时间：2023-05-30 10:44:48
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇分式方程的应用，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
我认为在实际方程应用题教学中，教师在强化题型体现具体算法的同时应有意识地渗透模型教学的思路，在归纳题型的基础上，进一步抽象提升不同题型的共同思路模型，进而达成方程模型教学的目标。
方程模型要根据方程不同类别的具体特征，思路的着重点显然也应有所不同，因而不同类别方程的模型也应有所不同的侧重，某类方程模型教学目标的达成，正是要靠几个典型题型教学的基础上予以抽象概括。因此，我认为题型教学正是由具体而微的千资百态的具体数学应用题到方程模型教学目标的中间过渡的教学形态。
仅仅依靠模型教学在每一个具体数学应用题的应用而达成方程模型教学目标，我认为不是高效的教学，学生往往会有无所适从的感觉，抽象的跨度偏大。当我们一提到分式方程模型的时候，学生如果有列分式方程解工程问题的题型教学的具体过渡形态浮现在脑海中，我想比直接浮现抽象的方程模型流程更容易些吧。
我国古代数学的主要特征之一就是“算法化数学思想”。算法不只是单纯的计算，而是指为了解决一整类实际问题而设计或概括出来的、带有一般性的、更广泛的一类操作方法。算法又有特殊算法和通用算法之分。针对某一具体问题而设计的算法称为特殊算法，针对一类问题而设计的算法称为通用算法。通常我们说算法能解决一类问题，并能重复使用，是对通用算法而言。我国数学教师所普遍采用的数学应用题题型教学某种程度上正是对“算法化数学思想”的实际应用，实践证明也是高效的，是我国扎实的“双基教学”的一部分，不能、也不应该给予彻底否定！
但是，题型过多过滥，缺乏典型性、代表性等问题在数学教学实践中确实大量存在，造成了过度的课业负担。
解决这个难题，我认为是一个系统工程，不能单纯依靠数学教师改变教学方法。我国一线数学教师的代表、数学课程专家和应用数学领域的数学家等应借鉴“要素主义”教育哲学观点和德国“范例教学”的思路，针对中学数学方程模型教学的具体内容和目标，精选代表题型，在教科书中通过典型范例和习题体现通用算法。在此基础上再进一步在单元复习中归纳抽象方程模型。同时，还要用好考试指挥棒，引导广大一线数学教师重视基础性、代表性和典型性，抓住几个典型题型的教学形成几种通用算法，首先体现数学的应用，其次再进一步提升抽象出方程模型思路能够解决更多的相关问题。
以下教学设计是我在数学应用题教学实践中的一点尝试，重点在分式方程模型教学中的审题环节采用了列表分析法，使这类问题的审题找等量关系列分式方程有了可操作的模式。但在教学实践中，总感觉对有些分式方程应用题并不总是能适用，对有些题型还是应该有不同的或特殊的分析模式，以此作为方程题型教学是达成方程模型教学目标的不可或缺的过程的一个例证。
教学目标：
1.会将实际问题转化为数学模型，能用列表法分析问题，寻找等量关系、恰当选设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示数量关系等；
2.掌握列分式方程解应用题的一般步骤
教学重点、难点：
掌握列表分析问题的方法，恰当选设未知数，确定主要等量关系，列出分式方程并进行解答，解释解的合理性，把实际问题转化为数学模型是教学重点；
寻找等量关系、恰当选设未知数、确定主要等量关系、列出分式方程是教学难点。
教学准备：
课件准备、学案准备
教学过程设计：
一、做一做（出示课件）
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租金第一年为9.6万元,第二年为10. 2万元.
分析：
⑴你能找出这一情境中的等量关系吗?
⑵根据这一情境你能提出哪些问题?
（根据上述列表让学生提出求解的问题）
①第一年每间房屋租金是多少？
②第二年每间房屋租金是多少？
③每年的租房数是多少？
（恰当选设未知数，根据与未知数直接相关的等量关系写“设… ，则… ”，另一个等量关系确定为主要等量关系列方程。出示课件，完整展示列分式方程解应用题的一般步骤）
（改变未知数设法，列出分式方程，对比解法1、解法2和解法3三种选设未知数的方法解题的优劣，选择最优化解法，体会恰当选设未知数的作用）
小结：（先让学生总结思路过程，再出示课件予以规范）
解分式方程应用题的一般思路过程：
分析过程：
（一）审
(1)读题找基本关系
(2)划分几个不同事件过程
(3)分别在每一事件中明确已知和未知
(4)联系关系量和题意理解找等量关系
（二）设 1.直接设法；2.间接设法
一般根据与求解未知数直接相关的等量关系写“设… ，则… ”;
（三）列 根据另一个等量关系列方程
解答过程：
（四）解解方程过程要注意解答正确
（五）验1.检验计算是否正确
2. 分式方程要检验是否是增根
3.检验方程的解是否符合实际题意
（六）答 怎么问就怎么答，答案要写完整。
反思过程：
1.问题解决的关键在哪里？要注意哪些细节？
2.问题解决还有其他方法吗？哪种方法更简洁？
3.可划归为哪一类问题？能进一步联系拓展吗？…
三、课堂练习：
小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价格比文学书高出一半，因此他们所买的科普书比所买的文学书少一本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
（学生在练习题纸上完成，一生板书，教师巡视指导，出示课件纠错）
（引导学生反思解题过程：关键步骤；简便解法；题型归类等）
四、当堂检测：
甲乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.试确定原来的平均车速.
分析:（学生在练习题纸上完成，一生板书，教师巡视指导，出示课件，回顾列分式方程解应用题的一般思路过程和一般解题步骤）
五、课堂总结：
分式方程应用题的解题思路
分析过程：
（一）审：1.已知；2.求解；3.等量关系
（二）设：（1）直接设法（2）间接设法
（三）列：根据主要等量关系列分式方程
解答过程：
（四）解：规范、正确、熟练
（五）验：计算正确；排除增根；符合实际题意
（六）答：回答完整
反思过程：关键步骤；简便解法；题型归类等
六、作业：
A层：课本：
P94习题3.8问题解决1、2、3
新课堂：P641、2
B层：新课堂：P66走进生活
板书设计：
（1）“做一做”的解法1教师一边分析讲解一边完整板书列分式方程解应用题的解题格式步骤
一、预习导学,呈现问题导入新课
思考:你能正确识别分式方程吗?
下列关于x的方程,其中是分式方程的有______.(填序号)
问题1 什么是分式方程?
问题2 为什么方程(4)不是分式方程?它是什么方程?如何看待其分母中的字母?
引导学生思考并归纳总结,分式方程的特点是:①含分母;②分母中含有未知数,分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志.本例中的(4)是关于x的方程,其他字母皆为字母系数,通过本例辨析分式方程与含有字母已知数方程的区别.
设计意图 在设疑解惑中引导学生关注分式方程形式上的定义,不是简单让学生重复概念,而是展示一组方程让学生识别,在答疑辨析中调动学生对分式方程概念的理解,加深理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数,设计的方程(3)(4)(6)用意深刻,是对学生思考提出的发展性目标.
二、合作探究,问在知识发生处,点拨释疑
·你会解分式方程吗?
教师出示问题,学生动手解题,探究体验:
比较方程(1)(2)的结果有差异吗?为什么?
·为什么x=2不是原方程(2)的根?
·产生x=2不是原方程(2)的根的原因是什么?你能用数学语言说明吗?
解(2):方程两边同乘以3(x-2),得3(5x-4)=4x+10-3(x-2),x=2.检验:把x=2代入最简公分母3(x-2)中,3(x-2)=0,x=2称为原方程的增根.
·引导学生进一步思考:
(1)解分式方程的一般步骤?要求学生自己归纳总结,然后讨论交流.
①去分母,方程两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程;②解这个整式方程;③验根.使得最简公分母为0的根为原方程的增根,必须舍去.
学生提出问题,小组合作探究讨论:验根有几种方法?如何检验?
适当的练习加强学生对解分式方程的理解,帮助学生深刻理解化分式方程为整式方程的数学思想.
(2)呈现错例,分析错误原因.(组织学生开展纠错讨论)
①确定最简公分母失误;②去分母时漏乘整式项;③去分母时忽略符号的变化;④忘记验根.
设计意图 分解因式是要求学生掌握的基本技能,引导学生独立思考,总结归纳解题步骤,对错例进行剖析,加深对知识的理解.纠错是数学解题教学的一种重要学习形式.
(3)增根从哪里来?为什么要舍去?
(4)下面分式方程的解法是否正确?谈谈你的想法?
引导学生议一议,深入思考:你对上述解法有什么看法?还有其他解法吗?通过解题表象再深入思考解分式方程的本质.
分式方程的增根是它变形后整式方程的根,但不是原方程的根,产生增根的原因是在分式方程的左右两边乘以为0的最简公分母造成的,所以使最简公分母为0的未知数的值均有可能为增根.着名教学者李镇西说过:“能让学生自己完成的,教师绝不帮忙.”教师引路设问,创设质疑讨论的空间,深化对解分式方程本质的理解,拓宽学生的视野.
三、灵活应用,拓展思维
思考 “无解”与该分式方程有“增根”的意义一样吗?
分析 方程两边乘以(x+2)(x-2),可得2(x+2)+ax=3(x-2),(a-1)x=-10.显然a=1时原方程无解.当(x+2)(x-2)=0,即x=2或x=-2时,原方程亦无解,当x=2时,a=-4;当x=-2时,a=6.所以当a=1,-4,6时,原方程无解.
设计意图 分式方程的增根问题是学生理解的难点,部分学生解题过程中存有疑惑,还会与无解相混淆.本课例设计直击难点,帮助学生梳理如何讨论增根问题,并能利用其解决方程无解的相关问题.教师运用问题串形式组织学生解分式方程不是表面上培养细心,明确算理,而是像几何推理那样步步有据,启发学生经过自己的独立思考去寻求解决问题方案.
本课设计尝试从数学的角度提出问题,理解问题.引导学生理解解分式方程的途径是通过转化为整式方程来求解.在解分式方程的过程中体验增根的由来.总结出解分式方程的一般步骤和验根的方法,通过灵活应用实例分析把方程的相关知识融会贯通,在富有挑战性问题的引导下,学生在探究、答疑、辨别中体会到,提出一个有价值的问题有时比解决一个问题更重要,本课例的设计让学生学会质疑,学会思考,真正在思维的层面上学会数学解题.
分式方程
备课时间:上课时间
主备:
审核:备课组
班级
姓名
学习目标
1．知识目标：理解解分式方程的一般步骤及解分式方程验根的必要性.
2．能力目标：通过对分式方程转化为整式方程的过程，了解数学思想中的“转化”思想.
重点
分式方程的解法
难点
分式方程的解法
【温故知新】
如何解一元一次方程？经过哪些步骤？
解方程+=2－
【新知探究】
1．解方程：=
思考：方程两边同乘以什么样的整式，可以去掉分母呢？发现方程两边同乘以各分母的最简公分母，去分母比较简单.
2．解方程：－=4
3、观察上面方程的解法，归纳出一般步骤，并与同学进行交流。
【归纳】
解分式方程一般需要经过哪几个步骤
（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程（一去分母）；
（2）解这个整式方程；（二解整式方程）
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去；使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
（三验根）
【应用巩固】
（1）
解方程：
①=;
（2）
②+=2.
2观察：在解方程=－2时，小亮同学的解法如下：
=－2
解：方程两边同乘以x－3,得
2－x=－1－2（x－3）
解这个方程，得
x=3.
x=3是原方程的根吗？如果是，请你说明理由，如果不是，请你说明为什么？
（3）解上节课的方程
=（a,h常数）
教学检测
一．请你选一选
1．方程1+=0有增根，则增根是(
)
A.1
B.－1
C.±1
D.0
2．沿河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，此船一次往返所需时间为(
)
A.小时
B.小时
C.()小时
D.()小时
3．方程=0的根是(
)
A.x=2
B.x=－2
C.x=±2
D.方程无解
4．分式方程若有增根，则增根可能是(
)
A.x=1
B.x=－1
C.x=1或x=－1
D.x=0
二．请你填一填
1．当a=________时，关于x的方程的根为1.
2．当x=________时，分式的值等于1.
3．方程+4的解为________.
4．当m________时，关于x的方程有增根.
5．已知,则=_____________.
三．解下列方程：
【关键词】变式练习 突破重难点 辨别混淆 把握数学实质 数形结合
【课题项目】甘肃省教育科学‘十二五’规划2014年度“创设初中数学实验课的探究”成果，课题申报号：LZ-930，课题负责人：陈丽英。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10-0122-02
在初中数学课堂教学中，根据教材内容及学生学习情况合理设置一些变式练习，对提高课堂教学效果及培养学生探究问题的能力和数学素养有很大帮助，本文将从以下几个方面阐述。
一、变式练习符合学生认知规律，有助于突破教学内容的重难点
在课堂教学中，设计由浅入深，由特殊到一般的变式练习，一方面能将本节课的重难点分成几个步骤，由简到难展现出来，另一方面学生也更容易理解和掌握课堂所学知识，符合学生的认知规律。如：在学习提公因式法分解因式第2课时中，公因式为多项式时，如何找公因式是这节课的重点和难点。为了突破本节课重、难点，我在课堂教学中设计如下例题和变式训练：
例1.分解因式：2am-3m
变式（1）：2a（b+c）-3（b+c）
变式（2）：2a（b+c）2-3（b+c）3
变式（3）：2a（c-b）2-3（b-c）3
变式（4）：2a（c-b）2n-3（b-c）2n+1 （n为正整数）
设计意图：例1中，学生很容易找到公因式为m。变式（1）中，将例题中的m变为多项式：b+c，有了例题的铺垫，这一问学生通过类比较容易得到多项式为b+c；变式（2）中，将（1）中b+c，分别变为（b+c）2和（b+c）3，引导学生取较低次幂（b+c）2作为公因式；变式（3）中，将（2）中的（b+c）2变为（c-d）2，（b+c）3变为（b-c）3，这时底数虽不同，但是互为相反数，引导学生先将（c-b）2变为（b-c）2再找出公因式（b-c）2；变式（4）中将（3）中（c-b）2变为（c-b）2n，（b-c）3变为（b-c）2n+1，这样指数更为一般化，由于两个底数互为相反数，而且一个指数2n表示偶数，另一个指数2n+1表示奇数，有了（3）的思考，学生很快想到将（c-b）2n变为（b-c）2n， 从而找到公因式（b-c）2n。通过这种变式练习，这节课的重难点很容易被学生接受和理解。
二、变式练习有助于学生辨别教学中容易混淆的知识点，从而更好的把握数学知识的实质
在教学中，有一些定理和概念容易混淆，通过设置变式练习可以帮助学生加以区别。如：在学习分式方程时，学生对分式方程的增根和无解这两个概念容易混淆，为此，我设置了如下例题和变式训练：
例2.解方程： ■-■=■
变式（1）：关于x的分式方程■-■=■ （k为常数）有增根，则k的值是多少？
变式（2）：关于x的分式方程■-■=■（k为常数）无解，则k的值是多少？
设计意图：例题2考查学生对可化为一元一次分式方程的解法及对其根的合理性的检验。由于这个分式方程产生增根使得该分式方程无解，大部分学生误认为分式方程有增根等同于分式方程无解。因此教学中很有必要设置变式训练，引导学生区别这两个概念。变式（1）中含有字母k，首先将分式方程转化为整式方程：（k-1）x=-10 ，由题目知道分式方程有增根，则增根可能是x=2或x=-2，将增根x=2或x=-2代入整式方程（k-1）x=-10 ，解得，k=-4或k=6。通过变式（1）的练习让学生进一步理解，增根是分式方程转化成的整式方程的解，但是它使得原分式方程的分母为零，因此不是原分式方程的解。变式（2）将变式（1）中的增根改为无解，此时要考虑两种情况（1）：如果分式方程转化成的整式方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解；（2）分式方程转化后的整式方程（k-1）x=-10本身无解的情况，即当a-1=0，即a=1时此整式方程无解，所以原方程无解。通过变式（2）的练习让学生进一步理解，分式方程无解包含两层含义，（一）原分式方程转化后的整式方程无解；（二）原分式方程转化的整式方程有解，但这个解却使得原分式方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。通过这种变式练习，加强了学生对数学概念的理解和辨别，从而更好的把握数学本质。
三、变式练习有助于开阔学生思维，并提高学生解决数学问题的能力
在数学课堂教学中，将考查同一个知识点的不同类型题目由简到难设置变式练习，引导学生开阔思维，并提高解决数学问题的能力。如：在学习反比例函数图像及其性质时，设计如下例题和变式训练：
例3.如图1所示，点p为反比例函数y=■图像上一点，PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N，（1）求长方形PMON的面积，（2）求PMO的面积。
图1 图2 图3
变式（1）：如图1所示，点P为反比例函数y=■图像上一点，PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N，若长方形PMON面积为2，则k为多少？
变式（2）：如图2所示，P为反比例函数y=■图像上一点，求PMx轴，垂足为M，则PMQ1和PMQ2面积分别是多少？
变式（3）：如图3所示，A、C两点均在反比例函数y=■的图像上，且A、C两点关于O点中心对称，ABx轴，CDy轴，垂足分别为B，D，则四边形ABCD面积为多少？
设计意图：
例3是对反比例函数比例系数k的几何意义的直接应用。变式（1）则将例题中的题设和结论反过来，这样能激发学生逆向思考问题的能力；变式（2）中，将例题中PMO的一个顶点O移到Q1或Q2位置，此时PMQ1和PMQ2都与PMO等底等高，因此面积也相等，这样的设计可以帮助学生加深对知识的理解，从而提高学生解决数学问题的能力。变式（3）中，将平行四边形知识与反比例函数性质巧妙的结合起来，学生通过分析得到：S四边形ABCD=2SABD=4SABO=4×1=4。通过这样的设置，不但开阔了学生的思维能力，同时也提高了学生综合分析问题的能力。
四、通过变式练习渗透数形结合思想，实现数量关系与图形性质的相互转化
函数与方程及其不等式都是刻画现实世界中量与量之间变化规律的重要模型，通过变式练习，渗透这三者之间的联系，帮助学生从整体上认识不等式，感受函数方程不等式的作用，从而使所学知识融汇贯通。 在学习一次函数与一元一次不等式时，设计如下例题和变式练习：
例4.如图4，一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=■（n≠0）交于点A（1，m），B（-3，n），问：x取何值时，y1y2？x取何值时，y1
变式（1）：解方程：kx+b-■=0（请直接写出答案）
变式（2）：解不等式：kx+b-■≥0 （请直接写出答案）
变式（3）：求一元二次方程kx2+bx-n=0的解
（根据函数图像简单说明理由）
设计意图：
上学期期末考试的成绩不及格，总体来看，成绩比较不理想。在学生所学知识的掌握程度上，大部分学生能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，但个别学生连简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差。在学习能力上，一些学生课外主动获取知识的能力较差，向深处学习知识的能力没有得到培养，学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要进一步加强，以提升学生的整体成绩；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去。
二、本学期教学内容（概念、法则、原理等）和目的要求：
本学期教学内容，共计六章，第一章《一元一次不等式和一元一次不等式组》本章通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质，了解一般不等式的解、解集、解集在数轴上的表示，一元一次不等式的解法及应用；通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系．最后研究一元一次不等式组的解集和应用．第二章《分解因式》本章通过具体实例分析分解因式与整式的乘法之间的关系揭示分解因式的实质，最后学习分解因式的几种基本方法．第三章《分式》本章通过分数的有关性质的回顾建立了分式的概念、性质和运算法则，并在此基础上学习分式的化简求值、解分式方程及列分式方程解应用题．第四章《相似图形》本章通过对两条线段的比和成比例线段等概念的学习，全面探索相似三角形、相似多边形的性质与识别方法．第五章《数据的收集与处理》主要是概念的理解与运用．第六章《证明一》本章主要内容是命题的相关概念、分类及应用．
重点（1）掌握不等式的基本性质，一元一次不等式（组）的解法及应用．（2）掌握分解因式的两种基本方法（提公因式法与公式法）．（3）掌握分式的基本性质、四则运算、分式方程的解法及列分式方程解应用题．（4）成比例线段的概念及应用和相似三角形的性质和判定．（5）调查方法的应用．（6）命题的推理论证．
难点（1）对不等式的基本性质的理解和熟练运用，一元一次不等式（组）的应用．（2）提公因式法与公式法的灵活运用．（3）分式的四则混合运算和列分式方程解应用题．（4）灵活运用比例线段和相似三角形知识能力的培养．（5）几个概念的理解、区别和应用．（6）命题的推理论证．
三、为了达到本学期教学目的要求将采取的具体措施是什么？教学方法上做哪些改革？
1、认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的学习课堂氛围，让学生体会学习的快乐，享受学习。
4、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
5、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
四、本学期教学进度安排表：
单元章节教材内容课时预计上课日期
一元一次不等式与一次函数2 第2周2.28－3.1
一元一次不等式组3 第2周3.2－3.4
复习小结2 第3周3.7－3.8
第二章《分解因式》分解因式1 第3周3.9
提公因式法2 第3周3.10－3.11
运用公式法2 第4周3.14－3.15
复习小结1 第4周3.16
第三章《分式》分式2 第4周3.17－3.18
分式的加减法2 第5周3.22－3.23
复习小结2 第6周3.29－3.30
第四章《相似图形》线段的比2 第6周3.31－4.1
黄金分割1 第7周4.4
形状相同的图形1 第7周4.5
相似多边形1 第7周4.6
相似三角形1 第7周4.7
探索三角形相似形的条件2 第8周4.11－4.12
测量旗杆的高度1 第8周4.13
相似多边形的性质2 第8周4.14－4.15
频数与频率2 第12周5.9－5.10
数据的波动2 第12周5.11－5.12
第六章《证明一》你能肯定吗1 第13周5.16
定义与命题2 第13周5.17－5.18
为什么它们平行1 第13周5.19
要：本文先用实例说明什么是常规思维和创造性思维以及它们之间的关系；其次，论述了用创造性思维解测量井深与绳长的“古代问题”，并引出互逆思维的创造性思维方法；最后，用“鸡兔同笼”问题的创造性思维来说明创造想象在创造性思维中的特殊、重要的作用.
关键词：常规思维；创造性思维；互逆思维；联想；想象
波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.” 本文提出的是要加强解应用题的思维训练.
■常规解与创造性思维解的比较
例1 甲、乙两地相距36千米，某人骑自行车去时是一段上坡路与另一段坡度相同的下坡路，去时用2小时40分钟，回来时只用了2小时20分钟，并知走下坡路比走上坡路每小时快6千米，问上坡路每小时多少千米？
笔者把小黑板的例1往上一放，全班学生正拿草稿纸作，小芳与小华在黑板两边也开始板书.
小华用的是常规思维的解法：设上坡路每小时x千米， 下坡路y千米， 则依题意有下列分式方程组
■+■=2■，（1）■+■=2■，（2）
教师：你这个分式方程组是怎么来的？你的方程组如何以语言信息的形式来表达呢？
小华：第一个分式方程是去时一段上坡路某人骑自行车去时所花的时间加上他下坡路所走的时间和是2小时40分钟；第二个分式方程是他下坡路所花时间加上他上坡路所走的时间和是2小时20分钟.
小芳用创造性思维的解法：设上坡路速度为每小时x千米， 并把一去一回视为一个整体. 一去一回上坡与下坡路程都是36千米，依题意得分式方程■+■=5，（3）
教师：你这个分式方程是怎么来的？用语言叙述方程组是如何转化而来的？
小芳：把一去一回视为一个整体. 去时的上坡路与回来时的上坡路之和是36千米，所用时间是■；回来时的下坡路与去时的下坡路之和也是36千米， 所用时间是路程除以速度得下坡路所用时间是■，一去一回的总时间是2小时40分钟，加2小时20分钟，刚好是5小时.
教师（问全班学生）：如何解分式方程组呢？小华与小芳分别列出的分式方方程组、分式方程有什么联系呢？
小慧：（1）+（2）？圯（3），换句话说， 只要解出（3）来，分式方程组不就解出来了吗？
这几句“言简意赅”的话迎得一阵热烈的撑声.
教师（总结）：什么是创造性思维呢？是新颖的、独特的、有价值的（智力价值、理论价值、经济价值）的思维. 对学生来说，一般不是对某种新东西的发现、发明与创造的成就， 而只是对已知东西的再发现，如上面的小芳的解题方法是创造性思维.
创造性思维是思维活动的一种，它对问题的思考不是直接从头脑中已有的思维形式和思维方法去找答案，而是从问题的本身去进行分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维形式和思维方法大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的新办法. 小慧“一针见血”地指出了常规思维的解法与创造性思维解法的内在与外在的联系.
如何解（3）的分式方程呢？只要把分式方程转化为整式方程，但要注意增根与减根即可.
例2
2000年入夏以后，湖北地区旱情严重，为缓解甲、乙两地旱情，某水库计划向甲、乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米，现已两次送水，往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米；问完成向甲、乙两地送水任务还各需多少天？
为了让学生自主探索、自主思维、自主寻找思路、自主总结经验，摆脱“教师讲，学生听”的传统讲解模式，笔者让学生通过自己的思维来学习数学.
设完成往甲地送水任务还需x天， 完成往乙地送水任务还需y天. 用代数式表示每天往甲地运水，已运送5天如何表示？■. 用代数式表示每天往乙地运水，已运送5天如何表示？■. 这时有两种列方程组的方案：
以小芳为首的学生列出方程组
■×3+■×2=84，（1）■×2+■×3=81，（2）
以小慧为首的学生用换元法列出方程组3t+2z=84，2t+3z=81 ？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，2t+3z=81？圯z=15，t=18.
当小芳还在列完分式方程组， 正考虑如何解时， 小慧已经完成第一次解方程组， 而正要代入求另一方程组的解：■=18，■=15？圯18x+18×5=180，15y+15×5=120？圯x=5，y=3.
小华又在小慧的解答基础上改进成了如下更先进、简洁、漂亮的好方法：
3t+2z=84，（3）2t+3z=81，（4）？圯5t+5z=165，2t+3z=81？圯t+z=33，（5）2t+3z=81，（6）？圯（6）-（5），t+2z=48，（7）t+z=33，（8）？圯z=15，t=18.
笔者善于通过“对比”来评价两种解应用题方法的优劣：小慧的创新之处在于她观察到（3）与（4）的系数与常数项系数之和的特殊性——它们都能被5整除，从而巧妙地得出（5）式，小华在小慧的解答基础上改进了什么呢？（当全班学生看到（7）、（8）式时，不由得引起一阵热烈的撑声）小芳是常规思维的解法，小慧与小华是属于创造性思维的解法.
笔者又说：“众里寻他千百度， 蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.” （又迎来一阵热烈的掌声）
最后笔者用波利亚的话来引导出换元法：“原来的问题是我们要达到的目的，而辅助问题只是我们试图达到的目的的手段. 一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去，它在同一扇窗户上试了又试，而不去试试附近打开的窗户，而那扇窗户就是它进来的那扇. 人能够或者至少能够行动得更聪明些. 人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他会绕过去；当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题. 构造一个辅助问题是一项重要的思维活动. 举出一个有助于另一问题的清晰的新问题，能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标，这都是运用智慧的卓越成就.”
这段话是用变量替换作手段来解方程（方程组）的. 当然变量替换还可以分解因式，如将x2y2－5x2y－3xy2+15xy－14x2+5y2+57x－25y－70分解因式. 初看起来“杂乱无章”，“理不出头绪”和无法下手；若用创造性思维，并先用“分解与重新组合”的方法，再视为关于y的二次三项式，则看起来井然有序，条理清楚，主次分明.
（x2－3x+5）y2－5（x2－3x+5）y－14（x2－3x+5）=（x2－3x+5）（y2－5y－14）=（x2－3x+5）·（y+2）（y－7）.
要培养学生创造性思维的解法，必须分三歩走：扎实的基础知识是创造性思维的解法的基础，分式方程式解法的基础知识是转化成整式方程，区分増根，要学会验根；其次是了解整式方程的代入消元法与加减消元法，以及将二者结合起来的“既加再除”的新颖方法. 第二，敏锐的观察力是训练创造性思维的前提，如例1的（1）+（2）（3）就需要敏锐的观察力. 第三，丰富的想象力是创造性思维的设计师，在例1中，把一去一回视为一个整体就是发挥丰富的想象力，并将去的上坡路与回的上坡路视为36里，又将回的下坡路与去的下坡路也视为36里，都是发挥丰富的想象力. 爱因斯坦说：“提出新问题，新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”. 第四，发散思维是培养创造性思维的源泉.
■古代问题的创造性思维的解法
数学教师从讲故亊开始，引出互逆思维. 逆向思维是创造性思维的一种，举个有趣的生活中有发现意义的实例：你们吃猕猴桃是如何剥皮呢？
吃猕猴桃要剥皮是众所周知的事，如何剥皮呢？从外往里剥皮既脏又不卫生，若想到逆向思维， 从里面往外去剥皮——即用金属勺子在“一刀切断”的猕猴桃中从里边往外一勺一勺地挖猕猴桃肉，这种采用逆向思维的方法，既卫生又高质量完成任务. 这个方法对解“古代问题”是有启发的.
例3 “用绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余4尺，把绳子四折来量，井外余1尺，求井深与绳长各几何？”
能用互为逆向思维的创造性方法来解答吗？
在笔者的启发下，小慧和小华分别得出了创造性思维解法1与创造性思维解法2.
解法1：（进的方法）把绳子三折来量，井外余4尺，4×3=12，这时可想象把井外的12尺再量井深，那么根据第二个条件， 把绳子四折来量，井外余1尺，12-4=8，可知井深为8尺.绳长为36尺.
解法2：（退的方法）把绳子四折来量，井外余1尺，这时，若想象出用井内的一折到井外来量，根据把绳子三折来量，井外余4尺，（4-1）·3-1=8，可知井深还为8尺. 绳长为36尺.
可见，互为逆向思维的方法是创造性思维的一种.
创造性思维解法1与创造性思维解法2的共同点是创设情境，使两种用绳子测量井深的方法既产生联系，又产生思维碰撞，既要引出新旧亊物之间的联系，又要引出新旧亊物之间的矛盾，新旧亊物之间的联系是启发学生思维的基础；新旧亊物之间的矛盾是启发学生思维的核心.
■鸡兔同笼问题的创造性思维解法
例4
今有鸡兔若干，它们共有50个头和140只脚，问鸡兔各有若干只？
解法1：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时鸡的头数与脚数相等，而兔的脚数是头数的2倍，脚的总数是原来脚的总数的一半，故脚的总数70减去50所得的差20，即为兔的数目，进而易得鸡为30只.
解法2：发挥丰富的想象，假设出现下面奇特的现象，所有的鸡都没有抬起一只脚，所有的兔子都抬起两只脚，只用两只后腳站立，这时，头数还是50个，鸡与兔子的总腿数是总头数的2倍，即为100，原来的总腿数140减去现在的总腿数100刚好是兔数的2倍，40÷2=20刚好是兔数，鸡数为50-20=30只.
这类问题所涉及的知识点包括四边形、三角形和圆等初中基本平面几何图形的性质，以及这些图形的变换（包括折叠问题，最短路径问题等）.下面我们继续边看题边分析.
1.（2016，防城港）如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论：
①∠1=∠2=22.5°；②点C到EF的距离是[2]-1；③ECF的周长为2；④BE+DF>EF.
其中正确的结论是 .（写出所有正确结论的序号）
本题主要考查正方形的性质和角平分线的性质定理.解决本题的关键是证明AC垂直平分EF.
答案：①②③
2.（2016，北海）如图，四边形ABCD为矩形纸片，对折纸片，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后，再把纸片沿着BM折叠，使得点A与EF上的点N重合，在折痕BM上取一点P，使得BP=BA，连接NP并延长，交BA的延长线于点Q，若AB=6，则AQ的长为 .
此题主要考查几何变换，非常考验同学们的分析推理能力、空间想象能力.它涉及的知识点包括等边三角形的判定和性质的应用，矩形的性质和应用，以及折叠的性质和应用，特殊角的三角函数值.本题的综合性很强.
答案：[33]-3
3.（2015，北海）如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（ ）
A.（4，8）
B.（5，8）
C.[245，325]
D.[225，365]
此题考查了翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等内容，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键.
答案：C
4.（2014，南）如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC=[a]，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 .
本题考查了切线的性质，等腰直角三角形以及相似三角形的性质，同学们需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题.
答案：[1+22]a
5.（2015，防城港）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 .
本题考查了轴对称-最短路线问题以及正方形的性质.利用轴对称确定点A，E分别关于CD，BC的对称点A′，E′，连接A′E′得出P，Q的位置是解题关键.相似三角形的判定与性质、图形分割法是求面积的重要方法.
答案：[92]
几何图形综合题类选择填空压轴题复习建议：此类题综合性强，涉及知识点多，大多数是牵涉到图形变换，其中以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为近年来出题的热点.
第四类：阅读理解型
阅读理解型问题近年在全国各地中考数学试题中频频“亮相”，特别值得我们注意.
1.（2015，钦州）对于任意的正数m，n定义运算为：mn=[m-n （mn）m+n （m
A.[2-46] B. 2 C.[25] D. 20
此题是阅读理解型问题，定义了新运算，其实主要考查的是二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解.
【解答】解：3>2，
3×2=[3]-[2]，
8
8×12=[8]+[12]=2×（[2]+[3]），
（3×2）×（8×12）=（[3]-[2]）×2×（[2]+[3]）=2.
故选B.
2.（2015，南宁）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}=4，按照这个规定，方程[Maxx，-x=2x+1x]的解为（ ）
A.[1-2]
B.[2-2]
C.[1+2或1-2]
D.[1+2或-1]
此题同样是定义了新运算，主要考查分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.最后，解分式方程一定注意要验根.
【解答】解：当x
去分母得：x2+2x+1=0，即x=-1；
当x>-x，即x>0时，所求方程变形得：x=[2x+1x]，即x2-2x=1，
解得：x=1+[2]或x=1-[2]（舍去），
经检验x=-1与x=1+[2]都为分式方程的解.
故选D.
九年义务教育全日制初级中学数学《新课程标准》中指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．
新课程把数学思想、方法作为基础知识的重要组成部分，在数学《新课程标准》中明确提出来，这不仅是课标体现义务教育性质的重要表现，也是对学生实施创新教育、培训创新思维的重要保证．
一、 了解《数学新课标》要求，把握教学方法
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识．所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映．数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为．运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想．若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想．
1．新课标要求，渗透“层次”教学．
《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”．在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想和函数的思想等．这里需要说明的是，有些数学思想在《数学新课标》中并没有明确提出来，比如：化归思想是渗透在学习新知识和运用新知识解决问题的过程中的，方程（组）的解法中，就贯穿了由“一般化”向“特殊化”转化的思想方法．如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意拔高、加深．否则，教学效果将是得不偿失．
2．从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”．
关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义．其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割．它们既相辅相成，又相互蕴含．只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象．因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法．比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的教学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等．在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用．这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效．
二、遵循认识规律，把握教学原则
实施创新教育要达到《数学新课标》的基本要求，教学中应遵循以下几项原则：
1．渗透“方法”，了解“思想”．
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础．因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中．教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题．忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机．如北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节──“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中．在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”．而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决．教师在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，既使这一章节的重点突出，难点分散；又向学生渗透了数形结合的思想，学生易于接受．
2.训练“方法”，理解“思想”．
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易．因此，必须分层次地进行渗透和教学．这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学．如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算．在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用．
3.掌握“方法”，运用“思想”．
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固．数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程．只有经过反复训练才能使学生真正领会．另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程．比如 ，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比．通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法．
4.提炼“方法”，完善“思想”．
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括，让学生有明确的印象．由于数学思想、方法分散在各个不同部分，而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决．因此，教师的概括、分析是十分重要的．教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力，这样才能把数学思想、方法的教学落在实处．
三、初中阶段常见的几种数学思想方法举例说明
1.数形结合思想．
数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映．初中代数教材列方程解应用题所选很多是采用了图示法的例题，所以，教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口．学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义．
2.方程思想．
众所周知，方程思想是初等代数思想方法的主体，应用十分广泛，可谓数学大厦基石之一，在众多的数学思想中显得十分重要．
3.方程思想．
主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法．教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根与系数关系求字母系数的值等．
教学时，可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程．如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时，可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数，可把他们看成三个“未知量”告诉学生利用方程思想来解决，那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组．在这里如果单讲解题步骤，就会显得呆板、僵硬，学生只知其然，不知其所以然．与此同时，还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想，诸如换元，消元，降次，函数，化归，整体，分类等思想，这样可起到拨亮一盏灯，照亮一大片的作用．
4.辩证思想．
关键词 数学思想 课堂教学
应用
目前对于数学思想的提法很是流行，对其概念的界定也是众说纷纭。然而据多年的教学实践，笔者认为数学思想就是学生通过对数学的学习形成自己的观点和认知规律。数学思想的应用即把这些属于自己的数学规律用于学习和解题的过程中。从而达到事半功倍的效果。简言之数学思想主要体现在数学语言、等价转化、数形结合、类比、分类等规律的总结和运用上。那么我们究竟如何在平时的教学中卓有成效的培养学生的数学思想并促使其学会应用呢？这是值得我们每个教育工作者关注和思考的一个问题。
从教学实践中可知：数学课的教学，实际上是教给学生数学方法和数学基础知识。而这两者之间的关系是显性与隐性的关系。知识点是获得数学知识、发展数学思维的动力，是培养学生解决实际问题能力的钥匙。
众所周知，中学数学的基本知识主要是代数、几何和三角中由其内容所反映出来的数学思想和方法，它须教师在课堂上向学生展示获得知识、技能及解决问题的思考过程和解决问题的方法，力求使学生不断接触了解一些重要的数学思想和方法。那么我们怎样在教学实践中去落实这一点呢？笔者认为从以下几个方面入手较好：
一、落实基本概念，培养学生的数学思想
因为对于概念的深刻理解，是提高解题能力的坚实基础，能力的提高是通过学生对数学语言表达和对数学符号的运用来体现的，数学语言和符号实现了思维的概括性和简明性。由繁与简、新与旧之间达到对立的协调和谐的统一。例如在讲切线的判定定理时，不仅抓住定理的内涵和外延，更注重数学语言和符号思想的培养。学生既要熟知“过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。”这一定理，还要在头脑中形成直观的形象即OAAT;OA是O的半径则自然推出AT是O的切线，A是切点。如果需证直线AT是O的切线时则（1）如果知道ATOA，必须证明A在O上或OA是O的半径（2）如果知道A在O上，必须证明OA AT。当学生掌握了以上知识点时，再做练习：“梯形ABCD，AB∥CD，∠A=90?，BC是O的直径，且BC=AB﹢CD。求证：AD是O的切线”时，大多数学生都会过点O作OEAD，垂足为E，再证明OE是O的半径。这样从概念入手，在解题的过程中形成数学意识。
二、注重数形结合，构建学生的数学思想
数学知识尽管来源于生活实践，但数学最本质的东西是从生活实践中的知识高度概括和抽象出来的。这就要求在教学中把抽象的知识具体化、形象化，通过直观的形象来深化教学的实质。为了培养学生的思维能力，教师应该将数形结合思想充分暴露给学生。例如在学习直线与圆的位置关系时，我在教学中构造了直观数学模型（一个圆面与一条直尺）设O的半径为R，圆心O到直线L的距离为d，从直线与O相离时慢慢移动，观察直线与圆的位置关系，通过“数”和“形”的对比，学生很容易认识并掌握直线与的位置的三种关系。能应用这种数量关系去判定直线与圆的位置关系。
三、注重合理分类，梳理学生的数学思想
分类思想是根据所研究的对象相同点和不同点区分不同类型的数学思想方法。分类有两个性质：第一，同一性；第二，独立性。同一性是指分类的标准是一致的。独立性是指每类独立存在，不重复也不遗漏。例如在教学圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”的证明过程时，通过圆心在圆周角外部、一边上、角的内部三种情况，把此定理的证明过程分成三类进行证明，圆周角一边过圆心最易证明，其他两种情况可转化到第一种情况也容易证明。这样以来，学生头脑中思路更为清晰，解起题来就会得心应手！
四、运用“等价转化和换元”体现数学思想
在解方程（组）的教学中，强化消元、降次的思想，就解分式方程来谈，解分式方程反映出来的数学方法就是把分式方程转化为整式方程，其中渗透了“等价转化”的数学思想。通过分式方程的学习，学生逐步明确和掌握“把分式方程化为整式方程”这一基本的数学方法。更重要的“转化”是解数学题的重要手段。一位好的数学教师要学生努力保持好的解题胃口，任何一个数学问题都是通过“联想、构造、转化”的思维方式有机地进行数形转化，从而实现未知到已知的过程。渗透转化和换元思想是引导学生以下几点：
1、解方程（组） 降次、换元、公式变形。
2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想。
3、几何辅助线引发第一，几何习题的条件和结论的变化；第二，对图形的变化。
4、代数、几何、三角之间的转化思想。
一、注重联系现实原型，对概念作解释。
数学概念都是从现实生活中抽象出来的，如正负数、数轴、直角坐标系、函数、角、平行线等，都是由于科学与实践的需要而产生的。讲清它们的来源与实物作比较，这样学生既不会感到抽象，而且容易形成生动活泼的学习氛围。
（1）注意概念的引出
例如：怎样用数表示前进3米？后退3米？收入200元与支出200元等这些相反量呢？引出正负数的概念；用温度计、杆称这些实物，引出数轴这个概念；由对不同实物的分类，引出同类项概念等。首先从对实物的感受激发学生学习的兴趣，再由抽象的特征浓缩成数学概念，学生容易接受。
（2）注意概念的及时整理
对于概念的引出，要把握好时间度，如过早的下定义，等于是索然无味的简单灌输，但定义过迟，学生容易失去兴趣，同时使已有知识呈现零乱状态。因此，教师在教学过程中，要及时整理和总结，在学生情绪高涨的时候及时总结出定义。
（3）注意概念的多角度说明
因为教师提供的感性材料往往具有片面性，所以常造成学生错误地扩大或缩小概念。因此要从多角度各方面加以补充说明。如“垂线”这个概念，不但要用“”号来表示，而且要用多种特殊图形和实物来透视概念的含义。
二、注重刻划概念的本质，对概念进行分析。
一个概念在其形成过程中，往往附带着许多无关特征。因此教师应抓住重点，善于引导学生，这样学生便能把握着概念突现出来的实质，尽量减少乃至消除相关不利因素的干扰。
（1）讲清概念的意义
例如：“不等式的解集”这一概念，抓住“集”这一特征进行分析，即不等式所有解的集合。更通俗地说，就是把不等式所有的解集合在一起（象学生排队集合一样），组成了不等式的解集，最终表示成x>a等形式。只有理解了这个定义，学生在解决问题的时候，就不会有丢解的现象。
（2）抓住概念中的关键字眼作分析。
例如：“同类项就是含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项。”这个概念中，抓住“相同”这一关键字作分析，相同的是什么？是字母和它的指数
两部分;“最简分式”的概念中，抓住“不含公因式”这一关键字眼。只有学生真正理解了概念，那么在解决问题的时候，才能得心应手，不会出现错误。
(3)抓住概念间的内在联系作比较。
对于有内在联系的概念，要作好比较，加深学生对概念本质的理解。例如：“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础之上的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样学生便于抓住“一元一次方程”的本质，并为以后学习其它方程的概念打下基础。
再如：“乘方”与“幂”之间的关系，“直角”与“90°”之间的关系，“方程的解”与“不等式的解”之间的关系，“最简分式”与“最简根式”之间的关系等等。做好有内在联系的概念、相似概念的比较，学生应用起来才会得心应手。
三、注重实际应用概念，对概念进行升华。
学习数学概念的目的，就是用于实践。因此要让学生通过实际操作去掌握概念，升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。
（1）多角度考察分析概念。
例如，对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：
①如果Y=（m+3）X-5是关于X的一次函数，则m=______.
②如果Y=（m+3）X-5是关于X的一次函数，则m=______.
③如果Y=（m+3）X+4X-5是关于X的一次函数，则m=______.
④如果Y=是关于X的一次函数，则m=______.
学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。
（2）对于容易混淆的概念，做比较训练。
例如学生学习了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下练习：
下列命题正确的是：
①四条边相等，并且四个角也相等的四边形是正方形。
②四个角相等，并且对角线互相垂直的四边形是正方形。
③对角线互相垂直平分的四边形是正方形。
④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。
⑤对角线互相垂直平分，且相等的四边形是正方形。
⑥对角线互相垂直，且相等的平行四边形是正方形。
⑦有一个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。
⑧有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。
⑨有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形是正方形。
⑩有一个角是直角的菱形是正方形。
教师在设计练习的时候，对相似概念一定要抓住它们的联系和区别，通过练习使学生真正掌握它们的判定方法和相互关系。
（3）对个别概念，要从产生的根源去考察：
例如“分式方程的增根”的概念。可从产生的根源去考察，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：
①分式方程的根是。
②如果分式方程有增根，则增根一定是。
一、概率与方程
例1 有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程1-axx-2+2=0有正整数解的概率为.
分析：本题是等可能条件下的概率和解方程的综合题.解题思路是将分式方程转化为整式方程，在此过程中有可能会产生增根，注意剔除增根，然后运用列举法求出使分式方程有正整数解的概率.
二、概率与不等式
例2 有3张扑克牌，分是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）先后两次抽得的数字分别记为s和t，求|s-t|≥1的概率．
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案．A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜．B方案：若两次抽得数字的和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案胜率更高？
分析：本题将求概率与不等式知识挂钩，可用列表或画树状图法计算概率，解决问题的关键在于既不重复也不遗漏地列出或画出所有可能的结果.（1）通过画树状图（如图1）可知，共有9种可能结果.而满足不等式|s-t|≥1的结果有6种，故P=69=23.（2）由树状图知，A方案：P（甲胜）=59；B方案：P（甲胜）=49.所以选择A方案甲的胜率更高.
三、概率与函数解析式
例3 有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同三张卡片正面的数字分别为-1，-2，3．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．
（1）写出k为负数的概率.
（2）求一次函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限的概率．
分析：该题将一次函数的知识与求概率有机结合，它可通过表格或树状图清楚地表示出问题所有的可能性，从而使问题顺利解决.
四、概率与代数式的值
例4 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈的手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．
（1）求x+y的值.
（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．
分析：本题取材于生活实际，具有现实性和趣味性.准确求出代数式x+y的值是解决（2）的关键.
五、概率与几何图形
例5 四条线段a，b，c，d，如图2.a∶b∶c∶d=1∶2∶3∶4.
（1）选择其中的三条线段为边作一个三角形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）.
一、列分式方程解应用题的步骤
用分式方程解决实际问题的方法与用一元一次方程解决实际问题的方法基本相同。简单的可分为：设、找、列、解、检、答六大步骤。具体是：
（1）设：弄清题意中的数量关系，用字母（如x）表示题目中的一个合理未知数；
（2）找：根据题意找到能够表示题目全部含义的一个等量关系；
（3）列：根据这个等量关系，正确列出方程。并且所列的方程应满足等号两边的量要相等，方程两边的代数式的单位要相同；
（4）解：解这个分式方程，求出未知数的值；
（5）检：检验。检验应是：检验所求出的解既能使方程成立，又能符合实际意义；
（6）答：写出答案（包括单位名称）。
这六个步骤的难点是“找”，关键是“列”。
二、列方程解应用题中寻找相等关系常用的方法
（1）根据日常事理来确定相等关系
例如：小华买2枝圆珠笔和4本练习本，用去1.96元。每本练习本0.24元，每枝圆珠笔多少元？
相等关系为：买2枝圆珠笔的钱＋买4本练习本的钱＝总金额。
（2）根据常见的数量关系确定相等关系
例如：北京到天津的铁路长137千米，一列火车从北京出发，平均每小时行68.5千米，多少小时到达天津？
相等关系为：速度×时间=路程
（3）利用题目中的关键语句来找相等关系。
例如：某班原分成两个兴趣小组，第一组31人，第二组20人，现根据场地大小，要将第一组的人数调整为第二组人数的2倍，问应从第二组调多少人去第一组?
“第一组的人数调整为第二组人数的2倍”是本题的关键语句，根据关键句可列相等关系为：调整后第一组的人数＝2×调整后第二组的人数。
（4）利用题目中不变的量来找相等关系。
例如：轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2km/h。求轮船在静水中航行的速度。
两个码头之间的距离是不变的量，则相等关系为：顺水航行速度×顺水航行时间＝逆水航行速度×逆水航行时间。
（5）利用有关数学计算公式来找相等关系。
例如：一个三角形的面积是28.26平方厘米，已知底是18厘米，求高。
相等关系为：三角形面积=
三、中考热点问题案例分析
例1（2010江苏徐州）在5月举行的“爱心捐款”活动中，某校九（1）班共捐款300元，九（2）班共捐款225元，已知九（1）班的人均捐款额是九（2）班的1.2倍，且九（1）班人数比九（2）班多5人．问两班各有多少人?
[分析]若以“九（1）班的人均捐款额是九（2）班的1.2倍”建立等量关系，则关系为：九（1）班的人均捐款=1.2×九（1）班的人均捐款。如果设九（2）班有x人，则九（1）班有（x+5）人；若以“九（1）班人数比九（2）班多5人”建立等量关系，则关系为：九（1）班人数=九（2）班人数+5。如果设九（2）班的人均捐款为x元，则九（1）班的人均捐款为1.2x元。
解法一：设九（2）班有x人，则九（1）班有（x+5）人。根据题意，得
解得：x=45
经检验：x=45是原方程的根
x+5=50
答：九（1）班有50人，则九（2）班有45人。
解法二：设九（2）班的人均捐款为x元，九（1）班的人均捐款为1.2x元。根据题意，得
解得：x=5
经检验：x=5是原方程的根
，45+5=50
答：九（1）班有50人，则九（2）班有45人。
例2某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对该纪念品打9折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
（1）求该种纪念品4月份的销售价格；
（2）若4月销售这种纪念品获利800元，5月销售这种纪念品获利多少元?
[分析]以“销售量增加20件”建立等量关系为：5月份销售量=5月份销售量-20。其中，5月的营业额为（2000+700）元。设该种纪念品4月份的销售价为x元，则5月份的销售价为0.9x元。
解：（1）设该种纪念品4月份的销售价为x元。根据题意，得
解得：x=50
经检验：x=50是原方程的根
答：该种纪念品4月份的销售价格是50元。
（2）由（1）知4月份销售件数为 =40件，所以四月
份每件盈利 =20元。5月份销售件数为40+20=60件，
且每件售价为50×0.9=45，每件比4月份少盈利5元，为15元，所以5月份销售这种纪念品获利60×15=900元。
答：5月份销售这种纪念品获利900元。
例3为迎接扬州烟花三月经贸旅游节，某学校计划由七年级（1）班的3个小组（每个小组人数都相等）制作240面彩旗。后因一个小组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务，这样这两个小组的每一名学生就要比原计划多做4面彩旗。如果每名学生制作彩旗的面数相等，那么每个小组有多少学生？
[分析]以“每一名学生就要比原计划多做4面彩旗”建立等量关系为：每名学生计划工作量－每名学生实际工作量=4。设每个小组有x名学生，则原来共有3x名学生，现在共有2x名学生。
解：设每个小组有x名学生。根据题意，得
解得：x=10
经检验：x=10是原方程的根
答：每个小组有10名学生。
例4去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务。问原计划每天修水渠多少米？
[分析]若以“提前20天完成修水渠任务”建立等量关系，则关系为：计划修水渠天数=实际修水渠天数+20。设原计划每天修水渠x米，则实际每天修水渠1.8x米；若以“实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍”建立等量关系，则关系为：实际每天修水渠长度=1.8×计划每天修水渠长度。设计划用x天完成修水渠任务，则实际用了（x-20）天完成修水渠任务。
解法一：设原计划每天修水渠x米。根据题意，得
解得：x=80
经检验：x=80是原方程的根
答：原计划每天修水渠80米。
解法二：计划用x天完成修水渠任务。
解得：x=45
经检验：x=45是原方程的根
答：原计划每天修水渠80米。
例5（2010江苏淮安）玉树地震后，有一段公路急需抢修，此项工程原计划由甲工程队独立完成，需要20天．在甲工程队施工4天后，为了加快工程进度，又调来乙工程队与甲工程队共同施工，结果比原计划提前10天，求乙工程队独立完成这项工程需要多少天。
[分析]本题中没有可用的关键句来建等量关系，但是却有一个固有的关系，就是：甲工程队4天的工作量+甲、乙工程队合作6（20-10-4=6）天的工作量=工作总量，其中工作总量为1。
解：设乙工程队独立完成这项工程需要x天。根据题意，得
解得：x=12
经检验：x=12是原方程的根
答：乙工程队独立完成这项工程需12天。
例6（2010山东淄博）小明7：20离开家步行去上学，走到距离家500米的商店时，买学习用品用了5分钟，从商店出来，小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校．为了在8：00之前赶到学校，小明加快了速度，每分钟平均比原来多走25米，最后他到校的时间是7：55．求小明从商店到学校的平均速度。
[分析]本题不能用“每分钟平均比原来多走25米”这个关键句建立等量关系，而是用固有关系：商店到学校路程÷实际速度=实际用时。设小明原来的平均速度为x米/分，则从商店到学校的路程为30x米，实际平均速度
为（x+25）米/分，前500米用时为 分，实际
时间为（55－20－5－ ）分。
解：设小明原来的平均速度为x米/分。根据题意，得
解得：x＝50
经检验：x＝50是原方程的根
50＋25＝75
答：小明从商店到学校的平均速度为75米/分．
例7（2010四川绵阳）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为弧岛．当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等。则该冲锋舟在静水中的最大航速是多少？
[分析]本题以“时间相等”建立等量关系，关系为：顺流航行时间=逆流航行时间。设冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时，则冲锋舟顺流最大航速为（x＋10）千米/时，逆流最大航速为（x－10）千米/时。
解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时。根据题意，得
解得：x＝40
经检验：x＝40是原方程的根
答：该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时。