时间：2023-05-30 10:45:40
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇圆柱体积，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
2、论证。设第一个圆柱的半径和高为2，1，圆柱的表面积=2πr(r+h)=12π，则它的体积=πr^2*h=4π；设第二个圆柱的半径和高为1，5,圆柱的表面积=12π，它的体积=πr^2*h=5π。所以两个圆柱的表面积相等，它们的体积不一定相等。
3、圆柱（cylinder）是由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。
（来源：文章屋网 ）
1教学内容
圆柱和圆锥的整理与练习。
1.1教学目标
(1)通过对圆柱和圆锥知识的复习，进一步熟练解答基本的数学问题。
(2)通过猜想、估算、验证等数学活动，运用圆柱圆锥之间的内在联系解决生活中的问题，同时培养学生的估算能力。
(3)通过整理、交流、合作、探究，体验探究的乐趣，感受数学的价值，培养学生“学数学、用数学”的意识和创新精神。
(4)使学生进一步体会图形与实际生活的联系，感受立体图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
1.2教学重难点
灵活计算圆柱体的表面积，圆柱体和圆锥的体积，解决实际问题。
2回顾梳理形成网络
师：这单元学习了哪些内容？4人一组进行回顾梳理知识。
教师反馈并把学生整理的知识用展示仪进行展示。
设计意图：放手让学生自己去收集、整理、交流知识，通过这样的学习方式，充分发挥学生学习的自主性，把课堂还给学生，同时还可以培养学生自主学习和发展创新的意识，以及提高学生自行设计的能力与自主获取知识的能力。
师生交流并完成教师提前设计的表格，见表1。
师:请同学认真观察,你发现了什么?你知道有关圆柱和圆锥有哪些计算公式呢?
生边说师边完成板书，如图1所示。
设计意图：复习并非只是重复昨天的知识。本环节在引导学生通过回忆已学过的知识之后，再通过交流、对比、补充，异中求同，使学生的知识真正实现内化，从而形成良好的认知结构。
3内化理解拓展应用
师：刚才我们对圆柱和圆锥的知识进行了整理和复习，那么大家掌握得怎么样？现在小博士出题考考大家，有没有信心接受挑战？现在我们来闯第一关。
3.1基本练习
3.1.1复习知识
出示表1，说明要求，让学生计算并填在表格里。学生口述结果，教师板书填写。
3.1.2应用题(只列式不计算)
(1)一个圆柱的侧面积是12.56 cm2，底面积半径是2 cm，那么这个圆柱的体积是多少m3？
（2）把一个底面周长为80 m的圆柱体切拼成长方体后，表面积比圆柱体增加112 m2。这个圆柱体的体积是多少？
(3)一根圆柱形木材长20 dm，把它截成4段相等的圆柱，表面积增加了18.84 dm2。截后每段圆柱体积是多少？
设计意图：培养学生的问题意识，让学生综合应用本单元的计算公式。培养学生的综合应用能力，拓展学生的思维能力。
3.2判断题
(1)圆柱两个底面之间的距离是圆柱的高，并且有无数条。（）
(2)如果一个正方体和一个圆柱体底面周长相等，高也相等，则它们的体积也相等。（）
(3)圆柱的底面半径扩大2倍，高缩小2倍，它的体积不变。（）
(4)一个圆柱体直径扩大3倍，体积也扩大3倍。（）
(5)圆柱体的体积和它的容积一样大。（）
(6)圆柱的高是3 cm，与它等底、等体积的圆锥体高是9 cm。（）
(7)圆锥体比与它等底、等高的圆柱体体积小。（）
(8)一个圆柱体比和它等底、等高的圆锥体的体积大。（）
(9)圆柱的高是6 cm，和它体积相等，底面半径相等的圆锥的高是18 cm。（）
(10)圆锥体的体积总是比圆柱体的体积小。（）
3.3选择题
(1)一个圆柱形水桶的容积（）体积。
A.相等B.大于
C.小于D.无法确定
（2）一个圆锥体的底面半径是2 cm，高是3 cm，则体积是（）dm3。
A.37.68B.0.03768
C.12.56D.0.01256
(3)一个圆柱体，底面周长是37.68 cm，高是2 cm，它的体积是（）。
A.74.36 cm3B.226.08 cm3
C.76.36 cm3
(4)一个正方体的棱长是6 dm，表面积为（）dm2。
A.36B.216
C.72D.108
(5)一个圆锥体与一个圆柱体，底面积和体积相等，圆锥体的高是9 dm，圆柱体的高是（）。
A.3 dmB.27 dm
C.9 dmD.34 dm
(6)两个底面半径相等的圆锥体和圆柱体，它们的体积比是1∶4，已知圆柱的高是8 cm，那么圆锥的高是（）。
A.2 cmB.6 cm
C.18 cmD.5 cm
(7)一个无盖的圆柱形水桶可以装水多少L？就是求它的（）。
A.表面积B.体积
C.容积D.既可以说体积也可以说容积
(8)把一个圆柱形木棒削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原圆柱形木棒体积的（）。
A.1/3B.1/2
C.2/3D.3/4
(9)两个圆锥体的高相等，甲圆锥体的底面半径是乙圆锥体底面半径的2倍。那么甲圆锥体的体积是乙圆锥体体积的（）。
A.2倍 B.4倍
C.6倍D.8倍
(10)一个圆柱的高不变，底面半径扩大2倍，它的体积扩大（）倍。
A.2B.3
C.4D.8
师：学知识是为了用知识，学了圆柱和圆锥的有关知识，我们可以解决生活中许多问题，请看最后一关。
4实践与拓展
(1)某工厂买来一块长3 m，宽2 m的铁皮准备做一个烟囱，(接头处忽略不计)，①请你设计一下烟囱的形状，你能设计几种款式？②需要的铁皮相等吗？③它们一次排烟的体积各是多少？④如果你是厂长，你会选择哪种款式的烟囱？为什么？
(2)用这块铁皮做成水桶，你会选择哪种款式？为什么？给这个水桶配个底，你会怎么选择？为什么？
(3)一个养鱼专业户用这个圆柱形水桶存了一些鱼，你能算出这些鱼的体积吗？如果是放入布做的玩具鱼你还能用刚才的方法吗？为什么？
设计意图：让学生感到生活中有数学，生活中处处需要数学，提高学生应用数学知识的意识。同时也激发学生的学习兴趣。体现了“人人学习有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同发展的新理念。
5小结
(1)通过这节课的学习，你有什么收获？
(2)这节课你认为该给自己的学习表现打多少分？
(3)这节课你对哪位同学的表现感到满意？为什么？
设计意图：总结是对本节课所学内容的回顾和梳理，不仅要让学生回故本节课所学的主要数学知识和思想方法，还要给学生提出质疑和表达不同意见的机会，进而帮助学生形成及时自我反思的意识。鼓励学生大胆发表自己的意见，增强学生的自信心。一方面培养学生的评价的能力；另一方面在培养学生评价他人发言内容的同时，也培养了学生的倾听能力。
6课后反思
一、指导学生认真观察
首先，在观察之前，我做到给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。其次，不仅要指导学生根据观察的对象有顺序地进行观察，还要指导学生选择适当的观察方法等。第三，科学地运用直观教具及现代教学技术，以支持学生对研究的问题做仔细、深入的观察。第四，努力培养学生浓厚的观察兴趣。例如：在教学“圆柱体的体积”时，我引导学生进行动手实践，将圆柱体拼割成一个近似长方体，先将圆柱沿底面平分割成8等份，对拼成一个近似长方体，学生则观察割拼过程。我向学生提出问题：“这个圆柱体拼成了一个近似的什么立体图形？为什么说它是近似的？它的哪一部分不是长方体的组成部分？”学生回答后，我接着再进行演示实验2：将圆柱体沿底面平分16等份，再拼成近似的长方体。再问：“这次是不是更像长方体了？”这时我启发学生想象；“把它平分成很多等份，这样拼成的图形将会怎样？”在学生回答的基础上，我再总结：“将会无限趋近于长方体，并且最终会得到一个长方体。”然后我再及时引导学生观察这个长方体，并把它与圆柱体进行比较，提问：“这个长方体的哪部分与圆柱体相同？”因为模型各面的颜色不同，所以学生会很快回答出来：“底面积与高。”“那么这个长方体体积与圆柱体体积有什么关系？”学生回答：“相同。”我再问：“这个长方体同原来的圆柱体相比什么发生了变化？”学生经过观察，很快回答：“这个长方体的表面积同原来圆柱体的表面积相比发生了变化。”我再问学生：“这个长方体的表面积同原来圆柱体的表面积相比较是增加的还是减少的？增加或者减少了哪几个面？”学生很快能回答：“长方体比圆柱体增加了两个侧面，每个侧面的长和宽是圆柱体的高和底面半径。”
在学生掌握了圆柱体的体积计算公式后，我出示了这样一题：“一个圆柱体的高是5厘米，将这个圆柱体割拼成一个长方体后，表面积比原来增加了20平方厘米，求这个圆柱体的体积。”学生因为刚才经过观察，很快能求出这个圆柱体的底面半径为：20??＝2（厘米），体积则为：3.14???＝62.8（立方厘米）。
这样引导观察，使学生不但掌握了知识，而且还提高了学生的观察能力和学习能力。
二、引导学生数学想象
教学实践中，我们培养学生的想象力，首先要使学生学好有关的基础知识。其次，新知识的产生除去推理外，常常包含前人的想象因素，因此在教学中应根据教材潜在的因素，创设想象情境，提供想象材料，诱发学生的创造性想象。例如，在教学“圆的认识”时，就有这么一个片断。
师问：在一块草地上修建一个圆形花坛，如果你是施工人员，怎样画出这个圆？
学生纷纷说出各种各样的方法（如竹竿、绳子等）。
又继续引导想象问：要给座城市周围建一条圆形的环城公路，如果你是设计工程师，怎样来画这个圆？学生议论纷纷地说：竹竿、绳子都利用不起来的怎么办呢？有的说：用无线电控制坦克绕城市周围跑一圈。老师引导：如果，遇到河流与建筑物怎么办呢？有的说：用直升飞机在空中绕周围一圈撒白灰画圆。老师说撒白灰会污染环境，而且白灰到了地面也看不清了。最后经过老师的引导，终于有位学生说：在这座城市的地图上用圆规画一个圆，碰到河流就就架桥，碰到建筑物写上“拆”字。这就是一个培养学生想象力，创新能力的范例。
三、鼓励学生求异思维
求异思维是创造性思维发展的基础。它具有流畅性、变通性和创造性的特征。求异思维是指从不同角度，不同方向，去想别人没想到，去找别人没有找到的方法和窍门。要求异必须富有联想，好于假设、怀疑、幻想，追求尽可能新，尽可能独特，即与众不同的思路。课堂教学要鼓励学生去大胆尝试，勇于求异，激发学生创新欲望。例如：教学“分数应用题”时，我出示了这么一道习题：“修路队修一条3600米的公路，前4天修了全长的1/9，照这样的速度，修完余下的工程还要多少天？”我引导学生从不同角度去思考，用不同方法去解答。
解一：3600鳎?600?/9?）－4
解二：（3600－3600?/9）鳎?600?/9?）
解三：4譡（3600－3600?/9）鳎?600?/9）]
思维较好的同学将本题与工程问题联系起来，抛开3600米这个具体量，将全程看作单位“1”：
解四：1鳎?/9?）－4
解五：（1－1/9）鳎?/9?）
解六：4祝??/9－1）；
此时学生思维处于高度活跃状态，又有同学想出：
解七：4?/9－4
解八：4祝??/9）－4
《课程标准》在阐述“空间与图形”内容时，提出许多“探索”性的要求：“探索并掌握长方形，正方形的面积公式”，“探索并掌握圆的周长和面积公式”。“探索某些实物体积的测量方法”等。这些“过程性”目标需要运用探究性活动。因此我在引导学生探索圆柱体积计算公式的过程中，组织学生实实在在地把圆柱体转化成长方体，通过观察、猜测、验证、推理、交流，使学生深刻体验到了“圆柱是怎样转化成近似的长方体的？”、“转化后的近似长方体与圆柱体有什么样的关系？”再通过讨论、复述等形式，再现了公式的形成过程，唤起学生头脑中的表象，既发展学生的空间观念，又培养学生抽象、概括能力。
六年级学生已经学习了一些空间与图形的方面的知识，平面图形有长方形、正方形、三角形、梯形、圆的面积计算，立体图形有长方体、正方体表面积和体积的计算，在这些形体的学习中，学生已经认识到了每个图形之间有着一定的联系。这些形体面积和体积的推导中，都引用了转化的数学思想，所以在学习圆柱的过程中，转化思想的渗透是本节课引导学习的一个重点。
在教学圆柱的体积前，我让学生课前准备一些用萝卜切成的圆柱带来学校，课堂上我先和学生一起复习了长方体和正方体的体积公式，重点引导学生认识到长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来进行计算的（长方体和正方体=底面积×高）。
根据理解教材的角度出发，我按照了书上的例题直接展开教学。出示了长方体和正方体，问：（1）长方体与正方体的体积是怎样计算？怎样推导出来的？（学生说：长方体和正方体=长×宽×高；正方体=棱长×棱长×棱长）（2）长方体和正方体还有一个统一求体积的计算公式？（学生说：长方体和正方体=底面积×高）通过这样的引导学生进一步巩固了长方体和正方体的体积都可以用底面积乘高来计算的道理。
接着我出示了一个与长方体大小接近的圆柱，问：（3）这个圆柱的体积与长方体的体积相等吗？用什么方法可以验证？学生通过讨论，有的说：可以用以前学过的“溢水法”，还有的说能不能把圆柱体不改变大小切成长方体（分割）来算？这时我及时的表扬了这位同学，这就是我们数学的转化，把未学过的知识转化为已经学过的知识来进行思考，并提示他们：圆可以转化成长方形进行面积的计算，圆柱可以转化成长方体计算体积吗？这时，请学生将准备好的萝卜（近圆柱形）进行分割，拼接，将圆柱转化成了一个近似的长方体。
学生在探究新知识的时候，我给予学生充分的思考空间，创设实践操作的条件，营造出思考的环境氛围。引导学生先用小刀把萝卜切成一个圆柱体把圆柱的底面分成若干份（例如，分成4等、份8等份），然后把圆柱切开，再拼起来，圆柱体就转化成一个近似的长方体，学生初步了解了圆柱与长方体之间的关系，就把学生带人探索的领域：学生一下子展开了丰富的想象，接着让学生找一找：这个长方体的长相当于圆柱的什么，宽是圆柱的什么，高是圆柱的什么？通过小组交流指出圆柱体变成了近似的长方体，得到了形状发生了变化，但是体积并没有变化，拼成的近似长方体的体积等于这个圆柱的体积。
引导学生汇报：在转化的过程中，拼成的近似长方体的体积、高与圆柱体体积、高之间的关系，通过讨论和交流，让学生充分谈谈，在转化中，哪些量发生了变化，哪些没有发生变化，最后归纳出圆柱的体积公式（圆柱的体积=底面积×高），这节活动课氛围挺好，学生的学习欲望高涨，让我也尝到了成功的喜悦，它也带给我了一种重来未有的活动体验。整个课堂生动、活泼，学生思维活跃，在动、论、看等过程中学生轻松的掌握了圆柱体积公式。
这样学生通过实践、自主、合作、探索、发现，完成把未知的知识利用已有的知识经验转化为熟悉的知识，这样得到的知识是“活”的，这样的知识对学生自身智力和创造力发展会起到积极的推动作用，是学生在自己艰苦的学习中发现并从学生的口里说出来的这样的知识具有个人意义，理解更深刻。在今后的教学中我们要特别关注学生的思考和探究过程，培养他们独立思考的能力。
：
在课堂教学中，常常会遇到突如其来的情况，教师若不能当机立断，及时妥善处理，就会产生负面影响，妨碍教学工作的正常进行。如何处理好课堂偶发事件？这需要教师运用自己的聪明才智。
一、机智巧妙。教育机智是处理偶发事件必需的心理条件，教师要善于运用机智的语言或措施处理偶发事件。如：一节数学课上，全班同学都在静静地思考老师提出的问题。不知是谁难以控制，突然放出一声响屁，那声音在静静的课堂上格外清晰，还有点悠长、婉转。顿时，同学们都被这声音逗乐了。这时老师笑着说：“同学们，刚才我们意外地欣赏了一段音乐，我看大家又添了精神，想来我出的思考题很快就会有答案了吧！”同学们会心一笑，又恢复了刚才的思考状态。
二、转移回避。课堂上，学生会提一些与教学联系不大或毫无相干的问题。教师这个时候最好不要正面回答，不然就会纠缠在毫无意义的争论中，冲淡甚至破坏课堂教学氛围；而如果不理会，又会挫伤学生的学习积极性，这时，教师最好是转移话题，或巧妙地回避学生的话题。
三、因势利导。例如：一次，我在教学“圆柱体的体积”时，接受昨天学生提出的“只学不会”的学习方式，在黑板上出示：长方体的体积怎样计算？圆的面积计算公式是怎样推导出来的呢？重点研究：圆柱体的体积怎样计算？面对复习的问题，学生回答的很好：长方体的体积=长×宽×高。当我指着长方体的底面时，学生就说：长方体的体积=底面积×高。学生对于圆的面积计算公式的推导记忆犹新，这是很值得我高兴的。面对本课的重点问题，我满怀信心（两个复习问题的铺垫，学生会首先想起来把圆柱体按照圆的面积推导过程一样，来等分圆柱体），开始引导学生独立思考：怎样计算圆柱体的体积？正当大家苦思冥想的时候，一位学生把手举得高高的：“老师，我想出来一种方法。我是这样想的，这是一个火腿肠，我想把它横着切成一个个圆片，分给你们吃。”霎时间，下面的同学都笑了，过了一会儿，一个学生提问：切火腿肠，和圆柱体的体积有什么关系啊？“有啊，这个圆柱体的火腿肠的体积就是每一个圆片的面积乘上圆片的个数。”这样解释完，下面的学生有的在笑，有的在议论，还有的在思考。我想，这是我该出手的时候了：“吴优， 给大家解释一下，圆片是什么？圆片的个数又是什么？”“圆片就是圆柱的底面积，圆片的个数就是圆柱的高。”话音刚落，掌声响了起来……这既顺应了学生的好奇心，又发挥了学生的聪明才智，收到了良好的教学效果。
这星期上了圆柱圆锥这一单元，通过实践操作、小组合作，学生对公式的推导过程掌握的还不错。
在实际教学时，我先复习了长方体（正方体）的体积计算方法，再由课件演示配合圆柱体积的演示器，学生兴趣很浓厚，很容易就推到出了圆柱的体积公式。然后做了书上的课后习题。这个内容，我没有根据书本进行教学，依照课件的演示逐渐推导出公式的。
在等底等高的条件下，圆锥的体积正好是圆柱体积的1/3？对于这一结论的得到。我在教学时准备好学具：一个圆锥和圆柱（等底等高的），水适量。通过老师的演示试验，我们很快得到了圆锥里的水要往圆柱里倒3次，才能把圆柱倒满，从而很轻松的记住了1/3。
从学生的练习看，单独求圆柱圆锥的体积，完成好；如果其中添加了要求圆柱的表面积，存在了几个问题。
1、单位，少部分学生老是忘记区分面积和体积单位，有的干脆一个也不写。
2、求圆柱表面积要计算圆柱的两个底面积，求完表面积之后再计算圆柱体积，有的学生就直接拿两个底面积之和去乘以高了。
3、虽然学生记住了圆锥是它等底等高圆柱体积的1/3，但再计算中仍有一部分学生忘记把1/3乘进去。
在学生练习时，我们老师一定要提醒学生答题细心，每一步想清楚了再动笔。
例1如图1所示,O为杠杆AB的支点,OA∶OB=2∶3。物块甲和乙分别挂在杠杆AB两端,杠杆平衡。已知物块甲、乙的体积之比是2 ∶1,物块甲的密度ρ甲=6×103千克/米3,则物块乙的密度ρ乙=
千克/米3。
解析:设甲物块质量为m甲、体积为V甲;乙物块的质量为m乙、体积为V乙。根据杠杆平衡条件有
m甲•g•OA=m乙•g•OB, ①
由①式可得== 。 ②
根据密度的计算公式有
ρ甲= , ③
ρ乙=,④
由③与④式有
=•=•=,
ρ乙=ρ甲=×6×103千克/米3
=8×103千克/米3。
点拨:解答本题时,一方面要从杠杆的平衡条件入手列出相关等式,另一方面还应抓住密度的公式进行计算。
二、压强与杠杆的综合
例2图2为锅炉保险阀门的示意图,已知OA=10cm,AB=14cm,为保持锅炉内的蒸汽压强是最大值,B处所挂物体重25N,则阀门S承受的最大压力是()。
A. 60N B. 35N C. 30N D. 20N
解析:作用在杠杆上的两个力,一个是B处所挂物体的重力,它的力臂为OB=OA+AB=10cm+14cm
=24cm。一个是蒸汽对阀门S的最大压力,它的力臂为OA=10cm。由杠杆平衡条件得F压•OA=G物•OB,所以
F压===60N。答案为A。
点拨:我们在面对实际问题时,应能从实际装置中抽象出杠杆的模型,确定支点、动力、动力臂、阻力、阻力臂等要素,然后应用相关知识解题。
三、浮力与杠杆的综合
例3如图3所示, 杠杆每小格的长度相等, 质量不计, 以O 点为支点,杠杆的右端挂有重物M。支点左边的A处挂钩码时, 杠杆平衡。 将重物M 浸没在水中,再将钩码移到B 处,杠杆又平衡。 则重物与钩码的质量之比为 ,重物M 的密度是千克/ 米3 。
解析:此题可分重物 M 浸入水中前后两种情况来分析。在M 浸入水中前,设钩码质量为m,钩码挂在A处,由杠杆的平衡条件得
4mg=5Mg ,所以=,
即m=M。 ①
当重物M浸没在水中时,钩码移到B处,杠杆平衡,有3mg=5(Mg-F浮),
整理得 F浮=(M-m)g ,②
将①代入②得,F浮=Mg ,③
当重物M浸没在水中时,由阿基米德原理可得
F浮=ρ水gV排=ρ水gV物=ρ水g, ④
将③、④联立得,Mg=ρ水g,
所以 ρ物=4ρ水=4×103kg/m3。
点拨:本题中杠杆平衡的环境发生了改变,所以我们要分清改变前和改变后各物理量的具体情况,然后利用杠杆平衡条件和浮力的计算方法列式解答。
四、密度、浮力、压强之间的综合
例4如图4所示,在粗细均匀的盛水容器中,将一粗细均匀的圆柱体A放入水中静止时,圆柱体有的长度浮在水面上,这时容器内的B处受到水的压强增大了58.8帕斯卡,问:
(1)圆柱体A的密度有多大?
(2)如果将圆柱体全部压入水中和全部拿出水
面相比较,B处受到水的压强增大了多少?
解析: (1)该圆柱体此时所受浮力应等于排开同体积水的重,在计算中要注意,排开水的体积应为 V。
因为圆柱体悬浮,则浮力=重力, ρ圆柱体gV=ρ水gV排,即 ρ圆柱体gSh=ρ水gSh排。
所以 ρ圆柱体==0.8×103(千克/米3)。
(2)题目在叙述圆柱体时特意指出它是“粗细均匀”的。“粗细均匀”的含义是,当其浸入水中时,排开液体的体积应和其下浸的深度成正比。题目中还提到盛水的容器也是“粗细均匀”的,应理解为如果向该容器内注入一定体积的液体,其液面高度应与液体的体积成正比。由以上分析可以得出,圆柱体浸入水中使容器水面升高的高度与圆柱体浸入水中的体积成正比。
设圆柱体悬浮于水面时,使水面升高的高度为h1,全部压入水中时,使水面升高的高度为h2,则
p1=ρ水gh1,
h1===6×10-3(米)。
又因为 h2∶h1=5∶4,
所以h2=h1=7.5×10-3(米),
p2=ρ水gh2
=1.0×103×9.8×7.5×10-3=73.5(帕)。
点拨:在对待综合性问题时,一定要做好审题工作,找出题中的隐含条件。
五、密度与数学知识的综合
例5A、B、C三种物质的质量m与体积V的关系图像如图5所示。三种物质的密度和水的密度之间的关系是()。
A. ρA>ρB>ρC且 ρA>ρ水
B. ρA>ρB>ρC且 ρA
C. ρA
D. ρA
解析:整个图像表示了物质的质量与体积的变化关系。从体积为10 cm3处作纵轴m的平行线,如图6所示,与A、B、C三条直线交于点C1、C2和C3,再分别过这三点作横轴V的平行线。从图中可以看出, ρA>ρB>ρC。因为ρ水=1g/cm3,而图中ρA约为2g/ cm3, ρB约为1g/ cm3, ρC则小于1g/ cm3。答案为A。
点拨:数学是工具,在解答此类问题时,应从正比例函数图像上发掘信息、寻找条件。然而,寻找条件也是有技巧的,并不是在图像上胡乱找数据。
六、密度、压强、浮力与化学知识的综合
例6根据图7所示的装置回答下列问题:
(1)如图7甲所示,在盛水的试管中放一根洁净的铁钉,用带U型管的胶塞塞上,U型管内水面处于同一高度,数天后观察到U型管内的a侧液面 (填“上升”、“下降”或“不变”),产生此现象的原因是 。
(2)如图7乙所示,水槽中盛有水,烧杯中盛有硝酸钠的饱和溶液(底部留有一些未溶解的硝酸钠固体),现向水槽中加入足量的生石灰,烧杯中的小木块将 (填“上浮”、“下沉”或“不变”);若将生石灰换成,也会产生相同的现象。
解析:解答(1)时应抓住两点,①铁钉生锈要消耗试管内的氧气,造成试管内气压减小;②U型管与大气连通,内外压强差的变化使U型管内液面高度发生变化。解答(2)的关键是,①硝酸钠的溶解度随着温度的升高而增大;②生石灰溶于水时放热,使水温升高,固体硝酸钠继续溶解;③硝酸钠溶解后导致烧杯内液体密度增大;④液体密度增大又导致木块所受浮力增大,木块上浮。由此可见,只要往水槽中放入遇到水时放热的物质(如固体氢氧化钠、浓硫酸等)均可产生相同的效果。
温度分别为40、50 ℃和60 ℃。通过分析样品半径方向上不同点的水分含量以及体积收缩系数与时间和（无因次）水分含量之间的关系得出：猪通脊肉在脱水过程中，内部水分迁移连续进行，中心水分含量最高，从里到外，水分含量依次降低。猪通脊肉非各向同性，样品同一半径上各处水分含量不相等。风速是影响体积收缩的主要因素，体积收缩系数与水分含量线性相关。在温度40 ℃时，风速对体积收缩系数的影响非单调，风速为1.0 m/s的体积收缩系数最大，风速为1.5 m/s时体积收缩系数最小，即S1.0>S2.0>S1.5。
关键词：猪通脊肉；水分含量；体积收缩；收缩系数
Volumetric Shrinkage and Moisture Content Distribution of Dehydrated Pork Tenderloin
ZHANG Hou-jun1， CUI Jian-yun2，*， CHENG Xiao-yu3， ZHANG Shun-liang3， ZHANG Rei-mei3， WANG Shou-wei3， ZHANG Li-ping4
（1. COFCO Wuhan Meat Product Co. Ltd.， Wuhan 430200， China； 2. College of Food Science & Nutritional Engineering，
China Agricultural University， Beijing 100083， China； 3. China Meat Research Center， Beijing 100068， China；
4. COFCO Maverickfood Co. Ltd.， Wuhan 430200， China）
Abstract： The volumetric shrinkage and moisture content distribution of pork tenderloin in different drying conditions were investigated. The air was passed through the column chamber at variety of flow rates （1.0， 1.5 and 2.0 m/s） and temperatures （ 40， 50 and 60 ℃）. Shrinkage factor as a function of time and moisture content （dimensionless） was analyzed， as well as moisture content at different locations in the radial direction. The results showed that during the dehydration process of pork tenderloin， moisture migration was continuous， and the moisture content was maximum at the center， and then decreased gradually along the radial direction. The anisotropy of pork tenderloin resulted in differences in moisture content at the same radius. The volumetric shrinkage of the sample was affected mainly by air velocity， whilst effect of air temperature was negligible， moreover， the relationships between the shrinkage factor and moisture content appeared linear. The effect of air velocity on volumetric shrinkage exhibited non-monotonic behavior at 40 ℃， and the maximum volumetric shrinkage factor occurred at air velocity of 1.0 m/s， meanwhile the minimum at 1.5 m/s， which means S1.0 > S2.0 > S1.5.
Key words： pork tenderloin； moisture content； volumetric shrinkage； shrinkage factor
中图分类号：TS202.3 文献标志码：A 文章编号：1001-8123（2014）05-0006-05
食品干制时常出现的物理变化有干燥、干裂、表面硬化和多孔性形成等。一般而言，细胞失去活力后，仍能不同程度地保持原有的弹性；但是，如果受力过大，超过弹性极限，即使外力消失，也难以恢复原来的状态。干缩正是物料失去弹性时出现的一种变化，这也是不论有无细胞结构的食品干制时最常见的、最显著的变化之一。干缩影响食品成品的外观品质，在一定程度上也会影响干燥速率。
热风干燥的银耳干品收缩率较小，但干燥能耗大，平衡持水能力差，组织结构发生明显的变形和皱缩[1]。毛豆热风干燥的收缩程度明显大于冷冻干燥和真空微波干燥[2]；热风干燥柑橘皮收缩程度大于膨化干燥和冷冻干燥[3]；而莲藕脆片真空微波干燥收缩程度较大，热风干燥相对较小[4]。丁媛媛等[5]研究了不同干燥方式对甘薯产品品质的影响，得出热风干燥的产品硬度最大，色泽最好，而且结构紧密。于静静等[6]在研究不同干燥方式对红枣品质特性的影响时，发现热风干燥产品严重收缩，结构紧密。蔡林林等[7]在研究热风干燥温度对凡纳滨对虾虾仁质构的影响时，发现热风温度是影响整个凡纳滨对虾虾仁干燥效果的重要因素，随着干燥温度的升高，虾仁硬度越大，弹性相对稳定。
食品干制过程中，物料内部水分分布不断变化。在干制初期，物料内部水分分布基本均匀；随着脱水过程的进行，表面水分蒸发，内部水分向外迁移，导致物料从内到外形成水分梯度，水分梯度反过来又作为内部水分向外迁移的推动力，保证干燥连续进行；在干制末期，物料水分含量较低，内部水分又趋于均匀分布。
由于食品物料各向异性、非均一，故脱水时收缩不均匀，物料形状会发生改变。体积收缩有双重重要性：首先，影响产品质构和其他质量因子；其次，模拟脱水时物料内部传质过程需要这方面资料。
Arnosti等[8]报道了梨、胡萝卜、马铃薯、甜马铃薯和大蒜脱水时表观密度与水分含量线性相关。Ramallo等[9]报道，“yerba maté”的收缩系数及表观密度与水分含量线性相关，与温度无关。Orzo等[10]研究了不同含水量的沙丁鱼片渗透脱水时体积收缩的情况，发现体积收缩因子与水分含量线性相关；收缩体积与失水体积也线性相关。Lozano等[11]报道了苹果组织不同水分含量时的体积收缩以及孔隙度的变化。水果渗透脱水时，其体积收缩取决于食品失水和溶质的增加[12]。庞文燕等[13]研究不同干燥方式对青鱼片鲜度的影响时发现，干燥温度越高，干制品体积收缩越大，复水性越差。
在腌腊肉制品的生产中，成熟过程是很重要的一步。在此阶段，通过脱水降低水分活度，增加产品稳定性；产品内部发生一些物理、微生物和生化反应，形成特征外形、特征风味或香味。腌腊肉制品加工过程中一般采用热风干燥方式[14]。本实验研究不同热风干燥条件，猪通脊肉脱水后干缩程度以及内部水分分布的变化。
1 材料与方法
1.1 材料
猪通脊肉 市售；
干缩试验原料：猪通脊肉圆柱体样品：ф19 mm×70 mm。
水分分布试验原料：猪通脊肉圆柱体样品：ф19mm×70 mm、ф40 mm×170 mm。
1.2 仪器与设备
DHG-9076A型电热恒温鼓风干燥箱 上海精密实验设备有限公司；SUNON DP200A型风扇 北京神通电器厂；D60-2F型电动搅拌机调速器 杭州仪表电机厂；QDF-5D型热球式电风速计 北京环境保护仪器厂；MP502B型电子天平 上海精密实验设备有限公司。
1.3 方法
在不锈钢圆柱风管顶端固定一个轴流风机（ф120 mm×308mm），将其置于电热恒温鼓风干燥箱内。样品用网孔规格为10 mm×10 mm不锈钢丝网固定于风管内。风速用调速器和热球式电风速计进行调节和控制。
1.3.1 水分分布
对于ф19 mm×70 mm的圆柱体样品：用ф20 mm×100 mm的取样器在整条猪通脊肉上取出所需肉样品，用氰基丙稀酸乙酯将铝箔粘贴在圆柱体两端面，以防止水分从端面蒸发，保证内部水分只在半径方向上迁移。用铁网固定样品后，置于金属筐内，一并移入干燥箱内金属圆筒进行脱水干燥。在温度40 ℃、50 ℃，风速1.5 m/s、2.0 m/s，相对湿度为30%的条件下，脱水不同时间后测定圆柱体半径方向不同点的水分含量，包括中心点，距中心5 mm点，距中心10 mm点即圆柱体边缘。
对于ф40 mm×170 mm的圆柱体样品：用ф40 mm×100 mm的取样器在整条猪通脊肉上取出ф40 mm×70 mm样品，再取出2个ф40 mm×50 mm的圆柱体，分别加至ф40 mm×70 mm圆柱体两端，连接处用氰基丙稀酸乙酯粘贴。这样使得圆柱体长度远大于其半径，可近似认为样品为无限长圆柱体，那么内部水分轴向迁移相对于半径方向迁移可忽略不计。然后在圆柱体两端贴上铝箔纸，进一步确保内部水分迁移只发生在半径方向上。用铁网轻微固定后，置于金属筐内，一并移入干燥箱内金属圆筒进行脱水干燥。在温度40 ℃，相对湿度30%，风速1.5 m/s 条件下，脱水4、6、8 h 后测定不同点水分含量，包括中心点、距中心10 mm点、距中心20 mm点五个点的水分含量。对于ф40 mm×170 mm的圆柱体样品，在横纵2个方向取样，分别实验。
1.3.2 体积收缩
选取ф19 mm×70 mm的圆柱体。在脱水前，在样品上包裹一层保鲜膜，用量筒根据排水法测定其体积，记为V0。然后在不同温度、风速条件下，脱水0、2、4、6、8、10 h后取出，测定体积，记为V。
脱水后体积变化为ΔV=V-V0；体积收缩系数S=V/V0[10]。
脱水试验控制因子及水平见表1。
1.4 数据分析
数据统计分析采用SPSS 12.0完成；图形、图像处理采用Origin 6.0完成。
2 结果与分析
2.1 水分分布
三条水分分布曲线，是不同干基水分含量样品的水分分布。d.b为干基（dry basis）。下同。
图 1 温度40℃、风速1.5m/s脱水2h后猪通脊肉圆柱体样品水分分布
Fig.1 Moisture content distribution after hot air dehydration for
2 h at 40 ℃， 1.5 m/s
从图1可发现，总体干基水分含量为208.9%的样品，其内部各处水分都相应比总体干基水分含量为194.5%和185.9%的高。图2～4均能得出类似的结论，样品内部各点的水分含量高低与总体水分含量一致，即如果样品整体水分含量较低，那么样品内部各处水分含量都较低。这点充分说明，猪通脊肉在脱水过程中，内部水分迁移连续进行，中心水分含量最高，从里到外，水分含量依次降低，不会出现跳跃。
图 2 温度40 ℃，风速1.5 m/s脱水4 h后猪通脊肉圆柱体样品水分分布
Fig.2 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 40 ℃， 1.5 m/s
图 3 温度40 ℃、风速2 m/s脱水4 h后猪通脊肉圆柱体样品水分分布
Fig.3 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 40 ℃， 2 m/s
由图2、3可知，两种条件下样品总体干基水分含量基本相当，进一步证实了由前面实验得到的结论，脱水速率主要受温度影响，风速影响很小。
图 4 温度50 ℃、风速1.5 m/s脱水4 h后猪通脊肉圆柱体样品水分分布
Fig.4 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4 h at 50 ℃， 1.5 m/s
从图1～4脱水强度依次增大，样品内部水分不断降低，外部边缘水分含量降低到一定程度后就不再继续下降。这样随着干燥过程的进行，样品里外水分含量差异变小，水分分布趋于均匀，曲线越来越平滑。有人报道水分均匀分布会加快干燥速率[15]。
图 5 温度40 ℃风速1.5m/s下分别脱水4、6、8 h后猪
通脊肉圆柱体样品水分分布
Fig.5 Moisture content distribution after hot air dehydration for 4， 6 and 8 h at 40 ℃， 1.5 m/s
由图5可知，随着脱水时间的延长，样品内部各点水分含量逐渐降低。从图5还可看出，内部水分分布曲线并非中心对称，离中心等距离点处水分含量不绝对相等。所以，虽然样品取为圆柱轴对称体，但是由于猪通脊肉各向异性，结构及性质非均一，样品同一半径上各处水分迁移阻力、脱水速率不相等，水分含量因此也不相等。
2.2 体积收缩
2.2.1 体积收缩系数的变化
从图6、7中可知，体积收缩系数随时间推移而降低；风速为2.0 m/s时，体积收缩系数随温度升高而降低，即温度越高，体积收缩越快；但在温度40℃时，风速对体积收缩系数的影响非单调，风速为1.0 m/s的体积收缩系数最大，风速为1.5 m/s时体积收缩系数最小，即S1.0>S2.0>S1.5。因为随着脱水过程进行，水分不断蒸发，导致体积不断收缩；温度越高，水分蒸发越快，体积收缩越大；而温度为40 ℃时，风速为1.5 m/s时体积收缩最快，可能是因为在此温度下，风速为1.5 m/s时，表面水分蒸发速度与内部水分迁移速度最接衡，样品脱水速率最快；而风速为1.0 m/s
时，表面水分蒸发速度可能小于内部水分迁移速率；风速为2.0 m/s时，表面水分蒸发速度大于内部水分迁移速率，这2种情况都使得脱水效率下降，导致能源浪费。
图 6 风速2.0 m/s温度、时间与体积收缩系数的关系
Fig.6 Shrinkage factor as a function of drying time at an air flow rate of 2.0 m/s
图 7 温度40 ℃风速、时间与体积收缩系数的关系
Fig.7 Shrinkage factor as a function of drying time at 40 ℃
图 8 风速2.0m/s温度、体积收缩系数与水分含量的关系
Fig.8 Shrinkage factor as a function of moisture content at an air flow rate of 2.0 m/s
图 9 温度40 ℃风速、体积收缩系数与水分含量的关系
Fig.9 Shrinkage factor as a function of moisture content at a drying temperature of 40 ℃
如图8、9所示，由于样品之间的初始水分含量不同，风速与水分含量对体积收缩系数的影响无明显规律。为了消除因初始水分含量不同给分析样品水分含量与体积收缩之间的关系带来影响，转而研究体积收缩系数（S）与无因次水分含量（X/X0）的关系，如图10、11。
由图11知，风速对体积收缩系数的影响要明显大于温度对体积收缩系数的影响。当温度恒定为40 ℃时，无因次水分含量一定，风速对体积收缩系数存在一个临界点，当无因次水分含量（X/X0）大于0.63时，S2.0>S1.0>S1.5；当无因次水分含量（X/X0）小于0.63时，S1.0>S2.0>S1.5。前面已经论述了风速为1.5 m/s时体积收缩系数小于风速为2.0、1.0 m/s的原因。对于S2.0与S1.0之间的大小关系在无因次水分含量等于0.63处存在变化，这可能是因为在高水分含量区，猪通脊肉弹性完好并呈饱满状态，增加风速至2.0 m/s时，猪通脊肉能够全面均匀失水，猪通脊肉随着水分消失均衡地进行线性收缩，即圆柱体大小（长度、面积和容积）均匀地按比例缩小，这样比不均匀缩小时的表观体积的变化小。
2.2.2 模拟体积收缩系数
由线性回归结果可知，公式（1）、（2）能够在置信水平为95%上，解释95%～99%体积收缩系数的变异性，相关系数R都大于0.99，标准误差均很小。从上述两表还可以看出，公式（1）、（2）线性回归的相关系数及标准误差相等，而且直线的截距相等。截距相等的意义就是当水分含量小到趋于0的时候，两种模型计算的体积收缩系数相等。
3 结 论
3.1 对于脱水时样品内部水分分布得出以下结论：1）猪通脊肉在脱水过程中，内部水分迁移连续进行，中心水分含量最高，从里到外，水分含量依次降低；2）随着干燥过程的进行，样品里外水分含量差异变小，水分分布趋于均匀；3）猪通脊肉非各向同性，结构及性质非均一，样品同一半径上各处水分迁移阻力、脱水速率不相等，水分含量均不相等。
3.2 对于体积收缩得出了以下结论：1）体积收缩系数随时间推移而降低；体积收缩系数随温度升高而降低；2）风速对体积收缩系数的影响非单调，风速为1.0 m/s的体积收缩系数最小，风速为1.0 m/s时体积收缩系数最大，即S1.0>S2.0>S1.5；3）温度对体积收缩系数的影响相对于风速对体积收缩系数的影响可以忽略不计；4）温度一定时，体积收缩系数与（无因次）水分含量线性相关；5）实验涉及的2个线性模型都能很好的模拟体积收缩系数与（无因次）水分含量之间的关系。
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关键词： 交互电子白板小学数学课堂有效整合
曾经，教师一支粉笔一块黑板，整个课堂是整齐划一的，而如今，我们的课堂形式多样、声光俱全，这一切的改变自然要归功于信息技术日新月异的发展，身为一线教师的我们深感多媒体课堂教学是何等的重要。可是与此同时，小学数学课堂的教学模式也在悄然发生着改变，一些小数界的专家和普通教师发现传统的多媒体课堂有这样的问题：通常的多媒体演示文稿都是课前准备好的，如果课堂上根据学生的回答做相应调整就比较困难，一些操作多媒体课件还不娴熟的老师往往会忽略学生的课堂实际生成，把课前制作好的幻灯片一张张放映，使得媒体的使用效果大打折扣。所以，如何更好、更合理地使用多媒体成了近年来课堂教学的焦点之一。我参加了本校开展的有关电子白板的课题研究，对电子白板和数学学科的整合有了一定的心得体会。
一、运用交互电子白板，融合生成性和预设性，灵活组织教学。
交互式电子白板支持的课堂教学有利于日常课堂教学回归生动灵活的教学过程，改变常见的展示讲解课件的教学过程，同时也使教学资源从“预制”转向“弹性”调用，有利于把预设性课堂转变成生成性课堂。
例如《圆锥体体积计算公式的推导》课中，老师为学生准备了一堆沙子，要求学生自制一批等底等高的圆柱体和圆锥体，让大家动手实验，用实验教学法推出圆锥体体积计算公式。学生在掌握圆柱体体积计算公式的基础上，纷纷以圆柱体为参照物，用沙子做流通物，通过沙子在圆锥体和圆柱体之间的流通，很快得出三个结论：（1）圆锥体体积是圆柱体体积的■；（2）圆锥体体积比圆柱体体积的■多一点；（3）圆锥体体积比圆柱体体积的■少一点。三个结论，谁对谁错？同组学生、异组学生争论不休，反复实验，现象依旧，结论不明。老师观察后，发现学生自制的圆锥体和圆柱体不规范，存在高度和底面积不相等的现象，因此得出三种不同的结论。对此老师没有简单地去肯定和否定，而是适时推出交互式电子白板这项新技术，要求学生带着自己制作的圆柱体和圆锥体在白板上“画”出它们的高度和底的周长，再利用交互式电子白板的“直线”功能和“平移”功能，对学生“画”出的线段进行比较。学生很快发现，在圆锥体和圆柱体的高度和底的周长都相等的情况下，圆锥体体积等于圆柱体体积的■；随即根据圆周长计算公式很快推导出：只有在底面积和高度相同的时候，它们的体积存在1∶3的关系，进而推出圆锥体体积是等底等高圆柱体体积的■。学生经历这样一种获得知识的过程，不仅得到了“鱼”，而且得到了“渔”，更引起了对学习的“欲”。
二、运用交互电子白板，将抽象内容变得形象生动，有效建构知识。
传统的教学往往在突出重点、突破教学难点上花费大量的时间和精力，即便如此，学生有时仍然感触不深，易产生疲劳感甚至厌烦情绪。恰当运用交互式电子白板互动技术，可以变抽象为具体，调动学生的各种感官，从而有效地实现精讲，突出重点，解决难点，取得传统教学方法无法比拟的教学效果。
小学几何图形的教学，要帮助学生建立空间观念，而空间观念的形成有赖于想象。例如：在教学《线段、射线、直线》一课中：先利用白板的绘画功能，画出一个点，然后从点一端画出一条水平线，学生看后马上就能悟出“射线”是怎样形成的；接着通过这一端的伸缩让学生认识射线的特性。然后，在它下面画出一个点，它的两端分别射出一条水平线，自由地伸缩，以此来让学生理解直线的生成和“无限延长、不可度量、没有端点”的特点。接下来，在白板上画出两个点，再用一条水平线把这两个点连接起来。学生认识到这就是线段，它有两个端点，不可伸缩，有长度、可度量。绘图的过程根据学生的需求，可利用电子白板的回放页面功能，来进行有效的知识回顾。
三、运用交互电子白板，扩大课堂容量，节约课堂时间。
多媒体技术能任意把文本、图形、图表、语言、音乐、静止图像、动态图像有机地结合在一起，运用多媒体辅助教学，能够打破时间和空间的制约，延伸和拓宽教学时空，通过图像、声音、色彩和动画，传递教学信息，解决由于时间和空间的限制造成的教学难点。
如在讲授连加、连减、加减混合的一些具体数学问题时就可以从教师的资源库中拖出有关物体的图片，例如小鸟、蝴蝶、小汽车等。当教学本来有2只小鸟，又飞来3只时就可以在白板上先呈现2只小鸟，教师现场拖动3只小鸟，并陈述又来3只小鸟，这时学生对3+2的问题就会有清晰的理解，然后拖动其中1只拖走，陈述又飞走了1只，本来抽象的加减混合问题，学生马上就可以理解，同时一些复杂的过程也可以做成Flas，在白板上重复播放出来，不让抽象性的过程变成数学中的难点。
事实证明，交互式电子白板技术与小数教学有效整合，有利于激发学生的学习兴趣，有利于从被动教育向主动教育转变，有利于从知识教育向智能教育转变，有利于从应试教育向素质教育转变。只要在使用白板教学时，根据小学数学的教学目标，结合学生实际，着眼于学生的发展，就能将电子白板使用得恰到好处，真正发挥它的优势。我们应凭“交互式电子白板”这双翅膀，飞向理想的数学课堂，努力营造民主、平等、和谐、融洽的教学氛围，创设身心解放、思维开放、个性奔放的教学场景，使学生乐在其中，令数学课堂其乐无穷。
参考文献：
［1］丁兴富，蒋国珍.白板终将替代黑板成为课堂教学的主流技术.首都师范大学远程教育研究所，北京100037.
【关键词】 生成资源 课堂 生命活力
【中图分类号】 G42 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962（2012）07（b）-0126-01
在新课程理念下的课堂，教师要关注学生发展，注重课堂生成，构建动态课堂、和谐课堂、使课堂呈现出生机勃勃的气氛。
1 精心设计问题，预约动态生成
教学是一个有目的有计划的活动，预设是其基本的要求。
在教学“倒数的认识”前，关于0的倒数的教学，我根据教材编排和学生认识水平，有意将找0的倒数放在“找出下列各数的倒数”的练习中，让学生试做，引起争议，再让学生讨论，达成共识。
课堂教学中，学生出现了不同的意见：0的倒数是0、0的倒数是任何数、0没有倒数。
师：究竟哪一个答案是对的呢？希望通过你们的辩论，准确找出正确的答案。
生1：因为1的倒数是1，所以0的倒数是0。
生2：0乘任何数都得0，所以0的倒数是任何数。
生3：两个数的乘积必须是1，两个数才互为倒数，0和什么数相乘能得到1呢？没有，所以0没有倒数。
生4：1和0都是特殊的数，1的倒数是它本身，0的倒数也应该是它它本身。
生5：1的倒数虽然是它本身，但是，因为1×1=1，符合两个数的乘积是1。
学生的争论更加热烈了，我没有叫停。我感到学生们思维异常活跃。他们的想法需要吐露，观点需要交流。这也正是我的预设所要的效果。
生6：还有，大家看，一个数的倒数就是原来的数的分子分母交换了位置，那0倒数是，没有这样的分数呀？
生7：0不能作分母，所以0没有倒数。
师：有太多的理由都能说明0是没有倒数的。
片段中，当学生出现三种不同的意见时，尽管教师心里也清楚谁是谁非，但却没有发表任何意见，而是以鼓励的语气激励学生自己动脑筋解决问题。
许多教学实践证明，课前的预设越周密，考虑越详尽，实现动态生成课堂的可能性就越大。当然，这种预设必须是多维的、灵活的、开放的、动态的立体式设计，使课堂动态生成更具有目的性和方向感。
2 把握学习起点，促进动态生成
尽管我们强调“认真钻研教材，精心设计教案，以达到教学效果最优化”，但学生个性突出、接受新事物快，他们在进教室之前，很有可能对我们要教授的知识有所了解，甚至有所掌握。我们要根据课堂需要，变预设为“生成建构”，让学生在“生成”中建构属于自己的认知结构，促进学生的终身可持续发展。
如：教学乘法口诀的时候，我们教师按照预设去揭示口诀的形成过程。但是学生已经会背很多口诀。和教师的预设就有冲突。教师就抛开预设，放手让学生自己进行展示证明口诀的形成过程。
我灵活捕捉这一起点资源，通过摆学具、画图形、写算式、说想法等，巧妙地引导学生充分展开探究的过程，动态生成新知，并扎根大脑。教师要有良好的教学态度，才能审时度势，相机调整教学预设，以保证学生有充分的时间主动学习、积极探究，加深知识理解，促进思维拓展。
3 捕捉思维亮点，调控动态生成
在课堂中，学生的回答往往会不经意地出现一些亮点，所以，我们要给学生说话的机会，并用心倾听、准确捕捉和充分肯定，让其智慧闪光。
在教学圆柱体的体积后的练习中，我出示了这样一个问题：一个圆柱体的侧面积是62.8平方厘米，底面半径是2厘米。求它的体积是多少立方厘米？
62.8÷（3.14×2×2）×（3.14×22）=62.8（立方厘米）。
为了加深学生的理解，我再次把解决这一问题的思路强调了一遍。正当我要出示下一个问题时，一个学生大声地喊到“老师，向丽还有一种方法。”我让向丽上黑板写出了他的解法。
62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）=62.8立方厘米。
生：我认为，他这样是错的。他并不是紧紧围绕底面积乘以高在算。
向丽充满信心地说：“我们在学习圆柱体公式推导时，是把圆柱体沿直径和高平均切成若干等份，拼成了近似长方体。这样转化后的长方体的体积就是圆柱体的体积。在这个长方体中，高是62.8÷12.56，宽是半径2，长是3.14×2×2÷2，所以长方体的体积62.8÷12.56×2×（3.14×2×2÷2）就是圆柱体的体积。”
显然，学生的空间思维被激活了。
生：我可以改进一下他的算式。写出算式：62.8÷12.56×2×（3.14×2），指着“3.14×2”解释说：“这是半圆弧线的长，成了转化后长方体的长。”
生：我们把转化后的长方体睡下来，圆柱体的侧面正好有一半成了底面，“62.8÷2”就是底面积，圆柱体的半径2成了长方体的高。根据“底面积×高”得体积，所以62.8÷2×2=62.8就是圆柱体的体积。
一、 打好铺垫，促进迁移
数学是一门逻辑性很强的学科，它环环相扣，节节相连。平面立体图形也不例外。立体图形都是由平面图形组成的，同时，先学的立体图形（长方体、正方体）又是后面立体图形的基础。这样，教师在备课时，必须根据教材内容有计划的安排复习，为促进新知识的迁移作准备。例如笔者在教学圆柱体的体积时，就安排了这样三个复习题：①长方体的体积公式是什么？②正方体的体积公式呢？③长方体和正方体的统一公式是什么？
二、激趣，变“苦学”为“乐学”
1、充分利用教具，变抽象为直观。
形象――表象――抽象是进行小学数学教学的基本过程。表象是中介，是过渡的桥梁。表象既是形象思维的细胞，又是抽象思维的支柱。没有表象，抽象思维也就成了无源之水。小学生的思维正在以具体形象思维为主，因此，在教学过程中，笔者从这一实际情况出发，充分利用教具，指导学生形象的认识事物、在头脑中形成表象的基础上进行概括。例如：笔者在教学圆锥的体积时分三步从形象思维过渡到抽象思维：
⑴具体形象阶段
教师拿出两个等底等高的空心圆锥体和圆柱体形的缸子，把圆锥体的底面和圆柱体的底面重合。观察后提问：发现了什么？把圆锥体和圆柱体放在水平桌面上，让学生探究观察结果。
⑵表象阶段
实验：教师用空心圆锥体盛满水倒入圆柱形缸内。观察水的体积大约是圆缸的几分之几，继续倒，正好倒了三次，圆柱形缸内水满。
⑶抽象概括
回忆刚才这个实验，说说这个圆锥体的容积与这个圆柱体的容积有什么关系？体积呢？是不是任何圆锥和圆柱的体积都有这种关系？
2、动手、动脑、动口，使学生由“学会”变“会学”
在立体图形教学中，教师应经常引导学生动手操作，让学生的多种感官参与到学习概念、理解算理的过程中，使他们不但“学会”，而且“会学”。
例如：笔者在教学长方体的体积时，先让同桌共拿出24个棱长为1厘米的小木块，摆一摆：⑴每行摆两个，摆3排；⑵每行摆3个，摆2排，摆3层。学生操作后，再启发学生动脑想：⑴每个长方体的体积是多少立方厘米；⑵每个长方体的宽和高分别是多少；⑶讨论长方体的体积与长方体的长、宽、高的积有什么关系。
这样的教学让学生参与到学习活动中来，充分调动了学生学习的积极性，课堂气氛生动活泼，学生轻松之中就已掌握知识。教师长期这样教学，也在潜移默化的影响着学生们。当学生碰到很接近生活的难题时，就会亲自动手实验一下，学生理解透彻，印象深刻。
三、 分层次练习，拔尖子，促后进
讲完课后，笔者总要根据班内学生的实际情况，精心设计一些练习题。练习共分三层：
⑴基本练习：这一层是求同思维，让学生内化知识进行基础练习。一般例题后面的“做一做”和练习题中的前三题都可选用，同时还要让学生根据例题出一两练习道，举一反三。
⑵变式练习：这一层是通过新旧知识对比练习，提高学生思维的深刻性，逐渐培养学生的发散思维。例如：笔者在教学完《圆柱的体积》后，设计了这样的练习：
①一个圆柱体的体积是56立方分米，高是4分米，求它的底面积。
②一个圆柱体的底面周长是6.28厘米，高是半径的5倍，求它的体积。
在这两道题里，既考查了体积公式变形的应用S=V÷h，还考查了学生综合运用知识解答问题的能力。已知周长C求面积S，再运用体积公式V=Sh
⑶发展性练习。这一层主要是供有余力的学生练。拓展学生的思维空间，发展他们的智力。如笔者在教学完《圆柱体的体积》时，留下这样一个练习题：一个圆柱体的表面积是18804平方厘米，底面半径是4厘米，求它的体积。这样的分层次练习，不但考虑到让全班学生吃的好，还要让尖子学生吃饱，既照顾了全体，又发展了个体。
四、 梳理知识，整体提高
复习是小学数学教学中不可缺少的一环，讲完一章后进行科学合理的复习，不仅可以巩固以前学过的知识，沟通新旧知识的联系，还可以帮学生弥补知识上的缺陷。立体图形这一部分，学生更易混淆某些公式、概念，通过复习，可以帮助学生更好的去理解。
1、组建知识结构，比较其联系
系统论告诉我们，任何事物都是由系统构成的。小学数学也不例外。在复习时，从整体入手将各节的知识更新串在一起，将零散的知识汇集成块，使之条理化、系统化，使学生能直观形象地看出各知识点的内在联系。六年级下学年，教学完圆锥体的体积后，立体图形在小学阶段就结束了，教师可以把四种图形按形体特征、表面积计算、体积计算三大块进行系统整理知识。
2、有针对性的练习，以巩固其知识点
数学建模是对某些事物系统的特征或数量依存关系概括或近似表述的数学结构，即将特定问题转化为数学关系的过程，小学阶段中的数学建模表现形式包括一系列的概念系统、算法分析、公式关系、定理公理推断等。随着数学学术的不断完善，数学建模的思想不断应用在数学的教学和学习中，在小学相对简单的数学知识教学中亦应用了数学建模的思想，通过探讨小学数学教学中的建模思想，提高学生的学习能力，提高教师的教学质量。
一、小学数学模型思想
在整数的运算中，学生掌握的整数四项基本单向运算的方法是小学接触的数学模型，十进制是表示数的基本模型，是日常生活中使用最多的计数方法。一年级学生接触的“凑十法”与“破十法”就是以其为基础“一看（看大数）、二拆（拆小数）、三凑十、四连加”的思考过程，实际上就是学生在教师指导下建立的较为复杂的数学模型。因此，在小学生的数学教学过程中，不可避免地要用到数学建模思想。
二、开展数学建模活动的途径
数学建模活动的开展是为了培养学生的思维能力以及创新能力，因此，在小学数学教学中要革新思想，用数学建模的思想去进行数学教学。开展数学建模活动需要老师和学生的共同努力，老师要加强对数学建模的重视，在教学过程中渗透建模思想，学生要积极配合老师，团结合作共同完成建模过程。
数学建模的过程离不开资料的收集，因此，教师可以结合教材创造数学情境，让学生在学习的过程中获得“搜集资料、建立模型、解答问题”的体验。例如，西师版教材中三年级上的第九章的总复习――数学文化：中国的四大发明之一――指南针，四面八方，平年、闰年的来历，可以通过让学生收集资料，并解答相应的问题，通过合作、收集资料、解答的过程体验数学建模。
上好实践活动课程对学生模仿建模有很好的指引作用，老师在教学过程中给学生提供信息资料，引导学生进行问题分析以及资料的收集，提高学生的思维能力。结合教材内容，对教学内容进行整合，并融入生活中。例如，西师版教材中实践活动――做一个家庭年历，结合生活实际，同时在要求学生理解年、月、日概念的情况下，考虑当下的问题背景：今年是什么年份，有几月，一月有几天，并对年历进行设计规划，是一个很好的建模过程。
改编教学习题，使数学建模成为一种自觉行为。例如，在西师版小学数学中关于圆柱体和正方体体积的计算中，通过建立数学关系，探讨圆柱与正方体的关系，在体积相同时，圆柱的底面半径、周长、高与长方体的长宽高的联系（圆柱的底面半径等于长方体的高，底面周长等于长方体的长，圆柱的高等于长方体的宽），进而解决练习题中关于圆柱和长方体体积的转变计算。
三、数学建模思想在小学数学教学中的应用
数学是一门应用性很强的学科，数学建模融入数学教学中，可以帮助学生更好地理解数学知识，利用数学建模的思想解决数学问题，可以简化问题，利用固有模型进行模型创新，解决一类数学问题；同时数学模型的建立可以得出新的定理，帮助学生理解新的知识，例如，在学习圆柱体积的基础上，在讲解圆锥体积公式的时候（圆锥体积= 圆柱体积），由圆锥的体积公式推导圆柱体积公式，可以利用数学建模思想，先进行圆柱与圆锥的对比分析，让学生大胆猜想假设两者之间的关系，并讨论用什么办法比较圆柱与圆锥两者体积的关系。老师引导学生进行试验尝试，在底面积相等、高相等的情况下，将装入圆锥模具的水倒入圆柱模具中，三次刚好装满圆柱模具，说明圆锥的体积等于与之等底等高的圆柱体积的，学生通过实际动手操作得到结论，同时，学生运用到以前学过的圆柱体积的知识，对以前的知识进行巩固，并理解圆柱与圆锥的关系，提高了学生的学习兴趣，提高了教学质量。
在小学数学教学过程中离不开数学建模的过程，小学数学无论是公式的推导还是数学计算的应用，甚至动手实践环节，都离不开数学建模思想，因此，小学数学教学亟须将数学建模思想融入教学中，提高教学质量，激发学生学习的积极性，在学习理论的基础上进行实践应用，加强学生实际动手能力与解决数学问题的能力。通过培养教师的建模意识，培养学生的建模思想，了解建模思想的简便性和适用性，使学生养成运用模型解决问题的习惯，形成自动化思维。