时间：2023-05-31 09:46:22
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学概括，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
[关键词]探寻规律；拓展思路；强化联系；概括能力
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）08-0075-01
概括能力是数学核心素养的重要组成部分。概括的过程是学生提炼和获取数学知识的过程，也是学生提升数学技能、灵活运用知识、提高综合素质的重要途径。正因如此，学生一旦拥有了抽象概括能力，数学这门由易到难阶梯上行的学科就不再遥不可及。那么，应如何培养学生的概括能力呢？
一、依托典型素材，在概括中探寻规律
概括是使感性认知上升到理性认知的过程。小学生正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，他们的思维在很大程度上仍然以感性认识和实践操作为主。因此，典型材料是促成学生概括能力生成和发展的重要元素。在教学中，教师要为学生提供与事物本质相关联的典型材料，并引导他们对典型材料进行深入的感知和理解。
如，学习“分数乘法”后，教师补充了几组算式练习：先进行计算，并观察每组的结果，找出规律。
1. -=（ ），×=（ ）；
2. -=（ ），×=（ ）；
3. -=（ ），×=（ ）。
以上每组中的两个算式虽然不同，但计算结算是相同的。针对这一发现，教师引导学生进行了抽象概括：分母是相邻的非零自然数，而分子都是1的两个分数，它们相减和相乘的结果相同。教师追问：“谁能举出一组有同样规律的算式？”
W生充分对比观察题目的核心本质，在发现中探究，在探究中提炼，得出抽象化的结论，随后教师又从事物的本质属性出发，引领学生在规律的再运用中获得充分的感知和体验。
二、借助类型迁移，在概括中拓展思路
在数学教学中，迁移包括了已掌握的知识与新知识存在的本质联系，依托本质规律可将已有知识与新知识进行相应的勾连，以及对学生认知结构中的已有知识进行重组。因此，教师要引导学生联通知识间的内在联系，关注知识间的本质特征，从而实现数学知识的正迁移。
如，学习“长方体表面积”后，教师出示练习：一个长方体，长和宽都是4厘米，高是8厘米，求这个长方体的表面积？大多数学生都能利用长方体相对面的面积相等的特征，先算出其中3个面的面积，再乘以2就得到长方体的表面积，算式为（4×4+4×8+4×8）×2=160（平方厘米）。也有学生利用底面和顶面相等，且相加等于1个立面，因此只要算出5个立面面积就得到长方体的表面积，算式为4×8×5=160（平方厘米）。还有学生把4个立面分别看成2个底面，又因为底面和顶面相等，那么10个底面面积之和就是这个长方体的表面积，算式为4×4×10=160（平方厘米）。学生借助对长方体概念的理解和迁移，运用多种不同的方法，最终得出相同的答案。
数学知识是一个有机的整体，各部分知识并不是孤立存在的，同样的问题从不同的视角分析，所得出的方法也不一样。在实践应用中，学生将已有认知灵活运用，并在有效重组中优化了数学认知结构，实现了结构重组性迁移。
三、强化梳理意识，在概括中强化联系
梳理能力是一种数学习惯，更是一种数学素养，它可以帮助学生将所学知识系统化、清晰化。教师应该注重培养学生的梳理意识，为数学核心能力的提升奠基。
如，教学“异分母分数加减法”时，教师出示一道计算题：-。学生对异分母分数的加减法还比较陌生，教师引导学生对所学知识进行了相应的梳理，学生在对知识的回顾中，相机进行了同分母分数相加减的练习和异分母之间的通分训练。这时教师提示：“既然这两种题目都会做了，那可不可以运用通分的方法，使计算题中分数的分母相同呢？”新的知识顺着教师的有序梳理，已经清晰地展现在学生面前，并串起了通分知识和同分母分数相加减之间的有效联系。
学生对原有经验和知识的开发、提炼，是建立在充分理解和真正掌握数学知识、运用数学知识基础上的，是学生历练抽象概括能力的重要途径。
1．在数学概念教学中培养概括能力
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一
种反映形式，即一种数学的思维形式。在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。数学概念具有高度的概括性，通过对概念的教学，对培养学生的抽象概括能力有很大的作用。数学概念的教学应当是一个过程问题，不应是一个简单的结论问题。先通过实例、图形对概念获得感性认识，有一个具体形象，然后观察这些实例、图形进行分析、比较，抽象概括出概念的本质属性。
如在引入异面直线所成角和距离概念时，先复习平面几何中相交直线的位置关系由角的大小确定、距离是由平行直线的公垂线段长短确定这一知识，再通过旋转和平移两根竹针或直尺，使学生在视觉上形成角度大小和距离远近的变化直观形象，然后把空间的角的度量问题转化到同一平面的角的度量问题，就比较利于学生掌握这个概念了，这对后面的二面角的大小度量的教学也能产生启发作用。
再如说，学习棱柱概念的时候，可以设计这样一个流程：
1．1 先举出一些物体，如砖头、三棱镜、教室等，引导学生通过观察找出这些物体的共同点（两面平行，其余平面相邻四边形的公共边平行等）。
1．2 通过抽象，提出物体本质属性的各种猜想和疑问，运用转化、举反例（如棱台）和特例（如方砖被一个平面斜截后仍然是棱柱）等方法对于题设进行证明和推断，肯定或否定某些共同属性，以确认其本质属性。
1．3 让学生举出实例，将上述本质属性类比推广到同类事物，概括形成棱柱的概念，并用定义表示。在这个过程中，可将零散的、杂乱的知识系统化、条理化，概括成带有规律性的结论，以促进学生概括能力的提高。
1．4 再运用概念得到棱柱的一个判定方法：（1）选定一组平行平面作为底面；（2）按概念考察其他平面，若符合则是；若不合，可再选另一组平面重新用定义验证，直到最后得出结论。这样对学生认识和运用概念都会达到比较理想的效果。
可见，恰当的概念的教学是培养学生抽象概括能力的重要途径。
2．在解题教学中培养概括能力
有些学生盲目地陷入题海，仅满足于解出某道题，而没有透过这道题，总结、归纳出这类题的解决方法，揭示其规律，结果题目做得不少，但解决问题的能力未得到应有的提高。教学的最终目的是为了不教，为了学生学会学，教师在教学教程中，结合教学内容，适当设置变式问题，引导学生由特殊到一般的去归纳解题方法规律，实现从能解一道题到能解一类题的能力迁移，提高教学的有效性。如有限制条件的排列、组合问题。若剔除表面形式不同的题设，概括整理为几种常见的数学模型，灵活地选用直接解法与间接解法，将有效地解决这类问题。又如对组合性质的拓展教学中这样设计例题和训练题目。
例1.计算
变式训练（1）
（2）
归纳猜想：（1）
（2） 比较容易得出带有规律性的结论：
在运用平均值不等式求最值中，如何构造和或积为定值时，也可以对具体的每道题的解法进行概括为一类题的方法
例2.（1）由求 的最小值，
分析：
，进而引导学生自主思考发现形如
这样一类题的解法：
（2）由
， 启发学生归类得出形如
， 这一类题的解法。
再如用构造法求递推数列通项公式时，也可能由特殊到一般的去归纳解法：
例3.（1）在数列 中，
，求通项公式 。
解：原递推式可化为：
①
比较系数得 ，
①式即是：
则数列 是一个等比数列，其首项 ，公比是2.
即
类型概括抽象： 型，可化为 的形式求解.
（2） 若数列 中， 是数列 的前 项之和，且 ，求数列 的通项公式是 .
解:递推式 可变形为
（1）,设（1）式可化为
（2）,比较（1）式与（2）式的系数可得 ，则有 。故数列 是以 为首项，3为公比的等比数列。 。所以 。
当 ，
。
数列 的通项公式是
。
类型概括抽象： （A、B为常数）型，可化为 的形式。
通过预设情境，引导学生概括方法，发现一般规律从而培养学生的抽象思维能力。因此，抓好解法的归纳、总结，非常利于学生概括能力的提高，促进学生的思维向更纵深的方向发展。
3．在公式和定理原理的教学应用中培养概括能力
公式的应用是对学生将具体的抽象到解题中的一个应用，对公式的概括能力也是非常重要的。在教学中不免存在学生记不住公式或记住公式不会应用的现象。为此可以帮助学生概括一些公式定理运用的方法步骤，使学生对公式定理、原理的运用更加熟练准确。
如三垂线定理应用步骤可以概括为：一定二找三证明；平均值不等式运用可以概括为：一正二定三相等。立体几何计算题解题步骤可以概括为作、证、算等等。
又如在“学习三角函数”的时候，对诱导公式的记忆就使很多学生感到困难。有一句在高中数学教育界流行的话：“奇变偶不变，符号看象限”对诱导公式进行了高度的概括。在三角函数求周期、最值、单调区间时常常要用到化同名同角这一方法，化同名同角的各种技巧可以概括为四句要诀：高次就降幂，见积化和差，见和差化积，化了再分析。
又如学习排列组合、二项式定理时：加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？可以归纳为：“加法分类，类类独立；乘法分步，步步相牵”。
这种对相应知识的归纳、概括能力不仅是学习的需要，在今后的生活和工作中也是非常重要的，教师在教学中要逐步培养学生的这种归纳概括能力。
4．在类比和联想中，培养学生的抽象概括能力
数学的完整性和严密性，使得数学结论和方法都具有相关性和相似性，在课堂教学中教师要充分利用这些相关性和相似性，采用类比和联想的方法，才能让学生自己探索和发现许多新的结论或新的方法。在教学中教师常常让学生根据已有的公式、性质，类比、猜想未知的公式和性质。先类比，然后提出问题，最后给予证明。这样得出的结论不仅便于学生记忆，学生通过这些活动，不仅挖掘了自己的潜能，增强了学习的自信心，提高了学习数学的兴趣，更享受到了成功的喜悦，为今后的创造性学习打下了良好的基础。在解析几何解题中，可以进行曲线之间的类比，如椭圆与双曲线类比：
例4.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值；试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证明.
分析： 类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为 、 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值。
证明：设点M、P的坐标为（ ）、（ ），则N（ ）。
因为点M（ ）在已知双曲线上，所以 ，
同理 ，
则 （定值）。
本题以椭圆、双曲线为载体，可以通过类比推理求解。
例5.已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是 。
我们可以作如下分解：
问题1. 已知函数 在区间 上单调递增，若则满足 的 的取值范围是 ；
问题2. 已知函数 在区间 上单调递减，若 则满足 的 的取值范围是 ；
这样，把问题分解成更简单、更基础的问题，然后归纳到一起解决问题，便于寻找解题思路。
例6.在推导二项式 的展开式时，可以叫学生先展开二项式 、 、 ，并将展开式按 的次数进行降幂排列，观察各项系数的变化规律，然后让学生通过类比归纳概括出二项式 的展开式。
上面从几个方面对怎样培养学生的数学概括能力作了一些探讨。概括能力就是抓住问题本质的能力，掌握解决问题规律的能力。只要长期努力，常抓不懈，学生的概括能力必定能提高，学生应用数学知识解决问题的能力也必将提高。
在教学中，教师应当根据学生主体性的原则，在解题后引导学生概括出每题的解题过程中涉及的常用思想和方法，对解题过程有个反思，学会抽象地概括。
概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师还应当引导学生把概括的抽象结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的原有认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。
一、强化数学概念教学，提高抽象概括能力
学生在数学概念的学习过程中便是一个抽象概括能力培养的过程，学生抽象概括能力的培养对其数学成绩的提高有着莫大的帮助，高中数学知识由纷繁复杂的抽象知识点组合而成，在高考中也对学生抽象逻辑思维能力进行考查。因此，在高中数学教育中，教师要重点从数学概念出发对学生的抽象概括能力进行强化，包括概念产生的背景、产生的过程等方面的教学工作。
例如，在学习“空间直线与直线间的位置关系”这一概念时，教师可从以下几个方面对学生的抽象概括能力进行培养：第一，直观感知法。教师可以引导学生进行自主实践，拿出两根笔在空中进行任意方向的摆放让学生自己感受空间直线之间位置的关系是什么样的[1]。之后，教师还需要让学生将这一抽象概念与日常生活中常见的事物联系在一起，如立交桥、电视塔和建筑物等事物，通过这些边角的对比来更进一步了解空间直线中存在的位置关系，这样不仅提高了学生的抽象概括能力，更?学生的空间想象能力得到了强化。第二，分析综合。在现实世界不同直线位置的关系和共同点进行分析综合，可以通过是否存在着公共点来判定它们是平行还是相交关系。第三，思辨认识。教师在对概念进行教学时要让学生自主组织语言对概念进行确认，从而建立空间直线的图形，并形成综合的概念。
二、课后知识点概括教学，提高学生抽象概括能力
高中知识点抽象复杂系数较高，在每一章节新的知识点教学时都会产生各种各样的问题，教师在课堂教学完毕后需要对学生课上所反映出来的问题进行总结分析，并做出具体的概括报告。值得强调的是，这里教师对教学问题的概括不仅是对课本知识点的概括，还需要帮助学生解决问题，并利用浅显易懂的方式让学生进行消化理解。
例如，教师在讲解“比较法证明不等式”的知识点时，通常情况下可以运用“作商法”“作差法”进行比较，此外，这两种方法往往也可以在抽象函数单调性知识点的证明中进行使用，但是学生在学习时很难在头脑中产生这样的思想意识。为此，教师可以很快解释清楚，并将两种思路讲授完进行归纳[2]。
1.如函数f（x+y）=f（x）?f（y）中，当x>0， f（x）
2.如函数f（x?y）=f（x）+f（y）中，当x>1， f（x）
通过上诉的概括之后，学生便对基本抽象函数的两种形式进行了掌握以及学以致用，在之后的应用中也能够让学生的抽象概括能力得到强化。
三、强化习题训练教学，提高学生抽象概括能力
数学教学课标明确指出，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。那么，在数学课堂教学中应当如何贯彻教学思想，更加有效地培养学生的数学思维能力呢？以下从发展心理学、教育心理学的角度谈谈看法。
一、数学概括能力的培养
在数学概念、原理的教学中，教师应创设教学情境，为学生提供具有典型性的、数量适当的具体材料，并要给学生的概括活动提供适当的台阶，做好恰当的铺垫，以引导学生猜想、发现并归纳出抽象结论。这里，教师铺设的台阶是否适当，教师设计教学情境时，首先，应当在分析新旧知识间的本质联系与区别的基础上，紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的，安排猜想过程，促使学生发现内在规律；其次，应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系，并确定同化（顺应）模式，从而确定猜想的主要内容；再次，要尽量设计多种启发路线，在关键步骤上放手让学生猜想，使学生的思维真正经历概括过程。
概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师应当引导学生把概括的结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激。
在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性；还要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。
数学的表现方式是形式化的逻辑体系，数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。因此，教师应当引导学生学会形式抽象，实际上这是一个高层次的概括过程，在这个过程中，学生的逻辑推理能力可以得到很好的培养。
必须指出的是，概括能力的培养，不论采取何种教学方法（发现法或讲授法），关键是要有正确的教学思想，使学生真正成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。但是，在教学实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与培养学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。
因此，在数学教学中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确性。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。
二、重点培养学生的思维品质
数学的性质决定了数学教学既要以学生思维的深刻性为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。对于那些容易混淆的概念，可以引导学生通过辨别对比，认清概念之间的联系与区别，在同化概念的同时，使新旧概念分化，从而深刻理解数学概念。通过变式教学揭示并使学生理解数学概念、方法的本质与核心。在解题教学中，引导学生认真审题，发现隐蔽关系，优化解题过程，寻找最佳解法等等。
数学思维的敏捷性，主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，另外还要使学生掌握速算的要领。例如，每次上课时都可以选择一些数学习题，让学生计时演算；结合教学内容教给学生一定的速算要领和方法；常用的数字，如20以内自然数的平方数、10以内自然数的立方数、特殊角的三角函数值、无理数、π、е、lg2、lg3的近似值都要做到“一口清”；常用的数学公式如平方和、平方差、立方和、立方差、一元二次方程的有关公式、对数和指数的有关公式、三角函数的有关公式、各种面积、体积公式、基本不等式、排列数和组合数公式、二项式定理、复数的有关公式、斜率公式、直线、二次曲线的标准方程等等，都要做到应用自如。实际上，速算要领的掌握和熟记一些数据、公式等，在思维活动中是一个概括的过程，同时也训练了学生的数学技能，培养学生的能力。
关键词：高中数学；创新发展；学生思维；新方法
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）01-178-01
培养学生思维力的途径有很多，但对在高中阶段的学生来说，学习课程门类多，学习任务重，而高中的数学教学无疑是发展学生思维的重要途径。对高中的数学学科教学来说，发展学生的思维能力就是它的一个重要内容与任务。然而在传统的高中数学教学上往往忽略了这一方面的内容。在以前应试教育的大背景下，和学生一切为了高考的目标以及“题海”战术的压迫下，高中发展学生思维的数学教学方法常常被忽视。数学除了能为我们解决实际问题提供方法外，更为重要的是提供一种数学的想问题的思维，这种思维不仅仅只在与数学有关的学科会体现到，在语文、历史、政治、英语等学科也会体现。一旦掌握了这种思维，对于学生今后的学习工作有非常重要的意义。所以，学校要重视培养学生思维的数学教学，要积极有效地组织高中发展学生思维的数学教学方法的探究。下面主要就高中发展学生思维的数学教学新方法浅谈一下自己的见解。
一、高中在发展学生思维的数学教学中要营造积极的思维情境，让学生在潜移默化中得到思维的锻炼
思维的概念是指人脑对客观现实概括的和间接的反映，它反映的是事物的本质和事物间规律性的联系。思维是人脑对客观现实的反映。思维所反映的是一类事物共同的、本质的属性和事物间内在的、必然的联系，同时思维又是一种复杂的心理过程，是由人们的认识需要引起的。
在高中数学的教学当中，要从思维的概念和特性出发，首先就要创设一种积极的学习氛围，使学生自觉产生一种持续学习的意愿，从而引起他们在认识上的主动需要。学生只有有了强烈的求知欲望，才会积极主动地思考。然后通过设置有关问题和传授过程，让学生自己能利用旧有的知识经验和认知结构，能引起与旧有知识的认知冲突。正是通过这种冲突方式引起学生思维上的触动，久而久之，学生对某一问题的冲突越大，其探索求知欲也就更大。在心理学科上认为，认知冲突是学生的已接受到的知识与新学到的知识之间的冲突式差别，这种冲突会引起学生的兴趣和吸引他们的注意力，使其更加地投入到高中数学课堂的学习当中，并促使学生们注意和探索的行为本身。课堂教学中有了这样的认知冲突和学习气氛，就有了积极的思维情境，学生也就有了展开思维的动因、时间和空间，从而有助于学生在潜移默化中思维能力得到培养和提高。
二、高中在发展学生思维的数学教学中要注重培养学生的数学概括能力
许多人觉得，数学作为一门思维抽象的学科，不同于语文、历史等学科可以进行文字上的概括。其实不然，高中在发展学生思维的数学教学中要注重学生的数学概括能力的培养。百度百科上对人的概括能力的解释是，从心理学的角度讲，概括就是把不同事物的共同属性（本质的或非本质的）抽象出来后加以综合，从而形成一个日常概念或者科学概念。例如，各种植物的果实、形状、颜色、味道都不同，但是，它们都长在植物上，内部都有种子，通过概括把这两个基本属性综合起来，就形成了果实的概念。概括是在抽象的基础上进行的综合。概括在智力活动中的作用非常重要。没有概括就没有概念，没有概念就无法进行逻辑思维。所以鲁宾斯坦说：“思维是在概括中完成的。”思维的最显著特征是概括性。
培养学生的对数学的概括能力是培养学生思维能力的必然要求。培养学生数学的概括能力，就是要学生把知识点进行归类总结，引导学生对数学问题进行归类，对数学的解题方法进行归类，这样不仅有助于学生的理解知识内容，有益于加强记忆，还可以起到举一反三，触类旁通的效果。
三、高中在发展学生思维的数学教学中要重视数学阅读能力的培养
大多数人会认为，阅读能力是语文学科上才讲到的，一般就是指语文的阅读能力，或顶多算加上历史、政治等人文学科才会注重阅读能力的培养。这种观点和一开始对培养学生的数学概括能力一样也是错误的。思维能力也不仅仅只表现为逻辑思维等能力，它还可以是语言、阅读、写作上的，思维能力是一个人的综合方面，从而在发展学生的思维能力时也不应该是单一方面的。数学的阅读能力又了对数学概念的理解能力，对公式的掌握能力，除此之外，还包括了数学问题的审题能力、理解题意的深层涵义的能力以及答题的能力。由此可见，数学的阅读能力对学生思维的培养起到重要的作用，只有有了理解数学知识点、数学问题的思维能力，才会有进一步对数学问题进行深入探究的能力。
四、高中在发展学生思维的数学教学中要注重数学思想方法的教学
高中在发展学生思维的数学教学中要注重数学思想方法的教学，从思想的高度上引导学生提高数学的意识。在高中阶段，随着学生身体和心理的进一步发展，这一时期也是他们形成初步的世界观、人生观的时期。他们对数学的学习也不像初中时期仅仅停留在数学知识的学习上，而是可以对一些数学思想作为补充、兴趣式的学习。这也是新课改下的高中数学教学的要求，不再只是要求学生掌握单纯的数学知识点。学生通过数学思想方法的学习，可以让他们换一种方式来看对世界的看法，其实这也是高中发展学生思维的一种方式方法。
注重学生数学思想方法的教学，就要像语文学科那样，老师要拓宽学生对数学的知识面，可以通过介绍一些世界著名思想家的思想方法，来帮助学生形成自己的数学思维，乃至其它的思维能力；还可以阅读一些数学名著，学生在不知不觉的潜移默化中也会有许多的收获。
参考文献：
[1] 马C能.培养数学思维能力的途径[J].广西教育，2004（2）
对于小学数学概念的有效教学，不少教师都进行了探讨、归纳，形成了许多行之有效的措施，这自然值得我们借鉴。但在教学中，数学概念、原理是极其抽象概括的，要形成概念、揭示原理，把研究部分对象所得到的结论整理推广到同类全体对象，就必须在积累感性认识、掌握本质属性的基础上，及时引导学生运用完整、简洁、准确、严密的语言或公式来表达。那么，如何引导学生用准确、完整、简洁、严密的语言来理解概念呢？
1.运用填空法，培养概括的扼要性
有些概念单纯用语言表达，语言元素较多，句子较长，对小学生来说，领会和运用起来不太便利。教学时，我们可以只要求学生理解，学会用语言完整表达，教者可以抓住要害，设计填空练习，让学生突出地填写部分关键性词语，明白概念中的核心成分。
例如，教学乘法分配律时，可设计成填空的形式：“两个数的和与一个数相乘，可以先把两个加数（ ）相乘，再把两个积（ ），这就叫做乘法分配律。”学生在真正弄懂了意思的基础上，填成两个加数“各自与这个乘数相乘”也好，“分别（单独）乘这（一）个数”也好，都是不用计较的，不必强求一字不差的所谓“规范”表达。这样做，既减少了冗长的叙述，降低学生概括表达的难度，又突出其中运算方法和顺序变化这一核心内涵。教者设计的填空练习法，有利于引导学生对数学概念、规律和原理的快速理解，促进其概括能力的形成。
2.运用选词法，培养概括的准确性
语言是思维的外壳。要正确领会数学概念，叙述的语言就必须准确。在引导学生学习数学概念时，教者要十分注重引导学生像学习语文那样善于“咬文嚼字”“推敲词句”。数学教师可以通过组织对相近词多重选用的方法，来训练学生把握数学概念、法则等结语的真切含义。选词中不讲百里挑一，起码也得几者挑一，求得准确用词，培养学生概括思维的准确性。
例如，教学三角形概念，引导学生尝试揭示概念本质时，可这样板书：由三条线段（ ）成的图形，叫做三角形。让学生七嘴八舌地分别提出“组”“围”“拼”“连”等几个词，然后再让大家说说各自的理解，从中确认、选填一个合适的词。这样做，就能把三条线段的分离状态、折线状态、花束状态、不等号形的交叉状态与首尾依次相连的封闭状态相区别。这样既能准确概括，又能帮助学生学会运用概括思维中的比较、推敲，养成用词审慎，务求形象与抽象相统一的确切思考表达。
3.运用比较法，培养概括的严密性
概念的限定是很严密的，稍有疏漏，就可能偏离本来的概念而成为另一个概念。比如，正方形与长方形、平行四边形，正方体与立方体，等腰梯形与直角梯形等等。为了培养学生概括的严密性，可以把两个或几个相似的概念放在一起，引导学生填空或选词，作比较理解，加强认识。这种比较有利于学生同时掌握多个概念。
其实，选词法本质上也是比较，只不过不是比较不同的概念，而是比较提供给同一概念的不同词语。如，教学小数的性质，教师引导学生概括概念时，可以出示类似语文、美术教学的留空（布白）式板书：小数的（ ）添上或去掉“0”，小数的大小不变。让学生各自从“后面”“末尾”“中间”和“最后”等几个词中选填一个，这就是在词语的比较中使学生正确地概括和理解小数性质精确的意义，体会可以变动的“0”的确定位置，明确地否定与“末尾”相近的其他表达的具体形态，在思想上划清界限，提高概括思维的清晰程度，加强思维的严密性。
著名发展心理学教授林崇德在其所著《教育与发展》中指出：“思维过程的发展是思维过程的不断完整化、简约化和优质化的过程，即思维过程的‘完善化’过程。”小学数学概念的教学，要破除传统的“知识至上”的教学观，着眼于活化、迁移和生发学生的经验和知识，进而发展学生抽象概括思维的优质化品质，努力促成他们思维的完善化。
人教版课标实验教材《数学》七年级上册“合并同类项”这节课,为如何培养学生的概括能力提供了很好的范例。
这节课共安排四个环节。第一个环节是情境创设,教师指着讲桌上凌乱的几本书、几本本子、几支笔,说:“谁能帮助老师把讲桌整理一下?”在两个学生按不同方式摞放好后,教师接着问:“哪种方法比较科学,为什么?”引导学生初步感知“分类”概念。第二环节是游戏引入。教师给八位同学每人分发一张纸片,正面是形状大小不同的几何图形,有圆、椭圆、四边形、三角形等;反面是不同的代数式,有-5n、6xy、8n、-7a2b、-xy、2a2b、0.2x2y3、-3y3x2。游戏规则是请拿着纸片的同学分别根据正反面的内容找朋友。第三环节是概念归纳。结合游戏中的几对代数式,引导学生观察、分析、比较,得出同类项的概念,并通过例题训练加深对概念的理解。第四环节是法则生成。通过计算长方形的周长之和,类比分配律得出合并同类项的法则,并作例题巩固。
概括是指人们感知事物获得相关信息,通过分析、抽象、综合,将其本质、非本质属性归结为概念的逻辑思维过程。概括能力是较高层次的学科能力,它包含再认再现、阅读理解、分析与综合、归纳与抽象等学科能力。下面结合本节课的内容谈谈培养概括能力的基本方法。
1.运用类比法,培养概括的敏感性。为了提高学生对同类项概念的敏感度,教师首先设计了一个分类的情境,让学生给日常生活中经常见到的物体进行分类,使他们懂得相同用途的物品可以分为一类,初步感知“同类”的概念。然后通过游戏环节,让学生进一步掌握类化的方法,再引导学生把课本、本子、笔、几何图形等具体物体的名称(这些非本质属性)去掉,把四对代数式共同的本质属性“字母和字母指数”抽象出来,再通过“三个相同”把本质属性明确下来,于是就形成了“同类项”的概念,即“所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的几个单项式”。
2.运用整合法,培养概括的完整(系统)性。为了让学生概括准确完整,教学时,教师设计了两组习题,即含有字母的代数式和不含字母的常数,通过训练先后得出两个结论,即“所含字母相同,相同字母的指数相同”;“几个常数也是同类项。”在此基础上,引导学生把“几个常数也是同类项”这个结论整合到同类项概念中,从而使概念要点全面,顺序合理,内涵完整。
3.运用问题法,培养概括的条理(逻辑)性。数学概念和原理是严谨且具有一定的逻辑结构和顺序的。要使概括出的概念和原理准确、合乎逻辑,就得有正确合理的问题作指引,引导学生避开思维盲点,找到准确的概括角度和明晰的概括线索,避免概括出一些片断的、零散的或者想当然的结论。例如,本节课教师就设计了这样三个问题引导学生思考:(1)6xy的“朋友”是- xy,为什么?(2)0.2x2y3与-3y3x2是不是“朋友”?(3)-125和3是不是同类项?三个问题指向明确,能够启发学生弄清归纳推理的思路,使零散分布的素材从无序变为有序,形成完整的概念体系。
4.运用填词法,培养概括的简洁(针对)性。填词法是数学概括的基本方法,也是数学概括的典型形式。数学语言是数学概括的体现。数学概念要表述流畅,叙述的语言就必须精练恰当。为培养概括的准确性,在引导学生概括时,通常采用填关键词的方式。例如,推导合并同类项法则时,教师提问:观察上述计算过程,你能得出合并同类项的方法吗?学生讨论以后,屏显:合并同类项法则,把______相加,所得的结果作为______,______不变。这样做,既使概念简洁精练、清楚明了,又突出运算方法,加深了学生对法则的领悟。
5.运用反例法,培养概括的缜密(严密)性。概括是依存于每个学生文化心理结构的逻辑思维,要使概括过程科学、稳定、严密,就需要激起学生内在的认知冲突,就需要进行反例训练。教学过程中教师设计三个有代表性的例子:(1)x3y2与0.2x2y3是不是“朋友”呢?(2)6xy和0.2x2y3所含的字母也相同,它们是不是“朋友”呢?为什么?(3)能否用乘法分配律计算代数式2a+3;2a+3a+1?为什么?通过学生讨论得出:第一、二个代数式不是。第三个代数式中2a和3a可以合并为5a,不能和1合并。因为它们不是同类项。这样的反例设计,让其本质属性充分展示出来,使学生能够关注“必须是相同字母的指数相同”“只有同类项才能进行合并”,提高概括的严密性。
数学概括是数学思维的核心。要形成概念、揭示原理,就必须有概括。训练学生在整理材料、获取有效信息、积累感性认识、掌握本质属性的基础上,用准确、完整、简洁、严密的语言或公式来归纳概括的能力,对提高学生数学思维能力,完善知识结构,都有着极其重要的作用。(作者单位:江西省余干县第二中学)■
关键词：培养 应用 剖析 能力
在数学教学中，扎实地掌握好数学概念，是学好数学的基础，关键是把数学概念应用到实际生活中去，在生活中体现数学的美，数学与我们生活息息相关。因此，在概念教学中培养学生的应用能力是一个重要环节，也是培养学生思维能力的重要手段，可使学生终生受益。
长期以来，我在概念教学中十分重视概念的应用能力的培养，引导学生进行探索、分析、抽象概括和“剖析概念的定义”及加深对概念的理解，下面就这三方面浅谈教学的体会。
一、引导学生进行探索、分析、抽象概括归纳定义，如概括梯形概念
利用多媒体要学生在许多大小、形状、位置不相同的梯形中进行比较分析，找出它们的共同属性，即它们都是四边形，并且只有一组对边是互相平行的，引导学生概括时，可提出如下问题。
1.这几个图形都是几边形？
2.四条边可以分为几组？
3.这两组对边各有什么特点？
在此基础上，进一步引导学生用准确的数学语言把梯形的定义概括出来。在概括过程中，学生难免出现语言表达不规范，这是正常现象，教师再引导他们做适当的调整或补充改进，即做必要的指导，就有可能使之达到概括目的。
数学概念是用科学的、精练的数学语言概括而成的，它具有抽象性和严密性，而小学生的思维又是具体的，形象的，虽然所获概念是通过自己主动地概括出来，但毕竟是教师指导下进行的，为了让学生提高概括水平，培养他们概括的自觉性，在概念教学中，还要对概念进行剖析，讲清概念中每个词或每句话的意思，来不得半点含糊，这样做不仅能使学生真正理解概念。
二、对概念进行剖析
当学生概括出方程时，必须对它进行剖析。剖析的方法可用提问的方法。
1.2+3是不是方程？
2.x+1是不是方程？
3.x+1=2是不是方程？
这样学生对方程中每个词或每句话的真正含义理解比较深刻，是在理解概念的基础上培养他们的应用能力。
三、在实际运用中加深对概念的理解
要使学生真正理解概念，有效的途径之一就是强化概念的运用。因此，每教完一个新的概念，我都注意从不同角度，不同方面安排学生运用概念、解决问题的练习。
1.加强“变式”练习
“变式”是指从不同角度、方面和方式变换事物呈现的形式，以便揭示其本质属性。如在学习了三角形的“高”后，我让学生依据高的定义画锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的高线。
这三种不同三角形的高，有的在三角形内，有的却在三角形外，有的就是三角形的两条边。尽管高的位置不同，但每条高都是从角的顶点向对边作垂线长。学生在反复作高的过程中，明白了高的真正含义，提高了自己的作图技能，为进一步学习三角形的性质奠定了基础。
2.利用概念进行说理练习
关键词：数学教学 思维能力 逻辑能力
中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）01（b）-0000-00
1 问题的提出
中学数学教学，不仅要传授知识，更要培养学生逻辑思维，还要培养学生分析问题、解决问题的能力，在众多能力中，我认为，思维能力是核心。
钱学森教授指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学教学就是思维活动能力的教学，是发展学生思维，使学生思维结构有着转化的过程。
2 数学思维能力概述
1.数学思维能力
数学能力是一项综合能力，其中，数学思维能力是其核心。
2.数学思维能力因素
苏联著名心理学家克鲁捷茨基在专著《中小学生数学能力心理学》一书中曾研究提出了数学能力包括一系列从最一般到非常特殊的因素：
最一般的能力，包括勤奋、坚韧的意志、品质和工作能力等个性心理特征；
数学能力的一般因素，即广泛范围活动所必需的思维特征，如思维的条理性、灵活性等；
数学能力的特殊因素，主要有：
①把数学材料形式化，把形式从内容中分离出来，从具体的数值关系和空间形式中抽象出它们，以及用形式的结构来进行运算的能力；
②用数字或其他符号来进行运算的能力；
③概括数学材料，以及在外表不同的对象中发现共同点的能力；
④逆转心理过程（从顺向的思维系列转到逆向的思维系列的能力）；
⑤数学记忆力，这是一种对于概括，形式化结构和逻辑模式的记忆力。
⑥思维的灵活性，即从一种心理运算转到另一种心理运算的能力；
3 数学教学中培养学生的数学思维能力
对抽象概括能力的培养
数学抽象概括能力是数学思维能力，也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情，发现在普遍现象中存在着差异的能力，在各类现象间建立联系的能力；由特殊到一般的能力，善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。
在数学教学中如何培养学生的抽象概括能力呢？我们从以下几方面入手：
（1）教学中将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来，概括为特定的一般关系和结构，要特别注意重视“分析”和“综合”的教学。
如求证：等腰三角形的两个底角相等。一般情况下，我们要证明一个几何命题的步骤，使学生明确命题中的已知和求证，再根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，最后经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明的过程。
本题是一道文字命题，需要学生在理解题意的前提下，画出正确图形，并结合图形，写出已知和求证，再加以证明。但是学生在学习本题时，不理解本题的特殊性，基本上能够写出已知和求证，即写出了已知：在ABC中，CA=CB，求证：∠A=∠B。可证明时却直接运用了定理“等边对等角”，即CA=CB ∠A=∠B 。如何使学生理解本题的题意呢？做到一点带面呢？在教学中，我们培养学生在解题中要注意发掘隐藏在各种特殊细节后面的普遍性，找出其内在本质，善于抓住主要的、基本的和一般的东西，即教会学生善于运用直觉抽象和上升型概括的方法。正确的做法是在作出顶角的角平分线或底边上的高后通过证明全等而得到。
总之，数学教学能力与其他学科相比具有其特殊性，思维性较强，因此，发展数学教学能力是一项重要任务，在发展数学中，我们不仅要考虑一般能力，也要深入研究数学学科，寻找数学思维能力，寻找数学活动规律，培养学生的逻辑能力。
参考文献
[1] 施开先.在数学教学中培养学生的直觉思维能力[J].希望月报（上半月），2007（6）.
[2] 李素贞.数学教学中培养学生逻辑思维能力的途径[J].珠江教育论坛，2010（2）.
关键词:数学教学 数学思维能力 数学思想 解题反思
现代数学论认为,数学教学是数学思维活动的教学。思维活动的强弱,决定一个人的思维品质。在数学课堂教学中,探求问题的思考、推理论证的过程等一系列数学活动都以逻辑思维为主线。数学教学的核心是促进学生思维的发展。教学中,教师要千方百计地通过学生学习数学知识,全面揭示数学思维过程,启迪和发展学生思维,将知识发生、发展过程与学生学习知识的心理活动统一起来。课堂教学中充分有效地进行思维训练,是数学教学的核心,它不仅符合素质教育的要求,也符合知识的形成与发展以及人的认知过程,体现了数学教育的实质性价值。那么,在数学课堂中,如何正确有效地培养学生的数学思维能力呢?
一、创设问题情境,激发思维动机
孔子曰:“学而不思则罔,思而不学则殆”。恰当地表明了学与思之间的关系。在学习中要使学生进入主动学习的状态,首先就是要创设贴近生活的问题情境。教师巧设问题,就在学习内容和学生的求知心理之间创设了一种“不协调”,把学生引入与所提问题有关的情境中,触发学生产生弄清求知事物的迫切愿望,诱发出学生的思维活动。在数学课中想方设法地创设问题情境,让学生处在问题情境中,从而保持认真、主动的学习态度,激发学生学习的兴趣。
创设问题情境就其内容形式来说,有故事法、生活事例法、实验操作法、联系旧知法等。心理学的研究表明:学生的思维是否活跃,除了与他们对学习某些知识的目的、兴趣等有关外,主要取决于他们是否有解决问题的需要。“不愤不启,不悱不发”,“愤”和“悱”就是学生对于知识的“心求通而未得”“口欲言而不能”的急需状态。在这种情境下,教师所讲授的原理、论证,所提出的问题,都能引起学生高度的注意,积极地思维,并产生克服困难探求知识的愿望和动力。因此,在教学中教师若能给学生创设这种“愤”和“悱”的情境,就能使学生的思维活跃起来,从而能生动活泼地、主动地去探求和掌握知识。例如在讲授等比数列的前n项和时,可以用有关国际象棋的故事引入,激发起学生思维的积极性,引导他们在亲身体验中探求新知,开发智力潜能。
二、对比求异,开拓学生的思维
为了激发学生的思维兴趣,在教学中对学生掌握的知识适当地进行对比求异,利用知识之间的区别和联系,启发学生去发现问题,从而寻求解决问题的办法。
例如:在讲完等差数列和等比数列的求和公式后,要对一些特殊的数列进行求和,我先让学生练习下面的题目:
1.(4+1)+(42+2)+(43+3)+…+(4n+n)
4.1×3+2×32+3×33+4×34+…+n×3n
5.设Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1・n,求S50,S53,Sn.
这些题目,直接求和有一定的困难,但是经过拆项分组、分母有理化,裂项相消,错位相减,并项求和,便很容易解决,而且每个题目都有各自的特点,不能用同一模式去解。所以,通过观察、分析、对比后,同学们发现了各类题的求解规律。既复习了学过的知识,又拓展了学生的思维,让学生掌握了新知识、新方法。
三、渗透数学思想,提高思维策略水平
数学在发展过程中,形成了一系列反映自身特点的数学思想方法,这些方法一旦为学生所掌握和运用,将会长久地发挥作用。数学的这种文化价值,在提倡素质教育的今天,有着独特的作用。因此,教师在双基教学中,应根据数学知识的内在联系和规律,有计划、有目的地渗透相应的数学思想。比如类比的思想,由于事物之间具有诸多的相同或相似,所以我们可以用其中的一个或一类问题的研究去推知另一个或另一类问题所具有的相似特殊性。这种思想的渗透,不仅可以提高学生的解题能力,而且能大幅度提高学生思维的广度。比如把高次方程转化为低次方程,分式方程转化为整式方程、将复杂图形转化为简单图形等,都体现了转化与化归思想。在教学中,根据学生的认知结构,渗透转化与化归思想,逐步培养学生化难为易,化未知为已知的思维品质,久而久之必能达到润物细无声的效果。在解题教学中,以数学思想为指导,寻求解题的途径与方法,强化数学思想方法,提高学生的思维策略水平。
四、提高概括水平,发展思维能力
数学思维的第一特征就是概括性,学习和运用数学知识的过程都是概括的过程,迁移的实质就是概括。没有概括,学生就不可能形成数学概念,因而也不能理解和掌握由数学概念所引申的定义、定理、公式、法则等知识,也不可能运用数学知识去解决各种问题;没有概括,学生的数学认知结构就无法形成;没有概括,学生的数学能力就难以形成,这是因为数学能力是以概括为基础的,数学能力最主要地表现在将现实中的问题概括成为数学问题,再概括出其中的数量关系,再概括到某个数学模式上去,进而使问题获得解决。
在概括能力培养的过程中,教师应设计教学情境,明确概括路线,引导学生猜想,发现。教师设计教学情境时,首先应当在分析新旧知识之间的本质联系与区别的基础上,紧密围绕揭示知识间本质联系这个目的,安排猜想过程,促使学生发现内在规律;其次应当分析学生已有数学认知结构与新知识之间的关系,并确定同化模式,从而确定猜想的主要内容;再次应设计多种启发路线,在关键步骤上放手让学生猜想,使学生的思维真正经历概括过程。数学方法及思维模式的形成与获得是数学概括性的结果,所以提高学生主体的概括水平,发展思维能力,是提高解决问题效率的一种重要途径。
五、坚持解题反思,优化思维品质
数学是真与美的统一,这里的美指的是在解题思想、解题方法、解题技巧上所体现的数学内在的统一美、对称美、简洁美与对称美等。教学中培养学生坚持解题反思,将有利于学生掌握解题思想、方法和技巧,优化思维品质。如在解题后鼓励学生通过类比、联想等方法,寻求新的解法,培养学生的创新意识与创新精神;在解题后启发学生对解题过程进行分析,减少不必要的环节等,培养学生严谨的思维习惯和追求至善至美的科学精神。
总之,培养学生思维能力的方法是多种多样的,要使学生思维活跃,最根本的一条,就是要调动学生学习数学的积极性,教师要精心设计教学中的每一环节,使学生积极参与到课堂教学中,从而促进学生思维能力的发展。
参考文献:
[1]熊昌明.《在数学教学中培养学生发散思维能力》.四川教育学院学报.2005年10月.
[2]朱孟伟,马士杰.《数学教学中培养学生思维能力训练尝试》.数理化解题研究.2005年第8期.
关键词：数学思想 教学功能 数学活动
“数学思想”作为数学课程论的一个重要概念，我们完全有必要对它的内涵与外延形成较为明确的认识。关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
一、对中学数学思想的基本认识
通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。有人认为中学数学教材可以用集合思想作主线来编写，有人认为以函数思想贯穿中学数学内容更有利于提高数学教学效果，还有人认为中学数学内容应运用数学结构思想来处理等等。尽管看法各异，但只要在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在中学数学教材中起到积极的促进作用的。
二、数学思想的特性和作用
数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
（一）数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
（二）数学思想深刻而概括，富有哲理性
各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题（定理法则等）更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、对立统一等都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
（三）数学思想富有创造性
借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。从而将一种关系结构变成或映射成另一种关系结构，又可反演回来，于是复杂问题被简单化了，不能解的问题的解找到了。如将著名的哥尼斯堡七桥问题转化成一笔画问题，便是典型的一例。有时为了一个模型的建立，一种思想的概括，要付出毕生精力才能得到，这使后人能从中得到真知灼见，体会到创造的艰辛，发展顽强奋战的个性，培养创造的精神。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》明确指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在中学数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
（一）数学思想是教材体系的灵魂
从教材的构成体系来看，整个初中数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条“河流”。一条是由具体的知识点构成的易于被发现的“明河流”，它是构成数学教材的“骨架”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”，它是构成数学教材的“血脉”灵魂。有了这样的数学思想作灵魂，各种具体的数学知识点才不再成为孤立的、零散的东西。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。
（二）数学思想是我们进行教学设计的指导思想
我认为，数学课堂教学设计应分三个层次进行，这便是宏观设计、微观设计和情境设计。无论哪个层次上的设计，其目的都在于为了让学生“参与”到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。一个好的教学设计，应当是历史上数学思想发生、发展过程的模拟和简缩。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。有了深刻的数学思想作指导，才能做出智慧熠烁的创新设计来，才能引发起学生的创造性的思维活动来。这样的教学设计，才能适应瞬息万变的技术革命的要求。靠一贯如此设计的课堂教学培养出来的人才，方能在21世纪的激烈竞争中立于不败之地。
（三）数学思想是课堂教学质量的重要保证
数学思想性高的教学设计，是高质量进行教学的基本保证。在数学课堂教学中，教师面对的是几十个学生，这几十个智慧的头脑会提出各种各样的问题。随着新技术手段的现代化，学生知识面的拓宽，他们提出的许多问题是教师难以解答的。面对这些活泼肯钻研的学生所提的问题，教师只有达到一定的思想深度，才能保证准确辨别各种各样问题的症结，给出中肯的分析；才能恰当适时地运用类比联想，给出生动的陈述，把抽象的问题形象化，复杂的问题简单化；才能敏锐地发现学生的思想火花，找到闪光点并及时加以提炼升华，鼓励学生大胆地进行创造，把众多学生牢牢地吸引住，并能积极主动地参与到教学活动中来，真正成为教学过程的主体；也才能使有一定思想的教学设计，真正变成高质量的数学教学活动过程。
总之，数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓，它对数学教育具有决定性的指导意义。
参考文献：
[1]钟启泉.为了中华民族的复兴，为了每位学生的发展――《基础教育课程改革纲要（试行）》解读[M].上海：华东师范大学出版社，2001.
[2]廖先祥.新课程校本教研问题与指导（初中数学）.陕西师大出版社，2005.
[3]张志勇.关于实施创新教育的几个问题.教育研究，2000，（3）.
数学学了具有学生学习的一般特点外，还有以下几个显著特点。
一、数学学习是一种科学的公共语言学习
由字、词以及它们的各种有机组合所构成的文字是一种语言，它可以帮助我们积累经验、传递信息、交流情感。同样地，由数学符号以及它们的各种有机组合所构成的数学，可以反映存在于现实世界中的一些关系和形式，因此它也是一种语言。
数学语言被广泛运于各门科学。无论是自然科学，还是社会科学，它们中的不少概念要用数学语言来加以精确定义的，如瞬时速度、人口增长率；它们中的不少法则和规律是用数学语言来加以表述的，如体积、温度与压强三者之间的相互关系。对于任何一门科学来说，运用数学语言水平的高低，是这门科学发展水平的一个标志。
由此可见，学生学习数学的过程，其实就是掌握一种科学语言的过程。
二、学生学习数学必须具备较强的抽象概括能力
抽象和概括都是一种思维过程。前者是指将一类对象的某一共同特性与其他特性加以分离；后者是把从部分对象抽象出来的某一属性推广到同类对象中去。没有抽象，就无从谈及概括；而不作概括，抽象也根本无需进行。因此，它们是一对互相依存，不可分离的伴侣。
数学的抽象性与概括性表现在它使用的高度形式化的数学语言，和它的逐次抽象概括过程。由抽象的符号化数字，到更抽象的字母；由抽象的数、式、函数的概念，到更抽象的集合的概念，都是一个逐次抽象概括的过程。
数学学科的这一高度抽象概括特性，十分容易造成学生在数学学习中仅掌握形式的数学结论，而不知道结论背后的丰富事实；仅认识数学符号，而不理解它们的真正涵义；仅能够解答与例题类似的习题，而不会举一反三，灵活运用解题方法。凡此种种，都说明了学生学习数学必须具备较强的抽象概括能力。
三、数学学习最有利于学生演绎推理能力的发展
推理是人类思维的一种重要表现形式。它的基本结构是判断（命题）的组合，或者说是由一个或几个判断推出另一个判断的思维形式。这里，作为推理出发点的已知判断称为前提，由前提推出的判断称为结论。
根据前提与结论之间的关系，推理可以分为演绎推理、归纳推理和类比推理三种。如果前提与结论之间存在蕴涵关系，那么这种推理就称为演绎推理。它的特征是从一般到特殊，并且只要前提真实，推进过程符合规则，那么结论就必定真实。
三段论是演绎推理的最主要形式。它是由两个性质判断作为前提，推出一个性质判断作为结论的一种演绎推理。因为它是由三个性质判断所构成，故名为三段论。
数学是一门建立在公理体系基础上，一切结论都需加以严格证明的科学。数学证明所采用的逻辑形式最基本、最主要的就是三段论。学生在整个中学阶段的数学学习中，反复学习使用三段论来解答各种数学问题，并且还要求他们能够达到熟练掌握的程度，这对于他们演绎推理能力的发展无疑是极其有利的。
四、数学学习是能使学习者形成良好心理品质、科学态度、富于创造开拓精神和良好素质的一种学习
数学是一门特别费思考、严要求、重训练的学科。因此，数学学习有助于学生形成爱科学、有顽强意志、良好的思考习惯和勤于探索、追求真理的科学态度。同时，数学具有很大的魅力，例如数与形的完美统一、和谐简洁，足以把学习者带入一个五彩缤纷的世界，激发他们的学习兴趣，培养他们对科学美、数学美的感受力、鉴赏力以及对美的追求和创新意识；函数与方程的互化思想能使学生体会到数学本身的奥妙。
五、数学学习具有经验性
与形式主义观点不同，经验主义的数学观认为，数学是来源现实世界的，是对人们经验的表述。恩格斯在《反杜林论》中说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”恩格斯在这里明确地指出，数学是来自现实世界的，是“现实的摹写”。数学应理解为来源于现实，但又高于现实。这就是恩格斯对数学本体的辩证观。数学的经验性就集中地表现在数学是对现实的经验的表述。离开经验与现实，就不可能有数学的本体。当然，数学在来自经验的同时，不能只停留在经验上，它是对经验的理性认识。数学的对象是从现实世界中抽象出来的。
数学本体的经验性对数学教育而言，强调数学概念形成于现实世界，以及数学理论的实际应用。因此，数学学习过程中的概念学习，命题、性质、公式、定律等的学习都应该从实际中抽象。另一方面，又强调通过解决现实中提出的问题过程来学习数学。
数学的经验观在我国古代表现为对数学学习以实际(生产、生活)问题为中心的算法学习。例如，在我国古代的数学教科书《九章算术》的246道题几乎全是应用题。如田亩面积计算、各种粮谷的交换、分配问题、土本工程问题、输纳税赋问题、盈亏问题、勾股测量问题，等等。这里没有欧氏几何的推理，而全是对生产与生活中的实际问题的解决。可以说，我国古代对数学学习的主张是典型的问题解决性的。
