时间：2023-05-31 09:21:39
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇圆柱圆锥，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
一、填空题。（2×20=40分）
1. 1.2升＝（ ）立方厘米； 6.25平方米＝（ ）平方米（ ）平方分米。
2.一个圆柱的底面半径是5cm，高是10cm，它的底面积是（ ）cm2，侧面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。
3.圆柱的体积＝（ ），用字母表示是v＝（ ）。
4.圆锥体的体积等于和它同底等高的圆柱体体积的（ ），它的字母公式是v＝（ ）。
5.一个圆柱体，把它削成一个与圆柱等底等高的圆锥体，圆锥体的体积是削去部分的（ ）。
6.一个圆柱体，底面积是19平方厘米，高是12厘米，与这个圆柱体等底等高的圆锥体的体积是（ ）。
7.圆柱的侧面展开可得到一个（ ），它的长等于圆柱的（ ），宽等于圆柱的（ ）。
8.一个圆锥的体积是24立方厘米，底面积是8平方厘米，它的高是（ ）。
9.一个圆柱的侧面积是12.56平方分米，高是2分米，它的体积是（ ）。
10.一个圆柱和一个圆锥同底等高，它们的体积之和是48立方分米，那么圆锥的体积是（ ）立方分米。
11.一个圆锥的底面直径和高都是6cm，它的体积是（ ）cm3。
12.把一个圆锥体浸没在底面积是30平方厘米的盛有水的圆柱形容器里，水面升高了4厘米，这个圆锥体的体积是（ ）立方厘米。
二、判断题。（1×10=10分）
1.圆锥体积是圆柱体积的■。（ ）
2. “做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求这个圆柱的侧面积。（ ）
3.一个圆柱体的体积比和它同底等高的圆锥体的体积大。（ ）
4.一个圆锥体的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，这个圆锥的体积也扩大到原来的2倍。（ ）
5.一个正方体和一个圆锥体的底面积和高都相等，则正方体的体积是圆锥体体积的3倍。
（ ）
6.长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积公式都可以用v=sh。（ ）
7.圆柱的体积一般比它的表面积大。（ ）
8.底面积相等的两个圆锥，体积也相等。
（ ）
9.把圆锥的侧面展开，得到的是一个长方形。（ ）
10.一个圆柱形的玻璃杯盛水1立方分米，我们就说玻璃杯的容积是1升。（ ）
三、选择题。（1×10=10分）
1.一根圆木锯成三段，一共增加（ ）个面。
A. 3 B. 4 C. 6
2.把一段圆柱形钢块切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分重12千克，这段圆柱形钢块重（ ）千克。
A. 24 B. 16 C. 18
3.一个圆柱体体积比一个与它同底等高的圆锥体的体积大（ ）。
A. ■ B. 2倍 C. 3倍
4.一个底面直径是2厘米，高9厘米的圆锥体木块，分成形状大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加（ ）平方厘米。
A. 9 B. 18 C. 20
5.把一个棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方分米。
A. 50.24 B. 64 C. 12.56
6.一个圆锥的体积是12.56立方厘米，比同底等高的圆柱体积少（ ）立方厘米。
A. 6.28 B. 12.56 C. 25.12
7.“做一只圆柱形的柴油桶，至少用多少铁皮？”是求油桶的（ ）。
A.表面积 B.侧面积 C.体积
8.用一个高6厘米的圆锥形容器盛满水，倒入和它同底等高的圆柱形容器中，水的高度是（ ）厘米。
A. 18 B. 16 C. 2
9.如右图，这个杯子（ ）装下3000ml牛奶。
A.能
B.不能
C.无法判断
10.下面（ ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm）
四、求体积。(单位：分米) （8分）
五、解决问题。（8×4=32分）
1.挖一个圆柱形蓄水池，底面半径是5米，深4米，这个蓄水池可蓄水多少立方米？
2.一个无盖的圆柱形铁皮桶，高是30厘米，底面半径是7厘米，做这个水桶至少要用铁皮多少平方分米？（得数保留一位小数）
每当学到圆柱与圆锥这一单元时，学生就会出现各种问题，而且测试成绩往往不够理想。虽然很多人认为圆柱与圆锥这一单元结合实际演示与操作，应该比较容易理解，但是从理解到综合应用还有很多路要走。根据多年的教学经验，特总结出本单元八个易错点：（1）计算始终是学生的弱点，特别是本单元有“3.14”参与的大量小数计算。（2）圆柱侧面积与体积公式混淆。（3）圆柱与圆锥的三种关系混淆。（4）圆锥体积公式及逆运算不易理解（漏掉三分之一）。（5）圆柱表面积计算（有盖无盖的区分）。（6）圆柱底面积、侧面积、表面积与体积的区分。（7）单位转化问题。（8）等积变形问题。
二、解决的办法
1.在上个学期学习圆的周长和面积的时候，就让学生在反复的计算中记住3.14乘某个数字所得的得数。这一点在学习圆柱和圆锥时尤为重要，并且每天坚持做一些类似于：3.14×1.5，3.14×2.52，3.14×25×40的题目，提高学生的计算能力，让学生熟能生巧。
2.结合实际操作帮学生区分圆柱的侧面积与体积公式。圆柱侧面积公式演示：让学生想象手里拿着一个圆柱，然后用食指尖绕圆柱底面一周，再做火箭发射状，表示底面周长乘高。圆柱体积公式演示：让学生用手面做出摸圆柱底面状再做火箭发射的动作，表示用底面积乘高。
3.数形结合解决圆柱与圆锥的三种关系问题。
（1）等底等体积：因为等底，所以圆锥要想和圆柱等体积，就不能长胖，只能长高，让学生想象在等底等高的基础上，圆锥像竹笋一样“长高”到原来的三倍。
（2）等高等体积：因为等高，所以圆锥要想和圆柱等体积不能长高，只能长胖，让学生想象在等底等高的基础上，圆锥底面积“长胖”到原来的三倍。
4.学生在初步计算圆锥体积时，应严格按照先写公式，后列式的格式书写，而且列式时一定要按照公式的顺序，即先写三分之一，再写乘底面积，最后写乘高，避免学生漏乘三分之一。在已知圆锥体积求高时，一定让学生先写出原来的公式，看着原来的体积公式进行逆运算，即用体积先乘三再除以底面积。
5.应多出一些综合性的题目，提高学生对圆柱不同知识点的区分运用能力。如，一个圆柱形铁皮盒有盖，底面半径2分米，高5分米。
（1）如果在盒子侧面贴一圈商标纸，至少需多少纸？（求侧面积）
（2）某工厂要做1000个这样的盒子，至少需多少铁皮？（求表面积）
（3）如果用一个铁皮盒装水，最多能装多少毫升？（求体积）
6.多练习上题中第三小题这样的问题，让学生养成做题前先检查单位是否统一的习惯。
7.借助橡皮泥帮助学生理解等积变形问题。先让学生捏出圆柱的形状并测量底面直径和高求出体积，再把刚才的圆柱捏成圆锥，测量底面直径和高求出体积，比较圆柱和圆锥的体积是否相等。在做此练习时，可以顺便复习圆柱与圆锥的三种关系问题。
三、取得的效果
第三单元圆柱与圆锥
单元卷（2）
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、填空题。
(共10题；共10分)
1.
（1分）8050毫升＝_______升_______毫升
5.8平方分米＝_______平方厘米
立方米＝_______立方分米
5平方米4平方分米＝_______平方米
2.
（1分）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，高是25.12
cm，这个圆柱的底面半径是_______cm。
3.
（1分）用一个长20
cm，宽12
cm的硬纸板围成一个圆柱，这个圆柱的侧面积是_______cm2。
4.
（1分）一个圆柱的底面直径是15
cm，高是8
cm，这个圆柱的侧面积是_______cm2。
5.
（1分）如图，以长方形10
cm长的边所在直线为轴旋转一周，会得到一个_______，它的表面积是_______cm2
，
体积是_______cm3。
6.
（1分）把一个圆锥沿底面直径纵切开，切面是一个_______形。
7.
（1分）如图是一个直角三角形，以6
cm的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是_______，它的体积是_______cm3。
8.
（1分）一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱比圆锥的体积多42
dm3
，
则圆柱的体积是_______，圆锥的体积是_______。
9.
（1分）一个圆柱的体积是100.48
dm3
，
它的底面半径是2
dm，高是_______dm。
10.
（1分）把一根2.5
m长的圆木锯成三段小圆木，表面积增加了24
dm2
，
这根圆木的体积是_______dm3。
二、判断题。
(共5题；共5分)
11.
（1分）圆锥的体积比圆柱的体积少
。
12.
（1分）圆锥的底面积不变，高扩大为原来的6倍，则体积扩大为原来的2倍。
13.
（1分）圆柱的侧面展开图一定是长方形。
14.
（1分）圆柱的底面直径是3
cm，高是9.42
cm，它的侧面沿高展开后是一个正方形。
15.
（1分）圆柱有无数条高，而圆锥只有一条高。
三、选择题。
(共5题；共5分)
16.
（1分）如果把圆柱体的底面半径和高都扩大为原来的2倍，则它的体积将扩大为原来的（
）。
A
.
2倍
B
.
4倍
C
.
6倍
D
.
8倍
17.
（1分）做一个无盖的圆柱形水桶，求至少需要多少铁皮，就是求水桶的（
）。
A
.
底面积
B
.
侧面积
C
.
表面积
D
.
侧面积＋一个底面积
18.
（1分）一根圆柱形木料，底面半径是6
dm，高是4
dm，把这根木料沿底面直径锯成两个相等的半圆柱，表面积比原来增加（
）dm2。
A
.
226.08
B
.
24
C
.
48
D
.
96
19.
（1分）一个圆柱的底面半径是5
dm，若高增加2
dm，则侧面积增加（
）dm2。
A
.
20
B
.
31.4
C
.
62.8
D
.
109.9
20.
（1分）图中圆锥的体积与圆柱（
）的体积相等。
A
.
B
.
C
.
D
.
四、按要求计算。
(共3题；共3分)
21.
（1分）一个粮仓如图，如果每立方米粮食的质量为700kg，这个粮仓最多能装多少千克粮食？
22.
（1分）计算下面圆柱的表面积和圆锥的体积。
23.
（1分）求下面立体图形的体积。(单位：cm)
五、按要求完成下列各题。
(共2题；共2分)
24.
（1分）一个圆柱和圆锥等底等体积，那么圆柱的高是圆锥高的_______，圆锥的高是圆柱高的_______。
25.
（1分）一个圆柱和圆锥等体积等高，那么圆柱的底面积是圆锥底面积的_______，圆锥的底面积是圆柱底面积的_______。
六、解决问题。
(共7题；共7分)
26.
（1分）用玻璃做一个圆柱形鱼缸，底面半径是2.5
dm，高是4
dm，做这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？这个鱼缸最多能装水多少升？
27.
（1分）一个圆柱形纸筒的底面半径是4
cm，它的侧面展开后是一个正方形，这个圆柱形纸筒的侧面积是多少平方厘米？
28.
（1分）一堆圆锥形黄沙，底面周长是12.56
m，高是1.2
m，将它铺在一个长8
m，宽2.5
m的沙坑里，可以铺多少厘米厚？
29.
（1分）一个圆柱形玻璃容器里装有水，在水里浸没一个底面半径是3
cm，高是10
cm的圆锥形铁块(如图)，如果把铁块从圆柱形容器里取出，那么容器里的水面要下降多少厘米？
30.
（1分）学校教学楼大厅里有4根立柱，每根立柱的底面半径是2
dm，高是4.5
m。现要给立柱的侧面包上装饰板，包好这些立柱共需装饰板多少平方米？
31.
（1分）两个底面积相等的圆锥，一个高为6
cm，体积是72
cm3
，
另一个高为9
cm，它的体积是多少立方厘米？
32.
（1分）一个内直径是8
cm的瓶子里，水的高度是7
cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部分是圆柱形，高度是18
cm。这个瓶子的容积是多少毫升？
参考答案
一、填空题。
(共10题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、判断题。
(共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、选择题。
(共5题；共5分)
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
四、按要求计算。
(共3题；共3分)
21-1、
22-1、
23-1、
五、按要求完成下列各题。
(共2题；共2分)
24-1、
25-1、
六、解决问题。
(共7题；共7分)
26-1、
27-1、
28-1、
29-1、
30-1、
[关键词]直观 操作 实验 观察 思维 发散 促进 激发
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）05-022
数学学习是从感性认识开始的，所以在数学课堂中，教师应加强直观演示的教学，引导学生对学习素材进行多层面、多角度、多维度的观察、比较、选择与归纳。下面，以“圆柱与圆锥”单元教学为例，谈谈如何通过直观教学，培养学生的数学思维。
一、操作，激发学生的思维
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”课堂教学中，教师可通过动手操作，激活学生的思维，引导他们深入探究，真正理解所学知识。
师：圆柱的体积计算公式是什么？
生1：圆柱的体积=底面积×高。
师：我们是怎样推导圆柱的体积计算公式的？
生2：我们把圆柱转化成等底等高的长方体，通过长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式。
师：今天，我们探究圆锥的体积计算方法。猜一猜，圆锥的体积可以怎样求？它与哪些条件有关？
生3：只要把圆柱上面的一个圆缩成点就变成了圆锥，说明圆锥的体积和圆柱是有联系的。
生4：可以把圆锥转化成已经学过的立体图形——圆柱，由于圆柱体积=底面积×高，那么圆锥的体积计算可能与它的底面积和高有关系。
……
我国数学家徐利治曾说过：“直观就是借助于经验观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识。”教学“圆柱的体积”时，把圆柱的体积转化成已学过的长方体体积，这样能有效唤醒学生的学习潜能，使学生去观察、反思、梳理，为后续推导圆锥的体积计算埋下伏笔。由圆柱体积的推导过程，学生能想到圆锥的体积是不是能转化成已学过的立体图形进行计算，这样就会产生一种学习新知识的需求。学生由于生活经验和认知水平的局限，更易于接受直观的事物。因此，直观演示更利于学生进行观察、比较、分析和想象，并在此基础上展开更加丰富多彩的直观推理，进而洞察相关联物体之间的联系与区别，获得必要的结论。
二、实验，促进学生的思维
学生的感悟因经历而丰富，视野因思维更拓展。因此，课堂教学中，教师应以实验为媒介，促进学生的数学学习与数学活动有机融合。
师（出示许多大小不等的圆柱和圆锥形容器）：你打算将圆柱与圆锥如何转化？如果让你在这么多的圆柱与圆锥中选择两个来探究，你打算选择什么样的圆柱和圆锥？说说你选择的理由。
生1：刚才把圆柱的一个底面缩成点就变成了圆锥，其中圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等，所以应选择底面积相等、高相等的圆柱和圆锥进行探究。
师：为了便于我们研究圆锥体积，每个组都准备了一个圆柱和一个圆锥，比一比，它们有什么相同的地方？（生操作演示，如下图）
师：你发现了什么？底面积相等，高也相等，用数学语言来说就叫等底等高。既然圆锥与圆柱等底等高，能不能直接用圆柱的体积计算公式求出圆锥的体积呢？
生2：不行，把圆锥放入圆柱形容器中，发现圆锥比圆柱的体积小。
师：这位同学真了不起。请你再猜一猜，圆锥与它等底等高的圆柱体积有什么样的关系呢？
生3：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/2。
师：还有其他的猜想吗？
生4：圆锥体积可能是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：有什么好办法验证自己的猜想是正确的呢？先在小组里交流，再做实验验证你的猜想。（生动手操作）
师：谁来汇报一下？
生5：我选择等底等高的圆锥和圆柱，发现把圆锥装满水倒入圆柱里，倒满了三次，说明圆锥体积是它等底等高圆柱体积的1/3。
师：其他组实验的情况也和他们一样吗？
生：一样。
师（出示两组大小不同的圆柱和圆锥，如下图）：这两组圆柱和圆锥，圆锥的体积还是圆柱体积的1/3吗？为什么？
生6：这里的圆锥体积不是圆柱体积的1/3，因为它们不是等底等高。
师：这说明了什么？
生7：不是任何一个圆锥的体积都是圆柱体积的1/3。
师：什么样的圆锥与圆柱体积才有1/3的关系呢？
生8：等底等高的圆锥和圆柱。
……
数学抽象地反映了客观世界。在数学学习过程中，学生由于受知识经验和思维水平的限制，经常会遇到一些很难用语言解释清楚的数学问题，这时候直观图形或者直观模型就能够给学生提供形象的思考和表达的机会，帮助学生把头脑里的数学事实外显化。学生通过操作、实验去验证自己的想法是否正确，不知不觉中，学生的认识变得更丰富了，理解变得更深刻了，思维变得更灵活了，体验变得更强烈了。这样教学，顺应了学生的思维发展，使他们真正掌握了解决问题的策略。
三、观察，发散学生的思维
系统的发散训练，能适当降低思维的难度，给学生的自主学习搭建一个“脚手架”，有利于学生内化数学思想方法，提升思维能力。
例1 如右图，正方形OABC的面积是10平方厘米，O是圆心，求圆的面积。
由图可知，正方形的面积就是r 2，圆的面积就是πr 2=3.14×10=31.4（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的面积是40平方厘米，求圆的面积。
由于有了例1的铺垫，学生能把例2转化为例1——画两条与正方形邻边互相垂直的直径（如右图），这样就把大正方形平均分成了四个小正方形，可以先求出每个小正方形的面积，也就是求出r 2的值，再用r 2的值求出圆的面积，所以圆的面积πr 2=3.14×（40÷4）=31.4（平方厘米）。
例3 如右图，求大正方形、圆、小正方形的面积比。
由图可知，先求出大正方形与小正方形的面积比是多少，再求大正方形、圆、小正方形的面积比。有了上面的坡度练习和推理，学生很快能得出结论：大正方形、圆、小正方形的面积比为4∶π∶2。
1.从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，圆锥有( )条高。
2.圆柱的体积是( )的圆锥体积的3倍，所以圆锥体积的公式是( )。
3.把4个同样大小的圆柱，熔铸成等底等高的圆锥，能熔铸( )个。
4.一个圆柱的体积是60立方厘米，和它等底等高的圆锥的体积是( )。
5.把一段圆柱形圆木，加工成等底等高的圆锥体，削去部分体积是圆柱体积的( )，是圆锥的( )。
6.用一张长是25.12厘米，宽3.14厘米的长方形厚纸板围成直圆柱，有( )种围法;其中一种围成的圆柱的高是( )厘米，直径是( )厘米;另一种围的圆柱的高是( )厘米，直径是( )厘米。
二、观察思考下面的解题过程和结果，是否正确?
1.一根圆柱形水管，内直径20厘米，水流的速度是每秒4米，这个水管1分钟可以流过多少立方米的水?
解：(1)圆柱形水管的底面积
(2)圆柱形水管的容积(4米相当圆柱的高)
314×400=125600(立方厘米)
(3)1分钟可以流过多少水
125600×60=7536000(立方厘米)
7536000立方厘米=7.536立方米
答：这个水管1分钟可以流过7.536立方米水。
2.有一根长20厘米，半径为2厘米的圆钢，在它的两端各钻了一个深为4厘米，底面半径为2厘米的圆锥形小孔做成一个零件，如图这个零件的体积是多少立方厘米?
解：
(1)圆柱的底面积
2×2×3.14=12.56(平方厘米)
(2)圆柱的体积
12.56×20=251.2(立方厘米)
(3)圆锥形小孔的体积
12.56×4=50.24(立方厘米)
(4)零件的体积
251.2-50.24=200.96(立方厘米)
答：这个零件的体积是200.96立方厘米。
3.一个高3分米，底面直径为20厘米的圆柱形水桶里装满水，水中放着一个底面直径为18厘米，高为15厘米的铁质圆锥体，当这个铁质圆锥体取出后，会发生怎样的变化?结果如何?
解：当这个铁质圆锥体取出后，桶内水面要降低，因为这个物体原来占据了一些空间，结果怎样，就要先求圆锥体的体积，再求变化的结果。
(1)圆锥的底面积
(2)圆柱的底面积
(3)圆锥的体积
(4)水面降低的米数
1271.7÷314=4.05(厘米)
三、综合运用知识解决实际问题。
1.有A、B两个容器，如图，先把A容器装满水，然后将水倒入B容器，B容器中水的深度是多少厘米?
*2.如右图，是一个棱长为4分米的正方体零件，它的上、下、左、右面上各有一个半径为2厘米的圆孔，孔深为1分米，这个零件的表面积是多少?体积是多少?
*3.把一个直径是2分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体表面积比原来圆柱的表面积增加8平方分米，这个长方体的体积是多少?
上课了，孩子们都很兴奋，我展示了一下透明的圆锥体和圆柱体，孩子们确认这两件透明容器的底和高相等后，（展示与确认必不可少，这是本节教学的必要步骤）提出一个问题：“圆锥的体积是否和长方体、正方体、圆柱体的体积计算方法一样，也能用“底面积×高”来计算呢？”
经过观察和思考，孩子们很快得出结论：不能。“那么，圆锥的体积和同它等底等高的圆柱体的体积有没有关系，是什么关系？”我再次提出问题，（把探究的权利还给孩子，教师不可越俎代疱）教室里顿时安静下来。显然，孩子们都在思索。我微笑着鼓励他们：“不要急，咱们做个实验。”（在探索过程中，教师是鼓励者，加油者）一位细心的女孩子在我的指导下，将半瓶红墨水倒进盆里，盆里的水马上变得殷红，然后，她又小心地用透明圆锥体容器从盆子里舀满红水倒进透明圆柱体内。“啊，一样粗一样高，圆锥体果然没有圆柱体大呀。”孩子们为验证了他们刚才的结论而兴奋不已。（初尝探索与研究的快乐）我又问：“圆锥体占到圆柱体的几分之几呀？”（适时的提问，将探索研究引向深入）孩子们伸长脖子朝前看，用心估算着。做实验的女孩子朝圆柱体上的刻度一看，马上说：“是三分之一！”当她又舀满一圆锥体红水倒进圆柱体后，再将一满圆锥体红水倒进圆柱体后，圆柱体里的红水就满了。这一下，全班孩子掩饰不住心中的兴奋，几乎同时快活地喊了起来：“老师，老师，我知道圆锥体和圆柱体的体积是什么关系啦！”（再尝探索与研究的快乐）
“圆锥体体积等于和它等底等高的圆柱体体积的三分之一！”（结论水到渠成）
“这真是一个不错的结论”我笑着对发言的孩子竖起了大拇指，（赏识是对成功者的奖励，更是进一步探索与研究的动力）并把期待的目光投向更多的孩子。（期待预示着还有更大的思维空间）
孩子们显然知道我的用意，个个跃跃欲试，在纸上画着，算着，很快就有了这么几个答案：
“老师，我发现圆锥的体积比和它等底等高的圆柱体体积少三分之二。”（用了一个‘少’字，孩子们的思维空间拓宽了）
“圆柱的体积比等底等高的圆锥的体积多2倍。”（上述结论的又一种诠释，思维的空间再一次拓宽了）
我由衷地为这些孩子的精彩回答一次次鼓掌。（不要吝啬对孩子们的赏识）在鼓掌声中，我把圆锥体的计算公式认真地写在黑板上：V锥=1/3V柱（在强调等底等高的条件下，我故意做出了上述板书）
接下来，我又一次启发道：“还能有新的发现吗？”（再一次点燃探索研究的热情之火，让孩子们的思维提速）
“好，这一次我们都来动手做，看看在还能发现什么？”（人人都是学习的主人，探索研究的主角）
孩子们纷纷拿出准备好的圆柱体（修理后的黄瓜、胡萝卜等），我让他们把这些圆柱体的体积算出来，记在本子上，然后再动手削成圆锥体，并且明确提出一个要求：“削圆锥体时不要改变圆柱体的底面积。”（明确要求，教师的课堂主导作用不能忽略）
孩子们马上动手。不一会儿，一个个高低不等的圆锥体就呈现在课桌上了。有的削成了一个大的，有的削成了两个或三个小的。我就问：“由原来的圆柱体变成现在的圆锥体，谁得到的圆锥体体积最大呀？”（教师要问得巧妙，使孩子们的思维沿着既定的方向发展）
“我的”“我的”几个孩子晃一晃手里的圆锥体。
“何以见得呢？”我笑着问道。
其中一个说：“我保留了圆柱体的底和高。”
另一个说得更具体：“我算了一下，我的圆锥体体积正好是圆柱体体积的三分之一。”
嘿，这小家伙刚学会计算就用上了。我拍手称赞。（不要吝啬赞美）
“有没有超过三分之一的呢？”
“没有，三分之一是最大的了。”
数学片段：
学生独立思考解答后，全班交流：
生1：这个零件是由一个圆柱体和一个圆锥体组合而成的。可以这样解答：V零件＝V圆柱＋V圆锥＝3.14×（）2×6＋×3.14×（）2×3＝18.84＋3.14＝21.98(立方厘米)。
师：他把零件想象成一个组合体，用圆柱的体积加上圆锥的体积来求零件的体积，思路清晰。还有不同的方法吗？
生2：我把零件想象成是以圆柱体积为单位“1”的一个整体，那么圆锥的体积是圆柱体积的×。 零件的体积是V零件＝V圆柱×（1＋×）＝3.14×（）2×6×（1＋×）＝21.98（立方厘米）。
（受生2的启发，多数学生踊跃举手，老师示意生3说说自己的想法。）
生3：把零件想象成是以圆锥体积为单位“1”的一个整体，那么圆柱的体积是圆锥体积的÷。零件的体积是V零件＝V圆锥×（1＋÷）＝×3.14×（）2×3×（1＋÷）＝21.98（立方厘米）。
师：生2和生3是把圆柱或圆锥的体积看成单位“1”，然后根据这个零件中圆柱与圆锥的关系，把零件的体积想象成一个整体来思考，思路灵活。还有别的解法吗？
生4：我把零件想象成一个9厘米高的大圆柱，那么圆锥的体积比原来多算了与它等底等高的圆柱体积的（1－）。因此，可这样解答：V零件＝V大圆柱－V小圆柱×（1－）＝3.14×（）2×9－3.14×）2×3×（1－）＝28.26－6.28＝21.98（立方厘米）。
师：真会想！他将零件进行了变形，想象成一个高9厘米的大圆柱，然后再减去多出的部分。
未等老师说完，生5迫不及待地站起来表达自己的想法：把圆锥想象成一个高3×＝1厘米的小圆柱，那么这个零件就成了一个高为6＋1＝7厘米的大圆柱。因此可以这样解答：V零件＝V大圆柱＝3.14×（）2×7＝21.98（立方厘米）。
听完生5的发言，老师微笑地点点头，转而面向大家：听明白了吗？片刻后，教室内响起热烈的掌声。老师示意其他学生再说说这样解答的思路。
过后，课堂陷入短暂沉默。就在老师准备进入下一环节教学时，生6举起了手。
生6：我将7厘米高的圆柱想象成一个近似的长方体，可以这样解答：V零件＝V长方体＝长（圆柱底面周长的一半）×宽（半径）×高（圆柱高）＝（3.14×2÷2）×（2÷2）×7＝21.98（立方厘米）
师：真了不起，他受到在推导圆柱体积计算公式时，将一个圆柱体切开后拼成一个近似的长方体的启发，把零件想象成一个近似的长方体，得出一种新颖的解法。
老师带头为他鼓起掌来。
临近下课了，老师准备进行课堂总结，这时教室内传来一声情不自禁的喊声：“我还有一种解法。”大家不约而同地把眼光投向了生7。
生7：我们可以将零件想象成7个小圆锥。因为3厘米高的圆柱体积相当于3个等底等高的圆锥的体积，那么两个3厘米高的圆柱就相当于3×2＝6个这样的圆锥，再加上图中右端的一个圆锥，一共7个圆锥，那么零件的体积就是：V零件＝V圆锥×7＝×3.14×（）2×3×7＝21.98（立方厘米）。
教室内再次响起热烈的掌 声。
是什么让课堂灵动精彩，欲罢不能呢？灵活的空间想象力给思维插上了翅膀。在数学教学中，发展和丰富学生的想象力，对培养思维的灵活性、深刻性和创造性起着十分重要的作用。
想象力是指在知觉材料的基础上，经过新的配合而创造出新的形象的能力。如何发展学生的想象力呢？从这则教学案例我们可以得到如下启示：
一、夯实基础，沟通知识前后联系是发展学生想象力的前提
课堂的精彩其关键的因素源自于学生扎实的基础，倘若学生没有对用分数乘除法解决实际问题、圆柱和圆锥体积计算的熟练掌握，没有对等底等高圆柱与圆锥关系的清晰认识，课堂上是不可能出现将分数乘除法解决实际问题与圆柱、圆锥体积计算的思维进行有效沟通的，也就不可能出现把圆柱或圆锥看作单位“1”，然后把零件看作一个整体来求体积的整体想象，更不可能出现把零件看作高是7厘米的大圆柱和把零件看作7个小圆锥的变形想象。因此，发展学生想象力不是凭空想象的，而是以夯实基础，有效沟通知识的前后联系为前提的。
二、丰富表象，加强动手操作为发展学生想象力提供支撑
生6将7厘米高的圆柱想象成一个近似的长方体，用V零件＝V长方体＝长（圆柱底面周长的一半）×宽（半径）×高（圆柱高）来求零件的体积，是受到在推导圆柱体积计算公式时，将一个圆柱体切开后拼成一个近似的长方体的启发，从而得出一种新颖的解法。引导学生亲历动手操作的过程，给学生留下清晰的表象。长此以往，不断丰富学生的各种表象，日后在相似的问题情境中，学生就有可能自动提取储备的表象，想象并建构解题的模型，奇思妙解也就水到渠成了。
[摘要]进行探究性学习，促进整体发展。老师应在教学中设计探究性与开放型的教学活动和问题，给学生提供自主探究的机会，使学生积极主动地参与学习的全过程。
[关键词]探究；活动；解决问题
在课堂教学中，教师应充分发挥学生的主观能动性，要依据学生的年龄特征和认知水平，涉及探究性与开放性的教学活动和问题，给学生提供自主探究的机会，使他们积极主动地参与学习的全过程。
1 教法灵活多样
在这几年教学圆锥的体积计算时，经常是我进行实验演示，直接拿出等底等高的圆锥容器的教具，让学生观察倒沙实验，然后说明“圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的三分之一”。从而推导出圆锥体积的计算公式，这样的教学禁锢了学生的思维，扼杀了学生的实践能力，为此，我进行了探索性的教学实践活动。例如，在这学期教学圆锥的体积计算时，首先，让孩子在课下分工合作，有人做等底等高的圆柱和圆锥，有人带沙土，并在第二天上课时，提出问题：“老师为什么要你们制作圆柱又制作圆锥呢?”这时，教室里鸦雀无声，我便引导学生把已学过的圆柱体积的计算方法，用实践手段转化为圆锥体积的计算方法，此时，学生突然顿悟，兴趣盎然迫不及待的动手操作。在实验时，让学生分组合作，这时，只看见个小组在圆锥内装满沙土，然后把沙土倒入圆柱内，每组的记录员记录下的结果都是倒三次刚好装满，学生立刻活跃起来，“老师，圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的1/3，又因为圆柱体积的公式是v=sh，所以圆锥的体积公式是v=1/3sh。”这样的探究活动，学生学得活，记得牢，既发挥教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，学生在学习的过程中始终是一个探究者、研究者、发现者，并获得了富有成效的学习体验，同时又培养了学生的合作精神。
2 激励学生自主地尝试解决问题
把解决问题作为学校数学教育的核心，是美国数学教师协会于1980年正式提出的，激励学生自主地尝试解决问题和探究的能力，对数学其他内容的学习具有重大作用，因此，在课堂上对于学生提出的问题，我从不过早的下结论，过多的限制，允许有不同的意见，允许争辩使学生真正成为学习的主人。如：学完圆锥的体积后，有这样一道判断题，“一个圆锥的体积比它等底等高的圆柱体积少2倍”。同学们意见不一致，我没有表态，而是让他们讲解各自对错的理由，其中认为错误的理由是“因为圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的1/3，也就是圆柱体积是与它等底等高的圆锥体积的3倍，圆柱体积是1倍，圆柱体积就是它的3倍，所以圆锥体积比它等底等高的圆柱体积少2倍。”紧接着，认为正确的同学马上反驳“你把圆锥的体积看成1倍，而这道题是把圆柱体积看成1倍，因为圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的1/3，把圆柱体积看成1倍圆锥体积是它的1/3，所以圆锥体积比它等底等高圆柱体积少2/3。”做错的同学恍然大悟，原来是没有搞清单位1，虽然课堂纪律看起来有点乱，但气氛达到了，问题得到了解决，使学生对问题有自己独特见解，充分发挥了学生主体的作用。
总之，探究性学习旨在将学习更多的看作独立的获得问题的解决，让学生掌握思考的方法，由对知识的接受过程转化为对问题的探索过程，由对知识的认识掌握转化为对问题的探究解决。这样才能使学生学会在复杂的社会环境中不断地用科学的探究态度与方法去认识、发现、改变与创新，真正是今天的学习成为明天适应、参与和改造社会的基础，从而获得发展的。
【关键词】GeoGebra；数学实验；空间与图形
小学数学中最难的就是“空间与图形”内容的教学，而空间观念的形成则强调学生多种感官的参与，且依赖于空间想象能力的发展水平，如果在没有有效的教学手段辅助的情况下，学生很难理解教学内容.小学生的几何观念属于直观几何，是一种经验几何或实验几何，仅凭黑板+粉笔很难让学生理解.因此，动手操作和观察比较是小学生获得几何知识、认识几何性质的主要途径和形式.而GeoGebra具有色彩丰富、能化静为动、化抽象为直观、可演示、可探究等优点，若能适当地运用其进行数学演示实验、探究实验或验证试验，用动画来展现知识的生成过程，教师在动中讲，学生在动中学，并且学生还可以进行探究，在拖动图形中观察图形，通过“做”来增加对各种图形的感性认识，非常有利于学生抽象思维能力的形成.
一、动态展现立体图形的生成
长方体、正方体是由几个平面图形围成的，而圆柱是由平面和曲面围成的，对于这几种图形的形成，学生不能理解“面”旋转后与所形成的图形之间的关系，从而形成了认知障碍.这时运用GeoGebra进行动态展示，学生直观地感受到了圆柱、圆锥的形成过程（如图1、2所示）.以长方形的一条边为轴旋转360°后形成了圆柱，然后探究长方形和旋转后圆柱之间的关系，通过观察旋转的长方形，找出了长方形的长就是圆柱的高，长方形的宽就是圆柱的底面半径，很快掌握了圆柱的形成和体积的计算方法.接着以长方形的宽作为轴旋转360°，很快找出了长方形的宽就是圆柱的高，长方形的长就是圆柱的底面半径，在头脑中建立了面与体的关系，计算圆柱的体积就变得轻而易举.以直角三角形的直角边为轴旋转360°后形成了圆锥，通过观察动态演示发现，直角三角形的直角边就是圆锥的高，直角三角形的另一条直角边是圆锥的底面半径.通过观察面动成体的过程，学生头脑中有了圆柱、圆锥的动画映像，直观地反映了圆柱、圆锥的形成，圆柱、圆锥的特点就深深地刻在了学生头脑中，发展了学生的空间思维能力.
二、模拟体积探究实验
在“圆锥的体积”这一节教学中，用传统的演示实验法推导圆锥的体积公式时，由于圆柱和圆锥都比较小，学生只能看见大概的实验过程但很难看清楚圆柱、圆柱上面的刻度，不利于学生发现它们体积之间的关系，整个实验过程很难给学生留下深刻的印象.用GeoGebra进行模拟实验（如图3所示），投影到电子白板或幕布上，进行形象化的演示，全班的学生都能清晰地看见当把圆锥里面的水倒进圆柱时正好占了圆柱体积的三分之一，立刻会联想到：在圆柱和圆锥同底等高的情况下，圆锥的体积是圆柱体积的三分之一，立马能用数学表达式表示出圆锥的体积公式.与传统的教具展示相比，更能引起学生思想的撞击，扫清了空间识别障碍和视觉直觉障碍，找到了思维发展的突破口，能让学生对所学知识理解得更加透彻，更能准确地把握其中“不变”的规律，从而学得更好更快.
三、模拟解决生活中的实际问题
“长方体和正方体”是人教版五年级数学下册第三单元的教学内容.它是在学生已经学习了长方体、正方体、圆柱和球的基础上，进一步研究长方体、正方体的特征，这是由平面图形研究扩展到立体图形的研究和学生比较深入地研究立体几何的开始.通过学习长方体和正方体，可以使学生对生活中常见的物体形成初步的空间观念，是学习其他空间几何图形的基础.另外，长方体和正方体体积的计算，也是W生形成体积的概念.掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础.本单元很多认知难点的出现，归根结底是学生对长方体和正方体的结构认识不清.特征没有掌握，另一方面是缺少生活经验.要解决这类实际问题，先要从不同的角度观察同一物体，感受局部与整体的关系，深刻地认识这些物体的特征后，通过联想、迁移与长方体和正方体的知识建立起联系，再根据长方体和正方体的特征计算出面积.
GeoGebra做出的三维视图课件能全方位地展示正方体和长方体任意角度的侧面，学生能从不同的位置多方面、多角度观察同一物体，有利于全面了解正方体和长方体的特征，如图4、5所示.
GeoGebra给学生创造了形象、逼真的学习情境，解决了一些用传统教学手段不易实现的教学过程，真正帮助学生突破了空间识别障碍和视觉直觉障碍，有效地建立正确的空间表象，促进了空间思维能力的形成，发展了学生的空间观念；教学的重难点也被轻而易举地突破，从而能大大提高教学效率；同时，学生的积极性、主动性和创造性也被激发了出来.
一、动手实践，深化数学体验表象
数学的学习应是儿童自己的实践活动，学习的过程是一个探索与发现过程，同时也是让学生真正理解数学在自己社会生活中的意义和价值的过程。小学生学习数学与具体实践活动分不开。重视实践活动，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径之一。
如“认识千米”的教学中，由于三年级学生缺乏感性的认识，所以千米的认识成了长度单位教学中的难点。突破这个难点的关键就是创设体验过程，引导体验生成。我在教学时适当调整，把“了解千米”和“认识千米”两课时作了整合：第一课时，在学生初步认识千米后，马上进行实践体验，我带领学生到校后口，往西望，大约到文博园就是1千米，感知1千米的直线距离大约有多远。然后，我带领学生到学校的跑道上行走并记时，学校的跑道一圈是400米，跑两圈半就是1千米。走完1千米大约用时12分。通过走一走，每个学生对1千米的实际长度又有了进一步的体验。我还引导让学生算了走一步大约50厘米，那么走100米大约走几步，走1000米呢？课后到跑道上走一个直道来回（100米）看看走了几步。回家路上数一数大约走几步就是1000米，再回头望望有多远。这些活动，学生对千米就有了感性的认识。有了这些活动的铺垫，让学生说说对千米有什么感觉，学生都很有体会。
二、利用对比活动，矫正数学体验偏差
学生在感知或操作中常受到事物非本质特征的影响，产生体验偏差。对此，教师应有意识地通过对比活动让学生放大体验，从而更好的区分出“此”与“彼”，获得鲜明而准确的体验。
如教学圆锥的体积时，部分教师只让学生探究等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系，导致学生对1/3产生深刻的体验，而对等底等高这一前提的必要性缺少体验。而设计对比活动就可以纠正学生的这种体验偏差。
活动一：探究等底等高的圆锥与圆柱的体积关系。教师出示一组等底等高的圆锥与圆柱，让学生观察并猜测圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。接着，教师让学生用圆锥容器装满水并倒入 圆柱形容器中。当学生倒一次水后，教师引导学生观察水在容器中所占空间的大小，再次猜测圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。在学生得出“圆锥的体积是圆柱体积的1/3”后，教师再追问“怎样证明”引导学生进一步通过操作验证结论。
活动二：探究等高不等底的圆锥与圆柱的体积关系。教师出示一组凭观察不容易看出底的差异等高不等底的圆锥与圆柱，问“圆柱的体积是圆锥体积的几倍？”多数学生答3倍。教师再追问如何证明，并让学生上台操作验证。结果显示，圆柱的体积不是圆锥体积的3倍。教师引导学生思考为什么两次得到的体积关系不同，观察、分析它们的底面积、高之间的关系，得出“只有在等底等高的前期下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍”。
活动三；探究等底不等高的圆锥与圆柱的体积关系。教师问“一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6厘米，圆锥的高是多少厘米？”学生有猜2厘米、6厘米的，有猜18厘米的，还有猜其他答案的。教师引导学生在画图、分析、讨论中认识到：如果圆锥的高是6厘米，圆锥的体积只有圆柱的1/3，二者的体积不可能相等。要体积相等，圆锥的高必定是6×3=18厘米。
这三个活动，让学生经历了圆锥体积是圆柱的“1/3”到“不是1/3”的对比，体验到“等底等高”与“1/3”的高度相关性，认识了圆锥和圆柱的联系、二者体积之间的关系，较好地防止了体验偏差和认知错误。
三、利用间接经验，拓展数学体验的资源
体验是以亲身经历为基础的。目前与体验有关的课堂多注重让学生获得直接的感受和经验，而忽略了间接经验的开发。学生不能也不可能完全通过直接体验获得知识，更多的是靠间接经验来丰富认知。在引导学生直接体验的同时，教师还应引入间接经验，让学生感同身受，拓展体验资源。
如“用分数表示可能性”中体验等可能性既是重点又是难点。教师出示一枚硬币，问：“抛掷一次，正面朝上的可能性是多少？”学生答到是1/2。教师问：如果抛30次，正面朝上的次数会有几次？”学生答15次，接着，学生抛掷，很少有学生刚好得到正反面歌出现15次的。该怎么办？继续增加试验次数，让学生抛掷无疑是最直接的体验方式。但这样的体验在课堂中是不现实也没有必要的。这时，教师可直接引入数学家抛硬币的实验结果，通过分享他们的结果，丰富体验，并得出规律。这样，学生通过直接体验，感受到等可能具有随机性、偶然性的一面，即抛若干次硬币出现正反面的次数并不总是一样多；通过分享数学家的经验，体会到等可能性具有规律性的一面。
四、利用生活资源，体验数学与生活密切联系
学生是生活中的人,学生的数学体验同样也离不开生活,我们的教学设计近可能让学生体验到数学与生活的密切联系,体会数学的内在价值。比如教学三角形具有稳定性的性质后，我设计了这样的一个问题，出示一把摇摇晃晃的椅子，我们教室有几把这样的椅子，利用今天学习的知识想一想应该怎样修，学生兴趣一下调动了起来，用手纷纷比画，在凳子上斜着钉一个木棍，为什么？这样就形成一个三角形，三角形具有稳定性，凳子也就牢固了。顺势提问，为什么学校的伸拉门上有许多平行四边形呢？（因为大门经常开关，正好利用了平行四边形容易变形的性质）。凳子、大门对学生来说是再熟悉不过了，通过这样的设计，既巩固了所学的知识，又让学生感到生活与数学的联系，体验了数学的价值。
【作者单位：武平县实验小学 福建】
数学体验是学生对于数学的自我建构，是在数学活动中发生、生成和发展的。在教学实践中，如何引导学生获得有效的数学体验，从而提升学生的数学素养呢？笔者结合自己的教学经验，从动手实践，利用对比活动，利用间接经验，生活体验等几个方面进行研究，就如何引导学生获得有效的数学体验提出个人的见解。
一、动手实践，深化数学体验表象
数学的学习应是儿童自己的实践活动，学习的过程是一个探索与发现过程，同时也是让学生真正理解数学在自己社会生活中的意义和价值的过程。小学生学习数学与具体实践活动分不开。重视实践活动，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径之一。
如“认识千米”的教学中，由于三年级学生缺乏感性的认识，所以千米的认识成了长度单位教学中的难点。突破这个难点的关键就是创设体验过程，引导体验生成。我在教学时适当调整，把“了解千米”和“认识千米”两课时作了整合：第一课时，在学生初步认识千米后，马上进行实践体验，我带领学生到校后口，往西望，大约到文博园就是1千米，感知1千米的直线距离大约有多远。然后，我带领学生到学校的跑道上行走并记时，学校的跑道一圈是400米，跑两圈半就是1千米。走完1千米大约用时12分。通过走一走，每个学生对1千米的实际长度又有了进一步的体验。我还引导让学生算了走一步大约50厘米，那么走100米大约走几步，走1000米呢？课后到跑道上走一个直道来回（100米）看看走了几步。回家路上数一数大约走几步就是1000米，再回头望望有多远。这些活动，学生对千米就有了感性的认识。有了这些活动的铺垫，让学生说说对千米有什么感觉，学生都很有体会。
二、利用对比活动，矫正数学体验偏差
学生在感知或操作中常受到事物非本质特征的影响，产生体验偏差。对此，教师应有意识地通过对比活动让学生放大体验，从而更好的区分出“此”与“彼”，获得鲜明而准确的体验。
如教学圆锥的体积时，部分教师只让学生探究等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系，导致学生对1/3产生深刻的体验，而对等底等高这一前提的必要性缺少体验。而设计对比活动就可以纠正学生的这种体验偏差。
活动一：探究等底等高的圆锥与圆柱的体积关系。教师出示一组等底等高的圆锥与圆柱，让学生观察并猜测圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。接着，教师让学生用圆锥容器装满水并倒入 圆柱形容器中。当学生倒一次水后，教师引导学生观察水在容器中所占空间的大小，再次猜测圆锥的体积是圆柱体积的几分之几。在学生得出“圆锥的体积是圆柱体积的1/3”后，教师再追问“怎样证明”引导学生进一步通过操作验证结论。
活动二：探究等高不等底的圆锥与圆柱的体积关系。教师出示一组凭观察不容易看出底的差异等高不等底的圆锥与圆柱，问“圆柱的体积是圆锥体积的几倍？”多数学生答3倍。教师再追问如何证明，并让学生上台操作验证。结果显示，圆柱的体积不是圆锥体积的3倍。教师引导学生思考为什么两次得到的体积关系不同，观察、分析它们的底面积、高之间的关系，得出“只有在等底等高的前期下，圆柱的体积才是圆锥体积的3倍”。
活动三；探究等底不等高的圆锥与圆柱的体积关系。教师问“一个圆柱和一个圆锥的体积相等，底面积也相等，圆柱的高是6厘米，圆锥的高是多少厘米？”学生有猜2厘米、6厘米的，有猜18厘米的，还有猜其他答案的。教师引导学生在画图、分析、讨论中认识到：如果圆锥的高是6厘米，圆锥的体积只有圆柱的1/3，二者的体积不可能相等。要体积相等，圆锥的高必定是6×3=18厘米。
这三个活动，让学生经历了圆锥体积是圆柱的“1/3”到“不是1/3”的对比，体验到“等底等高”与“1/3”的高度相关性，认识了圆锥和圆柱的联系、二者体积之间的关系，较好地防止了体验偏差和认知错误。
三、利用间接经验，拓展数学体验的资源
体验是以亲身经历为基础的。目前与体验有关的课堂多注重让学生获得直接的感受和经验，而忽略了间接经验的开发。学生不能也不可能完全通过直接体验获得知识，更多的是靠间接经验来丰富认知。在引导学生直接体验的同时，教师还应引入间接经验，让学生感同身受，拓展体验资源。
如“用分数表示可能性”中体验等可能性既是重点又是难点。教师出示一枚硬币，问：“抛掷一次，正面朝上的可能性是多少？”学生答到是1/2。教师问：如果抛30次，正面朝上的次数会有几次？”学生答15次，接着，学生抛掷，很少有学生刚好得到正反面歌出现15次的。该怎么办？继续增加试验次数，让学生抛掷无疑是最直接的体验方式。但这样的体验在课堂中是不现实也没有必要的。这时，教师可直接引入数学家抛硬币的实验结果，通过分享他们的结果，丰富体验，并得出规律。这样，学生通过直接体验，感受到等可能具有随机性、偶然性的一面，即抛若干次硬币出现正反面的次数并不总是一样多；通过分享数学家的经验，体会到等可能性具有规律性的一面。
四、利用生活资源，体验数学与生活密切联系
学生是生活中的人,学生的数学体验同样也离不开生活,我们的教学设计近可能让学生体验到数学与生活的密切联系,体会数学的内在价值。比如教学三角形具有稳定性的性质后，我设计了这样的一个问题，出示一把摇摇晃晃的椅子，我们教室有几把这样的椅子，利用今天学习的知识想一想应该怎样修，学生兴趣一下调动了起来，用手纷纷比画，在凳子上斜着钉一个木棍，为什么？这样就形成一个三角形，三角形具有稳定性，凳子也就牢固了。顺势提问，为什么学校的伸拉门上有许多平行四边形呢？（因为大门经常开关，正好利用了平行四边形容易变形的性质）。凳子、大门对学生来说是再熟悉不过了，通过这样的设计，既巩固了所学的知识，又让学生感到生活与数学的联系，体验了数学的价值。
今天，柳老师带来了一个圆柱与圆锥，我们十分疑惑。柳老师对大家说：“今天，我们学圆柱与圆锥，顺便做一个实验。”“数学课做实验。”我们百思不得其解，柳老师这葫芦里卖的是什么药？
实验开始了，我与齐思瑜挑了两个实验。我们先把一个圆柱里的水装满，在用圆锥挤压。这样就可以算出圆锥的体积。我拿着装满水的杯子，用圆锥挤压。我们小心翼翼地把水到进圆锥里，正好两杯，那这就说明圆锥的体积= sh。我们接着做第二个实验。用圆锥从水里拿了一瓢水放进圆柱里。齐思瑜数着：“一瓢、两瓢、三瓢。”我们把圆柱装满了，这就说明我们成功了。
这堂数学课结束了。数学课真有趣，我们及学到了丰富的知识，又有趣地完成了
实验。
【教学片段】
新课导入，揭示课题以后。
师：你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关？（师出示大小不一的圆锥）
生：底面积和高。
师：那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。为什么？
生：圆柱。因为它们的底面都是圆，侧面都是曲面。
师：嗯，它们外形上有相似之处。并且我们可以从一个圆柱里得到一个最大的圆锥。那你能大胆猜测一下它们的体积可能存在什么样的关系吗？
生：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。
（学生马上说出了这样的关系也是在我的意料之中，但我认为学生应该还有其他的想法）
师接着又问：还有谁来说说你的想法？
台下一片寂静，没有学生再表达自己的想法，也许他们已经看过了书上的结论，所以没有学生再提出其他的想法。
接下环节就是动手实验，验证猜想。同学们都选择了一组等底等高的圆锥和圆柱做实验。师接着提问，为什么你们选择这样一组材料做实验呢？
当我抛出这个问题的时候，又没人发表意见。
我就接着追问：为什么不是等底等高的圆锥和圆柱，它们的体积就不是3倍关系了呢？
台下举手的学生寥寥无几。
剖析自己的教学过程，反思自己的教学行为，尤其是教师的课堂教学提问，暴露出以下三个问题。
（一）问题跳跃性太大，前后无太大关联
在揭示圆锥的体积这一课题后，问学生：“你觉得圆锥的体积会跟什么条件有关？”学生回答到底面积和高。然后接着又问：“那你觉得它又会跟我们学过的哪种图形的体积有关。”课后，我又对这两个问题进行反复推敲，发现它们之间的联系并不是很紧密，跳跃性太大。本来我可以顺着第一个问题的答案，把学生引导到圆锥的体积和底面积、高这条思路上来。可我抛出的第二个问题，又把学生带到了分析圆锥和圆柱之间的关系上来了，两个问题似乎没有很好地串联起来。如果教师设计的问题缺乏系统性，“东一锄头，西一棒”，这样就会导致学生思维混乱，不得要领。因此，教师在设计问题时应注意前后呼应、彼此衔接、环环相扣，促使学生循序渐进地得出正确的结论。
（二）问题过深，不易回答
在引导学生探究圆柱的体积为什么是等底等高的圆锥体积的3倍时，我向学生提出了这样一个问题：“为什么不是等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积就不是3倍关系了呢？”抛出这个问题时，课堂气氛霎时凝固了。我还连续追问，可学生始终答不上来。现在回想这个问题，确实比较拗口，而且也很难回答，才会导致学生暂时出现教学上的“休克状态”。维果茨基认为，人的认知水平就在这“已知区”“最近发展区”和“未知区”之间循环往复，螺旋上升的。因此，问题的设计必须准确、清楚，符合学生的认知特点，遵循学生的认知水平。
（三）问题模糊，针对性不强
在得出圆锥体积的计算方法后向学生提问：“我们在计算圆锥的体积时应注意什么？”我的本意是提醒学生在计算的时候不要忘记乘三分之一，而学生的答案有很多，浪费了很多时间。有时教师的提问缺乏准确性和针对性，才会导致学生要么无言以对，要么风马牛不相及。为此，只有简洁科学且富有启发性和探索性的提问，才能激起学生思维的发展，才能“一问激起千层浪”。
在平时的教学中我也一直在思考，综观有效的数学课堂，教师的提问一般都关注以下四个点。
一、抓住新旧知识的连接点提问，使教学更顺畅
例如，一教师教学“三角形面积的计算”一课，由于学生已经掌握了长方形和平行四边形面积的计算方法，学会了用割补法得出平行四边形的面积计算方法，因此可以设计以下几个问题，让学生通过动手操作、观察分析、自主探索、合作交流等方法解决问题：
平行四边形的面积公式是怎样推导出来的？推导过程对你有什么启示？
你能用三角形学具，通过剪、摆、拼得出三角形的面积计算方法吗？
看似简单的探究三角形面积的计算方法，但探究的过程目的性非常明确，紧紧抓住新旧知识的连接点提问，充分利用已有的数学思想和方法，解决新的问题，且环环相扣，教学过程清新自然，层层深入，又具有很强的针对性。有张有弛的教学节奏，学生学得兴趣盎然，知识的获得是那样轻松自如。因此，教师在教学指导中的提问就要把准新旧知识间的衔接点，促使学生的思维由此及彼，由未知转向已知，使知识的呈现更显得水到渠成。
二、抓住新知的增长点提问，促进理解
让我们来看看特级教师黄爱华的《圆的周长》教学片段。
师：同学们，什么是圆的周长？
生：圆一周的长度叫做圆的周长。
师：请同学们闭上眼睛想一想，圆的周长展开后会是什么呢？
生：会是一条线段。
师：我们如何测量圆的周长呢？（板书：圆的周长）
生：我是用滚动法测量出圆的周长的。
师：如果要测量大圆形水池，你能把水池立起来滚动吗？
师：还有其他方法测量圆的周长吗？
生：用绳子绕一周，量出绳子的长度也就是圆的周长。
师：你能用绳子测量出这个圆的周长吗？（师把系着小球的细绳的另一端固定在黑板面上，用力甩动小球，让学生观察甩动后形成的圆）
生：不能。
师：用滚动法、绳子测量法来测量圆的周长都有一定的局限性，那么能不能研究出一种求圆周长的方法呢？
师：圆周长的大小是由什么决定的呢？要找到这个规律我们先来做个实验。（两球同时甩动，形成大小不同的圆。学生发现：圆周长的大小与半径、直径有关）
师：圆的周长到底与它的直径有什么关系呢？
（学生动手测量得出结论：圆的周长是它直径的3倍多一些）
黄老师的提问总是在不知不觉中唤起学生的学习热情，而后根据学生的回答，教师提出相应的问题，让学生不断地产生矛盾冲突，再逐渐提高问题的难度。他善于寻找学生的“已知区”与“最近发展区”的结合点，即在知识的“增长点”上设置悬念，在学生可能形成的数学思想、价值观念等生长点上设计问题，促进学生认知结构的形成，促进学生认知能力的提高，最终使学生的“最近发展区”化为“已知区”。因此，我们教师要根据教学内容的特点，抓住新知的本质，尽可能使设计的问题呈现逐步上升的趋势，提高学生思维的密度和效度，构建有效的数学课堂。
三、抓住知识的关键点提问，突破重难点
华应龙老师在教学《平行四边形面积的计算》时有这么一个片段。
在学生猜想，动手验证后，汇报。
生：老师你看，因为平行四边形很容易变成一个长方形。长方形的面积是长乘宽，这样就能用相邻的两条边相乘得到平行四边形的面积。
师：赞成用相邻两条边的长度相乘的，请举手。（大部分同学举起了手）。那你们再看（教师顺着学生拉动的方向，继续慢慢拉动平行四边形的框架，直到几乎重合），通过刚才的操作，你有什么想法？
生：我发现问题了，两条边的长度没变，乘积也没变，可是框架里面的面积变了。
生：平行四边形的面积不是长方形的面积。
……
用相邻两条边的长度相乘，这是学生在探究平行四边形的面积计算方法时真实的想法。但是这个错误的想法要让学生真正明白，华老师利用将平行四边形的框架拉成几乎重合，帮助学生抓住关键点，并适时提问，让学生产生认知冲突，有效地帮助学生纠正错误的认识，将学生带到柳暗花明的境地。
知识的关键点也是教学中的重难点，是那些对学生思维有统领作用的知识，理解了关键点，教学目标的达成也便显而易见了。我们知道学生对知识的认知掌握过程，总是要经历一个由不懂到懂，由浅入深这样一个认知过程。因此，抓住知识的关键点提问，就能很容易地突出重点，突破难点，学生对新知的理解就会轻松很多，进而达到理想的教学效果。
四、抓住知识的疑难点提问，发散思维
如某教师在教学《圆锥的体积》这一课的教学片段。
师：当圆锥的高是圆柱高的3倍时，要使它们的体积相等，它们的底面积之间有什么关系呢？
学生讨论作答。
师紧接着追问：老师这里有一组等底等高的圆锥和圆柱，要使它们的体积变成相等，若只能改变其中一个图形的大小，不改变原有图形的形状，你会怎么办呢？
生1：圆锥的高不变，底面积扩大3倍。
生2：圆锥的底面积不变，高扩大3倍。
生3：圆柱的高不变，底面积缩小到原来的1/3。
生4：圆柱的底面积不变，高缩小到原来的1/3。
教师在教学了等底等高的圆锥和圆柱，圆柱的体积是圆锥体积的3倍后，又提出了富有挑战性又有探索价值的疑惑，引导学生展开讨论。巧妙地提问能给予学生足够的思维空间，学生能够利用已有的知识寻求多种答案，有效地促进了学生的思维，促使学生积极地自主学习。
有效的教学提问必须能促进学生分析综合能力的发展，激起学生强烈的求知欲，达到发展智力，培养能力的目的。教学上的疑难点是最让学生难以消化的地方，也是教师最关注的地方，也是教学内容的重中之重。因此，在疑难处每一个细节教师都应巧妙地设计提问的内容，这样，不仅能促进学生的思维，帮助学生更好地理解知识，而且还能让学生的思维发展到更广、更深处。
基于上述反思，我又重新修改了我的教学设计。
【教学设计修改稿】
新课导入，揭示课题以后。
出示等底不等高的圆锥，师问：这两个圆锥哪一个体积大？那这两个呢？（不等底但等高的圆锥）
师：那你觉得圆锥的体积可能会跟什么条件有关呢？
生：底面积和高。
老师顺势就把V=sh写在黑板上。
师：那么这样得到的是不是圆锥的体积呢？
生：不是。是圆柱的体积。
教师出示四组材料：等底等高的圆柱圆锥、不等底但等高的圆柱圆锥、等底但不等高的圆柱圆锥、不等底不等高的圆柱圆锥，但每组的圆锥都是同样大小的。
生：老师我明白了是与这个圆锥等底等高的圆柱的体积有关。
师：那么请你猜猜看这个圆锥的体积和这个等底等高的圆柱的体积之间存在怎样的关系呢？
鼓励学生大胆猜测。
有了猜测，学生就动手操作验证自己的想法。