时间：2023-05-30 10:07:28
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇图形的变换，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
课件《图形的变换》具有导航清晰、目标明确、主体突出、讲解细致、反馈及时、内容丰富的特点。
制作背景
课件《图形的变换》是根据人教版《小学数学》五年级下册第一单元的内容设计制作的。在日常教学中，对于有作图要求的知识点，作业批改对教师来说是一项较为繁重的工作，一方面课本上相关的练习较少，且学生的绘图能力有限，像画对称轴、画对称图形等都需要在方格纸上完成，这就为教师给学生准备练习题带来了困难——每次做练习都要为学生准备方格纸。而对于学生来说，课本上相关知识的讲解不精细、练习内容单一、枯燥、乏味，不愿意多练习。为此，我设计制作了这个课件，既减轻了教师批改作业的工作量，又可以让学生在电脑上自学新知和巩固练习，还可以接触到课本以外的相关知识，拓宽视野，激发学生学数学、用数学的意识和情感。
教学策略
通过对知识点的讲解、知识点与生活的联系、对知识点的强化练习等措施，让学生观察对比图形、现象，对知识点进行猜测、验证等，让学生亲历知识的形成过程，并感觉数学的思想方法。以多种形式的练习激发学生的学习兴趣，调动他们的积极性、主动性，突显学生的主体地位。尤其在设计这一环节，为学生提供动手动脑的机会，让学生发挥自己的想象，利用所学知识进行设计创作，既使学生体会到学为所用，又培养了学生的审美情趣。
设计思路及内容结构
1.设计思路
（1）导航清晰
本课件设置了多个导航路径，既可通过“上页”、“下页”两个按钮进行翻页，也可通过一级和二级菜单随时进入课件的各个环节（如图1）。
为便于使用者了解课件的结构、内容、工具使用、各环节的操作方法等，本课件还设计了工具使用说明和操作指南。
（2）目标明确
本课件中的每一课时都有明确的学习目标，便于教师和学生把握学习内容要求、学习的方法等。
（3）主体突出
本课件注重学生的主体地位，为了更好地激发学生的学习兴趣，课件在呈现内容、色彩搭配等方面考虑到了小学生的审美需求和生活化、情境化的特点，尽量选择艳丽的色彩、以学生作品作为学习内容。
在激发学生学习兴趣的同时，课件还注重引导学生亲历知识的形成过程，让学生对不同情况进行观察、对比，然后得出结论。例如，在学习轴对称图形的特点时（如下页图2），我引导学生观察一组利用轴对称绘制的图形，并让他们进行对比，进而发现图形的相同之处，从而初步建立轴对称的概念（如图3）。在这一基础上再给出轴对称的概念，符合“先学后教”的教学理念，使学生在学习中的主体地位得到了充分的体现。
为了让学生亲历探究旋转的结果与哪些因素有关的过程，本课件设计了一个实验环节（如图4）。引导学生通过假设“旋转方向”、“旋转角度”、“旋转中心”这三个因素的异同，点击“播放”按钮，得到相关的图形。通过这个环节的学习，学生不仅得出了“旋转的结果与旋转方向、旋转角度和旋转中心都有关系”的结论，而且体会到探究数学规律的一般方法和过程，即提出假设、操作探究、得出结论。
为了培养学生的发散思维及创新能力，课件还设计了一个学生自己利用课件提供的图形根据旋转、轴对称、平移等图形变换的方法设计图画的环节——设计，这不仅培养了学生应用所学知识解决问题的能力，也培养了学生的审美情趣（如图5）。
（4）讲解细致
本课件在对知识点进行讲解的过程中，对于每种类型的例题都给出了详细的步骤，只要点击右下方的“步骤”及“继续”按钮，即可逐步出示作图步骤。这既方便了教师课堂教学时进行演示，也方便了学生课下自学，并自觉养成规范作图的良好习惯（如图6）。
（5）反馈及时
本课件设计了内容丰富、形式多样的练习，并能及时对学生的答案做出反馈，这不仅增加了学生练习的积极性，也减轻了教师批改作业的工作量。课件的练习题分为涂色题、填空题、连线题、绘图题、拖拽题、设计题等题型。涂色题可以通过给正确的答案涂色来完成练习。连线题可以通过把相关的信息连线，加深学生对所学知识的理解。绘图题可以通过尺子或格子来把握旋转的角度和线段的长度，完成后把相应图标拖到相应的点上，再点击“确定”按钮，课件即可判断答题是否正确。拖拽题是把拖动的对象拖到相应的位置，也可旋转对象到相应的位置，再点击“确定”按钮，课件即可判断答题是否正确。在设计题中，学生可以把屏幕下方的几种图形拖到操作区，把这些图形进行平移和旋转，还可以改变大小，来组成一幅图画。
（6）内容丰富
本课件注重数学与生活的联系，不仅对本单元的知识点进行了详细讲解，给出了多种形式的练习题，而且通过介绍本节内容在生活中的应用及与轴对称和旋转有关的科学知识，使学生感受到数学之美，并产生了对科学知识的向往之情。
2.内容结构
（1）轴对称
通过轴对称图形展示激发学生兴趣，引导学生回忆有关轴对称的知识，为深入探究轴对称的特征和性质做好铺垫。通过数一数对应点到对称轴的距离，概括轴对称的性质，从而使学生对轴对称的认识从经验上升到理论。借助学生已经掌握的关于轴对称的知识，使学生在能够画出三角形的对称图形的基础上，进一步能画出长方形的对称轴。通过五道关于轴对称的练习题，进一步强化学生对轴对称的认识和理解；同时让学生在自主学习中，进行空间想象，体会轴对称变换的特点。
（2）旋转
由学生生活中熟悉的事物引入，使学生感知旋转现象，建立旋转的表象。体验旋转现象，初步认识旋转。通过展示同一线段绕不同的中心点、不同的方向、不同的角度进行旋转，引出与旋转相关的几个因素，进一步观察、探索图形旋转的特征和性质。通过五道关于旋转的练习题，进一步强化学生对旋转的认识和理解。
（3）欣赏与设计
通过展示与生活相关的轴对称和旋转现象，让学生体会轴对称与旋转存在于生活之中，欣赏数学带给生活的美，以及学习生活中对称与旋转的科学知识。通过两个设计题目，让学生自由发挥，充分想象，根据自己的需要绘制图形。本题目主要是拓展学生的思维、培养学生的创新能力。
关键技术
1.涂色题的制作
（1）涂色原理
设色板上的每一个颜料盘都是一个影片剪辑，影片剪辑内嵌一个按钮，当点击按钮时，赋予变量ii1一个值，如点击绿色颜料盘时变量ii1＝2，代码如下。
on （release） {
_root.ii1=2；
_parent.tsp.gotoAndStop（3）；
_root.youtong_1.gotoAndStop（3）；
_root.youtong_1.Mouse.hide（）；
_root.youtong_1.startDrag（）；
gotoAndStop（2）；
_parent.gotoAndStop（2）； }
题目中的每个图形也是一个影片剪辑，内嵌一个按钮，当点击按钮时，如果刚才点击的是绿色颜料盘即变量ii1＝2，则这个图形就变为绿色，代码如下。
on （release） {
if （_root.ii1 == 9） {
_root.m1.gotoAndStop（4）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=153；
change_color.gb=153；
change_color.bb=153；
colorA.setTransform（change_color）；
}
if （_root.ii1 == 1） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=255；
change_color.gb=0；
change_color.bb=0；
colorA.setTransform（change_color）；
}
if （_root.ii1 == 2） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
colorA=new Color（_root.tuxing1.yidong）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=0；
change_color.gb=204；
change_color.bb=0；
colorA.setTransform（change_color）；
}
}
注意：用这种方法涂色时，图形必须做成黑色的，在运行时进入这一帧时让它成为白色，代码如下。
for（var i = 1；i
if（_root.ii1==0）{
colorA=new Color（_root. ["tuxing"+i].yidong ）；
change_color=new Object（）；
change_color.rb=255；
change_color.gb=255；
change_color.bb=255；
colorA.setTransform（change_color）；
}
}
（2）判断对错的原理
影片剪辑m1有3个关键帧，第一个关键帧是空白的，第二个关键帧是对号，第三个关键帧是错号。当点击图形为图形涂色时，如果变量ii1的值符合要求，影片剪辑m1跳转到第二个关键帧，即出现对号；如果变量ii1的值不符合要求，则影片剪辑m1跳转到第三个关键帧，即出现错号。
2.拖拽题的制作
（1）拖拽与旋转的实现
图中的对称轴是一个影片剪辑，影片剪辑内嵌入三个按钮，用鼠标按住线段中部时可拖动线段，按住线段的两端时可使线段旋转。为了便于操作，影片剪辑设有自动吸附功能，即线段的位置接近正确的对称轴的位置时，它将被吸附到正确的对称轴的位置。因为线段的平移和旋转可以通过键盘控制，所以界面上其他可用键盘控制的影片剪辑都应停留在第一帧，而操作对称停留在第二帧。代码如下。
on （press） {
startDrag（this）；
gotoAndStop（2）；
_root.duichen_3.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_2.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_4.gotoAndStop（1）；
_root.duichen_5.gotoAndStop（1）；
}
on （release， releaseOutside） {
stopDrag（）；
if （this.dian3.hitTest（_root.duichen1.yu03）） {
this._x = _root.duichen1._x；
this._y = _root.duichen1._y；
}
if （（this._rotation > 54 and this._rotation < 62） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {
this._rotation = 58；
}
if （（this._rotation > -126 and this._rotation < -118 ） and this._x == _root.duichen1._x and this._y == _root.duichen1._y） {
this._rotation = -122；
}
}
（2）判断对错的原理
放置好线段后，点击下面的“确定”按钮，如果线段的纵、横坐标及旋转角度都正确，则判断对错的影片剪辑显示对号，如果不正确则显示错号。代码如下。
on （release） {
if （（_root.duichen_1._rotation == 58
and _root.duichen_1._x == _root.duichen1._x
and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）
or （_root.duichen_1._rotation == -122 and
_root.duichen_1._x == _root.duichen1._x
and _root.duichen_1._y == _root.duichen1._y）） {
_root.m1.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.m1.gotoAndStop（4）；
}
}
3.绘图题的制作
学生可利用格子和尺子确定线段的长度和方向，本课件的绘图工具是下载的模板。画完图后，拖动标识A’、B’到画好的三角形的两个顶的位置，点击下面的“确定”按钮，即可查看结果是否正确。
on （press） {
if （（_root.fz1.aa1._x == _root.fz1.dian_a._x）
and （_root.fz1.aa1._y == _root.fz1.dian_a._y）） {
_root.fz1.m1.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.fz1.m1.gotoAndStop（3）；
}
if （（_root.fz1.bb1._x == _root.fz1.dian_b._x）
and （_root.fz1.bb1._y == _root.fz1.dian_b._y）） {
_root.fz1.m2.gotoAndStop（2）；
} else {
_root.fz1.m2.gotoAndStop（3）；
}
}
4.填空题的制作
在判断旋转方向时，为了便于学生填写旋转的方向，点击括号右下角的“”，可出现“逆”、“顺”两个选项，点击这两个选项，括号里便填上相应的字。
“”的代码on （release） {
gotoAndPlay（10）；
}
“顺”字的代码on （release） {
_root.jiaodu001.text ="顺"；
gotoAndPlay（1）；
}
“逆”字的代码on （release） {
_root.jiaodu001.text ="逆"；
gotoAndPlay（1）；
}
填完括号后，点击“确定”按钮，课件即可判断答题是否正确。
“确定”按钮的代码：on （press） {
if（_root.jiaodu003.text == "顺"）{
_root.m3.gotoAndStop（2）；
}else{
_root.m3.gotoAndStop（4）；
}
if（_root.jiaodu004.text == "180"）{
_root.m4.gotoAndStop（2）；
}else{
_root.m4.gotoAndStop（4）；
}
}
评价与反思
多年的制作经历，使我深刻地体会到，一个优秀的课件应融教育性、科学性、艺术性、技术性于一体，既美观又实用，既有利于教师的课堂教学，也有利于学生课下自主学习，最大限度地发掘学生的潜能，强化教学效果， 提高教学质量。
因此在制作这个课件时，我以Flash软件为平台，集图、文、声、像等多种媒体为一体，构建了具有多个路径的导航系统，可以轻松自如地在各个页面间切换，以便使用者随时进入不同的学习环节，而且提供键盘和鼠标两种操作方式，较好地实现了人机交互，能让使用者更好把握使用课件的主动权，而不会被课件所制约。
同时，我深入研究了教材，从深度和广度两方面进行挖掘，力求使学生通过这部分知识的学习不仅学到新知识，还能学到获取知识、解决问题的方法，并了解所学知识在生产和生活中的广泛应用，从而提高学生学习的兴趣、拓宽学生的视野。
幕前幕后
我从1999年开始学习多媒体课件的制作，最初是用PowerPoint软件制作简单的演示课件，那时这个软件还不像现在这样功能强大，记得为了呈现小朋友玩跷跷板的动态过程，我用了好多张幻灯片才实现，那时我就非常渴望掌握一个能轻松实现这一动态过程的软件，做出一大批能很好地为教学服务的课件。
2002年我开始学习用Flash软件制作课件，在掌握了基本的制作方法和流程之后，我已经不满足制作那些只用鼠标来点击播放的课件，而是尝试着在课件中加入一些智能化的因素，这时我开始学习写一些简单的代码。2006年我在制作课件《长方形面积计算》时开始尝试用键盘输入长方形的长和宽的值，让计算机呈现出相应的长方形，这对于从未学习过计算机编程知识的我来说实在是太难了，但是在培训班老师的精心指导下我做到了，这使我信心大增。同时我也在把课件的操作权交给学生这方面迈开了第一步，让学生用课件提供的小正方形拼成一个大长方形，统计出相应的数据，并对这些数据进行分析对比，得出结论。那时我们学校的学生还很少有机会自己上机操作课件，我的这一课让学生体会到了一种别样的来自于学习的成功感、快乐感。由此，我认识到一个好的课件不仅是给教师用的，也是给学生用的。
2007年，我做的课件已经实现了能让学生自主练习并能及时对学生的答题情况进行批阅了，但这些练习只能使用一次，总不能让学生一次次地做同样的练习吧。于是，我又想做出能不断出更新题目的课件。于是在2009年，我开始尝试用随机函数来实现计算机出题，并能对学生的答题情况进行批阅，我选择的课题是《认识钟表》，我又一次实现了突破，这个课件不仅能让学生反复地进行练习，而且教师在课堂教学时可以在键盘上输入一个时刻，这时课件上的钟面就会显示相应的时刻，这比用实物钟既方便又准确，而与以往的课件相比，练习内容的主动权交到了任课老师和学生的手上，而不是课件制作者来控制练习的具体内容。
绘图题一直以来都是学生难以掌握的学习内容，而作业的设计与批改对教师来说也是一项繁重的工作，能不能制作出一个既能出题，又能批阅绘图题的课件，就成为我的一个新目标。于是，2010年我精心制作了课件《位置与方向》，学生利用课件提供的绘图和测量工具，绘制行动路线图，然后把图标拖到相应的位置，全部完成后，再点击确定按钮，课件自动判断对错。点击“出题”按钮，课件还能够随机出题，这既能满足学生反复练习的要求，又不增加教师批改作业的负担，可谓一举两得。就连一些家长也产生了兴趣，通过邮件告诉我：“这个练习很有趣，我也在做。”
2009年，我开始接触游泽清教授的《多媒体画面艺术》理论，并在这一理论的指导下力求使自己的课件美观、精致、实用。两年多来，我不仅在课件制作水平方面有所提高，而且掌握了一些课件制作的理论知识，欣赏课件的水平也在不断提高。
在不断进步的过程中，我认可了这样一个真理：帮别人就是帮自己。2012年，我开始带徒弟，在第十届NOC活动多媒体学习工具评优赛项中我的两个徒弟分别获得一、二等奖。我认可的另一个真理是：大家好才是真的好。这学期我承担了学校课件制作小组首席教师的工作，把我多年来积累的经验教给大家。因为我深深地知道，一个强有力的团队，对于一个人的成长是多么重要。十几年来，我接受过很多老师的指导和帮助，我今天所取得的成绩都应归功于我有这样一个既专业又热情的团队。
评委印象
课件《图形的变换》的制作很丰富，知识点涵盖了人教版小学数学五年级下册第一单元的内容。知识量很多，是一个综合性的课件。制作技术也很专业。
印象一：课件的知识量丰富，包括了一个单元的内容。里面的演示和工具，有助于教师在教学中突破重、难点，使学生很直观地进行学习，提高了教学的质量和实效性。
印象二：课件的界面设计很方便，可以通过多种路径进入。方便了教师教学时的演示，也方便了学生自学时的使用。大大提高了课件的使用性。
印象三：课件中每节课的学习目标很明确，便于教师和学生把握学习内容要求、学习的方法等。课件中还有大量的练习题型，而且每个题型都能够及时对学生答题做出反馈。这不仅增加学生练习的积极性，也增加了学生的挑战问题的能力。
教师对Flash软件的使用和制作课件的水平非常高，代码应用很准确。而且有不错的团队。希望保持下去，制作出更多实用的课件。
印象四：所有练习题的反馈都是针对学生的答题给出对错，而教师不能够知道全班学生有多少人在一道练习题答对或是答错，缺少全面学生的反馈。希望今后能考虑网络型课件的制作，学生做完题，就能够让老师知道这道题，全班有多少人答对，得到第一手反馈信息。
一、建立直角坐标系xOy与水平放置的直角坐标系x′O′y′
单击“绘图”菜单中的“定义坐标系”。单击文字工具，小手放到原点处，当小手变黑时，双击鼠标左键，标签输入O，单击“确定”。用同样方法将数轴分别标为x、y。单击点工具，点放到x轴上，单击鼠标左键，将得到的点标为O′。选中点O′，单击“变换”菜单中的“标记中心”，将点O′设置为中心。选中x轴，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“45”，单击“确定”。将旋转后的直线标记为y′.x′轴与x轴重合。
二、创建“斜二测画法”变换
单击点工具，点放到任意位置，单击鼠标左键，将得到的点标为A1.选中点A1、x轴，单击“构造”菜单中的“垂线”。箭头放到垂线与x轴的交点处，当箭头变为横向箭头时，单击鼠标左键，得到垂线与x轴的交点，标记为B1.将点B1设置为中心。选中点A1，单击“变换”菜单中的“缩放”，系统默认缩放1/2，单击“缩放”，将缩放后的点标为C1.选中点C1，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“- 45”，单击“旋转”，将旋转后的点标为D1.依次选中点O、O′，单击“变换”菜单中的“标记向量”，将OO′设置为平移向量。选中点D1，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”。将平移后的点标为A1′.点A1′就是利用斜二测画法点A1的直观图。依次选中点A1、A1′，单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”，输入“斜二测画法”，单击“确定”。选中点A1、B1、C1、D1、A1′，x轴的垂线，单击“显示”菜单中的“隐藏对象”。
三、创建“反斜二测画法”变换
构造任意点A2′.选中点A2′、y′轴，单击“构造”菜单中的“平行线”。作平行线与y′轴的交点，标为B2′.将点B2′设置为中心。选中点A2′，单击“变换”菜单中的“缩放”，分子输入“2”，分母输入“1”，单击“缩放”，将缩放后的点标为C2′.选中点C2′，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“45”，单击“旋转”，将旋转后的点标为D2′。依次选中点O′、O，单击“变换”菜单中的“标记向量”。选中点D2′，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”，将平移后的点标为A2。点A2就是利用斜二测画法，直观图为点A2′对应的平面图形。依次选中点A2′、A2，单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”，输入“反斜二测画法”，单击“确定”。隐藏点A2′、B2′、C2′、D2′、A2，y′轴平行线。
四、通过任意改变平面图形的形状，来改变平面图形直观图的形状
以平行四边形为例，作任意点A3、B3、C3，依次选中点B3、C3，单击“变换”菜单中的“标记向量”。选中点A3，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”，将平移后的点标为D3.单击线段直尺工具，连接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.选中平行四边形A3B3C3D3，单击“变换”菜单中的“斜二测画法”，得到利用斜二测画法平行四边形的直观图，顶点分别标为A3′、B3′、C3′、D3′.用箭头分别拖动点A3、B3、C3，任意改变平行四边形A3B3C3D3的形状，观察平行四边形直观图的形状。通过观察可以发现：利用斜二测画法，平行四边形的直观图还是平行四边形（图1）。观察平行四边形的对边可以发现：相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。观察平行四边形的对角可以发现：角的水平放置的直观图一定是角，相等的角在直观图中仍然相等。
五、通过任意改变平面图形直观图的形状，来改变平面图形的形状
1.1 位似图形
定义1 位似图形：两个图形相似，且一个图形上的任意点A，B，…，P和另一个图形上的点A′，B′，…，P′分别对应，并且满足：
①直线AA′，BB′，…，PP′ 都经过同一点O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′=k.
点O叫做位似中心.
若位似形是多边形，叫做位似多边形.即有如下定义：
定义2 对于两个多边形，若一个多边形的顶点A，B，…，P和另一个多边形的对应顶点A′，B′，…，P′ 满足：
①直线AA′，BB′，…，PP′都经过同一点O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′.
则这两个多边形叫做位似多边形.
两个位似图形的各对对应点，都在位似中心的同旁，这两个位似图形叫做相互外位似，其位似中心叫做外位似中心.
两个位似图形的各对对应点全部都在位似中心的两旁，这两个位似图形叫做相互内位似，其位似中心叫做内位似中心.
位似多边形有如下性质：
①每个多边形都可以位似于它本身(反身性)；
②若多边形F位似于多边形F′，则多边形F′位似于多边形F；
③两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比；
④两个位似多边形的对应边分别平行.
1.2 位似变换
定义3 位似变换：一种几何变换.设O为平面上一定点，若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，则称这种变换为平面到它自身的位似变换，O为位似中心，k为位似比或位似系数.当k>0时，点A和A′位于直线OA上点O的同侧，称这种变换为正向位似变换，或顺位似变换，O为外位似中心(图1)；当k
图1 图2当k=1时，位似变换为恒等变换，当k=-1时，位似变换为以O为中心，旋转角为180°的旋转变换或中心对称变换.
若图形M上各点经过位似变换后得图形M′时，则称图形M位似于图形M′，或图形M与M′位似.当|k|>1时，图形被放大，当|k|
位似变换是一种特殊位置的相似变换.
位似变换有如下性质：
①位似变换把任意直线AB变为直线A′B′(过位似中心的直线变为它本身)，并且AB∥A′B′，线段AB与A′B′满足|A′B′|=k|AB|；
②位似变换把两条相交直线变为相交直线，交角不变，并且交角的方向也不变；
③任意多边形变为与它相似的多边形；
④任意两个圆都是位似形.
图3对于两个同心圆来说，显然圆心就是它们的位似中心，而半径之比就是它们的位似系数.对于任意两圆，如图3，设A的半径为r，B的半径为R，如果直线AB上的点O和O1满足OAOB=rR，O1AO1B=rR，则O点是A和B的内位似中心，点O1是两圆的外位似中心.
2 课标教材中的位似
2.1 定义
我们知道，在中小学教材中，为了使学生易于接受，本着科学性和量力性相结合的原则，常常要对一些本来严密的数学概念进行改写，在某一个教学阶段，有时会牺牲一些概念的严密性，仅给出一种描述性定义.位似的概念也是如此.不同版本的课标教材对位似概念的处理虽不尽相同，但大多是结合多边形的缩放给出了位似图形的定义.大致有如下几种说法：
(1)如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个图形的相似比又叫做它们的位似比(山东教育出版社2007年7月第3版《数学》八年级上册p.58).
青岛出版社、泰山出版社《数学》2006年8月第1版九年级上册p.64：每对对应点所在直线交于一点的相似图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
显然，这两个版本的教材中关于位似的定义是一致的，浙教版九年级上册的数学课本也采用了这样的方法来定义.
(2)图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心(人民教育出版社2006年6月第1版《数学》九年级下册p.60).
显然，和(1)中定义位似的方法不同，这里用“位似多边形”作为位似图形的重要示例，把“每组对应点”改为了“对应顶点”，且注明了条件“对应边互相平行”.
(3)图24.5.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心(华东师范大学出版社2007年6月第三版《数学》九年级上册p.71).
这是一个很不严密的定义.
2.2 性质
教材中关于位似的性质大都只涉及这么一条：位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
有的教材(如鲁教版)还试图让学生通过探究发现如下性质：位似图形的对应线段平行(或共线).
3 教学中的位似
3.1 位似的教学定位：放缩变换
义务教育数学课程标准中对位似的要求是“了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小｡”可见，课标让学生了解位似，定位于让学生知道位似是一种变换，一种可以将图形放大或缩小的变换.
图4和大纲教材不同，课标教材强化了图形变换的意识，在学习位似之前，已经学习了平移、旋转(含中心对称)、轴对称三种变换，它们都是合同变换，也就是能够保持图形上任意两点间的距离不变，变换后的两个图形是全等形.在学习了相似形的知识后，还有必要让学生了解：初等几何变换还有相似变换，其中最简单的是位似变换，它是可以把图形放大缩小的一种变换.这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外，课本还安排了诸如“对数视力表”等素材让学生去主动探究(北师大版、鲁教版等)，有时，还可以用位似变换来设计艺术字(人教版)，如图4.
3.2 关于位似的判定
(1)学习了位似的概念，似乎就绕不过对位似图形的识别判定问题.由于课标并未涉及位似的判定，教材中也未出现位似的判定定理，因而，定义就成了判定位似图形的唯一依据.
比如，鲁教版教材中设计了一个例题和一组练习，其中的例题是判断常见的基本图形――“A型图”中的两个三角形是否是位似图形.例题的解答中首先推导出ADE∽ABC，然后进行了如下说明：
如图5，又因为点A是ADE和ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD和CE相交于点A，所以ADE和ABC是位似图形.
图5这个结论无疑是正确的，然而，上述解答却把教材上定义中的条件“每组对应点所在直线交于一点”中的关键词“每组对应点”简化成了“对应顶点”，这种不严密的推理，很容易使人产生这样的错误认识：“如果两个相似多边形的对应顶点的连线经过同一个点，则这两个多边形就是位似的.”
本刊2008年第8期李孟堂老师的《一道位似图形题引发的思考》一文中，李老师命制了如下题目：
如图6，在梯形ABCD中，ABBC，∠ADC的平分线和∠BCD的平分线交于点E，且点E恰好落在AB上，则图中和AED是位似图形的是，位似中心是.
图6 图7李老师认为“BCE与AED是位似图形及中心点是E是确信无疑的”，但一些教师却根据“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”得出了矛盾.其实，李老师“确信无疑”的是一个错误结论，“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”本该是定义中的条件. 即使按鲁教版的定义来分析，AED的三个顶点及其对应点并不能代表AED和BCE的“每对”对应点.事实上，相似三角形的每对对应点远不只是它们的对应顶点，还包括了对应边上的无数对对应点.如图7，我们只要取AE的中点M和BC的中点N这样一对对应点，就会发现，它们的连线并不经过E.
要避免此类错误，关键是要对概念真正理解.作为一个教师或教研员，对概念的理解如果只局限于课本上的文本，则显得有些高度不够.这似乎又验证了那句老话：用教材教而不是教教材.
(2)由于位似图形具有对应线段平行、对应线段之比等于位似比和对应点的连线过位似中心等性质，因此，恰当使用位似来解题往往会使解法显得简捷明了.但是，要使用位似的性质都需要先进行位似的判定，而初中教材上给出的定义大都难以直接用来证明位似，所以，笔者认为用位似解复杂的证明和计算题，应属于竞赛性质的较高要求，不宜作为对一般学生的普遍要求，也不宜作为中考或模拟考试题使用.
参考文献
[1] 教育部.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2] 张春条.中国中学教学百科全书数学卷[M].沈阳：沈阳出版社，1991.
[3] 李孟堂.一道位似图形题引发的思考[J].中学数学杂志.2008，(8).
[4] http：//jpkc.yzu.省略/course/cdsx/kcrr/kcrr6-3.htm
1 内容安排
教材把变换的内容分为三章逐步展开，第七章介绍平面上的刚体运动、反射、旋转、变换与向量、滑移反射及合成、雕带图案，共6节.第八章介绍比率与比例、比例的应用、相似多边形、相似三角形，相似三角形的证明、比例与相似三角形、放大，共7节.有关矩阵变换内容则放在代数部分.每一章的结构分为问题情境、学习指导（复习，准备，学习策略）、本章内容、本章小结、本章回顾与评价（本章水平测试）、设计题.每一小节又分为活动（拓展概念，信息技术应用）、各节的学习内容（围绕你应学到什么，你为什么学展开）、练习指导.这种独立成章的编排使内容相对完整，力图反映美国课程标准的要求.同时，教材并不追求知识体系的严密性，而是让学生通过案例认识变换，理解变换的性质并能运用变换解决问题.
2 主要特点
2.1 密切联系生活，注重变换应用
教材从多角度、多层次编排了变换应用的内容，特别是在日常生活中的应用.
首先，教材抓住日常生活中的建筑问题作为全章变换内容的引入，并围绕应用展开（例1）.这种引入方式不仅有利于创设主动的问题情境，而且有利于学生体会到变换就在你身边，或者说你身边的问题需要用变换知识来解决，从而吸引学生到学习中来.同时，这种结合操作引入变换概念，让学生的思维从静态的图形转向动态的变化，教材的这种做法无疑能让学生体会用运动变化的观点或思想观察和分析周围的事物，并逐步内化为学生认识事物和解决问题的方法.
例1 建筑师怎样运用变换？
建筑师常常在建筑设计中添加一些装饰图案，这些装饰给建筑增添了色彩，也体现了建筑的特征.依靠图形以及图形的变换可以进行一些建筑设计，例如，可以经过图形的平移、反射、以及旋转构造出新的图案.
思考与讨论：
①图形A是经过怎样的运动得到图形B的？如图：.
②讨论一下设计中存在的其他变换.
学习更多：你将在练习35—37（p.435）中了解更多建筑中的图形变换.
应用链接：登录 McDougal ，可查阅更多有关建筑中的图形变换信息.应用链接拓展了变换内容极其应用的空间，更进一步拓展了学生的数学视野.
其次，教材中有关变换应用的例子和习题比比皆是，其内容涉及建筑、航海、服装等多方面，充分显示了变换应用的广泛性.教材甚至单独编排了雕带图案一节，进一步加强了变换在日常生活中的应用（例2）.这种利用变换设计图案是十分有趣的实践活动，让学生自己动手设计和创造优美的图案，不仅能熟悉各种变换的特征，而且可以更好地发挥学生的主动性和创造性.
例2 用如下图的瓷砖装饰浴室墙壁 （如图：），瓷砖边缘的连接是典型的TR型（平移和旋转180°），画出符合条件的图案.
解 首先把给定的瓷砖旋转180°，然后把这块瓷砖和原来的瓷砖轮流对称设计出一种式样，重复几次制作出装饰横条.如图：.
此外，教材在这一部分辟有不少小栏目，其中有些栏目是关于应用的.如“聚焦职业”这一栏目，就介绍了商标设计、建筑中应用变换的事例.
2.2 渗透数形结合的思想方法，注重几何直观
教材在这一问题上作了一些有益探索，比较突出地表现在如下方面：
（1）具体的变换大多以直观给以表示.如，建筑装饰图与平移、车轮与旋转等等.这种结合实物图来介绍具体变换比较直观，学生容易理解；反过来，学生对相应的几何图形性质认识也比较深刻.
（2）注意坐标法的应用.坐标把几何图形和数量关系联系起来，实现了数形结合.教材包含坐标与图形的位置，坐标与图形的运动，用坐标的方法刻画在图形的变换中所熟知的轴对称，图形的平移，图形的位似等等.如，学习滑行反射及合成时，结合平面直角坐标系，画出一个图形经过x轴，再经过y轴反射的图形；画出一个图形关于y轴反射后，又绕原点旋转90°的图形，等等.
（3）注重向量法的应用.向量作为沟通数与形的重要工具，在变换中有着广泛的应用（如例3）.
例3 向量在平移中的应用
GH的分量形式是〈4，2〉，把顶点坐标分别为A（3，-1）、B（1，1）、C（3，5）的三角形沿GH进行平移.
2.3 呈现方式多样化
注重图文并茂是美国教材的一个传统，教材中变换内容的呈现并不是直接的罗列，而是大多以活动的方式呈现.平面的刚体运动围绕平面运动活动展开，反射围绕平面的反射活动展开，旋转围绕研究双重反射活动展开（例4），滑移反射及合成围绕变换的合成活动展开.在上述活动中，教材并没有把变换概念的定义作为重点，而是先让学生获取几何图形的感性认识，然后让学生通过实际操作探索变换的性质，这有利于发展学生对具体变换内容的深层次理解.图形变换部分的设计题（研究镶嵌）具有较强的探索性和探索空间.而且，解决它的路径和方法多样，有利于拓宽学生的数学知识面.
例4 研究双重反射（几何软件应用活动课）
（你可以应用几何软件观察一个三角形在平面上反射两次的变换类型.学习帮助：登录 McDougal ，可查阅几款软件的使用说明）
作图：① 如右图，画一个不等边ABC.
②画两条相交直线 k 、m，确定它们不与ABC三边相交.
③ 直线k 与直线m的交点为P.
研究：（1） ABC关于直线k反射得到A′B′C′， A′B′C′再关于直线m反射得到A″B″C″.那么，ABC和A″B″C″有什么关系呢？ 如下图：
思考：（2）一个图形经过两条相交直线两次反射后，还可以怎样考虑它的变换呢？
进一步研究：⑶画一条线段连结A和P、P和A″，测量∠APA″.这个角作为旋转角的样本.⑷测量直线k和直线m所成角的大小，并与∠APA″进行比较.
（5）找出∠BPB″和∠CPC″，你得到了什么结论？
进一步思考：（6）图形关于两条相交直线的反射变换中，两条直线形成的角和旋转角有什么关系？
拓展：画不同的三角形重复（1）—（3）步骤，检验步骤（6）中的猜测是否正确.
2.4 追求信息技术与变换内容的有机整合
教材力图反映信息技术与变换内容的相互促进与紧密结合，这部分内容许多地方都涉及信息技术的运用.这不仅给学生提供了丰富的学习环境和资源，而且有助于他们把精力集中在问题的思考和探究上，促进学生的数学学习，它主要包括以下两方面：
⑴网络链接.它是一种基于网络环境的数学学习方式.这对于学生今后的发展和适应学习化社会起着积极作用，并进一步拓展数学学习的内容和空间.概括起来，教材中的网络链接主要包括以下4种方式：应用链接、学习帮助、职业链接和超越挑战，以上有关信息都可在公众网站（ McDougal ）进行浏览、下载等.
⑵动态几何软件（或几何画板）在数学活动中的应用.比如，例4中用动态几何软件画的三角形.这既使图形表示精确，而且也使它的动态效果能加深学生对变换的理解和掌握.
3 启示
从上述特点反观我国的高中数学教材建设，美国高中教材中图形变换的上述几个特点是值得我们参考的.
（1）多角度编排图形变换的内容，明确图形变换在课程中的地位，明确图形变换不仅可以用于图形性质的探索，还可以在解题实践中发挥作用.虽然我国高中数学教材在除立体几何与平面解析几何之外，从函数的直观解释到线性规划的区域刻画等等都体现了变换的内容与思想，甚至设立了“对称与群、矩阵与变换”， 介绍群与矩阵的基本知识和思想. 但我国高中数学教材在例题、练习题中极少要求学生用变换的语言解答问题，还是要求学生能用教材中的定理、推论或性质进行严格的推理，以变换为依据的推理是不严格的，这样的做法可能会让学生认为变换思想仅仅是用来推导书本上的结论.因此，还应考虑多角度配置一定数量的变换类问题，使变换的思想内化为一种重要的思考问题的方法.
（2）信息技术与图形变换的有机整合.利用信息技术工具，我们可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来.许多计算机软件还有测量的功能，这有利于我们在图形的运动和变化过程中去发现其中不变的位置和性质.因此，我们不仅应重视信息技术与图形变换的有机整合，而且要让学生利用信息技术进行探索和发现数学问题.
（3）数学活动的选择.活动方式呈现变换内容，具有直观、具体和有趣等特点.学生经历其中，通过思考、探索和交流等活动，能形成良好的思维习惯，增进应用意识，增进学好数学的信心.因此，我国高中数学教材中活动的恰当选择就显得尤为重要.我们以为，它至少应反映这样两方面：一是突出图形变换的本质和思想；二是利于学生观测、探索、实验、验证、推理和交流等.
参考文献
［1］ NCTM.Principles and Stan dards for School Mathematics .2001，USA，http：//
关键词：初中数学；图形变换；教学研究
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）01-0204-02
随着我国素质教育改革的不断深入，我国越来越重视初中阶段的义务教学，各中小学校纷纷响应素质教育改革的号召，一步一步地进行探索和创新，以适应新时期下的教育事业发展要求，满足社会对人才的需求，突出素质教育改革的重要作用初中数学是素质教育改革中的重要组成部分，必须予以高度重视，不容忽视在初中数学教学中，图形变换是数学教材中的重点内容，在几十年的教学过程中，图形变换这一内容亘古不变，虽然不同版本教材中的图形的变换这一内容不尽相同，但是观点却保持一致，是初中数学教学中的必学内容为提高初中数学图形变换这一课程的教学水平，必须突破传统的教学模式，创新教学方式，以保障授课质量，使学生们能参更好地理解和掌握图形变换的教学内容。
1.图形变换的相关概念
在初中数学教学过程中，所渭图形变换就是指许多点的集合，是某一个几何图形关于某一点的变换，这一点不仅存在于原来的图形中，在变换后的图形中也能找到相对应的位置图形变换可以分为两种形式，一种是全等变换，一种则是相似变换所谓全等变换是指某一几何图形在变换之后所得到的新图形与原图形，无论是在大小上面还是形伏上面都未有所改变，而且在新的图形中寻找任意的两个点，其之间的距离与原图形中对匣的两点距离完全相等；相似变换则是指某一图形在经过变换后所得到的新图形，虽然与原图形基本相同，但是大小却会有所变化，因而在原图形和新图形中分别选取两个相对的点之间的距离也并不相等
图形变换有三种形式，一种是平移变换，一种是旋转变换，另一种则是轴对称变换平移变换和旋转变换具有相似性，平移变换是在图形中选择任意一点，然后寻找其变换图形中的相对应一点，然后将其连接起来，并且保证长度相等；旋转变换则是指选择图形中的固定一点，以此肖、为基础进行全等变换轴对称图形则是指原图形中的每一个点都能以某一直线为对称线来寻找新图形中的每一个相对应点。
2.初中教学中图形变换的教学建议
图形变换能够将初中数学教学中的很多复杂的几何问题进行简单化，学生在变换的过程中能够找到最佳的解决问题的方法，引导学生应用图形变化的思想来看待生活中的数学现象，将理论联系实际。对此，笔者关于初中教学中图形变换的教学建议由以下几方面：
2.1 联系实际生活中图形变换的实例。随着新课改的不断深入和发展，教学活动与学生的实际生活联系的更加紧密，老师也应该在教学活动中为学生提供生活中的一些素材，激发学生在观察生活中学习数学知识。对于初中教学中的图形变换，在实际生活中能找到很多的实例，选择典型的图形变换案例，能够帮助学生更好地认知图形变换的理论知识，理解变换的具体过程。具体举例：比如，可以让学生观察跳健美操的运动员的动作，看看人的旋转和变换，并说出是属于哪一种图形变换模式；又如，让学生动手操作，分别以铅笔的鼻尖、中间的点和笔头的点为固定点进行旋转来观察图形发生的变化有什么不同和相似的地方。
2.2 通过课件来向学生呈现课堂教学内容和图形的变换。我们可以应用多媒体技术来进行数学教学，对于学生而言，图形是一种相对比较具象的符号，可以引起学生的兴趣。因此，我们可以将新课程的内容与之前学过的相关图形知识进行有机结合，并展示在课件上。例如，可以向学生呈现一个三角形，然后慢慢地从左向右移动出一个完全一样的三角形，并在这两个三角形的中间画一条虚线，最后将其中的一个三角形旋转360°之后与之前的三角形重合。这个简单的操作可以非常形象地向学生呈现了图形变换的知识与内容，让学生更加形象地看到了图形的变换过程，进而对知识产生更深层次的理解。
2.3 教师可让学生动手绘制图形变换的过程。在教师讲解图形变换课程的时候，教师要加强对学生动手实践能力的培养，引导学生绘制图形变换的过程，了解图形变换的特点，在绘制图形变换过程的时候巩固和梳理所学到知识，以发散学生的思维，提高学生的动手能力，通过所绘制的图形来寻找对称轴的位置例如教师在教学过程中，可以让学生在方格中先绘制一个三角形，然后再将三角形平移，重新绘制出一个新的三角形，然后可以让学生数相隔的方格教量，以便掌握三角形平移的单位在初中数学图形变换的过程中，既要帮助学生了解图形变换的含义和慨念，也要注重学生数学逻辑思维推理能力的培养。
2.4 引导学生在纸上画出图形变换的过程。在方格纸上画出图形变换的过程是一个特殊的动手实践活动，对学生对图形变换的认知起到了非常重要的作用，学生在绘制图形变换的过程中能够重新再梳理一遍图形变换，对其中蕴含的数学知识也会产生深入的思考。在实际教学过程中可以让学生先观察某一对称图形的特点，以及原图与新图中各个点和对称轴的位置关系，然后再让学生自己动手在方格纸上画出图形变换的过程。
3.结束语
综上所述，图形变换教学法是中学数学教学中一种十分重要的教学方法，对于初中数学教学改革的推进具有重要的意义，笔者在对图形变换概念论述的基础上提出了实际的应用方式，希望本文的论述对初中数学教学改革带来一定的启示。
参考文献：
[1] 王爱琴.浅析如何实现初中数学课堂教学生活化[J].学周刊，2015，10：91.
梳理图形变换问题时，应尽量做到题型全面、方法系统化，尤其是：一要借助数形结合的方法理解题意；二要掌握相关的数学思想，能熟练用于解题；三要注意从运动过程中的特殊情况入手，找寻解题思路和解题方法，同时注意特殊情形与一般情形相结合.下面例谈几点体会：
一、关注图形变换中的基本概念与基本性质
图形变换的基本性质各具特色，通过设置单一的图形变换，关注图形变换中核心元素的变化规律，突显基础知识的应用.
例如，点P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，将 ABP按顺时针方向旋转，使点A与点C重合，此时点P旋转到了G点.
（1）说出此时 APB绕点B旋转了多少度？
（2）连结PG，求PG的长；
（3）猜想 PGC的形状，并说明理由；
（4）试求 APB的度数.
解：（1） APB绕B点顺时针旋转于90 .
（2）连结PG，由旋转的性质可知：BG=BP=2，且 PBG= ABC=90 ，由勾股定理得PG= .
（3） PGC为直角三角形.理由：由旋转的性质可知：GC=AP=1，由（2）可知：PG= ，又由已知得PC=3，故 ，所以 PGC为直角三角形，且 PGC=90 .
（4）由（2）可知： PBG为等腰直角三角形，所以 PGB=45 ，由（3）知： PGC=90 ，所以 BGC= BGP+ PGC=45 +90 =135 ，由旋转的性质可知： APB= CGB=135 .
本题借助于几何直观分别凸显了对图形变换前后对应点、对应线段、对应角的关系等变换性质中的核心元素的识别，体现了旋转图形的方向、角度，结合利用三角形的内角和定理、勾股定理等，涉及到几何的基础知识.
变式题：如图，点P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将 PAC绕A点逆时针旋转后得到 P′AB.求：
（1）点P与点P′之间的距离；
（2）求 APB的度数.
解析：（1）连PP′，由旋转的性质得P′A=PA=6， P′AB= PAC，
P′AP= BAC=60 ， P′AP为等边三角形，PP′=AP′=AP=6.
（2）在 P′BP中，由旋转的性质得P′B=PC=10，又PP′=6，PB=8，
P′P2+PB2=62+82=100=P′B2， P′PB为直角三角形，且 P′PB=90 ，
APB= APP′+ BPP′=60 +90 =150 .
二、突出图形变换在构造探索题中的作用
一些题目以图形变换为问题，使几何图形由静态到动态，丰富了图形间的位置关系
和数量关系，经过探索论证各种几何关系，通过这类问题解答可以提高学生的综合能力.
例如，已知 ABC的面积为3，且AB=AC，现将 ABC沿CA方向平移CA长度得到 EFA.
（1）求 ABC扫过的图形的面积S；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若 BEC=15 ，求AC的长.
解：（1）连结BF，易得BF=AE，BA=FE，所以四边形BFEA为平行四边形，且SABFE=2S EFA=2S ABC，故S= S ABC+SABFE=3+6=9.
（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，又AE=AC=AB，所以ABFE为菱形，所以AF与BE相互垂直.
（3）由 BEC=15 ，AE=AB得 BAC=2 BEC=30 ，过B点作BD AC于D点，则BD= AB= AC，又S ABC= AC·BD= AC· AC= AC2=3，所以AC2=12，所以AC= （负值舍去）.
本题利用图形的平移探索基本数量关系，体现了对观察、猜测、验证、推理过程，由平移前后线段扫过的面积的形状，利用特殊四边形的性质判断直线的位置关系，利用三角形的面积公式求线段，在一定程度上可以提升学生的数学素养.
变式题：如图1在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点.
（1）画出 AOB平移后的三角形DEC，其平移方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；
（2）试判断上题中四边形CODE的形状，并说明理由；
（3）当四边形ABCD是什么四边形时，（2）中的四边形CODE为正方形？
三、重视图形变换在构造综合问题中的应用
通过数学综合题，设置探索图形变换中的数量规律问题，或者研究图形变换的全过
程来实现对学生数学思想和基本活动经验的培养.
例如，如图正方形ABCD的边长为5cm，在Rt EFG中， ，FG=4cm，EG=3cm，且点B、F、C、G都在直线 上， EFG由点F与点C重合的位置开始沿直线 以1cm/s的速度向左做匀速直线运动.
（1）求点E运动到CD上和运动到AB上的时间；
（2）设 秒后， EFG与正方形ABCD重叠部分的面积为 cm2，求 与 的函数关系式（其中 ）
解（1）因为FG=4cm，BC=5cm，所以点E到CD上的时间为 （秒），点E到AB上的时间为： （秒）
（2）设 秒后，EF交CD于H点，则FC= cm，易知 FCH∽ FGE，所以 ， ， ， （ ）.
本单元教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。首先，每种图形面积计算方法的教学，均采用让学生动手实验、自主探索得到。例如，平行四边形的面积，是先借助数方格的方法得到；再引导学生通过剪、拼图形，将平行四边形转化为长方形，推导出平行四边形的面积计算方法。其次，按照知识学习的先后顺序，逐步提高探索的难度和要求。三角形的面积计算就直接让学生试着将三角形转化为已学过的图形推导出面积计算公式。到梯形面积的计算时，要求学生综合运用学过的方法自己推导出面积计算公式。第三，研究每一种图形面积的计算方法时，教材均没有给出推导的过程和计算公式，以便于学生从多种途径探索、自己得出结论，从而给教师和学生都留有较大的创造空间。基于以上的编排思路，笔者对这个单元的教学作了深层次的思考。
一、注重前有孕伏，感受化归思想
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。教学中，应以学生的探究活动为主要形式，教师加强指导和引导。通过操作，引导学生去探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，渗透“转化”的思想方法。
因此，在本单元的教学中，笔者补充了一节起始课：比较图形的大小，让学生借助方格纸，能直接判断图形面积的大小（如图1）。同时通过交流，知道比较图形面积大小的基本方法：割补、平移、旋转，体验图形形状的变化与面积大小变化的关系。本单元以“知识”与“思想”这一明暗两条线索牵动学生的思维。通过补充，引导学生自觉地尝试运用数学思想方法解决问题的意识，化归思想统领了整个单元。
二、实践几何变换，发展空间观念
等积变换是几何学习中重要的思想方法，也是数学推导与证明的一种重要手段。本单元从平行四边形转化为长方形，从三角形、梯形转化为平行四边形以及计算组合图形的面积中都可以由等积变换中获取成功。
（一）在探究中实行变换
在本单元的新课探究中，这种等积变换的思想应成为探究过程的一条重要策略。
在三角形、梯形的面积计算公式推导过程中，除了倍积变换的思路，还可以引导学生采取割补的方法，深度探索等积变换获得面积的计算公式方法。如在梯形面积计算教学中，运用等积变换的思想来推导公式。
方法1：将梯形转化为两个三角形。
方法2：将梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。
方法3：还可以分割中位线把它转化为平行四边形或者长方形。
无论是倍积变换还是等积变换，它们的本质是一样的，都运用了数学学习和研究的一种重要的方法――转化。对于平面图形面积计算公式的推导一般都采用转化的方法，教师通过学生的操作活动，启发学生把所学的图形转化为已经会计算面积的图形，落实转化的思想方法；然后引导学生思考探究所学图形与转化成的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法。而在实际操作中，似乎更多的学生喜欢用倍积变换的思想来推导计算公式，这可能与教师提供的探究材料和探究建议有关，因为教师往往已有意识地引导学生用两个图形来拼组，如此看来，学生就“被探究了”，倍积变换确实是得到所求图形面积计算公式比较简单的方法，但如何进一步促进学生的探究意识和能力需要在等积变换中实现。因此在教学中不妨这样设计：
比如，在“三角形面积计算”教学中，出示问题：一个三角形底是4厘米，高是3厘米，它的面积是多少？
将它放在方格纸中，数一数，它的面积是多少？你是怎样数的？
有了方格纸为背景，学生就有探究思考的基础，也有利于等积变换思想方法的实施，并为后面梯形面积计算公式的推导打好基础。
（二）在练习中实行变换
运用几何变换，除了要求在新课的探究中，不把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题外，还需要在练习中注重图形的变式，注重培养学生思维的灵活性和深刻性。通过加强从形的层面积累经验，凸现等积变形思想，加强空间变换的应用，积极创造本单元的新型习题，提供应用机会，帮助学生发展空间观念。
如在“三角形面积计算”的练习课中，笔者设计了这样一道题：
一个长方形长4厘米，宽3厘米， A 为长方形内任意一点，求阴影部分面积 。
对于几何图形的变换需要想象，从而发展学生的空间观念，培养学生的能力。为此，对于此题笔者根据运动的观点设计了三类题型，先让学生观察变化中的三角形，通过移动A点，形成了不同的阴影部分，通过观察这些三角形，发现了它们的共同特点，沟通了它们之间的联系。
进一步，教师出示图3（单位：米），计算阴影部分面积。由于求两个阴影三角形的面积和缺少条件，学生或用代数的方法，把下底的长度用（a+b）来表示（如图5），然后进行推导。或利用等积变形的方法，转化成如图6的形式后，再计算阴影部分面积。
三、沟通知识联系，提升思维品质
知识的有效达成建构，是学生掌握与应用知识的重要手段。良好的认知结构有利于学生的及时提取并解决问题。为此，教师一方面要在教学中通过渗透联系的观点，凸现转化的思想，实现知识的有效建构；另一方面要把握知识的本质联系，提升学生的思维品质，提高教学的有效性。
（一）沟通图形面积的推导过程
本单元的图形之间有着密切的联系，在整理复习课中，通过让学生回忆各个图形面积的推导过程，让学生体会到图形之间是可以互相转化的，通过构建知识网络图，让学生在头脑中形成一个联系网，可以帮助学生更好地掌握和理解各个图形的面积计算方法。
（二）沟通各种图形求积公式之间的联系
长方形、梯形、三角形和平行四边形的面积公式有着密切的联系，笔者在教学中进行了这样的课件演示：梯形的上底慢慢缩短变成一个三角形；梯形的上底慢慢延长变成一个平行四边形；梯形的上底延长与下底相等且两腰互相垂直变成一个长方形。让学生发现梯形与三角形、平行四边形、长方形之间也存在着密切的联系，并指出它们的面积公式间也有着密切的联系。例如通过梯形与各个图形之间的联系，我们发现三角形、平行四边形、长方形的面积计算公式都可以联系梯形的面积计算公式。
能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．
例1如图1，BD，AC交于O，OA＝OD，用“SAS”证AOB≌DOC，还需（）.
A. AB = DCB.OB = OC
C.∠A = ∠D D.∠AOB = ∠DOC
解析：此题的考查要点是“SAS”定理.用“SAS”证全等要有三个独立条件，已知OA = OD，显然还差两个，而AC与BD的相交可得∠ AOB与∠ DOC是一对对顶角，第三个条件应该围绕夹∠AOB、∠DOC的两边来找，显然OB与OC应是另一组夹边.选B.
点评：解答本题的关键是找出对顶角，然后利用“边角边”定理找到另一组对应边.
考点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
例2如图2，ABD≌CDB，且AB、CD是对应边. 下面四个结论中不正确的是（）.
A.ABD和CDB的面积相等
B.ABD和CDB的周长相等
C.∠A + ∠ABD = ∠C+∠CBD
D. AD∥BC，且AD = BC
解析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等.因为AB和CD是对应边，则AD与BC是对应边，∠ADB = ∠CBD，因此AD∥BC且AD = BC.故C符合题意.
点评：解答本题的关键是要知道两个全等三角形中，对应顶点在对应的位置上，这样就不会找错对应角.
考点3全等三角形的判定
选择哪种判定方法必须根据已知条件而定，详细内容见下表：
例3在ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AD＜ （AB + AC）.
解析：通过构造辅助线，利用全等三角形将线段AD，AB，AC转化到同一个三角形中，由三角形“两边之和大于第三边”即可证，证明过程如下：
延长AD至G，使DG = AD，连结BG.
在ADC和GDB中，
点评：将中线加倍是常用的作辅助线方法.
考点4 变换
只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：
①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换. 如图4，把ABC沿直线BC移动到A1B1C1和A2B2C2位置，就是平移变换.
②对称变换：将图形沿某直线翻折180O，这种变换叫做对称变换.如图5，将ABC翻折180O到ABD的位置，就是对称变换．
③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换. 如图6，将ABC绕过A点旋转180O到AED的位置，就是旋转变换.
我们知道，无论是平移变换、对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．
例4如图7，已知ABC是等腰直角三角形，∠C = 90O.
（1）操作并观察，如图7，将三角板的45O角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长的线段是否始终是EF？
写出观察结果.
（2）探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2= AE2 + BF2）？如果能，试加以证明.
解析：（1）只须旋转∠ECF再用刻度尺量一量或观察，即可得到.
（2）要判断EF2= AE2 + BF2，思路是把AE、EF、FB搬到同一个三角形中，通常有平移、翻折、旋转等方法，解答此题用翻折的方法，得到与AE、BF相等的线段，并且它们和EF在同一个三角形中.
解答过程如下：
（1）观察结果是：当45O角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.
（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：
如图在∠ECF的内部作∠ECG = ∠ACE，
使CG = AC，连结EG，FG，
ACE≌GCE，
∠A = ∠CGE，同理∠B = ∠CGF，
∠A + ∠B = 90O，
∠CGE + ∠CGF = 90O，
∠EGF = 90O，EF为斜边.
点评：探索、猜测是整个题目的重点、难点，从操作中获取信息是探索问题过程中最重要的.
反思
1.考纲要求
理解全等形的有关概念和性质，并会运用性质定理进行计算；掌握全等三角形的判定方法，会运用定理进行简单的推理或计算；能够运用全等三角形的性质和判定定理解决实际问题，培养几何计算和逻辑推理能力，养成用数学知识解决问题的意识.
2.构造全等三角形的方法
图形的平移、旋转和轴对称现象是“空间与图形”中的重要组成部分，该部分内容的学习强调学生的数学活动，发展学生的空间观念。结合本校“自能学习”的理念，让学生主动、积极地获取知识，在教学“图形的平移、旋转和轴对称现象”时处理好以下几点，就能在发展学生空间观念的同时，提高学生的学习能力。
课前预习，形成初步表象
现代教育认为：“课堂教学，不应把学生当作‘收音机’，只接收信息。而应为学生创设一个宽松氛围，提供‘舞台’，让学生亲身去体会、去观察、去发现、去探索、去交流。这才是学生获取知识的真谛。”
人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材，特别是图形的平移、旋转和轴对称知识大多可以联系实际生活，在教学前可以让学生独立预习，并根据自己的理解搜集生活中的“图形与变换”现象。让课堂教学与学生生活实际紧密联系，能够使学生增强学习兴趣，更好地理解和掌握基础知识，体会到生活离不开数学。作为学习活动的组织者和引导者，不能忽视学生的自学能力，如在教学《对称图形》时孩子们收集了许多漂亮的图片，有小动物，有生活中的物品，有数字卡片，有几何图形等，真是琳琅满目。课前孩子们已经在观察、比较这些图形的特点，随着你一言、我一语的交流中，模糊地知道了什么是对称，什么样的图形是对称图形。这样，在新课的导入阶段避免了“注入”之嫌，让学生以轻轻松松、简简单单的状态学数学，甚至提高了学生的审美情趣。
动手操作，准确理解现象
在学习新课之前，学生通过预习已经对轴对称、平移和旋转有了初步的认识。加上教材是结合学生熟悉的生活情境进行安排的，学生完全可以通过观察、想象、分析和推理等过程，独立探究出结论。因此，教师要切实组织好学生的课堂活动，为学生创造进行“自能学习”的时间和空间。学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。教师作为组织者和参与者，应该让学生积极主动地进行探索学习。让每一个学生都参与看一看、折一折、画一画等操作活动，不要让教师的演示或少数学生的回答代替每一位学生亲自动手、亲自体验和独立思考。这样学生的空间想象力和思维能力才能得以锻炼，空间观念才能得到发展。
同时，教师作为学习活动的引导者和指导者，要在学生充分进行“自能学习”的同时，适时点拨、引导，让学生准确理解平移、旋转和轴对称现象，正确解决实际问题。如：学生在形成了轴对称的表象后不一定能说出轴对称和对称轴的概念，这就需要教师点拨，不需要说出准确概念，但必须用“折叠”“完全重合”等词语总结出轴对称现象。又如，在理解了平移、旋转和轴对称现象后，在方格纸上画出轴对称图形的另一半或图形平移、旋转后的图形是难点，光靠学生的“自能学习”是不够的。
教师应该在学生充分进行动手操作、总结后，用更加精炼、准确的语言加以点拨。要说清平移，要素有三个：①基本图形――是什么图形发生了平移;②方向：向什么方向发生了平移;③距离：平移了多远。旋转的要素有四个：①基本图形――是什么图形发生了旋转;②旋转中心――是绕哪个点旋转的;③方向：向什么方向发生了旋转，是顺时针还是逆时针;④角度：旋转了多大的角度？轴对称的要素要有二个：①基本图形――是以什么图形为基本图形进行变换？②对称轴――以哪条线为对称轴作变换？这样，学生的“自能学习”加上教师的适时指导，能使学生准确理解现象，并灵活运用。
课后拓展，发展空间观念
图形的平移、旋转和轴对称现象作为学生对几何知识的初步认识，这从本质上就反映出了课程的目标价值取向：除了掌握图形变化的特征外，还应发展空间观念、发展几何直观、发展推理能力等。
教学通过具体的实例来展示，使学生知道一个简单的图形经过平移、旋转或轴对称能形成一个较复杂的图形，并能运用图形的变换在方格之上设计出美丽图案。
在教学这一课时，教师注重结合学生的直观察看，动手操作，充分想象，从这三个层面引导学生展开学习。
一、观察
教材呈现了多个有简单图形经过平移、旋转或轴对称形成复杂图形的情景。教师教学时通过鼓励、引导学生通过观察、比对来分析图形变换的过程，并多次让学生尝试用自己的语言进行表述图形变换过程，充分调动学生的空间想象力，发展空间观念。
例如在教学“平行四边形面积”中，教师在演示把平行四边形转化成一个长方形的同时，适时设计问题，让学生联系生活中的事例进行思考:（1）平行四边形的面积和长方形的面积有何关系？（2）平行四边形的底、高与长方形的长、宽分别有什么关系？（3）怎样求平行四边形的面积？在教学中落实“以学生为本”的教学理念，在教学内容设计上要充分考虑到学生的生活实际和思维能量。
学生在熟悉的贴近自己生活实际的学习内容上，通过自主探索、积极思维，解决问题、发现本质并找到规律。过程设计中以学生为主，把握住学生的思维空间，学生作为学习的主人，在和同学共同探讨交流的学习活动中理解和掌握了学习内容。满足了学生发展需要。
二、实际操作
在学生会观察的基础上，让学生用课前准备的三角形等图形在方格纸上进行平移、旋转等操作练习并同桌之间互相交流，再请几位学生展示自己图形变化的过程，并能用自己的语言有条理的表述设计图行变化的过程。在操作中对学生的空间想象能力要求到位，是发展学生空间观念的有效途径。即“先想一想，做一做，在说一说”在学生动手操作中，注重让学生结合操作思考问题，并把操作、思考和语言表述有机的结合起来，能有效的提高教学质量。
三、充满想象力
教学安排注重启发引导学生通过观察展开想象。比如想一个等边三角形的平移时的方向和距离，旋转时去想围绕哪个点，顺时针还是逆时针方向，旋转多少度。教学中通过各种方式，尽可能使更多学生参与交流讨论。想像图形的变化，怎样变，变得过程是怎么样的，得到什么样的结果。
教师引导学生通过观察、操作、想象，经历一个简单图形经过平移、旋转或轴对称变换复杂图形的过程，能条理清晰地表达图形的变化过程，强化了学生的空间观念。鼓励学生充分想象，能在方格纸上设计出美丽的图案。感受图形世界的神奇。
四、鼓励学生敢于质疑
质疑问难是探求知识，发现问题的开始。因此，从儿童的好奇、好问，求知欲望盛等特点出发，引导学生勤于思考问题，善于发现问题，鼓励学生大胆提出问题，也是培养学生创新意识的重要措施。例如在教学“循环小数”时，有意识让学生计算7÷3，58.6÷11，学生在计算时发现总是除不尽，而且商的各位上的数字总是不断重复出现，于是心里充满了好奇疑问。这时教师适时地问学生，你发现了?什么鼓励学生大胆地提出心中的疑问:“为什么这两道题总是除不尽？”“为什么商当中总有重复出现的数字？”教师指出这样的小数叫循环小数。接着让学生以小组为单位探讨疑问，给循环小数下定义。在学生动口、动手、动脑过程中，学生的思维在不知不觉中得到发展。
五、注重学生学习体验
中考命题规则中的基础性、全面性原则中表明了要对学生的空间观念进行考察。在中考中通常有这样的一些题型：空间想象，图形变换，分解图形，坐标表示。这些题型所要考察的就是学生的空间观念。如果学生具有较强的空间观念，那么对这些题型完全不用担心。
“认识图形，掌握它们的特征及周长、面积与体积的计算规则，进而运用它们解决问题”，这些曾是“几何初步知识”领域重要甚至唯一的教学目标。如今当数学学习对于人的发展的价值再一次被重新认识和界定时，我们是否可以做出这样的判断：仅仅掌握一定的几何知识、形成相关的解题技能，已远远无法满足个体对于数学学习的价值期待。空间观念的积累，可以逐步形成空间想象力，这将为目前和以后的学习奠定必要的基础。有了空间观念，学生才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面这样的几何概念。
二、对发展学生空间观念的思考
（一）图形分解与组合是学生能发展空间观念的基本保证
分解图形通常是指学生能从较复杂的几何图形中分解出基本的图形，并分析其中的基本元素及其关系。组合则是学生能够利用基本图形的特性，将若干简单的图形组合成为符合条件的图形。
这个题是将三角形作为载体，，通过角的变化来对变化过程（从特殊情况到一般情况）的不变量进行探求。不仅仅考察了学生的阅读理解、图形观察能力、归纳和思维发散的能力，还重点的考察了学生的图形分解能力（解决本题的关键是找出基本图形角，利用角的轴对称性解题），特别是对类比过程中的变化问题进行了重点考查。
（二）发展学生是空间观念，图形的变换与操作是必要途径
图形的变换与操作，在《标准》中主要涉及轴对称、平移、旋转与位似。这里主要就对2005年北京海淀区一道数学题进行分析。
该题中考查了图形对称性，而且图形不是进行一次对折，而是进行两次或多次的对折，这就要求学生在折叠过程中对折后图形的性质和状态有正确的认识。此过程是学生获得对折运动表象和信息加工的过程。如果学生没有良好的空间观念作基础，那么在做这个题的时候必然存在着很大的困难。从这个案例中可以得到这样的结论：对于轴对称图形与对折次数超过两次的图形题，学生必须学会图形变化，并通过图形变换的方法来发展空间观念。
（三）具备良好的几何直观能力是学生空间观念成熟的标志
一、巧用变换（平移、旋转）化不规则图形为规则图形
例1 如图1，P内含于O，O的弦AB切P于点C，且AB∥OP.若阴影部分的面积为9π，则弦AB的长为（ ）
解析：两圆内含，阴影部分的面积为9π，如果将P向左平移，与O构造同心圆，此时阴影部分的图形为环形（如图2），环形的面积为πR2-πr2=π（R2-r2）=π（OB2-OC2）=9π，则此时SCOB已构造成直角三角形，借助数形结合巧妙构建勾股定理求解，即弦AB=2BC=
2
点评：有关弦长计算问题，常过圆心作弦的弦心距，利用半径、弦长的一半及弦心距三边勾股关系求解.在计算有关不规则图形面积时，通常是将这些图形通过割补、剪拼等方法，将它们转化为基本图形的和、差关系，这种化归可以有效解决许多问题，往往会使所求问题化难为易.
例2 如图3分别以正方形ABCD的边AB、AD为直径画半圆，若正方形的边长为a，阴影部分的面积是.
解析：连AC、BD如图4，则绕AD中点将图中②逆时针旋转90°到图中③，将图中①绕AB中点顺时针方向旋转90°到图中④，则原图中阴影部分的面积就和DBC的面积相等，即图中阴影部分的面积=SDCB=12
S正方形ABCD=12a2.
点评：有关图形面积的计算，常直接运用图形面积计算公式与间接计算（相关图形面积的加减拼凑）.本题解题关键是把握阴影部分的面积与整体图形（或相关图形）面积之间的关系，通过相关图形的割补或等积变形等，实现不规则图形向规则图形的转化，变换在解题中主要体现在以下两个方面：一是题设条件和结论关系不明显或条件不易集中利用的情形下，通过变换操作起到铺路架桥的作用，二是图形错综复杂，但图形中的量与量之间关系多，这时也可看能否使用变换法，改变部分图形的位置，使题目中隐藏的关系明朗起来，从而找到解题途径与策略.
二、巧用旋转化分散为集中
例3 如图5，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P.
点评： 在处理一些几何问题时，有时不能直接解答，如果我们能恰当地运用旋转，使分散、不相关的几何图形重新组合，进而酝酿与构建特殊图形之间的位置、大小或形状，从而使问题得到突破与解决.像本例一类题不但要注意正方形的四边相等，还需要注意夹在平行线段间的平行线段也相等，思考时要仔细分析，观察图中线段之间，角之间的数量关系，位置关系，为解决问题积累素材，创造条件.
三、巧用对称构全等
例4 问题背景 在ABC中，∠B=2∠C，点D为线段BC上一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系.例如，在图6（1）中，当AB=AD时，可证得AB=DC，现在继续探索：
任务要求：（1）当ADBC时，如图6（2），求证：AB+BD=DC；
点评：遇到角平分线或者垂线段时，并且证明结论中的线段是角平分线或者垂线段一旁的三角形的一条边时，常借助相关图形（等腰三角形、角、线段、特殊四边形等）对称思想，在另一旁构造此三角形的全等三角形，实现相关图形的翻折，化分散条件为集中，化一般图形为特殊图形.
四、巧用对称破解最短距离
例5 （1）观察发现
如图8（1），若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小.
做法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′，与直线l的交点就是所求的点P
再如图8（2），在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小.
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连结CE交AD于一点，则这
点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为
如图8（4），在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD.保留作图痕迹，不必写出作法.
解析：（1）首先由等边三角形的性质知，CEAB，在直角BCE中，∠BEC=90°，BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE=3.
（2）如图9，作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连结OA、OB、OE，连结AE交CD于一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AEB=15°，因为B关于CD的对称点E，所以∠BOE=60°，所以OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以OAE为等腰直角三角形，所以AE=22.
