等量关系式

开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇等量关系式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。

第1篇

注：在实际问题中往往出现两个或两个以上的等量关系式，其中被选作列方程的等量关系式叫做基本等量关系式，其余的称之为辅助等量关系式.

例1(2011吉林长春)小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟，求小玲步行的平均速度.

解析本例是有关行程的问题，此类问题中有三个基本量：路程、速度和时间，它们之间的基本关系是：路程=速度×时间，在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种交通方式，数量关系较为复杂，可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.

速度关系：骑车速度是步行速度的4倍①，

时间关系：骑车时间比步行时间少30分钟②.

方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.

设骑车时间为x分钟，则由关系②得步行时间为(30+x)分钟,

骑自行车步行等量关系路程28002800相等时间x30+x速度2800x280030+x①由①得

2800x=280030+x×4，

解之得x=10.

所以小玲步行的速度为

280010=280 米/分钟.

方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.

设步行的速度为x米/分钟，则由关系①得骑车速度为4x米/分钟.

骑自行车步行等量关系路程28002800相等速度4xx时间28004x2800x②由②得

2800x-28004x=30，

解之得x=280.

答：小玲步行的速度为280米/分钟

点评本题的目的是让学生学会用“列表法”整理应用问题的数据，分析应用题的数量关系,完成应用题建模的关键环节.本例的二种解法实质上也是我们通常所讲的未知数的两种设法：直接设未知数、间接设未知数.当然就这个题目而言直接设未知数简单.

例2(2011广西崇左)今年入春以来，湖南省大部分地区发生了罕见的旱灾，连续几个月无有效降水.为抗旱救灾，驻湘某部计划为驻地村民新建水渠3600米，为使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？

解析本例是有关实际的工程类问题，此类问题中有三个基本量：工程总量、单位效率和工作时间，它们之间的基本关系同样是：工程总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种情况：一种是原计划，一种是实际；同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.

工作效率：实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍①，

工作时间：原计划时间比实际时间多20天②.

方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.

设原计划需要时间为x天，则由关系②得实际所用时间为(x-20)天.

原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作时间xx-20工作效率3600x3600x-20①由①得

3600x-20=3600x×1.8，

解之得x=45，

所以原计划每天修360045=80米.

方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.

设原计划每天修x米，则由关系①得实际每天修1.8x米.

原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作效率x1.8x工作时间3600x36001.8x②由②得

3600x-35001.8x=20，

解之得x=80.

答：原计划每天修80米.

点评本题同样可以根据不同的等量关系设未知数求解，关键是设的时候用辅助等量关系，再利用基本等量关系来列方程求解，而且通常情况下根据问题直接设未知数比较简单.

例3(2011年河北)甲乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工；若甲乙共同整理20分钟后，乙需单独整理20分钟才能完工.问乙单独整理多少分钟能完工？

解析本例是有关虚拟的工程类问题，总的工作量为单位1.此类问题中有三个基本量：工作总量、工作效率和工作时间，它们之间的基本关系是：工作总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两个人，同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.

工作总量的关系：甲的工作总量+乙的工作总量=1.

以工作总量为基本关系式，设乙单独整理完成需要x分钟.

甲乙等量关系工作效率1401x工作时间2020+20工作总量140×201x×(20+20)甲+乙=1①由题意可得

2040+20+20x=1，

解之得x=80.

第2篇

关键词：教学策略；销售；应用题

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）12-118-01

应用题是中学数学的重要内容和教学重点之一，它对培养学生的思维，提高学生分析、解答数学问题的能力能起到很好的促进作用。用一元一次方程解决商品销售问题这节课使用教学策略，不仅可以迁移到今后的应用题教学中，还可以促进学生掌握解决应用题的一般方法和思维方式。

课本例题再现：一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？（人教版初一上102页）。下面就以教学中的几个片段来谈应用题教学策略。

一、从生活情境引入

片段一

师：同学们你们知道昨天是几月几日吗？

生：11月11日。

师：在这一天很多商家为了促消搞了双11活动。

生：是啊这一天很多人都疯狂购物。

师：同学们当我们去超市的时候是否会经常看到以下标签，（大降价，买一送一，用PPT呈现）

生：是的。

师：可见这些都是与我们生活息息相关的，今天我们就来学习一元一次方程中的销售问题。

设计意图：用贴近学生的生活实例引入，来吸引学生的兴趣，感受数学就在我们的身边，这样学生的学习过程就不是机械接受的过程，而是积极参与活动的过程。

二、利用等量关系式搭建题目的主要框架

片段二

师：我们经常在商店看到商品的价格实际上是商品的什么呢？

生：售价。

师：那么跟它相对的是商品的什么？

生：进价。

师：这二者的差就是什么？

生：利润。

师：因此我们就可以得到销售问题的等量关系式：售价-进价=利润。

设计意图：学生之所以会觉得应用题难是因为题目的文字语言多，条件多，学生不懂得去寻找它们之间的关系。等量关系就是应用题当中的灵魂。对于销售问题，当中最重要的就是售价，进价，利润之间的关系。因此老师在课堂上帮助学生提炼出销售问题的等量关系式可以帮助学生分析应用题当中的数学关系，从而培养学生建模的能力。

三、通过导学案设计，分解题目中的难点

以下是我为本节课设计的导学案：

1、题目当中的60元是销售问题中的哪个量__________

2、如果假设盈利25%的那件衣服的进价是x元，则可以根据等量关系式________________

列出方程_____________________

3、如果假设亏损25%的那件衣服的进价是y元，则可以根据等量关系式________________

列出方程_____________________

4、请你判断卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？

设计意图：课本的这道例题看似简单其实隐含了多个量之间的关系，有单件衣服的进价，售价，利润，还有两件衣服之间的关系。课本的问题对于初一年的学生而言，未免有一些的难度，用导学案把题目中的问题设计成4个小问题，启发学生层层递进进行思考，分解题目中的难点。

以上仅仅是个人在教学的过程中所采用的三种比较有效的应用题教学方法，还有很多方法值得我们去探索。数学的教学就是让学生们能够熟练的运用数学知识解决问题。我们教师在教学过程中的主要任务，就是教会学生如何分析题目，使他们掌握方法，能够举一反三。这就要求教师真正做到?"授人以鱼"变为"授人以渔"。

参考文献：

[1] 王兴贵.应用题的教学策略

第3篇

关键词：一元一次方程；解应用题；教学策略

对于刚开始学用方程解实际问题的初一学生来说，经常是找不准题目隐含的数量关系，搞不清解题步骤。学生存在以下问题：一是不会找相等关系式；二是能找出相等关系式，但不知如何列方程；三是对用代数方法解应用题不习惯。要正确运用方程解决实际问题，重点是找相等关系式，相等关系式找到了，其他问题就容易解决。

一、用方程解决实际问题的策略

用方程解应用题，关键是根据题目所给条件，找出等量关系式，每个题目都由已知条件与问题所组成，只有让学生弄清楚问题情境和数量关系，才能将问题中的数量关系转化为数学问题，才能正确列出方程。因此，审题时要抓住题目关键语句来寻找解题思路和方法。在解题时可把已知条件与所求问题运用图形、线段或表格进行表示，从而使难以理解的数量关系形象化、具体化，快速找出已知量、未知量，从而列出方程。题目解答完成后要根据实际情况检验结果，看结果是否符合现实情况。

二、用方程解决实际问题的具体实施

用一元一次方程解应用题主要有以下几类题型，现将解题方法举例如下：

1.和差倍数关系问题

倍数关系：主要通过关键词来体现，如“是几倍、增加到几倍、增加几倍……”；多少关系：通过如下关键词语来体现，如“和、差、多、少、不足、剩余……”。

例1.有A、B、C、D四个数，A比B的2倍少3，C比D多5，D比B的3倍少2，四个数之和是48，求：四个数各是多少？

解题分析：已知条件是：A=2×B-3，C=D+5，D=3×B-2，A+B+C+D=48，题目的未知量是：A、B、C、D四个数是多少。根据题意可知等式关系为：A+B+C+D=48。

2.人员调配问题

解该问题时一定要搞清人数变化情况，常见问题有：

（1）有调出也有调入。

（2）仅有调入，而没有调出，只是调入人员数量发生变化，其他不变。

（3）仅有调出，而没有调入，只是调出人员数量发生变化，其他不变。

例2.某工厂在甲车间工作人员有27人，在乙车间工作有18人，现需从外面调动24人来支援甲、乙两个车间，并且使甲车间人数是乙车间的2倍，求：往甲、乙车间各调入多少人？

解题分析：假设调往甲车间x人，那么调往乙车间就是（24-x）人，题目给出的等量关系是：甲车间原有人数+调入人数=2×（乙车间原有人数+调入人数），方程式为：27+x=2×（18+24-x）。

3.数字问题

假设一个三位数的百位数字是a、十位是b、位是c，则这个三位数就是：100a+10b+c，根据数字间关系和原数关系列方程。

例3.有一个三位数，三位数字的和是17，百位数比十位数大7，个位数是十位数的3倍，求这个三位数？

解题分析：设十位数是x，则百位数是x+7，个位数是3x，则方程式为：x+x+7+3x=17。

4.工程问题

此类应用题中的关系式为：工作总量=工作效率×时间。

例4.一项工程，甲单独做25小时能完成工程，乙单独做20小时能完成工程。求：甲、乙两人共同完成，要几小时完成工程？

解题分析：设甲、乙两人合作x小时完成工程，方程如下：（1/25+1/20）x=1。

5.行程问题

解行程问题主要依据是：路程=速度×时间。其常见题型有：（1）相遇问题；（2）追赶问题、相背而行、行船问题、环形跑道应用问题。

例5.甲、乙两人相距50千米，甲先出发3小时后乙再出发，甲在后面乙在前面，二人同向而行，甲的速度是12千米/每小时，乙的速度是8千米/每小时，甲出发几小时能追上乙？

解题分析：等量关系为：甲的路程-乙的路程=两人原来的距离。假设甲出发x小时能追上乙，那么乙行走时间为x-3小时，因此，甲的路程为12x千米，乙的路程为8（x-3）千米。方程如下：12x-8（x-3）=50。

6.储蓄问题

解此类问题要掌握如下关系式：利息=本金×利率×期数，利息=利息×税率，本息和=本金+利息。

例6.王阿姨要购买7890元的空调，商场要求购买时首付

1500元，之后每年付一次款，并且要求等额还款，2年全部付清售价款和欠款利息。假如年利率为3%（不计复利），问：王阿姨每年付款多少元？

解题分析：假设每次付款x元，等量关系式如下：

[6390×（1+3%）-x]×（1+3%）=x

总之，用方程解应用题，重点是要找出等量关系式，思路是关键，教师要指导学生灵活利用所学知识，建立数学模型解决实际应用问题。

参考文献：

第4篇

教材简析：

“稍复杂的方程”是“用字母表示数”和“用方程解决简单问题”的后续教学内容，也是本单元学习的重点和难点。教材根据不同类型的方程分三个例题进行编排，每个例题都担负着解方程和用方程解决问题的双重任务，这是为了突出数学与实际生活的密切联系。

本节课学习的方程形如“ax±b=c”，教材以学生熟悉的“足球上两种颜色皮的块数”为素材，让学生在解决问题的过程中学解稍复杂的方程，体现了教学的渐进性。教学的重点是引领学生经历从实际问题中抽象出形如“ax±b=c”的方程，并用等式的性质解此类方程，难点是分析并找出等量关系。

学情分析：

在本节课之前，学生已经认识了用字母表示数的意义和作用，并初步掌握了方程的意义和等式的性质，能解简单的方程，同时也经历过用方程解决简单问题的过程。但因为两步计算的方程思维过程比较复杂，学生在分析问题时，很难找到信息间的联系，列不出方程。所以，在充分利用学生已有知识经验的同时，教师要引导学生画线段图，让学生借助直观感知数量间的等量关系，亲历把实际问题抽象成形如“ax±b=c”的方程，并在解决问题的过程中体会用等式的性质解稍复杂方程的方法和步骤。

教学目标：

1.通过解决问题，在观察、分析、抽象、概括和交流的数学活动中，掌握形如“ax±b=c”的方程的解法。

2.经历将现实问题抽象成形如“ax±b=c”的方程的过程，进一步体会用方程解决问题的思想方法及价值。

教学过程：

一、复习，激活经验

1.仔细观察，分别说出用什么方法解下列方程。（口答）

①5x=2.5?摇 ?摇②x+1.3=7

③x-125=9.7

2.看图填空。（口答）

①白兔有（ ）只，黑兔有（ ）只。

白兔：

黑兔：

3.看图找等量关系式。（先让学生独立写出来，然后指名交流，要求学生用手指着线段图说等量关系式。）

母鸡：

公鸡：

教师根据学生的交流，板书等式：x+86=150?摇?摇150-x=86?摇?摇150-86=x

（设计意图：设计不同层次的复习题，激活学生的原有经验、学习能力。首先，让学生口答解简单方程的方法，回顾解一步计算方程的思维过程，复习等式的性质，为学习解稍复杂的方程做认知铺垫；接着让学生从线段图中收集信息，并用含有字母的式子表示未知量，以及从线段图中寻找等量关系式，提高观察线段图的能力，为列稍复杂的方程解决问题做思维准备。）

二、探究学习，列方程解决问题

师：经历了看线段图找等量关系式的活动，你有什么感想？

（交流时，教师引导学生发现线段图的特点和作用，使学生初步感受线段图的直观性。）

师：线段图能帮助我们找等量关系，是列方程解决问题的好助手，今天我们就用画线段图的方法来列方程解决问题。

课件呈现情境图（见教材第65页）。

1.观察情境图，收集信息。

师：从图中你收集到哪些信息？

2.解读信息。

师：你是如何理解这些信息的？（引导学生一般地了解图意后，再集中到要解决的问题上。）

（设计意图：观察情境图、收集信息、解读信息是解决问题的前提，只有认真观察问题情境、仔细解读信息的含义，才能正确地分析信息之间的联系，从而准确找到数量关系。）

3.确定设谁为x。

师：通过对信息的分析和理解，你们认为应该设谁为x？为什么？

4.整理信息，探究等量关系。

师：我们用画线段图的方法来帮助整理信息。下面就请同学们根据信息的含义试画线段图。

（1）画线段图。

学生独立画，教师巡视和指导。如果学生不会画，教师就引导思考，如，要画什么？先画什么？再画什么？为什么这样画？

（2）展示和交流画线段图的方法。

师：你是怎样画线段图的？（对于不同的画法，教师可以选择有代表性的图一一展示。）

学生展示和交流之后，教师再用课件演示一遍画线段图的过程，让学生明白先画黑色皮x块，再画与黑色皮一样长的两段表示黑色皮的2倍，然后从黑色皮的2倍中去掉4块，就是白色皮的块数。

黑色皮：

白色皮：

（设计意图：由于数量关系比较复杂，学生在分析信息之间的联系时，可能会有困难，甚至有一部分学生无法找到联系。因此，在这里做了两个预设：一是先让学生尝试画，如果有学生能正确用线段图表示出数量关系，就借助此向其他学生展示，让学生在相互倾听、相互补充的过程中感知信息之间的联系，掌握画线段图的方法；二是当学生不能准确地用线段图表示数量关系时，教师就及时引导，并用课件演示画线段图的过程。最终让所有学生都能用线段图直观地表示出信息之间的关系。）

（3）观察线段图，寻找等量关系。

课件出示观察要求：

①从不同的角度进行有序的观察：从部分到整体，再从整体到部分；从上到下，再从下到上。

②思考后指出“如一段表示黑色皮的2倍”，指着图说一说“黑色皮、白色皮与4块皮之间有什么关系”，并且用不同方法说。

交流时，教师指导学生用简洁规范的数学语言描述等量关系。如，黑色皮的2倍减去4块等于白色皮；黑色皮的2倍减白色皮的块数等于4块；白色皮的块数加4块等于黑色皮的2倍。

（设计意图：要能准确地从线段图中找到等量关系，就要引导学生进行有序的观察。所以，在观察活动中，教师要进行相应的指导，并要求学生带着问题观察，提高观察质量，促进有序思维的形成。）

5.根据等量关系列方程。

师：先根据等量关系说一说可以列出几个等式，然后指出哪些是方程。

（1）学生在本子上写等式。

（2）指名交流。

师：谁来向大家介绍自己列出几个等式，哪些是方程？为什么？

根据学生的回答板书（预设）：

2x=20+4?摇?摇?摇2x-4=20?摇?摇?摇2x-20=4

师：请同学们仔细观察，这3个方程与前面学习的方程相同吗？

通过交流，让学生知道这3个方程含有两步计算，与前面学习的方程不同。

师：这就是我们今天要学习的方程。（板书课题：“稍复杂的方程”）

（设计意图：让学生把等量关系转化为方程，经历了稍复杂方程的建构过程，感悟列方程解决问题的思维方式。学生从线段图中找等量关系，充分展现了用线段图解决问题的优越性：一个线段图能找到不同的数量关系，一个线段图创造出不同的解题方法。）

三、探究解方程的方法

1.引导探究。

师：现在有3个方程可以解决同一个问题，那么，同学们猜一下，用什么方法来解这样的方程？

（通过猜想和交流，学生知道解这样的方程仍然用等式的性质。）

师：我们研究第二个（2x-4=20）和第三个（2x-20=4）方程的解法。

这两个方程有什么特点？

（学生发现这是两个类型相同的方程。）

师：既然这两个方程的类型相同，就请每个同学任选一个来解。解方程之前先思考怎样用等式的性质处理每一步的计算。

（学生独立思考后，尝试解方程；小组交流。）

师：请把你解方程的方法和步骤与小组的伙伴说一说，看谁的方法最合理，谁的书写最规范。

〔教师参与交流，适时进行引导和点拨（如为什么要将含未知数的项先看成一个整体），并收集解方程中出现的情况，供进一步探讨。〕

2.集体交流。

根据巡视中收集的情况，有针对地指名交流：讨论方法的合理性，书写的规范性。

3.小结解方程的方法和步骤。

通过生生、师生的交流，教师规范解稍复杂方程的方法和步骤，并示范书写的格式，强调检验的问题。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

（设计意图：突出稍复杂的方程与前面所学方程的不同是本节课学习的重点。因此，在借助学生已有经验自主探索解方程的方法和步骤的基础上，教师要做适当的引导和示范，在掌握本知识点的同时为后继的学习做好准备。）

四、巩固应用

1.解方程。

①3x-2.8=6.8?摇?摇?摇?摇②3x+6=18

〔设计意图：第①题属于同类练习，第②题是建立在第①题的基础上（稍加变化而成）。先让学生比较，然后借助第①题的方法迁移、类推，自主小结解方程的方法。〕

2.列方程解决问题。

课本第66页第3题。（要求学生画线段图分析后找出等量关系。）

（设计意图：练习题与例题同类，目的是巩固和深化解决形如“ax±b=c”的方程的方法，使学生进一步体会解方程的思想方法。）

五、全课小结

师：今天学习了什么样的方程？通过什么方法列出方程？说说解稍复杂方程的方法。你有什么感想？

（用问题帮助学生回顾学习过程，让学生进一步体会线段图在解决问题中的作用，进而理解分析问题的思路及掌握解稍复杂方程的方法。）

设计说明

本节课是学生学习“稍复杂的方程”的第一节课，要通过两步计算才能求出未知数是本课方程的特点，思维过程比较复杂。

虽然学生已经学会解简单的方程及会用简单的方程解决问题，但由于受算术思维方法的影响，学生在分析数量关系时，很难把算术的思维转化为方程的思想思考，难以找到等量关系，列不出方程。因此，本节课的教学设计结合学生的这一实际，力图突出三个要点。

1.沟通知识的联系，找准新知的生长点。课开始，首先复习解简单方程的方法，接着用线段图呈现问题情境，让学生从图中收集信息并用含有字母的式子“3x”表示未知量“黑兔有几只”，然后让学生从线段图中找等量关系式。三个不同类型的练习，都是为了沟通知识间的联系，激活学生的已有经验，找准新知的生长点，为学习“用画线段图辅助并列出方程”及“解稍复杂方程”做认知铺垫和思维准备。

2.注重学法指导，促进新知有效生成。为了促进学生的学，从列方程解决问题到探究解方程的方法，教师预设了三次指导。先指导画线段图，接着指导观察线段图，最后指导解方程。因为仅凭学生已有的知识和经验，他们在画线段图、找等量关系及解方程的学习中都会有困难。通过教师的引导和点拨，不但能帮助学生找到思考方向，提升思维的质量，还能促使教学目标的顺利达成。

3.借助数形结合思想，有效分析等量关系。画线段图是帮助学生分析问题、理解数量关系的有效方法。因此，为了突破“找等量关系”这一难点，选择用画线段图的方法来帮助学生整理信息，借助数形结合，将复杂的数量关系简单化，使抽象的数学问题直观、具体，达到有效解决问题的目的。

作者单位

第5篇

一、依据题目的意义，找出等量关系

苏教版数学六年级上册教材第1页例1，第4页例2。

【例1】西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？

根据题目的意义理解为，小雁塔乘以2再减去22米就和大雁塔的高度相等，同比等量关系是：小雁塔乘以2减去22等于大雁高度，依据这个“等量关系”列出方程。设小雁塔的高度为x米，列方程为2x-22=64。

【例2】北京颐和园占地290公顷，其中水面面积大约是陆地面积的3倍，北京颐和园的陆地和水面大约各有多少公顷？

根据题目的叙述可以理解为，水面积+陆地的面积=颐和园的面积。根据“等量关系”列方程：解设颐和园的陆地面积大约有x公顷，水面大约有3x公顷，列方程为x+3x=290。

二、根据平面图形的计算方式找出等量关系

一些平面图形的计算方式为我们提供了现成的等量关系。苏教版第8页整理与复习第5题。

1.三角形的面积是275cm2，高11cm，底是多少？

三角形的面积计算公式S=ah÷2。根据“等量关系”列出方程。

设三角形的高为x厘米，列方程为11x÷2=275。

2.长方形的周长9米，宽1.5米，长是多少米？

长方形的周长计算公式是（a+b）×2=c。根据“等量关系”列方程，设长方形的长为x米，列方程为（x+1.5）×2=9。

三、借助线段图找出“等量关系”

有些应用题比较抽象，我们可以借助线段图的直观性来帮助分析题目的意思，找出等量关系，如苏教版第7页整理与复习第二题。

南京长江大桥的铁路长6772米，公路桥长4589米，它的铁路桥比武汉长江大桥铁路桥的5倍多197米，公路桥比武汉长江大桥公路桥的3倍少421米。（1）武汉长江大桥铁路长多少米？（2）武汉长江大桥公路桥长多少米？

1.从线段图中明显看出，武汉大桥铁路桥的5倍加上197米正好等于南京大桥的铁路桥长的米数，根据“等量关系”列方程。

设武汉大桥铁路桥长x米。列方程3x+15=84。

2.从线段图中也明显看到：武汉大桥的公路桥的3倍减去421米，就等于南京大桥的公路桥的长度，根据“等量关系”列方程。

设武汉大桥的公路x米，列方程3x-421=4589米。

四、根据题目的重点词句找出“等量关系”

有些题目中的重点词句包含了题目中的所有数量的及数量间的关系，这类题可根据重点词句找出等量关系列方程。如苏教版第6页第9题。

小红和小伟去商品店买光盘，小红买8张光盘，小伟买10张光盘，两人一共要付216元，可以在本题中重点词句，得出等量关系式，8张光盘的钱数+10张光盘的钱数=216元。根据此“等量关系”列出方程。

设每张光盘x元列方程为8x+10x=216。

五、利用常见的数量关系寻找“等量关系”

我们在学习整数、小数应用题时，已经掌握了一些常见的数量关系，如速度×时间=路程、单价×数量=总价、工作效率×工作时间=工作总量等，如苏教版的第6页第7题。

小丽和小明同时从相距960米的两地相对走来，小丽每分钟走58米，小明每分走62米，经过几分两人相遇？

根据速度×时间=距离，可以列出等量关系式。设x小时后两人相遇，列出方程（62+58）x=960。

六、把应用题换成文字题寻找“等量关系”

有两条水渠，第一条长度的1.5倍和第二条长度的2倍相等。第二条长264米，第一条长多少米？

第6篇

关键词：表格分析法；应用题教学策略；课堂教学效率

苏霍姆林斯基说：“教学和教育的技巧和艺术就在于，要使每一个孩子的力量和可能性发挥出来，使他享受到脑力劳动中的成功的乐趣。”应用题教学是义务教育的一个重要内容，是培养学生分析问题和解决问题的一个重要手段。但其阅读量大、建模难度高，真正能应用所学的知识来解决实际问题的学生廖廖无几。

一、教学背景分析

在以往的应用题教学中，笔者与多数教师一样，采用传统教法，将常见的应用题类型进行归类，归纳出常用数学模型，总结出解应用题的六个步骤。第一，设未知数；第二，找等量关系；第三，列方程；第四，解方程；第五，检验；第六，答。但笔者发现，课堂教学效果不显著，部分学生对应用题产生畏惧心理，有的学生甚至干脆放弃应用题的学习。那么，该如何改进应用题教学策略，调动学生学习和参与的积极性，提高课堂教学的有效性呢？

二、教学策略讲析

应用题的知识结构是以三量关系为核心的，如：路程=速度×时间，工作量=工作效率×工作时间，利润=售价-成本，矩形面积=长×宽等，这些变量在应用题中常可见到，这些关系本身就是一个相等关系，可以帮助学生去解决应用题。下面就路程=速度×时间，工作量=效率×时间，溶质=溶液×浓度等模型，以教材习题为例，谈谈笔者的教学策略，即用表格分析法解应用题。

1.策略示范――表格分析法在列分式方程解应用题中的应用

例1.某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

分析：题中涉及工作量、工作效率、工作时间三量关系，甲、乙两种状态。根据题意，设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分钟能输入2x名学生的成绩，用表格分析问题。

步骤一：列出表格，并依次填写表格信息

表格的第一行填写题中最清晰的量，即工作量（甲、乙的工作量均为2640名学生）；表格的第二行填写题中所设的量，即工作效率（甲的工作效率是2x名/分钟，乙的工作效率是x名/分钟）；表格的第三列填写第三个量，即工作时间，数据则根据三量关系由第一、二行直接给出。（根据工作时间=■得，甲的工作时间是■分钟，乙的工作时间是■分钟）。于是得到表格如下：

■

步骤二：列等量关系式

从上面表格的第三行中找等量关系，即找关于工作时间的等量关系。从题中不难找到：结果甲比乙少用2小时输完。即：甲时间=乙时间-2小时。于是得到等量关系式：■=■-2×60

2.策略应用――表格分析法在列一元一次方程解应用题中的应用

例2.小莉和同学在“五一”假期去森林公园玩，在溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上，划行速度约4千米/小时。到B地后沿原路返回，速度增加了50%，回到A码头比去时少花了20分钟。求A、B两地之间的路程。

分析：题中涉及路程、速度、时间三量关系和往、返两种状态。根据题意，设A、B两地之间的路程为x千米，并统一单位：20分钟=■小时。根据表格分析法的分析原则，第一行填写最清晰的量，即速度；第二行填写所设的量，即路程；第三行填写第三个量，即时间。于是得到表格如下：

■

最后得到关于时间的等量关系式：■=■-■

三、教学效果剖析

苏霍姆林斯基说过：“教师的任务就是要不断地发展儿童从学习中得到满足的良好情感，以便从这种情感中产生和形成一种情绪状态――即强烈的学习愿望。”现代教学要充分调动学生学习的主动性与积极性。而本策略的最大突破口在于将表格分析程序化，让学生感觉到应用题也是有章可循的，体验思维的有序性，从而使学生树立学习的信心。

第7篇

一、关系式法

关系式法主要应用于物质之间存在内在等量，通过分析找出等量，既直观明了又计算方便。

例1．某农田通过科学分析，需施120kg的尿素\[CO(NH2)2\]来补充氮元素，如改用NH4HCO3，至少需要多少kg？

解析：农田需要氮元素的质量是一定的，所以只需尿素和碳酸氢铵含有相同质量的氮元素即可。通过化学式的比较，不难找出CO(NH2)2~~2N~~2NH4HCO3。

设需要NH4HCO3的质量为x。

CO(NH2)2~~2N~~2NH4HCO3

602×79

120kgx

60[]120kg[SX)]=[SX(]158[]x[SX)]

x=316kg

答：如改用NH4HCO3，至少需要316kg。

例2．生产等质量的H2，用Mg、Al、Zn、Fe分别与足量的酸反应，求消耗四种金属的质量关系。

解析：如果依据化学方程式计算会非常繁琐，而依据金属的化合价与置换出氢原子的个数的关系，既简略又方便。

找关系找等量找质量

需要四种金属的质量关系为：Al

例3.已知某硝酸铵样品，测得氮元素的质量分数为31.5%（杂质不含氮），求该样品中硝酸铵的纯度。（即硝酸铵的质量分数）

解析：氮元素存在于硝酸铵中，氮元素和硝酸铵有固定的质量关系。知道了氮元素在样品中的质量分数，就可以求硝酸铵在样品中的质量分数。

设硝酸铵在该样品中的纯度为x。

NH4NO3----2N

8028

x31.5%

80[]x[SX)]=[SX(]28[]31.5%[SX)]

x=90%

答：硝酸铵在样品中的质量分数为90%。

二、变形法

变形法是将某些化学式进行适当的变形，保持各元素原有的量的关系不变，从而方便讨论分析的一种方法。

例4.在FeO、Fe2O3、Fe3O4、FeS四种化合物中，铁元素的质量分数由大到小的顺序是。

解析：在FeO、Fe2O3、Fe3O4三种物质中都含有铁元素和氧元素，而FeS不含氧元素。由于硫的相对原子质量是氧的相对原子质量的2倍，所以可以将FeS转化为FeO2。将铁的原子个数定为1，又变形为FeO、FeO3/2、FeO4/3、FeO2,所以得出等量的铁结合氧元素的质量比为：1∶3/2∶4/3∶2=6∶9∶8∶12。

铁元素的质量分数由大到小的顺序为：FeO>Fe3O4>Fe2O3>FeS。

三、守恒法

守恒法是利用化学变化前后元素的质量守恒巧解计算题的一种方法。

例5．将一定质量的铁和铜的混合物放入盐酸中，充分反应后过滤、洗涤、干燥后，将滤渣在空气中灼烧，称量，与原混合物的质量相等，求原混合物中铁的质量分数。

解析：铁和铜的混合物放入盐酸中，铜不参加反应。铜滤出后又被灼烧生成氧化铜，此时的质量和原混合物的质量相等，所以氧化铜中氧元素的质量分数即是原混合物中铁元素的质量分数。

Fe%=O%=O/CuO×100%=16/80×100%=20%。

例6.某铁的合金10g，在空气中充分煅烧后，将生成的气体通入足量澄清的石灰水中，得到白色沉淀1g,则该铁的合金是生铁还是钢？

解析：铁合金中的碳与氧气反应后生成了CO2，CO2与Ca(OH)2反应生成了CaCO3。

在整个转化过程中，碳的质量不变。所以CaCO3中碳的质量即为铁合金中碳的质量。

m(C)=1g×[SX(]C[]CaCO3[SX)]=1g×[SX(]12[]100[SX)]=0.12g

w%=[SX(]0.12g[]10g[SX)]×100%=1.2%

答：该铁的合金为钢。

第8篇

【关键词】方程 行程问题 相遇与追击

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）09-0108-01

方程的应用题，链接了小学到初中的知识，也是小学数学教学中的重点和难点问题之一。在为学生以后解决实际问题起到了启蒙作用。方程的应用题分很多类型，但最常见的是我们生活中常用的行程问题。

要想让学生能更好的理解应用题，解答好应用题，那就先要把学生的思路打通，让学生看到题目的时候脑袋里知道这是什么题型，该如何下手去做。那么下面我们一步一步来分析。

常见的行程问题的教学方案

一、相遇问题

一列由南向北行驶的客车，车身长180米，同时有一辆由北向南的货车，车身长240米，两辆车平时相向行驶，从两车头相遇到两车尾完全分开的时间经过12秒，已知客车跟货车的速度比是4：3，那么客车跟货车的速度是多少？

解题思路：

①该题是一道相遇问题当中较典型的题，根据上面的讲解到的解题思路，那我们应该知道，客车和货车之间的距离=客车的车身+货车的车身。

②确定等量关系式：路程=速度×时间。

③然后根据题目的问题进行设置未知数x，由于是求两辆车的速度，根据指导两辆车的速度比是4：3，所以我们可以设置客车的速度是4x，货车的速度是3x。

④根据前两步列出带有字母的关系式：

路程=速度×时间：180+240=4x×12+3x×12

⑤根据该等量关系式解出x的值，然后求出客车的速度4x，货车的速度3x.

⑥检查该速度是不是符合实际，然后带入带有字母的等量关系式子进行验证。得出结论。

让学生思路以后就是要做解答，答案的书写也是要符合要求的。让学生养成答题的规范性。

解：设客车的速度是4x米/秒，货车的速度为3x米/秒，则

4x×12+3x×12 =180+240

48x+36x =420

x=5

客车的速度是4×5=20米/秒，货车的速度是3×5=15米/秒答：客车的速度是20米/秒，货车的速度是15米/秒。

引申：由于相向问题在实际生活中运用的比较广泛，所以常见的例子也比较多，通过上题可以打开学生的思路，然后稍微加深难度，运用学生的想象力，稍加难度。发挥学生的思维逻辑能力。

例：有两辆是相向而行的客车，其中一辆快车的车身长150米，慢车车身长180米，快车经过4秒的时间经过慢车的某个窗口。

求：当两车相向的时候，两车的速度和以及慢车经过快车的某个窗口用的时间是多少？

解题思路：

①这个问题是相向问题中的稍微延伸，快车行驶过某个窗口的时候，研究对象也是由车换成慢车窗口的人和快车车尾的人。那么这个时候行驶的距离就是快车的车长。同样，慢车行驶过某个窗口的是后，研究的对象是也换成快车窗口的人和满车车尾的人，所以行驶的距离也是慢车的车身长度。

②行驶的距离确定了以后，就该确定一下该题的等量关系。

时间=路程÷速度

③列出等式然后求解。

解：两车的速度之和：150÷4=37.5（米/秒）

慢车经过快车某一窗口所用的时间：180÷37.5=4.8（秒）

答：两车的速度的和是37.5米/秒，慢车经过快车的某一个窗口所用的时间是4.8秒。

该应用题的解答不仅考查了学生们的对基础知识的理解，也能有效的帮助学生提高逻辑分析能力。此题是相遇问题，可以引导学生去想同向的问题怎么去解决。

二、同向问题

不论是相遇问题还是同向的问题基本都是追溯根本上是路程、时间、速度之间的变化的关系，所以还是要弄清楚三个变量之间的关系。

下面举例说明。

例如相遇问题中延伸例子中的题目，我们可以假设两辆车如果是同向的话，慢车速度为15米/秒，快车从后面追赶慢车，问如果从快车的车头赶上慢车的车尾部分到快车的车尾赶上慢车的车头的时候需要的时间是多少？

解题思路：

①同向问题的解决是先确定原始路程是多少，由于是快车车头从慢车的车尾追赶慢车直到快车车位超过慢车车头，所以行驶距离也是两车的车身的长度。

②行驶距离确定以后就是确定等量关系。该题求的是时间

时间=路程÷速度

③设所用时间为x，由题目和第一问的结果知快车的速度为（37.5-15=22.5），则快车行驶的路程是22.5x，慢车行驶的路程15x。

④根据题目给出的变量，列出含有x的方程22.5x-15x=180+150。

⑤根据方程的求解方法，求出x的值。

⑥检查结果的实践性，然后带入方程式进行检验。

解：设快车完全超过慢车的至少要用时间为x，则

22.5x-15x=180+150

7.5x=330

x=44

答：至少44秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。

方程中的行驶问题是相关联的，其中就是三个量的变化，只要在题目中找到三个量或者三个量的表达式子就会让题目变得明了。所以在解答应用题的时候，一定要结合课本的基础内容。吃透课本的基础知识。然后结合在生活中的例子，充分发挥想象能力和逻辑思考能力，也会给该题型的解决带来方便。

第9篇

求曲线方程，一般有五个步骤，这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似。

（1）依据已知几何条件建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；

（2）列出适合条件p的点M的集合P={M|P（M）}；（此步根据情况可以省略）

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程=f（x，y）=0；

（4）化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明化简后的方程为所求曲线的方程，即验证以（4）中方程的解为坐标的点都在曲线上。

简记为建系、列式、代换、化简、证明。

为了帮助同学们更好地理解、掌握这类题型，下面我们结合具体的实例，对求一般曲线的过程和常用方法予以说明。

一、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么我们只需利用解析几何中的一些基本定理和公式，直接列出动点的坐标（x，y）所满足的关系式，通过化简整理便可得到曲线的轨迹方程。

例1：试求到两坐标轴距离之差恒为2的点的轨迹。

解析：设P（x，y）为轨迹上任意一点，则|x|-|y|=2。

当x≥0，y≥0时，方程为x-y=±2，此时轨迹为以（2，0），（0，2）为端点，斜率为1的两条射线；

当x≤0，y≥0时，方程为x+y=±2，此时轨迹为以（-2，0），（0，2）为端点，斜率为-1的两条射线；

当x≤0，y≤0时，方程为y-x=±2，此时轨迹为以（-2，0），（0，-2）为端点，斜率为1的两条射线；

当x≥0，y≤0时，方程为x+y=±2，此时轨迹为以（2，0），（0，-2）为端点，斜率为-1的两条射线。（曲线如右图）

评注：本题中，已经给定了坐标系，并且等量关系可以直接得到，因此用此法求解最方便。

二、代入法

如果动点P（x，y）与Q（a，b）之间满足某些关系式，先写出P与Q之间的坐标关系，并用Q的坐标表示P的坐标，而后代入P的坐标所满足的关系式，并化简整理，即得所求方程。

例2：设M为已知圆O：x2+y2=a2上任意一点，圆O和x轴的两个交点为A1（-a，0），A2（a，0），从A2作直线垂直于圆O在M点的切线MB，交直线A1M于P，求P点轨迹方程。

解：当M在A2处时，从A2作垂直于MB的直线就是x轴，它与直线A1M重合，此时点P的轨迹方程是y=0；

当M在A1处时，与题中直线A1M不符。

三、参数法

有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点常常受到另一个变量的制约，或者用这个变量可以将动点坐标（x，y）中的x，y表示出来。此时可以取这个变数为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，需要将参数消去。

例3：在正方形ABCD中，AB、BC边上各有一个动点Q、R，且|BQ|=|CR|，试求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程。

分析：交点P受Q与R的制约，因此，选择的参数要与Q、R有直接联系，故可以选取AQ与BR为参数。

解：如图，取A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，正方形ABCD边长为a，取AQ=t，BR=t。

第10篇

一、通过读题加强数量关系训练，培养思维的流畅性

学生能否正确解答应用题，首先是审题，因此，应从读题入手引导学生认真审题。

1 熟悉性的读

题目中的关键字词读重音，分清题中的情节、条件和问题。读完后，不看题想一想，用自己的话说一说题目中已知的条件和问题，并指导学生想想，根据已知的条件可以求怎样的一些问题，或者从问题出发找解决问题所需要的条件，以此培养学生独立分析的能力。如在教学百分数的应用题后碰到了这样一题：

建造这座污水处理池，实际投资比原计划节约10%。

（1）节约了4.8万元，原计划投资多少万元？

（2）实际投资43.2万元，原计划投资多少万元？

学生通过读题明确了两题虽然所求的问题是一样的，但是已知的条件是不同的，解答方法也是不同的：第一小题中的100/0和4.8万元是两个相对应的量，所以只要用4.8÷10%=48（万元）就可以很快求出原计划的量；而第2小题由于10%和4.8万元不是两个相对应的量，所以，要先求出实际是原计划的百分之几再求原计划的量，即用43.2÷（1-10%）=48（万元）。这样，学生在读题时抓住关键字词审题，不仅锻炼了思维能力，还提高了解题的正确率。

2 批划性的读

即用自己喜欢的、不同的符号将题中表达情节和数量关系的或者重要的词语划下来，帮助理解题意，疑难之处也应标出来（箭头、圆圈、横直线、曲线等），主要目的是为了了解每个数量的意义及数量问的内在关系，把列方程解复合应用题的思考重点引向寻找主要数量关系方面。

如：“六年级学生植树的棵数是五年级的2倍少15棵”，要求学生说出以五年级学生植树棵数作为标准单位“1”的量，即1份数，其关系式就是五年级学生植树的棵数×2-15=六年级学生植的棵数。又如“甲乙两个铺路队共同铺设一条长117千米的路”，要求学生填写完整下面的关系式0=117，1170=（里填所表示的数量，0里填运算符号）。以上两题的教学，可让学生把单位“1”的量，也就是题目中五年级和等量关系中关键的字共同圈出来，这样不仅训练了学生分析应用题的一般思路，而且也培养学生的有效思维能力。

二、通过一题多解加强多向思维练习，培养思维的发散性

有些应用题用列方程解答时方法并不是唯一的，这就要求我们在学习中注意训练学生从不同角度寻找等量关系，开拓学生的解题思路，引导学生运用不同的方法解答。

变换不同的等量关系式也能获得不同的方程思路，如教科书中的这样一道例题：西安的大雁塔高64米，是小雁塔的2倍少22米，小雁塔高多少米？学生读题后可能得到以下的数量关系：小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度；小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22：小雁塔的高度×2-大雁塔的高度=22。学生得出一种解法后就可引导学生把主要等量变换，由此列出不同方程2X-22=64，2X=64+22和2X-64=22。

在引导学生获得多种解法的过程中，有些学生可能会列出算术解法的方程，如对例1列出X=（64+22）÷2。这时要组织学生从算术解法和方程解法两种思路的本质差异上加以区别。方程解法是从等量关系出发，由已知推算未知，顺着题目的意思分析，而算术方法解答时有学生就会发生先除以2再加上22的想法，这样就是错误的。但如果用方程解答的话就克服和避免了这样的错误。另外，要求用方程解的同时也应注意会用算术法解。

如解答这类题：把一块棱长10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形零件。这个圆锥形零件的高约是多少厘米？（得数保留整数）学生可以根据圆锥的体积等于正方体的体积列方程解答，也可以用圆锥的体积乘3除以底面积解答。学生用这两种不同的方法解答后发现用方程只要顺着题目解答思路比较清晰，而算术方法解答要先用体积乘3再计算，而体积乘3是学生最容易遗忘和发生错误的。

这样，学生掌握两种不同的思路，体会到用方程解逆向复合应用题的优越性，提高用方程解答应用题的熟练性。

三、通过检验加强良好习惯养成，培养思维的准确性

少数学生对应用题中的数量关系一知半解，有时虽然解答了但仍不知正确与否。为了杜绝此类现象发生，要求学生在确定计算步骤、列出算式后，不要忙于计算结果，先试着讲出算理，再看是否合乎题意，是否正确地反映数量关系，检验自己的思维是否正确。另外，有的题虽然计算出结果，但还应要求学生根据题意估算结果是否合理。

例如：“北京颐和园的总面积290万公顷，其中水面面积是陆地面积的3倍，问水面面积和陆地面积各是多少？”当学生列出方程解答出答案后，教师不要急于判断对错，让学生估算结果是否符合题意。（1）陆地面积和水面面积哪个大；（2）陆地面积和水面面积的总面积是否是290万公顷；（3）陆地面积和水面面积是不是3倍的关系。

第11篇

1.知识技能

（1）理解反比例函数的概念。

（2）结合问题条件，得出反比例函数的表达式。

（3）根据反比例函数的特征，判断一个函数是否是反比例函数。

2.过程与方法

探索现实生活中数量间的反比例关系的过程，培养学生的自主探索能力。

3.情感态度与价值观

学生经历知识的探究和生成过程，充分认识到反比例函数是描绘现实生活中数量关系的一种数学模型，学生在探究中体会收获新知的快乐，从而激发他们积极参与、大胆实践的精神。

二、教学重点

理解反比例函数的概念。

三、教学难点

体会反比例函数是实际生活中描述数量之间关系的一种模型，给我们解决现实问题提供了便利。

四、教学过程

1.生活数学

写出下列生活问题中变量之间的函数关系式。

（1）一辆汽车从南京开往上海。若行驶的速度是70（km/h），那么这辆汽车通过的路程s（km）与时间t（h）之间存在的关系是？

（2）一个银行为本县社会福利厂提供了30万元的无息贷款，该社会福利厂的年平均还款额y（万元）与还款年限x（年）之间存在的关系是？

设计意图：从生活入手，营造轻松的学习氛围，体现数学的生活化，用数学符号建立等量关系，反映数学问题中的数量关系，培养学生的建模思想。

2.观察交流

在上述问题中所列出的关系式中，你对这些函数关系式熟悉吗？

3.探索活动

其余的是函数表达式吗？

利用关系式t=―完成下表并回答问题：

随着速度的变化，①v越大时，t越___；反之，v越小时，t越____。②对v的每一个值，都有______一个t值与它对应。③时间t是速度v的函数吗？为什么？④v与t的积是一个____ 值（即为300）。

设计意图：引导学生回忆函数的定义，通过探索、交流，类比得出其余的是函数表达式，既渗透了数学的“类比”思想又突破了难点。

定义：一般的，形如y=―（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数。

注意：反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

4.例题讲解

判断下列关系式，思考y和x之间是否是反比例关系？如果是，指出k的值。

① y=―；② y=-―；③ y=-x+1；④ xy=1； ⑤ y=― ；⑥ y=3x-1。

结合刚才的事例，总结反比例函数的三种不同形式的表达方式。

y=―，（k为常数，k≠0）。

xy=k，（k为常数，k≠0）。

xy=kx-1，（k为常数，k≠0）。

设计意图：通过识别反比例函数式，使学生加深对反比例函数的定义的理解。

5.巩固练习

（1）下列表格中给出的是变量y随x变化的对应关系，其中有一个是反比例函数，请将其找出来。

设计意图：设置此题，体现比较隐晦的反比例函数关系，突破了难点。同时强化了本节课的重点和难点。

（2）已知函数y=3xm-7是正比例函数，则m= _______。

变式：已知函数y=3xm-7是反比例函数，则m=________。

若函数y=（m-3）x-1是反比例函数，则m=________。

若函数y=（k+1）xk -2是反比例函数，求m的值。

设计意图：使学生更加牢固地掌握反比例函数的概念，有效地培养了学生一题多变的学习习惯，有利于培养学生的发散性思维。

（3）函数表达式可以表示怎样的实际问题中变量之间的关系？你能举出这样的实例吗？小组内互相交流。

设计意图：本题既有利于培养学生的发散性思维，还很好地把数学和德育结合起来，对学生进行了一次成功的思想教育。

6.小结与思考

（1）数学知识。

（2）数学思想方法：建模思想、类比思想、转化思想。

7.作业

第12篇

关键词：探究式教学；教学反思

■问题

（江苏2011，20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛an｝的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．

（1）设M=｛1｝，a2=2，求a5的值．

（2）设M=｛3，4｝，求数列｛an｝的通项公式．

作为压轴题，着重考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查学生分析探究及逻辑思维能力，但标准答案解法较抽象，学生表述困难．解题思路教师都难想到，更何况是学生．

由于第1问较简单，从略，本人选取了符合学生认知规律的解法对第2问进行了探究式教学，过程如下，与同仁交流．

■探究

教师：第2问，M=｛3，4｝，k值可能为多少？又能得到怎样的关系式？

学生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②

教师：①中，怎样做才能得到各项之间的关系？

（学生沉默一会）

学生2：根据①再写一个等量关系，将它们作差，但不知行不行．

该生接着说，

Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′

①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．

②中，类似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．

（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛an｝成等差数列．

学生3：｛an｝不成等差数列，因为它们不是相邻三项之间的关系．

教师：对，怎样才能找到相邻三项之间的关系？（提示一下）

由（*）知｛an｝每隔两项成等差数列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差数列；

由（**）知｛an｝每隔三项成等差数列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差数列．

学生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．

学生5：｛an｝每隔一项成等差数列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差数列，则an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．

故｛an｝成等差数列．

学生6：｛an｝不一定成等差数列，因为n≥8，所以从第9项起成等差数列．

教师：设从第9项起公差为d，再探究前8项是否成等差数列，公差是否相同．

（沉默一段时间）

学生7：（急切地站起来），我将（*）（**）两式分别用几个值代入，

得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11， 2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13. 最下面一行两个等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再将第二组相邻两行两个等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．

（全班学生鼓掌）

教师：如何确定第一、二项之间的关系？

学生8：由起始关系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．

由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．

由③④解得a2=3，d=2，

所以an=2n－1．

教师：解题的关键在何处？是如何处理的？

学生9：在等量关系式①②中消去常数S3，S4，从一个等量关系式中构造出一个等式（用n+1代n），再将它们作差．

■拓展

教师：M=｛3，4｝，换成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通项公式an仍可以求出吗？

（学生沉默一会）

学生10：M=｛2，3｝，方法和刚才一样，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，

则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．

学生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立． M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差数列．

学生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，

从而an=2n－1，其余形式不行．

本探究过程自然、合理，合乎学生的思考习惯，对培养学生逻辑思维能力、推理能力大有裨益．

■溯源

本高考题是在《教学大纲》《考试说明》的要求下，重点考查了等差数列这一C级知识点，假设｛an｝成等差数列，则Sn=An2+Bn，然后构造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）这个条件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）

对n∈N*恒成立，则2Ak2=2k2，2Bk=0 （k≠0），所以A=1，B=0. 从而Sn=n2，an=2n－1.

最后用k=3，k=4两个条件确定这个数列，该数列就成了等差数列． 由于函数的表达式与数列通项既有联系又有区别，故反过来推导出等差数列就困难得多．

■反思

1. 注重教师素养提升

随着课改的深入，教师不仅要重视教学结果，而且越来越要关注教学过程，教师除了将主要精力放在学生身上，也越来越注重自身发展，努力提升自己的教育教学素养． 对于习题讲解，首先教者要“沉”下去，亲自做一做，想一想，找到符合学生认知规律的最优解法，不能“人云亦云”，决不能“拿来主义”，课堂上生搬硬抄标准答案．

2. 鼓励学生自主探究

建构式理论告诉我们，只有把知识的“根”扎在学生自己的经验里，才能实现真正意义上的建构． 学生利用自己的经验去感受、理解知识的产生与发展过程，通过课堂教学活动养成自主探究的习惯，学生能讲的让学生讲，学生能做的让学生做，学生的解题方略与“标准答案”有差距，加以肯定，尽可能激发学生的灵感火花，对一些独到的解法应及时鼓励和表扬．