时间：2023-05-30 09:05:43
教学目标：
1.使学生通过剪拼、平移、旋转等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式，能正确计算它们的面积。
2.使学生通过列表、画图等策略，整理平面图形的面积公式，加深对各种图形特征及其面积计算公式之间内在联系的认识。
3.使学生经历操作、观察、填表、讨论、分析、归纳等数学活动过程，体会等积变形、转化等数学思想，发展空间观念，发展初步的推理能力。
教学重难点：
教学重点：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式。
教学难点：理解三种图形面积公式的推导过程，运用公式解决面积的计算问题。
第一课时：平行四边形面积的计算
教学目标：
1.在学生理解的基础上掌握平行四边形面积计算公式，能正确地计算平行四边形的面积。
2.使学生通过操作和对图形的观察、比较，发展学生的空间观念，使学生初步知道转化的思考方法在研究平行四边形面积时的运用。
教学重难点：
教学重点：理解并掌握平行四边形的面积公式
教学难点：理解平行四边形面积公式的推导过程
教学过程：
一、知识点复习与回顾
师：请大家说出你认识的一些平面图形。
生：正方形、长方形、三角形、圆形、平行四边形、梯形……（学生列举了各种常见图形）
师：哪些平面图形的面积你会算呢？
学生能够说出正方形和长方形的面积计算公式，过往的知识学习中这部分内容有学过。
师：今天我们就要再来学习一种最为常见的平面图形――平行四边形的面积计算方式。
二、新知导入
1. 教学案例1：教师出示两个底边长相同，高相等的长方形和平行四边形，随后问大家：这两个图形面积的计算方式是否相同呢，请大家在小组内进行讨论。
学生在小组内热烈地探讨起来，得到的答案各不一样。有的觉得是一样的，有的觉得这是两个图形，面积肯定不一样。
师：今天我们就要来进一步研究一下，这个平行四边形的面积应当如何计算，学会了计算方法后大家就可以很好地分辨这两个图形的面积计算方式是否一样了。
2. 教学案例2：
师：（教师出示一个平行四边形）大家想想可以通过怎样的转换将这个平行四边形变成我们学过的图形呢？
学生积极思考起来，大家想到了各种不同方案。
方案：①将平行四边形右边的那个三角形剪下来；②将这个三角形平移到它的左边；③将两个斜边相互重合，这样平行四边形就变成长方形了。
3. 组织学生相互讨论：①平行四边形变成长方形后，它的面积和原来的面积仍然一样吗？②平行四边的长和转换后的长方形的长有什么关系呢？③平行四边的宽和转换后的长方形的宽又有什么关系呢？
4. 知识归纳与总结：转换后平行四边形的长与宽都和长方形的长与宽一致，故得出：长方形的面积计算公式：S=长×宽，平行四边形的面积计算公式：S=底×高。
5.知识提问：
师：从上面的推导中让我们找到了平行四边形面积的计算方式，那么请大家思考，是不是所有的平行四边形都可以转换为长方形呢？并且进一步得出平行四边形的面积计算公式呢？大家请翻看教材的第113页，从中选取一个任意平行四边形，然后计算其面积。
三、巩固练习
1. 透过试一试练习让学生进一步明确，平行四边形面积的计算公式在应用时需要两个条件，即底和高，教师进一步给学生强调底和高的相互对应关系。
2. 教师给学生列举各种不同的平行四边形，并且分别给出图形的底和高，让学生来对它的面积展开计算。以此巩固学生对知识的理解与掌握。
四、知识总结
师：大家来说说，通过本堂课的学习，大家有哪些收获呢？
生：我知道了怎么将平行四边形进行转换，把它变成长方形就能够求它的面积了。
师：大家的总结都非常好。
教师将本堂课的教学重点以板书的形式和学生进行梳理，巩固学生对知识的理解与掌握。
关键词：引导学生;错误;课堂教学
课堂教学是一个动态的、开放性的生成过程，学生在课堂中出现错误是很正常的，也是不可避免的。因此，教师对学生在课堂中出现的错误不能视而不见，而要以平和的心情、坦诚的态度接纳学生的错误，更要挖掘错误中的有效资源合理应用，演绎出精彩的数学课堂。
一、故设陷阱，诱发兴趣
教学中，利用学生已有的知识经验、思维定式，设置“陷阱”，让学生在认知过程中显露一些错误的观点，引发认知冲突，激发学生的探究兴趣，使学生学中有思、思中有悟、悟中有乐。例如教学“面积和面积单位”，学生知道边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米;边长是1分米的正方形，面积是1平方分米;边长是1米的正方形面积是1平方米，并会用手势表示。紧接着我提出：边长是3厘米的正方形，面积是多少平方厘米？大部分学生脱口而出3平方厘米，是3平方厘米吗？（师追问）部分学生有些迷茫，部分学生窃窃私语。请同学们小组合作用学具摆一摆（学生动手操作）。片刻，大部分小组摆出了图形（每一个小正方形边长是1厘米），看着自己摆出的图形，同学们笑了……原来边长是3厘米的正方形的面积不是3平方厘米而是9平方厘米。我又提出：如果一个正方形的边长是5分米，它的面积是多少平方分米？学生兴趣高涨，相互合作摆了起来，很快得出：边长是5分米的正方形，面积是25平方分米。我及时提问：哪一组来说说你们的想法？（鼓励学生大胆发言）生1：因为我们组摆了25个边长是1分米的正方形，所以面积是25平方分米。生2：我们横着摆了5个正方形，竖着摆了5个正方形，5×5=25，所以面积是25平方分米……
当学生的认知有所偏差时，教师不能果断作出定义，要把问题抛给学生，让学生去思考，去发现问题的根源所在，激发学生的探究欲望，增强学习兴趣，体验知识的生成过程，同时也使学生的思维能力得到了提高。
二、将错就错，因势利导
课堂是学生出错的地方，尤其在解决问题的过程中，因学生的年龄特点、认知水平和思维能力的制约，对问题的理解不够深刻，只会到问题的表面现象，缺乏深层挖掘。因此，教学中教师要“善待”学生的错误，捕捉错误中的“闪光点”并有效应用。例如教学长方形面积时，有这样一道题：光明小学有一个长方形操场，长70米，宽60米，学校扩建校园时，长增加了15米，宽增加了10米，扩建后操场的面积增加了多少平方米？学生读完题目后很快得出：操场的面积增加了150平方米，即15×10=150（平方米）。面对学生的错误答案我没有立即评价，而是将错就错：“原来增加了的面积是一个长方形，你们能画出这个长方形操场及增加的面积吗？”同学们动手画出了学校操场的示意图，从图中看到增加了的面积不是一个长方形而是一个L形，在恍然大悟中似乎明白了其中的一些道理，马上根据图文结合，仔细观察，认真分析，合作交流，找到了解决问题的突破口，得出了几种不同的解答方案。方案一：15×（60+10）=1050（平方米），70×10=700（平方米），1050+700=1750（平方米）;方案二：（70+15）×（60+10）=5950（平方米），70×60=4200（平方米），5950-4200=
1750（平方米）;方案三：15×60=900（平方米），（70+15）×10=850（平方米），900+850=1750（平方米）。
当我们发现学生出错时，不要立即给出结论，先以平常的心态接受学生的错误，然后进行正确引导，让学生去思考，寻找解决问题的策略，定会绽放出智慧的火花和创新的光芒。
三、巧用错误，创造资源
苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者。”教学中，教师“以错为媒”，巧用错误中的有效资源，引导学生自主探究，努力使学生成为一个发现者、研究者、探索者，我们的数学课堂才会更加生动、精彩。例如：果园里有苹果树480棵，比桃树棵树的2倍少30棵，桃树有多少棵？学生读完题目后，列出算式：方法一：480×2-30=930（棵）;方法二：480÷2-30=210（棵）;方法三：（480-30）÷2=225（棵）。看到学生列出的错误算式我没有反驳，笑了笑，提问：“哪一种方法正确呢？”“谁有什么办法验证一下？”学生的思维得到了激发，有的学生相互讨论，有的学生画线段图。在师生的共同探讨中，学生找到了错因所在，列出了正确算式：（480+30）÷2=225（棵）。这时我趁机追问，如果以上算式是正确的，该如何改编题中的条件？一石激起千层浪，学生兴趣高涨，沉浸在喜悦的探索之中。
因而，在教学中我们要善于发现学生的错误，鼓励学生大胆质疑、积极思考，并留给学生充足的时间，让学生分析错因，发现错误中的“亮点”，发挥潜在的价值。
总之，教学中教师要善于捕捉和挖掘“错误”中的有效资源，发挥其作用，演绎精彩的数学课堂。
参考文献：
[1]张治平.原来“错误”可以如此美丽[J].中小学信息技术教育，2005（9）.
【案例】张大伯在他家的院墙边用篱笆围一个羊圈。已知篱笆的总长是24米，请你帮他围一围，怎样围羊圈的面积才能尽可能的大？最大面积是多少？
生1：我的列式是：24÷4=6（米），6×6=36（平方米）。（如图1）
师：我们已经学过长方形和正方形的周长和面积，我们知道，在周长一定的情况下，围成的正方形面积比长方形的面积大，所以围成正方形羊圈时面积最大。大家做得都非常好。
师：如果借用张大伯家的院墙，对这题你还有别的想法么？
（生沉思中）
生2：我想张大伯家的院墙可以算一条边，篱笆作为另外三边，围成正方形，他的面积比刚才的还要大。
列式为：24÷3=8（米），8×8=64（平方米）。（如图2）
（师故意露出疑惑的神情，表示征求大家意见。）
师：你们认为能这样围吗？面积大吗？
生2：我同意这种想法，他能联系生活实际考虑问题，真棒！
（又有几个学生憋红了小脸，跃跃欲试。）
生3：不对，我发现当面积是64平方米时不是最大的羊圈，我是这样想的：以院墙为一边，作为长方形的长，用篱笆围成另外三边，而且围成的长方形的宽是长的一半，这时面积最大。
边说边画图演示，边列式：24÷2=12（米），12÷2=6（米），12×6=72（平方米）。（如图3）
生4：我还有不同意见，我想院子里的围墙不可能只有一面，如果利用院墙一角去围一个羊圈，面积可能会更大些。我是这样计算的：
24÷2=12（米），12×12=144（平方米）。（如图4）
生5：如果院子足够大，院墙足够长，我以院子为羊圈的三边，可能围出更大的羊圈来……（如图7）
师：同学们能联系实际，想出这么多解决问题的办法，不简单！下面请同学们小组合作，先画出不同的围法示意图，再列出相应的算式来，比比哪组想的方法多。
生积极思考，交流，一共给出了下面几种方法：
【思考】
在生活中我们经常遇到类似围羊圈的问题，在教学中教师通过创设活动情境激发学生的学习兴趣，既开拓了学生的思维，又培养了学生利用所学知识解决实际问题的能力。
1.预留空白——此时无声胜有声
就课堂教学而言，预设是必要的。精心的预设无法全部预知，精彩的生成课堂教学是一个动态生成的过程，再精心的预设也无法预知整个课堂的全部细节。在本次案例中，教师追问后便将问题抛出，给学生留白的空间，为学生提供讨论交流的机会，激发起学生“兴奋”的学习状态，从而使教师与学生、学生与学生之间产生了思维的互动。学生的思维打开后，纷纷发表自己的观点，从而活跃了课堂气氛，演绎出未曾预约的精彩。
2.回归生活——为有源头活水来
关注、尊重儿童的生活世界，让数学学习一味地从“拓展知识”转向“回归生活”是课程改革的主旋律，而数学学习也应该成为学生通往美好生活以及塑造美丽心灵的一条通道。通过长方形和正方形的面积和周长的知识我们知道：在周长一定的情况下，围成的正方形面积比长方形的面积大，所以，学生的第一反应就是要用24米的篱笆围成正方形羊圈。至此，教师也认为这道题的教学已经结束了，且答案也很圆满。但这只是一个抽象的数学模型，数学模型虽然来源于生活，但是与生活有着一定的差异，所以教师必须要让数学模型回归于生活并与实际应用相对比，通过对比拓展学生的思维。本节课教学中的一个“小插曲”，却改变了这种想法。它将数学融合到生活中，借助“墙”来深化此题。“理论上灰色的，生活之树常青”（歌德）。让数学课堂接通生活的源头活水，会使原本抽象枯燥的知识变得鲜活起来，会使原本单调沉闷的数学课堂变得丰富多彩起来。
一、运用教学机智灵活利用“意外”，打造精彩课堂
课堂教学是一个动态生成的过程，就算是预设得再充分也不可能把课堂的每个“意外”都预设到位，如何处理这些非预设中出现的“意外”呢？对这些“意外”处理的好坏可能会直接影响整堂课的教学效果，本人结合课堂案例谈谈自己的几点策略。
1.顺水推舟，生成课堂亮点
在平时的课堂教学中，学生带着已有的知识、经验、情感等参与了课堂活动，因此有时会根据自己的想法提出一些教师预料之外的问题，而有些“意外”是非常有价值的，教师在课堂中要抓住这些有价值的“意外”资源，顺水推舟引领学生去探索，去研究，让它成为课堂的亮点。
[案例1]“图形的周长与面积“教学片段
在教学时，教师设计了以下三个问题让学生讨论：
（1）计算周长是31.4厘米的正方形和圆的面积并比较面积大小；
（2）猜想周长相等的正方形和圆，谁的面积大？
（3）能否用数学方法验证上述猜想？
（大约5分钟后，教师按照设计好的几个环节，由易到难的顺序逐个让学生反馈）
生1：周长是31.4厘米的正方形边长是31.4÷4=7.85厘米，面积是7.85×7.85=61.6225平方厘米；周长是31.4厘米的圆半径是31.4÷3.14÷2=5厘米，面积是3.14×5×5=78.5平方厘米。所以圆面积大。
生2：从第（1）题的比较结果看，我猜想周长相等的正方形和圆，圆的面积大。
师：其他同学的猜想呢？
生（齐答）：和生2一样。
师：能用什么方法来验证这个猜想呢？
生2：假设周长为C，正方形的边长是C / 4，面积就是C的平方 除以 16；圆的半径为C / 2π，圆的面积是C的平方除以 4π，很明显圆面积大，所以周长相等的正方形和圆，圆的面积大。
（正当学生对揭开这数学奥秘而高兴，教师也打算继续往下讲授的时候，突然有一学生高高举起手，满脸疑惑地看着教师）
生3：我想，如果用同样长的铁丝围成正五边形、正六边形……它们的面积会比正方形大吗？
（教室一下安静下来）
师（顺势推波助澜）：多有价值的问题啊u谁有办法帮他弄清楚？
生4（激动）：可用同样的图来证明。正五边形由5个这样的三角形组成，三角形的底是C / 5，设它的高为h，那么面积就是Ch / 2，由此类推，正多边形的面积都是Ch / 2。可以想象，当多边形的边数无限多时，此时正多边形的周长近似于圆的周长，正多边形的高越来越接近于圆的半径，所以正多边形的面积起来越接近于圆的面积。因此，我们可以知道，周长相等的正多边形的面积，边数多的面积比边数少的面积要大。
（这个想法很多在座听课的教师都始料未及，更重要的是大家被该生精彩、严密的回答惊呆了，不由自主地鼓起掌来）
当学生通过推算得出“周长相等的正方形和圆，圆的面积比正方形的面积大”这个结论时，教师已经完成了教学目标，而当一位学生想出“用同样长的铁丝围正五边形、正六边形……它们的面积会比正方形大吗？”这个“意外”的问题是教师预设外的，如果这位教师为了下面的内容而把这个资源放过就不会有后面精彩的课堂。所以对于这些意料外的有研究价值的问题教师要做到善于捕捉，让它成为这节课的亮点。
2.化误为悟，成为新知起点
学生出现错误是成长过程中必然的经历，在数学课堂中学生会常常出现意料之外的错误。而这些意外的错误大都是极有价值的教学资源。如何让这些“意外”成为学生学习新知的起点呢？教师要善于捕捉课堂中这些有价值的资源，巧妙地修正、辨析错误，引发学生参与的热情，让学生的真知灼见在“纠错”的过程中绽放，更好地促进学生的认知发展。
【案例2】“化简比”教学片断
师：这道题你们是怎么想的？
生1：我发现前项和后项的分子都是3，所以比就是前项和后项的分母比了。
（听到学生这样的回答，我愣了一下，备课时根本没考虑到会有这样的错误，但这样的题目有没有什么规律呢？在经过短暂的考虑后我决定改变自己的教学设计，给出时间让学生去验证）
师：通过观察我们发现这位同学的结果是不正确的，但前、后项分子相同时，这两个分数的最简整数比有没有规律呢？大家自己去试一试、找一找。
当学生出现错误时，我很庆幸自己没有只是判断对错就进入下一步骤了，而是抓住这个“意外”所带来的契机，给时间让学生自己去尝试、归纳、总结，才会有后来那么精彩的生成，而这一切都是由一例错误引起的。因此在课堂中教师要抓住这些“意外”资源，使其形成课堂上新的精彩。
3.以变制变，突破知识疑点
在平时的课堂中，在实施教学预案的过程中，常常会出现学生的活动偏离我们的“预设”，出现意外的学习通道。这时教师应以变制变，灵活展开教学，不能拘泥于预设的教案不放，应及时抓住这个意外的通道，根据需要调整预设目标，重新设置适应学生需要的教学流程，从而创造出更加精彩而互动的课堂。
【案例3】“一个数除以分数”教学片断
最后，教师和学生又对所有的计算方法进行了比较，发现当被除数的分子、分母能被除数的分子、分母分别整除时，用分子除以分子的商作分子，分母除以分母的商作分母这种计算方法比较简单；而一般的分数除法计算题，还是把除法变成乘法计算比较简便。这样就让学生进一步体会到更具有一般性的算法。
在课堂中学生提出自己的疑问时，教师并没有按照自己预设的教案进行下去，而是放弃原来的预设教案，重新调整预设目标，为学生搭建个体经验交流的平台，并在学生学习活动中加以指导和培养，收到了较好的课堂效果。
4.以幽代批，创造课堂乐点
课堂教学中并不是所有的“意外”都是有价值的，有时出现的“意外”不但和教学无关的，还会干扰正常的教学过程。例如某个学生的文具盒掉了，某个学生凳子没坐好摔到了，等等，这些“意外”会打断正常的教学秩序。但是如果教师能善待这种“意外”，利用幽默的语言把“意外”转化成课堂的“调节器”，让学生在连续的学习中得到放松，有时也是一次教育良机。
有一次，上课已经十几分钟了，正当学生聚精会神地听课时，有一个迟到的学生在门外喊“报告”。打开门的一刹那，我看到那个学生低着头，显出一副很窘迫的样子。为了打破僵局，我笑容可掬地对她说：“你来迟了，这是不对的。但有一点我们应该感谢你，因为你的到来，给我们带来了新鲜的空气，也让我们看到了门外的阳光！”她笑了，所有的学生也都笑了。
这样既避免了迟到学生的尴尬，又活跃了课堂气氛，而且下课后再对迟到的学生进行一些思想教育，既不会打乱原来的课堂秩序，又保护了迟到学生的尊严，达到教学与教育两不误的效果。
二、提高课堂“意外”的处理能力，保证精彩课堂
苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”数学课堂是千变万化的，面对课堂上的意外，我们要处乱不惊，善于运用自己的智慧，调动平时所积累的知识，灵活机智地处理偶发事件，幽默含蓄地扭转尴尬局面。而这种课堂的调控能力不是教师一下子就能学会、掌握的，不是一朝一夕就能培养的，需要在平时教学中不断地积累。我认为可以从以下几点加强自身对课堂“意外”的处理能力。
1.对课堂“意外”教师要有正确的态度
在当前的教学中，教师对课堂教学追求的效果跟课前预设一致，也要学生的回答要一样，稍有闪失，便自责不已，甚至对学生有所抱怨。还有很多教师对课堂“意外”唯恐避之不及，特别是一些新教师最怕课堂出现“意外”，一旦出现偏离教学预设的“意外”就手忙脚乱，不知所措。面对“意外”我们是在举措茫然中维护自身权威，错失一个个教学良机，还是捕捉住学生的“灵光一现”，拥有一份意外的惊喜？那将取决于如何看待这些“意外”。显然，面对课堂意外，寻找意外之处的惊喜，是我们应该追求的。
2.教师不断地实践、反思、总结，积累经验
如何让一次次的“意外”生成一次次的“精彩”呢？有人说这需要教师具备较强的课堂控制能力和教学应变能力。而这些能力不是一朝一夕就能培养的，都需要在平时的课堂中一点一滴累积起来。因此，在平时的教学中教师要时时关注课堂中的“意外”，在每次处理过程中做好反思，总结经验。只有不断地反思、总结，才能应付下一次的“意外”，让“意外”成为“精彩”。
3.教师要不断学习，加强自身水平
只有“肚”里有“货”，才能应对瞬息万变的课堂教学，才能把“意外”变成“精彩”。一方面教师要博闻强识，加强文化底蕴，苦练基本功，全方位提高自身的修养，提升自身的综合能力。一方面要不断探索教育理念和教学方式，不断加强自身的学习，提升知识和人文的素养，做一个学习型、研究型的教师。
【案例1】 平行四边形面积的计算
片段1
师：同学们，我们已经学会计算长方形、正方形的面积，生活中有时候还需要我们计算平行四边形的面积。刚才，老师发给每个同学一张纸，纸上印有一个平行四边形（如图），看我们的同学谁会动脑筋、想办法，计算出纸上平行四边形的面积，并知道平行四边形面积的计算方法可能是怎样的。下面，每个同学就开动自己的脑筋思考吧！
富有挑战性的问题，激发了学生积极参与探究实践活动，只见有的学生在画着，有的学生在量着，有的学生在计算着，有的学生则愣着，也有的学生忍不住抱怨着：它没告诉什么呀，怎么算？老师悄悄地走过去，小声地问：告诉什么，你就能算了？你有办法自己去知道需要的条件吗？得到启发，该学生也拿尺量了起来。教师友善地提醒大家：请注意，量出的长度会有误差，请你取整厘米数。对于个别没有思路的同学，教师轻声地启发，如果是长方形的话你能算出它的面积吗？你有办法把它转化成长方形吗？再想想吧！
大约过了3、4分钟，绝大多数学生有了自己的答案。我认为，有效的课堂是在教师的有效引领下以学生的独立思考，形成各自的想法为前提的。教师没有进行这样的导入：在黑板上画一个平行四边形，告诉学生这节课要学习的是计算平行四边形的面积，并提问：我们能不能把平行四边形剪拼成长方形。我们可以沿着哪条线剪开，能正好拼成一个长方形？引导学生操作实践，进行观察、比较……因为这样的导入，教师已经给出了解决问题的思路，学生只要执行老师的指令，就能轻易得出平行四边形面积的计算公式，没有机会，也不需要进行自己的思考，不可能形成真正属于自己的想法。而需要学生形成各自的想法，首先就应该让学生积极地独立思考、自主探索，并且力求使全体学生积极参与。
片段2
师：同学们，有结果了吗？
（学生犹豫地陆续举起了手）
师：我只要结果，谁先来报一报你的结果是多少？
生：这个平行四边形的面积是35平方厘米。
师：有不同答案吗？（有同学激动地站起来举手说“有！”）
生：我的答案是28平方厘米。（还有同学想说，高高地举着手。）
生：我算下来是32平方厘米。
师：还有没有？（这时，没有学生再举手了。）
这里，老师做得非常好！让同学把不同答案说出来，再说想法。其实，老师是不知道正确答案的。试想，如果老师先让正确的学生汇报，把想法和答案都展示出来，教师再给予充分肯定与表扬，这时课堂上又会是怎样的情景，想必一些算错的学生，或者一些对自己想法没有把握的学生，他们就很难有勇气把自己的想法展示出来。当然，这种勇气也是需要培养的，但人都有一种求成的欲望，更何况是小学生，很有可能，个别学生的正确答案替代了教师的讲授，而没有了学生之间不同想法的交流、思维的碰撞，思维的火花也就不可能产生。
【案例2】 《三角形内角和》教学片段
在探究得出三角形内角和是180°后，学生顺利地完成了基本练习，接下来是一道拓展练习题。四边形的内角和是多少度？
生：四边形的内角和是360°。
师：你能说明为什么吗？
生：因为长方形和正方形它们四个内角都是直角，90°×4=360°，所以我觉得一般四边形的内角和也是360°。
师：这位同学是从特殊到一般，得出四边形的内角和是360°，谁能进一步说明为什么吗？
生：我在四边形里面画一条线把它分成两个三角形，每个三角形的内角和是180°，两个就是360°。
师：大家同意他的意见吗？
学生表示同意，老师也表扬了这位同学的重大发现，正当老师准备进行下面的环节时。一个同学站了起来，说出了他的发现。
生：老师，我不同意刚才那个同学的意见，我认为他的方法是错误的，我用他的方法试了试，在四边形里面画两条这样的线，就分成四个三角形了。内角和就是720°，多了360°。这位学生的解释让老师犯难了，但这位老师并没有简单地说他的发现是错误的，而是将这个问题抛给了大家。
师：这位同学很细心，发现画两条线就多出了360°为什么会多出360°呢？请大家和这位同学一样，在四边形里面画两条对角线，仔细思考，分成的四个三角形内角和与原来四边形的内角和有什么关系？
显然，这个意外是学生一次错误的“发现”，但这个错误本身是有研究价值的。讨论中学生发现，多出的360°是因为在对角线交点处，就增加了一个周角，而这个周角不属于四边形的内角，计算四边形的内角和时要减掉这多出来的360°。
寻找、思考和交流的过程，正是学生空间思维和逻辑思维能力得到发展的过程。这是一个错误，更是一次机会。老师并没有往下进行预设的环节，而是引领学生让他们去操作、去分析、去讨论，从而把这个生成转化为宝贵的课程资源。
实践告诉我们，每位学生都有学习数学的潜力，在整个教学过程中，让学生不断生成问题、解决问题，教师在其中要善于挑起“矛盾”，引发疑问，引起争论，促使学生进行深入思考。教师的任务就是科学地、有效地引领学生自己去发现，自己去探索，在精彩的生成中体会浓浓的数学味。因此，一个富有生命力的课堂，必定是注重学生学习过程的课堂，一个促使学生的问题不断解决与生成的课堂。
一、“趣”读文本，整体把握
1.有感情阅读
语文学科经常要求学生有感情朗读，其实数学也不例外，一些文字、图形、符号等文本同样需要学生正确的语感、图感与符号感。在教学时，引导学生对关键字、词读得响亮一些，既可以防止学生“有口无心”式阅读；又能突出关键内容，为解题打下伏笔；同时还能增添阅读数学的趣味。
案例一：《面积》单元中《铺地面》的情境图。“小明家有一块边长为1米的正方形地面损坏了，需要多少块面积是1平方分米的方砖才能修补好？”在出示情境图时，让学生先独立阅读，把握整体意思，并且找出重要字词。在读的时候，把题中的“边长”“1米”“正方形”“面积”“1平方分米”读得响亮些。其实在读时就强调了关键信息“用边长是1分米的正方形去铺面积是1米的地面，需要几块”。此外，学生还会注意到单位不同，注意到边长与面积的不同，而不再像以前那样，读了以后一点感觉都没有，甚至单位不同也不知道，顺便用几个数凑一凑就了事了。长此以往，就可以培养学生认真阅读、边读边想的阅读习惯。
2.带手势阅读
在量与计量单元，要学生建立长度单位、面积单位的空间观念是一件不容易的事情。利用手势，引导学生边比划边阅读，能收到意想不到的收获。
案例二：学生在刚开始接触长度单位“米”“ 厘米”“ 分米”和“毫米”时，引导学生边读边用双手不断地比划“一米”“一厘米”“一分米”和“一毫米”具体长度，增加学生对这些单位的感性认识，也能体会到这两个单位之间的不同。同样，在面积单位教学时，也让学生比划“指甲盖”“手掌面”和“教室门的一半”来具体感知它们实际的大小，培养学生的空间观念。这样，在填写单位时，他们会自然而然借助建立的概念去比划、对照要填写的单位，才不会出现诸如 “小明爸爸的身高是175米”的笑话。
二、“巧”读文本，悟出本质
1.圈注文本——突出关键
对新出现的数学定义、定理一般要反复仔细阅读，并进行认真分析直至弄懂含义。
案例三：黄爱华老师教授的《垂直》一课，让我记忆犹新。他用最简约的方式，直接在黑板上呈现“垂直”的概念，通过“读”理解概念的内涵；再通过摆弄教具在对与不对之间体会每一个关键词；最后通过练习理解概念的外延。在课结束之际，他拿出一支红粉笔问学生：“如果叫你用这支红粉笔圈出黑板上最重要的字词，你会圈什么？”学生情绪高涨，把“两条直线”“相交”“直角”“互相垂直”等关键词圈了起来。
2.填补文本——提炼方法
新课程文本结构不再是封闭的，计算法则不以条文形式出现；应用题教学以“用数学”的方式“模糊”出现。因此，根据需要给教材填补空白，提炼解题方法、计算公式、发现的规律，对学生解题、复习文本、叙述概念起到很好的作用。
案例四：《比一比》（认识平均数的意义和求平均数）的文本中，在引导学生通过移多补少的方法得出每队平均每个人投中篮球的个数就是这个队的平均数；也可以通过总数÷人数计算出每队平均每个人投中篮球的个数。而“总数÷人数=平均每人投中个数”这道数量关系式并没有出现在文本里。其实，在求平均数的计算里，除了数目小可以“用移多补少”的方法，很大部分是用这条公式去计算的。本人认为，在理解公式的前提下，让学生在文本中添加这条公式也未尝不可，便于学生记忆、复习巩固。
3.语义转换——洞悉题意
数学语言具有简洁、无歧义的特点，在阅读过程中，读者必须认真感知阅读材料中有关的数学符号、图形符号等，理解每个数学术语。
案例五：如案例一中《铺地面》的情境就需要进行语义转换。将边长为1米的正方形面积里面有几个面积是1平方分米的小正方形，转换成1平方米=（ ）平方分米，体会面积单位之间的换算与进率。引导学生发现1米＝10分米，面积是1平方分米的小正方形的边长是1分米，那么，用边长1分米的小正方形去摆，一排摆10个，摆10排，10×10=100，从而得到1平方米里面有100个平方分米。
一、巧用“差错”，引申拓展，深度探索问题
著名特级教师华应龙提出了“融错求真”的教育思想，让我们真正感受到教育的魅力，领悟到教学的真谛。应该看到，由于受年龄特征和认知特点的影响，小学生在学习过程中往往容易出错，其原因在于审题不细、理解不透、思路不清、方法不当等方面，但有些“差错”还是很有创造性的！教师要珍视这些“差错”，适时引申拓展，引领学生寻觅产生问题的本源，寻求解决问题的多种路径，在“融错”过程中实现尊重、理解和对话。
例如：直角三角形中三条边的长分别是6厘米、8厘米和10厘米，求三角形的面积。
■
在教学中，学生通常会出现这样的一些列式，如：
（1）10×8÷2
（2）10×6÷2
（3）8×6÷2
……
对于10×8÷2和10×6÷2，不少教师会这样评价：
计算三角形的面积是用“底×高÷2”，底和高是互相垂直的关系，而最长边与其中的任意一条直角边都不是互相垂直的关系，所以不能用“最长边×任意一条直角边÷2”。
这样的教学显然没有什么问题，从“互相垂直的关系”这个角度突出了本质，但从“融错求真”的教育角度看，总是显得不够丰满、缺少力度。学生为什么容易生成这样的错误？能不能化腐朽为神奇，让学生从“错误”中发现、从“错误”中求真，进一步探索三角形面积与“最长边×任意一条直角边÷2”之间的关系，丰富学生的数学活动经验，开阔学生的数学视野，并实现中小学教学某种层次的衔接呢？
面对这样的问题，一名教师在教学中进行了下面的追问，并引领学生继续深度探究：
既然最长边与任意一条直角边不是互相垂直的，我们能不能想个办法，把任意一条直角边看作“底”，创造出一组互相垂直的底和高呢？
教师再追问：是否可以尝试在图中构造出一个三角形，并发现它和已知三角形之间的关系呢？
学生的思维顿时活跃起来，他们进入了一种“悱愤而不得”的境界！小组学习迅速进入了积极探索的状态：
生a：创造的三角形的一条底可以是一条直角边，这个三角形的高就等于最长边的长。
生b：三角形的底和高是互相垂直，可以在长8厘米的底上画出一条10厘米的垂直线段。
生c：也可以在长6厘米的底上画出一条10厘米的垂直线段。
……
师：根据同学们的设想，我们不妨这样画图：
■ ■
师：再请同学们观察一下图（1）：这两个三角形的面积有什么关系？
生：两个三角形高相等，小三角形面积是大三角形的■（■）。
生：8×10÷2×■就求出了原三角形的面积。
师：再观察图（2），猜想一下：10×6÷2的几分之几是原三角形的面积？
生：■（■）。
生：10×6÷2×■就求出了原三角形的面积。
师：如果三条边的长分别是a、b、c（最长边）厘米，你能找到不同的计算方法吗？
通过交流、辩论、接纳，学生借助“图形构造”建立了这样的模型：
（1）s=a×b÷2；
（2）s=a×c÷2×■；
（3）s=b×c÷2×■
教师继续引领学生进行比较并得出：s=a×b÷2是最简单的解决问题的模型；借助约分的方法，（2）（3）也可以转化为比较简单的模型。
至此，学生不仅理解了为什么“最长边与直角边相乘的积再除以2”求出的不是面积，更为重要的是知道了用这样的结果去乘一个分数值（另一条直角边是最长边的几分之几）也可以得到三角形的面积，为今后的学习打下了扎实基础。
上面的例子让我们深深地懂得，深度发掘课堂生成资源的意蕴之一在于：“差错”是课堂教学中一道亮丽的风景线，善待差错、巧妙融错会使
我们的教学更加深刻、丰满和有效。歌德说过：“从错误中醒来，就会以新的力量走向真理。”真实的课堂，学生在课堂中出现一些差错是难免的，也是多种多样的，这些生成作为珍贵的教学资源，是可遇不可求的，也是稍纵即逝的。针对差错，教师要有一颗童心，在与孩子交往的过程中，找到接触点和共振点，把握教育的契机。对待差错，教师不应当仅仅是否定或告知正确答案，还要从发展的角度认识这些错误的价值，要允许、认同和接纳学生的错误，并充分发掘其内在的价值，放大生成的效应，让“差错”发挥必要的作用，拓展延伸、深度探索，从而不断提高教学效益。
二、善于比较，优化路径，合理解决问题
在一个不断追求真善美的课堂里，以师生生命为载体的动态生成性资源会随时随地充盈其中。教师应当把握这些以生命为载体的动态生成性资源，使之开放地纳入预设的课程目标之中，让课堂焕发生命的活力，让教学涌动生命的灵性。针对学生的多种生成，教师不应熟视无睹，而应对这些生成进行比较、整合，选择可以利用的资源，培养学生的优化意识，启迪学生合理解决问题的思路。
比如，我校一名老师在学校劳动实践基地里带领孩子们探究了这样的数学问题：
在长10米、宽6米的长方形试验田里种植茄子（四周不栽），已知茄子的行距是6分米、株距是4分米。借助示意图算一算：怎样种植合理？一共可以种植多少棵？
学生出现了多种解决问题的路径：
列式1：10米=100分米，6米=60分米
（100÷6）×（60÷4）≈240（棵）；
列式2：如下图。
100÷6=16（棵）……4（米）
100-4=96（米）
（96÷6）×（60÷4）=240（棵）
60÷6=10（棵） 240+10=250（棵）
列式3：（100÷4）×（60÷6）=250（棵）；
列式4：（100×60）÷（6×4）=250（棵）；
……
学生在小组活动中显露了思维过程，教师根据他们的思维过程组织学生进行比较、辨析、优化。
在方法（1）中，学生的思维轨迹是这样的：宽虽然是株距的整数倍，但长不是行距的整数倍，剩余的面积有浪费，不可以再植苗；
在方法（2）中，学生认为余下的长60分米、宽4分米的长方形地依然可以继续植苗，但行距、株距的设置方向发生了改变。
在方法（3）中，长方形的长是株距的整数倍（沿着长设株距），宽是行距的整数倍（沿着宽设行距），可以用（100÷4）×（60÷6）直接算出总棵数。
在方法（4）中，直接用“总面积÷每棵茄子占地面积”算出总棵数。
教师引领学生对（1）和（2）进行了比较：方法（2）虽然考虑到剩下的面积是否可以再栽，但如果这样栽，整块田就不能保证任意两棵苗之间的行距一致、株距也一致，所以实际种植时不采用这样的方法。
对于方法（3）和（4），教师启迪学生交流：方法（3）是怎样设置株距、行距的？为什么直接用“总面积÷每棵茄子占地面积”算出总棵数方法也是可行的？让学生意识到“沿着长设置株距、沿着宽设置行距”种植比较合理，既保证了整块田每一棵占地的面积相等，棵与棵之间行距、株距均一致，又保证了每一寸土地都不会浪费。
学生的生成有的是预设中的生成，也有的是随机生成，在学生的思考过程展现中，教师要更多地关注不同的思路和方法，让他们在比较中明晰、在比较中优化，从而达成有效的教学效果，这也是深度发掘课堂生成资源的教学意蕴之所在。苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”在学生解决问题的过程中，可能生成多种路径，教师要善于借题发挥，让学生对解决问题的不同路径进行对比、优化，最终合理地解决问题。这样的教学既能给予学生鼓励，又有利于学生的思维发展，提高课堂教学效果。
三、激励互评，丰富对话，深化活动经验
在新课程背景下，尤其要重视课堂教学评价，发挥评价的导向激励作用。教学时教师应当鼓励学生进行头脑“风暴”，多出点子、多想路子，产生更多的生成性资源，有机地进行深层对话、互评促进，不断深化活动经验。
如：在人教版《烙饼问题》中，教师引导学生这样探究三张饼的烙法：
（一）教师设疑：他们三人每人要吃一张饼，怎样才能尽快吃上饼？
学生进行活动：“巧”找合理方法。
1.同桌合作，借助小圆片进行操作。
2.组内交流：你是怎样烙饼的？哪种方法比较合理？为什么？
教师巡视，对有困难的小组进行指导，并提示：可以边操作、边记录哟！
（二）小组汇报展示
方案1：①正①反 ②正②反 ③正③反 共需18分钟
方案2：①正②正 ①反②反 ③正③反 共需12分钟
方案3：①正②正 ①反③正 ②反③反 共需9分钟
……
教师指名学生借助教具进行演示，另一名学生说一说是怎样记录的。
（三）学生进行互评。
教师借助多媒体进行演示，帮助学生深刻理解、再次感悟。
教师引领学生互评、对话。
师：你准备采用怎样的方案？为什么有些方案浪费了时间？
生a：方案1中，锅里总是放一张饼，浪费了时间；
生b：方案2中，先烙完两张饼，再烙第三张饼，浪费了时间；
生c：先同时烙饼1、饼2的正面；再取走饼2，放入饼3，同时烙饼1的反面、饼3的正面；最后取走饼1，放入饼2，用饼2换饼1，同时烙饼2的反面、饼3的反面。
……
对于方案3：教师采用“慢镜头”方式，让两至三个小组的同学进行展示，并借助多媒体放大“轮换”细节，让学生在操作中思考，丰富活动经验，形成正确表象。
师生谈话小结：通过饼的轮换，始终保持锅里同时烙两张饼，最节省时间，所以小红一家就能够尽快吃上饼。
教师追问：与用12分钟的烙法相比，用9分钟的烙法巧在哪儿？
在师生谈话、生生对话的基础上，教师点评：要始终保持“两张饼同时烙”，烙的次数最少，所用时间也最少，这是一种巧妙的安排。
1. 精心预设，准备生成 教师的预设越周密，考虑越详尽，才能使教学更具有针对性，为即时“生成”提供更宽阔的舞台。预测“学情”，建构弹性教学方案、有效开发课程资源是进行教学预设的重点，也是走向动态生成的逻辑起点。
1.1全面分析学情
“学情”是学生在学习过程中所表现出来的不同能力差异和特点的具体情况。学情分析是科学预设的一个重要前提，它包括分析学生学习的准备状态，学生原有知识与经验等等，其核心是建立学生数学学习的平台。这个平台是教与学的起点，创建这个平台，是为了更深层次地了解怎样的教和怎样的学。因此，教师备课时不仅仅要钻研教材，了解课程标准，还必须充分了解自己的教育对象，尽可能多地分析学生、预测学生自主学习的方式和解决问题的策略。
教师可在教学的开始环节展开学情调查。通过课前谈话或课堂导入环节进行了解。如学生已经具备了那些学习新知所必须的生活经验和知识技能？是否已掌握或部分掌握了教学目标？那些知识学生自己能学会？那些知识需要教师的点拨？例如：《时、分、秒认识》的教学前，调查学生有关钟表方面的知识知道了哪些。结果，班上的学生都知道1小时=60分，1分=60秒，还知道钟面有12大格，60小格，学生提出为什么1小时=60分，1分=60秒等问题。以上这些来自学生的信息就是构成这节课数学教学学习平台的要素之一。根据这些实际情况，及时调整教学过程，没有必要花很多的时间去研究学生已经知道的东西，把教学的重点放到时分秒之间关系的验证，对时间的体验及怎样更快、更准确地读出时刻等方面上来。建立了学生数学学习的平台实际上就是抓住了教学的起点，也是走向教学生成的起点。
1.2建构弹性教学方案
教师在分析教材进而进行教学预设时，应在深入理解教材的基础上根据学生的实际和本人的教学风格对教材适当进行改编或重组。从生成与建构的实际需要出发，对课堂教学进行预设时，应“着眼于整体，立足于个体，致力于主体”，设计弹性方案，为师生在教学过程中发挥创造性提供条件，给学生留有充分想象的余地和自主建构的空间。在设定教学目标时，不仅要有知识目标，更重要的是还要预设学生在这节课可能达到的目标；其次在实施过程的设计上要“大气”，重在全程大环节的关联式策划，它包括学习情境的预设，要针对各知识点，预设学生相关活动过程，提供学生自主学习、独立探究、合作交流的平台，同时还要预设可能出现哪些问题与困惑，教师应如何点拨引导及应对措施等。在此基础上形成综合的、富有弹性的教学方案。
例如：圆的面积公式推导。
预设目标：运用图形转化的思想，通过动手操作，使学生理解圆的面积公式推导过程，掌握圆面积的计算公式。下面是预设圆面积转化的教学方案：
预设转化图形 预设转化方法
方案一 把圆转化成近似的长方形。 拼成的长方形的长相当于圆周长的一半（πr） ，宽相当于圆的半径（r）。
方案二 把圆转化成近似的平行四边形。 拼成的平行四边形的底相当于圆周长的一半（πr） ，高相当于圆的半径（r）。
方案三 把圆转化成近似的三角形。 拼成的三角形的底相当于圆周长的1/4（1/2πr） ，高相当于4个圆的半径（4r）。
方案四 把圆转化成近似的梯形。 拼成的梯形的上底相当于圆周长的1/6（1/3πr），下底相当于圆周长的1/3（2/3πr ），高相当于2个圆的半径（2r）。
教师只有在教学设计时尽可能多地预设各种可能，才能做到心中有数，以便课堂教学的及时调控，适当删减或调整，保证课堂教学的有效生成。
1.3有效开发课程资源
动态生成本身就是在教学过程中随机开发和适时利用课程资源的过程。教材是重要的课程资源，学生生活经验、教师的教学经验、教具学具的开发也是一种资源；学生间的学习差异，师生间的交流启发，乃至学生在课堂中出现的错误也都是有效的课程资源。但这种开发和利用又依赖于原有课程资源的丰富性和适切性。所以，教师在制定教学方案时，要注重为学生提供丰富的课程资源。要善于利用并开发各种教材以外的文本性课程资源、非文本性课程资源，为学生的发展提供多种可能的平台，从而优化预设，为生成性教学打下坚实的基础。
例如：在教学“旅游的租车和购门票中的数学问题”时，让学生课前了解当地租车和购门票的有关信息，使其成为租车和购门票方案设计的素材和依据；在教学“比例尺”时，让学生课前寻找有关的地图并读懂地图，教师则利用网络搜集比例尺各异的地图，为学习比例尺的意义、比例尺的运用提供丰富的资源，等等。当然，对于低年级的学生，更需要教师在预设中多做一些准备。例如，教学“加减混合计算”时，课前用吹塑纸剪一些小鸟图案，并制好小鸟叫声录音带，师生共同在黑板上贴出先有5只小鸟，又飞来4只，最后飞走3只的完整过程，活动过程中教师放出小鸟的叫声，很自然的把学生带入情境学习之中。还可以用动态的画面、生动地反映出树上小鸟只数先增加后减少的变化过程，有利于学生在身临其境的感觉中抽象出加减混合算式，有利于学生深刻理解加减混合算式。同时学生根据学习情境又会生成许多种算式。
2. 不拘预设，动态生成 教学活动的发展有时和教学预设相吻合，而更多时候则与预设有差异甚至截然不同。实施预设时不拘泥于预设并能智慧地处理好预设与生成的关系，生成才会更加精彩。
2.1活用预设，灵活生成
课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。课前的多维预设为教学活动的展开设计了多种“通道”，教学时，教师就应打破“线形序列”，随机应变，及时选择预设的程序，为教学方案的动态生成提供广阔的空间。
如，教学《长方形的面积计算》时，教师在让学生简单复习面积的概念后，给学生提供12个1平方厘米的小正方形和几个不同的长方形，探究长方形的面积与长、宽有什么关系。这时，居然有很多学生小声地说：“我知道的，长方形的面积只要量出长和宽就能算出来” 。“我知道长方形的面积=长×宽”…… 。此时，该怎么办呢？这时，教师灵活地在“对未知的探索”与“对猜想的验证”这两种预设中，选择“对猜想的验证”，并利用手中的这些学具来开展学习活动让学生验证自己的猜测。学生在此过程中不仅成功地建构了知识意义，还经历了“发现问题——提出猜想—— 验证猜想—— 形成结论”的解决问题的过程。
2.2整合预设，调整生成
教学目标如何具体化？各维度和各层次目标如何随着教学进程逐一达成？教学内容怎样呈现？教学流程如何设计？运用哪些教学方法？教学预设时教师的思维方式是分析性的。但在实施教学的过程中，教师应直面真实的教学，根据师生交往互动的具体进程来整合课前的各种预设。这时，教师的思维更多地表现为整合性。要根据学生在课堂中生成的新问题、遇到的新阻碍、课堂的气氛、教学的进展情况及时地调整自己的教学目标、教学方法、教学内容、活动方案，在头脑中进行“无纸化” 教学二度设计。
例如：教学“用字母表示数”时，教师的教学预设原本遵循教材提供的2个例题按部就班地引导学生在具体情境中理解并学会用字母表示数。再应用字母表示数来巩固知识。显然，这样的预设只考虑了学生课前的知识储备，忽略了学生课中“做数学”的经验积累。实际教学中，学生有可能主动跳出课前的预设，不是先理解知识再应用知识，而采用先应用知识再理解知识。如果教师还机械地将学生纳入自己预设的轨道，那么学生的学习热情将会受到影响。这时教师可以机智地将预设的学习活动进行整合，主动让学生到台前唱“主角”，把“练一练”中的题目进行改编，课一开始就让学生“写式子”，学生根据已有的学习经验和迁移能力，通过独立思考和交流讨论，很快就明白了含有字母的式子不仅可以表示数，还可以表示数量关系。随后抛出两个问题：关于“用字母表示数”你已明白了什么？还想知道些什么？使初尝成功的学生又生成新的困惑，掀起再次探究的热情。通过质疑和交流，使不同层次的学生互相学习，互相补充，获得不同的发展，使原本机械的教学预设在师生的共同创造中变得充满灵性、充满智慧、充满活力。
2.3放弃预设，创造生成
由于新课程背景下教学的开放性，学生往往会提出一些出人意料的想法。面对这些预设之外的内容，如果教师能充分发挥教育机智，突破原先教学预设的框框，捕捉临时生成资源中的有意义成分，及时放弃预设教学方案，根据学生的创造生成新的教学方案，往往会取得意想不到的效果。
【关键词】解决问题；图形语言；线段图；几何图
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）19-0013-02
最近，笔者听了一节四年级的数学课――解决问题的策略（画图），课上有这样一道习题：
一个长方形的周长是12米，长比宽多4米，这个长方形的面积是多少平方米？
学生尝试画图时，都是根据题意画出长方形示意图（图1），但学生无法把题目中的条件和问题都标注到图中，有的直接画一个空白图，有的则在图旁边把文字写上去。结果，很多学生解决问题时，直接用（12-4）÷2=4（米）求出“宽”，“长”是4+4=8（米），“面积”是4×8=32（平方米）。多数学生要么不检验，要么检验后束手无策。只有少数学生解答正确：（1）用12÷2=6（米）求出长与宽的和是6米，再求出长是（6+4）÷2=5（米），宽是5-4=1（米），面积是5×1=5（平方米）；（2）（12-4×2）÷4=1（米），1+4=5（米），面积是1×5=5（平方米）。但答案正确的学生无法清楚说明列式理由，其他学生就更摸不着头脑。
对此，笔者想到了解决问题策略（画图）的教学。
画图解决问题，其实就是引导学生画示意图表示实际问题中的数学信息，使学生能借助图形语言正确理解题意，分析数量间的相互关系，直观探索解决问题的方法，帮助学生形成正确解决问题的思路，直到能熟练掌握画图技能、体会画图价值并逐渐内化成自己解决问题的策略。案例中，学生为什么会出现这些问题呢？除了题目有一定难度外，还跟学生对图形语言的认识有关。要提高教学效率，教师就要引导学生理解并掌握图形语言。
一、全面认识图形语言
所谓图形语言，就是包含数学信息的各种图形，包括情境图、线段图、几何图、统计图和集合图等。图形语言能直观、有条理地表示题意和数量，帮助学生发现数量关系，促进学生解决实际问题。当然，图形语言只有和题目中的信息（条件和问题）一致，才能达到这个效果。学生在第一学段曾经见过或尝试画过直条图、线段图以及其他形式的示意图，并且学过列表整理信息，这些都成为学生的学习基础。学生只有对图形语言有了全面认识，才不会简单地认为，题目出现长方形的信息，画图就一定要用长方形这样的几何图形分析题意。事实上，在本单元的画图解决问题的教学策略有两种：一种是画线段图（例1），另一种是画几何图（例2）。
教师应有目的地引导学生认识各种图形语言，扩大学生的知识面。案例中，如果学生认识到画几何图无法深入分析题意，就会思考，尝试用其他图形语言（如线段图）。
二、熟练掌握图形语言
学生不可能短时间内学会和掌握各种图形语言，需要经历一个循序渐进的过程。无论学习哪种图形语言，学生都要先了解，再学会，最终自觉运用。当然，学会画图不是教师告诉学生怎样画，更不是教师把自己已经画好的图直接展示给学生看，而是引导学生尝试画，并在过程中逐渐体会、理解和掌握。学生学习新知时，教师遵循一般规律，先引导学生初步了解和学习画图的方法，再引导学生自主画图解决问题，体验画图对分析题意、理解题意、形成解题思路以及积累解题经验的积极作用。因此，学生在阅读题目信息时，如果发现自己解决问题有困难，或者暂时想不到解决问题的办法，就可以根据题目信息画示意图帮助思考。案例中，题目信息用三句话表达，画示意图要能完整表达题意，就要想到求草坪面积需要知道长方形的长和宽，而长方形有2条长和2条宽，长比宽多4米，这样，学生才能边思考边画图（如下图2），考虑每步所画的图所表达的意思，才能达到画图的目的。为了帮助学生逐渐学会画示意图，教师可以引导学生根据问题边观察边思考解答方法，也可以提醒学生是否一定要画成长方形，有没有其它画图方法，帮助学生进一步理解并掌握图形语言。
三、灵活应用图形语言
画图解决问题的策略是解决各种实际问题、具有广泛应用性的一般方法，并非解决特定问题的特殊方法。教师要引导学生在解决各种实际问题中灵活应用图形语言，并从中深刻体验数学思想，积累解决问题的经验，最终形成自己的策略。图形语言种类比较多，同样的信息可以由不同的图形语言表示，相同的图形语言也可以表示不同的数学信息。因此，教师引导学生用图形语言分析题意时，应鼓励学生灵活选择。案例中，题目是长方形草坪，学生想当然地认为应该画几何图形，结果却无法借助画出的几何图分析题意，一方面是因为学生画图后没能深入分析图形语言（如果学生能从图2中发现“剪”去一部分后，剩下部分是一个正方形，问题就能顺利解决），另一方面是因为学生没能灵活应用图形语言：教师应先引导学生回忆长方形的周长公式，让学生知道长方形的周长=（长+宽）×2或长×2+宽×2，并要求学生根据公式尝试画线段图，效果就会完全不同（教师可以画出一部分图，引导学生接着往下画，适当降低画图的坡度与难度）。如果学生能很快画出下面的线段图（如图3），就能发现长方形周长中减去2个4米，就相当于宽的4倍，从而求出宽是1米、长是5米；也可以把长方形周长加上2个4米，就相当于长的4倍，从而求出长是5米，宽是1米，面积是5平方米。同样是画图，画一个长方形图，对学生解决问题的帮助几乎是0；画一个线段图，多数学生能很快理解并掌握，因为线段图能帮助学生把所学知识顺利迁移到问题解决中。因此，学生要在掌握图形语言的基础上学会灵活应用，学习效果才会好。
四、学会转换图形语言
学生用画图策略解决实际问题的过程，其实是把文字语言转换为图形语言的过程。学生除了将文字语言转换为图形语言，还可以把文字语言转换为表格语言，教师可用列举的方法帮助学生理解所画的线段图。
案例中的文字语言转换为表格语言就是：长与宽的和是12÷2=6（米）。
关键词：教学细节；有效应对；精彩课堂
杨再隋先生曾说：“忽视细节的教育实践是抽象的、粗疏的、迷茫的实践”． 的确，细节虽小，却是一种习惯，一种积累，它折射出教育的理念与智慧，闪耀着教师生命智慧的光环、灵动的创造……
在数学课堂教学中，一个问题的设计是细节；一道例题的呈现方式是细节；面对学生思维的错漏是细节；面对学生的出色表现，教师出现的“尴尬”是细节；教师的一种表情、一句评价、一个动作也是细节……作为一个有经验的数学教师，要善于巧设教案细节，敏锐地捕捉和挖掘教学细节，并及时有效应对；用自己的睿智促使着我们的教学具体、丰富而充实；在智慧和创造中收获意外的惊喜，演绎出课堂应有的那份精彩． 下面笔者结合自己的教学感悟和教学实践谈点滴体会．
巧设教案细节，呈现教学活力——未成曲调先有情
古人说：“预则立，不预则废．”教师对教案细节的研究与雕琢，匠心独运的合理预设，正是“精彩课堂”突破、生成的源泉，只有“未雨绸缪”，才能预约精彩．
1． 契合“兴奋点”，激发求知欲望
学生是学习的主体，学生学习积极性直接影响到课堂教学效果． 我们要在了解学生心理需求前提下，通过细节设计，调动、激励学生的求知欲和积极性，为数学课堂增彩．
细节1：《平均数》的教学，课本例题的安排是通过公司招聘让学生加深对“权”的理解，这与学生实际联系不大，学生参与的兴趣和积极性肯定会受到影响．为此笔者契合学生集体荣誉感强这一特定细节，教学设计如下：
请你做裁判．
问题1：如果根据三项得分的平均成绩从高到低确定名次，那么三个班级的排名顺序？（计算结果特意让授课班级排在最后）
问题2：你怎么看待这个结果？如果你是裁判，设计合理规则，你怎么利用这三个数据给三个班级排名？请你按自己的想法设计一个评分方案. 根据你的方案计算总评成绩，确定名次，那么三个班级的排名顺序怎样？
这样的细节设计势必激起所在班级学生“争强好胜”的情绪，迅速凝聚学生注意力，极大调动学生积极性，全身心参与问题2的回答和设计中，从而加深对“权”的认识和理解．
2． 瞄准“兼容点”，指明学习方向
课堂的精彩来源于教师对数学教材的深入解读，来源于对学生学习状况的掌握，我们只有瞄准数学知识与学生实际的关键融合点，教给学生借助已有知识去获得知识的方法，指明学习方向，这才是最高教学技能之所在．
细节2：矩形的教学，之前学生学习了平行四边形的概念及其有关性质和判定方法，因此笔者在教案设计时紧紧围绕着矩形是“平行四边形”+“特殊”这一关键细节，在教案设计中首先复习平行四边形有关内容；再从“特殊”入手，对比平行四边形性质，承上启下，促进知识的生长． 教学设计如下．
将AOD绕AC的中点O逆时针旋转180°，得到BOC，连结AB，CD．
问题1：如图1，请说出四边形ABCD的形状．有哪些量相等？为什么？
问题2：如图2，若过点O作直线交AD，BC于点E，F，又可以得到哪些结论？你能用一句话解释它吗？
问题3：如图3，连结BE，DF，四边形BFDE是平行四边形吗？
问题4：如图4，把平行四边形变化到矩形，是否还具有平行四边形的性质？矩形特有的性质有哪些？造成特殊性质的原因是什么？
事实证明，这样的细节设计既起到了温故知新的目的，也符合学生的“最近发展区”，促进了学生对学习成果的巩固和发展．
3． 聚焦“整合点”，建构知识网络
数学知识之间存在密不可分的联系，教师要聚焦知识的“整合点”，促进学生为解决问题而对相关知识进行检索，将它们从零碎的、无组织和无序的状态中提取出来，重新加以组织，形成一个有用的知识网络．
细节3：“圆的基本性质”复习课中，笔者先让学生看书，回顾所学的知识．然后提出这样一个问题：已知如图5，AB是O直径，CD是O的弦，ABCD于F，OEAC于E，则可得到什么结论？
图5
这是一道结论开放题，学生回答的角度不同，会有很多答案，而且杂乱无序．为此，笔者在问题上注意这样的细节引导：
（1）与圆知识有关的概念有哪些，有什么结论？
（2）能找到哪些基本图形，如何利用解决相关问题？
（3）假设已知图中的两条线段为已知，尝试能否求得其他所有线段的长度？
这样的问题细节聚焦了知识“整合点”，引领学生对本章所涉及的知识、思想方法、解题策略加以思考和归纳：其中有图形、概念、图形之间的关系，知识块之间的联系，对知识的检索和规律的认识；有直觉和知识的联系，有记忆和理解的联系，有感悟和推理的联系，有规则和定理的联系，有表达和逻辑的联系，从而有利于学生建构最佳的知识网络．
我们在课前教案设计中经过巧妙的细节改编，设置新颖活泼、别开生面的灵巧之笔，生发“转轴拨弦两三声，未成曲调先有情”的魅力，自然就会呈现课堂的教学活力．
善捕课堂细节，呈现教学魅力——能探风雅无穷意
数学教学中，教学细节犹如课堂精灵，有出现的最佳时机，倏忽而至，又稍逊即逝，需要我们细心观察、及时捕捉． 只有对细节进行有效把握，才能使之成为教学的生成性资源，呈现数学教学的魅力．
1． 善待“易错点”，彰显教学智慧
富兰克林有句名言：“垃圾是放错了地方的宝贝．” 确实，错误是学生最直接的思想、最真实的经验，更是一种鲜活的教学资源，教师及时引导学生从错误中探究，从错误中得出真知，课堂就会更精彩．
细节4：例如学习分式后，笔者布置了一道课堂练习，计算－．
学生小A的解法：原式=2（x－2）－2（x+2）=2x－4－2x－4=－8．
显然有误，有学生在下面哄笑． 小A很尴尬．
笔者赶忙追问：“错在哪？”
生答：“张冠李戴了，把分式运算当成了解方程．”
笔者说：“小A把分式运算当成了解方程，显然是错的，但给我们一个启示，能否考虑利用解方程的方法来解它呢？”
学生经过思考、讨论，最终形成了以下解法：
设－=A，
去分母得：2（x－2）－2（x+2）=A（x+2）?（x－2），
解得：
A==－．
教师对学生学习中出现的“易错点”未做简单处理，更未置之不理，而是敏感地抓住时机，有意让其“发酵”“膨胀”，巧妙加以引导，从中发掘价值，在避开错误“陷阱”的同时，将教学活动引向了深入．
2． 巧用“模糊点”，呼唤教学灵性
在教与学、师与生、生与生的互动中，经常会出现这样那样的“模糊点”，教师只要冷静应对，深入挖掘，仔细分析，必能迎来攻坚克难的“惊喜”．
细节5：中考复习中，笔者问学生：“平分一个三角形面积的直线你能找到几条？”第一个学生回答三条，就是三角形三条中线所在的直线．第二个学生回答：六条． 如图6，AD∶AB＝1∶且DE∥BC，则直线DE就两等分ABC的面积． 这样的直线也有三条．
笔者对学生的回答感到很满意，正想见好就收，这时有学生举手了，他认为有无数条，过重心的任何一条直线都是．这一回答超出了笔者的预设．笔者追问为什么，答：“凭感觉．” 笔者略一迟疑，马上画出图形，让学生思考：“当G是ABC的重心时，直线EF两等分ABC的面积吗？”学生无从下手． 于是笔者提示:“检验一个结论，可以从特殊化入手．”学生思考后提出先把直线EF特殊化，使EF∥BC，笔者及时表扬了学生的这一想法，指出：当一个数学问题的一般情况难以解决时，先把问题特殊化，这是一种非常好的思考方法． 学生在愉悦情感的体验下顺利地得出SAEF∶SABC＝（AG∶AD）2＝4∶9，于是结论不成立．
这里，教师积极跟进，用丰富的知识和严密的论证推理激起学生的“思维风暴”，结出“累累硕果”．
3． 跟进“意外点”，激活教学思辨
课堂是学生的课堂，是不断生成的课堂，时不时地我们总会遭遇一些意外． 那些超出我们设计的“意外”之中，常常埋藏着一颗创新的种子，教师应迅速判断后积极跟进这些有价值的“意外点”，适时追问，及时引导，打开学生思维的“闸门”．
细节6：在学习一元二次方程之时，笔者设计了一个实践活动：请学生用28 cm长的细铁丝围成一个正方形，能否围出面积等于30 cm2的正方形？若将这根28 cm长的细铁丝剪成相同长度的两段做成两个正方形，那么这两个正方形的面积和能否等于30 cm2？
教师：如果这根28 cm长的细铁丝全部用来围成一个正方形，那么围成的正方形面积是多少呢？学生回答：49 cm2．
教师：如果现在面积等于30 cm2，请大家列方程解出这个正方形的边长？（引出方程问题）
学生马上列出方程，解出正方形的边长是 cm．
教师：如果围成两个正方形，那么每个正方形的边长是x cm，面积是30 cm2，你能解出这个x的值吗？一会儿就有学生回答是： cm．
教师：能否围出这两个正方形呢？为什么？
学生：不能，因为28 cm分成八条边每条只有3.5 cm，小于 cm．
就在师生基本上认可了他的回答时，此时课堂上如沸腾的开水，笔者微笑着说：“你们真厉害，能解决这样的难题．那么是否还有同学有不同的看法？” 教室一片寂静后，我班的数学课代表突然站了起来说：“老师，我好像能够围出来”． 他的发现让大家都很惊讶，笔者也奇怪（因为备课时笔者没有考虑到）． 于是就请他把他的方法讲解一下，其实他的方法很简单：只要让两个正方形有一条公共边，那么每个正方形的边长就有4 cm（大于 cm），就能围出来了． 笔者灵机一动说：“你这个想法真是‘捷径’——让两个正方形合用一条边，妙计啊！”同时让大家把他的方法计算一遍，最后鼓励大家寻找另外的围法……师生沉浸在发现的愉悦之中，纷纷动笔开始列方程、解方程．
“老师，我好像能够围出来……？”这样的一个细节，教师没有让它悄悄溜走，而是及时挖掘这一生成的细节，让其成为课堂教学中的闪光点． 对于学生的质疑，采取了“热处理”，将问题再度抛给学生，让学生去思考、去感悟，为学生思维的飞跃提供了一个广阔的空间． “一石激起千层浪”，学生在轻松和谐的氛围中互相探讨，不断闪现出思维的火花．
这是在学习了平行四边形、三角形、梯形的面积计算(浙教版数学教材第八册第三单元)后，学生的家庭作业中的一道图形面积计算题。
这样一道很平常的练习题，按照常规的思路解答：先求梯形的面积：(6+12)×6÷2=54(平方米)；再求空白三角形面积：6×6÷2=18(平方米)；最后求阴影部分的面积：54―18=36(平方米)。
确实，全班差不多一半的学生是这样做的，但也有学生得出了两种不同的解题方法，给我带来不小的惊喜。
方法1：在上图补上一个直角三角形(如图2)，变成了一个长方形。因为阴影部分的面积占整个长方形面积的一半，所以阴影部分的面积为6×12÷2=36(平方米)。
方法2：在梯形里画一条高(如图3)，这样，因为三角形a和6的面积一样(都是6×6÷2=18(平方米))，所以把6填补到n里，就成了一个正方形，于是得到阴影部分的面积为6×6=36(平方米)。
多好的解题思路，多好的方法。看来我们的学生很会动脑筋。他们真棒!
反思：面对这样一道平常的题目，我想，即使出题的人也不会想到，学生竟能舍弃常规做法，得出如此独特而简单的解题方法。静下心来细细反思，颇受启发。
一、学生确实具有不可估量的学习潜能
我们的学生确实具有不可估量的学习潜能。不是吗?像案例中求阴影部分面积的两种不同方法，就充分地证明了这一点。因此，作为教师的我们，如何为学生创设一个展现他们才能的机会，让隐藏在学生头脑中的潜力像火山一样喷发出来，是我们在教学中应该一直思考的问题。只有这样，我们才能真正实现新课程所提倡的教师从传统的施教者向引导者的转变，以使学生更和谐地发展。
二、要注重对学生进行数学思想方法的渗透
据后来的调查询问，想出后面两种方法的学生，在课堂上对转化这种数学思想方法都学得很好，理解深刻。细细回忆自己的课堂教学，确实，从平行四边形的面积计算一课开始，不断地对学生进行转化思想的渗透。从案例中可以看出，这样做收到了不错的效果，学生不仅很好地掌握了知识，而且能够灵活地运用这种数学思想方法解决实际问题，思维能力得到了显著的提高。我想，长期如此，定能十分有利于学生的后续发展。
一、“接受学习”得法
案例1：在教学面积单位的概念时，先让学生用数学书、文具盒或其他物体去计量课桌面的大小，得出用不同的物体量同一个物体的面，量出的结果不一样。从而使学生感受到采用统一的面积单位的必要性。接着让学生看书第78页，为了准确测量或计算面积的大小，要用同样大小的正方形的面积作为面积单位。
教师讲述：边长是厘米的正方形，面积是1平方厘米，平方厘米用符号cm2表示。
摸一摸：1平方厘米有多大？
想一想：生活中哪些物体的面积接近1平方厘米？你手上的哪一部分的面积大约是1平方厘米？
画一画（徒手）：画一个面积是1平方厘米的正方形。
估一估：一张普通的邮票的面积大约是多大？橡皮上面的面积有多大？
用同样的方法学习1平方分米、1平方米。
在接受学习中，学习内容是以定论的形式直接呈现出来的。学生是知识的接受者，学生通过接受学习了解1平方厘米1平方分米、1平方米的实际大小，然后在生活中感受面积是1平方厘米、1平方分米、1平方米的物体，了解生活中哪些物体的面积大小要用平方厘米作单位，哪些物体的面积大小要用平方分米作单位，哪些物体的面积大小要用平方米作单位。有意义的接受性学习可以使学生在较短的时间内掌握较多的知识，像这种体现概念方面的陈述性知识就不需要学生花时间去探究，可以通过教师介绍、学生阅读，引导猜测等方式让学生掌握，避免无效探究学习。
二、“探究学习”得法
案例2：在教学计算梯形面积时，先让学生回忆三角形面积公式的推导过程，然后用同样的方法根据例6中提供的梯形拼成平行四边形。（注意：组内所选的梯形都要齐全）
展示图形，交流：
你认为拼成一个平行四边形所需要的两个梯形有什么特点？
要使学生明确：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
计算拼成的平行四边形的面积和一个梯形的面积并填表。
师：如何计算一个梯形的面积？从表中可以看出梯形与拼成的平行四边形还有怎样的关系？
小组交流得出以下结论：
这两个完全一样的梯形，无论是直角梯形、等腰梯形，还是一般的梯形，都可以拼成一个平行四边形。这个平行四边形的底等于？摇梯形的上底+下底？摇。这个平行四边形的高等于？摇梯形的高？摇。
因为每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的？摇一半？摇。
板书如下：
所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2
《数学课程标准》指出：“可以通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考活动的条理性和数学结论的确定性。”在教学计算梯形面积时，通过操作、比较、交流、探究活动，学生不仅用自己的脑子思考，而且用自己的手操作，用自己的眼睛、嘴巴、耳朵去经历梯形面积的推导过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然。
三、“探究学习”与“接受学习”的互补法
案例3：在教学圆的周长公式时，先让学生运用探究学习的方法，通过以下的操作活动，探究圆的周长与直径的关系。先通过滚动不同直径的圆，得出直径大的圆的周长就长，直径小的圆的周长就短；再通过用线绕或用圆片在直尺上滚动一周的方法来量出圆的周长，用圆的周长除以直径，通过计算你发现圆的周长和直径之间有什么关系？学生通过计算得出一个圆的周长总是直径的3倍多一些。这时运用接受学习的方法，让学生打开课本第99页看书，认识圆周率的有关知识，根据刚才的探究学习推导出圆的周长公式。