时间：2023-05-31 09:50:38
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇动能定理公式，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
动能定理知识点总结
1、什么是动能？它与哪些因素有关？
物体由于运动而具有的能叫动能，它与物体的质量和速度有关。
下面通过举例表明：运动物体可对外做功，质量和速度越大，动能越大，物体对外做功的能力也越强。所以说动能是表征运动物体做功的一种能力。
2、动能公式
动能与质量和速度的定量关系如何呢？我们知道，功与能密切相关。因此我们可以通过做功来研究能量。外力对物体做功使物体运动而具有动能。下面我们就通过这个途径研究一个运动物体的动能是多少。
列出问题，引导学生回答：
光滑水平面上一物体原来静止，质量为m，此时动能是多少？（因为物体没有运动，所以没有动能）。在恒定外力F作用下，物体发生一段位移s，得到速度v（如图1），这个过程中外力做功多少？物体获得了多少动能？
样我们就得到了动能与质量和速度的定量关系：
物体的动能等于它的质量跟它的速度平方的乘积的一半。用Ek表示动能，则计算动能的公式为：
由以上推导过程可以看出，动能与功一样，也是标量，不受速度方向的影响。它在国际单位制中的单位也是焦耳（J）。一个物体处于某一确定运动状态，它的动能也就对应于某一确定值，因此动能是状态量。
下面通过一个简单的例子，加深同学对动能概念及公式的理解。
试比较下列每种情况下，甲、乙两物体的动能：（除下列点外，其他情况相同）
①物体甲的速度是乙的两倍；②物体甲向北运动，乙向南运动；
③物体甲做直线运动，乙做曲线运动；④物体甲的质量是乙的一半。
在学生得出正确答案后总结：动能是标量，与速度方向无关；动能与速度的平方成正比，因此速度对动能的影响更大。
3、动能定理
（1）动能定理的推导
将刚才推导动能公式的例子改动一下：假设物体原来就具有速度v1，且水平面存在摩擦力f，在外力F作用下，经过一段位移s，速度达到v2，如图2，则此过程中，外力做功与动能间又存在什么关系呢？
外力F做功：W1=Fs
摩擦力f做功：W2=-fs
可见，外力对物体做的总功等于物体在这一运动过程中动能的增量。其中F与物体运动同向，它做的功使物体动能增大；f与物体运动反向，它做的功使物体动能减少。它们共同作用的结果，导致了物体动能的变化。
将上述问题再推广一步：若物体同时受几个方向任意的外力作用，情况又如何呢？引导学生推导出正确结论并板书：
外力对物体所做的总功等于物体动能的增加，这个结论叫动能定理。
用W总表示外力对物体做的总功，用Ek1表示物体初态的动能，用Ek2表示末态动能，则动能定理表示为：
（2）对动能定理的理解
动能定理是学生新接触的力学中又一条重要规律，应立即通过举例及分析加深对它的理解。
a、对外力对物体做的总功的理解
有的力促进物体运动，而有的力则阻碍物体运动。因此它们做的功就有正、负之分，总功指的是各外力做功的代数和；又因为W总=W1＋W2＋?=F1·s＋F2·s＋?=F合·s，所以总功也可理解为合外力的功。
b、对该定理标量性的认识
因动能定理中各项均为标量，因此单纯速度方向改变不影响动能大小。如匀速圆周运动过程中，合外力方向指向圆心，与位移方向始终保持垂直，所以合外力做功为零，动能变化亦为零，并不因速度方向改变而改变。
c、对定理中“增加”一词的理解
由于外力做功可正、可负，因此物体在一运动过程中动能可增加，也可能减少。因而定理中“增加”一词，并不表示动能一定增大，它的确切含义为末态与初态的动能差，或称为“改变量”。数值可正，可负。
d、对状态与过程关系的理解
功是伴随一个物理过程而产生的，是过程量；而动能是状态量。动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。
4、例题讲解或讨论
主要针对本节重点难点——动能定理，适当举例，加深学生对该定理的理解，提高应用能力。
例1、一物体做变速运动时，下列说法正确的是 [ ]
A、合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B、物体所受合外力一定不为零
C、合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D、物体加速度一定不为零
此例主要考察学生对涉及力、速度、加速度、功和动能各物理量的牛顿定律和动能定理的理解。只要考虑到匀速圆周运动的例子，很容易得到正确答案B、D。
例2、在水平放置的长直木板槽中，一木块以6.0m／s的初速度开始滑动。滑行4.0m后速度减为4.0m／s，若木板糟粗糙程度处处相同，此后木块还可以向前滑行多远？
此例是为加深学生对负功使动能减少的印象，需正确表示动能定理中各物理量的正负。解题过程如下：
设木板槽对木块摩擦力为f，木块质量为m，据题意使用动能定理有：
二式联立可得：s2=3.2m，即木块还可滑行3.2m。
此题也可用运动学公式和牛顿定律来求解，但过程较繁，建议布置学生课后作业，并比较两种方法的优劣，看出动能定理的优势。
例3、如图3，在水平恒力F作用下，物体沿光滑曲面从高为h1的A处运动到高为h2的B处，若在A处的速度为vA，B处速度为vB，则AB的水平距离为多大？
可先让学生用牛顿定律考虑，遇到困难后，再指导使用动能定理。
A到B过程中，物体受水平恒力F，支持力N和重力mg的作用。三个力做功分别为Fs，0和-mg（h2-h1），所以动能定理写为：
从此例可以看出，以我们现在的知识水平，牛顿定律无能为力的问题，动能定理可以很方便地解决，其关键就在于动能定理不计运动过程中瞬时细节。
通过以上三例总结一下动能定理的应用步骤：
（1）明确研究对象及所研究的物理过程。
（2）对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功，求出这些力的功的代数和。
（3）确定始、末态的动能。（未知量用符号表示），根据动能定理列出方程
W总＝Ek2—Ek1
（4）求解方程、分析结果
我们用上述步骤再分析一道例题。
例4、如图4所示，用细绳连接的A、B两物体质量相等， A位于倾角为30°的斜面上，细绳跨过定滑轮后使A、B均保持静止，然后释放，设A与斜面间的滑动摩擦力为A受重力的0.3倍，不计滑轮质量和摩擦，求B下降1m时的速度多大。
让学生自由选择研究对象，那么可能有的同学分别选择A、B为研究对象，而有了则将A、B看成一个整体来分析，分别请两位方法不同的学生在黑板上写出解题过程：
三式联立解得：v=1.4m/s
解法二：将A、B看成一整体。（因二者速度、加速度大小均一样），此时拉力T为内力，求外力做功时不计，则动能定理写为：
f＝0.3mg
关键词：动量定理 冲量 理解和应用
1 如何正确理解动量定理
动量定理所反映的是物体受到冲量作用时物体动量发生变化的规律，是力的时间积累效应。对于动量定理的理解应该明确以下几点。
1.1 明确牛顿第二定律和动量定理的联系和区别
动量定理虽然可以由牛顿第二定律推导出来，但它不是牛顿第二定律的延伸；它们又都反映了物体运动状态变化与合力的关系，但两者是有区别的。牛顿第二定律只表达了力的瞬时作用效果；而动量定理描述的却是一个过程，反映的是力的时间积累的效果。动量定理与牛顿第二定律相比，有其独特的优点。在公式Ft=mv －mv 中，只涉及两个状态量mv 、mv 和一个过程量Ft，不涉及加速度a和位移s。所以，应用动量定理处理问题时，只要考虑两个状态量mv 、mv 和一个过程量Ft就可以了，不必考虑加速度a和位移s。例如在碰撞问题中，问题间的相互作用时间极短，碰撞力一般是变力，牛顿第二定律无法直接应用。而应用动量定理，可以很轻松地解决问题，无论是求平均作用力，还是求碰撞前后的速度都不是难问题。
1.2 明确冲量的含义及冲量与功的区别
冲量Ft和功FS一样，都是表示过程的物理量，两者都是力的积累效果。所不同的是：冲量是力的时间积累效果，而功是力的空间积累效果；冲量表现为动量的变化，功表示的是动能的变化。例如，要使质量为m的静止物体得到某一速度v，使物体的动量增加mv，则一定要有一个力F作用的过程，一定要经历一段时间t，这就是力的时间积累效果的含义。
1.3 明确冲力的意义
由动量定理Ft=mv －mv ，冲力F= ，就是物体动量的变化率，它表示物体动量变化的快慢程度。常常在求作用时间极短情况下的作用力用这一关系式，其特点有：①作用时间极短；②虽然有恒力的方向，但却是变力，在很短的时间内大小变化可以很大，一般计算其平均值；③数值往往可以达到很大。
1.4 明确动量定理的矢量性
动量定理描述的关系是矢量关系，公式Ft=mv －mv 中，冲量F 是矢量，方向取决于F，动量mv也是矢量，方向取决于v，动量的变化mv －mv 也是矢量，方向取决于v －v 。因此Ft的方向跟v －v 的方向一致，不能把F、v、v －v 三者的方向混为一谈。无论求冲量还是求动量的变化量，都必须用矢量法进行。若是直线上的问题，通过规定方向后，用正、负号处理，不是直线上的问题一定要用平行四边形法则进行。
1.5 明确动量与动能的区别
动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，它们都跟运动的质量和速度有关。物体具有一定的运动状态，它就具有一定的动量和动能。如果物体的运动状态发生了变化，物体具有的动量和动能地将发生变化，而引起这种变化的原因是外力对物体作用的一种积累结果。力对物体作用一段时间t后，力和作用的时间的乘积叫冲量，它对应于动量的变化，这个规律叫动量定理，公式为Ft=mv －mv 。力对物体作用一段位移S后，力和物体在力的方向上发生的位移的乘积叫功，它对应于动能的变化，这个规律叫动能定理，公式为FS= mv- mv。动量和动能的区别还有：①动能是反映物体由于运动所具有的一种做功的本领，表现为机械运动可以转化为其它运动形式的能力的一种量度；而动量是表现为机械运动之间的一种量度。②从物理过程来看，有时动量的变化和动能的变化发生在同一过程，需要同时考虑它们的变化；有时则忽略某种变化只考虑其中一种变化。这说明动量和动能发生变化时反映的过程不同，它们遵守规律也不同。动量的变化遵守动量定理，动能的变化规律遵守动能定理。③动量是矢量，动能是标量。
1.6 明确动量定理适应的参照系
动量定理只适应于惯性系，所以定理中的速度必须是相对于同一惯性参照系的速度，否则就会出错。
2 灵活运用动量定理解答物理问题
应用动量定理的一般思路是：选准研究对象和明确研究过程，对于对象在各过程中的受力、冲量、动量及其在过程中的变化作出全面准确的分析，然后根据所给的条件列方程和求解。下面我们以几个实例来探讨如何灵活运用动量定理。
2.1 运用整体法巧解问题
例1如图1所示，质量为M的金属球和质量为m的木块由细线连接在一起，从静止开始，以加速度a在水中下沉。经过时间t 细线断了，金属球与木块分开；再经过时间t 木块停止下沉。求此时金属球的下沉速度是多大？
解析：以金属球和木块组成的整体为研究对象。因为细线在断开前后，系统所受的合外力不变，始终为F =（M+m）a，作用时间t=t +t ；而木块的初速度和末速度都为0，即动量的增量为0。根据动量定理有：
(M+m)a(t +t )=Mv
解得：v=
这道题如果运用牛顿定律求解是很繁琐的，读者可以试一试。
2.2 运用全程法巧解问题
例2如图2所示，质量为m=2kg的滑块，在水平力F=8N的作用下，由静止开始沿水平面向右运动。已知滑块与水平面间的摩擦因数μ=0.2，若在F作用时间t =6s后撤去，撤去F后又经过t =2s滑块与竖直墙壁碰撞，若滑块与墙壁碰撞的作用时间为t =0.1s，碰撞后滑块反弹回的速度v′=6m/s，求墙壁对滑块的平均作用力？（g=10m/s ）
解析：本题运用牛顿定律一步步进行解答是很烦琐的，我们运用动量定理进行全程考虑，就要简明很多。
取从滑块开始运动到碰撞墙壁后反向弹回的全过程应用动量定理，并取F的方向为正方向，则有：Ft －μmg(t +t )－N t =－mv′
解得：N= = =280(N)
所以得到墙壁对滑块的平均作用力大小为280N，方向与F相反。
2.3 运用动量和动能定理相结合巧解问题
动量定理和动能定理都反映了运动物体的过程量和状态量的关系。动量定理反映了力对时间积累和动量的变化；动能定理反映了力对空间的积累和动能的变化。如果已知或者要求时间的问题一般用动量定理；如果已知位移或者要求位移的问题一般用动能定理。应用两个定理解题时，应选择理想的过程，使始、末状态量和过程量为已知量或者为未知量。
例3如图3所示，A、B为固定的档板，一质量为m的滑块与水平面的滑动摩擦因素为μ。某时刻给滑块一个冲量，使滑块获得初速度v 开始向右运动，依次反复与两块档板碰撞后停下。在滑块与档板碰撞时没有能量损失，求滑块运动的总位移和总时间？
解答：本题若用牛顿定律进行解答很繁琐，涉及求解无穷递缩等比数列的问题。用动量定理和动能定理求解是一个很简单的问题。设滑块所通过的总路程为s；经过的总时间为t。则由动能定理有：
－μmgs=0－ mv
解得：s =。
由动量定理有：－μmgt=0－mv
解得：t= 。
关键词：功；冲量
动能定理W=ΔEk，等式右边表示物体动能的变化，左边表示合外力对物体做的功；动量定理I=Δp，等式右边表示物体动量的变化，左边表示物体所受合外力的冲量。应用区别：
功W和冲量I都表示合外力作用的效果，功W合表示合外力F的作用效果对空间的积累即功是力和物体在力方向上的位移的乘积FS，功是标量但是有正负。冲量I表示合外力F的作用效果对时间的积累即冲量是力和作用在物体上时间的乘积Ft，冲量是矢量，有大小和方向。而所以在应用时也有一些区别。对于功在求的过程中要注意是恒力做功还是变力做功的问题，恒力做功是力和物体在力方向上的位移的乘积，而变力做功就不能简单的只看位移了，要看每一段都做什么功，然后再求总功；而冲量中恒力直接可乘时间，但变力要看不同阶段力的冲量方向是否相同，总冲量应是每一阶段的矢量和。学生常犯的错误主要是：只注意公式的代入与求解，忽视了各自的对应关系；如求功时只注意了力或功的数值大小，而忽视力和做功的正负问题。而求冲量时只注意了力或冲量的数值大小，而忽视力和冲量的方向性，从而造成应用时不断出错。下面从一道题目上进行分析：
例题一：把一个物体竖直向上抛出，若运动过程中空气阻力F大小不变，则物体上升到最高点和从最高点返回到抛出点的过程相比较(假设上升的最大高H，上升时间为t1，下降时间为t2.)，讨论：（1）全过程重力做功和阻力做的功有什么不同？（2）全过程中重力的冲量和阻力的冲量有什么不同？
分析：（1）由于整个过程重力是恒力，全过程位移为零，所以重力做功为零。而阻力在物体上升和下降时方向不同，即是变力，在物体上升和下降时阻力都是做负功，故阻力做功为W=-2FH.（2）由于整个过程重力是恒力，故重力冲量为I=Mg（t1+t2）.对于阻力的冲量上升过程方向向下，下降时方向向上，两过程冲量方向不同。故整个过程阻力冲量需要抵消。但能否完全抵消呢？答案是否定的，原因是上升过程与下降过程所用时间不同。那又如何判定时间的长短呢?一是上升过程中重力阻力方向相同，合力较大。从而加速度也较大。在下降过程中阻力和重力方向相反，故合力较小，加速度也较小。由运动学和牛顿定律可知上升时间较短，而下降时间较长。所以阻力的冲量不能完全抵消，即全程阻力冲量大小等于上升过程和下降过程中阻力冲量大小差的绝对值。
例题二.如图，一球质量为M，从高H处自由下落，不考虑空气阻力，落到地面后并深入h深处停止，求球落入地面以下的过程中受到的平均阻力。
分析:由于球落入地面以下的过程中所给条件是落入深度h，故需要用动能定理求解；求解过程可分段求解，即落入地面前和落入地面后。也可全程利用动能定理，全程重力做功与阻力做功之和为零，以此来列式子求解。
解析一：自由下落阶段设球落到地面前的瞬时速度为V，由运动学知识V2=2gH可得V=（2gH）1/2
设球落入地面以下的过程中受到的平均阻力为F
则由动能定理可得Fh+Mgh=0-（1/2）MV2
解得F=-（Mg+MgH/h）即球落入地面以下的过程中受到的平均阻力大小为Mg+MgH/h，方向竖直向上。
解析二：全过程利用动能定理Fh+Mg（h+H）=0解得F=-（Mg+MgH/h）即球落入地面以下的过程中受到的平均阻力大小为Mg+MgH/h，方向竖直向上。
例题三：如上图，一球质量为M，从高H处自由下落，不考虑空气阻力，落到地面后经过t秒后停下来，求球落入地面以下的过程中受到的平均阻力。分析：本题所给条件是落到地面后的时间，故需要用动量定理求解；求解过程也可类似分段求解，即落入地面前和落入地面后。也可全程利用动量定理，全程重力冲量与阻力冲量之和为零，以此来列式子求解。
解析一：自由下落阶段设球落到地面前的瞬时速度为V，由运动学知识V2=2gH可得V=（2gH）1/2
进入地面阶段设球落入地面以下的过程中受到的平均阻力为F
设竖直向下为正方向，则由动量定理可得
Ft+Mgt=0-MV解得F=-[Mg+M（2gH）1/2/t]
即球落入地面以下的过程中受到的平均阻力大小为Mg+M（2gH）1/2/t，方向竖直向上。
解析二：设自由下落阶段所用时间为T则H=gT2/2得T=(2H/g)1/2
全过程利用动量定理
例1如图1，小球质量为m，用长为l的轻绳悬挂于天花板上的O点.现用某力拉球，使轻绳转过θ角.求：若用水平恒力F拉动，球由P处到达Q处时，球的末速度大小.
分析与解求物体在Q点的速
度v.已知物体在P点的速度为零，由P到Q 的运动过程中只有重力和外力做功，两个力都是恒力，可直接应用动能定理，得
点评应用动能定理解决问题时必须先选择研究对象的运动过程，确定此过程的初、末速度v0、v；再分析在运动过程中这些力的做功情况，代入动能定理公式.切记，要注意功的正负问题.
二、应用动能定理求恒定力
例2质量为m的小球从离泥塘高H处由静止落下，不计空气阻力，落在泥塘上又深入泥塘 后停止，如图2所示.求小球在泥塘中运动时所受平均阻力多大？
分析与解小球由静止下落到泥塘表面的过程中，下落高度为h，只有重力做功mgH，进入泥塘后下落高度h，重力和泥的阻力都做功.重力做正
功mgh，阻力做负功-fh.小球由静止下落到泥塘中静止的过程中，初、末速度都是零，由动能定理得
点评小球在泥塘中受到的阻力为变力，对这道题求平均阻力，可以认为阻力为恒力.
三、应用动能定理求动摩擦因数
例3一个物体从斜面上高h处由静止滑下，紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为s，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面对物体的摩擦因数相同，求摩擦因数μ.
分析与解物体从开始下滑到停止的过程中，只有重力和滑动摩擦力做功.斜面上滑动摩擦力的大小为μmgcosθ，水平面上滑动摩擦力的大小为μmg，都做负功.设物体的质量为m，动摩擦因数为μ，斜面倾角为θ，斜面长为l1，水平面长为l2，有l1cosθ+l2=s.由动能定理得
mgh-μmgcosθ・l1-μmgl2=0.
所以可解得μ=hl.
点评从计算结果看，动摩擦因数为μ与斜面的具体长度没有关系，只与斜面的高度和滑行的水平距离有关.
四、应用动能定理求变力做功
例4如图4所示.在一块水平放置的光滑板面中心开一小孔O，穿过一根细绳，细绳的一端用力F向下拉，另一端系一小球，小球圆周运动的半径为r，现在开始缓慢增大拉力F，使小球运动半径逐渐减小8F.小球运动半径恰好减为r2，在此过程中，绳拉力对小球所做的功为
A.4Fr B.32Fr C.Fr D. 12Fr
分析与解物体在力F的作用下，做匀速圆周运动，设速度为v1，向心力大小等于F，所以
F=mv21r.
物体在力8F的作用下做匀速圆周运动.设速度为v2，向心力大小等于8F，有8F=mv220.5r.
物体由半径为r匀速圆周到半径为r2匀速圆周运动的过程中，只有拉力做功，所以W=12mv22-12mv21.
解得W=32Fr.所以B正确.
点评应用动能定理解决力做功问题，要明确物体的初、末速度.分清物体在此过程中各个力的变化情况和做功情况.
五、应用动能定理求路程
例5如图5所示.ABCD是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC的连接处都是一段与BC相切的圆弧，BC水平，BC=d=0.50 m，盆边缘的高度h=0.30 m.在A处放一个质量为m的小物块，让其从静止出发下滑，已知盆内侧壁光滑，而BC面与小物块间的动摩擦因数为μ=0.10，小物块在盆内来回滑动，最后停下来.问停的地点到B的距离为多少？
分析与解物体在重力的作用下下滑，下滑过程中只有重力做功，无能量损失，在水平面上由于摩擦力做负功，物体的能量减小，所以冲上另外一边的曲面上的高度比原高度低，在另一面的曲面上也没有能量损失，又以原来的速率回到水平面，依次重复.最终将停在水平面的某点.设物体在水平面上的路程为s，物体从A点开始下滑到停下的过程中，初、末速度都为零，由动能定理得
mgh-μmgs=0.
解得s=3 m.
所以，物体在水平面上运动sd=6次，物体停在B点.
点评求物体运动的路程一般涉及摩擦力做功的多过程问题，要分析清物体的末状态及初、末速度.大小不变的摩擦力做功为力与物体路程的乘积.
六、动能定理在物体系统中的应用
例6如图6所示.质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上.A球恰能从斜面顶端外竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，小球落地后均不再反弹.由静止开始释放它们，不计所有摩擦，求：
（1）A球刚要落地时的速度大小；
（2）C球刚要落地时的速度大小.
分析与解在A球未落地前，对于A、B、C组成的系统，只有重力做功.A下落的高度为L，这个过程里重力做正功；B和C上升的高度都为Lsin30°，重力做负功.A落地时A、B、C速度大小相等，设都为v.由动能定理有
mAgL-（mB+mC）gLsin30°=12（mA+mB+mC）v2.
解得v=gL2.
（2）A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统只有重力做功（A、B间的绳没有拉力）.B下落的高度为L，重力做正功；C上升的高度为Lsin30°，重力做负功.B落地时B、C速度大小相等，设都为v1.依动能定理有
mBgL-mCgLsin30°
=12（mB+mC）v21-12（mB+mC）v2.
解得v1=3gL2.
B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中只有重力做功.设C球刚要落地时的速度大小为v2，由动能定理有
mCgL=12mCv22-12mCv21.
关键词：高中物理;相对性问题;解析
中图分类号：G427文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）23-091-2
题目（2014・江苏卷第15题）如图所示，生产车间有两个相互垂直且等高的水平传送带甲和乙，甲的速度为v0.小工件离开甲前与甲的速度相同，并平稳地传到乙上，工件与乙之间的动摩擦因数为μ.乙的宽度足够大，重力加速度为g.
（1）若乙的速度为v0，求工件在乙上侧向（垂直于乙的运动方向）滑过的距离s;
（2）若乙的速度为2v0，求工件在乙上刚停止侧向滑动时的速度大小v;
（3）保持乙的速度2v0不变，当工件在乙上刚停止滑动时，下一只工件恰好传到乙上，如此反复.若每个工件的质量均为m，除工件与传送带之间摩擦外，其他能量损耗均不计，求驱动乙的电动机的平均输出功率.
学生普遍感觉今年的最后一题不难，但对过答案后却一脸的茫然，原来每个小题都进了圈套，具体涉及如下几个相对性：
问题一
错解：沿甲运动方向02-v20=2（-a）sa=μmgm=μg得s=v202μg
解析：工件与传送带乙速度不相同时有滑动摩擦。滑动摩擦力的方向总是沿接触面，并且与物体相对运动方向相反。工件与传送带乙间摩擦力方向并不在甲运动方向。正确解是以传送带乙为参考系，则工件相对传送带乙的初速度如图，滑动摩擦力大小为μmg，方向与相对运动方向相反，即在此参考系里工件做匀减速直线运动，s相对乙=（2v0）22μg=v20μg，工件在乙上侧向滑过的距离s=s相对乙・sin45°=2v202μg
问题二
错解：传送带甲方向a=μmgm=μgt=Δva=v0μg，
传送带乙方向a=μmgm=μgv=a・Δt=v0
解析：第一同一接触面只能有一个摩擦力，其次摩擦力的方向是否变化取决于相对速度的方向。正确解是：以传送带乙为参考系，工件的相对速度及受力如图摩擦力与相对速度相反（在同一直线上），所以相对传送带乙始终做匀减速直线运动，工件在乙上刚停止侧向滑动时，即甲方向上的相对速度减为零，此时乙方向上的相对速度也减为零（相对做直线运动，v相对乙方向不变）。工件在乙方向上的相对速度也减为零即与传送带乙有相同的对地速度2v0
问题三
错解：以传送带乙为参考系，工件做匀减速直线运动到相对静止，由动能定理得wf=o2-12m（5v0）2
p电机=p克f=w克ft=5mv2025v0μg=μmg・5v02
或p电机=p克f=f・v=μmg・5v02
解析：动能、功、动能定理及机械能守恒均有相对性，不同的参考系中得出的结论不相同（速度、位移不同）。具体运用时必须在题目描述的参考系中才能得出相应的答案。正确答案是
受力如上图所示，在传送带乙的方向受摩擦力分力为25μmg，所以驱动乙的电动机的力就等于25μmg，得p=F・v=25μmg・2v0=45μmgv05
能量守恒电动机做功w=12m（2v0）2-12mv20+Q
若以传送带乙为参考系，工件相对乙的位移l=v22a=（5v0）22μg=5v202μg则系统摩擦生热Q=μmgl=5mv202
试卷提供的答案为避免参考系的选择困惑，全部以地面为参考系，如下：
（1）摩擦力与侧向的夹角为45°
侧向加速度大小ax=μgcos45°匀变速直线运动-2ax=0-v20，
解得s=2v202μg
（2）设t=0时刻摩擦力与侧向的夹角为θ，侧向、纵向加速度的大小分别为ax、ay，
则ayax=tanθ，解得ΔvyΔvx=tanθ
很小的Δt时间内，侧向、纵向的速度增量Δvx=axΔt，Δvy=ayΔt，
且由题意知tanθ=vyvx则v′yv′x=vy-Δvyvx-Δvx=tanθ
摩擦力方向保持不变，
则当v′x=0时，v′y=0，即v=2v0
（3）工件在上滑动时侧向位移为x，沿乙方向的位移为y，
由题意知ax=μgcosθ，ay=μgsinθ
在侧向上-2axx=0-v20在乙方向上2ayy=（2v0）2-0
工件滑动时间t=2v0ay乙前进的距离y1=2v0t
工件相对乙的位移l=x2+（y1-y）2则系统摩擦生热Q=μmgl
解得工件相对乙的位移l=5v202μg则系统摩擦生热Q=5mv202
电动机做功w=12m（2v0）2-12mv20+Q
由=wt，解得=45μmgv05
可见转换参考系可能会使问题简单，但也增加了出错可能。各规律究竟是必须转换参考系呢，还是可以转换参考系呢，还是一定不能转换参考系呢？
一、滑动摩擦力方向的相对性
滑动摩擦力是阻碍相互接触物体间相对运动的力，不一定是阻碍物体运动的力。即摩擦力不一定是阻力，它也可能是使物体运动的动力，要清楚阻碍“相对运动”是以相互接触的物体作为参照物的。即甲乙间摩擦，分析甲受摩擦力则以乙为参考系，分析乙受摩擦力则以甲为参考系。若参考系本身是运动的，这儿就需要转换相对速度。
二、牛顿定律、运动学公式的相对性
自然界中存在着一种坐标系，在这种坐标系中，当物体不受力时将保持匀速直线运动或静止状态，这样的坐标系叫惯性参照系。地面和相对于地面静止或作匀速直线运动的物体可以看作是惯性参照系，
由伽利略变换得位置：=+′时间：t=t′速度：=′+加速度：惯性参考系a=a′非惯性参考系：=′+0运动学公式运用时必须保证所有的物理量均以同一参考系，得出结论在另一参考系运用时可能需要转换。
牛顿定律只在惯性参照系中才成立。在不同的惯性系中，牛顿定律具有相同的形式。
在非惯性系中，牛顿第二定律可表示为：真实合外力+i惯性力=m非惯性系中的加速度
三、功、动能定理的相对性
1.功值、动能值在不同参考系中不同
在不同参考系中位移不同，速度不同，由公式算出的功、动能自然是不同的。（在不同惯性系中的功的差值应当等于物体m在这一运动过程中的动量增量与俩系相对速度的积）
2.动能定理在不同惯性系中的表达式相同
牛顿定律的数学形式与惯性参考系的选取无关，由牛顿定律推导出的动能定理的表达式也是相同的。这也符合爱因斯坦的狭义相对论原理：惯性系之间完全等价，不可区分。
所以自不同惯性系均可大胆运用动能定理，只是计算结果拿到另一参考系中时必须加以转换。
3.系统内力做功与参考系的选择无关
相对位移与参考系选择无关，加上牛顿第三定律也与参考系选择无关，得出一对系统内力做的总功就与参考系的选择无关。
四、能量守恒的相对性
关键词：定律；原理；守恒
【中图分类号】G633.7
学好力学是学好物理的基础。深入理解力学中的疑难点，学会分析解决问题的方法是学好力学的关键。形成疑难点的主要原因是同学们在学习物理时没有深刻理解物理概念、规律及适用条件，常常将意义相近的概念混为一谈，或者乱套公式，要通过对力学中常见疑难点的分析，纠正学生常犯典型错误，并给出简明的分析和解决问题的方法。
一、动能定理和功能原理
功和能的概念及其相互联系贯穿在高中物理教学的全部过程，它们是高中物理中最重要最基本的一些概念。
表示功的基本公式W=Fscosθ应从三个方面去理解：a式中的s是指力的作用点的位移，公式中的F为恒力。b正确理解正功和负功的概念。力对物体做正功，力的方向和位移方向一致，表示动力做功；力对物体做负功表示力的方向和位移方向相反，表示物体克服阻力做功。C分清功和做功的意义，功是状态量，做功是过程量。
做功的过程就是物体能量发生变化的过程，合外力对物体做的功，等于物体动能的变化，这一结论叫做动能定理。
学习动能定理时，应明确下述两点：a功和能是两个不同概念，b动能和动量都是描述运动状态的物理量，但动量是矢量，而动能是标量；应用范围不同，动能是标志物体机械运动转化为一定量的其它形式的能力的一种量度，它是力对空间的一种积累，而动量是力对时间的一种积累。
如果物体既受动力作用，又受阻力作用，物体机械能的改变量就是外力所做功的代数和。即E2-E1=W动-W阻这个结论叫功能原理。
用功能原理解题的优点是，只须确定初、末状态机械能的变化，而不必考虑相当复杂的运动过程。
功能原理是动能定理的延伸和扩展，动能定理是功能原理中一个最简单的特例。如果物体仅在水平方向上做机械运动，不受静电场力和弹力作用即无势能变化那只须用动能定理求解；若运动过程中伴有重力势能、弹性势能电势能的变化，就应考虑用功能原理去求解。
三、动量守恒定律和机械能守恒定律
学习两条守恒定律，应明确以下五个问题
1、运用动量守恒定律，解决实际问题时应注意下述三点a动量守恒定律的数学表达公式是一个矢量式，在列式之前首先要规定正方向；b定律中各速度都必须相对于同一参照系，c定律公式中等号两边各动量必须分别是作用前和作用后同一时刻的量。
2、掌握两个以上的物体所构成的系统的研究方法。动量守恒定律所研究的是物体系统间的相互作用。这里所说的物体系统可以是两个物体组成的系统，也可以是两个以上物体所组成的系统，对于两个以上物体所组成的系统，在弄清物理过程以后，可以用隔离法，采取先分析后综合的方法来分别处理。
3、在深刻理解机械能守恒定律成立的条件及其物理意义的基础之上，正确选择研究对象。物体在发生动能和势能的相互转化时，机械能总量保持不变的条件是"没有摩擦和介质阻力"其含义是，我们所选择的研究对象，从初态变化到末态的过程中对外不做功，外界对它也不做功，这样初末态机械能总量才能保持不变。
4、把两条守恒定律成立条件不要混为一谈
如图（1），木块B与水平面间无摩擦，子弹A沿小平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短，将子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中，动量不守恒，机械能不守恒，因为子弹射入木块的过程中要克服木块的摩擦阻力做功，转化为热能。即系统对外做功，故系统机械能不守恒；在弹簧被压缩的过程中，系统又受到墙壁所施给的外力作用，故动量守恒定律也不成立。如果将图中的子弹A和木块B改为两个弹性球，设A、B相碰的过程中不损失机械能，那么三者所组成的系统的机械能守恒，而动量不守恒。
综上所述，同学们不难看出，两条守恒定律各有其严格的成立的条件，它们之间相互独立，不能互相取代，因为二者考虑问题的角度不同，动量守恒定律是从受力的角度去分析；而机械能守恒定律是从做功的角度去分析，两条守恒定律成立的条件不能混为一谈。
5、应用两条守恒定律解题的基本思路是：①首先要弄清物理过程，弄清整个过程性质、细节和特征，把整个过程分解为几个较简单的子过程。②根据每一个子过程的性质、细节和特征来判断该过程符合哪一条守恒定律成立的条件，然后列出相应的方程。③运用数学知识联立求解，从这里我们可以看出：思维方法的特点是先分析后综合，化整为零，各个击破；解题能力分两步，先把物理问题转化为数学问题，再运用数学知识解决物理问题，解题的关键在于通过弄清物理过程而理出简明的解题思路。
如图（2），在光滑小平地面上有一辆质量为М的小车，车上装有一个半径为R的光滑圆环，一个质量为m的小滑块
从跟车面等高的平台上以速度V。滑入圆环，试问，小滑块的初速度V。应满足什么条件才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力？
分析：小滑块在光滑小车运动的过程中，即滑块与车相互作用的过程中，系统的动量守恒。滑块至圆环的最高点恰对环顶无压力则mg=m①式中U为滑块相对圆心O的线速度，设小车此时速度为V，并规定方向为正方向，则滑块对地速度为-（u-v）对滑块和小车组成系统
mV0=MV-m（u-v）②对系统而言机械能守恒 mv02=Mv2+m（u-v）2+2mgR ③
联立 ①②③ V0=
参考文献
以下是我从一道简单的物理电学题入手，层层深入，逐渐演变，充分训练力电综合知识的应用。这样不仅有助于学生系统的掌握知识，还能培养学生的变式思维能力和灵活应用知识解决综合题的能力，使学生建立物理模型，将知识灵活迁移。
例题：一个质量为m的小球，所带电荷量为+q，用一长为L的轻细线悬吊于o点，外加一水平向右的匀强电场使小球处于静止状态，此时细线偏离竖直方向的夹角为a，不计一切阻力。求：所加匀强电场的场强E为多大？
小球受重力mg、细线的拉力F和水平方向的电场力Eq。由于小球处于平衡状态，则有mgtana=Eq，E=mgtana/q。这道题是力学中的平衡问题。
变式一：求所加匀强电场的最小值和方向。
这是力学中求作用力最小值的方法，要求的作用力与未知大小的力垂直，大小为已知力乘以夹角的正弦值。
这道题小球所受电场力的最小值为Eq=mgsina，电场强度的最小值为E=mgsina/q ，匀强电场的方向与细线的拉力F垂直，与水平方向的夹角为a斜向上。
变式二：若匀强电场场强方向仍水平向右，（a小于450）将小球向右拉到使细线水平，由静止释放小球。求：小球运动到最低点时对细线的拉力？
这是一道应用动能定理和圆周运动的知识的综合题。首先判断小球能否过最低点，由于当初平衡时a小于450，所以小球能过最低点而且过最低点的速度不为零。设小球运动到最低点的速度为v，小球在运动过程中重力做正功；细线的拉力不做功；电场力做负功。根据动能定理mgL-EqL=mv2/2可以求出最低点的速度。在最低点电场力只改变速度的大小，重力与拉力的合力提供向心力。根据牛顿第二定律F-mg= mv2/L可解出细线对小球的拉力的大小和方向，根据牛顿第三定律可知小球对细线的拉力竖直向下，大小为mg（3+2tana）。
通过以上两个变式训练，可促进学生对力学中求极值、动能定理以及圆周运动的知识加以巩固和实际应用。
变式三：在原来小球处于平衡位置处至少给小球多大动能能使小球做一完整的圆周运动？
变式三的力学基础是圆周运动的模型，绳系小球在竖直面内做圆周运动（不计阻力），恰好过最高点的速度的求法是只有重力提供向心力，此时细线拉力恰好减为零，即mg=mv2/R。在最低点速度的求法可用机械能守恒定律或应用动能定理。而本题多受一电场力，机械能不守恒。学生头脑中有圆周运动过最高点的模型，再将知识迁移到多受一电场力。重力与电场力的合力提供向心力时是小球恰好过的点（已经不是最高点了），这一点中重力与电场力的合力刚好指向圆心，即细线与竖直方向的夹角为a，这是本题的一个难点。根据牛顿第二定律mg/cosa= mv2/L，根据动能定理：2Lmg/cosa=mv2/2-EK。
解变式三要求学生对圆周运动要理解，而不是死记硬背公式，要有解决综合题的能力，真正掌握知识的本质规律和内在联系。
变式四：若a=300带正电小球在水平向右的匀强电场中将球向左拉至使细线水平，由静止释放。求：（1）小球开始做什么运动。（2）小球运动到最低点的速度及受的拉力。
这道题比变式三难得多，首先学生不容易想到开始释放后细线松了，小球不做圆周运动。其次最难的是细线突然拉紧时有机械能损失，什么位置拉紧，之后做什么运动。
在初位置由静止释放，电场力向右，细线松了。由于重力和电场力都是恒力，所以小球在开始的一小段时间内，做初速度为零的匀加速运动，到细线与竖直方向夹角为300时，细线刚好拉直。根据动能定理mgLcos300+EqL（1-sin300）= mv2/2，解出速度v。根据运动的合成与分解，沿细线方向速度减小为零，垂直于细线方向的速度为vcos300，再从细线刚好拉直处解到最低点，根据动能定理mgL（1-cos300）+EqLsin300=mv求2/2-m（vcos300）2/2，求出v求，在最低点根据圆周运动知识和牛顿第二定律F-mg=mv求2/L解出细线的拉力。
这道题还可以变形……
【关键词】高职；刚体定轴转动；教学探索
刚体的定轴转动作为高职高专物理教学中的必修内容，因其原理在社会生产活动中应用广泛，受到了广大教师和学生的普遍重视。但因现阶段高职学生接受和理解能力的差异，导致该部分内容的学习似是而非，缺乏明晰而正确的认识，没有取得预期良好的效果。针对这种情况，笔者利用自己学习和教授普通物理数年的经验，尝试寻找一种类比的方法，力争在降低学习起点的同时，使同学们对普通物理中该部分的内容有一个较为清晰的认识。
牛顿三大运动定律贯穿着普通物理学产的始终，而同学们经过初中、高中数年物理知识的学习，对质点的运动公式了如指掌。刚体的定轴转动作为大学物理才开始学习的内容，如果突兀地对这一章节开始讲授，对于基础薄弱、接受能力较弱的同学而言，无异于是一场痛苦经历的开始。我们能否找到一种方法，让刚体定轴转动的学习不必另起炉灶，而是借助于同学们已有的知识储备，较为轻松地顺利地接受和学习这章内容。牛顿三大运动定律的适用对象是宏观低速运动的物体，我们可以把它理解为它不仅适用于宏观低速的质点运动，满足这两个条件的刚体的定轴转动同样也可以写出自己的牛顿运动定律或者类似公式，只不过因为是刚体的定轴转动，公式中的有些符号或量值会以另外的一种形式出现。也就是说，刚体定轴转动的公式也可以写成质点运动里一样简洁类似的样子。下面我们尝试着从质点运动学公式的角度去找寻定轴转动刚体各公式的对照。
对于一个质点而言，我们只需要知道这个物体的质量m，受力，初始位置矢量0和初始时刻速度0即可以描述出这个质点运动速度，即：
t=0+at 速度公式
a= 牛顿运动第二定律
也可以描述出物体的运动状态量，即：
t=0+0t+at2
既然刚体的定轴转动与质点运动均适用于牛顿三大定律，那么定轴转动也应该存在一个和上述式子形式相似的表达，只不过因为它是转动，每一个量可能会有所变化，就像披了层面纱，化了妆一样，重新出现在刚体定轴转动的牛顿运动三大定律的宏伟大厦下。
在刚体的定轴转动中，描述一个刚体的转动变化用角位移θ，角位移的变化率可用角速度ω=来表示，角速度的变化量可以用角加速度α=来表示。同时，对于定轴转动的刚全而言，它也存在着一个量使其正比于角加速度α，由刚体的定轴转动得知这个量为力矩Me=・d，d为作用力对转动轴的力臂。
仿照质点运动学a=，在转动里也应该存在一个类似质点动动中质量地位的物理量，这一点我们可以用转动物体的动能表达公式来寻找。刚体定轴转动物体的动能表达式Ek=∑mv2=Jω2，因转动物体的每一质量元它的线速度与角速度之间大小由=ωr来联系，所以每一个转动物体的动能都可以写成Jω2，即每一个转动物体的J=∑（mr2）都可以找出来，我们称之为转动惯量。我们发现刚体定轴转动中的动能Jω2与质点平动的动能mv2有类似之处，而刚体定轴转动中的转动惯量J也和质点平动动能中的质量m地位相当，即披了面纱的质量。
至此，我们找出了刚体定轴转动的几个基本物理量，力矩Me，转动惯量J，以及角位移θ，角速度ω，角加速度α。仿照质点运动学公式可以写出：
ωt=ω0+at角速度公式
α=刚体定轴转动的转动定律
θt=θ0+ωt+αt2
也可以写出：
L=Jω角动量表达式Met=L=J（ω2-ω1）
角冲量定理
Medθ=Ek2-Ek1=J（ω22-ω12）
动能定理
总结
不管是质点运动还是刚体的定轴转动，只要都满足宏观低速的条件，那么我们都可以写出它们自己的牛顿第二定理，以及由牛顿第二定理所推导出来的一系列公式。对于教学而言，只需要大家知道牛顿第二定理的形式，而代入转动物体有所变化的量值后，即可以写出牛顿第二定理在刚体定轴转动里的公式表达。同样基于相同的表达公式，我们也可以轻而易举地写出其它诸如角速度公式、角位移公式、角动量定理和动能定理在刚体定轴转动中的表达，相信学生对刚体的定轴转动也会有如质点运动里一样的深刻认识。
【参考文献】
[1]赵建彬主编.物理学.第一版.北京：机械工业出版社，2004
[2]李伯主编.物理学.第三版.北京：高等教育出版社，2011
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关键词：变力;做功;解题;方法
中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）1-0049-4
1 微元求和法
把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里的位移可以看成是直线，力可以看成是恒力，则可用功的公式W=Fxcosθ求每一段元功，再求每小段上做的元功的代数和，即整个过程的总功。
例1 解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来使用，如图1所示。假设驴拉磨的平均用力大小为500 N，运动的半径为1 m，则驴拉磨转动一周所做的功为多少？
图1 驴拉磨
解析 将圆周分成很多小段x1，x2，…，xn，拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn。因拉力F大小不变，方向始终与物体所在点的速度同向，即力与位移夹角为0°，所以：
W1=Fx1，W2=Fx2，…，Wn=Fxn，
W总=W1+W2+…+Wn=F（x1+x2+…+xn）=F?2πR=1000π J
2 图像法
F-x图像：在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移x，则其F-x图像图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于该段位移内力对物体做的功（如图2）。
图2 F-x图像
P-t图像：在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F的功率P，横坐标表示力作用在物体上的时间t，则其P-t图像图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于该段位移内力对物体做的功（如图3）。
图3 P-t图像
例2 放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间的图像和该拉力的功率与时间的图像分别如图4甲、乙所示。则0～6 s内物体的位移大小为多少？0～6 s内拉力做的功为多少？
甲 v-t图像 乙 P-t图像
图4 v-t图像和P-t图像
解析 由v-t图像面积表示相应时间内的位移，得0～6 s内物体的位移大小为30 m;由P-t图线与坐标轴所围成的面积在数值上等于该段位移内力对物体做的功则W=×2×30+4×10=70 J，所以0～6 s拉力做的功为70 J。
3 转换变力功为恒力功法
变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，可以使问题的矛盾转化，有时就可转化变力功为恒力功，可以直接用W=Fxcosθ求解。
例3 人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50 kg的物体，如图5所示。开始绳与水平方向夹角为60°，人匀速提起重物由A点沿水平方向运动2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°。求人对绳的拉力做了多少功？（g取10 m/s2）
图5 通过定滑轮吊起物体
解析 人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，又因为人匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F=mg。所以，人对绳的拉力做功等于重物上升高度Δh中克服重力做的功。Δh由几何关系易求，所以，人对绳子的拉力做的功：
W=mgΔh=1000（-1） J。
4 转化变力功为平均力功法
在求解变力功时，若物体受力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F=的恒力作用，F、F分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式P=Fvcosθ求此力所做的功。
例4 把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比。先求出阻力的平均值，便可得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
，钉子进入深度l过程中克服阻力做的功为：
，设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
所以
5 倍增法
采用如图6所示的装置探究功与物体速度变化的关系。实验中用橡皮筋的弹力拉动小车做功使小车获得动能，探究橡皮筋做的功与小车速度的关系。橡皮筋的弹力是变力，中学教材上没有现成的公式可以计算功的大小。即使知道弹力功的公式也不能用它进行计算，因为橡皮筋的劲度系数也是变化的。但是，在相同的位移情况下，用一条橡皮筋做的功为W，用两条橡皮筋时做的功就是2W，依此类推可以找出功和速度的对应关系。
图6 用橡皮筋拉动小车运动
6 机械能守恒法
机械能守恒定律内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。应用机械能守恒定律，无需关注中间过程的细节，只需考虑初、末状态的机械能或动能、势能的变化。因此，机械能守恒定律对解决曲线运动问题应用广泛，经常与圆周运动、平抛运动规律相结合解题。
例5 如图7所示，质量m=2 kg的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）静止释放，小球达O点正下方h=0.5 m处的B点时的速度为v=2 m/s。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取g=10 m/s2。
图7 小球系于橡皮绳端点
解析 橡皮条的弹力是变力，所做的功是变力功无法由公式直接求得。取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象。在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零，设在B时橡皮条的弹性势能为EP，由机械能守恒定律得mgh=mv2+EP，带入数值得EP=6 J，橡皮条的弹性势能增加6 J，故橡皮条的弹力对小球做功-6 J。
7 动能定理法
动能定理内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以，动能定理是求变力功的首选。
例6 如图8所示，某人乘雪橇从雪坡经A点滑至B点，接着沿水平路面滑至C点停止，人与雪橇的总质量为70 kg。表中记录了沿坡滑下过程中的有关数据，请根据图表中的数据求人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为多少？
图8 人乘雪橇从雪坡下滑
解析 物体从A运动到B的过程中，损失的
机械能等于克服摩擦力所做的功。物体从A运动到B的过程中所受的弹力要发生变化，摩擦力大小随之变化，方向也在变。所以，克服摩擦力所做的功不能直接由做功的公式求得。对从A到B过程运用动能定理即可求出物体在AB段克服摩擦力所做的功，即从A到B的过程中损失的机械能。设物体在AB段克服摩擦力所做的功为Wf，由动能定理得： ，带入数值得Wf=9100 J。所以，人与雪橇从A到B的过程中，损失的机械能为9100 J。
8 能量守恒法
能量守恒定律内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变。应用能量守恒定律的基本思路：①某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等;②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
例7 如图9所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C。（不计空气阻力）试求：
图9 物体运行轨道图示
1）物体在A点时弹簧的弹性势能;
2）物体从B点运动至C点的过程中产生的内能。
解析 1）设物体在B点的速度为vB，所受弹力为FNB，
则有：
又FNB=8mg，
由能量守恒定律可知：
弹性势能
2）设物体在C点的速度为vC，由题意可知：
物体由B点运动到C点的过程中，由能量守恒定律得：
一、一板一眼，夯实基础
俗话说：千里之行，始于足下，物理学习亦是如此.要想让学生在物理课堂上实现有意义地学习，打好基础是必需的.这就要求作为教师的我们在物理教学中要一板一眼，认真教学，以夯实学生的基础为首要目标.
比如讲解人教版高中物理必修一第一章第五节《速度变化快慢的描述――加速度》这一节课时，教学目标是让学生充分理解加速度的概念以熟练运用.讲课时，部分同学觉得这部分知识不算太难而放松注意力，但是这些同学往往难以打下坚实的基础，也就难以在之后的牛顿第二定律等的知识的学习中实现有意义地学习.为了夯实学生的基础，我在课堂上讲解了这样一道题目：若汽车的加速度方向与速度方向一致，当加速度减小时，汽车的速度会如何变化？当加速度减小到零时，汽车是静止状态还是速度最大的状态？对于这道题目，深刻理解了加速度概念的同学们，通过作速度―时间图象就轻易地得出加速度减小时，汽车的速度仍在增大，因此加速度为零时，汽车的速度达到最大，但是一些没有理解加速度本质的学生们却难以解决这道题目.最后我在课堂上讲解了一下这道题目，虽然不算太难，但却可以大大加深学生对于加速度的理解，同时也达到夯实同学基础的教学目标.
上例中，通过一板一眼地认真教学，不但夯实了同学们的基础，而且为之后有关加速度的知识的教学做了一个较好的准备，同时也是在培养同学们有意义学习的意识与能力，这种教学方式对于我们物理教学而言还是极为重要的.
二、循循善诱，自主总结
顾名思义，有意义学习是一种要求学生主动学习并进行探索的学习方式.因此，为了让学生都能达到高效的有意义学习，我们必须要培养他们的自主学习能力，需要我们在课堂上循循善诱，鼓励学生自主总结.
比如讲解《动能和动能定理》时，教学目标是让学生熟练掌握动能定理，并能基于此解决一系列综合性问题.这部分知识听起来比较容易，但要想深刻掌握仅靠讲解是不够的，必须经过学生自己的反思总结才能做到融会贯通.我在课堂上讲解了这样一道题：一质量为m的小球在距地面为h处自由释放，落到地面后反弹，碰撞时无能量损失，若小球运动过程中空气[HJ1.73mm]阻力恒为f，已知g，求解小球与地面第一次碰撞后向上运动的最大高度.我讲解时引导学生先确定小球这一研究对象，再根据小球的受力与这些力的做功情况结合动能定理列出了等式，最后进行求解.学生听完我的讲解之后感觉没有那么困难，自己却难以解决，这时我要求他们根据我刚才的讲解过程思考应用动能定理解题的步骤.学生经过自主总结发现应用动能定理解题分三步，先确定研究对象，再分析受力与运动情况，最后根据W合=Ek2-Ek1求解，这个过程大大提高了他们的自主学习能力，真正做到了有意义学习.
上面案例中，通过对学生循循善诱，引导他们自主总结，不但让他们做到了有意义学习，能够举一反三，同时提高了他们的逻辑思维能力与自主探究能力，这种高效课堂才算是真正把握了课改物理教学的“魄”.
三、画龙点睛，发散思维
不同于夯实基础和自主总结，真正提高学生学习素养的是思维的发散，这是有意义学习的必然要求.因此，为了升华课堂教学效果，真正提高学生学习的高度，需要在课堂上画龙点睛，力求发散学生的思维.
比如讲解《万有引力定律》时，教学目标是让同学们知道人类对天体运动的认识过程，理解万有引力定律得出的思路和过程，并明悉万有引力定律的含义及其适用范围.这是一节比较抽象的内容，为了加深同学们的理解并发散他们的思维，我在课堂上讲解了这样一道题目：据报道，最近有一颗行星在太阳系外被发现，其质量约为地球质量的6.4倍.且一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面重量约为960 N，那么该行星的半径与地球半径之比为多少？同学们在解决这道题目时根据行星表面万有引力等于重力，并运用万有引力公式进行计算，轻易得出半径之比为2.这只是让同学们解决了一道简单的题目，为了让同学们对知识有更深刻的理解，我引导他们发散思维，鼓励他们根据万有引力等于重力进行推导，最后他们得出了GM=gR2这一公式，这就是高中物理非常重要的黄金代换公式.这为同学们之后解决相关题目提供了一个非常简便的方法，也让他们对于万有引力定律的认识上升了一个高度.
以下我们从多角度对一个物理过程加以分析。
如图所示，光滑水平面上有一个质量为M的静止木板，一个质量为m的物块从木板左端以初速度V0滑上木板。设：物块对木板的摩擦力为f，木板对物块的摩擦力为f1。物块没有从木板上滑下，试分析从物块滑上木板到物块和木板相对静止这一运动过程。
一、从动力学角度分析
由于物块和木板间摩擦力的作用，物块以加速度a1=f1/m做匀减速运动，木板以加速度a2=f/M做匀加速运动。当二者速度相等时一起以速度V做匀速运动。根据运动学公式：
对物块：S1=V0t-a1t2/2 V=V0―a1t
对木板：S2= a2t2/2 V=a2t
二、从动量角度分析
设向右为正，则：
对物块：根据动量定理-f1t=mV-mV0
对木板：根据动量定理ft=MV
对物块和木板组成的系统：根据动量守恒定律mV0=（M+m） V
三、从功和能的角度分析
对物块：根据动能定理-f1S1=mV2/2 -mV02/2
对木板：根据动能定理fS2=MV2/2
对物块和木板组成的系统：根据能量守恒定律
f （S1―S2）=mV02/2-（M+m）V2/2
上述对一个物理过程，分别从动力学、动量、功和能三个角度进行了分析，不难看出，对于一个物理过程，从多个不同角度去分析研究，会对这一个物理过程和这一个物理过程所遵守的物理规律有更清楚、更深刻的理解。
多角度分析物理过程有三个方面的好处：
首先，可以对物理过程有更全面地、更正确地了解。避免了由于孤立地、片面地看问题而导致错误的结论。物理过程的发生是要遵守所有它应该遵守的物理规律的，否则，这个物理过程是不会实现的。学习中，一道物理习题的正确解答，正是多方面、多角度正确分析和综合思考的结果。
第二，在没有物理问题的情况下，我们对遇到的某一物理现象或某一物理过程进行多角度的分析，不但对物理现象和物理过程有了正确的认识，而且对物理现象和物理过程中所涉及到的物理概念和物理规律有了更深刻的理解。通过上述实例的多角度分析，我们对动量、动量定理、动量守恒定律、功、动能定理等概念和规律有了进一步的理解。
第三，物理现象和物理过程为我们建立了一个思维的平台，在这个平台上，通过多角度的分析和思考可以非常有效地培养自己的思维能力、创新意识、创新能力，这也是多角度分析物理过程的真正意义。
一、正确认识学生的个体差异
在差异化教学前，教师需要正确认识学生的个体差异．不同学生基于其自身的思维能力、基础知识掌握程度以及学习能力等的不同，对于相同的教学内容在理解与接受上很可能会难度不一样．有的学生觉得很简单的内容，对于另一个部分学生而言理解上却有诸多障碍，这便是学生的个体差异的最为直观的体现．因此，教师要真实地了解学生的知识掌握情况，了解每一个层面的学生对于某一教学内容在理解与掌握上的障碍．这样才能够让教师为后续的教学过程制定更有针对性的教学计划，并且结合差异化的教学指导确保每一个层面的学生都能够在课堂上有所收获．例如，在探究“机械能守恒定律”的实验时，教师可以结合学生的个体差异来展开有针对性的教学．可以让小组长根据每个学生的特长来分配大家的学习任务，动手能力强的学生可以连接实验器材，计算能力强的学生可以计算打点计时器上某点的瞬时速度，以及初末位置的动能，成绩较好、综合能力较强的学生可以指导其他学生有效展开实验，能力较差的学生可以观察学习，这样就很容易完成实验．实验完成后，每个小组内部的成员针对整个实验过程来相互交流经验，讲解实验过程，最终使每一个学生都能够学到相应的知识．差异化教学展开的一个重要前提，便是教师对于学生的学习情况有清晰的认识，并且教师要正确对待学生的个体差异．只有这样，教师才会有意识地给予学生更有针对性的教学指导，才会看到每一个学生在知识掌握上的不足，进而让学生都能够在课堂上培养与提升自己的各方面能力．
二、优化教学模式
要想让差异化教学得以进行，教师就要不断优化教学模式．一方面，教学中要充分凸显学生的教学主体性，要创设更多引发学生参与的教学活动，这样才能够提高学生的知识掌握程度．另一方面，在教学活动的创设上，应当设计梯度性的学习任务，这样才能够让每一个层面的学生都参与进来，并且透过小组合作有效地完成整个任务．此外，在教学提问时，教师要注重提问内容与提问方式的合理选择，针对不同层面的学生，让他们思考难易不同的问题，这既是差异化教学的直观体现，也能够给每一个层面的学生都提供良好的学习机会，促进更多的学生在课堂上有收获与进步．例如，在讲“动能定理”时，教师可以让成绩较差的学生回答什么是动能定理，动能定理的基本公式;中等层次的学生，解决一个力做功情况下动能定理的应用;较高层次的学生，解决分析多个力做功情况下动能定理的题目．这样，每个学生都能得到应有的提高，从而提高他们学习的信心．教师只有不断优化课堂教学模式，才能够更好地体现差异化教学的基本理念，进而让每一个层面的学生都在课堂中得到应有的重视，让学生的能力都得到有效的培养与提升．
三、差异化教学评价方式
教学评价不仅是教学中的重要组成，也是差异化教学中教师应当关注的一个重要方面．教师要针对不同的教学内容以及不同的教学环节，尤其是针对不同层面的学生，有意识地转变自己的教学评价内容与评价模式．对于能力不同的学生，教师在衡量他们的学习表现时标准也可以适当变化．对于能力很强的学生，教师要注重激励，要让他们不断在已有水平上实现突破．对于能力与基础都较弱的学生，通常他们的学习自信心也不足，教师要注重鼓励与肯定，要让他们有更多的受到教师认可的机会，这样才能激发他们的学习信心与学习动力，促使他们取得学习上的进步．例如，教学中提问学生出现不会回答的情况，有些教师会用同样的语气和方法来呵斥不同的学生，或者有些教师对此不做点评，这都是不对的，这样就不能对学生的学习有促进作用．教师应根据不同的学生有不同的评价，对于低层次的学生，引导他们分析题意，进而找出相应的公式，一步一步地解题．对于高层次的学生，给他分析题目在高考中的等级要求和在考试中的难度，进而使他们感到这种题目不会解的压迫感，从而鞭策他们学习．教师只有采取差异化的教学评价策略，才能够“对症下药”，让每一个层面的学生都能够受到应有的鼓励与引导，进而促进学生对于课程学习有更多的收获与进步．总之，在高中物理教学中，差异化教学是一种很好的教学策略．教师要正确认识学生的个体差异，这是差异化教学能够展开的基础．同时，教师要优化教学模式，要实施因材施教，这样才能让每一个层面的学生都在课堂中得到应有的重视．此外，教师要有意识地给予学生差异化的教学评价，这样才能让每一个层面的学生都受到应有的鼓励与引导，进而促进学生对于课程的学习有更多的收获与进步。
作者：徐劲松 单位：江苏省滨海中学
