时间：2023-05-30 10:37:06
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇导数公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示。高中导数公式的应用过程是让学生感知瞬时变化率的过程。
一、导数在函数单调性判断中的应用
在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点的斜率。判断函数的单调性，就可以根据一个切线上的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征。尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增。
例1.求函数y=x3-3x+1的单调区间。
解析：y=x3-3x+1 Y′=3x2-3 当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，因为x=2，y（2）=3，x=1，y（1）=-1，x=0，y（0）=1，x=-1，y（-1）=3，x=-2，y（-2）=-1所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增。
在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数公式的价值。在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”。
二、导数在求函数的切线中的应用
基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据。导数的几何意义就是曲线在点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在点处可导的充分不必要条件。导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解函数切线，其应用价值就体现在函数在点处可导，曲线在点处一定存在切线，但是曲线在点存在切线，却未必可导的特性。
例2.函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=
f（x）在点P（x0，y=f（x0））处的切线的斜率。在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）=f（x0）处的切线的斜率是f′（x0），相应的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）。在该例题切线方程的求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的。
三、导数在三角函数中的应用
三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略。sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法。
例3.由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差、和差化积问题。
首先，画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A′OD。
A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β））
OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）
[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）
综上所述，在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思维和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事。这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用。
参考文献：
【摘 要】文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式， 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具，本文讨论了应用泰勒公式求高阶导数、判断函数的凸凹性及拐点的问题以及带有Pe？琢no余项的T？琢ylor公式有关的导数概念的推广即Pe？琢no导数。
【关键词】泰勒公式；极限；敛散性；凸凹性；拐点
泰勒公式是数学分析中一个重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式，它建立了函数的增量，自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力工具。泰勒公式的余项有两种：一种是定性的，例如我们可以使用泰勒公式， 皮亚诺型余项；另一种是定量的，如拉格朗日余项、柯西型余项等。可以用来很好的解决有关函数高阶导数问题。带有余项的公式建立了函数与它的阶导数之间的关系，在理论和实践中有广泛的应用。
泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。通过本文的论述，我们可以了解到高阶导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一。只要题中条件给出函数二阶及二阶以上可导，不妨先把函数在指定点展成泰勒公式，一般是展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式，然后根据题设条件恰当选择展开点（展开点未必一定是具体数值点，有时以为佳）。只要在解题训练中注意分析、研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理原则，就能较好的掌握利用泰勒公式解题的技巧。
作者简介：郭胜红（1979.2-），男，甘肃兰州人，汉族，讲师.主攻方向：数学教育。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册、第三版）[M].北京.高等教育出版社.2001（2008重印），125-126，134-139
[2]孙清华，孙昊.数学分析内容、方法与技巧（上）[M].武汉.华中科技大学出版.2003年7月，
[3]王殿元.带有不同型余项泰勒公式的证明（第四期）[J].电大理工.2000.11，38
关键词 导数；计算
一、运用周期
例1 设f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，fn+1（x）=fn'（x），n∈N，则f2012（x）= 。
分析：首先根据题设分别计算f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），…，根据计算结果归纳其周期性求解。
解：f1（x）=cosx，f2（x）=-sinx，f3（x）=-cosx，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，…，故fn（x）的周期为4，所以f2012（x）=f4（x）=sinx。
点评：此类问题若采用常规方法求解将十分繁琐，通过利用其周期性求解，大大降低了思维的难度。
二、适当赋值
例2 已知f（x）=x■+x■f'（1），则f'（-1）的值为。
分析：首先求出函数f（x）的导数，然后令x=1构造关于f'（1）的方程求解。
解：f'（x）=3x2+2xf'（1），f'（1）=3+2f'（1），解得f'（1）=-3，f '（-1）=3-2f'（1）=9。
点评：方程思想是一种重要的基本的数学思想方法，有关导数值问题的求解常常构造方程求解。
三、数形结合
例3 如图1，函数g（x）=f（x）+■x2的图象在点P处的切线方程是y=-x+8，则f（5）+f'（5）= 。
分析：观察图象可知点P的横坐标为5，由于切线方程已知，故可求得g（5）及g'（5）。
解：g'（x）=f'（x）+■x由图及题设可知g'（5）=-1，g（5）=3，-1=f'（5）+■×5，解得f'（5）=-■，由g（5）=f（5）+■×25解得f（5）=2，故f（5）+f'（5）=■。
点评：对于题设中已经给出图形，根据题设及欲求的结论充分挖掘图中蕴含的信息，从而使问题顺利解决。
四、适当转化
例4 求函数y=■的导数。
分析：本题是商的形式，可直接运用商的导数的运算法则进行，但求解过程繁锁，仔细观察，可以发现右端式子是齐次式，故可先分离常数，然后再求导。
解：y=■=■=1-■=1-2（x■+1）-1
y'=（1-2（x2+1）-1）'=0-2（-1）（x2+1）-2（x2+1）'
=2（x2+1）-2・2x=■。
点评：对于复合函数的求导要按照复合函数的求导法则进行，即y=f（g（x））的导数y'=f'（u）g'（x）（其中u=g（x））。
例5 求下列函数的导数：
（1）y=x■；(2)y=log■x■-log■x；（3）y=-2sin■（1-2cos■■）
解析：（1）y'=（x■）'=（x■）'=■x■=■■
（2）y=log■x■-log■x=log■x，y'=（log■x）'=■
（3）y=-2sin■（1-2cos■■）=2sin■（2cos■■■-1）=2sin■cos■=sinx，y'=（sinx）'=cosx
评注：对于简单函数的求导，若能将函数关系式合理的转化成可以直接应用公式的基本函数的形式，则可以应用导数公式直接求导.
例6 求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋■＋■)；(2)y＝sin4■＋cos4■
解析：(1)y＝x(x2＋■＋■)＝x3＋1＋■，y'＝3x2－■；
(2)y＝sin4■＋cos4■=（sin■■+cos■■）■-2sin■■cos■■=1-■sin■■=1-■・■=■+■cosx
[关键词] 导数 高中数学 合理应用
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0000
导数是高考出题的热点，这让教师和学生对导数学习的意识也逐渐加强.导数在数学教学中的引入，加深了学生对函数的理解，激发了学生的创新思维，同时引导学生将导数解题的方式运用到实际生活中去，并且对激发学生学习数学的积极性有一定的作用.所以导数是数学教学中有利的辅助工具.注重引导学生用导数进行解题，并且能熟练掌握已成为数学教学的教学目标之一.
一、导数在代数中的应用
导数不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用.运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值.如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值.
例如，用导数求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值.
解： 函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）>0.在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）>0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）
这类题目在高中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案.
二、导数在几何中的应用
导数在几何题目的解答上都能使解题变得更高效简单.学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则.学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性.注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力.
导数在几何解题的应用也可以有效地提高解题效率.比如常见的给出某M点坐标和曲线c方程，求出最终的切线方程.解题基本上也是有固定的步骤：首先确定M点是否在相应的曲线c上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式.如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程.
在几何题目的解答中，合理的应用导数可以使计算方法变得更加简单，通过这种方式可以提高数学题目解答的效率.在高中数学中我们经常会遇到坐标系中切线方程求解.一般的题目都是给出曲线外的一个坐标点，让学生来求解过这个点的曲线的切线方程，这些题目的解答都是通过导数来实现的.
例如：已知一条直线p：x+4y-4=0，以及曲线y=x4，直线p与曲线的一条切线n相互垂直，求切线n的方程.这是一道典型的采用导数来进行解答的曲线切线题目.在解题的过程中，我们要对题目所给的信息进行分析，根据直线x+4y-4=0与切线n相互垂直这一信息，来计算出n这条直线的斜率，然后再求出曲线的导函数.当导函数取具体值的时候，我们就可以将其对应的点坐标求出，这样就可以根据斜率和点的坐标来得出直线的方程.具体解题步骤为：y=x4，求导结果为y′=4x3，直线x+4y-4=0的斜率为-1/4，那么与这条直线垂直的直线n的斜率就是4.我们令y=4x3=4，就可以得出x=1，由此可知，这条直线与曲线的交点，也就是切点的位置就是（1，1），那么对应的切线方程就为y-1=4（x-1），即为y=4x-3.
学生要想在数学解题中很好地应用导数，必须是建立再对导数的概念、性质以及法则等有深刻理解的基础上的.通过导数典型性的应用，可以使一些题目变得一题多解，帮助学生对各个知识点有更加深层的掌握，并在此基础上选择较为简单的方法，更好的解决问题.
总之，导数在高数解题中的运用，有效地帮助学生更快速地解答难题；在有些包含导数、方程组、数列等方面的综合题目，通过使用导数进行解题，可以考察学生的综合思考能力，提高高中数学教学有效性.
[ 参 考 文 献 ]
[1]吴龙福.例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用[J].数学大世界：教师适用，2012，（11）：62-62.
【关键词】数学解题；价值分析
1.高中数学解题中的导数应用技巧
在高数的教学中，从教师的角度来说，熟悉导数的定义是学习导数的基础，教师可以根据学生的学习进度适当调整导数章节的教学进度，如果基础知识没有掌握牢固，越往后知识越复杂就更不利于学生的理解和接受。在了解导数定义的基础上，逐渐引入函数四则运算法则，将复杂的知识简单化，用逐渐带入的方式引导学生学习，打下一个坚实的导数学习基础；学生要结合导数知识，将函数的极值判定和函数单调性要作为重要的知识点进行学习。
其实导数也不是很复杂难学的知识，只要将公式、法则、性质牢记于心，多做练习，自然就能熟练应用；运用导数求极值一般有固定的解题步骤：首先求出f′（x）的根值，根据所得数值，确定根两侧的函数单调性，再根据单调性呈现出来的递增或递减状态，得到相应的最大值或最小值；如果两侧单调性相同，则说明此根处没有相应的极值。
例如用导数求函数的极值：求函数f（x）=-x3+3x2+9x在单调区间[1，5]上的最大值；
解：函数f（x）的导数为f′（x）=-3x2+6x+9，所以在区间（-1，3）上是单调递增的，即f′（x）0，在区间（-∞，-1），（3，+∞）上是单调递减的；对于区间[1，5]在[1，3]的范围内f′（x）0，即是递增，在[3，5]范围内f′（x）
这类题目在高数中是常见的基础题型，在某一区间内求取极值的问题，根据导数的定义，在区间内如果两侧符号不同，那就说明这个区间存在极值，以此为根据，有清晰的解题思路，就能快速地解出答案。
导数在几何解题的应用也可以有效的提高解题效率；比如常见的给出某M点坐标和曲线C方程，求出最终的切线方程，解题步骤基本上也是有固定的逻辑：首先确定M点是否在相应的曲线C上，另外要求得相应的导数f′（x）；根据题目的实际情况会得出不一样的数值，然后结合导数知识根据具体的情况运用相应的方程公式：如果点在曲线上，那么需要用的方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）；如果点不在曲线上，那么需要用到的方程为y1=f（x1），y0-y1=f′（x1）（x0-x1），以此为根据，得出具体的x1的值，这样就能求得切线方程。
根据以上的解题实例可以看出，导数的运用不仅是代数，在几何题目的解答步骤上都能使解题变得更高效简单。学生在导数知识章节的学习中，对于导数的公式和两个函数之间的四种求导法则，可以不用加以过多的证明，但一定要将公式和法则熟记于心，在遇到难题时，能够正确使用相应的步骤和法则。学生在导数知识的学习过程中，也要注意适时的进行总结，对知识有一个连贯性的结构；注重知识的全面运用，可以提升学生自身的综合学习能力。
2.高中数学解题中导数应用注意事项
在高中数学导数部分的教学过程中有一定的注意事项，首要要把握一定的教学要求，抓住教学的重点和难点，根据学生们的实际学习情况和接受进度进行相应的教学计划调整，因为高数这门课程的思维连贯性，一旦某一部分没有熟练掌握或者学习的不够踏实，对接下来的学习会有很不好的影响，尤其在导数部分的学习，如果一开始的基础知识没有得到掌握，那么对这部分知识越往后就越难以消化。
要让学生对导数的含义有一个很明确的了解，学习之初，对概念的认识也是很重要的学习内容，然后是对导数的各种性质的了解，因为导数在高数中起着很重要的作用，在很多题型中都可以用得到，而运用在解题中的时候，大都是依据导数的各种性质进行的，所以要求学生在熟悉导数的概念以后，对导数的性质也要牢记于心方能熟练运用。利用导数求得函数的单调性、极值、不等式和几何方程等，可以有效地提高解题的效率和质量，从中考察学生对知识的掌握程度以及思维整合的能力。另外一点在运用导数求解的过程中，引导学生避免解题思路复杂化，全面考虑导数的各种性质找出最适合题目应用的，尽可能将其简单化；在复合函数的学习过程中，要对将其计算法则进行重点学习，并做到熟练运用的程度，教师在复合函数练习题的难易程度要做好把控，考虑整体学生的学习情况进行安排布置，或者根据不同学习层次的学生，拿出多个具有针对性的练习方案，能更有效地帮助学生巩固导数知识。
3.结语
教师在在导数的教学过程中，将理论知识形象化，结合一定的图片表格，让学生能更直观的感受到导数的各性质之间的区别，同时也要注意引导学生将数学知识生活化，这样也能更好地提高学生导数学习的效率。
【参考文献】
[1]周彩凤.高中数学导数解题典型性应用[J].中学数学教学参考，2015.15：58
[2]崔迎新.导数在高中数学解题中的应用[J].新课程学习（上），2013.03：50-51
[3]漆建哲.导数在高中数学解题中的应用分析[J].语数外学习（数学教育），2013.07：24
【关键词】分段函数 分段点 导数
在导数运算过程中，分段函数在分段点处的导数是学生学习的一个难点。在很多高等数学教材中提到的仅仅是通过导数定义，或者左右导数定义来讨论，但是通过导数定义来讨论，解答过程会显的繁琐，而且计算量也比较大学生容易出错，在学习过程中学生常常会提出是否可以通过求导公式来讨论分段点处的导数情况。针对上述问题，笔者给出了一个求解分段函数在分段点处导数的行之有效的简单方法。
一、分段点处左右邻域导数极限都存在时
如果分段函数在分段点x0处连续，且左邻域（x0-δ，x0）与右邻域（x0，x0+δ）内可导时，可通过定理1与定理2求解。
定理1 若分段函数f（x）在分段点x0的某U（x0）内可导，满足
从例3知道，分段点处左右邻域导数极限不存在时，分段点也可能导数存在。也就是说，分段点处左右邻域导数极限存在仅仅是分段点处可导的充分条件而非必要条件
三、结语
基于定理1与推论1给出了简便判别分段函数在分段点处导数情况的判断，避开使用导数定义判断是否可导，简化了计算难度，大大提高了计算的效率。文中也指出了定理1中条件（1）连续的重要性，以及分段点处左右邻域导数极限存在仅仅是可导的充分条件。
参考文献：
[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第6版. 北京：高等教育出版社，2007.
本大纲适用于经济学、 管理学以及职业教育类、 生物科学类、 地理科学类、 环境科学类、 心理学类、药学类(除中药学类外)六个一级学科的考生。
总要求
本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或 理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基 本概念与基本理论;了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基 本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识 的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用 基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析 并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”“掌握”和“熟练”三个层次。 、
复习考试内容
一、极限和连续
(1)极限
1.知识范围 数列极限的概念和性质
(1)数列数列极限的定义性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理
(2)函数极限的概念和性质 函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ∞，χ+∞， χ-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 性 四则运算法则 夹逼定理
(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。
(4)两个重要极限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解极限的概念(对极限定义中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系， 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(2)连续
1.知识范围
(1)函数连续的概念 函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点
(2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算 复合函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质 有界性定理 值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
2.要求
(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念， 理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。
(2)会求函数的间断点。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.知识范围
(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系
(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式
(3)求导方法 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
(4)高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数的计算
(5)微分 微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2.要求
(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)导数的应用
1.知识范围
(1) 洛必达(L′Hospital)法则
(2) 函数增减性的判定法
(3) 函数极值与极值点值与最小值
(4) 曲线的凹凸性、拐点
(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2.要求
(1)熟练掌握用洛必达法则求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的极限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增 减性证明简单的不等式。
(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、值与最小值的方法， 会求解简单的应用问题。
(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。
(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
(1)不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法 第一换元法(凑微分法) 第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2.要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代换与简单的根式代换) ∫
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法
(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。
(二)定积分
1.知识范围
(1)定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件
(2)定积分的性质
(3)定积分的计算 变上限的定积分牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法
(4)无穷区间的广义积分、收敛、发散、计算方法
(5)定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的体积
2.要求
(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。
(2) 掌握定积分的基本性质
(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式
(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 旋转体的体积。
四、多元函数微分学
1.知识范围
(1)多元函数 多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
(2)二元函数的极限与连续的概念
(3)偏导数与全微分 一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
(4)复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
(5)二元函数的无条件极值和条件极值
2.要求
(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。
(2)了解二元函数的极限与连续的概念。
(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。
(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。
五、概率论初步
1.知识范围
(1)事件及其概率 随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性
(2)随机变量及其概率分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布 (3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 方差 标准差
2.要求
(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。
(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。
(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。
(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。
(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。
(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。
(8) 会求离散型随机变量的数学期望、方差和标准差。
【摘 要】随着新课改的推进，函数的综合问题仍是历年高考的重点和难点之一，特别是函数与导数大题中经常出现有关函数不等式的证明，用于考查学生的推理论证及运算求解能力。通过对历年试题背景的研究发现了高等数学知识中泰勒公式的身影，本文就泰勒展开式在解决函数不等式的相关问题进行剖析。
关键词 泰勒公式；余项；麦克劳林公式；函数不等式；放缩
函数不等式是一类以函数的基础知识为背景结合导数知识的不等式，解题时往往以不等式和导数为工具，通过逻辑推理来解决问题。正所谓：“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么就很难看透问题的本质，更无法帮助学生揭开高考数学难题的神秘面纱。
徐国君通过对2010年与2011年数学高考题的研究，主要是通过泰勒展开式得到不等式ln(x+1)≤x≤ex-1，并对其进行巧妙的应用，大多数文章也是阐述类似的应用。本文将对ex、ln(1+x)及cosx等的n阶展开式在高考中的精妙应用进行进一步剖析，以期能为函数不等式的证法注入活力。
泰勒公式形式1[1]：若函数f(x)在点x0存在n阶导数,则有
这里o((x-x0)n)为皮亚诺型余项,称(1)式为函数f(x)在点x0的泰勒公式。
称此式为(带有皮亚诺余项的)麦克劳林公式。
泰勒公式形式2[1]：若函数f(x)在含有x0的某区间(a,b)内存在n＋1阶导函数,则有
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。
一、初步探究
例1、（2012年辽宁高考数学理科第12题）若x∈[0,+∞)，则下列不等式恒成立的是（ ）
说明：高考的标准答案是利用导数公式，通过函数的单调性与最值来证明不等式恒成立。
例2、（2013年全国卷新课标Ⅱ理科第21题）已知函数f(x)=ex-ln(x+m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0。
解：（1）略。
（2）当m≤2,x∈(-m,+∞)时ln(x+m)≤ln(x+2)
故只需证当m=2时f(x)>0即ex>ln(x+2)
显然，由泰勒展开式易得ex≥x+1（当且仅当x=0时取“=”）ln(x+2)≤x+1（当且仅当x=-1时取“=”）
ex≥ln(x+2)即当m≤2时，f(x)>0。
说明：显然利用泰勒展开式的适当放缩与变形来解决这样问题非常轻松。
二、深入探索
例3、（2013年辽宁高考数学理科第21题）
（1）证明：①要证f(x)≥1-x,x∈[0,1]，即证(1+x)e-2x≥1-x
说明：上述的证法主要采用ex的泰勒展开式进行适当的变形与放缩，使得整个解答过程自然流畅，当然本题也可采用构造函数法利用导数来证明。
【分析：对于式子中含有e-2x，cosx之类的超越不等式恒成立问题，如果直接采用构造函数法求导难度较大，最直接的想法是如何将超越不等式通过泰勒展开式的放缩转化为代数不等式来处理，因此容易想到从cosx的三阶泰勒展开式入手进行放缩。】
所以当a≤-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立。
另一方面，当a>-3时
综上所述：实数a的取值范围是(-∞,-3]。
说明：本题也可采用第一题的结论进行转化，再通过适当的构造函数并利用导数进行转化来求解，解决过程可谓是一波三折。而利用泰勒展开式来解决此题那就会有高屋建瓴之势，所有的过程演绎将会有一种水到渠成的感觉。
三、解法应用
例4、（2014年全国卷Ⅰ（理21））
(1)求a,b；（2）证明：f(x)>1。
例5、（2013年清华大学等“华约”自主招生考试）
(1)求证：当x>0时，f(x)<0；
总之，从以上具体实例发现，利用泰勒展开式来解决高考函数中的有关不等式问题主要是实现将超越不等式向代数式不等式的转化，既简化了运算过程又为高考函数的不等式题的解法注入了新的活力并展现泰勒展开式的魅力。
参考文献
[1]陈传璋.数学分析（上册）[M].北京:高等教育出版社，1983
[2]徐国君.例谈泰勒展开式及其应用—数学教学通讯[J].数学教学通讯，2012
基本的导数公式
1、C'=0(C为常数)；
2、(Xn)'=nX(n-1)(n∈R)；
3、(sinX)'=cosX；
4、(cosX)'=-sinX；
5、(aX)'=aXIna（ln为自然对数)；
6、(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna)(a>0，且a≠1)；
7、(tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2
8、(cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2
关键词：泰勒公式；几何意义；n！的非唯一性
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）25-0216-03
引言：泰勒公式（又称泰勒中值定理）在高等数学中占有重要的地位，一方面体现了复杂函数可以用多项式函数逼近的原则，另一方面也反映了函数与高阶导数之间的关系[1]，在物理学、化学等其他学科中也有广泛的应用。但是目前普遍使用的高等数学教材对该定理的证明过于追求简练[2]，对定理的解释不够清晰，导致学生的理解含糊不清，不能灵活使用，更不利于学生解析思维的培养。
一、泰勒公式证明过程中存在的不足
高等学校多采用的高等数学教材中对泰勒公式的证明常采用以下方法：为了近似表达函数f（x）在x点的值，先在x的邻域内找一点x，然后构造一个含有（x-x）的n次多项式的函数，假设这两个函数从零阶直到n阶导数在x点的值分别相等[2]（而这个假设并非必须，详见下面的分析），再证明余项就是f（x）与（x-x）的n次多项式的差[2]；或直接通过柯西中值定理证明[3]，这样的证明无疑是简洁的，缺点是几何意义模糊，掩盖了泰勒公式中值的含义，也没有体现出解断、分析从而逼近这一重要的数学思想，更重要的是会使人误解泰勒公式中n！为唯一、必然的选择。不少教师对泰勒公式的几何意义的讨论[4]，对学生更好地理解泰勒公式有极大的帮助，但是从几何意义上推演泰勒公式的过程中，常常会不假思索地利用本段提到的假设，仍然会使人误解泰勒公式中的系数n！是唯一的选择。
二、泰勒公式的几何意义及n！的非唯一性
三、结论
本文详细描述了泰勒公式几何意义，结合拉格朗日中值定理得出泰勒公式中与高阶导数对应的分母取值n！并不是唯一的选择，而是为了满足一个并非普遍性的假设的需要，同时给出了泰勒公式的其他表达形式；并且还能清楚的看出，泰勒公式是拉格朗日中值定理在原函数（即零阶导函数）、一阶导函数、二阶导函数、一直到n+1阶导函数中的应用，这样泰勒公式又称为泰勒中值定理的缘由也就清楚了；将函数解断、分析、从而达到逼近的方法也较好的呈现出来。
参考文献：
[1]邵泽玲.泰勒公式与含高阶导数的证明题[J].高等数学研究，2013，（16）：102-103.
[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].第五版.北京，高等教育出版社2002，（7）.
一、学习和掌握定理、公式的证明和有关性质的推导时借助向量知识解决
数学教学是数学活动的教学，定理、公式的证明不要仅仅呈现它的结论，也要关注知识产生的过程，当复习正弦定理与余弦定理时，将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系起来。掌握向量与三角知识间内在联系的规律，把感知上升为理解和应用。又如复习正弦余弦函数的两角和差公式时 ，用传统方法过程比较复杂，如果利用数量积的相关内容来解决却是那样的简洁明了。
数学概念、定理、公式、法则等方面知识的传授无疑数学教学中所必须的，传授过程中应加强对学生思维能力的训练，把感知上升为理解和应用，引导学生自己去发现和掌握知识间内在联系的规律和逻辑关系，使其形成良好的数学认知结构。学生学习数学知识是在原有的数学认知结构基础上将新知识纳入原有的认知结构中去，重新组织与发展认知结构的过程，在教材中《向量》一章的引进，无疑是对学生的数学思维能力、创造能力的培养有着促进作用。通过本章的教学，结合布置学生完成《实习作业》和《向量在物理中的应用》的研究性课题，使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，结合介绍“向量”在几何、机械、航海、测量等方面的应用，提高了数学建模的能力，使学生学会提出、分析、解决带有实际意义的或与相关学科、生产和日常生活相关的数学问题，学会使用数学语言、数学概念表达问题，进行课堂上师生、生生之间的交流、互动，形成用数学的意识，进而达到全面提高学生数学素质的目的。
二、注重向量知识在解题中的作用
爱因斯坦曾说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决。例如牛顿的“万有引力定律”是受苹果落地启发的。在平面几何中常用的定理在初中教学过程中都以“默认”的形式存在，学生是知其然而不知其所以然，因而数学意识并不强烈，让很多有意义的问题擦肩而过。在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点，向量不仅要作为一种知识去学习，更重要的是要作为一种方法、一种思想去理解。以前学过的平面几何、立体几何、解析几何、不等式以及三角函数等知识均能得到较充分的应用，可借助它解决部分定理的证明(前面已有介绍)。因此，在教学中我有意识在这里充分发挥，设计了一批例题，并加以实施，以期达到培养学生观察、分析、解决问题的能力乃至提高建立数学模型能力的目的。
三、注重导数知识在解题中的作用
导数这个解题工具进入高中教材以后，为高中数学注入了新的活力，特别是涉及函数的单调性、最值方面的问题时，利用导数不但能使问题的求解变得轻松、简便，学生也易于接受。因此在复习诸如函数的单调性、二次函数最值方面的问题时不妨用用导数知识。
如： 求函数f(x)=x3－3x+3在区间[–3，32]上的最大值和最小值。
没有学导数时，我们一般用二次函数的性质或数形结合来求解，但学了导数以后我觉得有必要向学生讲解导数的解法，因为导数在求最值方面有它的优越性。
解：f(x)是闭区间[–3，32]上的连续函数，且在(–3，32)处处可导。
f′(x)=3x2－3=3(x2－1)，得驻点 x = ±1。
求得f (–3) = -15，f (–1) = 5，f (1) =1， f (32) = 158。
经比较，最大值为f (–1) = 5，最小值为f (–3) =–15。
解完后还可稍作变化，极点不在给定的定义域内的情况，此时只求出定义域的两个端点值即可得出最大与最小值。明显用导数法求解比用传统方法容易操作，也容易让学生接受，还有求诸如函数f(x)=x+1－x2 与 f(x)=1－2x±x 等等函数的值域的问题，都可以用导数方法来求解，而且也比较简便，当然求导的方法也必须和以前的各种方法密切配合，才能真正体现数学解法的整体美。
四、理解和把握高考对向量和导数内容的具体要求
在高考卷中，处理这些新内容的基本取向，首先是试卷应尽量覆盖这些新增加的内容；其次，难度控制与中学教改的逐步深化同步，逐步提高要求；第三，命题时注意体现这些新的数学内容在解题中的独特的功能，力图有助于促进课程改革的健康发展。
向量的考查要求主要是向量的性质和运算法则、基本运算技能以及和其他数学内容结合(几何知识和代数知识有机地结合)在一起，如可以和曲线、数列、不等式等基础知识结合，考查逻辑推理和运算能力等综合运用数学知识解决问题的能力。平面向量一般以选择题和填空题进行考查。而空间向量基本要求是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，通过向量计算解决问题，一般利用解答题考查。
关键词： 高考数学全面研究 高效复习 命题走向
一、分析试题特点
（一）对非主干知识考查。
（1）集合――四省都有一道考题，占分约5分，是一道容易题，都是考查集合的概念和集合的运算，并且都是放在第一题位置；（2）算法――四省都有一道考题，占分约五分，考查的都是流程图，要求的都是输出结果；（3）概率――三省有考题，只有海南无，三省考查的都是古典概率，江苏考了一道填空题，而广东卷第十七题考了概率统计大题，山东第十九题考了概率大题；（4）统计――四省都有考题只是考查的知识点有所不同，江苏考查的是频率分布直方图，广东卷考查的是分层抽样及线性相关关系，山东卷考查的是平均数方差；（5）复数――三省有考题，只有广东无，三省考查的都是复数的除法运算；（6）简易逻辑――广东卷山东卷都有考题，其他两省无。且两省考的都是充要条件问题。
注意：集合、算法、概率、统计、复数、简易逻辑是基础知识点。但江苏卷又有其个性化特点，体现在两个方面：一是命题、逻辑、量词、类比推理书写不方便，一般出现在填空题中；二是算法、概率、复数、统计、直方图、茎叶图、方差、均值轮流考，不考难题。
（二）对主干知识的考查。重点知识模块是命题重点，注重在知识网络交汇处命题。
1.函数知识――是历年考试重点和热点，结合四省试卷分析，函数部分考查的是如下两个方面。（1）基本函数，分段函数，以及函数y=x+a/x（a＞0）定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性与最值问题；（2）函数的建模问题（江苏卷14题）。能够注重数学的应用意识和创新意识的考查，应用所学的数学知识和思想方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决；⑶函数综合题给出函数解析式（含参函数）主要考查分类讨论问题，主要以一二次函数、幂函数、指数函数、对数函数组合（海南卷第21题，山东卷第21题，广东卷第20题）。注意：要特别关注海南、广东函数综合题，它们都是含参函数。但还要注意的是对江苏卷来说函数综合题不考抽象函数，不与导数结合，尤其是不考导数证明，不必在此知识点上练量习题。
2.立体几何――四省都有一道或两道题。巧的是四省所考大题都是一证一算。
3.直线与圆――四省都只有一道小题，考查的都是直线与圆的位置关系。
4.三角――四省都有两道或者三道考题，占分约20分：（1）三角函数周期公式及通过三角函数基本关系式，三角函数图像与性质及图像的平移变换；（2）正余弦定理的应用（江苏卷第13题，广东卷第13题，山东卷第15题）；（3）两角和差正弦、余弦、正切公式（江苏卷第17题，海南卷第10题）。
5.平面向量――四省均有一道考题，属中低档题：（1）考查平面向量基本概念和运算以及坐标运算（江苏卷第15题，广东卷第5题）；（2）考查平面向量的数量积公式（山东卷第12题，海南卷第2题）。注意：三角、向量尤其是解三角形是命题的热点，如加大难度涉及中线、高、角平分线。
6.数列――四省都有一道考题，结合四省试卷分析数列中有如下三个重点题型：（1）等差数列通项公式及前n项求和公式，（山东卷第18题，海南卷第17题），等比数列通项公式以及前n项求和公式（江苏卷第8题，广东卷第4题）；（2）已知Sn与an关系，（江苏卷第19题的第1小题）；（3）数列中常用的求和方法及数列与不等式综合题（江苏卷第18题，山东卷第18题）。注意：江苏卷上把函数数列放在后两题，这是江苏卷独有的特点。
7.不等式――江苏卷考了三道题，而其他三省均考一道题：（1）考查一元二次不等式，基本不等式。（江苏卷第11题，第19题。山东卷第14题）；（2）线性规划问题。（广东卷第19题，海南省第11题）。注意：线性规划问题实质上研究的就是用最少的钱创造最大的经济效益问题。一元二次不等式、基本不等式对江苏卷来说是两个C级要求的知识点，是高考必考的知识点。
8.圆锥曲线――四省均有一道或者两道题，考查的主要有如下两种类型：（1）会求椭圆、抛物线、双曲线的离心率（广东卷第7题）及标准方程（山东卷第9题）；（2）直线与椭圆相交问题，巧的是江苏、山东、海南所考大题都是直线与椭圆相交问题。注意：考纲中，直线与圆是C级，椭圆是B级，既是重点又是难点。
9.导数――四省都有一道或两道题，结合四省试卷分析，导数部分重点考查如下三个题型：（1）导数几何意义（四省都有考题），利用导数法求高次函数及非基本函数单调区间及最值问题，（山东卷第18题）；（2）利用导数法，讨论含参函数单调性及最值问题，（山东卷第21题的第2小题）。注意：因高校教师熟悉导数，利用导数研究导数性质，历来都是命题重点和热点。
二、对2010届江苏高三数学复习的反思
高三数学复习出现的主要问题有：（1）不重视对《考试说明》的研究；（2）不重视课本上典型例题、习题的研究，例如：2010年江苏卷第17题，本题的原型就是苏教版数学必修5第11页的第3题；（3）不重视纠错，只一味地讲新题，其实纠错有时比讲几道新题更有效；（4）落实三基不到位；（5）过早讲解练习中的难题，不重视审题习惯的培养，追求面面俱到，重点不突出，学生参与少，课堂效率低下。
三、对2011年江苏数学复习的启示
对四个新课标区试卷分析之后，对我们来年的复习有诸多启示，可以提高教学的针对性，对于江苏卷未出现而又有要求的知识点，如线性规划问题，充要条件问题等要引起高度重视。对于出现的创新题要好好研究培养学生的探究能力。具体强调如下几点。
（一）要认真研究新课标、教学要求和考试说明，提高教学针对性。
要准确把握考试说明中各知识点能力要求，对A、B两级的知识点要舍得花时间、花精力。
（二）夯实基础，关注通性通法。
“夯实基础，提高能力”是复习教学永恒的主题；要重视课本作用，在基础知识、基本方法和基本能力上教学多下功夫；要认真理解，反复推敲高中各知识点的涵义；对容易混淆的知识，要帮助学生仔细辨识、区别，逐步建立与高中数学结构相适应的思考方法；要及时归纳，总结各种通性通法，提高运用能力；要注意数学思想方法的训练，尤其是函数与方程的思想，数形结合的思想和分类讨论的思想，要突出培养综合解题能力。
