时间：2023-05-30 09:13:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数列的极限，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、引言
极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。公元前5世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形（正方形、正六边形）出发，把每边所对的圆弧二等分，联结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤足够多次时，所得圆内接正多边形面积与圆面积之差将小于任何给定的限度。在我国古代，朴素的、直观的极限思想也有记载。例如，中国古代的《墨经》中载有“穷，或有前，不容尺也”，《庄子・天下》中载有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元3世纪我国数学家刘徽创立的割圆术，其中都包含了深刻的极限思想。极限是现代数学分析奠基的基本概念，函数的连续性、导数、积分以及无穷级数的和等都是用极限来定义的。可见，研究数列极限是十分有意义的。在数学分析中介绍了很多求数列极限的方法，常见的有：定义法、数列求和法、定积分定义法、单调有界原理、同限夹挤定理等。上述方法在求常见的数列极限时比较有效，但遇到一些特殊的数列就很难求出、甚至无从下手。为此我们介绍三种特殊的求极限的方法主要有施笃兹法、比值法、级数求和法。这些方法对于求一些特殊的数列极限有很重要的作用。
二、数列极限的三种求法
1.施笃兹法
施笃兹法被称为求数列极限的洛必达法则，对一些不能用上述洛必达法则方法求的数列极限如■■，有时可用下面施笃兹法。
命题1（施笃兹法）给定数列Tn可以写成Tn=■且■yn=∞，y■>y■，若■■存在，则■=■■。
例1 求■■
解令y■=1■+3■+……+（2n-1）■，z■=2■+4■+……+（2n）■
显然z■∞，z■>z■满足施笃兹定理，从而有
■■=■■=1
2.比值法
一般来说，n次根式的数列极限■■比较难求，我们通过下面的命题2将一些n次根式的数列极限转化为较为简单的比值数列极限■■来处理，能起到很好效果。
命题2 设an>0若■■=l，则■■=l
例2 求■■
解令a■=■，
由于■■=■■・■=1
由命题2有■■=■■=l
3.级数求和法
当被求数列的极限中的数列是n项和构成时，一般考虑先求和再求极限，但有时数列的，项和比较难求如x■=1-■+■-……+（-1）■■我们可把它作为幂级数在某点的值，通过幂级数和的方法，例如对幂级数求导、积分等方法来求数列的n项和，这样可以很方便求出n项和数列的极限，甚至是一些较为复杂的n项和数列的极限。
有时还可以用泰勒展式求数列的极限。
例3 求■（1-1-■+■-……+（-1）■■）
解作幂级数s（x）=■（-1）■■，显然我们要求的数列即为幂级数s（x）在x=1处的值，又易知级数的收敛区间为（-1，+1】所以s（x）在x=1处的值有意义.，下面求幂级数s（x），
两边求导则有s（x）=■（-1）■■=■，
两边积分有s（x）=■■dt=1n（1+x），
所以■（1-1-■+■-……+（-1）■■）=■（-1）■|x=1=s（1）=ln2
例4 求■（1+1+■+■……+■）
解 因为ex的泰勒展式为e■=1+x+■+……+■+……
而ex在x=1时，e■=1+1+■+■……+■+……
所以■（1+1+■+■……+■）=■■=e■=e
参考文献：
[1]李大华.大学数学2000题第2版[M].湖北武汉，华中科技大学出版社，2001
[2]李成章，黄玉民.数学分析第4版（上）[M].天津，科学出版社，1999
[3]刘玉链，付沛仁.数学分析讲义[M].吉林长春，高等教育出版社，2003
[4]华东师大数学系.数学分析第3版（上）[M].上海，高等教育出版社，2001
关键词： 数列极限 单调有界定理 迫敛定理 柯西收敛准则 两个重要极限
数列收敛性问题在高等数学教学中既是难点又是重点，数列收敛问题的判别方法通常有以下几种：单调有界定理、迫敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限等.解决问题的关键是如何正确理解并选择合适的方法.本文通过一些典型例题来讨论数列的收敛性问题.
例1.若x=A，其中A是有限数、+∞或-∞，则有=A.
证明：当A是有限数时，由x=A，?坌ε＞0，?埚N，当n＞N时，有|x-A|＜.
因此
-A≤
≤+
＜+・＜+，
其中K=|x-A|+…+|x-A|.
又存在N，当n＞N时，＜.
因此当n＞max{N，N}时，
-A＜+=ε.
当A=+∞时，由x=+∞，?坌M＞0，?埚N，当时n＞N，因此x＞3M.
因此
=+
＞+・3M，
其中K=x+x+…+x.由于0，1（n∞），
从而存在N，当n＞N时，＜，＞.故
＞・3M-M=M.
类似可证A=-∞情形.
例2.若x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），则=A.
证明：由x=A，且x＞0（n=1，2，3，…），得A≥0.
当A＞0时，lnx=lnA，由例1，
（lnx+lnx+…+lnx）=lnA.
从而=e=e=A.
当A=0时，x=-∞，故
（lnx+lnx+…+lnx）=-∞，
于是=e=0.
注1：例1和例2的逆命题不成立.
例如数列{x}，其中x=（-1）（n=1，2，3…）.易知=0，但是极限x不存在.对于数列{y}，其中y=n（n=1，2，3…）.容易看出=1，但是极限y不存在.
定理1：设x＞0（n=1，2，3…），满足=A（A是有限或无穷），则有=A.
证明：不妨设
y=x，y=，…，y=，….
由例2得：
=y，
所以
==y===A.
例3.证明：=e
证明：设x=，则
=・=（1+）=e.
由定理1得
==e
例4.求极限
解：令x=，则
=・=（1+）=.
由定理1得
==.
定理2：若x=A，y=B，则=AB.
证明：设y-B=σ，则由y=B知，σ=0.从而
=
=b+
由例1知b=AB，下证=0，
已知x=A，故数列{x}有界，即?埚M＞0，?坌n∈N，有|x|≤M.
又σ=0.即?坌ε＞0，?埚m∈N，?坌n＞m，|σ|＜ε.
取定自然数m，易知有|xσ+xσ+…+xσ|上界，设它的上界是K.
已知=0，故对上述的ε＞0，?埚k∈N（k＞m），?坌n＞k，有＜ε，从而有：
-0≤+
≤+
＜+ε≤Kε+ε=（K+1）ε，
即=0，
因此=AB.
例5.求极限
解：令x=1，y=则x=1，y=1.
于是
==1・1=1.
本文通过典型例题考查了数列极限的一些特点，并讨论数列不满足单调有界定理、迫敛定理、柯西收敛准则和两个重要极限等条件时的极限问题.虽然数列收敛性问题比较复杂，但只要通过适当典型题目的学习，仔细体会，认真总结，就可以达到深刻理解和灵活应用各种方法的目的.
参考文献：
［1］［美］Walter Rudin.数学分析原理.机械工业出版社，2009.
［2］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.高等教育出版社，1993.
［3］龚冬保等.高等数学典型题.西安交通大学大学出版社，1996.
【中图分类号】G633.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）10-0144-03
第一课时：
教学目的：使学生初步认识极限的概念
一、事物的极限：极限就是极大限制值、极小限制值（至于为什么是这样？可详见本刊2016年9月期的“从事物的极限到函数的极限”一文。）
1、例如，我们行在一座桥的前面，看见一个交通警示牌，牌上写着20t，这是什么意思呢？这是告诉机动车司机们经过桥时，机动车的车重和载物不要超过20吨重，超过了就可能引起桥的破坏性事故。20t是该桥的负荷极大限制值。
2、例如，某中学高中一年级去年招收新生的入学的分数线是500分，这是该校高中一年级新生入学的考试成绩的极小限制分。
总之，含有变量的事物在某种条件下变化着，它的极大限制值或者极小限制值，就叫做该事物的极限（横线以上的字是在教师指导下由学生填写，以下同。）。
三、数列的极限：
（一）数列极限的定义（什么叫做数列的极限？）
仿照事物的极限得到如下：
数列极限第一种定义：数列f（n）在项数n无限制的增大时，它的极大限制值或者极小限制值就叫做数列的极限。
首先考查例题乙里数列f（n）与数1的关系：
我们从例题乙的图形可以看到：数列f（n）随着项数n的无限增大，也是越来越靠近数1的（你总不能说f（n）是越来越远离数1的吧？），但是却隔着一个大空白处。f（n）的极小限制不是1，这样一来
然后研究数列f（n）与数3的关系：
从例题甲的情况看，数列f（n）是越来越紧靠近数3，而且是无空白的紧靠近。数3对f（n）来说，是f（n）的极小限制值，所以数3是f（n）的极限。
于是得出例题甲结论：f（n）无空白处的紧靠近于数
现在把两个结论并排放在一起如下：
例题甲结论：f（n）无空白（无空隙）的紧靠于数
例题乙结论：f（n）有空白（有空隙）的靠近于数1
综合上面例题甲和例题乙的无空白和有空白靠近的两种情况对比与衬托，我们可以得到：数列极限的第二种定义是：数列f（n）在n无限制的增大的情况下，f（n）无空白（无空隙）（无缝隙）的紧靠数A，那么A就叫做f（n）的极限（记号为：f（n）=A），否则，A就不是f（n）的极限。
上述数列极限的第二种定义仍然有缺点，它不含数学式子，也不能参与数学的计算，所以还得继续研究产生出一个新的定义。
我们再进一步研究如下：
四、f（n）无空白（无空隙）紧靠于数3，在数学上是什么意思呢？
我们在前面对照例题甲及其图形，说过数列f（n）是无空白的紧靠数3的，那里只是直观观察呀，还要进一步用数学式子来验证一下“无空白紧靠”在数学上这个纯朴的概念。于是我们继续考查上述数列f（n）与数3之间无空白紧靠近数3的现象。
以直线y=3为一条边，任意小的长为宽度（比如：0.07为宽度）向上作一个足够长的长方形的一个长条形，看看这个长方形区域内存在f（n）的情况。
回答：（1）龙头项是 f（[ ]）
（2）龙身是f（[ ]） 以后各项
（3）指导学生填写：从f[ ]项起及其以后各项等等，到数3的距离皆小于L。
（4）不管上述长方形宽度多么小，多么窄，也就是L任意小，龙头那个项和其后各项形成的龙身结合在一起组成的无限长的长龙解，都被套在这个长条形里。它们到数3的距离皆小于L，这是多么美丽而神秘的现象。
至此，我们得到例题甲的论点是：f（n）无空白紧靠于数3f（n）的极限是3 |f（n）-3|
二、下面是考查例题乙f（n）有空白的靠近数1的情况。以数1为一条边，宽度为L，L为任意小的正数。向上作一个长方形无限长的长条形，看看此长条形能套住f（n）的哪些项呢？
第三课时：
教学目的：两个数列和、差、积、商的极限
一、数列极限定义的简写形式：
数列极限定义（常用定义）
已知数列f（n），又已知数A，L是一个任意小的正数，若数列f（n）到数A的距离不等式|f（n）-A|
六、作业（略）
请各位老师多指导和认可我的这个创意。把极限下放到初二或者高一年级是完全可行的。至于较复杂的函数的极限定义仍放在大学一年级进行。
【关键词】极限；几何意义；数列
【基金项目】国家自然科学基金（11501561）；中国矿业大学基本科研业务费项目（2014QNA58）.
一、引言
极限思想贯穿整个高等数学始终，是高等数学学习的基础，高等数学中的许多概念及运算法则都是建立在极限的基础之上，因此，在高等数学教学中，使学生充分理解极限的定义、内涵和性质等是十分必要的.而通过几何意义体现出的生动活泼的极限思想，能够提高学生的学习兴趣，加深学生对极限本质的认识，使得这一概念不再仅仅是一种形式化的表达.
在教学过程中，首先，从几何意义的角度给出直观的几何解释，提起学生的学习兴趣，使得学生对概念或性质等有个直观的印象和初步的理解，然后，进行严格的理论推导，可使学生理解起来相对容易，更加容易掌握定义和性质的内涵，会收到较好的教学效果.
二、数列极限的定义和几何意义
（一）定义（ε-N语言）[1]
对于数列{xn}及常数a，ε>0（无论多么小），总存在正整数N，当n>N时，恒有|xn-a|
（二）几何意义
在定义中|xn-a|
随着n的增大，xn代表的点越来越“密集”在点a的附近.
结合数列的几何意义可以更加有效地向学生讲解数列极限的有界性、唯一性、保号性以及数列子列的收敛性等性质.
三、从几何意义的角度理解数列极限的性质
（一）有界性：如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界
分析设 limn∞xn=a，根据上述几何意义，对于任一给定的正数ε，一定都有正整数N，数列{xn}从第N+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，不妨取ε=1，那么{xn}从某一项开始都落在区间（a-1，a+1）里面，剩下的有限项自然是有界的，取一个既包含区间（a-1，a+1）又包含剩下的有限多项的闭区间[-M，M]即可证明结论成立.
（二）唯一性：如果数列{xn}收敛，则极限唯一
（四）数列子列的收敛性：如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子列{xnk}都收敛于a
分析设 limn∞xn=a，根据极限的几何意义，对于任一给定的正数ε，都存在正整数N，数列{xn}从第N+1项开始都落在^间（a-ε，a+ε）里面，在区间（a-ε，a+ε）外面只有数列{xn}中的有限项，而{xnk}作为{xn}的子列，自然也只有有限项落在区间（a-ε，a+ε）外面，于是可以找到正整数N*，使得{xnk}从第N*+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，这就说明{xnk}同样收敛于a.
对于函数f（x）的极限，可以类似地讨论其几何意义并从几何意义的角度分析其性质，这里就不再累述.
四、运用几何意义分析问题并寻找证题思路
部分关于极限的证明题，同样可以从几何意义的角度来理解，从而找到解决问题的正确思路.
分析因为 limk∞x2k-1=a且 limk∞x2k=a，根据几何意义可知，对于任一给定的正数ε，可以找到共同的正整数N，数列{x2k-1}和{x2k}均从第N+1项开始都落在区间（a-ε，a+ε）里面，在区间（a-ε，a+ε）外面只有{x2k-1}和{x2k}中的有限项，因此，在区间（a-ε，a+ε）外面必然只有数列{xn}中的有限项，这就说明了{xn}也是收敛于a.
在高等数学中，类似的问题还有很多，例如，导数[3]、微分中值定理、定积分等等，均有其几何意义，从几何直观出发对相应的问题进行分析可以加深对概念或问题内涵的理解，使得抽象复杂的数学问题变得形象直观，在教学中合理运用这些几何意义，不仅能够使得教师的教学活动事半功倍，更能提高学生分析问题和解决问题的能力.
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].北京：高等教育出版社，2007.
极限是微积分的一个重要概念，是贯穿微积分的一条主线，极限的计算又是学好微积分的重要前提条件。正因为数学之美妙不可言，数学中解题方法的多样性更是引人入胜，许多人都在探索着高等代数中求极限的方法并有所成效。在前人的基础之上我对求极限的方法作了进一步的归纳总结，希望能让读者从中受益，能让初学者懂得将静态的、内隐的教学规律转化为动态的、外显的探索性的数学活动，从而对数学学习的认知发生一个“质”的飞跃。
一、由定义求极限
极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续性求极限
此方法简单易行但不适合于f（x）在其定义区间内是不连续的函数，及f（x）在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限
极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限
定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A
两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数（或数列），并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数（或数列）通过放缩后所得的两边的函数（或数列）的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限
六、利用单调有界原理求极限
单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性；求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。
七、利用洛必达法则求极限
八、利用等价无穷小代换求极限
在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子（或分母）看作一个整体，用整个分子（或分母）的等价无穷小去代换。
九、利用泰勒展式求极限
运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。
关键词：集列 上极限 下极限 单调
中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2012）001-106-02
1 引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越感觉到Riemann积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的方法研究n维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列上、下极限，类似的提出集列的上下极限以及集列的收敛。结合实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的收敛及应用。在本文中，我们改进了文献[1]中对定理1的证明和上下极限的计算，方法相对简单，并给出定理2的详细证明，这在文献[1][2]中都没有提及。
2 上下极限的概念
为了便于理解本节内容，首先回顾一下数学分析中所学的数列的上、下极限定义，再引出集列的上、下极限。
2.1 回顾：数列的上、下极限定义
显然，,则,从而。若,则称数列{xn}收敛,将A称为{xn}的极限,记为。
2.2 集列上、下极限定义
2.2.1 基本定义
定义1[1] 设A1,A2,…,An,…是任一列集。由属于上述集列中无限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或上极限,记为或。
显然,用数学符号形式化,可表为
定义2[1] 对集列A1,A2,…,An,…那种除有限个下标外,属于集列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极限,记为或。
用集合的概念表示如下
。
显然,。
例1 A1=A3=A5=…{0,1}，A2=A4=A6=…{0}则,.
就像数列未必有极限,集合序列当然也可能没有极限。
定义3[1] 若,则称集列{An}收敛,称A为{An}的极限,记为。
2.2.2上、下极限的等价定义
类似于数列的上、下极限,我们可以定义集列的上、下极限。
定理1 对于任意一串集合A1,A2,…,An,…,都有
(1) , (2)。
证明：(1)若对任意的∈,则对任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,所以对任意的n∈N,有,从而.反之,若,则对任意的n∈N,均有,所以对任意的n∈N,存在m≥n,使得∈Am,从而即。
(2)若对任意的,则存在n∈N,对任意的m≥n,使得∈Am,所以存在n∈N,均有,从而。反之,若,存在n∈N,均有,所以存在n∈N,对任意的m≥n,使得∈Am,从而.即。
例2 设A2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，A2m=[0,1+],m=1,2,3,…
求,。
解:,
。
例3 设An=[0,1+],n=1,2,3，…，求,。
解:,
。
说明：在例3中,集列{An}收敛,且收敛于极限集[0,1].
2.3 单调集列的定义及其收敛的判定
定义4[1] 如果集合序列A1,A2,…,An,…,（简记为{An}）单调上升（下降）,即An An+1（相应地An An+1）对一切n都成立,则称集列{An}为增加(减少)集列.增加与减少的集列统称为单调集列.
定理2 单调集列是收敛的,且
(1)若{An}增加,则。
(2)若{An}减少,则。
证明：(1)若{An}增加,则根据定理1，即上下极限的等价定义,,
,
则,则集列{An}收敛,
且。
(2)若{An}减少,则,
,则,则集列{An}收敛,且。
3 上下极限的应用
定理3[1] 设{si}是一列递增的可测集合：s1 s2 … sn …,令,则。
定理4[1] 设{si}是一列递减的可测集合:s1 s2 … sn …,令,则当时,。
说明：从定理3和定理4中，可知：
对于单增的可测集列，
对单减的可测集列,且当时,
。
参考文献：
关键词：数学思想;化归思想;课程
中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）19-0199-02
一、数学课程对数学思想要高度重视
数学教学的根本任务就是促进学生在不断学习的过程中逐渐积累数学观念系统。一般来说，在教法上应突出渗透性原则。因为教材不可能既写知识又写数学思想方法，后者是蕴含在数学知识系统之中的。因此，教师在教学全过程中其思维结合学生知识结构特征，将数学概念、公式、定理、法则等内容中蕴含着的数学思想方法挖掘出来，经过精心设计的教学过程，在教学中有意识潜移默化（不是讲一段知识内容，再讲一段所用的数学思想方法）地引导学生领会蕴含在其中的数学思想和方法，将能有效提高学生的数学能力。
二、化归思想方法概述
1.化归思想方法的基本定义。化归思想方法就是把待求解的问题A，通过某种转化过程，归结到一类已经解决的问题或若干问题Bn，借此来获得问题的解答。化归思想方法又称化归原则，是数学方法中重要的基本方法之一，是用数学思考和解决问题的基本原则。一般模式如图2所示。
2.化归思想的主要特点。数学问题中的化归思想应用有着诸多特点，主要包括重复性、层次性以及多向性。（1）重复性。化归思想的重复性特点主要体现在具体的解题过程中，往往一个问题需要利用该方法多次，重复使用以后才能得出具体的结果。例如：有不等式1> ，求解x。解答这道题目时，首先要利用化归思想将不等号左边的1移到右边来，然后，将分式转换成整式。整个过程中，化归思想被应用了两次。通常情况下，求解数学问题时，题目越难越复杂，需要应用化归方法的次数也就越多。（2）层次性。从不同的层次上对化归思想进行定义，其意义各不相同。一方面，从微观角度上看，化归思想是一种用于解答数学问题的方法;从宏观角度上看，化归思想可以看成一种数学方面的思想。另一方面，从狭义角度分析，化归思想可以充分调动发掘人们的已有知识和经验;从广义的角度上分析，化归思想能够将数学学科的各个分支有效连接起来。（3）多向性。数学问题在转化期间，往往可以选择多种形式，包括内部结构以及外部形式、外在条件或是已有结论，采用多种转化方法、多种转化对象以及多种转化目标。由于不同的学生的数学能力也各不相同，面对同样的题目，很容易产生不同的化归对象，进而充分体现出了化归思想的多向性。
3.化归思想的基本原则。（1）熟悉原则。一个问题的解决中，最常用的方法就是将较生疏的问题转化成相对熟练的问题，继而启动自身所掌握的知识解答问题。比如：假定数列{an}符合下列条件，a1=1，而an+1=2an+3，求数列的通项公式。解答这道题目时，我们可以直接看出想要求得的数列并不是自己比较熟悉的等差或是等比数列，然而，通过利用化归思想，构造一个新的数列，令其满足等差或等比数列条件，便可以求得原题的答案了。（2）简单原则。化归的主要目的就是将相对复杂的数学问题进行简单化的转化，所谓的简单不一定代表问题结构简单，也可以表示对比原问题，转化以后的处理方法更加简单。（3）具体原则。数学的抽象性非常强，想要将抽象化的问题转化成能够解决的问题，应该向着具体化的方向转化。具体化针对的是原来的题目，而自身已经熟练掌握的知识点都可以当做具体化归素材。
三、化归思想在极限问题中的应用
挖掘辅助函数法、泰勒级数、积分法求极限三个方面化归思想的实际应用，积极指向数学活动，与之相伴随，教育价值陡增，回归培养学生数学能力的根本途径。
1.辅助函数法求极限。辅助函数法求极限，引入的辅助函数基本上多为学生比较熟悉的函数或是固定的专用函数。其中比较常见的有：数列函数转换、极限级数转换，引入泰勒公式等。
（1）利用化归思想将数列转化为函数。将数列的极限选用海涅定理可以转化为函数的极限。
例1：已知an= ，求
解析：由海涅定理可以将所求 转化为 ，即 x ，随后，便可以利用已经掌握的罗比达法则进行极限求解。
例2：利用函数极限证明柯西准则具备充分性，有
f（x）在一个空心邻是存在的，设空心邻为U0（x0，δ′），那么在任意ε>0时，必然存在某个正数δ<δ′，令U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε，也就是指 f（x）是存在的。
解析：首先，假设存在某个数列{xn}在U0（x0，δ′）中，且有 xn=x0，那么对于给出的ε来说，必然存在对应的δ，且δ<δ′，且U0中的x′、x″有f（x′）-f（x″）<ε。通过柯西准则可知，必然存在某正数N，针对所有的m，n来说，只要满足xm，xn在U0中，那么必然有f（xm）-f（xn）<ε。利用柯西准则可以确定，数列{f（xn）}的极限是存在的，将该数列的极限记为A。假设存在一数列{yn}在U0（x0，δ′）上也能满足
yn=x0，表示 yn是存在的，可以记为B，那么B=A。再假设一数列{zn}：x1，y1，x2，y2，…，xn，yn…，显而易见，数列{zn}在U0（x0，δ′）上也能满足 zn=x0.所以，我们可以判断{f（zn）}也是收敛的，其子列的极限是相同的。因此通过归结的原则便可以得出 f（x）=A.
（2）极限和级数之间完成转化，利用泰勒公式。函数的极限是数学的重要内容之一，对于一些复杂函数，需要转化问题，泰勒公式在数学极限问题中也比较常用，适用于不同的题型。
例1：求解 [1- + - +…+（-1）n-1 ].
解析：从题目中分析在求解错项级数的前n项之和，其形式与泰勒展开式中f（x）=ln（1+x）的展开形式较像，所以该问题可以通过级数解决，即将题目划归为泰勒展开式的形式。
解：已知当x=1时，函数lnx的泰勒展开式为：
f（x）=lnx=（x-1）- + - +…+（-1）n-1 +…
所以有：ln（x+1）=x- + - +…+（-1）n-1 +…
则当x为1时，有ln（x+1）=ln（1+1）=ln2
即原极限为ln2.
2.积分法求极限。定积分是一种特殊类型的极限，定积分是一种较为复杂的和式求极限，能够将变量λ所有的自变过程完全反映出来，在同一个区间可以进行无数种划分，同时，针对每一种划分方法，也可以找出无数种介点取法，相应的和式更是存在无数个值。但是，从本质上看，积分极限和函数极限、数列极限依然存在着共同点。
例1：求极限 。
解析：这个问题是求有限和的极限值，可以使用恒等变形的方式将它转化成一个定积分，得到极限。
解：假设存在an= =
那么有lnan= ln（1+ ），通过定积分的定义可以得出：
lnan= ln（1+ ）= ln（1+x）dx=ln
所以，原极限值为ln 。
四、结语
未学的、复杂的数学问题，通过转化，归结为已学的或易解决的问题，这是化归思想的功能。也就是说，化归转化方法使旧的知识向新的知识迈进，使低一级知识向高一级知识纵深发展。极限的意义在化归思想的杠杆放大作用下，向导数、连续、定积分、级数等领域发展，化归思想实现了知识交融，从一个领域向另一个领域转化，得到更多新的理论，转化正是数学思想方法的核心与精髓。
参考文献：
[1]周炎龙.化归思想在高中数学中的体现和教学[D].郑州：河南师范大学，2013.
【关键词】数列；数学思想；中学数学
中考数学中经常会出现一些找规律的题目，这类考题题目新颖、变化莫测，往往属于开放性题目的范畴，因此，很多中学生在遇到这类题目的时候会变得紧张、担忧，进而影响了题目的正常思考和作答。经分析，中考数学中出现的找规律题目就是数列原型，教师要善于分析这些数列题目中所渗透的数学思想，教导学生运用数学思维解答数列题目的技巧和方法，一旦中学生能够有效把握这些思维方法，那么其中考成绩往往会取得明显的提高。
一、数列中所包含着函数的思想
（1）数列中体现着函数的思想。数列其实是函数的一种离散式表达，往往函数是具有自变量和因变量共同作用产生的图形，而数列往往体现了当把自变量取成整数的情况，因此在中学教学中要善于给学生渗透数列中所包含着的函数的思想。
例如，在求解一些数列题目的时候，我们往往要将其转化为函数形式，注意数列的通项公式其实就是函数表达式，而数列的序号表示的函数的定义域，当研究数列的单调性、奇偶性等性质的时候，往往将数列转化为函数来研究。
（2）数列中常常与极限相转化的思想。数列中的“n”往往代表着无限个自然数，这就表示数列彰显着极限的含义，因此，学生在求解数列的题目的时候，一定要注意把握数列求解可以转化成为极限来求。
（3）数列常常体现了观察与构造的数学思维。与其说是构造或者观察的数学思维，我们不妨更加简单地认为数列能够锻炼学生的观察能力和构造性思维，这是不言而喻的，因为在很多中学的找规律的题目中，总是开放性地设置很多的图形或者公式，需要学生通过自己的观察来自己总结出相应的数列通项公式，这对于提高中学生的建构水平和空间想象力是非常有帮助的。
例如，在用圆圈拼图的时候，有如下图所示的规律：
请大家计算下接下来的图形用到的圆圈是多少个？
这个例子显然就是一个数列的题目，然而我们往往在思考其构造的时候会发现，这是一个简单的自然数相加的构造模式，自然而然就会想到接下来要算的就是1+2+3+4+5=15。
（4）数列常常与不等式内容相结合。不等式在中学数学学习过程中是非常重要的知识点之一，数列的题型与不等式相结合往往能够提高题目的难度和深度，这也为学生的解题带来了困难，因此，教师在讲解这部分知识的时候要注重列举典型的例题，帮助学生体会当数列与不等式相结合的考题出现时，要掌握运用放缩法求解。
例如，已知，证明：任意的≥
这里的求解就可以根据放缩法的使用达到证明目的。
（5）数列常常体现着分类讨论的思想。分类讨论往往在数学中体现着严密、谨慎的数学素养和数学理念，因此在数列的学习过程中，教师要时刻要求学生关注数列最重要的“n”的范围，往往在求解的过程中，会将n进行分类讨论，保证题目的严密与正确。
（6）数列常常体现着猜测的思想。数学的各种思维中猜测思维占据着非常重要的地位，这是由于猜想是创新思维的源泉，也是数学知识最终的根本来源，没有猜想就没有后来我们现在学习的各种数学知识，因此，数列往往能够促进中学生提高创新思维。
例如，设各项均为正数的数列{an}，其中它满足如下两点：a1=2和，如果a2=1-4，求a3，a4，并猜想a2008的值（不需证明）；
解：由于a1=2，a2=2-2
由此有
故猜想{an}的通项为。
二、研究数列所体现的数学思想的重要意义
（1）通过研究数列所体现的数学思想，能为教师的教学提供明确的方向。教师在教学过程中，明确了重点培养学生的哪方面的数学思维意识的目标，能收到意想不到的教学成果。
（2）通过研究数列所体现的数学思想，大大提高了学生学习数学热情。随着教师不断训练，学生在认识数列的同时数学思维提高，与此同时，直接激发了学生学习数列的热情，让学生在上数学课时充满激情，有效地提高了课堂效率。
（3）通过研究数列所体现的数学思想，让学生对数列有了更深刻的认识，为高等数学的学习打下扎实的基础。
以上所述，都是根据笔者在多年中学数学教学第一线工作中，对中学数列的思考和总结。文章通过列举简要例子的方式概括了中学数列学习过程中，所体现的基本数学思想，包括函数思想、不等式知识、极限知识、分类讨论思想、猜测想象、建构思想等等，尽管如此，学生对于数列的认识远远不够，教师一定要继续在平时的数学课堂上，为学生补充大量的数列知识题目，提高学生解答数列题目的正确率。
参考文献：
关键词: 极限 习题课 求极限的方法
极限是微积分课程的一个重要内容,是微积分课程开始部分的重点和难点部分.在某种程度上说,能否学好这部分内容直接关系到微积分学习的好坏,将影响到该课程的学习效果.
由于该部分的概念抽象、公式繁多,学生往往会碰到听懂了,但公式不会用、不会做题的问题,因此安排习题课必不可少.通过组织有效的习题,不仅能够强调重点内容,而且能够将整个章节内容贯穿起来,体现体系的完整性,使学生对所学内容的认识有质的飞跃.
习题课要密切配合课本内容,着重考查学生对所学知识的掌握情况,起到及时反馈巩固所学知识的作用.同时习题的选择要有一定的代表性、启发性,能做到以基础知识为出发点,辐射到所学知识点.给学生讲解时要分析透彻,授之以“渔”而非授之以“鱼”.下面是笔者总结的求极限的方法.
一、利用极限运算法则求极限
恒等变形法——对于不能直接利用极限四则运算法则的,可通过一定的恒等变形再利用法则求解,包括以下三种情况.
(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它们代数式中最高阶无穷大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化转为■型或■型.
例1:■(■-■)
解:分析:属于∞-∞型,不能直接利用极限的四则运算法则进行计算,必须先将函数变形.
原式=■■
=■■=■■=■=1
二、利用单调有界准则证明或求极限
方法:利用单调有界数列必有极限,主要针对递推数列,其步骤为:
(1)用数学归纳法或x■-x■≥0或■>1,证明其单调性.(2)用不等式放大缩小法证明数列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.
例2:设0
证明:由0
令■x■=A,在x■=■中令n∞,得
A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.
三、求数列n项和的极限
方法一:利用夹逼定理
例3:求■(■+■+…+■)
解:因为■
而■■=1,■■=1,故由夹逼定理得原式=1.
方法二:利用拆项法
例4:■■■
解:由拆项法得■=■-■,■■=1+■-■-■
原式=■■■=■.
四、求数列n项积的极限
方法一:夹逼定理;
方法二:拆通项分解因式法,即使因子相乘,中间项抵消;
方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;
方法四:取对数法.
例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)
由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.
五、利用等价无穷小及无穷小的性质求极限
常见的等价无穷小:当x0时,(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等价无穷小在作积商运算的时候可以相互代替,对加减运算不宜使用.
例6:■■
解:原式=■■=■■=■
六、幂指函数y=f(x)■求极限,常用取对数的方法
例7:■(sinx)■
解:用罗必塔法则
因为■tanxlnsinx属于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.
合理选取有代表性的习题,往往能加深学生学生对所学知识的理解与应用,使学生能体会到定义、定理及推论的妙用,同时使学生发现问题、分析问题、解决问题的能力得到了发展,进而提高了教学质量.
参考文献:
[1]参韩飞,张汉平,胡方富.应用经济数学.湖南:湖南师范大学出版社,2011,8.
【关键词】 高等数学；极限；教学
【基金项目】 国家自然科学基金青年基金（项目号：11501416）.
高等数学是大学非数学类专业的一门核心课程，一般在大学一年级开设.从内容上讲，高等数学既是中学数学内容的推广和扩展，又为后续各专业课程提供必要的基础；从教学要求上讲，高等数学通过介绍微积分学的理论与方法，力求培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以期提高学生的数学素养和应用能力.鉴于高等数学的重要性，它一直是绝大多数专业研究生入学考试的必考科目.然而，教学实践表明，学生对这门课的掌握程度完全没有达到预期目标.很多学生“谈高数而色变”，戏称“从前有一棵高高的树，上面挂了很多人”.因此，高等数学教学内容改革和教学方法研究逐渐成了大家的研究热点.本文结合自身经验，对极限概念的教学方面做了一些探讨.
一、极限概念的重要性与教学要求
极限是微积分的主要理论基础，高等数学中的后续概念如导数、积分、级数等都要以极限概念为基础来建立，后续的诸多计算性质也是由极限性质来直接推出的.因此，如果极限概念掌握不好，后续学习将相当困难.由于当下高数课程的课时较为紧张，很多教师要么完全摒弃严格的极限概念，要么直接讲严格的ε-N极限表达，这使得学生云里雾里，对后续内容的学习十分不利.
另一方面，按照高等数学的课程标准，教学中须遵循“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质.因此，极限概念不宜讲得过难，关键是要让学生建立起极限思维和认识到极限是一个变化过程.
二、极限概念的引入与建立
结合自身教学经验，笔者在教学中一般采取如下教学步骤：
（一）还原极限发展过程，引发学生兴趣
自公元前三四世纪产生极限思想的萌芽到德国数学家魏尔斯特拉斯给出课本上的严格定义，前后跨越两千三百余年，极限理解之难可见一斑.在教学中，首先，我们粗略介绍极限概念的发展历程，使学生不感枯燥且能体会极限的基本思想.比如，《九章算术》中用割圆术计算圆的面积时，提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.在教学中，我们介绍阿基里斯悖论后，很多学生就已产生兴趣，觉得这是“不可能的”，但细想之下又觉得有一定道理，迫切想知道正确解释.
（二）采用“导―学―研”模式，从感性到理性，逐步引导学生探索
《庄子》中记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将其用数列来描述，即每日的截取量为 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即为通项an= 1 2n .学生们可以很直观地认识到，随着天数增加，所剩长度越来越小，会无限地接近于零但又不为零，即“万世不竭”.由此，即可得到极限的描述性概念：给定一个数列{an}，随着n越来越大时，若通项an无限地接近一个常数A，则称该数列的极限为A，记作 lim n∞ an=A.此时，给出 lim n∞ 1 n =？学生立刻会答：“等于零.”这表明已经建立了感性认识.
为了给出严格定义，可以提出问题：如何定量地表达“接近”？什么叫“无限接近”？一般的，学生很容易想到利用距离的大小来衡量接近程度，部分学生也能想到“无限接近”指的是“要多近就有多近”.这就可以理解为给定一个规定的接近程度（用正数ε来刻画接近程度），只要n很大，就一定可以达到该程度.对上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n 10.换言之，只有从第十项开始（我们用N=10来刻画这个开始下标），才能达到该接近程度.于是，为了表达无限接近，只需要对给定的任意一个正数ε，都能找到这样一个开始下标N，从第N项开始，都有|an-A|= 1 n
至此，教师可以与学生一起将极限的描述性概念用严格的数学语言表达出来：若对任给的ε>0，总存在一个正整数N，对任意的n>N，都有|an-A|
（三）用定义证明数列极限，强化理解
在公共数学的研究生入学考试中，一般不会考查严格的极限定义.虽然如此，我们还是认为，应当适时地让学生练习一下如何利用极限定 义来证明极限.如下的例1是今后计算极限时常用的结论，例2则是从小学时代就困惑的循环小数问题.
例1 对给定的|q|
例2 记an= 0.99 … 9 n个 ，有 lim n∞ an=1.
（四）趁热打铁，将数列极限概念推广到函数极限
建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者凭借原有的知识和经验，在他人的帮助和引导下，通过意义建构的方式而获得的.在完成数列极限的概念后，我们发现数列极限包含两个变化过程，一是自变量n的变换，一是函数值an的变化.这样，我们很容易引导学生自己给出函数极限lim x+∞ f（x）=A的概念：就是随着自变量x趋于正无穷大时，函数值f（x）无限接近于A.在此基础上，逐步引导学生建立其他极限概念（包括x-∞，xa，xa+，xa-）.讲解时可以利用图形的直观性来展示，此外还要特别注意引导学生了解本质：就是随着自变量x越来越接近某一值时，函数值无限趋近于某个常数.
三、结 语
对极限是高等数学的基础，对这一概念掌握的好坏将直接影响后续内容的学习和理解，也将决定学生大学数学功底的修炼水平.本文通过极限部分教学中的一些具体问题来探索教学方法.当然，教无成法.要提高教学质量，还要从多方面入手.笔者将不断努力，积累教学经验，探索教学方法，以期从根本上提高教学效果，让学生们真正热爱数学！
【参考文献】
[1]同济大学数学系.高等数学第六版[M].北京：北京高等教育出版社，2007.
[2]齐民友.从微积分的发展看微积分的教学[J].高等数学研究，2004（2）：2-6.
级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象。
数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项，排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项。
（来源：文章屋网 ）
高中极限知识是从推理与证明中的数学归纳法引入的，数学归纳法让我们接触到了极限的思想，其主要的概念为：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立，一般情况下n0取值为1或2，但也有特殊情况，例如我们在研究多边形内角和公式的时候n从3开始；（2）假设当n=k（k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。综合以上两点可得对于一切自然数n命题都成立。在求函数在某一点x0处的瞬时变化率的问题中，一般取x0所在的一个区间，当我们逐渐减小区间的长度时，它在这个区间的平均变化率趋近于某一个固定的常数，这一常数就称为在此点的瞬时变化率也就是函数在此点的导数，即f′（x）=这些思想都与函数极限的思想相吻合。下面介绍一下用函数极限的定义解有关函数极限问题：
一、函数极限定义
1.x趋于∞时函数的极限
设f（x）为定义在[a，+∞）上的函数，A为定数，若对于？坌ε>0，都存在一个整数M（≥a），使得当x>M时有|f（x）-A|
这里的正数M与数列极限定义中的N相类似（数列极限定义：？坌ε>0，？埚自然数N，当n>N时，有|xn-a|
通过以上的例子，我们对于用定义法求函数极限有一定的理解，值得注意的是：
（1）定义中的正数δ，相当于数列极限ε-N定义中的N，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定，一般来说，ε越小，δ也相应地要小一些，而且把δ取的更小些也无妨。
（2）定义中只要求函数f（x）在x0的某一空心领域内有定义，而一般不考虑f（x）在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值，这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势，如在例3中，函数在|f（x）-A|
（3）定义中的不等式00使得f（U0（xo；δ））？奂U（A；ε）。
