时间：2023-05-30 10:26:03
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇同底数幂的乘法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一．教学引入语言的衔接
上这节课之前我一直在想，怎样充分利用教材中现有教学内容来挖掘教材中隐含的知识点，于是对教学内容进行了重新整合。用自然巧妙的语言进行新的衔接，使知识的形成有水到渠成的感觉。
因为《同底数幂的乘法》是在学习了有理数乘方和整式加减之后，为了学习整式乘法而学习的关于幂的一个基本性质（法则），从学生的知识情况来看，一是指数概念早已学过，
但由于时间和自身的原因，对乘方概念中所含名称：底数，指数，幂的含义并不十分明确。
师：同学们都玩过扑克，我这里有一些扑克。让一位同学随意抽取两张。
（学生踊跃参与）
师：一张是2，一张是3.下面老师有个要求：请同学们用我们学过的运算符号把这两个数结合在一起，使所得结果最大，你觉得怎样运算？
生：23，32
师：这里用到了乘方。下面老师考考你对乘方知识掌握的情况。
（出示课件an表示的意义是什么？其中a ,n, an分别叫什么？）
教学反思：通过做游戏的引入，增强了学生学习兴趣，起到了集中学生的注意力，帮助学生复习了幂的底数和指数的概念。这部分的设计是比较成功的。因为这些概念在研究同底数幂的乘法的时候是十分重要的，同时通过复习使学生在这之后的新课探索环节更加清晰明白，从而为新课教学起到铺垫作用。
二．知识要点的衔接
师：同学们喜欢玩电脑吗？喜欢玩电脑的同学举手，（许多同学举手）有这么多同学喜欢玩电脑！你知道决定计算机性能的指标是什么吗？（学生摇头）是计算速度，你知道计算机的计算速度有多大吗?
请看下面题目
问题：一种电子计算机每秒可进行104次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
师：你们能列算式吗？
生：104×103
师:我们观察这两个幂有何特点？
生：底数都是10，底数是一样的。
师：像这样底数相同的两个幂相乘的运算，我们把它叫做同底数幂的乘法。
（揭示课题，教师板书）
教学反思：本例题的内容是以计算机为载体，让学生学会列算式，根据特点，引出课题。因此，在知识上是独立的。以学生喜欢玩电脑，将学生的注意力集中到电脑知识方面，再用例题就比较自然顺畅了！教学内容以适当的语言进行有效的衔接，培养了学生运用已有知识探索新知识的热情，既导出新课，又为学生构建本课知识提供支撑。让学生不仅学会了相应的知识，更重要的是让学生明白各个知识之间存在的联系。
三．教学内容学习上的衔接
师：前面我们练习了两个同底数幂相乘的情况，想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，这一结论还成立吗？
生：成立
师：你会计算am×an×ap等于多少吗？
生：amanap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
师：你是怎么计算的？
生：表示由(m+n+p)个a相乘
生：从左到右运用结合律转化成两个同底数幂相乘的情况。
生：从右到左运用结合律转化成两个同底数幂相乘的情况。
师：你们的思路都非常清晰;由三个同底数幂相乘成立，你又能想到多少个同底数幂相乘?
生：四个或更多个同底数幂相乘结论都成立。
教学反思：以通俗易懂的语言阐述了多个同底数幂相乘的规律，以及计算的方法。这样既能启发学生进行深入的思考，又能引导学生体会到数学知识的推广和拓展，感受到数学的整体美。
总体来说，在学习本课时，我深刻体会到新教材以学生为本的教学理念贯穿始终，学生学习积极性有较大的提高，学习效果很好，原本枯燥抽象的纯数学东西，通过学生熟悉的实际问题相联系，变得有趣易懂。这种以学生为主体，教师为主导的教学思想，真正提高到培养学生能力的层面上来了。学生的思维空间需要我们去开拓，学生身上闪耀出的智慧也令我们倍受鼓舞。所以对我自身素质的要求也大大提高了，只有不断的学习，充实自己，才能把新教材运用好，才能适应学生发展的需要。
二、重点、难点分析
本节教学的重点是幂的乘方与积的乘方法则的理解与掌握，难点是法则的灵活运用.
1.幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
(都是正整数)
幂的乘方
的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质.
幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把的结果错误地写成，也不能把的计算结果写成.
幂的乘方是变乘方为(底数不变，指数相乘的)乘法，如;而同底数幂的乘法是变(同底数的幂)乘为(幂指数)加，如.
2.积和乘方
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即
(为正整数).
三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质.例如：
3.不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆.幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算(底数不变);同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算(底数不变).
4.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据.对三个性质的数学表达式和语言表述，不仅要记住，更重要的是理解.在这三个幂的运算中，要防止符号错误：例如，;还要防止运算性质发生混淆：等等.
三、教法建议
1.幂的乘方导出的根据是乘方的意义和同底数幂的乘法性质.教学时，也要注意导出这一性质的过程.可先以具体指数为例，明确幕的乘方的意义，导出性质，如
对于从指数连加得到指数相乘，要根据学生情况多作一些说明.以为例，再一次说明
可以写成.这一点是导出幂的乘方性质的关键，务必使学生真正理解.在此基础上再导出性质.
2.使学生要严格区分同底数幂乘法性质与幂的乘方性质的不同，不能混淆.具体讲解可从下面两点来说明：
(1)牢记不同的运算要使用不同的性质，运算的意义决定了运算的性质.
(2)记清幂的运算与指数运算的关系：
(同底)幂相乘指数相加(“乘”变“加”，降一级运算);
幂乘方指数相乘(“乘方”变“乘法”，降一级运算).
了解到有关幂的两个重要性质都有“使原运算仅降一级运算”的规律，可使自己更好掌握有关性质.
3.在教学的各个环节中，注意启发学生，不仅掌握法则，还要明确为什么.三种运算法则全讲完之后，学生最易产生法则间的混淆，为了解决这个问题除叫学生熟记法则之外，在学生回答问题和写作业时，注意解题步骤，或及时发现问题，说明出现问题的原因;要注意防止两个错误：
(1)(-2xy)4=-24x4y4.
(2)(x+y)3=x3+y3.
幂的乘方与积的乘方(一)
一、教学目标
1.理解幂的乘方性质并能应用它进行有关计算.
2.通过推导性质培养学生的抽象思维能力.
3.通过运用性质，培养学生综合运用知识的能力.
4.培养学生严谨的学习态度以及勇于创新的精神.
5.渗透数学公式的结构美、和谐美.
二、学法引导
1.教学方法：引导发现法、尝试指导法.
2.学生学法：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题.
三、重点·难点及解决办法
(-)重点
准确掌握幂的乘方法则及其应用.
(二)难点
同底数幂的乘法和幂的乘方的综合应用.
(三)解决办法
在解题的过程中，运用对比的方法让学生感受、理解公式的联系与区别.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪、胶片.
六、师生互动活动设计
1.复习同底数幂乘法法则并进行、的计算，从而引入新课，在探究规律的过程中，得出幂的乘方公式，并加以充分的理解.
2.教师举例进行示范，师生共练以熟悉幂的乘方性质.
3.设计错例辨析和练习，通过不同的题型，从不同的角度加深对公式的理解.
七、教学步骤
(-)明确目标
本节课重点是掌握幂的乘方运算性质并能进行较灵活的应用
(二)整体感知
幂的乘方法则的应用关键是判断准其适用的条件和形式.
(三)教学过程
1.复习引入
(1)叙述同底数幂乘法法则并用字母表示.
(2)计算：①②
2.探索新知，讲授新课
(1)引入新课：计算和和
提问学生式子、的意义，启发学生把幂的乘方转化为同底数暴的乘法.计算过程按课本，并注明每步计算的根据.
观察题目和结论：
推测幂的乘方的一般结论：
(2)幂的乘方法则
语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
字母表示：.(，都是正整数)
推导过程按课本，让学生说出每一步变形的根据.
(3)范例讲解
例1计算：
①②
③④
解：①
②
③
④
例2计算：
①
②
解：①原式
②原式
练习：①P971，2
②错例辨析：下列各式的计算中，正确的是()
A.B.
C.D.
(四)总结、扩展
同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：
幂运算种类指数运算种类
同底幂乘法乘法加法
幂的乘方乘方乘法
八、布置作业
P101A组1～3;B组1.
考点一 幂的有关运算
例1 （重庆卷）计算（ab）2的结果是（ ）
A. 2ab B. a2b C. a2b2 D. ab2
解析 本题考查的是积的乘方法则，根据该法则有（ab）2=a2b2. 故答案为C.
点评 同底数幂相乘的法则、积的乘方法则、幂的乘方法则等等，这些法则容易混淆，要认真辨认，平时多加练习.
例2 （浙江绍兴卷）下列运算正确的是（ ）
A. x+x=x2 B. x2÷x2=x2 C. x2・x2=x4 D. （2x2）2=6x6
解析 合并同类项，系数相加而字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变而指数相减；同底数幂的乘法，底数不变而指数相加；幂的乘方，底数不变而指数相乘. 对各选择项分别运用相应法则计算后，利用排除法求解可知答案为C.
点评 本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题.
考点二 整式的乘法运算
例3 （安徽卷）计算：（a+3）（a-1）+a（a-2）.
解析 根据整式的乘法法则，多项式乘多项式时，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配率进行，再根据合并同类项法则进行整式加减运算.
原式=a2-a+3a-3+a2-2a=2a2-3.
点评 本题考查整式的乘法运算和整式的加减运算. 要准确解答此类题目，首先要掌握运算法则，再仔细计算，防止漏乘、符号等方面的错误.
考点三 利用整式运算求代数式的值
点评 本题考查整式的化简求值，应先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求值. 在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序进行运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.
考点四 乘法公式
例5 （江苏盐城卷）化简：（a-b）2+b（2a+b）.
解析 本题考查整式的化简与计算，掌握单项式乘以多项式的法则与完全平方公式是关键. 根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则得
原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
点评 本题考查完全平方公式和整式乘法的法则，考查学生基本的运算能力，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则和熟记相关公式.
例6 （贵州遵义卷）已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2= .
解析 先把x+y=-5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值.
点评 本题主要考查完全平方公式的应用. 完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍，且其符号与左边项的运算符号相同.
考点五 整式的除法运算
解析 本题是一道综合计算题，要先算中括号内的部分，注意乘法公式的使用，然后再进行整式的除法运算.
点评 做整式的除法题时要注意运算顺序和符号，特别注意不能漏项.
考点六 有关整式乘除的创新型问题
例8 （贵州遵义卷）如图，从边长为（a+1） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1） cm的正方形（a>1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ）
解析 根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可.
（a+1）2-（a-1）2=a2+2a+1-（a2-2a+1）=4a（cm2）.
关键词：初中数学 自主学习 研究
学习数学的重要目标之一就是提高学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，那么在具体教学中，如何进行自主学习的教学和指导，提高学生的自主学习能力呢？
一、做好课前设计，提高学生自主探究能力
在学生们的思维中，学习数学只要上课听懂课后会做数学题，就是会学数学。其实不然，现在的中高考，都坚持以能力立意的命题思想，主张考查学生的自主学习和探究能力，这更利于学生将来的发展。因此老师第一步就是要精心设计预习问题，让学生通过自主学习探究后，带着问题进课堂，不断提升预习能力。
如“同底数幂的乘法”的课前预习设计，首先要让学生懂得幂的概念，分清楚底数和幂，把教材上的“做一做”1稍微变化一些指数，探究得出“做一做”的2和3，通过学生自己的探究，得出同底数幂相乘的法则，整理出字母表达式和文字表述。预习的第二块是法则的简单运用：（1）指数为正整数，底数为正整数、负整数、字母的两个同底数幂相乘；（2）底数为正整数，指数为字母的两个同底数幂相乘；（3）指数底数都是字母的两个同底数幂相乘等等的例题的变化，让学生懂得如何运用法则来解决相关问题。第三块预习内容，则让学生去思考教材“议一议”，并配有相关习题供学生练习。因此预习题的设计，特别是新课预习题，要让学生能从教材上找到相关内容，模仿着能解决，再稍加提高。题量要少而精，控制好难度，能吸引学生自学的兴趣和愿望。
二、通过检查题，督促学生主动探究练习
在平时的课中，要设计一个教学环节，既要提升学生预习的质量，又要能检查学生预习效果的教学环节。那就是在学生活动之后，教师收集他们的错误信息后，编写几道有针对性的习题，再次让学生讨论。
如“同底数幂的乘法”中，同底数幂相乘，底数的变化问题,指数的变化问题,底数为负数、指数为正偶数时结果怎样表达，底数为负数、指数为正奇数时结果又如何表
达，超过两个同底数幂相乘如何运算等等，让各层次的学生来点评。让学生在有限的时间内，在自然和谐的教学氛围中，通过回顾概念，掌握要求，了解有关的注意事项之后来反思错误。用批评的眼光去看待自己的解题过程，看看思路是否有问题，概念使用是否正确，计算是否有失误，思考是否周密等等。然后再动手做作业，就心中有数，练中学，学中练，练中评，达到巩固目的，强化了知识，提高了能力。
三、拓展延伸，指导学生探究
著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”研究性学习已经进入中高考，提高探究创新能力已经刻不容缓，因此对它进行改进也是情理之中。我们的课堂教学，就是在传授学生基本知识和基本技能之后，对已学数学问题进行反思和变化，让学生解一题会一类，并训练探究、创新能力，较大限度提高了解题的效益。能使师生双方及时接受正确的信息，加快信息反馈的速度，教师不妨设计几组探究题：（1）底数由同底数幂相乘到不是同底数幂相乘的探究：如底数为a或（-a），指数为正偶数或负偶数的两个同底数幂相乘；底数为多项式（a-b）或（b-a），指数为正偶数或负偶数的两个同底数幂相乘，探究底数符号变化规律；（2）同底数幂相乘底数不变，指数相乘法则的逆用等等。它能够充分调动学生的主观能动性，使多向性、多层次的交互作用引进数学教学过程，教师通过变式教学，不但使学生能举一反三，而且能使教学结构发生质的变化，使学生成为创造的主人。
四、当堂检测，促使学生主动解决问题
一堂数学课的成功与否，不能仅凭课堂中学生活动次数多少、氛围的热烈程度来评判，归根到底是以学生是否真正掌握知识的程度和运用知识的能力为评价标准。而实际上，在许多数学课中，都缺少这样一个检测评价环节，大部分都把这个环节放在课后进行。然而这样处理，学生只是根据老师的作业批阅，由批改符号只能知道哪个题错了，但不知道错在哪里？得到的只是百思不解的信息。因此，为了更好地促使学生掌握当堂所学知识，最好当堂检测，促使学生主动解决问题。
如“同底数幂的乘法”教学中，教师应在拓展延伸活动结束后，老师可根据本节课的重点难点，中考要求，编制一些问题，立即进行当堂检测。检测题要少而精，也要考虑各个层次学生的实际情况。同时要注意检测时间的控制，留有时间当堂借助小助手的帮助进行批阅、点评。这样，学生进一步巩固了本节课的知识，又当堂解决了学习中的问题，不带问题下课，进入良性学习的轨道。教师也能通过学生检测信息的反馈，能不断调整教学内容和教学方法，来适应学生不断变化的需求。
总之，课改在不断推进，我们一线的老师在实践中，不妨常回头看看、想想、改改，少些形式的东西，多让学生自主探究学习。我想我们的数学教学适应了学生，学生会主动参与课堂教学，会喜欢数学的。
参考文献：
［1］梁立士.新课程理念与初中数学课堂教学［J］.辽宁教育.2005.3.
［2］邓友祥.对新课程理念下数学教学的审视［J］.内蒙古师范大学学报（教育科学版）.2003.8.
［3］张奠宙.数学教育研究导引［M］.江苏教育出版社，1998.
一、 解题方法
解法一：（课本提供的解法）
【解析】教科书上的解法中首先运用了幂的乘方公式（am）n=amn，然后应用了同底数幂的乘法公式am・an=am+n.
解：（a3）3・（a4）3=a3×3・a4×3=a9・a12=a9+12=a21.
解法二：（学习完积的乘方后可以使用）
【解析】积的乘方公式为（ab）n=anbn，观察题干发现两部分都含有3次方，逆用公式anbn=（ab）n得：（a3）3・（a4）3=（a3・a4）3，再应用同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式即可得到结果.
解：（a3）3・（a4）3=（a3・a4）3
=（a3+4）3=（a7）3=a21.
二、 整体代入法
对课本例题稍加变化有下面例题：
例1 若已知a3=2，求（a3）3・（a4）3的值.
【解析】以现有知识，已知a3=2，无法求出a的具体值，但式子化简的结果为a21，逆用幂的乘方公式（am）n=amn可得a21=a3×7=（a3）7，此时可以把a3看作一个整体，代入后即可得到结果.
解：（a3）3・（a4）3=a21=（a3）7=27=128.
除此之外本题还有其他的处理方式：
我们知道（am）n=amn，而（an）m=amn，所以（am）n=（an）m，因而（a4）3=（a3）4，原式可以变化成（a3）3・（a3）4，此时把a3看作一个整体进行同底数幂的运算可得：
（a3）3・（a3）4=（a3）3+4=（a3）7，此时再把a3=2代入即可得到答案.
解：（a3）3・（a4）3=（a3）3・（a3）4
=（a3）3+4=（a3）7=27=128.
无论用哪种方法处理例1，最终都是把a3看作一个整体进行代入求值. 像这种把一个式子看作一个整体代入求值的方法，我们称之为整体代入法.
三、 变式训练
通过第二部分的阅读，我们已经知道了什么是整体代入法，并对整体代入法有了初步的了解，下面通过变式训练来巩固对这种方法的应用.
例2 若ax=2，ay=3，求ax+y的值.
【解析】同底数幂的乘法公式为am・an=am+n，逆用公式可得：ax+y=ax・ay，把ax=2，ay=3整体代入即可得到答案6.
变式1：若ax=2，ay=3，求ax-y的值.
解：ax-y=ax÷ay=2÷3=.
变式2：若ax=2，ay=3，求a2x+3y的值.
【解析】逆用同底数幂的乘法公式可得：a2x+3y=a2x・a3y，如果求出a2x与a3y的值，问题就迎刃而解了. 逆用幂的乘方公式可得a2x=（ax）2=22=4，a3y=（ay）3=33=27，所以a2x+3y=4×27=108.
变式3：若ax=2，ay=3，求a2x-3y的值.
解：a2x-3y=a2x÷a3y=（ax）2÷（ay）3=22÷33=.
变式1与变式2是关于幂的运算的综合运用，其中不仅涉及整体代入法的处理，也考查大家对公式的熟练程度，特别是公式的逆用，要常记心头.
四、 拓展提高
例3 已知2x+3y=7，a=2，求a2x+3y的值.
【解析】有了前面的整体代入法的铺垫，同学们再解决这个问题就比较容易了，把2x+3y看作一个整体，a2x+3y=27=128.
拓展1：已知2x+3y-7=0，a=2，求a2x+3y的值.
拓展2：已知4x+6y-14=0，a=2，求a2x+3y的值.
【解析】对于拓展1，由2x+3y-7=0可以得出2x+3y=7，即转化成例3.
对于拓展2，在等式4x+6y-14=0的两边同时除以2得到2x+3y-7=0，可以得出2x+
3y=7.
如果直接呈现拓展2，题目的难度是比较大的，难题只不过是从最简单的题目变化而来，学会把复杂的题目转化为简单题目是解决问题的关键.
拓展3：已知m+n-1=0，x=5，求x2m+3n的值.
解：因为m+n-1=0，等式两边同时乘2得：2m+3n-2=0，所以2m+3n=2，所以x2m+3n=
52=25.
考点1 幂的运算
例1 （江苏泰州）下列运算正确的是（ ）.
A.a3・a2＝a6B.（－a2）3＝－a6
C.（ab）3＝ab3 D.a8÷a2＝a4
分析：根据幂的运算法则，逐一计算.由同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得a3・a2＝a3＋2 ＝a5，选项A不正确；积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，得（ab）3＝a3・b3＝a3b3，选项C不正确；同底数幂相除，底数不变，指数相减，得a8÷a2＝a6，选项D也不正确.只有选项B正确.
解：（－a2）3＝（－1）3・（a2）3＝－a6.故选B.
点评：理解、熟记幂的运算法则是解题的关键.
考点2 整式的乘除
例2 （福建厦门）计算：[（x＋3）2＋（x＋3）・（x－3）]÷2x.
分析：先利用完全平方公式和平方差公式将式子展开，然后再根据多项式除以单项式法则进行计算.
解：[（x＋3）2＋（x＋3）（x－3）]÷2x
＝（x2＋6x＋9＋x2－9）÷2x＝（2x2＋6x）÷2x
＝x＋3.
点评：本题主要考查同学们对整式的乘除法则的掌握及乘法公式的运用情况，计算时要细心，以防出错.
考点3因式分解
例3（安徽芜湖）因式分解9x2－y2－4y－4＝ ．
分析：本题既没有公因式可提，也不能直接套用公式，可采用分组分解法.把第1项作为一组，后3项作为一组，先运用完全平方公式，然后再运用平方差公式进行分解．
解：9x2－y2－4y－4＝9x2－（y2＋4y＋4）＝（3x＋y＋2）（3x－y－2）.
点评：因式分解是整式里的重要内容，也是分式和二次根式运算的基础.因式分解的步骤是一提，即提公因式；二套，即套公式，主要是平方差公式和完全平方公式；三分组，即对于不能直接提公因式和套公式的题目，可先将多项式适当分组，然后再提公因式或套用公式.
考点4 验证公式
例4（四川达州）如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，如图2，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）.
A. （a－b）2＝a2－2ab＋b2
B. （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
一、 整式的乘法
整式的乘法是在前面学习了整式加减运算后的另一种整式运算. 前一章所学习的幂的运算性质：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础.整式乘法具体内容包括单项式乘单项式、单项式乘多项式以及多项式乘多项式.
单项式与单项式相乘 原则：结果还是单项式；方法：把单项式中能乘的进行乘法运算（把系数相乘，相同字母分别相乘），不能乘的照搬（对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）.
单项式乘多项式 根据数字计算中乘法分配律，将单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积（单项式）相加.实质是单项式与单项式乘法.
多项式与多项式相乘 用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积（单项式）相加. 其实质也是转化为单项式与单项式相乘. 在没有合并同类项之前，所得多项式项数为各多项式项数之积.
二、 乘法公式
乘法公式是多项式乘多项式的简便运算方法.当多项式乘多项式出现特殊形式时，运用乘法公式能迅速而简洁地进行一些整式相乘的运算.
平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2
公式的特征：平方差公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. 平方差公式右边是两项平方差的形式.
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2
公式的特征：完全平方公式的左边是括号内两个式子和（差）的平方（完全平方），完全平方公式的右边是一个二次三项式，首尾是这两个式子平方和，中间是这两个式子积的2倍，符号和左边括号内一个样.
三、 因式分解
分解因式是处理代数式的一种手段，不是目的. 分解因式的思路和方法始终贯穿在数学变换中，通过分解因式将多项式合理变形，是求代数式的值的常用的解题方法，许多有关整式、分式以及二次根式的化简与计算都离不开分解因式. 因式分解和整式乘法是互逆的关系. 因式分解是否正确可以用整式乘法去检查. 同学们在学习时必须能够弄清两者的区别和联系. 因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法.
分解因式基本概念：
1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作把这个多项式分解因式. 其关键词是：多项式、整式、积.
2. 因式分解和整式乘法是互逆的关系. 整式乘法是积化和差；因式分解是和差化积.
因式分解的解题步骤与注意点：
1. 看各项有没有公因式，若有，先提取公因式；
2. 再看能否使用公式法；
3. 因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；
4. 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.
因式分解的基本方法
1. 提公因式法
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫作提公因式法. 例如：ab+ac=a（b+c）.
概念内涵：
（1） 因式分解的最后结果应当是“积”，n项式=公因式×新的n项式；
（2） 公因式可能是单项式，也可能是多项式；
方法：
（1） 找多项式中的公因式方法：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数――各项系数的最大公约数；②字母――各项含有的相同字母；③指数――相同字母的最低次数；
（2） 提公因式法的方法：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式. 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.
2. 公式法
概念内涵：
（1） 运用公式法分解因式的实质是：把乘法公式反过来使用.常用的公式：
①平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
（两项都是一个整式的平方，且两项是异号）
②完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2、a2-
2ab+b2=（a-b）2
（有三项，两个平方项符号相同，另一项是前两项幂的底数乘积的2倍，符号可正可负）
方法：
（1） 把多项式写成为平方差及完全平方公式的形式；
（2） 熟悉公式的结构特点，找出公式中a、b所代表的数和代数式；
（3） 根据公式写出积的形式.
因式分解中需要注意的几个问题
1. 分解因式是在多项式范围内进行. 而对于a2+-2=a
-2的变形过程，是利用了因式分解的方法，而不能叫因式分解.
2. 要把整个多项式化为几个整式的积，而不是把部分化为积的形式.
如：a2-6a+9=a（a-6）+9这不是因式分解的答案，正确的应该是：a2-6a+9=（a-3）2.
3. 多项式中某一项恰为公因式，提出后，括号中这一项为1，不能漏掉.
【关键词】负迁移 表现 成因 防治 自信 兴趣
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）13-0141-02
负迁移，指一种学习对另一种学习的干扰或抑制作用，是初中生经常出现的一种学习障碍。本文结合在数学教学过程中出现的一些典型案例，以初中生数学学习为研究对象，试探数学知识负迁移的表现类型、产生原因以及防治对策。
一 数学知识负迁移的表现类型
数学知识负迁移一般可表现为下列三种类型：
1.顺向负迁移
即先前的学习对后继学习的干扰，旧知识技能阻碍学生对新知识技能的理解、巩固和应用。如学生先学习解方程x2=9，解得x=±3，再学习解不等式x2
2.逆向负迁移
即后继的学习对先前学习的消极影响，新学习的知识、技能反过来也会干扰旧知识、技能的巩固和应用，也就是学了后面，忘了前面。如学生学习了三角形中位线概念，就把前面学习过的三角形中线也说成是三角形中位线。
3.混合负迁移
即在一个学习活动中，既有顺向负迁移的存在，又发生了逆向负迁移，这种混合负迁移在学生综合练习中出现较多。如学生证明一道复杂几何题时，想用全等三角形、平行四边形以及圆等多种知识来证，然而各种知识互相干扰，使得几何题无法得证。
以上三种类型数学知识负迁移，学生在学习数学过程中常有存在。笔者曾对数学作业、单元测试卷作过统计，在学生负迁移错误中，属顺向负迁移的约占60%；属逆向负迁移的约占30%；属混合负迁移的约占10%，仅出现在几个特困生作业及单元测试卷中。
二 数学知识负迁移产生的原因
数学知识负迁移产生的原因是多方面的，既有客观原因，又有主观因素。现就教学过程中发现学生出现负迁移的主要因素作一简要分析。
1.教材因素
教材的某些知识结构，本身就存在能引起学生产生负迁移的现实因素。一般来说，新旧知识技能之间，既有相同或类似之处，又具有不同之处，对学生既有共同要求，又有各自特殊要求，面对这样的教材内容，学生就有可能出现负迁移。
如学生在学习解一元一次方程与一元一次不等式时，这两种学习材料之间有许多共同因素，即解一元一次不等式的前几个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项等，与解一元一次方程的解题步骤相同；而解一元一次不等式的最后一个步骤：不等式的两边同除以未知数的系数时，与解一元一次方程又不完全相同，因而学生在学习过程中容易产生负迁移。特别是不等式两边同除以一个负数，学生常常不去改变不等号，这就是由于学习一元一次方程干扰造成的负迁移。
在分析3-2x≥9+4x这一不等式的学生作业进行错误统计时，发现有接近60%的错误是由于不等式两边同时除以一个负数，学生没有改变不等号方向产生的。
2.学生因素
第一，思维定势的消极影响，思维定势是一种思维的趋向性，即总是按照某种习惯的思维去考虑问题，按照某种习惯的思维去寻找解决问题的方法。初中生的思维定势往往具有消极的一面，给学习产生一定干扰。一般来说，如果先学的内容先入为主，定势强于后学内容，就有可能产生顺向负迁移；要是后学的内容印象深刻后来居上，定势超过先学内容，就会出现逆向负迁移的可能。例如，学生初学幂的乘方，常出现类似于（a3）4=a3+4=a7的错误，这是在同底数幂的乘法较强定势作用下产生的顺向负迁移现象，因为同底数幂的乘法再现多次，印象深刻，形成认识和应用同底数幂乘法法则的思维习惯，而幂的乘方法则刚刚接触，印象较浅，同底数幂的乘法法则认识和应用的走势较强，这样难免会出现计算幂的乘方用指数相加的错误。再如，学生开始没有学好三角形中线概念，印象不深，而后来中位线概念掌握得较好，形成较强的学习定势，后发制人使中位线代替了中线，产生了逆向负迁移的错误。
第二，缺乏一定的概括能力。数学知识负迁移的产生与学生缺乏概括能力有很大的关系。如学生多次遇到 、 这样的式子认为它们是二次根式，但不认为 、 也是二次根式。这是因为学生的认识仅仅停留在被开方数应是一个具体的数的水平，则没有把被开方数扩展到一切非负数a的高度。
第三，认知结构的因素。学生头脑里的认知结构与学习的迁移息息相关，特别是认知结构变量中可利用性小，可辨性差，稳定性低，学生对新的内容与同化它的原有观念不能很好地分离，容易产生数学知识负迁移，如学生开始学习函数概念，总是把变量当常量，如对圆的面积公式S=πr2，不能把面积S理解为半径r的函数。
第四，师源因素。有位数学家曾说：“学生学习的问题，就是教师的过失。”学生产生负迁移的根源也在教师平日的教学上。如概念教学，教师不注意新旧知识的比较，缺少一定数量的强化练习，势必造成学生概念不清，认识模糊。如学生出现的 之类的错误，最终原因还是教师没有把平方根与算术平方根进行辨析，导致学生产生顺向负迁移。又如平时教学新课，教师不注意帮助学生复习旧知识，尽管后面的内容强化了，但以前学习的内容学生印象淡化，可能就会产生数学知识逆向负迁移。
三 数学知识负迁移的预防对策
数学知识负迁移一旦产生，就是一种学习障碍。为了应对学生产生数学知识负迁移的现象，教师在数学教学过程中应采取一些必要的措施。
1.注重新旧知识之间的迁移、比较
加强数学知识联系教学，揭示前后知识之间的共同因素与不同因素，注重让学生对数学知识点多对比、辨别，分清异同。如教学算术平方根，要把 与 区别开来，前者是a2的算术平方根，a可为任意实数； 是a的算术平方根的平方，a只能取非负数。如果不揭示这一区别，学生就会得出 ，从而产生数学知识负迁移。
2.科学地组织练习
量要适度，不宜搞题海战术的重复训练，少布置“题型+方法”之类的作业，别让学生的一些不正确的思维方法形成定势。注意培养学生思维的灵活性，遇见新问题，应启发学生从多角度、多方面去考虑，寻找解决问题的方法。
3.加强学生数学学习的学法指导
注意帮助学生提高对数学知识的概括能力和应用水平，要顺应学生数学学习的过程，促进学生认识结构的完善和发展，把培养学生的能力作为应对数学知识负迁移的一条重要措施。
参考文献
[1]郑金洲.基于新课程的课堂教学案例[M].福州：福建教育出版社，2003
[2]傅道春.新课程中教师行为的变化[M].北京：首都师范大学出版社，2002
1.1 正数与负数
①正数：大于0的数叫正数。(根据需要，有时在正数前面也加上“+”)
②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界，是的中性数。
注意：搞清相反意义的量：南北;东西;上下;左右;上升下降;高低;增长减少等
1.2 有理数
1.有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数(integer)，
(2)分数;正分数和负分数统称分数(fraction)。
(3)有理数;整数和分数统称有理数(rational number). 以用m/n(其中m,n是整数，n≠0)表示有理数。
2.数轴
(1)定义 ：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。
(2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
(3)原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。
(4)数轴上的点和有理数的关系：
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点，不都是表示有理数。
只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例：2的相反数是-2;0的相反数是0)
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。从几何意义上讲，数的绝对值是两点间的距离。
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。
1.3 有理数的加减法
①有理数加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
3.一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律和结合律
②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
1.4 有理数的乘除法
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
乘积是1的两个数互为倒数。乘法交换律/结合律/分配律
②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1.5 有理数的乘方
求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂(power)。在a的n次方中，a叫做底数(base number)，n叫做指数(exponent)。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
【关键词】基础知识；基本技能；基本思想；基本活动经验
一、背景介绍
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中将2001年提出的“双基”改为了“四基”： 即学生通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.“四基”符合学以致用和改革创新的时代潮流，培养学生掌握数学基础知识，训练数学基本技能，领悟数学基本思想，积累数学基本活动经验，最终达到贯通与创新.“四基”理念在数学教学中应该要如何落实？笔者试通过“同底数幂的乘法”第一课时进行探索，下面就结合教学情况谈谈一些认识和反思.
二、教学过程简录
1.问题情境，引入课题
（1）把下列各式写成幂的形式：
三、笔者课后的若干思考
“四基”是在 “双基”教学基础上增加了基本数学思想和基本活动经验的教学，那么，教学中如何把握“四基”呢？
（1）基础知识重在“理解和掌握”.课程标准指出：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化.”在本节课中，探讨同底数幂的乘法法则，笔者设置了具有层次的三组问题，将知识的形成过程呈现给学生，让学生理解数学知识的背景及来龙去脉，并且理清与相关知识之间的区别和联系，使学生理解、记忆.
【关键词】 初中数学； 沉默； 互动； 教学； 实践
随着课堂教学改革的不断深化，传统的一言堂式教学模式已经逐渐被互动式教学模式所替代，学生们在互动教学中提高了合作探究能力，课堂教学的效率得到很大提高. 提高学生课堂学习的主动性和积极性势在必行，面对课堂沉默的问题必须有针对性地拿出解决策略来解决，从而增进师生互动. 下面笔者结合自己课堂教学实际案例从四个方面进行论述.
一、针对学生的特点运用多种策略提高学生发言的主动性
要激发学生发言的主动性首先要培养学生的学习兴趣，对于理论性较强的数学课而言，要结合学生的特点来开展教学. 例如，在学习“探索三角形全等的条件”这一内容时，教学目标要求学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程. 课堂教学设计必须要学生参与其中. 笔者的课堂设计如下：先让学生甲在黑板上画一个三角形，然后提出问题，让学生思考怎样才能画一个三角形与甲同学的三角形全等. 之后安排学生进行分组讨论，并且每个小组出两个代表来回答问题. 学生们纷纷开始尝试，并且回忆了上一节课学习的内容，从最少条件开始考虑，一个条件、两个条件、三个条件……经过学生逐步分析，各种情况渐渐明朗，进行交流予以汇总，归纳得出三角形全等的三个条件：（1）一角、一边；（2）两角、两边，一角一边；（3）三角、三边；（4）两角一边；（5）两边一角. 经过对各种情况的分析、归纳、总结，对学生渗透分类讨论的数学思想，教学效果良好.
二、突出学生课堂主体地位，引导学生主动发言
要打破课堂沉默，一方面要在数学课上培养学生对学习数学的兴趣，让学生感受数学思维的乐趣，另一方面则要把学生作为课堂教学的主体，通过教学设计给学生安排“任务”，让学生在解决问题的过程中学习，即让学生成为课堂教学的主体进行探究式的学习. 例如，在进行“同底数幂的乘法”一课教学时，教学目标要求学生能够在一定的情境中经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力. 首先，笔者在黑板布置了练习题目：同学们请用学过的知识做下面的习题，在做题的过程中认真观察、积极思考、互相研究，看看能发现什么.
学生开始做题，互相研究、讨论，气氛热烈，教师巡视、指点，待学生充分讨论并有所发现后，提问有何发现. 很快，几名学生得出了自己的答案. 学生A：根据乘方的意义，可以得到：（1）22 × 23 = 25；（2） 54 × 53 =57；（3） （-3）2 × （-3）2 = （-3）5；…笔者在此基础上进行了提问：“刚才A 同学说出了根据乘方的意义计算上面各题所得结果，计算是否准确？各名同学通过刚才的计算和研究，发现什么规律性的结论了吗？”学生纷纷开始回答：“不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加. ”并且有学生举例进行了说明：“22 × 23 = （2 × 2） × （2 × 2 × 2） = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25.”还有学生更为主动地到前边黑板上写出：2m × 2n =
全班学生的参与积极性都被调动起来了，笔者进一步问道：“那么，大家一起来看更一般的形式am・an（m，n 都是正整数），运用刚才得到的规律如何来计算呢？”（学生举手，踊跃板演）整堂课下来，通过一个个提问让学生们不但对同底数幂的乘法有了深刻印象，而且也享受到师生互动、探索知识、建构知识的学习乐趣.
三、充分利用多媒体课件，增进师生互动
通过多媒体课件开展初中数学课堂互动教学也具有良好的效果. 教师可以用多媒体课件将教学所需材料以图片、文字、影音文件等形式展示，并且积极引导学生进行思考，以提高学生参与课堂的主动性，进而培养学生的数学创新思维能力与实践能力等. 比如，在进行“14.2.2一次函数的图像”的教学中，笔者就利用多媒体课件的超级链接功能，将函数图像的画图方法一步一步地为学生画出来. 在此过程中，教师与学生讨论每一步图像的画法，以及有什么需要注意的地方. 四、引导小组讨论学习，增进生生互动
新课程背景下，我们所理解的生成性资源是在课堂教学情境中通过积极的师生互动、生生互动，在共同思考与共同发展中产生的超出教师教案设计的新问题、新情况，即表现在言语、行为、情绪方式表达中出现的“节外生枝”的情况. 它稍纵即逝，因为它具有动态性. 如我们能准确、及时地捕捉到这些生成性资源并对其加以合理利用，那么我们的课堂会涌现一个个精致、鲜活的画卷. 作为一名初中数学教师，笔者在长期的教学中有以下几点感悟：
一、主动构建，做生成性资源的开发者
生成性资源是否能合理地开发和利用生成性资源，取决于开发者——教师的素质，取决于我们在拟定课程目标是能否以教育实际、学生现状和社会需求等方面为基点，能否正确选择和筛选课程内容，能否准确地给课堂教学把好脉. 动态生成，有助于教师的专业成长，它激发着教师的创造潜能和教育实践活动的积极性. 中国画强调“留白” ，我们提倡教师的预设也要讲究“布白艺术”，主要体现在对所提问题的设计和调控上. 教师提出问题后用不着急于找学生回答，而要根据问题的性质给学生腾出足够的时空去思考. 实践证明，当我们将等待的时间从1秒增加2-4秒时，课堂上许多有价值的显著变化将会产生. 此外，从“空间”来说，问题的设计少一些是非性的判别，要容易引发学生的兴趣和共鸣，问题要具备一定的挑战性和争论性，有了一定的张力，在无形中就能为生成性资源提供了可能. 当然，初中数学课堂教学中的生成性资源的发现和应用来自于对课堂教学的预设，生成，不意味着预设指针的偏转，而是一种超越，一种提升，因为余生和生成是水融，而不是水火不容的. 有了精致的预设，才会有有效的生成. 只有备课深入，预设知识的内涵与外延，充分把握好学生的已有经验，备出可能出现问题的弹性，对学生生成的信息快速地进行判断并纳入到所备的“预案”中才变成了可能，与已有的“资源”建立联系，才能胸有成竹地驾驭课堂. 正如歌德说：“我能看见什么，取决于我已经知道什么”！把握好预设与生成，才可能从一节课的精彩走向每节课的精致.
二、抓住生长点，运用生成性资源深化知识
知识的生长点可以来自于教师、学生、教材或者他们之间的互动，而这里所说的生长点是指学生无意中生成即衍生的，这类资源虽然在教学中要把握和调控是有难度的，但它能增加教学的有效信息，有利于知识深化. 如笔者在教学“同底数幂的除法”时，引入计算：① 25 ÷ 23 = （ ），② 315 ÷ 35 = （ ），③a6 ÷ a3 = （ ）……学生根据自己的计算得出了结果. 笔者问：你是怎样计算算式①的？ 生1：我是把两个乘方算出来再相除. 生2：我的方法是利用乘方的定义，写成分式形式，分子5个2相乘，分母3个2相乘，再通过约分得到的. 这时笔者正准备要进行总结和再提问，发现学生中还有一名学生高高的举着手，于是让她发表了自己的观点. 这名学生说：由乘法和除法互为逆运算，我想到谁和23相乘得25呢，由曾经学过的同底数幂相乘可得出是2的平方. 教室里的空气凝固了几秒钟后，笔者率先鼓起掌来，随即又利用同底数幂相乘的性质，导出了本节课同底数幂相除的性质. 这个案例中，首先是笔者能做到珍视教学中的细枝末节，其次教能及时的抓住知识的生长点，由学生提供的已学知识出发，将本节课的内容顺利的引出. 这个问题的生长点就在于个别学生联想和逆用了同底数幂相乘的性质，进而在“同底数幂相除”之处产生了新的生成，学生跳出了一般思维的局限，有利于学生将知识纳入自己的知识网络，从而系统的建构和掌握知识.
三、鼓励创新，有效拓展生成性资源的链接点
在课堂教学中，教师对预设的问题一般心中都已经有了框框，有时不免带有局限性. 学生的思维是很灵活的，可塑性很强，他们能敏锐的发现问题、提出问题，别开生面的见解有时会迸发出来，他们中产生的答案，也许很有创意，有独到之处，而这无疑就是一笔宝贵的动态资源，作为教师，我们要处处注意抓住机会因势利导，及时鼓励，激发学生的创造热情. 如笔者在教学“三角形全等”中，设计了这么一个例题：A，B两点分别位于一个池塘的两端，请你设计方案，测量它们之间的距离，并说出其中的道理. 学生通过分组讨论、交流，大部分都能设计出了这样的方案：取一点可以直接到达A和B点的点C，连接AC并延长到D、使CD = AC，连接BC并延长到E，使CE = CB，连接DE，测量DE的长就得到AB的距离. 对于其中的道理他们也说得头头是道，笔者给予了他们及时的鼓励和赞扬. 但其中也有两个小组的方法让人耳目一新. 方法1：找两点C，D，使AD∥CB，且AD = BC，量出CD的长即得AB的长，依据是：连AC与CD可知ACD和CAB中有两边和它们的夹角对应相等，于是ACD≌CAB，因此AB = CD. 方法2：找一点D，使ADBD，延长AD到C，使CD = AD，连BC，量得BC的长得AB的长. 这两种方法恰恰是笔者在备课时没有预设到的，笔者肯定了他们可贵的探索精神和创新精神，并倡导其他学生要向他们学习，能多创新，探索不同的策略来解决问题. 全体学生探究与创新的热情都得到了有效的激发.
总之，学生并非一个容器，他们是一支需要点燃的火把. 学生的知识水平、兴趣、爱好、性格特点是不尽相同的，因此，在教学的进程中会产生一些教师预设之外的生成性资源，需要我们去智慧地甄别和合理的运用. 大智慧也许在“歪理”下，良机或许蕴藏在危机中. 我们只要能运用好课堂生成性资源，就必定能精致初中数学课堂.