时间：2023-05-30 10:44:22
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇周期函数，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
关键词： 周期函数 题解 应用 周期性
设f（x）是定义在某一数集D上的函数，若存在一常数T（T≠0），具有性质：（1）?坌x∈D，有x±T∈D;（2）?坌x∈D，有f（x±T）=f（x）.那么称T为f（x）的一个周期.如果所有正周期中有一个最小的，称它为函数f（x）的最小正周期.
一、求函数的周期
引理1：若周期函数f（x）有最小正周期T，则kf（x）+c（k≠0），1/f（x）也有最小正周期T；函数f（ax+b）（a≠0）有最小正周期T/|a|.
例1.求y=tgx+ctg2x的最小正周期
分析：将函数解析式化为只含有一个三角函数式的形式，再求最小正周期.
解：y=tgx+ctg2x=sinx/cosx+cos2x/sin2x=cos（x-2x）/cosxsin2x=1/sin2x
函数y=sinx的最小正周期为2π
函数y=sin2x的最小正周期为π
函数y=1/sin2x的最小正周期为π
故函数y=tgx+ctg2x的最小正周期为π
由例1可知解这类问题的一般方法是将解析式化为只含有一个三角函数的形式，通过三角函数的周期，求所给函数的周期.
二、求函数的定义域
引理2：若f（x）有最小正周期T，则f（x）的任何正周期T一定是T的整数倍.
例2.求函数y=1/（1+tgx）的定义域
分析：分式有意义的条件是分母不为零，还要注意正切函数本身要有意义.
解：要使函数y=1/（1+tgx）有意义，则1+tgx≠0且x≠kπ+π/2（k∈Z）
要使1+tgx≠0即tgx≠-1，
又函数y=tgx的周期是π
在（-π/2，π/2）内，x≠π/4
x≠kπ+π/4（K∈Z）
故函数y=1/（1+tgx）的定义域为{x|x∈R，且x≠kπ+π/4，x≠kπ+π/2，k∈Z}.
因为周期函数在定义域内形态呈周期变化，所以研究这种函数时，不必分析其整个定义域内的情况，而只需在一个定义域内讨论特解.
引理3：如果f（x）是g（x）定义在同一个集合M上的周期函数，周期分别为T和T，且T/T=a，而a是有理数，则它们的和、差、积也是周期函数，且T和T的公倍数为其一个周期.
三、求函数的极值
例3.求函数y=1+sinx+cosx+sinxcosx的最大值
解：设函数y=sinx+cosx，y=sinxcosx
y=sinx+cosx=cos（x-π/4）
y的周期是T=2π
当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y有最大值
有y=sinxcosx=sin2x/2，y的周期T=π
当x=kπ（k∈Z）时，y有最大值1/2
又T与T的公倍数为2π
由上述定理可知，2π是函数y=1+y+y的一个周期，而在［0，2π］内，y、y都只有一个最大值点x=π/4
当x=2kπ+π/4（k∈Z）时，y=1+y+y=（3+2）/2
四、解方程
例4.解方程tg10x+tg2x=0
解:设y=tg10x，y=tg2x，则他们的最小正周期分别为T=π/10、T=π/2
由上述引理可知，它们的最小公倍数π/2就是函数y=tg10x+tg2x的一个周期.在［0，π/2］内，方程无意义的点的集合是M={π/20，3π/20，π/4，7π/20，9π/20}
将方程改写为tg10x=tg（-2x）
10x=k-2x，即x=kπ/12（k∈Z）
当k取0，1，2，3，4，5，6时，x在［0，π/2］上的值分别为0，π/12，π/6，π/4，π/3，5π/12，π/2，但π/4∈M，故不能是方程的根.
原方程的根是x=nπ/2+kπ（0≤k≤6，k≠3，k∈Z，n∈Z）
五、解不等式
例5.解不等式cos3x+2cosx≤0
解：cos3x+2cosx=2cos2xcosx+cosx=cosx（2cos2x+1）≤0
由cosx=0，得x=kπ+π/2（k∈Z）
由（2cos2x+1）=0得x=kπ±π/3（k∈Z）
又y=cosx的周期T=2π，y=2cos2x+1的周期T=π，它们的最小公倍数2π，故在［0，2π］上，cosx=0的根为π/2，3π/2；（2cos2x+1）=0的根为π/3，，2π/3，4π/3，5π/3，所以cos3x+2cosx=0在［0，2π］有6个根，它们分别为π/2，3π/2，π/3，2π/3，4π/3，5π/3故不等式的解集为：
M={x|2kπ+π/3≤x≤2kπ+π/2}∪{x|2kπ+2π/3≤x≤2kπ+4π/3}∪{x|2kπ+3π/2≤x≤2kπ+5π/3}（k∈Z）
从以上几类可以知道，从三角形的周期性解决数学问题，借助三角形周期性这一特殊性质可以解决相关数学问题并且使之简单化，所以当我们利用三角形函数周期性解决这些问题时，前提是必须理解和掌握三角形的周期性.
参考文献：
［1］姚伟国.用图像法巧求三角函数的周期［J］.职业技术教育，1999，（04）.
关键词：函数周期性；设计；说明
1.教学目标
（1）知识目标。理解周期函数的概念，会判断一些简单的周期函数的图象；并会用定义法、图象法及先求后验法求三角函数的周期。
（2）能力目标。①培养学生从特殊到一般的归纳猜想的能力；②培养学生的看图识图能力。
（3）情感目标。①培养学生专注的学习态度，提高观察、抽象能力；②激励学生敢于尝试，独立思考，勇于探索创新，提高学生的数学素养。
2.教学重点
周期函数的定义和三角函数的周期性。
3.教学难点
周期函数的概念是本节的难点，通过实例分析来认识周期和周期函数。
4.方法与手段
采用“引导发现法”：结合一些具体事例，引导学生发现周期性的特征，概括周期函数的概念；学习周期函数定义后，引导学生认真观察和识别周期函数的图象特征；通过实例分析引导学生逐步发现其规律，进而抽象归纳出三角函数周期公式。
5.教学过程
（1）创设情境，引入新课。周期函数是描述现实世界“周而复始”与“因果关系” 的一种数学模型。
（2）尝试定义，巩固深化。问1：三角函数线的定义。若记f（x）=sinx，则对于任意x∈R，都有f（x+2kπ）=f（x）。总结：正弦函数、余弦函数所具有的这种性质称为周期性。问2：请同学们给周期函数下个定义。
（3）周期函数的定义。①巩固概念。x=―时，sin（x+―π）≠sinx， 则x=― 一定不是y=sinx的周期。②深化概念。问题：单位圆中三角函数线说明2π是f（x）=sinx（x∈R）周期，周期唯一吗？sin（x+2kπ）=sinx， （k∈Z）。③知识迁移，学以致用。例：见课本上的钟摆例题。问：是否每个周期函数都有最小正周期？④猜想与探究。引例： 求函数的周期。变题1： f（x）=cos（x+
―）+2。变题2：f（x）=cos（2x）。变题3：自变类题。变题4： f（x）= |cosx|。变题5： f（x）=|cosx|+|sinx|。⑤课堂小结。A.两个定义：周期函数、最小正周期。B.四个方法： 定义法、公式法、图象法 及先求后证法求周期。C.三个思想：数形结合、特殊到一般、先猜后证。
6.教学设计说明
（1）指导思想。遵循“教师为主导，学生为主体，训练为主线，培养能力为核心”的原则设计本节课，教学中强调以学生为主，以学生探索和实践为主要形式，鼓励学生积极参与。
（2）教材分析。函数周期性是函数不可或缺的部分，首先，函数的周期性有着较为广泛的实际应用，较能体现“数学来源于实际，又服务于实际”的辩证唯物主义观点；其次，函数的周期性是函数的重要性质之一，很多知识都与周期性有着密切的联系，可以强化数学知识的内在沟通与联系，可以培养学生综合运用知识解决问题的能力。
（3）学习目标的确定。本节课的教学目标是根据教学大纲的要求，结合学生的实际情况，从知识教学、能力培养、情感教育三方面来确定的，力求提高学生能力，促进思维的发展。
（4）教学方法。为了调动学生学习的积极性，变被动学习为主动学习，我采用了“引导发现法”，通过一些具体事例，通过“观察―分析―抽象―归纳”的思维途径，锻炼和发展学生思维。
（5）过程分析。着重讲三方面：首先，重点突破周期函数的概念。第一步，我通过引入情境1让学生了解周期性，通过引入情境2，引导学生探究数学问题，利用几何动画使学生发现三角函数线呈周期变化，激发学生强烈的好奇心，让学生进入一种积极状态。第二步，是通过辨析情境1与情境2分别从数和形两个角度来举例，让学生对定义的关键词如“任意”“存在”等加以理解，以及通过图象求周期、周期个数、最小正周期；通过分析，让学生加深对定义的理解和把握。
参考文献：
1.f(x)=f(x+T)型
若f（x+a）=f(x+T)，则f(x)的周期为T。若对于x取定义域内的任意一个值，都有f(x)=f(x+T)，则f(x)是周期函数，T为函数f(x)的周期。这是函数具有周期性的定义。
2.f(x+a)=－f(x)型
若f（x+a）=-f（x），则f(x)为周期函数，且周期为2a。证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－f(x+a)=－［－f(x)］=f(x)。
3.f(x+a)=f(x+b)型
若f（x+a）=f（x+b），则f(x)为周期函数，且周期为|b－a|。证明：f(x)=f［(x－a)+a］=f［(x－a)+b］=f［x+(b－a)］。
4、f(x+a)=－1f(x)型
若f(x+a)=－1f(x)，则 f(x)为周期函数，且周期为2a。证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－1f(x+a)
=－1－1f(x)=f(x)。
5.f(x+a)=1f(x)型
若f(x+a)=1f(x)，则f(x)为周期函数，且周期为2a。
证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1f(x+a)
=11f(x)=f(x)。
6.f(x+a)=1+f(x)1－f(x)型
若f(x+a)=1+f(x)1－f(x)，则f(x)的周期为4a。
证明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1+f(x+a)1－f(x+a)
=1+1+f(x)1－f(x)1－1+f(x)1－f(x)=－1f(x)，
f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=－1f(x+2a)
=－1－1f(x)=f(x)。
7.关于两线对称型
若函数f(x)关于直线x=a,x=b对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是2|a－b|。
证明：由f(x)关于x=a对称，则f(2a－x)=f(x),由f(x)关于x=b对称，则f(2b－x)=f(x),
f(x)=f(2a－x)=f［2b－(2a－x)］=f［(2b－2a)+x］。
8.关于一点一线对称型
若函数f(x)关于直线x=a及点(b,0)对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是4|a－b|。
证明：由f(x)关于x=a对称，则f(2a－x)=f(x),由f(x)关于点(b，0）对称，则f(2b－x)=－f(x),
f(x)=f(2a－x)=－f［2b－(2a－x)］,
即f［(2b－2a)+x］=－f(x)。
由f(x+a)=－f(x)型的证明过程可知，函数f(x)的周期是4|a－b|。
9.关于两点对称型
若函数f(x)关于点(a,0)及点(b,0)对称，则函数f(x)为周期函数，且周期是2|a－b|。
证明：由f(x)关于点(a，0）对称，
则f(2a－x)=－f(x),
由f(x)关于点(b，0）对称，
则f(2b－x)=－f(x),
一、函数的对称性
1.函数满足时,函数的图像关于直线对称。
二、周期性
1.一般的,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
三、对称性和周期性之间的联系
1.函数y=f(x)有两条对称轴x=a,x=b时,那么该函数必是周期函数,且对称轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
(函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(a≠b),则函数y=f(x)是周期函数。)
2.函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=c和f(b+x)+f(b-x)=c(a≠b)时,函数y=f(x)是周期函数。
倍,是函数的一个周期。特别当c=0时,函数在x轴上有两个对称点(a,0)、(b,0),此时函数为周期函数)。
四、知识运用
例1.(2009全国Ⅰ)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则(?摇?摇?摇?摇)
(A)f(x)是偶函数?摇(B)f(x)是奇函数?摇(C)f(x)=f(x+2)?摇(D)f(x+3)是奇函数
解:f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),
函数f(x)关于点(1,0)及点(-1,0)对称,函数f(x)是周期T=2[1-(-1)]=4的周期函数,f(-x-1+4)=-f(x-1+4),f(-x+3)=-f(x+3),即f(x+3)是奇函数。故选D。
例2.(2009山东理)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若【解析】:因为定义在R上的奇函数满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(-x),所以函数图像关于直线x=2对称。又函数f(x)为奇函数,且x=0是定义域内的一个值,因此f(0)=0。又由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,因此f(x)在区间[-2,0]上也是增函数。又由于f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),因此函数是以8答案为-8。
1. 函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
5.
方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
6.
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
7.
(1) (a0,a≠1,b0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a0,a≠1,b0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a log a N= N ( a0,a≠1,N
8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
关键词：数学教学 中学生 发展思维 探索
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）02-0100-02
函数是中学数学的重点内容，而抽象函数因其解析式的不具体而成为函数内容的难点之一，但因其又能很好地考查学生对函数概念的理解与抽象思维能力，因而在进几年的高考和各类竞赛中经常出现抽象函数方面的题目，本文就抽象函数的周期存在条件作一点探讨，从而得出一种简捷的求抽象函数周期的方法，以期能在这方面给大家一点启示。
定义：对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一值时，都有f（x+T）=f（x）成立，那么函数f（x）是周期函数，并且周期为T。
定理1.对于函数f（x），如果存在一个非零的常数a，使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，那么f（x）是周期函数，并且周期为2a，即：
条件1：f（x+a）= -f（x）
条件2：f（x+a）=f（x-a）
条件3：f（a+x）=f（a-x）且f（x）是偶函数
条件4：f（a+x）=
证明：①由条件1及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（x+a）= -f（x）
所以f[（x+a）+a]= -f（x+a） =f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函数f（x）的一个周期为2a
②由条件2 及已知，对函数f（x）定上域内的任意x都有f（x+a）=f（x-a）
所以f[（x+a）+a]=f[（x+a）-a]=f（x） 即f（x+2a）=f（x）
所以函数f（x）的一个周期为2a
③由条件3及已知，对函数f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=f（a-x），且f（x）是偶数
所以f[a+（x+a）]=f[a-（x+a）]=f（-x）=f（x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a
④由4可知，对f（x）定义域内的任意x都有f（a+x）=
所以f（x+2a）=f[（a+x）+a]= =f （x）
即f（x+2a）=f（x） 所以函数f（x）的一个周期为2a
定理2.对于函数f（x），若存在一个非零常数a，使得当x取定义域内的每一值时都有下列条件之一成立时，函数f（x）是周期函数，并且周期为4a。即：
条件5：f（x+a）= -f（x-a）
条件6：f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数
证明：⑤由条件5及已知
因为f（x+a）= -f（x-a）
所以f（x+2a）=f[（x+a）+a]= -f[（x+a）-a]= -f（x）
所以f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]= -f[（x+2a）= f（x）
所以函数f（x）的一个周期为4a
⑥由条件6及已知
因为f（a+x）= -f（a-x）且f（x）为偶函数
所以f（2a+x）=f[a+（a+x）]= - f[a-（a+x）]= -f（-x）= -f（x）
所以f（4a+x）=f[2a+（2a+x）]= - f（2a+x）= f（x）
所以函数f（x）的一个周期为4a
推论1.对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（a≠b）使得当x取定义域内的每一个值时，都有下列条件之一成立时，那么函数f（x）是以2（a-b）为周期的函数，即：
条件7：f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x）
条件8：f（a+x）= -f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
简证：⑦由条件7及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）]=f[a-（x-b）]=f[b+（a-x）]=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1的条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数
⑧由条件8及已知
f[x+（a-b）=f[a+（x-b）]= -f[a-（x-b）]= -f[b+（a-x）=f[b-（a-x）]=f[x-（a-b）]
由定理1条件2知，f（x）是以2（a-b）为周期的函数
推论2对于函数f（x），若存在两个非零常数a，b（b≠a）使得当x取定义域内的每一值时，都有下列条件之一成立时，则f（x）是以4（a-b）为周期的函数，即：
条件9.f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）= -f（b-x）
条件10.f（x+a）=f（x-a）且f（x+b）= -f（x-b）
间证：⑨由条件9及已知
f[x+（a-b）]=f[a+（x-b）=f[a-（x-b）]=f[b-（x-a）] Cf[b+（x-a）]= -f[x-（a-b）]
由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数
⑩由条件10及已知
f[x+（a-b）]=f[（x+a）-b]= -f[（x+a）+b]= -f[（x+b）-a]= -f[（x+b）-a]= -f[x-（a-b）]
由定理2条件5知，f（x）是以4（a-b）为周期的函数。
例1.设f（x）是R上的奇函数，且f（x+3）= -f（x）求f（2016）
解：由定理1的条件1知函数f（x）的周期
为T=2×3=6 所以有f（6k+x）=f（x） （k为非零整数）
又f（x）为R上的奇函数 所以f（0）=0
所以f（2016）=f（6×336）=f（0）=0
例2.设f（x）是实数集R为定义域的函数且满足：
f（x+10）=f（10-x） f（20-x）=-f（20+x）
则f（x）是（ ） （1992年全国高考中联赛题）
A.偶函数又是周期函数 B.偶函数不是周期函数
C.奇函数又是周期函数 D.奇函数不是周期函数
解：由推论2条件9可知，函数f（x）的周期为
T=4×（20-10）=40
又f（20-x）=-f（20+x）
所以f（-x）=f[20-（x+20）]=-f[20+（x+20）]=-f（40+x）=-f（x）
即：f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数 故选（C）
例3：设f（x）是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x1、x2：∈[0， ]都有f（x1+ x2）=f（x1）・f（x2）且f（1）=a>0
（1）、求f（ ）及f（ ）
（2）、证明f（x）是周期函数（2001年全国高考题）
解（1）（略）
（2）依题设y=f（x）关于直线x=1对称
由定义的条件3可知：f（1+x）=f（1-x）
用x-1代x得：f（x）=f[1-（x-1）]
故 f（x）=f（1+1-x） 即f（x）=f（2-x）， x∈R
由f（x）是偶函数知f（-x）= f（x） x∈R
f（-x）=f（2-x） x∈R
关键词：起点；理解；迁移；文思；原形
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）18-092-1苏教版高中数学教材中，函数的周期性这一概念出现在必修四《三角函数》中，《江苏省普通高中课程标准教学要求》指出：了解三角函数的周期性，知道三角函数y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ）的周期为T=2π|ω|。关于三角函数的教学，应注意要根据学生的生活经验，创设丰富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。面对各地模拟试卷中经常出现难度较大的关于函数周期性的试题，学生解决起来颇有困难。因此，高三的数学概念复习中一定要把握文思，超越原形。把握文思就是要立足起点，加强理解，超越原形就是要巧妙迁移，拓展延伸，使学生的能力得到提升。
一、立足起点，加强理解――把握文思
结合新授课的教学与课前的预习，学生会对函数周期性有如下理解：
感知层面：①对于值域中的每一个函数值总会不断重复出现；②函数值重复出现的“跨度”就是函数的周期；③函数的周期可能不止一个。
理解层面：①对定义域中只需存在一个值x不满足f（x+T）=f（x），就不能说f（x）是周期函数；②周期性是函数的一个整体性质；③周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT（k∈Z，k≠0）一定也是周期，周期中最小的正数称为最小正周期；④并不是所有的周期函数都有最小正周期。
在教学过程中，教师要抓住概念表述中的文思“函数值等距离重复出现”，进行剖析：函数值重复出现能否用另一种形式表达，把学生的理解进一步引向深入。
加强理解①（以相反数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=-f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=-f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。
加强理解②（以倒数的形式重复出现）：一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=1f（x），则f（x+2T）=f[（x+T）+T]=1f（x+T）=f（x），函数f（x）为周期函数。
当然可以将两者结合在一起，已是水到渠成的事。
二、巧妙迁移，拓展延伸――超越原形
在高三数学复习的教学实践中，学生若对周期性的理解止于此的话，那么函数周期性的概念复习才算完成了一半，甚至是一小半！我们必须让学生思考：函数周期性，在求画函数图像、研究函数性质等方面有什么效用？使学生明白：因为每一个周期的图像特征是一致的，因此只需研究一个特殊周期的图像和性质即可。这也点明了周期性的本质功能是实现了图像在不同区间上的转移。再进一步思考：函数周期性体现出来图像转移的方式是“横向的平移”、图像的基本形状不改变。从这一点上来讲，对数学概念的理解一定要超越原形
若改变图像转移的方式，函数周期性的概念就可以进一步拓展迁移。基于这种理解，笔者与学生研究了如下两种性质并给出相应的练习：
1.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x）+A，那么函数f（x）可以理解成双等差周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。
2.一般地，对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=Af（x），那么函数f（x）可以理解成横等差纵等比周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。练习（略）。
通过两个新概念的引入，学生会了解到函数图像的“转移”不仅可以沿x轴水平的“移”，还可以沿着x轴、y轴同时变化的移：横向等差移，纵向等差移；横向等差移，纵向等比移。学生自然就会提问：横向是否可以等比移呢？在函数周期性概念学习的基础上，学生的思维一下子打开了，笔者连同学生接着研究下面两道习题：
3.设函数f（x）=1-|x-1|，x
12f（x-2），x≥2，则方程xf（x）-1=0的根的个数为。
4.定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时f（x）=1-|x-3|。若函数所有的极大值点均落在通一条直线上，则c=。
两道习题的顺利解决促使学生思考对函数周期性定义的理解不应仅仅停留在“函数值周而复始重复出现”这样简单的理解水平上，对数学概念的理解应重点在于对其本质的理解、迁移与拓展。
解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高．所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花．但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心．下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法．
一、抽象函数的定义域
例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a) （a＞0）的定义域．
解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]．
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解；
2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x [a,b]上的值域． 二、抽象函数的值域
解决抽象函数的值域问题——由定义域与对应法则决定．
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域．
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则 完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]．
三、抽象函数的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函数,y= f(x-1)是奇函数，求 f(2007)=?
解析：因为y=f(x-1)是奇函数,所以y=f(-x-1)=-f(x-1){为什么？}；因为 y=f(x)是偶函数，所以f(-x-1)=f(x+1){为什么？}；因为f(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因为y=f(x-1)是奇函数,所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函数的对称性
例4已知函数y=f(2x+1)是定义在r上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+ g(-x)的值为（ ）
a、 2 b、 0 c、 1 d、不能确定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=[f （x）-1]/2， y=f(2x+1) 是奇函数，
y=[f （x）-1]/2也是奇函数，[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0 f （x）+f （-x）=2，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+ g(-x)= f （x）+f （-x）故选a ．
五、抽象函数的周期性
例5、（2009全国卷ⅰ理）函数的定义域为r，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( )
(a) f(x)是偶函数 (b) f(x)是奇函数
(c) f(x)= f(x+2) (d) f(x+3)是奇函数
解: f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，，
函数关于(-1,0)点，及点(1,0)对称，函数是周期为4的周期函数.，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函数．故选d
关于抽象函数的周期性有如下的几个定理和性质，由于篇幅问题，推导就省略了．
定理1.若函数y=f (x) 定义域为r，且满足条件f (x＋a)=f (x－b)，则y=f (x) 是以t=a＋b为周期的周期函数．
关键词：函数形态；作图；方法步骤
一、函数现代概念
若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。元素x称为自变量，元素y称为因变量。
二、函数的形态
1.单调性
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1
2.奇偶性
设f（x）为一个实变量实值函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=-f（-x）则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称。
设f（x）为一实变量实值函数，则f（x）为偶函数，若下列的方程对所有实数x都成立：f（x）=f（-x）。几何上，一个偶函数关于y轴对称。
3.周期性
设函数f（x）的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任意x∈D有（x±T）∈D，且f（x+T）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。周期函数的定义域D为至少一边的无界区间，若D为有界的，则该函数不具周期性。并非每个周期函数都有最小正周期，例如狄利克雷（Dirichlet）函数。
4.有界性
设I为函数f（x）的定义域内的某一区间，若存在正数M，使得对一切x∈I，都有f（x）≤M，则称f（x）为区间I上有界，否则称f（x）为区间I上无界。
5.连续性
在数学中，连续是函数的一种属性。直观图象上说，连续的函数是连绵不断的一条线，也就是一笔可以画完无需间断的曲线。
不用极限的概念，也可以这样表达：对任意给定的ε>0，总存在δ>0，当x-x0
6.凹凸性
三、函数的基本作图方法
讨论了函数的各种形态，综合讨论就可以做出函数图象的一般步骤如下：
（1）确定函数的定义域，找出间断点。
（2）求出曲线和坐标轴的交点。
（3）确定曲线关于坐标轴的对称性。
（4）令一阶导数等于0，求出函数的驻点，并算出各驻点的函数值。判断函数的单调区间并求出极值。
（5）确定函数的凹向区间和拐点。
（6）求出曲线的渐近线。
（8）根据关系图和函数的相关性质，描绘函数大致图象。
四、实例解析
解：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）。
（2）函数不具有奇偶性，因此曲线无对称性。
（4）令y′=0得x=-2
y″（-2）>0所以x=-2为极小值点，f（-2）=3为极小值。
（5）令y″=0，得x=-3，在x=-3的左侧有y″0，而f（-3）=-2，所以，（-3，-2）是拐点。
（6）渐近线x=0。
（7）将上面的结果列表如下：
（8）描绘图象如下：
根据作图的步骤可以作出函数的大致图象，如果已知函数的图象，不但可以从函数得到精确的性质，也可以从函数的图象得出函数的大致性质。
例2：已知函数y=3x2-x3的图象如下，描述该函数性态。
解：（1）定义域为（-∞，+∞）。
（2）函数不具有奇偶性，曲线无对称性。
（3）f（x）=0曲线与x轴有两个交点，一个是x=0，一个是x=3。
（4）函数有两个驻点x=0，x=2
x=0为极小值点，f（0）=0为极小值。
x=3为极大值点，f（2）=4为极大值。
（5）（1，2）是拐点。
（6）无渐近线。
五、总结
函数的形态对作图起到很大的指导作用，而函数的图形也能一目了然地反映该函数的各种形态。学好函数的相关知识，灵活解题，方法至关重要，准确画出函数的图形可以使我们进一步提高解题兴趣，激活思维，开拓思路，提高综合运用多种方法解题的能力，从而提高分析、判断、猜想、推理、决策的能力，真正提高数学素质、创新精神和创新能力。平时应注重培养这种思想意识，争取见数想形，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合。
参考文献：
【关键词】抽象函数问题；类比联想；“原型”破题法
所谓原型，就是符合题目给出的抽象函数性质的我们熟知的函数，譬如：抽象函数具有这样的性质：f(xy)=f(x)+f(y)(x>0)，那么它的一个原型就是对数函数f(x)=logax.对原型主要性质尝试迁移到当前的抽象函数，就可以启发我们有针对性地赋值和变换，从而有了破题思路.对于客观题而言，只要找到原型，就等于得到正确答案了，直接破题.
例1 （2008重庆理科卷）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是( ).
A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数
C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数
原型法 依题意知f(x)=x-1满足题设，从而对照选项很快知道只有选项C是符合的.
例2 （2009全国Ⅰ卷理科）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则( ).
A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数
C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数
原型法 符合条件的原型函数有cosπx[]2和sin(πx)，对照选项显然只有选项D是符合的.
例3 （2010重庆15题）已知函数f(x)满足:f(1)=1[]4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，(x,y∈R)，则f(2010)=.
原型法 由4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),
联想到余弦的积化和公式：cosxcosy=1[]2［cos(x+y)+cos(x-y)］，
只需相关系数略作调整，最后可构造f(x)=1[]2cosπ[]3x是符合题目条件的.所以f(2010)=1[]2cos2010[]3π=1[]2.
当然以上诸例可以用常规解法解之，但就客观题而言对比常规解法和原型法，原型法以短平快之势，省去思维容量和宝贵时间迅捷得到正确答案了，直接破题.如果是解答题呢，再看两例：
例4 （1） 已知函数f(x)，x∈R，常数a≠0，且f(x+a)=1-f(x)[]1+f(x)，求证：f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期；
（2） 已知函数f(x)，x∈R，常数a≠0,且f(x+a)=1+f(x)[]1-f(x)，求证：f(x)是周期函数.
解析 (1) 用周期函数的定义易于证明.
(2) 由于没有给出具体的周期，仿照（1）的思路有：
f(x+2a)=1+f(x+a)[]1-f(x+a)=1+1+f(x)[]1-f(x)[]1-1+f(x)[]1-f(x)=-1[]f(x).
但是很多同学就到此卡壳了，此时若能联想我们学习过的公式在三角函数里有tanx+π[]4=1+tanx[]1-tanx，π[]4相当于a，于是猜想f(x)的周期为4a，现在利用周期的定义就有接下来的思路：f(x+4a)=-1[]f(x+2a)=-1[]-1[]f(x)=f(x).
所以f(x)为周期函数，且周期为4a.
例5 定义在(0,+∞)上的函数f(x)，对任意正实数x,y都满足:f(xy)=f(x)+f(y)，且x>1时，f(x)>0，f(4)=1.试解不等式f(x)+f(x-3)≤0.
解析 根据题意及f(xy)=f(x)+f(y)知该抽象函数的一个原型为f(x)=log4x，尽管不能像选择题直接得到答案，但给我们提供了破题思路和方向：要证明f(x)是单调递增的，不等式f(x)+f(x-3)≤0中的0要换算为f(1)，于是就有了针对性的变换和赋值了：
令x>0，y=1,则f(x)=f(x)+f(1)得到f(1)=0；令x1>x2>0，则x1[]x2>1，得fx1[]x2>0.
所以f(x1)=fx1[]x2x2=fx1[]x2+f(x2)>f(x2).
从而f(x)在(0,+∞)是增函数.下面解答过程就水到渠成了：
f(x)+f(x-3)≤0，
即f(x2-3x)≤f(1).即x>0,
x-3>0,
知识的确是天空中伟大的太阳，它那万道光芒投下了生命，投下了力量。下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
高中数学函数知识点11.函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2.复合函数
(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;
点击查看：高中数学知识点总结
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;
5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);
6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;
7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);
8.判断对应是否为映射时，抓住两点：
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;
(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题;
13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;
(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解。
高中数学函数知识点2奇偶性
注图：(1)为奇函数(2)为偶函数
1.定义
一般地，对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2.奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
3.奇偶函数运算
(1) .两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) .两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) .一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) .两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) .两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) .一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
定义域
(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;
值域
名称定义
函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，
(3)函数单调性法，
(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)基本不等式法等
高中数学函数知识点3对数函数
对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
指数函数
指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
关键词：数学教学;解题
在今年的高三复习备考中，笔者在函数的二轮复习中碰到了一道试题：2009年山东数学理科卷16题. 为了提高高三数学课堂复习的效率，对题目进行深入的挖掘是一种很好的途径，特别是历年的高考试题. 本文将对该题目的探究历程以试题解析、探究拓展、反思回顾等环节展现出来，供同仁参考.
原题呈现：（09山东数学理科卷16）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=___________.
试题解析
f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x-4）=-f（x），此式隐含如下条件：函数图象关于直线x=-2对称且f（0）=0;又由f（x-4）=-f（x）可得f（x-8）=f（x），所以函数f（x）是以8为周期的周期函数，这是从条件得到的另一个隐含条件. 这时函数f（x）具有的性质就都暴露出来了，图象也就很容易画出来. 如图1所示，方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.
由对称性知x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.
【命题立意】 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.
探究拓展
探究一：改变条件，巩固相关知识
将试题中的“奇函数”改成“偶函数”，“f（x-4）=-f（x）”改成“f（x-4）=f（x）”，问题改成：则方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上实根的个数为：________.
分析：根据条件变化可画出函数f（x）的图象如下：
图2
此时不难得到方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上实根的个数情况：0个、4个或8个.
探究二：弱化条件，提高问题难度
在问题中若将条件m>0去掉，则x1+x2+x3+x4的值会不会改变，如果会，答案又是什么？
分析：当m>0时同上;
当m=0时，方程f（x）=m在区间[-8，8]上有五个不同的根，不合题意;
当m<0时，方程f（x）=m（m>0）在区间[-8，8]上的四个不同根分别关于直线x=-2与直线x=6对称，所以x1+x2+x3+x4=-4+12=8.
综上得x1+x2+x3+x4=-8或8.
说明：去掉条件m>0后，题目不仅考查了函数的相关性质，还涉及分类讨论的思想，思维量增加，难度加深，更能考查学生运用数学知识的能力.
探究三：增加条件，命制新题
将问题增加一个条件，就可以改变问题的提问方式. 将问题改造为：
变式1：已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），在区间[0，2]上是增函数且f（2）=3，若方程f（x）=m在区间[-8，8]上恒有四个不同的根，则实数m的取值范围是________.
分析：结合问题的图形不难得到实数m的取值范围为（-3，0）∪（0，3）.
说明：通过改造本题不仅综合考查了抽象函数的性质，以及由函数图象解答方程问题，还涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化与化归思想.
探究四：反思解法，拓展创新
变式2：已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m>0）在区间[-100，100]上的根从左向右依次记为a1，a2，a3，a4，…，则数列{an}的项数为________，所有项的和Sn为________.
图3
分析：结合图象及函数的周期性（T=8）不难得到数列{an}的项数为50，并且数列{an}的前两项之和a1+a2，次两项之和a3+a4，再两项之和a5+a6，…，构成等差数列，
所以S50=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a49+a50）
=2・（-94）+2・（-86）+…+2・98
=2・（-94-86-78-…+98）
=100.
说明：通过改编，变式2涉及的知识面更广，不仅有抽象函数的性质，还与数列的分组求和紧密联系起来，这就对学生分析问题、解决问题的能力提出了更高的要求，同时还考查了学生运算求解能力.
反思回顾，透析本质
从问题的解答过程可以看到，由题目的已知条件：奇函数和关系式f（x-4）= -f（x）得到函数关于直线x=-2对称是非常关键的一步. 而关系式f（x-4）=-f（x）实际上隐含着周期性，也就是由函数的奇偶性、周期性可以得到函数具有对称性，因此可以得到一般情况下的结论：
性质1 若f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，则f（x）的图象关于直线x=a对称，即f（x+a）=f（a-x）.
证明：f（x+a）=f（x-a）=f[-（a-x）]
=f[（a-x）]，
所以f（x）的图象关于直线x=a对称.
性质2 若f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+a）=f（a-x），a∈R+，则函数f（x）为周期函数，即f（x+2a）=f（x）.
证明：f（x）=f[a-（a-x）]=f[a+（a-x）]
=f（2a-x）
=f[-（x-2a）]
=f（x-2a），
所以f（x+2a）=f（x），即f（x）为周期函数.
性质3 若f（x）为定义在R上的函数，关于直线x=a对称，即f（x+a）=f（a-x），且满足f（x+a）=f（x-a），a∈R+，则函数f（x）为偶函数，即f（-x）=f（x）.
证明：因为f（x+a）=f（a-x），f（x+a）=f（x-a），a∈R+，
所以f（a-x）=f（x-a），
所以f（-x）=f[a-（x+a）]=f[（x+a）-a]=f（x），
即函数f（x）为偶函数.
性质4 若f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f（x+a）=-f（x），a∈R+，则f（x）的图象关于直线x=对称，即f+x=f-x.
性质5 若f（x）为定义在R上的奇函数，且满足f+x=f-x，a∈R+，则函数f（x）是以2a为周期的周期函数，即f（x+2a）=f（x）.
性质6 若f（x）为定义在R上的函数，关于直线x=（a∈R+）对称，即f+x=f-x，且满足f（x+a）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）.
说明：从上面我们可以发现如果一个函数具有：奇偶性、周期性、对称性中的两个，那就可以推出它具有第三个性质. 这就是题目的隐含条件，能否找出隐含条件经常是解决问题的突破口. 对于以上性质我们只要知道有这么一种情况就可以，不需要去死记硬背，但关键要掌握推导方法.
