时间：2023-05-30 10:56:03
原题：（江西省中考题）试验与探究
(1)在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5,2)，， ；
(2)在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示）；
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a,b),B(c,d),C(m,n),D(e,f)（如图4）时，则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ；纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为 （不必证明）；
运用与推广
(4)在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-(5c-3)x-c和三个点H(2.，0),
（其中c＞0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形？求出所有符合条件的P点坐标．
很明显，这是一堂习题课。那么，如何上一堂好的习题课呢？我认为，习题课教学应做到三点：（1）是应该用习题讲知识点，而不应是单纯讲习题；（2）是应以学生巩固知识为基础，拓展知识为过程，思想方法渗透为目标；（3）是应体现新课标理念，充分调动发挥学生的主观能动性，让学生得到发展。
下面是我赛前的思考过程和课堂设计
一、整体构思
这是2007年的江西数学压轴题，是比较传统的阅读探索题，考查的知识点并不多，应该说比较容易上手。整道题围绕的是点的坐标的表示，在解决这种题时应在比较牢固掌握基础知识的同时培养自己运用各种数学思想方法的能力。本题是一道比较灵活的题目，符合课改的理念。最初，我有三种教学设想：
方案一：直接给出题目，逐题讲解；
方案二：分解题目，逐步呈现讲解；
方案三：提炼知识点，以题目载体，进行变式拓展，变换呈现形式。
方案一、二仍然没脱离讲题目，给学生思考少，可发挥的空间小。经过反复揣摸，我决定按照方案三来进行教学实施。
制订教学目标如下：
1、以题目为载体复习平面直角坐标系中点的坐标的表示方法，点的平移与坐标的变化以及平行四边形四个顶点在直角坐标系中相对位置的关系
2、通过学生的合作交流向学生渗透归纳、分类等数学思想
其中学习重点是点的平移与坐标的变化；学习难点是归纳的数学思想的渗透。
根据这节课的特点，我决定采用“情境――问题――活动――交流”的教学方法。
二、学习活动设计
创设情境，激发欲望
（出示一个平面直角坐标系）这就是我们学习过的平面直角坐标系。
设计意图：我们知道情境的创设应以适用、能够引起学生注意为目标；应贴近本节课的讲授内容，不能为了情境而设计情境。这里我给出最简洁的情境，给了一个同学们早就学过的平面直角坐标系，学生比较亲切，很容易进入状态，当然这里还为后面的讲解作好了准备。
问题引领，活动探究，方法渗透
问题1：给你一个点A，你知道如何找它的坐标吗？（在刚才的图上进行操作）
设计意图：复习坐标的表示方法，为后面的坐标平移作铺垫
问题2：（1）现在将点A向右平移5个单位,得到点A1，你知道它的坐标吗？把点A向上平移5个单位得到哪个点呢？把点A向左或向下平移4个单位呢？
(2) 请大家观察点坐标的变化，你能发现什么规律吗？(学生讨论)
设计意图：复习平面直角坐标系中点平移后，坐标如何变化。
问题3：给出一个矩形ABCD，A、B、D三点的坐标如图,C点的坐标是什么？
设计意图：复习点的坐标表示，可以用坐标的基本表示方法，也可以用点的平移得到，主要是引出与原题（1）中类似的基本图形
问题4：把矩形改为平行四边形，如图，C点的坐标又是什么？怎样找呢？（学生交流讨论）
设计意图：这是原题第一小问的第一个图，通过上面的问题串得到问题4，这样激发起学生探究热情；
问题5：再改变平行四边形ABCD的顶点坐标，如图，你能很快说出C点坐标吗
设计意图：为下面归纳做准备
问题6：这次把平行四边形的位置改变，如图，先看看和刚才的平行四边形有什么不一样？那还有没有不变的地方？那你还能把C点坐标表示出来吗？（如果学生没有用平移回答，这个多设计一个问题：大家不妨来思考这个问题：能不能把C看成D平移得到？你能用这个方法求出它的坐标吗？）
设计意图：由于问题一下有了深度，多设计几个问题，便于引导学生思考。最后一个备用问题是着重要学生学会平移找点的坐标，这样比较简便，也充分运用了点的平移这一基本方法。设计这个问题基于三点：一是原题中要回答的，二是体现规律探究，让学生的能力得到发展；三是为下一个问题的引入作好铺垫。
问题7：再把平行四边形的位置改变如图，这个平行四边形又有什么不一样的地方？你还能找到顶点的坐标吗？（2人一组相互讨论）
设计意图：这是在上面的问题下给出的，是上面图的改编，位置改变了，让学生对这个图进行再认识，引起学生的讨论，让学生明白考虑问题要前后联系。
问题8：（把刚才用到的四个图全部呈现出来），刚才的问题都是已知平行四边形的三个顶点坐标，求第四个点的坐标。不同的只是平行四边形的位置摆放不一样。注意观察每个图上四个点的坐标，实际上他们之间有个规律，你能发现它吗？
设计意图：这是原题的第二小题，通过对它的分析，让学生感受探索规律的重要思想，使学生的能力得到进一步的发展。由此得出平面直角坐标系中平行四边形四个顶点的坐标之间的关系，引出下一个问题）
问题9: 在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-(5c-3)x-c和三个点，（其中）．问当为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．
设计意图：原题最后一问，在处理这个问题的时候，让学生体会到运用上面规律的注意点，同时感受分类讨论的思想。
三、交流总结，深化理解
1、通过这节课的学习，我们学到了什么？
（1）平面直角坐标系中点的平移与坐标的变化
（2）对于探索类题目要注意上下联系，归纳出规律
（3）运用规律解决问题时要活用规律，必要时需分类讨论；
2、作业：写原题的完整解题过程。
（昭通学院 数学与统计学院，云南 昭通 657000）
摘 要：遵循简洁明了原则，本文结合学生学习数学的实际，把极坐标系在高中教学大纲中的地位和极坐标系在中学数学中的作用进行对比，阐述了极坐标参照系的重要性。因此在中学数学中，我们应该把极坐标和平面直角坐标这两个参照系统平等对待。
关键词 ：极坐标系；平面直角坐标系；圆锥曲线；简洁明朗原则
中图分类号：G633。6文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）01-0001-02
极坐标系与其他坐标系（比如直角坐标系）一样，也是数学中确定平面上点的位置的重要的参照系统。在平面内取一个定点O，从O点出发作一条水平向右的射线OX，并规定长度单位和转角的正方向，这样就构了极坐标系。
极坐标系是一个单纯的二维系统，该系统中任意点P的位置均可由P相对于极点O的距离ρ和一个OX逆时针转至OP的转角θ组成的有序数对(ρ,θ)来表示。其应用的范围十分广泛，数学、物理、工程、航海、航空等领域都用得上。简单地说，极坐标系就是利用“方向”和“距离”来表示平面上点的位置，这一数学思想也是非常贴近学生的生活实际的。
极坐标系中曲线与方程的关系与学生非常熟悉的平面直角坐标系中曲线与方程的关系有些不同，原因在于一个确定的点P的极坐标具有多样性，即点P与有序实数对(ρ,θ)不具有一一对应关系，而是与无数个有序实数(ρ,θ+2kπ)或(-ρ,θ+(2k+1)π)对应。这与平面直角坐标系不同，但不影响极坐标系的应用价值，毕竟平面上两个不同点A,B的极坐标是不同的，这就是极坐标作为一种有效的参照系统的原因吧。
高中数学考试大纲对极坐标的要求过低，在加上课时上的限制，实施新课程的多数省市都将本专题作为选学选考内容。因此多数师生都不重视，从而把极坐标系边缘化，学生只知道直角坐标系而不知还有其他坐标系。
对于同一个数学运动问题来说，参照系的选择原则上是任意的，但参照系的不同对问题研究的难易程度有很大的影响，具体表现之一为计算上的冗简程度。优化计算是学好数学的重要必备能力，同时也是学生喜欢数学的一大障碍。教师要重视引导学生：在解题运算过程中注意运算的合理性、简洁性、准确性。因此能达到这一要求的解题途径，才算得上最佳的解题途径。
我们选择参照系统时要遵循简单、方便、可行的原则，并掌握极坐标和直角坐标各自的特点和能够包含的信息。极坐标使用极距和极角，直角坐标则包含到两坐标轴距离等信息，其多适于解决函数问题。极坐标参照系统和直角坐标参照系统描述同一运动问题时有异曲同工之妙，但在繁简程度方面却有迥异。所以在研究点的运动问题时，这两个系统应该平等供我们选择。当然选准恰当的参照系统以后，还要注意必须建立合适的坐标系，这才有效优化我们的解答路径。
圆锥曲线是历年高考的必考的重点内容之一，关于圆锥曲线试题,多数是综合题,在高考中常处于压轴题的位置,并且题型变化灵活,目的是考查学生的数学综合能力。不过有些平面几何及圆锥曲线问题如用极坐标法，不仅解决问题的思路简便，而且运算过程非常简化。现例举如下：
1 有关圆锥曲线焦点弦长度问题
以焦点F为极点，过F垂直于准线l的射线为极轴建立极坐标系，得圆锥曲线的极坐标方程统一为：ρ=，其中p是焦点F到准线的距离，运用此方程并结合ρ和θ的几何意义解决椭圆（0<e<1）、双曲线（e>1）、抛物线（e=1）的有些焦点弦问题堪称干净利落。
例1 （2010全国卷1文理数（16））已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF=2FD，则椭圆C的离心率e为。
解析 很多高中教师都认为：此题作为客观题还是稍微难了点。方法一、考生的习惯解法为：|BF|==a，作DD1y轴于D1，由BF=2FD得，，所以|D1D|=3/2|OF|=3/2c，即xD=3/2c，由椭圆的第二定义知：
如果我们采用圆锥曲线的极坐标统一方程，情况又如
由此可以看出：在处理圆锥曲线某些涉长度的焦点弦问题时，采用极坐标参照系把问题化归为关于极角θ的三角函数问题，处理起来是要方便一些。
2 有关椭圆、双曲线中心弦和抛物线顶点弦问题
此时以椭圆、双曲线中心或抛物线顶点为极点O，以圆锥曲线的一轴为极轴建立极坐标系。令x=ρcosθ，y=ρsinθ把平面直角坐标系方程换算成极坐标方程，从而使得解题过程出乎意料的明朗快捷。
例2 在椭圆=1(a>b>0)中，过原点互相垂直的两条直线l1、l2交椭圆C于A、B、C、D。⑴、ABCD面积S的取值范围。
解析 作为特殊情况，当l1、l2分别为x轴、y轴时，⑴显然成立，但在一般情况下设l1方程为y=kx，则l2方程为y=-1/kx，把这两方程代入椭圆方程解出A、B、C、D的坐标，再由两点间距离公式求出|AB|、|CD|，然后将|AB|、|CD|代入⑴左边化简即得证。
问题⑵,由于四边形ABCD面积S=|AB|·|CD|，则问题变成一个关于k的无理式的最值问题。
这样做不但要解两个方程组，而且还要涉及无理式的化简、求最值等，这两份工作都是学生不情愿做的（当然万不得之时这两份工作也得做）。
不妨在极坐标下：令x=ρcosθ，y=ρsinθ椭圆方程化为ρ2==⑴右边。得证
若在极坐标下，问题⑵即为一个关于θ的三角函数最值问题。当然处理关于θ的三角问题就比处理关于k的无理式问题要容易一些。
S=|AB|·|CD|=4(|OA|·|OC|)
3 有关平面几何线段运算问题
解决此问题的手法是多样的。如果是线段的加减法运算，多数学生都会采用平移、对称、旋转等手段来解决；如果是线段的乘除运算，我们采用相似变换等手段来解决；如果是加减乘除混合运算呢？问题就相对复杂些了。当然解决此问题的方法之一是：选择适当点为极点、适当的射线为极轴建立极坐标系，就可把线段的加减乘除混合运算问题转化为极角θ的三角函数运算问题。从而使问题明朗化、简洁化。
例3 已知是正三角形ABC外接圆O的BC上任意一点，半径为r。试求PA2－PB·PC的值。
若以P为极点，PO射线为极轴建立极坐标系。则圆O：
ρ=2rcosθ，|PA|=ρA=2rcosθ，
|PB|=ρB=2rcos(θ+π/3)，
|PC|=ρC=2rcos(θ-π/3)，
PA2－PB·PC=4r2cos2θ－4r2cos(θ+π/3)·cos(θ-π/3)=4r2cos2θ-4r2(1/4cos2θ-3/4sin2θ)=3r2。但采用平面几何知识点来处理此题是有一定难度的。
若以圆心O为坐标原点，选定的PO所在直线为x轴建立平面直角坐标系来处理此题，圆O方程x2+y2=r2，
令：P(-1,0)、A(rsosθ,rsinθ)、Brcos(θ+2/3π),rsin(θ+2/3π)、Crcos(θ-2/3π),rsin(θ-2/3π)，则由两点间的距离公式计算：PA2-PB·PC=…………，此时的处理思路和在极坐标系下的处理思路差别不大，但处理过程就不是很轻松了。
教师如何培养学生的学习兴趣已经是一个古老而又有道理的话题。应该认为：让学生习惯用简洁明了的思路，并且运算又不是很冗繁的方法解决看似复杂的问题，也算是培养学生数学兴趣的一个有效手段。因此我们在处理几何问题时应把极坐标和平面直角坐标这两个参照系统平等对待。
参考文献：
〔1〕刘绍学，钱珮玲，章建跃，等。普通高中课程标准实验教科书[M]。北京：人民教育出版社，2007。
【关键词】二面角；向量；法向量；方向向量；空间直角坐标系；立体几何；平面角
二面角是人教A版高中数学必修2第二章2.3.2小结的内容，概念的本身“从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角”很容易理解，但二面角的大小用它的平面角来度量，去求解二面角的平面角却并不容易，用立体几何方法求二面角是学习的难点，如果用传统的方法去做题，需要按“做-证-求”三步来完成，需要借助辅助线而且不容易做不出二面角，更不用说求解，所以这时我们想到了向量，用向量的方法求解二面角让问题简化。那么利用向量求二面角大小的方法如下：
方法规律：主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.但在处理二面角问题时会遇到如何判断二面角的平面角与两个法向量夹角的关系问题，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
思想方法：
1.合理建立空间直角坐标系
（1）使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就是建立空间直角坐标系，建系方法的不同可能导致解题的简繁程度不同.
（2）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点.
（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选择一个合理的位置建立空间直角坐标系.
2.易错防范
二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补.
总之，遇到求解空间二面角的问题可以结合向量法应用，同时以二面角为模型载体，巩固向量法，进一步体验其优越性及方法的独特魅力。
参考文献：
[1]于发智.法向量搭桥，天堑变通途[J].广东教育（高中版），2011年03期.
[2]张洋生.例谈用向量法解立体几何问题[J].教育革新，2010年01期.
[3]吕军英.新教材立体几何中法向量的性质[J].时代教育（教育教学版），2009年05期.
关键词： 平面直角坐标系 一次函数 高度 宽度
新课程标准实施以来，在新课程改革思想的指导下，我经过多年的教学实践探索，为了让学生学习结合实际的数学，将函数的基础知识和我们平常习惯化了的手势动作融合到教学中，让我们的课堂动起来，提高了学生的学习兴趣，点燃了老师的教学激情。在约定俗成的动作中，有效教学了八年级数学上册的平面直角坐标系与一次函数相关的知识。
在学习了平面直角坐标系的知识和位置的确定之后，现就一个点到x轴、y轴的距离，以及线段或直线与坐标轴有特殊位置关系时点的坐标如何轻松确定，特介绍如下手脑并用的课堂活动供大家参考。
一、意念平面直角坐标系
让学生联系实际建立一个用手势表示的平面直角坐标系。从坐标系本身来看，因为x轴是一条水平轴，让学生的手从胸前水平划过，意念中的x轴产生后，试想我们常说的高度是如何产生的，鼓励学生动脑，列出正确的表示高度的手势，同时发现高度是相对于x轴产生的。紧接着观察y轴，发现y轴是一条竖直的轴，让学生的手从胸前竖直划下，意念中的y轴产生后，想一想我们常说的宽度是如何产生的，鼓励学生动脑，列出正确的表示宽度的手势，同时发现宽度是相对于y轴产生的。此时再就某个点的坐标细心观察，如（x，y），会发现横坐标x的绝对值就表示到y轴的宽度，纵坐标y的绝对值就表示到x轴的高度。
二、手势纵横，动态课堂
在给定平面直角坐标系的课堂环境中让学生进行一系列的观察，然后让学生用手势描绘平面直角坐标系中有特征的点或点的连线。
活动1：利用给定的到坐标轴的距离确定点的坐标。手势划出我们意念中的x轴和y轴，也别忘了用手势表示高度和宽度，并且和点的坐标对应起来，高度对应纵坐标，宽度对应横坐标，当然坐标值的正负应由上下左右决定。
活动2：利用与坐标轴平行的特征写出点的坐标。趁热打铁，若发现一条线段与y轴平行时，也就是一个手势从上向下划的时候感觉到与意念中的y轴同宽的时候，则说明线段上的点的横坐标相同；若发现一条线段与x轴平行时，也就是一个手势从左向右划的时候感觉到与意念中的x轴同高的时候，则说明纵坐标相同。
如图1中，A、B两点的宽度相同，说明横坐标相同并且在y轴右侧，表示横坐标为正且相同，也表示与y轴平行时的情况。
如图2中，C、D两点的高度相同，说明纵坐标相同并且在x轴上侧，表示纵坐标为正且相同，也表示与x轴平行时的情况。
图1 图2
活动3：利用与坐标轴对称特征写出点的坐标。当发现有一点或一条线段甚至一个图形关于坐标轴对称时，也是先确定意念中的x轴和y轴，水平为x轴竖直为y轴。
此时如果图形在意念中的y轴两侧且同宽时，表示这些对称点的横坐标互为相反数，也会发现它们是同高的，纵坐标相同。
如图3所示，E、F两点在y轴两侧并且到y轴的距离相等，此时E、F两点的横坐标互为相反数，并且是同高的，纵坐标相同。
此时如果图形在意念中的x轴两侧且同高时，表示这些对称点的纵坐标互为相反数，也会发现它们是同宽的，横坐标相同。
图3 图4
如图4所示，G、H两点在x轴两侧并且到x轴的距离相等，此时G、H两点的纵坐标互为相反数，并且是同宽的，横坐标相同。
三、动作延伸，解决问题
学习一次函数知识后，我们可以说直线与x轴的交点就是高度为0即纵坐标为0的点，此时我们让因变量y为0求出相应自变量的x值；直线与y轴的交点就是宽度为0即横坐标为0的点，此时我们让自变量x为0，求出相应因变量y的值。
本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标
1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、能力目标：(1)使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
(2)体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力
(3)培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1、重点：
圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：
圆的方程的应用。
3、解决办法
充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法
在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法，
五、教法
先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤
一、导入新课
首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
二、讲授新课
1、新知识学习
在学生回顾确定直线的要素——两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素——圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合
在平面直角坐标系中，圆心可以用坐标表示出来，半径长是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点的坐标满足的关系式。
经过化简，得到圆的标准方程
2、知识巩固
学生口答下面问题
1、求下列各圆的标准方程。
①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；
②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；
2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
①
②
3、知识的延伸
根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程——从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上——从代数到几何。
三、知识的运用
例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。
由于圆的标准方程含有三个参数,,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程
四、小结
一、知识概括
1、圆心为，半径长度为的圆的标准方程为
2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。
3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。
二、思想方法
（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。
2003年4月，我国颁布了由国家教育部制订的《普通高中数学课程标准（实 验）》（以下简称《课程标准》），2004年9月广东省、海南省、山东省、宁夏回族自治区等四省区开始进入首轮《课程标准》的教学实验.《课程标准》依据“构建共同基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择”等十条基本理念，螺旋上升地在必修与选修模块中设置了解析几何内容.《课程标准》建构的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程――圆与方程――圆锥曲线与方程――坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容.
本专题在老教材《平面解析几何》中曾以必修章节出现，但在2001 年开始该内容被删除，现在《课程标准》又将它以选修内容呈现，说明了本专题内容在高中阶段学习的必要性.与1998年人教版的《平面解析几何》中第三章内容“参数方程、极坐标”比较，《课程标准》下“坐标系与参数方程”在教学内容、教学逻辑顺序的安排、教学的方法和教学的要求上都有了很大的改变.
由于高中各阶段教材对“坐标系与参数方程”内容的处理不同，对1998年版和2001年版以及2007版新旧教材进行比较对比研究，侧重点放在高中数学新课程中本专题的特点、特色的研究，并根据这一特点分析如何进行教学设计.通过对所选专题的设计和研究，侧重于探讨坐标系与参数方程教学中的四个焦点问题：
（1）坐标系与参数方程内容对教学有哪些要求？对教学设计会产生哪些影响？
（2）选取什么样的实例会更有利于坐标系与参数方程教学？
（3）课堂上老师应如何引导学生探究，领会坐标法与参数法思想？
（4）如何做好现代信息技术与此专题的整合？
由于我国高中教材中“坐标系与参数方程”的反复删增变化，使得坐标系与参数方程教学的研究也相对较少，随着新课改的进行，《课程标准》对坐标系与参数方程教学的要求逐渐提高，人们对这部分内容教学的研究越来越重视.
可是对于教师而言，本专题在老教材《平面解析几何》中曾以必修章节出现，但在2001年开始该内容被删除，现在《课程标准》又将它以选修内容呈现，对于是否应在中学设坐标系与参数方程的课程内容，在不同的阶段，不同的学者从不同的角度探讨过此类问题，提出了许多肯定或是否定的意见和建议.将“坐标系与参数方程”重新编排在高中课程的选修教材中就是重视数学应用的一大举措.但是由于每一位高中数学教师的知识结构、教学经历、擅长模块等不尽相同，每位教师对“坐标系与参数方程”的理解、认识将会有所不同，在进行“坐标系与参数方程”这一选修专题的教学时，必然表现在确立的教学目标、确定的教学内容、选择的教学方法与评价方法等都将有所不同.加上作为选修内容本身又在深度、难度的把握上有较大的弹性，老教师可能还会受到老教材中相应教学内容及难度设置的影响.从内容的容量及教法和学法角度而言，这部分内容与以往的课程有较大的差异，同时，《课程标准》中对这部分的教学要求留有相当的教学发挥空间. 面对这样一种现状，如何选择教学内容、教学模式以及在实施过程中应遵循哪些原则来实现自己的教学目标，并没有一个现成的范式.
对于学生而言，高中毕业后，一部分学生上大学继续深造，中学学习的坐标系与参数方程为大学继续学习相关内容打下一定的基础；另外一部分学生要进入社会工作生活，这也是他们学习新知识、更新新技术的基础.总之，作为现代的中学生，学习必要的坐标系与参数方程的知识是实现可持续发展的需要.
从学生心理发展来看，初中阶段是学生以形象思维为主逐步向经验型的抽象思维的过渡阶段，学生的抽象思维能力逐步占优势，但需要感性经验的支持.高中阶段是学生以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维的过渡阶段，这时抽象逻辑思维占主导地位.而坐标系与参数方程中的相关内容需要很强的抽象思维能力，因此，在新课程在选修课中安排本专题内容，是完全符合学生心理发展规律的.新课程标准下的高中数学在内容和结构上都作了大幅度的调整，删除了一些陈旧的内容，为开设必要的选修课提供了学时上的保证.
从“坐标系与参数方程”的专题内容可以看出，内容的编排和设计遵循学生思维能力的发展.在“平面直角坐标系”中，教科书在学生已有知识的基础上，着重介绍了“坐标法”和“坐标伸缩变换”，引导学生学习如何根据问题的几何 特征选择适当的直角坐标系，建立曲线方程，进而通过方程研究相关问题，以进 一步体会坐标法思想.平面图形的伸缩变换在平面直角坐标系中可以用坐标伸缩 变换来表示，教科书以学生熟悉的正弦函数图象之间的关系为载体，从坐标伸缩变换的角度进行重新认识，引导学生进一步体会坐标法思想.
极坐标系是本专题的重点内容，用距离与方位刻画点的位置是生活中常用的方法，极坐标系就是这种方法的“数学化”.教科书在介绍极坐标系概念的基础上，从极坐标与直角坐标的互化、圆和直线的极坐标方程等角度引导学生认识极坐标系，并引导学生体会在不同的坐标系中，有序数组（坐标）所体现的几何意义不同.通过学习，使学生的思维逐渐地得到深化，从而提高学生的思维灵活性和多样性.
参数方程是本专题的另一个重要内容，其内容具有很强的综合性，教科书以学生熟悉的内容（直线、圆、圆锥曲线等）为载体，引导学生从参数方程的角度对它们进行重新认识，学习用参数方程思想研究曲线的基本性质，学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变.
一、“探究教学法”理论
探究是让学生主动探寻解问题的过程，如早期希腊哲学家苏格拉底所采用的“产婆术”。知识的获取是一种发现，重视的是学生思考的过程。探究教学是20世纪60年代提出的,其核心是使学生通过类似科学家的探究过程理解科学概念，培养科学探究能力。
探究教学法是由教师根据教材特点和学生实际刻意创设，让学生通过主动参与、亲自体验、尝试探究，从而获取新知识。学生能否积极主动参与数学教学实践活动，其参与度不仅取决于学生主体意识和活动能力，而且取决于教师对教学活动的组织设计能否为学生提供充分活动的形式、空间和时间。
学生认知理论的研究表明，学生的学习不是从空白开始的，已有的经验会影响现在的学习。顾泠沅引入了“潜在距离”的概念，来说明知识之间有一个合适的距离，做好其铺垫是成功的奥秘，探究问题要有合适的潜在距离。
二、“向量的坐标表示”教学探究
教材：上海教育出版社出版的“中等职业学校教材”第二册（试用本）
2.1复习引入
复习：1. 实数与向量的乘积，k与间的关系；2. 单位向量及其求法。
3. 基本单位向量
练习引入：1.已知x轴上一点P1 (2,0)，试用x轴上基本单位向量表示2.已知y轴上一点P2 (0,3)，试用y轴上基本单位向量表示
教学探究说明：在练习引入过程意设置两个数乘向量的问题，不仅能考察学生对已有知识的掌握程度，而且对位置向量的坐标探究有重要的铺垫作用。
2.2探究新知
平面上的点可以用坐标表示，那么把向量放在平面直角坐标系中，能否用坐标表示呢？
探究一：位置向量的坐标
问题1：平面直角坐标系中的一点Q（2，3），能否用x轴y轴上的单位向量来表示.
问题2：平面内任意一点P的位置向量能否用
x轴y轴上的单位向量来表示.
探究二：向量的坐标表示
问题3：由一点确定的位置向量可以用坐标表示，那么由平面内两点A、B确定的向量能否用坐标表示呢？
问题4：的坐标与点A、点B的坐标有
怎样的关系呢？
问题5：位置向量的坐标与任意向量的坐标一样吗？他们之间是怎样的关系？
教学探究说明：向量的坐标表示涉及的内容与前面学习过的向量的运算非常密切。一方面利用数乘向量的关系及平行四边形法则探究位置向量的坐标表示，另一方面通过位置向量及三角形法则探究平面内任意向量的坐标表示。培养学生的思维能力和探究意识。
探究一中的问题1与练习引入中的问题相对应，问题的难点就在于如何将分解为坐标轴上的向量。这个“潜在距离”的解决是问题1的一个关键。所以在练习引入处特意设置了两个练习，与问题1相呼应，学生会自然地想到把分解为x轴y轴上的向量。
问题2体现了从特殊到一般的过程。如果能够理解点Q的位置向量的坐标，那么对任意一点的位置向量坐标的推导就水到渠成了。探究的重点是平行四边形法则。学生能否通过图形想到三个向量间加法的关系，就是探究的核心。
探究二中问题3是个猜想。在直角坐标系中点有坐标，由一点确定的位置向量也可以用坐标表示，那么由任意两点确定的向量是不是也有坐标呢？由这样的推理，答案应该是肯定的，那又如何得到呢？从问题3引出问题4，这里探究的关键在于能否把位置向量的坐标应用进来，借助探究一的思考方法，应用向量三角形法则找到对应向量的加减关系，从而得到向量的坐标表示。
探究一作为基础，探究二的解决就容易一些，教师调整了已有知识和新知识的潜在距离，既有一定的挑战性，又能使学生在已有知识的基础上经过探究发现新知识。经过两个探究活动，学生发现原来向量也可以有坐标，而且向量的坐标就是其终点横纵坐标减去其始点的横纵坐标。
2.3总结结论，巩固提高
向量的坐标就是“横(纵)坐标等于终点横(纵)坐标减去始点横(纵)坐标”。
例1：写出直角坐标系内下面各点的位置向量.
(1) A(2,3)(2) C(0,-4)
例2:已知点P(3,-2) 点Q(5,4)，求,的坐标及
讨论题:已知平行四边形的三个顶点A(2,-1)B (4,0)、C（－1,1），ABCD四个顶点按顺时针方向排列，求顶点D的坐标.
思考题：已知线段AB的两个端点A(3,-4) B(1,2)、P为线段AB上一点,且
AP＝3PB,求点P的坐标.
例1、2是基础题，学生能准确解决。讨论题的解决过程中，学生非常积极的讨论，此题恰当的找到了原有知识与新知识之间的桥梁。
经过讨论，学生可以利用中点坐标解出此题，也可以用本节课的知识通过找相等向量而求出。同学们意识到原来用向量的相关知识解题也是一种很好的方法。
思考题是线段定比分点类题目，有很多解决方法，但是经过同学间的研究讨论，发现原来用向量的坐标来解决更快捷，方便。
用向量来解决某些平面几何问题，可淡化复杂的逻辑论证，使问题变得简洁易解，更有利于学生的学习。
三、总结反思
3.1探究过程中要把握好探究问题的“潜在距离”
“潜在距离”的度要把握好，如果“潜在距离”太小，学生拓展和思维的空间有限，“潜在距离”太大，学生不能有效地得出相应地结果，造成教学时间的极大浪费，产生低效教学。
3.2关注探究的过程和探究的方法
数学探究的价值在于过程的真实，在于学生的亲生经历。以过程为载体，让学生模拟科学家的探究之路。本节课中，从特殊到一般开始探究，有对结果的直接猜想和类比，有转换思维角度后对过程的探求，再用演绎法验证。这个探究过程，是学生亲身经历的，其印象必然深刻。
【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）、几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）、代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）、坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有:向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、平面向量的坐标运算,联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有:平面向量的坐标运算(5.4节),向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、平面向量的应用,具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理,余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会,也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法；向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力，教材还安排了"实习作业",通过实际测量,使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
关键词：平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）、几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）、代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）、坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容 、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节), 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理, 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由a地到b地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数
，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数图像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
1．1 解析几何在历年试卷中的比重：
2．圆锥曲线与方程
中心在坐标原点椭圆的标准方程与几何性质√
中心在坐标原点双曲线的标准方程与几何性质√
顶点在坐标原点抛物线的标准方程与几何性质√
1.3 参照近几年江苏卷我们会发现：
（1）解析几何内容在近几年江苏高考中，从所占的分值来看平均大约占21分，在理科附加题的考查中也常有解析几何的影子；
（2）从题型上看，一般填空题为1~2题，解答题一般为1题；
（3）从试题命题的难度看，仅有2010年第6题考查的是有关双曲线的问题是属于基础题，其他试题均属于中档题或综合性较强的问题.
事实上，从江苏高考考纲对这一部分的要求来看，也只有对双曲线与抛物线的要求是A级，所以我们在复习这两种圆锥曲线时切忌挖得太深．当然，关于空间直角坐标系的考查主要是放在理科附加题部分空间向量在立体几何中的应用．
2 解析几何题高考指向
2.1 指向1：有关直线的问题
考题1（08 江苏 9）如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P(0,p)是线段AO上的一点（异于端点），这里a,b,c,p均为非零实数，设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x+(1p－1a)y=0，请你完成直线OF的方程：( )+(1p－1a)y=0．
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填1c－1b．事实上，由截距式可得直线AB：xb+ya=1，直线CP：xc+yp=1，两式相减得(1c－1b)x+(1p－1a)y=0，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
【答案】1c－1b.
2.2 指向2：有关圆锥曲线的问题
考题2（10 江苏 6）在平面直角坐标系xOy中，双曲线x24－y212=1上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是__________.
【答案】4
考题3（08 江苏 12）在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过P(a2c，0)作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为__________.
【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以OAP 是等腰直角三角形，故a2c=2a，解得e=ca=22．
【答案】22
考题4（09 江苏 13）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1,A2,B1,B2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为__________
【答案】27-5
【解析】用a,b,c表示交点T，得出M坐标，代入椭圆方程即可转化解得离心率.
2.3 指向3：有关直线与圆的问题
考题5（10 江苏 9）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x－5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是__________.
【答案】(－13,13)
【解析】考查圆与直线的位置关系．圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x－5y+c=0的距离小于1，|c|13
考题6（08 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=x2+2x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点．经过这三个交点的圆记为C．
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程；
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．
解析：（1）令x=0,由b≠0且Δ>0,得b
(2)涉及圆与坐标轴的交点问题，设圆的一般方程转化为二次方程解的问题，可得圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.也可以首先求出三个交点的坐标，利用待定系数法，将点的坐标代入圆的方程.
（3）将圆C过定点转化为方程恒成立问题，求得圆C过定点(0,1),(-2,1).
考题7（09 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+3)2+(y－1)2=4和圆C2:(x－4)2+(y－5)2=4
（1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.
【解析】(1) y=0或y=－724(x－4)，
(2)利用垂径定理可知弦心距相等，再转化为关于k的方程恒成立问题.或由题意知P在线段C1C2的中垂线上，且与C1、C2成等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为(－32,132)或(52,－12)．
2.4 指向4：有关直线与椭圆的问题
考题8（10 江苏 18）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0，y1>0,y2
（1）设动点P满足PF2－PB2=4,求点P的轨迹；
（2）设x1=2,x2=13，求点T的坐标；
（3）设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
［解析］ （1）点P的轨迹为直线x=92．
（2）点T的坐标为(7,103)．
（3）将直线AT、BT分别与椭圆联立方程组.考虑到A、B两点为定点，
解得：M(3(80－m2)80+m2,40m80+m2)、N(3(m2－20)20+m2,－20m20+m2)．
（方法一）当x1≠x2时，直线MN方程为：y+20m20+m240m80+m2+20m20+m2=x－3(m2－20)20+m23(80－m2)80+m2－3(m2－20)20+m2
令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；
当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
（方法二）若x1=x2，则由240－3m280+m2=3m2－6020+m2及m>0，得m=210，
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．
若x1≠x2，则m≠210，直线MD的斜率kMD=40m80+m2240－3m280+m2－1=10m40－m2，
直线ND的斜率kND=－20m20+m23m2－6020+m2－1=10m40－m2，得kMD=kND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．
3 2012年江苏高考数学预测
3.1 从近几年的命题及考纲要求看，有这样一个现象值得关注：那就是直线与圆和直线与椭圆的轮番交替出现．08年在填空题第12题考查了求椭圆的离心率，随即在第18题考查了直线与圆的综合题；09年在填空题第13题考查了求椭圆的离心率，随即在第18题考查了直线与圆的综合题；10年在填空题第9题考查了直线与圆，随即在第18题考查了运算量较强的直线与椭圆的综合题．也就是说直线与圆和直线与椭圆这几年考查规律基本上是以一大一小的形式进行，而且均有一定的综合性．
【关键词】主动参与；平面直角坐标系；三个一次的关系；三个二次的关系；数形结合法；以旧带新
引言
近年来，无论是参加什么样的教研活动，说起职高的文化课教学，最头痛、最伤脑筋的莫过于职高的数学教学。究其原因很多，一来普高一而再，再而三地扩招；其次学生受到各种外在环境的影响，越来越多的学生不爱学习；再说我们教师，仍沿用老一套的教学方法进行教学，没有从学生实际出发，降低教学难度，减少教学内容，不愿给学生多搭建更多的台阶，让他们一小步一小步前行，让更多的学生能够参与到职高的数学课堂教学中来，从而逐渐提高他们学习数学的主动性与积极性。
一元二次不等式的解法是职高数学教学的重点和难点之一，从教学内容上看，一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数密不可分；并且该内容涉及的知识点较多，应用又很广泛。
下面就本人多年在职高数学教学中得出的教学经验，就一元二次不等式的解法的教学进行举例说明，望能抛砖引玉，对职高数学课堂教学能有所帮助与启发。
《一元二次不等式的解法》这一节的内容是初中与高中知识点的过渡，又是数形结合法的典型应用。无论是从知识上，还是数学思想方法上，在职高的教材中都占据着重要的地位，其作用不可低估。这一节的教学内容学生掌握得如何，直接关系到今后学生学习数学的态度与积极性。但在现实的数学教学中，教师往往高估了学生的学习能力，还按照传统的方法进行教学，从而使学生对这部分知识掌握得不够好。学生学习数学的积极性与主动性就这样一点一点地丧失掉了。
为了使更多学生能够主动参与到数学课堂教学中，并很好地掌握好这部分教学内容，我分成“四部曲”进行教学：
1 复习平面直角坐标系，让学生会识图象
我们有的教师在讲这部分内容时，很形象、很生动，教师讲得津津有味，陶醉在课堂的教学艺术氛围中，殊不知我们的学生如在云里雾里一样，不知老师在讲什么。究其原因是学生根本就看不懂直角坐标系中的图象，叫他们怎么去应用数形结合法去求解一元二次不等式呢？从数轴到平面直角坐标系，知识一小步，思维却一跨步，成绩好的同学很容易掌握这部分知识点，但很多学生就是从这里没跟上，尤其是我们现在的职高学生来说，很多同学没有把这部分内容真正弄明白。因此，在上新课前首先要复习“数轴与平面直角坐标系”这部分内容，学生往往是明白数轴，却不懂平面直角坐标系，当然就不会看平面坐标系里的图象，这让他们怎么去数形结合法解题呢？一般来说，数轴上的点与坐标（实数）是一一对应的，很多职高学生这点知识掌握得挺好；但类比得到的平面直角坐标系中的点与坐标（有序实数对）也是一一对应的，大多数同学就不会了。教师在这里一定要花足够多的时间，尝试让学生既要会写出直角坐标系里点的位置对应的坐标，也能根据坐标找出直角坐标系中相应点的位置，从而能真正看懂各种图象。这样，学生就可以真正运用数形结合法进行解题了。如果这一教学过程没处理好，课堂上的一切都是纸上谈兵、对牛弹琴，所有的功夫都是徒劳。因此，在职高数学的教学中，每一步的数学教学，学生都需要老师“牵”着走路，甚至“扶”着走路。
2 激发兴趣，引出“三个一次”的关系
在学生完全掌握平面直角坐标系的相关知识后，为了让更多的同学能够听得懂，并很好地参与到数学课堂中，积极与老师配合，于是教师提出如下问题：
①解方程2x+1=0；
②解不等式2x+1>0；
③解不等式2x+1
④画出一次函数y=2x+1的图象。
学生很容易求解这几个问题，尤其是前三个问题。教师在引导学生解决上述四个问题的基础上进一步提问：一元一次方程、一元一次不等式与一元一次函数之间有什么关系？本来求解这几个问题，学生感到很容易，但教师这么一问，部分学生却有些茫然，不知所措了。当然了，也激起了他们学习的积极性，跃跃欲试想说些什么。后教师再根据函数图象与学生共同分析，得出函数y=2x+1的图象与x轴的交点的横坐标便是方程2x+1=0的根；x轴上方图象部分对应的自变量x的取值范围就是不等式2x+1>0的解集；x轴下方的图象部分对应的自变量x的取值范围就是不等式2x+1
3 数形结合，明白“三个二次”的关系
学生在真正弄明白了“三个一次”的关系后，教师再顺势提出“三个二次”之间又有怎样的关系？ 举例说明：
①画出函数y= x2-x-6的简图；
②解方程x2-x-6=0；
③解不等式x2-x-6>0；
④解不等式x2-x-6
先让学生根据“三个一次”的关系，以旧带新，讨论上述一元二次不等式与一元二次方程、一元二次函数间的关系，后得出重要结论：求一元二次方程x2-x-6=0的根，转化为求二次函数y= x2-x-6的函数值y=0对应自变量x的值，即图象与x轴交点的横坐标；一元二次不等式x2-x-6>0的解集转化求二次函数y= x2-x-6的函数值y>0对应的自变量的取值范围，即x轴上方图象所对应的自变量x的取值范围；一元二次不等式x2-x-6
4 直奔主题，清楚一元二次不等式的解法
学生弄清楚了“三个二次”的关系后，有的学生还是不会求解一元二次不等式，究其原因是因为不等式对应的二次函数与x轴的交点情况有三种，而二次函数图象的开口方向又有两种，且不等式的类型又有多种，大多数学生只会求解二次函数的开口是向上的这种类型，即对应函数的二次项系数为正。因此解一元二次不等式首先得将二次项系数化为正，然后再求解。其实，解这类不等式，最重要的步骤是求其相对应方程的根的情况和画出简图（基础、理解能力较好的同学可以不用画简图）。最关键的是教师要引导学生会找出不等式所对应函数的图象，简单地说我们把二次函数的图象分为三部分：x轴上方；x轴上；x轴下方，然后再根据图象找出相对应的自变量的取值情况。于是，很自然得到一元二次不等式的解题步骤：
①将二次项系数化为正；
②求出相应二次方程判别式的值；
③若有根，求出相应方程的根；
④画出相应函数的简图；
⑤找出满足条件的图象（大于0的就是x轴上方部分；等于0就是x轴上的部分；小于0就是x轴下方部分）；
一、数形结合思想在初中数学解题中的重要作用
第一，增强数学公式的直观性在初中数学学习过程中，由于初中生抽象思维还没有完全形成，对于抽象数学语言还做不到完全地理解，数形结合思想的融入，将数学语言直观化，提高学生的学习兴趣,培养学生的数学思维。第二，丰富学生的解题思路在初中数学教学过程中渗透数形结合思想，尤其是一些图形、数量关系的转化问题，借助图形、思维图，将“数”与“形”进行有效转化，使抽象的应用题具体化，降低解题的难度，学生在图形结合中就能很明显的得出各数量之间存在的关系，找到解题思路。第三，培养学生的数形结合思维在初中数学中，计算题是重要的知识内容，很多学生对于基本的数学计算仅仅使用最普通的方式解决，这样既没有效率，还容易出错。数形结合的融入，既让学生逐渐认识到“形”对数学解题的重要性，还可以让学生懂得算理，掌握良好的计算方法。第四，提升学生的想象力和创造力在初中数学教学阶段，初中生对于很多的数学知识完全没有思路，想象力受到限制，初中数学教师使用数形结合思想将抽象的数学规律形象化、显现化和趣味化，培养学生对数学知识的想象力，让学生形成具体的思维能力，帮助初中生轻松发现数学规律，体验到学习数学知识的快乐。
二、数形结合思想在初中数学教学中的应用策略
为了更加具体、详细的分析应用数形结合思想的策略，本文以初中数学教材中的《平面直角坐标系》为例，从如下三个方面进行分析，详述如下。
（一）提供材料，引导学生进行概括
提供材料让学生进行概括，那材料就应当包括两部分：第一部分是新的学习内容，第二部分则是以前学过的内容。教师设置新的学习内容，即本堂课的教学内容核心——平面直角坐标系，并且在引入的过程中要教给学生平面直角坐标系的基本概念和画法。其次，教师选择以前的教学内容，从而引导其复习以前学过的知识，因为知识一旦在学生的脑中留有印象，学生就可以按照图索进行思考，相应的，学生进入学习状态的速度也更快。例如教师可以引入正三角形并引导学生复习其定义和特点，并想象其具体的形状。这两种材料搭配使用，一是可以激发学生的好奇心和求知欲，调动其学习情绪，便于引导其概括旧知识学习新知识，二是为渗透数形结合思想打好基础。
（二）渗透数形结合思想
对于数形结合的思想，能够指导学生学会知识转换，掌握数与形之间的内在关联，从而渗透数形结合思想。因为函数是学生学习数学知识、掌握数学规律的最重要的学习工具，所以结合教学内容，笔者认为通过函数渗透数形结合思想的方式是最有效的。实际教学过程中，教师可以通过函数和函数图像之间的关系引导学生进行数形转换。例如教师可以把三角形的一条边放入平面直角坐标系中，通过这条线段（形）引导学生分析所对应的函数（数）是什么。在这个过程中，教师引导初中生用最直接的知识转换方法——选几个点求得公因数，然后分析X,Y的取值范围，从而确定函数。正是因为这种知识转换方法最直接也最复杂，所以学生思考的内容就多，思考过程也长，渗透数形结合思想的环节增多。
（三）培养数形结合能力
基于前面的引导基础，教师可引导学生继续深入分析，从而提升其数形结合能力，例如学生在掌握如何用函数表示三角形的一条边之后，教师就可以继续加大难度，让学生用函数组表示平面直角坐标系中的三角形，因为有了前面的探究经验，所以学生接下来的计算过程就是一个求稳、求快、求准的过程，而在这个过程中，其数形结合能力会因为其稳定、快速而准确的思考而变得更强。
