时间：2023-05-30 09:39:07
1.知识与技能。
（1）认识平角和周角。
（2）通过观察，掌握锐角、钝角、直角、平角、周角之间的关系。
（3）能根据角的度数大小将角分类。
2.问题解决与数学思考。
联系生活实际，鼓励学生用数学的眼光来观察、发现并提出问题，然后通过合作交流解决问题，使学生经历平角、周角的概念形成和对角进行分类的探索过程，培养学生动手操作、观察比较、抽象概括的能力，渗透分类思想，培养空间观念。
3.情感与态度。
通过学习生活中的数学，培养学生学习数学的兴趣，体会探究发现、合作交流的乐趣，体验数学学习过程中获得成功的喜悦，学会用数学的眼光发现问题。
教学重点：
掌握各种角的特征，区分它们之间的关系。
教学难点：
1.认识周角，通过折扇、活动角的操作、PPT课件演示等活动，让学生掌握周角的画法，使学生明确周角的两条边重合在一起。
2.通过组内合作探究、讨论交流，抽象概括出各种角的本质特征及其相互间的关系，有效地渗透分类的数学思想，确定角的分类标准。
教学过程：
一、复习铺垫，引导探究
师（谈话导入）：我们的生活当中，角是无处不在的。（课件出示五角星）我们在哪儿见过它？观察一下，五角星上有哪些我们已经认识的角？在五角星上能找到直角吗？
师：老师带来了一把折扇，（打开折扇）如果从数学的角度来观察，把折扇的两个扇柄当作角的两条边，我们就可以把它看成一个角。改变折扇张开的角度，我们就可以得到很多的角。你能把折扇打开成一个直角吗？怎么知道它是一个直角？量一量，直角是多少度？（板书：直角=90°）这节课，我们继续来学习角的分类。（板书课题：角的分类）
【设计意图：充分考虑学生的已有知识和生活经验，从常见的五角星导入，引导学生复习锐角、钝角，然后利用折扇复习角的组成部分，为辨析平角与直线、周角与射线的不同作铺垫。因为直角是一个很关键的分类参照，所以要求学生用折扇打开成一个直角并量出度数，为探讨角的分类做准备。】
二、分组合作，探究学习
1.师：分组活动，用折扇任意打开成一些不同的角，并在练习纸上画下来。
师：是不是折扇打开后，在任何情况下都成一个角呢？请同学们用手中的折扇试一试。
2.师：我们来研究同学们提出的这些问题。
（1）分组讨论：当折扇的两条边成一条直线时，还能不能算作角？讨论后说说自己的看法。（课件演示射线旋转形成平角的过程，师引导学生通过角的概念来判断：它是由一个顶点和两条边组成的，不是直线，仍然是一个角）
师：猜一猜，它应该叫什么角？（引出平角的名称，然后指导学生画平角，师同时在黑板上示范）
师：同学们知道它是多少度吗？说一说量平角度数的方法。（板书：1平角=2直角=180°）
【设计意图：鼓励学生在动手操作、画图、观察、讨论的过程中发现并提出问题，使学生成为问题的发现者和解决者。然后从操作过程中产生的疑问入手，引导学生讨论交流，辨析平角与直线的不同，激发学生学习的积极性和主动性，引导学生丰富或调整自己的认识，构建充满活力的课堂。】
（2）师：折扇的一条边旋转一周，扇面完全打开成一个圆形，两条边重合时，它还是一个角吗？（学生小组讨论、判断）
师：虽然两条边重合在一起，但它还是由两条共一个端点的射线组成的，它仍是一个角。当角的一条边旋转一周与另一条边重合时形成的角，我们叫它周角。（课件演示周角的形成过程，学生用折扇同时操作，然后教学周角的画法，学生在练习纸上画周角）
师：怎样才能知道周角是多少度呢？请同学们讨论一下，并量出它的度数。（课件演示一个周角是由两个平角或四个直角组成，板书：1周角=360°、1周角=2平角=4直角）
【设计意图：充分尊重学生的个性，引导学生发现问题并用不同的方法解决问题，培养思维的灵活性。在倾听同伴的解决方法时，学生感受到解决问题策略的多样化与灵活性，进而有选择的吸收，在一定程度上实现“不同的学生得到不同的发展”。适时、恰当地对学生的表达进行评价，培养了学生的创新意识和创新能力。】
师：介于平角和周角之间的角，我们这节课就不研究了，课后同学们可以找一些资料来看一看。
3.师：以组为单位，把你们在练习纸上画的角集中在一起，给它们分分类。（学生小组讨论、探究，分组汇报）
师：谁的分法更合理，更科学？（根据学生的汇报，课件出示角的分类：直角是90°；以直角为标准，比90°小的角叫锐角；比90°大而比180°小的角叫钝角；180°的角叫平角；360°的角叫周角）
师（强调）：钝角是比90°大而比180°小的角。
师：请把这五类角按从小到大的顺序排列。（根据学生回答板书：锐角﹤直角﹤钝角﹤平角﹤周角）
（课件出示89°的角，让学生用量角器量出角的度数，并判断这个角属于哪一类角）
师：平角和周角是钝角吗？
【设计意图：这一环节让学生用手中的折扇随意打开成一些角并画下来作为学习素材，然后对它们进行分类，尝试由学生自行确定角的分类标准。在学生发现直观地按形状来分不够精确，不能确定一个角是哪一类时，引导学生变换思维方向，提出按“度数大小”这个标准给角分类。最后通过看书质疑，抽象概括出各种角的本质特征及其相互间的关系。】
三、巩固拓展，运用新知
1.师（课件出示课本第41页的习题）：请同学们仔细观察这幅图，能只量一个角的度数，就知道其余三个角是多少度吗？（学生组内交流探究，完成后汇报，师根据学生回答用课件演示）
2.师：小组内一名同学把活动角张开成不同角度的角，其余同学说说各属于哪一类角。
3.课件出示五角星。
（1）在这个五角星中，你能找出哪些角？
（2）如果∠1等于70°，那么，能知道∠2是多少度吗？
4.折一折：将一张圆形纸对折三次后展开，可以得到哪些度数的角？
【设计意图：巧设一定梯度的练习，让学生找一找隐藏其中的平角、周角，引导学生用数学的眼光去观察生活中常见的事物，使学生灵活运用所学平角和周角的知识来解决实际问题，感受到数学在生活中无处不在，激发了学生学习数学的兴趣，进一步发展空间想象能力。】
四、课堂小结
师：这节课我们学习了什么？谈谈你的收获。
……
课后反思：
本节课让学生在充分操作的基础上合作交流，发现与解决问题，并渗透分类的思想，使学生经历和体验知识的形成过程。具有以下特点：
第一，引导学生发现并提出问题，鼓励学生积极主动地尝试探究，培养学生学会学习的能力。
第二，倡导“解决问题策略多样化”是新课程标准的重要理念之一。因此，教学中给学生提供自主探索的空间，让学生动手量一量平角和周角的度数及给角分类，寻找解决问题的多种途径，培养和发展了学生的创造性思维。
【关键词】分类；意识；渗透；方法
分类讨论是一种重要的数学思想方法，其中直角三角形的分类是近年各省市中考数学试卷中经常有的一个考点.如何在中学各个不同学段，通过专题归纳和训练，使学生掌握此类问题呢？本文以教学中所用的实例，对在课堂教学中如何渗透直角三角形分类思想进行研究.
一、树立意识，及时引入分类
数学思想方法的教与学具有“隐蔽性”，需要教师为学生有意搭建桥梁，及时渗透，学生才有机会认识“庐山真面目”.在讲授数学概念、公式、定理的形成过程中渗透分类思想方法，抓住新旧知识之间的联系，创设情境，让学生初步感悟直角三角形的分类.
例如：七年级下册第四章“认识三角形”的第2课时学生们认识了有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，它的三条边有直角边、斜边之分.在学生学习了“勾股定理”教学阶段，我们可以设计以下题目让学生思考.
1.如果直角三角形的两直角边长分别为3，4，那么斜边长为.
2.如果直角三角形的两边长分别为3，4，那么第三边长为.
这两个题目通过学生练习，辨析什么情况下应该分类讨论，不仅很好的揭示了直角三角形概念的内涵，并从中发展了学生的抽象概括能力和逻辑思维能力.课堂教学以显性的数学知识“直角边”“斜边”为主线，而分类思想方法则隐藏在数学知识的背后，这样的概念教学让学生感受了分类的必要性，并完成了合理的正迁移.
二、看准时机，提高分类认识
需要分类思想解决的问题，如果分类标准不确定，极易造成思维过程中思考片面，致使解答不完整.教师创设问题情境，给学生独立思考、交流讨论的时间，再适时点拨，让学生顿悟.学生尝到甜头，体会了分类思想在解题时的优势，自然有了探索欲望，渗透分类思想也就水到渠成.
例 如图，已知A，B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB>1.以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M，N两点重合成一点C，构成ABC，设AB=x.若ABC为直角三角形，求x的值.
根据题意易分析得ABC的各边长分别为：AB=x. AC=MA=1，BC=BN=3-x.解决这个问题应该分情况讨论，因为不知道在三角形中哪一个是作为斜边存在的.所以有三种情况，即：①若AC为斜边，则1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，无解.
②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1
③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1
在例题教学中运用分类思想方法启发学生发现解题思路，寻求解题规律，能培养学生分析和解决问题的能力.通过分类整理，引导学生学习有序性的思考，克服盲目拼凑的毛病，有效的培养了逻辑思维.
三、掌握方法，重视分类画图
有关直角三角形分类的题目，一般方法是先分类，后画图，再计算.学生树立了分类意识后，还需要对分类的画图进行引导.对任一事物分类要按同一标准，做到不重复、不遗漏.直角三角形中，因为直角顶点不确定需分类讨论，因此直角三角形的分类标准可以是点A、点B、点C分别为直角三角形顶角的顶点，或者边BC、边AC、边AB分别为直角三角形的斜边.
例如：已知线段AB，在平面内取一点C，使得ABC是直角三角形.
（1）点C为直角三角形顶角的顶点（边AB为直角三角形的斜边）画图：以AB为直径作圆；则点C一定在圆上.
（2）点A为直角三角形顶角的顶点（边BC为直角三角形的斜边）画图：过点A作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.
（3）点B为直角三角形顶角的顶点（边AC为直角三角形的斜边）画图：过点B作AB的垂线，则点C一定在这条垂线上.
借助直尺圆规，学生不仅能准确的分类画图，还能掌握相关的图形特征.重视画图的过程，实质是借画图的这个载体，让学生领悟和提炼分类思想.结合坐标系，练习可设计成如下：
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），B（4，10）在纵轴上找一点C，使得ABC是直角三角形，则这样的点C共有几个，求出点C的坐标？
直角三角形的画图方法可归纳为“两线一圆”，这一基本思路的掌握，为以后在复杂题目中“化繁为简”打下了基础.
四、遵循规律，落实计算方法
初中数学教材的内容编排，从数与代数、空间与图形、概率与统计三方面入手，按螺旋上升原则逐步展开.学生按教材学习数学知识是三方面交替接触，从而导致分类思想方法的学习也就没有系统性和连续性.教学中教师要有打持久战的心理准备，在不同的学段反复渗透，逐步提高.
直角三角形的分类涉及角度、边长、点的坐标的计算，学生应掌握的知识包括七年级的三角形内角和定理、八年级的勾股定理和相似三角形的性质、九年级的三角函数等，以及计算中常用到的方程思想、转化思想.笔者在不同的学段结合不同知识点分别设计了类似如下的一些题目.
例 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BDDC，BC=10 cm，CD=6 cm.在线段BC，CD上有动点F，E，点F以每秒2 cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1 cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动.当点F到达点C时，点E同时停止运动.设点F运动的时间为t（秒）.
（1）求AD的长；
（2）点F，E在运动过程中，如CEF与BDC相似，求线段BF的长.
本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形、直角梯形.解（2）题时，原题中没有提出CEF与BDC相似的对应角与对应边，为防止漏解.所以应分类讨论：①BDC∽FEC；②BDC∽EFC.其实，如果把相似三角形的分类转化为直角三角形的分类也是可以的.BDC是直角三角形，若CEF与BDC相似，那么CEF也就是直角三角形.按直角顶点分类，因为∠C是锐角，只可能∠CEF=90°或∠EFC=90°，分两类讨论.
分类思想的教学具有“离散型”的特点，并非一朝一夕所至，是一项长期系统工程.教师备课时，必须深入钻研教材，循序渐进，才能落实计算的教学.
五、提高能力，加强综合演练
数学教学中，解题是最基本的活动形式.习题的解答过程，也是获得和运用分类思想的过程.教师有意识的设计与例题相同类型、结构的习题，让学生从模仿开始，千锤百炼直至他们能把模仿到的用于新的情境，解决其他问题.
例 如图，已知一次函数y=0.5x+2的图像与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图像交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴只有唯一的交点C，且OC=2.
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数的图像y=0.5x+2与二次函数y=ax2+bx+c的图像的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且PBD为直角三角形，求点P的坐标.
直角三角形的分类的掌握重在领会应用，因此学生的参与尤其重要.进行相关教学时先让学生有自己的切身体会，然后逐步领悟，用自己的思维方式构建体系，当经验和领悟积累到一定程度，分类的运用就如鱼得水了.
知识的掌握只能受益一时，而思想的形成、方法的掌握却能让学生受益一生.广大教师要以大纲为方向，整体研究，将分类思想有机渗透入教学计划和教学内容中，让学生在潜移默化中领悟，并逐步内化为思维品质.
【参考文献】
关键词：数学思想；作业；能力培养
数学思想是对数学本质的认识，数学方法是解决数学问题、体现数学思想的手段和工具。数学思想方法是形成学生良好的知识结构的纽带，是沟通基础知识与能力的桥梁，深受人们的广泛注意和高度重视。因此，在数学课堂教学中，要注意渗透数学思想方法。要做好这方面，老师必须从备课抓起，必须做好堂上作业设计这一块。
一、在数学课堂中创设课堂情景，自然渗透
在教学设计中，我们可以设计从一些具体实例导入课堂，使得上课时，我们可通过设计疑问或一些具体事例，创设课堂情景，逐步启发引导学生分析，自然感知某种数学思想方法。例如，在教学“三角形内角和（一）”时，教师可采用发现教学法。在课堂上再现知识发现过程，创设知识发现情景。我们先问学生三角形三个内角的和等于多少度？可以让学生动手量他们自己的三角尺的三个内角，得到三角形的内角和为180°。再让学生动手剪一个三角形纸片，像图（1）那样，把三角形纸片的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，发现三角形三个内角的和等于一个平角。这样得到三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。再问：怎样证明三角形内角和定理呢？至于如何证明这个定理，教师可以引导学生从上面的实验得到启发。如图（2），过点A作MN∥BC，再利用平行线的性质，两直线平行，内错角相等，问题就解决了。
二、设计典型例题，有意渗透
数学思想方法是数学的精髓，是应用的指导与手段。为使学生掌握数学知识，能迅速提高学生的解题能力，教师可通过巧举例题，把一些重要的数学思想方法有意地进行讲解渗透。
（1）化归与等价转化思想。例1：如图（3），已知BM、CN分别是ABC的∠B、∠C的平分线，AEBM，E为垂足，AFCN，F为垂足。求证：EF∥BC。 思路：这个图形可分解成三个基本图形，所以要延长AF、AE分别交BC边于G、Q，得到图（4）是等腰ABQ，图（6）是等腰AGC。再看图（5），在AGQ中，E、F分别是AG、AQ的中点，根据三角形中位线定理可得到EF∥GQ。即EF∥BC。此例把复杂的几何图形分解转化为基本的图形求解，同时也培养了学生的综合、分析法。
（2） 换元的思想方法。例2：解方程组：
+=3
+=5. 思路：设=a，=b ，则方程可化成：48a+16b=3
72a+32b=5
（3） 配方的思想方法。例3：已知 X2+y2-2x+4y+5=0，求x，y的值。思路：配方得（x+1）2+（y+2）2=0，再利用乘法的意义有（x+1）2≥0， （y+2）2≥0，从而得到x-1=0，y+2=0.
除了上述讲解的数学方法外，还有猜想、类比、建立数学模型等等。数学思想方法不是一次教学就能获得的，而是经过长期的有意识的教学渗透的结果。
三、归类设计，把分类思想渗透于数学的始终
分类是研究各门科学的基本思想方法之一。数学的分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的一种数学思想。一般的初中生都害怕讨论问题。同时，不懂得从多方面去分析问题。当遇到需要从多方面去讨论和分析的新问题时，往往会没有思路，束手无策。显然，分类是讨论的先导和源泉。因此，在教学设计以及课堂教学中，我们每次都要站在分类思想的高度，对学生解题的过程及思维进行引导。经过长时间的培养，学生的思维能力就有较大的提高。现以“圆周角定理”的教学为例，谈数学分类思想。
要突破分类讨论这一难点，在教学中要注意圆周角的各种不同情况的发生过程。如图（7）的变换，其中图（8）是圆周角，延长BC交O于A，变为图（9）。图（9）是特殊的圆周角，圆心在∠BAC的一边上，图（10）中，∠BAC的一边在圆周内运动，形成圆心在∠BAC的内部或外部（证明过程略）。这样做，揭示了“圆周角定理”的形成过程，暴露了分类讨论的思维过程，培养学生分类能力。
四、转化是解决数学问题的一种重要的思想方法，设计此类题型，帮助学生理解，掌握概念的本质、渗透转化思想
转化，是解决数学问题的一种重要的思想方法，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，揭示出未知与已知的内在联系而获得解决。在数学中有很多基本的转化法。如代数中，有换元法、待定系数法、配方法、消元降次法等；几何中，有分析法、综合法、分析综合法等。在数学课堂设计中，要有相对完整的设计，便于数学课堂教学中，把这些数学方法教给学生，使学生领略数学思想在数学领域的地位和作用。
例4：（如图11）ABC是O的内接三角形，O半径为10，COSA=3/5，求BC的长。
分析：初中生所学习的三角函数只在RT中。本题已知COSA=3/5，ABC是一般的锐角三角形。因此，可通过转化，把一般的锐角三角形转化成直角三转化成直角三角形。图（12）通过圆周角与圆心角的关系，∠COE=1/2∠BOC，把COSA=3/5转化成RtCOE中，COSO=3/5，从而求出CE，再求BC. 图（13）通过直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，这一转化，把COSA转化成COSD，从而在RtDBC中，求出BC。
例5：已知一楼梯的坡度i=1：3，且楼梯高CD=3米，若要在楼梯上铺地毯，且楼梯口再铺上一米长的地毯，求所需的地毯的长。
分析：这个问题，实质把楼梯的步级高转化为楼梯高CD，把楼梯的步级面宽转化成水平线段BD，如图（14）。这样，所需地毯的长应为：AB+BD+CD，而AB=1米，从RTCBD中，i=1：3可求出BD、CD，通过转化，问题就容易解决了。
只要努力让数学思想方法出现在课堂教学的始终，做到把掌握数学方法和渗透数学思想有机结合起来，初中学生是完全可以领略和接受的。同时，在教学中，教师只要刻苦钻研教材，领悟教材中的思想方法，就能加强渗透数学思想方法的教学，能使学生领悟并逐渐学会运用蕴涵在知识发生、发展和深化过程中的数学思想方法。掌握了它们，就可以“以少胜多”，就可以“以不变应万变”。
参考文献：
预习任务主要包括三个知识点：三角形的定义、三角形的分类、三角形的三边关系.在预习过程中要注意结合具体图形进行预习和理解.
在学生预习过程中，教师应做到以下两点：1.要根据不同的知识内容，指导学生自学的方法.2.要求学生把预习中有疑问的问题做好记录，让学生带着问题走向课堂.这样做，一方面能逐步培养学生自主学习的能力，使学生逐步养成良好的预习习惯和正确的自学方法，而良好的预习习惯和正确的自学方法一旦形成，往往能使学生受益终身.
二、教学目标具体化、显性化
在课堂上，出示教学目标，能把教学目标转化为教与学的共同目标，从而调动学生学习的主动性、积极性，提高课堂效率.展示教学目标的方法有很多，在《三角形的边》的教学设计中，笔者在对比实验中发现，教学目标呈现的方式不同，收到的教学效果也会有所不同.以下是笔者设计的教学目标的两个方案.
方案1：
【教学目标】
认识三角形的概念及基本要素，学会三角形的表示方法，会用三角形三边之间的关系判断任意三条线段能否构成三角形.
方案2：
【学习目标】
你能说出什么是三角形吗？三角形有哪些基本要素？你知道三角形的表示方法吗？你知道三角形有哪些分类吗？给你任意三条线段，你怎样判断它们能否构成三角形？为什么？
在教学中，用方案1呈现教学目标的班级，学生明确了学习目标，能够带着目标学习，听课有较强的目标指向.方案2采用提出具体问题的形式展示教学目标，使学生带着问题进行本节课的学习，极大地激发了学生的学习兴趣和愿望，在整个教学过程中，学生学习始终围绕着如何解决学习目标中的几个问题而展开，达到了很好的引导效果.
三、课堂学习体验化
数学课堂中注重培养学生的“体验学习”不仅能使学生在体验中逐步掌握数学学习的一般规律和方法，而且还能让学生感受到成功的喜悦，增强学习数学的信心.在《三角形的边》的教学设计中，笔者主要从以下两个方面让学生获得学习的体验.
1.联系生活实际，让学生体验“用数学”
在课堂上联系生活实际，让学生学会用数学知识分析、解决生活中的现象和问题，使学生体会到数学在实际生活中的价值，提高数学的学习兴趣.在三角形任意两边之和大于第三边的运用中，笔者这样进行设计：
（1）小明要从点B出发沿着三角形的边走到点C，有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？哪一条最近？你能用数学知识解释一下吗？
（2）商店和学校分别位于两条交叉的大路边，可是有些学生去商店不是走大路而是走草地，走得多了就走出一条小路来.你说这些同学为什么会这样走呢？
2.重视实践操作，让学生体验“做数学”
在课堂上让学生动手操作，进而分析思考、总结归纳，有利于提高学生的动手能力、总结归纳能力.
为了让学生了解三角形的两种分类方法，深刻体会三角形三边关系定理，笔者让学生通过实践操作，自主得出三角形的两种分类、体会三角形三边关系定理.具体操作过程如下：
【活动一】动手摆一摆，请把你手中的小棍子摆成三角形，并说说这是什么三角形.
【设计意图】引导学生从最大的角的度数来观察，得出三角形按角分类的情况；接着再引导学生从三角形的边长出发，得出三角形按边长分类的情况，有利于提高学生的总结归纳能力，培养学生分类讨论的思想，让学生在“做数学”中“学数学”.同时设计了摆不成三角形的情况，为下一步探究做好铺垫.
四、习题训练题组化、层次化
题组训练，是指围绕训练目标或知识点，精选一批有代表性、系统性的问题或习题.将知识、方法、技能融合在其中，让学生在解题的过程中去感知题组内在的规律，探究发现其中蕴含的知识和方法，达到培养能力和发展思维的目的.教师应根据教学实际情况，设计相似性、对比性、变化性、拓展性题组，促使学生思考，充分调动学生的积极性.让学生站得高、看得远、想得深、反应快、面对新的问题应变力强.
一、了解前测，内化于心
前测是指在学校教学过程中，教师在上课前的一段时间内，通过不同的调查方式对学生进行相关知识预备和相关方法的预先测试，然后进行有针对性的设计教学活动，并提出相应的课堂教学策略。开展课堂前测，能够很好地了解学生的发展需要和已有经验，了解学生的思维共性和认知差异。
1.前测是教学设计的学情基础
对于教师设计的探究过程，如果学生不需要探究就明白了，那这种设计就是无效的；如果教师设计教学环节难度很大，学生不能回答不能操作，新旧知识之间没有建立联系，那么这个设计也是失败的。那么怎样的教学设计才是有效的呢？第一，它必须符合学生的认知需求；第二，它必须重视新旧知识的过渡。要做到这两点，必须做好前测。
2.前测为教学行为提供数据支持
感性让数学课堂更具人性化、更精彩生动，理性让数学课堂多了一些数学化。在追求数学生活化的同时，我们不能忽视数学本身的东西，应让课堂多一些理性，让我们的教学行为更有效、更科学化。而前测就是让数学课堂科学化的第一步。我们在设计教案时，总是对学生已有的知识认识不到位。而做了前测，那分析统计所得的数据，就是我们科学合理设计教学的正确依据，它能让我们的教学行为更有效。
二、设计前测，外化于行
为了在教学中做到心中有学生，教学设计有依据，需要我们走到学生中去，了解学生的真实认知情况，思维状态，以细致详实的前测来加强教学活动设计的实效性。设计有效的课堂前测，能够很好地了解学生的发展需要和已有经验，这样才能从学生实际出发，让学生开展适合自己的学习。
根据不同的教学内容，教师可以设计不同类型的教学前测，通过前测去了解学生对已有的知识掌握得怎样？有哪些生活经验？这些已有的知识和生活经验对学生学习新知哪些影响？
1.预习分析法
教师安排预习内容，设计预习作业。教师通过分析预习作业，了解学生对新知自学的情况：哪些问题自己能解决，有哪些问题似懂未懂的，还有哪些根本不能解决的问题。从而调整教学内容与方法，确定教学的重点和难点。
如教学五年级的“长方体和正方体的表面积”，五年级的学生有了一定的空间观念和动手能力，对长方形和正方形也有了一些初步的认识，掌握了他们的基本特征，并且具备了一定的概括推理能力。长方体和正方体的表面积是在学生认识并掌握了长方体、正方体特征的基础上教学的，也是学生学习几何知识由平面计算扩展到立体计算的开始，是本单元的重要内容。学生们学习长方体和正方体之前已经知道了些什么？他们学习的起点在哪里？学生学习这部分的难点到底是什么？学生的空间思维怎么样？为了更好地了解学生的情况，在教学长方体和正方体的表面积之前，笔者对学生进行了前测。
2.个别谈话法
这个方法主要用于后继教材的教学，问题从旧知和新旧的连接点处设计，通过教师与各个类型、各个层次的学生代表的谈话了解他们新知生长点的掌握情况，确定怎样引导学生迁移或类推，从而选择最为有效的教学方式。
如教学四年级“三角形的内角和”本节课是在学生学过角的度量、三角形的特征和分类等知识的基础上进行教学的，“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，学好它有助于学生理解三角形内角之间的关系，也是进一步学习几何的基础。
通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的一些基础知识，会用工具量角、画角，具备了探索三角形内角和的知识与基础技能。我在课前了解到，已经有不少学生知道了三角形内角和是180度。既然不少学生都知道了这个结论，那是不是不用教学了呢？答案显然不是的。教师还要通过个别谈话法，了解哪些层次的学生知道了这个结论？如何知道的，怎么证明？为了更好地了解学生的学情，预设教学过程，教师通过与学生个别谈话进行教学前测。
教学前测如下：
教师在班级里选择了6名学生，好、中、差各三名，进行访谈。
问题1：关于三角形你了解哪些知识？
问题2：你还能清楚地记得三角形分类吗？
问题3：关于三角形内角和你了解什么？
问题4：知道三角形内角和的由来吗？你获得三角形内角和知识的途径是什么？
问题5：你在生活中见到过哪些三角形？你遇到过哪些生活中需要解决的关于三角形的实际问题？
教材简介：本节课是学习了三角形、等腰三角形有关知识后进一步学习等边三角形有关定义、性质、判定等知识，课本中还涉及利用两个含300角的三角尺摆放在一起构造等边三角形，得出“在直角三角形中，300角所对的直角边是斜边的一半”的结论，最后还有与人字架有关的应用题。
九种不同的教学引入整理如下： 方法l(问题) (1)等腰三角形的定义?等腰三角形的性质和判定有哪些?(列表)
(2)在等腰三角形ABC中。AB=AC，再增加一个角为60°，你得到什么结论?
(3)你能否通过类比的方法由等腰三角形得出等边三角形的知识?
方法2请用两个含30°的直角三角板拼一拼。摆一摆，你能得到哪些三角形?
方法3请同学们将两个含30°角的三角尺拼在一起，你能得到哪些特殊的图形? 方法4让学生用12根火柴棒搭三角形(上课前布置学生准备火柴棒)能得到哪些三角形? 方法5课前让学生准备若干火柴棒。取其中9根，让学生搭三角形，能有几种结果? 方法6让学生动手搭三角形(等腰) 你能用3，5，6，7，8，9，10根火柴，搭一个等腰三角形吗?你能发现什么吗?(让学生畅所欲言，如果达不到预期得到的结果，可进一步提问：有特殊的等腰三角形吗?) 方法7问题：如图，某校课外兴趣小组一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m。 他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m，他们的结论对吗?
方法8情境一：为了测量池塘长度AB，小明选取一定点P，测得PA=200m，PB=200m，于是他得到结果，池塘长度AB=200m，你赞同他的做法吗? 方法9展示我国古代房屋人字架。 师：我国古代的房屋建设不仅美观，而且构造十分科学，我们先认识一下其中一种较为普遍的一种屋架设计，请同学们思考。外部的框架呈什么形状?测得AB=FB=7.4m，∠ABF=120°，D、Q为AB、BF的中点，试求立柱BC、DE的高度?
我的评析： 关于九种不同的教学引入设计的一个分类：我想分三类，方法1为第一类，方法2-6为第二类，方法7-9为第三类。 作为第一类的方法1属于有效的接受性学习。本设计注意了学生的已有知识，即等腰三角形的定义、性质、判定等知识，并在此基础上水到渠成引到等边三角形有关知识的探索，难能可贵的是采用表格的形式进行类比教学，注意了知识的系统化与条理性，此法正如孔子说的“温故而知新”，教师用复习上一课的内容作为导人新课的方法，便于学生巩固已学的知识，便于将新旧知识逻辑地联系起来，便于教师循序渐进地开展教学，这种方法不愧是现阶段应提倡的一种好方法。但它也有片面性：学生处于一种较被动接受的状态，学生的主体性无法得到调动和发挥，而且学生间、师生间缺乏积极的交流与合作，另外此法更注重学习的方式是从知识到知识，缺乏知识与生活、实践的联系，难以体现“数学来源于生活又服务于生活”。 第二类的方法2-6为活动教学。 方法2与方法3比较，方法2更具针对性，因为它的结果只有两种即等腰三角形与等边三角形，而方法3还有一种可能即为矩形，这与本节学习内容无关，两种拼法已体现分类讨论思想，并且已很好地串联了新旧知识，因为本节是在等腰三角形的基础上学习等边三角形。
方法4、5是摆火柴的游戏，就这三种方法而言，笔者更倾向于方法4。因为方法4所搭的三角形为(3、4、5)，(2、5、5)，(4、4、4)，它们则代表三种特殊的三角形即直角三角形、等腰三角形与等边三角形，而在本节课中，等腰三角形是已有知识，等边三角形是要学习的知识，atA课文中有涉及。而方法6摆放的结果为(2、3、4)，(3、3、3)，(1、4、4)，令人高兴的是它们代表了不等边，等边，等腰三角形三种类型，就本节课学习内容来讲，较方法5稍逊一筹，但也不失一种好方法。方法6设计思想也不错，但涉及内容太丰富，很费时，不利于本课重要知识的落实，如果当作课后的探究题，应该更妥当。
活动教学重视学生的全员参与，让全班学生在做的过程中，体验等腰三角形与等边三角形的区别与联系。注重初二学生的身心特征，注重调动学生学习积极性，提倡学生“做中学，学中做”，通过简单、易操作的活动引起学生的有效注意。第二类设计与第一类比较，已开始注重学生学习的过程性，以活动为载体，提倡主动学习，自主探索，不是那种“掐头去尾烧中段”的方法，不再是把知识硬塞给学生，不再找形式化了的现成的数学规则去操作数学，应当是更利于学生主动地掌握知识。需要指出的是在数学游戏、数学实验等活动中，要关注数学本质，不能为活动而活动，如果只停留在表面上的热闹，而实质上并没有带给学生理智的挑战、认知上的冲突、内心的震撼和无言的感动，那又有什么意义?因此要特别注意数学活动后的思维层次的提升。活动之后，要引导学生自主反思、归纳、小结活动中隐含的或发现的数学规律，让学生真正体验和经历数学化的过程。其实，对于方法2-6，有时完全可以提倡“脑中搭三角形，脑中摆火柴”，要求结果以草图呈现，不正体现数学活动后的思维层次的提升与真正体验和经历数学化的过程吗? 第三类的方法7、8、9属于情景教育。 方法7与8比较，方法8更具探索的空间，没有告知角度，仅知PA=PB能推断／~PAB为等边三角形吗?不行!该如何添加条件，是味道实足的条件开放题，很自然地引出等边三角形的判断的探究，让整堂课在一个简单而具挑战性的问题中悄悄展开……
方法9，图形复杂，但它为本节课的最后一题的教学埋下伏笔，是一个引子，对水平适当的学生也不失一种好的引入。
关键词： 球面几何 教学设计 类比
一、教材分析
《球面上的几何》是《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列3中的一个专题.诚如《课程标准》指出的那样：“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的.所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.”在开展数学培优的第二课堂中，笔者将此内容进行了选讲，发现学生对此很感兴趣.通过对球面几何和欧氏平面几何的类比学习，学生对所学的立体几何知识有了更进一步的理解.为此，下面进行了《球面上的几何》的起始课“球面上的基本图形”的教学设计，以期对这个专题的开设有所帮助.
二、教学目标
（一）知识与技能
1.认识球面上的基本图形大圆劣弧（球面上的线段）、大圆（球面上的直线）、球面角、球面二角形、球面三角形及其特征；
2.知道球面上的两条直线只有相交而没有平行关系；
3.会计算简单的球面三角形三个内角和三边大小，从而了解球面三角形的内角和大于；
4.通过对球面上基本图形的认识，进一步培养空间想象力和几何直观能力.
（二）过程与方法
通过平面上的线段、直线、角、三角形等图形类比认识球面上的线段、球面上的直线、球面角、球面三角形的过程，体会类比方法在数学学习中的重要作用.
（三）情感态度与价值观
通过对球面上基本图形的认识，了解球面几何与平面几何的相同之处与不同之处，认识到球面几何是一个重要的一个非欧几何模型，从而改变对几何的固有观念.
三、教学重难点
教学重点：球面角、球面三角形相关量的计算；类比的研究方法.
教学难点：球面角、球面三角形的相关概念及特征的理解.
四、教学过程设计
（一）课题引入
问题1：我们以前学过平面几何的内容，平面几何是研究平面上的基本图形及其性质的一门课程.但是，我们身处的地球及熟知的乒乓球、篮球等物体，却并不是由平面围成的几何体，它们又有怎样的特性呢？从这节课开始，我们就学习球面几何的基本内容.仿照平面几何的研究内容，你能说一说球面几何是研究什么内容的？
问题2：在现实生活中，球面几何知识有着广泛的应用，大家能举例说一说，现实生活中应用球面几何的例子吗？
【设计意图】问题1：让学生从平面几何的研究内容类比联想球面几何的研究内容，充分考虑到了学生的认知基础，同时也为后面通过平面几何的基本图形及其性质学习球面几何的基本图形及其性质奠定了知识与方法基础.问题2：通过教师和学生共同举例，使学生认识到数学源于生活、用于生活、高于生活.
（二）探究新知
1.球面上的大圆劣弧――“线段”
创设情境：球面上有两点M、N（这两点非直径的两个端点），一只蚂蚁想从M点爬到N点，你能找到蚂蚁爬行的最短路径吗？（动画演示）
由此引出球面上过M、N两点的大圆劣弧，就是球面上的线段.在平面上两点确定一条线段，在球面上也有类似的结论.
【设计意图】学生对球面几何的认知基础是球面距离这个概念，让学生通过寻找在球面上蚂蚁爬行的最短路径，唤起学生的认知基础，并在此基础上顺理成章地帮助学生形成球面上的大圆劣弧就是球面上的线段这个基本而又重要的概念，为后面进一步形成球面上的直线概念做好铺垫.
2.球面上的大圆――“直线”
类比1：在平面上如果把线段向两边无限延伸，就形成一条直线，那么在球面上如果把大圆劣弧 向两边延伸形成什么图形呢？
教师启发：既然把平面上的线段向两边无限延伸形成的图形称为平面上的直线，那么是否也可以把球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆称为球面上的直线呢？
【设计意图】球面上的直线概念的建立是本节课的教学难点，如果学生对“球面上的直线就是球面上的大圆”不能有效认同，那么就会对整个球面几何体系产生怀疑.这里通过平面上的线段向两边无限延伸形成一条直线类比建立“球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆就是球面上的直线”这个认识，有效地突破了这个难点.
类比2：平面上两点定线，并且直线的长度无限，那么球面上的大圆，即球面上的直线是否也具有类似的性质？
师生发现：过非直径两端点的直线具有唯一性；过直径两端点的直线不唯一；球面上的直线长度固定.
【设计意图】通过类比，学生发现球面上的大圆，即球面上的直线具有与平面相同的特征，也具有与平面完全不同的特征.
3.两个大圆的位置关系
类比3：平面上两条直线有相交与平行两种位置关系，那么球面上的两个大圆，即球面上两条直线的位置关系是什么呢？
【设计意图】通过类比，学生认识到球面上的两个大圆只有相交而没有平行关系.这一点显然与平面上直线的特征完全不同，从而从根本上转变学生对“两条直线”位置关系的原有观念.这种转变是震撼性的，所以教师在此处可以介绍欧几里得关于平面几何的5个公设，特别是平行公设，从而使学生了解球面几何是不同于欧氏几何的一个重要非欧几何模型.
4.球面角
（1）球面角的定义
类比4：平面上两条直线的相交程度是用角度度量的，那么球面上两条直线的相交程度是否也可以用角度度量？试着根据平面上角的概念类比定义球面上两条直线相交所成的角.
如图1，过球面上一点A引两条大圆劣弧 和 ，它们所构成的图形叫做球面上的角.仍可记做∠MAN，其中点A称为角的顶点，大圆劣弧 和 称为角∠MAN的两边.
问题3：尽管我们用平面上角的概念类似地定义了球面上的角，那么球面上的角与平面上的角有什么不同吗？
教师启发：平面上角的两条边无限延伸后不会相交，而球面角∠MAN的两边 和 延长后相交于点A关于球心的对称点B.我们把球面角∠MAN的两边 和 延长后相交于点B所组成的图形MANB称为球面二角形.
【设计意图】通过平面上的角类比定义球面上的角，进一步使学生体会类比方法在研究球面几何中的作用.同时学生通过思考球面上的角与平面上的角的区别，能使球面角的概念作为相对独立的新知识单独保存下来.
（2）球面角的度量与计算
问题4：定义了球面上两个大圆弧 和 所成的角，接下来我们进一步思考：如何度量球面角MAN的大小呢？
如图2，拖动∠MAN的一边 ，直观地发现∠MAN的大小也在随之变化.由此启发学生发现可以用∠MAN的两边 和 所确定的半平面AOM与AON所形成的二面角的大小，度量∠MAN的大小.另外通过让学生想象当球面半径无限变大时，球面角∠MAN越来越接面角，由此启发学生发现也可以用∠MAN的两边 和 在A点处切线的夹角∠PAQ度量∠MAN的大小（动画演示）.
【设计意图】球面角的度量方法是本节课的另一个难点.通过动画演示使学生发现球面角大小的变化其实与角两边所确定的半平面形成的二面角大小变化有关，从而得到刻画球面角大小的二面角法.另外通过极限过程，得到刻画球面角大小的切线法.这种切线法体现了化曲为直的思想.
热身练习一：如图3，已知球面上点A（北极）、B（经纬度均为0°）、M（东经20°、北纬45°）、N（东经100°、赤道），分别计算下列球面角的大小.
1.∠BAN？摇？摇2.∠ABN？摇？摇3.∠ANB？摇？摇4.∠MAN
【设计意图】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形ABN的三个内角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此热身练习的目的一方面让学生学会用上述两种方法计算简单的球面角大小，另一方面为学生以后认识“球面三角形的内角大于180°，过球面上直线外一点可以做不止一条直线与已知直线垂直”这些与殴氏几何完全不同的结论埋下伏笔.
5.球面三角形
类比5：平面上三条首尾相接的线段围成的图形叫做三角形.那么类似地，请大家定义球面上的三角形，并指出球面三角形的边与角.
球面三角形定义：球面上三条大圆劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.
单位球面ABC的三个内角？摇？摇？摇？摇 单位球面ABC的三条边
∠ABC=二面角A-OB-C的大小？摇？摇？摇 =∠AOC
∠BCA=二面角B-OC-A的大小？摇？摇？摇 =∠AOB
∠CAB=二面角C-OA-B的大小？摇？摇？摇 =∠BOC
热身练：如图4，已知球心为O的单位球面ABC满足OA，OB，OC两两所成的角均为60°，计算其三边长和三个内角的大小.
【设计意图】在用平面上的三角形类比定义球面上的三角形的基础上，通过球面ABC与三面角O-ABC的联系，使学生看到三面角在研究球面三角形中起到的“脚手架”作用，利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些问题转化为欧氏几何问题，从而进一步培养学生的空间想象力和几何直观能力.
（三）小结与反思
在总结球面上的基本图形及其研究方法的基础上，反思：为什么球面几何既有与平面几何相同的特征，又有与平面几何不同的性质？
五、教学设计总结
（一）球面上两点间的距离是球面几何的核心概念，理解这个概念是学习本专题的基础.
（二）类比是学习球面几何最重要的思想方法.通过类比平面上的直线、角、三角形，引入球面上的“直线”（大圆）、球面角、球面三角形等基本图形，进而在后续内容中类比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及内角和等使学生进一步认识到类比方法在数学学习中的重要作用.
（三）三面角是研究球面几何问题的“脚手架”.利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些判定定理转化为平面几何问题.
（四）通过“球面三角形的内角和大于π”认识到球面几何是不同于欧氏几何的一类几何模型.从而使学生认识到世界是丰富多彩的，不同的实际需要不同的数学模型来描述.
（五）通过球面几何的学习，学生对所学的立体几何内容有了更深的理解，进一步完善了所学的几何知识结构，提高了几何直观能力和空间想象能力.尽管球面几何不在高考的范围之内，但是通过球面几何的学习最终学生能发展几何直观能力和空间想象能力，而这恰恰能使学生终生受益.
参考文献：
[1]李学军.起始课，能否承载更多――基于人教A版起始课的教学设计与思考[J].中国数学教育，2012（24）：19-22.
[2]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》[J].数学通报，2007（08）：45-48.
[3]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》（续）[J].数学通报，2007（09）：52-57.
学习和游戏是儿童生活的两大主题，游戏在儿童生活中有两个方面的作用：一方面，游戏是儿童最初的学习方式；另一方面，学习离不开游戏，教师将教学内容带上一些游戏的色彩，会使课堂教学活泼有趣，调动起学生的学习积极性。因此，根据教学内容和学生的年龄特点，遵循一定的原则，在教学中有针对性地设计一些游戏，能充分激发学生的学习兴趣，变抽象为直观，变枯燥乏味为生动有趣，使学生有效地学习数学，提高数学教学的质量。
1.游戏在数学课堂中的优势
相对于传统的数学教学，教学游戏的应用有以下优势：受传统的教学理念和教学方法的影响，农村学生在数学教学过程中接受更多的是老师讲例题、然后学生做习题的呆板的教学模式，将游戏作为教学方法引入课堂，会让每一个学生真正地感受到学习的乐趣与数学的魅力，培养学生乐学思想。同时，教学游戏是对生活和现实知识的模拟与训练，有利于让枯燥的数学知识贴近学生生活实际，对小学生的合作能力、社交能力以及计算能力都有很大的促进作用。
2.数学教学中游戏设计的原则
在小W数学课堂教学中，引入游戏的目的是引导学生在玩中学习，在趣中练习，在乐中长才干，在赛中增勇气。所以在设计游戏，安排课堂教学时应遵循以下原则：一是思想性，激励性。游戏必须寓教于教学之中，以正确的思想激发学生的竞争精神。二是多样性，情趣性。游戏新颖，形式多样，富有情趣，才能有效地激发学生的兴趣，使他们主动地学、愉快地学。三是直观性，形象性。直观形象的数学游戏可以在学生的"具体形象的思维"与"抽象概念的数学知识"之间架起一座桥梁，帮助学生理解和掌握概念、法则等知识，引导学生由具体形象思维向抽象思维过渡。四是针对性，启发性。数学游戏的形式是为教学内容服务的，运用的游戏应该根据学生的实际因材施教，要有助于突出重点，突破难点，启发学生思维的积极性，学会思维方法，提高教学质量。
3.借用数学游戏激趣
受年龄的影响，小学生注意力稳定性较差，面对一些抽象的公式、定义以及单调刻板的计算题时，注意力很容易分散。针对这样的状况，灵活设计一些具体的、活动的教学情境以及具有可操作性的教学游戏，可以激发学生的学习兴趣。如，在教学《认识人民币》时，小学生对于花样繁多的人民币是难以集中精力去逐个认识与记忆的，如果通过创设"猜价格"游戏来教学，就可以吸引学生的注意力。教学过程中，教师出示一些学生常见的生活用品让学生竞猜，教师先给出价格的大致范围，然后给予"高一点"或"低一点"的提示，让学生竞猜。同时注意课堂气氛的调动，鼓励大家踊跃发言，让"潜力生"也敢于发言。这一游戏的设置不仅能充分活跃课堂气氛，也有利于学生对人民币知识的学习与认知。
4.数学游戏的具体设计
数学游戏内容丰富，形式多样，下面以游戏的表现形式来举例说一说游戏的具体设计：
一是猜想类游戏。猜想的特点与功能，是能够让学生们展开和培养想象力，并且培养合理地推测和验证能力，引起学习数学的兴趣。如学习了三角形的分类后，可以这样设计猜一猜游戏：剪好各类三角形，用卡片挡住三角形的两个角，只露出一个角，让学生猜猜这个三角形是什么三角形。在这过程中，让持不同意见的学生发表自己猜想的根据，最后老师再打开遮挡物，揭示谜底。通过猜想游戏，三角形按角分类的知识会深深的印在孩子的脑子里。在猜想类游戏中，教师引导学生猜想的语言要尽可能的突出挑战性、鼓动性，激起全体学生猜想的欲望，让学生积极思考，搜寻答案，达到教学目的。
二是活动式的游戏。以组织一项活动为载体，把数学知识寓于活动游戏中。如学习了人民币后，开展"小小商店"游戏，让孩子扮演售货员与顾客进行买卖交易。学生在交易过程中就学习巩固了人民币面额的辨别和各面额之间的换算。又如学习20以内的加减法可以设计投色子的游戏：同时投下两个色子，然后把两个色子上的点数加起来，谁算对了就轮到谁投色子，如果算错了就由原来的人继续投。
三是卡片类游戏。卡片类游戏，就是把游戏的内容写在卡片上，学生通过摘取卡片或投送卡片进行游戏，达到学习数学的目的。卡片上的内容根据教学需要可以是数字、算式，也可以是图形或问题。如学习加减法时可以设计邮递员送信游戏：把算式写在卡片上，发给学生；准备几个盒子当做邮筒，在盒子上写出得数，学生扮演邮递员，把相应得数的算式送到盒子里。把卡片类游戏的卡片形式变个样式，又能设计出很多有趣的游戏。如弄成苹果，再画棵大树，把"苹果"挂在大树上，进行"摘苹果"的游戏；弄成蘑菇，举行"采蘑菇"的游戏；弄成小动物，再画个房子，玩"把动物带回家"的游戏等。
[关键词] 优化设计；题组教学；思维能力
美国数学家克莱茵说过：“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度.”中学数学教学大纲明确指出，“发展思维能力是培养能力的核心”“要重视学生在获取和运用知识过程中发展思维能力”. 作为数学教学主体的习题教学，应重视数学练习设计的研究，不断改进、优化练习的设计与实施. 优化题组教学是培养学生思维能力的一种有效途径.
所谓题组教学，是指围绕某一教学目标或知识点，精选一批具有代表性、系统性的习题，将知识、方法、技能融于其中，让学生在解题的过程中感知题组的内在规律，探究、发现题组内蕴涵的知识和方法，达到培养学生思维能力的目的.
优化设计梯度型题组，培养学生思维的深刻性
学习活动是一个由易到难、由简单到复杂的过程，题目的设置应符合学生的认识规律，采用化难为易的办法，用题组训练的方式把一些较复杂的问题设计成一组有梯度的问题，给学生以清晰的层次感. 例如：
（1）已知一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，则第三边长多少？
（2）已知一个直角三角形，有两边长分别为3和4，则第三边长多少？
（3）已知一个三角形，有两边长分别为3和4，则第三边的长能确定吗？能否求出第三边的取值范围？
上述题组由易到难、层次分明，把学生的思维逐渐引向深入. 第（2）题用到了分类讨论思想，第（3）题则用到了不等式的思想，这样的安排能使学生既复习三角形的三边关系，又掌握勾股定理，而且在逐渐深入的问题中品尝到成功的喜悦；既掌握了知识，也深刻认识了问题的本质，能培养学生思维的深刻性.
优化设计“拆卸型”题组，培养学生思维的变通性
“拆卸型”题组是对于一个较复杂的题目或知识点，将它支解成若干部分来解决题目的一种题组. 这种题组是结合学生的认知水平和学生的思维能力而设计的，使学生容易接受知识，特别是基础一般的学生效果更突出.
例如，求方程x-1+x-2=5的解.
绝对值是数学中活性较高的一个概念，而本题属于含有多重绝对值符号的复杂绝对值方程，学生要解决此类问题有一定的困难，为了给学生道出解决问题的方向，我将此题支解成下面的题组：
（1）若x
（2）若x≥2，x-1=____，x-2=____，方程x-1+x-2=5的解为____.
（3）若1≤x
（4）求方程x-1+x-2=5的解.
通过上述“拆卸型”题组的设计，不仅将x的取值范围分解成几部分，而且将含有多重绝对值符号的复杂运算分解为含有单一绝对值符号的简单运算，对各部分逐个解决，并在此基础上变中求进，进中求通，进一步探索问题的本质属性，能有效地培养思维的变通性.
优化设计对比型题组，培养学生思维的批判性
许多结构形式与叙述方式相近的习题，学生很容易产生混淆，如果教师在教学时能适当选用一组对比型题组进行教学，让学生通过比较在同中求异、异中求同，则可使学生在比较中理解知识、掌握知识.
例如，在教学“平行四边形”这一章时，由于各种四边形的概念多，学生难以区别，可选用下列习题：
①对角线互相垂直的平行四边形是正方形；（错误，是菱形）
②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（错误，不一定是特殊四边形）
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；（正确）
④对角线互相垂直的矩形是正方形；（正确）
⑤对角线相等的菱形是正方形；（正确）
⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. （正确）
以上题目基于四边形这一章易于混淆的概念，貌合神离， 答案不尽相同. 很多章节在学生平时的练习中屡有混淆，错误率高，因此，要引导学生三思而后行，像这样易错之处用题组的形式出现，能有效地引起学生对细小问题的注意，有利于错误的避免与纠正，也有利于培养学生思维的批判性.
优化设计归类型题组，培养学生思维的广阔性
为了培养学生思维的广阔性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，真正做到“举一反三”. 归类型题组是一类问题的典型代表，解剖它即解剖了一类题，掌握它即掌握了解一类题的钥匙.
例如，a为何值时，方程x2+x+a=0没有实数根？
这是一道十分典型的例题，具有普遍的适用性，为了让学生抓住事物的本质属性，可引导学生作如下探讨：
（1）a为何值时，二次函数y=x2+x+a的图象与x轴没有交点？
（2）a为何值时，抛物线y=x2+x+a位于x轴的上方？
（3）a为何值时，二次函数y=x2+x+a的值恒为正？
（4）a为何值时，不等式x2+x+a≤0无解？
（5）a为何值时，不等式x2+x+a>0是全体实数？
（6）a为何值时，二次三项式x2+x+a的值恒为正？
上述习题，本质上都可以通过解不等式1-4a
优化设计互逆型题组，培养学生思维的双向性
为进一步打破学生禁锢于单一方向的思维定式，促进互逆思维习惯的形成，教师在教学中应精心设计可互逆式习题，逐步启发、适时点拨，引导学生将题中的题设与结论互换互逆，发挥“原材料”的功能性，以提高学生互逆思维转换能力，培养学生双向思维的良好习惯.
这三道习题都考查了三角函数和勾股定理的运用，综合性较强. 互换了题设和结论，其结构虽然发生了变化，但其解题思路、方法却很类似，只要将解题的顺序灵活调整即可. 这样的“借题发挥”，不仅提高了学生的解题能力，而且增强了学生的双向思维能力.
优化设计拓展型题组，培养学生思维的创造性
拓展练习是在基本题的基础上，逐步变换条件与问题，加大题目难度，要求学生一一解答. 这种练习不仅能使学生清楚地看出数学题变化的来龙去脉，弄清解题思路的脉络，而且对发展学生的推理能力、训练解题思维的灵活性和创造性都有好处.
例如，如图2，在正方形ABCD中，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+FD.
由本题的解法，可编拟如下拓展题：
（1）如图3，在正方形ABCD中，点E和点F分别是BC，CD延长线上的点，且∠EAF=45°，求证EF=BE-FD.
（2）如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE+FD.
（3）如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，点E和点F分别是BC和CD延长线上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE-FD.
（4）如图6，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E和点F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE+FD
（5）如图7，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E和点F分别是BC，CD延长线上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，求证：EF=BE-FD.
【关键词】小学数学；课堂教学；有效性；优化策略
课堂教学是培养学生综合能力的“主战场”，教师知识的讲授以及学生知识的学习都是通过课堂教学来实现的。当前，由于小学课堂教学受到传统教学思维以及社会大环境的束缚与影响，使得其更加趋向于“功利化”、“高级化”，致使课堂教学机械、死板，丧失应有的趣味性，无法有效激起学生的学习兴趣。大量实践表明， 随着上课时间的推移以及教学内容的深入，学生坐不住、思维“开小差”、小动作增多等现象很频繁，教学效率明显呈下降趋势。为此，本文拟从学生的角度出发，采用建构主义的相关理论，尝试着探索出一条优化之路。
一、设计情景，激发兴趣
建构主义理论认为，人类活动都是在一定的环境中进行的，情景直接影响着人类智力活动的产生与发展。而情景教学法就是根据建构主义的“环境理念”创设出来的，现阶段，它已经是一种比较成熟的教学方式，被广泛应用于各学科的教学领域。当然，这里面也应包括小学数学课堂教学。相对于高年级学生，情景教学法更加适用于低年级学生，这是由其好玩心理、探索欲强、心智尚未成熟等小学生固有的心理因素决定的。
在使用情景教学法的时候， 我们需要注意以下问题：首先是情景设计应以活跃学习气氛、激发学生兴趣为根本目标，设计出活泼、可爱的情景；其次是情景设计应依托各种“平台”，例如游戏、小品剧、比赛等，从而将情景表演落实到实处；再次是坚持以学生为中心，鼓励学生积极参与情景创作、情景设计、情景表演。
二、巧设问题，制造悬念
由于小学数学的接受主体为心智尚未成熟的儿童，他们往往处于一个比较特殊的年龄段，具有强烈的探知欲， 对于世间的一切事物都充满着好奇心。但与此同时，由于该阶段儿童的自控力较差、主动能动的目标性较弱，使得这种好奇欲具有发散性、随意性的特点，似乎对所有事物都有兴趣，但却又不成体系。 这时就需要教师的引导了，而问题设置、悬念设计就成为最好的“工具”了。
在这里，问题教学法的实施需要遵循几个原则：第一，最密切原则，即问题的提出须联系课程内容，最好能直接反映教学的目标。这就需要一线教师平时多实践、多积累，探索出最密切的问题。第二，趣味性原则，即问题设置须具有趣味性，必须能够吸引学生们的注意力，激发起他们的“求知因子”，否则就是简单的教学问题。第三，操作性原则，也可称为易解决性原则，即设计的问题不宜过深、过难，要存在被大多数学生所解决的“可能性”，否则可能会由于问题过难而削弱学生的探索欲望。
问题教学法的案例设计：
1.教学内容：四年级下册第五章“三角形”。
2.教学目标：让学生初步认识三角形的基本特征，找到三角形的“构成因素”，能够按照边长、角度划分三角形。
3.教学难点：正确认识三角形的各项特征。
4.问题设置：
（1）要求学生找出生活中的三角形，并简单画出图形。
（2）问题设置一：三角形中有几个边、几个角、几个顶点？问题设置二：怎样用量角器测量角的度数？ 接着要求学生将测量的度数标记出来，观察度数有何特点。问题设置三：用标尺精确测量三边的长度，观察边长有何特点。
（3）问题设置：你测量的三角形可归到下面的哪一类？ 教师可给出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形的规定法则。
5.总结验证：以锐角三角形为例。 锐角三角形是“三个角的度数都大于0 度而小于90 度”，然后让学生用量角器进行实际验证，看是否归类正确。
三、团结协作，尊重差异
一般来说，团体协作讲究“组内探讨、组间交流”，但若组内成员之间发生观点对立时该如何处理呢？ 这时就该应用“差异智能理论”，承认学生的个体差异性，鼓励不同观点并存，通过“再分组”的操作将“持同一观点者”划为一组。综上所述，我们在小学生分组时就应按“分组讨论再分组再讨论”的程序进行。
团队协作教学法在实践应用时应注意以下问题： 首先，合理划分小组，可以以平时的教学安排为依据，也可以根据学生的“生活距离”来划分。 例如同一竖排的学生为一组，或者是将住在同一小区的学生分为一组。 这样不仅易于团队的理解与合作，而且减少了“操作上的成本”。其次，每一个小组设一名小组长，统筹协调组员之间的分工与关系。 一般来说，可由班级中学习较差或者比较调皮的学生担任，这样就达到了小组运转与促进后进生的双重目的。再次，教师可事先设定任务，也可以由学生自定任务。
团队协作教学法的案例设计：
1.教学内容：小学《数学》六年级下册第4 章“统计”。
2.教学目标：
（1）初步认识统计的一些知识，加深对统计工作重要性的理解。
（2）了解并使用常规的统计方法，进行相应的实践调查。
（3）学会分析统计表中包括的内容及各部分之间的关系，并进行简单的统计分析。
3.教学难点：实际统计、统计数据分析。
4.团队任务：
（1）划分小组，并安排小组长。 分配小组任务，再由小组长细化任务。
（2）编制统计表：如下图所示。
年级/学生 男生数 女生数
某年级某班
（3）进行实地调查，将统计数填入表格。
（4） 对数据进行简单分析， 例如“学生总数”、“男生总数”、“女生总数”、“男生与女生的人数比”等。
（5）课堂讨论，团队协作，解决上述基本问题，并将结果记录在案。 然后进行分组汇报，并将统计结果进行对比评价，选出“最优组”。
5.总结：
团队协作能让每一名学生都参与其中，教师可根据所学内容具体设计。
四、结束语
综上所述，小学数学课堂优化是一项系统性的工程，我们需要综合应用上述手段，而不是只依赖于某一种。另外，在具体的应用中，情景、例题、游戏、问题、悬念等的环节设计将有助于学生兴趣的激发，因而在以后的教学中我们应多从这些方面来着手。
参考文献
[1]魏俊明.新课程理念下小学数学教学的几点感悟[J].考试周刊，2011（53）。
然而，由于诸多原因，目前我们农村小学数学课堂教学中，提问的有效性差的情况显得比较突出，课堂提问存在诸多问题：一是提问内容过于简单，过多采用一问一答或重复应答式的提问，学生很容易找到答案，表面显得很热闹，实际上学生的思维处于较低的认知水平。二是提问离题遥远，脱离学生思维的“最近发展区”，启而不发。设计的问题过难、过偏或过于笼统，学生难以理解和接受。三是提问只求标准答案，排斥求异思维。提问时对学生新颖或错误的回答置之不理，或者中途打断，只满足单一的“通法”或标准答案。四是提出问题后，留给学生思考的时间不足，急于求成，走了形式。五是提问只关注优等生。一些教师上课时担心学习水平一般的学生答不出、答不准问题，影响教学进度，于是喜欢提问那些回答问题完整的优等生， 避开后进生。用优生的思维代替全班学生的思维。
那么如何改变现状，实施有效提问呢？笔者在教学实践中，把握关键环节，巧妙设问，提高了课堂提问的有效性，促进学生的积极思维。
一、新课导入的设问――抓联系
数学的新旧知识之间常有密切的联系，在新授阶段复习相关的旧知识，在新旧知识生长点处巧妙设问，可为学生顺利学习新知完成正迁移，创造良好条件。如在教学“异分母分数加法”时，先让学生板演：①453+81(列竖式)；②25.8+0.34 (列竖式)；③ 1/5 + 3/5 ；然后提出问题：“第①题在列竖式时，为什么要把末位对齐?第②题在列竖式时，为什么要把小数点对齐?第③题为什么分母不变，只把分子相加?”学生经过比较以上3题的计算过程,展开紧张讨论，各抒己见，相互补充，就能得出共识：“计数单位相同的数才能直接相加。”最后教师出示例题 1/5 + 1/3，问学生：“‘1/5 + 1/3’ 能直接相加吗?为什么，怎样才能相加呢?”学生从类比推理中推陈出新的发现：“先把异分母分数通分成同分母分数再相加”。 这样设问教师抓住新旧知识的内在联系，根据学生原有知识水平寻找他们新知识的认知生长点，从学生思维的“最近发展区”设计出导向性的提问，铺设 “认知桥梁”，促进新旧知识间的渗透与迁移，加深对新计算法则的理解，逐步建立完整的认识结构。
二、重难点处的设问――抓关键
设问要紧扣重点、难点。课堂设问不仅要从教材的思路、教学重点、学生学习难点出发，更应考虑如何步步引导学生把思维指向问题的关键和重点，指导学生架设一座从未知到已知的桥梁。通过不断地从具体到抽象，又从抽象到具体，使学生牢牢地掌握知识点。如，教“圆的面积”时，教师组织学生直观操作，将圆剪开拼成一个近似长方形，并利用长方形的面积公式推导出圆的面积公式。为了突出 “长方形与圆各部分之间的关系与联系”这个重点和难点，教师先让学生动手操作，将一个圆平均分成8份、16份，剪拼成一个近似长方形。教师提出问题：①若把这个圆平均分成32份、64份……这样拼出来的图形怎么样？②拼成的近似长方形的长和宽和原来圆的什么有关系？拼成的近似长方形的面积和原来圆面积有什么关系？③那么怎样通过长方形面积公式推导出圆的面积公式？学生很快推导出：长方形面积＝长×宽，圆的面积=半周长×半径=(2πr/2)×r=πr2 。这样抓住关键――在重、难点处设问，使学生观察有序、思路明晰，对加深知识的理解、增加学生的记忆能力有很大的促进作用。因此设问应根据教材内容的重难点，设计出一系列前后连贯的并有内在联系的关键性问题，引导学生根据已有的知识和经验，或者依据对当前事物和现象的观察进行积极的思维活动，通过“问”和“答”，启发他们得出正确结论。
三、易混淆处的设问――抓对比
“对比”是通过比较，区别事物之间差异的方法。小学生受知识基础和思维能力的制约，对差异性愈小的相关概念愈容易混淆。如“整除”和“除尽”、“增加到”和“增加了”、“减少”和“缩小”、“时间”和“时刻”等都是截然不同的概念。因此，教学中，对一些相似易混淆的概念应适当采用“对比分析法”，于相似易混淆处设问，使学生对知识的理解更准确、更深刻。例如，教学小数加减笔算0.48+15.9时，学生由于受整数加减法笔算的相同数位对齐必定会使末位对齐的影响，形成思维定势，因而出现把9和8对齐的数位对齐上的错误。这时教师可这样设问：“你认为他做的对吗？错在哪？如何保证相同数位对齐？计算的时候小数为什么要小数点对齐，而整数却是末尾对齐就行了？那你能说说计算小数加减法时要注意些什么”？教师提出对比性的问题，帮助学生同中见异，异中见同，加深了学生对数位对齐的理解，促进数学知识的正向迁移，有助于提高学生的分析、综合和抽象概括能力。
四、归纳总结的设问――抓深度
1、教学内容
九年义务教育六年制小学数学教科书（北师大版）四年级下册第24至25页的内容及相关练习题。
2、教材简析
“三角形分类”是新课程教材中“空间与图形”领域内容的一部分。学生在学习此内容之前，已经学习了三角形的认识，能够在物体的面中找出三角形，学习了角的知识，认识了常见的角，为学生学习三角形的特征从角和边的不同角度对三角形进行分类做好了有力的知识支撑。三角形是最简单也是最基本的多边形，一切多边形都可以分割成若干个三角形，学好这部分内容，为学习其他多边形积累了知识经验，为进一步学习三角形的有关知识打下基础。
3、教学目标
根据教材内容及学生的知识水平和心理年龄特点，制定了以下教学目标：
（1）让学生通过学习活动，发现三角形和边的特征会给三角形的分类，理解并掌握各种三角形的特征。
（2）培养学生观察，操作和抽象概括能力。
（3）激发学生的主动参与意识，自我探索意识和创新精神。
4、教学重点、难点的确定
根据《三角形分类》这一知识的地位和作用，本课设计的“观察、操作、比较、小组讨论”等教学环节都是为了使学生能近角和边的特点给三角形分类，因此这是教学重点。
根据学生的认识水平和年龄特点，如何引导学生归纳出各种三角形的特征，这是学生掌握本课知识的一个质的飞跃。
因而，“能理解并掌握各种三角形的特征”是本课教学的难点。
5、教学准备
除了准备彩色卡纸，三角形平面图等，课前布置学生把课本三角形剪下来。
二、说教法、学法
根据新课标的要求和学生的实际，以直观教学为主，运用观察动手操作，小组讨论等多种方法，结合教材，让学生在“看一看”，“量一量”，“比一比”，“分一分”，“说一说”的自主探索过程中发挥学生相互之间的作用，让学生自己在动脑、动手、动口中促进思维的发展，培养学生的动手操作能力，语言表达能力和自学能力。
在教学中，首先把握新旧知识的衔接点，利用教材12个三角形组成的图案，让学生说说自己对三角形的认识，引出课题“三角形的分类”。放手让学生动手操作，小组讨论交流，寻找三角形分类的方法，最后让学生说说自己归类的依据，归纳出各种三角形的特征，培养学生的抽象概括能力。
三、说教学过程
为了完成本课的教学目标，设计了以下的教学过程。
（一）创设情景，揭示课题
1、出示图案（采用直观教具吸引学生的注意力）
这个图案像什么？由什么图形拼成的？
2、考考你的眼力，这几个三角形的形状一样吗？什么不一样？（让学生具体说一说）
在三角形这个大兵营里，它们的角和边各有特点。这节课我们就根据三角形角和边的特点给它们分类。
由学生对三角形的认识引入课题，即为学生接受新知识做好铺垫，也让学生明确学习内容直奔放主题。
（二）动手操作，探讨三角形分类方法
1、根据角的特点，对三角形进行分类。
新课标倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力，把学习变成人的主动性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程。
我设计了如下环节：
（1）学生先是独立思考、独立操作，独立探索分类。（事先给每个学生准备一个学袋：一张表格和一张彩色卡纸）
①学生根据表格对这12个三角形进行观察，再填表。填完表格，再对表格中的数据进行观察，就能容易地进行分类。
②把分类的结果贴在彩色卡纸上。
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
锐角个数
直角个数
钝角个数
（2）小组交流
学生在小组内分别展示自己的劳动成果，说说自己的分类依据。
（3）展示学生代表作品，学生互评。
（4）师小结归纳（边把分类依据板书出来）
（5）鼓励学生给自己分类的三角形取个名字。
让学生感受到自己就是学习的主人，体验劳动成果的喜悦心情，增强学习的信心。
（6）引导学生对三类的三角形进行比较，得出相同点：每个三角形至少有两个锐角。
2、游戏巩固
利用教材第25页猜猜来个教学游戏：
（三角形分类）说课稿,标签：四年级数学说课稿,小学数学说课稿,
猜出被信封遮住的可能是什么三角形，答对者，就把里面的三角形送给他。
通过数学游戏，可以激发学生学习兴趣，还可以巩固新知、形成技能。并对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的相同点、不同点有了进一步的了解。
3、指导学生根据边的特点，对三角形进行分类。
由于让学生观察的三角形个数较多，要逐个测量边的长度再进行比较，总结归纳比较费时。所以这一环节安排以小组为单位，利用老师发放的学袋，由小组长来安排分工测量，填好研究报告单，然后一起观察，一起讨论，一起分类。师再依据小组代表发言后引导归纳，从而引出不等边三角形和等腰三角形，等边三角形。
（三）小小辩论会
为了帮助学生理解“等边三角形也是等腰三角形”设计了这么一个环节。
由正、反两方充分阐述自己的观点，师再适时点拨，让学生在热烈的学习氛围中，巩固所学知识并更上一台阶。
（四）全课总结
今天你学得开心吗？什么事让你开心？让学生学会自我评价，体现了新课标评价的多样性，还可以训练学生的语言发展能力。
