时间：2023-05-30 08:55:35
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇求和公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
1、首先打开需要求和的数据文件
2、然后选中需要求和的数据
3、再然后选择菜单栏的“公式”,点击“自动求和”选项
4、然后再点击“求和”
5、最后就进行了求和，就可以了
（来源：文章屋网 ）
1.掌握等比数列前项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
（1）理解公式的推导过程，体会转化的思想；
（2）用方程的思想认识等比数列前项和公式，利用公式知三求一；与通项公式结合知三求二；
2.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.
3.通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
（1）知识结构
先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前项和.
（2）重点、难点分析
教学重点、难点是等比数列前项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法（如分类讨论思想，错位相减法等），这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意和两种情况.
教学建议
（1）本节内容分为两课时，一节为等比数列前项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.
（2）等比数列前项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论.
（3）等比数列前项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣.
（4）编拟例题时要全面，不要忽略的情况.
（5）通项公式与前项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大.
（6）补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.
教学设计示例
课题：等比数列前项和的公式
教学目标
（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程，并能初步运用这一方法求一些数列的前项和.
（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.
（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.
教学重点，难点
教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.
教学用具
幻灯片，课件，电脑.
教学方法
引导发现法.
教学过程
一、新课引入：
（问题见教材第129页）提出问题：（幻灯片）
二、新课讲解：
记，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.
（板书）即，①
，②
②－①得即.
由此对于一般的等比数列，其前项和，如何化简？
（板书）等比数列前项和公式
仿照公比为2的等比数列求和方法，等式两边应同乘以等比数列的公比，即
（板书）③两端同乘以，得
④，
③－④得⑤，（提问学生如何处理，适时提醒学生注意的取值）
当时，由③可得（不必导出④，但当时设想不到）
当时，由⑤得.
于是
反思推导求和公式的方法——错位相减法，可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.
（板书）例题：求和：.
设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.
解：，
两端同乘以，得
，
两式相减得
于是.
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.
公式其它应用问题注意对公比的分类讨论即可.
三、小结：
1.等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用；
2.用错位相减法求一些数列的前项和.
关键词：取数代入 公式 倒序 错位 分组 分段 合并
在文科数学中，数列的求和问题不仅仅是高考中数学试题的一个重点，还是一个难点。很多学生都在这里遭遇挫折。但是，如果教师教授的解题方法得当，让学生加以练习，要想掌握也不太困难。下面通过几个具体的实例来介绍文科数学中几种常用的数列求和的方法，希望能够帮助学生提高得分率。
一、取数代入法求和
在选择题中，若数列已知，要求和，可取n=1或n=2代入，即可得出答案。
例1.已知an=n2，则前n项和Sn等于（ ）
A.■ B.■
C.■ D.■
分析：本题可直接取n=1代入可得，A=1，B=2，C=1，D=1，排除B，再取n=2代入可得，A=3，C=4，D=5，排除A，C，所以正确答案为D。
注：在解决此类选择题时，此法通用，但是要注意s■=a■，s■=a■+a■，千万不要直接用s■=a■来解题。
二、利用常用公式法求和
利用等差数列或等比数列的求和公式求和是数列求和的最基本也是最重要的方法，而且也是学习其他求和方法的前提。
1.等差数列求和公式：
S■=■=na■+■d
2.等比数列求和公式：
S■=na■ （q=1）■=■ （q≠1）
例2.求S■=a+a2+a3+...+an-1+an
分析：这个数列，与参数a有关，但是题目中没有具体说明参数a的取值范围，因此，在计算的时候，我们要具体考虑参数a。当a=0时，S■=0，当a=1时，S■=n，当a≠0，a≠1时，S■=■
注：在用等差数列的求和公式时，要注意项数，不一定每个数列的项数都是n项。在用等比数列的求和公式时，以例1为例，要注意参数a的取值范围，它会直接影响到计算的结果。
三、倒序相加法求和
这是课本中推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），把它与原数列相加，再利用等差数列的性质即可。
例3.求数列1+2+3+4+5+…+（n-1）+n的前n项和S■。
分析：S■=1+2+3+4+5+…+（n-1）+n，倒序，可得S■=n+（n-1）+（n-2） +…+3+2+1， 利用等差数列的性质，m+n=p+q？圯a■+a■=a■+a■，所以1+n=2+（n-1）=3+（n-2）= …=（n-1）+2=n+1，因此，
2S■=（1+n）*n，所以S■=■。
注：倒序相加的方法，其本质就是利用了等差数列的性质。
四、错位相减法求和
用错位相减法来求数列的前n项和，在高考试题中占有相当重要的位置，因此需要学生认真掌握。此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a■·b■的前n项和，其中a■■、b■分别是等差数列和等比数列。求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列b■的公比q，然后再将得到的新的和式和原来的和式相减，转化为同倍数的等比数列来求和。
例4.已知c■=n·3■，求数列c■■的前n项和S■。
分析：通过观察，c■=n·3■，由两个部分组成，其中a■=n，b■=3■，a■、b■，分别为等差数列和等比数列。因此，
S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■①
其中等比数列b■公比是3，将式①两边都乘上3，得到
3S■=1·3■+2·3■+3·3■+...+（n-1）·3■+n·3■②
①-②得：
-2S■=1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■-n·3■
其中1·3■+1·3■+1·3■+...+1·3■+1·3■（可用等比数列的求和公式），等于■=-■+■（3■），所以-2S■=-■+■（3■）-n·3■，S■=■-■（3n+1）+■·（3■）。
注：在用错位相减法求和的过程中，式①，式②易得，但在用式①-②的过程中，最后一项“-n·3■”经常被漏掉，因此学生在解题书写的过程中，一定要注意。
五、分组法求和
有这么一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若将这个数列适当拆开，可分为等差或等比数列，此时，若要求它的前n项和，就可以采用分组法。
例5.求数列1■，2■，3■，4■，...，n■的前n项和S■。
分析：数列的通项公式为c■=n+■，其中a■=n，b■=■，数列a■，b■分别为等差数列，等比数列，所以
S■=（1+■）+（2+■）+（3+■）+...+（n+■）
=（1+2+3+...+n）+（■+■+■+...+■）
（分组）
分别利用等差数列和等比数列的求和公式，可得S■=■+■=■-■+1
注：本解法的关键在于，通过观察，将原数列分组，然后分别利用已知的数列求和公式。
六、分段法求和
分段法求和，顾名思义，就是要分段，当一个数列中，出现了两段具有不同特点的项时，就采用此法。
例6.已知数列a■=9-n，求数列的前n项和T■。
分析：通过观察，易得数列a■，是首项为8，公差为-1的等差数列，设其前n项和为S■，而数列a■其前n项和设为T■，T■=8+7+...+1+0+-1+-2+...+8-n+9-n。我们知道，正数和0的绝对值是它本身，但负数的绝对值是正数。因此当项数n≤9时，前n项和T■=S■。但是当项数大于9时，前n项和T■就要分成两段，前面9项其和为S■，后面n-9项，每一项加了绝对值以后，都变成了正数，其和为S■-S■=S■-S■。综上，当n≤9时，T■=S■；当n>9时，T■=2S■-S■。
注：以此例题为例，易错的地方就是当项数n>9时，数列的和应该如何来求，怎么与原数列的联系起来，如何利用S■，来求T■。
七、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求前n项和时，可将具有共同特性的这些项放在一起先求和，然后再求总的和。
例7.已知Sn=2-4+6-8+10-12+...+（-1）■2n，则S■+S■-S■=
分析：通过观察，
a■+a■=a■+a■=...=-2
S■=2-4+6-8+10-12+...+26-28+30
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（26-28）+30
=（-2）×7+30
=16 同理
S■=2-4+6-8+10-12+...+38-40
=（2-4）+（6-8）+（10-12）+...+（38-40）
=-20
S■=（-2）×25=-50
S■+S■-S■=16+（-20）+（-50）=-54
因：循；势：趋势；利导：引导。因势利导即顺着事情发展的趋势，加以引导。
一次全市的等比数列公开课上，我从等差数列与等比数列的定义出发，对两者的有关概念（公差与公比、等差中项与等比中项）、通项公式等进行类比，学生积极思考，意犹未尽。顺势引导学生推导出等比数列的前n项求和公式，公开课气氛热烈而又紧张。
顺理成章地，我准备执行下一步教学计划。但学生凯举手问：“等差中项与等比中项字面上联系一致，但表达式相差太远，能否有一个统一的解释？”凯平时成绩一般，但思维活跃，也敢于提问。我略一停顿，把探究的目光投向学生，并作提示：“注意所得结果。”学生的讨论有了答案。虹答：“等差中项C是A、B的算术平均，而等比中项G是A、B的几何平均，对了，应该是G的绝对值。”虹的回答得到了大家的肯定。
随着知识联系的进一步拓展，课堂求知气氛更加浓烈，但考虑到时间问题，我想赶紧回到预计轨道上来。谁知，学生铭涨红了脸但很坚决地举手问：“既然等差中项与等比中项有那么多的类似之处，我猜想这两者的求和公式也有一个合理的统一解释。因为等差数列的前n项求和公式是S=，能否把等比数列的前n项求和公式写为“S=±？”显然，他受了刚才讨论的启发和影响。铭是一个好思考的学生，既敢于猜想，又善于发现。他这一问问得突然，不仅我备课时没有考虑到，而且教参中也没有提到过此类猜想，就是今天，该问题还折磨着我而一直没有一个令人信服的解答。此问一出，听课的老师和同学顿时炸了锅，不一会又齐刷刷地静下来，50多双学生的眼睛在盯着我，还有20多双同行的眼睛在等着我的裁决。这可不是一堂平常的课，我心想：不好，课要上砸了。不过我也知道我完全可以用“此问题与高考无关，同学们可以在课后讨论完成”来搪塞过去。但是学生的猜想难能可贵。如果这样说不与我一贯鼓励学生要大胆探究相矛盾吗？是我去验证还是让全班学生一起做？是在课堂上还是在课后进行？课上进行，我心中无底；课后进行呢，会打击学生探究问题的热情，尽管同学们可以理解我上公开课的成败之重，但我从此留给学生的就是一个对待困难缺乏勇气的形象，从而影响他们探求真理的毅力，以后他们还会去大胆猜想、大胆设问吗？毕竟学生思维的火花一闪而过，稍纵即逝。
该是打破沉默的时候了，我主意已定：“铭的猜想是有些道理的，从等差数列的通项公式a=a+（n-1）d到等比数列的通项公式a=aq，由等差中项到等比中项±，由等差数列的前n项求和公式S=到等比数列的前n项求和公式S=±，铭的猜想是合情推理，但到底对不对呢？我们该怎样判断呢？”
学生们听后开始思考，并相互讨论起来。后面听课的老师也窃窃私语，一方面是考虑问题的结果，另一方面是为我捏一把汗。但整个课堂沉浸在浓郁的探究氛围中，大多数人把铭的猜想公式与等比数列的前n项求和公式先相等，然后尝试证明，不过，演算很复杂。这时，有一个学生建议说：“不如我们找一个实例分别代入计算一下。”这个建议得到大家的一致认同，约定：a=1，q=2，n=4，答案应该是15，而铭的猜想公式算出来却是±64。大家都笑铭：“你真是的，自己没搞清楚，弄个错误的命题来浪费我们的时间。”铭的脸一下子涨得通红。
看到这些，我心里不禁一愣，这样的话，以后谁还敢在课堂上提猜想，更不用说去猜想了。我口气稍强硬地说：“哥德巴赫猜想至今无人给出证明而只是一个猜想，但无人否定它的伟大，因为提出猜想的意义超越猜想本身，有了猜想才会有创新。”我略一停顿，接着说：“我们今天首先感谢铭，是他的猜想引起了我们的思考，锻炼了我们的思维。”我舒缓了口气：“这节课我们又一次灵活应用了举反例来判断命题的真假，也体验了研究问题的一个基本方法：猜想证实猜想或证伪猜想改进猜想。那么，我们是否还能改进铭的猜想呢？让我们结合等差数列的前n项求和公式和等比数列的特点再来探究。由等差数列的求和公式中出现(a+a)的形式类推到等比数列的求和公式中会有（aa）是合情推理。大家看看会有什么发现？”
一学生：“我发现，两数列的定义决定了等差数列有(a+a)=(a+a)=…=定值，而有等比数列aa=aa=…=定值。”
另一学生：“那=（aa）=（aa）（aa）…（aa）=（a•a…a)（a•a…a），不就是说（aa）=S′，这里S′是指项的积而不是项的和。”同学们和我不约而同地释怀，尽管还没能解决铭提出的猜想，但改进了他提出的猜想公式，也算是一种发现。
下课铃声响了，我和所有的老师和同学带着多个疑问结束了这节公开课。
大半节课都在被铭提出的猜想牵着鼻子走，教学计划被彻底打乱了，预定的教学任务没有完成，花一节课让学生讨论一个不属于高考范围的问题是否有价值？下一节课又该怎么上？大家又会如何评价这节课？结果，大家对课的评价出乎我的预料：“教师应变自然，对学生猜想的肯定引出了学生积极探索真理的欲望……值得提倡。”
关键词：数列；求和；公式求和法；颠倒相加法；裂项相消法；错位相减法；分项求和法；并项求和法；归纳求和法；递推求和法
中图分类号：G638 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2017）08-0253-02
随着素质教育的不断深入，高考数学试题越来越重视学生数学能力的考查，其中数列的求和就是高考必考的知识点之一，在这个问题上，仅仅掌握等差、等比数列的前n项和公式是远远不够的，为了能够求出较为复杂的数列的前有限项之和，还需要掌握一些其它较为常见的方法。现简介如下，供参考。
1 公式求和法
1.1 方法的来源
等差数列、等比数列的前n项和公式以及一些常见的恒等式：
等差数列的前n项和公式：Sn==na1+
等比数列的前n项和公式：q=1时，Sn=na1
q≠1时，Sn==
常用恒等式：1+2+3+……+n=
1+3+5+……+（2n-1）=n2
2+4+6+……+2n=n（n+1）
12+22+32+……+n2=n（n+1）（2n+1）
13+23+33+……+n3=n2（n+1）2
1.2 适用的范围
主要适用于由特殊数列尤其是等差数列、等比数列的和、差构成的数列以及可直接利用上述公式的数列的求和问题。
1.3 注意的问题
分组后数列的项数和等比数列中公比是否为1的讨论。
例1：是否存在常数a、b、c，使得等式1・22+2・32+……+n（n+1）2=（an2+bn+c）对一切正整数n都成立？并证明你的结论！
分析：这是一道全国高考的压轴题。事实上，等式的左边即为数列{n（n+1）2}的前n项和，由n（n+1）2=n3+2n2+n容易看出它实际上是数列{n3}，{2n2}，{n}的和数列，从而可得：
左边=（3n2+11n+10）。
所以使原等式对一切正整数n均成立的常数a、b、c是存在的。a=3，b=11，c=10。
2 首尾相加法（也称颠倒相加法）
2.1 方法的来源
等差数列前n项和公式的推导方法，它是根据数列前n项和的定义，将和式首尾颠倒，并与原和相加，通过求其二倍而求前n项和的方法。
2.2 适用的范围
与首末两项“等距离”的两项之和相等的数列的求和。
2.3 注意的问题：项数的确定
例2：求Sn=C+3C+5C+……+（2n-1）C
分析：由组合数公式C=C（r=0，1，2……n）知，C=C，C=C……同时Sn=（2n-1）C+（2n-3） C+……+3C+C与原式相加得2Sn=2nC+2nC+2nC+……+2nC=2n（C+C+C+C）=2n2nSn=n2n
3 裂项相消法（或拆项相消法）
3.1 适用的范围
主要适用于通项公式为分式或三角形式特别是等差数列相邻或相间项积的倒数列以及算术根和的倒数列的求和。
3.2 注意的问题
一是恰当地拆项（或裂项）。
二是拆项后的消去规律，也就是f是邻项相消还是间项相消。
三是剩余项一般具有对称性。
3.3 常见的裂项
（1）一般地：如果{an}是公差为d的等差数列，那么
（2）常用地：
（3）三角函数的积化差公式。
例3.已知数列{ }的各项如下：1，，，……，，求它的前n项和。
分析：an
所以Sn=a1+a2+a3+……+an=2[（1-）+（-）+（-）+ ……+（）]=2（1-）=
例4.sinα，sin（α+β）， sin（α+2β）， sin（α+3β）， ……sin[α+（n-1）β]的和。
分析：解决这一问题的关键是把各项分别拆成两项使这两项所含角度之差为β。由此，可设法利用三角函数的积化和差公式，为此用2sin乘数列的各项，得
2sin・an=cos（α+β）-cos（α+β）；因此，2sin・Sn=2sin（α+β）sin
Sn=sin（α+β）
诚然，裂项相消法的应用还不只题中所述，只要可以将通项拆成两项的差之后，可以相互抵消，都可以使用这种方法，但一定要牢记：拆项是手段，相消是目的。拆项之后抵消不了的话，这种拆项是没有任何作用的。比如=就是一种无效的裂项方式。
4 错位相减法
4.1 方法的来源
等比数列前n项和公式的推导方法。
4.2 适用的范围
它主要适用于由一个等差数列与一个等比数列各对应项的积构成的数列的求和。
4.3 注意的问题
一是其中的等比数列中公比q是否为1的讨论，二是相减后成等比数列的项数。
例5.设{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13。
（1）求{an}，{bn}的通项公式。
（2）求数列{}的前n项和Sn。
分析：（1）设出{an}的公差d和{bn}的公比q（q>0），则由题设可得d和q的方程组，通过解方程组即得d=2，q=2，于是an=2n-1，bn=2n-1
（2）由（1）可知：，
于是Sn=，
这显然符合错位相减法求和的条件，因此在上述等式的两边同乘以，再两个等式相减即可求出Sn。
例6.设实数a≠0，数列{an}是首项为a，公比为-a的等比数列，记bn=anlg│an│（n∈N*），Sn=b1+b2+……+bn，求证当a≠-1时，对任意n∈N*均有Sn=[1+（-1）n+1（1+n+na）an]
分析：由题设an=a（-a）n-1=（-1）n-1an，
bn=（-1）n-1 nan lg│a│O
Sn=alg│a│[1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1]
@将问题转化为如何求和S'=1-2a+3a2-4a3+……+（-1）n-1nan-1，这是由等差数列{n}与等比数列{（-1）n-1an-1}各对应项之积构成的数列的求和问题，为此，两边同乘以-a得：
（-a）S'n=-a+2a2-3a3+……+（-1）n-1（n-1）an-1+（-1）nnan两式相减即可得证。
5 分项求和法
5.1 适用的范围
主要适用于通项公式为分段函数的数列的求和。
5.2 注意的问题
对项数奇偶性的讨论。
例7.一个数列{an}，当n为奇数时，an=5n+1，当n为偶数时an=，求这个数列的前n项之和。
分析：其中{an}的通项公式显然是分段式的，而且不难发现数列{a2m-1}是以6为首项，公差为10的等差数列，数列{a2m}是以2为首项，公比为2的等比数列，这种发现就决定了此题的解法：
当n为偶数的时候，令n=2m，那么m=n/2，于是
Sn=S2m=（a1+a3+……+a2m-1）+（a2+a4+……+a2m）
=[6m+・10]+=5m2+m+2m+1-2=n2++2n/2+1-2
当n为奇数的时候，可以类似求出，或者利用n为偶数的结论，即n为奇数时，n-1为偶数，Sn=Sn-1+an。
6 并项求和法
6.1 适用的范围
主要适用于正、负项相间的数列的求和问题。
6.2 注意的问题
项数奇偶性的讨论
例8.求数列{（-1）nn}的前n项和Sn。
分析：显然Sn=-1+2-3+4-……+（-1）nn，不难发现，若将相邻两项并作一项再进行计算，可使问题大大简化。当然，n取正奇数和正偶数应分别计算；
当n取正奇数时，Sn=-1+（2-3）+（4-5）+……+（n-1-n）
=-1-1-1-……-1=；
当n取正偶数时，Sn=（-1+2）+（-3+4）+……+（n-1+n）
=1+1+……+1=；当然，最后的结论中Sn要写成分段函数的形式。
7 归纳求和法
当Sn不易直接求出时，亦可先计算出S1，S2，S3……，通过观察，用不完全归纳法归纳出Sn的表达式，再用数学归纳法加以证明。
例9.已知数列：，Sn为其前n相和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，推测出计算Sn 的公式，再用数学归纳法加以证明。
分析：不难算出：，观察这四个结果发现，分母分别32，52，72，92，分子比分母少1，故而猜测：Sn=，再用数学归纳法证明上述猜测是正确的。
当然，观察变形能力较强的同学也不难看出：
，然后可以用裂项相消法求和。
8 递推求和法
8.1 适用的范围
这种方法比较特殊，它主要适用于前n个正整数的一定次幂的求和问题。
8.2 注意的问题
熟记前n个正整数的若干次幂之和。
例10.求和Sn=13+23+33+……+n3
分析：由（R+1）4=R4+4R3+6R2+4R+1得
24=14+4×13+6×12+4×1+1
34=24+4×23+6×22+4×2+1
……
（n+1）4=n4+4n3+6n2+4n+1
将以上各式相加得
（n+1）4=1+4Sn+6（12+22+32+……+n2）+4（1+2+3+……+n）+n=1+4Sn+n（n+1）（2n+1）+2n（n+1）+n
进而求得Sn=n2（n+1）2
以上简要介绍了数列求和的八种常见方法，它们既是相互区别的，又是相互联系的；一个复杂的数列求和问题可能会用到其中的一种或几种方法。在解题实践中，只要做到以下口诀，即可确保准确无误。
观察通项特征，判定数列类型；
若非特殊数列，分析怎样构成；
一、把握教学的尺度
尺度泛指“五度”，即高度、量度、难度、深度、密度，分述如下。
（一）高度，是指教学的目的与要求。必须条款清楚，把握分寸，切忌“唱高调，收低效”。如“了解”、“熟悉”、“掌握”、“熟练掌握”等，务必措词准确，立足实际。如在等比数列求和公式与应用的教学中，可拟定为：（1）掌握公式推导方法——错位相减法；（2）熟练掌握公式及其使用条件；（3）直接应用公式熟练求和；（4）了解相关杂级数求和问题。如此以表示程度的不同。
（二）量度，是指授课与作业的份量。必须多少适量，负荷适宜，超饱和与低运行都会导致效益的低下。其措施为：（1）细化授课时间，形成教学环节与教学时间的一一对应；（2）教师下“深水”，对设置的作业题先行试做或理清思路，以摸清份量与深浅。有此两条，量度必趋合理，臻于完善。
（三）难度，即教学内容难易的程度。它决定于课堂教学的五个要点，即重点、难点、衔接点、适中点和拔高点。在“五点”设置中，须注意其科学性、合理性、准确性、实践性和可操作性，力求知识内容与学生实际的和谐统一。
（四）深度，指对知识点发掘的程度。于此，须体现深刻性、拓展性和预见性。深刻性，须挖掘知识点的隐含内容。例如，等比数列的定义中隐含着首项与公比不为零，宜用反证法证之。拓展性，须弄清知识点的迁移规律，以培养学生触类旁通，举一反三，以一驭万，以不变应万变的能力。例如，一题多解、一题多变与一题多用的灵巧设置；“通法”、“巧法”与“误法”的兼容并蓄，相映成趣，等等。预见性，须注重学生灵感思维，逆转思维与发散思维的训练，以培养学生的创造能力。例如，在求和Sn（x）=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1（n∈N）一题的解答中，利用错位相减法，一举奏效。不难看出，式中各项是一个等差数列与等比数列前n项对应项的乘积。那么，错位相减法是否对一切等差数列与等比数列的情形都适用呢？严密的推导，证明了这种预见与推测的正确性。可见，有此“三性”，在课堂教学中，必能务本求实，走出照本宣科、花拳绣腿、做表面文章的误区。
（五）密度，是指课堂教学疏密的程度。哪些该密，哪些该疏，说到底，是一个详略得当的问题。重点问题，须紧锣密鼓，集中解决；非重点问题，须穿针引线，顺其自然。力求张弛适度，节奏有致。以不断调节学生心态，激发其兴奋点，置他们于欲取欲求的愤悱状态。
二、设置教学的坡度
要使课堂教学环环相扣，层层深入，步步拔高，就必须设置适宜的教学坡度。这就需要教者在全面考查与分析中，找准教学的衔接点、适中点与拔高点。所谓衔接点，即是新旧知识的接轨点，它是新课的奠基石；所谓适中点，则是教学的基本要求，须面向大多数；所谓拔高点，乃是当堂新知识拓展与延伸的终止点，须面向优生，扩大非优生的知识视野，激发其积极向上的热情。例如，等比数列前n项求和公式与应用一节，宜确立衔接点为等比数列通项公式；适中点为运用求和公式，熟练求和；拔高点为相关杂级数求和。
三、提炼教学的精度
“少而精”虽然是老调常弹，耳熟能详，但却是我们必须坚持的重要教学原则。精则须纯，纯则须炼。因此，须注重教学内容、方法与教师课堂语言的提炼。例如，我在等比数列求和公式与应用的教学中，用铺垫法引出了错位相减法；用三道例题训练解题的通法、巧法与误法，显示了一题多变，一题多解，循序渐进，诱发推测与预见的特点；用教学详案促进了课堂语言的净化与规范。这些，都是精于推敲，刻意提炼的结果。台上一分钟，台下千日功。教师须认真备课，深钻细究。像春蚕那样细食绿桑而结成晶茧；像蜜蜂那样，广采芳粉而酿成甜蜜。
四、增大教学的力度
吸引力，感染力，激发力与凝聚力是课堂教学的驱动力。那么如何加大其力度呢？其重点有二。
（一）激发学习兴趣。程颐曰：“教人未见意趣，必不乐学。”意趣是人生的调料，生活的味精。教者应注意教学的趣味性，以激发学生的学习兴趣，特别是激发学生对知识本身的兴趣。这是调动学生积极思维、提高教学效益的重要前提。常用的方法有多种。于此，重点说明几法。
其一，激疑法。设置适当的问题与矛盾，使学生急于解决而又不得其法，从而激发他们对新课的浓厚兴趣。这种方法，多用于新课的导入。例如，在教学等比数列求和公式时，首先宜要求学生计算诸如3+32+33+…+310之类的问题，以促使他们产生探求公式的强烈愿望。
其二，激趣法。化枯燥为生动，化抽象为形象，化干瘪为丰满，是此法的基本特征。反实创虚是其有效方法之一。所谓反实创虚，是依客体创设形象，翻新激趣，以帮助学生记忆与巩固。例如，马克思生于1818年5月5日，可记为“马克思一巴掌又一巴掌打得资本家呜呜直哭”，谐音即得。
其三，调味法。课堂教学的运筹，恰如美味佳肴的烹调，须注意添以精料，调以美味，把握火候。课堂教学的“三剂”，运用恰当得体，则具奇效，可使师生乐不知疲。其为：搞好开场白，注入兴奋剂；增强幽默感，添加剂；运用过渡语，巧施催化剂。
（二）强化自身手段。要增大教学力度，教师须从自身着眼，最大限度地强化自身教学手段，力求做到如下几点。一要潜心，进入角色，物我两忘，全力以赴；二要旺神，气宇轩昂，热情饱满，精力充沛；三要熟记，倒背如流，胸有成竹，熟练驾驭；四要善辞，清晰悦耳，抑扬顿挫，神情并茂；五要巧导，深入浅出，因势利导，循循善诱。其中，“善辞”是指教师须善于言辞表达。要在语音、语气、语调、语势和语速上润色，提高语感系数。激昂时，如万马奔腾；舒缓时，似闲云飘逸；低婉时，若夜琴轻扣。言难言之理，表难达之情，开启智慧的门窗，拨动学生的心弦。“巧导”是指教师须注意发挥主导作用中的技巧，做到引导，指明方向；启导，触动灵感；诱导，诱发行为，如同施以诱饵，引鱼上钩。如在等比数列求和公式教学中，引导，在于观察相邻项间的关系；启导，在于推广试探，等式两边同乘q；诱导，在于诱使施用错位相减法。
五、调整教学的跨度
为了培养学生的知识迁移能力与应变能力，我们必须调整教学的跨度。即在课堂教学中，须适当地跨出章节，跨出教材，跨出年段，实施重新组合与兼融渗透的策略。
求数列通项公式和数列前[n]项的求和是高考重点考查的内容，也是考纲明确提出的知识点，年年在考，年年有变，但变的是试题的外壳，即在题设条件上有变化、有变革、有创新，但在这些变中更有不变的主题，即各种问题的解答方法大致可以归纳为平平常常的几种.因此，考生有效地进行化归是正确、准确、迅速解题的前提，而合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝.这部分内容在高考中既有以选择题、填空题形式的简单考查，也有以解答题重点考查的情况.求通项公式时，往往是把非等差等比类数列通过方法（待定系数法、特征方程法、不动点法等）转化成等差等比数列，有时需要反复转化最终才能达到求解的目的，分值在6分左右；数列求和方法也是常规的几种（错位相减、交叉相消、分组求和等），更多的考题在求和完成后要利用结果完成方程或不等式等类型的运算或证明，分值在8分左右.各地文、理科试卷在选择部分出现时的差别不大，往往文理科试卷题完全一样，而若在填空题或大题中出现时文理通常以姊妹题的方式出现.
命题特点
数列这讲内容的考点主要包括三个方面：一是要求求非等差等比数列的通项公式，更多试题是借助整体换元的方式把普通数列转化成特殊数列；二是求数列前[n]项，数列求和主要是分析通项，然后根据通项选择相应的求和方法.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.通过数列求和考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；三是数列求和常与其它知识点的交互考查，尤其与函数、方程、不等式、等内容有机地结合在一起，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查.其类型如下：
1. 利用含[an，Sn]的等式求数列通项公式，并对求和公式加以考查
例1 设[Sn=（-1）nan-12n]为数列的前[n]项和，则
（1）[a3]=_____；
（2）[S1+S2+???+S100=]___________.
解析 （1）由[Sn=（-1）nan-12n]得：
[Sn+1=（-1）n+1an+1-12n+1]，[a1=（-1）1a1-121?a1=-14].
两式相减得：[an+1=（-1）n+1（an+1+an）+12n+1]，
①当[n]为奇数时，[an+1=an+1+an+12n+1]，
即[an=-12n+1].
②当[n]为偶数时，
[an+1=-（an+1+an）+12n+1?an=-2an+1+12n+1]，
而此时[an+1=-12n+2]，
[an=-2?（-12n+2）+12n+1=12n].
[a3=-116].
（2）由（1）[an=-12n+1（n为奇数），12n（n为偶数），]结合题给条件
[Sn=（-1）nan-12n]可得，[Sn=-12n+1（n为奇数），0（n为偶数）.]
于是[S1+S2+???+S100=S1+S3+S5+???+S99]，
即[S1+S2+???+S100=-14[1-（14）50]1-14=13?（12）100-13].
点拨 本例题给条件是含[an，Sn]的混合恒等式，通过衍生含[an+1，Sn+1]的等式后作差，使恒等式中的[Sn]消失，变换为该数列[an]相邻两项的递推关系式，从而使混合式变成单一的我们熟悉的式子.考虑到有[（-1）n]出现，通过对[n]的奇偶性讨论来发现观察问题，最终解决了第一个问题；在第二问中尽管[Sn]是数列[an]前[n]项的和，但实际上又构成了新数列[Sn]，并要求求新数列[Sn]前100项的和，于是先须求[Sn]的通项公式，再根据需要求解.
例2 已知等差数列[an]的前[n]项和为[Sn=（a+1）n2+a]，一个三角形三边之比为[a2：a3：a4]，则该三角形最大角的正切值为 （ ）
A. [33] B. [1]
C. [3] D. [-3]
解析 因为数列[an]是等差数列， [a=0，Sn=n2].[a2=3，a3=5，a4=7]，设三角形最大角为[θ]，由余弦定理得，[cosθ=-12，θ=2π3，tanθ=-3]，故选D.
点拨 本题运用等差数列的前[n]项和公式的结构特点：[Sn=An2+Bn]，公式中缺常数项，得到[a=0].因此，在解题时要善于捕捉题给条件中所涉及的相关信息，形成最好的解题方案.
2. 利用特殊数列基本量去求解通项公式，并对求和公式加以考查
例3 已知等比数列[an]满足：[|a2-a3| =10]，[a1a2a3=125].
（1）求数列[an]的通项公式；
（2）是否存在正整数[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]？若存在，求[m]的最小值；若不存在，说明理由.
解析 （1） 设等比数列[an]的公比为q，
则由已知可得[a13q3=125，|a1q-a1q2|=10，]
解得[a1=53，q=3，]或[a1=-5，q=-1.]
故所求通项公式为[an=53?3n-1]，或[an=-5?（-1）n-1]. （2）若[an=53?3n-1]，则[1an=35?（13）n-1].
故[1an]是首项为[35]，公比为[13]的等比数列.
从而[n=1m1an=35?[1-（13）m]1-13=910?[1-（13）m]
若[an=（-5）?（-1）n-1]，则[1an=-15（-1）n-1]，
故[1an]是首项为[-15]，公比为[-1]的等比数列.
从而[n=1m1an=-15， m=2k-1 （k∈N+），0， m=2k （k∈N+）.]故[n=1m1an
综上，对任何正整数[m]，总有[n=1m1an
故不存在正整数[m]，使得[1a1+1a2+…+1am≥1]成立.
点拨 本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及不等式运算.考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力.对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，是通过对等比数列求和运算来展开的，重视基础，然后与不等式知识简单交叉.
例4 等差数列[an]中，[a1+a2+a3=-24，][a18+a19][+a20=78]，则数列前20项和等于_________.
解析 由已知可得，
[（a1+a2+a3）+（a18+a19+a20）][=-24+78=54].
[（a1+a20）+（a2+a19）+（a3+a18）=54?a1+a20=18.]
[S20=20（a1+a20）2=20×182=180].
点拨 本题主要运用等差数列的性质，当[p+q=s+r（p，q，s，r∈N*）]时，[ap+aq=as+ar]，同时也考查了等差数列求和公式的运用.
3. 利用化归思想对数列通项、求和公式的考查
例5 已知数列[an]中，[a1=1，an+1=anan+3].
（1）求数列[an]的通项分式；
（2）若数列[bn]满足[bn=（3n-1）n2n?an]，数列[bn]的前[n]项和为[Tn]，若不等式[（-1）nλ
解析 （1）由题知[1an+1=an+3an=3an+1]，
变形为[1an+1+12=3（1an+12）]. [1an+12=（1a1+12）?3n-1=3n2，an=23n-1].
（2）由（1）可得，[bn=（3n-1）?n2n?23n-1=n?（12）n-1]，
[Tn=1×1+2×12+3×（12）2+…+n×（12）n-1]，
[12Tn=1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n×（12）n].
两式相减得，
[12Tn=1+12+（12）2+（12）3+…+（12）n-1-n×（12）n]
[=1-（12）n1-12-n2n=2-n2n]，
[Tn=4-n+22n-1].
[Tn+1-Tn=（4-n+32n）-（4-n+22n-1）=n+12n>0]，
所以[Tn]为递增数列.
①当[n]为奇数时，不等式变形为[-λ
②当[n]为偶数时，不等式变形为[λ
综合①②得，[-1
点拨 通过对题给递推公式两次有目的的变形，把原数列[an]问题转化成等比数列[{1an+12}]的问题，通过求数列[{1an+12}]的通项公式达到求原数列[an]通项公式的目的.在对数列[bn]求前[n]项和时运用了错位相减的方法，运算的过程相对固定，但运算中很容易因失误出错，为了避免这个失误，除了严谨认真外，还应该对最后的结果用[n=1，2]等进行检查.本题与恒成立不等式问题交叉，先利用判断数列单调性的方法求得数列最大（小）项的值，然后达到最终要求.
备考指南
（1）要熟练掌握基础知识与基本操作解题技能， 复习时首先要在充分掌握等差、等比数列的通项公式及前[n]项和的公式基础上，利用转化与化归思想方法解决那些非等差、等比的问题，要学会模式化的转换策略，针对相关模式掌握好及时应对方法.
（2）重点掌握数列求和的多种策略与方法，达到准确熟练运用的能力.
（3）善于抓住非等差（比）数列结构特征，通过适当变形与处理，使它转化为特殊的模式，如交叉相消、错位相减等，从而达到我们能从容应对的目的.
（4）数列终归是特殊函数，在与其它知识交叉时多多利用数列的函数特性.
限时训练
1. 设[Sn]为等差数列[an]的前[n]项和，[S8=4a3，][a7=-2]，则[a9]= （ ）
A.[-6] B.[-4]
C.[-2] D.2
2. 设差数列[an]前[n]项和为[Sn，Sm-1=-2，Sm=0，][Sm+1=3]，则[m=] （ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
3. 若等比数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[S4S2=5]，则[S8S4=] （ ）
A.35 B.17
C.4 D.25
4. 在等差数列[an]中，[a2=6，a5=15，bn=a2n]，则数列[bn]的前5项和[S5=] （ ）
A.45 B.78
C.90 D.105
5. 已知[an]的通项公式为[an=][1（n+1）n+nn+1][（n∈N*）]，其前[n]项和为[Sn]，则在数列[S1，S2，…，S2014]中，有理数项的项数为 （ ）
A. 42 B. 43
C. 44 D. 45
6. 若等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且数列所有项的和为99，则这个数列有 （ ）
A. 9项 B. 12项
C. 15项 D. 18项
7. 设[Sn]为等比数列[an]的前[n]项和，若[8a2-a5=0]，则[S4S2=] （ ）
A. [-8] B. [5]
C. [8] D. [15]
8. 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且[Sn=2an-2]，数列[bn]满足[b1=1]，且点[P（bn，bn+1） ]在直线[y=x+2]上，则[anbn=] （ ）
A. [（2n-1）2n] B. [（2n+1）2n]
C. [2n（2n-1）] D. [2n（2n+1）]
9. 已知等比数列前20项和是21，前30项和为49，则前10项和是 （ ）
A. [7] B. [9]
C. [63] D. [7]或[63]
10.若等差数列[an]的第5项是二项式[（x-13x）6]展开式的常数项，则该数列前9项的和[S9=] （ ）
A. [259] B. [15]
C. [53] D. [-53]
11. 已知等比数列[an]是递增数列，[Sn]是[an]的前[n]项和，若[a1，a3]是方程[x2-5x+4=0]的两个根，则[S6=]________.
12. 已知[an]是等差数列，[a1=1]，公差[d≠0]，[Sn]为其前[n]项和，若[a1，a2，a5]成等比数列，则[S8]=_______.
13. 数列[an]是公差为[d（d>0）]的等差数列，且[a1=2，a3=a22-10]，设[bn]是以函数[y=4sin2πx]的最小正周期为首项[b1]，以3为公比的等比数列，则数列[{an-bn}]的前[n]项和[Sn=]__________.
14. 设[An=12，34，58，…，2n-12n][n≥2]，[An]的所有非空子集中的最小元素的和为[S]，则[S]=__________.
15. 已知在正整数数列[an]中，前[n]项的和[Sn]满足：[Sn=18（an+2）2].
（1）求证：[an]为等差数列；
（2）若[bn=12an-30]，求数列[bn]的前[n]项和的最小值.
16. 已知[Sn]是等比数列[{an}]的前[n]项和，[S4]，[S2]，[S3]成等差数列，且[a2+a3+a4=-18].
（1）求数列[{an}]的通项公式；
（2）是否存在正整数[n]，使得[Sn≥2013]？若存在，求出符合条件的所有[n]的集合；若不存在，说明理由.
17. 设[Sn]为数列[{an}]的前项和，已知[a1≠0]，[2an-a1][=S1?Sn]，[n∈N*]
（1）求[a1]，[a2]，并求数列{[an]}的通项公式；
（2）求数列{[nan]}的前[n]项和.
18.已知数列[an]满足[a1=1]，且对任意非负整数[m，n（m≥n）]均有：[am+n+am-n+m-n-1=12（a2m+a2n）].
（1）求[a0]及[a2]；
一、教学设计和背景
（1）知识与技能目标：掌握等比数列项前n项求和公式，能较熟练应用等比数列前n项求和公式。
（2）过程与方法目标：经历公式的探索性推导过程，体会数学的逻辑性和严谨性，以及分类讨论的数学思想，学会观察思考。
（3）情感态度与价值观目标：通过学习，让学生体会到数学的应用性，激发学生学习数学的兴趣。
重点：等比数列前n项求和公式的推导及简单应用。
难点：等比数列前n项求和公式的推导过程。
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。其等比数列前n项求和公式的推导过程学生接受起来感觉比较困难，为了突破这个难点，本节课设计采用“多媒体优化组合――激励――发现式教学”，以问题创设情境，激活学生原有的知识，激发学生“想知道”的欲望，形成学生学习数学的兴趣，让学生真正成为学习的主体。
二、教学片断
“老师，今天的课太有意思了！我都听懂了！”班里一位平时上课经常睡觉的学生下课时对我说，我称赞并鼓励他以后也要认真听讲，心思又回到了今天这节课：
“同学们，我们知道就在前天，我国自行研制的神州六号载人航天飞船发射成功，举国上下一片欢腾，每个中华儿女都倍感自豪，下面我们先来回顾一下那个划时代的历史镜头！”
首先是给出关于神六发射的视频，激发同学们学习兴趣。
教师：阿基米德说过：“给我一个支点，我能橇起整个地球。”如果我们有一个理想的平台，是否可以登上月球呢？今天我们就要来建造一个理想的平台，看看是否可以登上月球呢？
第一位同学造一层1米高（五级）的台阶，第二们同学在第一位同学的基础上造一层2米高的台阶，第三位同学再在第二位同学的基础上造一层4米高的台阶，假定往后每位同学所造的台阶高度都是前一位同学所造高度的2倍，依次类推，直到我们班里最后一位同学，那么大家共同建造的这个台阶能否从地球到达月球？（月球距离地球大约是40万公理）
我把学生分成四人小组，让学生轮流开始“建造”台阶了……
老师：这是一个什么样的数学问题？很快就有多数学生举手，一学生答：“现在我们班里有47同学，那么台阶能达到的高度是1+2+22+……+247米，所以现在把这个问题就是和式的值与4×108的大小比较。”话音刚落，另一学生又补充说：“这实际上是求以1为首项、2为公比的等比数列的前47项和的问题。”
老师：“如何算出这个和式的值呢？”。同学分别动手，有的用计算器、有的在用小高斯的求和方法等进行试探。从而进一步引导学生去分析项的特点，从探究过程中得到启发，发现“错位相减法”。
老师：把2改q，则Sn=1+q+q2+……+qn-1（等比数列前n项和的实质），如何化简？（体现从特殊到一般的思想）。学生仿照上面的方法，不难得到。这样，最后一问就是一般的等比数列的前n项的求和。这对学生来说，也就能得到等比数列的求和公式，这样就解决了本节课的教学难点。……
在最后我还设置了开放性的课堂小结方式：通过这节课的学习你得到了哪些知识，有什么启发？学习了哪些数学思想方法？同时把同学们的知识小结，用卡通画表示出来，如下（图1）。最后，教师：“最后希望同学们在今后的学习当中，像这条鱼儿一样在知识的海洋里畅游，早日到达成功的彼岸！”
并给出了两道情境式的习题，如下：
作业1：中国有首古诗：远望巍巍塔七层，红光点点倍自增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
作业2：“神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第x位接收此消息的……”
假定这家公司发出的10条短信中的x值均为1，以后每一位收到短信后将x值都增加1，再将短信发出。据统计，所发短信中x的最大值为10，试问通过这家公司最多发了多少条短信？
三、教学反思
这堂课的课堂气氛热烈，学生兴趣高涨，参与积极，效果出乎意料的好，而那个平常经常睡觉的学生对我说的话更使我有了很多的思考：我类学校，那些上课不听的学生未必是对学习毫无兴趣，只要教师立足于学生的兴趣与基础，创设好情境，就能使学生不知不觉地滋生出学习动力与学习热情。所以，对于学习兴趣的培养应当做为我类学校的重点来抓，并把激发学生兴趣渗透到每个教学环节，贯穿于数学教学的全过程。激发学生兴趣，我认为可以从以下方面着手：
1.创设情境，激发学习兴趣
从近年来高考试题中分析得知，考查数列的比重越来越大，其价值越来越得到重视。尤其是相关数列的题型不仅能够锻炼学生的探究能力，培养学生严谨的思维能力，而且对学生分析能力、归纳能力的培养也起着不可替代的作用。同时，等差数列的前n项和也是上节课等差数列的后继内容。本节课的主要内容是：等差数列前n项和公式的推导及运用。
二、教学目标
1.知识与技能目标：
（1）掌握等差数列前n项和的公式以及推导过程；
（2）会用等差数列的前n项和解决相关的一些问题。
2.能力目标：
通过让学生自主推导前n项和公式来锻炼学生的自主学习能力
通过相关问题情境的创设来培养学生的独立思考能力和探究能力。
3.过程与方法：
自主探究模式、数学思想的渗透。
三、教学重点与难点
重点：等差数列前n项和公式的推导。
难点：等差数列前n项和公式的灵活运用。
四、学生分析
“以学生为中心”的教学思想是新课程改革下的基本教学理念，也是学生健全发展的保障。所以，对于高中阶段的学生来说，他们已经具备了自主学习的能力，而且多年的学习也促使学生有了特有的学习方法，因此，我们可以借助自主探究式教学模式来给学生搭建自主学习的平台，进而为学生获得更大的发展空间打下坚实的基础。
五、教学过程
导入环节：回顾等差数列的通项公式[（a■=a■+（n-1）d）]。思考：如果将某个等差数列各个项相加，会得到怎样的结果？
（设计意图：一是让学生回顾和复习上节课的内容；二是提出问题，调动学生的求知欲，使学生带着问题走进课堂。）
情境创设：德国伟大数学家高斯在九岁那年，用很短的时间完成了教师布置的一道数学题：对自然数从1到100的数进行求和。老师非常惊讶高斯为什么能在这么短的时间里计算出对这个年龄来说相当困难、相当耗费时间的题目。思考：高斯用了什么方法？
（设计意图：创设该环境只是为了要将本节课的正题引出，因为对于这样的题，学生很容易回答出答案为5050；对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98…）也就是我们通常所说的首尾相加。）
接着，让学生简述解题过程。接着，引导学生思考：如果这道试题改为“对自然数从1到n的数进行求和？”会得到怎样的答案。即求1+2+3+4+…+（n-1）+n
学生1：延续高斯的首尾相加。
第一项和倒数第一项相加：1+n
第二项和倒数第二项相加：2+（n-1）=n+1
第三项和倒数第三项相加：3+（n-2）=n+1
……
第n项和倒数第n项相加：n+[n-（n-1）]=n+1
于是所有的前n项和为■
学生2：借助等差数列的通项公式。
设y=1+2+3+4+…+n
观察可以看出，该式子各项之间是等差为1的等差数列。
即an=n所以，y=a■+a■+a■+a■+…+a■（1）
y=a■+an-1+an-2+an-3+…+a■+a■（2）
将（1）+（2）=（a■+a■）+（a■+an-2）+（a■+an-3）+…+（a■+a■）=2y
（1+n）+[2+（n-1）]+…（n+1）=2y
y=■
所以，1+2+3+…+n=■
……
（设计意图：引导学生发挥自己的主观能动性，积极动手、动脑寻找解答的过程，这样一来不仅能够加深学生对相关知识的印象，提高学生的理解能力，而且对学生综合能力的提高也起着非常重要的作用。同时，该环节的设计是等差数列前n项和公式推导出来的前提。）
在学生给出不同的解答过程之后，我接着引导学生思考：如果对于一个等差数列，第一项未知用a1表示、公差未知用d表示，你能否推导出该等差数列的前n项和公式。（学生思考，并在上述解答的思路中给予证明。）
证明：先求出等差数列的通项：an=a■+（n-1）d
设前n项和为Sn，即Sn=a■+a■+a■+a■+…+a■=a■+（a■+d）+（a■+2d）+…+[a■+（n-1）d]
=a■+a■+d+a■+2d+…+a■+（n-1）d
=na■+[d+2d+…+（n-1）d]=na■+d[1+2+3+…+（n-1）]
=na■+■d
当然方法不止这一种，在此不再进行详细的介绍。总之，在对学生的解题过程给予肯定之后，我明确了等差数列前n项和公式，并板书该公式，而且导入环节的问题也随之得到了解决。
（设计意图：该过程的设计就是为了让学生自主动手推导出等差数列的求和公式，这样不仅能够加深学生的印象，而且对提高学生数学知识的应用能力也起着非常重要的作用。）
思考问题：（1）在等差数列{an}中，a3+a7-a10=8，a1-a4=4，则S13等于 ； ；。
（2）设等差数列{a■}的前n项和为S■，若a■=S■=12，则{a■}的通项a■= ； ；。
（3）已知等差数列前m项和为30，前2m项和为100，求前3m项和为多少？
（4）设等差数列an的前n项和为S■，已知：a■=12，S■>；0，S■<；0，求公差d的取值范围？
……
（设计意图：这几道试题从难度上来说，由简至难，既符合学生的认知规律，而且对学生知识应用能力的培养也起着非常重要的作用。）
关键词：创造思维；思想；学生主动参与
那么在中学数学教学中如何培养学生的创造思维呢？结合本人教学实践，谈几点体会。
一、创设问题情景，引入创造思维境界
创新教育家苏霍姆林斯基说过：“如果学生们没有学习愿望的话，我们所有的想法、方案和设想都会化为灰烬，变成木乃伊。”因此，在导入新课时要力求新颖、有趣，使学生在上课伊始就被要学的内容所吸引，思维处于积极的兴奋状态。创设问题情景就其内容形式来说，有故事法、生活事例法、实验操作法、联系旧知法、伴随解决实际问题法等；就其意图来说，有调动学习积极性引起兴趣的趣味性问题，有以回顾所学知识强化练习的类比性问题，有与实际相结合的应用性问题等。例如：在上“等比数列前n项求和公式”时，引用了国际象棋的例子，从而激发了学生思维的火花和求知的欲望。
二、采用启发式教学，培养学生创造才能
一堂课效率的高低，不光要看教师能传授给学生多少知识，还要看能否教给学生主动学习的方法，即不仅要使学生“学会”还要使学生“会学”，成为获取知识的主人和新知识的“发现者”。因此，教师必须用启发式教学方法，引导学生自己去探索新规律，提出新问题，并给出解决问题的方法。例如：在等差数列、等比数列前几项和公式的教学中，由于过多地受应试教育的影响，一般都把求和公式的推导的思想方法看得较轻，而把如何利用求和公式解答习题的技能技巧的训练看得较重。而创造性思维教学的观点不只是要求学生能掌握和利用求和公式，而且要求学生首先要深刻理解推导求和公式的思想方法。也就是要求学生在已掌握“加法”“乘法”“等差数列的性质”等旧知识的基础上，转化出推导等差数列前几项和的公式的新的思想方法。即在等差数列{an}中，当d=0时，Sn=na1，当d≠0时，让学生较独立地想到：（1）为了求n个不相同的数的和，应转化为求n个相同数的和；（2）为完成上述转化，怎样去根据等差数列的性质去构造一个辅助数列，进而得到Sn=n（a1+an）/2，这里还应把推导公式的思想引入深入，即利用合并同类项化简多项式的思维方法，有了这种思想基础，我们在学习等比数列{an}前几项和公式时，当q≠1时，虽然这里不能够根据等比数列的性质把n个不同数的和转化为n个相同数的和，但学生是能够独立想到根据等比数列的性质构造等比数列{qan}，利用错位相消法（实质上仍是合并同类项）求得Sn=a1-anq/1-q。实践证明，教师准确地把握好教学时机，有利于在思维的最佳突破口点拨学生，启迪学生智慧的火花。所谓“不愤不启，不悱不发”，即是要求教师当学生心愤求通、口悱难达，急需教师启示开导的时候，适时而教，便如“时雨化之”，可收到良好效果。同时，教师启发思维的问题的难易要适中，速度的快慢要得宜，广度的大小要恰当，量度的多少要相应，恰到好处地引发学生积极思维。另外，教师启发思维还应注意遵循学生的认识规律，循序渐进。学生的思维发展总是从具体到抽象、从个别到一般、从简单到复杂的，教师循其“序”而导引，可以使学生课堂思维活动富有节奏感和逻辑性。
三、让学生主动参与，开发创造思维
要培养学生创造思维能力，就要让学生主动地学习数学，主动地参与教学活动。例如：在教学“棱柱的性质”时，教师把事先准备好的材料（塑料棒，502胶水等）要求学生分组制作四棱柱然后对照模型，进行思考和讨论，最后教师从中挑出几个特殊的四棱柱，全班进行交流。我们深深体会到：让学生主动参与教学活动，不仅能激发不同层次知识水平学生的学习兴趣，而且还能有效开发他们创造思维的潜能。另外，在教学过程中，教师要鼓励学生质疑问难。爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要，因为解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，都需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”任何科学的发现无不是从提出问题开始的，因此，教师在教学中，要有意识地设置一些问题，使学生形成认知冲突，从而激发他们的创造思维。总之，学生能提出问题，说明有创新思维的意向；能分析：解决问题，说明有创新思维能力。
四、诱发学生的灵感，激发学生的创造思维
灵感是一种突发性的创造劳动。它一经触发，就会被突然催化，使感性材料突然升华为理性认识；灵感能冲破人的常规思路，为人类创造性思维活动开启一个新的境界。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉和灵感，从而建立欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了判别王冠真假的方法。凯库勒发现了苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。因此在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。
总之，要在中学数学中能真正做到培养学生的创造性思维，教师应在教学中，创设一种民主、宽松、和谐的教学环境和教学气氛。同时教师还要注意自身的知识和能力储备，要用自己创造性的劳动去组织教材，特别是要挖掘教材内容中所隐含的数学思想与方法。只有当教师自己能够打破传统定势，提高自身的认知水平，才能更加灵活地去引导学生的发展，更好地促进学生的发展，实现教书育人的目的。
参考文献：
[关键词]Excel 办公自动化 应用 技巧
[中图分类号]TP391.13 [文献标识码]A [文章编号]1009-5349（2014）02-0032-01
胡振猛（1983-），男，河北衡水人，衡水市人力资源和社会保障局助理电子工程师。研究方向：电子计算机。
随着计算机和网络技术的广泛应用，计算机已经成为人们办公的必备工具之一。用的较多的就是对大量信息的处理，而这些文件总是以Excel文件的形式存储。这对于不熟悉Excel操作技巧的人来说是一个挑战，下面对常用Excel的应用技巧作以介绍，供相关用户参考。
一、自动填充数据
自动填充数据是快速输入数据的有效方法。而Excel具有“自动填充”作用，可以快速地复制原来数据以及输入等差、等比、日期序列预设序列和自定义序列。
（一）用“序列”对话框填充数据
对于步长任意的等差、等比序列以及日期序列，可使用“填充”菜单中的“序列”菜单项，来完成数据的自动填充，具体操作步骤如下：1.要在第一个单元格中输入初值，选定要填充的单元格区域。2.从菜单中选择“编辑”“填充”“序列”菜单项，打开“序列”对话框。3.在对话框的“序列产生在”中选择“行”或“列”；在“类型”框中选择需要的序列类型；在“步长值”输入框中输入步长值，日期序列要选择日期单位，最后单击“确定”按钮即可。
（二）通过拖动填充柄来填充数据
将鼠标指向选定区域右下角单元格的填充柄，当指针变成黑十字光标后，沿着要填充的方向拖动填充柄直到目标单元格，松开鼠标数据就自动填入拖过的区域。
自动填充数据时，初值决定以后的填充项，分为以下几种情况：1.初值为字符型数字时，直接拖动生成步长为1的等差序列。原数据复制时应按Ctrl的同时拖动填充。2.初值为字符与数字混合体时，数字作字符型处理，直接拖动字符复制，数字生成步长为1的等差序列。原混合体数据复制，按Ctrl的同时拖动填充。3.初值为汉字、字母、数值型数字时，直接拖动为数据复制填充。4.初值为日期和时间时，直接拖动填充按日或小时生成步长为1的等差序列。5.初值为Excel预设填充序列、自定义序列的一员时，拖动填充按预设填充序列或自定义序列填充即可。
二、输入公式
使用公式可以方便地进行计算、统计和分析。Excel中公式总是以英文的等号“=”打头，等号后面是一个表达式，由常量、单元格引用值、名字、函数、运算符等组成。
单元格中直接输入公式的具体步骤为：单击将要输入公式的单元格；在单元格或编辑栏的输入框中输入等号“=”；输入由数值、单元格地址、函数组成的表达式；按“Enter”键或单击编辑栏上的“√”按钮。如取消，可按“Esc”键或单击编辑栏中的“取消”按钮。
三、函数的使用
输入函数有以下几种方法：
（一）直接输入函数
先输入一个等号，然后，输入函数本身及参数。常用的函数有两个：1.SUM：对指定的区域中的值进行求和。如：公式“=SUM（B3：C9）”表示对B3至C9的矩形区域内所有单元格中的数据求和。2.AVERAGE：求指定的区域各单元格数据的平均值。如：公式“=AVERAGE（B1：B10，D1：D10）”表示求B1：B10和D1：D10两个区域中所有单元格中数据的平均值。
（二）使用“粘贴函数”
粘贴函数是常用的输入方法。具体操作步骤为：1.选定要输入函数的单元格。选择插入菜单中的函数菜单项，或单击工具栏中的“粘贴函数”按钮，即出现粘贴函数对话框。2.单击对话框左边函数分类列表框中的函数类别，右边的列表框中就会列出该类别的所有函数，单击其中要使用的函数，单击“确定”按钮，弹出函数选项面板，在Value1、Value2框中输入参数，单击“确定”按钮即可。
（三）使用自动求和
使用工具栏中“自动求和”按钮，可将工作表中选定区域的求和公式自动填写到目标单元格中。具体操作步骤如下：1.单击存放求和结果的单元格。2.单击工具栏中的“自动求和”按钮∑。3.核对自动生成的求和公式的参数是否正确，然后确认即可。
（四）公式的复制和单元格地址的引用
公式的复制指在一个单元格输入公式后，如相邻的单元格中需进行同一的计算，可利用自动填充功能，来复制公式。操作步骤为：1.将鼠标指针指向已输入公式的单元格填充柄，当指针变成黑十字光标后，沿着要填充的方向拖动填充柄至目标单元格。2.松开鼠标，公式就会自动复制到拖过区域的单元格中，自动计算出结果。
Excel在办公自动化系统中的应用越来越普及，只要熟悉这些技术要领，多做多练习，人们就会应用得得心应手，增强工作技能，提高我们的工作效率。
【参考文献】
■ 专项模拟
A. ［4，+∞）
B. （－∞，－4］∪［4，+∞）
C. （－∞，0］∪［4，+∞）
D. 不能确定
3. 数列｛an｝中，an=n2+λn（n∈N+），若｛an｝为递增数列，则λ的取值范围为____________.
4. 数列｛an｝中，a1=2，an+1=4an－3n+1（n∈N+）.
（Ⅰ）证明｛an－n｝是等比数列；
（Ⅱ）求｛an｝的前n项和Sn；
（Ⅲ）证明不等式Sn+1≤4Sn对任意n∈N+恒成立.
（Ⅰ）证明｛an｝是等差数列；
6. 设｛an｝的前n项和Sn=n2－4n+4.
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式.
（Ⅱ）设各项均不为0的数列｛bn｝中，所有满足bi・bi+1
8. 数列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列.
（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测｛an｝，｛bn｝的通项，并证明你的结论；
在x=bn处的切线斜率.
（Ⅰ）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）若Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明：当n≥2时，2Sn>Tn+3n.
10. 数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+）.
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项；
11. 已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.
（Ⅰ）求x0的值.
12. 设an是关于x的方程xn+nx－1=0（n∈N+，x∈R+）的根，试证：
（Ⅰ）an∈（0，1）；
（Ⅱ）an+1
14. 函数f（x）=x2－4，曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））?摇处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）.
（Ⅰ）用xn表示xn+1；
（Ⅲ）若x1=4，bn=xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明：Tn
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式.
（Ⅲ）正数数列｛cn｝中，an+1=（cn）n+1（n∈N+），求数列｛cn｝中的最大项.
（Ⅰ）求a2，a3，并猜想数列｛an｝的通项公式，再用数学归纳法加以证明；
17. 已知函数f（x）=x3+x2，数列｛xn｝（xn>0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行. 求证：当n∈N+时，
18. 已知函数f（x）是在（0，+∞）上每一点都可导的函数，且xf ′（x）>f（x）在x>0上恒成立.
（Ⅱ）当x1>0，x2>0时，求证：f（x1）+f（x2）
N+）.
（Ⅰ）证明：an≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）0成立，证明：an
（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅰ）求正实数a的取值范围；
■ 解题反思
1. 研究数列单调性时，既可利用定义，通过比较前项与后项的大小关系得知数列单调性，又可借助与数列对应的函数的单调性得知该数列的单调性. 由于数列是特殊的函数，所以在利用函数的单调性来研究数列的单调性时，还要注意区别. 因为数列定义域中的取值是不连续的，所以数列的图象是一些离散的点，这样就能理解即使数列不在其对应函数的单调区间上，也可能具备单调递增（或减）的性质. 也正因为这点，同学们解题时不能直接对2. 数列与不等式的内容经整合可形成证明不等式、求参量取值范围等问题. 数列不等式的证明方法相当丰富，常见策略有：
（1）根据数列通项的特点直接求和，将式子化简可证得不等式. 直接求和的方法有求和公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等，如第7、8题中的第（Ⅱ）问就是利用裂项相消法求和.
（2）通过放缩，将不便于求和的式子变形为易求和的式子，即将通项化为可裂项相消或可等比求和的结构，缩，将通项化为可裂项求和的结构.
（3）由于数列不等式是关于正整数的不等式，所以可以利用数学归纳法证明，如第9题中的第（Ⅱ）问和第13题.
（4）可利用函数的相关性质证明以数列为载体的不等式问题，如第15题中的第（Ⅲ）问，先构造函数f（x）
1. C
2. C
3. λ>－3
4. （Ⅰ）证明略，提示：an=4n－1+n
5. （Ⅰ）证明略
6. （Ⅰ）an=1，n=1，2n－5，n≥2
7. （Ⅰ）an=6n－5
（Ⅱ）m的最小值为10，提示：利用裂项求和将式子化简
8. （Ⅰ）a2=6，a3=12，a4=20，b2=9，b3=16，b4=25，猜测an=n（n+1），bn=（n+1）2，证明略，提示：用数学归纳法证明
9. （Ⅰ）an=2n，bn=2n－1
（Ⅱ）证明略，提示：其实质是证2n+2>n2+3n+4，可用数学归纳法，也可用二项展开式进行放缩
10. （Ⅰ）an=2n－1
11. （Ⅰ）x0=1
3n+1>2n+1
12. （Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略
15. （Ⅰ）an=n
（17. （Ⅰ）证明略18. （Ⅰ）证明略
（Ⅱ）证明略，提示：利用（Ⅰ）中证得的单调性
（Ⅲ）证明略，提示：先用数学归纳法证明当xi>0时，f（x1）+f（x2）+…+ f（xn）
19. （Ⅰ）证明略，提示：用数学归纳法证明
