时间：2023-05-30 10:18:24
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇一元一次方程组，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
人教版《义务教育课程标准实验教科书・数学》七年级第二章“一元一次方程”和第八章“二元一次方程组”在编排上体现创新理念，改变传统的先集中安排代数式作为预备知识、再安排方程的解法、最后安排应用问题的模式，代之以问题为线索，以方程为重点，将列方程(组)、解方程(组)及有关预备知识等有机地融入在分析、解决实际问题的过程中. 这样的编写充分体现了从具体的问题情境出发，使用各种数学语言表达问题，建立数学关系式，获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义的学习过程；凸现了将实际问题抽象为数学问题，并利用数学问题解决实际问题的模型化思想；更突出了知识的形成与应用过程，有助于教师进行创造性教学. 很明显,课本的编写者是颇费了一番心血和汗水的，这为新课程的教与学指明了较好的方向. 对于编者的意图，我们教师是心领神会的. 笔者在此提出一个问题：这两章教材编写方式基本相同，但为什么我们在实际使用过程中收到的却是大相径庭的效果？下面就具体谈谈这个问题.
1 关于“一元一次方程”
本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线. 对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，围绕合并、移项、去括号、去分母几大步骤依次展开，最后归纳出解一元一次方程的一般步骤，以此引导学生提高对一元一次方程解法的认识. 编者认为这样的处理既符合人们对方程的认识过程，可以加强该章内容与实际的联系，突出“列方程”在本章的地位，并且有助于消除部分学生对列方程的畏难情绪；也符合新课标的要求――“学生学习的内容是现实的，有意义的，富有挑战性的”. 可是，这一问题的本身就需要学生具有比较扎实的数学基础，这样才能在较短的时间内列出方程，然后进入一元一次方程的学习. 编者明明知道“列方程”是本章的重点和难点，而这样的编写明摆着学生必须具有一定的列方程的能力，才能学习并掌握一元一次方程的解法. 如此，学生一上来就面临着本章的难点. 由于上一学段只要求学生“会用方程表示简单情境中的等量关系”，因此大部分学生列方程的能力都比较弱，故教师就得用较多的时间来进行问题情境的引入，这样用于解方程教学的时间自然就少了. 而学生既要学“列方程”，又要学“解方程”，一心两用，结果是一样都学不好.
以往的经验告诉我们，对于一元一次方程的解法，学生掌握起来其实并不感觉有特别困难. 除了在移项或去括号时造成符号错误、去分母中漏乘等问题，学生在学习中并没有遇到多大的阻力. 就连一些原来基础比较薄弱的学生也能很快学会解一元一次方程. 而对于用一元一次方程去解决实际问题倒是学生最感头疼的. 如何理解问题情境，理清问题中的基本数量，找出相等关系列出方程，每一步都令学生不知从何下手. 这样，教师在教学中必须首先解决这些学生感到最困难的问题后，方能进入方程的学习. 但这就违背了先易后难、循序渐进的认知规律，到头来学生就连基本的一元一次方程的解法都难以掌握. 可能编者认为现在这种编排是突出重点，分散难点，使学生有较多机会接触列方程，有助于解决列方程难的问题. 而教学实际的结果表明,本届学生对一元一次方程解法的掌握程度虽不如往届，但差距还不是很大；而碰到用一元一次方程解决实际问题时，大多数学生都表示难以理解和把握，解题时思路不够清晰，对不同问题不知道如何区别对待. 由于学生刚迈入初中，各方面都在适应之中，而本章又安排在上半学期，因而出现这种现象是必然的. 这种编排把学生的头都搞昏了，还谈什么课堂效果？这肯定有悖于编者的初衷. 调查统计表明,学生能正确解一元一次方程的占65%，会列方程解应用题的占50%，对2.4节探究题只有30%的人会做. 面对这样的实际，教师只能安排课余时间补习旧教材中的有关内容，让学生慢慢地适应并逐步达到本章的教学要求，这才是真正加重了学生和老师的负担.
2 关于“二元一次方程组”
本章同第二章“一元一次方程”一样，在各个阶段都选择了一些比较典型的实际问题作为知识发生、发展的背景材料，可以说实际问题始终贯穿于全章. 对二元一次方程组及其相关概念的引入和对二元一次方程组解法的讨论，是在建立和运用方程组这种数学模型的过程中进行的. 虽然本章也是在“列方程组”基础上进行教学的，但由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，对刚进入七年级的学生来说，的确有一定的难度. 而列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程. 很明显，这比将同一个问题列成一个一元一次方程容易. 而且，学生已有前面“列方程”的经历这一基础，因此我们在教学中既可以通过问题情境复习“列方程”这一重点，又可以引导学生对所列方程组的解法进行研讨，起到一箭双雕的作用. 又因为前面已学过一元一次方程的内容，学生对方程有一定的感性认识，基本上会解一元一次方程，这就为进一步学元一次方程组奠定了基础. 8.2节的标题“消元”已点出了解方程组的核心. 因此在有关方程组解法的讨论中，学生只要理解了消元的基本思想和方法，方程组就迎刃而解了.
数学学习不应仅仅是单纯的知识传授，更应注重对其中所蕴涵的数学思想方法的提炼和总结，使之逐步为学生所掌握并对他们的学习发挥指导作用. 本章教材将实际问题情境贯穿于全章，对方程组解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的. 这样的编写充分体现了解方程组的化归思想和将实际问题抽象为数学问题，反过来又利用数学问题解决实际问题的模型化思想. 列方程组中蕴涵的数学建模思想和解方程组中蕴涵的化归思想，是本章始终渗透的主要数学思想. 教学中不能仅着眼于具体题目、具体解题过程，更应加深对上述思想方法的领会，从整体上认识问题的本质. 笔者在本章教学后的反思中曾作过调查，95%的学生学会了解二元一次方程组，出现错误的地方主要是方程组化简中的去括号或去分母，83%的学生会列方程组解应用题. 不过，对8.3节中的探究题只有42%的学生能够完成. 究其原因，主要是对题意理解不清，有些问题情境学生也的确难以理解. 但不管怎样，教学效果明显优于第二章，这是不容置疑的.
综上所述，一样的编写模式，不一样的教学效果. 我们每一个问题情境的创建，每一个教学模式的设计，是否具有科学性和有效性，是否符合学生的认知规律，是否适于学生的心理特征，这些都只能在实践中作进一步的检验、探索与研究. 数学教师在使用一本新的教材之时，要了解和摸清教材的特点和不足，要针对不同环境、不同基础、不同素质学生的实际，对教材的编排和所提供的材料重新组织加工，使之符合学生的认知规律和心理特征，这样才能提高教学效率和教学质量. 同时也希望教材编写者多多征求第一线数学教师的意见，不断对教材进行改进和完善. 没有最好，但可以更好！
本课通过摸球游戏，使学生经历二元一次方程模型的形成过程。学生在探究的过程中相互交流讨论，在游戏与活动中主动探索，体验发现带来的快乐，同时将模型进行了内化，通过展示、交流成果，在提高了口头表达能力，强化了自我展示的欲望，增强了运用方程模型的应用意识与能力。
二元一次方程的学习是一元一次方程的延伸与深化，也是一次函数学习的基础。本节课是研究二元一次方程组的导入，它对进一步学元一次方程组的有关知识起到了铺垫作用。学生已学习了一元一次方程及解法，能初步了解方程这种解决的实际问题的数学模型，并能运用一元一次方程这一模型解决简单的实际问题。学生对于用设二元未知数解决问题的数学模型还不曾接触，这是本节课的重点，对如何处理两个及两个以上变量的变化即二元一次方程的解的不确定性无法感知，这是本节课的一个难点。
教学流程如下：创建情境（体验一元方程无法解决，必须学元方程的必要性） 活动 1：尝试采用二元一次方程的模型解决问题（实际问题数学模型化表达） 活动2：归纳得出二元一次方程的概念及解的意义（初步归纳出二元一次方程这一数学模型的特征） 活动3：二元一次方程知识的深化与巩固 （加深对模型的认识，体验不确定性解及特殊解含义） 活动4 ：（主动用数学模型去解释实际问题，作出决策）。
教学片段一：创设情景，导入新课
摸球游戏：盒子里面有若干个红球和蓝球，得分规则：摸出一个红球得2分，摸出一个蓝球得1分。（1）老师摸出2个红球3个蓝球，请同学们算算得了多少分？ （2）一同学任意摸出若干个球，同小组同学算出得分多少？ （3）如果共摸出5个球，思考共得了多少分？
提问：怎么思考的？
生：分类讨论。
用表格可以表示为：
提问：最多和最少可得多少分？
（4）如果共得了20分，一共摸出多少红球与蓝球？
提问：怎么思考的？
生甲：枚举法：全是红球，共10个……用表格表示为：
师：有没有其它的方法呢？可不可以用一元一次方程解呢 ？
生讨论：设x个红球，无法列方程解决。
师：如果设两个未知数呢？设x个红球，y个蓝球，怎样列方程呢？
讨论：找相等关系：红球得分+蓝球得分=20分。方程为2x+y=20.
师：你能列出所有可能的情况吗？
学生填表完成后思考。
师：如果得分是350分，问分别摸出了多少个红球和蓝球？
生：列表太多了，可以列方程： 2x+y=350.
师：若规则改为摸出红球得2分，摸出蓝球得3分，共得了350分，又应该怎样解答呢？ 生：2x+3y=350.
设计说明：经历变化过程，感受解的不确定性，体验多个变量问题，一元方程无法求解，运用二元一次方程求解的必要性及简便性。
教学片段二：自主探索，归纳新知
师：观察2x+y=20与2x+3y=350这两个方程，它们有哪些共同的特点？与一元一次方程有何不同？ 学生讨论得出结论：（1）含有两个未知数； （2）未知数的次数都是1.
师：像这样，含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。
师：思考两个未知数值的关系？与一元一次方程有何不同？
生：同时成立，缺一不可；一元一次方程只有一个未知数，而二元一次方程有两个未知数。
一、学情分析
1、 学生初学到方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或直接进行列方程或在设未知数时又单位却又忘记写等。
2 、学生在用一元一次方程解应用题时，可能存在分析问题时思路不同，列出方程也不同，这样部分学生可能会怀疑自己的解法存在错误。实际不是，作为老师应该鼓励学生开拓思路，在将例题时就贯穿其中，让学生明白只要思路正确，所列方程合理，都是正确的。这样学生在做题时就会选择合理的思路，使得方程尽可能简单明了。
3 、学生在用一元一次方程组解应用题时，抓不准相等关系或找出相等关系后不会列方程，甚至部分学生列出方程后不会解方程。
4 、学生在学习中可能习惯于用算术方法分析问题对于用代数方法分析应用题不适应，以至于较为复杂的应用题无法找到等量关系，随便列式解答。
5 、学生在学习中习惯于套题型，找解题模式，而不重视分析等量关系。
二、简单分析解一元一次方程应用题
至于解一元一次方程应用题呢？关键是找出代表题目全部含义的等量关系。每到应用题都包含事物的情节和数量两个方面。都由已知条件和问题两部分构成。同学们只有对情节和数量关系理解和掌握了，才能将数量关系概括为抽象为数学问题，正确列出方程，这就需要同学们抓住关键语句理清解题思路，另外，把应用题的条件和问题通过线段图表示出来，可以使抽象的数量关系具体化，直观化，便于理解题意，找出已知数更好的列出一元一次方程解应用题。
在一个应用题中，有时可以找出两个或两个以上的等式，而我们列一元一次方程能以以个代数式为依据来列方程组。这时就需要我们确定出一个既包含题目的已知数量又要能直接或间接的包含未知量的代式。确定好等式后，再分析等式左右两边的已知量和未知量与所求问题关系，若能通过此未知量求出所求问题，则确定此未知量为X。若出现两个或两个以上未知量，这时需要根据题目中其它等式找出这些未知量的关系，结合所求问题确定其中一个为X然后再用含未知数的代数式表示其它未知量。最后再根据等量关系列出方程组。
综上所述，列方程解应用题的一般步骤为：
（1）弄清题意，找出已知条件和所述问题；
（2）根据题意确定等量关系，设未知数X
（3）根据等量关系列出方程；
（4）列方程
（5）检验，写出答案
下面来看几道例题：
例1 已知又甲，乙、丙、丁 四个数，甲比乙多3，丙比甲的2倍多7，丁比乙的2倍多5，四个数的总和为45，求这四个数各为多少?
分析：题目中已知的有: 甲=乙+3
丁=乙*2+5 丙=甲*2+7 甲+乙+丙+丁=45
未知：甲乙丙丁四个数
通过分析我们可以看出能够包含全部题意的等式是甲+乙+丙+丁=45
右边为45，左边四个数均为未知数，因为只能设其中一个为x，所以分析四个数之间的关系，
故设乙为x，则甲= x+3，丁=2x+5，丙=2（x+3）+7，代入甲+乙+丙+丁=45，
可得方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]=45
解出x后，便可求出甲乙丙丁四个数.
解：设乙数为X则：（略）
当然，我们平时遇到列方程组解应用题时，还可通过画图，列表等帮助分析，但不管用什么形式分析，都离不开寻找等量关系。
例2 天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内；才能使两者所盛盐的质量相等？
分析：（图略）设应从盘A内拿出Xg盐，列出下表
解：设应从盘A内拿出盐Xg放到B盘内，则根据题意得，51-x=45+X
解之得：X=3
符合题意。
答：应从A盘中拿出3g盐放到B内。
同学们在掌握了用一元一次方程解应用题的方法后，应多做一些不同层次，不同形式的列席，如模仿性的练习，发展性的练习……逐渐学会观察比较，分析综合的学习方法，联系实际学会抽象，概括学会思考的方法，促进思维的提高，提高自主学习能力。
三、一元一次方程应用题的归纳。
用一元一次方程解答实际问题，关键在抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程，求的方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答。
这一过程可以简单的表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
（1） 弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。
(1)知识结构
(2)重点、难点分析
重点：本小节的重点是使学生学会用加减法解二元一次方程组.这也是一种全新的知识，与在一元一次方程两边都加上、减去同一个数或同一个整式，或者都乘以、除以同一个非零数的情况是不一样的，但运用这项知识(这里也表现为一种方法)，有时可以简捷地求出二元一次方程组的解，因此学生同样会表现出一种极大的兴趣.必须充分利用学生学会这种方法的积极性.加减(消元)法是解二元一次方程组的基本方法之一，因此要让学生学会，并能灵活运用.这种方法同样是解三元一次方程组和某些二元二次方程组的基本方法，在教学中必须引起足够重视.
难点：灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便，这也要通过一定数量的练习来解决.
2.教法建议
(1)本节是通过一个引例，介绍了加减法解方程组的基本思想和解题过程.教学时，要引导学生观察这个方程组中未知数系数的特点.通过观察让学生说出，在两个方程中y的系数互为相反数或在两个方程中x的系数相等，让学生自己动脑想一想，怎么消元比较简便，然后引出加减消元法.
(2)讲完加减法后，课本通过三个例题加以巩固，这三个例题是由浅入深的，讲解时也要先让学生观察每个方程组未知数系数的特点，然后让学生说出每个方程组的解法，例题1老师自己板书，剩下的两个例题让学生上黑板板书，然后老师点评.
(3)讲解完本节后，教师应引导学生比较代入法与加减法这两种方法，这两种方法虽有不同，但实质都是消元，即通过消去一个未知数，把“二元”转化为“一元”.也就是说：
这时学生对解题方法比较熟悉，但还没有上升到理论的高度，这时教师应及时点拨、渗透化归转化的思想，并指出这是具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法.
教学设计示例
(第一课时)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤.
2.能运用加减法解二元一次方程组.
(二)能力训练点
1.培养学生分析问题、解决问题的能力.
2.训练学生的运算技巧.
(三)德育渗透点
消元，化未知为已知的转化思想.
(四)美育渗透点
渗透化归的数学美.
二、学法引导
1.教学方法：谈话法、讨论法.
2.学生学法：观察各未知量前面系数的特征，只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值后即可利用加减法进行消元，同时在运算中注意归纳解题的技巧和解题的方法.
三、重点、难点、疑点及解决办法
(-)重点
使学生学会用加减法解二元一次方程组.
(二)难点
灵活运用加减消元法的技巧.
(三)疑点
如何“消元”，把“二元”转化为“一元”.
(四)解决办法
只要将相同未知量前的系数化为绝对值相等的值即可利用加减法进行消元.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.教师通过复习上节课代入法解二元一次方程组的方法及其解题思想，引入除了消元法还有其他方法吗?从而导入新课即加减法解二元一次方程组.
2.通过引例进一步让学生探究是用代入法还是用加减法解方程组更简单，让学生进一步明确用加减法解题的优越性.
3.通过反复的训练、归纳、再训练、再归纳，从而积累用加减法解方程组的经验，进而上升到理论.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课通过复习代入法从而引入另一种消元的办法，即加减法解二元一次方程组.
(二)整体感知
加减法解二元一次方程组的关键在于将相同字母的系数化为绝对值相等的值，即可使用加减法消元.故在教学中应反复教会学生观察并抓住解题的特征及办法从而方便解题.
(三)教学过程
1.创设情境，复习导入
(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程组，并检验所得结果是否正确.
学生活动：口答第(1)题，在练习本上完成第(2)题，一个同学说出结果.
上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解.对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢?这就是我们这节课将要学习的内容.
【教法说明】由练习导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，教学过程中还可以进行代入法和加减法的对比，训练学生根据题目的特点选取适当的方法解题.
2.探索新知，讲授新课
第(2)题的两个方程中，未知数的系数有什么特点?(互为相反数)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相加，右边与右边相加，就可以消掉，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解.
解：①+②，得
把代入①，得
学生活动：比较用这种方法得到的、值是否与用代入法得到的相同.(相同)
上面方程组的两个方程中，因为的系数互为相反数，所以我们把两个方程相加，就消去了.观察一下，的系数有何特点?(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去?(相减)
学生活动：观察、思考，尝试用①-②消元，解方程组，比较结果是否与用①+②得到的结果相同.(相同)
我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解.像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”.
提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单?(加减法)
②在什么条件下可以用加减法进行消元?(某一个未知数的系数相等或互为相反数)
③什么条件下用加法、什么条件下用减法?(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法)
【教法说明】这几个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性.
例1解方程组
哪个未知数的系数有特点?(的系数相等)把这两个方程怎样变化可以消去?(相减)
学生活动：回答问题后，独立完成例1，一个学生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)检验一下，所得结果是否正确?
(2)用②-①可以消掉吗?(可以)是用①-②，还是用②-①计算比较简单?(①-②简单)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①计算简单还是代入②计算简单?(代入系数较简单的方程)
练习：P23l.(l)(2)(3)，分组练习，并把学生的解题过程在投影仪上显示.
小结：用加减法解二元一次方程组的条件是某个未知数的系数绝对值相等.
例2解方程组
(1)上面的方程组是否符合用加减法消元的条件?(不符合)
(2)如何转化可使某个未知数
系数的绝对值相等?(①×2或②×3)
归纳：如果两个方程中，未知数系数的绝对值都不相等，可以在方程两边部乘以同一个适当的数，使两个方程中有一个未知数的系数绝对值相等，然后再加减消元.
学生活动：独立解题，并把一名学生解题过程在投影仪上显示.
学生活动：总结用加减法解二元一次方程组的步骤.
①变形，使某个未知数的系数绝对值相等.
②加减消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一个未知数的值，从而得方程组的解.
3.尝试反馈，巩固知识
练习：P231.(4)(5).
【教法说明】通过练习，使学生熟练地用加减法解二元一次方程组并能在练习中摸索运算技巧，培养能力.
4.变式训练，培养能力
(1)选择：二元一次方程组的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
学生活动：第(1)题口答，第(2)题在练习本上完成.
【教法说明】第(1)题可以用解方程组的方法得解，也可以把四组值分别代入原方程组中，利用检验的方法解，这道题能训练学生思维的灵活性;第(2)题通过分析，学生可得方程组从而求得、的值.此题可以培养学生分析问题，解决问题的综合能力.
(四)总结、扩展
1.用加减法解二元一次方程组的思想：
2.用加减法解二元一次方程组的条件：某一未知数系数绝对值相等.
3.用加减法解二元一次方程组的步骤：
八、布置作业
(一)必做题：P241.
(二)选做题：P25B组1.
(三)预习：下节课内容.
参考答案
摘 要： 方程作为初中数学中的重要内容，以一元一次方程作为基础，能正确求解一元一次方程显得尤为关键。本文以例指出学生解方程时常见错误，并进行成因分析，以帮助学生提高成绩。
关键词： 一元一次方程 常见错误 成因分析
在初中数学教学中，教师一般喜欢赞美成功，不喜欢学生的错误。教师往往对学生出现的错误缺乏深入的分析与研究，对学生常见的错误没有从新旧知识的衔接、学生的心理状况等方面进行细致的成因分析，导致学生在数学学习中存在困扰。德国哲学家黑格尔曾说：错误本身是达到真理的一个必然的环节，由于错误，真理才会被发现。数学教师在教学过程中对学生的错误进行成因探析，可以了解学生原有认知结构上的缺陷，及时了解学生对新知识的理解、掌握情况，真正了解学生内心的想法，使新旧知识有效衔接，学生可以在教师的帮助下完善自己的原有认知，以此提高学生的数学学习效率。
1.解一元一次方程常见错因分析
方程是表示现实世界中一类具有等量关系问题的重要数学模型，是解决实际问题的重要工具之一，也是数学学习中的最基本运算工具。它作为初中数学中的重要内容，分为一元一次方程、二元一次方程（组）、三元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程。一元一次方程更是最基础的方程，是求解其他方程的必备条件，一元一次方程的解法是有理数与整式运算的综合运用，也是今后学元一次方程组、一元一次不等式（组）及一元二次方程的基础。而且许多方程最终都要化为一元一次方程求解，因此熟练地求解一元一次方程就显得特别重要。但是学生学习解一元一次方程时由于粗心或对一些运算法则、概念理解不透彻，时常会出现许多错误，如移项忘变号、去括号出错、去分母出错、解含有绝对值的一元一次方程漏解。以下笔者就列举几个学生在作业中最容易出错的例子，与同仁们共享，以求减少学生的错误。
1.1去括号错误。
括号前是“-”，学生去括号时没变号导致出错。去括号错误是初中学生经常出错的地方，由于七年级学生刚从小学升入初中，数学教学中引入负数，对学生来说是一个难点，让初学者一下子接受很困难。根据最近发展区理论，学生的原认知还停留在正数（比零大的数）上，此时新旧知识发生激烈碰撞，学生就疑惑，负数的引入自然成了学生数学学习的难点，而且马上要进行负数的运算，符号的变换使得学生产生困惑，因此去括号时就会出错。教师在教学时要深入挖掘学生原有认知水平，在此基础上启发、引导学生获得新知识。教学要走在学生发展的前面，教学要依托学生的原有认知及心理发展水平，如果教师不进行学情分析，盲目讲授新知识的，学生就会产生困惑。如教师讲授去括号时可以先讲授括号外面是“+”号的情况，同时强调、复习乘法分配律，复习巩固整式的运算（合并同类项，去括号、添括号），在此基础上将括号前的“+”变成“-”，说明负负得正，教师黑板演示，学生观察、对比符号的变化。在此基础上提高学生的原有认知水平，很自然过渡到括号前面是“-”的情况，教学效果可能会更好。
另外出错原因在于学生由于看到大量括号，心里首先产生畏惧，对乘法分配律的运用不熟练而导致出错。根据最近发展区理论，教学要走在发展的前面，因此教师教学时首先要分析学生可能出错的地方及出错的原因，大胆揣测学生的心理活动。对于此种题目，由于括号多形式看上去复杂，学生往往不知如何入手，运用分配律求解时容易出错。鉴于此，教师在教学中要帮助学生渡过这个难关，鼓励学生解题时认真、仔细，对于这种题目，求解时往往有两种思路：一种是从里面到外面去括号；另一种是从外面到里面去括号。采取“层层剥”的方式，直到去掉所有括号，化为最简形式，这样学生求解化简时才会得心应手，减少错误。
成因分析：例3的错误在于混淆等式的基本性质2（给一个等式每一项都乘以或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式）和分数的基本性质（给分数的分子分母同时乘以同一个数，结果和原分数相等）。学生解题时由于记着去分母要给每一项都乘同一个数，但这不是去分母，仅仅是将分母的小数化为整数，没有弄明白这两者从而导致出错。鉴于此种错误的原认知，教师教学时应该帮助学生首先回顾分数的基本性质及等式基本性质，使学生的原认知水平得到纠正，在此基础上帮助学生建立新知识，帮助学生解决疑惑，避免此种错误再现。
（作者系天水师范学院数学与统计学院15级研究生）
1、第一章有理数：正数和负数、数轴、有理数的大小、有理数的加减、有理数的乘除、有理数的乘方、近似数。
2、第二章整式加减：用字母表示数、代数式、整式加减。
3、第三章一次方程与方程组：一元一次方程及其解法、二元一次方程组、消元解方程组、用一次方程（组）解决问题。
4、第四章直线与角：多彩的几何图形、线段、射线、直线、线段的比较、角的度量、作线段与角。
5、第五章数据的收集与整理：数据的收集、数据的整理、统计图的选择、从图表中获取信息。
（来源：文章屋网 ）
关键词：自主性学习；数学教学；实践
转变他主性、被动性的学习状态，把学习变成人的主体性、能动性、独立性，不断生成张扬、发展、提高的过程，是自主性学习的基本学习观。凸显学习过程中的发现、探索、研究，使学习过程成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。
一、自主性学习在教学中的实践
自主性学习的基本程序是：确定学习目标学生自学自学检查集体讨论教师讲解练习巩固课堂小结。教无定法，此模式流程可以根据不同的教学内容、教学要求及教育对象进行适当的调整和组合。
1.导读――发现问题、提出问题、确定学习目标
在知识的导入阶段，有时通过对旧知识的复习和巩固可以让学生自己发现学习中存在的问题，或者关联的知识从而引出新
知；有时需要创设问题情境，有趣故事的引入，生活问题的介入，使学生感到好奇，激发学生对探求新知的欲望。
例如，在《解一元一次方程》教学中，设置两道练习题来复习去括号和求解不含括号的一元一次方程：
（1）去括号3（x-2）+1= ；
x-（2x-1）= ；
（2）解方程3x-5=x-2x+1
再提问：3（x-2）+1=x-（2x-1）这类方程如何求解？
2.自读、自查、集体讨论――分析问题、解决问题
在确定学习目标之后，通过学生的自读、分析、弄清知识的内在关系，充分发挥学生在学习中的主动性、创造性和独立性。自读之后，教师通过设问质疑以及问题的呈现，让学生自己检查自学的效果，检查对新知识的认识是否全面、深刻。教学过程中鼓励学生互相交流意见和看法、互相质疑、互相补充回答，从而在对教材内容的理解分析中优化产生共识。
例如，在《二元一次方程组的解法》的教学中，通过学生自读，分析弄清知识的内在联系。之后通过设计问题，让学生解决问题。
解方程组：x=3y+2――①
x+3y=8――②
让学生求解，解完方程组后互相探讨、交流意见，之后请同学来讲解。
学生1：因为方程①中x=3y+2，可用3y+2代方程②中的x，从而把二元一次方程组化为已学过的一元一次方程组，可求出y值，代入方程①便可求出x的值。
学生2：可由方程②变形为x=8-3y，再与方程①结合便可得3y+2=8-3y，从而求出y值。
学生3：可以由方程①变形为y=（x-2）/3，再把它代入方程②，转化为关于y的一元一次方程。
学生4：可以由方程①变形为3y=x-2，再由x-2代入方程②中的3y，转化为关于x的一元一次方程。
3.知识总结，巩固和深化
学生在前面环节中获得的知识是一种点型知识或线型知识，必须把这种点型知识或线型知识上升到面型知识，或者说认识要经过从个别到一般的过程，这就要求进行必要的小结。学生进行自我总结是自主性学习的重要环节。知识的深化是知识的转化、迁移过程，可以进一步促进学生思维的发散，能力的提高。
就以上《二元一次方程组的解法》的教学案例，可以根据学生的讨论结果进行设问：以上哪几种解法是正确的，哪几种解法是错误的？解二元一次方程组的一般步骤是什么？
二、自主性学习课堂教学应处理两个关系
1.各种教学方式之间的关系
教学方式的选择要适应教学目标。或是讲授知识、或是组织引导学生自主探究发现问题，都应根据教学目标和教学内容来确定，由于教学目标和教学内容是多层和多样化的，课堂教学中不同的教学方式是相互交织的，这就有利于不同教学方式的优势互补。对于那些独立而简单的问题，教学的基本目的是知识的理解，可以采用讲授式教学。此外，学生的心理准备不足，或学生缺乏一定的认知水平和技能技巧，教学方式的选择也应以讲授为主。对于那些精妙的概念原理、知识的联系、抽象的空间以及与数的关系、观察与实验等教学内容，由于这些内容学生易于误解或需要探究和检验，教学中可以采用教师指导下的自主性学习进行，这
有利于学生对学习内容的理解，更有利于让学生经历学习过程，
掌握数学的学习方法，提高学生的学习能力。
2.学生自主性学习与教师指导的关系
所谓“系统思维”就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系、相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。
初中数学中，数、式及其运算，方程与不等式，一次函数、二次函数，三角形、四边形等等，都是一个系统。但考虑到学生发展的水平层次需要，教材也是将各部分错落安排在了三年的不同阶段中。也只有当教师进行中考总复习时，才会将各个板块整合在一个系统下来看待，以强调其中的关联性。那我们能否可以在平常的教学活动中就让学生不断地体会感悟数学知识之间的联系系呢，比如概念课。结合区里开展的“预学先行，小组合作”教学模式，我作了以下尝试。
二、教材内容分析
浙教版数学八下2.1《一元二次方程》是一节概念课，又是这一章的起始课，教材的处理方式是用两个来源于生活和生产实际中的问题作为情境，由学生列出两个一元二次方程，感受一元二次方程的产生过程，并从而得出一元二次方程的定义。
如果只从教材教的角度分析本节课的教学内容，就容易忽视各种类型方程之间的关系。对于学生来说，一元二次方程已经不是一个独立的新的知识，只是一元一次方程向多元高次方程的一个延续。所以，应该顺着方程学习的经验，在系统的思维下审视这堂概念课，对课程资源进行有效整合，改变教学内容的呈现方式和顺序，让学生感受到数学的整体性。这种基于系统思维下的数学概念课教学，我把它理解为：旧经验，类比迁，其义见，新知建，整体联，横纵延。
三、课前自学预案设计说明
1.你能任意写一个一元一次方程吗？你还记得一元一次方程是如何定义的吗？
设计说明：这样设计，由简入手，并让学生回忆所学，为类比一元二次方程的定义做铺垫。
2.请你在下列五个代数式中选取两个，用等号连接，构建尽可能多的方程。
2x+1，4，x2，y，x3
（1）请指出你所写的方程中哪些是我们学过的，哪些是我们没学过的？
（2）你所写的方程中哪些是一元一次方程？
（3）你能类比一元一次方程的概念给一元二次方程下个定义吗？
（4）你所写的方程中哪些是一元二次方程？
（5）为了方便学习一元二次方程，预习书本后你能写出它的一般形式吗？
（6）你能给其他方程命名吗？
设计说明：第2题的一连串问题是基于以下的考虑，在学生构建方程（这里针对的是整式方程）的过程中，势必跌宕起伏，有些方程熟悉，有些方程陌生，便会心生疑惑，而我们正是要解学生这一惑，在学生已有的方程知识基础上（一元一次方程）类比迁移出一元二次方程的概念，而同时对“元”――未知数的个数和“次”――未知数的最高次数这两个概念更进一步深入了解，以达到可以对高次多元方程进行命名而不陌生的目的，在系统内对方程这个大家族有一个更深刻的认识。
3.学习一元一次方程时我们从哪几方面入手？你觉得我们可以学习一元二次方程的哪些方面？
设计说明：这一问题的设置，也是建立在学生已有的方程学习经验上，方程的概念，方程解的概念，方程的解法，方程的应用等等，也是可以迁移到一元二次方程身上来的。让学生明白方程的学习可以建立在系统的思维下，也更能深刻地理解知识都是有联系和传承的，学习是有经验的。结合之前所提到的高次多元方程，虽然我们暂时不接触类似方程，但如果学到也可以类比基础方程的学习经验。
四、课中研学学案设计说明
1.概念认知。同桌合作，写出两个方程，使方程①不是一元二次方程，并写出不是的原因；使方程②是一元二次方程，并指出其一般形式，二次项系数，一次项系数和常数项。
设计说明：活动的目的是为了更好得辨识一元二次方程一般形式。同桌对学，学生自主编题，教师挑选优秀自编方程板演到黑板，由其他小组同学回答相关问题。这一过程可发挥学生的自主能动性和创造力，让学生站在命题者的高度去思考问题。恰恰也就是这些出自于学生之手的方程，是很多老师上课举例讲解的例题或是习题，而且形式各样，并且具有代表性，学生的想象力，创造力和模仿能力超过预期。
2.解法探究。独学完成：①已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。
②已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根为x1=3和x2=-1，求这个方程。
设计说明：学生之前提及了一元一次方程和二元一次方程组的解的概念，再次熟悉方程学习的思维架构。设置一元二次方程的解（或根）的应用，习题难度设置具有梯度性。学生投影展示讲解，增强语言组织能力，表达分析能力。
3.颗粒归仓。设计说明：学生自主小结，回味系统思维下的方程观，以及所学的一元二次方程。让学生明白一元二次方程从哪里来，到哪里去，是怎样去的，并感悟数学知识是有机并相互联系的。
五、系统思维教学感悟
一、转化思想
二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”.“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的一种基本方法.
例1 已知2a2m-nb3与[-12ab12m+n]是同类项，求m、n的值.
【分析】同类项要求相同字母的指数相同，故有[2m-n=1，12m+n=3.]解得[m=85，n=115.]
【点评】本题运用了转化的思想.第一，根据同类项的定义，将求解m、n的问题转化为解关于m、n的二元一次方程组的问题；第二，运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题.当然本题还运用了方程的思想.
二、整体思想
整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养同学们思维的灵活性、敏捷性.
例2 解方程M[2x+3y-2=0， ①2x+3y+57-2y=9. ②]
【分析】方程①②中均含有2x+3y，可用整体思想求解.
由①得2x+3y=2，③
把③代入②得[2+57]-2y=9，解得y=-4，
再把y=-4代入①，得x=7，
所以方程组的解为[x=7，y=-4.]
【点评】我们在解题过程中经常使用整体思想，整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算，少走弯路.
三、换元思想
换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，从而达到化繁为简，化隐为显，化难为易的目的.
例3 解方程组[4x+y-3x-y=14，x+y2+x-y3=6.]
【分析】把方程组中的x+y与x-y进行整体换元，简化方程组.
设[x+y2]=u，[x-y3]=v，则原方程组变为[8u-9v=14， ①u+v=6. ②]
由①+②×9得17u=68，u=4. 将u=4代入②中得v=2.[x+y=8，x-y=6.]解得[x=7，y=1.]
关键词：数学类比思想 有效课堂教学 探析
回顾基础教育改革所走过的十个年头，期间出现过许多标新立异的教学模式。其中，有不少因为只注重课堂热闹形式，而轻视教学实质的教学模式，现已成为过去。正如教无定法，贵在得法。如何把初中数学的课堂教学上得扎扎实实，真正实现有效课堂教学呢？笔者在二十多年的教学实践中，坚持对不同的学生和不同的教学内容选择不同的教学模式。其中，在数学概念、法则和性质等新授课的课堂教学中，经常采用的是数学类比模式开展课堂教学。对此，笔者做了一些探究与尝试。
一、对数学类比思想的认识
正如著名的数学教育家波利亚所说：“类比就是一种相似。”数学类比就是将两类相似的数学对象进行比较，根据两者相似的本质属性，把已知的数学对象的性质迁移到另一种未知的数学对象之中。类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助学生开拓数学思路，找到解决问题的途径和方法。在初中数学的教材中，有很多的概念、性质、判定和解题方法都可以采用类比模式进行教学。恰当运用类比方法，甚至还能解决一些复杂的数学问题。在运用类比时，应找准被类比的数学对象。被类比的数学对象，应该是学生最熟识、最常见和最具体的。
二、数学概念的类比
数学概念是数学之魂，是建构数学知识体系的奠基石。数学概念非常多，如果靠死记硬背去记忆概念，学生必然难以应付，自然会产生厌学情绪。其实，有很多数学概念是非常相似的，如果将它们进行类比，从中找出它们的共同点，辨别出它们的差异。这样，学生既强化了对原有概念的认识，掌握了新知识，又建构了全面和牢固的概念体系。
案例分析1.在讲授二元一次方程、一元二次方程、一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等数学概念，都可以一元一次方程概念作为已知对象进行类比获取新的认知。如将一元一次方程中前面的“一”改为“二”， 就可以得出二元一次方程概念；将其后面的“一”改为“二”， 就可以得出一元二次方程概念；再将“等式”改为“不等式”就可以分别得出一元一次不等式、二元一次不等式和一元二次不等式等四个概念。
这样，以一元一次方程概念为对象，通过横向与纵向的类比，就建构出方程与不等式的概念体系。
三、数学性质、判定和法则的类比
数学的性质、判定和法则是解决同类数学问题的一般规律，是学好数学的关键。学习一个新的数学性质、判定或法则时，应找到一个与它相似的数学对象进行类比，通过观察、比较、分析和联想，甚至猜想，从而推导出新的数学对象所具有的本质属性。
案例分析2.异分母的分式加减法则既是分式的重点，也是难点。笔者在教学中是通过以下的类比模式来完成教学的：
教师：请同学们回顾——异分母的分数加减法则。
学生：算一算：■+■=？ ■-■=？
师生：一般地，异分母的分数相加减，先通分，化为同分母的分数，再进行加减运算。
教师：猜一猜——异分母的分式如何加减运算呢？
学生：试一试：■+■=？ ■+■=？
师生：通过运算、类比和猜想，得到异分母的分式加减法则：
文字语言：一般地，异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再进行加减运算。
数学符合：■±■=■±■=■
这样，以分数加减法则为类比对象，通过训练、分析、观察、类比和猜想，从而推导出异分母的分式加减法则。这样，学生不但巩固了分数的加减运算法则，掌握了新的异分母的分式加减法则，而且学生的思维能力、观察能力和创新意识都能得到培养与提高。
四、解题方法的类比
在解决数学问题时，经常会遇到一题多解和多题一解的情况。运用类比的数学思想，很多同类的数学问题，甚至是复杂的、尚未学到的数学问题，都可以得到解决。
案例分析3. 解决可化为一元二次方程的分式方程，可以类比用可化为一元一次方程的分式方程的方法和步骤。通过去分母和化简，将分式方程转化为整式方程来解决。同样，解决二元二次方程组，可以类比用解二元一次方程组的方法，通过消元、降次，把二元二次方程转化为一元二次方程或一元一次方程。
例：解分式方程■+■+■=1
解：去分母，得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2）
移项合并整理，得x2-3x+2=0
解 得x1=1 x2=2
检 验：把x1=1代入（x+2）（x-2）≠0
把x2=2代入（x+2）（x-2）=0
所以x=2是原方程的增根，x=1是原方程的根
将解可化为一元一次方程的分式方程的方法，可以类比到解可化为一元二次方程的分式方程；将解二元一次方程组的方法，可以类比到解二元二次方程组，确实有触类旁通、异曲同工之效。
案例分析4.运用直接开平方法解方程x2=4（解为x=±2）的方法，可以拓展运用到解以下四个类型的方程①x2-4=0②2x2-8=0③（x+2）2=4④2（x+2）2-8=0。解将一元二次方程进行配方，实质上转化为是直接开平方法。
案例分析5.应用因式分解法（十字相乘法）解方程x2-5x+6=0。
（（x-2）（x-3）=0？圯x-2=0 x-3=0？圯x=2 x=3）的方法，可以运用到解以下比较复杂的四个方程：①（x-2）2-5（x-2）+6=0②x4-5x2+6=0③■2-■+6=0 ④x-5■+8=0。
上述两个案例都是以一道题目作为切入点，将它的解题思路和方法，通过举一反三引用到解决同类型的题目。
五、类比在中考中的应用
阅读理解题和观察分析题是近几年中考数学命题的热点题型。要解决这类题型，关键是根据题目所提供的信息，发掘其隐含的条件，通过分析、推理、联想与猜想，从而找到解题的思路和方法。
案例分析6.（2012年广东省中考题）观察下列等式：
第1个等式：a1=■=■×1-■；
第2个等式：a2=■=■×■-■：
第3个等式：a3=■=■×■-■；
第4个等式：a4=■=■×■-■；
………………………………
请解答下列问题：
①按以上规律列出第5个等式：a5 =____
=_____；
②用含n的代数式表示第个n等式：an =___
=_____；（n为正整数）
③求a1+a2+a3+a4…+a100的值。
通过对四个等式横向和纵向的比较，不难发现它们的相同点都含有数字■和一样的结构特征，相关的数字都跟第n个等式的值有关，其他分母都是含有与有关的两个连续奇数2n-1和2n+1。
其实，在初中数学教学中，还有很多教学内容可以运用类比模式。例如，二次函数图象之间的类比，n边形内角和=（n-2）×180与三角形内角和180的类比，矩形、正方形和菱形与平行四边形的类比，梯形中位线与三角形中位线的类比，相似三角形与全等三角形的类比……当然，选择类比的数学对象应恰当，要防止生搬硬套的类比。
正如波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人。”在初中数学教学中恰当运用类比，具有承前启后和事半功倍之效，使学生学习数学的思维和解决问题的思路能豁然开朗。为此，我们确实要用数学类比思想建构数学有效课堂教学，确实做好学生学好数学的“引路人”。
参考文献：
[1]义务教育课程标准实验教科书.数学七、八、九年级.人民教育出版社，2001（2）.
[2]何小亚.数学-学与教的心理学.广州：华南理工大学出版社，2011（8）.
关键词：数学；悬念；欲望
提倡素质教育、创新教育的今天，传统教材的内容与设计思路已越来越不能适应。新课程的出现，像一场及时的春雨，焕发出勃勃的生机与活力，为广大教师提供了学习、改革和发展的机会，同时也提出了挑战。课堂教学依然是数学教学的主渠道，以讲授法为主的传统数学教学方法已经不能完全满足新课程的需要。
一、从问题出发，引导学生探索新知
教师在精心研究教材的基础上设计一系列问题，让学生在思考、解决这些问题中获取新的知识，使学生既能体验探索新知的过程，又能体会成功的喜悦。如，在《多边形的内角和》的教学中，多边形的定义及其相关概念学生很快就能接受。但是多边形的内角和=（n-2）180°，需要引导学生发现、总结。实践中我是这样做的：
请同学们先画图，再观察，回答下列问题，并记入下表。
1.四边形、五边形、六边形分别从一个顶点出发能引几条对角线？这些对角线分别把四边形、五边形、六边形分成多少个三角形？四边形、五边形、六边形的内角和分别是多少度？
2.从1中的结果中你能分析、总结出n边形从一个顶点出发能引几条对角线？这些对角线把n边形分成多少个三角形？n边形的内角和是多少度吗？
第1问学生很快可以解决，第2问让学生先自己考虑5分钟，然后让学生分组讨论，再派代表发言。教师最后总结。这样整个公式的得出都是学生自己的劳动成果，从中还体会到多边形的问题往往要转化三角形来解决数学思想方法。比老师一味的讲解后，再让学生记住效果自然好得多。
二、从实验出发，引导学生探索新知
让学生先通过实验得到结论，获得感性认识，再引导学生解释得到的结论。让学生体会数学知识也是来源于实践，最终还运用到实践中去的道理。
如，在《用相同的正多边形拼地板》的教学中，让学生拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形。先用正三角形拼图，你能拼出既不留空隙，又不重复的平面图形？再依次用正方形、正五边形、正六边形、正八边形试一试，哪些可以，哪些不可以，通过学生实验很容易找到答案。然后引导学生思考为什么正三角形、正方形、正五边形、正六边形能拼出既不留空隙，又不重复的平面图形？而正八边形不能？再让学生分组讨论，最后派代表发言。教师最后总结。这样学到的知识学生就掌握得很牢固，让学生思考任意相同的三角形、四边形能拼出既不留空隙，又不重复的平面图形吗？为什么？对这个问题的回答也可以培养学生运用知识的能力。
三、设计悬念，激发学生的自学欲望
有些内容，教师可以通过创设情境，设计悬念，激发学生的自学欲望。既让学生“学会”，又要培养学生“会学”的能力。
如，在《二元一次方程组的解法》的教学中，告诉学生解二元一次方程组的方法是：把二元一次方程组转化成一元一次方程来解的。转化的过程就是消元的过程，即把二元一次方程组中的两个未知数消去一个未知数转化成一元一次方程的过程。而一元一次方程我们已经掌握了，那么怎样来消元呢？请学生看书自学。10分钟后让学生做练习，教师在下面巡视，把发现的错误都写在黑板上，让学生找错误并改正。教师最后总结，这样学生不仅题会做了，而且做题中容易犯的错误也得到了解决。
四、寓学习方法于教学之中
教学生学会知识的同时，如果能渗透学习方法于教学中，使学生做一题，通一类，既能拓宽学生的解题思路，还能起到事半功倍的作用。
如，在讲解习题：已知，如图，在ABC中∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数。
此题学生很容易解决，如能引导学生将条件∠ABC=80°，∠ACB=50°，做如下变化：
（1）∠ABC+∠ACB=130°
（2）∠BAC=50°
这样将此题进一步变式，就深化了通过做此题学生还会总结出∠BPC与∠BAC的关系：∠BPC=■∠BAC+90°，已知∠BPC与∠BAC中的一个，可以求另一个。这样讲解例题，既能提高学生的学习兴趣，也能教会学生怎样学习，还能更深层次地掌握此题。
一、转化思想
转化正是在数学解题过程中经常用到的一种重要思维方法，通过转化将那些生疏的问题转化为自己熟悉的，把复杂的问题转化为简单的，把那些抽象的问题转化为具体的。比如，在二元一次方程组解题过程当中我们常常用到的消元法，其核心的思想就是把学生们刚刚接触到的二元一次方程组这样的新知识转化为他们以前较为熟悉的一元一次方程来解决问题。这就体现了在转化过程中把未知的问题转化为已知的问题，把较难的问题转化为相对容易的问题来解决。如何运用转化思想，就需要老师在课堂中通过一个个教学案例来传授给学生这种数学思想，最终实现举一反三，从而实现教学目标，提高他们解决实际问题的能力。
例1： 解方程组6x-3y=15 ①3x-y=13 ②
解：②×2-①得，y=11
把y=11代入①，得x=8
方程组解为x=8y=11
例1的二元一次方程式的解题过程中所利用加减消元法，把刚刚接触到的二元一次方程组转化成同学们以前较为熟知的一元一次方程来求解。当然，例1实际也可以通过代入消元法来最终求得x、y值，其实，这种代入消元法所体现的思想也是一种转化思想，即将二元一次转化为一元一次来求解。
二、整体思想
整体思想也是一种重要的数学思想，它是指把问题看成是一个个完整的整体，注重对这些问题的整体结构以及结构改造最终实现问题解决的一种思维过程，运用整体思想来解决二元一次方程组题解往往会起到改进和优化整个解题的过程，使许多常规思维下难以解决或者繁琐的解题过程变得异常得简单、便捷。
例2：若方程组x+y=6 ①3x-5y=-2②，则3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？
其实，这就是一道考察二元一次方程组的题解问题。可以将x+y看成一个整体A；3x-5y看成是一个整体B，那么3（x+y）-（3x-5y），实际就变成为了3A-B的求解过程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，让整个解题过程变得简化。
三、数形结合思想
数学家华罗庚先生说过：数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合思想在中学数学教学中始终都能体现出来，这种思想的本质其实就是运用好数与形的各自特点，把需要解决的问题通过数量关系和图形结合起来进行分析的一种解决问题的思想。具体在整个初中数学教学来看，数形结合思想主要体现在：一是建立适当的代数模型来解决有关方程；二是与函数相关的代数、几何综合性问题；三是以图形的方式呈现出来的一种实际应用性问题。巧妙地运用好数形结合来解决问题的关键是要找准数与形的契合点，往往让实际中难以解决的问题刹那间迎刃而解，取得事半功倍的效果。这一点，在二元一次方程的解题中表现得尤为突出。
例3：a、b、c三位学生来解120道数学题，其中，a、b、c每人都正确地解出了其中的90道题，如果把只有一学生解出的题叫做“难题”，把三个学生都解出的题目叫“容易题”。那么，是“难题”多？还是“容易题”多？多多少？
乍一看，这是一道比较难解的题，但转念一想，我们是不是可以运用图形结合的思想来解这道题呢。假设a、b、c三位同学都解出的“容易题”为x道，只有一位学生解出题目为“难题”，分别为y1、y2、y3个，那么难题总数为y=y1+y2+y3.由上图我们可以很容易得出下列方程式：
x+y1+a+b=90 ①
x+y2+a+c=90 ②
x+y3+b+c=90 ③
x+y+（a+b+c）=120 ④
①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤
由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥
⑤-⑥得x-y=30。
答：“容易题”要比“难题”多，多30道。
本题并不要求解出a、b、c三位同学具体求解了多少道题，通过题目所给出的材料来看，一味地去追求具体有多少道“难题”、“容易题”也不是简单就能求解出结果的。这时，引入图形结合思想，既一目了然，也使整个解题思路豁然开朗起来，整个解题过程也就需要短短的几分钟就可以解决。
四、分类讨论思想
二元一次方程组中使用到的分类讨论思想，其本质就是按一定的标准将题目中的素材分成若干类，然后对每一类再进行逐一解决，从而实现最终解决整个问题的效果。不过在引入分类讨论思想时需要秉持三个基本原则，即同标准、不重复、无遗漏。分类讨论的步骤一般是：一明确整个对象全体；二是合理分类；三是逐类讨论；四是归纳、得出结论。
例4：某彩票销售商计划用45000元购进20捆彩票，每捆有1000张彩票。彩票共有a、b、c三种不同的面值，其中a款是每张1.5元，b款是每张2元，c款是每张2.5元。现在若该销售商购进2种不同面额的彩票20捆，用去45000元，请问共有几种方案？
分析：本题主要考查的是要从a、b、c三种不同面值的彩票中选出2款，因此，共有三种组合，即a，b；a，c或者b，c。
因此，可以设购a款彩票有x张，b款彩票的有y张。那么：
x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的结果是x
设购进a款彩票有x张，c款彩票的有z张。那么：
x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=15000②，
设购进b款彩票有y张，c款彩票的有z张。那么：