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线性代数

时间:2023-05-30 09:27:00

开篇:写作不仅是一种记录,更是一种创造,它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感,将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇线性代数,希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友,陪伴您不断探索和进步。

线性代数

第1篇

关键词线性代数;教学方法;教学改革

中图分类号O151.2

1. 引言

线性代数课程是我国大多数院校都会开设的一门基础课程,在我国整个教育体系中起着“基石”的作用。然而这样一门重要的课程却很难引起学生足够的重视,究其原因,就是很多学生都认为学习这门课程“没用”,所谓的“没用”就是指实际生活中用不上。的确,在现在的教学方式中,线性代数的大部分内容很难在生活中得到直接的体现,但这并不意味着这门课程“没用”。因此,为了体现线性代数的“用”,有必要在教学过程中设计探索环节,体现线性代数课程的实用性。

2. 解方程组引发的思考

解方程组是代数的重要内容之一,从中学到大学,学生们接触了很多不同类型的方程组,也学习了很多解方程组的方法。但实际生活中的方程组远没有课本中出现的那么完美。因此在完成“线性方程组的解”一节之后,我们提出两个深入探索,希望由此引导学生积累分析问题,验证假设和结论的能力。

探索一:伏安法测电阻

一个电阻的电阻值是客观存在的,但由于实验中误差的普遍存在,使得我们所测量的结果通常会是一个矛盾方程组,从数学角度而言是无解的。然而这并不妨碍人们利用这种实验方法估算电阻值。此探索的设立就是为了提醒学生们不要死啃书本,在实际生活中要学会灵活应用书本知识。

探索二:解的稳定性问题

给出方程组 和 。从数据上看,这两个线性方程组的系数矩阵相同,常数项变化很小,但是它们的解却大不一样,分别为: 和 。可以看出,常数项的相对误差仅0.01%,而解的相对误差却高达1999900%。从数学的角度而言这种变化没有实质影响,但是在工程方面,由于误差的普遍存在,如何保证解的稳定性是一个非常重要的问题。虽然国际国内的众多科学家提出了若干种方法尽量保持解的稳定,但在当前的科学技术条件下,还没有一种方法可以完全解决这一问题,并且对这一问题的探索也远远超出了线性代数的研究领域。对将来学习工程类相关专业的学生而言,这种引导式教学使学生意识到数学课程的学习对其专业的重要性,进而端正了对数学等理论课程的态度。

3. 特征值的用途

在讲完方阵的特征值和特征向量一节后,我们可以引入奇异值概念。奇异值分解理论在很多学科都有广泛应用。这里的探索活动主要是进行动画演示,培养学生感性的认识,体会线性代数的用处,而不必纠结于原理探讨和研究,针对学有余力以及对这部分知识感兴趣的学生,以提供一些参考书和文献为主,相应的课下交流活动为辅。

探索三:图片的压缩存储

目前操作系统对图像文件的存储分为文件头和文件体两部分。文件头是对图像属性的描述,文件体实际上是一个位图矩阵,用来描述该图像各个像素的颜色值或明暗度。因此文件的大小主要是由文件体决定的。以一张458×458的彩色图片为例,如果直接存储该图片,仅位图矩阵就需要458*458*3/1024=614.5430k字节。我们将位图矩阵做奇异值分解,并且只保留最大的90个奇异值。这时我们只需存储180个458维向量和90个奇异值,总共需要(458*180+90)*3/1024=241.7871k字节。明显看出这个方法节省了很多空间。并且从图1可以看出,压缩后的图像与原始图像在视觉上没有多少差别。

图1 图像压缩前后对比

特征值和特征向量的应用不仅仅体现在图像的压缩处理上,矩阵的广义逆也是一个重要的方面,,这个探索还可以结合解的稳定性问题,简单介绍截断奇异值算法。

探索四:矩阵的广义逆

任何一个秩为r的m×n阶矩阵K可以分解为如下三个矩阵的乘积: 。其中Ur是m×r阶矩阵,满足 (Ir为r阶单位阵),Vr是n×r阶矩阵,满足 , 是由KKT或KTK的r个非零特征值的正平方根组成的对角阵。

称为矩阵K的奇异值,i=1,2,…,r且 。我们将 定义为矩阵K的逆算子。在此意义下,方程组Kf = d的解 。设 , 则

如果矩阵K有特别小的奇异值 ,则 将会非常大,也就是说数据d的微小误差都会在f中被放大。因此解对数据d的敏感度非常高。为了压制d的误差对f的影响,我们将特别小的奇异值去掉。这样,解f便不会因为d的微小的变化而造成巨大的改变。在这种意义下,探索二中的两个线性方程组的解均为

这就保证了解的稳定性。虽然这并不是方程组的精确解,但它的实际意义却远大于精确解。

4. 总结

在众多与实际联系密切的专业课程中,线性代数都起着不可替代的作用。但由于学生前期对线性代数的重视度不够,基础知识不够扎实,导致在专业课程中受制。这也为他们的职业生涯带来了更多的坎坷。为避免这些消极的影响,有必要更深入的挖掘线性代数在实际中的应用,激发学生的学习兴趣,为后续课程的学习奠定坚实的理论基础。

感谢中国石油大学(北京)2011重大教改项目“基于石油石化数理素养教育教学平台的CDIO人才培养模式的创新与探索”(2012zdjgxm001)对本文的资助。

参考文献

[1] 同济大学应用数学系,线性代数(第四版)[M],高等教育出版社,2003

第2篇

[关键词]线性代数几何直观性教学

线性代数是理工科学生一门重要的数学基础课,它在培养学生数学素质和数学能力方面起着重要作用,特别是在研究离散变量之间的线性关系上有着重要的意义。实际问题中的变量关系一般可以线性化,而线性化了的问题正是线性代数可以解决的。因此学习这门课程对学生今后的发展起着重要作用。而现在线性代数的教学中普遍存在着两个问题:一是课程抽象,难于理解;二是课时紧张。那么如何在有限的课堂时间内讲解比较抽象的内容提高课堂效率是我们广大教师需要思考的问题。为此本文提出加强线性代数的几何直观性教学的教学方法,以此方法将抽象的问题具体化,从而提高课堂效率。

一、几何直观性教学的重要性

线性代数课程中的概念、理论都是比较抽象的,学生比较难接受这种看不见、摸不着、想象不出来的概念,这无疑增大了学习这门课程的难度,使许多学生学习起来感觉吃力,且仅停留在对定义结论的机械记忆上,不能掌握其本质。而几何直观教学方法借助几何图形的形象关系,产生对数据关系的直接感知,能把抽象的概念转化成形象的、直观的图形,这对帮助学生理解线性代数概念具有积极的意义。此外,在教学过程中运用“数”和“形”的结合,不仅可以使学生对线性代数的概念有几何直观的了解,容易理解,也能使学生明白知识是相关的,连续的,是相互紧密结合并可以互相转化的,从而提高灵活运用的能力。因此考虑在线性代数的概念和理论教学过程加强直观性教学,融入几何思想,是帮助学生理解接受线性代数的众多概念与结论最为自然的途径之一。它不仅仅是帮助学员理解概念和定理,而是更有助于学员学会如何去思考问题,从而提高学生的数学素养和培养学生应用数学知识来分析问题、解决问题的能力。

二、几何直观性教学的可行性

既然几何直观性教学能将抽象的概念具体化,能够便于学生理解,现在的问题是这种方法是不是可行呢?众所周知,线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究,它的所有重要概念均有其几何意义,这使得在线性代数教学中加强直观性教学有着天然的优势。同时从数学的发展情况来看,几何与代数也是很难完全分离的。大一学生虽然对几何的理解还有限,不过对二三维的几何空间的性质还是比较熟悉的,稍加解释应能理解和接受。

比如向量空间基的概念、理论较为抽象, 然而向量空间的基在三维以下空间中有具体的几何解释。在这部分内容的教学过程中,我们可以先阐述向量空间基的概念(向量空间V中的r个向量a1,a2,…,ar线性无关,且VA中任意一个向量都可有这r个向量来线性表示,此时称这r个向量a1,a2,…,ar为向量空间V的一组基),概念刚一给出,学生对其的理解可能比较模糊,这时我们可以给出这个概念在一二三维空间中的涵义:

一维向量空间R就是我们熟悉的实数轴x轴,在它上面取的单位坐标1即是一维向量空间R的一个基。因为一个一维向量1∈R,1≠0,故一定线性无关;另外,x轴上任意实数x=x・1,其中系数x∈R, 由上面定义,单位坐标1是一维向量空间R的一个基, 整个R上的点可由1生成, 故我们称1为一维向量空间R的一个基。二维向量的全体构成的向量空间是我们所熟知的平面R2,在平面R2中我们经常引入直角坐标系,即垂直的x,y轴,它的一组基可以选取为两个单位坐标向量i=(1,0),j=(1,0)这两个向量互相垂直,显然是线性无关的,且对于平面中任一个点a,设其在直角坐标系下的坐标为(a1,a2),则其可以表示为a=a1i+a2j,即平面中的任意一个点可以由两个单位坐标向量来线性表示,也说明这两个单位坐标向量i=(1,0),j=(1,0)为向量空间R2的一组基;类似地可以解释三维向量空间R3的一组基可以选择为空间直角坐标系的三个单位坐标向量。通过这些解释使学生直观的理解体会向量空间的基的概念,并由此将基的概念引申到n(n≥1)维向量空间中去。这样降低了向量空间基的概念的抽象性,使学生较容易理解向量空间的基的概念,且加深了学生对这部分内容的直观认识。

通过上面的分析可知,在《线性代数》教学过程中,加强几何直观性教学是可行的,我们可以对某些教学内容采取如下的教学方式:首先阐述概念、结论的低阶几何意义,并借助数学软件、多媒体演示实现数形的结合,让学生直观的体会其在二维、三维空间中的涵义,然后再引申到一般的高维空间中去。这样处理的好处是:符合认知的规律,降低了相关概念、结论的抽象性;加深了学生对所学知识点的认识,增加了学生对《线性代数》应用的了解,提高了他们对知识的应用能力。

线性代数与几何的联系是广泛的,线性代数的许多理论可以认为是几何上二维平面空间、三维立体空间延伸和推广,因此我们应该发挥数学软件、多媒体的优势,加强几何直观教学, 让学生获得《线性代数》相关概念、结论的低维几何意义,进而实现由低维空间形象认识到高维空间抽象认识的转变,一方面为代数找到它的几何解释,另一方面又为几何找到它的代数表达,这样在很大程度上降低了线性代数概念的抽象性,学生不但能够很好地理解概念和理论,还可从中获得解决问题的启示,历年的研究生入学考试中也体现了代数与几何相结合的解题思路,因此在线性代数教学中应加强几何直观性教学。

[参考文献]

[1]郭勇华.几何思想在线性代数教学中的融入.宜春学院学报,2010(12)

[2]章晓.线性代数与解析几何结合教学探析.山东师范大学学报,2008(9)

第3篇

关键词:线性代数 教学 探索

中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2017)01(c)-0173-02

1 线性代数课程的历史与现状

20世纪五、六十年代,工科院校数学基础课程统称为高等数学,以一元函数微积分为主。当时线性代数在高等数学的教学中仅占小部分。在线性代数的教学中,仅介绍行列式与线性方程组的求解。只有少数大学根据某些专业的需要,讲授更多的线性代数理论知识。

后来,由于计算机与信息技术的发展,高等数学教学的理念也在逐渐变化。从20世纪七、八十年代开始,一些大学的做法,是把线性代数放在《工程数学》中进行讲授。

在80年代中后期,已经有部分院校把线性代数的内容独立出来,成为数学基础课的一门独立课程。

进入90年代,在多数重点大学和高职院校,线性代数成为数学教学的三门主要课程之一。

近年来,随着线性代数课程的教学研究与改革的不断深入,多数院校除了注重线性代数的理论教学外,更加注重数学软件的使用,并且更加注重该课程的实验。

2 笔者学院线性代数课程的现状

笔者学院从2015年开始招收本科专业学生,线性代数作为理工类本科学生的一门重要基础课程,不仅是学生学习后续数学课程的基础,也是学生学习相关专业课程的重要基础和工具。

(1)教材:笔者学院选用的是北京邮电大学出版社出版,石萍、张景主编,石琳主审的《线性代数》教材。该院的教材内容与大多数理工大学的线性代数教材内容基本相同,主要内容涉及:行列式、矩阵、矩阵的初等变换、n维向量、向量空间、线性方程组、相似矩阵、二次型、线性空间与线性变换等板块。部分重点大学的教学内容会更多一些。线性代数的教学内容既是由线性代数的本身特点所决定,也与高等学校基础课程教学的基本要求和硕士研究生的考试内容有关。但各部分内容讲授多少有所不同,章节的安排也不尽相同。

(2)课时及内容安排:笔者学院线性代数的教学时数为40课时。《线性代数》特点是概念多、符号多、定理多,内容抽象但是实例很少。这些特点使得学生在学习这门课程时普遍感到有一定的难度。因此在教学过程中,不仅要求教师去帮助学生理解和掌握线性代数的基础知识和基本内容,同时也要转变他们固有的思维模式,提高抽象思维能力。该院的线性代数教学是根据教材内容的安排顺序进行讲解。但是,笔者比较倾向于线性方程组的消元法矩阵行列式(含矩阵的秩、逆阵等)维向量与方程组的解的结构特征值与特征向量(相似、对角化)二次型的教学顺序。即:先由线性方程组引入矩阵,然后讲矩阵的定义、性质、运算,以及矩阵的初等变换、简单的矩阵分块计算、可逆矩阵等,用矩阵等价标准形的唯一性(直接证明它的唯一性)定义它的秩。然后介绍向量组的线性相关性、向量组的秩等。接著,完成线性方程组的解的理论,再介绍行列式。这样在一定程度上,帮助学生更好地接受这门课程。笔者也认为先讲矩阵再讲行列式是多数教师希望采取的授课方式。但由于与教材内容安排不符,只希望在以后的教学过程中进行探索,对教学内容和顺序的安排有所改进。

3 笔者学院线性代数课程存在的问题

(1)笔者学院线性代数选取的教材“层次”较高,不太适合职业院校对线性代数内容与难度的需求。

(2)教学内容的安排依然受数学专业的教学内容的影响较大,与实际问题的结合仍然不够。

(3)课程的安排:线性代数这门课程是安排在学生入学的第二年的第一学期。入学第一年的第一和第二学期安排《高等数学》。笔者认为线性代数与高等数学中的结合是可取的做法。即:笔者建议将线性代数课程安排在大一的第二学期。这样把有关向量的内容、直线、平面与线性代数很自然地结合,对代数与几何的相互融汇是有利的。高等数学中的多元函数微积分中的曲线与曲面部分,分析与代数的侧重点是有些不同,但并不矛盾。线性代数中实二次型的分类的几何背景就是二次曲线与二次曲面的分类。而且,弄清二次曲面的方程对计算重积分的积分区域的确定也有帮助。另外,国外线性代数教材一般都比较注重代数与几何的关系。

(4)教材的概念:《线性代数》是以一系列概念为基础的,它的抽象程度往往高于其他学科。因此该院学生对这种高度抽象的概念望而生畏。笔者在教学过程中,一方面,让学生了解概念的产生背景来减弱概念的抽象程度。另一方面,通过对比、比较来加深学生对概念的理解与掌握。例如在讲授行列式定义时, 是利用消元法来求解二元线性方程组,把其解用二阶行列式表示成容易记忆的形式,通过分析概括,给出了n阶行列式定义。但是,笔者在2015、2016年的教学活动中,也发现教材对部分重要概念的描述不是很完备。也有前面的部分重要概念没有提及,在后面的教学内容中却经常用到。希望再版时候,编者能够及时补充和完善。

(5)教学中的应用性和实际计算题目做得还很不够。

4 几点建议

(1)首先,学习线性代数课程一定要做好预习。预习是我们学好线性代数的前提。预习可以让学生提前对所学内容有一个初步的了解;而且预习之后再听课效率可以大大提高。我们知道,现在线形代数所用的教材难度非常大,如果学生课前不预习,在上课的时候,可能会有腾云驾雾的感觉。长此以往,有很多同学都对这门课程会失去兴趣。大家知道,兴趣对于一门课程的学习有着至关重要的作用,没有了兴趣就不可能学好。

(2)其次,学好线性代数就是认真听讲,这是学生学好这两门课的中心环节。课堂上的时间是非常宝贵的,学生一定要充分利用这些时间,使其发挥最大的作用。在认真听讲的前提下,认真做笔记也是一个好方法。在课堂上,我们是不可能全部掌握所学的知识的,如果不做笔记,那么学生课后就无法完全理解和体会教师在课堂上所讲的一些知识要点和方法。笔记是充分用课堂时间的关键。

(3)笔者建议在教学过程中, 教师可以适当增加一些近年来的考研题目作为例题或课后习题, 以典型题为例分析,让学生了解考研题目中线性代数的考点。认识到考研题目并不可怕,是我们运用所学知识很容易就可以解决的。这样不仅有助于对知识的掌握,还可以提高学生的求知欲和综合分析能力, 继而增强他们学好《线性代数》的信心,达到良好的学习效果。

(4)复习和作业是学生学好线性代数的关键。复习和作业可以帮助学生进一步理解和掌握所学知识。线性代数光看书是不行的,看只能看到表面的东西,不能看到本质。因此,笔者建议学生一定要在看的基础上多练,教师在课堂上讲的题目,学生在课后一定要重新做一遍,因为只有这样,学生才能真正地理解和掌握教师做这道题的思想和方法。

(5)学习线性代数,适当地做一些课外练习是必不可少的。适当地做些课外题目可以帮助学生进一步巩固所学知识。但是该院学生目前只有线性代数的教材,教材的习题相对较少。建议学院为本科班的学生统一选购适合他们的线性代数习题集或者由任课教师帮助他们选择部分习题。通过做习题来巩固所学内容。

总之, 在《线性代数》课程的教学过程中,教师要根据学生的实际情况,采用各种教学手段,激发学生的学习兴趣,使本科班的学生能够较好地理解线性代数的基本知识, 提高他们的抽象思维能力和逻辑推理能力。

参考文献

[1] 钱椿林.线性代数[M].2版.北京:高等教育出版社,2004.

[2] 同济大学数学教研室.线性代数[M].2版.北京:高等教育出版社,1991.

[3] 张建军.高等数学[M].北京:中国电力出版社,2009.

第4篇

[关键词] 线性代数 抽象思维 线性相关性

一般的工科《线性代数》课程主要包括线性方程组、行列式、矩阵、向量、特征值与特征向量、向量空间与线性变换、二次型等几部分内容[1]。在教材中各部分内容均可独立成章。从而造成线性代数教材可以用不同的方式去组合各个专题展开课程的内容。因此学生很难自发深刻地体会到彼此之间的联系。此外,线性代数课程所具有的高度抽象性也常常使学生望而生畏。针对这些情况,已有不少作者发表了关于怎样学好线性代数的一些文章,可参考文献[2-5]。

在长期的教学实践当中,本文作者发现在对书本知识经过一番必要的解释之后,再从教材的理论结构这一大处着手,半句妙语,提纲挈领,往往胜于千言。因此,针对线性代数课程抽象枯燥的特点,提出了强调教材结构体系的方法。从而将线性代数各部分有机地联系到一起,以使学生对线性代数课程有一个整体全面的把握。

寻找线性代数的理论结构,需要注重局部和全局的关系。线性代数是一门高度抽象的课程,如能从高处以更广的视野对教材的内容进行审视,或对内容进行一种全局性、宏观性的概括,就可使学生的学习有明确的目标意识,而纷繁多头的知识点也就会呈现出清晰的主干脉络和条理性,达到事半功倍的效果。线性代数具有很多种理论层次结构。本文试图从如下几个方面来理解线性代数的理论结构。

一、线性代数的理论基础来源于解线性方程组

最初的线性方程组问题大都来源于生活实践,正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。展开知识的发展过程就是这个问题的解决过程。所有枯燥的理论都是从这里生长的。在学生明确了学习的目的之后,很自然的就可以回忆起高中解二元一次线性方程组的方法――消元法。那么在大学里,我们将要解决的是所有含有有限个未知量的线性方程组。熟话说:工欲善其事,必先利其“器”!而行列式和矩阵正是我们研究线性方程组的两个“器”。首先,为了求解方程的个数与未知数个数相等时的线性方程组,引入了行列式的概念,进而讨论其性质,利用他们得到了解这类线性方程组的优美的克莱姆定理。其次,对于方程的个数与未知数个数不相等时的线性方程组,引入了矩阵这一工具。而前者可以统一到后者之中。学生在明白了这一简单的理论架构以后就知道自己为什么要学习行列式和矩阵了。参看下面的图1。

图1表明了求解线性方程组时所用到的两种工具。

二、线性代数的重要内容――矩阵

矩阵或者说增广矩阵就是把一个线性方程组最重要的信息提炼出来。这是学生在线性代数的学习中将要遇到的第一次抽象。这一问题的转化过程是通过一一对应实现的。因此矩阵来源于线性方程组。但是矩阵作为线性代数中一个崭新的概念,随着矩阵理论自身的发展,它又是高于线性方程组的。这句话不是很好理解,打一个譬如。如果我们把线性方程组看作“道”,矩阵是另外的“道”。那么矩阵这个“道”是可以用线性方程组这个“道”来描述的,但又不仅仅是线性方程组这个“道”的平常意义所能包涵得了的。很熟?对!就是“道可道,非常道”那句话。事实上,我们的线性方程组这个“道”也是来源于现实生活中更具体的“道”------“道”法自然。而矩阵那个“道”也可以用诸如向量组,向量空间等更高级的“道”来抽象。像这样一种不断的用“道可道,非常道”抽象上去的理论结构的强调对学生抽象思维能力的培养是很有好处的。参看下面的图2。

图2揭示了线性代数课程的某一种理论层次结构:表明了从线性方程组到子空间或极大线性无关组的不断发展抽象的过程。

三、矩阵――广义的数

矩阵的定义是一个数表,但是也可以理解为数的概念的一种推广。因为矩阵也定义了加减乘等运算,对于可逆矩阵还有求逆的运算。特别地,对于一行一列的矩阵来说就是我们通常意义的实数或复数。所以,用这个思路来理解矩阵这个概念就会觉得很自然。另外要注意的一点就是矩阵做为一种新的广义的数,当然具有一些自己独特的性质。如矩阵乘法的交换律,消去律等等已经不再恒成立。这些正是学生需要加以学习和辨认的。当学生对数的概念放宽以后,就可以继续说线性变换甚至更广的函数都是数的概念的推广。从而形成对数的认识发展的理论结构。或者说另外的一种“道可道,非常道”抽象上去的理论结构。参看下面的图3。

图3表明人类对数一种认识的过程。

四、矩阵的核心――矩阵的秩

矩阵的秩是一个较难消化的概念,但又是一个非常重要的概念。对矩阵的秩的理解直接影响到对整个教材的理解。在学生通过学习由K阶子式所导出的矩阵的秩的定义之后,把求矩阵的秩转化为求阶梯形矩阵非零行的行数显得很重要。对于一个具体的线性方程组来说,其所对应的增广矩阵的秩就是方程组中“有用”的方程的个数。也就是说,其增广矩阵对应的阶梯形矩阵中的零行所对应的方程组中的线性方程的存在与否对方程组的解没有任何影响。即零行对应的这些线性方程是“无用的,表面的”!因此通过化矩阵为阶梯形求矩阵的秩的过程,实际上就是对线性方程组的一个化繁为简的过程,去粗取精的过程!这样一种结构事实上就是在线性方程组的集合与矩阵的集合之间建立了一种一一对应的关系之后,把对线性方程组的研究彻底的转化为对矩阵的研究。这是进行数学研究的根本方法。

五、初等变换――“照妖镜”

在用消元法求解的过程当中,我们会用到初等变换。此时,初等变换把一个方程组变成同解的另外一个方程组,在这个过程当中,原方程组形式上变得简单了,但是方程组的解集合不会改变。在把矩阵化为阶梯形矩阵的过程当中,我们同样会用到初等变换,此时矩阵形式上也变得简单了,但是矩阵的秩不会改变。而从阶梯形矩阵我们一眼就可以看出矩阵的秩。所以线性代数用一句话来说就是研究线性方程组,矩阵,向量组,以及二次型等等在初等变换下不变的那些性质。这样一种结构就能把各个知识点串起来,让学生达到融会贯通的效果。

六、两个重要概念――线性相关与线性无关

线性代数里面有很多重要的概念,线性相关与线性无关无疑是其中的两个。这里,一个简单的命题是含有零向量的向量组线性相关。因为我们可以取零向量的系数为1,其他向量的系数为零,从而得到一组不全为零的组合系数。这个命题的逆命题显然是不成立的。与此同时,在各种版本的教材中还会有这样的一个定理:一个向量组线性相关等价于该向量组中存在一个向量被其余向量线性表示。我们说能够被其余向量线性表示的向量在某种意义上在这个向量组里面是多余的或者说没用的――在线性方程组里,去掉这个向量所代表的那个线性方程对原方程组的解不会有任何影响,而在某个矩阵里,去掉该向量所代表的行也不会对矩阵的秩有任何影响。在这样一种意义下,我们甚至可以把这样的向量――能够被其余向量线性表示的向量――看成零向量。因此,线性相关的向量组表面上不含有零向量,但本质上还是含有零向量的。认识清楚这一点,我们就可以透过现象,看到本质!从而也能得到线性代数中另外的一个理论结构。那就是从任何一个向量组出发,通过反复去掉其中多余的向量――能够被该向量组剩余向量线性表示的向量,我们可以得到原向量组的一个极大线性无关组;而通过反复添加多余的向量――能够被该向量组线性表示的向量,就可以直达向量空间这个概念。

七、矩阵的应用――二次型

大部分教材最后一部分往往涉及到实对称矩阵的一个应用,即利用已经得到的有关实对称矩阵的对角化的理论,来化一般二次型为标准二次型。因此纵观整个教材,很好的体现了从实践上升到理论,最后又用理论来指导实践这一创造美好世界的原则。参见图1.

图4为线性代数课程的另一种理论层次结构:表明理论来源于实践(指从解线性方程组中所得到的矩阵理论)之后又可以用于指导实践(指用矩阵理论解决二次型的标准化问题)的哲学思想。

扎根于对教材的深入理解,能得到许多的理论层次结构。既有关于整个教材的,也有关于某个知识小块的。许多结构都还有待于我们去继续发现。本文旨在起个抛砖引玉的作用。鉴于各种抽象的过程,借用《道德经》里面的一段话来结束全文:道可道,非常道,名可名,非常名。无,名天地之始,有,名万物之母。故常无,欲以观其妙;常有,欲以观其缴;此两者,同谓之玄。玄之又玄,众妙之门!

参考文献

[1]同济大学数学教研室.线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2005

[2]张军,戴霞.浅析注重思维培养的线性代数教学方法[J].高等教育研究,2007,24(4):29~31

[3]李佩泽.对线性代数中线性方程组教学的实践和体会[J].高等教育,2007,14:21~23

[4]丁巍.浅谈“线性代数”教学中的美育[J].高等数学研究,2008,11(4)89~90

第5篇

【关键词】线性代数;课堂教学;教学主线;几何观点;代数史

线性代数及微积分(常称为高等数学)、概率论与数理统计是当今大学生三门必修数学课.由于中学数学教材改革和新课标的实施,微积分和概率论与数理统计课程中的部分知识点已经在学生的高中阶段都有所接触,而且这两门课的大部分知识都有较为丰富的背景和应用范围.相比而言,线性代数中的行列式、矩阵概念对学生是全新的,没有在中学接触过的,就现行的大量教材来看,线性代数在内容安排上,显得逻辑性、抽象性有余,而背景性和应用性不足.加上线性代数一般都安排课时较少,所以使得学生对线性代数课程的学习更加吃力,达到的教学效果也不尽理想.本文探讨在不改变线性代数课程内容体系的前提下,如何改进课堂教学方法,以达到更好的教学效果.

一、教学中必须把握两条主线

如前所述,与其他两门数学课程相比较,线性代数的教材编得更为抽象,更加远离现实.学生通常会觉得概念、定义多,而且由于缺乏背景,一般会显得零散,各种概念之间的联系也较难把握.在课堂教学中,必须把握线性代数课程的两条主线,才能把这些大量的概念连起来,形成一个整体.

1.第一条主线是线性方程组

求解线性方程组是线性代数课程的一个主要任务,将中学的消元法经过一次抽象,就是线性代数中矩阵的初等变换概念.根据各种方程组的特点,形成了线性代数课程中一系列概念和方法.当未知数个数与方程的个数相等的时候,行列式可以派上用场,于是引出了行列式的初等变换、求值、克莱姆法则等相关概念.对一般的线性方程组,我们用秩来描述“真正起作用的方程的个数”,方程组的有解无解,有唯一解还是无穷多解,自由未知量的个数,都可以用系数矩阵的秩和增广矩阵的秩来理解了.为了对无穷多解有更深入的认识,把方程组的解看成向量,对齐次线性方程组,就需要引入向量空间的概念,这样就不难理解线性相关与线性无关、最大线性无关组这一连串的概念了.可见,抓住了线性方程组这条主线,就可以把行列式、矩阵、向量组这些概念合理地联系起来了.

2.第二条主线是二次型的标准化

解析几何中很重要的一个主题就是要把一些二次曲线方程化为只含有平方项的二次型,以便研究曲线的类型,这就是我们所谓的二次型化为标准二次型.利用矩阵这一工具来完成这个过程,需要从矩阵的特征值和特征向量出发,来讨论实对称矩阵的对角化问题.线性代数课程一般给出了三种化二次型为标准二次型的方法,着重讨论的是用正交变换的方法.

在课堂上,抓住这样两条主线,不但可以避免概念的零碎,而且对学生掌握线性代数整个课程体系也是非常有帮助的.

二、在课堂上引入几何的观点来介绍代数知识

大部分线性代数教材都从知识结构的逻辑性来安排内容,使得代数知识以抽象的面孔出现在学生面前.事实上,在中学阶段,学生学习初等代数时,是非常注重代数与几何之间的结合的.数形结合不仅有利于降低学生的理解难度,也是掌握代数思想的一个必然要求.如何用几何的观点来学习代数,是一个在线性代数的课堂教学中值得思考的问题.

(5)的解即为方程组(2)的满足整体误差最小的近似解,这就是最小二乘法求最优近似解的结果.从上面的例子可以看出,直观的几何意义使得很多推算得到了简化,更能让学生加深对概念和方法的理解.

三、从代数发展历史的角度来讲线性代数课程

前面提到,大部分教材的编排由于注重严格系统化的形式推理,都不可避免地使线性代数抽象性特征明显,我们在课堂教学中,不妨灵活处理知识的来龙去脉,站在从知识发展的历史的角度来认识这门课程,这也是引起国外越来越多大学重视的一种教学方式.SpringerVerlag出版社出版的大量大学数学教材,就是基于这一观点来编写的.2008年,普林斯顿大学出版社出版了《普林斯顿数学指南》(the Princeton Companion to Mathematics),这是一本数学综合类的普及读物,全书共有一千多页,尽量用浅显的语言,把现代数学知识的来龙去脉解释清楚.在线性代数的课堂教学中,如果能借鉴这种从知识产生历史角度来讲授知识,不仅能让学生理解知识之间的内在联系,更为可贵的是,能把很多数学大家当时对这些数学问题的思考过程呈现在学生面前,对学生创造性思维的形成过程大有益处.

四、结 语

线性代数课程由于其自身的特征给教学带来一定的难点,如何在不改变课程知识体系的前提下,达到较好的教学效果,让学生能在抽象的代数学习中,接受知识,形成创造性思维方式,提高数学能力和素养,是每个大学数学教师面临的一个重要课题.本文从教学实践中,结合国内外相关的数学教育理论,提出了几条相应的措施.要提高教学质量,需要长时间在实践不断去完善教学手段和教学方法,唯有高质量的课堂教学,才能保证线性代数课程较好的教学效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系编.线性代数[M](第六版).北京:高等教育出版社.

[2]杨小远,李尚志.大学一年级学生创新能力培养探索与实践[J].大学数学,2012(4):13-21.

[3]李大潜 漫谈大学数学教学的目标与方法[J].中国大学教学,2009(1):7-10.

第6篇

【关键词】线性代数 教学策略 教学改革

一、关于线性代数

线性代数的概念很多,而数学符号和概念本身就是长期科学抽象的结晶,所以弄清符号的含义,掌握概念的内涵是学好这门课的前提。

二、线性代数的教学策略

1.直观介绍概念

数学概念一般较为抽象,若不注重引入方法直接介绍,对学生而言,文物一时难以接受,即使勉强接受也理解不透,难以应用。《线性代数》中的一些概念,往往是由若干特殊情况,通过不完全归纳法在一般性定义得出的,它注重具体,淡化抽象。概念都有严格的定义,而定义的叙述或易或难。在教学中,为了让学生弄清某些定义叙述较为抽象的概念,用大量的实例将概念具体化。

2.注重习题课作用

在线性代数的学习中,学生会普遍感到“做题困难”、“做题没有思路”等问题,原因是由于这门课程的研究对象和基本思想方法与学生的原有认知结构之间不相匹配产生的,是非常正常的。解决这一问题的最好教学策略就是尽量多上习题课。上好习题课,发挥习题课的作用,便于学生对概念的理解。线性代数习题课的基本作用是:使学生正确理解和掌握有关基本概念和基本结论;使学生逐步熟悉和掌握有关基本方法;使学生学会和掌握基本解题技巧,培养学生的思维品质;澄清一些模糊的或者错误的认识;培养准确规范地使用数学语言的能力。习题课采用师生共同讨论的教学模式,形成互动。通过一个阶段的适应,一般学生就能逐渐形成分析问题和解决问题的能力。

3.比较法在线性代数中的应用

所谓比较法,即把某些有一定相关性的知识点或练习题放在一起对照讲授或练习,找出它们的共同点和不同点的教学方法。它包括:相反概念的比较;易混概念的比较;新旧知识的比较;同类事物的比较。比较法在线性代数教学中应用可以使学生加深对知识的理解,准确把握题意,提高分析理解的能力.通过比较可以辨别真伪、正误,提高认识水平;可以举一反三,拓宽视野,更好地把握数学知识的本质特征。

4.培养运用线性代数的一般能力

学有所用是激发学生学好一门课程的关键。知道理论、了解应用、却不知该如何利用,面对这样的状况学生仍会对这门课程产生距离感,乃至丧失学习兴趣。培养学生的应用能力和创造能力,成了目前数学教育改革的热点问题。为了解决这一问题,许多学校开设了数学建模课程,但这种方法有时无法面向绝大多数学生,因此我们必须考虑如何在涉及面更广的一些数学基础课中培养学生的各种能力。引导学生学习和运用合情推理的方法,合情推理依靠直觉思维,通过猜想、不完全归纳、类比和联想的能力得到结论,这是一种或然的结论。

三、线性代数课程的改革

1.通过学习,提高学生的综合素质

数学的理论来自实践,数学的思想方法是自然科学、社会科学甚至生活中的各种思维方式的抽象和综合,它与数学知识一样具有一定的普适性。在数字化社会,学会把事物数量化、数学地思考问题,无疑对提高人的素质有重要作用。数学的严谨性使人诚服,其真理性又使人坚信不移。数学教人们实事求是。数学的推导是严格的,拒绝“想当然”。它是培养学生实事求是作风的很好工具,在培养学生严谨科学的治学态度上起着举足轻重的作用。数学推理能力在很大程度上决定了人的工作能力和业务素质。思维品质和思维能力是人的心理素质和业务素质的重要的表现形式之一。总之 ,数学是思维的体操,是训练人的思维合理性的最佳工具。线性代数可有效地培养学生的逻辑思维和推理能力,对提高学生的素质是至关重要的。

2.教学方式和教学手段的改革

(1)艺术性教学

要注意讲课的艺术性,要善于提出问题。当讲到关键问题时,可采用发问式提出问题,之后稍稍停顿,给学生思考的余地,但不能等待,继续往下讲,促使学生思维灵活,反应敏捷。对提出问题步步深人,一个个解决。语言简练而不重复,重点地方应加强,语气放慢,引起重视,让学生一字一句听得清清楚楚,且可以边听边思考,给学生一种紧迫感,让学生感觉到思维一停顿就会脱节,衔接不上,保证上课全神贯注,注意听讲。

(2)多媒体教学

线性代数课堂教学的一个显著特点是板书频繁而且量大,板书费时、费力,粉尘常常弥漫于整个教室,不仅增加教学难度,而且还影响师生们的身心健康。并且由于字母上标、下标太多使学生不易看清,大班上课后排同学又听不清,常使得教学效果大打折扣。在多媒体教学中,由于电子板书和话筒的使用,其清晰大号的字形和先进的音量放大系统,可较好的解决这些间题。在使用多媒体教学中,教师可在适当的时候利用数学软件演示计算行列式、矩阵运算、解线性方程组等,开拓学生视野,增强学生应用数学解决问题的能力。教师还可随时方便地使用投影仪将手头现有的文宇或图片资料投影于大屏幕上,包括用此方法来讲评学生作业,方便、快捷。

(3)探究式教学

探究式教学是将探讨式教学和研究式教学融为一体的一种教学模式。所谓探讨式教学,即探索、讨论式教学。主要强调调动学生的积极性,正确引导学生对所需要讲授的课题进行讨论,探索,从而培养学生独立思考的能力和团结协作的精神。而研究式教学是重点讲授课程知识中的两个问题:发现该知识的原始过程和发现该知识所用的科学思想方法。这种教学方式能够激发学生的创新欲望,激活创新潜能增长创新能力燃起创新激情。总之,探究式教学鼓励学生亲自参加探索、研究和实践,在这个过程中学生不仅可以提高自身发现问题、分析问题、解决向题的能力,还可以促进师生的感情,感受知识所富于的快乐,增长自身的才干。

(4)注重思想方法的培养

在教学内容中渗透数学思想方法,对学生思维能力的培养是十分重要的,在教与学的过程中,我们除传授数学知识外,更应注重学生自学能力的培养。利用初等变换理论作为基础可建立矩阵的秩、逆,向量组与向量空间,线性方程组,矩阵的对角化,线性变换等理论,进而再考虑抽象空间到抽象空间上的线性变换。能够掌握贯穿学科的若干思想方法其实就是找到了攀登整个学科高峰的捷径,学会思想方法对学习线性代数是大有裨益的,对自学能力的培养促进作用表现是明星的。多讲解有利于加深理解基本概念和基本定理,采用一题多解方式拓展解题思路,着重于分析思路,指出解题才是关键提高分析能力的关键,所以应多让学生独立完成计算。

四、总结

以上关于《线性代数》课程的教学策略和改革一些观点,概括来说就是要更多的注重学生的接收能力,更为合理的进行教学。相信同行还有更多更好的方法,抛砖引玉,意在使这个问题能引起大家更多的思考。

参考文献:

[1]孙艳,吕堂红.《线性代数》课程教学改革的实践与思考[J].理工大学学报(社会科学版),2007.

[2]李尚志.线性代数教学改革漫谈[J].教育与现代化,2004.

[3]张唯春.对线性代数若干问题的分析[J].长春师范学院学报(自然科学版),2005.

第7篇

关键词:教学方法;教学手段;教学改革;工科线性代数

中图分类号:G642.0 文献标志码:A 文章编号:1673-291X(2013)03-0301-02

线性代数这门课程是高等学校工科学生的重要的基础课程,也是工科专业课程的必备的基础课程。线性代数作为基本的数学工具在自然科学和工程技术等领域中的地位日益受到重视。线性代数的理论思想是计算机技术的基础。随着计算机技术的发展,很多工科专业,如信息科学,机械工程,土木建筑等,对线性代数的要求越来越高。线性代数[1]这门课程的特点是概念比较抽象,概念之间的联系紧密。但是工科线性代数没有数学专业要求的高,因此,为了更加强调线性代数在工科专业中的思想方法和实用性,我们进一步地对工科线性代数的教学改革进行不断的探讨。

数学教育家斯托利亚尔[2]关于数学课程现代化的观点对我们同样富有启发性。他说,数学教学落后于现代数学科学与其说在于内容,还不如说在于思想基础和内容的逻辑结构,就是说,要把教学建立在现代数学的思想基础上,使课程的风格和语言接近于现代数学的风格和语言,使学生的思维向现代数学思维发展。线性代数也是如此,它在工科中的应用主要是它的思想方法和实用价值。因此,在工科专业线性代数的教学中,我们应重点强调线性代数在工科专业应用中的思想方法。随着自然科学的发展,人们所考虑的问题越来越复杂,并且为了更好体现实际的自然现象的精确性,由此而产生的数学模型中所涉及的变量越来越多。对于这样复杂的问题从数学的角度需要进行简化为线性的形式才容易从计算的角度来得到它们的更精确的表现形式,从而应用到实际的具体的自然现象中去。于是线性代数的大规模的线性计算方法也就成为了工科专业中的重要的数学工具。然而,由于线性代数具有抽象的概念,严谨的逻辑思想以及相对独立性的解题思想方法和大量的烦琐计算,使得工科学生在学习线性代数的过程中感觉不到它的实际意义和广泛的应用。大多数工科的学生对线性代数学术感到很乏味。我们结合线性代数在工科中的广泛应用,为提高和培养工科学生学习线性代数的兴趣,在工科线性代数教学经验的基础上,从教学方法、教学手段和教学实践等方面探讨工科线性代数的教学改革。

1.从教学方法方面进行探讨。很多学生感到线性代数的概念比高等数学的概念抽象得多,更难理解。因此,在教学中就要选择合适的方法来引导学生理解这门课程的实质和广泛应用,结合工科专业的一些应用来讲解和引入概念、方法等,使得学生更容易接受所学知识并激发学生学习线性代数这门课程的兴趣。对这方面的探讨我们主要从下面几个不同的角度来考虑。

首先,讲解概念时很多教材忽视了引入概念的实际背景,从而让学生感到概念很抽象。因此在教学过程中,教师最好通过实际的例子来引入各种不同的概念,使学生对概念的思想由来得以把握,从而使学生更能把线性代数和实际联系起来。例如在引入矩阵的概念时结合工程中或经济生活中为解决问题而得到的大量实验数据以及这些实验数据之间的关系,可以用矩阵形式来表示,这样既方便又容易理解。

其次,在讲解线性代数中的不同计算思想和方法时,最好可以寻找到这些思想方法的由来和源泉及其在应用中的重要作用,从而激发学生学习线性代数中的各种方法的积极性。另外,在讲解线性代数的各种计算方法时,要注重思想方法的讲解,从简单的典型计算入手,让学生感到方法的思想和技巧也就够了。随着现代技术的发展,很多工科专业的实际运用相关软件进行处理的,而这些相关软件是通过计算的原理和思想进行编程而得到的。因此,很多时候一定要让学生理解处理问题的思想和实质,在线性代数的计算方面只需学生掌握有代表性思想的低阶的行列式计算方法或低维的线性方程组的解法,不必进行大量的复杂计算来理解方法的运用。

最后,有关习题或例题的选讲问题。我们除了在讲解概念后给出例子来说明概念的应用,还可以在每一章节后面多加入一些例题选讲。例子选讲的目的不仅是加深学生对所学概念的理解,掌握概念之间的关系,而且还须从不同的角度对各种计算方法进行归纳总结,让学生对所学内容有一个系统化的理解,对概念之间的关系更加清晰明了。从而也就感觉不到学线性代数这门课程的乏味了。在例题选讲中给出解题的不同的方法,可以从一题多解的角度去考虑,从而培养学生的发散性思维[3]。例如,在求一个元素具体的矩阵的秩时,常用的方法有初等变换法、计算子式法、综合法及求极大无关组方法。我们可以对这些方法进行归纳总结,在例题选讲中给出不同方法的例子,让学生从中体会不同方法的思路,从而更加深对概念的理解和应用。

2.从教学手段来探讨。随着现代技术的发展和现代信息的不断扩大,各工科专业对线性代数的教学内容的要求逐渐增加,而线性代数的学时没有改变,要完成教学内容的任务,就需要对教学手段进行改革。

首先,我们可以利用现代高校中常用的一种教学手段多媒体教学来进行讲授线性代数的内容。传统的教学手段课堂上需要大量的板书来讲授这门课程。但是随着内容的增加和现代科技的发展,传统的教学手段已经不能适应现代课程学习的要求。我们可以在教学手段上加以改进,结合现代教学的特点进行精心的设计,使用现代技术常用的多媒体教学来解决内容和学时的矛盾。多媒体教学的很大的特点就是它可以使教学内容更加充实,可以传递更多的信息给学生,使得学生可以接触到大量的知识内容,拓宽学生的知识面和视野,为他们在专业知识方面能够有更大的突破打下坚定的基础。在多媒体课堂教学中,教师可以通过更多的实例来介绍抽象内容蕴涵的实际背景,可以给出很多不同的例题的解法和思想,上述我们所说的教学思想方法的改革都可以实现。这样,学生在课堂上主要来学习线性代数这门课程的思想、原理和方法等,在课下可以自己独立地根据电子教案来加强学习和复习。当然多媒体教学也有它的缺点。由于多媒体教学中,传统的板书少了很多,所讲内容在不断的更新,学生看到的内容也是有限的,这样从逻辑思维的角度来看有可能使学生在思维上出现间断,从而不知道教师在讲什么。在使用多媒体教学时对教师设计电子教案的要求提高了。教师必须精心地设计自己的电子教案,使得教案在教学过程中更能够适合学生的逻辑思维,要把主要的思想方法精心地设计,在一些复杂的计算方面可以尽量地减少,让学生在听课的过程中感到内容的循序渐近性。

其次,通过让学生进行大量的习题练习来增加学生对所学内容的理解和掌握。在整个教学过程中,可以从一定量习题课中不断检验学生对所学内容的掌握情况。在课下可以给学生布置大量的作业和习题,通过批改作业来寻找学生掌握内容的欠缺,并从作业中来寻找掌握的概念和方法的弱点。然后在习题课中重点强调学生所掌握的弱点,并且可以让学生在课堂上讲解他们自己的理解和思路,在从这里找到理解不是很透彻的原因。这在多媒体教学课堂中是可以实现的。让学生亲自去寻找问题、讨论问题和解决问题,从而也提高了他们解决问题的思维方法。

3.从教学实践角度来探讨。俗话说,实践是检验真理的唯一标准。教学实践是教学过程的重要组成部分,是培养学生的实践能力和创新意识的重要教学环节,也是培养工科专业学生把所学知识应用到本专业上的重要实现过程。这对培养有现代人才教育素质的学生有着重要的意义。

首先,教学改革的主题是学生,教师起着主导性的作用,在教师的创新性教改内容和计划实施的过程中,要让每个学生在教师的指导下发挥自己的主体性作用。很多大学生刚考上大学时还没有真正地了解大学中学习的课程在将来工作中所占的主导性作用,而线性代数更是一门抽象的数学基础课,更让学生感到乏味和单调。因此,教师在教学改革的过程中要通过积极地创造好的学习情景,在课堂教学中要设计好教学的每一个环节,让学生在学习的过程中有一种探索性的感觉,激发学生学习线性代数的好奇心和求知欲,从而调动学生积极主动的学习态度,引导和培养学生独立学习这门课程的主动性,使得在教学改革的思路得以顺利的进行。

另外,教学实践过程中还要让学生有机会充分体验学习的艰辛和学习的成就感。在自己的教学实践和改革的基本思路的基础上,教师除了要认真备课、认真上课、认真布置与批改作业、认真辅导,认真做好每一个环节外,还要要求学生在自己的专业的实践中寻找用线性代数的思想方法来发现问题、建立问题、思考问题和解决问题的过程,从而真正地在实践中寻找自己所学知识的应用。

总之,工科线性代数的教学改革是一个很重要的课题,也是很广泛的课题。线性代数在不同的工科专业中有不同的应用形式,我们要从中寻找它们的共同的特点,并根据不同专业在教授线性代数时给出相应的灵活性的变化,使得工科学生在学习线性代数这门抽象的数学工具的过程中不感到乏味,激发他们学习基本工具的积极性。整个教学改革需要教师精心设计和实践,我们在此基础上已经编出了一本符合整个教学思路的教材[4],并根据教材实施了具体的教学方案。我们在此教材的教学经验的基础上,将进一步探讨有关线性代数的教学改革,使得工科线性代数的教学能够更加完善和成熟,为培养具有现代高素质高水平的大学生而努力。

参考文献:

[1] 同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2] 万中,刘楚中,罗汉.结合人才培养目标谈高等数学教育改革[J].数学理论与应用,2001,(4):108-111.

第8篇

[关键词]线性代数 EXCEL 实验教学 MATLAB

在现实世界中,相当广泛的实际问题所建立的数学模型是线性的或者接近于线性的,即使对于非线性问题,解决问题的一种重要方法也是把问题线性化。随着计算机的快速发展,用代数方法解决实际问题已渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域。线性代数是研究有限维空间中线性关系的理论和方法的数学,“线性代数”课程已成为高等学校理工科类、经济管理类专业的一门重要的数学基础课程。但是,“线性代数”课程的特点是概念、定理、公式具有高度的概括性、抽象性,学习起来难度较大。因此,必须针对“线性代数”课程进行教学改革,通过数学实验来帮助学生提高学习效率,培养用线性代数知识分析解决实际问题的能力。

一、 利用Excel软件进行线性代数的实验

Excel软件是计算机中普遍安装的常用软件,Excel软件的使用也是大学中普遍开设的计算机基础课程的内容之一。线性代数以矩阵为主要工具,以矩阵初等变换为主要方法。用矩阵的初等变换可以求解线性方程组和矩阵方程,判定向量组的线性相关性,求向量组的极大线性无关组及其秩,进行矩阵变换、求逆等运算,求特征值和特征向量,以及二次型化标准型等。因此,线性代数课程中几乎所有的计算都可归结为矩阵的初等变换。矩阵就是表格,而Excel软件是处理表格的专用软件,用Excel进行线性代数数学实验不但是可行的,而且还具有交互界面直观友好、操作简单方便等优点。

利用Excel的内部函数可以计算行列式的值、两个矩阵的乘积、矩阵的逆。如利用MDETERM函数计算行列式的值,利用MMULT函数计算两个矩阵的乘积,利用MINVERSE函数求矩阵的逆等。

二、 利用MATLAB软件进行线性代数的实验

使用MATLAB实现数学教学过程中验证、演示和模拟实验,可帮助学生理解、认识数学规律,例如定理、公式以及空间图形结构。通过掌握MATLAB 数学软件的各种功能和编程,解决线性代数中的计算问题。

(一)使用MATLAB软件处理矩阵求逆、求秩和行列式

在线性代数的教学过程中,学生经常会碰到对矩阵进行逆的求解、秩的求解,也会包括一些复杂的行列式的计算。人工进行这些指标的求解,计算量很大,也占用了大量的教学实践。利用软件,在教授指标计算的原理及步骤后,只需用INV实现对矩阵求逆,用RANK实现对矩阵求秩,用DET实现对矩阵求行列式,这样就可以大大缩短计算的时间,并保证结论的正确性。

(二)使用MATLAB软件处理线性方程组的求解

线性方程组是重要的代数方程组。大量的科学技术问题,最终都要化为求解线性方程组,因此线性方程组的解法在线性代数中占有重要的地位。在方程的个数及未知量的个数较少的时候,可利用矩阵的初等变换来求解线性方程组。但当方程的个数或者未知量的个数较多时,人工计算显然需要花费大量的时间,利用软件就能快捷、准确地解出解。

对于线性齐次方程组Ax=0,MATLAB提供了根据系数矩阵A求基础解系x 的子程序null.m。对于非齐次方程组Ax=b,MATLAB提供了求特解的方法A\b。从而,就可以正确的到方程组的全部解。

(三)数学建模实验与线性代数课程的结合

建立数学模型来解决实际问题的过程是众多行业和科技领域大量需要的,也是学生在走向工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情仅具备一些解数学题目的能力是远远不够的,而需要综合的知识与能力。因此,我们应当努力培养和提高学生在这方面的能力。引入数学建模实验,由实际问题建模并用数学软件求解,将解决简单的线性应用问题的观察、假设、抽象、建模及求解的综合过程完整地呈现,培养学生运用所学的数学方法、借助计算机去解决实际问题的能力。其主要内容是选择一些综合性的题目,让学生应用所学的数学软件,在计算机上求解,这样既扩大了学生的知识面,又激发了学生探索的欲望。例如,在线性方程组求解的教学中,介绍投入产出模型;在矩阵运算的教学后,介绍马尔科夫链;在特征值与特征向量的教学中,介绍人口流动模型;在线性变换后,介绍动画中的图形变换在内积空间介绍后,介绍最小二乘法等。

总之,以国外的经验为借鉴,我们应该利用数学软件来辅助线性代数教学,激发学生的学习兴趣,提高学习积极性,改变“繁”“难”的现状,达到良好的教学效果。但是具体到每一节课该怎样将软件与线性代数理论很好的结合起来,不能太向计算机软件靠拢,但是也不该像以前一样排斥数学软件,这是一个度的问题。在“线性代数”的教学中软件的学习不能完全代替板书,而应将其作为一种重要的辅助手段与板书有机结合起来,这样才能达到较好的教学效果,提高教学质量。

项目资助:上海海关学院优秀青年教师资助课题(No.2312064)。

[参考文献]

[1]凌智. Matlab在工科线性代数教学中的应用【J】.科教平台.29:247-248

[2]薛有才.中美一些典型线性代数教材比较分析与思考【J】.运城学院学报.26(2):3-6

[3]韩云瑞.中西教学理念在西交利物浦大学的碰撞和交融【J】.大学数学.26(1):81-85

[4]杜燕飞.加强线性代数实践教学提高学生创新实践能力【J】.数学教学研究.27(8):54-55

第9篇

【关键词】线性代数 线性方程组 矩阵 秩

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2016)11-0140-02

一、研究背景

线性代数作为诸多理工科课程的基础课程,尽管本身学时不长,但对于后续课程的学习却起着关键性的作用。在教学过程中既要使学生获得必要的基础知识, 同时又具有必要的基本能力。 能力的形成与思想方法的掌握是密不可分的。代数学的基本思想方法有技巧性的数学方法、逻辑性的数学方法、宏观性的数学方法等[1]。关于如何合理安排教授内容章节来教授线性代数,许多高校组织了学者进行探讨教改,并且整理出版了自己的教材,其中以同济大学的教改成果尤为突出,其出版的《线性代数》第三版还获得了2000年中国高校科学技术二等奖。我校也依据本校学生特点,重新编写了《线性代数》[2]教程,在此基础上,进行了一系列教改探讨及教学建设,该课程也被评选成为江苏省精品课程。

二、教授线性代数课程面临环境

1.学生初次学习线性代数课程,会觉得该课程概念多而且抽象,实际生活中也难找到佐证。行列式,方程组、矩阵、二次型等概念框架思路不同,彼此间也难发现其深层次联系,证明繁多,且思路与高等数学证明体系完全不同,初学者极易产生畏惧心理。

2.针对线性代数课程中所遇问题,很多专家学者给出了不同的授课模式,诸如探究式课堂教学、问题解决型课堂教学等模式,然而,对于以上的教学模式,首先对授课人数有了要求,小班教学情况下,才有探究式教学的空间,这对教职工人数和工作量安排提出了较高的要求,在一般工科学校中很难有这样的教学环境;问题解决型更是对学生的基本数学素养有较高的要求,这对于线性代数这样的为大一大二学生而设的基础必修课而言,也有由较大的难度。

三、线性代数的教学尝试

1.课程衔接

线性代数虽然课时不多,但是和高等数学一样是整个大学学习的重要理论基石。这点可以由研究生入学考试中必含有线性代数部分可以得到体现。大部分学生都有在大学二年级学习线性代数课程,经过大一阶段高等数学的学习,已经掌握了学习高等数学时不同于初等数学的学习方法,然而高等数学重视解题能力,强调学以致用,这一点在大学物理的学习过程中也得到了充分体现。初上线性代数课程时可向学生说明,作为基础课程,不一定能做到理论映射到现实生活中。所谓的学以致用,线性代数也在强调工具的应用,但工具并非都是解决实际问题,解决数学问题、专业问题的也称之为工具,线性代数这门学科主要锻炼学生的抽象思维能力以及逻辑思维能力。这与高等数学体系的思维锻炼侧重点不一样。当然,线性代数和高等数学也不是完全割裂的。例如说,可以在刚开始介绍行列式的时候提及解决隐函数方程组所用到的雅克比行列式,其实就是求解二元一次方程组的系数行列式。再如讲到向量组的线性相关性,可以结合解析几何中混合积的几何意义加以释义。诸如此类,让学生能够觉得数学课程虽然分类众多,但彼此间联系紧密。

2.确立主线

初学者在学习线性代数,容易被纷杂抽象的概念所吓倒,有一定的消极心理,不能真正做到主动学习,即便学完线性代数课程,脑海中的印象也就止于一堆堆抽象的定义、枯燥的定理。其根本原因在于教师在授课时候没有有效的给学生贯穿一条线性代数的学习主线,把繁多的知识点串联起来。让学生真正知道自己学到了什么,并用之于以后的进一步学习中。关于线性代数主线的讨论,许多学者给出了自己的建议,有的从矩阵出发,有的从方程组出发,还有的从向量组出发,笔者认为以“初等变换”这一联系方程组、矩阵、向量组三者之间的知识点作为主线或者更能收到成效。要把这一想法付诸实施,授课模块的调整也是有需要的。将行列式和高斯消元法放至首章,紧随着介绍矩阵的定义和基本性质,然后再转入向量组的学习,在利用向量组的知识讲解方程组解的结构时可进一步强调“初等变换”这一主线的重要性。

3.螺旋式切入

实际授课环境中,由于概念定理的抽象性,不可机械地填鸭式教育。根据德国心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线理论,如果能增强知识点的螺旋式切入,不断的用已经学过的知识点来“推陈出新”,让学生做到前后衔接,融会贯通。例如:在方程组的讲解过程中,利用高斯消元法求解方程组时,要重点强调“初等变换”知识点的学习,并将其作为后续知识点的重要串联点。学习向量组的性质时,为了能呼应刚结束的方程组知识,可以通过分析线性齐次和非齐次方程组,利用方程组的初等变换来化简方程组,可以得到关于向量组的两个重要结论。

①即向量β可以由向量组α1,α2,…,αs线性表出的充要条件为以向量α1,α2,…,αs为系数列向量,β为常数项向量的线性方程组有解,并且每个解向量的分量就是一组组合系数。

② n维向量α1,α2,…,αs线性相关的充分必要条件是以α1,α2,…,αs为系数列向量的齐次线性方程组有非零解。

这样从方程组的知识到的向量组知识构成一个有效过渡。对于矩阵而言,矩阵可逆的相关结论可作为联系向量组,方程组,矩阵之间的重要纽带。

例如 ,矩阵可逆矩阵满秩;

矩阵行列式不为零;

行(列)向量组线性无关;

以该矩阵为系数矩阵的齐次线性方程组有唯一零解;

特征值均不为零;

任一可逆矩阵一定可以分解为一系列初等矩阵的乘积,即意味着可逆矩阵矩阵与任意矩阵相乘就是对该矩阵进行一系列初等变换。在这样反复的把前面的知识点贯穿于新知识点的引入中,不但能使学生在初学概念时去除陌生感,也能同时巩固了对于前面知识点的理解。至于相似矩阵和二次型的学习,更是将这方程组、矩阵、向量组的知识点交互在一起的效果得到集中体现。

4. 体验数学之美

线性代数课程中尽管概念抽象,证明繁多,让很多学生感觉头疼,但如果选取一些典型证明,将证明思路详细分析给学生,让学生不仅在证明中学到如何应用理论,从而避免了枯燥记忆的努力,同时也去除了定理太多,以至于无所适从的茫然,也让学生可以从中学习到代数思考的方式,这点也是与高等数学不同之处。让他们在其中体会到逻辑之美,数学之美,或许能激发学生对于抽象数学的热忱。例如:定理3.7 矩阵的秩等于其列向量组的秩[1],该定理的证明值得好好讲解。学生能够从其中仔细体会到行列式、方程组、向量组知识点互相转换的思考模式;再如线性空间的定义,可从一些简单的线性空间得介绍中体会到抽象数学之美;讲到线性空间的基底和坐标时候,线性空间中向量之间的线性运算可以借助于其一一对应的坐标的线性运算来实现,这样就可以一般线性空间与我们熟知的 维向量空间之间的同构,借此可以了解到不同线性空间的结构。进一步,在不同的基底下可以得到不同的坐标系,可以适当介绍仿射坐标系,并与熟知的空间直角坐标系作类比,顺带引出施密特标准化,并介绍其应用价值,并进一步引出一种特殊而重要的线性变化--正交变化,其在实际应用中可起到旋转坐标系的作用,解决了非标准二次曲面化标准型问题。

五、结束语

线性代数课程很紧凑,内容却很丰富,最能体现出代数学思想的就是线性空间部分,然而因为课时原因,线性空间教学部分被大大压缩,如何能够调整知识点,把线性空间的思想融入到课程当中去,也是一个重要课题。在探讨不同教学模式的同时,对于知识点的分配和讲解串联,也需要教师们加强内功修养,让学生能够更好地学习线性代数。

参考文献:

[1] 李小平 关于《线性代数》教学改革的一些思考[J] 大学数学vol.27,NO.3,2011(6)

第10篇

    ,探索发现法,讨论交流法

    线性代数课程是高等院校的一门重要的数学基础课程。但是线性代数不如概率统计有众多实际案例可选,能唤起学生的学习兴趣,能让学生直接感受到该课程的实用价值。也不如高等数学可以联系学生已有的数学知识,可以做到以旧迎新,降低学习的难度。线性代数完全是另起炉灶,学生面对的是全新的数据形式——表格数据。学生以前连表格都很少见到,而现在要在很短的时间内掌握表格数据的算法,难度是很大的。线性代数之所以成为教师和学生都感到难的课程之一,主要在于它的抽象性。如何克服线性代数的抽象性带来的困难,搞好线性代数的教学也是我一直思考的问题。结合自己的教学实践与学习谈谈自己的认识。

    一、更新教学方法,充分发挥学生的主观能动性。

    在教法上,我们可以采取“问题研究法”,“探索发现法”、“讨论交流法”等,变教师一人讲授、唱独角戏,为师生互动交流、人人都参与,使学生真正成为学习的主人!参与其中。让他们在学习中发现问题、研究问题、交流探讨合作、尝试解决问题。老师在这个过程中给以及时的启发、引导和帮助,使学生们真正的“学会学习”。同时,还要加强实践教学环节,提高学生动手解决实际问题的能力。

    二、课程教学方法的设计,针对差生进行

    设计课程的教学方法,应充分发掘各个知识点的内涵及其所具有的几何以及其他相关意义,将困难的,抽象的内容以生动的和易于理解的形式教给学生。从学生熟悉的问题入手,由浅入深,引入抽象的概念或公式,逐步展开《线性代数》内容。这样讲既便于学生接受,又能引起学生兴趣,符合认知规律的。参考网。

    教法设计应该针对差生进行,但不能一味“屈就”差生,以所谓的“降低难度,缩减内容”来满足差生。而应该积极探索新的教学方法,化繁为简,化抽象为具体,来努力的提高线性代数的教学效果。

    比如,在矩阵的乘法的教学中,只告诉学生将一个矩阵的行和另一个矩阵的列的元素对应相乘,然后将这些乘积的和作为乘积矩阵的相应行和相应列上的元素。学生不理解,纳闷为什么会有这样的乘法呢。为此,我先举了一个引例:一某厂家向三个商发送四种产品,求三个商所得产品总重量和总价,再自然地引入乘法公式,矩阵乘法的定义相对来说很容易被学生接受了。

    三、提高能力、增强素质应该成为教学的首要目的

    学习知识、掌握知识固然是重要的,但是,提高学生能力,增强学生的数学素质,尤其是创新素质,应该是最重要的!众所周知,大学时代是一个人一生中,最重要的学习阶段。利用大学的有利条件和丰富的学习资源,掌握一些基础知识和专业知识是十分必要的。参考网。但是,当一个人步入社会,走上工作岗位之后,会面临许多新的知识和新的问题,也许这些都是他或她在大学中所根本没有接触过的。既使是属于其专业领域中的问题,也有许多全新的东西。如果一个人仅仅是“课本的复读机”、“知识的复印机”,解决问题的能力低下,那后果将是不可想象的!如果“照本宣科”,“满堂灌”,学生只是被动地接受、下载、复制,结果恐怕也不会比过去有多大的起色。所以,我们教学过程中不能只是为了向学生传授知识。更重要的是,要把提高他们分析、解决问题的能力,增强他们的数学素质,培养他们的创新精神放在首要位置上!

    四、贯彻“懂数学,懂学生,教好数学,教好学生”的理念

    (1)教学中抽象转化为具体,出发点是学生。有个非常生动的例子:一个准备旅游的人,如果不知道自己的目的地的情况,甚至不知道要去哪里,那么即使导游沿途给予他再好的指导和服务,他对这个导游的安排都会觉得莫名其妙。甚至于,如果这个旅行者本来的目的地是大海,而他却认为是草原,那么他对于导游一定要让他戴上泳衣绝对非常不可理解!我们在教学过程中恐怕是做过这类的事情吧。

    在教学过程中,应充分贯彻“懂数学,懂学生,教好数学,教好学生”的理念,用简单解决复杂的理念。充分理解学生,尤其是理解基础差的学 生。将抽象的线性代数概念,经过几何化为具体,空间为体,矩阵为用,使学生更容易理解和掌握,达到教好学生的目的。抽象源于自然和具体润物细无声,通过精彩的应用案例,随风潜入夜。 (2)概念引入应适时自然。给不饿的人吃馒头,勉为其难;而当他饥饿的时候自然而然地会要求吃馒头。参

    考网。不仅是数学的概念,任何概念的引入,其实都应该是这个道理:到了必须用这个概念不可的时候,再引入,那就再自然不过,学生当然会很容易理解了。

    (3)例子引用要贴切。在教学过程中,一个恰如其分的例子,具有点石成金的作用。例子并不只是考虑到教学的内容,同时也考虑到学生的接受能力和兴趣所在,使得枯燥的内容变得生动自然,具有亲和力。

    (4)注重情感教育。从父母到老师,对于孩子影响最大的莫过于对他的奖励与惩罚。发现并抓住学生的错误中对的地方,及时给予肯定和表扬,有利于激发学生的积极性,克服畏惧失败的心理。

第11篇

关键词:习题课教学;解题;"讲评式导学法"

中图分类号:G420

引言

线性代数是工科院校各专业的一门重要基础课,线性代数抽象难懂,学生总感觉知识点很多,前后纵横交错,学习上有很大难度。因此。仅仅依靠课堂讲授不能很好地实现教学目的,必须重视习题课的教学。

习题课教学是以指导学生进行解题为主的一种课堂教学,它是教学的重要组成部分。解题在教学中是一个重要的组成环节,是运用所学的知识解决实际问题的初步实战,它对于深入理解基本内容,培养分析问题解决问题的能力以及从中摄取广博的实际知识、技能等具有不可替代的作用。因此对《线性代数》习题课教学进行研究、改革具有实际的和发展的意义。

一、有关习题课教学的几个问题

(一)学生解题存在的问题

《线性代数》课程的研究对象和基本思想方法与学生的原有认知结构不匹配,加之学生不能正确理解和掌握有关基本概念和基本结论;不能很好掌握有关基本方法、基本解题技巧以及相近理论的运用等等,就形成了学生解题困难的主要原因。

(二)教师在习题课教学中的认识误区

1.重"难"轻"易"的误区

认为解题能力与难度是一种线性关系,不重视习题的典型性、启发性、和针对性,不重视基本方法的指导和基本定理的形成,这样容易掩盖对方法的掌握、对能力的培养,容易削弱学生的学习兴趣和动机,将给今后的习题教学造成深远的消极影响。

2.重"结果"轻"过程"的误区

教学过程中只重视"结果"而忽略"过程",让学生知道一套分析问题的方

法、类型,就可以让学生掌握一条学习的捷径。长期以往学生的独立思考、创造

性能力就得不到发展。因此教师要注重学生学习的"过程",让学生在学习中逐渐培养自己的解题能力。

二、"讲评式导学法"在习题课教学中的应用

(一)"讲评式导学法"的具体教学方案

"讲评式导学法"的具体教学方案主要是通过教师的精选习题让学生先来"备课',大胆的尝试让学生来讲,经过大家的讨论评价,教师再作指导和总结,最后通过反馈练习来对本节课教学进行诊断,并巩固本节所学的知识和解题的技能,以实现习题课教学目的的一种新型的教学方法。

(二)"讲评式导学法"进行习题课教学应注意的问题

1.精选习题

精选习题是利用"讲评式导学法"进行习题教学的关键。习题一定要精选,否则很难完成习题课的教学任务,如对所涉及的知识点、方法和技巧以及解题时的困难、关键处和易错处等方面的分析。可以从三个方面搜集题目:一是对教材中原有的习题改变提问角度和条件;二是对学生含混不清的问题编一些思考题;三是有的题目尽量联系数学的前沿分支。

2.启发释疑

教师对议的不深不透的问题要启发精讲,帮助学生理解掌握,对出现的问题进行剖析、纠正,应着重于指导学生掌握解题的思路和方法,训练解题的规范性,

逐步提高学生的解题能力。

(三)对"讲评式导学法"的评析

1.有利于加深学生对基本概念、规律的理解

在习题课上选编思考题作为学习的内容,不仅使学生更准确的掌握基本概念,并能应用基本概念正确的解释一些问题,从而改变学生"机械记忆"一些定义、定理,而不能深刻理解、灵活应用的弊端。

2.有利于培养学生分析问题、解决问题的能力

采用"讲评式导学法"学生通过分析、实际的讲解,体验了问题解决的全过程,对解题的思路和方法都有深刻的认识,再加以教师的指导,学生对解题的方法和技巧就会有新的理解,这样不断的训练学生的分析、解决问题的能力就会不断的提高。

三、习题课教学与改革的思考

(一)更新观念、勇于创新

在习题课教学中要根据学生的特点、课堂教学的内容及要求不断的尝试新的教学方法和模式。创新教法一般应遵循以下"二个有利于"的原则:

1.有利于活跃课堂气氛、激发学生兴趣的原则

活跃的课堂气氛有利于师生的互动,使学生积极的参与课堂教学,调动学生学习的积极性。如果说兴趣是学生学习的内动力的话,那么活跃的课堂气氛就是学生学习的外部动力,两者结合一定会充分的调动学生学习的积极性和主动性。

2.有利于启发学生的思考、教给方法的原则

习题课教学的中心目的就是指导学生解题,培养学生分析解决问题的能力,在老师的精心启发和引导的过程中使学生的智力和能力得到发展。将学的知识应用于实践,实现认识的第二次飞跃,进而更好地实现习题课教学的目标

(二)教师要不断提高自身的素质和技能

随着基础教学改革的不断深入,对教师的专业知识和教学技能的要求将进一步提高,特别是教师的课堂组织能力和利用先进的教育技术的能力。如:投影仪、多媒体等在习题课教学中的应用,不但使教学手段多样化,还可以大大的增加课堂教学的内容。实践证明,在习题课教学中适当的利用多媒体教学,可以得到较好的教学效果。

四、结束语

教学有法,但无定法。习题课教学更是如此,"讲评式导学法"只是习题课教学中的一次大胆的尝试与革新,我们应不断地总结经验、吸取教训,进而更好地完善发展习题课教学方法与教学策略,提高习题课教学的效率。

参考文献

[1]高梅;浅谈线性代数习题课的教与学[J];科技信息;2010年02期

第12篇

关键词:线性代数模型生活应用

中图分类号:G71 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2016)06(a)-0000-00

线性代数与实际生活联系紧密并具有广泛的应用性,生活中一些难以解答的问题,如果能将之抽象成数学问题,且运用线性代数构造模型,这些问题将会得到较为简单的解决方案。本文通过生活中的一些实例阐述了线性代数模型的应用,下面就几个生活中的问题进行具体讨论。

一、线性代数与通入产出模型

投入产出分析是20世纪30年代由俄罗斯籍美国经济学家列昂惕夫( 1906~1999)首先提出的,是经济分析的一种方法。为了进行生产,每个产业部门必须要有投入,这些投入包括原料、半成品和从其他部门购置的设备等,还需要支付工商税收、支付工资等。但在生产的过程中,既有物资方面(如原材料、设备、运输、能源)又有人力等方面的消耗。投入的目的是为了生产,生产的结果必然是要创造新的价值。总之,在物资方面的消耗和新创造的价值等于他的总产品的价值,就是“投入”和“产出”之间总的平衡关系。

下面是一个将产业部门简化为仅有农业、制造业和服务业构成的例子。假设没有进口,也不考虑折旧等因素,给出投入产出表(表1-1)

解:表1-1中数字表示产值,单位为亿元。每一行表示单位部门生产的用作各部门的投入的价值和提供给外部用户的分配,没一列表示一个部门需要投入的资源。用1,2,3分别表示农业、制造业和服务业;设 为部门 的总产值; 为部门 在生产中消耗部门 的产值(也称部门间的流量); 为部门的 外部需求(也称部门的最终产品)。那么表1-1中行的基本关系为

将投入产出表1-1中的数字转换成表示每个部门的单位产值产出需要的投入更为方便,这样转换所得的表称为技术投入产出表,表中元素称为投入系数或直接消耗系数。将表1-1中各部门的投入除以该部门的总产出可得技术投入产出表(表1-2)

令 表示生产一个单位产值的产品 需要消耗产品 的产值(称为直接消耗系数)即

将它代入式(1-1)得

令T (称为直接消耗系数矩阵),向量x ,d 分别表示总产出向量和外部需求向量,则式(2-2)可写成矩阵形式

x = Tx + d或(E - T)x = d

(3-3)式称为产出平衡方程,它是投入产出中的基本平衡关系式,是进行一系列数值计算和经济分析的基础。

若令A = E - T,则式(2-2)最终化为

Ax = d,

其中 ,

在本例中,若直接消耗系数矩阵T不变,社会外部需求确定,可求出各部门的总产出x;若社会最终需求改变,那么相应的总产出应如何改变呢?这就需要对d求解线性方程组(3-3).如果对任何的外部需求d(其元素不会出现负值),方程组都有非负解x(每个元素非负),就称此经济系统是可行的。

对上述矩阵A,求其逆矩阵 ,可得

其元素全部非负.因此对任何外部需求向量d(元素全部非负)解得的总产出 的元素也是全部非负,即此经济系统是可行的。

二、线性方程组在量纲分析模型中的运用

在力学中,任一物理量都可以表示为最基本的物理量―质量(M)、长度(L)和时间(T)的组合形式,这种组合形式称为这一物理量的量纲.如面积的量纲是 ,密度的量纲是 (或者 )。值得注意的是量纲是独立于单位的例如,速度的量纲是 (或者 ),但它可以用英里每小时或米每秒为单位.通常用qim表示取量纲的运算,如面积A的量纲qimA ;速度v的量纲 qimv 等。

量纲齐次原则是指任一个有意义的方程必定是量纲一致的,即方程左右两边的量纲应保持一致。即有

qim左边 = qim右边.

同时,左边或右边的每一项也都必须有相同的量纲.只有量纲相同的项才可以相比较,相加减。

因此,我们来考虑下实际问题。

设长为l,吃水深度为h的船以速度v航行,若不考虑风的影响,那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量l,h,v以外,还与水的参数―密度ρ,粘度μ,以及重力加速度g有关。下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系。

解:航船问题中涉及到的物理量有:阻力f,船长l ,吃水深度h ,船速v ,水的密度ρ,粘度μ,以及重力加速度g.要寻求的物理关系记作:

这是一个力学问题,基本量纲选为L,M,T,上述各物理量的量纲表为

式中μ的量纲由基本关系 得到.这里p是压强(单位面积受的力),所以 ;v是流速,x是尺度, ,代入可得μ的上述量纲.

由式(2-2)可写出量纲矩阵

经计算知矩阵A的秩R(A)=3.

解齐次线性方程组Ay=0 可得基础解系为

式(2-4)给出4个相互独立的量纲为1的量

而式(2-1)与

等价,Φ是未定的函数,式(2-5)和式(2-6)表达了航船问题中各物理量之间的全部关系.为得出阻力的显示表达式,由式(2-6)及式(2-5)中 的式子可写出

式中Ψ是一个未定函数,在流体力学中量纲为1的量 称为Froude数, 称为Reynold数,分别记作

式(2-7)又表示为

式(2-9)就是用量纲分析法确定的航船阻力与各物理量之间的关系.这个结果用通常的机理分析法是难以得到的.虽然函数Ψ的形式无从知道,但它的表达式在物理模拟问题中很有用途.

基本量纲的作用有些类似于线性代数中有限维空间中基的作用.基本量纲选择过少,无法表示各物理量;选择过多则会使问题复杂化.还应注意的是齐次线性方程组,虽然基本的基础解系可以有无穷多组,虽然基本解组能相互线性表示,但为了特定的建模目的恰当的构造基本解,能够更直接的得到期望的结果。

三、向量组的线性相关性在魔方中的应用

德国著名艺术家AlbrechtDurer(1471-1521)于1514年曾铸造一枚铜币.令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了符号、数字及几何图形.这里仅研究数字问题.

下面是一个由自然数组成的方块,称之为Dürer魔方.为什么称之为魔方?这种数字排列有什么性质?从方块的数字排列可以看出:

每行数字之和为34;每列数字之和也是34;对角线上的数字之和是34;若用水平线和垂直线把它平均分成四个小方块,每个小方块的数字之和也是34;若把四个角上的数字相加,其和还是34.

Dürer魔方定义:如果存在一个4×4数字方,它的每一行、每一列、每一对角线及每一小方块上的数字和均相等且为一确定数,称这个数字方为Dürer魔方.

现在思考有多少个符合上述定义的魔方?是否存在构建所有魔方的方法?这个问题初看给人变幻莫测的感觉,但如果借助于向量空间,这个问题就很容易解答.

定义“0-方”和“1-方”如下

分别计算得,0―方中R=C=D=S=0, 1―方中R=C=D=S=4,其中R为行和,C为列和,D为对角线和,S为小方块和.

下面通过用0,1两个数字组合的方法构成R=C=S=1的所有魔方,称之为基本魔方

假设把一个Dürer魔方堪称一个向量,那么根据向量运算规则,对Dürer魔方可施行数乘、加减运算.

易验证:D对上述定义的数乘运算、向量加法运算封闭;D中元素的线性组合构成新的魔方D构成向量空间,称为Dürer魔方空间.

D是向量空间,存在基向量,基向量是线性无关的,并且D中任一元素都可以由基向量线性表示.

等式两边对应比较得: ,所以 线性无关.因此 是D的一组基,D中任一元素都可由 线性组合生成, 可以这样认为: 是D的生成集,但不是最小的生成集,而 是D的最小生成集.

现在回到AlbrechtDurer铸造的铜币.用 的线性组合表示铜币上的魔方, ,即解方程组

解得 .

改变对Dürer魔方数字和的要求,可以利用线性子空间的定义,构造D的子空间或D空间的扩展.1967年,Botsch证明了可以构造大量的D子空间或D的扩展空间.对于1至16之间的每一个数k,都存在k维类似 方的向量空间.

四、小结

线性代数在实际中的应用往往是综合性的,单单某个章节在某些方面的具体应用很难找到.如矩阵的特征值与特征向量问题,在控制论中讨论系统(机械振动、弹性震动、电磁震荡等)的稳定性以及生物物种存在的状态和趋势中有着广泛应用,但要牵涉到微分方程组的建立和其他的相关知识内容,以上几例仅仅说明了一小部分线性代数在某些生活领域中的应用。实际上,线性代数在实际生活中的应用相当广泛,在这里笔者不再一一列举。

参考文献

[1]陈东升.线性代数与空间解析几何.北京:机械工业出版社,2008