时间：2023-05-30 09:15:25
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇正方形面积公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
正方形周长和面积公式是C=4a和S=a²。正方形是特殊的平行四边形之一。即有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形，又称正四边形。正方形具有矩形和菱形的全部特性。
正方形的性质有：两组对边分别平行；四条边都相等；邻边互相垂直。四个角都是90°，内角和为360°。对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（来源：文章屋网 ）
1.知道长方形、正方形面积公式的推导过程。
2.掌握长方形、正方形面积的计算公式。
3.能够应用公式计算长方形、正方形的面积。
【教学过程】
一、激趣导入
师:同学们,你们听过龟兔赛跑的故事吗?有一天,乌龟又遇到了兔子并再一次向兔子提出了挑战。这次,乌龟和兔子要进行粉刷墙面的比赛。(课件演示龟兔粉刷墙面的情境:兔子粉刷一块长方形的墙面,乌龟粉刷一块正方形的墙面,它们同时开始、同时完工)
师:怎样才能比较出谁赢了?(要知道它们粉刷的墙面的面积到底哪个大一些)
师:如何知道它们哪个粉刷墙面的面积大?用面积单位去测量行吗?
师:要测量黑板、操场等比较大的面积,使用面积单位一排一排地实际测量这种方法显然比较麻烦。今天我们就寻找一下计算长方形、正方形面积的规律,推导出计算公式。
二、探究新知
1.长方形面积的推导
(1)猜想
师:为了能很快找出长方形面积的规律,请看大屏幕。(教师用多媒体演示长、宽的变化引起长方形面积大小变化的动画)看了老师的操作过程,请你们大胆地猜猜看:长方形的面积可能与什么有关?长方形的面积与它的长、宽到底有着怎样的关系?你们喜欢自己来探索这个问题吗?好,通过实验解决问题是科学研究经常采用的方法。
(2)实验
师:下面我们用准备好的1平方厘米的小正方形任意摆一些长方形,然后数出它的面积。
师:你摆的长方形一排用了几个小正方形?一共有几排?一共用了多少个1平方厘米的正方形?
(3)发现
师:通过刚才的实验,你有了哪些发现?
生:每排小正方形的个数刚好是长方形长的厘米数,排数正好是长方形宽的厘米数。因为总个数 =每排个数×排数 ,所以长方形的面积=长×宽。
师:大家的这些想法都有一定的道理,说明你们很会钻研问题。但是,这些长方形都是用1平方厘米的正方形摆出来的,是否对计算所有的长方形的面积都适用呢?我们还要对这个发现进行验证。
(4)验证
师:请同学们用1平方厘米的正方形测量已知长、宽的长方形的面积。你有什么发现?
生:我先用刚才发现的计算方法算出这些长方形的面积,再用1平方厘米的正方形直接测量出这些长方形的面积,两种方法的结果是一样的。所以,我认为这个计算方法是正确的。
2.正方形面积的推导
师:(应用多媒体动态展示:先出示长7分米、宽5分米的长方形,然后把它的长缩短1分米,接着再把它的长缩短1分米,宽始终不变)这个长方形通过两次变化已经变成了什么图形?(正方形)那么,正方形的面积又是怎样计算的呢?为什么?
生:因为原来长方形的长和宽都变成了正方形的边长,所以正方形的面积=边长×边长。
三、知识运用
一张长方形的餐桌,桌面长14分米、宽9分米,要配上同样大小的玻璃,这块玻璃的面积应该是多少平方分米?
四、巩固新知
题目略。
《长方形、正方形面积的计算》是义务教育教科书三年级数学下册的内容，本内容是在学生已经掌握长方形和正方形的特征，并会计算长方形和正方形的周长以及认识面积单位的基础上，学习基本图形的面积测量。
长方形、正方形的面积计算从属于图形的度量，度量的本质是用计量单位的个数表示度量值。学生在上节课学习面积的时候已经知道了图形的面积实际上是该图形包含了几个面积单位。这是学习新知“长方形、正方形面积计算”的支撑点。本节课的学习探究就是利用这一支点，引导学生结合图形的特征进行长方形、正方形面积计算公式的推导与归纳。
二、教学过程
（一）激活旧知，提供储备
师：如果一个代表1平方厘米，那么下面图形的面积是多少平方厘米？谁能很快回答。
学生一般采用数图形的方式得出结果。
小结：包含了几个面积单位，图形的面积就是几。
设计意图：这是探究长方形、正方形面积计算的知识起点和支撑点，在新知探究前激活，以便唤醒经验储备。
（二）探究新知，提炼升华
1. 数图形得出面积
（1）如果一个代表1平方厘米，那么这个图形的面积是多少平方厘米？
师：你是怎样很快地数出图形来的？
学生可能会说是一个一个数出来的，也可能说是5×3算出来的。
小结：在数长方形面积单位个数时，可以数每排有几个，有几排，再用乘法5×3=15。
像这样求出图形包含了几个面积单位，就是求这个图形的面积（出示课题）
（2）怎样才能很快数出长方形的面积，你能把数的过程用乘法运算表示吗？
学生同桌进行探究，反馈交流后板书：4×6= 4×4=
设计意图：本教学过程通过设计“怎样才能很快数出长方形的面积”这样提问题驱动，让学生结合图形特征寻找最优方案，从而把握求长方形面积的核心要素：每排有几个，有几排。让学生把图形的面积与乘法模型进行结合，为后面的计算公式推导做铺垫。
2. 根据长方形的图形求面积
（1）学生讨论：如果给你一块没有面积单位的长方形纸片，你怎样求出它的面积？学生交流后进行探究。
（2）小组探究
①每一组提供一块长方形纸片和10个1平方厘米的小正方形。同桌学生根据提供的材料，探索求长方形的面积。（方法多样化）
②同桌思考：如果不用摆小正方形也能测量，该怎样测量？
③四人小组讨论：为什么测量出长方形的长和宽就可以求出它的面积？
归纳小结：长方形的长是几厘米，代表了每一排有几个1平方厘米的小正方形；长方形的宽是几厘米，代表有几排。长方形包含了几个面积单位，它的面积就是几。
设计意图：通过放手让学生探索没有面积单位长方形的面积，体现了方法多样化，同时也顺势引出了只测量长和宽的长度便可求出面积，借助课件演示帮助学生从一维的线性空间向二维的平面空间的飞跃。
（三）巩固应用，提升能力
一、单选题
1.圆周率是一个（
）
A. 有限小数 B. 无限小数 C. 无限不循环小数
2.c=12.56分米，圆的面积是（
）
A. 3.14平方分米 B. 4平方分米 C. 6.28平方分米 D. 12.56平方分米
3.一个圆的半径由3厘米变成5厘米，圆的面积增加了（
）平方厘米。
A. 2π B. 4 C. 16 D. 16π
4.周长相同的圆、正方形和长方形，面积最大的是(
)。
A. 正方形 B. 长方形 C. 圆
5.小圆的直径是2厘米，大圆的半径是2厘米，小圆的面积是大圆面积的（
）
A. B. C. D.
二、判断题
6.直径是半径的2倍。
7.圆的半径越大，面积就越大。
8.一个圆的半径扩大2倍，它的面积也扩大2倍
9.所有的直径长度都相等，并且都是半径长度的2倍。
三、填空题
10.求下面圆的周长和面积．
面积是________cm2
周长是________cm
11.要画一个周长是31.4厘米的圆，圆规两角之间的距离是________厘米。
12.在一个面积为16平方厘米的正方形内，画一个最大的圆，这个圆的面积是________平方厘米．
13.一个圆的周长是37.68dm，这个圆的半径是________ dm，面积是________
14.把一块边长4分米的正方形铁皮剪成一个最大的圆形，剪去部分的面积是正方形面积的________％
四、解答题
15.利用下边的方法可以画出一个圆，试解释这样画圆的道理．
16.一个环形，外圆半径为12厘米，内圆半径为8厘米，这个环形的面积是多少平方厘米？
五、综合题
17.操作题：
（1）图中，圆心O的位置用数对表示是（________，________）．如果每个小方格的边长是1厘米，这个圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米．
（2）请你在O处画出：把圆按2：1的比例放大后的图形．
（3）先在上面的方格图上依次标出A（4，6），B（1，4），C（1，2），D（4，2）．再顺次连接A、B、C、D、A，围成的图形是________形．请你画出将这个图形向右平移5格后再向上平移2格后的图形．
六、应用题
18.在一个直径是6米的圆形花坛周围铺2米宽的水泥路，这条水泥路面的面积是多少平方米？(结果用小数表示)
参考答案
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】圆周率是一个常数（约等于3.1415926）,是代表圆周长和直径的比例.它是一个无理数,即是一个无限不循环小数.但在日常生活中,通常都用3.14来代表圆周率去进行计算,即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,也只取值至小数点后约20位.故：选C
【分析】π(pai)是第十六个希腊字母,本来它是和圆周率没有关系的,但大数学家欧拉在一七三六年开始,在书信和论文中都用π来代表圆周率.既然他是大数学家,所以人们也有样学样地用π来表示圆周率了.但π除了表示圆周率外,也可以用来表示其他事物,在统计学中也能看到它的出现.
2.【答案】
D
【解析】【解答】解：3.14×（12.56÷3.14÷2）²＝12.56平方分米
故选：D.
【分析】此题是圆面积公式的实际应用，根据圆的面积公式：s=π（c÷3.14÷2)2
，
把数据代入它们的公式进行解答．
3.【答案】
D
【解析】【解答】解：π×5²-π×3²
=25π-9π
=16π(平方厘米)
故答案为：D
【分析】圆面积公式：S=πr²；根据圆面积公式，两个圆的面积差就是面积增加的部分。
4.【答案】
C
【解析】【解答】解：周长相同的圆、正方形和长方形，面积最大的是圆。
故答案为：C
【分析】周长相同的圆、正方形和长方形，面积最大的是圆，面积最小的是长方形；面积相同的圆、正方形和长方形，周长最大的是长方形，最小的是圆。
5.【答案】
B
【解析】【解答】解：[3.14×（2÷1）2]÷[3.14×22]，
=1÷4，
=
；
答：小圆的面积是大圆面积的
．
故选：B．
【分析】根据“小圆的直径是2厘米，”可求出小圆的半径，也就求出小圆的面积，再根据大圆的半径是2厘米，即可求出大圆的面积，用小圆的面积除以大圆的面积，就是要求的答案．解答此题的关键是，合理利用圆的面积公式，不用把圆的面积求出，因为在计算的过程中π可以约去．
二、判断题
6.【答案】错误
【解析】【解答】解：同一个圆内或等圆，直径是半径的2倍，原题说法错误。
故答案为：错误
【分析】必须是同一个圆内或者是等圆的直径才是半径的2倍，题中少了同一个圆内或等圆。
7.【答案】正确
【解析】【解答】解：圆的半径越大，面积就越大，原题说法正确。
故答案为：正确
【分析】圆面积公式：S=πr²，圆的面积大小与半径的长短有关，由此判断即可。
8.【答案】错误
【解析】【解答】解：
设圆的半径为r，则扩大2倍后的半径为2r，
扩大后的圆的面积：π×（2r） 2 =4πr 2 ，
原来的面积：πr 2 ，
面积扩大：4πr 2 ÷πr 2 =4倍；
故答案为：错误．
【分析】考察了圆的半径和面积，以及半径和面积之间的关系。明确半径扩大2倍，面积扩大4倍
9.【答案】错误
【解析】【解答】所有的直径长度都相等，并且都是半径长度的2倍，前提是在：同圆或等圆中。
【分析】在同圆或等圆中，所有的直径长度都相等，直径是它半径的2倍；注意对圆的基础知识的掌握及灵活运用。
三、填空题
10.【答案】
15.7；19.625
【解析】【解答】2.5×2×3.14=15.7（厘米）
2.5×2.5差3.14=19.625（平方厘米）
故答案为：19.625；15.7
【分析】圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2
圆的面积=圆周率×半径×半径
11.【答案】5
【解析】【解答】根据课本知识点我们知道圆的周长C和圆的直径d的关系为
，题目已知圆的周长，那么可计算出圆的直径为10厘米，而且圆规两角之间的距离即为圆的半径，
（厘米），所以圆规两角之间的距离是5厘米。
【分析】该题只要是考察同学们对圆规的认识以及圆规画圆的理解，要认识到圆规两脚之间的距离是圆的半径而不是圆的直径。
12.【答案】12.56
【解析】【解答】解：因为4×4=16，所以正方形的边长是4厘米，圆面积：3.14×(4÷2)²=12.56(平方厘米)
故答案为：12.56
【分析】根据正方形面积判断出正方形的边长，正方形内最大的圆的直径与正方形的边长相等，然后根据圆面积公式计算面积即可.
13.【答案】6；113.04
【解析】【解答】解：周长：37.68÷3.14÷2=6(dm)，面积：3.14×6²=113.04(dm²)
故答案为：6；113.04【分析】用圆周长除以3.14再除以2即可求出半径，圆面积：S=πr²，根据面积公式计算面积即可.
14.【答案】21.5
【解析】【解答】解：正方形面积：4×4=16(平方分米)，圆面积：3.14×(4÷2)²=12.56(平方分米)，
剪去部分的面积是正方形面积的：
(16-12.56)÷16
=3.44÷16
=21.5%
故答案为：21.5
【分析】正方形中剪去的最大的圆的直径与正方形的边长相等，用正方形面积减去圆的面积求出剪去部分的面积，用剪去部分的面积除以正方形面积求出占正方形面积的百分之几.
四、解答题
15.【答案】
固定尺子的一端就确定了圆的位置，圆的半径是尺子上4个小孔之间的距离
【解析】
16.【答案】解：大圆的面积=πr²=π×12×12=452.16(平方厘米)小圆的面积=πr²=π×8×8=200.96(平方厘米)
环形的面积=大圆的面积-小圆的面积=452.16
-200.96=251.2(平方厘米)
答：环形的面积是251.2平方厘米.
【解析】【分析】圆环的面积就是外圆面积减去内圆面积，由此根据圆面积公式计算出圆环面积即可；也可以运用简便公式计算：S=π(R2-r2).
五、综合题
17.【答案】
（1）16
；4
；12.56
；12.56
（2）解：圆按2：1的比放大，即半径扩大了2倍，变成4厘米，再以O为圆心，以4厘米半径画圆即可得到放大后的图形；如图所示：
（3）解：根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可在平面图中找到它们的位置，在顺次连接起来得到的图形是直角梯形，再根据图形平移的方法，先把此图形的四个顶点分别向右平移5格，再把它的四个点分别向上平移2格，再把各点依次连接起来，即可得出平移后的图形A′B′C′D′；如图所示：
故答案为：直角梯形．
【解析】【解答】解：（1）找出图中圆心O对应的列数与行数，列数写在数对中的第一个数，行数写在数对中的第二个数，即圆心O的位置用数对表示是（16，4）．由图知圆的半径是2厘米，
故圆的周长是：2×3.14×2=12.56（厘米），
圆的面积是：3.14×22=12.56（平方厘米）；
故答案为：16，4，12.56，12.56；
【分析】（1）找出图中圆心O对应的列数与行数，列数写在数对中的第一个数，行数写在数对中的第二个数，由图知圆的半径是2厘米，再根据圆的周长和面积公式求出即可；（2）圆按2：1的比放大，即半径扩大了2倍，变成4厘米，再以O为圆心，以4厘米半径画圆即可得到放大后的图形；（3）根据数对表示位置的方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可在平面图中找到它们的位置，在顺次连接起来得到的图形是，再根据图形平移的方法，先把此图形的四个顶点分别向右平移5格，再把各点依次连接起来，得到一个图形，再把它的四个点分别向上平移2格，再把各点依次连接起来，即可得出平移后的图形；此题考查了图形的平移、放大以及数对表示位置的方法的灵活应用．
六、应用题
18.【答案】解：6÷2=3(米)，3+2=5(米)
3.14×(5²-3²)
=3.14×16
=50.24(平方米)
一、学习无疑须有疑――生疑
学者张宰说过：“于无疑处有疑，方是进矣！”“疑”应是认知的冲突，理智的挑战。在教学中，教师应当教会学生敢于思考、敢于批判、敢于质疑。
例如，在学习“长方形和正方形的认识”之后，课本中提出让学生思考长方形和正方形有什么相同点与不同点，教师往往能用表格很清楚地表现它们的异同点，然后提出正方形是特殊的长方形，可学生往往不能理解这句话。比如，当出现“长方形只有两条对称轴”这道判断题时，学生往往认为是正确的，其实这个判断是错误的。究其原因，也就是在比较长方形和正方形的异同点后就概括出正方形是特殊的长方形，是否适切呢？
二、有疑定要求无疑――析疑
质疑是学生构建知识的重要环节，同时质疑也要是有根据的怀疑。教师既要不断培养学生的质疑意识、质疑能力，也要培养学生不盲从、不唯书、不唯上的精神，让学生在不断的思考中析疑。
例如，在学习“认识正方形和长方形的特征”时，长方形的特征有四条边，对边相等，有四个角，都是直角；正方形的特征有四条边，全都相等，有四个角，都是直角。如果在学生学习了这些特征后，教师就要求学生思考长方形和正方形有什么相同点与不同点，将会导致学生误认为长方形和正方形是并列的概念。怎样让学生更好地理解它们之间的关系呢？教师可以让学生自己先概括出长方形和正方形的特征，再对照被称为“正方形”的这一类图形，自主探究长方形的每一项特征正方形是否都具有（都具有）。既然正方形都具有长方形的每一项特征，那么请学生们再思考这两种图形之间有怎样的关系（正方形是长等于宽的长方形）。在此基础上，教师适时指出正方形是特殊的长方形，然后进行分类，通过欧拉图（如下）进一步明确长方形和正方形两者间的种属关系。
通过以上的分析，学生会明白长方形只有两条对称轴这条判断是不正确的，且在今后学习长方形、正方形面积公式的推导之后，也会更加理解：由于正方形是特殊的长方形，所以长方形的面积公式对正方形的面积计算同样适用，即可根据长方形面积公式推导出正方形的面积公式。
三、无疑本自有疑始――明疑
学习的更高境界是能自主地学习思考，在学习过程中不断从有疑到无疑，发展学生的学习策略、学习品质，在不断的循环质疑中明疑，从而达到无疑。
例如，在教学“被除数末尾有0的除法”后，请学生上黑板板演720÷9，出现两种不同的竖式形式。如下：
课堂上，学生对余数0所写的位置不同引起了激烈的争辩。生1：“①是正确的，把720看成72个十，余数0可以写在十位数2的下面。”生2：“②也是正确的，我们可以写完整。”学生们纷纷点头赞许。在这样的探讨、质疑中达到无疑，学生自主学习、自主探究能力不断得到提高，不断增长着与他人分享的内需。
四、有疑方能达无疑――释疑
有疑方能达无疑。教师应把培养学生的问题意识、探究能力作为教学目标的追求，让学生在不断发现问题、解决问题、应用问题中提高创新能力和探究能力，同时也为发展学生的后续学习能力夯实基础。
例如，在教学“24时计时法”时，教师先介绍普通计时法，再引导学生学习24时计时法，且在学习了它们的互化之后，适时地抛出一些问题。如：为什么要学习24时计时法？一天有24小时，可钟表上为什么只有12小时？什么场合用24时计时法比较合适……提出这些问题后，学生讨论热烈，兴趣高涨。课后，学生有的查阅资料，有的积极上网查询，努力探寻问题的答案。学生在不断探索中获得书本以外的知识，增强学习数学的兴趣，感受到学习数学的乐趣，并把生活与数学联系起来。
关键词: 小学生长方形面积 充分体验 操作感知
以前几次教学长方形面积的计算,我都是采用下列步骤:先用5―8分钟左右的时间进行操作感知,接着得出公式,然后根据公式进行大量训练,以达到熟练计算。这样教,一节课下来,学生基本都会计算了。但是,过两天再来算面积时,多数学生已经忘了怎么算了,等到把面积与周长放到一起算时,学生更是混为一谈。究其原因,应该是学生感受不充分,理解不深刻造成的。
这一次,我完全换了一种教学思路:用一节完整课时进行操作感知,结果收到了很好的教学效果。教学过程大致如下。
一、课前准备
1.每人准备30个边长1厘米的小正方形。(做小正方形的纸要稍微硬一些,这样便于摆弄。要求学生提前一天做好交给组长检查,保证课上所有学生都能一起参与操作)
2.我为每位学生准备一张画有6个长方形的纸(6个长方形大小都不等,边长都是整厘米,每个长方形都编上号)。
二、操作感知
1.摆一摆,数一数。
我说:“我们每人准备的小正方形的边长都是1厘米,面积就是1平方厘米,1号长方形的面积是多少平方厘米呢?我们有办法知道吗?”
一些学生很快想到用小正方形摆一摆,并且立刻动手摆了起来,其他学生也跟着摆了起来,这样全班所有学生都在用自己准备的小正方形摆弄着。
1号长方形的长是5厘米,宽是3厘米,学生很快地就用15个小方形把它摆满了,马上举手说“面积是15平方厘米。”
我问:“你们横着摆了几个?竖着摆了几个?”
学生答:“横着摆了5个,竖着摆了3个,三五十五。”
我接着说:“大家摆得好,算得也好,那2号长方形的面积是多大呢?你们能知道吗?试一试。”
全班学生都积极地在摆。很快,结果又出来了。
我问:“你们横着摆了几个?竖着摆了几个?”
学生答:“横着摆了6个,竖着摆了4个,四六二十四。”
我接着说:“大家摆得好,算得也好,那3号长方形的面积是多大呢?你们能知道吗?试一试。”
……
算到4号、5号、6号长方形时,有一些学生说:“老师,我不用摆满就知道一共要摆多少个了?”
“你怎么摆的?又是怎么知道的?”
“我横着摆了7个,竖着摆了3个,就知道一共要摆三七二十一个。”
“真聪明,是这样吗?我们一起把它摆满验证一下。”
2.摆一摆,猜一猜。
“这一次,我们只摆一部分,然后猜一猜,一共要摆多少个才能摆满整个长方形,好吗?”
“好!”
“一个长方形,横着一排摆5个,竖着一排摆4个,一共要摆多少个才能摆满?先摆一摆,再猜一猜。”全班一起行动,摆一摆,猜一猜。最后摆满验证一下。
“说一说,你是怎么猜的?”
“横排个数×竖排个数=一共摆的个数。”
“他说的有道理吗?你们是这么想的吗?”连续猜5题,学生都能猜对。
3.摆一摆,算一算。
出示一个长方形,“已经知道它的长是25厘米,宽是15厘米,你能知道它的面积是多少平方厘米吗?大家摆一摆。”
“老师,我们一共只有30个小正方形,根本不够摆。”
“只摆几个,然后算一算,行吗?”
“行!”
很快,结果就出来了。
“横着需要摆几个?竖着需要摆几个?一共需要摆多少个?小正方形不够摆时,能算出来吗?”
“能!”
“我们接着再来几题,还是像这样摆一摆,算一算。”
这时,小正方形个数差得再多也没人喊不够摆了,因为他们已经知道长方形的面积和它的长和宽有着怎样的关系,虽然没有人明确说出来,但是,他们已经实实在在地感受到了。
三、拓展延伸
“‘一个长方形,长500厘米,宽300厘米,它的面积是多少平方厘米?’,这样的问题我们有办法直接解决吗?我们也用小正方形来摆行吗?”
“不行。”
“有办法算吗?”
“有,500×300=150000。”学生几乎同时喊出答案。
探究勾股定理的发现S正方形A=22=4，S正方形B=32=9，
S正方形C=52-12×2×3×4=25-12=13，
所以S正方形A+S正方形B=S正方形C.
S正方形A′=32=9，S正方形B′=52=25，
S正方形C′=82-12×3×5×4=64-30=34，
所以S正方形A′+S正方形B′=S正方形C′.
由于正方形A，B(或A′，B′)的面积分别等于直角三角形的两直角边的平方，正方形C(或C′)的面积等于直角三角形的斜边的平方，于是我们得出：
勾股定理直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
反思1为什么直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方？
探究勾股定理的证明在计算正方形C(或C′)的面积时，我们发现：正方形C(或C′)的面积等于大正方形的面积减去四个全等的直角三角形的面积，由此我们受到启发.如图2，若设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，根据大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个直角三角形的面积，得(a+b)2=c2+12ab×4，整理，得a2+b2=c2.所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
说明上述证明勾股定理的方法用到的图形，叫做“赵爽弦图”.运用“赵爽弦图”证明勾股定理，简捷巧妙.为了开阔同学们的视野，下面再介绍一种利用全等三角形和面积的证明方法.
如图2，以RtABC的两直角边AC，BC向外作正方形ACGF和正方形BCLK，以RtABC的斜边向外作正方形ABED，过点C作CIDE，垂足为I，CI交AB于点H，则四边形ADIH和HIEB都是矩形.
由AF=AC，AB=AD，∠FAC+∠CAB=∠DAB+∠CAB，即∠FAB=∠CAD，得FAB≌CAD，所以SFAB=SCAD.
而S正方形ACGF=2SFAB，S矩形ADIH=2SCAD，
所以S正方形ACGF=S矩形ADIH.
同理S正方形BCLK=S矩形HIEB.
所以S正方形ACGF+S正方形BCLK=S矩形ADIH+S矩形HIEB，
即S正方形ACGF+S正方形BCLK=S正方形ABED.
所以直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.
探究勾股定理的拓展
由探究勾股定理的发现过程，我们不难得出：
拓展1以直角三角形的两直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积.
反思2如果分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积吗？
探究设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
以a为斜边的等腰直角三角形的面积等于12a・12a=14a2，
以b为斜边的等腰直角三角形的面积等于12b・12b=14b2，
以c为斜边的等腰直角三角形的面积等于12c・12c=14c2，
因为a2+b2=c2，所以14a2+14b2=14c2.
于是我们得出：
拓展2分别以直角三角形的各边为斜边作等腰直角三角形，那么以两直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积.
说明如果能够注意到等腰直角三角形正好是以它的斜边为一边的正方形的四分之一，运用拓展1的结论很容易得到拓展2.
下面请同学们运用拓展2的结论解决：
问题1已知：以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3，则三个等腰直角三角形的面积和为.
提示：如果对等腰直角三角形的面积公式(用等腰直角三角形的斜边表示)不熟悉，可先将每个等腰直角三角形补成正方形，这样所求的面积就等于两个等腰RtABE的面积，而两个等腰RtABE的面积正好等于以AB为一边的正方形的面积的一半，从而所求部分的面积=12×32=4.5.
例1小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3 ∶ 2.不知能否裁出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解： （假设能裁出符合要求的长方形纸片）设长方形纸片的长为3xcm ，宽为2xcm.根据边长与面积的关系得
3x•2x=300，
6x2=300，
x2=50，
x= .
因此长方形纸片的长为3 cm.
因为50>49，所以 >7.
由上可知3 >21，即长方形纸片的长应大于21 cm.
已知正方形纸片的边长只有20cm，这样，要裁出的长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长，这是不可能的.
故不能裁出符合要求的长方形纸片.
答：不同意小明的说法.小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
评析：这道例题是平方根知识在实际问题中的应用，同学们一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，解完了这道题后同学们该明白平方根知识的用处了吧！解题过程中给出了一种常见的用有理数估计无理数的方法，这种方法是利用与被开方数最接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，这种估算能力是同学们以后学习过程中必须具备的能力.
例2小明的房间面积为10.8m2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？
解： 房间的面积为10.8m2，也就是120块相同正方形地砖的面积之和为10.8m2，那么1块正方形地砖的面积为：
10.8÷120=0.09（m2）.
故每块正方形地砖的边长为：
=0.3（m）.
答：每块正方形地砖的边长为0.3m.
例3（1） 用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，你会怎样剪？
（2） 根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗？
解： （1）设正方形纸片的边长为a cm，则
a2 = 400，
a = ±
=± 20.
由于负值不合题意，应舍去，故正方形纸片的边长为20 cm.
要剪出面积为300 cm2的长方形纸片，可以以正方形纸片的边长20 cm为长，剪去一定宽度的长方形纸片而得.
设剪去的长方形纸片的宽为 xcm，则
20•（20-x）=300，
400-20x=300，
20x=100，
x=5.
[中图分类号]G[文献标识码]A
[文章编号]0450-9889(2012)01A-0088-02
平面组合图形的面积计算在小学数学教材中占有十分重要的地位，它既是学生学习平面几何的前奏，又是学习立体几何的基础。如何通过求平面组合图形面积的教学，让学生掌握一些图形转换方法，感悟图形的排除、包含、转化等思想，从而达到发展学生空间观念和培养学生空间想象能力的目的?笔者根据长期的教学实践和体会，总结出以下一些方法。
一、解题策略简述
平面组合图形是由两个或两个以上简单的几何图形组合而成，计算它的面积应看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成。在教学实践中，我常采用数据推导、割补、平移、巧添辅助线、旋转、组合等方法，将复杂问题简单化。
二、解题方法具体说明
1.数据推导。
根据已知的公理、定义、定理、定律和题目中的数据等经过演算、逻辑推理而得出新的结论。
(1)根据定义推导。
例：如图1所示，计算图形的面积。(单位：厘米)
思路分析与解：求梯形的面积，必须知道上底、下底和高这三个条件。从图中可以看出，此梯形的高是6米，那么解题的关键就是求出上底和下底的长度或求出它们的长度和。
在左边的直角三角形中，一个内角是45°，可知它是等腰三角形，所以梯形高的左边部分与下底相等。同样，右边的三角形也是一个等腰三角形，所以梯形的上底和高的右边部分相等。这样根据等腰直角三角形的定义推导出梯形的上、下底的长度和就是梯形高的长度6厘米。因此图形的面积是：6x6+2=18(平方厘米)。
(2)根据公式推导。
例：如图2所示，直角三角形的面积是12平方厘米，求圆的面积。
思路分析与解：要求圆的面积，必须要知道圆的半径。此题给出三角形的面积。暗示学生解题要通过三角形的面积求出半径的相关值，从而算出圆的面积。在图2中，三角形的底和高都是圆的半径，三角形面积为rxr+2=12(平方厘米)，即r212+2=6(平方厘米)，根据公式S圈=πγ2只要知道γ2等于多少，就可求出圆的面积。所以S圈=3.14x6=18.84(平方厘米)
2.割补、平移。
割补、平移是解决组合图形问题最常用的手段之一，它或是延长所求图形的某些边线，或是把图形切开，或是把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答。
(1)补充。一例：如图3所示，一个等腰直角三角形。最长的边是16厘米，这个三角形的面积是多少平方米?
思路分析与解：方法1：由于只知道三角形最长的边是16厘米，所以不能用三角形的面积公式来计算它的面积。教学时，我们可以让学生延长三角形的两条边，补充成一个正方形，显然拼成的正方形(如图4)的面积是16x16。那么，原三角形的面积是16x16+4=64(平方厘米)
方法2：还可以只补充画一条直角边，拼成(如图5)一个大的等腰三角形。那么原三角形的面积为16x16+242=64(平方厘米)
(2)分割。
分割就是把图形切开.但是并不移动，使题目更为明了。
例：如图6所示，梯形ABCD的上底是4厘米，下底是6厘米，高是4厘米.求阴影部分的面积。
思路分析与解：根据“同一平面内，等底等高的三角形面积相等”这一知识，把图中的三个三角形进行“等积变形”，即切割成为与之面积相等的(如图7所示)中三角形ABC，原阴影部分的面积是6x4÷2=12(平方厘米)。
(3)平移。
将所给图形中的某一部进行切割，沿直线上下左右移动，把复杂的图形简单化。
①整合平移。
例：如图8所示，正方形的边长为10厘米，里面横、竖各有三道黑条，黑条宽为1厘米，问：空白部分的面积是多少?
思路分析与解：观察图8可知，黑条形状相同，我们可以将竖条左平移至如图9中的正方形的左边界，横条上平移到正方形的上边界。这样，空白部分的面积相当于一个边长为7厘米的正方形，因此，空白部分的面积是：7x7=49(平方厘米)
②翻转平移。
例：如图10所示，求阴影部分面积。(单位：厘米)
思路分析与解：以图lO中大圆的圆心为中心，将左侧小半圆切割后，旋转平移到右边的小半圆，就得到图11所示的形状，所求图10中的阴影部分面积就是求图11中较大半圆的面积：3.14x102+2=157(平方厘米)。
③等积平移。
例：如图12所示,计算图中的阴影部分面积。(单位：厘米)
思路分析与解：观察图12，根据三角形内角和定义与一边长相等得出，正方形内的三角形和外面的三角形面积相等，所以可以将图12阴影部分的三角形切割下来，并平移拼成一个{圆的面积(如图13)。S圈=3.14x52÷4=19.625(平方厘米)
3.巧添辅助线。
在所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添加适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易的目的。
(1)连接。
例：如图14所示，计算阴影部分的面积。(单位：厘米)
思路分析与解：图14中，阴影部分有两块，一在东，一在西，没有整合在一起，计算起来比较麻烦。如图15，给图形画上一条辅助线，计算起来就事半功倍，求阴影部分的面积也就是求正方形面积的一半：6x6÷2=18(平方厘米)。
(2)延长。
例：如图16所示，求四边形ABCD的面积。(单位：厘米)
思路分析与解：学生一看图16，就会问：“这种四边形的面积怎么计算?”如果在图内作辅助线，根据已知条件也解决不了问题。其实图16原本是一个等腰直角三角形，只要延长AB边和CD边相交于一点(如图17)，隐藏的条件就立即显现：大三角形是等腰直角三角形，小三角形也是等腰直角三角形。所以四边形ABCD的面积为：8x8÷2-4x4÷2=24(平方厘米)。
(3)添加。
例：如图18所示，正方形的面积为12平方厘米，计算圆的面积。
思路分析与解：已知条件只给正方形的面积是12平方厘米，如何去计算出圆的面积?这就要给图形添加辅助线，只要通过圆心画两条直径(如图19)，问题就迎刃而解了。从图19中可以看出，大正方形的面积是4个小正方形的面积和，而小正方形的面积等于边长乘边长，就是半径乘半径即半径的平方为12÷4=3(平方厘米)，所以圆的面积是：3.14x3=9.42(平方厘米)。
4.旋转。
就是把图形按照预定的方向旋转一定的角度，不改变原图的大小，以达到解决问题的目的。
例：如图20所示，正方形内有一个最大的圆，圆内又有一个最大的正方形。如果大正方形的面积是22平方厘米，请计算小正方形的面积。
思路分析与解：要求正方形的面积，就要知道正方形的边长，不过此题的正方形边长无法求得，教学时，我们可以从两个正方形之间找到关系。把小正方形绕着它的中心旋转45°后，再加两条辅助线(如图21)，学生就会发现小正方形是由4个相同的三角形组成，而大正方形是由同样的8个三角形组成，所以小正方形的面积正好是大正方形面积的一半。小正方形的面积是22÷2=11(平方厘米)。
5.组合。
通过改变基本图形的位置或形状(但不改变图形的大小)，把几个基本图形合并成一个基本图形，然后间接求整个图形的面积。
例：如图22所示，已知直角三角形两条直角边的长度之和是7厘米，斜边长是5厘米，求这个三角形的面积。
思路分析与解：直接利用题中的已知条件无法求出它的面积，这就要进行图形组合。在教学中，让学生准备4块有“90°、60°、30°”的直角三角板，并把直角边摆在外层，拼成如图23的一个正方形。在图23中，学生通过观察就会很快发现大正方形的边长恰好是每个直角三角形两条直角边的长度和，而小正方形的边长正好是每个直角三角形的斜边长。要求图22三角形的面积就变得简单了，就是用大正方形的面积减去小正方形的面积的差除以4即可，也就是：(7x7-5x5)÷4=6(平方厘米)。
当然，在课堂教学中，学生组拼三角形的时候，有的会拼出如图24的组合情况，就是把直角三角形的斜边摆在外层。这种组合会得到：大正方形的边长是直角三角形的斜边长度，小正方形的边长是两条直角边的差。如果题目是已知直角三角形两条直角边的长度之差是2厘米，斜边长是5厘米，就可以求这个三角形的面积。上面两个组合图凸显了数学的美感和实用性，不但生动有趣，利用它们还能解决生活中的一些疑难问题。
一、 整体思想解决路径长，等积变形来帮忙
例1 （2013・山东烟台）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连接AF、CF，则图中阴影部分面积为______.
【分析】设正方形EFGB的边长为a，表示出CE、AG，然后根据阴影部分的面积=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF，列式计算即可得解.
解法一：设正方形EFGB的边长为a，则CE=4-a，AG=4+a，
阴影部分的面积
=S扇形ABC+S正方形EFGB+SCEF-SAGF
=+a2+a（4-a）-a（4+a）
=4π+a2+2a-a2-2a-a2
=4π.
【点评】本题涉及正方形的性质、整式的混合运算、扇形的面积计算，引入小正方形的边长这一中间量是解题的关键.
解法二：连接AC、BF，易证AC∥BF；则SACF=SABC（同底等高）；所以阴影部分面积为扇形ABC的面积，故答案为：4π.
二、代数式的计算有点烦，各项定位来解难
例2 （2013・台湾）若一多项式除以2x2-3，得到的商式为7x-4，余式为-5x+2，则此多项式是什么？（ ）.
A. 14x3-8x2-26x+14
B. 14x3-8x2-26x-10
C. -10x3+4x2-8x-10
D. -10x3+4x2+22x-10
【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果.
解法一：根据题意得：
（2x2-3）（7x-4）+（-5x+2）
=14x3-8x2-21x+12-5x+2
=14x3-8x2-26x+14
故选A.
【点评】此题考查了整式的除法，涉及的知识有多项式乘多项式法则、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
解法二：这题是一道选择题，计算的结果是一个三次多项式，最高次项的系数为14，所以只有A、B两个选项可能正确，常数项为12加2，所以选择A.
三、 代数推理有点难，数学直观很好玩
例3 （2013・浙江宁波）7张如图2的长为a，宽为b（a>b）的小长方形纸片，按图3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示. 设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（ ）.
A. a=b B. a=3b C. a=b D. a=b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出S，根据S与BC无关即可求出a与b的关系式.
解法一：左上角阴影部分的长为AE，宽AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽CG=a.
AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，AE+a=4b+PC，即AE-PC=4b-a，
阴影部分面积之差S=AE・AF-PC・CG=3bAE-aPC=3b（PC+4b-a）-aPC=（3b-a）PC+12b2-3ab，则3b-a=0，即a=3b. 故选B.
【点评】此题考查了整式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键.
解法二：当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，左上角与右下角的阴影部分的面积的差S始终保持不变，面积差S与水平长没有关系，则宽相等（否则两个增加的面积不一样大时，面积的差S会发生变化），故选择B.
四、 数形结合很直观，边长大小相比较
例4 （2013・江苏常州）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）.
A. a+b B. 2a+b C. 3a+b D. a+2b
【分析】根据3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式即可得出答案.
解法一：3张边长为a的正方形纸片的面积是3a2，4张边长分别为a、b（b>a）的矩形纸片的面积是4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积是5b2，a2+4ab+4b2=（a+2b）2，
拼成的正方形的边长最长可以为（a+2b），故选D.
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式.
解法二：B、C选项中边长为a的正方形纸片不够，A、D选项中D的选项比A的长，只需计算D选项是否能够满足条件，经计算可以拼成.
五、 裂项相消很奇妙
例5 （2013・湖南郴州）化简+的结果为（ ）.
A. -1 B. 1 C. D.
【分析】先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案.
解法一：+=-==1.
故选B.
【点评】此题考查了分式的加减. 在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可.
A.树叶从树上落下 B.电梯由一楼升到顶楼
C. 碟片在光驱中运行 D.卫星绕地球运动
2.若∠1与∠2是内错角，∠1=40°，则
A.∠2=40° B.∠2=140° C.∠2=40°或∠2=140° D.∠2的大小不确定
3.下列计算中正确的是
A. B. C. = D.
4.下列各式能用平方差公式进行计算的是
A. B. C. D.
5.如图，直线 、 被直线 所截，若 ∥ ，∠1=135°，则∠2等于
A.30° B.45° C.60° D.75°
6.如图，不能判断 ∥ 的条件是
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
7.若 则
A. B. C. D.
8.已知三角形的三边分别为2，a，4，那么 的取值范围是
A. B. C. D.
9.下列方程组是二元一次方程组的有( )个
(1) (2) (3) (4)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10. 从边长为 的大正方形纸板中挖去一个边长为 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为
A.
B.
C.
D.
二、填一填(3分×10=30分)
11. 若0.0000102=1.02 ,则n=_______ .
12.化简 的结果是______________.
13.已知 =4， =3，则 =__________.
14.若(x+P)与(x+2)的乘积中，不含x的一次项，则P的值是 .
15.等腰三角形两边长分别为3、6，则其周长为 .
16.如图2所示,是用一张长方形纸条折成的。如果∠1=100°,那么∠2=______°.
(第16题图)
17. 一个正多边形的每个外角都等于24°，则它是_____边形.
18.已知 是方程5x-( k-1)y-7 = 0的一个解，则k = .
19.如图边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为_______cm2.
20.如图，它是由6个面积为1的小正方形组成的长方形，点A、B、C、D、E、F是小正方形的顶点，以这六个点中的任意三点为顶点，可以组成________个面积是1的三角形.
三、做一做
21.计算：(4分×6=24分)
(1) (2)
(5) (6) (a-2b+c)(a+2b+c)
22.因式分解：(4分×4=16分)
(1) (2)
23.(本题6分)在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC的三个顶点的位置如图所示，现将ABC平移，使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的A′B′C′.并求A′B′C′的面积.
(2)若连接AA′，CC′，则这两条线段之间的关系是________.
24.(本题6分)已知 ，求n的值.
25.(本题6分)已知a=2-555，b=3-444，c=6-222，请用“>”把它们按从大到小的顺序连接起来，并说明理由.
26.(本题8分)已知 ，
求：①
②xy的值.
27.(本题12分)如图甲，在ABC中，ADBC于D，AE平分∠BAC.
(1)若∠B=30°，∠C=70°，则∠DAE=________.
(2)若∠C-∠B=30°，则∠DAE=________.
提问既是一门科学，也是一门艺术，是提高教育教学质量的有效途径。在教育教学活动中，课堂提问是教师为达到某一目标、任务所经常采用的手段和行为方式。教师只有善于探究掌握课堂提问艺术，苦心钻研、精心设计，提出的问题才具有实际效果、实用价值，因此笔者拟就课堂提问谈几点肤浅的认识和见解。
一、摸清基础，帮学生搭起问题支架
教学中，教师并不是简单地提出问题，所提问题要接近学生的年龄特征，接近学生知识与能力基础，能够让学生摸得着、抓得住，先易后难，形成一条问题链，引导学生拾阶而上。
1.衔接性。
教学片断：“两位数乘两位数”。
学生口算：21×3=63，21×30=630。
师：我把它们放在一起，看看它们之间有什么联系?
学生继续口算：
34×2=68，34×20=680；41×5=205，
41×50=2050；15×2=30，15×10=150。
师：15×2=30，15×10=150，这两个算式之间有上面的关系吗?
师：那这两个算式和15×12有关系吗？发现了什么?
在学两位乘两位数之前，学生已掌握了两位数乘一位数和两位数乘整十数算法，教师的提问有效地沟通了新旧知识之间的联系，唤醒了学生的思维，为学生学习新知搭设了适宜的“脚手架”。
2.逻辑性。
教学片断:“长方形和正方形面积计算”。
师:观察板书，你们有什么发现吗?
生1:我发现这里长方形的长乘宽正好等于它们的面积。
师:其他长方形的面积是不是也可以用“长×宽”来计算呢?
(学生以小组为单位，用相同小正方形拼长方形，并对拼成的长方形的长、宽、面积作记录。)
师:你们发现其他长方形的面积与它的长和宽有什么关系?
(学生得出:长方形的面积=长×宽。)
师:在面积公式中，“长×宽”实际表示的是什么?
(学生讨论得出，“长×宽”实际上表示的是长方形中所包含面积单位的个数。)
教师提问步步入深，使学生茅塞顿开，深刻感知、理解、把握了“长方形的面积=长×宽”。这样的提问，既帮助学生找到了解决问题的关键，又培养了学生良好的思维习惯。
二、抓住关键，让提问充满思维含量
教师要提出有效的问题，就必须研究教材，使自己达到“懂、透、化”的境界。
“懂”就是理解教材的基本结构;“透”就是掌握教材的系统性，掌握教材的重点、难点和关键；“化”就是使自己的思想感情与教材中包含的思想感情融为一体。教师在充分研究与分析的基础上，才能抓住教材的关键处，提出具有思维含量的问题，从而避免步入提问频繁、表层化等误区。
1.目标性。
教学片断：“分数的基本性质”。
教师请学生任意写出三个分数，引导他们观察他们各自所写分数的分子、分母情况。
师：当两个分数的分子、分母不完全一样的情况下，分数的大小完全一样吗?
生：不一样(有个别说“可能一样”)。
师：在什么情况下，分数的大小可能一样大呢？我们一起来学习、探究这个规律。
(学生利用折纸来探讨这一问题，得出 = = = = = 等）。
师：分数的分子和分母不同时，这两个分数有可能相等吗?
生：有可能。
师：任意两个分数，它们的分子、分母不同时，分数大小都相等吗?
生：不会。
师：那什么情况下才能相等呢?
教师的提问始终围绕本课的核心内容，环环紧扣，引导学生分析、比较、归纳，自主探究分数的基本性质。
2.思考性。
教学片断:“素数与合数”。
(学生分别用4个、12个同样大小的正方形拼出几个不同的长方形。)
师:如果给出的相同正方形个数越多，那拼出的不同的长方形的个数会怎样呢?
(学生独立思考后，经讨论发现:给出相同正方形的个数越多，拼出的长方形的种数不一定就越多。)
师:用相同的正方形拼长方形，有时只能拼出一种，有时拼出的长方形不止一种。你们觉得当正方形的个数是什么数的时候，只能拼一种?
(学生研究发现:表示正方形个数的数只能被1和它本身整除的时候，只能拼成一个长方形。)
师:当正方形的个数是什么数的时候，拼得的长方形不止一种呢?
在教学中将质数与合数知识的教学巧妙地融于图形的拼组中，通过一个个充满挑战性的问题，让学生去思考、钻研、探索，不断获得了成功的体验。
三、因事制宜，把握提问的有利时机
课堂教学是不断动态生成的一个过程，没有预设的生成，容易背离学科本质，偏离价值目标。教师要尽可能地把所要提的问题，事先周密地考虑到、设计好，对知识的关键处、理解的疑难处、思维的转折处、规律的探求处进行充分的预设，设计好问题，同时对学生的回答也做好充分的预设。
教学片断：“圆的面积计算”。
教师组织学生直观操作，将圆剪开拼成一个近似长方形，并利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式。
师：把圆转化成长方形后什么变了？什么没变？
生1：形状变了。
生2：周长变了，面积没变。
师：这个长方形的长和宽相当于圆的什么?
生3：长相当于原来圆周长的一半，宽相当于原来圆的半径。