时间：2023-05-30 10:54:35
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇定积分公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
不定积分是高等数学的核心内容之一，直接积分法、换元积分法、分部积分法是计算不定积分的基本方法，第一类换元积分法（也称为凑微分法）是最基础的，也是应用最广泛的积分方法，因此，熟练掌握第一类换元积分法是后继学习第二类换元积分法和分部积分法的基石.笔者就怎样巧用第一类换元积分公式快速计算不定积分谈谈自己的认识和体会，供初学者借鉴.
1.深入解析第一类换元积分公式.
设函数f（u）具有原函数，u=φ（x）可导，则有换元积分公式[1]
？蘩f[？准（x）]？准′（x）dx=？蘩f[？准（x）]d？准（x）=[？蘩f（u）du]■.
（1）题设中的条件，函数f（u）具有原函数，即f（u）可积，其实f（u）一定是基本积分公式表中某一类型的函数.
（2）由？蘩f[？准（x）]d？准（x）可以看出，被积函数无论多么复杂，也只能看做二重复合函数的积分.
（3）若不定积分？蘩g（x）dx可以用此公式计算，则一定可化成？蘩g（x）dx=k？蘩f[？准（x）]d？准（x）（k是非零常数）的形式.
2.将基本积分公式表中的变量x全部换成一般的初等函数？准（x），得到下列广义基本积分公式表.下面只列举一部分.
①？蘩x■dx=■x■+c（u≠-1）？蘩？准（x）■d？准（x）=■？准（x）■+C（u≠-1）；
②？蘩■dx=ln|x|+C？蘩■d？准（x）==ln|？准（x）|+C；
③？蘩a■dx=■+C？蘩a■d？准（x）=■+C；
④？蘩e■dx=e■+C？蘩e■d？准（x）=e■+C；
⑤？蘩cosxdx=sinx+C？蘩cos？准（x）d？准（x）=sin？准（x）+C；
⑥？蘩■dx=arctanx+C？蘩■d？准（x）=arctam？准（x）+C；
3.怎样巧用第一类换元积分公式计算不定积分？蘩g（x）dx？
（1）分析被积函数g（x）的结构特点，根据基本积分公式表中被积函数的类型，确定复合函数f[？准（x）]，将g（x）化成g（x）=h（x）f[？准（x）]；
（2）直接计算d？准（x）=t（x）dx，比较t（x）和h（x）得到常数k，k=■，于是得到？蘩g（x）dx=k？蘩f[？准（x）]d？准（x）；
（3）利用广义基本积分公式表直接写出结果.
注：第（2）步如果将t（x）和h（x）作比较，得到的不是常数k，而是关于x的函数，此时不能直接用第一类换元积分公式计算，需要对被积函数g（x）先做恒等变形，然后作分析.
4.举例说明.
例1：计算？蘩xe■dx.
解：被积函数直接就是h（x）f[？准（x）]的形式，直接计算d（x■）=2xdx，比较2x和x得常数k=■=■，于是有广义基本积分公式④得：
？蘩xe■dx=■？蘩e■d（x■）=■e■+C.
例2：计算？蘩（1+2x）■dx.
解：被积函数直接就是h（x）f[？准（x）]的形式，h（x）=1，？准（x）=1+2x，d？准（x）=2dx，比较得k=■，于是有广义基本积分公式①得：
？蘩（1+2x）■dx=■？蘩f（1+2x）■d（1+2x）=■・■（1+2x）■+C=■（1+2x）■+C.
例3：计算？蘩■dx.
解：？蘩■dx=？蘩■■dx，h（x）=■，d（■）=■dx，比较得k=1，于是？蘩■dx=？蘩■d（■）=arcsin■+C.
例4：计算？蘩cos■xdx.
解：cos■x可以看成u■和u=cosx的复合，d（cosx）=sinxdx，但是经比较k=■不是常数，因此？蘩cos■xdx不能直接用第一类换元积分公式计算.此时可用三角公式将被积函数变形为：cos■x=■.
即？蘩cos■xdx=？蘩■dx=■？蘩dx+？蘩cos■xdx，
而？蘩cos2xdx可巧用公式求解得？蘩cos2xdx=■？蘩cos2xd（2x）=■sin2x+C，
于是？蘩cos■xdx=■x+■sin2x+C.
总之，第一类换元积分法主要是计算复合函数的不定积分，积分运算是微分运算的逆运算，因此，初学者只要熟练掌握复合函数和微分运算的基本知识，就可以运用本文所给出的方法快速计算不定积分.
for Graduate School
Shi Weiguo
（Ankang University，Ankang 725000，China）
摘要： 对多元函数积分学在历年数学考研中知识点的回顾及统计分析，探究其试题来源，通过对未来试题的预测，提出备考建议。
Abstract: The article retrospected and statistically analyzed the points about multivariable differential calculus in test for graduate schools, discussed its origin, forecasted and put forward suggestion on preparing for the test.
关键词： 重积分 曲线积分 曲面积分 考研数学
Key words: multiple integral；line integral；surface integral；mathematics for test for graduate school
中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）27-0173-01
1考研题的特点比照：（以数学一试题为例）
2000年至2011年考研数学一的12年试题中，均涉及多元函数积分学的试题，具体的试题特点呈现如下：
从上述统计不难看出，考题热门话题是利用①重积分、线面积分对称性；②格林公式、高斯公式、斯托克斯公式；③重积分的坐标变换（极坐标变换，柱面坐标变换，球面坐标变换）；④曲线积分与路径无关的四个等价条件的解答题或计算题。
2试题探源
多元函数积分学试题，一般都有它的原形，探索和寻找考题的命题背景，有利于猜透命题人的原始意图，对高备考复习的针对性和有效性是有益的。
如：2000数学一（六）题：
计算曲线积分■■，其中L是以点（1，0）为中心，R为半径的圆周（R>1）的连续曲线，取逆时针方向。
2009数学一（19）题：
计算曲面积分I=■■，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。
这两考题为封闭曲线（面）的曲线（面）积分，易想到用格林（高斯）公式，但在原点处被积函数不连续，不能直接用（格林）高斯公式，一般采用挖洞法来解，通过挖洞，对复连通区域应用格林(高斯)公式，从而计算出结果，它和[1]P175例4：
计算■■，其中L为一条无重点，分段光滑且不经过原点的连续曲线，L的方向为逆时针。
十分相似，考题可看成是对此例题的解题思路、方法的掌握，这说明教材中的经典题可能是考题的生长点。又如：应用格林公式或加、减弧段的格林公式法，高斯公式或加、减曲面片的高斯公式法几乎每年都有这种类型的考题，而这种类型的问题在高等数学或数学分析教材中均有大量的例题或习题,这说明教材中的重点定理及应用重点定理解题的方法往往是必考类型。
数学一：2011（12）题，此题考察斯托克斯公式,两类曲面积分的联系，如果你留心的话，就会发现此题与十多年前（1997（三（2）），2001（六））的考题类型完全一样，这表明考题可能源于过去考试真题。
3考题预测
多元函数积分学是高等数学的重要内容，在数学其它分支有着广泛的应用，也是进一步学习和研究其它与数学有关课题的基础，在数学一中的地位也至关重要，考分占总分的■左右，考题主要是计算题与综合题，试题类型源于教材中的经典例题、习题，历年数学考研真题，重点定理及应用重点定理解题的方法所涉及的题型或题型的变形，而综合题考查的是知识之间的有机结合，故此类题难度一般为中等难度。
多元函数积分学试题所考查的类型主要是：①二重积分：交换积分次序，利用二重积分的对称性，极坐标替换化简计算。②三重积分：利用三重积分的对称性，柱面坐标替换、球面坐标替换化简计算。③曲线积分（主要是第二类曲线积分)：利用参数式计算，利用格林公式或加、减弧段的格林公式法计算，利用曲线积分与路径无关的等价条件计算与此有关的问题。④曲面积分（主要是第二类曲面积分）：利用高斯公式或加、减曲面片的高斯公式法计算，利用斯托克斯公式及两类曲面积分的关系化为第一类曲面积分计算等。
4备考建议
熟练掌握重积分、线面积分的概念、定理、性质、公式及基本计算方法，这是解题的基础；熟练掌握并灵活应用①重积分、线面积分对称性；②格林公式、高斯公式；③重积分的坐标变换（极坐标变换，柱面坐标变换，球面坐标变换）；④曲线积分与路径无关的四个等价条件等知识，及这些知识常见的题型，使用的技巧，这会使你快速找到解题思路并解答问题；以历年数学（一）考研真题及各考研研究机构的考研预测题作为考前训练题，研究真题并总结试题规律，这会使你在考试时见到不少熟悉的考题。另外，要注意“冷”题，如2011（12）题，此题考察斯托克斯公式，两类曲面积分的联系，已十年未涉及此类型，故切记，复习时对大纲有要求但考的较少的“冷”题型，不可放弃。
参考文献：
不定积分是高等数学---微积分中的重要内容之一，本文从不定积分的定义入手，剖析定义，归纳和总结了不定积分的直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法。
【关键词】
不定积分；高等数学；积分法
正确理解高等数学---微积分中的不定积分的概念，浅谈不定积分的几种求法以便于学生能灵活应用这几种方法解题，有利于学生提高学习不定积分的兴趣， 将为学好高等数学打下坚实的基础。
1 不定积分的概念
1.1定义
设是函数的一个原函数（即：），则的全体原函数称为的不定积分，记作，即.
注：⑴上式中的“”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分常数。
⑵积分号“”是一种运算符号，它表示对已知函数求其全部原函数，所以在不定积分的结果中必须加上任意常数。
⑶求积分和求导数互为逆运算。
1.2不定积分的性质
⑴性质1 。
⑵性质2 。
注：性质2 可推广到有限个函数的和差。
1.3不定积分的几何意义
在直角坐标系中，的任意一个原函数的图形是一条曲线，这条曲线上任意点处的切线的斜率恰为函数值，称这条曲线为的一条积分曲线。的不定积分则是一个曲线族，称为积分曲线族。
平行于轴的直线与族中每一条曲线的交点处的切线斜率都等于，因此积分曲线族可以由一条积分曲线通过上下平移得到。（图1）
2 直接积分法
求不定积分时，常常要将被积函数通过恒等变形并进行化简，转化为基本积分公式中的被积函数的代数和的形式，再运用基本积分公式直接求出。
例1：求
分析：被积函数恒等变形，化为基本积分公式中的情形（化为幂函数），再利用性质逐项积分。
例2：求⑴
分析：被积函数恒等变形（分子的各项除以分母），化为幂函数的代数和的形式，再利用性质逐项积分。
例3：求
分析：当被积函数是分式有理数时，常常将它拆成分母较简单、易于积分的分式之和。
例4：求
分析：用三角恒等式把被积函数化为基本积分公式中的情形。
3 第一类换元积分法（即凑微分法）
3.1定理
设具有原函数，是连续函数，则。
简单证明：
这种先“凑”微分，再作变量代换的方法，称为第一类换元积分法，也称为凑微分法；它分为四步：凑微分，换元，积分，代回；关键是第一步凑微分。
3.2在教学中归纳总结一些类型为
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
例5：
熟记常用的微分公式，能够加快解题速度。
4 第二类换元积分法
4.1定理
函数有连续的导数且，又有原函数，则。
这种方法称为第二类换元积分法。
注：使用第二类换元积分法的关键是恰当地选择变换函数。对于，要求其导数连续，，且其反函数存在。
4.2第二类换元积分法可分为
⑴当被积函数中含有时，可令，消除根号，从而求得积分。这种代换称为根式代换。
例6：求
⑵被积函数含有被开方因式为二次根式的情况，一般地，当被积函数含有①，可作代换； ②，可作代换； ③，可作代换；这种代换称为三角代换。
⑶当被积函数分母中自变量的幂较高于分子中的自变量的幂时，且积分还不能直接用公式积出时，令，这种方法称倒代换法。
5 分部积分法
（1）设函数，具有连续的导数，根据乘积微分公式有
，
两边积分得，该公式称为分部积分公式。
在求不定积分前要充分理解不定积分的定义和性质，不能把在极限计算和求导计算中学过的函数乘积的极限和求导计算公式迁移到不定积分计算中来，否则会得到错误的结果，解题时具体问题具体对待，灵活选用积分法，所以平时要多思、多记、多做、多总结。这样才能为学好高等数学打下坚实的基础，才能在浩瀚的数学知识海洋中自由的遨游。
【参考文献】
[1]同济大学数学系编.《高等数学》.同济第六版.高等教育出版社.2007-4-1.
【关键词】高斯公式 封闭曲面 曲面法向量 曲面的侧 方向余弦
高斯公式:设Ω是一空间中的有界闭域,其边界面分片光滑,函数、、在Ω上具有一阶连续偏导数,则有 其中是Ω的正向边界曲面,当是简单封闭区间外侧时为正(内侧为负)。
1.封闭曲面存在直接计算。如果空间有向曲面S是封闭的,那么,直接运用高斯公式计算。
例1、计算曲面积分,其中∑为柱面及平面、所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧。
解:因
,,
利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分,再利用柱面坐标计算三重积分
得:
2.构造封闭曲面再计算。如果空间有向曲面S不是封闭的,那么需添加辅助的有向曲面S0,使S与S0构成定向的封闭曲面,再运用高斯公式进行计算。
注:添补的辅助曲面S0的法线矢量的方向应选为使封闭曲面S+S0的法线方向或者都向外,或者都向内。
例2、计算,∑为曲面,夹在z=1及z=2的下侧部分。
解:构造辅助平面∑1:z=2取上侧,∑2:z=1取下侧。
则由高斯公式得
在∑1:z=2,dz=0,则8
在∑2:z=1,dz=0,则
所以原式
例3、设S是以xoy平面上椭圆L:为边界曲线的任意光滑凸曲面的上侧,且位于xoy平面的上方,求。
解:根据高斯公式构造有向辅助曲面
显然,S0在xoy平面上的投影区域Dxy就是本身,且,引入广义极坐标,,则,且有
然后,利用高斯公式,计算封闭曲面S+S0上的曲面积分
于是,所求的曲面积分
3.封闭曲面存在的特殊情形。如果所给的有向曲面是封闭的,但是不满足高斯公式所要求的函数、、在S所包围的有界闭区域V上连续,且具有连续的一阶偏导数的条件,那么,可以先把S的方程代入该曲面积分,若后者曲面积分已满足高斯公式条件,则用高斯公式把它化为三重积分计算。
例4、设曲面S为夹于z=0与z=1之间部分,其法线向内,求第二类曲面积分
解:把曲面S的方程代入积分I,得
现构造辅助平面,取上侧,易求得0
构造辅助平面,取下侧,得:= ==
由高斯公式得
其中,因V分别关于面yoz,xoz对称,故=0,=0
则所求的积分。
如果封闭空间曲面S的方程代入某曲面积分后。在S所围的区域V内仍然存在某些点或子区域使其不满足高斯公式条件,而在其它地方P,Q,R都连续,且具有连续的一阶偏导数,又有,则构造一个有规则的封闭曲面使其偏导数不连续的那些点或区域包含在S0内部,且S0的法矢量与S的法矢量一致,于是在S上的曲面积分等于在S0上的曲面积分,即有
例5、计算积分,其中∑是椭球面的外侧。
解:作以原点为球心,()为半径的球面∑1:,使其位于椭球面内,则有
(令,此时∑1的方向余弦,,由两类曲面积分的联系,有)
则=4π
4.运用高斯公式时有关曲面侧的问题。运用高斯公式计算曲面积分的时候,曲面的有向性是至关重要的,而往往封闭曲面侧的判断正误与否也决定了解题过程是否正确。
注:(1)当曲面光滑且具有双侧时,有向曲面侧“上侧、前侧、右侧”取“”,“下侧、后侧、左侧”取“-”
(2)高斯公式中的“Ω”是整个边界闭区域的外侧
例6、计算曲面积分,∑:,其法向量与OZ轴正向夹角为锐角。
解:取辅助平面,使曲面构成封闭曲面
:,方向向下
则
(注:此封闭曲面是整个闭域的内侧,运用高斯公式时添“-”号,有向曲面方向向下,计算积分时也应添“-”号)
参考文献
1 剑、李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].同济大学出版社,2008
2 王式安、蔡燧林、胡金德、程杞元.考研数学标准全书[M].对外经贸大学出版社,2008
3 马菊霞、吴云天.高等数学[M].国防工业出版社,2007
[关键词]积分 复化牛顿-科特斯积分 误差
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）18-0152-02
一、引言
我们知道利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法，为了便于计算与应用，常将积分区间n等分，其中的每个节点作为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-科特斯（Newton-Cotes）求积公式，这里的n称为牛顿-科特斯公式的阶数。当n=1时，该公式即为梯形求积公式；当n=2时，为辛普森求积公式；当n=3时，为3/8辛普森求积公式；当n=4时，为布尔求积公式。
由文[1]我们知道，当 n≤7 时，牛顿-布尔公式是稳定的。而当 n≥8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当n较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。[2]故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。为了提高精度我们通常把积分区间分成若干子区间，然后在每个子区间上应用低阶牛顿-科特斯求积公式求积分，即为复化求积法。[3]
本文借助Matlab[4][5]符号计算系统，首先讨论不同的方法（即阶数的不同）对积分的精度与速度的影响，其次，讨论复化的子区间段数对积分误差的影响。
二、复化的牛顿科特斯求积算法实现
在积分区间[a，b]上取n+1个等距节点xk=a+kn（k=0，1，…，n），其中h= ，利用n次拉格朗日插值函数代替被积函数即得牛顿-科特斯求积公式：
f（x）dx≈（b-a） Ck（n）f（xk）
其中Ck（n）= t（t-1）…[t-（k-1）]×[t-（k+1）]…t（t-n）dt
为科特斯系数。表1列举了阶数n
表1 在n
这样，我们较为容易给出复化的牛顿科特斯公式的算法步骤：
（1） 给定子区间数N及牛顿科特斯公式的阶数n.
（2） 将区间[a，b]分成N个子区间，h= 且xk=a+kh（k=0，1…，N）；
（3） 由给定的n求出牛顿科特斯系数；
（4） 在每个子区间[xk，xk+1]中，利用n次牛顿科特斯公式求出积分结果 ；
（5） 将每个子区间的积分结果求和即得近似的积分结果。
将上述算法用流程图表示，如图1所示。
图1 复化的牛顿科-特斯求积算法
三、对比分析
影响牛顿科特斯公式的误差的有两方面因素：阶数及复化时子区间个数。为研究二者对误差的影响，选取三类积分进行比较研究：（1） e-xsin xdx（2） dx（3） dx。误差采用积分结果与真值的差的绝对值。
（一）牛顿科特斯公式的阶数对误差的影响
考虑一般的牛顿科特斯公式的阶数对误差的影响，由于阶数大于7稳定性得不到保证，故取阶数n=1，...7，得出表2。
表2不同阶数的牛顿科特斯积分计算
观察表1中的误差行，发现误差呈递减趋势，故易知阶数越高误差越小；由表1中各耗时行可以看出随着阶数增加，耗时增加。因此当牛顿科特斯公式阶数增加时，误差减小，同时耗时增加。
特别地观察不同阶数下的误差阶，注意到当阶数小于4时，误差相对较大；阶数大于4时，误差相对较小，但随着阶数的增加，误差减小速度变慢。
观察三个函数当阶数高于4时的误差值发现，阶数取4、5时误差基本接近，阶数取6，7时误差基本接近；考虑到耗时随阶数数的增加而增加，故牛顿科特斯公式的阶数取4（即使用布尔求积公式）能得到比较理想的结果。
综上，在使用牛顿科特斯公式时，建议使用阶数为4。
（二） 子区间个数对误差的影响
由3.2我们知道，牛顿科特斯公式的阶数取4（使用布尔求积公式）较为理想，故在研究复化子区间个数对误差的影响时，取阶数为4。我们将区间段数分别取1、11、21、……、151，利用布尔求积公式计算复化的牛顿-科特斯求积结果及误差，结果显示为图2。
图2 误差随子区间个数变化曲线
由上图可以看出，随着子区间个数的增加，误差越来越小，然而当子区间个数达到90后，误差的减小速度减慢，这表明用复化的方法降低牛顿科特斯算法的误差时，当达到一定精度后再想使误差减小付出的代价较大，即运算量很大且耗时增加，不适宜再使用牛顿科特斯法。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 《现代应用数学手册》编委会编.现代应用数学手册.计算与数值分析卷[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2] 黄云清等编著.数值计算方法[M].北京：科学出版社，2009.
[3] （美）里德（Leader，J.J.）张威等译.数值分析与科学计算[M].北京：清华大学出版社，2008.
关键词：三角函数；有理式积分；万能公式；留数定理
三角函数有理式积分的求解是数学分析中一个典型的积分计算问题，往往利用万能公式、组合积分法以及换元法等进行求值。这些定积分还可以运用复变函数中的留数定理进行计算，特别是对那些原函数不易求得的积分，是一个非常有效的方法。已有许多文献总结求解三角函数有理式的思路方法[1-8]，大部分利用实积分中的万能公式求解。本文为了比较分析三角函数有理式积分在数学分析和复变函数中的两种计算方法，在学习中进行总结，整理知识点，选取了一个典型积分 为例，探究并比较两种方法的区别与联系，对比了两种不同的解题思路。
一、预备知识
定义1[9] 设函数 定义在 ，而在 的任一左邻域内 无界（此时 为 的瑕点），若 在任意 上可积，我们称积分形式 为 在 上的瑕积分。
定理1[10] 设 在周线或复周线 所围的区域 内，除 外解析，在闭区域 上除 外连续，则（“大范围”积分）
利用复变函数中留数定理计算三角函数有理式积分
下面讨论利用留数定理计算上述积分，对比计算方法与上节中方法的异同。
四.结论
本文主要讨论了计算三角函数有理式积分不同的两种方法：分别用万能公式换元求解和留数定理两种不同的解题思路。通过对比分析，我们可以知道，利用万能公式计算三角函数积分时，优点在于思路清晰简单，但仍有不足之处，计算量较大，不易获得原函数，但如果利用复变函数中的留数定理，则可以更加有效地计算出很难获得原函数的三角函数积分，运用较为广泛，通过总结我们可以得出两种方法各有利弊，在今后求解三角函数积分的过程中，要根据三角函数的结构特点来确定合适的方法，从而进行有效的计算。
参考文献：
[1] 魏章志，陈浩.三角函数有理式积分技巧[J].高等数学研究.2011，14（1）：78-79.
[2] 段生贵.三角函数有理式的积分方法[J].河北地质学院学报，1995，18（5）：438-441.
[3] 陈培.一类“三角函数有理式”积分算法的讨论[J].中国科技信息，2011（10）：40-41.
[4] 王仙彩.换元法在计算三角函数有理积分中的应用[J].高等函授学报（自然科学版）， 2007，20（2）：23-25.
[5] 姚红梅.三角函数有理式的积分的解题方法[J].高等函授学报（自然科学版），2010，23（3）：63-64.
[6] 廖辉.廖平.一类三角函数定积分的一个注记[J].绵阳师范学院学报，2012，31（8）：14-17.
[7] 王振辉.张波.三角函数有理式的一些积分技巧[J].科技信息，2009（34）：4-4.
[8] 陈小强.对有理函数积分法的探讨[J].新疆职业大学学报，2002，10（3）：45-46.
关键词：横截面积；矿井巷道；复化梯形公式
DOI：10.16640/ki.37-1222/t.2017.13.210
煤炭工业是国民经济中的基础，它为经济生产提供原料和能源。煤炭工业生产的顺利进行，一定程度上取决于煤炭工业基本建设及开拓延伸工作能否及时、持续地提供生产煤炭的场地。为了将煤从地下采出，需从地表开始，开凿一系列的井筒、硐室及巷道以便到达煤层，这便是矿山基本建设的主体工程。其中涉及到大量的巷道断面的设计，包括巷道尺寸和横截面积的计算。设计的巷道断面直接作为井下巷道施工的依据，也是进行巷道工程概预算的依据。我国煤矿井下使用的巷道断面形状，按其构成的轮廓线可分为圆形类、拱形类、矩形类和梯形类共四大类，在此选择底板水平、两帮垂直、顶板为弧形的半圆拱断面进行数学建模并求其横截面积。
1 问题分析及模型
矿井巷道分为梯形巷道，三心拱巷道，半圆拱巷道等，本案例选择半圆拱巷道模型并求解其面积。
但实际使用这种方法往往有困y，因为大量的被积函数，找不到用初等函数表示的原函数，此时Newton-Leibniz公式不能直接运用，需要用其他有效的数值积分方法求解。在此，运用数值积分方法中的复化梯形求积公式进行求解。
2 复化梯形求积公式原理
在使用牛顿-柯特斯公式时，通过提高阶的途径并不总能取得满意的效果，为了改善求积公式的精度，一种行之有效的方法是复化求积。将积分区间分割为n等份，步长，各节点为。所谓复化求积公式，就是先用低阶的求积公式求得每个子段上的积分值，然后用作为积的近似值。在子区间上使用Newton-Cotes公式，将分割为等份，步长为，节点为记为 ，在上作的阶Newton-Cotes求积公式
3 算法的Matlab实现
3.1 实验数据
半圆拱巷道截面积求法可用数值积分中复化梯形求积公式
求得。用上述的的公式来计算半圆拱巷道截面积，（其中，矩形长，矩形宽）；同时公式（1）中的积分区间，然后将积分区间进行等分，用表示二分次数，即区间等分数，得到个小区间，，每个小区间的长度为，其中。并且按
进行计算。
3.2 Matlab程序代码
function FHQJ
k=2；
m=4；
a=0； % a，b 为区间
b=2；
epsilon=1e-3； % 精确度
fun=@（x.）sqrt（-x.^2+k*x）+m；
n =1；
h=（b-a）/2；
y0=h*（feval（fun，a）+feval（fun，b））；
yiter=y0；
while 1
step =2^（n-1）；
f=sum（feval（fun，a+（1：2：2*step-1）*h））；
y=y0/2+h*f；
if abs（y-y0）
break；
end
h=h/2；
y0=y；
yiter=[yiter，y0]；
n=n+1；
end
yiter
disp（y）；
Error=double（int（'sqrt（-x^2+2*x）+4'，'x'，0，2）-y）； %%与真值误差
disp（Error）；
4 计算结果及分析
4.1 计算结果
本案例设定误差不超过10-3，在Matlab下运行程序后的结果如下（k表示二分次数）：
当运行到k=8， 即时就能满足与真实值误差不超过10-3，此时误差为0.0011。
4.2 结果分析
复化梯形求积公式能够较准确的得到实验结果yiter=9.5696，用在较少的计算量便能够达到预定精度，得到准确值与近似值的绝对误差Error=0.0011，较好的完成了巷道面积的计算问题。
5 总 结
本文建立了矿井巷道截面积的计算模型，根据半圆拱形截面积函数，运用复化梯形求积公式进行计算，并编制基于Matlab的计算程序。根据复化梯形求积公式的原理将所求函数的积分区间分为若干个小的积分区间，先求出每个小积分区间上的积分近似值，然后再将这些近似值加起来就是我们所要求的横截面积的近似值，函数区间所分的小区间的个数越多，计算结果就越精确，其原因就是所分的区间数越多，计算时每个小区所带来的误差就越小，对其求和所带来的总的误差也就越小，所以最后的结果精度就越高。本文算例结果表明该方法具有较高精度、操作简单等优点，且便于程序化。
参考文献：
[1]孙祥，徐流美，吴清.Matlab7.0基础教程[M].北京：清华大学出版社，2005.
[2]薛毅.数值分析与实验[M].北京：北京理工大学出版社，2005.
[3]林柏泉，崔恒信.矿井瓦斯防治理论与技术[M].徐州：中国矿业大学出版社，1998.
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[5]汪卉琴，刘目楼.数值分析[M].北京：冶金工业出版社，2004.
[6]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉：华中科技大学出版社，2006.
[7]肖伟，刘忠，曾新勇等.Matlab程序设计与应用[M].北京：清华大学出版社，2005.
不定积分在高职阶段的解题方法大概可以分为以下几种：直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法等。
1、直接积分法
利用不定积分以及原函数的定义：f（x）的所有原函数称为f（x）的不定积分。也就是说，只要能知道哪个函数的导数等于被积函数，不定积分也就求出来了。例如：求∫ dx。
因为知道arctanx的导数等于 ，只要在后面加上任意常数C就可以得到被积函数的全体原函数，所以∫ dx=arctanx+C。这里必须注意一点，用这种方法求积分一定要求出被积函数所有的原函数，而并不是在某一个原函数后直接加上任意一个常数C就代表所有原函数。例如：求∫ dx。考虑到（Inx）'= ，如果简单的认为∫ dx=Inx+C就错了，因为In（-x）'= •（-1）= ，因此In（-x）也是 的一个原函数，而In（-x）是Inx加上任意常数所得不到的，所以∫ dx=Inx+C。有的教材上说检验一个不定积分结果求的是否正确只要对结果求导就行，如果求导以后得到的是被积函数，则正确。其实这种说法并不严格，上述例子就是一个反例。因此，并不能说对结果求导就能验证一定正确，只能够说如果对结果求导得到被积函数并不一定正确，而如果得不到被积函数却一定是错误的。对结果求导这种方法不能来验证正确，只能判断是否错误。
2、第一类换元积分法
第一类换元积分法又称为“凑微分”法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无法动手。下面看一个例子：
求∫ dx。
本题如果不用“凑微分”的方法，几乎是无法解出来的，即使是知道用“凑微分”的方法，但不知道该如何去“凑”，仍然无济于事。使用此方法必须对常用的“凑微分”公式非常熟悉。就此题而言，由于被积函数分母中有x2项，而分子中有x项，联想到“凑微分”公式中xdx= d（x2），会出现x2项，所以可以考虑此思路。但此题与一般的“凑微分”又有所不同，由于分子和分母都是多项式，如果要“凑微分”必须分子或者分母整体“凑”，对被积函数的分子参照分母进行“凑微分”：因（x2+x+1）=（2x+1）dx，所以原式可以写成：∫ dx= ∫ dx= ∫ =∫ = In（x2+x+1）+ arctan +C
从上例中可以看出，用“凑微分”法必须要对“凑微分”公式非常熟悉。
3、第二类换元积分法
第二类换元积分法又分为根号换元法和三角换元法两类，对于被积函数中有根号而又无法用“凑微分”法解决的题目，可以考虑用根号换元，例如：若被积函数含有 ，5 等等，这类题目可以令根号下的因式为t，再用其他积分方法来解决。而三角换元则是利用sin2x+cos2x=1或者1+tan2x=sec2x这两个三角恒等式来变化。例如被积函数中含有 , 等的积分都能利用上述两三角恒等式来进行换元。此类题目最后计算结果往往都较为复杂，使用此种换元法要牢记最后结果中要将变量用换回来。
4、分部积分法
分部积分法是根据两个函数乘积的导数的公式推倒而来，公式为：∫udv=uv-∫vdu。用分部积分法解题时，公式中的u和v并不是随意选取的，而要遵照以下两个原则：
（1）v要容易求出；（2）∫vdu要比∫udv更容易求出。而在实际的使用过程中，分部积分法通常都是和换元积分法结合起来使用的。
上面介绍了不定积分的多种求法，只有熟悉了这些基本的求法，才能够比较熟练的求出其他技巧性更强的积分。另外，需要指出的是：由于初等函数在其定义区间内连续，因而其原函数一定存在，但是原函数并不一定就是初等函数，例如 ， ， 等，他们的原函数都不是初等函数，因此不能用上述的几种求积分的方法来求它们的不定积分。
参考文献：
[1]吴纪姚 漆毅 .高等数学（工专）.北京：北京大学出版社，2006年
（作者单位：江西南昌赣江职业技术学院）
【关键词】教学设计；微视频；高等数学
一、绪 论
互联网的快速发展特别是移动互联网技术的发展无时无刻不影响我们的生活方式、生活习惯、思维方式等方方面面.在教育方面，对教育理念、教学方法、教学模式等的影响巨大，由教育部教育管理信息中心、百度文库和北京师范大学联合的《2015中国互联网学习白皮书》的结果显示，互联网教育产品用户主要集中在19至24岁、25至34岁两个年龄段.19至24岁阶段多是大学生，从中可以看出我们的高等教育必须适应互联网的发展和学生的行为习惯，利用互联网和科技带来的效率优势，提高学生的学习效率[1].
高等数学是大学教育中的一门基础学科，是绝大多数大学生必须掌握的一门基础课，是学生综合素质的重要组成部分.高等数学有其固有的特点：高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性.抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用.严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念的表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律.所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程[2].因此，在教学中，如何让学生在掌握知识和计算的过程中，更好地体会数学思想方法，从而提高他们的综合能力，对于高等数学的教育是一个很值得思考的问题，这需要我们在教学设计上下功夫，利用科技，特别是信息技术，把高度抽象的数学理论以比较“形象化”的技术手段进行展示，在此过程中把数学思想和方法展示给学生.同时，注意到当代大学生的学情特点，他们思维活跃，但是有时思维方式比较形象化，对抽象的事物掌握规律比较困难；特别喜欢移动互联网，甚至一天不用手机，他们已经不能忍受；他们对新鲜的事物抱有足够的好奇.
综合学情和已有的技术储备，利用微课和翻转课堂的教学理念和模式，我们可以在某种程度上利用信息技术合理设计教学视频，把高等数学教学中抽象概念包含的数序思想更好地展示出来，从而提高学生们学习高等数学的兴趣，激发他们学习的动力.
我们以高等数学中“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一小节以微视频来进行教学设计，让学生体会动态的微积分的定义、变上限积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式的证明.从中体会“以直代曲”的线性化方法、数形结合方法.进而更好地理解不定积分和定积分之间的联系.
二、基于微频的教学设计
微视频通常值指的是时长不超过20分钟的视频短片，特别适合在移动互联网上播放和传播.本小节的教学设计要利用MATLAB计算软件、几何画板软件来制作微视频.具体教学设计如下：
牛顿-莱布尼茨公式及其证明教学设计方案
使用的教材为同济的《高等数学》上册，第六版.
一、教材的地位与作用
牛顿-莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来，是微积分学中最重要的公式.
二、学生知识结构分析
在牛顿-莱布尼茨公式学习以前，学生已经学习了导数、微分、原函数、不定积分、定积分的概念和性质的相关知识.
二、教学目标
1.知识与技能：熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、概括的能力，体会知识间的联系.
2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识.
3.情感与态度：提高观察、分析、抽象、概括的能力，体会数学解决问题的方法和过程，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣.
三、教学重点
掌握牛顿-莱布尼茨公式.
四、教学难点
理解牛顿-莱布尼茨公式的证明过程，体会其背后的数学思想和方法.
五、教学过程
1.复习旧知识，以微积分的定义的动态视频展示引入课题――创设情境.
首先，利用Matlab软件设计一个程序完成对定积分定义的动态展示，即定积分中的分割-近似求和-取极限的过程动态地展示出来.以在区间[0，1]上的定积分为例，把每一次分割所对应的所有的小矩形的图形通过Matlab画出来，然后拼接成动画，做成视频[3].实现上述过程，中间过程的一个静态展示如下：
随着分割的加细，所有小矩形的图形逐渐稳定，即它们的面积和趋向稳定，这个极限值就是在区间[0，1]上的定积分.
定积分定义的动态视频展示，可以让学生更好地理解定积分的思想.同时，体会到按照定义来求解定积分是不容易的，即使是非常简单的函数.从而引出牛顿-来不尼茨公式――高效的计算定积分的方法，且使得定积分成为一种科学的方法.
2.得到猜想――验证猜想
我们要利用数学常用的解决问题的方法：猜测结论――验证结论，得到一般的规律[4].利用这种方式给出牛顿莱布尼茨公式.
通过上述视频的动态演示，当把[0，1]区间分割成500份，最终的图形如下：
如何证明该猜想是一个难点，我们采用数形结合，并利用几何画板把它用微视频的方式展示出来，同时也把变上限积分的几何意义展示出来.具体做法如下：
初始画面如下，揭示定积分的几何意义为曲边梯形的面积.从而只需证明阴影部分的面积和红色线段长度相等.
这需要一个桥梁和工具：变上限积分.因此要让阴影部分动起来.视频的中间一个过程如下图.
随着点向左端点运动阴影部分的面积不断变小，通过该过程让学生体会变上限积分函数的特点.接着要把变上限积分函数的图像在坐标系中画出来，且曲线的出现的过程与阴影部分的面积的变化过程同步.视频的一个中间的静态展示如下图.
从而使得定积分的值――曲边梯形的面积转化为变上限积分函数在区间上的增量.再通过比较图像的位置关系，我们可以得到阴影部分的面积在区间上的增量等于线段长度在区间上的增量.通过移动曲线即可得到，移动的过程的一个静态展示如下图.
3.得到定理――总结反思，提炼精华
完成定理证明后，加以练习，并对数学思想方法进行总结，让同学们体会：
（1）定积分的定义
分割-近似求和-取极限的思想，以及以直代曲思想.
（2）数学解决问题的一般途径
合理的猜测后进行严格的论证从而得到一般的规律是数学解决问题的常用方法.清晰的直觉和严谨的逻辑同样重要.
（3）数形结合的思想
定积分的几何意义和变上限积分函数的图形展示.
（4）不定积分和定积分之间的关系：牛顿-莱布尼茨公式给出了求函数定积分的一般方法，把求定积分的问题转化为求被积函数原函数的问题，这就使得作为积分和数列的极限的定积分与作为微分逆运算的不定积分紧密地联系在一起，正是这样的联系才使得微积分有非常广泛的理论和应用价值[4].
六、教学方式
采用学生事先预习，n堂上与学生共同讨论的方式来进行教学，多媒体、板书等相结合.
三、总 结
随着互联网开放教育的深入发展，年青一代学生对互联网的依赖及他们的行为方式的改变，我们需要利用各种信息技术把数学中的概念形象地展示出来.专业的数学软件和课件制作软件是我们必须灵活利用的，如Matlab、几何画板等.并制作成视频，放在网上或者发给学生，充分利用微视频的优点和学生的行为习惯，帮助学生自学、预习、复习，提高他们的学习效率，让他们感觉到学习数学是轻松的，且有成就感.从而激发他们学习数学的动力.
我们以“牛顿-莱布尼茨公式及其证明”这一教学内容为例，把通过Matlab和几何画板软件设计的动画视频作为教学设计的中间环节.通过这样的设计把比较抽象的概念，通过数形结合动态地展示出来.有助于学生理解公式背后的数学思想和方法，有助于培养学生综合数学修养.
【参考文献】
[1]杨经晓，互联网数学开放教育发展近况[J].数学文化，2013，4（1）：61-68.
[2]http：///linkurl=8X4aDMNjbXID3rZTQau2RhpS9U3cp2UN_wI8dquy4yuhKVa1Sa8zUm_c7baoyo2aKoIJcnCJ_u2yDFF7fqrZV0Oa4CrTrh0qhLbbdXpneta.
学到微积分部分时，我把牛顿和莱布尼兹及追随者们的生平故事，他们发现及发展微积分理论的过程，他们在数学及其他领域内所做的研究工作与贡献，还有关于微积分发明优先权问题的争论，各个微积分符号的含义、公式的由来，微积分理论在各学科中的广泛应用等穿插在各部分内容中给学生分散讲授.下面是我的一节实验课：定积分的概念.
定积分的概念非常抽象，很难理解，并且得出概念的方式也与以往有所不同，定积分的计算及其他一些内容是本书的难点.如果这一节讲不好，会给以后的学习带来困惑.俗话说“良好的开端是成功的一半”，为了开好这个头，我下了很大的工夫，提前查资料，找寻与本节课有关的内容.本节课我是这样设置的：
大家都喜欢吃苹果吗？
同学们都笑了，不知道老师葫芦里又要卖什么药，但还是说“喜欢”.
我笑着说：“我也特别喜欢吃.”我又问：“那你们知道与苹果有关的非常有名的定理是哪一个？又是谁发明的？”
同学们异口同声地说：“万有引力定律，牛顿发明的.”这时同学们有些阴阳怪气了，是啊，大家都是从小听牛顿的故事长大的，我现在问，他们以为我把他们当小孩了.
我又问：“是啊，同学们都非常熟悉牛顿的两大成就，万有引力定律和光的分析，但他还有一个更大的成就，你们不知道吧？”
这时同学们的胃口被我吊起来了，我顿了一下说：“那就是计算定积分的基本公式——微积分基本公式.那什么是定积分？微积分的基本公式又是怎么样的？又如何运用它计算定积分？这是我们本章所要研究的内容.”我接着讲到：
定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题，定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽，很早以前在许多人的工作中已经形成，但结果都是孤立的和零散的，直到牛顿—莱布尼兹公式，也就是我们刚刚提到的微积分基本公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速发展起来并得以广泛应用.因此牛顿和莱布尼兹被称为定积分的奠基人.牛顿和莱布尼兹都是数学史上最伟大的科学家，特别是牛顿被誉为近代科学家的开创者，在科学史上做出了巨大的贡献，他的三大成就——光的分析、万有引力定律和微积分，对现代科学的发展奠定了基础，世人给了他很高的评价.曾有一句话是这样说的：“自然和自然规则在黑暗中躲藏，主说，让人类有牛顿！于是一切被光照亮.”而牛顿却非常谦虚，有人问他成功的秘诀，他说：“如果说我有点成就，没有其他秘诀，唯有勤奋而已.”他又说：“假如我看得远点，那是我站在巨人的肩膀上.”这些话生动地道出牛顿取得巨大成就的奥秘所在，那就是在前人研究的基础上，以现身的精神，勤奋地创造科学的新天地.虽然我们不能人人成为伟人，不能人人成为科学家，但我们要学习伟人的这种精神，在学习上孜孜以求，去发现科学、学习科学并应用科学.
同学们被科学家的精神感动了，我顺势一转，那么课本是如何从两个实例出发，引出定积分的概念？定积分的概念又是怎样的？如何应用它来解决实际问题？我们一起来研究一下：
1、知识范围
(1)不定积分、原函数与不定积分的定义、原函数存在定理不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法、第一换元法(凑微分法)、第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2、要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(限于三角代换与简单的根式代换)。
关键词： 不定积分计算 困难 分析 常用方法
不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。
一、不定积分计算的困难及分析
不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。
不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难；在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。现实存在的问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法；二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。
二、不定积分计算的方法思考
在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。那么就存在两个问题：已知的是什么？怎么转化过去？
课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。常用方法有以下几种。
1.基本变形。这个方法是由不定积分的性质线性引出的，只要做恒等变形就可以将要求的不定积分转化到基本积分公式中去，它的特点就是多个变单个。
2.凑微分法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无处入手。因此，归纳并熟记常用的凑微分公式是十分必要的。
老师在讲解这个方法的时候可以先通过几个简单的凑微分的例子引出凑微分这个方法，以形象地观察出凑微分法的本质、特点，书上给出的定理是比较抽象的，在对其证明中，可以采取比较通俗的方式，如：要验证f［φ(x)］・φ′（x）dx=f(u)du=F(u)+C=F［φ(x)］+C是否成立，只要验证（F［φ(x)］+C）′=f［φ(x)］・φ′(x)是否成立。
如果成立，则证明了该定理，也证明了前几个例子的做法是正确的。再结合例子和定理归纳出凑微分法的特点就是“变元再协同”。
有些例题要“凑”多次，老师可以举相关例题让学生充分体会凑微元法的本质特点是变元再协同中的“再”，总的来说凑微元法就是一个“变元再协同”的过程。
3.变量代换法。从被积函数中会发现一些难以处理的因式，使用凑微元怎么也协同不了，在讲解这个方法的时候可以先举几个这样的例子，告诉学生思考这个问题的方法，多列几个学生就会知道想办法去掉难以处理的因式，当然是有多种代换方法的。在学生接受了这种思路后再给出定理，证明手段类似凑微元的证明。
例1：求.
思路一：被积函数中既有x，又含有x，所以我们想办法通过变元都协同到x上，然后再观察，再协同。
解一：===
=d=d
=arctan+C
思路二：考虑被积函数中含有根号，想办法去掉根号，使用三角代换很容易将其算出。
观察这两种方法的各自特点，第一种思路它比较难想到，但计算起来比较简单，第二种方法它虽然操作起来相对麻烦一些，但指向性非常明确。三角换元法一般是把被积函数中含有的，，，分别用x=asint，x=atant，x=asect做变换去掉根式，没有太多的技巧，但是有些含有这样根式的不定积分不需要采取变量代换的方法，例如xdx，dx，被积函数中含有了比较难处理的因式，而变量代换就是起到一个去掉难处理的因式的作用，但在有些题目中只要用凑微元做就可以了，提醒学生不要犯教条。
4.分部积分。其基本公式为udv=uv-vdu，此方法用于求udv不易，而求vdu较易的题目。在运用分部积分法关键是u与dv的选取，掌握此方法的一个关键在于你要对哪个求导，du是一个局部求导，求导之后要方便运算才有意义。
例2：求xedx.
分析：被积函数是指数函数e与三角函数x的乘积，用分部积分有两种方案：xedx=edx=ex-xdexde，第一种方案是对e局部求导，而我们知道对它求导还是本身，所以解决不了根本问题，所以学生在做题的时候要思考到底对谁局部求导能达到目的，这题中对x局部求导就可以去掉这个因式，所以选择第二种方案。
这部分内容的学习要求我们要对各类积分法进行总结比较，分析各类积分方法的特征，达到掌握并熟练运用的目的。
参考文献：
［1］华东师范大学数学系编.数学分析（上册）［M］.高等教育出版社，1990.
［2］仉志余.大学数学应用教程（上册）［M］.北京大学出版社，2006.8.
