时间：2023-05-30 10:17:35
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇双曲线的定义，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
新的数学课程标准是在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用。所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力。双曲线的定义和焦点弦是圆锥曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重点和热点，角度常变，常考不衰。但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展补充。因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用。为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨。
1 双曲线的两个定义
定义1：我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。
定义2：平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线l）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当0
例1 (2008湖南）若双曲线(a>0,b>0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．(1，)；B．(，+∞)；
C．(1，)；D．(，+∞)
分析：本题是圆锥曲线中的计算问题，设双曲线的右支上一点为P(x1,y1)，x1≥a，则点P到左准线的距离为，到右准线的距离为，由双曲线的第二定义得点P到右焦点的距离为，所以=，解得，由x1≥a，得≥a，整理得c2-2ac-a2≤0，即e2-2e-1≤0(e>1)，解得1
2 焦点弦问题
2.1 焦点弦的一个性质
设双曲线方程为，离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为α，则有
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的同支上时，|cosα|
当直线l与双曲线的两个交点A，B在双曲线的异支上时， |cosα|>1-e （2）
当直线l与双曲线只有一个交点时，|cosα|=1-e （3）
证明：由对称性，不妨设F为有焦点(c,0)
（1）由渐近线与弦AB斜率的关系知
⇒1+tan2α>e2⇒sec2α>e2
⇒|cosα|>1-e 。
（2）首先A，B在双曲异支上时，由渐近线与弦AB斜率的关系知
，
，
⇒1+tan2α
（3）由于直线l与双曲线有且只有一个交点，依题意则直线l与该双曲线的渐近线平行，即 ，
，
。
2.2 弦长公式
设双曲线离心率为e，直线l经过双曲线焦点F且与该双曲线交于A，B两点， 倾斜角为θ，焦点F到相应准线的距离为d，则有
当双曲线方程为，弦AB的长。
当双曲线方程为，弦AB的长。
证明：当焦点在X轴上时，设双曲线方程为，焦点F(c,0)到相应准线的距离为，离心率为。
先推导弦AB所在直线的参数方程，首先AB所在直线的一般方程为y=tanθ(x-c)，此直线方程可看做是直线y=tanθ・x按向量(c,0)平移得到的，而对直线y=tanθ・x，设x=tcosθ，则y=tsinθ，即可得上述直线的参数方程为
x=tcosθ+c
{y=tsinθ（t为参数），
事实上，令
=|t1-t2|。
可发现参数t的几何意义为直线AB上的某段弦长。
将弦AB所在直线的参数方程与双曲线方程联立，并整理得
(b2cos2θ-a2sin2θ)t2+2b2ccosθt+b4=0，
于是，由上述t的几何意义，
。
如果直线l斜率为k， 。
2.3 应用举例
例2已知双曲线的左焦点是F，过F且倾斜角为45°的直线与椭圆的两个焦点在y轴的不同侧，求椭圆离心率e的取值范围。
解：由题意及上述性质1(1)得|cosα|=1-e ，所以，即。
参考文献：
[1]数学课程标准解读（实验）[M].北京师范大学出版社，2002
[2]普通高中课程标准实验教科书（选修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2004
双曲线不在必修系列中的，是高中的选修2-1里的内容。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的半实轴。焦点位于贯穿轴上它们的中间点叫做中心。从代数上说，双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对（x,y）的多于一个的解。注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。，双曲线的图像无限接近渐近线，但永不相交。
（来源：文章屋网 ）
注意到椭圆与双曲线在定义与标准方程的差别仅在“和”与“差”上，因此表现在性质的差异上可能就是矛盾的两个方面。抓住这一点，可以先研究椭圆的几何性质，然后再类比到双曲线上。为便于讨论，只以焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程进行讨论。
一、内外之分
1.设椭圆 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为椭圆上除顶点外的任一点，过椭圆的一个焦点作∠F1QF2的一个外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
证明：如图1，QP为∠F1QF2的一个外角平分线，过F2作QP的垂线，垂足为P。延长F2P与F1Q的延长线交于点N，则QP为F2N的垂直平分线，|QF2|=|QN|，又|QF1|+|QF2|=2a，|F1N|=2a，又OP为F1F2N的中位线,所以OP∥F1N且OP=a，所以P在以O为圆心，半径为a的圆上。
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过双曲线的一个焦点作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是圆的一部分。
本题结论本身也许并不重要，但解题依据却是最基本的定义，题目条件中的外角平分线与内角平分线的差别恰好就是椭圆与双曲线在定义上区别的体现。
二、正余有别
1.设椭圆a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上
除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积 证明：如图2，由椭圆定义得：|QF1|+|QF2|=2a （1）QF1F2中，由余弦定理可得：|QF1|2+|QF2|2-2|QF1|・|QF2|
cosθ=4c2 （2）
（1）式平方-（2）式得2|QF1|・|QF2|（1+cosθ）=4a2-4c2，
上述性质类比到双曲线上，即可得到：
设双曲线 （a，b＞0）两焦点为F1，F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，∠F1QF2=θ，则三角形F1QF2的面积
本题结论中，两个面积公式的不同之处仅在正切与余切的区别上，这种形式的类似既是曲线性质规律性的反映，也是运用类比方法的典型案例。
三、对立统一
1.直线y=kx+b与椭圆（a，b＞0）交于A，B两点（图3），设AB中点为M，O为坐标原点，则有
（其中e为离心率）。
证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），则有：
整理得， ，所以有上述性质类比到双曲线上，即可得到：直线y=kx+b与双曲线
交于A，B两点，设AB中点为M，O为坐标原点，则有（其中e为离心率）。
在学习圆锥曲线中，首先要抓住定义，只有真正理解和掌握了定义，才能找到解题思路，避免走入死胡同.
一、选择题中定义的利用
例1 椭圆x26+y22=1和双曲线x23-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是（ ）.
解 由条件知，|PF1|+|PF2|=26，|PF1|-|PF2|=23（不妨设|PF1|>|PF2|），
|PF1|=6+3，|PF2|=6-3.
又 |F1F2|=4，cos∠F1PF2=13.
答案 A.
分析 直接计算|PF1|，|PF2|，思路混乱，而且计算量较大.如果用椭圆和双曲线的定义，解题过程会大大简化.
例2 F1，F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）.
A圆
B椭圆
C双曲线
D抛物线
解 延长F2P交F1Q的延长线于M，得|F1Q|+|F2Q|=2a，|F2Q|=|MQ|.而|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a，则点M（x0，y0）的轨迹方程为
（x0+c）2+y20=4a2.①
设P点坐标为（x，y），P为F2M中点，
x=c+x02，y=0+y02，x0=2x-c，y0=2y.
代入①，得（2x-c+c）2+（2y）2=4a2，x2+y2=a2.
分析 仔细作图观察，利用椭圆定义及角平分线，难题就不难了.
二、填空题中定义的利用
例3 抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标.
解 设待求点的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得x0+3=9，解得x0=6.代入抛物线方程得y0=±62，所以满足条件的点为（6，-62），（6，62）.
答案 （6，-62），（6，62）.
分析 利用抛物线的定义，转化条件，可以减少运算量.
例4 双曲线的虚轴长为4，离心率e=62，F1，F2分别是它的左、右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|=.
解 |AF2|-|AF1|=2a，|BF2|-|BF1|=2a，
|AF2|+|BF2|-（|AF1|+|BF1|）=4a.
又 2|AB|=|AF2|+|BF2|，|AF1|+|BF1|=|AB|，
2|AB|-|AB|=4a，|AB|=4a，而2b=4，ca=62，c2=a2+b2，
|AB|=82.
分析 此题两次应用双曲线的定义，步骤清楚简单，何乐而不为.
三、解答题中定义的利用
例5 设点F（2，0），动点P到y轴的距离为d，求满足条件|PF|-d=2的点P的轨迹方程.
解 由题意，得|PF|=2+d.
当P在y轴右侧时，为|PF|=x+2，
点P在抛物线y2=8x上.
当P在y轴左侧时，|PF|=2-x，
有y=0（x
所求轨迹方程为y2=8x（x≥0）和y=0（x
变式 一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时过点（3，0），求动圆圆心M的轨迹方程.
解 由已知，得（x+3）2+y2=4.
设圆心为A，A点坐标为（-3，0），B（3，0），动圆半径为R，
得|MB|=R，|MA|=R+2.
因此|MA|-|MB|=2
故M点轨迹为双曲线的右支，且2a=2，2c=6，
即a=1，c=3，b=22.
因此其方程为x2-y28=1（x≥1）.
例5和变式题都是用定义得出轨迹方程的，从这两道题可以深深体会到定义的重要性.
例6 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍，求椭圆与双曲线交点的轨迹.
解 设椭圆与双曲线的交点P（x，y），得
|PF1|+|PF2|=2||PF1|-|PF2||.
即|PF1|=3|PF2|或|PF2|=3|PF1|.
将点P（x，y）代入，得
（x+5）2+y2=9或（x-5）2+y2=9.
故所求轨迹为圆心在（5，0），半径为3的圆，除去（2，0）和（8，0）两点；或圆心在（-5，0），半径为3的圆，除去（-2，0）和（-8，0）两点.
[HTH]一、加强定义、标准方程、几何性质的对比[HT]
圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质是全面深入理解圆锥曲线的基础.对其进行全面的探讨，对易混淆的概念加以对比、甄别，对带有共性的概念加以概括，可以为解题打下坚实的根基.
1.全面理解椭圆与双曲线的定义
对于椭圆与双曲线的定义、方程，教材已给出了明确的说明与推导，但是有一些“隐言”，我们还需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知两定点F1,F2和一动点M,则“|MF1|+|MF2|=2a(2a为正常数)”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( ).
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
[HTH]解[HT]：当2a=|F1F2|时，点M的轨迹为线段F1F2；当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹为椭圆;当2a＜|F1F2|时，[JP3]点M的轨迹不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]点M的轨迹为椭圆.由椭圆定义可知，反之可行.故选B.[JP]
[HTH]评注[HT]：本题易错选C，这不是粗心大意的问题，而是对基本概念认识不全面、不到位.对于双曲线的定义也需作类似的深入理解.
2.局部甄别椭圆与双曲线的异同
高考中，与椭圆、双曲线有关的三个常考点为：离心率，a,b,c的关系，双曲线的渐近线.前者在椭圆与双曲线中的表达形式同为e=ca，而后两者却相异，在椭圆中有c2=a2－b2，在双曲线中有c2=a2+b2，且只有双曲线有渐近线，椭圆没有.
[HTH]例2[HT] 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与双曲线x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点F1，F2，且一个交点为P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求椭圆的离心率的取值范围；
(Ⅱ)若椭圆的离心率为32，求双曲线的离心率与渐近线方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)设椭圆与双曲线的半焦距均为c，由题意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨设|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
设椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)当e1=32时，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是双曲线的渐近线为y=±mnx，即y=±2x.
[HTH]评注[HT]：解决本题需要对椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率及双曲线的渐近线等概念非常清晰，否则解题思路易混乱.
3.高度概括抛物线的标准方程与图形的关系
相对于椭圆与双曲线，抛物线的形式更为多样化，而且易引起图形、标准方程、焦点与准线之间的混淆.其实经对比分析，可概括为如下两点：
(1)对称轴由一次项决定，开口方向由一次项的系数决定；
(2)焦点与p2相关，准线与焦点对应，结合图形可确定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知抛物线y=－x2上一点P到其焦点F的距离为54，则点P的坐标为.
[HTH]解[HT]：抛物线标准方程为x2=－y，故其对称轴为y轴，且开口方向向下，其图象如图1所示，又2p=1，p2=14，由图1知，F(0,－14)，抛物线的准线方程为y=14.
设P(x0,y0)，则14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
点P的坐标为(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]评注[HT]：本题从方程回归到图形，借助图形直观快捷地解决了问题.这得益于从整体上对抛物线的图形、标准方程、焦点与准线的高度概括与把握.
[HTH]二、关注与圆锥曲线相关典型结论的收集[HT]
过程繁杂，结果简洁，是解几问题的特色.长期以来吸引着众多数学爱好者投身其中，使得一些新结果层出不穷，不少高考题就是以这些结果为背景编拟的，所以我们平时多收集一些典型的结论，对提高解题效率大有裨益.
1.与椭圆相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，椭圆越扁.
(2)同焦点：与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距离：①过焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则ABF2的周长为定长4a(两次用定义可得)；
[JP3]③弦长公式:斜率为k的直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面积：①点M在椭圆上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定义及余弦定理推导)；
②直线l过椭圆的左焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最大值为2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推导).
(5)直线的方程：①直线l过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)内一点P(x0,y0)(非中心),与椭圆交于A，B两点,且点P平分弦AB,则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(设出A，B的坐标,代入椭圆方程后,两式相减,代入P的坐标,可求斜率,进而可求)；
②直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于点P(x0,y0),则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=1(由方程组法可得).
以上结论请读者根据提示自行推导，这里不再详述，对于双曲线、抛物线的结论亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全国卷Ⅰ)[HT]椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].过F1的直线l交C于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为.
[HTH]解[HT]：由结论(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，则c=2[]2，得b2=8，
故C的方程为x216+y28=1.
评注：熟悉一些典型结论便于直截了当地处理问题.
2.与双曲线相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，双曲线越扁.
(2)同焦点:与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦点的双曲线方程为x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距离：①过右焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与双曲线左(下)支交于两点A,B,则|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面积：①点M在双曲线上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直线l过双曲线的左焦点F1,与双曲线交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最小值为2b2e.
(5)渐近线：①两条渐近线互相垂直两条渐近线为y=±x等轴双曲线e=2；
②以直线y=±kx为渐近线的双曲线方程为y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的两条渐近线互相垂直,则直线l1:ax+by+a=0与直线l2:x+y+k=0(k＞1)的位置关系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的结论①知，该双曲线为等轴双曲线，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
评注：本题省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推导过程，直接得到了答案.
3.与抛物线相关的一些典型结论
(1)形状：p(p＞0)的值越小，抛物线越扁.
(2)距离：过焦点F的弦长中,以垂直对称轴的弦(通径)最短.
(3)焦点弦：直线l过焦点F,与抛物线y2=2px(p＞0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
①|AB|=x1+x2+p;
②以AB为直径的圆与准线相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB为钝角；
⑤设F′(－p2,0)，则当lF′F时，ABF′的面积的最小值为p2.
[HTH]例6[HT] 直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点，则OAB的面积的最小值为.
[HTH]解[HT]：由结论（3）中的⑤知，设F′(－1,0)，则SABF′=2SOAB，当ABx轴时，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
（1）你知道椭圆、双曲线、抛物线的第一定义吗？
作答：______________________
（2）椭圆、双曲线、抛物线的第二定义你掌握了吗？
作答：______________________
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆；与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线；与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
（2）已知点F是平面上的一个定点，l是平面上不过点F的一条定直线，动点P到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e． 当0
椭圆的几何性质
（1）你知道椭圆的焦半径公式吗？焦点弦公式还记得吗？
作答：______________________
（2）如何计算椭圆的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（3）你知道如何求解椭圆的切线方程吗？
作答：______________________
双曲线的几何性质
（1）双曲线的焦半径公式还会用吗？
作答：______________________
（2）如何计算双曲线的焦点三角形的面积？
作答：______________________
（3）与已知双曲线有同一条渐近线的双曲线方程如何表示？
作答：______________________
（4）你知道如何求解双曲线的切线方程吗？
作答：______________________
抛物线的几何性质
（1）与抛物线的焦点弦相关的四条性质，你还记得吗？
作答：______________________
（2）你知道如何求解抛物线的切线方程吗？
作答：______________________
以y2=2px（p>0）为例．
（2）过抛物线y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）；过抛物线y2=2px（p>0）外一点P（x0，y0）所引两条切线的切点弦方程是y0y=p（x+x0）．
直线与圆锥曲线的位置关系
（1）如何判断直线与圆锥曲线的交点？
作答：______________________
（2）圆锥曲线与直线的弦长公式你还记得吗？
作答：______________________
（3）求轨迹方程的常用方法有哪些？
作答：______________________
从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT与b－a的关系为（ ）
A． MO-MT＞b－a
B． MO－MT=b－a
C． MO－MT＜b－a
D． 不确定
图1
错解 设双曲线的右焦点为F2，连结OM和PF2，由M为线段FP的中点和O为两焦点FF2的中点得MO=PF2 ． 由FP的中点M在切点T的右侧得MT=MF-FT=PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT． 由双曲线的定义和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，FT===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此题选B．
剖析 上面的思路是：由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义求解，这样做确实很简单，几乎没有计算量． 这可能是许多高中数学教师的想法，也可能是命题人的意图． 但是我们注意到这个选择题中有答案D：不确定，所以我们自然会提出问题：由给出的图知线段FP的中点M在切点T的右侧，那么一定在右侧吗？可不可以在左侧？可不可以重合？结果又会怎样呢？
①当线段FP的中点M在切点T的右侧时，如图1所示：上面已求得MO-MT=b-a.
②当线段FP的中点M在切点T的左侧时，如图2所示：
MO=PF2不变，FT=b不变，发现MT=FT-MF=FT-PF变了，此时MO- MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由双曲线的定义和P在右支上知PF=PF2+2a，此时MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，无法确定和b-a的大小关系． 好像进入了死胡同，但是当我们回过来看一下此种情形时，MO=PF2，MT=b-PF，我们感觉要想利用双曲线的定义，计算MO-MT肯定不好，最好计算MO+MT，此时MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此结果水落石处，显然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．
③当线段FP的中点M和切点T重合时，如图3所示：结果如何呢？
我们可能会犯习惯性思维的错误，认为MO-MT＞b-a，果真如此吗？我们来看一下，MO=OT=a，MT=0，此时MO-MT=a． 由M为线段FP的中点和O为FF2的中点得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由双曲线的定义和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此时MO-MT=b-a．
综上，此题选D．
点评 1. 由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义求解，这确实是一个好的解题思路，但容易漏掉后面两种情形，特别是处理第2种情形时其思维跨度比较大．
2. 因为这是一个选择题，所以有另一种解法：
看到MO-MT，易想到三角形MTO中两边之差的绝对值小于第三边，从而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（当且仅当M和T重合时取“=”）． 我们可以先看M和T重合时，易得b=2a，MO-MT=b-a；因为答案D为不确定，所以还得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而当b＞2a时，b-a＞a，因为MO－MT＜a，所以此时MO-MT＜b-a． 到此显然选D．
拓展1 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT的值是____．
分析一 由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义进行求解．
解法一 ①当线段FP的中点M在切点T的右侧时，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜边MO＞直角边MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此时a＜b＜2a）
②当线段FP的中点M和切点T重合时，上面已求得MO-MT=b-a.（b=2a）
③当线段FP的中点M在切点T的左侧时，由上面得到MO+MT=b-a，发现在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，从而MO-MT==． （由直角三角形中斜边MO＞直角边MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此时b＞2a）
综上：当线段FP的中点M在切点T的左侧，即b＞2a时，MO-MT=；当线段FP的中点M在切点T的右侧，即a＜b＜2a时，MO-MT=b-a；当线段FP的中点M和切点T重合，即b=2a时，MO-MT=b-a．
分析二 在直角三角形MTO中，已知一直角边TO=a，要求的是斜边MO减去另一直角边MT，只要求出其中一个，另一个由勾股定理求之． 求MO，就是求PF2，可在PF2F中由余弦定理求解．
解法二 在RtFTO中，cos∠TFO==． 在PF2F中，设PF2=x，则PF=x+2a，FF2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化简得（b-a）x=a2+c2－2ab，将c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（显然b-a>0，若b-a≤0，上述方程无解），故x==b－a+． MO=PF2=x=b－a+，在RtMTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b－a）－（b>2a），－（b－a）（a
综上，当b＞2a时，MO-MT=；当a＜b≤2a时，MO-MT=b-a．
点评 解法一虽然简单，但容易漏掉其他情形且点M在左侧时的处理方法很难想到；解法二虽然计算量相对大一点，但比较保险、全面．另外由上面的两种解法容易得到以下两个命题．
拓展2 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO+MT与b－a的关系为（ ）
A． MO+MT＞b－a
B． MO+MT=b－a
C． MO+MT＜b－a
D． 不确定
提示 参考上面测试题的两种解法均可得答案D． 具体大小关系如下：当线段FP的中点M和切点T重合或在左侧时：MO+MT=b-a；当线段FP的中点M在切点T的右侧时：MO+MT＞b-a．
拓展3 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO+MT的值是____．
求与离心率e有关的问题是近几年江苏高考解析几何题常常考查的一类题，它涉及的知识面广，综合性强，所以难度也较大，且能很好地考查学生的综合能力和数学素养，但是学生往往因为建立不了不等式关系，或理不清思路感到无从下手.由离心率e=c[]a，则要求离心率e,就要求a,b,c的关系.所以要在题目条件中寻找a,b,c的关系.
本文通过几个例题谈谈几类常见的求离心率e的解题策略.
一、利用圆锥曲线的定义求离心率
例1 （2009年全国卷Ⅱ理）已知双曲线C:x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交双曲线于A,B两点，若AF=4FB,则双曲线的离心率为( ).
A.6[]5 B.7[]5 C.5[]8 D.9[]5
解 设双曲线C:x2[]a2-y2[]b2=1的右准线为l,过A,B分别作AMl于M,BNl于N,BDAM于D,由直线AB的斜率为3,知直线AB的倾斜角为60°,∠BAD=60°,|AD|=1[]2|AB|.
由双曲线的第二定义有
|AM|-|BN|=|AD|=1[]e(|AF|-|FB|)=1[]2|AB|=1[]2（|AF|+|FB|）.
又 AF=4FB,1[]e・3|FB|=5[]2|FB|,e=6[]5.故选A.
二、利用圆锥曲线的范围
例2 （2009年重庆卷理）已知双曲线x2[]a2-y2[]b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0)，若双曲线上存在一点P使sinPF1F2[]sinPF2F1=a[]c，则该双曲线的离心率的取值范围是．
解 因为在PF1F2中，由正弦定理得
PF2[]sinPF1F2=PF1[]sinPF2F1.
则由已知，得a[]P1F2=c[]P1F1，即aPF1=cPF2，且知点P在双曲线的右支上.
设点(x0,y0)，由焦点半径公式，得PF1=a+ex0,PF2=ex0-a，则a(a+ex0)=c(ex0-a).
解得x0=a(c+a)[]e(c-a)=a(e+1)[]e(e-1).由双曲线的几何性质知x0>a,则a(e+1)[]e(e-1)>a，整理得e2-2e-1
三、利用三角函数的有界性
例3 椭圆x2[]a2＋y2[]b2＝1(a>b>0)与x轴正方向交于点A，如果在这个椭圆上总存在点P使OPOA，O为原点，求椭圆离心率e的范围.
解 设P（acosθ,bsinθ）θ≠kπ[]2,k∈Z.
OPOA,bsinθ[]acosθ・bsinθ[]acosθ-a=-1.化简，得
a2[]b2=cosθ(1-cosθ)[]1-cos2θ=cosθ[]1+cosθ=a2-c2[]a2=1-e2.
e2=1[]1+cosθ.e2∈1[]2,1,e∈2[]2,1.
点评 本题关键在于建立e和三角函数的关系式，再利用三角函数的取值范围求出e的范围，是一种常见的求e的方法.
一、 考纲要求
1. 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程；
2. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；
3. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
二、 难点疑点
1. 圆锥曲线的定义及标准方程；
2. 圆锥曲线的离心率；
3. 与圆锥曲线有关的轨迹问题；
4. 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；
5. 与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题。
三、 经典练习回顾
1. 已知椭圆的离心率为12，焦点是（-3，0），（3，0），则椭圆方程为.
2. 设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=22围成的三角形区域（包含边界）为E，P（x，y）为该区域内的一个动点，则目标函数z=3x-2y的取值范围为.
3. 短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A、B两点，且|AB|=8，则ABF2的周长为.
4. 已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是.
5. 已知抛物线x=2my2（m
6. 已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，过F且斜率为3的直线交C于A，B两点.设|FA|>|FB|，则|FA||FB|的值等于.
四、 例题精析
题型一利用定义解题
涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义。对于后者，需要注意焦点与准线要同侧，不能弄错。
【例1】方程（x-2）2+（y-2）2=|x-y+3|表示的曲线是.
分析方程的两边直接平方展开比较麻烦，联想方程左边到定点的距离，而如果将右边转化为到定直线的距离，那问题就迎刃而解了。
解已知方程就是（x-2）2+（y-2）2=2·|x-y+3|2，由双曲线的第二定义，可知动点P（x，y）到定点（2，2）的距离与到定直线x-y+3=0的距离比为2，因为2>1，所以方程所表示的曲线是双曲线.
点拨从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线x-y+3=0的距离之比为2的动点（x，y）的轨迹，根据双曲线定义得方程所表示的曲线是双曲线。显然通过对方程的发现与联想利用定义来解简洁明了。
【例2】椭圆x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45°的直线与椭圆交于A、B两点且F分向量BA的比为2/3，求椭圆的离心率e。
分析本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。
解法一：设点A（xA，yA），B（xB，yB），由焦半径公式可得a+exAa+exB=32，
则2（a+exA）=3（a+exB），
变形2（a+exA-a-exB）=a+exB，
所以2e（xA-xB）=a+exB.
因为直线倾斜角为45°，
所以有2e·22|AB|=25|AB|，所以e=25.
提示本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。
解法二：|BE|=1e|BF|=1e·25|AB|，|AD|=1e|AF|=1e·35|AB|，
|AC|=22|AB|，|AD|-|BE|=|AC|，
1e·35|AB|-1e·25|AB|=22|AB|
e=25.
点拨本解法巧妙运用了几何性质，运算简洁直观。需要注意的是解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。
题型二直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等。解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解。
【例2】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为23.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围.
分析第（Ⅰ）小题利用直接法求解；第（Ⅱ）小题将直线与双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解；第（Ⅲ）小题需利用“垂直”与“平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第（Ⅱ）小题k的范围求解。
解（Ⅰ） 设双曲线方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），
由已知，得a=3，c=2，b2=c2-a2=1，故双曲线方程为x23-y2=1.
（Ⅱ） 设A（xA，yA），B（xB，yB ），将y=kx+2代入x23-y2=1，得（1-3k2）x2-62kx-9=0.
由题意知1-3k2≠0
Δ=36（1-k2）>0
xA+xB=62k1-3k2
xAxB=-91-3k2>0，
解得，33
当33
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得：xA+xB =62k1-3k2，yA+yB=kxA+2+（kxB+2）=k（xA+xB）+22=221-3k2.
AB中点P的坐标为32k1-3k2，21-3k2.
设l0方程为：y=-1kx+b，将P点坐标代入l0方程，得b=421-3k2.
33
b
b的取值范围为：（-∞，-22）.
点拨本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力。直线与圆锥曲线位置关系主要涉及交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决。特别地：（1）如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用“点差法”较为简单，但须注意对结果进行检验；（2）求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；（3）过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量。
题型三定值问题
定值问题是近几年我们江苏高考的一个热点和难点，从08年到现在年年考。而求解这类问题的方法有两种，其一是特值探路，方向明确根据特殊性与普遍性（个性与共性）的辨证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定值，得到启示，从而将问题化归为解几何证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明；其二是转化为多项式恒为零，对应的系数都为零来解。【例3】如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为32，过点A（a，0）与B（0，-b）的直线与原点的距离为 2105.又有直线y=12x与椭圆C交于D，E两点，过D点作斜率为k的直线l1.直线l1与椭圆C的另一个交点为P，与直线x=4的交点为Q，过Q点作直线EP的垂线l2.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线l2恒过一定点.
分析第（1）小题利用解方程来求解；第（2）小题将直线与椭圆方程联立消去y，然后利用韦达定理求出P点的坐标，代入斜率公式得到EP的斜率，然后再求出Q点坐标，再转化为关于k的一次多项式恒为零来解。
解（1） 因为椭圆C的离心率e=32，
故设a=2m，c=3m，则b=m.
直线AB的方程为bx-ay-ab=0，
代入得mx-2my-2m2=0，
即x-2y-2m=0.
所以2m1+4=2105，解得m=2.
所以a=22，b=2，
从而椭圆方程为x28+y22=1.
（2） 由题意可得D（-2，-1），E（2，1），则直线l1的方程为y+1=k（x+2）.
联立y+1=k（x+2），
x28+y22=1，得（1+4k2）x2+8k（2k-1）x+4（2k-1）2-8=0.
设P（x1，y1），则x1=-8k（2k-1）1+4k2+2.
直线EP的斜率为k1=y1-1x1-2=k（x1+2）-2x1-2=4k-21+4k2-8k（2k-1）1+4k2=-14k.
因为l2EP，所以直线l2的斜率k2=4k.
又由y+1=k（x+2），
x=4得Q点的坐标为（4，6k-1）.
所以直线l2的方程为y-6k+1=4k（x-4），整理得（4x-10）k=y+1.
所以直线l2恒过定点52，-1.
点拨本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系。本题综合性较强，是求定值问题较好的典范。
题型四圆锥曲线与向量的综合
圆锥曲线与向量知识的综合题，常以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力。在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等。
【例4】在直角坐标平面中，ABC的两个顶点A、B的坐标分别为A（-1，0）、B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①GA+GB+GC=0；②|MA|=|MB|=|MC|；③GM∥AB.（Ⅰ） 求ABC的顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ） 过点P（3，0）的直线l与（Ⅰ）中轨迹交于E，F两点，求PE·PF的取值范围.
分析由于涉及的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第（Ⅰ）小题就可求解。第（Ⅱ）小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立PE·PF关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果。
解（Ⅰ） 设C（x，y），G（x0，y0），M（xM，yM），
|MA|=|MB|，M点在线段AB的中垂线上.
由已知A（-1，0），B（1，0），xM=0，
又GM∥AB，yM=y0，
又GA+GB+GC=0，（-1-x0，y0）+（1-x0，-y0）+（x-x0，x-y0）=（0，0），
x0=x3，y0=y3，yM=y3，
|MB|=|MC|，（0-1）2+y3-02
=（0-x）2+y3-y2，
x2+y23=1（y≠0），顶点C的轨迹方程为x2+y23=1（y≠0）.
（Ⅱ） 设直线l方程为：y=k（x-3），E（x1，y1），F（x2，y2），
由y=k（x-3）
x2+y23=1，消去y得：（k2+3）x2-6k2x+9k2-3=0①，
x1+x2=6k2k2+3，x1x2=9k2-3k2+3，
而PE·PF=|PE|·|PF|·cos0°=|PE|·|PF|=1+k2|3-x1|·1+k2|3-x2|=（1+k2）|9-3（x1+x2）+x1x2|=（1+k2）9k2+27-18k2+9k2-3k2+3=24（k2+1）k2+3=24-48k2+3，
由方程①知Δ=（6k2）2-4（k2+3）（9k2-3）>0，k2
点拨本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查“设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力。本题解答有两个关键：（1）对条件中的向量关系的转化；（2）建立PE·PF关于直线斜率k的函数。解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大。
牛刀小试
1. 已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|=e，则e的值为.
2. 如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是.
2. 如图，P是椭圆x225+y29=1上的一点，F是椭圆的左焦点，且OQ=12（OP+OF），|OQ|=4，则点P到该椭圆左准线的距离为.
3. 在平面直线坐标系xOy中，已知ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB=.
4. 在直角坐标系中，过双曲线x2-y29=1的左焦点F作圆x2+y2=1的一条切线（切点为T）交双曲线右支于P，若M为线段FP的中点，求OM-MT的值.
5. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M（1，2），它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.（1） 求这三条曲线的方程；（2） 已知动直线l过点P（3，0），交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由.
6. 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.（Ⅰ） 求此时椭圆C的方程；（Ⅱ） 设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P0，33、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.
7. 设椭圆E：x2a2+y2b2=1（a，b>0）过M（2，2），N（6，1）两点，O为坐标原点.
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
8. 如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24+y23=1上一点P1，32，过点P的直线l1，l2与椭圆C分别交于点A，B（不同于P），且它们的斜率k1，k2满足k1k2=-34.
（1）求证：直线AB过定点；
双曲线：你是谁呀，走路不长眼！把我撞疼了。
椭圆：哦，对不起！怎么你长得这么古怪，简直是怪物！我们椭圆可不是你这幅怪模样！
双曲线：我可不是怪物，我叫双曲线！我觉得你才是怪物呢！大热的天把自己包得密不透风的。
椭圆：这可是我们椭圆的特别之处！我们家族的成员都是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。
双曲线：我们双曲线的定义是平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。记住了，以后别再班门弄斧了！
椭圆：我有标准方程x2a2+y2b2=1或y2a2+x2b2=1，其中a>b>0，你有吗？
双曲线：谁稀罕你那破方程，我又不是没有，x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）就是我的标准方程！ 我还有焦距，实轴、虚轴呢！方程中的a就表示实半轴，b表示虚半轴，半焦距用c表示并且c2=a2+b2。你有吗？
椭圆：哟，肚子里没货了就拿虚轴来充数呀！没有就是没有，干嘛还取那么好的一个名字，还“虚轴”呢，真是糟踏字！张大耳朵听着吧！我不但有焦距，还有长轴、短轴呢！标准方程中的a表示长半轴，b表示短半轴，半焦距也用c来表示，但是它们三者之间的关系是a2=b2+c2。这些轴可都是实实在在的轴！我还有离心率e呢！e=ca，并且e∈（0，1）。虚伪的家伙，你有吗？
双曲线：唉哟，你的离心率才那么点范围呀？我可比你大方多了，我的离心率e可属于（1，+∞）！
椭圆：我还有准线呢！焦点在x轴上的椭圆的准线方程为x=±a2c，焦点在y轴上的椭圆的准线方程为y=±a2c.
双曲线：老兄，那不值得你骄傲！我也有准线，并且和你的一模一样！
椭圆：我有四个顶点，你有吗？我看你那样子也弄不出四个顶点来.
双曲线：要那么多顶点把自己框得死死的干嘛！你瞧我，只有两个顶点，而我的范围却是x≤-a或x≥a，多轻松。再瞧瞧你，啧啧，我真同情你，到死了你上面的点也只能在x=±a与y=±b围成的矩形内活动。我差点忘了十分重要的一点，我还有两条渐近线，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±bax，焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y=±abx。渐近线的特点是它十分靠近双曲线却又永远不与双曲线相交，它们就像我们双曲线的保镖。你有吗？
椭圆：哦，老弟，我不跟你比了，我总觉得咱俩有好多地方相似甚至相同，你家住何处？
有人说，这不是明摆着的嘛，“双”曲线当然是指“两条曲线”了，错！双曲线的两支合并为一个整体，构成的应认为是“一条曲线”.那么为什么要叫“双”曲线呢？因为它有两支啊，繁琐的叫法则应是“由两支曲线合成的一条曲线”.数学中这种“名不副实”的称谓很多哩！上次我们说到“椭圆非圆”，明明是椭“圆”，但它根本就不是圆.再如，直线方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y轴上的截距”，它可为正，可为负，也可为0，所以它是直线y=kx+b与y轴交点的纵坐标，而决不是距离，所以有“截距非距”之说.这下该明白了吧？还不服！再看，什么叫做函数y=f（x）的“零点”？原来“零点”是“使函数f（x）的值为零的x的值”，呵呵，“零点非点”啊！学过复数的都知道，虚数单位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被称为“虚数”，但它是“虚无缥缈”的吗？不是，它是实实在在存在着的.想当初，有数学家首先提出虚数单位和复数的理论，却受到许多人的质疑，都认为虚数太“虚”了.后来虽发现复数理论有着广泛的应用，对数学的发展具有重要的推动作用，但“虚数”这个称谓却延续下来了，也好，留着这个“历史的足迹”，也会让后人感到回味无穷.但还有人想不通，笔者在你们的“逼迫”下，思维不禁变得十分亢奋，请看函数y=|tanx|的图象（如图1），它是由无数条曲线组成的，你叫它“几曲线”好？从整体上讲，它仍是“一条曲线”.“双”曲线非“两条曲线”啊！
图1
数学中的这些所谓“歪理悖论”表明的恰恰是数学家的智慧，给与我们深深的启迪，那就是视野开阔、思维活跃.
二、 由双曲线的渐近线想到的
提起双曲线，人们立即想到的是双曲线“独具”的渐近线.双曲线有渐近线，说是它的“特色”，可以；但说“独具”，不恰当，图1中的曲线竟有无数条渐近线：x=nπ+π2（n∈Z），所以说渐近线不是双曲线的“专利”.初中研究过的反比例函数y=xk（k≠0），其图象也是双曲线，它有两条渐近线，即x轴和y轴.指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的图象只有一条渐近线，即x轴.对于指数函数图象的渐近线，当时只有通过直观来理解，不可能作严格的逻辑证明.但对于双曲线的渐近线，我们还是可以有作为的.如双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其渐近线l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在双曲线第一象限内的半支上任取一点P（x0，y0），作PQl于Q（如图2），则P点到直线l的距离PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.请观察其中的1x0+x20－a2，因为在第一象限，所以x0值的变化趋势是无限增大，那么此式的变化趋势就是无限接近于0. 在教材后面一章《导数》中，我们会学到，由于a2ba2+b2是一个固定的值，而1x0+x20－a2无限接近于0，那么P到直线l的距离PQ也无限接近于0，将直线l称为双曲线的渐近线，当之无愧吧！由于图形的对称性，用哪个象限内的点都可以.这里反映了数学的一种极其重要的思想方法，今后还要多次研究和应用.
图2
还有个有趣的事实，不管是双曲线x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），还是双曲线x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），将等号右边的“1”换成“0”，就得到它们的渐近线方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你说这个方程是几次的？表面上看来是二次的，但它们是两个一次方程的“合成”，即分别为y=±bax，y=±abx.
三、 双曲线的“个性”
椭圆、双曲线和抛物线统称圆锥曲线，当然它们有一些共性，但在这里我们最感兴趣的当然是双曲线的“个性”.前面已述，它有渐近线，另外它的离心率属于区间（1，∞），还有别的吗？有哇！
（1） 包围椭圆的是一个矩形，此矩形被称为椭圆的辅助矩形.双曲线也有辅助矩形，但夹在两支曲线的内部；椭圆的辅助矩形永远不会是正方形，但双曲线的辅助矩形有可能是正方形，下面还要说到.辅助矩形的两条对角线就是双曲线的渐近线.
（2） 请看着图3，将思绪放开，用一种浪漫情怀展开遐想，成语“亭亭玉立”不禁闯入心怀，那么伟岸，那么挺拔，那么俊秀，让人心醉，让人动容！但不是所有双曲线都能取得如此优美的视觉效果，这大概与矩形邻边之比的取值有关吧？不错，后面将进一步来研究.
图3
（3） 在x轴右半轴上取点F2，使OF2=OC，则F2是双曲线的右焦点.太简单了，OA2=a，A2C=b，则OF2=OC=c.这是用几何方法找焦点的好方法.现在过F2作垂直于渐近线的直线，垂足为E，RtOEF2是一个很奇特、很有趣的三角形.渐近线的方程为y=bax，直线EF2的方程为y=－ab（x－c），两个方程联立，解得x=a2c.此值可不是一般的数值哦，此直线正是我们接触不久的准线.
其实不解方程组也可以得解，易知RtOEF2≌RtOA2C，则OE=a，EF2=b.过E作x轴的垂线，垂足为G，则由平面几何知识，得OG=a2c.有人可能不熟悉这个知识，不要紧，换一个“武器”，设∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，则OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函数与平面几何同源同根，只是表现形式不同，熟练掌握两种武器，届时用哪个方便就用哪个.这就叫做四通八达、左右逢源.这八个字对于数学学习的意义和作用就太大了，请大家在积极钻研的过程中逐步揣摩吧.
（4） 当a=b时，得双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它们的实轴和虚轴相等，这样的双曲线被称为等轴双曲线.那么有没有等轴椭圆呢？别引诱人上当了，等轴椭圆是不存在的.将圆称为等轴椭圆不行吗？不行，我们说了都不算，数学的理性精神不允许这样说.
等轴双曲线又有一些奇妙的特性，“等轴”，虽是废话，但这些特性却都是由“等轴”衍生出来的.图4中有个正方形，是双曲线的辅助矩形.反比例函数y=xk（k≠0）的图象也是等轴双曲线.
图4
等轴双曲线x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的渐近线，即辅助正方形的对角线y=±x；
（5） 等轴双曲线的半焦距为2a，所以等轴双曲线的离心率为2.数学中有个最优美的数，那就是“黄金数”5－12≈0.618，与黄金分割有关，本文不可能作详细讨论，只是“斗胆”提出2这个数也是非常优美的，可以说仅次于“黄金数”，联系太广泛了，这里不作讨论.
图4与图3中的双曲线，哪个更优美？图4中的双曲线“不胖不瘦”，虽不算“丑陋”，但比不上图3中的双曲线那么挺拔.前面问到什么样双曲线最漂亮？现在可以告诉大家的是，笔者认为，当图3中的矩形短边与长边之比为“黄金数”时，这样的双曲线最漂亮.
四、 双曲线趣题赏析
趣在何处？在上期《“玩”心太重的椭圆》中有过阐述，这里只重复八个字：风光无限，还是“好玩”！
例1 设双曲线C与双曲线E：x29－y216=1.
（1） 若双曲线C和E有共同的渐进线，且C过点A（－3，23），则双曲线C的方程为 ；
（2） 若双曲线C和E有共同的渐进线，则双曲线C的离心率为 .
解 析 （1） 的最佳解法为，设C：x29－y216=k，将点A的坐标代入，解得k=14，则双曲线C的方程为4x29－y24=1.
（2） 由（1），知双曲线C的离心率为53.
作为填空题，（1）可得满分，可是（2）却只能得0分.这可奇了怪了！满足（1）的条件的双曲线只有一个，可是满足（2）的条件的双曲线却有无数个，可分为两组，一组的焦点在x轴上，一组的焦点在y轴上，前者的离心率当然是53，后者的离心率为54.
点 睛 方程x29－y216=k对于简化题解的作用不可忽视；只因题（2）“过于”简单，就迅速轻率地导致“全军覆没”.这里的两组双曲线过去曾被称为“共轭双曲线”，若它们的离心率分别为e1，e2，则不难得1e21+1e22=1，道理很简单，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.没想到，一道简单的题目涉及的几个字母，做起“游戏”来还这么有趣，发人深省.
例2 若方程x22－|m|+y2m－3=1表示双曲线，则m的取值范围是 .
解 析 俗话说得好，“吃一堑，长一智”，这里可要小心了.由题意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，则（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，则（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.
综上，m的取值范围是（-2，2）∪（3，+∞）.
点 睛 题目虽小，却饱含知识和思维的丰富营养哩！
例3 设焦点在x轴上，中心在原点O的双曲线C的渐近线与以点A（0，2）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个焦点与点A关于直线y=x对称. （1） 求双曲线C的方程；
（2） 若P是双曲线C上不在x轴上的动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，从F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为点N，试求点N的轨迹方程，并指出点N的轨迹是何曲线.
解 析 （1） 如图5，因为点A（0，2）与F2关于直线y=x对称，所以双曲线的半焦距c=2，则双曲线的方程可设为x2a2－y22－a2=1.
图5
由已知，点A（0，2）到渐近线xa－y2－a2=0的距离为1，则2a2－a2+a2=1，解得a=1.
故双曲线的方程为x2－y2=1.
（2） 设F1N与PF2的延长线交于Q点，由角平分线的性质，知PF1=PQ.
则由双曲线的定义，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.
圆锥曲线的统一定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0
从以上定义可知，只要给出一个定点、一条定直线和离心率e的值，就可以确定相应的圆锥曲线.那么，怎么由一个定点、一条定直线和离心率e的值画出圆锥曲线并能方便地演示给学生看呢？利用《几何画板》这个工具就能很好地实现这个目的，现介绍如下.
打开几何画板5.03迷你增强版，点击编辑按钮点参数选项选择角度为弧度，精确度调为十万分之一；画一直线标签为“定直线（准线）”，在直线右方取一点F并标签为“定点（焦点）”.
取点A、B，标记B为中心，让点A关于B旋转180°得A′，构造线段AA′，在线段AA′上取点C；度量点C、A间的距离及点C、A′间的距离，计算|CA|与|CA′|的比值，标签为离心率e，左右滑动点C可以调节离心率e的大小，将点C的标签改为“左右滑动此点调节离心率”，隐藏点A、B、A′，隐藏距离|CA|与|CA′|的度量值，度量点F到直线l的距离并标签为p（抛物线的焦半径，对于椭圆和双曲线，它的值等于|a21c-c|）.
调节离心率小于1（将会画出椭圆），计算pe1|1-e2|并标签为a（椭圆和双曲线通用），计算a与e的积并标签为c（半焦距，椭圆和双曲线通用），计算a2-c2标签为b（椭圆专用）.
因为定点F在定直线l的右方，所以定点F和定直线l分别为椭圆的左焦点和左准线.将点F向右平移c个单位得一点标签为O，并将此点定义为原点建立坐标系，以点O为圆心作单位圆，在该圆上取点P，单位圆与x轴的交点标签为Z，度量∠ZOP的值，因为椭圆的参数方程为x=acosα
y=bsinα，所以，计算acos∠ZOP和bsin∠ZOP的值，分别以这两个值为横、纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可以得到椭圆；生成点P的动画并设置按钮，标签为“椭圆动画”.隐藏坐标系等.
将离心率调节为1，使椭圆的画面消失.计算-|1-e|+p12并标签为“抛物线调节量”，设计这个调节量是本文的独到之处，目的是当调节离心率小于或大于1时抛物线不会出现.在定直线l任取一点G，度量点G的横坐标XG，计算“抛物线调节量”与XG的和，并以这个值为横坐标、0为纵坐标绘制一点H，过H作一直线与过点F且垂直于准线l的直线垂直，设垂足为N，将点N定义为原点建立新的坐标系.在准线l上任取一点J，度量点J的纵坐标yJ，计算y2j12p的值，以y2j12p的值为横坐标，yJ为纵坐标绘制点M，选择点M、J构造轨迹便可得到抛物线.生成点J的动画并设置按钮，标签该按钮为“抛物线动画”.度量点M、F间的距离及点M到准线l的距离，计算这两个距离的比值，该比值即为抛物线的离心率（值正好为1），按下“抛物线动画”按钮时，尽管点M、F间的距离及点M到准线l的距离在不断变化，但是它们始终相等，即离心率的值始终为1.隐藏坐标系、点G、J、H等.
调节离心率大于1（小于1时只出现椭圆，等于1时只出现抛物线）时抛物线消失，此时c>a，计算c2-a2的值记为b双，计算a21c的值，过点F作准线l的垂线，垂足为L，因为此时点F为双曲线的右焦点，所以要将点L向左平移a21c个单位得到点O，将O标记为原点建立新的坐标系，以O和K构造圆，在该圆上取一点P，度量∠KOP的值.因为双曲线的参数方程为x=asecα
y=btanα，所以，计算a1cos∠KOP、b双・tan∠KOP的值，分别以这两个值作为横坐标和纵坐标绘制点M，以点M、P构造轨迹便可得到双曲线.生成点P的动画，并设置按钮，标签为“双曲线动画”，度量MF及M到准线l的距离，计算它们的比值（等于离心率的值），隐藏以上过程中的坐标系和辅助点等.
至此，整个课件制作完成.演示时，拖动调节点调节离心率小于1时得到椭圆，按下动画按钮，让学生观察动点到定点和定直线的距离的比有何变化.调节离心率等于1时得到抛物线，调节离心率大于1时得到双曲线.通过以上的演示，加深学生对圆锥曲线统一定义的理解.