时间：2023-05-31 09:53:38
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇函数的表示法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
概念是一种思维形式。函数是数学中最主要的概念之一，函数理论是高等数学的主要组成部分，是近代科学技术不可缺少的工具。由于自然界的一切事物总是在不停地运动、变化着，因此数学中也必须研究变量和变量间的相互关系。函数就是应此而产生的数学概念。中学阶段，学生学习函数及其图像、集合的简单知识，从而通过集合元素的对应关系来加深对函数概念的理解；在此基础上，引入函数的单调性与奇偶性；进而借助于单调函数及其图像的学习，又从单值对应引出一一对应，从一一对应引出逆对应；同时由逆对应引出反函数的概念。这对于培养学生的辩证思维能力和进一步学习高等数学，起到很大的作用。
函数概念的教学目的是：（一）要求学生对函数概念有正确清晰的认识；（二）要求学生熟练掌握函数的表示法；（三）通过函数概念教学，培养学生辨证思维方面的能力。下面谈谈本人的一点粗浅认识。
一、函数概念的形成
函数的实例：在客观世界中，事物的种类繁多，现象的形态各异，它们都按照各自的固有规律运动变化着。某一事物或现象的运动变化总表现为多个不同量的变化，而这些量的变化又不是孤立的，它们常常是按照该事物固有的规律互相联系、对应着，即给定某量的一个值，依照规律都对应另一个量的唯一一个值。粗略地说，“两个量（或两个数）之间的对应规律”就是数学中所说的“函数”。函数概念产生于在同一个研究过程里变量间的相互关系之中，因此，建立函数概念必须以研究常量和变量作为起点。例如，把一个密闭容器内的气体加热时，气体的体积和气体的分子数保持一定，所以是常量；而气体的温度与压力则是变量。一个量是常量还是变量，要根据具体问题具体条件来分析，而且要辨证地看问题，这一点，教学时应提出注意。例如，火车行驶时的速度，在开始阶段或刹车阶段是变化的，因而在该过程中是变量；在正常行驶阶段变化很小，相对地可看作不变，因而是常量。
在同一个确定的过程中，往往会同时出现几个变量。例如，一个物体作自由落体运动的过程中，重力加速度（g）是常量，物体经过的路程（s）与时间（t）是两个变量，而且这两个变量不是孤立无关的，而是紧密联系的：物体运动的时间变了，其相应的路程也随之而变；当确定了物体经过的时间后，相应的路程也随之而确定，它们间符合的关系。变量s和t之间存在着这种相依关系的确定性，这样就称s和t构成了函数关系。其中t叫自变量，s叫自变量t的函数。由此可总结出，在某个研究过程中，存在函数关系的三条标准：（一）是否存在两个变量（技校教材只限于一元函数）；（二）当一个变量变化时，另一个变量是否也随之而变化；（三）当一个变量取确定值时，另一个变量是否也随之取得唯一的确定值。
在许多问题中，自变量的允许取值范围是有一定限制的，我们把自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。从数学角度看，要使表示函数关系的解析式有意义，自变量是需要有一定条件的；从应用问题的实际内容看，变量允许取值的范围也是有一定限制的。这就是确定函数定义域的根据。求函数的定义域可参考以下几个准则：
（1） 若f（x）是整式，则f（x）的定义域是全体实数的集合R；
（2） 若f（x）是分式，则分式的分母应该不为零；
（3） 若给出式子 （k为正整数），则应有f（x）≥0；
（4） 若给出式子log ，则应有f（x）＞0；
（5） 若给出式子arcsin f（x）、arccos f（x），则应有｜f（x）｜≤1；
（6） 若上述情况同时出现，可分别找出它们的定义域，取公共部分为所求的定义域。
函数值以及记号f（x）是函数概念教学的重点，学生开始学习函数时，往往不容易理解f（x）和f（a）的意义，有的认为f（x）是x的一次函数，f（ ）是x的二次函数，这说明对记号f（x）的教学不能忽视。
在函数概念的教学中可以指出，函数符号f（x）按其实质来说就是指对应法则，例如 f（x）=3x + x－1，那么对应法则f就是指这个式子中所给的一系列运算，而f（x）就是指下面括号中自变量的某一数值应作3（ ） +（）－1这样的一系列的运算以求函数值。因此当x=1时有f（1）=3（1） +（1）－1=3 。
一般来说，记号f（a）代表一个数，它等于函数f（x）在变数值等于a时的值。用几何术语说：f（a）是函数f（x）在a点的值。如果a不属于定义域，则f（a）就无意义了。
二、函数的表示法
通过对函数各种表示法的学习，可以加深对函数概念的理解。用公式或分析表达式直接给出自变量与因变量之间的关系是函数的分析表示法，在自然科学或实际问题中是经常遇到的，在微积分中，这种表示法也便于进行运算。
但是要防止学生产生函数关系一定能用公式表示的误解。许多生产过程和科研实践中，由观察得到的一系列变量间对应的数据，不见得都能概括成这两个变量间确定的解析表达式，但它们之间应该说构成函数关系，这种函数关系可用列表法来表示。通常用的各种数学用表，有的写不出一般表达式（例如质数），有的写出了表达式（例y=logx），但也不能揭示由x经过怎样的代数运算步骤而得到y。采用列表法，就可弥补上述的不足。
公式法和列表法都可以表示函数关系，但它们都存在着表示因变量随自变量的变化而变化的趋势的直观性差的缺点。而函数的图示法具有直观性、明显性，并且便于研究函数的几何性质。
在讲授图示法表示函数关系时，应注意：
（一）函数图像存在的范围是以函数定义域为依据的。
例1作函数 的图像。
解： 定义域:是（-∞，+∞），
其图像为（图1）
例2作出函数y=x（其中x取整数）的图像（图2）。
（二）作函数图像时，应把列出的点用平滑的曲线连结起来，而不能画成折线。为此可举函数 的图像为例，先画几个点，连结成折线，再补进几个点，让学生看这些点并不在折线上，从而指出画成折线是不对的。
在函数概念教学中，应注意挖掘教学内容中的教育因素，注意在教学过程中渗透一些辩证唯物主义的思想，这样，不仅有利于学生学好数学基础知识，也有助于对学生进行辩证唯物主义的教育。例如，常量和变量的相对性实际上蕴含着矛盾的对立统一这一法则；研究存在某种相依关系的两个变量的过程，就是用运动、联系的观点来研究数学内容……教师如能把观点蕴含于内容之中，通过内容渗透观点，就会使函数概念的教学效果有所提高。
参考文献：
［1］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）――函数.北京：高等教育出版社，1992.
［2］齐建华.现代数学教育――数学学习论.郑州：大象出版社，2001.
教材直接解答如下：
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示，由物理学知识可知，喷出的水注轨迹是抛物线型，建立如图所示的直角坐标系，由已知条件知，水柱上任意一个点距中心的水平距离 与此点的高度 之间的函数关系是
所以装饰物的高度为103m。这是一个应用性极强的函数解析式与函数图像互化的一个应用问题，高一的学生大部分对这种应用问题，尤其是抽象函数的图像再通过图像来拟合函数解析式，通过解析式来解决实际问题的问题。学生首先是感觉特别抽象，其次是感觉特别牵强。经过本人长期的教学研究发现，如果教师不注重这种问题的降阶处理，学生在学习过程中感觉知识的形成过程特别生硬并无法理解，无形的给学生造成学习障碍及学习压力，并且这种学习障碍多了以后会挫伤学生的学习积极性，给学生的数学学习造成负面影响。
结合本人近年来的教学实际及对教材的深刻研究，本人是这样处理的，在引领学生学习完函数的三种表示法后，插入一节《函数的解析表示法与函数的图像表示法互化》的习题课。通过回忆初中学习的正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像实际例子，再来求函数的解析式等问题，搭建学生认知阶梯，如本人在我校B层次班教学中设计了如下问题。
例 画出函数y=x2-2|x|的图像。
先板演引领学生分析完成
（1）列表
（2）描点，（3）连线：如下图
另外。可以通过初中学习的二次函数图像的画法画出y=x2+2 ； 与y=x2-2x；的图像在定义域上截取得到，找对称轴x=-22=-1，找顶点（-1，-1），交点（0，0），（-2，0）定开口（向上）得到左边的图像，同理得到右边的图像，在本人引领学生做完图像后，在黑板上擦掉前面的函数解析式及所列表格，只剩下图像。
师：同学们，你们能够根据左边的函数图像写出函数的解析式吗？
生：能，y=x2-2|x|；
师：（又重新将刚才学生写出的解析式写在黑板上）
师：那么，现在要是请你们说出是怎样求出函数的解析式，能吗？
（学生陷入了一片沉思，有学生讲是二次函数？）
师：是二次函数吗？那么又怎么求这函数的解析式呢？
生1：先设f（x）=ax2+bx+c；（因为他们比较熟悉二次函数的一般表示式）
师：根据你们的假设求解一下解析式试试；同学们迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
师：还有其他的解决方式吗？
生2：二次函数的表示式还有顶点式、两点式；
那么现在要你来选择求解这个问题的方式，你喜欢选择那一种表达方式呢？你选择试试看：
有学生选择顶点式，因为
当x≥0；知道顶点是（1，-1），图像过（2，0）解得y=x2-2x；
当x≤0；知道顶点是（-1，-1），图像过（-2，0）解得y=x2+2x；
有学生选择两点式，因为
结合以上学生学习的经验，我在处理课本例题，21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4处达到最高，高度为6，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
时是这样做的。先阅读题目分析由物理学知识知道是抛物线，选取一个纵截面得出图形。
一、新课导入――习题设计要以学情为重点
高中数学知识前后章节有着密切的联系，在新课导入时，教师应设计适当的习题，引导学生进行温故知新。这样的习题应以教材为中心，承上启下，浅显易答，以不断增强学生的学习信心。
例如，在讲解“函数的表示法”一节时，初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法。高中阶段重点是让学生在了解三种表示法各自优点的基础上，使学生会根据实际情境的需要选择恰当的表示方法。因此，在导课环节，教师可设计一些作业让学生在比较、选择函数模型表示方式的过程中，加深对函数概念的整体理解，而不再误以为函数都是可以写出解析式的。
课堂练习：
某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1，2，3，4，5}）本笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。
（设计意图：进一步让学生感受到，函数概念中的对应关系、定义域、值域是一个整体.函数y=5x不同于函数y=5x （x∈{1，2，3，4，5}），前者的图像是（连续的）直线，而后者是5个离散的点。由此认识到：“函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等。”）
二、课内自学――习题设计要以教材为中心
在设定教学目标的基础之上，教师可引导学生开展课内自学，为配合学生的学习效果，教师可尝试让学生主动的解决一些问题。这些问题应以教材为中心，以教材内的例题或习题为重点，也可适当拓展变换条件，体现基础性与思想性。
例如，在讲解“向量的加法与减法”一节时，为了能引导学生准确理解向量的有关的概念，灵活地应用向量加法的运算律解决较简单的实际问题，笔者设计了如下习题：
例1.已知向量a、b，则在下列命题中，正确的是（ ）
（A） 若|a|>|b|，则a>b；
（B）若|a|=|b|，则a=b；
（C）若a=b，则a∥b；
（D）若a≠b，则a与b一定不共线；
例2.在ABCD中，=（ ）
三、交流反馈――习题设计要以易错题为主
通过学生自学，对教师呈现的问题进行解决交流，中下游学生讲解、分析，优生点评、拓展，学会把问题理解透彻。学生交流评价时，其他学生暴露的问题是矫正补救的核心，也是教学的关键，教师要在此基础上设计一些较为浅显的易错题，以突出教学重点、难点。
如在讲解“不等式及其性质”一节时，有的学生存在对充分不必要条件的概念理解不清或不等式的转化考虑不全等问题，容易解题出错，因此笔者设计了如下习题供学生讨论。
1.设则使成立的充分不必要条件是：
部分学生错选B，对充分不必要条件的概念理解不清，“或”与“且”概念不清，正确答案为D。
2.不等式的解集是：
部分学生错选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。
四、课内探究――习题设计要以实践为主体
教师在充分理解科学探究的目标内容的前提下，组织好学生进行探究，重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维。教师的角色应该是课堂探究的组织者与实施者，要以作业为载体，调动学生学习数学的积极性与主动性。
数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象。在教与学中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握。例如，在进行椭圆概念的教学，可分以下几个步骤进行：
（1）实验――要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动，所得图形为椭圆。
（2）提出问题，思考讨论。
①椭圆上的点有何特点？
②当细线的长等于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
③当细线的长小于两定点之间的距离时，其轨迹是什么？
④你能给椭圆下一个定义吗？
（3）揭示本质，给出定义。通过上述的自主探究活动，使学生体验从生活实例中，抽象出数学概念的方法，进一步探究它们之间具有的内在联系和各自特征，完成了对新知识的主动建构过程。
五、达标检测――习题设计以查缺补漏为主
【关键词】抛物线型；函数解析式；函数图像；深刻研究
本人在教授人民教育出版社全日制普通高中教科书（必修）数学第一册上第二章《函数的表示方法》课本例题3时遇到学生无法理解的牵强尴尬境地。例题如下：21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4m处达到最高，高度为6m，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
教材直接解答如下：
解：过水池的中心任意选取一个截面，如图所示，由物理学知识可知，喷出的水注轨迹是抛物线型，建立如图所示的直角坐标系，由已知条件知，水柱上任意一个点距中心的水平距离 与此点的高度 之间的函数关系是
所以装饰物的高度为103m。这是一个应用性极强的函数解析式与函数图像互化的一个应用问题，高一的学生大部分对这种应用问题，尤其是抽象函数的图像再通过图像来拟合函数解析式，通过解析式来解决实际问题的问题。学生首先是感觉特别抽象，其次是感觉特别牵强。经过本人长期的教学研究发现，如果教师不注重这种问题的降阶处理，学生在学习过程中感觉知识的形成过程特别生硬并无法理解，无形的给学生造成学习障碍及学习压力，并且这种学习障碍多了以后会挫伤学生的学习积极性，给学生的数学学习造成负面影响。
结合本人近年来的教学实际及对教材的深刻研究，本人是这样处理的，在引领学生学习完函数的三种表示法后，插入一节《函数的解析表示法与函数的图像表示法互化》的习题课。通过回忆初中学习的正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像实际例子，再来求函数的解析式等问题，搭建学生认知阶梯，如本人在我校B层次班教学中设计了如下问题。
例 画出函数y=x2-2|x|的图像。
先板演引领学生分析完成
（1）列表
（2）描点，（3）连线：如下图
另外。可以通过初中学习的二次函数图像的画法画出y=x2+2 ； 与y=x2-2x；的图像在定义域上截取得到，找对称轴x=-22=-1，找顶点（-1，-1），交点（0，0），（-2，0）定开口（向上）得到左边的图像，同理得到右边的图像，在本人引领学生做完图像后，在黑板上擦掉前面的函数解析式及所列表格，只剩下图像。
师：同学们，你们能够根据左边的函数图像写出函数的解析式吗？
生：能，y=x2-2|x|；
师：（又重新将刚才学生写出的解析式写在黑板上）
师：那么，现在要是请你们说出是怎样求出函数的解析式，能吗？
（学生陷入了一片沉思，有学生讲是二次函数？）
师：是二次函数吗？那么又怎么求这函数的解析式呢？
生1：先设f（x）=ax2+bx+c；（因为他们比较熟悉二次函数的一般表示式）
师：根据你们的假设求解一下解析式试试；同学们迅速算出了a=1；b=2；c=0或a=1；b=-2；c=0；
师：还有其他的解决方式吗？
生2：二次函数的表示式还有顶点式、两点式；
那么现在要你来选择求解这个问题的方式，你喜欢选择那一种表达方式呢？你选择试试看：
有学生选择顶点式，因为
当x≥0；知道顶点是（1，-1），图像过（2，0）解得y=x2-2x；
当x≤0；知道顶点是（-1，-1），图像过（-2，0）解得y=x2+2x；
有学生选择两点式，因为
结合以上学生学习的经验，我在处理课本例题，21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池。计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水注在离池中心4处达到最高，高度为6，另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物。使各个方向喷来的水柱在此汇合，这个装饰物的高度如何设计？
时是这样做的。先阅读题目分析由物理学知识知道是抛物线，选取一个纵截面得出图形。
考研数学三的考试范围如下：
1、微积分、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及图形初等函数等。
2、一元函数微分学考试内容导数的概念、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数和隐函数的导数等。
3、一元函数积分学考试内容原函数与不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式、不定积分的换元等。
4、多元函数微积分学考试内容多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续性、有界闭区域上二元连续函数的性质偏导数的概念等。
5、无穷级数考试内容常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件、几何级数与户级数的收敛性、正项级数收敛性的判别等。
（来源：文章屋网 ）
1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决简单的问题.
（1）了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列，了解等差中项的概念；
（2）正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项；
（3）能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题.
2.通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想.
3.通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识；通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点.
关于等差数列的教学建议
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
①教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用，等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性、也是本质属性的准确反映和高度概括，准确把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件.通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具，等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，通过函数图象研究数列性质成为可能.
②通过不完全归纳法得出等差数列的通项公式，所以是教学中的一个难点；另外，出现在一个等式中，运用方程的思想，已知三个量可以求出第四个量.由于一个公式中字母较多，学生应用时会有一定的困难，通项公式的灵活运用是教学的有一难点.
（3）教法建议
①本节内容分为两课时，一节为等差数列的定义与表示法，一节为等差数列通项公式的应用．
②等差数列定义的引出可先给出几组等差数列，让学生观察、比较，概括共同规律，再由学生尝试说出等差数列的定义，对程度差的学生可以提示定义的结构：“……的数列叫做等差数列”，由学生把限定条件一一列举出来，为等比数列的定义作准备．如果学生给出的定义不准确，可让学生研究讨论，用符合学生的定义但不是等差数列的数列作为反例，再由学生修改其定义，逐步完善定义．
③等差数列的定义归纳出来后，由学生举一些等差数列的例子，以此让学生思考确定一个等差数列的条件．
④由学生根据一般数列的表示法尝试表示等差数列，前提条件是已知数列的首项与公差．明确指出其图像是一条直线上的一些点，根据图像观察项随项数的变化规律；再看通项公式，项可看作项数的一次型（）函数，这与其图像的形状相对应．
⑤有穷等差数列的末项与通项是有区别的，数列的通项公式是数列第项与项数之间的函数关系式，有穷等差数列的项数未必是，即其末项未必是该数列的第项，在教学中一定要强调这一点．
⑥等差数列前项和的公式推导离不开等差数列的性质，所以在本节课应补充一些重要的性质；另外可让学生研究等差数列的子数列，有规律的子数列会引起学生的兴趣．
⑦等差数列是现实生活中广泛存在的数列的数学模型，如教材中的例题、习题等，还可让学生去搜集，然后彼此交流，提出相关问题，自己尝试解决，为学生提供相互学习的机会，创设相互研讨的课堂环境．
等差数列通项公式的教学设计示例
教学目标
1.通过教与学的互动，使学生加深对等差数列通项公式的认识，能参与编拟一些简单的问题，并解决这些问题；
2.利用通项公式求等差数列的项、项数、公差、首项，使学生进一步体会方程思想；
3.通过参与编题解题，激发学生学习的兴趣.
教学重点，难点
教学重点是通项公式的认识；教学难点是对公式的灵活运用．
教学用具
实物投影仪，多媒体软件，电脑.
教学方法
研探式.
教学过程
一.复习提问
前一节课我们学习了等差数列的概念、表示法，请同学们回忆等差数列的定义，其表示法都有哪些？
等差数列的概念是从相邻两项的关系加以定义的，这个关系用递推公式来表示比较简单，但我们要围绕通项公式作进一步的理解与应用.
二.主体设计
通项公式反映了项与项数之间的函数关系，当等差数列的首项与公差确定后，数列的每一项便确定了，可以求指定的项（即已知求）.找学生试举一例如：“已知等差数列中，首项，公差，求.”这是通项公式的简单应用，由学生解答后，要求每个学生出一些运用等差数列通项公式的题目，包括正用、反用与变用，简单、复杂，定量、定性的均可，教师巡视将好题搜集起来，分类投影在屏幕上.
1.方程思想的运用
（1）已知等差数列中，首项，公差，则－397是该数列的第______项.
（2）已知等差数列中，首项，则公差
（3）已知等差数列中，公差，则首项
这一类问题先由学生解决，之后教师点评，四个量，在一个等式中，运用方程的思想方法，已知其中三个量的值，可以求得第四个量.
2.基本量方法的使用
（1）已知等差数列中，，求的值.
（2）已知等差数列中，，求.
若学生的题目只有这两种类型，教师可以小结（最好请出题者、解题者概括）：因为已知条件可以化为关于和的二元方程组，所以这些等差数列是确定的，由和写出通项公式，便可归结为前一类问题.解决这类问题只需把两个条件（等式）化为关于和的二元方程组，以求得和，和称作基本量.
教师提出新的问题，已知等差数列的一个条件（等式），能否确定一个等差数列？学生回答后，教师再启发，由这一个条件可得到关于和的二元方程，这是一个和的制约关系，从这个关系可以得到什么结论？举例说明（例题可由学生或教师给出，视具体情况而定）.
如：已知等差数列中，…
由条件可得即，可知，这是比较显然的，与之相关的还能有什么结论？若学生答不出可提示，一定得某一项的值么？能否与两项有关？多项有关？由学生发现规律，完善问题
（3）已知等差数列中，求；；；；….
类似的还有
（4）已知等差数列中，求的值.
以上属于对数列的项进行定量的研究，有无定性的判断？引出
3.研究等差数列的单调性
，考察随项数的变化规律.着重考虑的情况.此时是的一次函数，其单调性取决于的符号，由学生叙述结果.这个结果与考察相邻两项的差所得结果是一致的.
4.研究项的符号
这是为研究等差数列前项和的最值所做的准备工作.可配备的题目如
（1）已知数列的通项公式为，问数列从第几项开始小于0？
（2）等差数列从第________项起以后每项均为负数.
三.小结
1.用方程思想认识等差数列通项公式；
2.用函数思想解决等差数列问题.
四.板书设计
等差数列通项公式1.方程思想的运用
2.基本量方法的使用
坐标系背景下的函数与图形形状结合问题往往是学生最头疼的问题，也是教师教学中最困惑的问题.许多教师缺少对此类问题一般方法的分析、概括和提炼.很多时候单靠大量的练习来训练学生的解题能力，就好比“摸着石头过河”，缺乏思想方法的指导.学生怕，老师累.数学教学最重要的是在数学思想方法上给学生以点拨、指导和训练.本文以中考专题复习课“函数与图形形状结合问题的解决”的几个片段为例，拟探究这类问题的一般方法，供读者商榷.
片段一：模式的概括
例如图1，抛物线y=-x2向上移动，与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点，若ABC为等腰直角三角形，求移动后的抛物线的解析式.变式1：ABC为等边三角形，求移动后的抛物线的解析式.
设计意图：利用简单而常见的函数、图形为题材，让学生感觉熟悉又有亲切感，但综合在一起，难度骤然加大.通过变式，让学生觉得图形的形状、位置虽然变了，但题目的模式并未发生变化，体会到找到解决此类问题的一般方法才是问题解决的关键，进而体会到解题方法的重要性.
上课开始时老师展示例题，并让学生先尝试性地做几分钟.46名同学中仅有7名同学做对，其中有5名学生是用特殊值凑出来的.然后老师变式：（如变式1）将ABC变为等边三角形.师：题目简简单单，但又觉得难，原因在于方法的缺失.师：先把题中的条件按数学形式分分类.经学生七嘴八舌，老师点拨、概括，题中条件可分为函数类条件（y=-x2等）和图形形状类条件（等腰直角三角形、等边三角形）.师：对此类问题能否用一个简单的模式进行概括？经老师引导，学生热烈的讨论，大家形成一个共识，用下列模式：函数―图形形状.
片段二：“题眼”的提炼
师：刚才我们只是对题型进行了分析与讨论，解题的方法和思路还不清楚.生：老师，我觉得刚才这个模式中，在函数和图形之间肯定有一种联系的要点或方法.师：有道理，在函数和图形间需要一条纽带，学生表示认可.师：那么联结这条纽带的最主要因素是什么？学生讨论激烈.生：这条纽带应该是点的坐标.因为题中ABC的三个顶点既是三角形的顶点，又是函数图像上的点.老师加以肯定，并分析点的坐标就如这个模式的眼睛，这条通道的窗口.然后对模式又做了一次修改补充.
片段三：点的表示法的探求
师：如何打开这个突破口呢？生：把点的坐标求出来.师：能否直接求出点的坐标？生：不能！师：怎么办？学生又一次激烈的讨论.生：用未知数把点的坐标表示出来.师：对.今天我们解这类问题的最关键之处就是怎样表示这些点的坐标.师：如果单考虑函数条件，如图1，抛开ABC为等腰直角三角形这一条件，A，B，C的坐标可以怎样表示？生：可设A的坐标为（0，m），抛物线的解析式y=-x2+m，B，C又是抛物线与x轴的交点，通过代入A的坐标（0，m）得0=-x2+m， x=±m，所以B，C的坐标分别可表示为（-m，0），（m，0）.师：接下来你能求出m的值吗？生：可以求的，因为ABC为等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，可得m=±m，解出来m1=1或0，0舍去，所以m=1.师：做得很好，完全正确.反之是否可行呢？即：单考虑几何条件，抛开A，B，C都是y=-x2上的点这一条件，A，B，C的点又怎么表示？生：设A的坐标为（0，m），因为ABC是等腰直角三角形，且AOBC，所以OA=OB=OC，所以B的坐标为（-m，0），C的坐标为（m，0）.师：怎么求？生：因为移动后的抛物线的解析式为y=-x2+m，把B（-m，0）代入解析式得0=-m2+m，解之得m1=1，m2=0（舍去）.师：刚才大家能顺利解题是因为找到了解题的突破口，抓住了“怎样表示点的坐标”这一关键.接下来我们把刚才两种解法进行对比，对点的表示方法作进一步的概括，对解题模式再作提炼.经过师生互动和深入讨论，对点的表示法概括出两点：（1）数设形代法.数设：通过函数、坐标系等代数条件，表示出点的坐标.如：A，B，C分别为抛物线的顶点、与两轴的交点，由此A，B，C三点的坐标分别可表示为A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.形代：然后把点的坐标代入反映形的关系式中.如：OA=OB=OC，得m=±m.（2）形设数代法.形设：通过形的关系式表示出点的坐标.如可由关系式OA=OB=OC反映ABC是等腰直角三角形的形状，进而设出A（0，m），B（-m，0），C（m，0）.数代：再把A，B，C三点坐标代入反映数的关系式.如抛物线的解析式y=-x2+m，得0=-（±m）2+m.最后又把解题模式进行了完善.
课中又安排了一些适应性的练习.如例1的变式1、变式2、练习题等.变式1：解法一（数设形代法）：设A的坐标为A（0，m），则抛物线的解析式为y=-x2+m，B，C的坐标分别为B（-m，0），C（m，0），又因为ABC为等边三角形，且AOBC，所以AO=3BO=3CO，得m=±3m，
实践表明，用这种方法来指导学生解函数与图形形状结合问题，学生的思路就会清晰许多.就好比找到“题眼”，总觉得有点可抓，有口可破，有路可走，学生的畏难情绪就会大大减少.老师在指导学生解题时，就好比抓到“衣领”，有提领而顿、百毛皆顺之感.在数学教学工作中，老师若对各类题型能在数学思想与方法上不断地创新、提炼，并给予学生有效的指导，学生的学习效率将会大幅度调高，达到“做一题，通一类，会一片”的效果，能体验到“会当凌绝顶，一览众山小”的解题意境，数学的魅力也将会得到更充分的彰显.
重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法――图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3. 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4. 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）07―0055―01
初中学生从初二开始接触函数，从内容上看，函数完全不同于学生先前所学的数学内容。如果将先前所学的内容称为“静态”数学的话，函数则可以被称为“动态”数学。因为它所表达的是“一个运动过程中（两个）不同变量之间的变化关系”。因此，这个主题的学习对学生而言更有新意。课程标准中函数的学习目标有：通过简单实例，了解常量、变量的意义；能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例；能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值；能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。因此，函数的学习要点可概括为：函数模型、函数性质研究、函数思想方法、函数运用。下面，笔者结合教学实践，分别对上述四点进行阐述。
一、数学模型
突出现实生活中可以用函数模型表达的各种“变化现象”。例如，王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期。设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息y元。这些问题的特点是其中存在的“不同变量之间的对象关系”。教学过程中应当让学生尝试分析具有不同背景的现实问题中所蕴含的“变化规律”；通过反思上述活动过程去总结变化规律的基本方法，同时也让学生体会其中所蕴含的数学思想方法，如抽象化、模型化、数形结合等思想方法。
二、函数性质的研究
这些内容是研究一般意义上的具体函数的基本性质，包括彼此的异同。例如，正比例函数的性质：1.定义域：R（实数集）；2值域：R（实数集）；3.奇偶性：奇函数；4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k
三、思想方法
这些内容主要是强调从函数的角度认识相关的现实或者数学中的现象，用运动、变化的观点寻求解决问题的思想，在教学过程中要积极地为学生创设学习情境。同时，要求学生从运动与变化、对应等角度认识变化过程中的变量之间的关系。除此之外，要尽量让学生自己去探究，要注意引导学生用严谨的数学思维来思考问题，用准确的数学语言来表达自己的结论。
四、函数的应用
【关键词】R语言；箱须图；星相图；脸谱图；气泡图
数据可视化主要旨在借助于图形化手段，清晰有效地传达与沟通信息。数据可视化与信息图形、信息可视化、科学可视化以及统计图形密切相关，尤其统计图形更为重要，统计图形是对资料进行探索性研究的重要工具，当人们在运用其他统计方法对所得资料进行分析之前，往往习惯于把各资料在一张图上画出来，以直观地反映资料的分布情况及各变量之间的相关关系。当只有一个或两个变量时，可以使用通常的直角坐标系在平面上作图。当有三维数据时，虽然可以在三维坐标系里作图，但已很不方便。而当数据大于三时，用通常的方法已不能制图。许多多元统计分析问题，数据的维度都大于三，所以自20世纪70年代以来，多元数据的图示法一直是人们所关注的问题。
一、基于R语言的箱须图
箱须图（Box-whisker Plot）也称箱线图（Boxplot），于1977年由美国著名统计学家约翰·图基（John Tukey）发明。它能显示出一组数据的最大值、最小值、中位数、下四分位数及上四分位数。是一种用作显示一组数据分散情况资料的统计图。因型状如箱子而得名。在R软件中，用boxplot（）函数作箱线图，具体函数参数如下：
Boxplot（x， ，range=1.5，width=NULL，varwidth=FALSE，notch= FALSE，outline=TRUE，Names，plot=TRUE，col=NULL，log=””，horizontal=FALSE，add=FALSE，at=NULL）
二、基于R语言的星相图
星相图是雷达图的多元表示形式，它将每个变量的各个观察单位的数值表示为一个图形，n个观察单位就有n个图，每个图的每个角表示每个变量，雷达图用于同时对多个指标的对比分析和对同一个指标在不同时期的变化进行分析。在R软件中，用Stars（）函数作星相图，具体函数参数如下：
Stars（x，full=TRUE，draw.segments=FALSE，…），x为数值矩阵或数据框；full为图形形状：full=TRUE为圆形，full=FALSE为半圆；draw.segments为分支形状：draw.segments=T为圆形，draw.segments=F为半圆。
三、基于R语言的脸谱图
脸谱图是用脸谱来表达多变量的样品，由美国统计学家H.Chernoff于1970年首先提出，该方法是将观测的个变量（指针）分别用脸的某一部位的形状或大小来表示，一个样品（观测）可以画成一张脸谱。他首先将该方法用于聚类分析，引起了各国统计学家的极大兴趣，并对他的画法作出了改进，一些统计软件也收入了脸谱图分析法，国内也有很多研究工作者将该方法应用于多元统计分析中。脸谱图分析法的基本思想是由15—18个指针决定脸部特征，若实际资料变量更多将被忽略 ，若实际资料变量较少则脸部有些特征将被自动固定。统计学曾给出了几种不同的脸谱图的画法，而对于同一种脸谱图的画法，将变量次序重新排列，得到的脸谱的形状也会有很大不同。按照切尔诺夫于1973年提出的画法，采用15个指标，各指标代表的面部特征为：1表示脸的范围，2表示脸的形状，3表示鼻子的长度，4表示嘴的位置，5表示笑容曲线，6表示嘴的宽度，7—11分别表示眼睛的位置，分开程度，角度，形状和宽度，12表示瞳孔的位置，13—15分别表示眼眉的位置，角度及宽度。这样，按照各变量的取值，根据一定的数学函数关系，就可以确定脸的轮廓、形状及五官的部位、形状，每一个样本点都用一张脸谱来表示。而脸谱容易给人们留下较为深刻的印象，通过对脸谱的分析，就可以直观地对原始资料进行归类或比较研究。在R软件中，用aplpack包中的faces（）函数作脸谱图，具体函数参数如下：
faces（xy，which.row，fill=FALSE，nrow，ncol，scale = TRUE，byrow =FALSE，main，labels）
四、基于R语言的气泡图
气泡图是一个将点表示为气泡（或圆圈）的散点图，与XY散点图类似，但可表现的数据信息量更多，最多可以表示五维（x位置、y位置、大小、颜色和时间），通过更改气泡的大小和颜色，按时间变化将气泡制成动画视觉效果，能使数据探索更加方便。在R软件中，用symbols（）函数作气泡图，具体函数参数如下：
Symbols（x，y=NULL，circles，squares，rectangles，stars，thermometers，boxplots，inches=TRUE，add=FALSE，fg=par（“col”），bg=NA，xlab=NULL，ylab=NULL，main=NULL，
xlim=NULL，ylim=NULL，...）
参 考 文 献
[1]庄作钦.Boxplot——描述统计的一个简便工具[J].统计教育.
2003（1）
教师在教学设计方面，要对“函数”的具体内容进行“四基”分类，明确教学内容的来龙去脉和结构特征，了解该教学内容的学生学习特征，从而设计每个类型知识在学习目标、知识技能、数学思考、问题解决和情感态度方面的教学方案，确定该教学内容的教学方法，确保教学的有效开展。下面谈谈在“函数”教学方面的策略和注意点。
一、初中数学函数教学的策略
1.对一次函数的理解
一次函数的理解是一个过程与对象交织的立体图景。既需要具体的实际素材分析，又需要在此基础上的概括抽象。整个学习活动，既需要教师的精心组织，又需要自己感悟。
例1 世界上大部分国家都使用摄氏度（℃），但英美等国天气预报仍然使用华氏（F），两种计量之间有如下对应关系。
试着找摄氏=100时，华氏是多少？
师：从表格中，能否找到摄氏（℃）与华氏（F）之间的数量关系？
生：看不出来。
师：我们把对应变量作为坐标，在数轴上描出来，怎样？大家讨论思考。
生：描出来的图象好像是一条直线。
师：那什么函数的图象是一条直线呢？
生：一次函数，我知道怎么做了。
师：华氏温度的值与摄氏温度的值在什么时候相等呢？从图上和解析式来看。
生：从图象上看，与直线y=x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时候的值。对应于解析式，y=1.8x+32中令x=y即可，解x=1.8x+32的方程。
师：谈谈这一探究问题的感想。
生：加深了对一次函数的理解。
2.多元表征帮助学生深刻理解函数
例2 某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。
这个问题属于实际应用的分段函数例子，函数的三种表示法可以结合应用于这个例子。第一种情况，x10，如，取x=15时，y=8×10+8×5×80%，类似地y=8×10+80%×8（x-10），作出图象并考虑自变量的取值范围。这样处理，帮助学生经历了由具体到抽象概括的思考过程，由此就能综合出分段函数的表达式并理解其意义了。
通过上述过程能帮助学生理解函数的表示（列表、图象和表达式等）是刻画变量之间的关系，而不仅仅是简单的表达式而已。
函数理解离不开多元表征（列表、图象和表达式等）的相互联系和转化，也离不开对函数模式的把握。这些过程的实施，离不开老师的引导，也离不开学生的合作探究和独立思考。
二、初中数学函数教学的注意点
1.弄清楚函数与代数式、方程的关系
初中数学到了函数阶段，是对前面的知识的提炼升华，函数把多项式、变量、坐标系和方程等内容进行了有机整合。因此，弄清概念之间的关系是学习函数的重要基础。
2.利用数量关系建立函数模型
在教学中，以数量关系的发展作为基础，引出函数的结构模型，尤其是从实例中寻找函数关系，构造事物变化过程中的具体函数模型。
关键词 函数 概念
回顾函数概念的历史发展，函数概念是不断被精炼，深化，丰富的。初中时函数的定义是一个变量对另一个变量的一种依赖关系。在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。高中时，是用集合与对应的语言描述了函数概念。函数是一种对应关系，是函数概念的近代定义。
设a,b是非空数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数,记作y=f(x),x∈a。函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。
函数的概念这一节课，内容比较抽象，概念性强，思维量大，为了充分调动学生的积极性和主动性，教学中通过典型实例来启发和帮助学生分析，比较，以达到建构概念之目的。
引出函数的概念，先是举出了生活中的三个实例。第一个实例是关于物体做斜抛运动的，和初中学习过的二次函数相联系。第二个实例是关于臭氧空洞的问题，给出了函数的图像，按照图中曲线，发现了两个集合之间的一种特殊的对应关系。第三个实例是关于恩格尔系数的经济实例。列表给出了恩格尔系数和时间（年）的关系。三个实例共同反映了变量之间的相互依赖的关系，同时反映出两个非空集合之间的一种特殊的对应关系。这样，自然而然地给出了函数的概念，并且这三个实例中的函数恰好是用了三种表示方法：解析法，图像法，列表法。
以实际问题为载体，以信息技术的作图功能为辅助。通过三个实例的教学，师生共同发现了函数概念中的对应关系。教师在归纳出函数定义后，可以在全班进行交流。结合初中函数的定义，指出两个定义的区别和联系。关于“y=f(x)”这一个函数符号的理解，教师可以提问：y=f(x)一定是函数的解析式吗？回答是不一定，可以举出实例二和实例三。函数的解析式，图像，表格都是函数的表示方法。即：y=f(x)表示y是x的函数，但f(x)不一定是解析式。当f(x)是一个解析式时，如果把x,y看作是并列的未知量或者点的坐标，那么y=f(x)也可以看做是一个方程。
函数的核心是对应法则，通常用记号f表示函数的对应法则，在不同的函数中，f的具体含义不一样。函数记号y=f(x)表明，对于定义域a的任意一个x在“对应法则f”的作用下，即在b中可得唯一的y.当x在定义域中取一个确定的a，对应的函数值即为f(a).集合b中并非所有的元素在定义域a中都有元素和它对应；值域 。教师引导学生归纳并总结，函数的三要素是定义域，值域和对应法则。
然后，教师给出同学们所熟悉的三种函数，一次函数y=ax+b(a≠0)，反比例函数 ，以及二次函数 。教师演示动画，用几何画板显示这三种函数的动态图像，启发学生观察，分析，并请学生们思考之后，填写对应关系，定义域和值域。通过三个熟悉的函数加深学生对函数近代定义的理解。教师引导学生归纳总结出：函数的三要素是定义域、值域及对应法则。在函数的三要素中，当其中的两要素已确定时，则第三个要素也就随之确定了。如果函数的定义域，对应法则已确定，则函数的值域也就确定了。
连续的实数集合可以用集合表示，也可以用区间表示。利用多媒体课件展示怎样用区间表示集合。区间可以分为闭区间，开区间，半开半闭区间。特别地，实数集r记作(-∞,+∞), ∞ 读作无穷大；-∞ 读作负无穷大；+∞ 读作正无穷大;“∞”不是一个数，表示无限大的变化趋势，因此作为端点，不用方括号。
例1和例2的编排，是为了进一步地加深理解函数的三要素。函数的定义域通常由问题的实际背景确定.对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合。在例1中，要注意f(a)与f(x)的联系与区别：f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量。f(a)是f(x)的一个特殊值。例2是来判断两个函数是否相等的。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，这两个函数就是相等的。
数学概念是构建数学理论大厦的基石；是导出数学定理和数学法则的逻辑基础；是提高解题能力的前提；是数学学科的灵魂和精髓。因此，数学概念教学是高中数学教学的一项重要任务，是“双基”教学的核心、是数学教学的重要组成部分，应引起足够重视。正确理解概念是学好数学的基础，概念不清往往是导致学生数学成绩差的最直接的原因。
