时间：2023-05-30 10:56:03
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇平面直角坐标系习题，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
例1 如图（一），已知
O1，O2，O3，O4是正方形ABEF，BCGH，CDPQ，DARS的中心，
求证：O1O3O2O4.
证明 在图（一）上（按上
坐标系，然后过E，H 作x轴
的平行线分别交y轴于E1，H1，过 Q，D，R，作y轴的平行线分别交
x轴于Q1，D1，R1，设点：A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（d，e），于是我们由AB=BE，∠ABO=∠BEE1推出RtABO≌RtBEE1（注：本文推出全等的过程都略而不写的理由附记于后），再由全等（注：点坐标与线段的联系其正负符号的选用存在诀窍，随后亦有自行体验的说明）推出：
AO=BE1=-a，BO=EE1=-b
综合（13）、（14）给出的信息（此即确定欲求点的条件），我们立刻可求得下列各欲求点的坐标：D（a-6b，-a），F（a+6b，a-4b），设DF的中点为R1（x，y），由中点公式于是可求得：R1（a，-2b），因已求得R（a，-2b）的情形存在，故知R和R1重合，此即D， R，F三点共线，且同时由此而知R必平分DF.证明完毕.
特别说明：该证明过程所建立的直角坐标系分别与正方形的边垂直和平行，这也是最合适的建标方式中的一种，在这一操作之下，同一正方形共有三个顶点落在了坐标轴上，这样的顶点坐标使整个图形最为简洁，以这些顶点为顶点的辅助三角形们又通过套路证全等的途径将设定点（本题中我们要注意OA=4b的设定有一定特色，这也是简化运算过程的一种设定，且很多情况下都可以这样操作）的信息传递给了欲求点，从而为下一步操作做出贡献.
本章将在上章学习了直线与方程的基础上，学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程，运用代数方法研究直线与圆，圆与圆的位置关系，了解空间直角坐标系，在这个过程中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力。
二、教学目标
1、知识目标：使学生掌握圆的标准方程并依据不同条件求得圆的方程。
2、能力目标：
（1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
（2）体会数形结合思想，形成代数方法处理几何问题能力。
（3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1、重点：
圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
2、难点：
圆的方程的应用。
3、解决办法
充分利用课本提供的2个例题，通过例题的解决使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。
四、学法
在课前必须先做好充分的预习，让学生带着疑问听课，以提高听课效率。采取学生共同探究问题的学习方法。
五、教法
先让学生带着问题预习课文，对圆的方程有个初步的认识，在教学过程中，主要采用启发性原则，发挥学生的思维能力、空间想象能力。在教学中，还不时补充练习题，以巩固学生对新知识的理解，并紧紧与考试相结合。
六、教学步骤
一、导入新课
首先让学生回顾上一章的直线的方程是怎么样求出的。
二、讲授新课
1、新知识学习
在学生回顾确定直线的要素――两点（或者一点和斜率）确定一条直线的基础上，回顾确定圆的几何要素――圆心位置与半径大小，即圆是这样的一个点的集合
在平面直角坐标系中，圆心 可以用坐标 表示出来，半径长 是圆上任意一点与圆心的距离，根据两点间的距离公式，得到圆上任意一点 的坐标 满足的关系式。
经过化简，得到圆的标准方程
2、知识巩固
学生口答下面问题
1、求下列各圆的标准方程。
①圆心坐标为（-4，-3）半径长度为6；
②圆心坐标为（2，5）半径长度为3；
2、求下列各圆的圆心坐标和半径。
①
②
3、知识的延伸
根据“曲线与方程”的意义可知，坐标满足方程的点在曲线上，坐标不满足方程的点不在曲线上，为了使学生体验曲线和方程的思想，加深对圆的标准方程的理解，教科书配置了例1。
例1要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程，然后给一个点，判断该点与圆的关系，这里体现了坐标法的思想，根据圆的坐标及半径写方程――从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上――从代数到几何。
三、知识的运用
例2给出不在同一直线上的三点，可以画出一个三角形，三角形有唯一的外接圆，因此可以求出他的标准方程。
由于圆的标准方程含有三个参数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。引导学生找出求三个参数的方法，让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程。
四、小结
一、知识概括
1、圆心为 ，半径长度为 的圆的标准方程为。
2、判断给出一个点，这个点与圆什么关系。
3、怎样建立一个坐标系，然后求出圆的标准方程。
二、思想方法
（1）建立平面直角坐标系，将曲线用方程来表示，然后用方程来研究曲线的性质，这是解析几何研究平面图形的基本思路，本节课的学习对于研究其他圆锥曲线有示范作用。
（2）曲线与方程之间对立与统一的关系正是“对立统一”的哲学观点在教学中的体现。
关键词： 一题多解；讨论研究；全能力
所谓“全能力”，从数学角度看，包括洞察玄机的观察力、新旧知识整合的融通力、细致缜密的思考力、路径选择的调整力以及克难攻坚的驱动力、不言放弃的坚持力、踏踏实实的执行力……进入初三复习阶段后，对于一些综合性较强的题目学生不太适应，但是综合性的题目是中考考查学生数学能力的必有考题。这样的考题不仅考查的知识点多、知识面广，而且往往将代数和几何知识紧密结合，对学生而言是个很大的考验，要求学生有较高的基础知识水平和较强的运算能力、逻辑思维能力及空间想象能力。鉴于此，本人通过创新，在复习开始有意识地每过一段时期布置一道“研究题”，让全班广泛交流，对一题多解的研究收到了不错的效果。下面，我就一道改编的中考题展示学生解决这道题的成果，并谈谈在实施过程中的想法。
习题：如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点C（0，n）是y轴上一点，把坐标平面面积沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，请求出点C的坐标。
分析：（1）这道题是在平面直角坐标系背景下的问题，考查学生一次函数和相似、勾股定理，轴对称变换等的综合解题能力，是一道典型的代数和几何的综合题。这又是一道近几年来比较热点的操作变换题，要求学生能运用数学中观察、试验、归纳、演绎、类比、分析、综合、抽象、概括等常用的思维方法，并能结合题目选择恰当的解题思路，使用有效的解题方法。
（2）平面直角坐标系中常见着眼点是求解出函数与图像的关系、直线与x轴、y轴的交点及题中的特殊点，因此根据直线解析式首先求出了点A 、B的坐标A（4，0）、B（0，3），并通过解直角三角形RtAOB求得AB=5。
（3）根据折叠（轴对称变换）中的变与不变找到线段之间的联系，求得关键点和线段的长度，假设折叠后点B刚好落在x轴上的点B处，要求得的关键点和线段的长度即为点B'的坐标和线段B'O的长度。易得B'（-1，0），B'O=1。
下面给大家展示学生的四种解题方法：
解法一：如图2，易求点A、B的坐标A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
设折叠后点B与B'重合，则AB'=AB=5，B'O=1=1。
又沿直线AC折叠后B'C=BC=3-n，在RtB'OC中由勾股定理得B'O2+CO2=B'C2，12+n2=（3-n）2，解得n=，C（0，）。
生自述：这是一道有关平面直角坐标系内的问题，我想可以构造直角三角形求解点的坐标，按照这样的想法一步步演算、证明得到了解法。从这道题给出的已知条件，先求出图中标示的点A、B的坐标，和折叠后落在x轴上点B'的坐标。因为是在平面直角坐标系中，一定会构造出直角三角形。连接CB'，则构造了RtB'OC，再根据折叠的轴对称的性质可得到B'C=BC=3-n，这样就可以解RtB'OC，由勾股定理得出方程解，从求出了点C的坐标。
解法二：如图3，由折叠知AC为∠BAO的角平分线，过点C作CHAB，垂足为H，COAO，CH=CO=n。
由直线解析式：y=x+3易求点A、B的坐标A（4，0）、B（0，3），在RtAOB中由勾股定理求得AB==5。
SABO=SABC+SACO，AO·BO=CO·AO+CH·AB。
4×3=4n+5n，解得n=， C（0，）。
生自述：我是从折叠的轴对称变换角度去寻求答案的，由轴对称的性质重叠的部分数量相等，所以重叠角角相等，那么折痕AC为∠BAO的角平分线，由点C恰在角平分线上构造角平分线的基本图形，过点C作CHAB，这样利用三角形的等面积变换求解出高CO的长，从而求出了点C的坐标。
解法三：如图4，求点A、B的坐标A（4，0）、B（0，3）。
在RtAOB中，由勾股定理求得AB==5，设折叠后点B与B'重合，则AB'=AB=5，B'O=1。
在RtAOB中，由勾股定理求得BB'==，接BB'，则由折叠知直线AC为线段BB'的垂直平分线。
BG=BB'=，∠BGC=∠B'OB=90°。
∠GBC=∠B'BO（公共角），BGC∽BOB'，=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：我是从折叠中折痕是对应点所连线段的垂直平分线角度去思考这个问题的。连接BB'，则直线AC为线段BB'的垂直平分线，构造出了一对相似三角形BGC∽BOB'，然后想办法求解出比例式中两对对应边中三条边的长度，因为已知了直线解析式，所以容易求解两个直角三角形，从而求出了点C的坐标。
解法四：如图5，设折叠后点B与B'重合，则AB'=AB=5，
连接B'C，由折叠知B'C=BC=3-n，∠CB'O=∠OBA。
在平面直角坐标系内∠B'OC=∠BOA=90°，B'OC∽BOA。
=，即=，解得n=，C（0，）。
生自述：学习了《相似三角形》后，很多时候用相似三角形的知识解题会减化计算，特别在平面直角坐标系中构造相似的直角三角形比较简单。所以连接B'C后，构造了直角三角形由折叠知对应角相等∠CB'O=∠OBA，对应边相等B'C=BC=3-n，又∠B'OC=∠BOA=90°，易证B'OC∽BOA，由直线解析式易求点A、B及点B'的坐标。
学生在展示了各自的解法后展开了热烈的探讨，一致认为从最优化的角度来说显然解法二和解法四较简单灵活。在此契机上师生之间、生生之间做了一次深度的探讨，对每种解法都做了深刻的分析，并对各种解法取长补短，把勾股定理、轴对称、相似和一次函数的综合应用做了归纳总结。从学生展示的这四种方法来看，学生已熟悉了平面直角坐标系中一类解题的基本规则和常用的方法，掌握了这类折叠题的着眼点，并能有创造性地整合勾股定理、相似、垂直平分线和函数的知识，训练这类题目的主要目的是要让学生在解题过程中相互学习，积极研究探讨找到解决一类问题的最优化的解题策略。
经过一段时间的试验后，本人觉得提高学生“全能力”要注意以下几点：
（1）训练学生熟练掌握数学基础知识，不断积累数学解题技巧；
（2）引导学生熟悉常见的特征图形，多发现函数图像中的几何图形或可以构造的几何图形；
（3）帮助学生熟悉解题的常见着眼点，常用辅助线作法，把问题化大为小，各个击破，从而解决问题；
关键词：高中数学；数学概念教学；教学情境
G633.6
一、问题的提出
学生对数学基本概念的掌握是深入理解学习数学知识的关键，数学概念的在教师教学和学生学习的过程中都起到不可或缺的作用，加强对概念的教学迫在眉睫。但观察现在的高中数学教学，发现教师对于概念的教学几乎都存在忽视的现象，这十分不利于学生对数学整体的把握和数学学习水平的提高。因此，作为高中数学教师，必须加强对数学概念的教学，采取灵活多变的方式，创新教学设计，使学生在准确理解数学概念的基础上更好的完成其他部分的学习。笔者结合自身的教学经验，以高中数学中的基本概念――任意角的三角函数为例，谈谈数学中重要概念的构建。
二、教学实例
问题1：回顾一下任意角的概念。角是三角函数中的自变量，自变量的取值范围是研究函数问题的重要起点。因此，回顾任意角的概念很有必要。
问题2：从平面直角坐标系的角度再研究锐角的三角函数。本章研究的问题是三角函数，而函数的研究离不开平面直角坐标系。回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？
情境预设：先引导学生回忆以往学过的锐角三角函数的定义，但部分学生会对坐标语言表述部分不熟悉，即使将角置于坐标系中学生仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，因此教师要引导学生用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。
设计意图：在学生已有知识经验上通过坐标系的学习再次对已有知识进行认识，把学生已有知识和本节课将要讲授的新知识进行联系，降低认知的起点。
解答过程：
问题3：三角函数的比值与具体的点是否有关系。
情境预设：学生在得出的结论中看到x，y，α，会因为缺乏对数学的整体把握而误以为函数值的大小与具体的x，y的值有关，从而与点P的位置有关。
设计意图：启发学生从数和形两个角度再认识三角函数。从几何的角度直观观察三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。再从函数的角度阐述三角函数值的大小只与自变量α的大小有关，与点P 的位置无关。
问题4：与单位圆结合简化三角函数值。引导学生从代数的角度对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。
回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。
设计意图：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。
解答：单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：
问题5：上述三个问题的结论适用于任意角吗？
情境预设：学生对终边不在第一象限的角α的三角函数不确定。
设计意图：具体认识任意角的三角函数，凸显本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式。
三、教学反思
在本次课程教学过程中，教师带领学生回顾复习了任意角的概念，明确了函数的自变量；随后引导学生建立直角坐标系，以原点为中心画出圆，观察其圆周上的点的坐标随着锐角α的变化而变化，从而让学生对“任意给定一个锐角α，圆周上就有唯一的一个点P（x，y）与之对应”有直观的体会与感受；接下来探究当角α为锐角时，sinα= y 及 y 的值与角α终边的位置关系，得出“y 的值只与角的大小（终边的位置）有关，而与点P在角的终边上的位置无关”这样一个重要结论；最终，在上述锐角的函数概念的基础上，再由特殊到一般，把定义推广到任意角，通过学生分组活动得出任意角的三角函数的概念，进而继续探究该函数的各种性质。
四、小结
在以往的数学概念教学中，很多教师往往对概念教学的认识不到位，偏重数学习题的训练而忽视了概念的讲解和教授，使学生在应用时概念与计算不能很好地联系到一起。新课程的实施强调了概念教学的重要性，本文根据其要求探讨了高中数学概念的有效构建方法，以任意角的三角函数为实例，从问题的提出、情境预设、设计意图、解答过程进行探讨，并且通过画图分析使学生能更直观形象的理解三角函数的概念。因此，高中数学教师必须要加强岁概念的讲解，注重激发学生的发散思维，联系以往相关知识进行知识迁移，避免理论概念和实际计算相脱节的情况。
⒖嘉南祝
[1]胡继东.对数学概念教学的几点思考[J]. 高中数理化. 2012（08）
[2]俞湖红.例谈高中数学概念教学的有效策略[J]. 中等职业教育. 2012（06）
一、设计导入问题要有梯度，以拓展学生思维
人们的认识遵循由具体到抽象，由感性认识上升至理性认识的规律，为此，教师在设计问题时，应按照该认识规律以及学生原本所具备的知识、认知程度设计具备层次性、梯度性的问题，进而充分激发学生的思维，提高其探索欲望，并且使不同程度的学生通过对问题探究，体会成功的喜悦，收获成就感，进而使其更加积极主动地加入到数学课堂的学习之中.在新课程改革的背景之下，教师应从“知识与能力”、“过程与方法”以及“价值观与情感态度”这三个角度出发对课程进行设计，对问题进行合理安排，确保其具有梯度性.
例如在学习《二元一次方程组》这一课时，教师可创设如下问题.问题一，由贴近生活的案例引发学生的思考，如“篮球比赛中，胜一场获2分，负一场获1分，某球队为了能够在22场比赛中获40分，则该队胜负的场数分别为几场？”问题二，分析题中包含的关系式，将题中涉及到的两个必须要满足的条件列出来.问题三，指导学生将两个方程进行合并，呈现二元一次方程组，由此引出课程主题，使学生更易入门.值得注意的是，教师在设计问题的过程中，要根据学生对相关知识的把握情况来把握问题的梯度，从而促进学生对知识的理解，推动“梯田式”导学案的实施.
二、导学案课堂练习题的设计应具有层次性
因初中阶段学生所处的家庭环境、学习环境各异，加上知识水平方面的差异，使其在数学能力的发展方面也具有不同程度的差异性.为了能够让每位学生都能得到一定的发展，教在设计导学案课堂练习题的内容时应将数学的层次性特征充分体现出来，具体而言，就是要求教师依据学生在知识能力方面的差异性来设计课堂训练，并且训练内容要体现层次性以及梯度性，从而让各个层次的学生都能够获得逐步地、合理地提升.
例如在学习正负数、相反数与绝对值的定义时，教师可运用直观的对比案例、肯定与否定例证来对具有类似本质特点的变式练习题进行设计，从而进一步加深学生对数学知识的认识，并且在理解方面不会出现较大的困难.教师可以运用例题的变式题来设计具有一定综合性与灵活性的综合训练题，从而使学生对数学知识的综合运用能力得到有效地提升.
三、将学习内容进行级别划分
将学习内容按照难度划分为四个等级，分别为A、B、C、D.各个级别的学习内容应呈现循序渐进、逐渐深入的特点.其中A级为识记内容，B级为理解内容，C级为应用级别的内容，D级为拓展内容.在对各个级别进行设计与学习时应注重梯度，保证学习内容面向全体学生.满足各个学习程度的学生的认知规律.
例如在学习《坐标方法的简单应用》时，A级为学生能够运用平面直角坐标系将区域各地点的位置绘制出来，B级则为理解地理位置与坐标间的关系，能够用坐标表示地理位置.C级则为自主绘图，运用坐标系进行平面图形的平移.D级为运用平面直角坐标系解决生活中的实际问题.从而将教材单元的重点、难点进行合理地划分，按次序设置梯度，增强教学的有效性.
四、课后练习题型层次化，梯度区别明显化
代数与几何的综合问题是指代数知识与几何知识相互交融浑然一体的一类综合题.这类问题通常以几何图形（或将图形坐标化）及函数图象为背景，辅助于图形的运动与变换（平移、旋转、对称）手段，融人函数（包括锐角三角函数）、方程、不等式等代数的核心知识，来综合考查学生运用所学的基础知识和基本技能、掌握的数学思想方法进行分析问题、解决问题的能力.题型大致可分为：（1）数、式与几何图形的综合问题；（2）平面直角坐标系中的几何运算问题；（3）方程、不等式与几何图形的综合问题；（4）函数与几何图形的综合问题，
解决代数与几何综合问题的基本思路：第一，要认真审题弄清问题的条件与结论.尽可能分析转化问题中的显性条件，挖掘问题中的隐含条件.第二，充分关注几何图形的结构特征，发挥几何直观的导航作用.对复杂图形我们要学会识图，从中发现并分离出能够帮助解决问题的基本图形，或添加适当的辅助线构造基本图形，以便联想基本图形的性质去解决问题.第三，根据综合题设计的结论分步探究的特点，我们要学会从题目中寻找代数与几何这两部分知识的结合点，进行“肢解”.转化为简单的代数或几何问题，发现解决问题的突破口.从而“化整为零，各个击破”.最后，要充分发挥数学思想和方法的引领作用.分析与综合、分类讨论、函数、方程、数形结合、归纳与猜想等都是解决这类问题有效的数学思想和方法，特别是数形结合思想――由形导数、以数促形，可以架起连接代数与几何的桥梁，实现数与形之间的相互转化，帮助我们另辟蹊径，曲径通幽.
历年来，全国多数地区中考试卷的“代数与几何的综合问题”大部分是以“解答题”的形式出现在最后三、四道题，难度较大，从河南省的近三年试卷来看更是如此.2015年我们既要注意通过探究线段长度满足的数量关系判断构成的特殊形状的几何图形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的开放性问题或解决有关几何图形的周长与面积的计算问题，更要关注平面直角坐标系中几何图形的有关计算问题以及以三种函数图象为背景与几何图形融合于一体，判断点、等腰三角形、特殊四边形的存在性问题.
重点题型例析
一、数、式与几何图形的综合问题
这类问题通过给出一组具有某种特定关系的数、式、几何图形或给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察、分析、推理发现其中蕴涵的数学规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
解决与几何图形有关规律的问题，我们应从分析图形结构的形成过程人手，从特殊到一般、从简单到复杂进行归纳猜想从而获得隐含的数学规律，并用代数式描述出来，进而解决相关的问题.
例1 （2014.荆门）如图1，在第1个A1BC中，∠B=300，A 1 B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到
二、坐标系中的几何运算
由于新课标对逻辑推理能力的要求有所削弱，一些高难度的纯几何问题被命题专家摒弃，取而代之出现了一类“坐标几何问题”，这类题目巧妙地将几何图形置于平面直角坐标系中，将图形坐标化，通过点的坐标来体现图形中线段的长度，或给出图形中线段的长度来确定图形顶点的坐标或满足某种条件的特征点的坐标，并辅助于图形的折叠、平移、旋转等变换手段，巧妙地将几何和代数知识糅合在一起.解决这类问题要掌握图形变换的基本特征，关注动点与静点之间形成的特殊关系，挖掘几何图形的性质，进而利用直角三角形的勾股定理、锐角三角函数进行计算，或运用三角形的全等、相似构造方程求解.
例2（2014.攀枝花）如图2，以点P（-l，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），A D=2、/3，将ABC绕点P旋转1800，得到MCB.
（1）求B、C两点的坐标.
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（并说明理由），求出点M的坐标.
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线2与CM的交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG BC于G，连接MQ、QC.在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数：若变化，请说明理由.
反思：本题是将人教版九年级数学教材第24章“圆”复习题第122页第1题垂径定理的基本图形与第80页的例题1巧妙融合在一起，然后放到平面直角坐标系中，并通过给出圆心的坐标与弦长，改编成探究直径端点的坐标及中心对称图形顶点的坐标.第（3）问则是命题专家为考查同学们在运动变化的过程中探究问题的思维能力而利用直线旋转设计的一个角度“变与不变”的问题.
本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的锐角三角函数、图形的旋转等知识点，其中渗透了中心对称的思想，证明四点共圆的方法.
解决本题的关键是能在较复杂的图形中识图，发现解决问题所需要的基本图形，如本题第（1）问垂径定理的基本图形及由圆心到弦的垂线段、半弦、圆的半径组成的RtPOA.
第（3）问探究∠MQG的大小是否变化，是本题的难点，难在直线l旋转导致∠MQG的顶点的位置始终在变化，干扰了同学们的解题视线，为突破这一难点我们应抓住变化中的不变量――两个直角三角形且有公共的斜边BE，从而利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”获得点E、M、B、G到点Q的距离相等，进而发现圆心角∠MQC与圆周角∠MBG的关系，为定值的发现扫清了障碍.
三、方程、不等式与几何的综合问题
以几何图形为背景融人点的运动与图形变换的一类问题，巧妙把代数中的方程与不等式“镶嵌”其中构成了中考压轴题的另一道风景线.解决此类问题要学会辩证看待“运动”与“静止”的相互关系，利用运动过程中某一瞬间静止的位置，动中窥静，以静制动，抓住图形的特殊位置，明晰图形之间的内在联系.当探究有关图形中变量之间的关系时，可建立函数模型或不等式模型求解；当探究特殊位置关系或数值时，可建立方程模型求解.其中直角三角形的勾股定理、相似三角形中的比例线段、等腰三角形、特殊四边形的边之间的相等关系都为我们构建方程提供了有效的等量关系.
例3 （2013.苏州）如图6，点0为矩形ABCD的对称中心，AB=10 cm，BC=12 cm，点E.F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为l cm/s，点F的运动速度为3 cm/s，点G的运动速度为1.5 cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EB’F设点E.F、G运动的时间为t（单位：s）.
（1）当t=______ s时，四边形EBFB’为正方形.
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F.C.G为顶点的三角形相似，求t的值.
（3）是否存在实数t，使得点B'与点0重合？若存在，求出￡的值；若不存在，请说明理由.
反思：本题以矩形为载体设计了三个质点在三边上运动的情形，其中渗透了轴对称的思想、方程思想，融合了相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、一元二次方程的解法等知识点.第（1）问需要应试者实现从三角形到正方形的思维跨越，即只有等腰直角三角形沿斜边翻折才能构成正方形，从而顺利发现蕴涵的棚等关系.第（2）问由于给出的相似三角形的对应点顶点小确定，应分类求解，更应引起同学们注意的是动点运动的时问的取值范围不可忽视，这也是解决这类问题对求的结果进行取舍的一个重要依据，否则将会导致错误的结果，第（3）问是探索存在型问题，解决这类问题一般先假设满足条件的实数、图形（点、线等）存在，然后结合题目提供的条件与图形的性质，进行计算与推理，如果导出互相矛盾的结论，就可判定不存在，反之则成立.
四、函数与几何的综合问题
几何图形与函数巧妙地融合渗透的学科内综合问题，把“形”与“数”达到了完美结合，被推向中考压轴题的位置.
这种题型命制方向有两个：
其一，凶为几何图形中一些量可以度量，线段的长度之问、线段与图形的周长或面积的大小之间隐含着内在的对应变化关系，这个关系可用函数的解析式来表示.解决此类问题的关键是能够洞察图形特有的结构特征，充分挖掘几何图形所具有的性质，列出包含两个变量的相等关系式，再变形为相应的一次函数、二次函数及反比例函数，进而利用函数的性质求得问题的答案.
其二，几何图形常以函数图象间的交点、图象与横、纵坐标轴的交点、原点为顶点所构成，隐蔽性、迷惑性较强，但其几何图形所反映出的性质却对解决问题具有至关重要的作用，解决此类问题我们要学会识图适当添线使隐含的特殊三角形、四边形、圆等拨“云”见“日”，充分发挥儿何的直观作用，利用数形结合思想沟通函数与图形的性质，并辅助于方程思想，准确计算与推理、分析判断与取舍，进而达到问题的最终获解.
例4 （2014.绵阳）如图8，矩形ABCD中，AB=4，∠AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE
反思：本题来源于人教版数学八年级上册第3章《轴对称》“等腰三角形”一节第79页的一道练习题及人教版九年级数学下册第27章《相似》“复习巩固”第58页“拓广探索”的第11题，同时将课本中锐角三角形变为直角三角形，将内接正方形拓展为内接矩形，巧妙地将两道习题拓展后的图形融合到一个矩形的折叠的情境中，改编成探究内接矩形面积的最值问题，
如图1-1，点A、B在直线l的同侧，点B'是点B关于l的对称点，AB'交l于点P，
（1） AB'与AP＋PB相等吗？为什么？
（2） 如图1-2，在l上任取一点Q，并连接AQ和QB，那么AQ＋QB与AP＋PB哪一个大，为什么？
分析：（1）因为点B'是点B关于直线l的对称点，所以直线l是线段BB'的垂直平分线，所以PB＝PB'，故有AP＋PB＝AP＋PB'＝AB'.
（2）AQ＋QB＞AP＋PB. 连接QB'，在AQB'中，根据“两边之和大于第三边”，有AQ＋QB'＞AB'. 由（1）的结论可知AP＋PB＝AB'，所以AQ＋QB'＞AP＋PB. 又因为QB＝QB'，从而有AQ＋QB＞AP＋PB.
波利亚说过：“数学问题的解决仅仅只是成功的一半，更重要的是解题后的回顾. ”解题后的反思能揭示问题的本质，发现问题的规律，获得创新的灵感，提高数学的解题能力.
反思上述问题的分析过程，我们容易发现，当点Q在直线l上运动的时候，不论运动到何处，只要异于点P的位置总有AQ＋QB＞AP＋PB，也就是说只有当点Q与点P重合时，线段AQ＋QB的和才能取得最小值AP＋PB.因此我们可以得到如下的结论：若点A、B是位于直线l同侧的两个定点，作其中一点关于直线l的对称点，这点与另一点的连线与直线l的交点，到这两个定点的距离之和最小.
运用与拓广
课本中有些例题与习题就其使用价值而言，往往不亚于一些重要的定理、法则. 平面直角坐标系的创始人――著名的法国数学家笛卡儿曾经说过：“我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他相关的问题.”所以我们要重视课本的基础性作用.
利用上题的结论我们很容易解决下面这个具有实际背景的数学问题.
如图甲，直线MN表示一条河流的河岸.在河流的同旁有A、B两个村庄，现要在河边修建一个排水站，问这个排水站建在什么地方，可以使所铺设的管道最短？请在图中找出表示排水站的点.
分析：要使所铺设的管道最短，即在直线MN上找到一点，使这个点到A、B两点的距离之和最小.我们可以假设A、B在直线的异侧，根据“两点之间线段最短”，只要连接AB，则AB和MN的交点就是所要找的点.但是现在A、B在MN的同侧，所以可以运用轴对称的性质，将“同侧”化为“异侧”，从而解决问题.
解：（1）作点A关于直线MN的对称点A1；
（2）连结A1B交直线MN于点C，则点C就是所要求的点.
下面我们一起来看看由此引申出来的2008年的中考试题吧！
例1（2008年湖北省咸宁市）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究：
（1） 由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0）. 请在图中分别标明点B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'、C'；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P '的坐标为
（不必证明）；
（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点的坐标.
分析：（1）观察网格中点B、C的位置，容易发现其对称点的坐标为B'（3，5）、C'（5，－2）.
其实，高考题离我们并不远，很多试题都是“源于教材”的，若平时留心、在意，解题能力定有飞跃.
教材系统地展示了高中数学的知识网络.教材中许多性质、公式、例题、习题等都体现着知识的形成过程和同学们学习时应达到的能力要求，揭示了相关数学知识的本质属性，蕴涵着重要的数学思想方法.对教材中出现的例题或习题进行适当的改造、重组形成考试题是高考数学试卷的一个特点.因此在高三复习中加强对教材中的性质、公式推导过程的反思，加强对教材中的例题、习题的研究，能帮助同学们更好地掌握基础知识，发展数学能力，扎实提高复习的有效性.
一、 原题考查
对于一些应该考查的简单问题，高考也不会忌讳使用课本原题.
【高考题1】 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 .
【课本题1】 连续抛掷一颗骰子2次，分别求掷出的点数和为2，3，…，12的概率.
二、 小改考查
高考卷中与课本题同类的题举不胜举.（以下仅举两例.）
【高考题2】 已知向量a与b的夹角为120°，|a|=1，|b|=3，则|5a－b|= .
【课本题2】 已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为120°，求a・b和|a+b|.
【高考题3】 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3－10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 .
【课本题3】 曲线y=x2的一条切线的斜率是－4，求切点的坐标.
三、 换貌考查
高考考查同学们的思维能力和思维品质，有些试题“深藏不露”，题面貌似考查某一知识点（块）（并非不能解决），但用另一知识点（块）处理会更快捷.
【高考题4】 满足条件AB=2，AC=2BC的ABC的最大面积是 .
本题乍一看，是三角问题，可以运用三角知识求解.
图1
【课本题4】 如图1，已知∠A为定角，点P，Q分别在∠A的两边上，PQ为定长.当P，Q处于什么位置时，PAQ的面积最大？
图2
如图2，设BC=x，则AC=2x.
由余弦定理得cos B=x2+4-2x24x=4-x24x，于是sin B=-x4+24x2-1616x2，所以ABC的面积SABC=12×2・x・sin B=-(x2-12)2+12816.
由2x+x＞2，
x+2＞2x，得22－2＜x＜22+2.
故当x=23时，ABC面积最大，最大面积为22.
但若细细审，可以发现求最大面积表明面积在变化，而引起面积变化的根本原因是点C的变化（可视A，B为定点），即题中点C是动点.可以联想到解析几何中的动点轨迹方程.
【课本题5】 已知点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系？
【课本题6】 求平面内到两个定点A，B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程.
【课本题7】 已知点M到椭圆x2132+y2122=1的左焦点和右焦点的距离之比为2∶3，求点M的轨迹方程.
以上三道课本题所求的轨迹都是圆，称为阿波罗尼斯圆（平面内到两个定点的距离之比为正数λ（λ≠1）的动点的轨迹）.
于是【高考题4】中动点C的轨迹是圆.
建立平面直角坐标系xOy，设A（－1，0），B（1，0），C（x，y）（y≠0）.
由AC=2BC，可得（x+1）2+y2=2［（x－1）2+y2］，化简得（x－3）2+y2=8（y≠0），于是|y|max=22.故（SABC）max=12・AB・|y|max=22.
很显然，该方法远简单于三角方法.
【高考题5】 设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是 .
本题初看无从入手，但如果联想积（商）与和（差）的转化，便不难想到取对数后即转化为线性规划问题.
教材中线性规划题很多，但介绍的解题方法单一.如果掌握通过整体构建目标函数求解的方法，对本题的解答定有益处.
【课本题8】 求z=2x+y的最大值，其中x，y满足约束条件x－4y≤－3，3x+5y≤25.
本题解法：设2x+y=m（x－4y）+n（3x+5y）=（m+3n）x+（－4m+5n）y，于是m+3n=2，－4m+5n=1，解得m=717，n=917.
所以2x+y=717（x－4y）+917（3x+5y）≤717×（－3）+917×25=12.故z=2x+y的最大值是12.
对于【高考题5】，可以仿照上述解法：设x3y4=（xy2）m・x2yn=xm+2ny2m-n，于是m+2n=3，2m－n=－4，解得m=－1，n=2.
本题为江苏省某重点中学一次调研数学试题中的一道填空题，学生做完后感觉不太好入手，本人阅卷后也发现正确率不高，仔细品味一下这道题，觉得很值得研究，下面对这道题的解法作一些探讨，供大家参考：
1.引入变量，利用函数求最值。设∠A=α，AB=2x，AD=x，则因为ABC的面积是ABD的面积的两倍，故问题可转化求ABD面积的最大值即可。
解法1：（以边变量为主元）在ABD中，由余弦定理有9=4x2+x2-4x2cosα，得 所以x2=5（即ABC的腰长为2√5）时，ABC的面积最大值为6。
【点评】 从函数角度出发，直接从面积公式下手，其中最关键的问题是利用三角形成立的条件求出x的范围，即确定函数的定义域，这一点恰恰是利用函数解题时容易忽略的或较难确定准确的。
解法2：（以角变量为主元）由上式得 ，
其中 可视为点（cosα，sinα）与点 的连线的斜率，由α∈（0，π），可求得t∈[- ，0]，故ABC的面积最大值为6，此时cosα=，x2=5，即ABC的腰长为2√5。
【点评】从形的角度出发，构造两点间连线的斜率，借助数形结合思想来解决。
解法3：由于 ，令S'= ，得
在（）上单调递增，在（）上单调递减，故Smax=6。
【点评】借助导数求三角函数最值，导数也是解决最值常用的方法。
解法4：由思路2知
，当且仅当5cosα=4・1即cos=
时ABC的面积有最大值6。
【点评】此法利用了不等式（a2-b2）（c2-b2）≤（ac-bd）2当且仅当ac=bd时取“=”号。
2.建系设点，利用基本不等式求最值。以底边BC所在直线为 轴，BC的垂直平分线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出相关点的坐标，对二元最值问题作一些思考。
解法5：设D（m，n），则A（0，2n），C（2m，0），B（-2m，0），
BD=√9m2+n2=3BD，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2・3mn，即mn≤（当且仅当3m=n时取等号）
SABC=BC・AO=4mn≤6
解法6：同上法建立平面直角坐标系，设AO∩BD=G，则点G为ABC的重心，从而 ，
而
又BD=√9m2+n2=3，即9m2+n2=9，
9m2+n2≥2・3mn，即mn≤（当且仅当3m=n时取等号）
SBOG≤1，从而SABC≤6。
【点评】解法5和解法6，用代数的方法来解决有关几何图形问题，往往能收到异曲同工的效果，使我们在“山穷水尽疑无路”时，有着“柳暗花明又一村”的感觉。
3.变式探究。如题改为：若等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则ABC周长的最大值为 。
解析：本题可采用引入变量，利用函数求最值，如令AD=x，则腰长为2x，由余弦定理知
即得：
故周长C（x）=4x+√18-2x2，其中1＜x＜3
令C'=4+ ，
得1＜x＜2√2
当1＜x＜2√2时，函数C（x）单调递增;当2√2＜x＜1时，函数C（x）单调递减；
故当x=2√2时，函数C（x）取得最大值9√2，即ABC的周长最大值为9√2。
4.引申思考。本题欲求ABC的面积的最大值，实际上只需求ABD的面积的最大值，这也就类似于2008年江苏高考数学卷第13题：满足条件AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值为________。
解法1：设BC＝x，则AC＝√2x，根据面积公式得
SABC= AB・BCsinB=x√1-cos2B
根据余弦定理得：
代入上式得：
由三角形三边关系有
解得：
故当x=2√2时取得SABC最大值2√2。
1订正一些题的错误答案
1）与《必修2》配套使用的《教师教学用书》（下简称《教师用书2》）第15页给出的《必修2》第29页第1题的答案“它的表面积和体积分别为”不对，应改为“它的表面积和体积分别为”.
2）《教师用书2》第16页给出的《必修2》第36页第9题前四个小题的答案不完整，应改为.
3）《教师用书2》第90页给出的《必修2》第115页第10题的答案中的不对，应改为.
4）《教师用书2》第110页给出的《必修2》第123页第2（2）题的答案中的“半径长是1的圆”不对，应改为“半径长是11的圆”.
5）《必修2》第139页习题B组的第3题末的问话是“由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？”，而《教师用书2》第135页并没有给出此问的答案，笔者认为答案可以是：与两条异面直线都垂直且都相交的直线（叫做这两条异面直线的公垂线）被这两条异面直线所截得的线段（叫做这两条异面直线的公垂线段）是连结这两条异面直线上各一点的线段中的最短者，用直角三角形中的斜边长大于直角边长可证此结论全日制普通高级中学教科书《数学・第二册（下B）》（2006年人民教育出版社）第55页叙述了这一结论.
6）《必修2》第144页复习参考题B组的第2题中已给出了点M的坐标（x，y），那就说明题中已建立了坐标系，而题中并未建立坐标系，所以建议把此题题目改述为（答案不变）：
2已知点M与两个定点M1，M2距离的比是已知的正数m，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（提示：应考虑m=1和m≠1两种情形）.
2建议对一些题目作修改
1）建议把《必修2》第35页第1题的第（2）小题改为“用铁丝作一个三角形，在三个顶点上，分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何体模型如果筷子的长度相等且两个铁丝连成的三角形所在的平面平行，那么这个几何体是”（这样改动后，答案与《教师用书2》第16页给出的答案是“三棱柱或三棱台”相同）
2）《必修2》第35页第5题中的题设“底面直径与母线长相等，”是多余的，建议删去.
3）建议把第79页第1题改述为：
1如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且BE=BF=14BC，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′.
（1）求证：A′DEF；
（2）求三棱锥A′-EFD的体积.
4）建议把《必修2》第110页习题A组第6题改为“已知点A（1，2），B（2，0），P（0，3），Q（-1，1），M（1，0），N（-4，0）六点，长度分别为|AB|，|PQ|，|MN|的三条线段首尾顺次相接能围成一个三角形吗？为什么？”
5）建议把《必修2》第110页习题B组第8题中的“0
6）建议把《必修2》第128页练习的第4题改为“已知直线l：y=x+6，圆C：x2+y2-2y-4=0试求直线l与圆C公共点的个数”（答案：0）
7）建议把《必修2》第132页练习的第2题末的“求这座圆拱桥的拱圆的方程”改为“求这座圆拱桥的圆拱的方程”.
8）建议把《必修2》第132页习题第1题末的“如果相交，求出交点坐标”改为“如果有公共点，求出公共点坐标”.
9）建议把《必修2》第133页习题第8题中的“斜边BC为m”改为“斜边BC长为m”.
10）因为《必修2》第138页练习的第3题及第139页习题B组的第1题有重复，所以建议删去前者保留后者并且《教师用书2》第134页中对这两道题的解答中均出现了线段的长度是“98”，应改成“72”在前者的解答中，需要验证“7+7>98”（即两边之和大于第三边），而对于后者是不需要验证这一步的（满足勾股定理的逆定理即可）.
11）建议把《必修2》第144页复习参考题B组的第4题改述为：
（1）交点A，B的坐标； （2）AOB的面积
12）第144页的复习参考题中应添上关于“43空间直角坐标系”的题目.
3一些定理的叙述应作改动
《必修2》第55页写道：
“定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”
命题可以写成“若……则……”或“如果……那么……”的形式，但若写成“……则……”或“……那么……”的形式笔者认为不妥，建议把它改述为：
“定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”
《必修2》第57、59、65、71页的定理都应进行改动.
4对第86页脚注的异议
《必修2》第86页的脚注是“我们约定：若没有特别说明，说‘两条直线l1和l2’时，一般是指两条不重合的直线”第87页又写道：
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2k1=k2.
请注意：若直线l1和l2可能重合时，我们得到k1=k2l1∥l2
或l1与l2重合
由这些叙述，就使我们对脚注的话无所适从：在解题时，应不应当考虑两条直线是否重合呢？
再来看第87页的例3：
第89页练习的第1题是：
1判断下列各对直线平行还是垂直：
（1）经过两点A（2，3），B（-1，0）的直线l1，与经过点P（1，0）且斜率为1的直线l2；
（2）经过两点C（3，1），B（-2，0）的直线l3，与经过点M（1，-4）且斜率为-5的直线l4.
《教师用书2》第40页给出的答案是：
显然，这些解法都没有考虑两条直线是否重合的情形.
第89页习题的第6题是：
6判断下列各小题中的不同直线l1与l2是否平行：
（1）l1的斜率为2，l2经过点A（1，2），B（4，8）；
（2）l1经过点P（3，3），Q（-5，3），l2平行于x轴，但不经过P，Q两点；
（3）l1经过点M（-1，0），N（-5，-2），l2经过点R（-4，3），N（0，5）.
从此题题干中的“不同直线l1与l2”来看，说明我们以后解答此类题时，应考虑两条直线是否重合的情形（第（2）小题中的条件“但不经过P，Q两点”应去掉，因为它与题干中的“不同直线l1与l2”重复）
第94页的例2是：
从此题的答案来看，说明以后解答此类题时，也应考虑两条直线是否重合的情形.
第104页练习的第2题及第109页习题的第1题中三个小题的答案均有两直线重合的情形.
所以我们在编拟此种题目时，难以保证两条直线没有重合的情形，因而建议去掉第86页的脚注，且此种题目的处理方法按老教材全日制普通高级中学教科书（必修）《数学・第二册（上）》（2006年人民教育出版社）中的方式处理：考虑重合的情形，且应当先讲述“直线的方程”，再讲述“两条直线平行与垂直的判定”.
5
关于第99页的脚注
《必修2》第99页的脚注“法国数学家，解析几何创始人之一”是对笛卡尔的介绍，虽然该书第111-112页对笛卡尔有较详细的介绍，但首次介绍笛卡尔时，还是应当介绍其生卒年建议将此脚注改为“笛卡尔（Descartes，1596～1650），法国数学家，解析几何创始人之一”.
另外，《必修2》第125页中的“王浩（1921-1999）”应改为“王浩（1921-1995）”（可见相关网页或1995年第6期《哲学研究》第79页的文章《王浩教授在美逝世》）.
6
关于第103页的“探究”
一、数学思维品质的基本内涵分析
作为新时期的教育工作者，不单单要给学生传授知识，更重要的是能够培养学生自主创新、主动思考问题的能力.自主探索可以有效地提高学生的全面素质，学生自主学习、独立思考、举一反三能力的培养在教学上显得尤其重要.在数学课本中，知识的传授往往是以习题和例题的形式出现的，很少有文字的阐释.例题往往是知识点的结合，有着明确的示范和导向作用.所以教师就要充分利用课本中的例习题的教学价值，让学生学习借鉴例习题的方法，自己进行独立思考，探索研究，这样有利于培养学生的发散思维，进而学到得到更多新的知识和学方法.
要想促进和深化中学数学课堂教学改革，提升学生的自主学习、思考能力，必须运用现代化数学教学思想和理论，在探索数学课本上例题、习题的基础上，丰富学生的数学思维品质，逐步培养学生数学思考的能力.
二、引导学生的发散性思维
这种思维模式可以反映出学生在根据题目所给的信息中，是否可以做到信息的各种可能的扩散，不局限在题目所给的限定的条件.也就是说可以根据题目所给的现有的条件来把自己的思路打开，依据书本中现有的定理和数学公式，通过自己发散的思维来找出解此类题目的关键因素，并实现对由此问题延伸出的一系列相关问题的正确解答.如果学生的发散性思维得到开发，学生本身就会很乐意自己去学习，并且还会在这种思维变通中，体会到学习的乐趣，以此达到更好的学习效果，这对教师本身来讲也是一种教学的成功.
在教学过程中，教师要对课本的例习题进行深入的挖掘和研究，变换其中的条件，把教材中的例习题讲得精一点、深一点.
例如，如图1 ，利用关于原点对称点的坐标的特点，作出与ABC关于原点对称的图形.
图1 图2
以此问题为例，分析可知若ABC关于原点对称的图形为A′B′C′，要想作出A′B′C′，首先必须引导学生掌握以下关键因素：（1）关于原点对称也就是两个图形上任何一点都必须关于原点相互对称；（2）A′B′C′的形状由其三个顶点位置来决定，因此作图过程中，找出ABC三个顶点关于原点对称的三个点即可确定A′B′C′三个顶点；（3）根据关于原点对称点的规律，可将ABC关于原点对称点的三个顶点坐标确定.
经过分析，教师可引导学生找出该类题型的解题规律.通过以上分析，该题作为一道作图题，学生不难得出该类题型的解题关键是根据“两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数”的基本规律，以此来确定ABC的三个顶点关于原点对称点的坐标，进而可方便地画出ABC关于原点对称的图形.
紧接着教师可将此题“变形”来发散学生思维.
变式1：变化通行位置，求出关于原点对称点的坐标.
例如，参照图2所示，PQR是ABC经过某种变化得到的图形.若ABC边上任意一点M坐标为（a，b），那么M经过这种变化后的对应点N的坐标为
________________________________________
.
引导学生解题思路分析：关于原点对称的两个图形也就是指两个图形上任何一组对应点均关于原点对称，然后根据“两点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数”的基本规律我们不难得到，M（a，b）对应点N的坐标为N（-a，-b）.
变式2：变换图形的位置，作出关于原点对称的图形.
例如，ABC在平面直角坐标系中各顶点均在格点上，其位置可参照图3所示.
（1）作出ABC关于y轴对称的图形A1B1C1，同时写出C1的坐标.
（2）作出ABC关于直角坐标系原点O对称的A2B2C2，同时写出点C2的坐标.
图3
引导学生解题思路分析：（1）由于所求的A1B1C1与ABC关于y轴对称，所以可结合“两点关于y轴对称，它们纵坐标不变，横坐标相互为相反数”这一规律得出A1、B1、C1三点坐标；（2）由于A2B2C2与ABC关于原点对称，因此可结合“两点关于原点对称，则它们横、纵坐标均互为相反数”的规律来得出A2、B2、C2三点坐标.由此分析，学生自然可作出如图4所示的结果，且求得C1的坐标为（-3，2），C2的坐标为（-3，3）.
数学教育家弗赖登塔尔指出：反思是数学活动的核心和动力.通过对例题不断变式探索，可有效地培养学生对新问题的探索精神，同时也发散了思维，不会再因触及到新题目，而感到一片茫然.教师作为问题的引导者，一定要充分发挥其应有的积极作用，鼓励学生积极主动去探索新的问题，解题后要引导学生进行反思，培养他们的发散性思维及发现问题解决问题的能力.尤其是到了初中阶段之后，随着年龄的不断增长，学生的这种思维也逐步呈现出加速的趋势.课本例习题作为学生数学学习的基础，有些例习题的条件含而不露，弦外有音，这就为理解片面，审题马虎的学生设置了障碍.因此，我们应有效的培养学生多角度思维模式，努力培养学生养成深入研究问题的好习惯.
三、挖掘隐含条件，灵活的将问题进行转化
初中时期的学生对各种游戏活动往往具有较高的兴趣，所以在课堂教学过程中我们能够按照学生的心理状况与教学知识来设计合理的数学游戏，把要求学生应当理解和掌握的知识点渗透到游戏活动中来，同时在这一过程中将数学思想渗透给学生，让他们在潜移默化中培养数学思维方式，摆正学习态度，促进课堂教学效率的不断提升。与此同时，还能够借助于数学游戏来调动学生的学习积极性，因为数学游戏可以把抽象的知识内容变得更加形象化，初中数学中常常有很多抽象的知识点，这些知识是要求学生必须掌握的，所以我们在课堂教学中引入游戏，将实际生活中的案例搬到课堂中来引导学生理解知识，让他们在潜移默化的过程中把抽象的知识点具象化，随后完成内化的过程。在初中数学课堂教学中，作为教师应当给学生提供更多观察和分析的机会，进一步培养学生的自学能力，让他们实现终身学习。
二、游戏教学法在初中数学课堂中的应用
（一）在知识讲解中应用数学游戏
初中数学课堂教学中学生往往会碰到很多性质类、定理类的知识概念需要掌握和理解，然而因为部分学生自身理解能力和基础知识水平不是很高，所以在学习过程中对这部分定理和性质应用不是非常熟练，理解也不够透彻。所以我们能够应用合理的数学游戏，充分发挥出游戏活动的作用，如对三角形相关性质与定理的学习过程中，因为三角形性质较多，初中生学习时好奇心较重，不免会提出很多有趣的问题。在教学三角形内角和为180€笆保糠盅嵛饰裁矗恳獯鹚堑囊苫笪颐悄芄簧杓埔恍蜗罚缛盟亲约憾种谱魅切危蟀蚜礁鼋羌粝吕丛俸土硗饬礁鼋瞧唇釉谝黄穑岱⑾帜芄黄闯梢桓銎浇牵绱艘焕此堑囊晌示湍芄幌N唐淅斫猓颐且竺恳幻屯澜醒菔荆佣由疃哉庖欢ɡ淼募且鋄1]。
（二）在思维培养中设置数学游戏
初中数学课堂教学过程中，科学的应用游戏教学法能够帮助我们更好的培养学生的数学思维，同时在设计数学游戏活动的过程中，教师应当对游戏有更加深入的解读，同时对游戏的选择也必须要重视其中蕴含的数学价值和趣味性特点。对数学游戏的深入解读能够让学生逐渐培养和提升数学思维。例如说在教学三视图的过程中我们能够设计如下的游戏活动，拿出一个透明的水壶摆放在讲台上，随后把学生分为几个不同的小组要求他们对水壶进行观察，借助于不同角度的观察，学生所说出的答案和正视图都存在一定的差别。此时学生会产生疑问，我们顺势把三视图的基本概念和应用向他们进行詳细的讲解，再回头配合观察水壶这个游戏，让学生对三视图相关知识的理解更加深入。
（三）在讲解概念时设置数学游戏
讲解数学概念时常常不容易吸引学生的注意力，学生学习起来也较为乏味，因此我们应用数学游戏来让这部分知识变得有趣起来，调动他们的学习积极性。如在教学平面直角坐标系的各象限中的坐标符号时，我们能够设置如下的游戏：首先向学生解释要求两位学生手牵手，这样表示有序实数即是平面中的某点坐标，位于左边的学生代表横坐标，位于右边的学生代表纵坐标，面朝大家为正数，背向大家为负数；随后我们邀请任意两位同学手牵手站在讲台上，蒙住双眼，在地上画出直角坐标系，要求两名同学不断变换方向。随后提问：谁可以根据他们面对的方向带这两名同学回到各个象限中？借助于这一游戏让学生更加深刻的了解了平面直角坐标系的应用，进而强化了他们对知识的理解。
（四）在巩固新知时应用数学游戏
所谓温故而知新，巩固和复习知识是数学学习中非常重要的一部分，在过去的课堂教学过程中，当学生基本掌握新学的知识内容后，教师常常会选择一些练习题来帮助学生巩固教学，然而这样较为传统的“题海战术”很难调动学生的学习积极性。在巩固知识内容的过程中，我们能够考虑应用游戏活动，让游戏变为练习，这样一来往往能够起到更好的巩固效果。例如说在教学了概率这部分知识之后，为了进一步加深学生对概率的理解和认识，让他们感受到概率在实际生活中的应用，我们设计了一个转盘游戏。事先制作好两个转盘，一个分为三部分，标上1、2、3，一个分为两部分，标上4、5，这时任意邀请两位学生来转转盘，两人转完一次为一轮游戏。学生A的获胜要求是两个转盘之和为6、7，否则学生B获胜。其他同学自己选择支持的一方。在得到结果后我们要求学生思考这一游戏是否公平，为什么，并计算出概率[2]。
三、结语
总而言之，初中数学课堂教学中设计科学合理的数学游戏来辅助教学活动，能够让学生更容易理解和掌握数学知识，充分调动其学习积极性，培养其学习信心。作为一线数学教学，我们更应当进一步深入探索更新更好的教学方法，积极总结经验教训，让数学课堂更加丰富多彩，充满趣味。
参考文献：
