时间：2023-05-30 10:17:50
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇一次函数，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
考点1 一次函数的图象
例1 （山东德州卷）甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（米）与赛跑时间t（秒）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲、乙两人的速度相同 B. 甲先到达终点
C. 乙用的时间短 D. 乙比甲跑的路程多
分析 从图上看甲、乙两人同时从百米的端点出发，运动开始后乙就落到甲的后面，用的时间比甲长.于是，容易知道甲先到达终点.
解 依题意，结合图象可知甲先到达终点，故应选B.
说明 求解函数图象题，一定要善于从图象中捕捉信息，从而使问题快速、准确地得解.
考点2 一次函数的性质
例2 （辽宁鞍山卷）在一次函数y=kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第 象限.
分析 已知的一次函数y随x的增大而增大，即知k>0，而b=2>0，由此可以判定图象所经过的象限，进而求解.
解 依题意，得k>0，而b>0，所以函数图象所经过的象限是第一、二、三象限，所以它的图象不经过第四象限.
说明 注意在正确地运用一次函数性质的同时，还必须注意题目中的关键性字眼，如“不经过”，从而避免出现错误.
考点3 确定一次函数的解析式
说明 本题既考查了直线的平移知识，又考查一次函数与二元一次方程、不等式的关系，求解时要善于从条件出发，及时将问题转化，从而正确求解.
考点5 一次函数的应用
例5 （浙江绍兴卷）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：
（1） 出租车的起步价是多少元？当x>3时，求y与x的函数解析式.
（2） 若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程.
分析 （1） 由图象可知，出租车在3km以内（含3km）车费保持不变，这说明出租车的起步价是8元. 而当x>3时，图象经过点（3，8）和（5，12），此时若设出该段直线的解析式，将这两个点的坐标代入，构造二元一次方程组即可求解. （2） 由求出的解析式，当y=32时，构造一元一次方程即可得解.
一、行程问题
例1（2013年湖北省宜昌市中考题）A、B两地相距1 100米，甲从A地出发，乙从B地出发，相向而行，甲比乙先出发2分钟，乙出发7分钟后与甲相遇，设甲、乙两人相距y米，甲行进的时间为t分钟，y与t之间的函数关系如图1所示。请你结合图像探究：
（1）甲的行进速度为每分钟＿＿＿米，m＝＿＿＿分钟。
（2）求直线PQ对应的函数表达式。
（3）求乙的行进速度。
■
分析（1）由图像知，2分钟时，甲的行进路程为1 100－980＝120（米），可得甲的行进速度为60（米/分钟），由图像再结合题意可知，相遇时y＝0，此时m＝2+7＝9（分钟）；（2）根据P、Q两点坐标，用待定系数法求直线PQ对应的函数表达式；（3）应用相遇时路程和为1 100米列方程，即可求乙的行进速度。
解（1）甲的行进速度＝■＝60（米/分钟），m＝2+7＝9（分钟）。
（2）设PQ所在直线的解析式为y＝kt+b。因为P（0，1 100），Q（2，980）在直线PQ上，所以b=1 100,2k+b=980,解得k=-60,b=1100。所以直线PQ的函数关系式为
y＝－60t+1 100。
（3）设乙的行进速度为x米/分钟，由题意得60×9+7x＝1 100，解得x＝80（米／分钟），所以乙的行进速度为80米/分钟。
二、方案选择
例2（2013年湖北省襄阳市中考题）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动。
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）。请解答下列问题：
（1）分别写出yA和yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。
分析（1）根据题意，直接写出yA和yB与x之间的关系式。（2）问在第（1）问的基础上，分类讨论，得到对应的自变量x的取值范围。（3）问须在（2）问的基础上再次分类讨论，特别需要提醒的是，这里不再限制“只在一家超市购买”，所以要考虑到B超市免费送羽毛球的情况，经过计算、比较，得到最佳的购买方案。
解（1）依题意，得yA＝27x+270，yB＝30×10+3×（x-2）×10=30x+240。
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240，解得x＝10；当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，解得x＜10；当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，解得x＞10。
所以当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算。
（3）因为x＝15＞10，所以①选择在A超市购买，yA＝27×15+270＝675（元）；②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，后在A超市购买剩下的羽毛球（10×15－20＝130个），则共需费用：10×30+130×3×0.9＝651（元）。而651＜675，所以最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，后在A超市购买130个羽毛球。
三、产品销售
例3（2013年湖北省荆州市中考题）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕。他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制如图2所示的函数图像，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2-甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2-乙所示。
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）分别求出第10天和第15天的销售金额。
■
分析（1）从图像不难看出，y与x之间属于分段函数关系，一段是正比例函数，一段是一次函数，根据图像上的点(15，30)、(20，0)，运用待定系数法即可求解。（2）需要从图2-甲中获取第10天和第15天的日销售量信息，从图2-乙中计算这两天的销售单价，两者之积即为销售金额。
解（1）依题意得，当0≤x≤15时，设其解析式为y＝kx，则有30＝15k，解得k＝2，所以y＝2x；当15＜x≤20时，设其解析式为y＝kx+b，则有30=15k+b，0=20k+b。解得k=-6,b=120。
所以y与x之间的函数关系式为y＝2x（0≤x≤15），-6x+120（15＜x≤20）。
二轮专题汇编：一次函数
一、选择题
1.
(2019陕西)若正比例函数的图象经过点O(a–1，4)，则a的值为
A．–1
B．0
C．1
D．2
2.
(2019上海)下列函数中，函数值随自变量x的值增大而增大的是
A．
B．
C．
D．
3.
在直角坐标系中，点M，N在同一个正比例函数图象上的是(
)
A.
M(2，－3)，N(－4，6)
B.
M(－2，3)，N(4，6)
C.
M(－2，－3)，N(4，－6)
D.
M(2，3)，N(－4，6)
4.
已知函数y＝kx＋b的图象如图，则y＝2kx＋b的图象可能是(
)
5.
如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2)和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是(
)
A.
x＝2
B.
x＝0
C.
x＝－1
D.
x＝－3
6.
已知一次函数y＝kx＋b－x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为(
)
A.
k＞1，b＜0
B.
k＞1，b＞0
C.
k＞0，b＞0
D.
k＞0，b＜0
7.
如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是(
)
A.
y＝x＋5
B.
y＝x＋10
C.
y＝－x＋5
D.
y＝－x＋10
8.
一次函数y＝x－b与y＝x－1的图象之间的距离等于3，则b的值为(
)
A.
－2或4
B.
2或－4
C.
4或－6
D.
－4或6
二、填空题
9.
直线y=2x-1与x轴的交点坐标为
.
10.
将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第________象限．
11.
若一次函数y＝－2x＋b(b为常数)的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是________(写出一个即可)．
12.
如图，直线y=kx+b(k
.
13.
将直线y＝2x＋1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是____________．
14.
已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为________．
15.
如图，点A的坐标为(－4，0)，直线y＝x＋n与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD＝90°，则n的值为________．
16.
已知点A(1,5)，B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为____________．
三、解答题
17.
如图，一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝(x＜0)的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为(－6，0)，(0，6)，点B的纵坐标为2.
(1)试确定反比例函数的解析式；
(2)求AOB的面积；
(3)直接写出不等式k1x＋b
18.
根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8∶00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11∶30全部排完，游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)暂停排水需要多少时间？排水孔的排水速度是多少？
(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．
19.
如图所示，已知正比例函数和，过点作轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与两点，求三角形的面积（其中为坐标原点）。
20.
如图，过点A(2，0)的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝.
(1)求点B的坐标；
(2)若ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
21.
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(1，)．
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式；
(2)求图象过点A、B的一次函数的解析式；
(3)在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．
22.
已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图①所示．
(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
图①
(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在上图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图②所示．该经销商拟每日售出60
kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
图②
23.
如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：PMB∽PNA；
（3）是否存在实数p，使得SAMN＝4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．
24.
在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+1(k≠0)与直线x=k，直线y=-k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C.
(1)求直线l与y轴的交点坐标.
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.
当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数.
2021中考数学
二轮专题汇编：一次函数-答案
一、选择题
1.
【答案】A
【解析】函数过O(a–1，4)，，，故选A．
2.
【答案】A
【解析】A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，随增大而增大，故本选项正确；
B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，随增大而减小，故本选项错误；
C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，随增大而减小，故本选项错误；
D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大，故本选项错误．
故选A．
3.
【答案】A 【解析】判断两个点是否在同一个正比例函数图象上，只需看它们的横、纵坐标比值是否相等．＝，只有A选项的两个点的纵坐标与横坐标的比值相等，因此选A.
4.
【答案】C 【解析】由已知一次函数经过(0，1)，可求得k>0，b＝1，则画出图象草图，故选C.
5.
【答案】D 【解析】方程ax＋b＝0的解就是一元一次函数y＝ax＋b的图象与x轴交点的横坐标，即x＝－3.
6.
【答案】A 【解析】原解析式可变形为y＝(k－1)x＋b，函数值y随自变量x的增大而增大，k－1>0，k>1，图象与x轴正半轴相交，b1，b
7.
【答案】C 【解析】设P(x，y)，则由题意得2(x＋y)＝10，x＋y＝5，过点P的直线函数表达式为y＝－x＋5，故选C.
8.
【答案】D 【解析】直线y＝x－1
与x轴的交点A的坐标为(
，0)，与y轴的交点C的坐标为(0，－1)，OA＝，OC＝1，直线y＝x－b与直线y＝x－1的距离为3，可分为两种情况：(1)如解图①，点B的坐标为(0，－b)，则OB＝－b，BC＝－b＋1，易证OAC∽DBC，则＝
，即＝，解得b＝－4；(2)如解图②，点F的坐标为(0，－b)，则CF＝b－1，易证OAC∽ECF，则＝
，即＝，解得b＝6，故b＝－4或6.
二、填空题
9.
【答案】，0
10.
【答案】四 【解析】根据平移规律“上加下减，左加右减”，将直线y＝2x向上平移3个单位，得到的直线解析式为y＝2x＋3，因为2>0，3>0，所以图象过第一、第二和第三象限，故不经过第四象限．
11.
【答案】－1(答案不唯一，满足b＜0即可) 【解析】一次函数y＝－2x＋b的图象经过第二、三、四象限，b＜0，故b的值可以是－1.
12.
【答案】x>3 [解析]当x=3时，x=×3=1，
点A在一次函数y=x的图象上，且一次函数y=x的图象经过第一、三象限，当x>3时，一次函数y=x的图象在y=kx+b的图象上方，即kx+b
13.
【答案】y＝2x－2 【解析】根据直线的平移规律：上加下减，可得到平移后的解析式为y＝2x＋1－3＝2x－2.
14.
【答案】(－4，1)
【解析】二元一次方程x－y＝－5对应一次函数y＝x＋5，即直线l1；二元一次方程x＋2y＝－2对应一次函数y＝－x－1，即直线l2.原方程组的解即是直线l1与l2的交点坐标，交点坐标为(－4，1)．
15.
【答案】－ 【解析】直线y＝x＋n与坐标轴交于点B，C，B点的坐标为(－n，0)，C点的坐标为(0，n)，A点的坐标为(－4，0)，∠ACD＝90°，在RtACB中，AB2＝AC2＋BC2，AC2＝AO2＋OC2，BC2＝OB2＋OC2，AB2＝AO2＋OC2＋OB2＋OC2，即(－n＋4)2＝42＋n2＋(－n)2＋n2，解得n1＝－，n2＝0(舍去)．
16.
【答案】 解析：如下图，取B(3，－1)关于x轴的对称点为B′，则B′的坐标为(3,1)．作直线AB，它与x轴的交点即为所求的点M.使用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝－2x＋7，令y＝0，得－2x＋7＝0，解得x＝，所以点M的坐标为.
三、解答题
17.
【答案】
(1)一次函数与坐标轴的交点为(－6，0)，(0，6)，
，解得，
一次函数的解析式为y1＝x＋6，
点B的纵坐标为2，B(－4，2)，
将B(－4，2)代入y2＝，得k2=－4×2=－8，
反比例函数的解析式为y＝
－；
(2)点A与点B是反比例函数与一次函数的交点，
x＋6＝－，解得x＝－2或x＝－4，
A(－2，4)，
SAOB＝＝6；
(3)观察图象知，k1x＋b
x＜－4或－2＜x＜0.
18.
【答案】
解：(1)暂停排水时间为30分钟(半小时)；排水孔的排水速度为900÷(3.5－0.5)＝300
(m3/h)．(3分)
(2)由图可知排水1.5
h后暂停排水，此时游泳池的水量为900－300×1.5＝450
(m3)，
设当2≤t≤3.5时，Q关于t的函数表达式为Q＝kt＋b(k≠0)，
把(2，450)，(3.5，0)代入得(6分)
解得.
函数表达式为Q＝－300t＋1050.(8分)
19.
【答案】
4
【解析】由题意，，轴
将分别代入得，
20.
【答案】
解：(1)点A的坐标为(2，0)，
AO＝2.
在RtAOB中，OA2＋OB2＝AB2，即22＋OB2＝()2，
OB＝3，
B(0，3)．(2分)
(2)SABC＝BC·OA，即4＝BC×2，
BC＝4，
OC＝BC－OB＝4－3＝1，
C(0，－1)．(4分)
设直线l2的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
直线l2经过点A(2，0)，C(0，－1)，
，
解得.
直线l2的解析式为y＝x－1.(6分)
21.
【答案】
(1)如解图，过点C作CDOA于点D，则OD＝1，CD＝，
在RtOCD中，由勾股定理得OC＝＝2，
四边形OABC为菱形，
BC＝AB＝OA＝OC＝2，
则点B的坐标为(3，)，
设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，
其图象经过点B，
将B(3，)代入，得＝，
解得k＝3，
该反比例函数的解析式为y＝；
(2)OA＝2，
点A的坐标为(2，0)，
由(1)得B(3，)，
设图象经过点A、B的一次函数的解析式为y＝k′x＋b(k′≠0)，
将A(2，0)，B(3，)分别代入，
得，解得，
该一次函数的解析式为y＝x－2；
(3)由图象可得，满足条件的自变量x的取值范围是2＜x＜3.
22.
【答案】
本题考查了分段函数的意义及构建二次函数求解利润最大问题．解题关键是确定水果资金额w与批发量n之间的函数关系式，以及构建销售利润y与批发量n之间的函数关系式．利用二次函数求最大利润问题时，需注意①分类讨论．(涨价与降价)②分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系．
解图
③自变量的取值范围的确定．保证实际问题有意义．④一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图分析．注意所学的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．
解：(1)图①表示批发量不少于20
kg且不多于60
kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量高于60
kg的该种水果，可按4元/kg批发.
(2)由题意得
w＝
图象如图所示．
由图可知，资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.
(3)解法一：设当日零售价为x元，
由图可得日最高销量n＝320－40x，当n＞60时，x＜6.5.
由题意，销售利润为y＝(x－4)(320－40x)＝40(x－4)(8－x)＝40[－(x－6)2＋4].
从而x＝6时，y最大值＝160，此时n＝80.
即经销商应批发80
kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元.
解法二：设日最高销量为x
kg(x＞60)．
则由题图②日零售价p满足x＝320－40p.于是p＝，销售利润y＝x(－4)＝x(160－x)＝－(x－80)2＋160.
从而x＝80时，y最大值＝160.
此时，p＝6，即经销商应批发80
kg
该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可得最大利润160元.
23.
【答案】
（1）因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得
解得
所以直线l的解析式为．
（2）由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．
由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB为等腰直角三角形．
由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形．
所以PMB∽PNA．
图2
图3
图4
（3）AMN和AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．
当SAMN＝4SAMP时，MN＝4MP．
①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或（此时点P在x轴下方，舍去）．此时．
考点伸展
在本题情景下，AMN能否成为直角三角形？
情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．
情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．
不存在∠ANM＝90°的情况．
图5
图6
24.
【答案】
解:(1)令x=0，则y=1，
直线l与y轴交点坐标为(0，1).
(2)当k=2时，直线l:y=2x+1，
把x=2代入直线l，则y=5，A(2，5).
把y=-2代入直线l得:-2=2x+1，
x=-，
[关键词]初中数学一次函数教学策略
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2016）290011
函数涉及的知识范围广、研究程度深、观察视角多，在数学学习中占据重要的地位.而函数概念中的一次函数又是整个函数学习的基础，跟生活紧密联系.因此，学好一次函数是学习函数的前提条件.初中数学教师在函数教学中应重视一次函数的教学.
一、初中一次函数教学研究的重要意义
函数概念在初中数学概念学习中占据重要地位，通过对数学发展史的分析研究可以看出，在数学知识中很多数学理念和概念的提出都是基于函数，可以说没有函数概念奠定理论基础，就没有后续的数学知识.初中数学知识中占据比例最多的一部分是函数知识点的学习，初中学生学习函数时不仅要掌握函数的基本知识，还要学会不等式、方程等其他知识并进行知识的整合，从数形结合的角度探索变量之间的关系.
二、初中一次函数有效教学策略及其实施探究
1.联系实际生活，引入概念.
数学的概念来源于生活，一次函数更是跟生活密切联系.对此，教师在讲解一次函数时要紧密联系生活，设计一些具有趣味性、生活性的问题来激发学生学习一次函数的兴趣.例如一次函数问题：如果一辆汽车在加油之前油箱已经没有油了，现在以每分钟25L的速度往邮箱中注油，要学生试写出加油时间与油箱内油量之间的函数关系式.汽车加油在现在生活中十分常见，学生可以联系日常生活中的一些常识或者亲身经验更好地理解题目意思，进而在脑海中形成一次函数的构建模式.
2.巧妙设置悬念，探求概念
如果在数学教学设计中巧妙地设置一些悬疑，以此来调动学生学习的积极性和好奇心，可以引导学生的心理向求解的方向发展.例如教师在设置问题悬念时可以创设情境：如张老师去水果市场买10斤苹果，当他将苹果称好放入重0.5斤的篮子时发现买的苹果个数比之前买相同重量的苹果个数少了很多，张老师让水果小贩将篮子和苹果一起称得到10.55斤，于是他要求小贩退回他0.5斤苹果的钱，你们知道其中的奥秘吗？这样设置悬念，让学生在自愿和愉悦的心态下去探索一次函数的知识.
3.数形结合，理解一次函数的图像性质.
一次函数的学习主要是要掌握一次函数的基本性质，一次函数的性质不仅体现在方程式上，还体现在图像上.但是调查显示要学生在学习一次函数时将“数”转化为“形”是存在一定困难的.但是数学知识特别是函数的学习是离不开图形的，因此教师在制订一次函数教学计划时要将图形考虑在内，采取一些应对措施让学生在学习中能够做到数形结合.
例如，右图中，一次函数图像在y轴上经过点A，并与函数y=-x相交于B点，求一次函数y=kx+b的正确方程式.此题让学生通过对图形的观察可以得出A点的坐标为（0，2），B点是横坐标为-1且在函数y=-x上，因此纵坐标为1，得出B点坐标为（-1，1）.借助A，B两点的坐标代入到一次函数y=kx+b中可以算出k与b的值进而求出函数的解析式.数形结合的方式能够更加直观地让学生加深对一次函数的性质理解.
4.借助问题情境，增强学生的应用意识.
一次函数与生活息息相关，生活中很多实际问题都可以借助一次函数的图形模式来解决.教师在教学设计中运用一些生活情境与一次函数相联系引导学生在学习中联想到生活例子，将生活中的实际问题转变为数学思想并采取有效措施解决.例如超市中正在进行购买茶壶、茶杯的优惠活动，但是有两种优惠方案：（1）买一送一（买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折，其中购买茶壶3只以上茶20元1个，茶杯5元一个.这两种优惠方式之间有何区别，哪种更加的优惠.利用一次函数的数学知识对其进行解析第一种优惠方案用一次函数表示为y1=4×20+（x-4）×5=5x+60，第二种为y2=（20×4+5x）×0.9=4.5x+72.经过计算得出当买的茶杯超过24只时选择方案2；当在4～23时则选择方案1较省钱.通过生活中经常遇到的一些现实问题设问，加强学生平时生活中的数学知识应用能力.
[参考文献]
[1]李淑平.初中数学与信息技术的有效整合浅析[J].学周刊.2015（17）
关键词： 函数图像 教学设计 数形结合思想 抽象思维能力
一、设计说明
不少学生认为《函数及其图像》一章难学。我通过对学生的调查及反思发现，克服学生畏难情绪的关键在于：充分让学生动手画图，增加感性认识；重视阶段归纳小结，使学生条理清楚；注重数形结合思想在函数问题中的运用，体现数学学科的特点。本设计的目的是通过“观察—动手—比较—总结”的学习过程，增加学生自己探索的力度，在探究性学习中培养学生的数形结合思想，进一步培养学生的抽象思维能力。
二、教学目标
1.知识与技能目标：
（1）理解一次函数的图像是一条直线，并能熟练用“两点法”画出一次函数的图像。
（2）理解一次函数y=kx+b（k≠0）中，k，b符号变化对图像的影响。
2.过程目标：
通过学习动手画图，感受一次函数y=kx+b（k≠0）中k，b的不同数值与图像的内在联系，从中体会数形结合思想。
3.情感与态度目标：
尊重学生个体差异，关照与帮助学习较困难学生，鼓励他们动手画图，及时肯定他们的进步（或互帮互学），从而增强他们学习数学的信心。对一些学有余力的学生，可适当提出较高的要求。
三、教学重点
（1）熟练掌握一次函数图像的画法。
（2）理解y=kx+b（k≠0），k，b的不同取值对其图像影响的规律。
四、教学难点
y=kx+b（k≠0）中，k，b的不同取值与其图像位置的内在联系。揭示一次函数解析式中待定常数的不同与函数图像性质变化的“形数”转化思想。
五、课前准备
1 考查一次函数的图象
例1 (2008年襄樊市)我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费，即一月用水10吨以内(包括10吨)的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元(b>a)收费.设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图1所示.
(1)求a的值；若某户居民上月用水8吨，应收水费多少元?
(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的关系式.
分析 通过图象发现：当x≤10时，y与x之间是正比例函数关系，其比例系数即为每吨水的价格a；当x>10时，y与x之间是一次函数关系，其比例系数即为每吨水的价格b.
解 (1)当x≤10时，有y=ax.将x=10，y=15代入，得a=1.5，即每吨按1.5元收费. 所以用8吨水应收水费8×1.5=12(元).
(2)当x>10时，有y=b(x-10)+15. 将x=20，y=35代入得b=2.所以y=2x-5.
点评 以函数图象呈现信息的问题主要体现两个变量间的数量关系，考查学生对函数思想和数形结合思想的把握. 解决此类问题的关键是把蕴含的“图象信息”化为“数学信息”.
2 考查一次函数的性质
例2 (2008年天津市)已知关于x的函数同时满足下列三个条件：①函数的图象不经过第二象限；②当x
分析 本题是一道条件开放性试题，答案不唯一，只要所写的函数能同时满足题目中的三个条件即可，联想一次函数的性质可解决本题.
解 设所写的函数为y=kx+b，由条件①知，k>0，b>0；由条件②知，图象过(2，0)点. 因此所写的函数可以是y=x-2，显然它满足条件③. 故本题可填y=x-2.
点评 本题需要执果索因，重在考查学生的发散思维和逆向思维能力. 由于考场上时间宝贵，且要保证解题的正确率，故在开放性题目中，最好填写易思考、有把握的答案.
3 考查一次函数的解析式的确定
例3 (2008年黄石市)已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m=.
分析 从表格中可以得到自变量x和函数值y的两组对应值：当x=1时，y=3；当x=2时，y=5. 利用待定系数法即可确定出函数关系式，进而求出m的值.
解 设函数关系式为y=kx+b. 由题意，得k+b=3
2k+b=5，解得k=2
b=1.
所以y=2x+1. 当x=0时，y=1. 故填1.
点评 本题主要考查同学们是否会从表格中找出两组相关数据作为两个点的坐标，运用待定系数法确定一次函数关系式的能力.
4 考查建立一次函数模型解决实际问题
例4 (2008年自贡市)抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库. 已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨. 从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表(表中“元/吨・千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币)
路程(千米)运费(元/吨・千米)甲库乙库甲库乙库A库20151212B库2520108 (1)若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y(元)与x(吨)的函数关系式
(2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少?
分析 (1)由于从甲库运往A库粮食x吨，则甲库余下的粮食(100-x)吨需运往B库；因此乙库运往A库的粮食只能是(70-x)吨，乙库余下的粮食[80-(100-x)]吨需运往B库.根据表格即可求出总运费y与x的函数关系式；(2)依据自变量的取值范围及函数的增减性即可求出总运费的最小值.
解 (1)由题意，得y=12×20x+10×25×(100-x)+12×15×(70-x)+8×20×(x+10)整理，得y=-30x+39200. 由于A库的容量为70吨，所以自变量x的范围：0≤x≤70.
(2)在上述一次函数中，由于k=-30
由于A库的容量为70吨，所以自变量的取值范围是0≤x≤70.
所以当x=70时，总运费最小.ymin=-30×70+39200=37100 (元).
点评 由复杂表格提供信息，这就要求同学们能将“表格语言”转化成数学语言，因此要具有多维度观察、多角度思考的能力.本题主要考查学生建立函数模型进行求解的能力.
5 考查一次函数的的综合应用
图2例5 (2008年南昌市)如图2，在平面直角坐标系中，有A(0，1)，B(-1，0)，C(1，0)三点坐标.
(1)若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；
(2)选择(1)中符合条件的一点D，求直线BD的解析式.
分析 (1)由于ABCD的三点A、B、C固定，可分别过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，显然它们共有三个交点，故点D的位置有三种可能.(2)这是一道结论开放题，共有三种不同的选择方式，选择的点不同，求得的结果不同，但只要求解结果正确即可.
解 (1)符合条件的点D的坐标分别是D1(2，1)，D2(-2，1)，D3(0，-1).
(2)①若选择点D3(0，-1)，设直线BD3的解析式为y=kx+b.
由题意得-k+b=0，
b=-1.解得k=-1，
b=-1. 所以直线BD3的解析式为y=-x-1.
②若选择点D2(-2，1)，可得直线BD2的解析式为y=-x-1.
③若选择点D1(2，1)，可得直线BD1的解析式为y=13x+13.
点评 由于考场上时间宝贵，且要保证解题的正确率. 故在一些自主选择性题目中，最好选择易解决、有把握、不宜出差错的问题求解，本题选择点D3较简便.
6 考查一次函数的的创新应用
例6 (2008年深圳市)要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短?小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图3所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则奶站的坐标为.
分析 取A(或B)关于x轴的对称点A′(或B′)，连结A′B(或B′A)，与x轴交于一点P，则点P就是准备修建的奶站，且PA+PB即为最短路线.
解 由于点A′与点A(0，3)关于x轴对称，所以点A′坐标为(0，-3).
设直线A′B的解析式为y=kx+b. 把点A′(0，-3)，B(6，5)分别代入上述关系式，解得k=43，b=-3. 所以直线AB′的解析式为y=43x-3.
令y=0，则43x-3=0，解得x=94.所以奶站的坐标为(94，0).
苏科版八年级上册第6.2～6.3节后的阶段复习课.
二、教材分析
1.函数的重要性
函数是中学数学最重要的概念之一，也是学生学习的难点.中学代数课程到了函数阶段，是前面所学知识的一次集成，函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机的整合，函数知识是发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力的良好素材.所以本阶段的学习对学生后续的发展起着至关重要的作用.
2.教材的特点
教材6.2节“一次函数”和6.3节“一次函数的图像”其实是一个整体，分别从不同的角度来研究一次函数.通过6.2节的学习，学生理解了一次函数和正比例函数的意义，能根据已知条件确定一次函数关系式，这是从代数的角度研究；在6.3节中，学生会选取两个适当的点画一次函数的图像，并能根据图像和关系式探索并理解了一次函数的性质，这是从几何角度研究.
本节课是继6.2节和6.3节之后的一节阶段复习课，接下来的6.4和6.5节将学习一次函数在数学内部和外部的应用，属于更高层次的要求，所以本节课起着承上启下的作用.本节课的定位不能只是重现前面的诸多结论，也不能只是为了教会学生解题，应是基于基础之上的提升、零散之上的系统、模糊之上的清晰.因此本节课的标题叫“又见一次函数”.
3.教学目标
（1）知识与能力：体会一次函数和正比例函数的意义，根据已知条件确定一次函数的表达式；会画一次函数的图像，能根据一次函数的图像和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解其性质；
（2）过程与方法：经历运用类比思想比较一次函数y=kx+b（k≠0）和正比例函数y=kx（k≠0）的异同点的过程，感受两者之间的关系；进一步体会待定系数法和数形结合的数学思想方法.
（3）情感、态度与价值观：通过对两个函数的比较和解
决一个综合问题的过程，培养学生归纳总结的能力.
三、教法与学法分析
下面是我从《一次函数》这节课的教学反思中得到的几点体会。
一、备课要关注学生差异，重视基础知识
新课程指出，课堂教学要面向全体学生，目的是促进学生的全面发展。心理学表明，学生的发展是存在差异的。教师要关注学生的差异，在备课的时候根据学生的认知水平，要有针对性。
在引入一次函数的时候，我展示了一个学生熟悉的生活实例，让学生更好地找出两个变量的关系。比如，某弹簧的自然长度是3厘米。在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米。（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时弹簧的长度。（2）你能写出x与y之间的关系式吗？对于问题（1），学生已有比较丰富的生活经验，很快就可以得出结果；对于问题（2），学生因为比较陌生，要求学生先思考，再与其他同学讨论，我也参与了学生的讨论，适当引导。教师不能一味追求结论，而忽略学生的差异，对接受能力较差的学生要适当进行引导，降低难度，帮助学生找出两个变量的关系式。同时，为了让学生找出一次函数中两个变量的特点，我在教学中展示了几个与生活联系紧密的实例。让学生分析从几个实例得到的关系式的共同点，再引导学生归纳出一次函数的定义。这样既满足了学生的求知欲，提高了学生分析的能力，又大大提高了课堂的教学质量。
在学习了一次函数的定义后，为了加深学生对一次函数的理解，我让学生完成了以下的练习。判断下列函数哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=2x；（2）y=3x+1；（3）y=2x-3；（4）y=■x。在这一教学环节中，其实还可以添加一些形如（5）y=■和（6）y=x2+1类型的函数。在学生完成这几道练习题后，再让学生分析一次函数与其他函数的不同之处，明确一次函数的特点。这里要给学生充足的时间思考和讨论，因为这是学生形成知识的重要环节。新课程指出，学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才能成为有效的知识。
二、创设问题情境，激发学生学习的积极性
第一，打破沉闷的课堂气氛，让课堂教学变得更有生机
美国心理学家布鲁纳指出：“学习的刺激乃是对所学材料的兴趣，要想使学生上好课，就得千方百计点燃学生心灵上的兴趣之火。”所以在教学时，不一定要完全按照课本的引入去设计教学环节。在引入两个变量的关系的时候，我们可以设计一个学生在生活中遇到的问题情境，让数学与生活联系，学生就会认识到数学就在我们身边，萌发探究数学问题的好奇心。例如，小明现有5元，他想存钱买一本价值30元的数学兴趣书，假如他每月存5元。（1）请你帮他算算1个月、2个月、3个月、4个月后一共有多少钱？（2）经过x个月后，小明一共有多少钱？这样设计可以激发学生学习的积极性，促使学生主动参与教学活动。实践表明，学生的主动学习是获得知识的最有效的方法。
第二，引导学生主动地参与课堂教学
新课程指出，好的教学能够促进学生进行有效地学习。而教师的主要作用在于组织教学活动，激发学生主动从事数学活动。有时候，教师的一个微笑，可以给学生很大的鼓舞，让学生主动去学习。如上面小明买数学兴趣书的问题中，在提问一个学生的时候，他可能还没想出来，有点着急，我笑了笑说：“别急，慢慢想，你可以做得到的。”这位学生感受到老师对他的信任，更加积极地去思考问题，虽然他花了很长时间才回答出来，但是我觉得这是值得的。我们在教学时还可以通过设计一些有趣的问题情境，引导学生主动参与课堂教学了。例如，果农李大叔养的一只猴子帮李大叔摘了8个桃子，假如它从现在开始每分钟摘2个，求x分钟后这只猴子一共摘的桃子数y与时间x的关系式？在这里如果能用上多媒体的动画设计就更能吸引学生的注意力，让学生在轻松愉快的课堂气氛中学习、掌握新知识，这样他们对新知识更加乐于接受。
第三，多给学生创造机会，让学生得到更好地发展
每个学生都有分析问题、解决问题和创造的潜能，关键是如何为学生提供机会，让学生发掘自己的潜能。学生总是喜欢把自己当成探索者、研究者、发现者，并且往往是当自己的观点与其他人的观点不一致的时候，会产生要证实自己思想的欲望。这里要注意，让学生挑战自己，不是要难倒学生。不要出太难的习题，否则会挫伤学生学习的积极性。从而激励学生在学习的过程中不断获得成功的体验，提高自主学习的能力。如，写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系；（2）圆的面积y（平方厘米）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这棵树的高度为y（厘米）。在教学中，我特意让几个基础不太好的学生上黑板演练，这几个题目的背景都是和生活联系比较紧密的，只要给学生足够的时间，他们基本能自己解决。所以，在教学中教师不要一味地追求教学进度，抹杀了学生体验成功的机会。特别是基础比较差的学生，更应该给他们一些这样的机会去提高他们学习的积极性和学习的自信心，进一步减少差距，让他们学得更有动力。
三、学有所用，培养学生掌握、运用知识的能力
例1某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟再付费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟付费0.6元.若一个月内通话时间为x分钟，使用甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.
（1）试分别写出y1y2运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和数学方法，是新课程标准的要求.现就如何运用一次函数知识解决实际问题，精选几例进行分析.
例1某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务，甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟再付费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟付费0.6元.若一个月内通话时间为x分钟，使用甲、乙两种业务的费用分别为y1元和y2元.
（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.
（2）在同一坐标系中画出y1、y2的图象.
（3）根据一个月的通话时间，你认为选用哪种通信业务更优惠？
解析：本题是一个紧密联系实际的方案优选问题.根据题给信息，建立变量之间的一次函数关系，再结合一次函数的图象，可使问题得以解决.
（1）由题意可知，y1=0.3x+15 （x≥0），y2=0.6x （x≥0）.
（2） y1、 y2在同一坐标系中的图象如图1所示.
（3）由图象可知：
当一个月的通话时间为50分钟时，两种业务的使用费相同；
当一个月的通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠；
当一个月的通话时间多于50分钟时，甲种业务更优惠.
例2湖南省长沙市某乡A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库.已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为20元/吨、25元/吨，从B村运往C、D两处的费用分别为15元/吨、18元/吨.设从A村运往C仓库的柑橘为x吨，A、B两村的运费分别为yA元、yB元.
（1）请填写表1，并求出yA、yB与x之间的函数关系.
（2）试讨论A、B两村哪个村的运费较少？
（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的运费不得超过4830元.在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？最小是多少？
解析：本题以经济活动中的调运安排为背景，具有较强的时代气息.把实际的运费问题抽象成数学问题，建立变量之间的一次函数关系，再应用函数知识进行分析，从而使实际问题得以解决.
（1）将表1填写完整，结果如表2所示.
yA与x的函数关系为：yA=20x+25（200-x）=-5x+5000（0≤x≤200）.
yB与x的函数关系为： yB= 15（240-x） +
18（60+x）=3x+4680（0≤x≤200）.
（2）当yA＝yB时，-5x+5000=3x+4680，解得x=40，则：
当x=40时，yA=yB ，两村的运费相等；
当0≤x＜40时，yA＞yB，B村的运费较少；
当40＜x≤200时，yA＜yB，A村的运费较少.
（3）由yB≤4830，即3x＋4680≤4830，解得x≤50.
设两村运费之和为z元，即z=yA+yB，得到z=-2x+9680.因为当0≤x≤50时，z随x的增大而减小，所以当x=50时，z有最小值为9580.即运费之和最小为9580元.
例3如图2，在大连到烟台的160千米航线上，某轮船公司每天上午8点（坐标轴上的O点）到下午16点，每隔2小时有一艘轮船从大连开往烟台，同时也有一艘轮船从烟台开往大连，轮船在途中花费8小时.
（1）求上午8点从大连开往烟台的轮船在途中（不包括大连和烟台）遇到几艘从对面开来的本公司的轮船.
（2）求上午8点从大连开往烟台的轮船甲在途中遇到第三艘从对面开来的本公司的轮船乙的时间，和此时甲船到大连的距离.
解析：本题的信息通过文字和图象两种方式提供，解答时，需要图文结合，提取有用信息，建立一次函数关系.
（1）由图象可知，上午8点从大连开往烟台的轮船，在途中遇到4艘从对面开来的本公司的轮船.
（2）由图象可知，A点的坐标为（8，160），B点的坐标为（4，160），C点的坐标为（12，0）.
设直线OA的解析式为y=kx.由160=8k，解得k=20，所以直线OA的解析式为y=20x.
设直线BC的解析式为y=mx+n，则由
所以，上午8点从大连开往烟台的轮船甲航行6小时，即14点时，遇到第三艘从对面开来的本公司轮船乙，此时甲船到大连的距离为120千米.
[练习]
某校科技夏令营的学生在3名老师的带领下，准备赴北京大学参观，体验大学生活.现有两家旅行社前来承包，报价均为每人2000元，他们都表示可以优惠，希望社表示带队老师免费，学生按8折收费，青春社表示师生一律按7折收费.经核算，参加两家旅行社的实际费用正好相等.
（1）该校参加科技夏令营的学生共有多少人？
（2）如果又增加了部分学生，学校应选择哪家旅行社？
例1甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x(h)之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1） 乙队开挖到30m时，用了__________h，开挖6h时甲队比乙队多挖了__________m；
（2） 请你求出：
① 甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
② 乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3） 当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
解：（1） 2，10；
y=5x+20
（3） 由题意，得10x=5x+20，解得x=4（h）。
当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等.
例2某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x(小时)的函数关系如下图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线。
（1） 当x≥30，求y与x之间的函数关系式；
（2） 若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？
（3） 若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？
解：（1） 当x≥30时，设函数关系式为y=kx+b
则30k+b=6040k+b=90
解得k=3b=30
所以y=3x-30
（2） 4月份上网20小时，应付上网费60元
（3） 由75=3x-30 解得x=35，所以5月份上网35个小时。
例3某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务。甲种使用者每月需缴15元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.3元；乙种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元。若一个月内通话时间为x分钟，甲、乙两种的费用分别为
（3） 由图像知：
当一个月通话时间为50分钟时，两种业务一样优惠
当一个月通话时间少于50分钟时，乙种业务更优惠
1、注意激发学生的兴趣
良好的开端是成功的一半，与学生建立良好的师生情谊，学生就会喜欢你，喜欢你上的课，从而认真去听去学，成绩就会逐步提高。在上课过程中，注意学生的心理表现，认知能力，从学生的思维角度去发现问题，找出问题的症结所在，轻松解决问题。
2、培养学生的阅读能力、阅读兴趣
阅读不仅能增加学生的知识面，而且还能增强学生的分析、理解能力，教师有目的适时指导学生读一些阅读材料，由浅入深，逐步提高他们的阅读能力，提高他们的兴趣，当学生获得一次次成功之后，就会充满信心，满腔热情去阅读更多的材料，思考更多的问题，增强学习信心，提高学习兴趣。
阅读材料1：A、B两地相距7.5km，甲、乙二人同时从A地出发前往B地，已知乙每小时比甲多走0.5km，结果比甲早到半小时，问甲、乙二人的速度各是多少?
阅读材料2：A、B两地相距7.5km，甲、乙二人从A地出发前往B地，甲先出发25分钟后，乙才骑摩托车前往，结果二人同时到达B地，已知乙每小时比甲多行0.5kin时，乙发现甲丢了东西，立即骑车前往，在距B地1.5km处追上甲，已知乙每小时比甲多行0.5kin，问甲、乙二人的速度各是多少?
阅读材料3：A、B两地相距7.5km，甲从A地前往B地，走了0.5km时，乙发现甲丢了东西，立即骑车前往，在距B地1.5kin处追上甲，已知乙每小时比甲多行0.5km，问甲、乙二人的速度各是多少?
阅读材料4：A、B两地相距7.5km，甲从A地前往B地走了0.5km时，乙发现甲丢了东西，立即骑车前往，追上甲后立即返回，当乙回到A地时，甲也刚好到达B地，已知乙每小时比甲多行0.5km，求甲、乙二人的速度各是多少?
3、引导学生思考，提高学生分析问题的能力
如何引导学生思考，进一步提高学生分析问题的能力?以初中一次函数的一堂课为例加以说明：如图，从图中的你看到什么? (让学生观察图形，教师再加以引导)。以图中多数学生自然得到：①图中有两条相交直线；②两直线有唯一公共点，此时，若有学生还能得到更多的信息更好，若不能，教师可再进一步引导：两直线位置如何?在交点处两直线情况又怎样?
进一步得出在交点处即x=a时，y1=y2；当x>a时yl>y2，当x
4、注意一题多解
例题：我市某中学要印刷本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元的制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元则六折优惠，且甲、乙两家都规定一次印刷数量至少是500份。求：(1)两个印刷厂收费Y元(元)与印刷数量x(纷)的函数关系，并指出自变量x的取值范围；(2)根据印刷数量选择比较合算的方案；(3)若要印刷2000份录取通知书，应选择哪一个厂?需要多少费用?
分析：
(1)题目给出的条件是：
a、甲收费：每份定价1.5元的八折收费，另收900元的制版费。
b、乙收费：每份定价1.5元不变，另收900元的制版费并六折优惠。
c、一次印刷份数至少是500份。
(2)题目的问题：
a、两印刷厂收费Y(元)与印刷数量x(份)之间的函数关系，并指出x的取值范围。
b、根据印刷的份数选择比较合算的方案。
c、若要印刷2000份录取通知书，应选择哪一个厂?需要多少费用?
(3)、隐含的条件：
a、甲厂的费用=1.5Xx80％+900
b、乙厂的费用=1.5X+900x60％
解：①由已知
条件得：Y甲＝1.5Xx80％+900
Y乙＝1.5Xx80％+900
自变量x的取值范围是[500，+00]
②利用图像比较设甲厂的费用y1＝1.5Xx80％+900；设乙厂的费用y2=l.5X+900x60％。
由图像知：两函数的交点坐标为(1200，2300)
即：
a、500≤X
b、当X=1200时，两厂的收费相同。
c、当X>1200时，选择甲厂较合算。
③当这个中学要印刷2000份录取通知书，由于2000>1200，故选择甲厂，则需要的费用为：Y甲＝1.2～2000+900＝3300元，即要印2000份录取通知书，应选择甲厂，需要费用是3300元。
5、注重一题多思
通过多思，不断调动学生的积极性，启发学生的思维，进一步提高学生的解题能，通过多思进一步提高学生发现问题的能力。
关键词：分类讨论思想；一次函数；应用
当前，数学思想和数学思想方法多种多样。一个好的数学思想能轻松的解决生活中的实际问题，一种好的数学思想方法能便捷的使我们学习理解一个数学思想。本篇论文主要论述分类讨论思想和一次函数及分类讨论思想在一次函数中的应用。目前国内外论述分类讨论思想在一次函数中的应用的论文不胜枚举，大多都是从函数的概念、性质、图像、实际应用和解题需求这五个方面分类。首先，分类讨论思想是基本数学思想方法之一。它是一种解决生活中的实际问题的逻辑方法。合理地使用分类讨论思想，我们可以使繁琐的问题简单化，使解决问题的思路更有条理。分类讨论思想在教学中的应用实际就是“化整为零，各个击破”的教学策略。这也是为什么教材每个章节需要分各个小节。同时，分类讨论思想应用到数学教学中，有助于提高学生的逻辑性、条理性、概括性，对于培养学生严谨的科学态度和逻辑的数学思维有重要意义。使学生掌握分类讨论的思想方法有助于提高学生解题能力和分析问题的效绩。其次，一次函数是重要的几类函数之一，合理的利用好一次函数可以便捷的解决生产和生活中的诸多问题。近年来的考纲都有应用书本知识解决实际问题的考点，诸如成本最小化、经济效益最大化、方案最优化等等。可见掌握函数思想的重要性，因此学生应该学好一次函数。最后，学习一次函数常用到分类讨论的思想方法。分类讨论思想应用到一次函数中使教学思路更有条理，教学方案更清晰明了。
一、浅谈分类讨论思想
（一）分类讨论思想的起源
大家都知道数学思想方法的两大源头分别是中国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》。随着古今学者的研究发展，数学思想方法已经出现了很多种。分类讨论思想方法就是众多的基本数学思想方法之一。
分类现象自古就存在。远古时期，人们收集到的食物会分类保存。能长时间保存的和不能长时间保存的、可以播种的和不能播种的植物，能圈养和不能圈养的动物。一个狩猎团体根据体质差异也有分工，行动敏捷的成员负责吸引猎物的注意力，身体壮实的负责对猎物造成伤害，臂力大的负责投掷标枪等等。现在分类现象随处可见，各种各样的职业共同推动社会发展，大小不一的零件使机器正常运行。正是因为分类思想，人们有条理的生活着，避免了很多的差错与混乱现象。分类思想是古老文明的基本思想。
司马迁编撰的《史记》 [1]卷六十五《孙子吴起列传第五》曾记载“田忌赛马”的故事，齐王与田忌赛马，双方按马的速度将马分为三等，齐王同等次的马的速度均高于田忌。田忌将马出场次序换位以下等马对齐王的上等马，以上等马对齐王的中等马，以中等马对齐王的下等马赢得比赛。田忌这种根据对方的马出场次序而相应的对自己的马出场次序作出调整的思想方法就是分类讨论思想。正是因为这一思想，田忌巧妙地赢得了比赛的胜利。为古代人的智慧史添上了绚丽的一笔。通过这个事例我们知道分类讨论思想的重要性，分类讨论思想其实与我们的生活息息相关。
现在已经有很多的学者专家都有总结分类思想的含义，在《数学思想方法教学研究导论》的第253页指出：“分类是基本的逻辑方法之一，数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类以比较为基础，通过比较识别出数学对象之间的异同点，然后根据相同点将数学对象归并为较大的类，根据差异点将数学对象划分为较小的类，从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。”
随着数学的发展，分类讨论思想方法逐渐演化成数学思想方法的主要思想方法之一。同时，也正使得数学这门学科使得分类思想方法更加地深化与细化。如今，分类讨论思想方法已经是中高考试中的常考点。
（二）分类讨论思想的概念界定
我们先了解分类讨论思想的汉语释义。“分类”一词在辞海中的释义为根据事物的特点分别归类。“讨论”一词在辞海中的释义为就某一问题进行商量或辩论。“思想”一词在辞海中指思维活动的结果，属于理性认识。从分类讨论思想的汉语释义可以知道分类讨论思想先分别归类再逐一商量讨论。
分类思想和分类讨论有什么区别与联系呢？按从属关系划分，分类讨论是一个种概念，分类思想是一个属概念。分类思想并不专属于数学领域，它是人们早期认识世界面貌、改善生活条件的一种思维形态，即把复杂的事物依据其种类、性质或品级进行划分或归类。分类讨论是分类思想实际应用的一种具体形式，它要求把事物进行划分归类，把分类的若干个种类进行逐一的研究讨论，最后把分类的若干讨论结果归纳总结。
在数学领域各学者对于分类讨论思想方法的概念界定几乎大同小异，对于分类讨论思想方法的概念几乎不存在争议。顾泠沅教授所著的《数学思想方法》有提到分类讨论这一思想方法。在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现化整为零、集零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，有关分类讨论思想的数学问题是比较繁琐复杂的，通常安排在解答题板块，所占分值比较高。所以在高考试题中占有重要的位置。
（三）分类讨论思想的分类原则与方法
分类讨论思想的分类原则：（1）所要分类的对象必须是确定的（2）分类出的各级内容必须是完整的，不能犯遗漏某一级这种错误（3）应该按同一标准分类（4）各个集域应当是互斥的，不出现重复的集域（5）分类必须逐级进行，不能越级分类。分类讨论思想的分类方法：明确分类讨论的对象，确定对象的所有内容，明_分类的标准，将对象正确进行分类；逐级进行讨论，获取阶段性结果，归纳小结，综合结论。
三、分类讨论思想在一次函数中的应用
分类讨论思想在一次函数中的应用主要体现在一次函数的概念、性质、图像与实际应用这几个方面。
（一）分类讨论思想在一次函数概念方面的应用
如何来辨别一个函数关系是不是一次函数？前面已经给出了一次函数的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数（linear function）.当y=kx+b中的k是变量或者x的指数是变量时，该变量取不同的值会有不同的结果，因此就需要是用分类讨论的思想方法逐一讨论。
那么我们来看这道例题：
例4 已知函数y=（m-5）x2m-1+3x-1，当m为何值时，该函数是一次函数？
分析：根据函数概念，本题应该分为三种情况讨论：当m-5=0时，函数是一次函数；当2m-1=1时，函数是一次函数；当2m-1=0时，函数是一次函数。综上所述，m=5或1或 。
（二）分类讨论思想在一次函数性质方面的应用
我们已经知道一次函数具有单调增减性，一次函数的增减性在生活中经常用到。一次函数要么递增要么递减，因此又是也需要用到分类讨论思想。
例5 一次函数y=kx+b，当2≤ x ≤ 4时，10≤ y ≤ 14。求的值。
分析：此题中一次函数的单调性尚不明确，因此需要分为两种情况讨论：
当函数单调递增时，即当x=5时，y=10，当x=4时，y=14，因此k=2， b=6
故=3，当函数是单调递减时，即当x=2时，y=14，当x=4时，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。
（三）分类讨论在一次函数图像位置方面的应用
如果一次函数y=kx+b中的k或b不明确那么一次函数图像在平面直角坐标系中的位置也将不明确，因此很多时候需要用到分类讨论思想来解决相关问题。
例6 已知正比例函数y=x和一次函数y=kx+2的函数图像与x轴围成了一个面积为1的三角形，求一次函数的解析式。
分析：此题中一次函数的斜率并不明确，因此函数图像的位置需要分为两类。因为已经知道两个函数图像与x轴围成的三角形面积是1，且一次函数经过定点（0，2）根据斜率将一次函数分为递增和递减两类：当一次函数单调递增时，一次函数经过x轴上的点A（-1，0），一次函数解析式为y=2x+2；当一次函数单调递减时，一次函数经过x轴上的点E（2，0），一次函数的解析式为y=-x+2。所以总结两类讨论，一次函数的解析式为y=2x+2或y=1x+2。作图如图3.1和图3.2。
（四）分类讨论在一次函数实际问题方面的应用
一次函数应用到实际问题中已经是常考点，这使数学更贴近生活，培养学生灵活运用知识的能力。而在一些典型题型中常需要用到分类讨论思想。
例7 小明准备换电话卡，现在他已经了解了两种电话卡的套餐。A卡套餐为每月通话不超过100分钟，则按每分钟0.2元收费，若每月通话大于100分钟则超出时长按每分钟0.16元收费；B卡套餐为每月通话不超过200分钟按每分钟0.2元收费，若每月通话超过200分钟超出时长则按每分钟0.12元收费。如果小明每月通话 分钟，请问他该如何选择套餐最划算？
分析：此题尚不明确小明每月通话时长，因此需要分三种情况讨论：
当0≤ x ≤ 100时，显然两种卡消费一样。
当100≤ x ≤ 200时，A卡有优惠，B卡无优惠，因此选择A卡。
当x>200时，设A、B两卡消费分别为y1、y2。A卡消费为y1=0.16x+20，B卡消费为y2=0.12x+40，当y1=y2时，x=500因此又需要分三种情况讨论：当x=500时，A、B两卡消费一样，当200500时，y1>y2选B卡更划算。
分类讨论思想这是数学基本思想方法之一。学生熟练掌握了这一思想方法，将更有逻辑有条理的分析处理问题。一次函数是最基本的函数，它对于解决实际生活生产需要有重要意义。教师在教学一次函数时应当科学的选取适当的教W方法，务必是学生理解掌握一次函数，并将其迁移到实际问题中去。
参考文献：
[1]司马迁，史记，北京联合出版社，2016.
[2]王鸿钧，孙宏安，数学思想方法引论，人民教育出版社，1992.
[2]义务教育课程标准教师学习指导，2011.
[3]数学八年级下册，人民教育出版社，2013.
[4]顾泠沅，数学思想方法，中央广播电视大学出版社，2004.
[5]潘兴伟，初中数学教与学，分类思想在一次函数中的应用，2015.
[6]姬梁飞，科教文汇，论分类讨论思想方法，2017.
