时间：2023-05-30 09:26:18
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇二次函数，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高中数学里的函数在整个高中数学系统中占有重要的地位，进入高三复习以来，学生可以深刻感受到这一点，高考数学考点中，数列、立体几何、解析几何的很多题目都需要利用函数的观点来解决。二次函数是函数中的一种基本形式，我们来了解它在高中阶段的应用。
在初中阶段，学生已经接触了二次函数，也作了较详细的学习、研究，由于初中学生理解能力较弱，知识系统的不完善，关于二次函数的内容的学习比较机械的，仅仅掌握了二次函数的图像及二次函数几种形式，但没有从本质去理解它。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
一、进一步深入理解函数概念。学生在初中阶段已经学习了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，然后用映射观点来理解函数，这时就可以用学生对函数就有了本质的把握。特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：AB，使得集合B中的元素 与集合A的元素X对应，记为 ）这里 表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。
二、二次函数的单调性与图象。在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数 在区间 及 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。如：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。如： 等，这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。或者利用让学生利用图像的对称变化、平移变化来画出其图像，对于图像问题要强调，江西省自2005年高考数学自主命题以来，每年都会考查至少一道图像题目。
三、二次函数的值域。对于二次函数值域的练习要分为不含参数、含参数两种，而不含参数的二次函数值域练习又要分为全定义域和限制型定义域两种。如： 在R上、在区间 、 、 、 上的值域。尤其要注意分析第三、五两种，让学生认识到单调性对解决函数值域的重要性，为利用导数方法解决函数值域问题打下伏笔。 在区间 上的值域，在教学实际中还可以将参数的位置进行调换，比如 ，对学生展开充分的训练，加强他们的运算能力及对二次函数值域求法的理解。
四、二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系。通过利用图像的讲解让学生掌握三者之间的关系，尤其是一元二次不等式的解法，通过利用二次函数图象能让学生形象直观的得到结论。关于这部分知识的题目难度就比较高，要求学生有很好的分析能力。如：已知函数 ， 为方程 的两根，且 ，给出下列不等式，其中成立的是（ ）
① ② ③ ④
A.①④ B.③④ C.①② D.②④
五、二次函数在其他函数类型中的应用。掌握好了二次函数，对于其他函数求值域、单调性都有很好的帮助。比如：求三角函数 、 的值域，需要利用换元法将其转化为二次函数求值域。（注意换元时范围的变化）
二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。
【关键词】二次函数；教学；探究
二次函数是中学数学中的教学重点、难点，在初中升高中考试中占据着非常重要的地位，同时，学好二次函数也为高中阶段的学习打下了坚实的基础.为此，在初中数学教学中，必须认真搞好二次函数教学，为学生以后的学习打下坚实的基础.
一、掌握概念，区分方程和函数的关系
要想弄懂二次函数，学好二次函数，首先必须厘清二次函数的概念，并在厘清概念的基础上，区分方程和函数的关系.为了帮助学生理解二次函数的概念，数学教师可以巧妙引入生活当中的问题.例如：圆桌桌面的半径为R，其面积为S，请写出圆桌桌面面积的表达式.其实这个式子学生们并不陌生，他们顺手就可以写出来：S=πr2.在这个式子的基础上，教师就可以引申开来，引入二次函数的关系式：y=ax2+bx+c（a≠0），形如上面的式子就是二次函数，不是方程.这样就将二次函数的概念和生活紧密相连，使原本非常神秘的二次函数不再神秘，同时也引发了学生学次函数的兴趣.在学生完整掌握概念的基础上，教师还要将二次函数的x范围作出明确的界定，让学生充分明白x和y之间的关系不单是方程式，它还表达了两个未知数之间的变量关系，也就是说用一个未知数可以表达另一个未知数.在上面两个式子中，R和x是自变量，S和y就是R和x的函数，S和R之间是函数关系，y和x之间也是函数关系.通过这样的引导以及函数关系式的互相比较，学生就能够清楚明白方程式与函数的本质区别.
二、画好图像，理解图像和函数的关系
二次函数图像也是学次函数的重点、难点之一，在学习的过程中，教师应该充分认识到二次函数图像的作用，通过引导学生绘制二次函数图像，加深对二次函数图像和二次函数之间关系的理解，这样不但能够帮助学生理解二次函数的概念，而且可以培养学生的观察能力.教师要引导学生建立清晰的二次函数坐标图像，在遇到任何二次函数时，都能够在头脑中建立二次函数图像，并且能够准确描述二次函数图像的顶点坐标、开口方向以及对称轴等内容，只有这样，学生才能够真正做到掌握二次函数的本质特征.在学生建立二次函数和图像之间的关系基础上，数学教师还要引导学生对二次函数的变化进行认真的分析和研究，能够从各种发生变化的二次函数图像中发现蛛丝马迹，从而紧紧抓住二次函数的主要特征，变换各种角度对二次函数进行仔细的观察，找到解决问题的切入点，从而轻松解决问题.
三、巧用技术，提高推断能力
初中阶段是数学学习的关键时期，也是逻辑思维能力初步建立和不断发展的关键时期，而数学又是学生发展逻辑思维能力的基础学科，为此教师要在二次函数教学过程中努力培养锻炼学生的推断能力.但是教师要充分认识到，逻辑思维能力的培养是一个漫长的过程，是在各种教学手段综合运用的基础上慢慢培养的，而在各种教学手段当中，现代技术的巧妙利用无疑是当前教学中最好的教学手段.无论是二次函数的概念，还是二次函数的图像，都是相当抽象的内容，特别是二次函数图像的建立，更是难以靠数学教师描述和板书解决，而现代技术手段的利用就恰当地解决了这一难题，不但可以让学生通过直观的图像理解概念，引发学生学次函数的兴趣，同时还可以有效增加整个课堂的知识容量，从而不断提高学生的推断能力.例如：数学教师可以通过现代技术手段展示y=x2，y=x2-a，y=x2+a等二次函数图像变化的情况，然后组织学生总结其中图像变化的特点，总结变化的规律.然后在此基础上加以引申，让学生描述出其他二次函数图像变化的特点，或者让学生自己绘制不同的二次函数图像.通过现代技术手段以及学生自己动手绘制不同二次函数图像，可以帮助学生快速发现并掌握二次函数图像变化的规律，促进学生抽象思维能力的发展，从而不断培养学生的抽象思维能力.
四、多种合作，展示多样化教学手法
一、进一步深入理解函数概念
初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f:AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)= ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
类型I：已知f(x)= 2x2+x+2，求f(x+1)
这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ：设f(x+1)=x2－4x+1,求f(x)
这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
一般有两种方法：
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
f(x+1)=x2－4x+1=(x+1)2－6(x+1)+6，再用x代x+1得f(x)=x2－6x+6
(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1(t)=(t-1)2－4(t-1)+1=t2－6t+6从而f(x)= x2－6x+6
二、二次函数的单调性，最值与图象。
在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，-]及[－，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）y=x2+2|x|－1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
类型Ⅳ设f(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求：g(t)并画出y=g(t)的图象
解：f(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
当t＞1时，g(t)=f(t)=t2－2t－1
当t＜0时，g(t)=f(t+1)=t2－2
t2－2, (t
g(t)=-2，(0≤t≤1)
t2－2t－1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
类型Ⅴ：设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)方程f(x)－x=0的两个根x1，x2满足0
(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X
(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0
解题思路：
本题要证明的是x
(Ⅰ)先证明x
因为0
根据韦达定理,有x1x2= 0＜x1＜x2
(Ⅱ) f(x)=ax2+bx+c=a（x+）2+(c－),（a>0）
函数f(x)的图象的对称轴为直线x=－,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－ ，x2－
一、重视对基础知识的考查
例1 据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图像如图1所示。过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）。
（1）当t=4时，求s的值；
（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城。如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。
略解：（1）s=24（km）。
（2）当0≤t≤10时，s=■t2；
当10
当20
（3）沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。
二、关注社会和科技热点
例2 某工艺厂为配合伦敦奥运会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：
■
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中（图2）描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
■
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
解：（1）如图3，由图可猜想y与x是一次函数关系，
■
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）。
这个一次函数的图像经过（30，500）、（40，400）这两点。
由500=30k+b，400=40k+b。解得k=-10，b=8000。
函数关系式是：y=-10x+800。
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（x-20）（-10x+800）
=-10x2+1000-16000
=-10（x-50）2+9000。
当x=50时，W有最大值9000。
所以，当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元。
三、建立模型，学以致用
例3 某专卖店专销某种品牌的计算器，进价12元/只，售价20元/只。为了促销，该专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元（例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20-10）=1元，就可以按19元/只的价格购买），但是最低价为16元/只。
（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买？
（2）写出当一次购买x只时（x>10），利润y（元）与购买量x（只）之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专卖店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多，在其他促销条件不变的情况下，最低价16元/只至少要提高到多少？为什么？
略解：（1）50只。
（2）当10
当x>50时，y=（20-16）x=4x。
3
o
-1
3
y
x
1．：函数的图象如图：那么函数解析式为〔
〕
〔A〕
〔B〕
〔C〕
〔D〕
D
Y
C
X
B
O
A
2．如图：ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，
点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的
坐标为〔-1，0〕
（1）
求
B、C、D三点的坐标；
（2）
抛物线经过
B、C、D三点，求它的解析式；
3．二次函数y=ax2+bx+c的图象过点〔1，0〕〔0，3〕，对称轴x=
-1。
①
求函数解析式；
②
假设图象与x轴交于A、B〔A在B左〕与y轴交于C,顶点D，求四边形ABCD的面积。
4．：抛物线与X轴交于两点A、B，与Y轴交于C点，假设ABC是等腰三角形，求抛物线的上解析式。
5．
知抛物线经过P〔-2，-2〕，且与X轴交于点A，与Y轴交于点B，点A的横坐标是方程的根，点B的纵坐标是不等式组的整数解，求抛物线的解析式。
6．：抛物线与X轴分别交于A、B两点〔点A在B的左边〕，点P为抛物线的顶点，〔1〕假设抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式；
〔2〕假设AP∶BP∶AB=1∶1∶，求抛物线的解析式。
7、二次函数的图象经过点，顶点坐标为，这个二次函数的解析式是__________。
8、求以下二次函数或抛物线解析式：
①y是x的二次函数，当x=1时，y=6；当x= –1时，y=0；x=2时，y=12；
②过点〔0，3〕〔5，0〕〔–1，0〕；
③对称轴为x=1，过点〔3，0〕，〔0，3〕；
④过点〔0，–5〕〔1，–8〕〔–1，0〕；
⑤顶点为〔–2，–4〕，过点〔5，2〕；
⑥与x轴交点横坐标为–3，–1，在y轴上的截距为–6；
⑦过点〔2，4〕，且当x=1时，y有最值6。
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点〔A、B分别在原点左、右两侧〕，与y轴正半轴交于点C，OA：OB：OC=1：4：4，ABC的面积为20。
1.求A、B、C三点的坐标；
2.求抛物线的解析式；
3.假设以抛物线上一点P为圆心的圆恰与
直线BC相切于点C，求点P的坐标
10．：抛物线y=ax2+bx+c过点A〔-1，4〕，其顶点的横坐标是1/2，与X轴分别交于B〔x1，0〕，C〔x2，0〕两点〔其中x1
函数是一种重要的数学知识，同时还是一种重要的数学思想.它是贯串初中数学的一条主线.而二次函数是函数中的重点，也是初中数学的重点与难点，因此在中考中占有重要地位.它不仅分值所占比例高，而且题型也灵活多变，既有选择题、填空题，又有解答题，而且常与其他知识结合在一起，出现在压轴题中.
而在解答函数题目的时候，我们又经常利用图像与系数的关系，巧用数形结合的思想来分析解决问题.
二、 图像与系数的关系
二次函数的一般形式写作y=ax+bx+c（a≠0），其中，a、b、c分别为二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的图像是对称轴平行于y轴的一条抛物线.它的开口方向与系数a有关.当a > 0时，抛物线开口向上；a < 0时，抛物线开口向下.且当a越大时，抛物线的开口越大，反之越小.
系数b和a共同决定着抛物线的对称轴（x=－）.
当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.特别的，当b=0时，抛物线的对称轴即为y轴.
当a > 0时，对称轴左侧（x－时），y随x的增大而增大.
当a < 0时，对称轴左侧（x－时），y随x的增大而减小.
系数c的正负决定着抛物线与y轴的交点.当c是正数时，抛物线与y轴交于正半轴；当c是负数时，抛物线与y轴交于负半轴.当c是0时，抛物线与y轴交于原点.
a、b、c三个系数共同决定了抛物线的顶点、最值以及与x轴的交点个数.一般形式的二次函数的图像顶点可写作(－,).当a > 0时，抛物线有最低点，二次函数有最小值.当x=－时，?摇y=?摇；反之，当a < 0时，抛物线有最高点，二次函数有最大值.当x=－时， y=.
二次函数与x轴的交点，即为一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的解（相同的解算作一个）.因此，我们有：当b-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b-4ac
三、 一次函数、反比例函数图像与系数的关系
1. 一次函数的图像与系数的关系
一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0）.特别的，当b=0，即y=kx时，称为正比例函数.
一次函数的图像是一条直线.
k的正负决定着直线的倾斜方向.当k > 0时，直线向右上方倾斜；当k < 0时，直线向右下方倾斜.
b的正负决定着直线与y轴的交点.当b>0时，直线与y轴交于正半轴；当b < 0时，直线与y轴交于负半轴.当b=0时，直线与y轴交于原点.
k和b共同决定着直线与x轴的交点，交点坐标为（－,0）.
2. 反比例函数的图像与系数的关系
反比例函数的一般形式是 y=（k≠0）.
当k > 0时，反比例函数图像在一、三像限；当k < 0时，反比例函数图像在二、四像限.
四、 例题
利用以上三种函数的系数与图像的关系，我们可以来解决一些图形问题.
例1如图，在同一坐标系中，二次函数y=ax+c与一次函数y=ax+c的图像大致是（）
分析首先考虑系数a.
当a > 0时，二次函数开口向上，一次函数向右上方倾斜.反之，当a < 0时，二次函数开口向下，一次函数向右下方倾斜.所以可以排除A、B.
其次考虑系数c.
我们知道系数c决定的是图像与y轴交点的位置.当c>0时，二次函数与一次函数与y轴均相交于正半轴.反之，当c
例2已知y=ax+bx的图像如下图所示，则y=ax－b的图像一定过（）
A． 第一、二、三像限
B． 第一、二、四像限
C． 第二、三、四像限
D． 第一、三、四像限
分析由二次函数的图像可得到如下性质：
1. 开口向下，所以a < 0；
2. 与y轴相交于负半轴，所以c < 0；
3. 对称轴在y轴右方，所以由“左同右异”知，b>0；
在一次函数中，一次项系数和常数分别为a和-b（特别要注意常数项的正负），所以由a0，即b
例3函数y=ax－a与y=在同一直角坐标系中的图像可能是（）
分析在二次函数y=ax－a中, 二次项系数a决定着图像的开口方向.如果a>0，则二次函数开口向上；反之，a0时，图像在一、三像限；当a
综上所述，如果a>0，则二次函数y=ax－a的图像开口向上，与y轴相交于负半轴，反比例函数y=的图像在一、三像限.如果a
因此，此题应选择A.
例4已知反比例函数y=的图像如右图所示，则二次函数y=2kx－x+k的图像大致为（）
分析由反比例函数的图像可得到：k
所以二次函数中，二次项系数2k
对称轴为x=－=
例5已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
分析因为抛物线开口向上，所以a＞0.
因为对称轴在y轴左侧，所以a，b同号.又a＞0，故b＞0.
因为抛物线与y轴相交与负半轴，所以c
因此ab＞0，ac
取x=－1代入函数，则有y=a－b+c
因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0.
因为对称轴x=－=－1，故有b=2a>0，所以2a+b>0.
综上所述，选择C
1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
在这一环节中，教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面，总之是人人有所得，个个有提高。这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。
（在整个一节课上，基本上是学生讲为主，教师讲为辅。一些较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，积极尝试，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，这就给教师提出了更高的要求，一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。）
二次函数的教学设计
马玉宝
教学内容：人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标：
1.1.理解二次函数的意义；会用描点法画出函数y=ax2的图象，知道抛物线的有关概念；
2.2.通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性；
3.3.通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法；加深对于数形结合思想认识。
教学重点：二次函数的意义；会画二次函数图象。
教学难点：描点法画二次函数y=ax2的图象，数与形相互联系。
教学过程设计：
一.一.创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数，现在来看看下面几个例子：
1.写出圆的半径是R（CM），它的面积S（CM2）与R的关系式
答：S=πR2.①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地，矩形面积S（M2）与矩形一边长L（M）之间的关系
答：S=L（30-L）=30L-L2②
分析：①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系？
S是否是R、L的一次函数？
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数，那么S是R、L的什么函数呢？这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢？
答：二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。（板书课题）
二.二.归纳抽象、形成概念
一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，
那么，y叫做x的二次函数.
注意：(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.(2)由于二次函数的解析式是整式的形式，所以x的取值范围是任意实数.
练习：1.举例子：请同学举一些二次函数的例子，全班同学判断是否正确。
2.出难题：请同学给大家出示一个函数，请同学判断是否是二次函数。
（若学生考虑不全，教师给予补充。如：；；；的形式。）
（通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解，既培养了学生的实践能力，有培养了学生的探究精神。并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。题目用了一些人性化的词语，也增添了课堂的趣味性。）
由前面一次函数的学习，我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
（在这里指出学习函数的一般方法，旨在及时进行学法指导；并将此方法形成技能，以指导今后的学习；进一步培养终身学习的能力。）
三.三.尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1.1.尝试：大家知道一次函数的图象是一条直线，那么二次函数的图象是什么呢？
请同学们画出函数y=x2的图象。
（学生分别画图，教师巡视了解情况。）
2.2.模仿巩固：教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示，到底哪一个对呢？下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解：一、列表：
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=x2
9
4
1
1
4
9
二、描点、连线：按照表格，描出各点.然后用光滑的曲线，按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因，从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习：画出函数;的图象（请两个同学板演）
X
-3
-2
-1
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评，并引导学生观察图象形状得出：二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
（这里，教师在学生自己探索尝试的基础上，示范画图象的方法和过程，希望学生学会画图象的方法；并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识，通过观察，感悟抛物线名称的由来。）
三.三.运用新知、变式探究
画出函数y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难，不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意：1.画图象应描7个左右的点，描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活，例如可以取分数。
四.四.归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象，归纳y=ax2的性质，学生们畅所欲言，各抒己见；互相改进，互相完善。最终得到如下性质：
一般的，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是Y轴，顶点是坐标原点；当a＞0时，图象的开口向上，最低点为(0，0)；当a＜0时，图象的开口向下，最高点为(0，0)。
五.五.回顾反思、总结收获
一、掌握映射的角度来理解函数的概念
二次函数，顾名思义即指未知数的最高次幂为二次的多项式函数，我们通常表达为：y=ax2+bx+c(a≠0)。我们可以用集合的概念来描述二次函数：由集合定义域A到集合值域B上的映射，书写为f：AB，也就是让集合B中的每位元素y=ax2+bx+c(a≠0)一一对应集合A中的元素X，记作：f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，该式中的ax2+bx+c为对应法则，亦即定义域中的X在值域y中的象。高一数学课上我们通过这样阐述来衔接初高中函数知识，很容易引导学生对函数的概念产生新的理解和认识，为接下来继续以二次函数为例引导学生从以下问题展开探究奠定基础：
1.已知f(x)= 2x2+3x+4，求f(x+1)
由以上概念学习我们可以这样理解：f(x+1)即是自变量为x+1的函数值。所以有：f(x+1)=2（x+1）2+3（x+1）+4
2.进一步探索，反过来研究：设若f(x+1)=x2－2x+3,怎样求f(x)
这个问题实际是探讨对应法则，我们可以用可逆思维理解在某对应法则f下，定义域范围内元素x+1的象为x2－4x+1。于是我们可以悟出两种解答方式：①把反应对应关系的表达式配成x+1的多项式，然后对号入座。f (x+1)=x2－2x+3=(x+1)2－4(x+1)+6，将x替换x+1得出f(x)=x2－4x+6。②设置代换：设x+1=a，那么x=a-1 所以，f(a-1)=(a-1)2－2(a-1)+3=a2－4a+6 因此，f(x)= x2－4x+6
二、用直观的图像来研究和表达函数性质
1、函数的单调性
探讨函数单调性时我们必须要求学生参照定义对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性结论展开严格论证，当然我们还可以借助比较直观的函数图象关系，将抽象理论知识转化为学生的形象认识，再辅助科学的练习，大家就不难掌握图解二次函数单调性的技巧。
比如，我们可以举出比较典型或特殊的函数关系，让学生自主探索并尝试画出其图象，然后通过图象进一步说明函数的单调性，诸如：
①y=x2-2|x－1|+4；②y=|x2－1|；③y= x2+4|x|－7
当然，以上特殊的举例与我们常见的二次函数存在一定的差异和联系，但是它们能更多的反应各种典型的函数单调性，有助于同学们从实际探索中摸索出采用分段函数来表达和描述带有绝对值符号的函数的方法和技能，最终分别画出其图象，分析其性质。
2、函数的最值
同学们在初中阶段就已经学习了二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：如果a>0时，函数满足 时有最小值 ，没有最大值；反过来a
我们可以通过图像来形象地研究二次函数的最值问题。一元二次函数的最值问题主要是对函数图像对称轴与所在区间的相对位置关系的分析，一般存在对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况。我们可以通过以下例题来体会：
如果f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，求f（x）在x∈[m,n]上的最值
分析：我们可以将f（x）配方，得出其对称轴方程
①当a>0时，抛物线开口向上
若 则在曲线顶点取得最小值，在离对称轴最远端点取得最大值
若 则在虚拟定点最近的点取得最小值，在离对称轴最远端点取得最大值
总之，当a>0时，抛物线开口向上，函数在[m,n]上有单调性，因此在距对称轴 最远端取最大值，最近处得最小值。
②反之当a
①当a>0时
②当a
一般来说二次函数在实数集合上只有最大或最小值，但如果定义域发生改变时，最值也会发生相应变化，有些情况比较繁琐难于理解，我们可以让大家多作图，多观察，多练习，来进行掌握。
概括地说，函数的值域即是其所有函数值的集合，在定义域范围内，在固定的对应法则下，函数值也被确定在某个固定集合。鉴于此，我们在处理函数最值问题时，必须详细分析函数的定义域。我们再通过以下案例来体验这个数学过程：
例如：求函数y=4x-5+ 的值域。
该题如果依照常规解法：可以设t= ，则2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
这样算出函数值域为 ．
但是这样得出结论却是错误的，因为：这里包含了一个隐含条件：t≥0，而二次函数y=2t2+t+1在[0,+∞)上是单调递增的，所以当t=0时，y有最小值1。所以该函数正确的值域应该是是[1, +∞）．
〔中图分类号〕 G633.62 〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2013）02—0089—01
我们知道，二次函数是一个极为重要的初等函数，在中学数学中，许多问题都可以借助于二次函数来解决.
根据二次函数的图象可知它有这样的性质：对于二次函数f（x）= ax2＋bx＋c （ a>0），（Ⅰ）若f（x）≥0，则Δ=b2－4ac≤0；（Ⅱ）若Δ=b2－4ac≤0，则f（x）≥0；（Ⅲ）若二次函数f（x）= ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，则Δ=b2－4ac>0.
下面应用上述性质来证明一些不等式.
一、用性质（Ⅰ）来证明不等式，就是设法构造一个二次项系数为正数的二次函数，并使得f（x）≥0，从而由Δ≤0推出所需证的不等式
例1：（柯西不等式）设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn为任意实数，求证（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2），当且仅当==…=时，等号成立.
证明：作关于x的二次函数f（x）=（a12+a22+…+an2）x2-2（a1b1+a2b2+…anbn）x+（b12+b22+…+bn2）.
（1） 若a12+a22+…+an2=0，则a1=a2=…=an=0 ，显然不等式成立；
（2） 若a12+a22+…+an2≠0，则有f（x）=（a1x-b1）2+（a2x-b2）2+…+（anx-bn）2≥0且a12+a22+…+an2>0. 所以Δ=b2－4ac=4（a1b1+a2b2+…anbn）2-4（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）≤0，所以（a1b1+a2b2+…anbn）2≤（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…+bn2）.
当且仅当==…=时，等号成立.
二、应用性质（Ⅱ）来证明不等式，就是把要证明的不等式表示成关于某一字母的二次三项式（使二次项系数大于零），再推证其Δ≤0，由此判定所要证的不等式成立
例2：设x、y、z∈R，求证：x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
证明： 设f（x）=x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z） =x2+（3y－z）x＋（3y2－3yz＋z2），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则有Δ=（3y－z）2－4（3y2－3yz＋z2）=－3（y－z）2≤0，f（x）≥0，x2－xz＋z2＋3y（x＋y－z）≥0.
例3：求证：a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
证明：设f（a）= a2＋b2＋5－2（2a－b）=a2－4a＋b2＋2b＋5，于是f（a）可看作是关于a的二次函数，且二次项系数大于零，则Δ=（－4）2－4（b2＋2b＋5）=－4（b＋1）2≤0，f（a）≥0，a2＋b2＋5≥2（2a－b）.
例4：设x、y、z∈R，且＋＋＝，求证x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
证明： 设f（x）=x2+y2+z2-2（xycos+yzcos+zxcos） =x2-2（ycos+zcos）x+（y2+z2-2yzcos），于是f（x）可看作是关于x的二次函数，且二次项系数大于零.则Δ=4（ycos+zcos）2-4（y2+z2-2yzcos）=-4[y2（1-cos2）+z2（1-cos2）-2yzcoscos+2yzcos（+）] =
-4（y2sin2+z2sin2-2yzsinsin）=-4（ysin-zsin）2≤0，f（x）≥0， x2+y2+z2≥2（xycos+yzcos+zxcos）.
三、应用性质（Ⅲ）来证明不等式，就是构造一元二次函数，再推证其一元二次函数与x轴有两个交点，由Δ=b2－4ac>0判定所要证的不等式成立
关键词 二次函数 初中数学 教学
二次函数是中学数学中的教学重点、难点，在中考中也占据着非常重要的地位，同时，二次函数与高中阶段的二次三项式、 一元二次方程 、一元二次不等式有着密切的联系， 所以初中阶段学好二次函数对高中的学习以及各种其他学科的学习都有着极其重要的作用。为此，在初中数学教学中，必须认真搞好二次函数教学，为学生以后的学习打下坚实的基础。
一、理清概念，区分方程与函数的关系
要想弄懂二次函数，学好二次函数，首先，必须厘清二次函数的概念，并在厘清概念的基础上，区分方程和函数的关系。为了帮助学生理解二次函数的概念，数学教师可以巧妙引入生活当中的问题。例如：圆桌桌面的半径为 R，其面积为 s ，请写出圆桌桌面面积的表达式。其实这个式子学生们并不陌生，他顺手就可以写出来 ：S=iR2 。在这个式子的基础上，数学教师就可以引发开来，引入二次函数的关系式Y=ax2+ bx + c（ c≠0），并概括之处，说明上面的式子就是二次函数。这样就将二次函数的概念和生活紧密相连，使原本非常神秘的二次函数不再神秘，同时也引发了学生学次函数的兴趣。在学生完整掌握概念的基础上 ，数学教师还要将二次函数的定义域做出明确的界定 ，让学生充分明白x 和 Y之间的关系.同时，还要让学生明白这样一个等式不仅仅是一个方程式，是两个未知数的一种变化关系， 即用含一个未知数的式子表示另一个未知数， 前面的未知数叫做自变量，后面的未知数就是前者的函数， 两者之间是一种函数关系，让学生做到由方程式向函数概念的转变。
二、结合图像，培养学生观察能力
数形结合是一种十分重要的数学思想，也是函数的本质特点在教学中，充分运用图象，在学和教的过程中始终把对图象的观察和理解放在重要的位置，就等于掌握了进入函数之门的钥匙。
二次函数图象也是学次函数的重点、难点之一，在学习的过程中，数学教师应该充分认识函数图象的作用，通过引导学生绘制二次函数图像，加深二次函数图象和二次函数之间关系的理解，这样不但能够帮助学生理解二次函数的概念，而且可以培养学生的观察能力。在教学中，我尝试利用一些图像的直观性，培养学生观察能力。以下面的例题为例：
例当-3≤x≤3时，求函数 y= x2-2x-8 的最大值和最小值。
分析：解这道题时，我就先指导学生画出函数图像，当然要根据给定的范围和对称轴作图，然后引导学生去观察图像的最高点和最低点，由此得出函数的最大值和最小值以及函数取到最值时相应的 x 的值。
数学教师要引导学生建立清晰的二次函数坐标影像，在遇到任何二次函数时，都能够在头脑中建立二次函数图像，并且能够准确描述二次函数图象的顶点坐标、开口方向以及对称轴 等内容，只有这样，学生才能够真正做到掌握二次函数的本质特征，从而紧紧抓住二次函数的主要特征，变换各种角度对二次函数进行仔细的观察，找到解决问题的切人点，从而轻松解决问题。
三、运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力
心理学及生理学的研究表明，初中阶段是人的逻辑思维能力发展的关键时期，由于数学的函数思想又是逻辑思维方式中较常用的思维方式，因而在初中数学中函数教学对学生的逻辑思维发展有重要的作用。但是，因为函数是比较抽象的知识，教学中仅仅靠教师的口头讲解和板书，不仅让学生没有直观的感受，久而久之还会使得学生产生厌恶的情绪。而现代技术手段的利用就恰当地解决了这一 难题，不但可以让学生通过直观的图像理解概念，引发学生学次函数的兴趣，同时还可以有效增加整个课堂的知识容量，从而不断提高学生的推断能力。例如：数学教师可以通过现代技术手段展 示y=x2，y=x2、y=x2+a等二次函数图像变化的情况，然后组织学 生总结其中图像变化的特点，总结变化的规律。然后在此基础上加 以引申，让学生描述出其他二次函数图像变化的特点，或者让学生自己绘制不同的二次函数图像。通过现代技术手段以及学生自己动手绘制不同二次函数图象，可以帮助学生快速发现并掌握二次函数图像变化的规律，促进学生抽象思维能力的发展，从而不断培养学生的抽象思维能力。
四、激发学生兴趣，提高学习效率
厌学是长期困扰教育界的一个问题，也是目前中学生普遍存在的现象，尤其是在数学学科的学习中尤为突出，这给数学学科的教学带来了巨大的困难，正所谓兴趣事最好的老师，激发学生的学习兴趣是提高学习效率的有效方法 在初中函数教学中，教师可采用多媒体教学手段结合分层教学方法来对函数中基本概念进行理解和学习； 采用理论结合实际的方法，在备课过程中将数学问题变为实际生活中的问题，将函数与具体情境相结合等办法对一些较难理解的解题方法加以阐述； 同时在课后适当的根据作业难度，培养学生的学习动机，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习以此来提高学生对于知识的理解和巩固，提高学习效率。
五、小结
步骤：把二次项系数提出来；在括号内，加上一次项系数一半的平方，来同时减去，以保证值不变。这时就能找到完全平方了。然后自再把二次项系数乘进来即可。
二次函数（quadraticfunction）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
（来源：文章屋网 ）
关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域求法
所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”.
一、双界型区间二次函数及值域求法
1.概念
定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为双界型区间二次函数.
2.值域的求法
例1.求函数y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.
解法1.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=1；当x=5时，y=6；
ymin=-3，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。
解法2.对称轴为x=-■=2∈[0，5]，
原函数在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.
又a=1>0，
y在[2，5]上为单调递增函数.
当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：一般来说，若二次函数的对称轴x0∈[a，b]，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，c]（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.
解法3：对称轴为x=-■=2，
5-2>2-0>2-2.
当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.
原函数的值域为[-3，6].
点评：一般的，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有当a>0时，离对称轴越远函数值越大；当a
例2.求函数y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].
解法1.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且a=-1
y在[-1，1]上单调递增.
当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“单调性法”，但是直接使用而不需要先等价转化.
解法2.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且当t=-1时，y=-3；当t=1时，y=5.
ymin=-3，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“比较大小法”，但无需顶点参与.
解法3.对称轴t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，
当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.
原函数的值域为[-3，5].
点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.
小结：
（1）双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.
（2）双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是“单调性法”“对称距法”“比较大小法”.但不管哪一种方法都是从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.
（3）双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.
二、单界型区间二次函数及值域求法
1.概念
定义域区间只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为单界型区间二次函数.
2.值域的求法
例3.求函数y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.
解：对称轴x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，
y在（-∞，-1]上为单调递减函数.
y≥（-1）2-2・（-1）-3=0.
函数值域为[0，+∞）.
点评：一般来说，若二次函数对称轴x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间是单调函数，于是可直接用“单调性法”来求解问题.
例4.求函数y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.
解：对称轴=-■=1∈（-1，3]，
原函数在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.
a=-1
y在（-∞，1]上为单调递增函数.
y≤3+2・1-12=4.
函数值域为（-∞，4].
点评：一般来说，若二次函数对称轴x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“单调性法”来求解问题.
小结：
（1）单界型区间二次函数值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.
（2）单界型区间二次函数值域的求法，只有“单调性法”，同样必须从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定是直接使用单调性求解，还是等价转化后再利用单调性求解.
