2=8，3.14×8×8÷16，先约分得3.14×4=12.56。练习时，学生根据自己的思维习惯来选择。当学生用第二种方法时，老师给予充分肯定，以后一遇到此类题就能自主运用。
此外，在练习中，教师还应精心创设广阔的思维空间，想方设法激活学生的思维。
三、练习中给予真诚恰当的评价，让师生的心灵交融于自由展示的平台。
练习效果的评价，包括老师的评价和学生的评价。一般情况下，师生的评价都受制于教师的教学理念与思路，但由于学生间存在差异，使他们的思维与解题方法多种多样，教师不一定都能理解。因此，在练习中把评价的主动权还给学生，可使每个学生都积极、主动地表现自己，从而全方位地参与学习。
如六年级上册有这样一道题：六（1）班和六（2）班进行拔河比赛，每班2各选男女生6人，一、二班总人数分别是42人和40人。你能先提出问题，再解答吗？
生1：六（1）、（2）班参加比赛的人数占总人数的百分之几？
生2：六（1）班没参加比赛的人数占本班的百分之几？
生3：六（2）班参加比赛的男生人数占本班人数的百分之几？
生4：六（1）班有多少人没参加比赛？
这就要求教师在课堂教学中挖掘教材资源，大力开发习题的功能，选取典型适度的习题，精心组织，变有限为无限，让学生在老师精心设计的数学练习中触类旁通，达成对知识的深刻理解。
一、注重思想方法的渗透
数学学科中最富有生命力、最具统摄力的是数学观和数学方法论，即数学思想。数学思想贯穿于数学知识、法则、公式、定律之中，但比知识、法则、公式、定律更为重要。在小学数学教学中，重视和加强数学思想的教学和训练，不但有利于提高数学课堂教学效率，而且有利于揭示知识的发生过程、解题思想和探索过程、解题方法和规律的抽象概括过程，使学生学会正确的思维方法，从而促进学生数学能力尤其是创新能力的发展。
比如在《圆的练习》课上，老师先让学生分别计算半径为3厘米、直径为4厘米圆的周长和面积，然后用课件出示甲乙两圆部分重叠，问两圆阴影部分的面积相差多少？由于阴影部分甲和乙及重叠部分都是不规则图形，因此都无法知道它们的面积，但学生通过小组讨论用假设法，假设甲的面积为8，乙的面积为6，重叠部分的面积为1，巧妙地解决了问题。在接下来的“三个相同的圆，半径为2厘米，连接三个圆心，形成一个三角形，求三个阴影部分面积的和是多少”一题中，学生又采用转化的方法，将三个扇形拼成一个半圆形，从而顺利求出阴影部分的面积。在解决具有挑战性的问题中，学生深深体会到，运用这些方法将新知转化为旧知，化繁为简、化难为易，使难题迎刃而解，从而使学生在以后的学习历程中，遇到一些无法用常规方法解决的问题时，能自觉运用这些方法解决，为学生的发展奠定基础。
二、注重彰显反思能力的培养
学生对概念或性质的理解，通常要经历一个从模糊（也许还包含一些错误的理解）到明晰，直到灵活应用的过程，而这一过程需要学生通过不断的实践、交流和反思来完成，自我反思在这一过程中起着关键作用。
同样以《圆的练习》为例，教师在让学生计算环形面积时，发现三种方法后，抓住时机及时追问：哪一种方法更简单？从而让学生感受到，在解决问题时，要具体情况具体分析，敢于打破常规，大胆创新，从不同角度思考问题。特别是在“计算两圆重叠，甲乙两个阴影部分的面积相差多少”时，有个同学说出结果是15.7平方厘米，教师对他的结果并不马上表态，而是提出：这个结果可能吗？谁能想办法证明？把问题抛给学生，适时提供给学生反思的机会，将解决问题的过程变成使用探究的过程，扩大了学生的参与面。因此，许多学生在相互叙说中得到启发，拓宽了思路，激活了思维，迸发出智慧的火花，产生公式推导法、假设法等新的见解。
三、练习素材做到“少”而“丰”
数学课堂教学的散乱、繁杂，有些是因为教具、学具、媒体等教学辅助工具使用不恰当，挤占了有限的课堂教学时间；有些是因为对教学内容的把握不到位，偏离重点和核心，做了不少无用功；但占多数的，恐怕还是对教学素材的取舍不够经济和精练。
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2016）01A-0015-01
在多年的教学实践中，笔者发现当前课堂教学评价中存在着以下不足：其一，缺乏吸引力，没能引起学生的关注；其二，缺乏艺术性，不能起到鼓励作用；其三，未能解决现实问题。那么，如何将教学评价渗透在课堂教学中呢？现根据自己的教学实践，谈谈课堂评价在教学中的渗透。
一、立足多样练习，加强角色引导
在传统的课堂教学中，大多数教师会根据自己的思维引导学生展开探究，课堂评价单一主观，随意性较大，将课堂变成一个人说了算的独角戏，学生都成了配合表演的道具，不利于学生思维的发展。笔者认为，教师要立足多样练习，采用多种角色评价方式，站在学生的立场上思考问题，加强角色引导，公平、公正地展开课堂评价，找到解决问题的策略。
在教学人教版三年级数学上册《整百数乘一位数的口算》时，学生之前已经掌握了表内乘法的知识，此时只需要将整十数乘一位数的方法迁移过来，就能顺利地完成新知的教学。为此，笔者设计了如下的练习题（如图1）：
笔者要求学生不用笔算，直接写出得数，并按照一定的标准进行分类。学生很快找到了两种分类方法，一种是按照“一位数乘一位数、整十数乘一位数、整百数乘一位数”的规律进行分类，即（4×9、3×7、6×8）、（30×7、4×90）、（3×700、400×9）；另一种就是按照算式之间的内在关联分类，即（4×9、4×90、400×9）、（3×7、30×7、3×700）、（6×8）。针对这两种分类方法，笔者给出了不同的评价：对第一种分类的学生，笔者引导学生说出分类方法的依据，加深学生对一位数乘一位数、整十数乘一位数、整百数乘一位数的理解和认识；对第二种分类的学生，笔者提出了问题：如果要给6×8这样的算式找朋友，你怎么搭配？学生根据分类中的规律，很快列出了算式6×80、60×8、600×8、6×800……通过多样化的评价方式，让学生进一步巩固所学知识；通过评价指导，让学生对所学知识有了二度开发，以“评”促思，为学生获得较高层次的发展创造了条件。
二、立足灵活性，提升学习兴趣
在小学数学教学中，很多教师常常会因为学生的错误而心生急躁，导致在课堂上评价言语过激，或是评价过于古板，缺乏灵活性和完整性。因此，教师要立足灵活性，善待学生的每一个想法，将一句“错了，重新写十遍”改为“想想你错在哪里”，引发学生的思想共鸣，让学生体验到学习的快乐。
在教学人教版六年级数学上册《圆的面积》时，有这样一道习题：（如图2）从正方形铝板上剪下一个最大的圆，求圆的周长和面积。
针对这道习题，学生只需要根据圆的面积公式πr2就可以计算出来了，在讲评时笔者对这个面积公式进行了强调，与此同时，为了增强学生思维的灵活性，笔者改变了题目：如果正方形的面积为32平方厘米，在这个正方形中画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？（如图3）
学生认为要求出圆的面积，就要知道半径，但半径要通过别的途径来获得。笔者引导学生重新审视s=πr2这一公式，运用整体思想寻找解题策略：因为r2（图中小正方形面积）=32÷4=8cm2，所以，圆的面积=π×8≈25.12cm2。
三、立足关键点，强化评价策略
在课堂练习中，教师要立足关键点，整体把握知识的重点，深刻挖掘知识内涵，这样才能使课堂练习的评价有“落脚点”。因此，在练习过程中，教师应对学生的习题解答情况了然于心，找准课堂评价的关键点，做到重点突出、有的放矢。
在教学人教版四年级数学下册《小数的性质》时，笔者设计了这样一道习题：下面各数哪些可以去掉0，哪些不能？为什么？1.80，1.080，17.000，80.040，0.060。针对这道练习，学生很容易就将1.80、0.250改写成1.8、0.25，但是17.000却被改写成了17.00。在课堂评价中，笔者让学生大胆陈述自己的想法。学生认为，小数的末尾添上或去掉一个0，小数的大小不变，所以，把17.000改写成17.00。由此可以看到，学生认识的难点和关键点就在于还无法理解小数的性质。为此，笔者抓住“17.00017.0017.017”这一看似正确却有缺陷的解题过程，带领学生深刻领会这个关键点，让学生的认知缺陷得到及时纠正。
【关键词】小学数学；有效性课堂；教学策略
无论是现行的西师版还是人教实验版，都非常注意精选教学内容，教材提供了大量有利于学生开展观察、操作、实验、推理等活动的内容和学生所喜爱的活动形式，以利于引起学生有效学习，使学生完成“现实题材――数学问题――数学模型――数学知识与方法――应用知识解决问题”的学习过程。所以，我提出了以下小学数学有效性课堂教学的一般策略：
一、创设情境，提出数学问题
小学数学教材对于新课的引入，都设计了大量的、与学生生活联系紧密的生活情境，教师可以充分利用这一资源，创设出引人入胜的教学情境，激发学生兴趣，巧妙地提出数学问题。比如：推导圆的周长计算公式活动中，教师让学生准备好几个大小不等的圆，叫学生想办法量出圆的周长。学生通过在一水平直线上滚动可以找出所给圆的周长。接着，教师问：“如果求圆形水池的周长，还可以滚吗？”学生面对强烈的认知冲突，探索圆周长计算方法的兴趣马上来了。教师让学生在滚的基础上进行对比和猜测：圆周长是由什么决定了的？学生有的说：“与直径有关。”有的学生说：“与半径有关。”在此基础上对圆的直径或半径进行操作测量，通过对周长除以直径或半径的商的分析，最后得出圆的周长计算公式。在上述教学过程中，学生的学习兴趣广泛地调动起来，深深地沉浸在对问题探讨的过程之中。
二、自主探索，形成数学表象
学生感知越丰富，建立的表象就越具有概括性。但是，丰富学生的感知不能靠大量的、单一的材料简单重复，而是要多方位、多种形式、多种感官协同参与。只有这样，才能在学生头脑中建立正确而丰富的表象。教学中，我应充分发挥视觉、听觉、触觉等多种感官协同的作用，引导学生通过观察、操作、实验等活动强化感知。教学中，利用教材为学生提供的丰富学习素材，为学生提供恰当的时间和空间，创造机会让学生自主发现数学问题、生成数学问题，促使学生最大限度地参与到学习过程中。通过“列举变式类比想象描述”等活动经历数学化过程，建立数学表象，逐步形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。例如，长方形面积公式的推导，教师可以设计几个不同的长方形，让学生通过填表的方式，感受长方形的面积与长和宽的关系，形成一种数学表象。从而为知识模型的建立打下很好的基础。
三、交流合作，建立数学模型
交流合作阶段是课堂教学重要的环节，它的主要任务是：收集自主探索阶段的成果，分享数学经验，讨论存在的问题，合作完成较复杂的活动等。它对于数学表象升华成数学模型，锻炼学生的分析、表述、合作和操作等能力，有着重要的作用。此环节要注意以下几点：
1.要有和谐的学习氛围
教师要围绕“以学生的发展为本”，努力为他们创设“自由、民主、和谐”的氛围，让学生在这种氛围中“想说、敢说、会说”。使他们主动的、大胆的、真实的表达自己的思想和认识。
2.要有倾听的良好意识
倾听，是课堂上一种重要的数学素养。只有养成这种素养和意识，我的课堂才会充满生命的灵动，知识的传授才会显得水到渠成。
3.要有及时的反馈评价
小组交流后，教师一定要对各组的交流进行集中反馈。及时的反馈，有利于让各个合作小组充分展示成果，说明理由，作出判断。同时，也能促使其他成员对这种想法，作出必要的补充和一定的评价。通过及时反馈，将使思维碰撞，内化知识，得出合理的结论和和解决问题的最佳策略。
4.要有教师的点拨升华
新课程要求教师是学生学习的促进者、指导者，当学生展示问题时，为了使学生对问题有一个明确的认识，不能一味的鼓励，要针对问题在鼓励优点的同时，适当指明不足，在不打击学生的积极性的同时，培养学生的是非观。基于以上情况，注意以下几点：（1）问题卡壳时，给予启发式指导。（2）问题偏向时，给予规范性指导。（3）问题错误时，给予科学性指导。（4）问题混乱时，给予点拨性指导。（5）问题深入时，给予递进式、发展性指导。
四、练习反馈，提高数学能力
练习是教学的延伸和发展，是学生形成技能技巧，发展智力，培养能力，温故知新的主要途径。新课改实施后，部分课堂出现了两种不好的情况：有些课在放任自流的活动中浪费了很多宝贵的时间，不组织练习反馈；有些课练习设计仍然停留在形式单一、陈旧，缺乏应用意识、创新意识的桎梏之中，学生仍在进行着以“练”为主的机械作业。我认为，设计好练习题，是保证课堂有效性的重要前提。练习题的设计要注意全体与个体的关系、数量与质量的关系、单项与综合的关系、现实与发展的关系。如：在教学了《2和5的倍数》后，一位教师设计了这样的练习题：
1.说一说，什么叫倍数和约数？
2.一个数倍数的个数是（ ）的，一个数约数的个数是（ ）的。
3.数一数：100以内，2的倍数有哪些，5的倍数有哪些？
4.写一写：100以内，既是2的倍数，又是5的约数的数有哪些？
5.请写出1――20的各数，将3的倍数圈起来，看看有什么特点？
从以上的练习题可以看出，教师经过了精心的挑选和设计，既照顾了全体学生，也为个别学生留下余地，同时，将层次性和发展性充分体现出来了，特别是最后一题，看似很难，但教师没有刻意要求学生规范作答，而是留下了广阔的空间，让学生根据自己的能力，作出个性化的答案，为后面的教学作了很好的铺垫。学生通过这样的练习，分析、表达、归纳、推理等数学能力都能得到锻炼和提高。
五、反思总结，完善知识结构
总结是对本节课学习的内容进行归纳和概括的过程，是帮助学生将零碎的、分散的知识整理成有条理的、系统的知识的过程，也是学生将所学的新知识内化，与原有知识融合形成新的知识结构的过程。可在学生小组讨论交流的基础上，进行全班性的讨论交流，从而引导学生会反思和知识梳理，学会自我评价和自我总结，提高学生的学习能力。我通常看到的课堂是，教师在教学最后一分钟，利用一个提问来结束教学：同学们，这节课你学习了什么？你有什么收获？其实，在课堂上引导学生反思总结，不应该表现得如此简单，教师应先教给学生一些反思总结的方法。如：利用板书法、提问抽查法、画图表现法、列表归纳法等等。当然，由于时间的限制，不要求学生写得十分具体，只要表达清楚就行了，甚至有时，可以让学生利用速记的方法来进行反思总结。
【参考文献】
数学教材中有这样一个证明题：
如图，O1与O2内切于T，直线AB、CD都经过点T
交O1于A、C，交O2于B、D 。
求证：AC∥BD.
证明：过TA作公切线TM，
∠3是弦切角，∠1=∠3=∠2
AC∥BD
这个证明题是很简单的，可以说是“基本题”。正是这种“简单”，正是这种“基本”，才给我们留下了太多的思考。
下面，我们就来看看它的几种“简单”的变换：
变式1 原“题设” （01与02内切于T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C交O2于B、D）不变，把结论变成：“求证：TA： TB = TC：TD。”
变式2如图2，原题设（01与O2内切于T，直线AB、TD
都经过点T交O1于A、O2 ，交O2于B、D）不变，
增加条件“TD是大圆O2的直径，且点O2在小O1上”，
结论改成“求证：点A是TB的中点”。
变式3在“变式2”中，题设（01与O2内切于T，
直线AB、TD都经过点T交O1于A、O2 ，交O2于B、D，TD
是大圆O2的直径，且点O2在小O1上）不变，二把结论变成“求证：弓形TmB和弓形TnA的面积之比为4 ：1”。
上面三个题的证明是很简单的。它们都是在上题题设不变的情况下，改变“结论”而得到的。
事实上，教材中有很多这样的题。只要将这些基本题稍加改变就可以达到训练学生的目的。如下面一组题就是改变原题的“条件”而得到一组题：
变式4如图3，O1与O2内切于T，TD是
大O2的直径，圆心O2在小O1上，过O2作大
O2的半径O2F交小O1与E，交大O2于F。
求证：劣弧TE和劣弧TF的长相等。
变式5如图4，在原题中，题设（01与02内切于
T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C，交O2于
B、D ）不变，再增加条件“设BD切小圆O1与F，TF是
小圆的直径，且大圆和小圆的半径分别为R和r ”。结论
改为“求证： BF2BT2〗= R-rR”
略证：连结O1A、O2B
有平行线的性质定理切割线定理即可证明。
变式6如图4，原题设（01与02内切于T，直线AB、CD都经过点T交O1于A、C，交O2于B、D交O2于B、D）不变，增加条件“ BD切小圆O1与F，TF是小圆的直径”，结论改为：“求证，则BF ：FD=BT ： TD”。
变式7在“变式5”题设下，结论则变为“求证：
（1） ∠BTF=∠DTF⑵ SABF DEF= sin∠D sin∠B”
略证： 由切线的性质、弦切角定理和三角形全等即可证明。
变式8 如图，O1与O2内切于T，直线TB交O1于A、
交O2于B，O2的直径TDBC，圆心O2在O1上。结
论则变为“求证： TA AB 〗= TB2DB2〗”
略证：由题意易知，TO2A、TO2B、TDB是直角三角形
由平行线性质定理和切割线性质定理即可证明。
变式9 在原题中，如果AC是小O1的直径，过A作
小O1的切线交BD于G，交O2于M、N。结论则改
为“M A·A N =AC·BG”
略证：由RtTAC∽RtGBA 和
ACMNBDMN 即可证明
以上的变换，都是在“两圆内切”的前提下，只让大圆
的两条弦TD、TB的相对位置发生变化或改变题设或改变结论
的的前提下得到的一组学生练习题。如果让两圆变“内切”为
“外切”或变“相切”为“相交”，那么，又可以得到一组题：
变式10 如图，O1 与O2内切于T，直线AD、BC交
O1 、O2于A、D、B、C.连结AB、DC.
求证：AB∥CD
略证：过T作公切线，由弦切角定理即可得证。
变式11：如图8，在变式10中，题设不变，只
把“结论”改为 “求证：AT：TD=BT：CT
略证：由ABT∽DCT即可得证。
变式12，如图9，O1 与O2相交于E、F，过E、F
的直线交O1 、O2于A、C、B、D.连结AB、CD.
求证：AB∥CD
如果在两圆的相对位置发生变化的同时使两条
一、充分认识解题在数学学习过程中的意义
解答数学题一般有明确的目的，主要是巩固已有的知识，掌握这些知识运用的基本技能。因此重要性是不可忽视的。
1.解题的基本价值。练习题具有典型性，为某个目标确定的。因此通过做练习可以了解学生对概念的理解程度，可以使学生将问题与所学数学知识联系在一起，培养学生的基本技能和基本思维，因此是不可或缺的。
2.解题的重复价值。数学学习过程中的数学练习题，是多次重复出现，或者它的类型是螺旋形上升的。因此才能达成技能的要求，进而形成良好的解决数学问题的演绎证明、推理运算等各种数学能力。同时重复是记忆之母，可以加深对概念的理解、记忆。
3.解题的心理价值。培养学生的坚韧的性格好、良好的意志力，和在困难面前去多角度寻求问题解决的能力。
4.解题的成功价值。学生能独立的解决问题，在练习中感悟发现的喜悦和创造性地寻求出答案的巧妙解法。不同的同学想出了不同的解法，那种快乐的成就感，再发现和再创造的过程会给学生带来学习的兴趣和潜能的开发。
二、基本训练，反复进行
学习数学，要做一定数量的题，把基本功练熟练透，但我们不主张题海战术，而是提倡精练，即反复做一些典型的题，做到一题多解，一题多变。要训练抽象思维能力，对些基本定理的证明，基本公式的推导，以及一些基本练习题，要作到不用书写，就象棋手下盲棋一样，只需用脑子默想，即能得到正确答案。这就是我们在常言中提到的，在20分钟内完成10道客观题。其中有些是不用动笔，一眼就能作出答案的题，这样才叫训练有素，熟能生巧，基本功扎实的人，遇到难题办法也多，不易被难倒.相反，作练习时，眼高手低，总找难题作，结果，上了考场，遇到与自己曾经作过的类似的题目都有可能不会；不少考生把会作的题算错了，归为粗心大意，确实，人会有粗心的，但基本功扎实的人，出了错立即会发现，很少会“粗心”地出错。
三、巧妙转换，过渡求解
解数学题时，既要对已知的条件进行全面分析，还要善于将题目中的隐性条件挖掘出来，将数学中各知识之间的联系巧妙的运用起来，用全面、全新的视角来解决问题。
例如：已知：AB为半圆的直径，其长度为30 cm，点C、D是该半圆的三等分点，求弦AC、AD与弧CD所围成的图形的面积。
本题需要解出的是一个不规则图形的面积，可能大多数同学的思维就是将CD连结起来，将其转变为一个角形和弓形，两者面积之和就为该题需要解决的问题。这时，教师就要引导学生学会对半径这一已知条件加以利用，帮助其将另外两条OC、OD辅助线连结起来，将题目要求解的不规则图形的面积，转化成求扇形OCD的面积，这样该题的解题思维就能一目了然了。
四、精选作业，引导反思
在解题时，学生多数为完成作业而“疲于奔命”，缺乏解题前的深刻理解题意和解题后的检验回顾，这种急功近利式的解题方式，造成了数学作业量虽大但效益低下。更有甚者，有的学生迫于教师必收作业的压力，盲目抄袭、对答案，老师改后也不改错，形成数学作业“多”“假”的现象，最终使得学生解题和老师批阅均为无效劳动。针对以上情况，我对学生提出了如下两条教学策略：一是精选数学作业题，使学生脱离“题海”。在作业方面，我能减则减，以学生通过精当的练习，实现教师所期望的发展为度，而且对于不同层次的学生我还采取了分层作业，服从学生“解题技能”和“解题智能”的均衡发展的需要，实现数学题“算法型”和“思辨型”的合理搭配。二是准备“我能行”数学练习本，弥补课堂教学的不足。在课堂教学中，由于时间有限，不可能每道题都由学生讲解、分析，这就少了很多给学生锻炼的机会。因而，课后我让学生精选自己认为的好题进行分析，在练习本上重点写出分析过程、解决这一问题时用到的知识、掌握的技能及最大收获等。通过这一策略，强化学生对所学知识的复习，对所用技能、方法的巩固，是提升解题能力的点睛之笔。
五、增强自信，胆大心细
俗话说，艺高胆大，艺不高就胆不大。但是做不出是一回事，没有去做又是另一回事。稍微难一点的数学题都不是一眼就能看出它的解法和结果的。要去分析、探索、比比画画、写写算算，经过迂回曲折的推理或演算，才能显现出条件和结论之间的某种联系，整个思路才会明朗清晰起来。没有动手去做，又怎么知道自己不会做呢？即使是老师，拿到一道难题，也不能立即答复你。也同样要去分析研究，找到正确的思路后才能讲授。要相信自己，只要不超出自己的知识范畴，不管哪道题，总是能用自己所学过的知识把它解出来。要敢于去做题，要善于去做题。这就叫做在“在战略上藐视敌人，在战术上重视敌人”。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性。抓住这一道题与这一类题不同的地方，数学题几乎没有相同的，总有一个或几个条件不相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学老师讲过的题会做，其他题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择其它条件有关的，进行推算或演算。一般难题都有多种解法，条条大道通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。
六、以本为本，重视例题
例题是教材的一个重要组成部分，具有典型性、示范性，与所学知识紧密联系，能加深知识的理解，能启迪学生的思维，培养学生的能力。同时，重视课本例题能引导学生重视教材，做到“以本为本”。通过发挥和挖掘课本例题的功能，可以培养学生的发现和创造力，进一步起到培养学生的解题能力的功效。
课堂练习是小学数学课堂教学的重要组成部分，是学生学习过程中不可缺少的重要环节，是学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段和必要途径。通过练习，可以使学生的分析、综合、抽象、判断、推理等数学思想方法得到锻炼，思维敏捷性和灵活性等品质得到培养。因此，数学课堂有效练习设计是有效教学管理理念下教师应该共同思考的问题。那么，如何有效地设计练习，使它为我们的教学服务呢？我开始了自己的尝试之旅。
一、目的明确——练习有针对性
练习是为教学目标服务的，因而练习的设计必须符合教学内容和教学要求，准确把握知识的重、难点，同时要针对学生的实际需要。
比如，在教学苏教版二年级“观察物体”时，教学目标是使学生通过实际的观察、操作和比较，认识到从不同位置观察物体所看到的形状可能是不一样的；知道物体的正面、侧面和上面；知道从一个角度观察长方体形状的物体，最多只能看到3个面，并在此过程中发展学生的空间观念。但是二年级学生的空间想象力发展还不够，针对这些教学目标和学生的实际情况，我想纸上谈兵是难以完成教学目标的。于是我设计了观察教室里的图书柜、观察长方体、观察正方体等一系列实物观察的练习活动，这些练习设计都目的明确，有的放矢。学生在这样的实物观察中自己发现规律，一步一步理解了本节课的重、难点。
二、合理安排——练习有层次
还以“观察物体”一课为例，在备课时，我想如果只是按部就班地完成书上的“想想做做”，可能只是训练了学生的做题能力，而他们其他方面的收获估计是微乎其微的。出于这样的考虑，我在练习设计上动了一番脑筋，设计了这样四组练习：1.观察教室里的实物和长方体、正方体教具；2.根据教具的摆放，通过拍照使实物变成平面图，再进行观察；3.对比实物与照片，总结你观察到的规律；4.自己动手拼搭教具，并观察。
这样的练习设计具有明显的层次性：观察实物——拍照观察——总结经验——观察拼搭物体。如此循序渐进的安排，有利于学生拾级而上，逐步掌握观察方法，并不断加深对现实空间与平面图形关系的认识。
可见，练习设计既要考虑知识结构的层次性，又要考虑学生认知水平的层次性。设计练习时要遵循由易到难、由简到繁、由基本到变式、由低级到高级的发展顺序安排，使知识的形成呈螺旋上升状态，使不同层次的学生都能得到不同程度的发展，体验成功的快乐。
三、生活入手——练习有趣味
数学来源于生活又高于生活，小学数学的内容大多数可以联系学生的生活实际。因此，数学课堂练习的设计一定要尽可能地贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中数学与教材的联系，使生活和数学融为一体。同时，练习的设计更要注重趣味性，采用多样的形式，做到寓练于乐、练中生趣，使学生感到轻松有趣，充满自信。
如在教学五年级“圆的认识”时，学生对圆进行了一系列的探索，已经会用圆规画一个圆，也掌握了同圆中半径与直径的关系等知识。这时我出示了这样的两个练习题：1.小熊、小狗、小鹿和小虎进行赛车，它们的车轮分别是三角形、圆形、正方形、椭圆形的，猜测一下谁会最后获胜？并用今天的知识解释一下。2.怎样在操场上画一个直径是4米的圆？说说你的方法。这两道题都要运用到课堂中所学到的圆的知识，同时又具有一定的趣味性与挑战性，学生很乐意进行这样的思考与练习。
四、灵活开放——练习有拓展
灵活开放的拓展性练习，思考容量大，使学生“跳一跳就能摘到果子”，有利于促进学生积极思考，激活思路，充分调动学生内部的智力活动。通过这类题的练习，经常能使学生恍然大悟，思维越来越灵活，应变能力越来越强，从而激发学生积极主动的探究精神。
还是“圆的认识”一课，学生已经学会用圆规画圆，所以我就将本单元的实践活动“画出美丽的图案”提前出示，先让学生欣赏书中由圆组成的美丽图案，然后进行适当的辅导，课后学生就开始兴致盎然地绘画。这样既锻炼了学生用圆规画圆的技能，又发展了他们的想象力，培养了他们对美的欣赏与创造的能力。第二天，我收到了很多漂亮的图案，并把它们贴在教室的窗户上、黑板报上。学生对着自己的作品，脸上是藏不住的欢笑。
又如，在教学“认识公顷”一课时，我们总是强调边长是100米的正方形面积是10000平方米，就是1公顷。为了打破学生认为1公顷总是一个正方形这样的思维定式，我在课堂的最后穿插了这样一个练习：请你设计一个面积是1公顷的平面图形。学生在设计中发现，只要面积是10000平方米，那么这个平面图形的面积就是1公顷，这样的图形可以是正方形，也可以是三角形、长方形、平行四边形、梯形，甚至是不规则的图形。
为了帮助学生更好地掌握知识，适当复习是必要的。因为学生所学的知识在头脑中的“记忆痕迹”需要不断强化，否则就会逐渐消退或遗忘。其次，因为平时上课受教材编排顺序的限制，某些知识间的联系不便讲解，系统复习能够弥补其欠缺。再次，学生对所学知识的理解是不能一次完成的，需要经历一个逐步深化的过程，复习有助于加速这个过程。
搞好复习需要十分注意解决的一个问题是要给予新的信息。因为复习的内容是已经学过的东西，本身就包含着不易引发学生兴趣的因素，机械重复或方式单调最容易引起大脑神经细胞的疲劳和注意力的分散，直接影响到复习效果。而如果简单地把所学的定义、法则、性质、公式集中起来让学生从表面上去机械地背记，然后大量地重做课本上的练习题。结果不仅记不牢固，而且由于集中大量记忆造成新的混淆。做练习题，一是量太大，容不得学生进行综合、归纳、分析、对照；二是单调重复，不利于诱发学生思维活动的兴趣。这样的复习，不可能得到好的效果。
那么，复习时怎样给予学生新的信息呢？下面谈谈我的体会和做法。
第一、把有关知识归纳整理。如小学数学中的长度单位、重量单位、时间单位、面积单位、体积单位，是分布在四个年级教学的。复习时根据其进率为10、100、1000、60加以归类整理，便于记忆。又比如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的面积，也是分散进行教学的。复习时可以把它们归并在一起，以长方形得面积为基础，把其它图形的面积采用如下方式联系起来：正方形是长方形的特例，平行四边形通过割补转化为长方形，三角形和梯形通过两两（完全相同的图形）相拼转化为平行四边形，圆则是先分为两个半圆，然后各等分成若干小扇形，用犬齿交错的办法转化为近似长方形。经过如上归纳，联系，便不难记住它们的面积公式，一旦遗忘，也可以自己联想推导出来。
第二、在对比中加深理解。比如，小数的概念和分数的概念，小数的性质和分数的性质，采用对比的方法进行复习，既可以加以区别，又可以用发展的观点统一起来，加深理解。应用题列算式时，什么情况下需要添括号，什么情况下不需要添括号，也可以利用题目的变动，使学生在对比中进一步掌握规律。又如小学阶段学生学过的解应用题方法有列算式解、列方程解、列比例式解三种，为了使学生确实掌握使用这三种方法求解，在比较的基础上总结各自不同的思路特点，以便更好地掌握这些基本方法。
第三、改换练习形式。比如判定能被3整除的数，课本上的题目多是写出数让学生判定，复习时可改变一下形式，练习如下题目：2 3是一个三位数，在方框里填上哪些数字后，这个三位数能被3整除？判断两个量成什么比例，课本上的题目多是指定三个量中某一个量不变，让学生判定另两个量成什么比例，复习时可改做如下练习：在等式a×b=c或a÷b=c中（a、b、c各代表一个量)哪个量不变时另两个量成正比例关系？哪个量不变时，另两个量成反比例关系？变换练习形式要根据教学要求有目的地进行。为了防止混淆，可以搞一些纠错、辨析以及选择性练习；为了培养灵活性，可以搞一些讨论性练习等等。采用何种形式要根据练习内容在教材中的地位和作用，结合教学对象的实际来确定，不要单纯追求形式。
第四、适当进行综合。比如把最大公约数的概念和比的概念综合在一个题目里；“两数之比是2：3，它们的最大公约数是5，求两数”。又比如把圆的周长和相遇问题综合，可以得到这样的题目：“两人从半径50米的圆形跑道上某一点同时相背而行，他们每分钟行走的速度分别是12米和15米，大约经过几分钟后两人相遇？”把抽象的分数和具体的分数综合在一个题目里：“某工程队挖一条长1.2公里的隧道，第一天挖了全长的2/5公里，第二天挖了2/5公里，还剩多少没挖？”搞综合练习难度要适当，既在原来的基础上有所深化提高，又不超越学生的实际能力，要十分注意使大多数学生能“跳起来，够得着。”
给予学生新的信息，关键在于教师要下功夫备好课。每节复习课的知识吞吐量比起日常教学来要大好多倍，复习课需要对教材加以重组，还需根据教学需要自编一定量的题目。因此备一节复习课需要付出比日常备课更多的时间和精力。尤其是总复习阶段，教师首先要统观各年段的教材内容，掌握重点、难点、关键之所在，吃透知识间的内在联系；其次要摸清学生对教材的掌握情况和实际能力，把两者加以结合，制定出切实可行的复习计划，编写出各节教案。这是创造性的劳动，需要煞费一番苦心。
【摘 要】习题是小学生进行数学学习的重要内容之一。对于教材上的习题，我们不能按步就搬，而是应该进行二度开发。第一，要通过化静为动、“画龙点睛”、以点带面等手段对习题进行横向整合，拓宽习题的广度；第二，要通过纵向推进、前后沟通、结论拓展等方法对习题进行深入挖掘，延伸习题的深度。
关键词 拓展；习题；广度；深度
习题是小学数学课最常用的训练方式之一，通过练习既可以使学生巩固所学知识、发展智能、提升思维，又可以诊断教学实施状况。从教几年来，听了不少教师的公开课，发现存在不少问题，如：教师缺少设计，整节课都是学生在不停的做练习；练习的形式单一，缺少生活化，尤其是计算教学；机械重复训练，不仅加重了学生的课业负担，而且失去了对数学的兴趣，这些现象归根到底其实就是教师对“习题”的认识不到位造成的，他们认为习题只是巩固学生知识，提高技能的一种手段，而忽视了“习题”在拓展思维，促进数学思考方面的作用。因此，在教学中，习题的设计过程中，应充分考虑练习的背景与效益，深入地挖掘习题中隐含的思维价值，最大限度地发挥习题的数学思维价值，有效地促进学生思维发展。
一、横向整合——让数学习题具有思维广度
数学课本上的习题，考虑到不同地区、不同学生以及教材容量等因素，在安排习题时，总是比较简单。但是教材只是一个载体，所编排的习题也只是给我们唯一的范例，教学时，需要我们教师认真解读，挖掘蕴涵的思维价值，根据学生情况巧妙进行整合，以增强练习的广度。
（一）变静为动，扩散练习的“点”
瑞士心理学家皮亚杰认为：“儿童掌握知识，提高认识，必须通过儿童自己的动作。”教材的习题以文本的形式出现的，是静止的。在给学生安排习题的时候，如果能变静为动，让学生通过动手操作完成习题，将有助于调动学生多种感官，眼、手、脑参与学习，充分发挥习题的功能，使学生在更好掌握数学知识的同时，启迪思维，发展能力。
例如，在教学《圆的面积》后，出示了这样一题“在一张长为10厘米，宽为7厘米的长方形纸上，能剪下几个半径是1厘米的圆形纸片？”有的学生说：能剪70个，还要的学生说：只能剪15个，面对学生两种截然不同的答案，教师不急于作出评价。而是，给学生提供了一张长10厘米，宽7厘米纸片，让学生进行小组合作学习，在纸上动手进行剪一剪，学生经过自己动手操作，很快得出结论。这样，教师将静止的习题，通过让学生动手操作，变成了动态的习题，不仅提高学生的实践能力，而且让学生在这样的环境中“做”数学，使学生对所学的知识进一步深化。
（二）“画龙点睛”，拉长练习的“线”
一节课的教学内容，从新知探索到练习安排，教材多少篇幅都是有限的，所安排的习题也只能是笼统的，很多习题都融合在一起，如果教师就按照教材提供的习题，可能不能很好的发挥习题的作用，学生知识点的掌握也不系统，如果教师在理解教材的编排意图后，能根据班级学生的学习情况，对一些练习“画龙点睛”，使得通过练习使学生系统的掌握知识，建构知识网络，从而提课堂教学效率。例如，在教学“百分数”一课时，教材提供的习题是这样的：
教材安排的这道练习，其目的是想通过这个表格的填写，掌握百分数化小数、百分数化分数、分数化百分数、小数化百分数的方法。假如就按照这个表格的形式让学生练习，学生也能巩固百分数、分数、分数三者的转化方法。但对于学生系统掌握百分数、分数、分数的转化方法没多大帮助，不利于学生整体构建知识网络。为此，教学时，教师将这个表格进行适当的重组：
先按要求进行转化，再独立思考，填写你的方法。
教师改变了原有习题的形式，分类引导学生进行转化，并要求学生写写转化方法，这样做的好处是帮助学生从整体上去构建百分数化小数、百分数化分数、分数化百分数、小数化百分数的方法。虽然只是简单地改变了一下形式，但并不影响这道题目的功能，反而将练习的这根“线”拉长了，使学生更加容易掌握百分数、分数、分数三者的转化方法。通过最后的交流，形成了具体的方法。重要的是这些方法都是学生自己发现的，印象深刻。
（三）以点带面，扩充练习的“面”
课本中的练习，通常比较简单，涉及的也知识那么几个知识点，都是基础知识的应用，不能忽略。为此，可以适当将该习题变形、扩充，使题的含量扩大，扩充练习的“面”，从而使学生全面掌握知识。
例如，在学习了一年级下册第一单元“百以内数的认识”后，可以安排这样的练习：
⑴排名次。淘气、笑笑、小明三位同学参加运动会跳绳比赛，淘气跳了85下、笑笑跳了78下、小明跳了90下，请同学们按照成绩排出他们的名次。
⑵颁奖。第1名奖一个70元的书包，第3名奖一副25元的乒乓球拍。请同学们读一读这两个奖品的价钱。
⑶第2名奖励一个篮球，它的价格比第3名多得多，请你猜一猜多少钱？说说你的理由。
⑷给一年级的运动员编号，如果笑笑是50号，排在笑笑前面的是几号？排在笑笑后面的是几吗？其它几节应该怎样编号呢？你能从笑笑开始数出后面5个号码吗？能说出前面5位运动员的号码吗？
在这一组练习中，教师以运动会位情境，将百以内数的相关知识串在一起，实现以点带面的效果，学生通过这样的练习，更加全面地掌握百以内数的读、写以及相对大小关系等知识，而且感受到学习的乐趣。
二、纵向推进——让数学习题具有思维深度
思维在数学学习中具有重要的作用，思维训练贯穿于整个教学过程。数学习题也蕴涵着数学思想，因此，教师要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解习题内涵，明确每一道习题的作用和功能，对教材里的习题作适当调整、组合、补充，充分发挥习题的思维价值。
（一）分层推进，深化有效训练的“点”
教材是死的，它给我们呈现地习题是不会说话的，而且是一道题一道题编排的。但是教师在使用的时候，一定要挖掘每道题之间存在的联系，让每个练习的“点”串成“线”。
例如，在教学“三位数除以一位数的笔算”一课时，一位教师安排了这样的练习：
⑴分组练习：726÷6和847÷7，全班同学分成两组进行比赛。
⑵引导学生观察商的位数。并组织学生开展讨论：两道题目有什么共同点？又有什么不同点？你有什么发现？
初步得出：确定商有几位，看被除数的百位上的数，如果百位上的数比除数大，商就三位数，如果被除数百位上的数比除数小，商就是两位数。
⑶请你不要计算确定商是几位数：408÷2、840÷6、782÷6、389÷9学生很快完成，而且正确率高。
⑷完善：404÷4商是几位？由于学生刚才接触的都是被除数百位上的数比除数大或者小的情况，学生判断时稍微犹豫了下，但最后也能判断。这时教师顺势提出：对刚才的结论还要完善吗？学生很快将“被除数百位上的数和除数相等，商也是三位数”补充到刚才的结论。
⑤强化：32÷4，如果商是三位数，里最小填几？如果商是两位数，里最大填几？
在这个例子中，这一组练习的最终目的是提高计算的熟练程度，并发现其中所蕴藏的规律，很多教师一般的做法就是通过大量的练习并从中找到规律，但容易成机械训练。但这位教师只让学生计算两道不同的题目，发现其中的规律，然后通过在应用规律中进一步完善规律，最后通过填数练习提升思维。这样的练习安排层层推进，每一层次的练习都有不同的要求，每一层次的练习都有知识的延伸，学生通过练习都能获得不同的知识经验。
（二）前后沟通，连接知识联系的“线”
教材中的习题虽然看似每题都是独立的，但知识之间都是存在联系的，习题也不例外，在安排练习时，教师一定沟通习题的前后联系，使新旧知识融为一体，把新的知识纳入学生原有的认识结构，使学生对知识的掌握达到“熟练”的要求，培养学生灵活运用所学知识的能力。
例如，在学习了六年级上册《圆的面积计算》这一课后，教师为了沟通所学平面图形的联系安排了这样一道题目：长方形的长20cm、宽11.4 cm。有一个圆和正方形他们的周长都和长方形相等，这个圆的面积是多少？正方形的面积是多少？学生通过计算发现三个图形周长相等时，圆的面积最大。
在六年级下册《圆柱的体积》一课中，又用到了圆的知识，这时教师为了沟通立体图形的体积存在的联系，先让学生再做一做这道题目，促使学生回忆起：长方形、正方形和圆在周长相等的情况下，面积最大的圆。然后出示了本节课要练习的习题：长方体、立方体和圆柱体的底面周长和高都相等，谁的体积最大？学生很快就利用六年级上册掌握的相关知识解决了这道题目。
这样，以习题方式沟通了知识之间的前后联系，使六年级上册学得的规律，延伸到六年级下册的学习当中，达到利用旧知识解决新问题，又把新知识融合到旧知识，完善了学生原有的认识结构，提高了学生灵活运用所学知识的解决问题的能力。
（三）结论拓展，深化思维训练的“面”
数学知识很多是以结论、概念、公式方式进行学习的，很多老师只要学生掌握了结论、概念就以为万事大吉了，而忽视了对数学结论进行拓展，以深化学生的思维。
例如，在学习《长方形和正方形的周长》一课后，学生已经知道怎样求长方形和正方形的周长。基本的练习学生都已经掌握了，为了教师设计了这样一道题目：一张正方形纸的边长是10厘米。在它的边上减去一个长3厘米，宽2厘米的长方形后，剩下的纸的周长是多少厘米？
题目初看很简单，但是学生会按所学公式求解，而且受求剩余量用减法的思维定势影响，出现10×4＝40（厘米）；（3＋2）×2＝10（厘米）；40－10＝30（厘米）这样错误的答案。这就需要学生调动已有的知识经验，通过想象、操作等探索各种不同的剪法，再进行讨论才能求出不同的答案。
这样设计打破了学生的思维定势，具体问题具体分析，数形结合，训练了学生思维的正确性、灵活性和周密性。
总之，要使数学习题达到优化，必须正确处理教材、例题、习题之间的关系。做到将习题与学生的认知能力结合起来，既关注学生知识技能的掌握，又关注学生数学思维、情感态度与价值观的培养，才能使数学课堂真正走向实效。
参考文献
[1]季小莉.注意暗示及时提醒——浅谈数学课堂教学启发式策略.语数外学习(数学教育),2013,(01)
[2]王超.构建思维习题数学流光溢彩.青年教师,2008,(02)
圆柱圆锥体积和表面积计算是六年级下册的一个教学重点和难点。学习这一内容要求学生思维清晰，并有一定的空间想象能力、分析能力和准确的计算能力。所以许多老师经常挖空心思教学，但学生仍然学得焦头烂额，不是这里算错，就是那里理解错了。
结束这一单元新课后，在复习课的练习题中学生遇到两道数学题：1.把一个圆柱切分成两个圆柱，两圆柱的表面积之和比原圆柱表面积增加了多少？如果沿直径切，两个半圆柱的表面积之和与原圆柱的表面积有什么变化？2.把一个圆锥沿直径切开，表面积比原来增加了几个面？如果平行于底面切，把圆锥切分成一个小圆锥和一个圆台，表面积又怎么变化？
借助圆柱教具，学生很快知道了将一个圆柱切分成两个小圆柱，表面积之和比原来增加两个相等的底面。如果沿直径切，则增加两个相等的长方形的面，其中，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的直径。在分析第二题时，由于圆锥的特殊性，切分后得到的图形需要学生有较强的空间想象能力，许多学生借助圆锥教具还是不能想象出来。在教师的一番引导后，学生得出沿直径切，能增加两个等腰三角形的面，其中两腰为圆锥的母线，底为直径。但在说到“如果平行于底面切开”时，学生出现了这样的答案:切开后增加两个圆面，这两个圆面一个大一个小。学生的理由是圆锥可以看成是若干个由大到小的圆堆积而成的，切开圆锥后，肯定下面的圆比上面的圆大。教师手中正好有学生自制的圆锥，当场剪开问学生：“切开后小圆锥和圆台两底面还能重合在一起吗？”学生答：“可以。”教师继续问：“两个面能完全重合在一起，难道大小不同吗？”有部分学生知道大小相同了，但仍有学生质疑：“明明圆锥上小下大啊？”
面对质疑的学生，我大感欣慰，毕竟还有许多学生敢想，敢否定老师的话。课后我把这个题留给学生当家庭作业，让他们用橡皮泥做一个圆锥，然后实验切一次，再比较增加的两底的大小。学生实验后对这一过程有了一定的理解。在作业小结中，我和学生进一步得出：增加的两个面可以看成从一个切点切开的一个圆的上下两面，其中一个面成了小圆锥的底面，另一个面成了圆台的上底面，它们大小是相等的。如果换一个点切，又会增加两个大小相等的面，而这两个面和前一次切增加的两个面大小才不同。
一节普通的复习课，一道稍复杂的练习题，我们花了很多时间来解决它，值吗？当看到学生在课间仍在争论，想到他们回家后饶有兴趣地捏制、切分橡皮泥，我想学生在这一过程中所得到的，所做的数学思考，不正是我们平时教学中所努力追求的吗？
荀子曾说：“不闻不若闻之，闻之不若见之，见之不若知之，知之不若行之；学至于行之而止矣。行之，明也。”在数学学习过程中，尤其是空间与图形这一块的学习过程中，引导学生主动动手、动脑，不管学生做得怎样，他们仍会收获颇丰的。
（作者单位：长沙市岳麓区高新博才学校）
一、练习反馈的时机
1．及时反馈原则
学生完成练习后，他们最关心练习结果是否正确，但其关心程度将随着时间的推移而逐渐减弱。一般来说，反馈越快练习效果越好，学生的需求也较快得到满足。因此，教师要掌握时机，利用学生对练习印象最深刻、最清晰的时间段进行反馈，让学生及时了解自己练习的质量，收到事半功倍的效果。
2．先难后易原则
不少教师在进行练习讲评和反馈时，习惯先讲解较容易的题目，然后再集中时间和精力讲解较重要或较难的内容，这种做法个人认为是不科学的。从心理学角度分析，学生的注意力持续时间为15到20分钟左右。因此，我们要好好把握这一黄金时间段，把最重要、最难以理解的解题方法和思路呈现给学生，使反馈效果最优化。
二、练习反馈的内容
1．计算类练习的反馈
这类练习反馈的重点落在计算方法和书写规范上，可以选择一些正确或者错误的典型计算方法和过程，面向全体学生进行反馈，突出比较两者的区别。对计算正确的题目，要求学生说清“是怎样计算的”及“为什么这样算”；而对错题的反馈，则要求学生说出“错在哪里”“为什么错”及“可以怎样改正”三个方面。
2．空间与图形类练习的反馈
这类练习的反馈重点在于对基本图形概念的认识和空间观念的建立。一方面，练习反馈须简洁明晰，针对性强，尽量结合直观演示和生活实际，在学生头脑中形成清晰正确的表象。反馈中教师要善于利用“错误”资源，把思考问题的“曲折”过程展现给学生，让学生经历思维的碰撞，帮助他们真正理解和掌握数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。另一方面，还要注意练习规范的反馈。空间与图形部分，涉及图形的大小、长短、平行、垂直、角度、面积、体积、量和计量以及方向、位置等系统而规范的概念，使用到直尺、三角板、量角器、圆规等学习工具。一直以来，对图形的绘制、单位的书写以及练习题的解答都有特定的书写和格式要求。小到数字、符号的书写，大到题目的解答规范，都可以是点评反馈的内容，以促使学生养成良好的作业习惯。
3．综合与应用类练习的反馈
这些题目的反馈重点落在学生的思考过程上，即重点反馈学生的解题思路和解题方法。利用一题多解、一题多变等形式，引导学生进行猜想、操作、讨论等数学活动，培养学生多角度思考和解决问题的习惯，增强学生思维的多向性和灵活性。讲评反馈时更要注意一些细节和内在的东西，不能只看表面的对与错，因为有些学生只是在表达中出现错误，思考方向可能是正确的，所以不可全盘否定，要在如何纠错和更正中下工夫。
4．特定设计意图类练习的反馈
数学练习贯穿于整个数学教学的过程中，无论是新授课、练习课，还是复习课，都离不开各式各样的练习。很多练习的设计都带有特定的意图，这类练习在反馈时应有不同的侧重点。如计算教学中常有题组练习，在新授课中，这类题的反馈重点落在计算方法和书写规范上，以确保学生能正确进行计算；在练习课中，反馈的重点则应放在对题组计算的异同比较上；而在复习课中，重点应放在对相关知识的整理和归纳上，以帮助学生完善知识结构，形成知识体系。
5．综合试题练习的反馈
综合试题练习是学生独立思考结果的最好评价，其点评和反馈不能简单地核对答案或订正错误，因为即使对了，也不一定是同一种解题思路、同一个思维水平，因此不必从头到尾、面面俱到，而应该是有所侧重、有所选择。一要选择基础知识、基本技能题，二要选择学生有独到见解的题，三要选择出错较多的题。教师在每次试题批改后，要细致诊断学生的解答，分析各题的错误率，找出错误的症结，弄清哪些题目错得较多、错在哪里、学生需要何种帮助等等。反馈时要指导学生进行分析思考：这题考查什么知识点？这些知识点在理解和运用时有哪些注意点？解题的突破口在哪里？最佳解题途径又是什么？这样，试题练习的讲评反馈就能建立在学生知识缺漏的基础上，集中了学生典型错例的分析，让每个学生都能在自己原有的认知水平上有所提高。
另外，在综合试题练习的讲评和反馈中，还应该强调学生自我检验习惯的养成，让他们掌握一定的检查方法，提高自我反馈的意识和能力。
三、练习反馈的形式
练习之后，常有教师这样问“对的请举手”，不管有多少学生举手，教师扫视一遍后说 “请放下”就算了事。有些教师常问“会不会”“对不对”“是不是”，学生也会不假思索地习惯性应答“会”“对”“是”，这种“过堂式”的反馈显然是毫无意义的。好的反馈形式，决定了练习反馈的质量。
1．问答式反馈
指通过师问生答的方式进行的反馈，往往是个体反馈的形式。问答式反馈的优点是简单灵活，便于操作。高效的问答式反馈要处理好学生个体与全体的关系，教师通过问答需要反馈的不只是某一个学生的信息，而是全体学生的信息。因此，教师在进行问答式反馈时，要做到“一个问题――全体思考――个体回答――集体矫正”。即提出问题后，教师应给予充分的时间供所有学生思考，然后选择有“代表性”的学生回答，教师不急于评价，而是先让其他学生进行评价或矫正，最后教师总结。这样，教师通过一个问题反馈到的不仅有学生个体信息，而且有学生全体信息，反馈全面且高效。
2．活动式反馈
活动常见形式有“举手统计”“抽样调查”“当堂批阅”“课后抽阅”等，往往采用小组反馈或集体反馈的形式。它的优点是有利于调动学生的积极性，使学生更易全身心地投入。采用这种反馈方式时，学生不易受其他因素的干扰，反馈到的信息也就更加真实。
“举手统计”可以了解学生完成的“量”，如多少人做了、多少人做对等，但对完成的“质”不易掌握。“抽样调查”即教师在学生练习时进行巡视，了解部分学生的完成情况，可以重点关注基础薄弱学生完成的情况。“当堂批阅”更适合低年级教学，反馈速度快，有利于激发学生的上进心，使其朝着解题既快又好的方向发展。“课后抽阅”是在课堂训练结束后收集部分学生的课堂练习，可以是基础薄弱的学生，也可以是最近学习态度欠端正的学生，实行面批，及时进行指导和帮助。
在练习反馈中，四种形式结合使用，可以确保练习效果反馈的全面性。
四、练习反馈的技巧
1.详略得当
练习反馈时不求面面俱到，教师要根据练习的难易程度分别对待，对于一些简单的练习题可以一带而过，而对于一些难题、好题要舍得花时间，细细反馈。如针对某一类知识的特点，抓住其纲目，步步深入挖掘，最后呈现知识的体系结构，以利于学生记忆和深化。
2．举一反三
即从某一道练习中衍生出某一类练习。练习题一般情况下都是单独出现的，最多也只是几道类似的题成组出现，并不能囊括全部。所以，我们在反馈时要好好利用这些练习题，围绕知识的类化特点，深入挖掘，举一反三，把这一(类)练习题作为基点讲透、讲深，把知识点构成体系，达到最佳的练习反馈效果。
3．避轻就重
在练习当中，学生的错误可能较多，某些错误不值得过分纠缠，反馈时可以一带而过。例如，“圆的面积”一课的重点是让学生掌握圆面积的计算公式并会运用解决实际问题，学生在练习中如果仅仅是计算错误，这样的问题不必放大，提醒即可。但是如果学生在关键步骤上产生错误――不会运用公式、不会列式解决问题，那么教师应引以为重，说明学生对圆的面积公式不熟悉或不会运用。
4．提升归纳
在练习反馈点评中，教师要把握“存异――趋同――求佳”的反馈策略，重视引导学生整理知识，针对不同板块、不同层次的知识点展开。例如，关于“式”的概念，涉及等式、不等式、方程、方程的解、解方程等，反馈时应引领学生从整体上理解和掌握概念间的内在联系与区别，使之系统化，以便构建合理的、有利于后续发展的知识结构，逐渐使学生学会一些数学学习的策略和思想方法。