时间：2023-05-30 09:04:22
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇垂直与平行，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学过程：
一、谈话导入，理解相互关系
（放音乐《最炫民族风》）
师：同学们，刚才的歌，最炫民族风，听过吗，这首是凤凰传奇的作品，凤凰传奇，传奇凤凰，传奇凤凰，传凤，我的名字叫传凤，廖传凤，大家可以叫我廖老师。刚才大家认识了我，让我也来认识一下大家吧。你们是四年级几班的？你们四年级有几个班，为什么选你们班来上课呢？
生：因为我们很优秀，很聪明。
师：你们挺自信得嘛。优秀不优秀一会上课就知道。
同学们，刚才你认识了我，我认识了你。这就算……互相认识了一下，你们怎么理解互相认识呢？
生：互相认识就是你认识了我，我认识了你。
师板书：互相。
师：一个人能不能说互相呢？
生：不能。
师：互相是一种关系。好，上课，起立，同学们好。
今天我们研究也是关系，线与线的关系，直线与直线的关系，一条直线与另一条直线的位置关系。今天研究的两条直线的特殊的位置关系，一种是垂直，一种是平行。
板书课题《垂直与平行》
二、预习反馈，提出问题
全班齐读课题（声音洪亮）。
师：同学们，结合课题与昨天的预习，你能提出哪些相关的数学问题？
生：什么叫平行？什么叫垂直？在同一个平面内有几种位置关系？两条直线重合在一起了叫什么？
师：你们能提出这么多问题，最棒。那到哪寻找答案呢，如何解决这些问题呢？
三、了解解决问题的方法
生：问家长，上网查资料，看书，翻字典……
真是会想办法的好孩子，当我们遇到困难时，我们要动脑筋，想办法，最终一定会解决。
1.读一读解决问题
师：书是我们的好朋友，那我们先看看数学书上是怎么介绍的。谁来读一读（谢谢这个孩子）？
生读到“平行”那里停住。（声音响亮，真不错）
师：读完后，你觉得哪个词很重要，为什么，可以用小棒解释自己的意思？
生：同一个平面，因为在两个平面上就可能不平行了。（两个平面的手势）
师板书孩子的关键词在黑板上。
生：两条直线，曲线是不可以的（同学们想得很周到）
生：互相，没有互相就没有办法表示他们的关系，A平行于B，B平行于A。（思维严谨，真厉害，说到关键之处）
师：后面这一段，用刚才的方法，孩子们小组合作学习，先自己轻声地读，再和同桌交流你的想法。（你的关键词读得好，让我一听就明白，很好）
生：同一平面……
生：两条直线……
生：互相垂直……
师：垂足，垂足的足是什么意思，
生：脚（足球的足）。
师：对，这个很形象，看大屏幕，如果人笔直地站在地面上，把人看成一条直线，地面也看成一条直线，两条直线相交成直角，那么这两条直线的交点，就是垂足。看来每个词都很重要。
2.查字典解决问题
师：看大屏幕，这本书叫新华字典，我们语文课上经常用，其实学数学也可以用到它。我们翻阅字典查查平行的意思，同学们看到了吗？
师：两个平面始终不相交，叫做互相平行。这个知识要进入中学才学习。同一个平面内，两条直线不相交就不相交吧，为什么要说始终？
生：暂时不相交，延长后可能相交的也算相交。
（对了，直线是可以无限延长的）
师：通过看书，查字典，我们刚才的问题，基本上都由同学们自己解决了，大家真不错，不愧是最优秀的班集体。
四、应用知识，练习中加强理解垂直和平行的概念
下面考考大家，请三选一。
1.下面两条直线的位置关系是什么？（图略）
生：相交。
师评价：只是相交吗，垂直吗？不能准确地判断，那应该怎么办？
生：用三角板靠一靠。
师：这个暂时没有相交，延长后就会相交，那你想象一下，交点可能在哪？
2、数学课上和作业当中常见的垂直与平行：
+（互相垂直）×（相交或者互相垂直）
师：其实相交是肯定的，互相垂直吗？乘法也表示几个相同的加数相加，也可以说是几个相同的数滚动相加而成，所以乘号就是把加号滚动了几下而已。依然互相垂直。
=（互相平行）
约等号（相交吗？平行吗？先说观点，再说理由？）
生：虽然2条线在同一个平面内，但不是直线，所以既不互相垂直，又不互相平行，也不相交。
（我们班的孩子果然很优秀）
3.在图形中认识“平行”与“垂直”
下面看看图形中能不能找到平行与垂直。
师：长方形中，长与长，宽与宽，长与宽分别是什么关系？
那长方形变一变形状呢？（平行四边形）
师：这个名字里就有平行2个字，那谁与谁平行？
生：上下2条边平行，左右2条边平行。
师：用一句话说叫对边平行。
把平行四边形变了叫什么？（梯形）梯形也有4条边，你看看
生：上下2边平行，左边与上边相交。
师小结：梯形里找到一组对边平行。
师：梯形又变了，谁与谁平行，谁与谁相交？
生：这是三角形，相邻的2条边都相交。
师这有一个钝角，这几个钝角能组成一个？边形（正6边形）
师：那谁与谁平行？
生：上下2条边互相平行，左上与右下互相平行……
师：一句话概括3组对边分别平行。
五、归纳知识，在同一平面的2条直线的位置关系的分类判断
1.理解3种位置关系的包含关系
师：刚才通过练习，我们进一步理解了同一平面内两条直线的位置关系，我们用一个椭圆表示他们的各种关系，现在来排队集合，在同一平面内，两条直线，相交的排这边，那不相交的就叫平行，排哪里呢？那垂直又放哪里呢，为什么？
相交里面，如果相交了，而且相交成直角，那么两条直线就互相垂直。
刚才我们画出的图，数学家很早以前就画出了。
师小结：其实这种图，在以后的学习中会出现得越来越多。
2.判断题练习
师：根据这第幅图，我们来做3道判断题。
（1）两条直线相交，那么一定互相垂直。
（2）两条直线互相垂直，那么一定相交。
（3）两条直线互相平行，那么一定不相交。
六、拓展提高
下面的几道填空题，有点难度。
①与b平行，b与c平行，那么与c（ ）
（师：我们先想象一下，再用手比划一下或者摆一摆。）
②与b垂直，b与c垂直，那么与c（ ）
③与b相交，b与c相交，那么与c（ ）
（师：我们研究一下，用笔比划一下，也许答案不唯一，延长可以发现，转一转，还可以发现……这3种都可以，孩子们能想到一种就很不错了。）
七、走进生活，找生活中的垂直与平行
这是我们生活中的楼梯，你能找一找，说一说我们生活中的平行线和垂线吗？
八、联想记忆，歌曲记忆
师：孩子们，要下课了，老师回到重庆后，可能我们会变成平行线，永不相交。
但是，可能以后听到凤凰传奇的歌，能想起重庆有个叫传凤的老师给我上过一节垂直与相交的数学课，那我们还会在记忆里相交，对吗？
给孩子们布置一个口头作业，把我们今天学习的内容编成一首歌曲，或者小品，相声，说给爸爸妈妈听好吗？比如：像《2只老虎》，可以这样唱：
2条直线，2条直线，真奇怪，真奇怪，在同一平面，在同一平面，真有缘，真有缘，
2条直线，2条直线，真奇怪，真奇怪，相交成直角，相交成直角，垂直了，垂直了。
2条直线，2条直线，真奇怪，真奇怪，永不相交，永不相交，平行了，平行了；
【例1】 如图,四面体ABCD中,M、E、F分别为BAC,ACD及ADB的重心．
求证：(1) 平面MEF∥平面BCD；
(2) 求SMEF∶SDBC．
分析 本题考查面面平行的判定以及面面平行的性质。
(1) 根据重心的性质易知应该连接AM,AE,AF,再根据相似比可知MEF的三边分别与DBC的三边平行,进而可得结论；
(2) 因为两个三角形所在的平面互相平行,因此,求两三角形面积之比,实质求这两个三角形对应边之比。
解 (1) 连接AM,AE及AF,分别延长使之交BC、CD、BD于G、H、P三点,由E、F、M分别为三角形的重心,
所以AMAG=AEAH=AFAP=23,所以连接GH、HP、PG，后有ME∥GH,EF∥PH,
可证ME∥平面BCD,EF∥平面BCD,
故平面EFM∥平面BCD．
(2) 由(1)知AMAG=AEAH=23,
即ME=23GH=13BD，
同理可证MF=13CD,EF=13BC,
所以MEF∽DBC,其相似比为1∶3,
所以SMEF∶SDBC=1∶9．
点拨 由于M、E、F分别是三个三角形的重心,从而联想到重心将三角形的三条中线三等分,
由于平行线分线段成比例,由此联想到直线ME∥GH,ME=23GH,进一步可以证明直线ME与平面BCD平行,从而使命题得证。
题型二 面面垂直问题
【例2】 (2011年江苏卷第16题)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.
求证：(1) 直线EF∥平面PCD；
(2) 平面BEF平面PAD．
分析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,
考察空间想象能力和推理论证能力。要证线面平行可在所
求平面内找一条与已知直线平行的直线。要证面面垂直可在其中一个平面内找一条另一平面的垂线。
证明 (1) 在PAD中,因为E、F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD．
又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF∥平面PCD．
(2) 连接DB,因为AB=AD,∠BAD=60°,所以ABD为正三角形,因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD．
点拨 由于E、F分别是AP、AD的中点,从而可以证明EF∥PD,由此可以证明EF与平面PCD平行。由平面PAD平面ABCD可以得到直线BF平面PAD,进一步可以证明两个平面垂直。
题型三 面面平行与面面垂直的综合问题
【例3】 如右图,已知平面α∥平面β∥平面γ,且β位于α与γ之间.点A、D∈α,C、F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E．
(1) 求证：ABBC=DEEF；
(2) 设AF交β于M,AC∥＼DF,α与β间距离为h′,α与γ间距离为h,当h′h的值是多少时,BEM的面积最大？
分析 本题主要考查面面平行所涉及的综合求解问题,这类问题不仅在平行时存在,同时在垂直时也存在,对同学们综合知识的能力要求比较高。
证明(1) 连接BM、EM、BE.
β∥γ,平面ACF分别交β、γ于BM、CF,
BM∥CF.ABBC=AMMF,
同理,AMMF=DEEF.ABBC=DEEF．
(2) 由(1)知BM∥CF,
BMCF=ABAC=h′h.同理MEAD=h-h′h.
SBEM=12CF•ADh′h1－h′hsin∠BME.
据题意知,AD与CF是异面直线,只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量,sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值,也是常量,令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1-x)的最值即可,显然当x=12,即h′h=12时,y=-x2+x有最大值.当h′h=12,即β在α、γ两平面的中间时,SBEM最大．
点拨 要证明线段之比相等,一般可以转化为平行线问题,而求解面积的最值问题,一般可将面积表示为某一变量的函数,利用函数知识求解最值问题。
牛刀小试
1. 如图,在三棱锥PABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,
D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF∶FC=3∶1．
(1) 求证：PABC；
(2) 试在PC上确定一点G,使平面ABG∥平面DEF；
(3) 求三棱锥PABC的体积．
2. 如图,在三棱锥VABC中,VC底面ABC,ACBC,D是AB的中点,且AC=BC=a,∠VDC=θ0
(1) 求证：平面VAB平面VCD；
(2) 试确定角θ的值,使得直线BC与平面VAB所成的角为π6．
满盈者，不损何为？慎之！慎之！――朱舜水
【参考答案】
1. (1) 在PAC中,PA=3,AC=4,PC=5,
PA2+AC2=PC2,
PAAC，又AB=4,PB=5,PA=3,
在PAB中,同理可得PAAB，
AC∩AB=A,PA平面ABC，
BC平面ABC,
PABC.
(2) 如图所示，取PC的中点G,连接AG,BG,
PF∶FC=3∶1,F为GC的中点.
又D、E分别为BC、AC的中点,
AG∥EF,BG∥FD,
又AG∩GB=G,EF∩FD=F,
面ABG∥面DEF,
即PC上的中点G为所求的点.
(3) VPABC=5394．
2. (1) AC=BC=a,ACB是等腰三角形,又D是AB的中点,CDAB,
又VC底面ABC.VCAB.
于是AB平面VCD.
又AB平面VAB,平面VAB平面VCD．
(2) 过点C在平面VCD内作CHVD于H,则由(1)知CH平面VAB.
连接BH,于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角.依题意∠CBH=π6,所以在RtCHD中,CH=22asinθ；
在RtBHC中,CH=asinπ6=a2,sinθ=22.
让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。以下是为大家整理的数学两条直线之间的关系教学案例资料，提供参考，希望对你有所帮助，欢迎你的阅读。
数学两条直线之间的关系教学案例一
两条笔直的铁轨，看成两条直线，把它们画在纸上，它们的位置关系如同等号。如果你也来画两条直线，还会有什么不同的位置关系呢?
学生画一画。
(二)、分一分，初步感知平行与垂直的特点
1、让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。
2、、交流分类情况。
可能出现以下几种分法：
第一种：分两类——相交、不相交
第二种：分三类—— 相交、快要相交的，不相交
第三种：分四类—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、归纳特点，探究规律
平行：
1、大家先来看第一类，这一类的两条直线的位置有什么特点，想象一下再画长点，会相交吗?
2、像这样的两条直线我们就叫平行线，谁能用自己的语言说一说，什么是平行线?
3、我们打开书56页，看看书中是怎么定义平行线的。(齐读)
4、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“同一平面内”，“互相平行”)
5、引导学生正确表述两条直线互相平行。
6、介绍用符号表示平行线的方法。
7、出示课件：判断是否成平行关系。
8、再一次出示铁轨，你还能举出生活中平行的例子吗?
垂直：
1、下面我们再来看看第二类直线有哪些共同特点?(有交点，都成了四个角)能不能按照角的大小也把它们分分类?有的四个角都是直角，有的四个角不是直角)，你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、谁知道像这样两条直线相交成直角是什么关系?
3、谁能用自己的语言说一说，什么是互相垂直?
4、我们打开书57页，看看书中是怎么定义互相垂直的。(齐读)
5、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引导学生正确表述两条直线互相垂直。
6、介绍用符号表示互相垂直的方法。
7、完成题卡：判断每组中两条直线的位置关系，并用符号表示出平行和垂直,写出读法。
8、生活中，很多时候平行和垂直都是同时存在的，把它们掺杂在下起，同学们能区分出来吗?
(四)、小结，梳理知识结构
刚才，同学们在画一画，分一分、说一说、找一找等探究活动中，知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可以分成两大类，相交和不相交。不相交的这一类叫做平行。相交的这一类按照是否成直角也可以分成两类，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我们的世界变得更加有序和美丽。
(五)、拓展练习，巩固知识
辨析题：1、两条不相交的直线叫平行线。
2、同一平面内的两条直线不平行就相交。
3、垂线和直角如同孪生兄弟，有垂线的地方就有直角。
4、如图 + 直线b叫垂线。
(六)、拓展提升
本节课，我们主要研究了同一个平面内两条直线平行和垂直的关系，如果再加入一条直线，你还能弄清它们之间的关系吗?
出示：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线之间是什么关系?
如果两条直线都与第三条直线垂直，那么，这两条直线之间是什么关系?
(七)联系生活实际，进一步提升平行与垂直的应用价值
出示图片：(铅锤测平行，水平仪定平行垂直，测量跳远成绩)
引导学生了解平行和垂直在生活中的应用，引发学生的深度思考，为下节课做渗透。
板书： 平行与垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )记作： a//b读作：a平行于b
同一平面内
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 记作：a⊥b读作：a垂直于b
数学两条直线之间的关系教学案例二
知识与技能目标：
1、使学生初步理解垂直与平行是同一个平面内两条直线的两种特殊的位置关系。
2、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
过程与方法目标：
学生在小组合作学习的过程中理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，培养学生的空间观念及空间想象能力，合作探究能力。
情感、态度与价值观目标：
1、 通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
2、 学生在具体的情境中感受“垂直与平行”来源于生活，在知识形成过程中体验数学的价值。
【教学重点】
正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行线” “垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。
【教学难点】
正确判断两条直线之间的位置关系(尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解)和对“同一平面”的正确理解。
【教学用具】
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒、多媒体
教学过程：
一、画图感知、研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、 今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢? (没有端点，可以向两边无限延伸)
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活动(想象纸面上两条直线的位置关系)
师：老师和同学们都有同样的一张纸,现在请大家拿出来平放在桌上摸一摸这纸，然后谈谈你的发现。
生：这张纸很薄。
生：这张纸的表面是平平的。
师：也就是说我们手中的这张纸的面是一个平面。 (学生活动感知纸面是一个平面。)
师：同学们我们现在来想象一下，如果把这个面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它是什么样子?
生：很大很大，越来越大。 (学生闭上眼睛想象)
师：如果在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线，现在请你想一想这两条直线的位置关系是怎样的?会有哪几种不同的情况呢?(学生想象)
3、在纸上画出想象中的两条直线。 每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。(学生试画，教师巡视)
设计意图：通过学生的观察与想象，感知并感受无限大的平面。为下一步进行两条直线间位置关系的想象提供一个可操作的平台。想象平面上出现两条直线，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条的出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生空间想象力。一张纸上只画一种情况，目的提高学生分类时的可操作性。
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
(一)展示各种情况。
1、请你的同桌欣赏一下你的作品。
2、将你自己的作品展示给你所在的小组同学，并选出几张有代表性的作品(小组交流)。 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看? (小组展示，将画好的图贴到黑板上)
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗?如果不一样，可以上来补充!(如果学生没有把所有的情况都想到教师给予补充) 教师给学生的作品进行编号。
师预设有以几种两条直线的位置关系：
设计意图：在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，然后选出有代表性的情况，展示在黑板上，其他小组观察后，补充不同的情况，这样学生的学习活动就经历了一个从个人到小组再到全班的逐层递进的过程。使在同一平面内两条直线间位置关系的各种情况，可能地通过学生的思考、想象、动手操作展现出来，为分类提供材料。
三、师生共同探究 揭示平行与垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的这组直线相交了吗?(没有)想象一下，画长点，相交了吗?(没有)再长一点，相交了吗?(没有)无限长，会不会相交?(不会)(边提问边用课件演示)
2、那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗?我们就说这两条直线是平行线，这两条直线互相平行。(板书：互相平行)(学生试说不完整的概念)
3、小结： 象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念)
4、你们知道为什么要加“互相”吗?(学生回答)
教师用谁是谁的同桌来说明平行线间的关系。 课件演示，老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线L1与L2互相平行，或者说L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能说L1是平行线?
5、你觉得在这句话中，还应注意哪些词? 学生回答(同一平面、不相交)
师：“同一平面”是什么意思?(学生讨论)学生发言后师举例帮助学生理解，强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。指出如果不在同一平面的情况，以教室的几个墙面为例。(假如在教室前面的墙面上画一条直线，然后在教室的侧面画一条直线，它们不相交但它们平行吗?)
6、辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么?(都形成了四个角)
2、你认为在这些相交的情况中哪种最特殊?(相交形成了四个直角)
3、两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。
4、你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)
5、你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?谁能用自己的话说说。(学生试说) 课件出示互相垂直的概念，让学生齐读。
6、强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
出示直线a1和a2互相垂直的情况，让学生说说它们之间的关系。 即：直线a1是a2的垂线，或者说a1垂直于a2， 也可以说a2是a1的垂线，或者说a2垂直于a1。
7、强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
四、 练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗?(课件出示主题图)
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗?(学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。)
3、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行;如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
4、揭示课题。(板书课题)
五、拓展延伸，发展空间观念。
下面咱们一起来做个游戏，(出示小棒)每根小棒代表一条直线。教师在电子白板上画图，学生用小棒在自己的课桌上摆放小棒。
(1)先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行?
(2)先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直?仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?
六、 总结:
师：这节课你有什么收获?
学生谈自己的收获。结合学生所谈收获教师总结全课。
师：同学们你们都满载着收获，我们的生活离不开数学，数学能使我们生活变得更加有序，更加美好，让我们都做有心人吧!去感受数学的美，去感受生活的美。
七、 作业：
1、回家后继续寻找生活中垂直与平行的现象，讲给你的父母听，并说一说它们有什么作用?
2、动手折一折：(!)、用一张白纸折出两条互相垂直的折痕线。
(2)、用一张白纸折出两条互相平行的平行线。
八、板书设计
垂直与平行
不成直角
相交
同一平面内的两条直线 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
数学两条直线之间的关系教学案例三
[教学目标]
1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的平行与垂直的现象。
2、帮助学生初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，初步认识平行线和垂线。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
[教学重点]
正确理解“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
[教学难点]理解“平行与垂直”这两种关系的界定前提是“同一平面内”。
[教具、学具准备]
课件，水彩笔，尺子，三角板，长方形纸等。
[教学过程]
一、谈话导入。
师：同学们，今天老师请来了一位老朋友，你们想知道它是谁吗?(课件出示一条无限延长的直线)谁来介绍一下这位朋友?
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索体验，经历过程
(一)画图感知，确定研究对象。
过渡：今天我们继续研究有关直线的知识，就是两条直线在同一平面内的位置关系。
板书：两条直线
1、想象活动，想象纸面上两条直线的位置关系。
师：想一想，如果我们在这张长方形纸上画两条直线，这两条直线会有怎么样的位置关系呢?(学生想象)
2、动手操作。
(学生试画，教师巡视)
3、收集展示。
4、观察分类，了解平行与垂直的特征。
师：同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况。根据两条直线的位置关系你能给它们分分类吗?
5、汇报分类情况。
在分类过程中通过课件展示重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。(课件展示不相交的两条直线延长后的情况，完善分类标准。)
教师根据学生的分类板书：相交 不相交
(二)师生共同探究，揭示平行与垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通过交流揭示互相平行的概念。
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念，互说概念)
(2)练习。(辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。)
通过练习让学生理解“同一个平面”、“不相交”等的意思。
(3)小结
2、通过交流揭示互相垂直的概念
师：我们再来看看两条直线相交的情况。
(1)观察。两条直线相交成的四个角是什么角?
(2)汇报：两条直线有的相交成直角，有的是锐角，有的是钝角。
成锐角、钝角
板书：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)课件出示互相垂直的的概念。(齐读概念，互说概念)
(5)练习。(课件出示)
(6)自学互相平行、互相垂直的表示方法。
a与b互相平行，记作a∥b ，读作 a平行于b
a与b互相垂直，记作a⊥b ，读作 a垂直于b
(三)欣赏生活中的平行和垂直现象。
三、巩固练习
四、总结全课
五、作业
板书：
平行与垂直
不相交 互相平行
两条直线的位置关系 成锐角、钝角
(同一平面内 ) 相交
关键词：小学；数学；教
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）11-311-01
一、自主学习，尝试画图。
第一步，请学生画出两条直线互相平行。第二步，请学生画出两条直线互相垂直。第三步，小组里说一说什么是互相平行，什么是互相垂直，并互相检查你们所画的是不是正确的。第四步，选取组内一个同学的作品，做好向全班同学汇报的准备。
二、交流展示，观察辨析
学生完成学习单内容后，自主完成导学提示单上的内容后，再课堂中引导学生进行交流，选出你认为是互相平行互相垂直的向全班汇报。师：谁来说说两条直线怎样的位置是互相平行？怎样的位置关系是互相垂直？a：学生根据书上的定义准确描述互相平行和互相垂直的定义，并让学生说说你认为哪些词比较重要。b：教师在黑板上出现这两条概念的表述。教师根据学生的想法、所提出的问题进行随机评价，并对白板上学生的作品进行评价整理，归类，会出现两种如下情况：
三、理解互相平行
如何让学生理解互相平行，根据定义抓住平行线的本质特征来判断是否互相平行，学生对其中的不平行的线条生质疑，让学生知道不平行的线条延长后会相交，再根据学生的回答，通过白板先把两条直线延长，然后利用白板中的三角板功能量下两条直线之间的距离相等。小结：通过刚才的学习，我们知道两条直线的位置关系有两种，一种是相交的，一种是不相交的，像这样延长后永不相交的两条直线在数学上叫互相平行，如两条直线分别叫做a、b，记作a∥b，读作a平行于b。（板书）谁能说一说：互相平行需要具备什么条件：一，两条直线，二，永不相交，（三，同一平面，等会儿再得出）
四、理解互相垂直
通过书本上的定义抓住垂线的本质特征来判断是否互相垂直，学生对不相互垂直的线条产生质疑，在质疑中概括出互相垂直的本质属性。小结：像这样两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足，读作a垂直于b。师：谁也来说一说：互相垂直需要具备什么条件？（一两条直线，二相交成直角， 三同一平面，等会儿再得出）
五、理解同一平面
引导学生质疑：（1）先让学生说说为什么互相平行和互相垂直这两条直线要在同一平面内。（2）出示一个只有4个面的长方形纸盒，前面和后面各画了一条直线a和b，再展开（如右图）：让学生去想象平面和直线分别是无线延伸和延长的，不管直线怎么延长，它们都分别在自己的平面内，而互相平行的前提是在同一平面内。（3）再次深化“互相平行”和“互相垂直”，通过设计5个问题的过程进行深化凸显概念的本质。如：①如何去找到直线a的平行线，能找到几条？②与a平行的这两条平行线是否也互相平行。③选取与a平行的两条直线，要让直线a与直线b互相垂直，应该怎么办？④两条直线是不是互相垂直了呢？（再次用三角板去验证）⑤如果让直线a继续转下去，还会发生情况。（出现重合情况）⑥让其中一条直线平移，会出现什么情况。
六、教学设计反思效果
1、运用翻转课堂，提高自学能力
教师提前创建视频，运用翻转课堂教学模式，学生在课前或家中观看学习视频中的内容，完成老师导学提示单中的问题，回到课堂上师生面对面交流和完成作业的这样一种教学形态。垂直与平行这节课的内容基本上以陈述性内容为主，更要注重引导学生自主、有效的学习，本节课先通过让学生自己想象两条直线的位置并画下来，再通过交流、分类，在分类中引导学生概括出“互相平行”和“互相垂直”的本质属性。数学的学习就是思维不断激烈碰撞的过程，也是师生互动、生生互动共同发展的过程，根据学生的知识起点，让他们通过充分的交流和再创造“跳一跳”摘到果子，促进他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解数学，使数学的课堂充满生命和活力。
一、抓住复习重点
从历年高考试题可以看出，高考立体几何的填空题主要涉及有关空间几何体的计算问题，同学们复习时应抓住如下重点：
1.简单多面体包含棱柱、棱锥、棱台的概念，侧面积、体积的计算，简单旋转体包含圆柱、圆锥、圆台、球的概念，表面积、体积的计算.
2.以柱体、锥体和特殊简单多面体为载体的立体几何综合型问题研究既要运用线面关系的判定定理、性质定理，又要运用其基本性质.
3.简单几何体面积与体积的计算.
侧面积和体积的计算首先要熟记公式，能用函数的观点去理解柱、锥、台、球的面积公式和体积公式，理解其变化规律.
立体几何解答题作为考查空间想象能力的唯一考题，是一道必考题，且一般难度适中.每一位考生应该引起足够重视，必须从战略高度看待，作为“自己必吃的菜”对待，明确复习职责，排除各种干扰，尽全力“啃下”这个“阵地”.为此，建议大家做到以下两点：
1.复习时应该注重常规模型和常见考点解题思路寻找的反思与总结.通过近5年高考立体几何解答题的统计与分析可以看出，三棱柱和四棱锥是高考常见的载体模型，有关垂直和平行的证明是最热门的考点，在复习中，我们应该进行系统整理，熟练掌握这些重点、热点问题解题思路和方法，并注重反思和总结，形成突破问题的基本思路链和策略链，达到模型化解题.
2.注重基础知识（如公理、定理、性质、公式等）的记忆.立体几何中有许多的公理、定理、性质、公式等，只有熟记了这些知识，在解题时才能灵活运用，找到切实可行的解题思路.例如，线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的判定定理与性质定理是解决有关垂直问题的基础；线线平行、线面平行、面面平行三者之间的判定定理与性质定理是解决有关平行问题的基础.
二、把握命题趋势
虽然2010年立体几何试题在命题思路和方法上有些出人意外，考查了点到直线的距离问题，备受争议，但近两年来总体上还是保持了稳定，所以复习备考工作有章可循，有法可依.特别是立体几何试题难度中等偏易，大题分步设问，层次分明，使得不同层次的学生都可得到一定的分数，相信2013年仍会坚持这一原则.
从近年高考立体几何试题的命题来源来看，很多题目是出自于课本，或略高于课本.我们在复习备考中，一定要依纲靠本，控制好题目的难度，不做偏题、怪题.
2013年的命题方向：一是“定性”的分析（包括平行，垂直关系），二是简单的定量计算（角，距离，面积，体积）以及可能的简单探索题.
三、熟悉基本题型
题型1 判断命题的真假
给出几个有关立体几何直线与平面位置关系的命题，要求判断其真伪，这类问题一般在小题中出现，难度不大.
例1 设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若ab，aα，则b∥α
②若a∥α，αβ，则aβ
③若aβ，αβ，则a∥α
④若ab，aα，bβ，则αβ
其中正确的命题的个数是 .
答案：1个；
解析：注意①中b可能在α内；③中a可能在α内；④中b∥α，或bα均有αβ，
故只有一个正确命题.
评注：线线、线面、面面垂直与平行的判定和性质定理，是解决此类问题的依据，实物的简单演示法、特例法，是解决问题的法宝.
题型2 计算几何体的体积
计算旋转体、椎体、柱体或其组合体的体积，一般以小题形式出现，或出现在解答题中，难度中等或中等偏上.
例2 如图BD是边长为3的ABCD为正方形的对角线，BCD将绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于
答案：18π；
解析：BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体是圆柱去掉一个圆锥，V=π×32×3-13π×32×3=18π
评注：对于规则的几何体的体积计算，可直接利用体积公式；对于不规则几何体的体积问题，通常通过“割”与“补”的方法，将其转化为几个规则几何体的体积的和与差.
题型3 与球有关的问题
与球有关的问题包括与球有关的体积、表面积等问题，一般以小题形式出现，难度不大.
例3 一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是 .
答案：8；
解析：设球的半径为R，则4πR2=12π，从而R=3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23=8.
评注：记住球体的有关性质和球体的体积公式、表面积公式，以及正方体的内接球和外接球的直径与正方体边长之间的关系，可以轻松破解此类问题.
题型4 空间平行关系问题
空间平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例4 如图，三棱锥PABC中，PA=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，
点F在PA上，且AF=2FP.求证：CM∥平面BEF；
思路分析：当平面BEF内与CM平行的直线不易找到时，可考虑通过面面平行来证线面平行.
证明：取AF的中点G，连接CG，GM，
E为PC的中点，AF=2FP，EF∥CG.
CG平面BEF，EF平面BEF，CG∥平面BEF.
同理可证：GM∥平面BEF.
又CG∩GM=G，平面CMG∥平面BEF..
CM平面CMG，CM∥平面BEF
评注：（1）平行关系是立体几何中的重点，也是高考中常考热点，在解决线面，面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意转化的方向总是受题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”.
（2）证明线面平行可以使用线面平行的判定定理，也可以使用面面平行的性质定理.在证明过程中，画辅助线构造几何图形往往是必不可少的步骤，构造时应紧密结合已知条件和平面几何的有关知识，主要是两条直线平行的判定定理，可以从以下两种情况进行考虑.
①用线面平行的判定定理来证：构造一个三角形.或一个平行四边形，使其一边在所证的平面内，利用相关的定理、性质证明两直线平行.
②用面面平行的性质定理来证：构造一个平面图形，往往是三角形，使三角形的一边为所证的直线，证明这个三角形另两边与所证的平面平行.
题型5 空间垂直关系问题
空间垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，一般出现在解答题中，以证明题为主，难度中等.
例5 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，∠ABC=90°，2AB=BC=BB1=a，且A1C∩AC1=D，BC1∩B1C=E，截面ABC1与截面A1B1C交于DE，
（1）求证：A1B1平面BB1C1C；（2）求证：A1CBC1；
（3）求证：DE平面BB1C1C.
思路分析：（1）利用面面垂直的性质；（2）先依据线面垂直的判定证明BC1平面A1B1C，再依据线面垂直的性质推出线线垂直.
证明：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，
侧面与底面垂直，
即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1，从而A1B1平面BB1C1C.
（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，
又由（1）可知A1B1平面BB1C1C，而BC1平面BB1C1C，A1B1BC1，
又A1B1∩B1C=B1，且A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，BC1平面A1B1C，而A1C平面A1B1C，BC1A1C.
（3）直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，
D为A1C的中点，E为B1C的中点，DE∥A1B1，
而由（1）知，A1B1平面BB1C1C.DE平面BB1C1C.
评注：（1）垂直关系是立体几何中的必考点，无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件下手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所需证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
（2）解决空间直线与平面平行与垂直的相关问题，特别要注意下面的转化关系：
线线平行（垂直）判定性质线面平行（垂直）判定性质面面平行（垂直）.
题型6 立体几何综合（探究）问题
本题型以解答题形式考查立体几何知识的综合应用能力，难度中档或中档偏上.
例6 如图：一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G，H分别
是AE，BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC.
（1）求证：GH∥平面ACD；
（2）证明：平面ACD平面ADE；
（3）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=32，试求该几何体的体积V.
思路分析：证明线面平行转化为线线平行，要证明面面垂直，要转化为线面垂直，最终转化为线线垂直问题，要注意转化的思想方法；对于不规则几何体的体积求解可通过分割与补形的方法解答.
解析：（1）证明：据已知连结OH，GO，易知GO∥BE∥CD，即直线GO∥平面ACD，同理可证OH∥平面ACD，又GO∩OH=O，故平面ACD∥平面GHO，又GH平面GHO，故GH∥平面ACD.
（2）证明：DC 平面ABC，BC平面ABC，DCBC，
AB是圆O的直径 BCAC且DC∩AC=C，BC平面ADC.
四边形DCBE为平行四边形，DE∥BC.DE平面ADC，
又DE平面ADE，平面ACD平面ADE.
（3）所求简单组合体的体积：V=VEABC+VEADC.
AB=2，BC=1，tan∠EAB=EBAB=32.
BE=3，AC=AB2-BC2=3.
VEADC=13SADC·DE=16AC·DC·DE=12，VEABC=13SABC·EB=16AC·BC·EB=12
该简单几何体的体积V=1.
【关键词】数学思想；设计教学；小学数学
【基金项目】本文系湖北师范大学2015年度教学研究课题“反思型卓越教师培养的行动研究”的成果。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）01-0098-03
一、教学理念
建构主义教学理论表明，当学习者通过理解学习材料来主动建构自己的知识体系时，建构性学习便产生了。关于建构性学习的3种不同观点如下：①作为反映的强化学习；②作为知识获得的学习；③作为知识的建构学习。教学“平行与垂直”时，应将学习者学习时教学方式的结构体现出来。通过学生已有的学习认知，将两条直线的位置关系进行确立，将数学思想贯入课堂教学，让学生大脑中建构图形表象特征，为学习后期“平行四边形和梯形”打下基础。
二、学目标确定的依据
1. 教材分析
《平行与垂直》是小学数学四年级上册第五单元的教学内容，以“图形与几何”为纲，见表1。
“平行与垂直”属于“图形与几何”这一章节的内容之一，要求学生了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。教材上把它作为学习“平行四边形和梯形”的铺垫。
2. 学科价值
平行与垂直作为两条直线的位置关系两种特殊情况，这个知识点具有承上启下的作用，学生在学习线段、射线、直线、角的内容之后再学两条直线所处的特殊位置关系，可为后期学习平行四边形与梯形打下基础。
在实践过程中，上述知识的运用也起到相当重要的作用，可以对物置关系进行判定，也可以利用垂直判断两条直线距离最短的情况解决生活中的数学问题。
3. 学生分析
（1）学生认知障碍点。通过直线和角的认识、长方形和正方形等知识的学习，为后续平行与垂直内容的学习奠定了基础。但学生在学习“平行与垂直”这些概念时会产生很多障碍，因为学生并不理解同一平面、永不相交、互相平行、互相垂直等概念，学习起来较为困难，还会产生很多疑问：什么叫同一平面？这个平面有多大？什么叫永不相交，我们看得见吗？互相平行、互相垂直这些条件应具备的条件是什么？
（2）学生思维发展点。首先，可以让学生在白纸（平面）画出两条直线，看看学生画出的几种情况，在画出的几种情况下进行语言表达。表现出学生已有的前概念表征情况。其次，通过多媒体技术，对学生画出的几种典型情况进行视频展示，再举出生活中常见的实物，如建筑造型，进行解释说明，让学生在头脑中建构起位置关系的表象特征。最后，学生在正确认识、判断直线位置关系时，可以依据所学概念知识和技能进行正确判断。
三、教学的具体目标
1. 认识目标
通过合作探究使学生知道，在同一平面内，两条直线的位置关系存在相交和不相交两种情况。
2. 能力目标
帮助学生初步理解平行与垂直是同一平面内，两条直线的两种特殊的位置关系。初步理解平行线和垂线的概念。
3. 情感目标
培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
四、教学过程设计
1. 动手操作，感悟感知
（1）画图+想象。请学生拿出一张白纸（白纸是有限的平面），在这张白纸上画出一条直线，然后教师在课件上展示一条直线两端不断延伸的情况。让学生再画出一条直线，这时两条直线的位置关系会出现哪几种情况？学生开始思考、讨论，并对自己画的两条直线的位置关系进行展示。教师在一旁进行指导，让学生继续把直线延长后，看有没有新的进展，两条直线位置关系怎样？
设计意图：让学生继续动手画直线，锻炼学生的动手能力，培养学生使用直尺量具的习惯，第二次延伸直，是为了让学生巩固直线可以无限延伸这一概念。
教师在PPT上展示两条直线无限延伸之后的情况，让学生发挥想象力，这两条直线延伸到屏幕外面还会有什么变化？让学生大胆想象，培养想象力。
（2）梳理+分类。同伴小组同学对自己画的两条直线的位置关系进行展示。让学生进行分类，并说出为什么会这样分，有什么依据？可以通过自身已有的量具进行测量，分析相交和不相交的两种情况。如果相交，那么它的角度能成为多少？
设计意图：让学生分类。小学一年级下册第三单元就有分类与整理这一单元，小学生学会对物体进行分类，把相同一类和不同一类的物体分到一类，这样对物体区分度有前概念的了解。对于两条直线的位置关系进行分类并不是难事。
2. 分类比较，掌握特征
（1）想象+演示。让两条直线“动”起来，在PPT上进行展示，让学生将分类的两条直线进行展示，从位置关系的视角进行概念学习。
首先，观察两条直线不相交的情况，解说不相交两条直线循环变动的样子。对两条直线不相交的情况――平行进行解说，说出平行的定义概念，让学生记住这个规则。
其次，告知学生如果有两条直线，分别叫作直线A、直线B。如果它们是互相平行的两条直线，可以记作A//B，读作直线A平行直线B。
一、证明两直线平行或垂直
根据∥?圳=λ（λ≠0）将证两线平行转化为证两向量共线（平行）。根据?圳・=0，将垂直问题转化为证两向量的数量积等于0.
例1.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB1=1，AA1=2点E为CC1的中点，点F为BD1的中点.求证：EF是BD1与CC1的公垂线。
证明：建立空间直角坐标系，则B（1，
1，0），C（0，1，0），C1=（0，1，1），D1（0，0，1），E=（0，1，），F=（，，），=（，，0），=（0，0，1），=（-1，-1，1），所以・=0，・=0，即，.故EF是CC1与BD1的公垂线。
若用立体几何中的理论来证明这道题目则可以通过证明三角形ED1B和三角形FC1C为等腰三角形来达到目的。证明过程中需利用已知边长，垂直等条件求出其他边长。而用向量的性质来解则只需将各点坐标表示出来，再利用两向量的数量积是否等于0便可以得出结论。相较而言，利用向量更为简便，计算量也相对较少。
二、证明线面平行或垂直
证明线面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明线面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量平行，从而得出结论，达到解决问题的目的。
例2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是BC，CD，CC1的中心，求证：（1）AD1∥平面EFG.（2）A1C平面EFG.
证明：以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），A1（1，1，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，2，0），G（0，2，1）所以=（-2，0，2），=（2，-2，2），=（-1，-1，0），=（-1，
0，1）。设=（x，y，z）是平面EFG的一个法向量，则，，所以・=-x-y=0・=-x+z=0?圯y=-xz=x，令x=1，
则=（1，-1，1）.
（1）因为・=（1，-1，1），所以，又A1C?埸平面EFG，所以AD1∥平面EFG.
（2）因为=（1，-1，1），=（2，-2，2），=2所以∥，即A1C平面EFG.
用常规方法解第一小问比用向量解简单，而用第二小问需要证明直线A1C与平面EFG内两条相交直线都垂直。A1CEF很容易证明，若再证A1C与EF或FG垂直则比较麻烦。相较于用向量，只需联立一个方程组求出平面EFG的一个法向量，再利用向量的性质判断平行或垂直，问题便迎刃而解。
三、证明面面平行或垂直
一般来说，面面关系可以转化为线面关系来分析解决，这样就要能够灵活的做出辅助线或辅助面来解决。若利用平面的法向量解决这类问题则不需要过多的引辅助线的技巧，步骤少而简洁。只需仔细观察，集思广益，就能开拓思维，是难解的立体几何简单化、代数化。
1.证明面面平行
证明平面与平面平行，需证明一个平面内的两条相交直线分别平行另一个平面，或者证明一个平面内的两条相交直线分别平行另一个平面内的两条直线。而寻求线面平行或线线平行是个难点，如果转化为证明这两个平面的法向量平行，则避免了这一麻烦，显得更为简便。
例3.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4，已知M，N，E，F分别是A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点.求证：平面AMN∥平面EFBD.
证明：建立空间直角坐标系D-xyz，则A（4，0，0），M（4，2，4），N（4，2，4），=（-2，0，4），=（0，2，4）.设=（x，y，z）为平面AMN的法向量，则，，所以・=0，・=0可取=（2，-2，1）.同理可求出平面EFBD的一个法向量，=（2，-2，1）所以=，即，共线，所以平面AMN∥平面EFBD.
2.证明面面垂直
按两平面垂直的判定定理证明，必须证明一个平面经过另一个平面的垂线，而这一过程是学生的难点。如果转化为证明这两个平面的法向量互相垂直，则可避免这一复杂的过程。
从上述3个例题可以看出，利用向量解决立体几何中的平行或垂直关系具有思路清晰，辅助线较少，步骤少而简洁等优点。但并非所有题目用向量解都简单，比如例2第一问，用常规方法只需几句话便可以证明出来。而利用向量需要建立坐标系，表示出各向量坐标，再求出法向量，比用常规方法更繁琐。所以有些题目不一定就要用向量解，分析题目之后选择更为简单的方法。
总之，在解答立体几何问题时，若能把立体几何问题转化为空间向量的代数运算淡化了传统立体几何从“形”到“形”的推理方法，使解题过程简洁、直观、形象，易于操作与接受。运用空间向量知识解决立体几何问题实现由“平面向量”到“空间向量的自然转化”，调动学生学习“空间向量”的积极性。通过“空间向量的工具性”提高学生解决立体几何问题的自觉性和灵活性。
论文摘要：本文作者就高中教材中两条直线的位置关系。从教学背景分析、教法学法分析和教学过程与设计三方面阐述了对这节课的教学设计。
一、教学背景分析
1．教材结构分析。“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用。从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究，将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习，贯穿于高中教学的始终，具有承上启下的作用。
2．学情分析。两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长学习程度较浅，特别是处理抽象问题的能力还有待提高，在学习过程中可能会出现困难。因此，教师要在今后的教学滚动中逐步深化，使之和学生的知识结构同步发展完善。
3．教学目标。(1)知识和技能目标。①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(2)过程与方法目标。①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程，培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力，渗透算法的思想。②通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力。(3)情感态度和价值目标。徐利治先生曾指出：“数学教育与数学教学的目标之一，应当让学生获得对数学美的审美能力，从而既有利于激发他们对数学科学的爱好，又有助于增长他们的创造发明能力。”因此，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。
4．教学重点与难点．
根据学生现状、教学目标及教材内容分析，确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法，通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理，以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件，引导学生理清思考脉络，培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。
教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的戈键足在设计j-采Hj了南特殊到一般、从具体到捕象的敦学策略，利片J类比归纳的思想，由浅人深，让学生自主探究，分析发现两百线平、币直的规律
二、教法学法分析
1．教法分析。基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法，我采肘合作探究式教学法及类比发现式教学模式，对数学知识结构进行创造性的“教学加lI”，将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思号我用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，促进学生和谐、F{主、个性化发展。
2．学法分析。我让学生通过观察直线万程的特点．将初巾学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言，用斜率重新刻有关条件；并启发学生用平面几何巾平行线与同位角关系的判定定理和性质定理．以及倾斜角与斜率的对应关系．由学生自己得两条直线平行和垂直的充要条件．使学生在思维训练的过程巾，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．．
三、教学过程与设计
教学于段：几何J面板、汁算机课件辅助教学。
1．复习旧知，以旧悟新。(1)复习初巾的平面几何知识。(2)自问自答：为什么我们现在义要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现存学习平面解析几何，所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说存前而引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后，我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题，所以，怎样通过两直线方稗的特点来判断两直线平彳了与垂冉的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务日的：我通过对已有知识的同顾和深入分析，以问题制造悬念、带着问题走进课堂，让学生主动去探究问题，体验知识发生发展的过程。
2．提出问题，寻找规律。第…部分为新知的发现奠定基础后，我分别给出两组平行的直线．让学生自己做．然后在自主合作的探究氛同中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系，引导叶1溉说明了平行条件的证明，又回避了教材巾单独的、枯燥的证明．然后巧妙地加以引导、点拨．放大到两条直线垂直关系的探究上。目的：由特殊到一般，由具体到抽象，南低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件，学生比较容易接受，同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。
3．深入探究．获得新知。(1)创设问题：平行的时候，学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定．同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?(2)分别给出两组垂直的直线，让学生自己作图、发现规律。在讨论巾提醒学生：若两直线的斜率存在，他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下面出的图形的夹角有什么特点?(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律，我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证，将教学信息及时反馈给教师(4)教师教学讲究深入浅出，对于本课的教学难点，待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明．让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。
目的：现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈一控制’的同时．每个学生也都在进行着微观的‘反馈一控制’。”闪此，教师要及时掌握学生接受知识的程度，从而进行有效渊控。对平行和垂直的讨论中，我鼓励学生将其讨论的结果以分享的方式和大家交流．构造这样一种双向交流、宽松的环境组织教学，既锻炼他们的表达能力，又培养他们的数学思维能力。
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小.
难度系数0.65
思路分析要想证明PA∥平面EDB，可以取BD的中点为O，连接EO，证明PA∥EO即可；要想证明PB平面EFD，可以证明PB垂直于平面EFD内的两条相交直线；要想求二面角C-PB-D的大小，可知∠DFE即为所求角的平面角.
方法1（1）证明：连接AC交BD于点O，连接EO.PE=CE，AO=CO，PA∥EO.PA∥平面EDB.
（2）证明：PD底面ABCD，BCPD.又BCDC，BC平面PCD，即BCDE.PD=DC，PE= CE，DEPC.DE平面PBC，则有DEPB.PBEF，PB平面EFD.
故二面角C-PB-D的大小为60°.
思路分析要想证明线面平行，可以证明面面平行，作一个辅助面PKH平行于平面EDB；要想证明线面垂直，可以利用三垂线定理进行证明；二面角一般是按作、指、证、求的步骤求解，可以过点C向平面PBD作垂线，再过垂足向棱PB作垂线交PB于一点M，连接CM，可得所求角的平面角.
方法2（1）证明：如图2所示，延长CB到点H，使BC=BH；延长CD到点K，使CD=DK.连接HK且过点A.PE=CE，EB∥PH，ED∥PK.平面EDB∥平面PKH.PA∥平面EDB.
（2）证明：PD底面ABCD，平面PCD平面ABCD.BC平面PCD.平面PCD平面PBC.
DEPC，DE平面PBC.EFPB，DFPB.又EF∩DF=F，PB平面EFD.
思路分析建立适当的坐标系，利用空间向量证明直线与平面平行或垂直，求二面角的大小可建立空间直角坐标系，设点D为坐标原点，且DC=1.
思路分析利用平面的法向量进行证明.要想证明PA∥平面EDB，可以证明PA与平面EDB的法向量垂直；要想证明PB平面EFD，可以证明PB与平面EFD的法向量平行；要想求二面角C-PB-D的大小，可以求平面PBC与平面PBD的法向量所成的角.
方法4建立空间直角坐标系，设点D为坐标原点，且DC=1.
规律总结证明线面平行的方法一般有三种：①证明线与线平行，常用技巧是取边的中点，利用中位线证明；②先证明面面平行，然后证明线面平行；③利用向量法可以证明线与面的法向量垂直.证明线面垂直，可以证明直线垂直于平面内的两条交线，也可以证明直线与平面的法向量平行.
求二面角常用的方法有：①定义法；②垂面法，如方法1；③利用三垂线法，如方法2.
图1
题目：如图1，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，射线BE与CE交于E.
求证：BECE.
分析1：由角平分线的定义易得∠ 1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的结论进行整体代换，即可解决问题.
解法1：整体转化法
因为BE平分∠ABC，
所以
∠2=12∠ABC
（角平分线的定义），
同理∠1=12∠BCD，
所以∠1+∠2=12（∠BCD+∠ABC）（等式性质）.
又AB∥CD，
所以∠BCD+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠1+∠2=12×180°=90°（等量代换）.
所以∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°（三角形的内角和等于180°）.
即BECE（垂直的定义）.
点评：解法1综合运用的知识点有：角平分线定义、垂直定义、平行线的性质、等式性质、等量代换、三角形内角和等，运用的数学思想方法是整体代换和转化思想.
分析2：作平行线把∠E分成两个角，并将这两个角与∠1、∠2联系起来，进行有效转化.
图2
解法2：分解转化法
如图2，过点E作EF∥AB交BC于F，又AB∥CD，
所以AB∥EF∥CD（平行线的传递性），
所以∠BEF=∠ABE=∠2=12∠ABC （平行线的性质、角平分线的定义）
所以∠FEC=∠ECD=∠1=12∠BCD（同上），
所以∠BEC=∠BEF+∠FEC=
12（∠ABC+∠BCD）（等量代换），
又由AB∥CD知∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补），
所以∠BEC=12×180°=90° （等量代换）.
即BECE（垂直的定义）.
点评：解法2运用作平行线的方法把∠E分成两个角，并运用平行线的性质和等量代换解题.运用的数学思想方法是分解思想（即化整为零）和转化思想.
变式1：在原图基础上，增加另一组同旁内角的平分线.
图3
例1（2012年安徽中考题）如图3，已知AB∥CD，BE、CE、BF、CF分别是∠ABC、∠BCD、∠NCB、∠MBC的角平分线，BC不与ND垂直，则图中与∠FBE相等的角共有 个.
解析：由原命题的解答可知∠E=90
°，同理可得：∠F=90°； 又
∠FBE=∠FBC+∠CBE=
12（∠MBC+∠CBA）=
12×180°=90°，
同理可得
∠FCE=90°.因此∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°.
即与∠FBE相等的角共有3个.
变式2：在原图基础上，增添两个相等的角或一组平行线.
图4
例2（2012年希望杯试题）如图4，∠GEF与∠DFE的角平分线交于点H，AB∥CD，∠B=∠D.
求证：EHHF.
证明：因为AB∥CD，
所以∠A=∠C（两直线平行，内错角相等），
又∠B=∠D， 所以∠AEB=∠DFC（三角形内角和），
又∠AEB=∠GEF，∠DFC=∠MFE（对顶角相等），
所以∠GEF=∠MFE（等量代换），
所以EG∥FD（内错角相等，两直线平行），
则∠GEF+∠EFD=180° （两直线平行，同旁内角互补），
又EH、FH为角平分线，
所以∠HEF+∠EFH=12（∠GEF+∠EFD）=
12×180°=90°（角平分线的定义），
【关键词】 电磁场
关键词: 电磁场;小鼠;学习;记忆
摘 要:目的 探讨动物在电磁场生物效应中的意义. 方法 通过经典的Y-型迷宫法和改良的开阔法检验电磁场照射后不同（身体长轴与磁力线方向平行、垂直或者自由）小鼠的学习记忆能力和主观探索能力. 结果 电磁场照射后不同时间，不同小鼠学习记忆能力无显著差别，而探索反射有差别.40kV m-1 电磁场照射后即刻，平行磁力线组小鼠探索性反射显著低于自由组（P
Keywords:electromagnetic field;mice;learning;memory
Abstract:AIM To investigate the influence of animal body position on electromagnetic field（EMF）bioeffects.METHODS By using classical Y-maze method and improved open field method，the learning ability and the investigation reflex of mice in different body position（the long body axes of ani-mal are parallel，vertical or uncontrolled to the direction of magnetic force）after EMF exposure was measured.RESULTS There was no obvious difference in learning ability of mice between different position groups after exposure，but their investigation reflexes were different.Immediately after40kV m-1 -EMF exposure，the investigation reflexes of mice in parallel group was obviously lower than those of mice in uncontrolled group（P
0 引言
电磁场对电子通讯系统具有极强的破坏力.近年来研究表明，一定强度的电磁场能够引起哺乳动物中枢神经系统结构、功能和代谢的变化［1-4］ .哺乳动物都是形状不规则导体，当该机体处于电磁场中时，机体偶合到的电磁能量应与它在场中所处的相对位置有关.电磁场的生物效应与动物在电磁场场中的是否有关尚有待探讨.为此，我们采用一些行为学方法，检测不同的小鼠接受电磁场照射后的探索能力和学习记忆情况.
1 材料和方法
健康成年雄性昆明种小鼠80只，随机分为10组，每组8只.分别接受强度为8，40和80kV m-1 的电磁场照射.每一强度照射3组动物，分别取身体长轴与辐射场磁力线平行、垂直和自由.另一组为对照组（0kV m-1 ）.单次脉冲场的参数:前沿20ns，半高宽340ns（Fig1）.照射后即刻、1和4wk分别检测，以Y-型迷宫法检测学习记忆能力，以改良的开阔法检测主观探索性反应［5］ .结果采用方差分析.
2 结果
不同强度的电磁场照射后小鼠学习记忆能力和主观探索能力的差别我们已经另文报道［2］ .这里，我们注意了不同情况下各个指标的差别.照射后各个检测时间点，不同的小鼠学习记忆能力无显著差别.
图1 略
电场强度为8kV m-1 时:照射后即刻和照射后1wk小鼠探索性反射高低顺序为平行组>垂直组>自由组，但是各个组之间无统计学差别（P>0.05）.照射后4wk，小鼠探索性反射高低顺序为自由组>垂直组>平行组，后两组显著低于自由组（P
电场强度为40kV m-1 时:照射后即刻小鼠探索性反射高低顺序为自由组>垂直组>平行组，平行组数值显著低于自由组（P0.05）.照射后4wk小鼠探索性反射高低顺序为平行磁力线组>垂直磁力线组>自由组，前二者数值显著高于自由组（P
电场强度为80kV m-1 时:照射后各个时间点小鼠探索性反射高低顺序为垂直组>自由组>平行组，照射后4wk垂直组探索反射成绩数值显著高于自由组（P
表1 电磁场照射后即刻小鼠3min内在开阔槽中走的小格数Tab1 Investigation ability within3min of mice immediately after the radiation of electromagnetic field （略）
3 讨论
学习记忆是哺乳动物中枢神经系统功能的外在 表现，许多类型的电磁辐射都可以干扰这一复杂的信息加工过程，如工频电厂、高压线、视频终端等.单次电磁场也能降低大鼠和小鼠的学习记忆能力［4］ .本研究进一步证实，该试验条件下，小鼠学习记忆的下降与小鼠在电磁场中的有关.
表2 电磁场照射后1wk小鼠3min内在开阔槽中走的小格数Tab2 Investigation ability within3min of mice1wk after the radiation of electromagnetic field （略）
表3 电磁场照射后4wk小鼠3min内在开阔槽中走的小格数Tab3 Investigation ability within3min of mice4wk after the radiation of electromagnetic field （略）
改良的开阔试验原理是利用动物对陌生环境的探索性反应，检测动物神经中枢兴奋性，数值的高低反应了中枢神经系统兴奋性的高低.另外，多次测试还能反映动物对陌生环境的记忆情况.本结果显示，对于不同照射强度和不同检测时间，对检测数值的影响无统一规律.以强度为参考因素来分析:①正常情况下，对同一组动物进行多次检测，检测值应随检测次数的增加而降低，正如本试验假照射组（0kV m-1 ）结果所示;②电场强度为8kV m-1 时，照射后即刻和照射后1wk小鼠探索性高低顺序均为平行组>垂直组>自由组，但各组间均无显著差别（P>0.05）.照射后4wk，各组的数值顺序恰好与前两次检测相反，显示平行组小鼠和垂直组小鼠检测数值显著高于自由组（P
考虑到检测时间点时我们注意到，各照射强度下检测到的数值在许多分组中与假照射组相比有明显不同，尤其是8kV m-1 -垂直组、40kV m-1 -平行组、40kV m-1 -垂直组和80kV m-1 -平行组.这些组中3次检测的数值不是呈现递减趋势，而是呈现不规则变化.平行和垂直时发生这种变化的多，更加支持各个照射强度可能有特殊的敏感.从强度上看，40kV m-1 照射时3种组均发生了这种变化，这可能是“窗效应”的表现.
综上所述，得到如下认识:①辐照时动物能够影响电磁场的生物效应;②40kV m-1 和80kV m-1 照射时，身体长轴与磁力线平行可能是敏感，其次为垂直和自由.8kV m-1 照射时，垂直更为敏感.
参考文献
［1］Wu YZ，Jia YF，Guo Y，Zheng ZX，Zhou Y.The effects of electromagnetic pulse on catecholamine contents in mice brain ［J］.Di-si Junyi Daxue Xuebao（J Fourth Mil Med Univ），1997;18（5）:423.
［2］Wu YZ，Jia YF，Guo Y，Zheng ZX，Zhou Y.Effects of electro-magnetic pulse on the ability of learning and memory and inves-tigaory reflex of mice ［J］.Jiefangjun Yufang Yixue Zazhi（J Prevent Med Chinese PLA），1998;16（3）:170-172.
第五单元第二课时垂线的画法
同步测试A卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友们，经过一段时间的学习，你们一定进步不少吧，今天就让我们来检验一下！
一、填空。
(共7题；共19分)
1.
（5分）
(2019四上·开福期末)
过点P画出线段MN的垂线，并量出∠M的大小．
∠M=（
）°
2.
（2分）
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到线段的________；与两条平行线互相垂直的线段的长度都________。
3.
（1分）
如图，在点A与BF边上的点相连的线段中，________最短。
4.
（2分）
在同一个平面里，两条直线相交，有________个交点，形成________个角。
5.
（4分）
(2019四上·遵化期末)
从直线外一点可以画________条已知直线的平行线，平行线间的垂直线段有________条，每条垂线段的长度都________；在同一个平面内，若两条直线都和同一条直线平行，那么这两条直线________．
6.
（2分）
(四上·诸暨期末)
如图中与直线b互相平行的是直线________，与直线b互相垂直的是直线________。
7.
（3分）
下面的各组直线，互相垂直的是
A
.
B
.
C
.
D
.
二、判断。
(共5题；共10分)
8.
（2分）
(2019四上·涧西期末)
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直．（
）
9.
（2分）
下午三时整，钟面上时针与分针相互垂直。
10.
（2分）
(2018四上·云南月考)
同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线相互平行。
11.
（2分）
(2020四上·嘉陵期末)
过直线上一点可以画无数条直线与这条直线互相垂直。（
）
12.
（2分）
图中长方体的ABBD，BD∥EG，EGFG。
三、解答题。
(共3题；共20分)
13.
（5分）
如果两只小猫跑得一样快，哪只猫先吃到老鼠？
14.
（10分）
看图回答
（1）
请你画一条从蘑菇房到小木屋最近的路。
（2）
请你画一条从蘑菇房通向小河最近的路。
15.
（5分）
(2018·贵阳)
①在图中标出你从A穿过机动车道的最短的线路；
②求机动车道的实际宽度．
参考答案
一、填空。
(共7题；共19分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
二、判断。
(共5题；共10分)
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
三、解答题。
(共3题；共20分)
13-1、
14-1、