时间：2023-05-30 09:47:04
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇双曲线及其标准方程，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
【关键词】新课改；双曲线；焦点弦；第二定义
新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常变，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用。为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。
1 双曲线的两个定义
定义1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0
例1 (2008湖南）若双曲线(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P(x1,y1)，x1≥a，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为，由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦点弦问题
2.1 焦点弦的一个性质
设双曲线方程为，离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为α，则有
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的同支上时，|cosα|
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的异支上时， |cosα|>1-e （2）
当直线l与双曲线只有一个交点时，|cosα|=1-e （3）
证明：由对称性，不妨设F为有焦点(c,0)
（1）由渐近线与弦AB斜率的关系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在双曲异支上时，由渐近线与弦AB斜率的关系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直线l与双曲线有且只有一个交点，依题意则直线l与该双曲线的渐近线平行，即 ，
，
。
2.2 弦长公式
设双曲线离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为θ，焦点F到相应准线的距离为d，则有
当双曲线方程为，弦AB的长。
当双曲线方程为，弦AB的长。
证明：当焦点在X轴上时，设双曲线方程为，焦点F(c,0)到相应准线的距离为，离心率为。
先推导弦AB所在直线的参数方程，首先AB所在直线的一般方程为y=tanθ(x-c)，此直线方程可看做是直线y=tanθ・x按向量(c,0)平移得到的，而对直线y=tanθ・x，设x=tcosθ，则y=tsinθ，即可得上述直线的参数方程为
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t为参数），
事实上，令
=|t1-t2|。
可发现参数t的几何意义为直线AB上的某段弦长。
将弦AB所在直线的参数方程与双曲线方程联立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的几何意义，
。
如果直线l斜率为k， 。
2.3 应用举例
例2已知双曲线的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。
解：由题意及上述性质1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
参考文献：
[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002
[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
错解一：右准线方程为x=4，=4，又c=10，a=40，b=c-a=60，故双曲线方程为-=1.
错解二：右焦点F（10，0），C=10，又e==2，a=5，b=c-a=75，故所求的双曲线方程-=1.
上述两个错解，究其原因，是对曲线的“型与量”的关系处理不当.因为双曲线的中心没有明确在坐标原点上，所以不能根据双曲线的标准方程中的量与量的关系来定量计算.也就是说该题由于双曲线位置关系不明，就不能用定型到定量的方法解决，只能用圆锥曲线第二定义来解决.而所谓“定型”是指对曲线的形状、位置、大小的确定（或判断）.“定量”则是在定型的基础上，求曲线（方程）中所涉及数量.我们在解题中只有认真审清题意，准确地判断好曲线形状、位置、大小，才能相应地定量计算相关的量.其实解析几何中很多题目都是由定型到定量或定量到定型来解决的，把定型和定量有机地结合起来，就能快速准确解决解析几何中曲线问题，如下面例子.
一、由曲线“定型定量”的解题
在通过题目分析，确定曲线形状及其位置（定型）后，再根据其形状、位置、大小来定量解决相关数量，或设好曲线的（方程）待定式，再求式中的待定数与量（定量）.
例题1（2002年北京高考?文）：若直线L∶y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限，则直线L倾斜角的取值范围（ ）.
A.（，） B.（，） C.（，） D.（，）
解析：因为直线2x+3y-6=0过点A（3，0）和点B（0，2），直线L∶y=kx-过点C（0，-），所以直线L绕C点必须与线段AB相交（不含点A、B）时，则交点进入第一象限（定型）.易求直线L倾斜角的取值范围（定量）是（，）.
例题2（2003年北京春季招生?理）：已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x+y=1相切，则三边长分别|a|，|b|，|c|的三角形是（ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在
解析：因为直线与单位圆相切（定型），所以圆心到直线的距离等于半径（定量），所以=1，即|a|+|b|=|c|.故选B.
二、由曲线的“定量定型”的解题
在通过题目分析中，由题中的数量（定量）关系，确定曲线的形状或位置或大小（定型）情况.然后利用曲线固有的一些性质来解题.
例题3：顶点在原点，坐标轴为对称轴，且过点（-2，3）的抛物线是（ ）.
A.y=-x B.x=y
C.y=-x或x=y D.以上都不对
解析：由点（-2，3）的坐标（定量）可知，抛物线经过第二象限（定型），故可设抛物线方程为y=-2px或x=2py（p＞0），此时把（-2，3）的坐标代入可得p=或p=，故选C.
例题4：已知曲线的中心在原点，焦点F，F在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）.
（1）求曲线方程；
（2）若点M（3，m）在曲线上，求证：MFMF；
（3）求FMF面积.
解析：（1）曲线离心率e=（定量），曲线是双曲线（定型），可设方程为x-y=λ（λ≠0）；
又曲线过点（4，-），16-10=λ，即λ=6.
所以双曲线方程为x-y=6.
（2）易知焦点F（-2，0），F（2，0），
K=，K=，K?K==-.
又（3，m）在双曲线上，9-m=6，m=3，
故K?K=-1（定量），则MFMF（定型）.
（3）由M（3，±）在曲线上知（定型），FMF中FF=4，边FF的高h=（定量），FMF面积是6.
三、由曲线的“定型?圮定量”的解题
在许多题目解答中，往往还要利用定型、定量多次转换.
1.由曲线“定量定型定量”的解题
例题5：已知圆M经过点P（-4，0），且与圆C：x-8x+y=0相切的圆心M的轨迹方程是 .
解析:设圆M的半径为R，又由圆C的标准方程（x-4）+y=16可知半径r=4，结合图形可得，若圆M与圆C外切时，|MC|-|MP|=4，若圆M与圆C内切时，|MC|-|MP|=-4，也就是说||MC|-|MP||=4（定量）.显然点M的轨迹满足双曲线的定义，则点M轨迹是以P，C为焦点双曲线（定型），其点M轨迹方程为-=1（a＞0，b＞0），由题意和双曲线定义可知2a=4，c=4，则可求得b=12（定量）.故填-=1.
2.由曲线“定型定量定型”的解题
例题6：方程y=ax+b与y=ax-b表示的曲线在同一坐标系中的位置可以是（ ）.
1.平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3，-1)，C(2，-3)两点，点D在直线3x-y+1=0上移动，则点B的轨迹方程为()
A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0
C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0
答案：A 解题思路：设AC的中点为O，即.设B(x，y)关于点O的对称点为(x0，y0)，即D(x0，y0)，则由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.
2.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()
A.1 B.2
C. -2D.3
答案：C 解题思路：当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小.因圆心(3,0)到直线的距离为d==2，所以切线长的最小值是l==.
3.直线y=x+b与曲线x=有且只有一个交点，则b的取值范围是()
A.{b||b|=}
B.{b|-1
C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线渐近线上的一点，AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为|OF1|，则渐近线的斜率为()
A.或- B.或-
C.1或-1 D.或-
答案：D 命题立意：本题考查了双曲线的几何性质的探究，体现了解析几何的数学思想方法的巧妙应用，难度中等.
解题思路：如图如示，不妨设点A是第一象限内双曲线渐近线y=x上的一点，由AF2F1F2，可得点A的坐标为，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，则tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得该双曲线渐近线的斜率为或-，故应选D.
4.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，与直线y=b相切的F2交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与F2的切点，则椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
答案：C 解题思路：由题意可得，EF1F2为直角三角形，且F1EF2=90°，
|F1F2|=2c，|EF2|=b，
由椭圆的定义知|EF1|=2a-b，
又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，
即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，
所以e2===，故e=，故选C.
5.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则C的实轴长为()
A. B.2 C.4 D.8
答案：C 解题思路：由题意得，设等轴双曲线的方程为-=1，又抛物线y2=16x的准线方程为x=-4，代入双曲线的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以双曲线的实轴长为2a=4，故选C.
6.抛物线y2=-12x的准线与双曲线-=1的两条渐近线围成的三角形的面积等于()
A. B.3 C. D.3
答案：B 命题立意：本题主要考查抛物线与双曲线的性质等基础知识，意在考查考生的运算能力.
解题思路：依题意得，抛物线y2=-12x的准线方程是x=3，双曲线-=1的渐近线方程是y=±x，直线x=3与直线y=±x的交点坐标是(3，±)，因此所求的三角形的面积等于×2×3=3，故选B.
7.若双曲线-=1与椭圆+=1(m>b>0)的离心率之积大于1，则以a，b，m为边长的三角形一定是()
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
答案：D 解题思路：双曲线的离心率为e1=，椭圆的离心率e2=，由题意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形为钝角三角形，故选D.
8. F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点.若ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为()
A.2 B. C. D.
答案：B 命题立意：本题主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何性质以及基本量的计算等基础知识，考查了考生的推理论证能力以及运算求解能力.
解题思路：如图，由双曲线定义得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因为ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故选B.
9.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()
A.2 B.3
C. D.
答案：A 解题思路：设抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离分别为d1，d2，根据抛物线的定义可知直线l2：x=-1恰为抛物线的准线，抛物线的焦点为F(1,0)，则d2=|PF|，由数形结合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值时，即为点F到l1的距离，利用点到直线的距离公式得最小值为=2，故选A.
10.已知双曲线-=1(a>0，b>0)，A，B是双曲线的两个顶点，P是双曲线上的一点，且与点B在双曲线的同一支上，P关于y轴的对称点是Q.若直线AP，BQ的斜率分别是k1，k2，且k1·k2=-，则双曲线的离心率是()
A. B. C. D.
答案：C 命题立意：本题考查双曲线方程及其离心率的求解，考查化简及变形能力，难度中等.
解题思路：设A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于点P在双曲线上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故选C.二、填空题
11.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点，则(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面积的最小值是________.
答案：(1)-8 (2)2 命题立意：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，难度中等.
解题思路：设直线AB的方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，联立得y2-4my-8=0.(1)由根与系数的关系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面积为S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.
知识拓展：将ABF分割后进行求解，能有效减少计算量.
12. B1，B2是椭圆短轴的两端点，O为椭圆中心，过左焦点F1作长轴的垂线交椭圆于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中项，则的值是________.
答案： 命题立意：本题考查椭圆的基本性质及等比中项的性质，难度中等.
解题思路：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.
13.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B.若=，则p=________.
答案：2 解题思路：过B作BE垂直于准线l于E，
=， M为AB的中点，
|BM|=|AB|，又斜率为，
BAE=30°， |BE|=|AB|，
|BM|=|BE|， M为抛物线的焦点，
p=2.
14.
1．串联情况：平面几何是初中的教学内容，是学习立体几何与解析几何的基础，由于平面几何与解析几何的研究对象都是平面图形，因此在解决解析几何问题时了解相关平面图形的几何性质是完美解决问题的前提．
2．考情分析：纵观近几年的各地高考数学试卷，直线与圆锥曲线的位置问题一直是解析几何中的热点问题，尤其是圆锥曲线焦点弦问题，由于容易得到很多漂亮的性质，也容易编拟出具有一定挑战性的试题，所以往往也成了命题者关注的“焦点”．有关直线与圆的有关问题也偶尔“灵光一现”．虽然高考试卷中不可能出现平面几何的试题，但上述两类问题与平面几何知识通常有着天然的联系．
3．破解技巧：（1）对于直线与圆的考题，通常有以下两类解决方法可供选择，其一是用代数方法解之；其二是充分利用相关图形的几何性质解之；其中第一类思想方法比较简单，但往往伴随而来的是繁杂的运算，相对而言第二类方法显得很简捷，但必须有较好的平面几何功底．
（2）对于圆锥曲线中的“触焦问题”（与焦点相关的问题），在选择解题方法时，应优先考虑利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识解之，即明确解决这类问题的最常用的思路是充分利用其几何意义去解决问题．在具体操作中要注意以下两个转化：
（A）注意问题所涉及的曲线（椭圆和双曲线）上的点到曲线的两个焦点的距离之间相互转化．
（B）注意问题所涉及的曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的相互转化．
4．经典例题：
已知圆C1：（x+3）2+y2=4，C2：x2+（y－5）2=4，过平面内的点P有无穷多对互相垂直的直线l1，l2，它们分别与圆C1、圆C2相交，且被圆C1、圆C2截得的弦长相等，求点P的坐标．
破解思路若用代数方法求解，则可设P（a，b），直线l1的斜率为k，则l1，l2被圆C1、圆C2截得的弦长可用a，b，k表示之，由此可得到关于k的恒等式，从而得到关于a，b的两个方程，进而求得a，b的值；大家不妨试一试！
注意到圆C1、圆C2是两个相离的等圆，所以它们关于线段C1C2的中垂线对称，不难猜想，点P在线段C1C2的中垂线上，再由特例法（当直线l1，l2分别过圆心C1，C2时）找到满足条件的点P后再加以证明即可．
经典答案如图1，以线段C1C2为斜边作等腰直角三角形P1C1C2，下面证明点P1符合要求：直线l1，l2分别和直线P1C1，P1C2重合时，显然满足要求；
再把直线P1C1，P1C2绕点P1顺时针旋转θ角时，设直线l1，l2被圆C1、圆C2截得的弦分别为A1B1，A2B2，分别取A1B1，A2B2的中点D1，D2，连结C1D1，C2D2，则RtP1C1D1≌RtP1C2D2，所以C1D1=C2D2，所以A1B1=A2B2．
由于θ的大小可有无穷多种取法，所以点P1符合要求．
由C1（－3，0），C2（0，5）可得点P的坐标为（1，1）或（－4，4）．
已知l1，l2是双曲线－=1的两条渐近线，过椭圆+=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）作直线m，使ml1，m与l2的交点为P，m与已知椭圆的交点记作A与B（如图2）．
求：λ=的最大值及其此时椭圆的离心率e的值．
破解思路要解决本题可分两大步骤来完成，第一步：把λ表示成关于椭圆离心率e的函数（实在不行，可先建立一个关于λ与e的方程）；第二步：求出这个函数最值即得所需结论．解题的关键是如何由已知条件，得到关于λ与e的方程，由于点P恰在椭圆的右准线上，因此可以考虑使用“椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线间的距离间的相互转化”策略，再结合解三角形的知识解决之．
经典答案设直线m的方程为y=（x－c），易求得点P的坐标为P，，所以P恰在椭圆的右准线l上，作BNl于N，AMl于M．
设AF=u，BF=v，则AM=AF=，BN=BF=，所以λ===，所以v=λu，
直角梯形AMNB中，BN－AM=，AB=u+v=（1+λ）u．
因为tan∠ABN=，所以cos∠ABN===•，即=，令2－e2=t，则1
而s==≤=－1，由t=得t=，此时e=，smax=－1，即0
所以λ=的最大值为+1，此时e=．
1．串联情况：方程思想和基本量方法是解决数学问题的重要方法之一，对于解析几何中的一些问题，尤其是有关求圆锥曲线方程的问题，若用方程的思想与基本量方法分析解决之会显得很“自然”．
2．考情分析：由题设条件求圆锥曲线的标准方程是圆锥曲线中最常见的一种题型，近几年的高考圆锥曲线大题一般设置两三个小题，其中的第一小题通常是求曲线的标准方程．
3．破解技巧：易见中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆、双曲线共有两个基本量，即确定这样的椭圆、双曲线只需两个独立的条件．
操作时只需把题设条件“翻译”成关于其中的两个基本量（如：a，b）的方程，然后求所得方程组的解即可．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线有且仅有一个基本量，所以求抛物线的方程的思想方法更加简单．操作时要注意焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两种情况均有可能，当其中的一个已知条件比较直接时，可选使用这个条件求出其中一个系数，以简化运算过程．
4．经典例题：
已知：双曲线的中心在坐标原点，过双曲线右焦点且斜率为的直线与双曲线交于A，B两点，若OAOB，AB=4，求双曲线的标准方程．
破解思路易见双曲线的焦点在x轴上，所以可设其方程为－=1，只须把条件OAOB，AB=4“翻译”成关于a，b的两个方程，再解关于a，b的方程组即可得到结论．
经典答案设双曲线的方程为－=1，右焦点为F（c，0），其中a，b，c∈R+，c2=a2+b2．设A（x1，y1），B（x2，y2），=t（t>0），直线AB的方程为x=y+c．
由x2－y2=c2，x－y=c2得（1+t）x2－1+y2=x2－2xy+y2，即+－2－t=0．
由于kOA•kOB==－1，所以+－t=0，解得t=3，即b2=3a2，c=2a，故双曲线的方程为3x2－y2=3a2．
把直线AB的方程为x=y+2a代入双曲线方程得4y2+4ay+9a2=0，所以（y－y）2=（y+y）2－4yy=6a2．
又因为AB2=（x－x）2+（y－y）2=（y－y）2=16，所以a2=1，双曲线方程为x2－=1．
反思解决本题的思想方法比较简单，其难点是对运算能力的要求较高，一不小心就会陷入繁杂的运算之中而不能自拔，所以如何简化圆锥曲线问题的运算过程显得尤为重要．上述解法的可取之处如下：其一是把直线AB的方程写成x=y+c有利于简化运算；
其二是构造关于的方程，使kOA•kOB=－1能与之直接“对话”；其三是利用条件OAOB得到b2=3a2，打开了胜利之门．
1．串联情况：函数是中学数学的主线，函数思想是中学数学中最重要的思想方法之一，最值和范围问题是中学数学中的永恒话题，而函数思想是分析解决最值问题最“给力”的武器．
2．考情分析：（1）最值问题和参数的范围问题是解析几何试题中出现相对频繁的题型，通常涉及求面积、线段长、离心率及其他相关参数值的取值范围问题．
（2）对于解几何中定值问题，虽然在现行的教材中没有专门的介绍，但在高考试卷中还是屡见不鲜的．
3．破解技巧：（1）对于解析几何中的最值和范围问题，一般可用建立目标函数方法解决之．若能把所求参数表示成某一个变量的函数，则问题就可化归为求这个函数的最值（或值域）．
（2）解析几何中的定值问题，所涉及的量“照理”应是一个变量，即这个量应随某一个量的变化而变化，若它真的是一个定值，则它“恰巧”与这个量的变化无关；所以我们只须“装腔作势”地把它表示成关于这个变量的函数，化简以后必可得这个函数为常数，从而问题也得到解决．
4．经典例题：
椭圆C过定点M－1，，两个焦点分别为F1（－1，0），F2（1，0），过点M作倾斜角互补的两条直线MA，MB分别交椭圆于A，B．
（1）求证：直线AB的斜率为定值；
（2）求MAB的面积S的最大值．
破解思路（1）注意到A，B两点的坐标都随直线MA的斜率k的变化而变化，故直线AB的斜率“照理”也应该随k变化而变化，所以我们只须“装腔作势”地把直线AB的斜率用k表示之，化简后即可得到定值．
经典答案（1）容易得到椭圆的方程为+y2=1，设直线MA的斜率为k，则直线MB的斜率为－k，直线MA的方程y－=k（x+1），即y=k（x+1）+，代入椭圆方程可得：［（x+1）－1］2+2k（x+1）?摇+=2，即（x+1）［（1+2k2）•（x+1）?摇+2k－2］=0，所以xA=－1+，y=+，同理可得xB=－1+，y=+．
所以y－y=，xA－xB=，故kAB===－（定值）．
评注（1）本题的证明对运算的要求较高，上述解题过程中充分利用“点M在椭圆上”及“A，B两点的地位相同”等性质，运算过程还是显得比较简洁．
（2）设点M关于y轴的对称点为M1，则当k0时，直线AB与椭圆在点M1处的切线重合．所以在解答前也可以先猜想AB的斜率应等于椭圆在点M1切线的斜率－，这样可使解题的目标更加明确．
破解思路（2）注意到M为定点，所以MAB的面积S随直线AB的变化而变化，由于直线AB斜率为定值，所以可选择直线AB在y轴上（或x轴上）的截距为目标函数的变量解决之．
经典答案（2）由（1）可知直线AB的斜率为－，所以可设直线AB的方程为x=－y+t，作MN∥x轴交线段AB于N，则Nt－1，，MN=t．
把x=－y+t代入x2+2y2=2可得4y2－2ty+t2－2=0，故有y+y=t，y•y=（t2－2），所以（y－y）2=（y+y）2－4yAyB=（4－t2），即y－y=，MAB的面积S=f（t）=MNy－y=t=≤•=，由4－t2=t2得t=±，所以t=±时，MAB的面积S取最大值．
1．串联情况：从表面上看，在有关解析几何的试题中连不等式的“影子”都很难找到；在大千世界中，等是相对的，而不等是绝对的，在解析几何中也是如此，在解决有关解析几何问题时，若能合理地利用不等式往往能给它“致命一击”．
2．考情分析：对于解析几何中的最值问题，除了几何意义法及目标函数法外，目标不等式法也是一种不错的选择．
3．破解技巧：要探求某一参变量的取值范围时，我们只须得到这个参变量应满足的目标不等式，然后解这个目标不等式即可，所谓“退一步海阔天空”就是这个道理！但在具体操作时，其思考方法与目标函数法相同，最后选择目标不等式法还是目标函数法要视具体情况而定．
4．经典例题：
已知M（x0，y0）为直角坐标平面中第一象限内的一个定点，直线l过点M且与坐标轴围成的三角形的面积为定值S0，那么满足条件的直线l有几条？
破解思路由于过点M的直线与坐标轴在第三象限不能围成三角形，而在第二、四象限围成的三角形的面积可以取到任意正实数，且面积的大小与直线构成一一映射；故问题可化归为求与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S0的直线l有多少条，也可化归为求直线l与坐标轴在第一象限内围成的三角形OAB面积的最小值．
注意到SOAB=OAOB，所以直线l的方程的形式选择截距式较为合理．
经典答案如图4，设过点M（x0，y0）的直线l分别交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴的正半轴于点B（0，b），则直线l的方程为+=1，所以1=+≥2，即ab≥4x0y0，所以OAB的面积S=ab≥2x0y0．
由==得a=2x0，b=2y0，所以a=2x0，b=2y0时，S取最小值2x0y0．
由于对于任意给定的正实数S0，当直线l和坐标在第二（第四）象限围成的三角形的面积为S0时，满足条件的直线l有且仅有一条，所以：
（1）0
（2）S0=2x0y0时，满足条件的直线l有且仅有三条．
（3）S0>2x0y0时，满足条件的直线l有且仅有四条．
如图5，梯形ABCD中，AB=2CD，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线经过C，D，E三点，且以A，B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线的离心率e的取值范围．
破解思路本题是参变量的取值范围问题，易见当λ的值确定后，双曲线的形状也随之确定，即双曲线的离心率e随λ的变化而变化，又注意到≤λ≤，故可选择λ为自变量，把e表示为关于λ的目标函数，然后求出e的取值范围．
经典答案以AB的中垂线为y轴，直线AB为x轴建立直角坐标系，则CDy轴，双曲线过点C，D，且以A，B为焦点．
由双曲线的对称性知C，D关于y轴称，设A（－c，0），B（c，0），由于AB=2CD，故可设C，h．
因为E分的比为λ，设E（x0，y0），则x0==•，y=.设双曲线的方程为－=1，则由C，h在双曲线上，得－=1，即=e2－1．
又E，也在双曲线上，所以e2－•=1，e2－（e2－4）=1，解得λ=1－．
又≤λ≤，所以≤1－≤，解得7≤e2≤10，所以e∈［，］．
反思（1）本题的解题关键是利用“C，D，E三点在双曲线上”等条件建立λ和e的关系式，h和b仅起到“桥”的作用．
（2）在操作过程中发现把λ用e表示反而显得比较简单，所以改用建立关于e的目标不等式的方法解之，这与把问题化归为求目标函数e2=－－2（其中≤λ≤）的值域有异曲同工之妙．
1．串联情况：解析几何的本质就是用代数方法研究几何图形的性质，是数形结合的典范；而平面向量又是数和形之间“天然的桥梁”，所以运用平面向量解决解析几何问题是很自然的选择．
2．考情分析：纵观近几年各地高考数学试卷，平面向量与解析几何的结合体现在以下两个方面，其一是平面向量在试题的叙述中起到“包装”作用，即其中的一些题设条件是以向量的形式给出的（如：例6）；其二是在解答有关与长度、角度有关的解析几何问题过程中合理地运用平面向量这个工具可以优化解题过程．
3．破解技巧：（1）对于利用平面向量仅起到“包装”作用的试题，其对策通常是设法剥去问题的过度“包装”看清问题的本质所在．
（2）在解决有关与长度、角度有关的解析几何问题不要忘记平面向量这个好帮手．
4．经典例题：
设A，B分别为椭圆+=1的左、右顶点，点P是椭圆右准线上且不在x轴上的任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，证明：点B在以MN为直径的圆内．
破解思路（1）要证明点B在以MN为直径的圆内，只须证明∠MBN为钝角，即证明∠MBP为锐角，也即证明•>0．
（2）由于A，B为定点，且点P在定直线x=4上，所以M，N，P中的任意一点确定，则其他两点随之确定，整个图形也完全确定，因此可以从中选择一个点的坐标为基本变量，然后用这个基本变量表示•．
经典答案（方法一：以点P的坐标为基本变量）由题意可得A（－2，0），B（2，0），右准线的方程为x=4，而P在右准线上，所以可设P（4，λ）．直线PA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程得（x+2）3+?摇（x+2）－12=0，解得xM=－2，yM=．
=－4，，=（2，λ），所以•=－8+=>0，所以∠MBP为锐角，故∠MBN为钝角，所以结论成立．
反思由于点M与点N的地位相同，且都可以看成由点P“生成”，因此选择以点P的坐标为基本变量，显得比较自然．
但纵观上述解法，由点P的坐标表示点M的坐标时，由于不可避免地要求直线与椭圆的交点坐标，因此运算较烦琐且有一定的技巧性．
（方法二：以点M的坐标为基本量）由题意可得A（－2，0），B（2，0），右准线的方程为x=4．
因为点P在椭圆上，所以可设M（2cosθ，sinθ），所以=（2cosθ－2，sinθ）．直线AM的方程为=，令x=4得P4，，所以=2，，所以•=4cosθ－4+=4cosθ－4+9（1－cosθ）=5（1－cosθ）>0，所以∠MBP为锐角，故∠MBN为钝角，所以结论成立．
1．串联情况：众所周知，“从曲线到方程”和“从方程到曲线”是解析几何的两个基本问题，要用代数方法研究曲线的性质，首先要解决的问题是探求曲线的方程，求动点的轨迹方程作为解析几何中的两大基本问题之一，其重要性是不言而喻的．
2．考情分析：对于求曲线的轨迹方程问题的考查，能很好地反映考生逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，因此也是高考数学中有关解析几何问题中命题的热点，也是多数考生公认的难点之一．
3．破解技巧：破解这个问题必须过以下三关：第一关：掌握基本方法关，即掌握求轨迹方程的一些常用方法，并掌握各种方法的适用范围及操作程序．其中常用的方法有：①定义法、②直接法、③转移法、④复数法、⑤参数法、⑥交轨法、⑦斜率法等．
第二关：选择方法操作关，即能根据题目条件，合理地选择解题方法，并进行操作．
第三关：纯粹完备结论关，即注意最后结论的纯粹性和完备性．
4．经典例题：
过点A（0，－2）的直线与抛物线y2=4x相交于P，Q两点，求以OP，OQ为邻边的平行四边形第四个顶点M的轨迹方程．
破解思路由于OPMQ为平行四边形，所以OM的中点和PQ的中点N重合，故可借助于N点求M的轨迹方程，选择斜率法法解之．其操作程序为：设点列式?圯两式相减?圯分解因式?圯出现斜率?圯消去斜率?圯得到方程?圯验证结论．
经典答案设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），则OM的中点为N，．
因为OPMQ是平行四边形，所以N，也是QP的中点，所以x1+x2=x，y1+y2=y.又y=4x1，…（1）?摇y=4x2，…（2）?摇
（2）－（1）得（y+y）（y－y）=4（x2－x1），即（y+y）=4，所以kPQ•y=4．
又A，P，Q，N共线，所以kPQ=kAN=，所以y•=4，即y2+4y=4x．
又N，在抛物线y2=4x的开口内，所以
点M的轨迹方程为：
（y+2）2=4（x+1）（y0）．
反思（1）本题容易忽视轨迹的纯粹性；在用“两式相减”法求动弦中点的轨迹方程时，还需注意动直线与曲线是否一定有交点，上述解法利用“N点必在抛物线的开口内”，巧妙地求出了轨迹的取值范围，简化了运算过程．
（2）用“两式相减”法（斜率法）求动弦的中点轨迹的运算简单且易于操作，但所求问题必需与动弦的斜率相关，否则“英雄”也无用武之地．
1．形成系统知识网络，做好查漏补缺工作．
在数学高考中，出现任何概念性错误都是致命的，对于基本概念和基础知识的掌握不能有半点闪失．在第二轮复习中，对各个知识模块的基本概念及其基础知识最好能再梳理一遍.对于解析几何，由于其研究对象只是一条直线和四条曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线），所以复习时可对照高考要求，对各条曲线逐条进行解决，做到既能定性分析，又能定量分析．
平时考试中犯的错误有很大一部分是“习惯性”的错误，在高考中要尽量杜绝这种事情的发生，所以对解析几何的一些易错点要特别引起注意．
2．熟悉典型问题解法，做到以不变应万变．
在高考中的解析几何试题，特别是圆锥曲线的综合问题，虽然可以说是纷繁复杂、千变万化，但往往是以下十类典型问题中的若干个问题的组合．因此对这些典型问题要做到“上有政策，下有对策”，这样才能以不变应万变，力于不败之地．
附：圆锥曲线中的十类典型问题
（1）求圆锥曲线的标准方程．
（2）说明圆锥曲线的几何性质．
（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题．
（4）与圆锥曲线过焦点的弦相关的问题．
（5）与圆锥曲线弦的中点相关的问题．?摇
（6）与圆锥曲线的弦长相关的问题．
（7）圆锥曲线中的最值与取值范围问题．
（8）圆锥曲线中的定值、定位问题．
（9）圆锥曲线中的对称问题．
（10）与圆锥曲线相关的轨迹问题．
回顾2008～2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.
二、应对策略
复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧.
二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力.
三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识.
预测在2013年的高考题中：
1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及.
2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题.
三、常见题型
1.直线与圆的位置关系问题
直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力.
求解策略：首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深系；其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘；再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法；最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位.
点评：（1）直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理.
（2）要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨.
2.圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）.
求解策略：主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
常用的一些证明方法：
点评：本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为y=±x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间.
3.“是否存在”问题
所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题.这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由.
求解策略：首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程.
例3（2012年高考（湖北文））设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.
（2）过原点斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQPH？若存在，请说明理由.
点评：本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解.对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
4.定点定值问题的方法
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考的热点，是指某些几何量线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.题型以解答题为主，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示要求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关.
常见的类型：（1）直线恒过定点问题；（2）动圆恒过定点问题；（3）探求定值问题；（4）证明定值问题.
点评：（1）椭圆和双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，而定义中的定值是求标准方程的基础，在许多实际问题中正确利用定义可以使问题的解决更加灵活.已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解.
（2）求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量m，k当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x1的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
5.最值与范围问题
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.
求参数范围的方法：据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围.
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
求解最值问题应注意：
（1）如果建立的函数是关于斜率k的函数，要增加考虑斜率不存在的情况；
（2）如果建立的函数是关于点的坐标x，y的函数，可以考虑用代入消元、基本不等式、三角换元或几何解法来解决问题.
例5（2012年高考（广东理））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
点评：从近两年高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦的问题是高考的热点问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高.客观题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题，解答题考查较为全面，在考查上述问题的同时，注重考查函数与方程、转化与化归，分类讨论等思想，所以在备战2013年高考中对于此类问题应引起足够的重视.
6.轨迹问题
求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：将几何关系直接转化成代数方程.
（2）定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程.
（3）代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系.
（4）交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹.
求动点的轨迹方程的一般步骤
（1）建系――建立适当的坐标系；
（2）设点――设轨迹上的任一点P（x，y）；
（3）列式――列出动点P所满足的关系式；
（4）代换――依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；
（5）证明――证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
在高中数学课堂教学中，教师要结合学生的实际情况，精心设计学案，引导学生自主探究数学知识，使学生目的明确、有条不紊地进行数学技能训练，让学生成为数学学习的主体，发挥学生的主观能动性，从而提高教学效果.下面谈谈基于学案导学的高中数学课堂教学备课策略.
第一，备学生.根据学生的实际情况，设计数学学案内容.学生作为课堂教学中最活跃的决定性因素，任何学习活动都要立足于学生的实际情况进行设计组织.在组织学生运用学案导学时，教师对学案的准备，需要从学生的知识基础、能力水平和生活经验出发，帮助学生建立新旧知识的联系，引发学生思想情感上的共鸣，调动学生在学案的指导下学习数学的积极性.例如，在讲“三角函数”时，教师可以组织学生运用学案导学的方法进行学习.在课前准备时，教师考虑到学生对于这部分内容比较陌生，直接让学生理解三角函数的概念困难比较大.教师对学生的学习情况进行全面了解发现，大部分学生倾向于通过动手操作画图，利用学过的三角形的边、角关系等相关知识，进行独立的推导，完成知识探究.教师还发现，学生有关三角形的知识掌握的比较扎实，有能力进行推导三角函数的公式.于是，在设计这一节的学案时，教师就层层深入地引导学生，先复习了直角三角形的边、角等相关的对边、斜边、邻边等概念知识，然后让学生分别计算出两组边的比率，自己推导出三角函数的公式，调动了学生运用学案的积极性，取得了比较理想的导学效果.由此可见，全面了解学生的情况，充分考虑学生的数学学习需求，从学生的实际出发准备学案，能够提高学案的应用效果，使学案最大程度地发挥自身价值，引导学生高效完成数学学习任务.
第二，备教法.预设课堂教学情况，指导学生学习方法.“教有法而无定法.”只有适合学生的教学方法，才能指导学生的学习活动，提高课堂教学效果.在课前准备教案时，教师要根据高中数学的具体学习内容和学生的数学水平，设计与学案相匹配的教学方法，帮助学生在学案的引导下高效开展高中数学学习.例如，在讲“双曲线及其标准方程”时，教师考虑到学生对于“双曲线”“双曲线标准方程”等数学基础知识的理解存在一定困难，容易受到椭圆知识的负面影响，产生混淆错误，学案设计采取了对比法和发现法相结合的方式，借助多媒体辅助教学，让学生在原有椭圆知识和学习经验的基础上，通过比较、类比、归纳、自主学习、合作学习等方式学习这部分内容.首先，通过多媒体展示生活中的双曲线，刺激学生的感官，在学生的学案上体现为Flas，让学生通过观看，感知双曲线的图象，即平面从竖直方向由上往下截圆锥体，得到两条双曲线.然后引导学生回忆椭圆的知识，什么是椭圆？如何作出椭圆？椭圆的标准方程是什么？如何推导来的？学生再按照同样的方法学习双曲线的知识.由此可见，备教法也是学案导学必不可少的内容.教师作为学案导学的组织者，运用科学合理的教学方法，能够调动学生参与学习，指导学生的学习行为，从而提高教学效果.
第三，备教材.吃透数学教材内容，挖掘数学学习资源.在课前准备时，教师要深度挖掘教学内容，拓宽数学教材涉及的知识，对数学知识做到驾轻就熟，发现更多有价值的教学资源，为学生的学案导学提供有力的支持.例如，在讲“圆锥曲线的定义及应用”时，为了设计适合的学案，教师对于教材内容进行了深入的解读，发现这部分知识非常抽象，是经过大量的实践之后抽象概括出来的，学生在学习理解@部分内容必然遇到困难，而且这部分内容涉及的基础知识和基本概念很多，包含了焦点坐标、顶点坐标、离心率、准线方程等，需要学生在平面几何知识的基础上进行学习.在备教材时，教师找到了圆锥曲线与双曲线的结合点，以双曲线例子导入新知，建立新旧知识的联系，于是就开门见山，给出了一道求双曲线最值的题目，由典型习题直接导入新课内容，学生在学案引导下独立思考解答题目，为新知学习作好准备.由此可见，数学教材是高中数学教学的蓝本.教师对于教材内容要做到了然于心，游刃有余地应对课堂教学，创造性地利用教学资源，从而提高教学效果.
总之，要想运用学案引导学生高效地进行数学学习，实现高中数学教学目标，教师就要在课前做好全面的准备工作，既要备学生，又要备教法，还要备教材.在准备学案导学时，教师要转变自身角色，从学生的角度出发，满足学生的数学学习需求，为学生的数学学习提供有力的支持和帮助.
（本文是甘肃省“十三五”教育科学规划课题《基于学案导学的高中数学教学研究》的阶段性研究成果.课题号：GS[2016]GHB0013）
纵观近几年重庆理科高考题，圆锥曲线在高考试卷中所占的比例一直稳定在11.3％左右，即占17分左右，一小一大：小题侧重于定义、几何性质；大题分为两小题，第一小题主要考察标准方程的求解，第二小问综合性较强，有一定难度，常与函数、方程、向量、数列、极限和导数等结合的命题，对学生数形结合与数学语言转化的能力、函数与方程思想有较高要求。
而在重庆高考中，椭圆是圆锥曲线考察的重点：2011年，椭圆1道大题；2012年，圆1道小题，椭圆1道大题；2013年，圆1道小题，椭圆1道大题；2014年，双曲线1道小题，椭圆1道大题。小题多为选择题，大题多在解答题的第20、21题。
二、备考建议
1.重视基础知识
基础知识是根本，只有牢固掌握根本，深刻理解到各概念实质，才能运用自如。并且随着高考逐步的大众化，试题需要一定量的基础试题作支撑，因此在高考备考中，一定要重视最基础知识的强化练习，力争在高考中不丢最基础的分数。
2.掌握热点题型
纵观近几年重庆理科高考试题，发现高考中对平面解析几何的考查主要是在直线与圆锥曲线位置关系上，考查形式主要是参数范围、轨迹方程计算、最值问题、圆锥曲线几何性质证明等等。这类试题往往以解答题的形式出现。综合性较强，思路较复杂，计算量较大。因此在总复习过程中，一定要熟练掌握各类型题的基本方法原理，做到能够灵活准确地选择解题方法、完成计算。
3.重视应用向量
继续对重庆理科高考试题研究，发现重视平面向量在平面解析几何中的应用。利用好向量的“工具”性，即用向量语言去叙述解析几何背景，只要精确运用好向量的坐标运算，便能够顺利解决这类问题。
总复习过程中，需要重视向量的基础。并且需要制定一定的合作与评价等规则，来培养学生的合作技能，教师在合作学习中发挥提醒指导作用，增强学生合作学习欲望，才得以实现思维的进步。
三、教材处理
1.坚持源于课本而高于课本。以考纲为原则，顺清概念，掌握知识间连接，尤其是圆锥曲线概念、性质等的类比学习。
2.充分利用好椭圆的两个定义及其应用，尤其第二定义，其揭示了椭圆上任意一点到焦点距离和这一点横坐标（或纵坐标）的关系，若运用恰当，可有事半功倍的效果。并且对于涉及到焦半径或焦点弦的问题，首先应考虑运用这两个定义。
3.求椭圆方程，运用待定系数法。设法建立关于a、b的方程组，先定型后定量。若位置不确定，考虑是否有两解，若确定不了焦点所在坐标轴，可将椭圆方程设为 ，根据条件列方程组，就可求解出m、n。
4.在研究椭圆方程性质时，需要掌握椭圆几何性质。
如：①a＋c与a―c分别为椭圆上的点到焦点距离最大值与最小值；
②椭圆通径（过焦点垂直于长轴的弦）的长 ，为过椭圆焦点的直线被椭圆所截的最小弦长；
③特征三角形能很好地反映出a、b、c间的关系： ；
④找顶点到准线、焦点到准线的距离时，明确哪一焦点哪一准线，并结合图形与准线方程得出：
、 。
5.在找直线与椭圆关系时，联立方程组进行消元整理。并化为关于x（或y）的一元二次方程，研究是否判别式 。当已知直线和圆锥曲线只有一个交点时，未必 ，因为此时直线和圆锥曲线不一定相切，如双曲线与平行于其一条渐近线的直线、抛物线与其对称轴所在直线，都只有一个公共点，相交但不相切，此时 。
四、衔接高考
考点一 考察几类圆锥曲线的几何性质
（2010年 重庆理）10、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）。
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D.双曲线
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
考点二 考察标准方程 以及直线与椭圆的关系
（2013年 重庆理）21、如图，椭圆中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率为 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， ．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ，过 、 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外．若 ，求圆 标准方程．
解：（1）由题意知点 在椭圆上，
则 从而
由 ，从而故该椭圆的标准方程为
（2）由椭圆的对称性，设 。又设M（x，y）是椭圆上任一点，则
设 ，由题意知，P是椭圆上到Q距离最小的点，
因此，上式当 时取最小值，
又因 ，所以上式当 时取得最小值，
从而 .
因为 所以 即
由椭圆方程及 解得
从而
故这样的圆有两个，标准方程分别为
参考文献：
[1]王彩云 三类圆锥曲线“焦半径公式”的一套记忆口诀[期刊论文]-中学教学参考
回顾2008～2012年的江苏高考题，圆锥曲线是重要内容之一，所占分值在25分左右，在高考中一般有2～3条填空题，一条解答题。填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其他知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题。
二、应对策略
一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧。
二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力。
三是在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识。
预测未来高考题的走势。
1.填空题依然是以考查直线和圆的方程问题及圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及。
2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题。
三、常见题型
1.“是否存在”问题
所谓存在性问题，就是判断满足某个（某些）条件的点、直线、曲线（或参数）等几何元素是否存在的问题。这类问题通常以开放性的设问方式给出，若存在符合条件的几何元素或参数值，就求出这些几何元素或参数值，若不存在，则要求说明理由。
求解策略：首先假设满足条件的几何元素或参数值存在，然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算，若不出现矛盾，并且得到了相应的几何元素或参数值，就说明满足条件的几何元素或参数值存在；若在推理与计算中出现了矛盾，则说明满足条件的几何元素或参数值不存在，同时推理与计算的过程就是说明理由的过程。
【例1】（2012年高考（湖北文））设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足
|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1），当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
一、实施有效预设，促进精彩生成
1.构想全程预案，夯实原始基础
教学是一个有目标、有计划的活动，课前教师对自已的教学任务有一个清晰、理性的思考与安排，这就是“预设”。 预设是教学的基本规划，是为了课堂上有更好的资源生成。“预设”经常被人认为给学生挖一个陷阱，等着学生往里跳，框住了学生的思维，其实这是对预设的一种误解。没有预设时的全面考虑与周密设计，哪有课堂上的有效互动与动态生成；没有上课前的胸有成竹，哪有课堂上的游刃有余。所以如何正确地认识预设将直接影响着“生成”。在新课程理念下对预设的要求不是降低而是提高了。它要求预设从关注教本，从教师出发转向从学生出发演绎动态学案，能真正关注全体学生的全面发展，为每个学生提供主动积极活动的机会，让不同层面的学生得到不同的发展，在立体式互动中促使师生同成长共发展。在一个完整的教学过程中，如果只有预设而没有生成，学生的主体性没有被重视，是一种灌输学习；如果有了预设，并在预设中有所生成，就说明师生间有了较好的互动，学生的主体性被重视。
案例一 ：
在讲授人教A版2-3 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）中：
例3：一只红铃虫的产卵数 和温度 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，
温度
21 23 25 27 29 32 35
产卵数 个
7 11 21 24 66 115 325
（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28℃时产卵数目。
（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
预设1：用一次函数模型 拟合两变量间的关系，效果不理想。
预设2：用二次函数模型 来拟合，拟合效果一般。
预设3：用指数函数模型y= （其中 是待定的参数）来拟合，效果最好。
对于预设1，2，3可以结合相关指数与散点图比较拟合的效果。
教师要有多条思路：每种情况如何处理，如何才能有效地调动学生的积极性，尽可能地把可能产生的情况考虑到。没有高质量的预设，就不会有精彩的生成。
2.设计弹性方案，拓展自主空间
设计弹性方案，为师生在教学过程中发挥创造性提供条件，给学生留有充分想象的余地和自主建构的空间。
案例二：
学生用二次函数模型拟合后，发现拟合效果一般，选择效果更好的一个函数模型， 预设学生可能会想到，用幂函数模型 来拟合，可以引导学生加以分析。借此总结对于散点分布在一个曲线状带形区域，可以选择一些我们熟悉的函数如：幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数等.
弹性设计给师生活动留有更大空间，教师的教学因此而拥有很大弹性，可根据教学中生成的资源及时调整自己的教学行为。
总之，预设是生成的基础，生成是预设的升华。处理好两者的对立与统一的关系，因势利导，达成预设，促其生成。在“精心预设”中体现教师的匠心，在“动态生成”中展现师生智慧互动的火花，努力达成“精心预设”与“动态生成”的平衡，让“动态生成”在精心预设的基础上绽放教学的精彩。教师应多一份精心预设，课堂就会多一份动态生成，学生会多一份发展，从而建立师生共鸣、智慧碰撞、充满生命活力的有效教学新课堂。
二、捕捉智慧瞬间，演绎精彩生成
预设好的教学预案，是为了在课堂中得到完美展现，但“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了。”（布卢姆），这必然要求教学活动突破预期目标和既定教案的限制，而走向生成、开放的创造天地。对于课堂教学中的生成资源，特别是“意外生成”资源，我们应该有效利用，教师要学会观察，学会倾听，随时捕捉新信息，选择有效的信息及时转化为教学资源，调整预设的教学环节进行生成性教学。
案例三：对于双曲线定义教学中的一道题
例题、已知两定点F1（-5，0，）F2（5，0），动点P满足 ，求动点P的轨迹方程.
生1：
由双曲线定义可知P点轨迹是双曲线
F1（-5，0，）F2（5，0）
设双曲线方程为
P点轨迹方程为 （这时有其他同学在私语，又有一生说了一句“错了”）
生1：似乎领悟这样得出还有些不妥，但有不知如何解答，脸涨的通红……
师：谁说他错了，他利用双曲线的定义求得P点轨迹方程。谁能明白刚才说“错了”的那位同学的错指得是什么吗？
学生只是一个“错”字，却给课堂教学带来新的可能，让学生进一步理解双曲线定义中的两个要求：1）动点到两定点距离的差的绝对值等于常数；2）常数小于两定点间的距离。
有时教学中的一些“旁逸斜出”的不顺，反而会给课堂注入新的生命力，茅塞顿开、豁然开朗一定是学生的共同兴奋点，课堂更是呈现出峰回路转、柳暗花明的神采！
三、建立激励机制，促进精彩生成
心理学家告诉我们一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起无穷的追求意念和力量。师生积极的情感和态度，是促进课堂生成的重要因素；赏识性评价是维系师生、生生有效对话的“纽带”，是促进使课堂生成的“助推器”。 师生、生生之间评价时相互赏识、相互激励，能营造一种温馨的氛围，给学生以自信与信任、轻松与自由、个性张扬与思维放飞的“土壤”。在这种情境下，学生产生和释放的“能量”将是超常和无法预测的，精彩的课堂生成资源才可能随时生成。
关键词：课堂引入；提出问题；问题导入新课
数学的一切概念、公式、定理、方法都是因为解决问题的需要而产生的。对于一个新问题，往往原先的概念与方法不够用了，就不得不去创新，构建新的概念、创造新的方法。因此每节课都要首先提出问题，并且去解决它。导人新课时如何富有创新，灵活多样，恰到好处地提出问题，是促进学生自主学习，把学习活动转变成创新工作的关键。本文通过对几个较为成功的教学案例的分析，对课堂教学中由问题导入新课作出了一点梳理与总结：
一、开门见山。直入主题
案例1：课题线性规划第一课时
(一)提出问题
设z＝2x＋y，x、y满足不等式组(x－4y≤3，3x＋5y≤25，x≥1)
如何求x的最大值与最小值。
(二)问题处理
1.求不等式组表示的平面区域可以学生活动为主。
2.教师带领学生对目标函数进行细致分析(主要是和一元函数的区别与联系)。
3.由学生进行问题－观察－探究－总结－应用，教师给予适当的启示与补充。
(三)方法分析
问题的提出开门见山，本节课的教学目标即为解决这一线性规划问题，对目标函数求最值贯穿本节课，简洁、明确、大气、大巧若拙。
二、实践探究。发现问题
案例2：课题椭圆的定义及标准方程第一课时
(一)动手操作：先用图钉将细线两端固定在白纸上(要求学生事先准备两枚图钉、一条细线、一张白纸、一支铅笔，让细线松弛)，用铅笔将细线拉紧，使笔尖在纸上转动一周，画出一个椭圆。
(二)提出问题
椭圆上的点有什么特征?细线的长度与两图钉间距离有何关系?试着给出椭圆的定义并求出其标准方程。
(三)问题处理
1.由学生从实践中发现椭圆的定义并对定义进行规范表述。
2.带领学生推导椭圆的标准方程。
(四)方法分析
《普通高中数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的接受、记忆、模仿和练习；自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。”因此，对一些数学概念的教学可预设一些实践、实验等探究活动，引导学生通过自己的亲自实验去探究数学概念的形成，让学生在动手操作、观察分析研究中悟出概念，掌握概念。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。学生积极参与课堂，在自己动手解决问题的过程中练就了数学本领。
三、回顾梳理，引出问题
案例3：课题抛物线定义
(一)提出问题
平面内，与定点F和定直线L的距离的比是常数e的点的轨迹是什么曲线?
学生已经知道了椭圆和双曲线的统一定义，很容易回答出：当0＜e＜1时其轨迹是椭圆；e＞1时其轨迹是双曲线。
教师再问：除了以上两种曲线外，还有其他可能吗?
学生会意识到还有e＝1的情况，教师追问e＝1时其轨迹存在吗?如存在，是什么?其方程又是什么?于是引出要研究的问题。
(二)问题处理
1.由同学们自行回顾椭圆、双曲线的定义。
2.解决问题的重点在如何由定义推导抛物线的标准方程。
(三)方法分析
由于这一问题具有一定的挑战性，与学生的“最近发展区”相适应，容易激发学生解决问题的兴趣。此处的处理兼顾了复习引入、问题引人两种新课引入方式，在教学过程中可以联系椭圆、双曲线，举重若轻，设计巧妙。
四、例题、习题，借为问题
案例4：课题同角三角函数基本关系式
(一)提出问题
已知：sinα＝4/5，求cosα，tanα的值。
(二)问题处理
1.这实际上是教材的例1，可以让学生自由发挥求解本题。以下是可能出现的解法：
①先由已知求出α的值，再求其他的三角函值。
②先由已知求α的终边，再求其他的三角函数值。
③注意到α的各个三角函数值是关于x，y的齐次式，从而直接由定义出发。
2.教师对以上解法进行比较，总结，补充。
3.在教师指导下学生找到同角三角函数基本关系式并给出证明。
(三)方法分析
通过学生自己的亲身实践，在求解的过程中，不但可以观察到各三角形函数之间是可以相互表示的，而且还会产生如何进行相互表示的具体体验。至于推导的方法，笔者认为首先利用定义得出关系式，再利用教材上单位圆的三角函数线(图形)加以直观验证，验证的同时也为后继内容的学习做好了铺垫，正可谓“一举两得”。
这种问题引入设计，着眼于知识发生发展过程，不但能够使学生感到教学过程的自然亲切，教学内容不是突兀地“从天而降”，使学生对教学过程做到“心中有数”，而且还使学生从中体验到数学研究的思想方法，学习应该从什么角度来研究问题、如何将所考查对象的内容进行逐步扩展的方法。其中包含了实验、猜想、联想、类比、合情推理等，这些正是通过数学教学培养学生的独立思考能力、创造精神和探索新知识的能力以及数学观念的最好体现。
五、生活情境，激趣揭题
案例5：课题古典概型
(一)提出问题
请大家猜想大概多少人中很有可能2人同一天过生日?
(二)问题处理
师：400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年吗?)300个同学呢?
生：(独立思考后踊跃发表自己的看法)
(通过设置问题情境引入教学，具有趣味性，又激发学生的思考。引导猜想，训练学生的非形式化思维和直觉能力，逐步深入数学正题，前一个问题利用抽屉原理容易发现结论是肯定的，而后一个问题就不能保证了。)
师：50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同，这话正确吗?请与同伴交流。
生：(交流讨论，但结论不敢肯定)
师：如果你们班50个同学中有2个同学的生日相同，那么能说明50个同学中有2个同学生日相同的概率是1吗?如果你们班没有2个同学的生日相同，那么能说明其相应概率是0吗?
生：50个同学有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学有2个同学生日相同的概率是l；而50个同学中没有2个同学生日相同，也不能说明其概率为0。
(三)方法分析
学生回顾实验概率的意义。对不确定性事件的随机性加以进一步巩固，并激起探究本课题的事件发生的可能性大小的强烈愿望。接下来为了解决本问题进行课堂教学设计就可以“抓住”学生一起往下走了。
一、高中数学教学的现状及成因
很多人都认为学数学的目的就是做题、考试或者做研究,仅仅是为了将来要考大学做准备的,他们只看到了数学的理论性而没有看到数学的实际应用性.他们忽略了数学来自于生活,而最终也要应用于生活之中.不仅如此,除了在实际生活用到的数学以外,学习数学还可以提高学生的智力,增强学生的逻辑思维能力,让学生的思维充满跳跃性.只有思维在不断跳跃创新的学生,才不会永远地安于现状,他们会不断地努力,不断地前行,为自己和社会创造美好的未来,因此数学教育对于高中学生的影响是积极的.
1.教师没有扮演好自己的角色在传统高中数学教学中,教师很少研究教学方法,教学形式单一,一味地向学生灌输理论知识,这就导致了学生对数学的学习热情不高,没有任何学习兴趣.曾经听过一位教师上课,讲的内容是二面角.一般来讲,“二面角”是立体几何的教学难点之一,教师应该详细讲解,加深学生对这一内容的理解,但是这位教师却避难就轻,仅仅是按自己的讲解方式向学生讲了一道例题,然后让学生自己去理解,自己去做,这样做太不负责任了.
2.学生积极性不够,导致课堂效率低课堂教学高耗低效的现象较重,以传统的教法为主,调动学生学习的积极性不够,缺少让学生必要的思考、探究、感悟的过程.学生主体参与不够,影响了学生知识的构建和能力的提高.素质教育提出以学生为主体、教师为主导、教材为主线,将学生、教师和教材之间的关系明确地指出是很有必要的.部分学生对数学没兴趣,感觉数学是一堆枯燥的数字和烦琐的公式,与生活联系不大.例如,在讲“抛物线及其标准方程”时,有的教师为了引出抛物线的定义,设置了这样的问题情境:初中我们已学过的一元二次函数的图象就是抛物线,而现在定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致,但它们之间一定存在着某种内在的联系,你能找出它们之间的内在联系吗?教师在以一种最好的方式给学生上课,但是学生却不好好听,有睡觉的,有不在状态的,不但影响教师讲课的心情,重要的是最后自己没有掌握好知识.
二、改变教学现状的措施
1.学生的认知结构具有个性化特点,教学内容具有普遍性要求.如何在一节课中把两者较好地结合起来,是提高课堂教学效率的关键.通过现状调查,发现在目前的数学教学中缺乏有目的地、有意识地,具有针对性地培养学生对问题的质疑与解决问题、认识问题后的反思.学生的质疑反思能力是可以培养的,教师要有目地设计、训练.要培养质疑反思能力必须做到:
(1)明确教学目标.要使学生由“学会”转化为“学会—会学—创新”.
(2)在教学过程中要形成学生主动参与、积极探索、自觉建构的教学过程.
(3)要改善教学环境.
(4)优化教学方法.
2.例如,在讲“双曲线”时,可给出方程x2a2-y216=1,设问:①此方程表示双曲线吗?②你能添加一个条件求出双曲线方程吗?这种开放性问题的设置,给学生创造了较广泛的思维空间,让他们有东西可想,有内容可说.教师可以根据学生的回答,与学生共同总结,加深对知识的概括.这样,整节课都是学生思考、讨论、动笔的过程,既体现了学生的主体,又体现了教师的主导地位,调动了学生的学习积极性,达到了教学目标.苏霍姆林斯基说:“人的心灵深处,总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者固有需要……”在传统教学中,学生很少主动参与,多被动接受,少自我意识,多依附性.学生被束缚在教师、教材、课堂的圈子中,不敢越雷池半步,其创造性受到压抑和扼制.因此,在教学中,教师应认识到:学生才是教学的主人,教是为学生的学服务的.教师应鼓励学生自主质疑,去发现问题,大胆发问.在教学中教师要创设质疑情境,让学生由机械接受向主动探索发展,让他们喜欢数学,热爱数学.
1创设问题情境的主要方式
1．1创设应用性问题情境，引导学生自己发现数学命题（公理、定理、性质、公式）
案例1在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下两个实际应用问题，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论．
①某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次找p折销售；丙方案是两次都打（p＋q）／2折销售．请问：哪一种方案降价较多？
②今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左、右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？
学生通过审题、分析、讨论，对于问题①，大都能归结为比较pq与（（p＋q）／2）2大小的问题，进而用特殊值法猜测出pq≤（（p＋q）／2）2，即可得p2＋q2≥2pq．对于问题②，可安排一名学生上台讲述：设物体真实重量为G，天平两臂长分别为l1、l2，两次称量结果分别为a、b，由力矩平衡原理，得l1G＝l2a，l2G＝l1b，两式相乘，得G2＝ab，由问题①的结论知ab≤（（a＋b）／2）2，即得（a＋b）／2≥，从而回答了实际问题．此时，给出均值不等式的两个定理，已是水到渠成，其证明过程完全可以由学生自己完成．
以上两个应用问题，一个是经济生活中的问题，一个是物理中的问题，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学．
1．2创设趣味性问题情境，引发学生自主学习的兴趣
案例2在“等比数列”一节的教学时，可创设如下有趣的问题情境引入等比数列的概念：
阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当它追到1里处时，乌龟前进了1／10里，当他追到1／10里，乌龟前进了1／100里；当他追到1／100里时，乌龟又前进了1／1000里……
①分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上乌龟？
让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态．
1．3创设开放性问题情境，引导学生积极思考
案例3直线y＝2x＋m与抛物线y＝x2相交于A、B两点，________，求直线AB的方程．（需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出示，学生的思维便很活跃，补充的条件形形．例如：
①｜AB｜＝；
②若O为原点，∠AOB＝90°；
③AB中点的纵坐标为6；
④AB过抛物线的焦点F．
涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了“状态”．
1．4创设直观性图形情境，引导学生深刻理解数学概念
案例4“充要条件”是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点．若设计如下四个电路图，视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、充分必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，则使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得入木三分．
1．5创设新异悬念情境，引导学生自主探究
案例5在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，设置这样的问题情境：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗？
此问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引起学生探索其中奥秘的欲望．此时，教师注意点拨：我们应该由y＝x2入手推导出曲线上的动点到某定点和某定直线的距离相等，即可导出形如动点P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离等于动点P（x，y）到定直线l的距离．大家试试看!学生纷纷动笔变形、拚凑，教师巡视后可安排一学生板演并进行讲述：
x2＝y
x2＋y2＝y＋y2
x2＋y2－（1／2）y＝y2＋（1／2）y
x2＋（y－1／4）2＝（y＋1／4）2
＝｜y＋14｜．
它表示平面上动点P（x，y）到定点F（0，1／4）的距离正好等于它到直线y＝－1／4的距离，完全符合现在的定义．
这个教学环节对训练学生的自主探究能力，无疑是非常珍贵的．
1．6创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论
案例6双曲线x2／25－y2／144＝1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（）．
A．P到左焦点的距离为8
B．P到左焦点的距离为15
C．P到左焦点的距离不确定
D．这样的点P不存在
教学时，根据学生平时练习的反馈信息，有意识地出示如下两种错误解法：
错解1．设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由双曲线的定义得
｜PF1｜－｜PF2｜＝±10．
｜PF2｜＝5，
｜PF1｜＝｜PF2｜＋10＝15，故正确的结论为B．
错解2．设P（x0，y0）为双曲线右支上一点，则
｜PF2｜＝ex0－a，由a＝5，｜PF2｜＝5，得ex0＝10，
｜PF1｜＝ex0＋a＝15，故正确结论为B．
然后引导学生进行讨论辨析：若｜PF2｜＝5，｜PF1｜＝15，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝20，而｜F1F2｜＝2c＝26，即有｜PF1｜＋｜PF2｜＜｜F1F2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点P是不存在的．因此，正确的结论应为D．
进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的限制条件，所以除了考虑条件｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，还要注意条件a＜c和｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜．
通过上述问题的辨析，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权．
1．7创设已有知识的问题序列，引导学生自己获取新知识的生长点
至此，学生对“曲线”与“方程”的关系已有了一些初步的认识，在此基础上指导学生阅读课本，学生就能够理解曲线和方程的“纯粹性”及“完备性”的含义，也就理解了什么是“曲线的方程”和“方程的曲线”．
1．8编拟读书提纲，引导学生阅读自学
案例8在《立体几何》（必修本）“平面的基本性质”一节，可拟以下阅读提纲，让学生阅读自学：
①三个定理的主要作用分别是什么？
②定理中的“有且只有”说明了事物的什么性？
③定理3的推论1证明分几步？
④定理3的推论2及推论3你会证明吗？
⑤平面几何中的公理、定理等，在空间图形中是否仍然成立？你能试举一例吗？
通过学生对课文的阅读，既加深了学生对课文的理解，又提高了学生的学习能力．
2创设问题情境的原则
创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度，具体地说，有以下几个原则：
①要有难度，但须在学生的“最近发现区”内，使学生可以“跳一跳，摘桃子”．
②要考虑到大多数学生的认知水平，应面向全体学生，切忌专为少数人设置．
③要简洁明确，有针对性、目的性，表达简明扼要和清晰，不要含糊不清，使学生盲目应付，思维混乱．
④要注意时机，情境的设置时间要恰当，寻求学生思维的最佳突破口．
⑤要少而精，做到教者提问少而精，学生质疑多且深．
3几点体会与认识
3．1要充分重视“问题情境”在课堂教学中的作用
问题情境的设置不仅在教学的引入阶段要格外注意，而且应当随着教学过程的展开要成为一个连续的过程，并形成几个．通过精心设计问题情境，不断激发学习动机，使学生经常处于“愤悱”的状态中，给学生提供学习的目标和思维的空间，学生自主学习才能真正成为可能．
3．2在引导学生自主学习中加强学法指导
为了在课堂教学中推进素质教育，从发展性的要求来看，不仅要让学生“学会”数学，而更重要的是“会学”数学，学会学习，具备在未来的工作中，科学地提出问题、探索问题、创造性地解决问题的能力．要结合教学实际，因势利导，适时地进行学法指导，使学生在自主学习中，逐渐领会和掌握科学的学习方法．当然，学生自主学习也离不开教师的主导作用，这种作用主要在问题情境设置和学法指导两个方面．学法指导有利于提高学生自主学习的效益，使他们在学习中把摸索体会到的观念、方法尽快地上升到理论的高度．
3．3注重情感因素是启动学生自主学习的关键