时间：2023-05-30 10:43:27
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇五年级解方程练习题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、 内容编排
从表中可以看出：
1.教学内容的差异。三版教材的主要内容主要包括字母表示数、方程的概念、解方程、方程的应用四个方面，但人教版更关注方程意义的理解，苏教版重视字母表示数，北师版强调解方程。
2.条理性的差异。人教版和北师版对方程内容都以小标题的方式标注，条理比较清晰，苏教版没有小标题只是对例题按顺序编号，需要自己概括所学的内容。
3.年级上的差异。人教版把方程内容集中安排在五年级上册，苏教版安排在五年级上下两册，北师版安排在四年级和五年级下册，中间间隔五年级上册。
4.内容篇幅的差异。北师版节数在三者中为最多，而页码数却是最少，只有21页。苏教版和人教版节数相差两节，页码分别为31和34页。人教版只有一章，但在三版教材中页数最多。
二、呈现方式
1.字母表示数。三版本都有这小节的呈现，为后面方程的引入奠定基础。人教版以 “用一个式子表示小红爸爸的年龄”“用含有字母的式子表示出人在月球上举起物体的质量”“用字母表示运算定律以及正方形的面积和周长” 三个例子逐渐递进、螺旋式引入用字母表示数；苏教版也是以 “用小棒摆成三角形”“汽车行驶路程”“正方形的周长与面积”三个例子来逐步深入对字母表示数的认识；北师版借助歌谣“一只青蛙一张嘴，两只青蛙两张嘴，三只青蛙三张嘴……”，要求用字母表示青蛙的只数，这里展示的是一个不断变化的量，因此最终的答案不是一个具体的数而是字母“”。三版教材让学生经历从具体到抽象的认识过程，意识到字母不仅可以表示已知量，还可以表示特定的未知量。
2.方程的定义。三版本的方程定义都是从具体例子中归纳出方程的概念，只是在概念导入前创设的情境有所不同。人教版和苏教版基本都是以天平呈现的等式出发，到带字母的不等式，再到带字母的等式；而北师版建立在等量关系的基础上，呈现天平、种子质量、热水瓶的盛水量三幅实物图，用表示等量关系中的未知数。三版教材中方程的定义都是一样的：含有未知数的等式叫方程。 苏教版还要求学生区分等式与方程的关系，以强化对方程概念的理解。
3.解方程。人教版把等式的性质单独作为一节，解方程作为下一节，直接利用等式的两条性质得到方程的解；苏教版分开介绍等式的两条性质，然后根据等式的性质来思考方程的解；北师版把解方程分为两节，启发学生l现等式的两条性质，再分别去解方程。从三版教材解方程的呈现来看，北师版和苏教版更注重采用启发式教学，培养学生解决问题的能力，人教版则要求学生具有综合运用等式性质去解方程的能力。
4.方程的应用。三版本要求列方程解应用题，主要侧重于解决日常生活中的实际问题，人教版的问题是学校跳远记录和足球的黑皮块数，苏教版是小红的体重和西安大雁塔的高度，北师版是邮票的张数和相遇问题。其中人教版和苏教版都强调列方程解答的步骤，而北师版对此没有过多要求。三版本中方程的应用，体现了数学来源于生活、作用于生活、应用于生活的观点。
三、习题设置
1. 习题类型。对比分析三套教科书，分析归纳出习题类型分为：填空题、判断题、选择题、连线题、计算题、应用题、拓展题。
从表中看出，人教版和苏教版的习题较多，而北师版最少，这与其内容页码是一致的。三套教科书习题比重最多的是方程内容的应用题，可见教材注重学生的模型思想构建，以及重视培养学生的问题解决意识。
2.素材来源。三套教科书的题目素材主要来源于以下四个方面：无背景、个人生活、公共常识、科学情境。
从表中可以看出，三套教科书方程内容无背景的习题最多，大都是解方程、依照线段图和实物图列方程，教科书重视对学生运算能力的训练。对科学情境方面的习题也有所涉及，基本集中于对国家自然地理、人文地理、物理质量等，教材加强数学与其他学科的融合，这是对学生综合性知识的一种拓展。
四、数学文化栏目
1.猜数游戏。人教版与苏教版在解方程的练习题之后，设置了一个猜数游戏，即根据一个方程，告知已知的几个数，猜想未知数的某一个值。北师版单独将猜数游戏作为方程内容的一节，要求学生会玩这个游戏，看懂游戏，并能列方程解决游戏问题。猜数游戏需要借助于方程，运用逆向思维倒推得出答案，体现了对推理思维的训练。
2.“你知道吗”栏目。三版本都设有“你知道吗”栏目，只是内容设置有些不同。三版教材都提到，在3600多年前，古埃及人就会用方程解决数学问题，也介绍了我国《九章算术》中运用方程的记载。人教版指出，最早使用字母表示数的是法国数学家笛卡尔；北师版提到，我国数学家也曾使用专门的记号来表示未知数；苏教版设有两个“你知道吗”栏目，第一个栏目指出第一个系统使用字母来表示数的是法国数学家韦达，第二个栏目介绍了我国古代数学家李冶的“天元术”，这是一种用数学符号列方程的方法，以及后来朱世杰的“四元术”。三版教材“你知道吗”栏目给学生介绍了方程的历史，提高了学生的学习兴趣，加强了对方程的理解。
五、教学建议
1.理解字母表示数的意义。三版本教材都把用字母表示数放在“简易方程”单元的前面。然而，为什么要用字母代表数？它和方程的关系是什么？它的背后蕴含着怎样的数学思想方法？大都没有深究。用字母表示数是一种特殊的思维方式，即为了寻求未知数，从文字符号所体现的数量关系中，经过各种运算、变换，最终找到答案。这种方法称作方程思想方法。在数学史上，用字母表示数的探索是漫长的，学生在学习中会遭遇到和古代数学家相似的困难，教师要站得高些，想得深些，渗透字母表示数背后所蕴含的数学思想方法，才能为后面方程概念的理解奠定基础。
关键词：公式，应用题 ， 运用，教学 ， 小学数学
Abstract: the elementary school mathematics teaching, teaching is a key word, is also a difficulty, it throughout the elementary school mathematics teaching material, teach and learn word problem to solve them is the elementary school mathematics teacher and student's a large task and heavy task. And how to effectively to achieve this goal, the teaching of mathematics has for us direction, with providing the method, we want to do is understand direction, with good this method, the formula of the importance of use to talk about the practical teaching of trends and small opinions.
Key words: formula, application that use, teaching, elementary school mathematics
中图分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：
在一次讨论中，有位刚毕业的五年级数学老师谈到这样一件事：教学五年级上册小数除法时，教材中以“王鹏的爷爷每天坚持慢跑1.8千米。他每天跑12分钟。爷爷慢跑的速度是多少？”进入课题。在老师导入提问学生时，有个学生列出的算式不是5.6÷7，课堂一下进入解答方法的小困境。对于这样一道导入的例题，只要知道路程、速度、时间的关系式，想必是不会走理解上的歪路。
在小学数学应用题教学里，如何去理解与列式是个非常重要的教学环节，也是个棘手的环节。而运用常用的数学公式可以使问题简单化，很多的数学公式为理解应用题提供了便捷之路。在理解了公式及运用的同时，不但能让学生知其然，也能知其所以然。可以说：运用数学公式解答小学数学应用题既简单又明了，且有质量有效率。人民教育出版社的数学教材中应用题的解答，有许多公式运用的例子，也在教材中充分体现了公式的作用，那是一种解题好方法。可想而知，教材中既然有了这样的公式，就是要教师教好这些公式，让学生学好并且用好这些公式，也是为应用题的解答方法指出的一条明路。
在小学四年级上册的教材第3单元“三位数乘二位数”中，对路程、速度、时间的关系进行过学习，相信教师在紧接其后的教学内容里会总结总价、单价、数量以及工作总量、工作效率、工作时间的关系。又在五年级上册“用字母表示数”中再次出现过这些数学公式的字母表示法，可以肯定这此式子是有用的。事实上，学好与用好这些公式是解答应用题的上好帮手。
在此以“总价、单价、数量”和“路程、速度、时间”在教材中出现的实际情况和教学中的个人认识说说它们的重要性。此外，面积、体积计算等公式对这些公式来说就更具有针对性，就不多罗嗦。
当今人民教育出版社的数学教材中，以总价、单价、数量为例的教学例题不少，练习就更多。 比如“一共有25个小组，每个小组种了35棵树苗。购买树苗花了1250元，每棵树苗多少钱？”这是四年级混合运算教学中的一道例题，如果学生明白了“1250元”和问题表示的量，那么就成了解决“单价”（总价÷数量=单价）的题目。数量还是个未知数字，而数量的问题回到了小学中倍数的解答方法“25个35的问题”。从而得到解答方法：1250÷（35×25）。
又看 “购买苹果和梨各2千克用去10.4元，梨2.8元／千克。苹果每千克多少钱？”这是五年级一道解方程的教学例题，如将解方程放下，就是一道较为特殊的应用题，但是我们用“总价、单价、数量”的关系来作分析，很容易得出10.4元是总价，2千克是数量，那么10.4÷2=5.2元，因为梨和苹果各2千克，2.8元是梨的单价，则苹果单价为5.2－2.8=2.4（元）。
再看六年级的一个教学例子：张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。李奶奶家用了10吨水，李奶奶家上个月的水费是多少钱？这其中也是总价、单价、数量的影子，不同的是这是个“用比例解决问题”的教学例题，通过分析张大妈家的情况可得：总价÷数量=单价（12.8÷8=1.6）；因为水的单价是不变的，又得：单价×数量=总价（1.6×10=16（元）。众多的教学实例是可以用这样的方法去解答出来，而教材中的练习题能用这样的方法解答的，课本中为数不少，运用“总价、数量和单价”之间的关系式来解答小学中的应用题是种不错的方法，且可以广泛的使用。
再以人民教育出版社的数学教材为例看一个教师和学生都熟知的公式：路程=速度×时间，以及它的两个变式：速度=路程÷时间和时间=路程÷速度在小学中、高年级数学里的可以运用的情况：李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车1小时行145千米。该城市到北京有多少千米？这道例题是道笔算乘法的导入应用题，可以很容易地用“路程=速度×时间”来列出算式：145×12。如果学生知道这个公式，就有理解列式的方法，就像开始例了，如果班级中学生了解“速度=路程÷时间”这样的公式，课堂就非常容易地进入主题。
而在六年级的分数乘除法中，有这样一个例题：小明2／3小时走了2千米，小红5／12小时走了5／6千米。谁走得快些？在以该题进入分数除法计算的导入时，学生只要分别知道小明和小红用的时间和走的路程，用“速度＝路程÷时间”就能列式，教学过程就可以依次进行。
在六年级下册的整理和复习中，有“学校组织远足活动。原计划每小时走3.8千米,3小时到达目的地。实际2.5小时走完了原定路程，平均每小时走了多少千米？这样的实例，这道题如果用小学数学的方法，知道“路程=速度×时间”和“速度=路程÷时间”两种计算法的四年级学生就可以理清题意而列出算式，再而进行比较。在六年级的知识中，这是用“反比例”方法理解的，学生如果运用了公式“路程=速度×时间”，不但可以无误的解题，还能进一步巩固“路程一定，速度和时间成反比例”这一知识点。
工作总量、工作效率和工作时间的的问题在小学数学中运用相对前两个公式少了很多，在六年级的分数应用题中有较多的运用，但是它也是一个应该了解与掌握的数学公式。
上述的三个关系式与小学数学里的倍数关系、周长、体积、表面积计算公式是可以为应用题的理解和解答提供快速有效的帮助。
对于数学公式的教学，可分二步进行：当然，对于“路程、速度、时间”及“工作总量、工作时间、和工作效率”的方法也同样适用。
如何在教学中运用这些公式，方法简单易行，
先学好公式 ：将公式牢牢的记住，理解公式中总价、单价、数量各项所表示的意义。这里理解是难点，而方法以简单为好，以“买了6本书用了24元，每本用（）元”这样的练习开始，结合“表示商品的全部价格，商品的单位价格”训练，让学生了解总价、单价、数量是什么。通过多次练习与实践，学生理解后进入举例的模式，了解苹果和梨的总单价的练习，以开发他们的潜力。
接着就运用公式将学过的公式在解答应用题中进行运用，这个过程非常重要、关键，关系到成败。在教学实际中，学生明白了应用题中量的意义，练习过后应作出及时的反馈，现将出现的问题地方有针对性地对学生进行指正，学生是不难掌握的。如果师生都再勤一点，应该可以做到应用题教学的高效果。
在教材中的举例如此，练习中更是举不胜举，不论是教材中的习题，还是形形的教辅资料里，都有众多它们的影子，我们如果说能够加以运用，教师和学生都受益。并且从学习数学应用题开始，就开始运用它去解决问题，可以看到低年级里常见的是倍数关系的解决问题应用教学，只是没有去从一个公式的角度思考，但是教学中仍是如此运用的。
可见备教材在教师的教学准备中不可少，综合上述这么多的例子，我们在做教的准备时，就要明白教材为我们指示的方向和方法，“路”正确了，目的地更容易到达。想说这样一句话，作为一个小学数学老师，如果还没有找到教应用题的好方法，就先“死套公式，再做活”。当学会了会教应用题时，应该也会运用数学公式了。
人民教育出版社数学五年级上册17页例3
人民教育出版社数学四年级下册43页例3
人民教育出版社数学五年级上册69页例2
人民教育出版社数学六年级下册59页例5
人民教育出版社数学四年级上册49页例1
关键词：数学；现代信息技术；作用
信息化社会中，现代信息技术不但运用于人们的生活中，也被运用到教育教学之中。随着新课程的不断发展与深入，以多媒体为主的现代信息技术已经被广泛地应用于课堂教学之中，教学效果也得到了认可。为推动义务教育均衡发展，偏远地区的学校正大力推进信息技术“校校通”“班班通”，使以多媒体教学为主要形式的教育信息技术快速融入课堂中。《义务教育数学课程标准》也明确指出：“积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。”这说明，教师在教育教学过程中要巧妙运用现代信息技术，才能提高课堂教学效果。
一、信息技术在运用时间上要讲求“适时”
“适时”就是指利用信息技术时要根据教学内容在最佳时机来使用，以达事半功倍之效。一般来讲，课堂导入适宜使用多媒体。这是由于一堂数学课的巧妙开头能使学生的注意力很快集中，达到激发学生学习兴趣与营造良好学习氛围的效果。笔者在执教“平均分”时，利用多媒体在二年级（1）班进行了导入教学，具体做法是：编制“猴妈妈分桃子”的故事。上课伊始，笔者就将屏幕打开，显示出本节课的内容“平均分”，还有猴妈妈、猴弟弟、猴哥哥三人，猴妈妈一共有6个桃子，先是给猴哥哥分了1个桃子，猴弟弟分了5个桃子。猴哥哥不高兴地说：“妈妈，妈妈，这样分不公平。”于是，猴妈妈就给猴哥哥分了2个桃子，但猴哥哥还是不高兴地嚷道：“不公平，不公平。”此刻，我便问道：“猴哥哥为什么说这样分桃子不公平呢？”学生争先恐后地回答：“因为猴妈妈没有平均分。”故事还在进行，最后，猴妈妈没办法了，只能给猴哥哥分3个桃子，给猴弟弟也分3个桃子。这时，猴哥哥说：“这样分才公平。”笔者又问：“怎样分才是公平的分法？”学生便异口同声地说：“平均分。”到第二个班上课时，我对课件做了简单的修改，屏幕刚打开时并未显示出题目“平均分”，而是在学生看完故事后便立刻问道：“怎样分才是公平的分法？”问题一提出，学生便争先恐后地回答道：“分得的数量一样多时，才叫公平。”我紧接着问：“这种公平的分法叫什么呀？”此时学生跃跃欲试，欲言不能，我便因势利导，显示出题目――“平均分”。
同一知识点的讲解，对课件题目展示的时间稍作变化，课堂效果就截然不同。这说明，“适时”运用多媒体能达到“一石激起千层浪”的效果。这是由于小学生对新鲜事物比较好奇，使用CAI（计算机辅助教学）适时，就会引起学生的注意。相反，课件展示内容过早则会影响效果。这一实例说明，教师在运用现代信息技术进行教学时应当做到“适时”。
二、信息技术在呈现方式上要讲求“适当”
“适当”就是指利用信息技术要根据数学教学内容的实际需要来加以优化组合，以最适当的方法达到最佳教学效果。就是说，不能是为了吸引学生眼球而让课件的外在内容冲淡教学的重点、难点，以致喧宾夺主，反而失去创设情境、引发动机的意义。
现在的CAI课件通常会有形式多样、活泼生动的多媒体呈现形式，如影像、动画、数字、文字、图像等，这些多媒体与数学教学内容的搭配是否适当，就成为影响数学教学效果的关键性问题。两者搭配得好，就能突出重点、化解难点，收到良好的教学效果；两者搭配得不好，即使课件色彩艳丽、场面壮观、声音雄壮，也只是哗众取宠。实践证明，运用这样的课件时学生会只顾观看动画、聆听音乐、欣赏影像，反而分散了学生的注意力，结果是重点不能掌握，难点也不能突破。笔者在给二年级（1）班授课时，根据二年级学生的年龄特点在制作课件时特意挑选了一些卡通小动物作为背景图片。但在授课时，笔者发现吸引学生注意力的不是教学内容，而是那些卡通小动物。课堂气氛虽然活跃，但学生对教学重难点掌握却不好。针对这一情况，我对课件做了简单修改，将卡通小动物换为一些简单的背景图片。修改后的课件在二年级（2）班使用时，笔者发现学生的注意力比较集中，没有出现二年级（1）班学生的情况。再如，笔者给四年级（1）班讲授“乘法的分配律”时，发现学生思维跟不上多媒体的切换节奏，学生知识点掌握得并不透彻。课后与学生交流时，他们的回答是：“课堂上的知识感觉懂了，但不会做题。”学习基础差的学生说：“多媒体课件呈现的运算过程太快，难以理解。”因此，给四年级（2）班授课时，我采用传统教学手段，发现学生对重难点的掌握比较到位。这说明课件界面太过花哨，学生常被画面中的其他因素所吸引，而忘记老师提出的问题，忽略了学习任务。因此，课件设计一定要符合学生心理特征与认知特点，否则就会干扰学生的注意力，影响到对教学内容的学习。有研究者指出，课件过于花哨常常使得“课堂上学生只顾欣赏美丽的背景，而忘记发现数学问题。这样的教学，学生有效的学习时间缩短了，无形中冲淡了主题。”同样，《义务教育数学课程标准》中也明确地指出：“现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。”因此，教师不能完全抛弃黑板、粉笔。现代信息技术应当与传统教学设备相结合，现代信息技术运用要做到“适当”。
三、信息技术在数量安排上要讲求“适度”
所谓“适度”，就是指利用信息技术扣紧每节的重点、难点，宜少而精，切忌过多过滥。笔者利用多媒体为五年级（2）班讲授“解方程”一课时，由于考虑到解方程涉及的运算较多，多媒体课件中安排的练习题较多。但为了在短短40分钟内增加课堂的知识容量，在习题练习部分笔者出示题目速度较快，参与互动的学生人数明显减少，不但没有体现出小学数学的“全体性”，而且还给学生带来了视觉疲劳和阻碍了师生的交流与互动。针对此状况，我在五年级（1）班授课时删除了一些习题，只保留了一些突出重难点的典型习题。通过这样的改动，笔者发现学生很活跃，也很轻松。40分钟的教学活动，学生对解方程的重难点掌握得相当透彻，大多数能做到“举一反三”。这说明，教师在授课时应当根据教学内容来选用信息技术，不能为了增加课堂的知识容量而过多、过快、过滥地使用信息技术。事实证明，过多使用信息技术，有时反而会影响教学效率。简言之，运用现代信息技术应当力求做到“适度”。
总之，现代信息技术具有直观性、形象性、生动性等特点，是优化数学课堂教学的有效手段，在激发学生兴趣、开发学生智力、提高数学能力等方面具有得天独厚的优势。但是，对现代信息技术运用不合理，却会弄巧成拙，直接影响到课堂教学效果。在现代信息技术与数学课程、数学教学结合越来越密切的情况下，我们要切实做到“适时”“适当”“适度”，才能真正提高学生教学效率，促进学生数学能力的发展提高。
参考文献：
关键词：数学教学 作业错例 学习能力
很多教师在数学教学中遇到学生们出现的各种计算错误时，都不能正确去处理学生的这种学习上的错误，有的老师甚至对学生进行严厉的批评，使学生对数学的学习产生厌学的情绪。在数学教学中，教师应该如何去面对学生的作业错误，也许有的老师会大发雷霆，也许有的老师会感到非常的懊恼沮丧，也有的老师会去分析反思。经过多年的数学教学实践，我觉得在数学教学中学生所出现的作业错误，是我们教学中的正常现象，它既反映了学生真实的学习过程，又为我们教师提供了一个重要的教学资源，是教师有效调整教学方法与手段的依据。因此，作为教师我们应该在教学过程中有效把握这一教学反馈的资源，针对学生的学习情况有效调整自己的教学行为，使我们的数学课堂教学活动真正达到教育教学的最终目标。
教师在数学教学中可以利用学生的错例来帮助学生理解掌握知识。在我们的数学教学实践之中，学生对于单位基本的换算方法掌握不牢，教师应该让学生明白大的单位转化成小的单位应该是：大单位数乘以进率；而对于小的单位转化成大的单位则应该是：小单位数除以进率。但是总有部分学生不清楚如何进行单位转换，不是用错方法就是用错进率。在面积单位换算中，就因为这样的原因部分学生的正确率不高。有学生在进行多边形面积计算时，经常会把三角形或是梯形面积计算公式中的“除以2”丢了，这是学生对这些面积公式的推导过程不了解、相关基本知识掌握不牢导致的。在解方程的计算中，有学生就会因为定律掌握不够导致错误。如下面这个方程的解题过程：
3（x+2.1）=10.5
3x+2.1=10.5
3x+2.1-2.1=10.5-2.1
3x÷3=8.4÷3
x=2.8
从此题可以看出学生对乘法分配律的掌握不够，导致2.1没有乘3而出错。
5.4x+x=12.8
5.4x+1=12.8
或（5.4+1）x+1=12.8
出现这样的错误，是因为学生对乘法分配律掌握与应用的不熟练造成的，甚至有些同学根本就是不懂乘法分配率应该如何应用，从而导致在解题中出现这些错误答案。根据乘法分配律5.4x+x应该是z5.4+1{x。这些学生的错题都是教师有针对性对学生进行知识讲解与训练的好机会，正好让学生们来好好地学习巩固这方面内容，根据学生实际设计有效的教学方案，进行有目的的教学，帮助学生在数学学习的过程中形成体系完整、思路清晰的数学相关知识概念法则。并且在教学过程之中教师要尽可能多的给学生练习的时间，争取让学生在课堂上多练习，完成一些课堂作业，教师应该在教学之别对学生计算中易出现的失误及时给予指导，找到学生出现错误的原因加以及时的纠正、讲解。 并根据学生的作业情况加强易出现错误的题型练习，力求巩固并真正掌握。
[关键词] 小学数学； 问题解决； 认知分析； 认知模拟
[中图分类号] G434 [文献标志码] A
[作者简介] 魏雪峰（1981―），男，山东莱芜人。讲师，博士，主要从事问题解决认知模拟研究。E-mail：。
一、引 言
认知研究已成为世界大国国家科技战略特别关注的领域之一。《国家中长期科学和技术发展规划纲要（2006―2020年）》将“脑科学与认知科学”列为我国科技中长期发展规划的前沿科技领域之一 。认知科学就是要“说明和解释人在完成认知活动时是如何进行信息加工的”，[1]通过在心智、脑科学和教育（Mind， Brain and Education）之间建立桥梁，将最新成果应用于学习和教育过程。随着学习科学的发展，许多研究者关注学习者的学习过程。我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》也指出，“课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法”。[2]数学问题解决是典型的学习活动，分析问题解决认知过程有助于深入了解学生数学认知规律。本文分析了认知模拟的相关研究，综合心理学、教育学、脑科学、认知神经科学、人工智能等相关学科研究成果，以小学数学程序性知识典型问题为例，分析问题解决认知过程，实现认知模拟及可视化显示，并讨论对小学数学教学的启示。
二、认知模拟相关研究
许多研究者使用计算机模拟的方法来研究问题解决的内部过程。纽厄尔和西蒙编写了第一个模拟人类解决问题的计算机程序――逻辑理论家（Logic Theorist，简称LT），成功模拟了人证明符号逻辑定理的认知过程[3]。LT证明了Whitehead所著数学名著《数学原理》中的全部52条定理，实现了对人类启发式搜索的问题解决过程的模拟。纽厄尔和西蒙开发了通用问题解决者（General Problem Solver，简称GPS）程序[4]。该程序主要是依据“手段―目的分析”方法编写而成，成功模拟了定理证明、河内塔（Tower of Hanoi）、传教士和野人过河等多种不同类型的问题。Hiller等人开发了模拟人谱写乐曲的计算机程序[5]；纽厄尔等人开发了模拟人下棋的程序[6]；纽厄尔等人根据经验修改其自身许多方面，进而达到“学习”的计算机程序[7]。西蒙对顿悟、理解等思维和问题解决的行为进行了计算机模拟，他认为计算机模拟是一个预测和解释大量思维现象的强有力工具[8]。
在数学问题解决认知模拟领域，安德森等人使用ACT-R模拟了代数方程式“7x+3=38”的解题过程[9]，魏雪峰对典型陈述性知识小学五年级“众数”问题实现了认知模拟[10]。几何证明是重要的数学问题，Gelernter等人开发了模拟人证明几何定理的计算机程序――几何机器（Geometry Machine）[11]，李莉等人使用ACT-R实现了平行证明几何问题的认知模拟[12]。我国学者吴文俊院士提出了一种几何定理机器证明的数学算法，被称为“吴方法”[13]。张景中院士等人在“吴方法”的基础上进行改进，使新的算法实现了几乎所有几何证明题的自动解题[14]。
综合以上分析可知，现有的数学问题解决认知模拟主要存在以下不足。
（1）数学问题的计算机自动解答，虽然取得了巨大进展，但仅从机器角度实现，和数学课程所要求的解答有很大的不同，没有考虑学生问题解决的过程，解题所用的方法也常常超出学生所掌握的知识范围[15]，不能对教学提供帮助和指导。
（2）卡耐基梅隆大学安德森（Anderson J. R.）教授带领的研究团队对数学问题解决的认知过程进行了研究，并提出了用于指导模拟和理解人类认知的ACT-R理论，但没有给出如何分析小学数学问题解决认知过程。
（3）已有研究仅从各自视角对数学问题解决进行了分析，未能综合相关学科的研究成果，缺乏实质性的学科交叉研究。
三、小学数学问题解决认知模拟
（一）典型问题
研究过程中分析的内容是小学五年级下册第四单元“分数的意义和性质”中的“异分母相加”知识点。[16]“异分母相加”知识点的教学目标是学会计算两个异分母相加，是小学数学程序性知识典型问题。
在学习“异分母相加”之前，学生已经知道自然数2、3、5的倍数特征，了解公倍数和最小公倍数。在1～ 100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
根据“异分母相加”知识点和学生的特点，设计了以下题目：
“请给长方形纸张涂颜色，整张纸的1/3涂成黄色，整张纸的2/5涂成黑色，颜色不能相重（即涂黄色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黄色），黄色和黑色共占整张纸的几分之几？”
（二）认知过程分析
认知模型是分析问题解决认知过程的依据。以小学数学问题解决认知模型（A Cognitive Model of Mathematical Problem Solving，CMMPS）[17]为分析框架，该认知模型包括视觉模块（Visual Module）、产生式模块（Production Module）、提取模块（Retrieval Module）、目标模块（Goal Module）、问题状态或问题空间模块（Problem State Module，也称为Imaginal Module）、输出模块（Manual Module）等六个模块。“异分母相加”问题解决的认知过程可描述为：
（1）学生看到问题，视觉编码后，激活长时陈述性记忆中相关对象，实现题意理解，将目标确定为异分母相加，即“1/3+2/5 =？”，完成了从应用问题到计算问题的转换；
（2）要解决问题“1/3+2/5 =？”，激活产生式“异分母相加求最小公倍数”，将目标确定为求3和5的最小公倍数；
（3）要求3和5的最小公倍数，激活产生式“3和5的最小公倍数3×5”，提取长时陈述性记忆中的事实“3×5=15”；
（4）求得最小公倍数之后，要将异分母化为同分母，即通分，“1/3”和“2/5”分别通分为“5/15”、“6/15”；
（5）通分后，异分母相加问题转化为同分母相加，激活产生式“同分母相加分母不变，分子相加”；
（6）提取长时陈述性记忆中的事实“5+6=11”，结果为“11/15”，解题过程结束。
为了形象直观的表示“异分母相加”这一问题解决认知过程，分析结果以认知矩阵形式表示，见表1。
表1中最左侧的一列数字表示行号，每一列表示问题解决过程中每个模块在不同时刻的内容；每行代表认知逻辑步骤（Cognitive Logic Step），并非与实际解题步骤完全一致，最后一行表示认知过程结束，即问题解决过程结束。
（三）认知模拟
认知模拟工具是美国卡耐基梅隆大学著名认知心理学家安德森（Anderson， John R.）教授研究团队开发的ACT-R 6.0（Adaptive Control of Thought - Rational，简称ACT-R），其内部架构、参数设定都是依据大量的心理学实验数据得到的，很多数据是通过核磁共振实验精确验证过的，具有一定的认知神经学基础。它已经被广泛使用来模拟人类认知行为的不同方面，例如汉诺塔问题（Tower of Hanoi）、语言理解、模式识别、记忆、简单几何证明等[18]。
对于不同的任务，研究者可以结合ACT-R的认知观，增加自己对特定任务的假设，建立具体问题的ACT-R模型。研究中根据以上对“异分母相加”问题解决认知过程的分析，构建“异分母相加”ACT-R模型，使用Common Lisp语言编写认知程序，实现认知模拟。“异分母相加”问题解决认知过程模拟如图2所示，最小时间间隔为0.05秒（默认值）。
从模拟过程可以看出，问题解决过程中设定目标是关键一步，从确定目标开始，中间过程是问题状态的不断转换，最终以达到目标结束。
（四）激活脑区
ACT-R中的模块映射到脑区，这种映射可以使用功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonanceimaging，fMRI）方法来记录“异分母相加”问题解决过程中大脑的血氧水平依赖（Blood Oxygen Level Dependent Response，BOLD）相应数据。
图1以三维图的形式在大脑模型中显示了“异分母相加”问题解决过程某时刻大脑激活区。图1中“0.0～1.0”表示的是亮度值。“0”是最小值，表示没有被激活，区域是黑色的；值越接近“1”，表示激活的越多，区域亮度越高。图的左侧以不同颜色标示了缓冲区，缓冲区右侧数字是激活程度。图的右侧是大脑激活区域，用与左侧模块相同的颜色显示。
从图1中可以看出，“异分母相加”问题解决过程中目标、提取、产生式缓冲区均有不同程度激活，其中目标缓冲区激活程度最大，值为0.981，接近最大值。缓冲区与大脑区域的对应关系，从图1中可以明显看出，图像缓冲区（Imaginal）中内容（主要是数字）的提取与顶叶皮层（Parietal Cortex）的激活密切相关，这一结论与Pinel等人[19]、Eger等人[20]、张红川等人[21]关于被试在看到数字或进行数字加工时顶叶皮层显著激活的研究结论一致。提取（Retrieval）缓冲区负责提取陈述性记忆，与前额叶皮层（Prefrontal Cortex）激活相关，这一结论与秦裕林等人[22]、安德森等人[23]、Sohn等人[24][25]研究结论相一致，即前额叶（The Prefrontal）而不是顶叶（The Parietal）与个人知识提取相关。程序性（Procedural）缓冲区负责程序性知识的提取，与基底节激活密切联系，这一结论与Hikosaka等人[26]的研究结论一致。
四、实 验
实验目的是比较“异分母相加”问题解决认知过程模拟和学生实际问题解决过程的一致性。
（一）研究对象
选取河北省高阳县某小学五年级5班6名学生为被试，其中男、女各半，平时数学综合成绩优、中、差各2名，平均年龄133个月，年龄范围在128～138个月之间。
（二）材料
实验材料为根据本研究目的专门设计的两道问题。
（1）五年级2班进行跳绳测验，第1组7名同学1分钟跳绳成绩如下：
172 145 135 142 139 140 138
你认为用什么数表示这个小组同学跳绳的一般水平合适？
（2）请给长方形纸张涂颜色，整张纸的1/3涂成黄色，整张纸的2/5涂成黑色，颜色不能相重（涂黄色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黄色），黄色和黑色共占整张纸的几分之几？
其中，第1题是用于训练学生出声思维的练习题，第2题为“异分母相加”知识点题目。
（三）数据收集与编码
实验过程中使用口语报告法收集资料。指导语为：“请大声读题，在解题过程中自己怎么想就怎么说。也就是说，在做题过程中一边想一边说。把自己的思考过程大声说出来，以便知道你是怎么做题的。”做题开始前，主试（研究者本人）先简单说明指导语的要求，之后以第1题为例，主试示范并说明在做题过程中如何出声思考。在被试学会出声思考后，开始做第2题，并同时录像，记录学生解题过程。
收集的资料包括口语报告资料和解题作业两部分。对于口语报告资料，首先由专业人员转译成文本，再结合学生的解题作业进行编码分析。编码工作由两位专业人员负责，对于编码中少量不一致的地方，经讨论后达成一致。口语报告记录通常所提供的直观信息是有关解决问题时所需要的知识和信息，并不是实际的加工过程。[27]因此，编码过程中有必要从口语报告记录的信息中推论出内部加工过程而不是尝试直接编码这一加工过程。
（四）结果分析
纽厄尔和西蒙实现了人类思维的计算机模拟，并通过口语报告与机器模拟结果比较来推断机器模拟的有效性。[28]本实验也采用此方法以验证模拟的有效性。
分析“异分母相加”问题解决口语报告可以发现，WangZY、ChenHY和XingYR等同学解题过程都包括了通分、求最小公倍数、同分母相加等环节，但在求最小公倍数环节，WangZY提到了“3和5为互质数，最小公倍数为3×5=15”，而ChenHY和XingYR直接说出了“最小公倍数为3×5=15”。LiL同学解题错误，因为解题过程中使用了错误的产生式。
“异分母相加”问题解决认知模拟与口语报告比较如图2所示。左侧是认知模拟的结果，右侧是口语报告的内容。比较后发现，两者一致。
五、对小学数学教学的启示
（一）对同一道题，不同的学生采取不同的解题方法
关于“异分母相加”问题，WangZY、ChenHY和XingYR虽然都正确解题，但细节还是存在差异。在求最小公倍数环节，WangZY提到了“3和5为互质数，最小公倍数为3×5=15”，激活了长时陈述性记忆中“互质数”的概念。求最小公倍数时，根据互质数的性质，最小公倍数为两数相乘，激活了长时程序性记忆。而ChenHY和XingYR则直接说出了“最小公倍数为3×5=15”，激活了长时程序性记忆。因此，数学教学中应考虑学生解题策略的不同，鼓励学生从不同角度解决问题，有意识地培养学生的数学思维能力。
（二）学生解题过程中，存在不同程度的“自动化”现象
在“异分母相加”问题求“3和5的最小公倍数”时，WangZY说“3和5是互质数，最小公倍数是3×5=15”，而ChenHY则直接说“3和5的最小公倍数是15”，直接给出了计算结果。这一现象说明了学生在解题过程中，内部认知操作可以压缩，经过长时间的训练，几个简单的认知操作可能会压缩为一个，形成“组块”。如两个产生式规则P1：AB；P2：BC，P1和P2经常同时激活，会产生新的产生式规则P3：AC。安德森研究解代数方程问题时发现同样存在“自动化”（Speed Up）现象，认为经过充分的训练可能会将解方程简化为一系列的视觉编码和输出操作。[29] 匈菲尔德研究表明，要成为某个领域的专家，一般需要在长时记忆中拥有大约50000个知识块，这些知识块是该领域内进行思维操作的具体对象，而且，在许多情况下看似在运用策略，实际上是在运用这类已相当完善的知识块。[30]以上研究结论与本研究分析一致，这也在一定程度上解释了数学成绩优秀的学生和数学成绩差的学生在解决问题时的差异，前者具有较多的“自动化”知识，而后者则较少。
（三）错误的产生式是导致问题解决错误的重要原因之一
“异分母相加”问题中，LiL求解“1/3+2/5”时，激活了错误的产生式P1：异分母相加分母、分子分别相乘，导致问题解决错误。产生错误产生式的原因可能有两个。（1）LiL同学对分数的意义不理解。长时陈述性记忆中关于分数的语义模型有问题。（2）对前面讲过的通分策略没有理解，不知道为什么通分，如何通分。安德森研究了学生学习解代数方程的认知过程也认为，学习发生在符号层级，创建（或生成）了新的产生式规则。[31] 因此，教师如何帮助学生形成正确的产生式规则是程序性知识学习的重要环节。
（四）问题解决认知过程分析为问题诊断及干预提供帮助
LiL在计算“异分母相加”时出现了典型错误，分析口语报告可以发现：（1）LiL成功提取了陈述性知识3×5=15和1×2=2，说明两数相乘没有问题；（2）虽然直接分子、分母分别相乘，说明能正确识别分数的分子、分母；（3）解题错误关键是错误的产生式“异分母相加分子、分母分别相乘，作为和的分子、分母”。要帮助LiL同学改正错误，就要考虑如何帮助他形成正确的产生式“异分母相加求最小公倍数”及实现该产生式需要的教学干预。
六、总结与展望
本文以小学数学“异分母相加”这一程序性知识典型问题为例，综合心理学、教育学、脑科学、认知神经科学、人工智能等相关学科的研究成果，分析了问题解决的认知过程，实现了认知模拟及可视化显示，并讨论对小学数学教学的启示。问题解决认知分析与模拟有助于更好地理解学生的学习。然而，学生因已有知识、学习风格、认知特点、家庭环境等因素，对同一问题的解答可能不会完全一致，但总会有相似的地方。通过口语报告的方法来验证计算机模拟中不是所有人问题解决过程都是一样的，但是有很多相似的地方，即共性的部分。[32]在本研究中也主要考虑其共性部分。
问题解决是一个非常复杂的认知过程，计算机能否完全模拟人的问题解决过程，一直存在争议。然而，计算机模拟把问题解决过程中的一些因素综合起来，重建这个过程，克服了以往实验心理学以分析为主的做法，为从整体上了解问题解决的认知过程开辟了一条道路 [33]。随着认知科学和人工智能的不断发展，认知分析和模拟为研究问题解决过程提供了新视角。对学习内容、学习过程的分析，有利于数学教师更好地理解学生的学习过程，为学习媒体选择、典型问题设计、问题诊断等提供依据和参考；有利于设计数学教师培训课程体系[34]，促进新手教师向专家教师发展，提高数学教师的教学技能。
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