时间：2023-05-30 10:43:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇方程的意义，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词：方程的含义；等式与方程的关系
中图分类号：G622.479 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）07-270-01
教学内容：
人教版《义务教育课程标准实验教科书・数学》五年级上册第53～54页。
设计理念：
数学课程标准指出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教师要从知识的传递者、灌输者转变为学生主动构建意义的帮助者、促进者，应当在教学中采取全新的教学模式、教学方法和教学设计思想，彻底摒弃以教师为中心、强调知识传授、把学生当作知识灌输对象的传统教学模式。基于以上认识，教者没有停留在引导学生简单的识记方程表面层次上的意义，而是从学生的预习入手，深入挖掘已知量与未知数之间的关系，一步步走近方程，理解方程，运用方程，超越方程。
一、教学目标
1、使学生在具体的情境中，理解方程的含义，初步体会等式与方程的关系；
2、使学生在观察、分析、分类、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成式与方程的过程，积累将现实问题数学化的经验，感受方程的思想方法及价值，发展抽象思维能力和符号感。
3、让学生获得一些成功的体验，进一步树立学好数学的信心，产生对数学的兴趣。
教学重点：在具体的情境中，理解方程的含义。
教学难点：体会等式与方程的关系。
教学方法：从知识的生长点引入，在反馈交流中理解方程的意义。
教学过程：学生预习课本第53、54页“方程的意义”。
师：同学们，通过预习你们知道这节课要学习什么知识吗？生1：方程。生2：什么是方程。生3：方程的意义。师：关于方程，你们已经了解到了哪些内容？
学生谈谈对方程的了解。师：今天，老师也给同学们带来了一些关于方程的资料，同学们请看！课件出示有关方程的历史的阅读资料，指名朗读，要求其他学生注意倾听。
二、探究新知，构建概念
师：什么是方程呢？生：含有未知数的等式叫方程。师：从这句话中，你知道构成方程的要素是什么吗？生1：未知数。
生2：等式。师：什么是未知数？生1：未知数就是不知道的数。生2：未知数就是未知的数。师：我们可以用什么来表示未知数？生：可以用字母来表示。师：比如？生：a、b、c、-、x、y、z，也就是26个字母都可以。师：什么是等式呢？生：像1+1=2这样的式子就是等式。师：这个同学采用了举例子的方式来说明问题，真厉害！举例子也是解决数学问题的一种重要方法，谁还能再举几个例子？生1：50+50=100。生2：100+200=300。生3：75+63=138。师：难道等式只在加法算式中成立吗？生4：我能举出不一样的例子：120-35=85。生5：60×7=420。生6：120÷3=40。师：仔细观察这些等式，它们有什么共同的特点？生：它们都用等于号来连接。师：表示什么？生：表示等式左右两边相等。师：同学们已经了解了“未知数”与“等式”的特点，又知道“含有未知数的等式叫方程”，那方程到底是什么样子？你能从众多的式子中把它找出来吗？出示：下面哪些是方程？哪些不是方程？①150=χ-15 ②Y+24 ③5χ+32=47 ④2872⑨χ=3 ⑩χ+y=70师：请同学们小组讨论，说说判断的理由，最后总结出判断方程的方法。学生小组讨论，集体汇报。生：①③⑤⑥⑨⑩是方程，②④⑦⑧不是方程，因为①③⑤⑥⑨⑩都是含有未知数的等式，而②④⑧不是等式，第⑦题虽然是等式，但它不含有未知数。师：可第⑦题是等式啊！生：等式不一定是方程，还要含有未知数才是方程。师：那方程是等式吗？生：是！师：一定是吗？生：一定是！师：为什么？生：因为含有未知数的等式叫方程，方程的前提条件是等式。师：所以，判断方程的方法是。生：一看有没有未知数，二看是否是等式。师：同学们已经掌握判断方程的方法了，那你们能试着写出一个方程来吗？
学生在练习本上试写方程，指名部分学生板演。师：同桌间互相检查一下，看大家列的都是方程吗？再看黑板上这几个同学写的，也都是方程吗？
师引导学生一一进行判断。（评析：根据小学生的思维水平，验证的策略往往是列举多种多样的例子，这样的验证方式形成了真实丰富的学习资源，本环节重视学生原有的知识基础，用直观手法向抽象过渡，用递进形式层层推进，通过举例验证，让学生经历一个知识形成的过程，并尽可能让他们用语言表达描述出自己对学习过程中的理解，最后形成新的知识脉络。）
三、闯关游戏
学生独立判断，指名回答，并说明判断的理由。
第三关：
一只鹅重5千克，x只鹅重100千克 。
一本书x元，5本书100元。
你能编出也能列出方程5X=100的实际问题吗？
质量守恒定律
第2课时
化学方程式
（导学案）
学校
班级
姓名
【学习目标】
1、通过化学反应的文字表达式与化学方程式对比，能认识到化学方程式不仅能表示出反应物、生成物和反应条件，还能表示出各物质之间的量的关系。
2、知道化学方程式的定义。
3、通过阅读教材、示范、讨论，知道化学方程式的意义及读法，能求出化学方程式中各物质的质量比。
【学习重点、难点】
重点：化学方程式的意义。
难点：化学方程式中各物质的质量比计算。
【使用说明及学法指导】
采用“提出问题—探究方法—得出结论—解释和应用“的方式学习。
【知识准备】
知识回顾(阅读教材P94、P95相关内容，完成以下内容。)
1、质量守恒定律的内容：
无数实验证明，
化学反应的各物质的
，等于反应后生成的各物质的
。这个规律叫做质量守恒定律。
2、用分子、原子知识解释质量守恒的原因：
在化学反应前后，原子的
没有改变，原子的
没有增减，原子的
也没有改变。
【自主学习】
探究点一：化学方程式的定义
思考：化学方程式和文字表达式相比，不仅能
，而且还能直观反映
。
【总结】这种用
来表示化学反应的式子叫做化学方程式
探究点二：化学方程式的意义
教材辅读（阅读教材P96内容，完成以下内容。）
点燃
【思考】：
化学方程式C+O2==CO2能提供哪些信息？你是从哪几方面考虑的？
1、表示：该反应中反应物是
，生成物是
，反应条件是
。
2、表示：该反应中碳原子、氧分子、二氧化碳分子的个数比为
。
3、表示：该反应中碳、氧气、二氧化碳的质量比为
，即
。
【总结】化学方程式的意义
（1）宏观意义
。
（2）微观意义
。
（3）质量意义
。
【练一练】你能计算出各物质的质量比吗？
点燃
4P
+
5
O2
====
2P2O5
【注意】计算反应物与生成物质量比时，应将
。
点燃
【巩固练习】说出化学方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的意义？
（1）表示
。
（2）表示
。
（3）表示
。
探究点三：化学方程式的读法
点燃
【思考】：化学方程式C+O2==CO2如何读？你应从哪几方面读？
【注意】“+”读“
”；“=”读“
”；化学式读成物质的
，
也要读出。
【总结】化学方程式的读法
（1）读物质：
和
在
条件下反应生成
。
（2）读微粒：每
和
反应生成
。
（3）读质量：每
份质量的
和
份质量的
完全反应生成
份质量的
。
点燃
【巩固练习】化学方程式4P
+
5
O2
====
2P2O5的读法？
（1）
。
（2）
。
（3）
。
【我的收获】（交流、展示及归纳）
【针对训练】
讨论：下列反应的化学方程式能提供给你哪些信息？如何读？
点燃
1、硫在氧气中燃烧的反应：S+O2===SO2
不过，无论如何，有一点是肯定的：“方程”与“方程的解”虽有联系，但毕竟是两个不同的概念，x=3不可能既是方程，又是方程的解.之所以作出是方程的判断，那是因为我们把x=3看成了含未知数的等式，而作出是方程的解的判断，是因为x=3让我们知道未知数x的值是3.同样，判断x=3是等式则是因为我们认为字母x与数值3具有相等关系.所以，对同一个问题，不同的视角会产生不同的判断.
笔者认为，要回答“x=3是什么”的问题，不能简单地依据某一定义或某种书面表述或某种习惯行为来进行――而这恰恰是引起争论的诱因，关键是要弄清“=”的作用或意义.
一个概念的内涵往往是丰富的、多重的，但其所要表达的真正涵义一定蕴含于其特定的情境之中，而不在于我们彼此的视角.对“=”的理解同样如此.笔者以为，在目前的实际应用中，“=”主要有以下四个方面的意义表达：
1表示相等的逻辑关系
据数学史料记载，“=”起源于1557年出版的《砺智石》[1]一书.作者――英国数学家、牛津大学教授雷科德在书中有这样一段描述：“为避免多次繁琐重复使用‘等于’这个词，在日常工作中，我规定用一对平行线段或几对来表达‘等于’，因为没有两件东西能比两根平行线更相等了.”[2]“=”以及同时期出现的其它表示相等关系的符号，它们都是随着代数（方程）的发展而逐步产生的，表达着“相等”（be equal to）的基本含义，意即“=”两边具有相等关系.其基本前提是“=”的两边同时存在.“=”在方程中的应用是相等关系最初、最基本的符号表达.除此之外，数学中其它的相等关系基本上都用“=”表达.
例如，比较5+3与8、14与4×3+2的大小，所得5+3=8、14=4×3+2中的“=”均表示相等关系.
如平方差公式（a2-b2=（a+b）（a-b））等诸多数学公式中的“=”亦表示相（恒）等关系.
对于方程2x-6=0求解过程中的2x=6和x=3，“=”所表示的相等关系的含义并没有因为等式形式的不同而有所改变，它们所具有的“方程”（含有未知数的等式）的基本要件（含有未知数，等式）也没有因形式的简化而有任何的缺失.所以，在方程2x-6=0的解答过程中，x=3并没有改变其方程的属性.
值得注意的是，在相等的关系之下，因为“=”的连接，使得“=”的两边（2x-6，0）与等号共同构成了一个相等关系的整体，缺少了等号两边的任何一方，相等关系就不复存在.
2表示运算的进程
尽管“=”的产生源于等式、方程式表达的简便之需，但随着其应用的广泛，人们对于“=”的认识基本上是从数的运算的学习开始的.比如，①计算：5+3②分解因式：x2-1，其解答表述一般为①5+3=8②由平方差公式，得x2-1=（x+1）（x-1）.在这里，“=”将运算的前后数、式连接起来，表示逻辑运算的进程，“表达着‘……得（得到）……’的含义，与推导符号有一定的相似性，指引着相关规则下数学对象运算的递推过程及结果”[3].
再如：（1）计算14÷3
解之，得14÷3=4……2
（2）计算：（x+1）（x-1）
解之，得（x+1）（x-1）=x2-x+x-1=x2-1.
以上两题解答过程中的“=”皆表示运算递推过程及结果，并不表示“=”两边相等的关系.因为“=”的右边是“=”左边运算后的所得，两边数或式并不同时存在.况且，没有意义赋予而独立存在的4……2无法与14÷3建立起相等关系.
3表示一种赋值
在日常数学问题的呈现过程中，“=”除了表示相等的逻辑关系、运算的进程之外，还广泛应用于对未知变量赋值的表示.
如：（1）求整式4y2-（x2+y）+（x2-4y2）的值，其中x=-28，y=18；（2）四条线段a，b，c，d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.两题中五个用“=”连接起来的式子，实则是给未知数赋予了一个确定的值，如果将它们理解成相等的关系，显然没有什么实际意义，且与题意不符.此处的“x=-28”实际意义应理解为“x的值是-28”.
4表示“等于”的替代符号
在人们日常的话语体系中，“等于”一词属常用词汇.商务印书馆2014年1月出版的《现代汉语词典》对“等于”作了如下解释：①某数量跟另一数量相等.如，三加二等于五；②差不多就是，跟……没有区别.如，不识字就等于睁眼瞎子.这里，①所指为数学中的相等关系，其数学符号表示“3+2=5”（三加二的值与五相等）亦为大家所熟悉.此处，以“=”代替“等于”在数学中已极为普遍.②为人们一般的语言表达，所反映出的并非数学问题，但在表述时亦常以“=”代替“等于”.类似“不识字=睁眼瞎子”、“教师成长=经验+反思”、“全面发展=全科发展”，等等，这些只是根据数学表达式简洁、形象、直观的特点，用数学的形式来表达所反映的内容，反映出事物具有某种相同或相关的属性.对此，基本上不会有人把它们理解成数学中的等式或数量关系.
综上，要回答x=3是什么，必须要了解它所在的现实情境.脱离于具体的情境进行判断，无论结果是等式，是方程，是方程的解，还是其它，都是片面的，不科学的.
在此，笔者就x=3与方程2x-6=0的关系提出自己的观点.
如上所述，解方程时，对2x-6=0进行同解变形，最后得出的x=3仍为方程.因为，同解变形没有改变方程两边“相等”的关系，亦即“=”在解方程的过程中“相等”关系的含义没有改变.
但各类教材及相关资料在解答方程之后，都会出现“x=3是方程2x-6=0的解”的表述，由此，引起了“x=3是方程还是方程的解”（“方程的解”的表述，必须就某一特定方程而言才有意义，仅表述为“x=3是方程的解”没有意义）的争论.
首先可以肯定的是，此时（x=3是方程2x-6=0的解）的x=3中的“=”显然不表示计算的进程与结果，也不表示给字母赋值，因为字母x的值不是赋予的，而是通过运算得到的.当然也不能表示为相等关系，即x=3不能视为方程.因为根据“使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解”的概念，方程2x-6=0的解是3，而不是表示相等关系的表达式x=3.因此，这里的x=3应理解为“x等于3”或“x的值是3”等语句的数学化形式.也只有如此，如方程x2=25的解表示成x=±5或x1=5、x2=-5才有意义.
“一元一次方程”的学习一定是基于“有理数的运算”及“整式的加减”，即初一的学生在学习了这两章内容之后才学习“一元一次方程”。在“一元一次方程”这一章中，首先要介绍其概念，接着要学习等式的性质（或方程变形的性质）。
等式（或方程）两边都加上或减去同一个数或同一个整式，等式（或方程的解）不变。
等式（或方程）两边都乘以或除以同一个不为零的数，等式（或方程的解）不变。
在具体到求方程的解时，不论是否明确给出解法的名称，都是按照由易到难的顺序安排，即系数化为1，合并同类项与移项，去括号，去分母。因此在传统的教材中一元一次方程的编排结构如图1所示。
在学习解方程的过程中，先学习最简单的，即系数化为1，然后由易到难。而学生在解复杂的一元一次方程时，则反其道而行之，先去分母，再去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为1。这种转化的过程，体现了化难为易、化繁为简的策略。这样的学习程序及对应的解题顺序是经典的、传统的、良构的，体现了数学的简洁美和逻辑美。
但是这种严谨的结构制约了项目化学习的实现。能不能有所改变呢？
打破上述研究的结构，基于乘法的意义解“一元一次方程”，这是与一位五年级学生的实验。五年级学生具备的与“一元一次方程”对应的基础是：乘法、除法、分数的意义，分数与除法的关系，简单的字母表示数，分式的简单运算，简单的一元一次方程的解法等。
基于这样的基础，在解复杂的一元一次方程时，如何分析转化，理解每一步的合理性呢？下面以具体事例解释。
如图2 ，这是一个源自初中教材中的题目。图中的解法是五年级的同学给出的。在解这个题目时，该同学已经练习解过多道题目，所以解此题时已经比较顺利。从图中可以看得出，步骤间距比较小，所以比较长，这是五年级学生的思维决定的。
该方程两边的分母不一致，所以首先要通分，这是五年级学生会做的。第二步，去分母，但该生还没有学过去分母，因此她依据分数与除法的关系，将分式先转化为除法，再依据她学习过的等式的性质，两边同乘以一个数，最终达成去分母的目标。第三步，移项，五年级学生已经学习过，而且比较熟练，因此，此处她省略掉一步，即14x-10+10=3+10，而直接得到14x=3+10。第四步，合并，本题中只涉及到数的合并，所以轻而易举地完成。第五步，系数化为1，这是小学学习过的。
对于合并，还会遇到不同类型的问题。比如图3中的6x+10.5x，图4中的16x-30x，要回到乘法的意义，然后利用加法对乘法的分配律求解。根据乘法的意义，“6x”即6个x，其他同理。因此“6个x”加“10.5个x”就是（6+10.5）个x，于是就有了6x+10.5x=（6+10.5）x，事实上就是加法对乘法的分配律的逆用，并且是在代数式中的应用，从具体数字运算的分配律到式的运算的分配律，并且是逆用，这都是基于对乘法意义的理解和灵活应用，这是一个难点，也是一个突破。
至于16x-30x=（16-30）x，五年级学生已经学习了负数的初步知识，稍加引导即可求解。
在该同学学习解一元一次方程的过程中，并没有按照由易到难的顺序安排，而是直接进入复杂问题。在转化策略的指导下，依据她的已有知识和经验，不断地将复杂问题转化为简单问题求解。
在前期学习过程中，还遇到过非常有趣的方程，但是都能用她所学过的知识加以解释，并最终解决。这样做最大的益处是提高了学生分析问题的能力。
该实验打破了图1的教学结构，但是看得出在求解过程中，该生的心理过程与结构是高度一致的。这说明，传统教材中的编排结构是符合学生的认知规律的，是经典的。但是这种经典的结构是否要用与之对应的经典的过程转移给学生呢？该实验表明，换一种方式也可以达成同样的目标。
项目学习实验教材的编写依据首先是课程标准。2011版《义务教育数学课程标准》对“一元一次方程”的要求是：
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
2.经历估计方程解的过程。
3.掌握等式的基本性质。
4.能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
对课标这样的要求，如何通过项目化学习实现呢？可以通过如下三步实现。
第一，将实际问题（即项目中的驱动问题）转化为方程问题，体会方程中蕴含的模型思想，并解释解方程的必要性。
第二，学生基于已有的知识经验自主探究解方程（一元一次方程），从而达到对具体问题的解决，完成关于实际问题的项目。
第三，提炼该项目中的数学元素，包括给出一元一次方程的概念，明确其定义，并归纳、概括求解策略和求解步骤，梳理求解依据，并进行适量训练，以巩固基本知识，熟练基本技能。
于是项目化学习中“一元一次方程”的编排结构应该如图5所示。
图5与图1相比，有如下特点。
第一，学生探究的空间较大，没有固定的规则与程式，学生的活动是基于基本知识进行分析转化，因此有利于学生进行相对完整的活动。对教材编写的要求设计好问题串，引导学生进行探究。
第二，整体输入和输出，以解决问题为主，注重策略的指导，但是不削弱数学的基本知识和技能。
第三，具有“双项目化”的功能，学生完成了一个实际问题的项目，在此基础上提出数学问题，通过抽象概括，梳理数学知识，并巩固应用，又是一个纯数学的项目实施过程。但这个纯数学的项目不是抽象的，有实际问题的项目奠基，学生在此处学习时，对其必要性和重要性的认识更深刻，因此有助于激发学生数学学习的热情。
第四，能有效地提高学生分析问题、解决问题的能力。
第五，能实现课程标准的要求。
一个实验似乎有些单薄，证据不足，但是这个案例也说明这种方法的可行性。囿于传统的经典的知识结构，是难以做出真正的项目的，所以编写项目学习实验教材关键是要“破”，破其外壳，存其内涵，以项目承载，以科学思想主宰。
基于意义的学习，是指基于概念的基本意义进行学习。从上述案例的分析可见，树立基于意义的学习的理念才能突破传统观念的束缚，才能实现项目学习。
基于意义的学习与基于规则的学习有什么异同呢？
传统结构对应的学习顺序，是先学规则，如等式的性质等，再应用规则解决问题，这是基于规则的学习。基于意义的学习，则跳过规则，直接根据概念的意义进行分析。
概念是基本的思维单位，是思维的起点，规则是由概念推演得出的。基于规则学习的优势是简洁，不足是其学习过程是“执行”命令。基于意义学习的优势是创新，不足是费时较多，但这样的学习正符合《义务教育数学课程标准》（2011版）提出的学生“应有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，特别是十大核心素养中指出的“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”。
基于意义的学习过程，由于没有既定的规则和程序要求，因此是“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，学生能更多地“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识” 。
如何实现基于意义的学习呢？
首先，要改变学生的学习价值观，学生的学习更重要的是成长，而不是收集装载知识技能。知识技能是载体，但不是最后的目标。
其次，要通过实验，寻求基于意义的数学教材“新结构”，在这个过程中，要勇于否定自我。
再次，寻找到适合项目学习的结构之后，要设计“任务群”，将“新结构”付诸现实，而且是面对学生群体学习的现实。
[关键词] 思想实验 麦克斯韦方程组 磁场
麦克斯韦方程组(Maxwell's equations)(积分、微分表达见右下图)是英国物理学家麦克斯韦(James Clerk Maxwell 1831 - 1879)在19世纪建立的描述电场与磁场的四个基本方程:电荷是如何产生电场的(高斯定理);验证了磁单极子的不存在(高斯磁场定律);电流和变化的电场是怎样产生磁场的(安培定律);变化的磁场如何产生电场的(法拉第电磁感应定律),人类从此走进了电磁波时代。对麦克斯韦方程组的科学意义、哲学思想、蕴涵的物理简单美、对称美、和谐美与统一美,相关论文都有全面系统的探讨,而我们常常忽略“思想实验”在麦克斯韦方程组诞生中的重要作用。
实验室条件下不能看到或不能直接感受的物理“现象”,只能通过人类的思想间接地“想象”它们,通过间接方法去捕捉它,这就是“思想实验”,麦克斯韦的思想实验就是一个最成功的例子。
一、特殊性
麦克斯韦方程组的特殊性在许多场合被广泛引以为据,同时,麦克斯韦方程组可以看作是物理学一个特殊的分界标志。一方面,它与经典物理学(牛顿力学、光学、热力学等)完全不同,它给现代社会带来的成果有目共睹;另一方面,它又被看成是古典意义的,以区别于相对论、量子力学等全新的现代物理学,这种特殊的地位使它具有一种历史性意义,需要文化意义的阐释。事实上,许多具有重要意义的物理概念总是在一种更广泛的文化意义上被重新阐释而被运用,比如,物理学中“场”的概念己渗透到人们的思想观念中,并在许多领域得到应用,格式塔心理学(Gestalt Psychology)的心理场(Psychological field)就是一例。
二、创造性
麦克斯韦工作的关键是著名的“位移电流(Displacement current)”的思想图像,即把变化的电场也看成为一种(以太)电流。在这以前,安培定律己表明,电流可以产生磁场,法拉第定律则表明,变化的磁场可以产生电场,但是受当时实验条件所限,实验物理学家都没有发现变化的电场可以产生磁场这样的事实。麦克斯韦不是实验物理学家,他在理论物理领域内工作,他的实验室是思想,他只须做思想实验。“位移电流”的思想实验脱离了具体实验环境的限制,让麦克斯韦在以前的安培公式中添加电场的变化率一项,完成了麦克斯韦方程组物理本质化的关键。由此我们可知,并不是麦克斯韦完全依靠数学演绎方法直接从库仓定律、安培定律、法拉第定律等数学表达式中推导得到了麦克斯韦方程组,而是首先用思想实验方法补充了安培公式,从而使以前几个相互没有内在统一性的电磁公式成为了具有本质性意义的麦克斯斯韦方程,成为了可以表达一种全新的物理对象的数学形式。在这个意义上,他是先于爱因斯坦和玻尔等人而创造性的进行缜密的思想实验的科学家。有关这方而的介绍可以参看列昂.库珀(L.N.Cooper 1972年诺贝尔物理学奖获得者)的《物理世界》(An introduction to the meaning and structure of physics)一书。
三、开拓性
当牛顿定律以一个简洁的方程式(F=Ma)表达了经典力的核心概念的时候,物理对象之间的关系是明白的、感性直观的――力就是物理对象之间的时空关系。比如气体中的分子虽然是肉眼看不见的,但人们仍然把它们当作可以看见的小粒状物体,就象在显微镜下可以看到的灰尘一样,但是场却是一种人类感官无法直接或(在感官感觉的意义上)间接感受的对象,但是人们仍然相信它的存在,除了人们在它的间接的物理效应中被证实以外,另一个主要的原因就是麦克斯韦方程组以优美的数学组合方式表达了电磁场,这是一种对事物的本质的表达,这表明,人类的理性思维和表达方式已经进入了了一个新的阶段,当然这种进步是最艰难的,量子力学的历史就充分说明了这一点,直到今天人们仍在殚精竭虑地去想象由波函数表达的“量子态”究竟是“什么”。
麦克斯韦方程组所具有的重要的物理学史的意义是,它开拓性的扩展了人们对物质的认识,形成了新的物质概念和世界观。
四、类似性
麦克斯韦的“位移电流”思想图像,使我们领悟到了西方科学思想中的“以太流”,虽然人们无法在现实事物中找到它,但在有效的思想实验中却无法没有它,这与中国古老的“气”的观念有着本质上的类似性。不同的是,“以太流”是数学与物理的统一本质,而“气”是人文意义的,是人与世界统一的观念形态,因此它们在自己适用的领域里都具有重要的文化价值,中文里“电气”一词的广泛使用,就是中西文化结合下对“气”这一词的最恰当的使用的例子。我们很难相象,如果没有“以太流”的思想形象,大量的最基本的现代数学物理概念,如矢量场、势、散度、张量……如何能够建立起来,又如何能被人们学习和得到真正的理解。至于“气”在中国文化中的意义就无须在此说了。
五、统一性
虽然我们现在已无法追踪麦克斯韦当时的具体思想过程,但是我们仍可以领悟到,一个成熟的物理思想与采用何种表达方式是无必然性,然而,我们不可否认麦克斯韦方程组揭示了电场与磁场相互转化中产生的对称性优美,这种优美以现代数学形式得到了充分的表达。这说明,真正的创造力来自于“思想实验”的性质和选择其表达方式的统一性。
麦克斯韦方程组以一种公理关系的方程组形式表达了电磁场的本质,其诞生的关键是“位移电流”的“思想实验”,这使我们领悟到思想形象与表达形式之间本质性的统一性在人类理性思想中的作用和它们的文化影响,突出表现了物理学进步的真正特征,同时给“思想实验”阐释提供了一个最适用的案例。
参考文献:
[1]列昂.库珀著.杨其方等译.物理世界.海洋出版社,1981.
[2]麦克斯韦著.戈革译.电磁通论.武汉出版社,1991.
关键词 数学 列方程 教学
方程作为一种重要的数学思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展学术素养有着非常重要的意义。
六年级(上册)“方程”单元教学内容的安排和数学的设计是在继承传统优势的基础上，从便教利学出发，着眼于学生继续学习，加强了学生的自主探索，注重学生对方程思想方法和价值的感受和体验。突破了传统教材先学解方程。再利用解方程来解决实际问题的做法，把列方程解决实际问题和解方程安排在一起进行教学，使学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程。教师在解读教材，研究教法，学法，具体教学中可从以下几个方面认真把握。
一、从促进学生有效地参与数学学习活动，提高学习效率出发，科学合理安排教学内容
六年级(上册)教科书“方程”单元安排了两个例题，通过这部分内容的教学，一方面可以使学生进一步感受方程的思想和方法，增强用方程方法解决问题的意识和能力，另一方面，也能使学生进一步积累解方程的经验，从而为后续学习打下基础。
教材为了让学生更好地参与数学活动，提高学习效率，把解方程和列方程解决实际问题的教学融为一体。同步进行，这是和以前教材不同的编排。这两道例题即教学解方程的思路和方法，和教学列方程的相等关系和技巧。这样编排，能较好地体现数学内容和现实生活的联系。一方面分析实际问题里的数量关系，抽象成方程，形成知识与技能的教学内容，提高了学生的求知欲望，触动他们好奇心，为了解决实际问题，还必须解这道方程，促使学生主动学习解方程。提供了学习的内容，也提供了学生自主探索的空间和进行数学活动的机会。另一方面，利用方程解决实际问题，使知识技能的教学具有现实意义，成为数学思考、解决问题、情感态度有效发展的载体。在解决问题的过程中，学生充分体会到列方程和解方程的实际意义，感受到解方程是解决问题的途径和必经过程，枯燥的知识技能教学变得有意义、有情趣、有价值。
二、从引导学生主动学习方程解法考虑，让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法
教材没有把解方程作为教学的重点，而是把列方程解决实际问题作为教学的主线，让学生在解决问题的过程中自主探索并掌握有关方程的解法。化复杂为简单、变未知为已知是人们解决新颖问题的常用策略。教师要鼓励学生自主解释并理解运算的依据，找出方法，从而初步掌握解法。突出转化的过程，鼓励学生独立求解，复杂方程转化成简单方程，使新知识植根于已有的经验和能力的基础上，启发学生结合题意检验方程。进一步理解并掌握解方程的完整过程。
练习过程中要先让学生说说解每道方程的第一步要怎样做，以及这样做的根据是什么，然后让学生独立完成。交流时，除了关注学生是否求得了正确的解，还要关注学生解方程的过程是否进行了检验。这样及时的练习使解方程的思路和方法得到了进一步巩固，也更好达成了解方程这个重要的教学目标。
三、从学生的实际思维和有利于学生发展的角度，正确看待解方程的不同思路和不同解法
能解方程和会解方程是学生的基本技能，也是学习能力。教师在帮助学生掌握教材提供的利用等式的性质解方程的基础上，教师要尊重学生解决问题的实际情况，尊重他们所看好的策略和方法，从有利于学生思维、有利于学生解决问题和有利于学生发展的角度出发，正确地对待学生不同的思考和运用不同的方法解方程。
既然让学生在列方程解决实际问题的过程中学习解方程，那么，解方程的学习也应该和数量关系的分析联系起来。学生根据不同的数量关系可以列出不同的方程，也反映出学生在解方程时也会有各自独到的思考过程，我们应该尊重不同的思考。并帮助他们理清思路。同时也让学生感受到解方程在解决实际问题过程中的价值。教学中，我们要充分尊重教材，领会教材的意图，帮助学生完成必需的学习任务。在此基础上，我们就要结合学生学习实际，从利于学生学习数学、利于发展学生数学思考，促进学生有效发展的角度，科学地、综合地、全面地考虑，通过创新教学，使教学真正扎实、有效和有可持续发展性。
四、从学生的数学体验和数学思想的渗透的高度思考，让学生在解方程和列方程解决实际问题的过程中感受方程的思想方法和价值
本册教材包括小数乘法、小数除法、小数四则混合运算和应用题、土地面积计算和简易方程。本册教材的重点是小数乘除法计算和简易方程，难点是小数除法和列方程解应用题。
小数乘法是整数乘法的扩展和延伸。当第二个因数是整数时，小数乘法的意义和整数乘法的意义相同；当第二个因数是纯小数时，小数乘法的意义有了扩展，就是求一个数的十分之几，百分之几，千分之几…….小数乘法的计算方法与整数乘法的计***算方法类似，只要掌握了积的小数点的定位方法，小数乘法的计算方法，应刃而解，为此教材应用积的变化规律，把小数乘法转化为整数乘法进行计算。
小数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算，小数除法的计算方法相对于小数乘法的计算方法则较为复杂。教材安排了两个层次进行教学：一是当除数是整数时，计算方法与整数计算方法相同，只要弄清商里小数点的定位问题即可。二是当除数是小数时，则根据商不变的性质，把它转化为除数是、整数的除法进行计算。
小数四则混合运算的运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同，通过教学和训练，提高学生计算的准确性和熟练程度，培养学生灵活***应用规律，简便合理的进行计算的能力。本册教材的应用题主要是整、小数的三步计算应用题。通过教学，让学生掌握分析应用题数量关系的基本方法，学会列综合式解答应用题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
土地面积计算，教材主要安排了直线的测定、测量和土地面积单位的认识、土地面积的计算等内容。通过实践操作，使学生掌握测量和的方法。
简易方程是让学生掌握一些简单的代数知识，学会用字母表示数，表示常见的数量关系、运算定律、平面图形的面积和周长计算公式等，理解方程的意义，学会接需两、三不计算的 方程，并能列方程解应用题。通过两种方法的比较，体会到用方程解应用题的优越性，渗透数学思想。
二、学生情况的分析
本年级有300名学生。从能力上看，大部分学生能够较好的接受课本上的新知识，勇于发表自己的意见，听取和尊重别人的意见，独立思考，掌握学法，大胆实践，并能自评、自检和自改。也有少数同学在解法上表现出自己独到的见解，但存在的问题也有不少，如个别同学接受能力差或主动性不强，需要在教学中加以引导。还有个别学生比较聪明，但学习不勤奋，成绩不理想。此外，在创造性方面也还需要进一步加强。
三、教学目标G
1、掌握小数乘除法的计算方法，能比较熟练地进行计算。会用四舍五入法取积和商的近似数。
2、掌握小数四则混合运算的运算顺序，并能正确地进行计算。
3、会用分步列式或列综合式解答整数、小数的三步计算应用题。
4、会用简单的测量工具或步测、目测测定直线，认识土地面积单位，并能进行简单的土地面积计算。
5、能够用字母表示数，表示常见的数量关系，运算定律和公式，初步理解方程的意义，会解简易方程，会列方程解应用题。
6、会使用计算器。
四、教学措施
在教学中不仅要使学生扎实的掌握每一个知识点，同时还要注重学生情感的发展，把数学自身的特点和学生的学习规律有机的结合起来，必须做到以下几点：
1、加强学习目的性教育，充分挖掘学生的潜能，发挥学生的主体作用。
2、增强学生的动手实践能力，培养学生的空间观念。
3、加强个别辅导，提高学困生的成绩。对学困生要付出更多的关心和爱心，作业适当降低要求。
4、多创设学习情景，大胆放手让学生自学，解疑问难，发展学生的个性特长。
5、注意加强数学与实际生活的联系，让学生在生活中解决数学问题，感受、体验、理解数学。
五、教学进度表
周次起讫
江苏“课程标准”中对导数部分的要求是：一、了解导数的概念及几何意义；二、理解导数的定义，了解函数的单调性与导数的关系，包括求函数的极值、单调区间及判定函数的单调性等；三、导数在实际生活中的应用.根据课程标准要求及本人在教学中了解的学生的学习情况，提出在复习过程中的几点想法：
一、注重导数的几何意义
导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于对其几何意义的正确理解.
例1 （2008江苏8）直线y=1[]2x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝.
解析 求曲线的切线（包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况）为主要内容，求切线方程的难点在于分清“过点(x0,y0)的切线”与“点(x0,y0)处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里：在过点(x0,y0)的切线中，点(x0,y0)不一定是切点，点(x0,y0)也不一定不在切线上；而点(x0,y0)处的切线，必以点(x0,y0)为切点，则此时切线的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切线方程的常见方法有：①数形结合.②将直线方程代入曲线方程利用判别式.③利用导数的几何意义.
二、强化导数的基本运算及简单应用
导数的基本运算是导数应用（单调性、极值、最值）的基础，是高考重点考查的对象，考查的方式以填空题为主.
例2 （2009江苏3）函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.
解析 对于导数的复习，应该立足基础知识和基本方法，应注意以下几点：
（1）在求导过程中要紧扣求导法则，联系基本函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要注意适当恒等变形.（2）用导数法研究函数的单调性、极值及最值时要特别注意函数的定义域，因为一个函数的导数的定义域可能和这个函数的定义域不相同.（3）近年高考中经常出现以三次函数为背景的问题，复习中应加以重视.
三、加强利用导数研究函数性质问题的研究
运用导数的有关知识，研究函数的性质是历年高考的热点问题.高考试题常以解答题形式出现，主要考查利用导数为工具解决函数、方程及不等式有关的综合问题，题目较难.
例3 （2011江苏19）已知a，b是实数，函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是f(x),g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间Ⅰ上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间Ⅰ上单调性一致.
（1）设a>0，若函数f(x)和g(x)在区间［-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围；
（2）设a
解析 这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题.解决极值、极值点问题转化为研究函数的单调性，参数的取值范围转化为解不等式的问题，有时须要借助于方程的理论来解决，从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想.
四、运用导数解决实际问题
近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力.实际应用问题的考查将是高考的又一热点.
例4 （2010江苏）将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长）2[]梯形的面积,则S的最小值是.
解析 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的教学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）.
通过以上考点回顾和热点分析，我们在导数的复习备考中须要注意以下几个问题：
1.要把导数的复习放在函数大背景下来复习.同时注意定义域优先、函数方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、恒不等式问题常见处理方法，等等.
2.要用好导数工具.要对已知函数进行正确求导，特别注意的是分式、对数式、复合函数的求导，一定要对求导的结果进行演算之后再进行下一步的运算.
关键词 数学物理方程 教学实践 教学方法 教学效果
中图分类号：G424 文献标识码：A
Abstract "Mathematical physics equations" many science and engineering is an important foundation for professional courses to enhance students' scientific quality has far-reaching significance. In teaching practice， the authors focus on mobilizing the enthusiasm of students， improve the quality of teaching students the ability to continuously explore teaching teachings， lessons learned. In this article， the terms of teaching content， teaching methods and teaching methods， etc. Some experience summarized.
Key words Mathematical Physics Equations； teaching practice； teaching methods； teaching effects
数学物理方程是从物理问题中导出的反映客观物理量在空间和时间上相互制约关系的偏微分方程（有时也包括常微分方程和积分方程），是物理过程的数学表达式。①众多理工学科的本质问题都可归属于对相应的数学物理方程的研究，因此，数学物理方程是理工专业的一门重要的基础课和必修课。该课程以偏微分方程作为研究对象，把数学理论、求解方法和物理实际紧密融合在一起。通过应用物理定律对实际的物理问题建立数学模型，培养学生用数学语言描述物理问题的能力；通过学习典型的数学物理方程的求解，为学生储备解决实际物理问题的数学技能；通过对数学过程和物理意义的深入剖析，让学生体会到形式与内容的统一、科学内在的美。因而，这门课程的开设，不仅为后续专业课的学习奠定了必要的数学知识，而且提升了学生的数学物理素质，对学生将来进一步开展科学研究具有重要而深远的意义。然而，由于课程不仅涉及知识面广，包含了高等数学、线性代数、复变函数、常微分方程、积分变换、和物理学中力热光电等知识，而且有大量的繁琐数学推导，求解结果通常又是复杂的级数或者积分形式，其中又使用了三角函数或者特殊函数来表示，往往让学生倍感枯燥、产生畏惧情绪，是一门公认的较难课程。尤其对我们电信院学生来说，这门难学课程又是学习后续的电波传播、电磁场理论、微波技术等其它几门公认难学课程的起点和基石，教师教好这门课程、学生学好这门课程显得尤为重要。如何改进教学教法，提高学生学习的兴趣，调动学生学习的能动性，是教师所面临的一项重要课题。笔者借鉴他人的教改经验，在教学实践中，从教学内容、教学方法和教学手段等多方面进行了一些有益探索，并取得了良好的教学效果。
1 突出教学重点和注意教学方法
数学物理方程这门课程具有内容多、难度大，而课时较少的特点，这就需要教师根据教学目的和教学要求全面把握教学内容、突出教学重点。该课程的主要内容是具有典型意义的三类偏微分方程的建立，以及分离变量法、行波法、积分变换法和格林函数法几种典型的求解方法，因此，教师教学需要围绕这些内容展开，突出教学重点，让学生在学习三类方程建立和求解的过程中来逐渐掌握偏微分方程的基本理论。
注意循序渐进安排教学内容，便于学生对知识的理解和掌握，可以取得事半功倍的效果。例如，讲解利用分离变量法求解两端固定弦的自由振动方程后，可以引导学生思考，这种方法是否也能求解热传导方程和拉普拉斯方程？通过适当练习，学生能够掌握具有第一类其次边界条件的偏微分方程的分离变量解法。再进一步引导学生思考，如果是第二类和第三类边界条件，利用分离变量法求解，解的形式会是怎样？经过分析和练习，学生能够举一反三，熟练掌握分离变量法，并能深刻理解本征函数。在此基础上，学习非齐次方程求解时，学生很容易地联想到本征值和本征函数，培养了学生应用知识的能力。
注意前后知识点的内在逻辑性、突出知识体系的连续性和系统性，有利于学生形成自己的知识结构。学生在学习两类特殊函数时，容易迷失在繁琐的数学推导中。授课时，我们结合简单的专业研究现象来引导学生，对于大家常见的柱状天线和球形天线，假如它们发射的电波满足前面所学的第一、二或三类边界条件，该如何进行分离变量求解从而知道电波的传播和分布呢？从而很自然引入球坐标系和柱坐标系下偏微分方程的表达形式，并类比前面所学知识，进行变量分离，对每个分离后的微分方程寻找本征函数，勒让德多项式和贝塞尔函数分别是相应微分方程的本征函数而已。这样，通过分离变量和本征函数的数学和物理思想，把前后知识融为一体，让学生把厚书读薄，牢固掌握。
注意知识的归纳总结，增强学生分析和解决问题的能力。尽管该课程教学课时紧，但是花少许时间对所学知识进行归纳和归纳总结，会产生良好的教学效果。在教学的不同阶段，可就三类方程、或者四种求解方法、或者不同的类型边界条件、或者不同坐标系下解的特点的角度，分别进行对比总结，提高学生的分辨能力和求解技能。再如，在教学中，我们发现有部分学生容易把球坐标系中轴对称静态问题和柱坐标系中圆域的Dirichlet问题容易混淆，经过教学总结，考试检查中几乎不再有学生犯这类错误了。
2 数学过程和物理意义并重
数学物理方程的教学中，肯定避免不了繁多的数学推导和冗长的求解过程，然而，如果教师仅限于清楚讲授数学过程和数学技巧，可能会使学生感到枯燥，失去对这门课程的好奇心和学习的兴趣，尤其是在授课的早期阶段、学生刚学习这门课程的时候。在教学过程中，注重从实际物理问题出发，利用物理规律和物理背景建立起数学物理方程，而且阐明数学过程和数学结果中的物理含义，从而使学生从数学的抽象思维中获得感性的认识，便于学生理解，让这门课程真正起到培养学生利用数学知识解决实际物理问题的能力的作用。
在教学过程中，我们结合学生专业特点以及可能继续攻博的情况，深化了物理过程和物理意义的教学，注重理论学习联系实际应用。例如，面对众多Fourier变化性质，我们逐一解释在电路、电波和通讯领域的应用，学生都表现出浓厚的兴趣，能很快理解和掌握这些性质。对于包括自然边界条件在内的各类边界条件，阐明在电磁场研究中的具体形式及其物理含义，并明确告诉学生，后续学习的电波理论和微波技术等课程，实质上就是求解Maxwell偏微分方程组在不同初始条件和边界条件下的解。结合球形天线和柱形天线，以及电波在大气中的Mie散射等实际问题，让学生认识到为什么要在球坐标系下和柱坐标系下研究数学物理方程以及研究的重要性。对于方程的级数解和积分解等各种形式解的物理意义，我们都不惜深究，同时，向学生指明，这种从实际物理问题到数学建模求解，再从方程数学解回到实际的物理世界和物理意义的研究模式，实际上也是未来大家做学问的常用模式，不仅要习惯这种研究模式，而且要善于运用这种研究模式。通过这种结合物理、联系实际的教学，我们感到学生没有被大量的数学推导模糊视野，非常热爱学习这门课程，下课后经常有大量的学生围绕教师饶有兴趣地开展讨论，久久不愿离去。
在教学中，我们注重厘清数学和物理的内在关系，让学生认识到该课程所体现的数学和物理的高度统一。例如，客观上，物理量的演变不仅受到物理规律的支配，还与物理量在周围空间分布和上一时刻状态有关，对应于数学上，描述为偏微分方程和边界条件、初始条件。再如，对初学分离变量法求解两端固定弦自由振动方程获得的级数解的深入分析。振动产生波，波是大家熟知的物质世界的一种运动形式。对于两端固定的弦，弦的长度、线密度等固有因素，决定了弦振动的快慢即波动周期；同时，波速取决于介质属性，或者说弦的固有因素也决定了波速，这就意味着波长也是确定的；表示波动的数学形式是三角函数，用数学语言来说，就是方程的本征值和本征函数是确定的。那么，对于弦振动方程的求解，实质上就是要确定弦中允许存在的一系列波谱成分的强度，具体由弦初始位移和初始速度中相应谱成分决定，换成数学语言，解是三角函数的级数和，要计算的就是三角函数的系数，具体值由两个初始条件做Fourier级数展开求得。因此，是客观世界的运动特征决定了解的数学表达形式，或者说，解的数学表达形式是对客观世界运动特征的恰当描述。对非齐次边界条件和非齐次方程的解、达朗贝尔解、积分解等各种形式的解，做类似的数学和物理分析，从而，引导学生认识到，偏微分方程的求解通常是很困难的，一般很难找到一个较简单的解析式解，我们的求解过程是物理和数学的高度统一，是数学和物理的和谐美，培养学生的鉴赏能力、科学素养和学习激情。
3 传统和现代教学手段并用
教学过程，在传统的粉笔板书的基础上，灵活采用多种现代化教学手段，提高教学效果。传统的板书教学方式，推导过程清楚直观，便于对重难点进行突破。虽然授课速度较慢，但对于接受新知识的学生来说，留有较充足的时间思考，印象深刻，便于课堂上消化所学知识。在课堂教学中，我们仍然以传统的黑板板书为主要教学方式，继续发挥传统教学方式的优势。此外，尽管是大学教学，黑板板书也应该尽量避免随意性，对板书内容和板书模式、课前根据教学内容和要求做好精心设计，条理清晰，利于学生学习。
同时，灵活应用现代化的多媒体手段进行辅助教学。对于一些背景知识、归纳总结、非重点教学内容的定理和推导、以及部分教师扩展的教学内容，适合电子课件教学。充分利用Matlab和Maple等教学软件，②发挥多媒体声、图和动画视频等优势，把物理情景和物理过程形象地展示出来，既丰富了课堂，又加深了学生的理解。而且，我们鼓励学生自己动手编程，对物理过程进行分和仿真，例如，有学生用动画展示和比较了弦振动方程在三类边界条件下的解，有学生成功模拟了柱坐标系中柱面波的传播、反射和衍射等现象。现代化的教学手段，深受学生欢迎。
总之，充分认识到数学物理方程这门课程的重要性，根据课程的特点，在教学实践中，我们始终以夯实学生基础、培养学生能力为目标，在激发学生学习兴趣、提升教学质量上下足功夫，不断探索和总结教学方法，取得了良好的成绩。时代在发展，社会在进步，知识在更新，教学无止境，需要我们教师相互学习、相互探讨，坚持教学改革，为培养优秀人才而不断努力。
注释
（一） 数与代数方面
本册教材安排了小数乘法，小数除法和简易方程。小数乘法和除法是在学生掌握了整数的四则运算、小数的意义和性质以及小数加减法的基础上进行教学，继续培养学生小数的四则运算能力。简易方程中有用字母表示数、等式的性质、解简单的方程、用方程表示等量关系进而解决简单的实际问题等内容，进一步发展学生的抽象思维能力，提高解决问题的能力。
（二）在空间与图形方面，安排了观察物体和多边形的面积两个单元。在已有知识和经验的基础上，探索并体会各种图形的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式及公式之间的关系，渗透平移、旋转、转化的数学思想方法，促进学生空间观念的进一步发展。
（三）在统计与概率方面，本册教材让学生学习有关可能性和中位数的知识。通过操作与实验，让学生体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性，学会求一些事件发生的可能性；在平均数的基础上教学中位数。
（四）在用数学解决问题方面， 教材一方面结合小数乘法和除法两个单元，教学用所学的乘除法计算知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，通过观察、猜测、实验、推理等活动，培养他们探索数学问题的兴趣和发现、欣赏数学美的意识。
（五）本册教材还安排了两个数学综合应用的实践活动，让学生通过小组合作的探索活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养数学意识和实践能力。
二、教学重点
小数乘法、除法，简易方程，多边形的面积，统计与可能性等是本册教材的重点教学内容。
三、教学难点
理解小数乘、除法的算理，理解用字母表示数的意义，理解用字母表示数的公式，理解方程的意义及等式的基本性质，根据题意分析数量间的相等关系，理解多边行面积公式的推导过程。
四、教学目标
1、使学生在理解小数的意义和性质的基础上。比较熟练地进行小数乘法和小数除法的笔算和简算。
2、使学生学会用字母表示数，表示常见的数量关系，初步理解方程的含义，会解简易方程。3、探索并掌握平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式，会计算它们的面积。
4、能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对公式。
5、理解中位数的意义，会求数据的中位数。
6、体验事件发生的等可能性以及游戏规则的公平，会求一些事件发生的可能性；能对简单事件发生的可能性作出预测，进一步体会概率在现实生活中的作用。培养学生的环保意识，争做环保小卫士，向周边的居民宣传有关禁毒知识，做禁毒宣传的小能手。
7、经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程。体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。
8、初步了解数字编码的思想方法，培养发现生活中数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。
关键词 圆；切线；转化；化归；参数；平移
众所周知过已知圆圆上一点有且只有一条切线，而且可以利用公式直接写切线方程。那么，过圆x-a■+y-b■=r■ 外一点 px■，y■作圆的切线有两条，如何求切线方程呢？下面以一道习题来分析：
例：从点 p-2，-1向圆x■+y■-4x+2y+1=0引切线，求切点坐标与切线方程。
解法一：判别式法。不妨设切线的斜率存在，记作k ，
那么过点 p-2，-1 的直线方程为：y+1=kx+2，
由y+1=kx+2 x■-4x+y+1■=0，得1+k■x■+4k■-1x+4k■=0
由直线与圆相切有，=16k■-1-16k■1+k■=0，解得k=±■
此时切点的横坐标为x=-■=1，将x=1代入圆的方程，解得y=-1+■，
即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ 。
将k=±■代入，得两条切线方程为：x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。
点评：此法从相切的定义得到（有且只有一个公共点）。但要注意，若求得的k值只有一个，再验证斜率不存在且过点p-2，-1的直线是否为切线。
解法二：几何法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，圆心C（2，-1）。设切线的斜率为k （存在时），则过点p-2，-1的直线方程为y+1=kx+2，即y-kx-2k+1=0。由平面几何知识，圆心 C（2，-1）到切线的距离等于圆半径，所以d=■=2。解得k=±■。将k=±■代入切线方程，得两条切线方程为 x-■y+2-■=0，x+■y+2+■=0。将切线方程y+1=±■（x+2） 代入圆的方程，得x-2■+■x+2■=4，解得x=1，再代入切线方程，得y=-1±■ ，所以切点坐标为-1，-1+■，1，-1-■。
点评：利用相切的几何意义（圆心到直线距离等于半径）。若求得的 值只有一个，再验证斜率不存在且过点 p-2，-1的直线是否为切线。就求切线方程而言，较解法一可减少运算量，值得重视。当然法一，法二都是我们最容易想到的方法。
解法三：转化与化归法。设切点坐标为A（x1，y1），为圆上一点那么利用公式得过点A的圆的切线方程为：x■x+y■y-2x+x■+y+y■+1=0
因为切线过点p-2，-1，所以-2x■-y■+4-2x■-1+y■+1=0，解得x1=1，
代入圆的方程，解得y1=-1+■或 y1=-1-■。
所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■ ，
所以切线方程为：x-■y+2-■=0或x+■y+2+■=0。
解法四：参数法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，故可设切点坐标为2+2cos？兹，-1+2sin？兹，？兹∈[0，2？仔）， 则切线方程为 x-2·2cos？兹+y+1·2sin？兹=4。因为切线过点p-2，-1，代入切线方程，得-8cos？兹=4 ，所以cos？兹=-■，sin？兹=±■。所以切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为 x-■y+2-■=0或 x+■y+2+■=0。
点评：若出Acos？兹+Bsin？兹=C 型，可将Acos？兹移到右边，再两边平方求解。
解法五：平移转化法。圆的方程化为x-2■+y+1■=4，将圆和点 p-2，-1同时按向量■=（-2，1）平移（x'=x-2，y'=y+1，从而 ，x=x'+2，y=y'-1），得到的图形所对应的方程为 x2+y2=4（改写后）和点p（-4，0）。设此时切点坐标为（x0，y0），则切线方程为xx■+yy■=4，因其过点p（-4，0），所以-4x■=4，x■=-1 。将x■=-1代入圆的方程 x2+y2=4解得y0=±■，所以切线方程为x±■y+4=0 （即切线方程为x'±■y'+4=0 ），切点为-1，±■。再将所得的切线和切点按向量-■=（2，-1）平移，得到所要求的切点坐标为1，-1±■ ，切线方程为x-2 ±■y+1+4=0，即切点坐标为1，-1+■，1，-1-■，切线方程为x-■y+2-■=0 或x+■y+2+■=0 。
关键词：定义解题；抛物线
中图分类号：G40 文献标识码：A 文章编号：1006-4117（2012）02-0269-02
定义是必须掌握的基础知识，也是解决问题的重要工具，用定义解题，可以变繁为简，起到事半功倍的效果。
要灵活运用抛物线的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。利用定义寻找等量关系使得求抛物线方程简便易行。
要求抛物线的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定它们与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，开口向哪，以判断方程的形式；“定量”是指P的具体数值，常用待定系数法.
“回归定义”是一种重要的解题策略，要培养用定义解题的意识，特别在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解题。
要准确把握抛物线的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从它的标准方程读出几何性质，更要能够利用标准方程解决问题。
“看到准线想焦点，看到焦点想准线”从而获得简捷直观的求解，“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径。
一、求最值
例1.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）
例2.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点 作倾角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则
例3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F是焦点．
（1）求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线X=-1的距离之和的最小值；
（2）若B点的坐标为（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．
解析：（1）如图1，易知抛物线的焦点为 ，准线是X=-1．由抛物线的定义知：点P到直线X=-1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，连结 交抛物线于P点．
点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化，再利用平面几何中的知识，使问题获解。
二、求曲线的方程
例1圆心在抛物线 上且与x轴及抛物线的准线都相切，求该圆的方程．
点评：本题利用抛物线的定义，可知切点与焦点重合，从而确定了点的坐标，使问题的求解变的很顺畅．定义法是求轨迹问题的重要方法之一.
三、确定方程的曲线
点评：本题若直接化简方程，再判断其轨迹较繁杂，根据方程两边所表示的几何意义，利用抛物线的定义则简单易行．
四、探究证明
点评：数形结合的数学思想方法在解析几何中有很多的应用，在学习中，学生要善于把已知条件转化成图形中量与量的数量关系及其位置关系，再由图形去研究问题。
作者单位：三门峡市实验高中
参考文献:
