时间：2023-05-31 08:56:52
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇初中数学竞赛，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、末位数字
根据整数的末位数字可以判断整数的整除性以及是否为完全平方数或连续自然数的乘积。
例1已知（a-2111） +（2112-a） =2113，求（a-2111）（a-2112）的值。
解：（a-2111） +（2112-a）
=［（a-2111）+（2112-a）］ -2（a-2111）（2112-a）
=1 +2（a-2111）（a-2112）
=2113
（a-2111）（a-2112）
= （2113-1）
=1056
=33×32
接着可以求出a=2144。
例2方程1+1×2+1×2×3+…+1×2×3×…×x=y +5的正整数解x=?摇?摇?摇?摇，y=?摇?摇?摇?摇。
解：x=1时，1=y +5，无实数解。
x=2时，3=y +5，无实数解。
x=3时，9=y +5，y=2。
当x≥4时，前4项的和为33，后面的项均为10的倍数，故个位数一定为3，所以y +5是奇数，y 是偶数。偶数的平方的个位只能是0、4或6，所以y +5的个位数只能是5、9或1，因此，y无解，故只能是x=3，y=2。
二、各位数字和
根据整数的各位数字和可以判定数的整除性以及是否有可能为完全平方数。
例3有一个60位整数，其中有30位是1，另外30位是0。求证：这一个数不是完全平方数。
证明：因为这个数的各位数字之和为30，而30是3的倍数但不是9的倍数，根据数的整除性判断法则，这个数本身是3的倍数但不是9的倍数。
不妨设此数为3N，其中N是不含因数3的正整数，那么它的算术平方根为，不论N是否为完全平方数，均不可能为整数，所以这个数一定不是完全平方数。
三、循环节
根据循环小数的循环节，可以确定某些相关数值。
例4已知a为整数，且满足0
解：因为 =0. 4285
=0. 8571
=0. 2857
=0. 7142
=0. 1428
=0. 5714
由上可知，这7个真分数化为循环小数后，它们的循环节的数字完全相同，只是排列位置不同，每个循环节的各位数之和为1+4+2+8+5+7+1=28。
设前若干位的位数为6N+r，其中N，r都是整数，r满足0≤r＜6，那么这7个循环小数的前6N位数字之和当N取任意正整数是都相同，而且是28的倍数，所以后r位数字之和为20，这样，就要求 的循环节的前r位数字之和为20，经过计算，只有 的循环节的前5从位数字之为20，所以a=1。
如果把2008变为2016，则a的值不能确定，还有多种情况下，若干位数字之和变为其它数字时，a的值不能确定，有兴趣的读者可以自行研究。
此外，数字的特殊结构也是解决某些竞赛题的突破点，限于篇幅，本文未予专题研究。
一、整体代入
例1 （2008年苏州市中考题）若 x2-x-2=0，则x2-x+23（x2-x）2-1+3的值等于（ ）
（A） 233 （B） 33
（C） 3（D） 3或33
解：因为 x2-x-2=0，
所以 x2-x=2，
所以原式=2+234-1+3
=2（1+3）3（1+3）
=233，
故选（A）.
二、变形已知条件
例2 （2008年芜湖市中考题）已知1x-1y=3，则代数式2x-14xy-2yx-2xy-y的值为.
解：因为1x-1y=3，
所以 y-x=3xy，
所以原式=2（x-y）-14xy（x-y）-2xy
=-6xy-14xy-3xy-2xy
=-20xy-5xy
=4.
例3 （2007年全国初中数学竞赛浙江省预赛题）已知 b-a=18，2a2+a=14，求ba-a 的值.
解：b-a=18，①
2a2+a=14.②
①×2-②，得 2b-2a2=3a.
由题意知 a≠0，
两边同时除以2a，得
ba-a=32.
三、常数换元
例4 （2008年全国初中数学竞赛海南省预赛题）已知 a、b 为实数，且 ab=1，a≠1，设M=aa+1+bb+1，N=1a+1+1b+1.求M-N的值.
解：因为 ab=1，a≠1.
所以M=aa+1+bb+1
=aa+ab+bb+ab
=11+b+11+a
=N，
所以M-N=0.
四、同时变形已知条件和待求分式
例5 已知 a、b、c 均不为零，且 a+b+c=0.求 a（1b+1c）+b（1c+1a）+c（1a+1b）的值.
解：因为 a、b、c 均不为零，且 a+b+c=0.所以
a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b.
所以原式=ab+ac+bc+ba+ca+cb
=a+cb+a+bc+b+ca
=-bb+-cc+-aa
=-3.
五、主元法
例6 （2007年全国初中数学联赛试题）已知 x、y、z 满足2x=3y-z=5z+x，则5x-yy+2z的值为（ ）
（A） 1 （B） 13 （C） -13 （D） 12
解：由2x=3y-z=5z+x，
得 y=3x，z=32x.
所以原式=5x-3x3x+3x=13，
故选（B）.
六、待定系数法
例7 若4xx2-4=ax+2-bx-2，求a3+b3a2+b2的值.
解：因为 4xx2-4
=ax+2-bx-2
=a（x-2）-b（x+2）x2-4
=（a-b）x+（-2a-2b）x2-4
所以 a-b=4，且 -2a-2b=0.
解得：a=2，b=-2，
所以a3+b3a2+b2=8-84+4=0.
七、特殊值法
例8 （2006年芜湖市初中数学竞赛题）已知不论 x 取何数值，分式ax+3bx+5的值都为同一个定值，求a+bb的值.
解：因为不论 x 可取任何数值，所以取 x=0时，分式ax+3bx+5=35；
所以取 x=1时，分式a+3b+5=35.
解得 ab=35，所以 a+bb=85.
八、取倒数
例9 （四川省初中数学竞赛题）已知 x+1x=3，求x2x4+x2+1的值.
分析：可先求出x4+x2+1x2的值，然后取其倒数即可.
解：因为 x+1x=3，
所以（x+1x）2=9，
即 x2+1x2=7.
又因为x4+x2+1x2=x2+1+1x2=8，
所以x2x4+x2+1=18.
九、配对法
例10 （2007年全国初中数学联赛试题）当 x 分别取12007，12006，12005，…，12，1，2，…，2006，2007时，计算代数式1-x21+x2的值，将所得结果相加，它们的和等于（ ）
（A） -1 （B） 1 （C） 0 （D） 2007
解：因为1-（1n）21+（1n）2+1-n21+n2=n2-1n2+1+1-n21+n2=0.即当 x 分别取值为1n，1n（n 为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0，而当 x=1时，1-121+12=0.故所得结果相加之和为0，故选（C）.
十、构造方程变形求值
例11 （2008年广东省初中数学竞赛试题）若实数 a≠b，且满足等式 a2=7-3a，b2=7-3b.求代数式ba+ab的值.
解：据已知得 a2+3a-7=0，b2+3b-7=0，a≠b，所以 a、b 可看作方程 x2+3x-7=0的两个不等实根.
所以 a+b=-3，ab=-7，
所以ba+ab=b2+a2ab
=（b+a）2-2abab
=9+14-7=-237.
一、借用整体思想求值
例1：3x+2y=1+3m ①2x+3y=1-m ②满足 x+y
分析： 观察方程组中x和y的系数，发现两个方程中两个未知数的系数的代数和相等，因此可以用整体
思想。
解：①+②，得5x+5y=1+2m，即x+y= 。
因为x+y
即m的取值范围是m
评注：看到题目后不要盲目地计算，要善于观察，寻找题目的特点，从而寻找简便的方法。
二、巧用和差法
例2： 已知2x2+xy=7，xy+2y2=-5，则4x2-xy-6y2=___。（2013年全国初中数学竞赛训练题）
分析：4x2-xy-6y2中，其中代数式4x2、-xy和-y2，在已知的两个等式中可以用等式性质变形所得，然后用和差法。
解：因为2x+xy=7 ①
xy+2y2=-5 ②
①×2-②×3 得4x2+2xy-3xy-6y2=14-（-15）。
即 4x2-xy-6y2=29。
评注：本题考查学生的观察能力和探索能力，让学生在探索的过程中寻求解决问题，培养学生的创新意识和创新能力。
三、取特殊值
例3： 若x+y+1=0，则x3+y3+4x2y+4xy2+x3y+xy3+2x2y2
=- 。（2013年甘肃初一数学竞赛训练题）
分析：因为满足方程x+y+1-0的x，y有无数个，为了方便计算，可取满足此方程的一组特殊值x=-1，y=0直接代入待求的多项式中。
解：取方程x+y+1=0的一组特殊的解：x=-1，y=0，代入待求式得：原式=（-1）3+0+4×0+4×0+0+0+2×0=-1。
评注：常规解法是对待求多项式恒等变形，整理成x+y的新多项式（x+y）3+（xy（x+y）2+xy（x+y），然后再整体将x+y=-1代入计算，使用该方法对学生的代数式恒等变形的能力要求较高。而取特殊值，则简化了计算过程，提高了解题的效率。
四、设参数求值
例4：已知 = = ，求代数式 的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）
分析：已知条件只知道a、b、c三者之间的比例关系，是不可能求出各个字母的具体数值的。对于这种连比的题目，可设参数k进行代换求值，这是一种常用的方法。
解：设 = = =k，则a=4k，b=5k，c=6k。
当a=4k，b=5k，c=6k时， = =-21。
评注：此类问题，要求学生转换思路，代入参数，起到桥梁作用，最后又消去参数，从而解决问题。
五、利用因式分解法求值
例5：已知x2+x= ，求5x4+10x3+9x2+4x的值。（2013年全国初中数学竞赛训练题）
分析：常规解法是先从二元一次方程中解出，再代入待求式中，解出很麻烦。我们可以先将所求代数式恒等变形，看看能否利用已知条件。
解：已知条件可变形为5x2+5x-1=0，所以5x4+10x3+9x2+
4x=（5x4+5x3-x2）+（5x3+5x2-x）+（5x2+5x-1）+1=（5x2+5x-1）（x2+5x+1）+1=0+1=1。
一、运用判别式解决明显的一元二次方程、二次函数、一元二次不等式、二次三项式问题
1.一元二次方程的实数根问题或二次函数图象与 x 轴的交点问题.
例1 （第21届江苏省初中数学竞赛初三第二试试题）设关于 x 的一元二次方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根.则 k 的取值范围为.
解：因为方程 x2+2kx+14-k=0有两个实数根，所以，Δ=4k2-4（14-k）≥0.
解得 k≥2-12或 k≤-2+12.
故填 k≥2-12或 k≤-2+12.
2.一元二次方程的整数根问题
例2 （2007年全国初中数学联赛江西省预赛试题）试求所有的整数 a，使得关于 x 的一元二次方程 x2-5a2-26a-8x-（a2-4a+9）=0的两根皆为整数.
解：设方程的两根为 x1、x2，于是5a2-26a-8=x1+x2=整数，即方程为整系数一元二次方程，其根为整数，则其判别式必为完全平方数.
设Δ=（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=n2，n 是自然数，即（3a-7）2-n2=21.
因此，（3a-7-n）（3a-7+n）=21.
又21=3×7=1×21=（-7）×（-3）=（-21）×（-1），
则3a-7-n=3，
3a-7+n=7；或3a-7-n=1，
3a-7+n=21；
或3a-7-n=-7，
3a-7+n=-3；或3a-7-n=-21，
3a-7+n=-1.
解得 a=4，6，23，-43.
因为 a 为整数，且当 a=4时，5a2-26a-8无意义，所以，只有 a=6.
此时， 原方程变为 x2-4x-21=0.它有整数根7和-3.因此，所求整数 a=6.
3.一元二次不等式的解集问题
例3 如果对于一切实数 x，不等式-x2+2x+k＜0恒成立.求 k 的取值范围.
解：依题意有：Δ=22-4（-1）•k＜0，
解得 k＜-1.故 k 的取值范围是 k＜-1.
4.二次三项式在实数范围内的因式分解问题
例4 （2006年广东省初中数学竞赛初赛试题）若 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，则 k 的值为（ ）
（A） ±1
（B） ±3
（C） -1或3（D） 1或-3
解：因为 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，所以，Δ=［-2（k+1）］2-4×4=0，
即 k2+2k-3=0.
解得 k=-3或 k=1.故选（D）.
二、运用判别式解决可转化为一元二次方程的问题
1.求参数的值或取值范围问题
例5 （2006年全国初中数学联赛试题）关于 x 的方程|x2x-1|=a 仅有两个不等的实根.则实数 a 的取值范围是（ ）
（A） a＞0
（B） a≥4
（C） 2＜a＜4（D） 0＜a＜4
解：当 a＜0时，原方程无解；当 a=0，x=0，不合题意；当 a＞0时，原方程可化为x2x-1=±a.
整理得 x2-ax+a=0，①
或
x2+ax-a=0.②
因为方程②的判别式Δ2=a2-4（-a）＞0，所以方程②有两个不等实根.又因为原方程仅有两个不等实根，因此，必有方程①的判别式Δ1=（-a）2-4a＜0.
从而，0＜a＜4.故选（D）.
2.求参数的最值问题
例6 （2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题）实数 a、b、c 满足 a≤b≤c，且 ab+bc+ca=0，abc=1.求最大实数 k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
解：由已知条件知，a、b、c 都不等于0，且 c＞0.
因为 ab=1c＞0，a+b=-1c2＜0，
所以，a≤b＜0.
由一元二次方程根与系数的关系知，a、b 是 x2+1c2x+1c=0的两个实数根.
所以，Δ=1c4-4c≥0.于是，c3≤14.
因此，|a+b|=|-1c2|≥4c=4|c|.
即|a+b|≥4|c|（当 c=322，a=b=-32时取等号）.于是，使得|a+b|≥k|c|恒成立的实数 k≤4.所以，最大实数 k=4.
3.求函数的最值问题
例7 （2007年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试题）代数式113x2+3-110x 的最小值为.
解：令 y=113x2+3-110x（y＞0），则
y2+220xy=3×223x2+3×1132，
即3×223x2-220yx+3×1132-y2=0.
因为 x 为实数，所以，
Δ=（220y）2-4×3×223（3×1132-y2）
=4×1132（y2-32×223）≥0.
所以，y≥3223.当且仅当 x=110223时，y 取最小值3223.故填3223.
4.求不定方程的整数解或实数解问题
例8 求方程 x+y=x2-xy+y2 的整数解.
解：原方程可化为
x2-（y+1）x+y2-y=0.
因为方程有整数解，所以，
Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，
即-3y2+6y+1≥0.
解得3-233≤y≤3+233.
因为 y 是整数，所以，y=0，1，2.
当 y=0时，原方程化为 x2=x，所以 x1=0，x2=1；当 y=1时，原方程化为 x2-2x=0，所以 x3=0，x4=2；当 y=2时，原方程化为 x2-3x+2=0，所以 x5=1，x6=2.
于是，原方程的整数解（x，y）是（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2），（2，2）.
5.证明不等式问题
例9 （“祖冲之杯”数学邀请赛试题）如图1，设ABC的面积为S，作一条直线 l∥BC，且与AB、AC分别交于D、E两点，BDE的面积记为 k.求证：k≤14S.
证明：设ADAB=x（0＜x＜1）.
因为DE∥BC，
所以SΔABES=AEAC=ADAB=x.
即SABE=xS.
又kSABE=BDAB=AB-ADAB=1-ADAB
=1-x.
于是， k=xS（1-x）.即Sx2-Sx+k=0.
因为 x 是实数，所以，
Δ=（-S）2-4kS≥0.
又S＞0，因此，k≤14S.
三、运用判别式解决可转化为二次函数的问题
例10 （第七届美国奥赛试题）已知 a、b、c、d、e 是满足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的实数，试确定 e 的最大值.
解：设 y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2，则y=4x2-2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）.
因为 x2 的系数4＞0，且 y≥0，所以，Δ=［-2（a+b+c+d）］2-4×4（a2+b2+c2+d2）≤0.于是，4（8-e）2-16（16-e2）≤0.
解得0≤e≤165.
当 a=b=c=d=65时，e=165.
所以，e 的最大值为165.
四、运用判别式解决可转化为一元二次不等式的问题
例11 （2007年全国初中数学联赛试题）设 m、n 为正整数，且 m≠2.如果对一切实数 t，二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的两个交点间的距离不小于|2t+n|，求 m、n 的值.
解：因为二次函数 y=x2+（3-mt）x-3mt 的图象与 x 轴的交点横坐标分别为 mt、-3，所以，交点间的距离为|mt+3|.
依题意有|mt+3|≥|2t+n|，
即（mt+3）2≥（2t+n）2（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
又 m2-4≠0，且上式对一切实数 t 恒成立，则
m2-4＞0，
Δ=（6m-4n）2-4（m2-4）（9-n2）≤0.
m＞2，
4（mn-6）2≤0.m＞2，
mn=6.
所以，m=3，
n=2；或m=6，
n=1.
注：|mt+3|≥|2t+n|转化为关于 t 的一元二次不等式（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
五、运用判别式解决可转化为二次三项式的问题
例12 （1997年五羊杯初三数学竞赛试题）如果 x2+7xy+ay2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的积，则 a=.
解：原式可化为关于 x 的二次三项式 x2+（7y-5）x+（ay2+43y-24）.
依题意Δx=（7y-5）2-4（ay2+43y-24）=（49-4a）y2-242y+121必为完全平方式.
因此，Δy=（-242）2-4（49-4a）×121=0.故 a=-18.
练习题：
1.已知 a、b、c 是ABC的三条边.证明抛物线 y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2 与 x 轴无交点.［提示：证明Δ＜0.］
2.（2006年全国数学联赛试题）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2（a+2b+3）x+（a2+4b2+99）=0无相异两实根.则满足条件的有序的正整数组（a，b）有多少组？［答案：16组］
3.证明 x2-xy+y2+x+y 不可能分解为两个一次因式之积.［提示：假设能分解，则Δx=-3y2-6y+1必为完全平方式，但Δy=（-6）2-4×（-3）×1≠0.］
4.（2003年全国初中数学联赛试题）已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=2，abc=4.（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.［答案：（1）4；（2）6.］
5.（1993年全国初中数学联赛试题）当 x 变化时，分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.［提示：设 y=3x2+6x+512x2+x+1，则（y-6）x2+2（y-6）x+2y-10=0.由 y≠6及Δ≥0可知，分式的最小值为4.］
6.若实数 x、y 满足 x+y=x2-xy+y2+1，则 x=，y=.［提示：方程可化为 x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由Δ≥0得 x=1，y=1.］
7.（江苏省初中数学竞赛试题）已知，如图2，P是O外一点，PT切O于点T，直线PN交O于点M、N，则（ ）
（A） PM+PN
(B) PM+PN>2PT
(C) PM+PN=2PT
(D) PM+PN与2PT的大小不定
［提示PM•PN=PT2，故PM、PN是 x2-（PM+PN）x+PT2=0的两个实数根.又PM≠PN，所以，Δ＞0.答案：（B）.］
8.已知实数 a，b，c，d 满足 a4+b4+c4+d4=a2+b2+c2+d2=3.求 d 的取值范围.
关键词：初中；数学；教学；思考
一、初中数学课堂教学的现状。
1、方法单一。
初中生的抽象思维还处于发展阶段，初中数学知识对他们来说具有一定的抽象性。因此，初中生的数学学习需要一种具体、形象、生动的情境，这样才能理解所学的内容，但是很多初中数学老师忽视了这一点，有时需要学生在明白算术原理的基础上能计算就可以，但是老师非得把算术原理用抽象的语言一遍遍重复；本来只需要初中生会分析解答应用题就可以，但是老师非得抓住几道抽象的应用题反复地向他们讲解，他们并不能理解那些抽象的语言，久而久之就会丧失对学习数学的兴趣。
2、教学模式落后。
现在仍有不少初中数学教师喜欢自己一手操办课堂，完全由教师自己安排教学程序，他们为初中生的学习做好一切准备，无须学生更多的思考。教学是教与学相互作用的过程，也就是说，初中数学教学要以初中数学教材为中介，以教学课标为依据，以教学目标为指导，教师积极组织和引导学生掌握数学的知识原理，培养他们探索挑战数学难题的能力，形成健康的良好的心理品质。教师一手操作教学过程，就会使初中生处于被动的地位，不利于他们的全面发展。
二、如何实现初中数学教学的有效性。
1、转变教学理念，端正教学目标。
在初中数学课堂教学中，数学教师的教学目标要定位于“全面、持续、和谐地发展”，不仅，要关注学生知识领域的发展，还要关注学生情感领域的进步。为此，教师要转变教学理念，改进教学方法，具体做到：变“教师主宰”为“教师主导”；变“注入式”为“启发式”；变“学生被动”为“学生主动”；变“注重知识接受”为“注重知识发现”。只有注重学生在初中数学课堂中的参与性，课堂教学效率才会有稳步提升。比如，在教学“一次函数的概念”时，先在黑板上列出两道紧贴学生生活实际的应用题，然后让学生将式子列出来，再仔细比较两个式子之间的异同点，最后引导学生归纳总结“一次函数的定义”。这样的教学让学生可以让学生经历“一般――特殊――一般”的过程，有效掌握了一次函数的概念。
2、渗透数学思想，培养学习兴趣。
提高教学有效性，必须激发学生的学习兴趣。要培养学生的数学兴趣，不能仅仅依靠单纯的模仿与记忆，而是要促使学生动手实践、合作交流与自主探索。为此，在初中数学教学过程中，教师要多举一些学生身边的实例来促进教学，比如存钱的计算、树木高度的测量和土地面积的计算等。这样可以让学生懂得数学知识在日常生活中的价值，从而更加热爱数学。此外，教师还可以在数学教学中渗透符号口诀表述思想。众所周知，初中数学符号是很多的，教师可以教会学生利用简洁的口诀来表述复杂、抽象的数学道理。比如在教学“解一元一次不等式组”时，根据取值情况，可以总结为“同大取大，同小取小，大小小大取中间，小小大大取无解”。初中生的抽象逻辑思维还处于发展阶段，利用口诀教数学，可以化抽象为具体，提升教学效率。
3、推进分层教学，达到稳步提升。
作为数学学习的主人，学生的地位必须得到重视。而教师是初中数学课堂的组织者和引导者。长期以来，不少教师都采取加快教学进度，压缩新课课时的做法，以此腾出更长时间来进行总复习。其实，这种做法是错误的，学习时间变短后，学生的思维就会被抑制，导致学生知识静化。要改变这种现象，教师就要推进分层教学，使学生循序渐进地提升能力。首先是数学知识分成，将分析考试命题方向与学生实际水平相结合，把分析教材知识结构与学生认识发展相结合，以此使各个层次的学生都能学习新知识。其次要做到作业分层，笔者一般会将作业分为简单、一般和较难三个层次，让不同层次的学生分别完成，这样可以让学生在完成作业的过程中体会成功的喜悦，同时也能克服抄袭现象。
三、实施分层教学的措施。
1、对全体学生进行分层。
在新学年开始，教师可以通过摸底考试来了解学生的基础知识水平，然后通过调查学生的认知能力、个性特征、心理倾向等来判断学生的可塑性，通过两者相结合将学生进行分层。教师也可以通过在教学过程中对学生实际情况的了解，结合学生平常的学习主动性、平时表现、智力水平、对所学知识的掌握程度，将学生分为一、二、三组。一组学生可塑性好，基础知识也扎实；二组学生可塑性中等，基础知识水平中等；三组学生可塑性差，基础知识不牢固。而且二组学生所占的比例要占整体学生的一半以上，这样可以照顾到全班学生的心理感受。分组应该按照规定的时间进行重新调整，这样可以使三组的学生积极向上，争取到一组或二组。一组的学生会更加努力而不至于落入其他两个组，争取实现三组逐渐消失，二组逐渐壮大的目标。
2、对教学过程进行分层。
一组的学生属于具有主观能动性的学生，教师的作用主要是引导，扩展一组学生的思维；二组的学生属于需要教师点拨的类型，教师应该在课堂中多提问他们，与他们进行互动，逐渐提高他们的数学兴趣与能力，争取向一组靠拢；三组的学生属于依赖同学及教师型。教师可以在课下多提醒他们完成相应的作业或让一二组的学生帮助他们，使他们理解教学内容即可。
3、对课后作业进行分层。
根据学生的分层情况，教师应该对不同层次学生的课后作业实行差异化要求。对于一组的学生，教师应该严格要求，使其在完成课本习题、做配套的参考书练习之外，总结解题方法并将同类型的题整理到一个专用笔记本上，以有助于他们进行深入学习。在此基础上，教师应该有针对性地要求他们做有关数学竞赛方面的习题，提高其创新能力，扩展其思维方式。对于二组的学生，教师就没必要要求其做数学竞赛习题，而应鼓励他们对知识进行总结并思考，争取进入到一组。对于三组的学生，完成课本习题，理解教师讲授的教学内容即可，从而不断树立他们学好数学的信心。
以党的十六大精神为指导,努力实践"三个代表"的重要思想,认真贯彻,落实国务院《关于基础教育改革与发展的决定》和浙江省教育厅《关于实施教育部〈基础教育课程改革纲要(试行)〉的意见》;根据省,市教研室和县教育局2004年工作思路,围绕"课程改革"这个中心工作,树立以"学生发展"为本的思想,加大教学管理,教学研究和教学评价的工作力度,发挥指导职能,强化服务意识,为巩固我县"创强"成果,顺利实施新课程而努力工作.
二,工作要点和策略:
加强学习,更新观念,积极稳妥地做好新课程实验工作
课程改革是一次全面的教育创新,课程改革的全过程都需要不断的学习.我们要结合新课程的实践活动,帮助广大教师树立新型的教学观,人才观,评价观和课程资源观.
1)认真组织好第三次县级学科培训(分两个阶段进行).调整培训模式,增强针对性和时效性,培养一批课改骨干力量.努力探索与教研,科研及校本培训相结合的新模式.
2)研究和改进新课程标准下的课堂教学常规和课堂教学评价.
3)召开课程改革实施工作专题研讨会,组织"走进新课程,实践新理念"的教师论坛活动.
4)试行《湖州市中小学综合实践活动课程实施与评价》方案.
5)积极探索和研究新课程理念下的考试内容,方式的改革和促进学生发展学业评价方案.
6)配合市,县教育局,积极做好"省课改成果巡礼"的参展准备工作.
2,加强教学研究和教学管理工作
教学研究和教学管理是实践性,指导性很强的工作.
1)完善一日集体调研制度.本学期在调研活动中将选择有代表性的学校,帮助总结成功的经验,并予以推广
2)配合市教研室,加强对高中段教学的研究和指导工作.研究05年高考对策,收集,整理和研究新的高考信息及其措施,供学校,教师参考.
A)组织中学教研员对高中段学校进行集中教学调研(重点是昌硕高级中学);各科教研员根据各校学科的实际情况,经常到学校了解情况,指导,帮助高三教师搞好教学工作.
B)组织好高三"期末调研"考试,阅卷及分析工作.
C)重视高一,高二年级的教学指导工作.要与各校教师一起进行探讨,切实加强对高一,高二年级的过程管理;组织好高一,高二"期末调研"考试,阅卷及分析工作,以保证高中段教学质量的稳步提高.
3)加强对义务教育阶段教学情况的调查和研究,根据新课程理念,做好义务教育阶段教学管理的指导工作.做好中,小学教学质量抽测工作.
4)加强对学科教研活动质量的管理,为学校提供高质量的服务.
A)本学期的各学科教研活动要以新课程理念为指导,以优化课堂教学结构,提高课堂教学效率为主攻方向.通过活动切实促进教师业务提高,达到互相交流,互相学习,合作探究的目的.
B)加强教研活动的策划和运作.活动前要有充分准备,要有目的,有计划,活动后要总结.
C)各学科教研员,要以课程改革为契机,认真组织好公开课,示范课,观摩课,评议课和实验课等多形式课型的交流,促进"课堂教学模式多样化";"课堂教学内容个性化";"课堂时空拓展延伸化";"课堂教学手段现代化".
5)继续加强初,高中学科教学质量动态评估办法的研究和改进工作;改进音乐,美术,劳技等学科的测试办法.配合督导室,基教科等科室做好中小学办学水平评估工作.
6)组织中,小学教导(务)主任学习现代教育理论,研究教学管理,努力提高理论水平和业务能力.
7)继续重视全县各校的教研组,备课组建设.使教研组,备课组团结协作,较好地发挥群体效能.加强校本教研,校本培训,校本课程开发等的研究,指导和服务工作.各学科要建立和建好学科教学基地;各校教学要逐步形成学科教学特色.
8)科研向教研落实,教研向科研提升.积极做好省,市,县三级教学教研系统课题的实施工作(申报,立项,过程管理和成果推广),在学科教学科研上有所创新,有所突破,为提高课堂教学质量服务.
9)加强对高中会考工作的领导,思想重视,操作规范,切实提高各会考学科的合格率,优良率,降低会考工作的差错率.
3,加大教师培养的工作力度
课程改革顺利进行的关键是有一支精良的师资队伍.加强教师教育理论,教学业务的学习,努力提高政治素质和业务水平,以适应课改新形势的要求.
1)配合教育局做好"名师工程"的实施工作.
2)继续做好对新教师的业务指导和教学常规管理工作.
3)对重点培养和指导对象,要按计划搞好培养,指导活动.
4)建立,健全学科教师业务档案.
5)各学科在教研活动中除要抓好教师的基本功训练工作外,更要组织教师学习现代教学理论,树立新的教学理念.认真组织好学科的各类评比活动.
6)继续进行各级教学明星,教学能手,教坛新秀,骨干教师的观摩课,示范课,送教上门等活动.
7)加强学科竞赛辅导教师的培训,加强学科竞赛的组织,辅导和研究,争取更好成绩.
4,加强教研室自身建设,提高教研员政治素质和业务水平
教研室不论作为一个整体,还是到学科教研员个体,都必须具有良好的素质,才能提高教研工作的水平,才能在课程改革的实践中发挥指导作用.
1)组织教研员认真学习"十六大精神",自觉实践"三个代表"的重要思想,努力提高政治思想素质,教育理论水平和贯彻落实党的教育方针的自觉性.真正在学习,研究和指导服务上下力气.
2)完善教研室内部管理制度及岗位工作目标,岗位考核等办法,积极稳妥地进行内部管理制度的改革.本学期要完成几个有质量的教学调研报告.
3)办好《安吉教研》安排好每期内容,职责落实到人.
4)继续关心和改善教研人员的工作条件,确保教研人员全身心投入教研工作.
5)加强教研室工作作风建设,密切与基层学校的联系,强化服务意识.虚心听取意见,进一步做好服务工作.
三,2004学年第一学期教研活动安排
(八月份)
初中语文新教材培训
初中科学新教材培训
初中英语教研组长会议
中学政治教师理论学习
初中政治新课改培训及调研工作
(九月份)
初,高中语文教研大组会议
高三语文高考总结分析会议
初中学校数学教研组长会议
高中数学教研组长会议
省初中数学优秀课评比
组织高中数学竞赛辅导活动
召开初中科学,高中化学大组成员会
物理教研大组长会议,高三物理竞赛
高中(各完中)英语教研组长会议
10,中英语听课教研活动
11,高一与高二英语备课活动
12,初,高中历史与社会教研大组会议
13,各完中历史与社会教学调查
14,市初中思想政治优质课评比
15,传达省高中劳技信息
16,县中小学体育教研大组成员会议
17,布置中小学体育优质课评比事宜
18,新教师听课(职教)
19,中小学成绩统计分析表下发
20,全县教科室主任会议
21,小学高段语文大组成员活动
22,组织召开小学低段语文大组成员
23,小学低段语文"重培"组活动
24,小数(高段)教研大组活动
25,小学常识大组活动
26,县新课程备课活动(小学思品)
27,县小学思品大组会议
(十月份)
1,初中语文学科青年教师阅读能力竞赛
2,高一语文教研活动
3,初,高中语文优质课评比
4,全国高中数学竞赛
5,高一数学教师集体备课
初中数学新教材教学情况交流
高中数学优质课评比
市级初中自然青年教师业务素质比武推荐活动
高三化学2004高考试卷分析研讨会
10,高一化学课堂教学质量评比
11,初中自然中考复习分析会
12,高一物理新教师优质课评选活动
13,高二新教材(英语)听课教研活动
14,初中新课程教案评比(历史与社会)
15,高中历史教学片段评比
16,市地理学科论文评比
17,高三生物教研活动
18,总结03年度体育健康标准实施情况和布置下届……
19,课堂教学指导(职教)
20,高中电脑课教研活动
21,教科研成果推广
22,小学语文作文序列研究活动
23,小学语文参加全国青年教师课堂教学评比活动
24,小学语文第二册新教材第二次培训
25,小学数学,小学常识命题竞赛
26,小学数学青年教师课堂教学观摩活动
27,小学低段数学课标交流,讨论(一)
28,小学思品培养对象活动
29,1—6年级思品命题竞赛
30,小学英语听课教研活动
(十一月份)
高二语文教研活动
高三数学教学研讨会
初中数学课改研究小组活动
召开高二化学教学指导研讨会
高三物理研讨活动,初二自然研讨活动
中学生英语能力初赛
高三英语教研活动
初中社会优质课评比
体育高考研讨会
10,体育青年教师教法培训(中,小学)
11,期中高三语文教学评价(职教)
12,初中电脑课教研活动
13,教科研活动一次(课题指导)
14,小学低段语文命题竞赛版权所有
15,实践新课程的论文评比(小学低段语文)
16,小学低段数学课标交流,讨论(二)
17,一年级教师上课比赛(小学思品)
18,骨干教师外地学习(小学思品)
(十二月份)
中学数学优秀教研组评比
湖州市高二数学竞赛
初三数学竞赛
初中科学第三批培养对象会
高中综合理科复习研讨会
初中科学新教材第二次培训
高二物理研讨活动
中学生英语能力决赛
新课改评价研讨会(历史,社会)
10,高一历史教师县外教研活动
11,高二生物教研活动
12,生物优秀论文评比
13,中小学体育检查辅导
14,职教语文教师公开课
15,教科研活动一次(课题结题)
16,承办市青年教师阅读教学评比活动(小学语文)
17,小学高段语文第二批"重培"对象课堂教学汇报活动
18,小学4—6年级数学竞赛
19,小学低段数学教案评比
20,小学电脑课教研活动
(05年一月份)
做好期末考试工作(物理)
《历史与社会》教师教材教法竞赛
本人概况
姓名：陆雪飞
性别：女
民族：汉
政治面目：团员
学历：本科
出生年月：76.9
专业：数学教育
职称：中学二级
教育背景及职业培训
时间：2001年9月－2004年7月
毕业院校/学历：南京师范大学数学教育/本科
时间：1995年9月－1998年7月
毕业院校/学历：镇江师专物理系/大专
其它培训情况：参加新课程培训、通过中小学信息技术培训、学习多媒体课件的制作、参加《利用几何画板优化数学课堂教学》与《简约备课》的课题研究
关键词：初中数学；教育；教学
中图分类号：G633.6 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2013）47-0170-02
初中作为学生们非常重要的时期，这一阶段在学生的求学生涯中起着承上启下的作用，老师和家长们尤其重视这一时期学生的教育教学，数学在所有的学科知识中占有首屈一指的地位，自然初中数学的教育教学引起极大的重视和关注。
一、初中数学教育教学的现状
1.学生们一直处于紧张、疲倦的学习状态。在初中这一重要的学习阶段，青少年正处于无论在记忆力或是理解力都比较强的时期，因此，老师们会加强对学生们的理论知识教育教学，尤其是数学这种需要较强的思维逻辑能力和理解力的重要学科，老师们自然不会放松他们的关注点，而初中数学又是打好数学基础知识的重要时期，这使得学生们必须花费大量的时间和精力去学习初中数学，学生们一直处于紧张的学习状态，而且这种紧张氛围对于具有叛逆倾向的青少年来说造成一定影响，使他们感到疲倦，对学习尤其是初中数学失去了应有的兴趣。一旦学生们失去了学习数学的兴趣，会导致学习成绩的急速下降，这种情况在许多初中学校是比较常见的。
2.老师们“填鸭式”的传统教学模式。由于初中数学在整个初中教育教学中的重要性，老师们更加注重对学生理论知识的培养，但是有的老师只知一味地进行“填鸭式”的教学，这种传统的模式一定程度上影响了学生们的思维模式，造成课堂教学内容单一，课堂的活氛围也不够活跃。学生们在这种传统的教育教学模式下，完全压抑了自己的个性，没有勇于创新的精神，老师们只是通过许多数学练习题来提高学生们的数学成绩，不仅不注重数学知识在实际生活中的灵活运用，而且安排各种考试检查学生们的学习成果，这种教学模式虽然在一定程度上会提高学生们的学习成绩，但是有的时候会收到相反的教学效果，引起学生的厌倦心理。
二、如何提高初中数学的教育教学质量
对于初中数学的教育教学，最重要的课题就是提高它的教育教学质量。那么，如何提高初中数学的教育教学质量呢？我们将从以下几个方面展开一系列的叙述。
1.掌握课本的理论知识是基础。虽然不能遵循“填鸭式”教学的传统模式，但是课本上的理论基础知识是必须要掌握的基础，只有打好了理论知识的基础，才能拓展初中数学其他方面的能力。“问渠那得清如许，为有源头活水来”，这说明掌握扎实牢固的课本知识，是其他方面活跃性思维的重要来源。因此，老师们要对学生进行多遍的基础性知识的复习和考查，如在留一些课后练习题之余，给学生们出一些课外的练习题，进一步地牢固所学知识，尤其让同学们记住一些数学公式、证明题模式和一些比较典型的练习题。
2.活跃课堂氛围、改进教学模式。针对学生们逐渐对初中数学失去兴趣的状况，要活跃课堂教学的氛围，丰富课堂教学的具体内容，如给学生们讲像华罗庚、高斯这样的大数学家背后刻苦励志的故事，以便让他们对数学家们产生崇拜感，并激发他们对学习数学的兴趣和动力。在实际数学教学中老师们也可以与同学们积极产生互动，鼓励同学们积极发言和大胆思考，培养他们在数学方面的思考精神和探索创新的精神，这也是在新课改的大背景下的具体要求。
3.老师们要遵循一定的教学原则。俗话说“没有规矩，不成方圆”，做任何事情都要遵循一定的原则，这是决定一件事情是否能在一个完整系统中得到最大功能发挥的关键所在，尤其是教育教学，这需要一定的教育模式和教育教学原则。因此初中数学老师要遵循以下几方面的原则，以更好地提高初中数学教育教学的质量：首先，要遵循有教无类的教学原则。在实际的教学当中，虽然老师们的教学内容对每一位同学都是一样的，但是每一个学生所消化和吸收的知识能量是不一样的，由于自身学习成绩的差异和其他方面原因上的不同，学生们的数学水平是参差不齐的。老师们要对学生们同等对待，不能因为某个学生的学习成绩好就对他加以照顾和重点培养，也不能因为某个学生的数学成绩相对差就对其不理不睬，忽视学困生的学习状况。孔子曾经说过“有教无类”，这要求每个老师都要在这一原则的基础上进行教育教学。其次，要遵循具体问题具体分析的教学原则。这也就是说，在有教无类原则的基础上对学生们的学习状况要充分地了解和掌握，适当地跟学生进行沟通和交流，了解每一个学生的自身特点和学习优势，并根据他们的特点和优势制定相关的具有针对性的教学内容，使每一个同学充分地了解自己，也让他们感受到来自老师温暖的关心，培养学习兴趣和动力，提高学习能力。再次，要遵循理论为主、实践为辅的原则。理论知识当然是最基础的学习能力，但是如果只是单纯地讲一些理论性较强的数学知识，那么在实际的生活中学生们所掌握的数学知识得不到灵活的应用，这不符合数学的根本精神。数学理论本来就要服务于人们的生产和生活，因此老师们要加强学生们在具体实践中的训练。如带领学生参加一些数学竞赛，在这些比赛中感受到数学的魅力，做一些有关数学方面的实验，将数学课本上的理论知识具体灵活地运用到实践生活当中去。这样通过理论知识与具体实践应用的相结合，巩固加强学生所学的数学知识，在寓教于乐中达到双赢的目的。
最后，要遵循“温故知新”的原则。孔子曾经说过“温故而知新，可以为师矣”，也就是说所学的知识需要经过反复地温习才能得到巩固和加强。在初中数学的教育教学中，老师们可以适时地组织安排一场数学考试或者是实践训练，考查学生们对课堂教学内容的掌握程度，了解自己课堂教学上的优势和不足之处，扬长避短，提高初中数学的教育教学的质量，学生们的知识水平和素质能力也会得到巩固和提高。因此，在初中数学的教育教学上，“温故知新”是非常重要的教学方法，也是每一个老师和学生应遵循的原则，这样可以取得教学相长的效果。
参考文献：
关键词：适应 学习方法 数学能力
许多小学、初中数学学习成绩的佼佼者，进入高中，第一个跟斗就栽在数学上。而在高一阶段的学习又是尤其的重要，要学完4本必修课本，占了高考的绝大部分内容。大量数据表明，随着数学内容的逐步深化，高中新生数学能力逐渐下降，为什么会产生这种现象呢？我想主要有以下几个原因：
1、教材内容安排与能力要求的不同
初中数学知识面窄、难度低。高中数学知识广泛，是对初中的数学知识进行推广和引伸及完善。如：初中学习的角的概念只是0o～180o范围内的，但实际当中也有其他角，为此，高中把角的概念推广到任意角，包括正、负在内的所有角。在初中，一个负数开平方是无意义的，但在高中规定了i2 =-1，就使-1的平方根为±i。即可把数的概念进行推广，把数扩大到复数范围。和初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，因此不少同学进入高中之后很不适应，特别是高一年级。代数里首先遇到的是理论性很强的函数，再碰到空间概念、空间想象能力要求较高的立体几何。这就使初中数学还不错的同学不能适应而感到困难。在能力方面，高中所要求学生的能力包括：空间想象能力、抽象概括能力、推理能力、运算求解能力和简单的推理能力。初中主要考查模仿、简单的推理和基本的运算能力。高中则是在此基础上将全面培养与发展。
2、教师授课方式和对学生听课要求的不同
初中老师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么等。因此，初中学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，侧重于模仿。而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了更高的要求。侧重于自主学习、合作探究，提倡创新新思维和培养学生的创造能力，教师的作用在于引导，由于内容多且对能力的要求更高，所以课堂上要求学生听课时要用心思考，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的，课后要学生自己归纳总结并反思。这种能力要求的突变使高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
3、定量与变量的差异
初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。学生在分析问题时，是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地解决问题，在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。如：求解一元二次方程时我们采用对方程ax2 + bx + c > 0 （a≠0）的求解，讨论它是否有根和有根时的所有根的情形，使学生很快的掌握了对所有一元二次方程的解法。另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想。
那么，如何处理好这些问题，使学生能尽快适应高中的学习呢？我想提出下面几种意见和建议：
1、培养主动的学习态度，体会“要我学”与“我要学”的区别
初中生在学习上的依赖心理是很明显的，是“要我学”。原因是多方面的。如：（1）为提高成绩，初中数学教学中将各种题型一一罗列，学生的学习依赖于教师为其提供套用的 “模式”；（2）家长望子成龙心切，经常“参与学习”，进行课后辅导检查。升入高中后，高一年级的学生，面临教师的教学方法改变，习惯依赖的套用“模式”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。并且课前来不及预习，上课忙于记笔记。其学习上有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。这时教师应注意培养学生主动的学习态度，要求学生课前预习，课后复习，及时总结、订正，养成良好的习惯。
2、培养良好的学习方法和习惯，体会“死记硬背”与“活学活用”的区别
高中老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。部分同学上课不能抓重点难点体会思想方法，课后赶做作业，乱套题型，对概念，法则，公式，定理一知半解，机械模仿，死记硬背，结果是事倍功半，收效甚微。因此作为教师，要让高一新同学有个改变学习方法和习惯的准备；同时，在课堂中研究讨论各种困难问题，让高一新同学体会强化良好的学习方法。
3、精讲精练，落实双基，培养兴趣
实际上数学教学的本质是数学思维活动的展开，因此数学课堂上要鼓励学生通过动脑、动手、动口参与数学思维活动。教师不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，才能使学生主体性得到充分的发挥和发展，才能提高数学活动的参与度。这就要求我们在教学过程中为学生创造良好的主动参与条件，所以，教师在备课上，就要多想办法：首先，教师选题要精，讲题要透。实际上无论是例题还是习题不在于难跟多，关键是要有代表性，能使学生通过例题理解所要掌握的知识点。其次是要调动学生思维的积极性，要让我们的课堂轻松、活泼，让学生参与到课堂活动中来。不能为了维护自己的威严，一上课就板起面孔，拒人于千里之外。两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。” 所以，在数学教学活动中，一定要拉近学生与教师的心灵距离，极大程度的调动学生去征服题目的积极性，要让学生在解决问题的过程中真正体会一种成就感，真正体会到数学本身的魅力带给他的快乐。
4、循序渐进，有计划的培养学生的能力
关键词： 初中数学教学 学习能力 学习兴趣 学习方法
在很多国际性的数学竞赛中，中国的学生往往能够取得很好的成绩，被人们称为“神童”，但是这些人在成年进入社会后往往没有太突出的表现。出现这种情况的最重要原因是在早期的数学学习中老师只是教授数学知识，并没有着意培养学生的学习能力。学生在初中阶段的学习主要是为了以后更深层次地学习，以及工作和生活打下坚实的基础。因此，初中数学教学的主要任务是培养学生的数学学习能力，让学生掌握学习方法，从而为今后的学习、工作和生活打下良好的基础。
一、培养学生数学学习兴趣，增强学生的学习动力
有人说过，学习本来就不是一件轻松的事情。数学学习更是一件十分枯燥无味的事情，很多学生就是因为数学枯燥无味而失去了学习动力。学生学习能力的一项重要内容就是能够积极地学习，因此在初中数学教学过程中首先要培养学生的学习兴趣。
1.要培养学生的学习兴趣，老师在初中数学教学过程中必须加强基础知识的教学。这样学生才能够在掌握基础知识的基础上进行更深一步的学习，消除数学在学生心中的神秘感，引发学生的学习兴趣。
2.老师在初中数学教学过程中要注重数学的应用。很多学生觉得数学在生活中的应用价值不大，因而失去了对数学的学习兴趣。老师在初中数学教学过程中要多讲授一些应用数学，多与生活实际联系在一起，让学生感受到数学在生活中的作用，从而培养学生的学习兴趣。
3.鼓励学生挑战对于自己来说有难度的习题。对于很多数学的热爱者来说，数学最大的魅力就是数学问题的挑战性。在研究过程中，通过自己的不断努力克服一个个问题，这个过程充满了征服者胜利的喜悦和成就感。老师鼓励学生挑战一些适当难度的问题，可以使学生更好地体会到学习的乐趣，培养学生的学习兴趣。
二、引导学生使用正确的学习方法，进行有效学习
在信息快速传播的时代，对于“文盲”的定义不再是没有知识的人，而是不知道怎么学习的人。在学习过程中，只有掌握了正确的学习方法，学习起来才能够事半功倍，这也是学习能力的一种重要体现。
老师要提高学生的学习能力就要交给学生正确的学习方法。这样在学习过程中，学生不仅能够“学会知识”，而且知道怎样才是“会学知识”，从而提高学习效率和学习能力。
1.初中数学教学中，教师要教会学生“审”，主要是提高学生的数学分析能力和对已知内容的归纳能力。数学分析能力是学生对所掌握的数学材料的一种直觉性的觉察能力和选择能力。在初中数学学习中培养学生的审题能力，就是使学生能够对掌握的数学材料进行分析和归纳，形成正确的思维方法。
2.在学习过程中要教会学生“论”，这里的“论”指讨论。在学习最忌讳的就是不懂装懂，闭门造车。在初中数学教学中老师要让学生学会“论”，就要鼓励学生说出自己的疑惑，并且组织学生进行讨论，达到“真理越辩越明，疑问越变越清”的效果。
3.引导学生学会“思”，即学会在学习过程中不断地思考和总结。孔子曾说：“学而不思则罔”，强调了思考在学习中的重要性。老师要培养学生的学习能力，教会学生正确的学习方法就要引导学生学会思考，在学习的过程中对自己的思维方式和知识的掌握程度进行反思，举一反三，完善自己的思维方式和知识结构。
三、培养学生的质疑精神，增强学生自信
在教学过程中教师经常会发生一些学生过于依赖所谓的“标准答案”，总觉得自己的解题思路只有和“标准答案”相符才是最完美的。这样的学生在学习过程中缺乏质疑精神，这同时也是缺乏自信、学习能力不足的一种表现。
老师要培养学生的学习能力就一定重视学生质疑精神的培养，让学生对自己充满自信。学生只有敢于对权威进行质疑才能够不断突破思维定势，在质疑过程中学到更多的经验和知识，更重要的是树立信心，不会变成只会读“死书”的书呆子。
在初中数学教学中，很多问题的解决方法并不是只有一种，老师不要只满足于让学生知道书本上的“标准答案”，更要鼓励学生摆脱原来思路的束缚，想出其他的解决方法。如果学生有与书本上不同的见解，教师就应鼓励学生说出心中的想法和对书本的质疑，并且与学生一起研究证明他们想法的正确性，增强学生的自信心。在教学过程中老师要培养学生的质疑精神，让学生在质疑中不断取得进步，激起他们追求进步的学习热情，为以后进行独立研究打下良好的基础。
四、鼓励学生进行创新，发展学生的学习能力
牛顿说过，他之所以伟大是因为站在了巨人的肩膀上。在历史的长河中，凡是在一定领域有非凡成就的人，都是具有创新精神的人。在学习的过程中，只是一味地学习、模仿别人的东西是远远不够的，要想成功就要学会在原有的基础上进行创新。初中是学生思维方式的形成时期，老师在初中数学教学过程中要培养学生的创新思维和创新精神，让学生在创新中不断进步。
首先，老师要引导学生发现问题、提出问题，培养学生的创新精神。老师在初中数学教学过程中要对知识进行深入的分析，把握知识之间的联系。在课堂上，根据教学实际情况，运用数学思维规律，设置具有启发意义的问题，引导学生积极地进行思考。在学生思考的过程中，老师要适当地启发学生通过数学的观察法、分析法、猜想法、类比法、归纳法等思维方式进行观察，提出问题进行研究，培养学生的创新精神。
其次，在解决问题的过程中，老师要引导学生打开思路，培养学生的发散性思维。创新的过程其实就是一个改变自己思维方式的过程，老师要培养学生的创造性思维就要让学生学会运用发散性思维解决问题。在解题过程中，要学会从不同的角度对问题进行思考，从而找出不同的解题方法，培养创新精神，发展学习能力。
总之，学生学习能力的培养并不是一蹴而就的，需要老师在初中数学教学过程中不断地付出努力，不断地进行探索研究，创新课堂教学。
参考文献：
[关键词] 三角形；基本图形
我们知道，复杂的图形都是由基本图形组合而成的，若能从复杂的图形中抽离出基本图形，并将基本图形的结论加以应用，势必能化繁为简. 下面，我们来分析常见的图形――“纸飞机”型的基本图形，本文给出了关于角和边的两个结论，这两个结论可以用来简洁地解决有关竞赛题，现举例说明其应用.
“纸飞机”型关于角的结论及
其应用
结论1 如图1所示，若四边形ABCD是凹四边形，则∠BCD=∠A+∠B+∠D.
证明方法很多，现给出其中的三种.
证法1 如图2所示，延长BC交AD于点E，由三角形的外角性质可知∠CED=∠A+∠B，∠BCD=∠CED+∠D，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D.
证法2 如图3所示，作射线AC，由三角形的外角性质可知∠1=∠BAC+∠B，∠2=∠DAC+∠D，所以∠BCD=∠BAD+∠B+∠D，结论成立.
证法3 如图4所示，连结BD，在ABD中，∠1+∠2=180°-∠ABC-∠ADC-∠A，在BCD中， ∠BCD=180°-∠1-∠2，所以∠BCD=∠A+∠ABC+∠ADC，结论成立.
对于几类复杂图形的求角度问题，可通过识别或构造满足“纸飞机”型的图形转化为特殊图形的角度和.
应用1 识别“纸飞机”型，转化为三角形的内角和问题
例1 如图5 所示， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（ ）
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
分析 可发现“纸飞机”型图形――凹四边形AOCB，根据结论1可知∠AOC=∠A+∠B+∠C. 由三角形的内角和为180°可知∠DOE+∠D+∠E=180°，而∠AOC=∠DOE，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，故答案为A.
例2 如图6所示， 试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析 图5中，让点B运动，使得线段BC，AB与DE相交即可得到图6，故“纸飞机”型图形――凹四边形AOCB依然存在， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E也是180°.
应用2 识别“纸飞机”型，转化为四边形的内角和问题
例3 如图7所示， 求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
分析 可发现“纸飞机”型图形――凹四边形AOED，根据结论可知∠AOE=∠A+∠D+∠E，而∠AOE=∠BOF，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOF+∠B+∠C+∠F. 又因为四边形的内角和为360°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°.
以上例题均只需识别“纸飞机”型图形即可，下面举一些需要添加辅助线构造“纸飞机”型图形的问题.
应用3 构造“纸飞机”型求角度和
例4 如图8所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
分析 如图9所示，连结CF，构造“纸飞机”型图形――凹四边形DEFC，根据结论可知∠DCF=∠D+∠E+∠CFE，而∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠AFC=360°，所以∠A+∠B+∠DCB+∠D+∠E+∠AFE=360°.
例5 如图10所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
分析 如图11所示，连结EG，构造“纸飞机”型图形――凹四边形DEGO，根据结论可知∠DOG=∠5+∠DEG+∠OGE，而∠EGF+∠7+∠GEF=180°，∠AOC=∠DOG，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠AOC+∠EGF+∠7+∠GEF=360°+180°=540°.
注意 类似地，可连结AC构造“纸飞机”型图形进行求解.
例6 （2003年全国初中数学竞赛）如图12所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G等于（ ）
A. 360° B. 450° C. 540° D. 720°
分析 解决此题的方法和例5类似，如添加辅助线CG构造“纸飞机”型图形，可求得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
应用4 特殊“纸飞机”型图形的求角度问题
例7 如图13所示，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF相交于点G，若∠BDC=140°，∠BGC=100°，求∠A的度数.
分析 设∠ABE=x，∠ACF=y，则∠GBD=x，∠GCD=y. 在“纸飞机”型图形――凹四边形GBDC中，根据结论1可知∠BDC=x+y+∠BGC，所以x+y=40°. 在“纸飞机”型图形――凹四边形ABGC中，∠BGC=x+y+∠A，从而可得∠A=60°.
例8 （1997年上海市初中数学竞赛）如图14所示，E，D分别在ABC中边BA和CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED. 若∠B=70°，∠D=40°，则∠F=______.
分析 设∠ACF=x，∠BEF=y，则∠ACB=2x，∠BED=2y. 由外角性质可知∠EAC=∠D+2y，∠EAC=∠B+2x，在“纸飞机”型图形――凹四边形EACF中，根据结论1可得∠EAC=∠F+∠ACF+∠FEB=∠F+x+y. 从而， ∠F=（∠B+∠D）=55°.
“纸飞机”型关于边的结论及其
应用
结论2 如图15所示，若四边形ABCD是凹四边形，则AB+AD>BC+CD.
证明 如图15所示，延长BC交AD于点E，在ABE中，AB+AE>BC+CE①，在DEC中，CE+ED>CD②. 由①②两式可得AB+AE+ED>BC+CD，即AB+AD>BC+CD.
关键词：数学思想；数学竞赛；例析；应用
中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0318-01
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。下面我就以几例比较基础的题目为例，来谈一下常用数学思想在解竞赛题目中的运用。
一、分类讨论思想
当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。
例1：是否存在质数p、q，使得关于x的一元二次方程px2-qx+p=0有有理数根？
解析：此题要正确求解，首先要弄清质数的定义；其次要清楚最小的质数不是1而是2，也就是说1不是质数。三是要合理分类，做到不重不漏。
略解：由原式得qx=px2+p，即q=px+p/x；
因为p、q是质数，所以x只有1和p两种取值。
当x=1时，q=2p，显然只有q=2或p=2（此时p=1或q=4均不为质数）两种情况，均不合题意，舍去。
当x=p时，q=p2+1。
若p是大于2的质数，则p一定是奇质数，那么q就是大于2的偶数，也不合题意，舍去。
于是只有p=2，q=5一种情况。
当然本题还可以同学们比较熟悉的判别式求解。但也要注意方程有有理数根时判别式是一个完全平方式，再根据p、q中是不是含有2进行讨论即可。由于涉及完全平方数的整除问题，讨论相对较烦琐，此处不再进行，有兴趣的同学可自己试一试。
二、数形结合思想
利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代数问题用几何方法解答，这种方法在解析几何里最常用。
例2：是否存在一个三边长恰是三个边续正整数；且其中一个内角等于另一个内角2倍的ABC？证明你的结论。
解析：在初中数学中，同学们接触数形结合思想较多的就是函数一章的内容了。在这里同学们经常运用“以数定形或以形定数”等思想来解决问题。就本题而言，只要画出示意图就可展开求解了。
略解：设ABC的边角关系如右图所示。
若∠A=2∠C，则有：n/sinC=（n+1）/sinB=（n+2）/sinA=（n+2）/sin2C；
化简整理可得cosC=（n+2）/2n；（1）再由余弦定理可cosC=[（n+1）2+（n+2）2-n2]/2（n+1）（n+2）；（2）
由（1）、（2）两式联立可得n=4，n=-1（舍去）；因此，这样
的ABC存在，其三边长分别为4、5、6。
三、方程思想
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。方程是初中阶段非常重要的基础知识，而方程思想更是经常运用的数学思想。从方程思想出发，在遇到一些存在相等关系的问题时，可设一个或几个未知数，并把它们看成已知数，由题目给出的数量关系，列出方程或方程组，便能使问题得到解决。
例3：已知：a+b=p，ab=q，求a5+b5的值。
解析：此类题的常规思维就是利用完全平方公式先构造出a5+b5来，但这样处理计算量很大不说，还容易出现错；而用方程思想就显得简洁一点。
解：设a5+b5=M，两边同时乘以（a-b）得：
a6+ab5-a5b-b6=（a-b）M，所以，
（a-b）M=（a3+b3）（a3-b3）-ab（a4-b4）
=（a+b）（a-b）（a2-ab+b2）（a2+ab+b2）-ab（a-b）（a+b）（a2-b2）
=（a+b）（a-b）[（a2+2ab+b2-3ab）（a2+2ab+b2-ab）-ab（a2+2ab+b2-2ab）]
=（a+b）（a-b）{[（a+b）2-3ab][（a+b）2-ab]-ab[（a+b）2-2ab]}。
因为a+b=p，ab=q，所以，
M=p[（p3-3q）（p2-q）-q（p2-2q）]，所以，
M=p（p4-4p2q+3q2-p2q+2q2）=p5-5p3q+5q3
即：a5+b5=p5-5p3q+5q3。
四、整体思想
