时间：2023-05-30 10:28:35
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇简单的线性规划，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
线性规划是利用数学为工具，来研究在一定的人、财、物、时、空等资源条件下，如何安排，达到用最少的资源取得最大的效益。目前所学的线性规划只是规划论中极小的一部分，但这部分内容，也能体现数学的工具性、应用性，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法――数学建模法。重点是介绍线性规划的有关概念和利用图解法求解。难点是图解法求最优解的探索过程。
二、教学背景分析
1.教学内容分析
本课时是本节内容的第二课时，是本节的核心内容。第一课时即二元一次不等式表示平面区域，为本课时的学习做好了知识上的准备。第三课时线性规划的应用更是以本课时内容为基础展开的。
2.学生情况分析
本节课是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解，进一步了解二元一次不等式组在解决实际问题中的应用。如果直接向学生介绍目标函数的几何意义，考虑到他们的接受能力，用数学游戏来渗透，设置一系列问题，激发学生的探索欲望。
3.教学方式：自主探究、合作探究及教师引导相结合。
4.教学手段：计算机辅助教学。
三、教学目标设计
1.知识与技能：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值。
2.情感、态度与价值观：培养学生观察、联想、作图和渗透化归，用数学的意识和解决实际问题的能力。通过对“线性规划”的历史及应用的大致介绍，使学生感受数学的文化价值。
四、教学过程设计
（一）引入：组织学生做选盒子的游戏活动
师：在下图的方格中，每列（x）与每行（y）的交汇处都放有一个盒子，每次你只能选其中的一个盒子，每个盒子对应一个分值，即为你的得分，而且该分值与盒子所在的行数和列数有关，且每次的关系式在变化，你会选哪个盒子分值最高？
第一次：分值=x+y（即：列数+行数）
第二次：分值=y-2x（即：行数-列数×2）
师：出图3，在图中找出函数b=2x+y的最大值？
学生沿用上面计算的方法显然很复杂，于是学生的思维产生“结点”，引出课题，提出何为线性（即为一次的），怎么规划（即求函数的最值），这是本节课的研究重点。
（二）独思共议，引导探究方法
引导学生由特殊到一般，分析目标函数的函数值。
师：出图4，学生合作探究讨论如下问题：
问题1：点（1，1）所对应的b值为多少？还有哪些点所对应的b值与之相同？
问题2.哪些点所对应的b值为6？
问题3.有没有点对应的b值为200？
问题4.b的取值应满足什么条件？
问题5.哪个点所对应的b值最大？为什么？
问题6.如何求出b的最大值？
b的几何意义是什么？
学生：b实质上为与阴影区域有公共点的这些斜率为-2的直线在y轴上的截距。
师：如果这个问题重新给你，还用不用再找一个点试一试呢？（不用）那解决该题的方法是什么呢？
（三）变式思考，深化探究思路
已知x-4y≤-33x+5y≤25x≥1，求z=2x+y的最大值和最小值.
（设计意图：由特殊到一般，利用数形结合，寻求解题思路。）
通过学生将直线化成斜截式的直线形式，做直线并平移，观察纵截距的最大值的回答过程。
由图3找出最大值的铺垫，学生就很自然地得到了解决线性规划问题的图解法。
一般的，已知某个二元一次不等式组，如何求目标函数z=Ax+By（B≠0）的最值？
（四）形成一般方法
1.画；2.移；3.求；4.答。
思考题：学生的午餐和晚餐关系着学生的身心健康，某校高一年级，一个单位的营养配餐中有如下成分：
午餐（个/单位）：碳水化合物12，蛋白质6，维生素C为6。
晚餐（个/单位）：碳水化合物8，蛋白质6，维生素C为10。
午餐和晚餐中至少含有碳水化合物、蛋白质和维生素C分别为64个单位、42个单位和54个单位才能满足学生正常成长的营养需要。一份午餐为10元，晚餐为16元，求预定多少单位午餐和晚餐所用费用最节省的情况下满足营养要求。
师生活动，建立数学模型
（五）回顾历史，感受文化
《全日制普通高中数学课程标准（实验）》中关于线性规划内容提到：线性规划是最优化的具体模型之一.在高中数学中，线性规划问题都是最简单的线性规划 （Linear Programming，简称LP） 问题，即线性约束条件下线性（目标）函数最优化问题.其数学思想在高考解题中具有很强的现实意义，核心是运用数形结合的思想方法，借助平面图形，求目标函数的最值问题[1].
综观最近几年高考约束条件下目标函数最值考题，其内容都是对简单的线性规划问题的引申与深化.这涉及应用数学中最优化（Optimization）问题，其模型一般包括变量、约束条件和目标函数三要素.根据目标函数和约束条件性质，对最优化问题作进一步分类：当目标函数和约束条件都是线性的，则称线性规划；当目标函数或约束中有一非线性函数时，则称非线性规划；当目标函数是二次的，而约束是线性时，则称为二次规划.
笔者基于当前高考有关考题与命题趋势，从最优化视角对高考有关最值考题的约束条件与目标函数作表1所示分类，尝试对高中数学教材有关线性规划内容拓展.其中线性约束条件一般是指二元一次不等式组；非线性约束条件一般是指一个二元非一次不等式（组）（有时也可能是表示曲线或圆的函数）；线性函数关系是指直线，而非线性函数关系是指非直线，包括各种曲线、折线、不连续的线等.适当对线性（非线性）约束条件下线性（非线性）目标函数问题“模型构建”，利用其函数的几何意义，借助作图解决高考最值问题，这是从一个新的角度对求最值问题的理解.
一、“LC - LF”最值类
“LC - LF”最值类问题，即指线性约束条件下线性函数的最值问题.一般这类考题线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程组所表示的直线所围成的区域，在可行域解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标即简单线性规划的最优解.
【解题本质】这类考题的解决，重要在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形， 通过目标函数[z=ax+by（a≠0）]中直线[l：ax+by=0]的平移法，利用直线[y=-abx+zb]的纵截距[zb]解决最值问题（当[b]为正值时将直线[l：ax+by=0]向上平移使目标函数取得最大值，反之[b]为负值时向下移动使目标函数取得最小值）；当线性目标直线的斜率与约束条件的边界相等时，最优解有无数多个.解题过程中关键是突破“画”（画出线性约束条件所表示的可行域）、 “移”（作平行直线）、“求”（解方程组求出最优解）.这种求最值的方法也称“角点法”[2].
二、“LC-NLF” 最值类
一、平面区域的意义
能够根据x，y的约束条件准确画出平面区域是线性规划解题中的重要步骤，它直接关系到能否正确进行下一步，画图时要对一些重要数据进行标注，通过对有关封闭区域的面积计算和相关点的位置判断可进一步强化对平面区域意义的理解.
例1在平面直角坐标系中，不等式组y≥0，
x-2y≥0，
x+y-3≤0表示的区域为M，t≤x≤t+1表示的区域为N，若1
图1解：由于1
【评析】公共部分的面积随着t在所给范围内的变化而变化，可以估计到t的特殊位置，从而可列出关于t的函数关系，此处得到正确的相关区域的面积的表达式是解题的关键.
例2若方程|x-1|=k（x-2a）+a，对任意实数k都有解，求实数a的取值范围.
图2解：设y=|x-1|，如图2，阴影部分为不等式组y≥x-1，
y≥-x+1表示的区域，而y=k（x-2a）+a是恒过点（2a，a）的直线，若不论k为任何实数方程都有解，即直线与阴影部分恒有交点，则必有（2a，a）∈（x，y）|y≥x-1，
y≥-x+1，于是a≥2a-1，
a≥-2a+1.
解之，得113≤a≤1.
【评析】由二元一次不等式组，我们可以画出对应的平面区域，同时如果给出了平面区域，我们也必须能熟练地写出对应的不等式组，只有熟练地掌握了平面区域的意义才能为下一步解题打下坚实的基础.
二、简单的线性规划
给出线性约束条件，求线性目标函数的最值是最基本、最主要的题型，也是各类高考试卷中的主要题型.求解此类问题一般分两步：（1）根据条件画出可行域；（2）将目标函数转化成直线方程形式，利用平移法找到取最大值点和最小值点，然后把坐标代入目标函数求出最值即可.
例3抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）.若点P（x，y）是区域D内的任意一点，求z=x+2y的取值范围.图3
关键词：线性规划 最值 数形结合 平移
线性规划是运筹学的一个重要分支，而简单的线性规划已编入高中新教材，作为一个新增知识点，它不仅只是对直线内容的深化，更多的是与其它知识的交汇，同时也是增加学生对数学在生活中应用的理解。它能解决一些线性约束条件下求线性约束条件的最值问题，其基本思想即在一定线性约束条件下，通^数形结合的思想求线性目标函数的最值，整个过程主要借助于平面图形，运用这一思想能够比较有效的解决线性规划问题。近些年来线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题，分值在5分左右。
在实际的教学中，本校对数学教材的教学顺序是：必修1―必修4―必修5―必修2―必修3。而我们要完成的教学任务《简单线性规划》在必修5第三章第3小节，在教学过程中会利用到必修3第三章《直线与方程》的相关概念（斜率、交点坐标、截距）。这又受教材教学先后顺序的影响，要求我们在学习线性规划问题时，必须要考虑回避直线与方程对教学和学生认知的影响。本人在实际教学中，对求线性目标函数最值的方法进行一些尝试。
现举例加以说明。
一、前期铺垫，总结经验
为了更好的回避必修2《直线与方程》相关知识对线性规划的影响，在二元一次不等式（组）表示平面区域学习的时候进行升华与总结。
例1、画出下列不等式表示的平面区域
指导学生自主完成：①建立直角坐标系；②画出等式图像；③确定区域。
解析如下：
总结方法：确定二元一次不等式表示平面区域方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点（C≠0）。
抛出问题：能否在画出等式图像时，快速确定不等式表示的区域呢？指导学生继续观察图像。
从上面例子，我们知道一条直线就能瓜分平面了，而不等式组就是不断确定你想要的那个平面，由此可以发现对于不等式 （A>0）表示直线 （A>0）的右上（下）方区域，越往右偏离直线的点坐标（x，y）代入式子
所得值越大；不等式 （A>0）表示直线
（A>0）的左下（上）方区域，越往左偏离直线的点坐标（x，y）代入 所得值越小。这对于解决线性规划问题，做了很大的埋伏，为后续教学做了很好的铺垫。
二、单点解析，检验成果
例2、（2012年山东高考）设变量x，y满足约束条件
则目标函数 的取值范围是（ ）
分析：求取值范围，实质就是求 的最大值与最小值。
解：先画出满足不等式的可行域. 如图阴影部分不妨令z=0，作参考直线 ： 。
通过平移，由图可知，当直线 过点A时z取得最大值，当直线 过点B时z取得最小值。
由 得A（2，0），
因此zmax=6，
由 得 ，
因此 。故选A。
我们可以知道用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①画出可行域；
②作参考直线 ；
③通过平移以及数形结合，确定目标函数最值位置 ；
④解二元一次方程组，求出点的坐标；
⑤计算线性目标函数的最值。
从上面的例子，我们知道，在线性约束条件下，求线性目标函数z=Ax+By（A>0）这种形式的最值问题，是高中线性规划中常见的问题，这类问题的解决，关键在于能够正确理解二元一次不等式组所表示的区域，利用参考直线，寻找可行域内最左（右）的点，即利用图形及平移求最优解及线性目标函数的最值。
三、跨越障碍，思想升华
为了加深学生对数形结合思想及平移方法的理解，特举更具有代表性的一类问题：已知目标函数的最值求参数的问题。
例3、若实数x，y满足不等式组 目标函数 的最大值为2，则实数 的值是_____________。
分析：解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的定点或边界取得，运用数形结合的思想、平移方法求解，同时需要注意目标函数的几何意义。
解：先画出满足不等式的可行域。 如图阴影部分。
作参考直线 ： ，由图可知，
当直线 过点A时，t取得最大值。
由 得 代入 中，解得 =2。
从上面例子可以看出今后我们在遇到此类问题时，首先想到用数形结合思想，以及平移方法去解决，因为它更直观、形象。 在高考时，能够让学生做得更快、更准。
线性规划思想不仅与函数或不等式有交汇，而且在实际生活中求最值问题时，也有交汇。如在教科书中利用线性规划解决物资问题、产品安排问题与下料问题，引导学生应用数学知识解决实际问题，使学生体验数学在解决实际问题中的作用，在整个的学习过程中，着重培养学生的数形结合思想。虽然解决此类问题的方法不是唯一的，但我们在教学中，需要考虑培养学生学会思考的习惯，以及数学思想的建立。
综上所述，线性规划是直线方程的继续，是直线方程知识的应用，但受教材教学顺序的影响，我们在教学过程中，必须要面对这样的事实，这就要求我们在教学中必须有一些创新，在创新的过程中还不能丢失数学的思想。本人在教学中，从宏观的角度来把握，先期借鉴数轴上数的大小特点，升华了二元一次不等式（组）表示的区域的意义，借助参考直线，学会寻找可行域内最左（右）的点，利用数形结合思想及平移的方法很容易在可行域内找到最值。通过课堂及课后的反馈来看，学生不仅解决了简单线性规划问题，还对数形结合思想有更进一步的思考。在教学中教师不为方法而讲方法，而在此方法的启发下，学生发现了新方法。因此，本人在教学中的尝试，可以算是成功的，并且在解决交汇知识模块时，思想也具有通用性。
以≤符号表示的函数约束称为资源约束，因为这些限制要求使用的资源必须小于或等于所能提供的资源的数量。资源分配问题的共性就是它们的函数约束全部为资源约束。以≥符号表示的函数约束为收益约束，因为它们的形式为收益取得的水平必须大于或等于最低可接受水平。收益约束反映了管理层所规定的目标。以=符号表示的函数约束称为确定需要的约束，因为它们表示了一定数量的确定的需求的约束，提供的数量等于要求的数量。而许多线性规划问题并不能直接归入三类中的某一类，一些问题勉强归入一类，另一些问题却没有一类占主导地位的函数约束，不能归于这三类的任何线性规划的问题称为混合问题。混合问题的线性规划的建模过程与其他三类线性规划问题类似。但是，其他三种线性规划问题仅仅涉及到三类函数约束(资源约束、收益约束、确定需要的约束)的一种，并以之为特色，而混合问题可以同时包含三类约束，因此有必要探讨三种不同的函数约束是如何在同一个问题中产生的。
2 建立混合线性规划问题的数学模型
统利公司经营一个回收中心，专门从事四种固体废弃物的回收，并将回收物处理，混合成为可销售的产品。根据混合时各种材料的比例，可将该产品分成不同的等级(表1)。尽管在混合各种等级产品时允许一定的机动性，但每一等级产品中各种材料的最大值和最小值都必须符合下面质量标准的规定。这些规定与混合的成本以及每一等级产品的售价都在表1中给出。
表1(单位：元)
回收中心可以从一些渠道定期收集到所需的固体废弃物，因此，可以获得维持稳定作业的处理量。
表2
管理层决定在表1和表2所列的约束之内，有效的将各种材料分配到各等级的产品中去，以实现每周的总利润最大。这便是一个混合线性规划问题，因为资源有限，收益受到限制，以及确定的需求，该问题就有了相当多的约束，归纳如下：①有限的资源，表2的第2栏所示。此外，表1的第2栏还表明材料1与材料3的用量有限，这些有限的资源都将形成资源的约束条件。②规定的收益：表2的右边显示最低可接受的收益水平是可获得的材料的一半，而表1规定材料2的最低可接受的使用量，这些都是收益约束。③确定需求的约束：如表1第2栏所示的材料4的固定用量。表2右边所示的处理固体废弃物的固定开销。
建模的具体过程如下：
假定有12个决策变量：
3 建立和分析混合线性规划模型的标准体系
处理混合的线性规划问题是没有惟一正确的线性规划模型的，在整个研究的问题中，模型往往会被不断修改和扩展。许多实际的线性规划建模往往包含上百甚至上千个决策与约束。在这些情形中，常常会有要不要考虑进模型的许多模棱两可的问题，对于如此复杂的线性规划问题，管理层的投入与支持是至关重要的。如果最初的模型一旦被检验有效，就可以使用它的许多变异的模型。究竟使用哪一种变异的模型必须依赖于许多因素，包括问题最合理的假设、模型最可靠的参数的估计以及模型所需要的精确度。在研究混合线性规划问题时，一个很好的方法是，先建立一个相对简单的模型，而后运用从这个模型中获得的经验来扩展模型，使其更接近复杂的实际问题。只要一个问题还是能够合理求解，那么就可以继续将该模型扩展。当管理科学小组实施系统化的考察时，要按照下列步骤展开：
⑴提出问题且收集与问题相关的数据。
⑵建立模型，引入决策变量，确定目标函数(约束条件)。建模是一个演进过程，从一开始的模型往往需要不断地完善，渐渐演化成一个完整的数学模型。
⑶从模型中形成一个对问题进行求解的基于计算机的程序。
⑷测试模型并在必要时进行修正。现在模型能够求解了，管理科学小组需要对模型进行仔细检验和测试以保证对实际问题进行了充分精确的表达。所有相关的因素和相互关系是否已被精确地编制进了模型?模型提供合理的解了吗?模型在过去的情形下应用时，模型的解比实际发生的有改善吗?
⑸应用模型分析问题以及提出管理建议。运筹小组对模型求解并分析后，将相应的最优方案提交管理者，由管理者做出决策。这样模型在不断发展的基础上重复应用，指导决策，从而进化成为更趋完美的数学模型(或许是电子表格的形式)。
参考文献
[1] 韩伯棠.管理运筹学.高等教育出版社，2000.
[2] 邓成梁.运筹学的原理和方法.华中理工大学出版社，1996.
[3] 杨超.运筹学.科学出版社，2004.
[4] [美]弗雷德里克・S・希利尔，马克・S・希利尔. 数据、模型与决策.中国财政经济出版社，2005.
本文分析了农业经济分析的四种典型模型，通过对四种模型进行理论分析和方法介绍，总结对应的优点和不足，并提出改善农村经济的建议。
关键词：
农业经济；分析模型；理论
1计量经济模型
计量经济模型通过函数方程衡量经济形势，借助于概率分析理论，通常用于宏观经济的预测分析。计量经济模型特点鲜明，首先其将经济形势转化为一种可计量的数字化模型，后借助于统计学和概率学理论知识，进行数据化分析。计量经济模型兼顾理论和统计资料，通过理论和经验结合，分析经济动态中的不确定性因素对经济形势的影响，从而得出具有一定概率性的结果。虽然计量经济模型优点很多，但也表现出一些不足，主要概括为：首先是局限性，计量经济模型只是将经济数据进行简单的函数分析，而面对经济动态中的非量化因素，却显得力不从心；其次是依赖性，计量经济模型的成功构建需要精确的统计数据以及强大的计算机软件支持，可见其运用的要求较高，难以施行。鉴于其不足，计量经济模型在实际运用中主要表现为F或t检验在定量分析中缺乏显著性，其次模型错误和统计数据有误由参数预估值不合理或是不切实际导致。
2线性规划模型
线性规划模型通过确定约束条件和目标函数求得最优解，其中目标函数为线性函数，且约束条件表现为线性特征，通常用于企业经济管理中最优化方案的确定。线性规划模型优点明显，通过建立模型分析制造部与经济动态中各变量间的潜在关联，为各行业管理提供最优解，从而管理层依据其做出正确决策，同时以基期的统计信息完成自检，确保模型的合理性。线性规划模型在实际运用中曝露出诸多的缺点，主要概括为三点：首先是理想性，线性规划模型本质上是静态模型，而实际经济管理中，目标函数中部分因素通常是变化的，同时生产过程也是一个动态的过程，导致约束条件中部分指标表现出不定性，可见线性规划模型是一个理想化的模型，实际运用中具有一定的局限性；其次是被动型，模型仅可以跟随外生变量的波动做出断断续续的回应；最后是难行性，实际分析中通常缺乏必要数据和信息，仅通过借鉴和假设等手段完成模型的模拟分析，缺乏精确性。
3复合模型
复合模型通过概率预测分析和模拟规划，综合考虑实际经济动态中的各项不确定性因素，从而使分析结果更具说服力。模型的特点显著，实际运用中表现出极大地灵活性，分析者参照实际目标，构建合理的模型框架，模型既可以进行概率预测分析，也能模拟规划模型，兼顾以上两种模型的优点。其典型应用为江苏省农业区域政策分析模型，模型综合计量经济模型以及线性规划模型，计量经济模型用于分析居民的消费情况（消费水平、消费需求及通货膨胀水平），同时预测外生量动态；线性规划模型通过结合居民需求量信息，并进行多次模拟操作，确定生产结构的最优方案。
4灰色模型
农业经济受制于诸多不确定性因素，其作用机制等信息模糊，一些常用的经济分析模型已无法应对，为解决此类问题，灰色模型应运而生。传统分析模型需要基于准确的统计数据，可用于处理常规发展中的经济状态，而对不确定性的经济现象，难以做出有效分析。灰色模型主要通过灰色参数、函数和矩阵来客观反映农业经济的发展形势，进而提出农业经济发展的新规划。灰色模型完美结合了定量分析和定性分析，其中定性分析是模型构建的理论基础，后通过定量分析进行细化以及规格化处理，其既能定量分析各变量对农业经济动态发展的不同影响，也可以概率预测农业经济中各因素变化对农业经济整体（总产值等）的影响。其典型应用为甘肃农业经济分析模型。
结束语
四种模型各具特色，随着我国农业的不断开发，农业经济得到快速发展，相应的数据统计和理论分析也更为复杂，对农业经济分析模型的要求也越来越高，使复合模型与灰色模型的应用更为广泛。为使我国农业经济能够高效健康发展，现提出以下建议：(1)重视农业科技进步和创新。加大农业基础设施建设，加快农业产业技术革新。(2)加快农业结构产业化。引导农业经济向集约型方向发展，加强农业与其他产业的联系，充分利用农村剩余劳动力，整合现有资源，因地制宜。(3)加强农村基础教育实施力度。农村是教育的薄弱环节，特别是偏远山区，农民科学意识普遍较弱，制约当地农业技术的普及。
作者：隋娟娟 单位：王连街道办事处
参考文献：
以数形结合为例,作为高中阶段最重要的数学思想方法之一,运用数形结合思想解决问题的地方随处可见,涉及到的知识点也比较广泛,比如有函数中的问题、规划中的问题、圆锥曲线中的问题、三角函数中的问题、几何概型中的问题等等,学生往往想不到要用数形结合,使得问题的解决不是那么顺利。
本人在教学实践中以“代数式的几何意义”为题上了一节专题课,收到了比较好的效果。本人将高中内容中具有非常明确的几何意义的代数式分为以下三种类型:
一、截距型
这种类型的代数式一般形如ax+by,因为只要令z=ax+by,
再将式子变形为直线方程 ,就可以看出此时z和直
线的截距之间的关系。
例如,若x,y满足下列约束条件,求z=3x+5y的最大值和最小值。
5x+3y≤15
y≤x+1
x-5y≤3
事实上此题就是一个简单的线性规划问题,画出不等式组表示的平面区域,再将目标函数变形成直线形式
(如图1所示),
z最大(最小)就是直线与平面区域相交时截距最大(最小)。这就是线性规划问题的图解法,实际上就是利用代数式的几何意义通过数形结合达到解题的目的。
二、斜率型
这种类型的代数式一般形如 ,此时可以将式子看成
是点(x,y)和点(a,b)之间连线的斜率的c倍。
例如,求函数 的值域。
上述式子只要变形为 ,则可以将y看成是
点M(cosx,sinx)和点N(2,0)
之间连线的斜率的 倍(如图2
所示)。我们知道点M(cosx,sinx)
是单位圆上的动点,而N(2,0)是
定点,那么斜率的范围就很容易求得
了。这里也利用了代数式的几何意义
通过数形结合解题。
三、距离型
这种类型的代数式一般形如 或(x-a)2+(y-b)2,此时可以将其看成是点(x,y)和点(a,b)之间的距离或者距离的平方。
例如,如果实数满足约束条件3x+2y-1≥0,那么求u=x2+y2+6x-2y的最小值。
此题要从u的几何意义出发,将u先变形为u=(x+3)2+(y-1)2-10,再变形为u+10=(x+3)2+(y-1)2。此时式子的右边显然可以看成是点M(x,y)和点N(-3,1)之间的距离的平方。点M(x,y)所在范围即不等式3x+2y-1≥0所表示的平面区域(如图3所示)。这里只要找到代数式的几何意义就可以利用数形结合方法又快又准的找到答案。
【例1】 设m,k为整数，方程mx2－kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根，则m+k的最小值为 ．
分析 本题首先要从题目得到方程mx2－kx+2=0在区间(0,1)内有两个不同的根的充要条件即约束条件，然后转化为线性规划问题求解。
解 设f(x)=mx2－kx+2，由f(0)=2，知f(x)的图象恒过定点(0,2)．
因此要使已知方程在区间(0,1)内有两个不同的根，即f(x)的图象在区间(0,1)内有两个不同的交点，必有m>0,f(1)=m－k+2>0,00,k>0,m－k+2>0,2m－k>0,k2－8m>0.
在直角坐标系mOk中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k－z=0经过图中的阴影中的整点(6,7)时，z=m+k取得最小值，即zmin=13．
点拨 线性规划问题虽然在高考中的要求比较低，但是在高考中仍然作为一个热点考查，题目变化比较多，在平时的复习中要引起重视，此题新在表面上并没有说明一定要用线性规划去解决，而是通过转化，变成线性规划问题去解决，这种类型的问题在2011年高考的解答题中曾有所涉及。
二、 基本不等式
【例2】 设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ．
分析 处理双变量的问题我们可以考虑线性规划或基本不等式等方法。
解 4x2+y2+xy=1，
(2x+y)2－3xy=1，即(2x+y)2－32•2xy=1，
(2x+y)2－32•2x+y22≤1，
解之得(2x+y)2≤85，即2x+y≤2105.
【例3】 若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是 ．
分析 此题首先建立关于参数c的目标函数，再进行求解。
解 2a+b=2a+2b≥22a+b，
当且仅当a=b时，2a+b≥4取“＝”．
由2a+2b+2c=2a+b+c得2a+b+2c=2a+b•2c，
2c=2a+b2a+b－1=1+12a+b－1≤1+14－1=43，
故c≤log243=2－log23．
点拨 利用基本不等式解题一定要注意“一正、二定、三相等”，并要注意构造符合基本式的条件以及形式。
三、 不等式的证明
【例4】 设b>0，数列{an}满足a1=b,an=nban－1an－1+n－1(n≥2)．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数n,2an≤bn+1+1．
分析 本题第1问为已知递推公式求通项公式，注意分类讨论；第2问是不等式的证明，要构造符合基本式的形式，利用基本不等式证明。
解 (1) 由a1=b>0，知an=nban－1an－1+n－1>0，
nan=1b+1b•n－1an－1.
令An=nan,A1=1b，
当n≥2时，An=1b+1bAn－1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn-1A1
＝1b＋…＋1bn-1＋1bn.
①当b≠1时，An＝1b1-1bn1-1b＝bn-1bn(b-1);
②当b＝1时，An＝n.
An＝nbn(b-1)bn-1,b≠1，1，b=1.
(2) 当b≠1时，欲证2an＝2nbn(b-1)bn-1≤bn＋1＋1，只需证2nbn≤(bn＋1＋1)bn-1b-1.
(bn＋1＋1)bn-1b-1＝b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1＋bn－1＋bn－2＋…＋1
＝bnbn+1bn+bn-1+1bn-1+…+b+1b
>bn(2＋2＋…＋2)
＝2nbn，
2an＝2nbn(b-1)bn-1
当b＝1时，2an＝2＝bn＋1＋1.
综上所述,2an≤bn＋1＋1.
点拨 不等式的证明，要抓住题目本身的特点，构造出符合基本不等式的条件及形式，利用基本不等式进行证明，注意基本不等式成立的条件。
牛刀小试
1. 已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈［1,2］且y∈［2，3］，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ．
2. 证明以下两个不等式：
(1) 设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
(2) 1
【参考答案】
1. a≥-1
2. (1)由于x≥1，y≥1，
所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy
xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
［y＋x＋(xy)2］－［xy(x＋y)＋1］
＝［(xy)2－1］－［xy(x＋y)－(x＋y)］
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．
(2) 设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得
logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.
于是，所要证明的不等式即为
x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.
其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.
【关键词】数形结合 数学教学 以形助数 以数辅形
数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。 数缺形时少直观， 形少数时难入微。”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化 。因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数
1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生， 每人至少参加一项公益活动， 参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？
分析： 一般用圆来表示集合， 两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。 利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
1.3 数形结合思想在方程与不等式中的应用。
1.4 数形结合思想在线性规划问题中的应用。
线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
1.5 数形结合思想在解决数列问题中的应用。
数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
2.以数辅形
2.1 数形结合思想在解决解析几何问题中的应用。
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
2.2 数形结合思想在解决立体几何问题中的应用。
立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。
小结：应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角；位置关系中的平行、垂直及点的空间位置。其一般思路是：尽量建立空间直角坐标系，将要证、要求的问题转化为坐标运算。
综上所述我们可以看出， 数形结合的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，能扬长避短。因此在数学教学中只要我们善于运用数形结合思想来解题，就可以将复杂问题简单化，抽象问题具体化，一定能取得事半功倍的效果。
参考文献
下面以题目为例，说明“调整估算验证法”的运用。
例1 要将甲乙两种长短不同的钢管截成A,B,C三种规格的短钢管，一根甲钢管可同时截得A,B,C三种规格的钢管数量分别是2，1，4根，一根乙钢管可同时截得A,B,C三种规格的钢管数量分别是2，3，1根，今需要A,B,C三种规格的钢管各13，16，18根，问截甲乙这两种钢管各多少根可得所需的三种规格的钢管，且使用的甲乙钢管根数之和最小？
令Z＝10，得整数解为x＝0, y＝5；x＝2, y＝2.将这两组整数解依次代入可行域中检验得x＝2, y＝2.
所以最优整数解为x＝2, y＝2，即用甲种规格的原料2张，乙种规格的原料2张.
例3 某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房. 大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元. 装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元，如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
所以最优整数解为x＝0, y＝12或x＝3, y＝8，即应隔出大房间和小房间0间、12间或3间、8间.
注：以上3题中，Z的理想值都比较小或者不太大，所以对理想值进行微调可以较便捷地得到最优整数解，若Z的理想值比较大，则不宜采用此法.
例4 某实验室需购某种化工原料106克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元;另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少花费多少元？
所以最优整数解为x＝1，y ＝3，即购买35千克的原料1袋，24千克的原料3袋，此时花费最少为Z＝500元.
例5 某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，有9名驾驶员. 在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆公司所花的成本最低？
解：设每天派出A型车x辆，B型车y辆，则
48x＋60y≥360，x＋y≤9，x≤7，y≤4，x,y∈N.
目标函数Z＝160x＋252y.
所以最优整数解为x=5, y=2，即每天排派出A型车5辆，B型车2辆.
注：在例4、例5中，Z的理想值比较大，此时不宜对Z的理想值进行微调，应采取估算方法得出x 或y的整数取值范围，从而进一步得到x，y的最优整数解.
关键词：二元一次；不等式；不等式组
中图分类号：G632 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）52-0092-02
人教A版《数学必修5》的3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一节中，有两个概念：把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。[1]这两个概念容易让学生引起认识上的混乱。
按照上述概念，xy+5x-3y32y+5t-732y
从教材的衔接和思维的严谨性来看，教材中的这两个概念需要进一步完善。最新的湘教版初中教材有这些概念：含有两个未知数（二元），并且含未知数的项的次数都是1的方程为二元一次方程。把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫做二元一次方程组。[2]含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。[3]并且该课本中的三元一次方程组的练习中出现了方程组x+y=72y+z=6x-z=7和 3x-2z=13z+2y=23y-x=-18。既然上述方程组算作三元一次方程组，那么由类比推理，不等式组2y
综上所述，二元一次不等式的概念可为：把含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的不等式称为二元一次不等式。二元一次不等式组的概念可为：共含两个未知数且每个不等式中含有未知数的项的次数均为1的几个不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。这样一来，xy+5x-3y32y+5t-732y
由于二元一次不等式（组）在线性规划问题一节中提出，必须让学生理解这两个概念，这样，他们才能清楚在何种情况下可以运用线性规划解决问题。教学过程中，在呈现出相关的二元一次不等式（组）的概念后，为了让学生对概念有清楚地认识和理解，可以设计如下概念辨析题，促进学生对这两个概念的认识。
例1.判断以下不等式是否为二元一次不等式？并说明理由。
（1）2x-y27 （3）2x-y
（4）2xy-3x>4 （5）■-3x>4 （6）■>4
例2.判断以下不等式组是否为二元一次不等式组？并说明理由。
（1）x-3y0y≤2t0y-5t≤2
（5）x-y>0y+■≤2 （6）■>5 y-x≤2
参考文献：
[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书A版数学必修5[M].北京：人民教育出版社，2007：82.
2012&2013西藏高考文科数学试卷比较分析
刘健礼
（山南地区第二高级中学，西藏 山南 856005）
摘 要：高中新课程改革在西藏已实施三年的时间，三年来，教师们不断的探索新课程的教学方式和手段，数学学科的教学也在不断的探索中前进。今年是西藏实行新课程改革以来的首届高考，新课程改革后的高考试卷与以往的试卷有那些不同，考试的侧重点将直接影响教师的课堂教学，本文作者将新课程改革前的高考试卷与新课程改革后的高考试卷进行了较全面的比较，并对高中数学教学提出了一些建议。
关键词：西藏；高考；文科数学；比较
今年是西藏实施高中新课程后的首届高考，高考试题的类型、知识点、考试的侧重点将直接影响着数学的教学，现对文科数学高考试卷进行分析，以期从分析中找出新课程改革后高中数学的培养方向，以便更好的来指导我们的数学课堂教学。
一、试卷类型和结构比较
2012年西藏高考文科数学试题包括三部分内容：选择题、填空题和解答题。其中选择题12个小题、填空题4个小题、解答题6个大题，分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷满分60分、第Ⅱ卷满分90分，全卷总分150分。2013年西藏高考文科数学试题也包括三部分内容：选择题、填空题和解答题。其中选择题共有12个小题、填空题有4个小题、解答题有6个大题（最后一个解答题是一道三选一的题），该套试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，其中第Ⅰ卷满分60分、第Ⅱ卷满分90分，全卷总分150分。
通过分析两套试卷的类型和结构发现，在2013的试卷中，把2012年的22题改为了一道三选一的选做题，题号由以前的22题，增加为22题、23题、24题共24个题。分值上也发生了变化，2012年的试卷第17题为10分，22题为12分；2013年的试卷第17题为12分，22题为10分、23题为10分、24题为10分。
二、两套试题所考查的知识点比较
2012年西藏高考文科数学试题所考查的内容共有11个，分别是：集合、函数、导函数、数列、排列组合、立体几何、平面向量及空间向量、圆锥曲线、线性规划、解三角形、概率等。2013年西藏高考文科数学试题所考查的内容共有15个，分别是：集合、函数、数列、立体几何、平面向量、复数、框图、三视图、线性规划、圆锥曲线、解三角形、概率、解析几何、不等式、参数方程等。具体如下：
考查内容 知识点
2012年高考 2013年高考
集合 子集运算 交集运算
函数 反函数、函数大小比较、函数最值 导函数、函数及性质
三角函数关系、三角函数奇偶性 函数平移、三角函数关系
函数单调性及导数运用 函数大小比较
数列 基本运算、数列综合运用 等差、等比数列运用
排列组合 排列的应用、二项式通项运用
立体几何
线面距离、异面直线成角 球体
线面垂直、成角、空间向量的运用 线面平行、棱锥体积
向量 向量加减运算 向量乘法运算
线性规划 线性规划应用 线性规划应用
解三角形 数列、正、弦定理应用 正、余弦定理应用
概率 概率应用 概率应用，统计、概率应用
复数 基本运算
框图 读程序
三视图 三视图判断
解析几何 点和圆的轨迹方程
不等式
不等式应用 不等式运算、
不等式证明（选做题）
平面几何 简单几何证明（选做题）
参数方程 参数方程轨迹（选做题）
探究思想 数学知识应用
将两套试卷考查的知识点进行归纳整理后发现，这两套试卷都以考查基础知识为主。在两套在试卷中，函数相关的知识点在考查中所占的比重仍居首位。同2012年的高考试卷比较发现，2013年的高考试卷中，增加了复数、框图、三视图、解析几何、参数方程五个内容的试题，这些内容也是新课程改革后在文科数学教材中所新增加的内容。这些新增的知识点在高考试卷中也得到了很好的体现。在2013年的高考中没有单独考查排列组合的试题，而是在考查概率时运用到了排列组合的相关知识点，也是对排列组合知识的弱化，以此来强调知识间的运用。新课程中将复数知识列为文科学生所必须掌握的知识点，从而扩大了文科学生对数的知识面的掌握，在高考试题中也给予了相应的印证。通过对两套试卷所考查的内容来看，2012年高考试卷所考查的内容较集中，2013年高考试卷所考查的内容较广，涉及面较多。
三、试卷难度比较
由于不能得到学生的答卷情况，在此进行的试卷难度比较主要针对两套试卷中每道题所考查的知识点的多少和做题所需要的步骤来进行比较。
在2012年和2013年的高考试题中，直接套用公式或定理，进行简单的运算就能得到结果的试题分别为14道试题和12道试题，所占分值分别为82分和67分。运用公式或定理，计算步骤较多才能得到结果的试题都有5道试题，所占分值为39分和46分。通过对试题进行分析和推理，再结合相关的公式或定理，进行较多的计算才能得到结果的试题分别有3道题和4道题，所占分值为29分和27分。2013年的三道选做题都属于运用公式或定理计算步骤不多就能得到结果的试题。从两套试卷考查的方式来看，考查基本公式和基本定理的运用所占的比重较大，考查学生综合能力的试题较少。
通过对两套试题的能力要求和考查的形式来看，2013年的高考试题在公式和定理的运用方面的考查内容减少了，对数学知识在现实生活中的运用和推理方面的考查增多了，这也正是体现了新课程改革的核心，更加注重知识与技能的培养。
