时间：2023-06-01 09:30:24
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇数学归纳法，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（F·Maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家R.帕斯卡（Pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家A德·摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。
虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889年意大利数学家皮亚诺（GYeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。
二、数学归纳法的原理
用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：
第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；
第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础：第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。初学者对于上述思想往往缺乏深刻的认识，对用数学归纳法证题，总觉得不大放心，以为这种证法流于形式，证与不证似乎没有什么两样。这种疑虑是进一步学习的绊脚石。只有弄清实质，理解原理，才能学好数学归纳法。
三、数学归纳法的标准形式
由归纳公理，立刻可以得到，设P（n）是关于自然数n的命题，若
1°（奠基）p（n）在n=1时成立；
2°（归纳）在到p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数都成立。
这就是数学归纳法的标准形式通常称作第一数学归纳法。
适当变换第一数学归纳法中奠基与归纳步骤中的内容，有第一数学归纳法的基本变形。
设P（n）是关于自然数n（n≥n°，n°∈N）的命题，若
1° p（n）在n=n°时成立；
2°在P（k）（k是不小于n°的自然数）成立的假定下可以推出P（k+1）成立，则p（n）对不小于n°的一切自然数都成立。
设P（n）是关于自然数n的命题，若
1°p（n）在n=1，2…时成立；
2°在P（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出P（k+l）成立，则P（n）对一切自然数n都成立。
能否改变第一数学归纳法中归纳假设的内容，例如在一些情况下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。
四、归纳步骤的证明思路
用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型。
1.能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。
2.不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+l带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证得结论；（2）利用其他数学知识，建立P（k）（第k号命题）与P（k+1）（第k+l号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。
五、运用“多米诺骨牌效应”模型，建立直观具体的形象
让我们来做一个游戏，这个游戏曾在中央电视台演播过，不妨称为“摆砖游戏”。我们把很多很多砖块按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放，从教室摆到操场，再摆到公路上，再摆到香港，再摆到外国……，甚至可以没完没了的摆下去。那么，我们只要推倒第一块砖，就能把所有的砖块全部推倒。这个游戏有两个条件：第一，要推倒第一块砖；第二，砖块必须按照“前砖碰倒后砖”的规格来摆放。显然，这两个条件缺一不可。如果缺少第一个条件，就会有砖没有被推倒(至少第一块砖没有推倒)。如果缺少第二个条件，“碰倒过程”就会中断，就会有很多很多砖块没有推倒。
从上面的“思维游戏”启发我们得出一个处理与自然数有关问题的方法：(1)处理第一个问题(相当于推倒第一块砖)；
(2)验证前一号问题与后一号问题有传递关系(相关于前砖
碰倒后砖)，这时主角亮相了。数学归纳法是可靠正确的推
理方法。介绍了数学归纳法之后，师生共同参与，按以下设问进行教学：
1．第一步骤是递推的基础，第二步骤是递推的依据。若二者缺一将会出现什么问题呢?能举出实例来吗?
2．完成第一步骤后，在第二步骤中，假设n=k时的结论正确，这样的k值是否存在呢?证明N=K+1时结论也正
确，是否起着“传递性”的作用?
3．第二步骤中，如果不使用N=K时结论正确这个条件，
直接证明N=K+1时结论正确，是否还是数学归纳法呢?或
者说比数学归纳法更好呢?
4．第一步骤中，证明N取第一个值结论正确，这第一个值从哪里取起呢?
5．第二步骤中，在使用N=K时结论正确的前提下，可以用哪些方法来突破N=K+I时结论正确这一关呢?(如：演
绎法、分析法、反证法等)。
6．数学归纳法是针对n∈N而言的．那么N取非自然数
时，是否也可以呢?
针对学生在概念的学习中容易出现的问题：错误理解、认识肤浅、似是而非、掌握不牢等现象，教师要精心创设情景，优化教学手段，以达到对概念的理解、认识到位，对概念的掌握准确、牢固、灵活之目的。同时，行之有效地培养了学生思维的批判性和深刻性。
掌握了数学归纳法的原理和证明格式后，还需要进一步
认识数学归纳法和归纳法这两种推理方法之间的区别和联
系，初步形成“观察――归纳――猜想――证明”的思维方法，既能发现结论，又能证明结论的正确性。这又是培养学生的发现创造能力、分析问题和解决问题能力的重要内容。
优化概念教学的实质就是充分展示概念的形成、深化过
一、重视课题的引入，提高学生的兴趣和求知欲
心理学告诉我们，人得到大脑接受新异刺激时，大脑皮层会出现优势的兴奋中心，从而使思维高度活跃。因此，在对数学归纳法的教学的引入上，教师要费一点苦心，可设计小实验、提出实例问题等，重点向学生讲清完全归纳法和不完全归纳法的概念，并通过提问或实验使学生明白，用完全归纳法得出的结论是可靠的，而用不完全归纳法得出的结论是不一定可靠的。接着再向学生说明在数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个数，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的，然而只就部分自然数进行验证所得的结论，即用不完全归纳法得到的结论，是不一定可靠的。因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行，比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法，即数学归纳法。
这时，可以就学生学过的一些数列的公式为例来进行数学归纳法的教学，按教材安排讲解归纳法的概念、证明步骤，并举例说明应用，并强调数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。
二、确立证明步骤，加强规范教学的同时，注意学生对数学归纳法的真正理解
数学归纳法的步骤，严格地讲，理应是三步（或两步一结论）。其中第一步是证明时递推的基础，第二步是递推的依据。把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数都成立，因此，用数学归纳法证题，完全上述两步后，还要作一个总的结论。
学生往往不能理解为什么经过数学归纳法的两个步骤的证明就能保证命题对一切自然数都成立，不理解这两个步骤各起什么作用。为了帮助学生理解数学归纳法的实质，我们可以设计类似的比喻：把数学归纳法的证明过程看作登无穷级梯子，当证明了命题对n=1时成立，就表明我们已有能力登上无穷级梯子的第一级；证明了能够从k过渡到k+1，就相当于表明有能力从梯子的任何一级登上更高的一级；只有具备了上述两种能力才能达到梯子的任何一级。于是要强调数学归纳法的证明步骤是缺一不可的，这是因为有第一步无第二步，那就属于不完全归纳法，结论的普遍性是不可靠的；如果有第二步无第一步，则第二步中的假设就失去了基础。可以通过一些实例说明，只有一个步骤得到验证的命题不一定成立。
三、充分考虑学生的思维障碍，及时给予指导
1.在第一步中，只需验证n取第一个值N(这里N是使结论有意义的最小的自然数，它不一定是1，可以取2或别的自然数)时结论成立就可以了。学生对此会很不放心，往往想多验证几个自然数。这里应该告诉学生：验证了n=1时结论成立，就说明命题具备了递推的基础，待证得第二步后，便具备了递推的根据，这就可以推得n=2，3・・・・・・时结论都成立。当验证了命题在n=1时成立以后，递推的基础就已经有了，不必再验证对更多的自然数值成立。因此即使能验证对很多自然数值都成立，而没有第二步递推的根据，仍然不能证明这个命题对任何自然数都成立。
2.第二步中。学生对“假设n=k时结论正确”一句的“假设”二字往往迷惑不解，认为既然是假设的，就没有什么根据，那么即使证得n=k+1时结论成立，也没有什么意义。这主要是学生对这一步的实质没有理解。因此，应该强调：这一步实质上是证明命题的传递性，就是要得出这样一个结论，如果对于自然数k能使命题成立，就能够保证对于它的后继数k+1也能够使命题成立。事实上，在证明了n取第一个值N时命题成立之后，N作为这里的k，当n=k时命题成立，就不是一个假设而是一个事实了。于是根据这一步，可以递推得对于N+1命题成立，再以N+1作为这里的k，再次运用这一步，又可推得对于N+2时命题成立。这样递推下去，可知命题对于任意不小于N的自然数都成立。
3.证明的关键往往不在于第二步，由n＝k是命题成立推导n＝k+1时命题也成立，这是数学归纳法证明的核心部分，也是证明的难点。而这一步主要在于合理运用归纳假设，学生往往不会运用归纳假设，甚至不用归纳假设，即n＝k是命题成立这一条件，常常n＝k+1直接代入命题，便说结论成立，这样做实质上是没有证明。因此，在教学时，要求学生在证明过程中必须用到归纳假设；对形式和结构比较复杂的题目，要引导学生仔细分析P（K），P（K＋1）的结构差异和联系，弄清表达式中“・・・・・・”的意义，正确运用拆、添、并、放、缩、等手段，或从归纳假设，或从P（K+）中分离出P（K），再进行局部调整，也可以考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，达到所要证明的目标。
4.学生在实质运用数学归纳法证题时，还会遇到一些困难，其原因主要由于这过程中需要综合运用过去所学过的知识，而对这些知识的遗忘，往往会成为用数学归纳法证题的障碍。因此，讲解例题时还要适当穿插复习过去所学的知识。
【关键词】数学归纳法；应用； 注意点【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）13-0275-01
数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用，甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景.本文先简单阐述数学归纳法的理论依据，然后通过一些具有例子讨论数学归纳法在中学数学中的应用，最后简单叙述数学归纳法在应用中需要注意的问题.
归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用于数学严格证明.
数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是佩亚诺公理Ⅰ―Ⅴ中的归纳公理：
Ⅰ.存在一个自然数0∈N；
Ⅱ.每个自然数a有一个后继元素d，如果d是a的后继元素，则a叫做d的生成元素；
Ⅲ.自然数0无生成元素；
Ⅳ.如果d=b′，则a=b；
Ⅴ.（归纳公理）自然数集N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.
数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数有关的初等数学问题，而且还可以解决高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的有关问题.在用数学归纳法解决以上问题时，能大大降低问题的复杂性，同时能找出相应的递推关系.下面结合具体例子讨论数学归纳法在整除、不等式、数列等问题中的应用.
1数学归纳法在整除问题的应用
整除问题都可以用数学归纳法来解决，用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式整除，这是数学归纳法证明整数的整除性问题的一个技巧.
例1 求证：n3+5n（n∈N+）能被6整除.
证 （1）当n=1时，13+5×1=6能被6整除，命题成立.
（2）假设n=k时，命题成立，即k3+5k能被6整除.
当n=k+1时，有（k+1）3+5（k+1）=（k3+3k2+3k+1）+（5k+1）
=（k3+5k）+3k（k+1）+6.
因为两个连续的正整数的乘积k（k+1）是偶数，所以3k（k+1）能被6整除.
从而（k3+5k）+3k（k+1）+6能被6整除，即当n=k+1时命题也成立.
根据数学归纳法知，对一切正整数命题都成立.
2数学归纳法在不等式问题的应用
用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.
例2 设ai>0（i=1，2，…，n），且a1+a2+…+an=1.
求证：a21+a22+…+a2n1n（n2）.
证（1）当n=2时，因a1+a2=1，故.a21+a22+2a1a2=1.
又a21+a222a1a2，所以a1+a212.
（2）假设当n=k时命题成立，即在a1+a2+…+ak且a>0（i=1，2，…，k）的条件下有a21+a22+…+a2k1k.
则当n=k+1时，a21+a22+…+ak2+ak+12=1，且ai>0，所以0
故1-ak+1>0满足归纳假a21+a22+…+a2k1k设所应满足的条件，所以（a11-ak+1）2+（a21-ak+1）2+…+（ak1-ak+1）21k.
即 a21+a22+…+a2k（1-ak+1）2k
a21+a22+…+a2k+ak+12（1-ak+1）2k+ak+12.
因为（1-ak+1）2k+ak+12-1k+1=（k+1）2ak+12-2（k+1）ak+1+1k（k+1）
=1k（k+1）[（k+1）ak+1-1]20
所以a21+a22+…+a2k+ak+121k+1.
根据数学归纳法，原命题对大于的自然数都成立.
3数学归纳法在数列问题的应用
例3 设数列{an}的前n项和为Sn，若对于所有的自然数n，都有Snn（a1+an）2，证明{an}是等差数列.
证设a2-a1=d，假设an=a1+（n-1）d.
当n=1时，an=an，所以当n=1时假设成立.
当n=2时，a1+（2-1）d=a2，所以当a=2时假设成立.
假设当n=k（k2）时，假设也成立，即：ak=a1+（n-1）d.
当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=（k+1）（a1+ak+1）2-k（a1+ak）2.
将ak=a1（k-1）d 代入上式，得到
2ak+1=（k+1）（a1+ak+1）-2ka1-k（k-1）d
整理得 （k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d.
因为k2，所以ak+1=a1+kd，即n=k+1时假设成立.
根据数学归纳法可知，对所有的自然数n，都有an=a1+（n-1）d，从而{an}是等差数列.
本题是将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中ak+1的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式Sn=n（a1+an）2，数列中通项与前n项和的关系ak+1=Sk+1-Sk建立含ak+1的方程，代入假设成立的式子ak=a1+（k-1）d中解出ak+1.另外本题注意的一点是不能忽视验证n=1、n=2的正确性.因为，由（k-1）ak+1=（k-1）a1+k（k-1）d得到ak+1=a1+kd的k2.所以，用数学归纳法证明时递推的基础是n=2时等式成立.
数学归纳法主要是针对一些自然数的相关命题，所以在证明和自然数n有关的式子中有着不可替代的作用，对于一些和自然数有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.当然在使用数学归纳法时要注意：第一，证明的两个步骤缺一不可.第一步是归纳法的基础，第二步是归纳法的传递.尤其不可忽视第一步的验证；第二，第二步在证明T（n+1）为真时，一定要用到归纳假设，即要把“T（n）为真，推出T（n+1）为真”或由“T（n0），T（n0+1），…，T（k-1）为真，推出T（k）为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明；第三，并不是凡与自然数相关的命题T（n）都能用数学归纳法给以证明的.
参考文献
[1]刘艳.数学归纳法的原理及其应用.山西经济管理干部学院学报，2011，（09）：54-56.
[2]张瑞峡.数学归纳法的理论基础.科教文汇，2011，（07）：24-26.
中图分类号：G623.5
归纳法是思考问题的一种方法，其基本思想是通过举少量的特殊情况，经过分析，归纳，最后找出一般关系。但是，要从一个实际问题中总结归纳出一般的关系却并非易事，尤其要归纳出数学模型更难。
从本质上看，归纳就是通过观察一些简单而特殊的情况，最后总结出有用的结论或解决问题的有效途径。归纳是一种抽象，即从特殊现象中找出一般关系。由于在归纳过程中不能对所有可能的情况进行列举，因而最后得到的结论还只是一种猜测（即归纳假设）。所以，对于归纳假设还必须加以严格的证明，通常采用的称作数学归纳法。
数学归纳法还分为普通数学归纳法和超限数学归纳法，这里我们只讨论普通数学归纳法，称其为数学归纳法。
同样道理可以证明定理2，这里略。
例（汉诺塔问题）：19世纪后期一个著名的问题叫做汉诺塔问题，它是由安装在一个
板上的三根柱子和若干大小不同的盘子构成。开始时，这些盘子按照大小次序放在第一根柱子上，使得大盘子在底下。问题规则是：每次把1个盘子从一根柱子移动到另外一根柱子上，但是不允许这个盘子放在比它小的盘子上面。问题的目标是把所有的盘子按照大小次序都放在第二根柱子上，并且将最大的盘子放在底下，求移动次数。
参考文献
1张禾瑞，郝新编。高等代数（第三版），北京，高等教育出版社，1983年9月。
2王玮明编著。计算机代数系统与符号计算，兰州，甘肃科学技术出版社，2004年2月。
一、证明恒等式问题
例1 对于n∈N*，用数学归纳法证明：
1・n+2・（n-1）+3・（n-2）+…+（n-1）・2+n・1=16n（n+1）（n+2）.
证明 设f（n）=1・n+2・（n-1）+3・（n-2）+…+（n-1）・2+n・1.
（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）设当n=k（k∈N*）时等式成立，即1・k+2・（k-1）+3・（k-2）+…+（k-1）・2+k・1=
16k（k+1）（k+2），
则当n=k+1时，
f（k+1）=1・（k+1）+2[（k+1）-1]+3[（k+1）-2]+…+[（k+1）-2]・3+[（k+1）-1]・2+（k+1）・1
=f（k）+1+2+3+…+k+（k+1）
=16k（k+1）（k+2）+12（k+1）（k+1+1）
=16（k+1）（k+2）（k+3）.
由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立.
二、证明不等式问题
例2 已知n∈N*，
求证：（1+2+3+…+n）・（1+12+13+…+1n）≥n2.
证明 可结合不等关系：1+12+13+…+1n≥1+12（n>1）来证明，但注意要将奠基的起点后移，即在第一步证明中，不仅要证明n=1时原不等式成立，还要证明当n=2时，原不等式也成立.
证明：（1）当n=1时，原不等式显然成立，
当n=2时，不等式
左边=（1+2）×（1+12）=92=412，
右边=22=4，则左边>右边，
当n=2时，原不等式成立.
（2）假设当n=k（k∈N*，k>1）时，（1+2+3+…+k）・（1+12+13+…+1k）≥k2成立，则n=k+1时，
[1+2+3+…+k+（k+1）][1+12+13+…+1k+（1k+1）]
=（1+2+3+…+k）（1+12+13+…+1k）+1+2+3+…+kk+1+（1+12+13+…+1k）（k+1）+1≥k2+k（k+1）2（k+1）+（1+12）（k+1）+1
>k2+k2+32k+1=（k+1）2.
所以当n=k+1时原不等式也成立.
由（1）和（2），可知原不等式对任何n∈N*都成立.
三、证明整除性问题
例3 证明： an+1+a+12n-1能被a2+a+1整除n∈N*.
证明 （1）当n=1时，命题显然成立.
（2）假设n=k时，命题成立，即ak+1+a+12k-1k∈N*能被a2+a+1整除.则当n=k+1时，
ak+2+a+12k+1=ak+1a+a+12k-1a+12 =aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-aa+12k-1
=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a+12-a
=aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1
由于ak+1+a+12k-1能被a2+a+1整除，
所以aak+1+a+12k-1+a+12k-1a2+a+1能被a2+a+1整除
即当n=k+1时，命题也成立.
根据（1）和（2），可知命题对任何n∈N*都成立.
四、证明几何问题
要想使学生真正掌握归纳法中的归纳思想，首先要让学生充分了解数学归纳法的基本原理，理解归纳法的本质;然后通过实例让学生掌握解题的基本方法与步骤，了解归纳法在题目中的应用;最后通过对学生进行思想上的引导，让学生通过思考、反思，不仅能够发散学生的思维，还能让学生真正领悟归纳思想的精髓，并在将来能够应用到实际中．通过对归纳法的深入探究，本文阐述了归纳思想的重要性，并通过实例，具体讲解了如何在高中数学的教学中应用归纳法，最后，还提及了教学过程中的常见问题，并对问题进行了分析，给出了解决方法．
一、数学归纳法的教学价值
数学归纳法是一种不同于其他数学方法的、偏向于推理和证明的方法．归纳法是连接无限与有限的一座桥梁，是数学发展过程中里程碑式进展．在面对一些看似复杂的题目时，使用数学归纳法或许可以简化解题步骤，这更易于学生的理解记忆．与此同时，归纳法的根本价值在于它能够培养学生的思维方式．在学习的过程中，它要求学生通过细致观察、认真地思考以及严谨地推理去发现事物的规律或原理．在这个过程当中不仅学生的观察能力会得到充分的锻炼，分析能力和推理也能有所改善．这些潜移默化的改变不仅能够逐渐提高学生的抽象思维能力，还能使学生领悟归纳法中所蕴含的思想，并能灵活的运用到其他学科中．
二、数学归纳法在教学中的实际应用
数学归纳法注重锻炼逻辑和推理，因此它的思维步骤非常明确．它的第一步能够奠定全局的基础，是进行推理、证明的重要部分，需要保证当前命题的准确性与真实性．通过对当前命题的观察、分类后，才能进行下一步．第二步着重点在于推理．需要保证命题的延续性，即这一命题能够随着参数的改变能够进行无限的延伸．这两个步骤相互制约、缺一不可．而关于如何在数学教学中应用数学归纳法，本文通过教学实例进行详细说明．
三、数学归纳法的教学困难及应对措施
归纳法由于其本身的抽象性质，在教学过程中会出现各种意向不到的问题．其中，可能会因为学生无法真正理解归纳思想，进而导致不能灵活运用归纳法．这一问题成为了教学过程中的最大障碍．在教学的过程中，由于归纳法连接了有限和无限两个概念，导致学生出现了理解上的偏差与困难．在对有限的概念进行证明时，较为简单．直接将数字带入题中，即可得出清晰明的结果．但在假设进行无限证明时，学生也许很难理解为何要进行这一步，也无法理解这样的证明与其他过程的联系在哪里．而最后一步的证明对学生的抽象思维理解能力要求更高．当学生无法真正领会归纳的思想时，则难以随着题目的改变而做出灵活的应变，更加难以看到题目的实质，找出题目与归纳法的关系．在遇到这种问题时，老师如果在讲解过程中无法表述的更具体，可以建立具体的模型或者动画演示．比如，“多骨诺牌效应”这一数学模型．通过演示，向学生展示归纳中的递推关系，让同学们了解归纳法的实质，从而真正领悟归纳思想，能够将数学归纳法灵活的运用在各类题目中．
四、结语
通过文中分析可得，归纳法是一门抽象地、有效地、与生活息息相关的数学方法，也是一门能够直接锻炼学生观察能力、分析能力及推理能力的方法，在数学这门严谨且复杂的学科中占有重要地位．因此，希望教学者能够重视这种方法，不仅要让学生懂的如何运用这种方法进行解题，更要让学生深刻的理解归纳法中所蕴含的归纳思想，并把它运用到生活中去．与此同时，本文中所提出的观点并不能囊括所有的情况，希望广大教学者能够根据学生的实际情况，做出相应的调整与改善．希望教学者能够不断努力，培养出更多优秀学生．
作者:刘国良 单位:江苏省徐州市丰县华山中学
1.归纳推理
近几年高考特别注重对归纳猜想的考查，主要形式是根据已知条件归纳出一个结论，若是解答题，再用演绎推理对结论进行证明。归纳推理的注意点：①归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，由归纳推理得到的结论超越了前提所包容的范围，因而必须立足于观察、检验、实验的基础上；②用归纳推理归纳结论时，切记不要以偏概全，不能根据几个特殊情况就得到一般性结论，需再用所学知识去证明结论是否正确，所以要慎重。
2.类比推理
类比推理在近几年的高考中屡有出现，且不断翻新，不但考查考生对联想、类比等方法的掌握情况，还考查考生的演绎（逻辑）推理能力。类比推理的注意点：①类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认知为基础，类比出新的结果；②类比推理是从一种事物的特殊属性推测到另一种事物的特殊属性，是由特殊与特殊的推理；③在几何问题的推理中，通常情况下，平面图形中的点、线、面可类比为空间图形中的线、面、体，平面图形中的面的面积可类比为空间图形中的几何体体积。
3.演绎推理
演绎推理的一般步骤：可根据具体问题灵活选择推理步骤，但几种推理规则基本都遵循“条件——推理——结论”这样的三步式。演绎推理的注意点：①在数学中，证明命题的正确性都是用演绎推理，而合情推理不能当作证明；②演绎推理中的三段论推理中的大前提在具体问题的推理过程中有时可以省略，但是必须明确大前提是什么。
4.直接证明
综合法与分析法是两种思路截然相反的证明方法。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，实际上是要寻找上一步的必要条件。而分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，实际上是要寻找使上一步成立的充分条件。分析法和综合法各有其优缺点：①从寻求解题思路来看，分析法有利于思考，方向明确，思路自然；综合法往往枝节横生，不容易达到所要证明的结论。②从表达过程而论，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法形式简捷，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于书写。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用，即先用分析法探索证题的途径，然后用综合法写出证明过程，这是解决数学问题常用的一种重要方法。
5.间接证明
使用反证法证明数学命题的一般步骤为：（1）分清命题的条件与结论；（2）做出与命题相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用正确推理的方法，推出矛盾；（4）断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接证明原命题成立。
6.数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤要做到“递推基础不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。因此必须注意以下几点：（1）验证是基础。数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找到一个数，这个数就是我们要证明命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题。（2）递推乃关键。数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次。（3）正确寻求递推关系。我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推公式呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推公式是有帮助的。②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置。③在书写f(k+1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项都要分析清楚。
二、常见方法、技巧及注意点
1.使用反证法证明问题时，准确地做出反设（即否定结论）是正确运用反证法的前提，常用的“结论词”与“反设词”列表如下：
2.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾。常见矛盾有三类：
（1）与假设矛盾；（2）与数学公理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾。
3.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑，如果只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误。
4.运用数学归纳法常见的错误：
摘 要：学生对上课的内容表现出不理解，教师就要及时做好反思，反思是一个教师快速成长的一种很好的途径。 本文结合一道高三模拟题的讲评及教后反思，说明了对数学归纳法的本质的认识。 进一步得到：通性通法就是扎根于学生的知识的最近发展区，从核心概念出发，易于理解的常规方法；通过反思，教师、学生的理解力能从一个水平升华到更高的水平。
关键词：反思；数学归纳法；通性通法；理解力
问题：已知n个正数a1，a2，a3，…，an（n∈N*）满足a1a2a3…an=1，用数学归纳法证明：a1+a2+a3+…+an≥n。
这是2012年南通市通州区高三期中调研测试一道试题，参考答案如下：
①当n=1，a1=1，a1≥1显然成立；
②假设n=k时命题成立，即若a1a2a3・…ak=1，则a1+a2+a3…+ak≥k，那么当n=k+1时，不妨设a1≤a2≤a3≤…≤ak≤ak+1，则a1-1≤0，ak+1-1≥0，
（a1-1）（ak+1-1）≤0，即a1+ak+1≥a1ak+1+1，a1+a2+a3+…+ak+ak+1≥
（a1ak+1）+a2+a3+…+ak+1≥k+1。 所以原命题成立。
笔者觉得怎么想到先将k+1个数重新按照从小到大的顺序排列，a1≤1，ak+1≥1，将a1与ak+1合并为一项，再利用归纳假设。 思路突然，技巧性太强，学生一头雾水。 数学教育学家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心和动力，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。” 数学试题的讲评应引导学生关注通性通法，何谓通性通法？笔者认为通性通法就是扎根于学生的知识的最近发展区，易于理解的常规方法；是对数学知识最高层次的概括与提炼。 笔者反思：数学归纳法的本质是什么？即如何由n=k命题成立，推证n=k+1时命题成立。 也就是由假设n=k命题成立，a1a2a3…ak=1，则a1+a2+a3…+ak≥k，推证n=k+1时，a1a2a3…akak+1=1，对照条件应该如何创造条件利用归纳假设？便于理解的思路是将“a1a2a3…akak+1=1”改造成k个数的积！一种方法是将ak+1均分成k份，每份是[ak+1][]然后与ai（i=1，2，3，…）相乘与组合成k个数的积；另一种方法是将ai（i=1，2，3，…）与ak+1组合成一个数；思路①（a1[ak+1][]）（a2[ak+1][]）（a3[ak+1][]）…（ak[ak+1][]）=1，思路②a1a2a3…ai-1ai+1…（akak+1）=1，如何实施？思路①由归纳假设，（a1[ak+1][]）+（a1[ak+1][]）+（a3[ak+1][]）+…+（ak[ak+1][]）现在回头再看参考答案思路的形成：将a1与ak+1结合构成k项的积（a1ak+1）・a2a3…ak，由归纳假设（a1ak+1）+a2+a3+…+ak≥k，再寻找一个加强不等式a1+ak+1≥a1ak+1+1。 这样经过反思得到了学生觉得很自然的解法。
关健词：行列式；范德蒙行列式；数学归纳法；一题多解
【中图分类号】G633.62
一、引 言
行列式的计算一直是线性代数研究的重要内容，低阶或特殊行列式的计算相对简单，如上下三角行列式（三角形行列式的值等于主对角线上所有元素的乘积）；理论上任何一个行列式都可以按定义计算，但当行列式的阶数较大时，它的计算量非常大，计算十分复杂，技巧性很强因此，研究行列式的计算方法是十分有必要的。
二、计算行列式的方法
（一）递归法
所谓递归法，是指把有待解决的问题归结到一类与原问题性质相同的、规模更小的问题中去，最终求得原问题的解答。
行列式是典型的递归结构，它可以作如下递归定义：设 阶行列式
D＝ ，
⑴当 时， ；
⑵当 时，
其中， 是元素 的代数余子式， 。
因此，高阶行列式的计算总可以归结为求其低阶子式的计算，也就是说用递归法计算行列式具有一般的方法论意义。用递归法解题的一般步骤是：
⑴寻找递归关系式；
⑵根据递归关系式，求所需的递归边界条件；
⑶求解递推关系，或论证递推关系的性质。
下面通过实例进行说明。
例1计算 阶行列式
.
解：当 时，行列式的值等于 ；下面计算 时的情形：
构造数列
,
则
， ，
即
， ，
这说明数列 是一个公差为 的等到差数列，从而
， ，
故
， .
（二） 利用范德蒙行列式进行计算
我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法。
形如行列式D= 称为 阶的范德蒙行列式。
我们来证明，对任意的( ), 阶范德蒙行列式等于 这 个数的所有可能的差 （1≤j
我们对 作归纳法：
当 时， = ，结果是对的;假设对 阶的范德蒙行列式结论成立，
现在来看 阶的情况:
在D= 中，第 行减去第 行的 倍，第 行减去第 行的 倍，也就是由上而下依次地从每一行减去它上一行的 倍。有
D=
=
=,
后面这个行列式是一个 阶范德蒙行列式，根据归纳总结假设，它等于所有可能的差 （ ）的乘积；而包含 的差全在前面出现了。因此，结论对于 阶范德蒙行列式也成立。根据数学归纳法完成了证明：
= ,
由这个结果立即得出：范德蒙行列式为零的充要条件是 这 个数中至少有两个相等。
例2 计算行列式 ，其中
=
分析：该行列式与范德蒙行列式很相似，可以先利用行列式的性质把它变为范德蒙行列式再进行计算。通过相邻两行的变换，先把最后一行交换到第一行（交换 次），如此继续下去，经过 次交换后，原行列式变为范德蒙行列式。
解：由范德蒙行列式的性质得
=
=
= .
（三） 三对角行列式的计算
形如 的 阶行列式称为三对角行列式。
我们先来证明 满足
其中
。
证明：令 为一元二次方程的两个根并将 按第一列展开，可得 ,
即
,
同理可得
,
特别当 时， ，由上面两式可以解得
,
当 时， ，于是
=
= .
证毕.
例2 计算行列式 ，其中
= .
解：运用公式 有
= = =81-80=1 0,
所以
= =
= .
（四） 利用“加边法”（或称“升阶法”）计算行列式
所谓“加边法”，就是将原行列式增加一行一列。它的实质是升阶，目的是便于利用行列式的性质和定理，对行列式进行化简运算。在实际问题中，恰当地应用“加边法”对行列式的计算将会起到事半功倍的效果，下面通过具体实例来加以说明。
例4 计算 阶行列式
.
解 分析：此行列式与范德蒙行列式极为相似，因而我们设法增加一行一列，即进行“加边”。然后按计算范德蒙行列式的方法实施计算。
,
从最后一行开始，每行减去它的相邻的前一行乘 得
,
将 按第一列展开，然后从 阶行列式的每一行提取公因子得
,
按以上方法继续进行下去 得
= .
（五）、 利用拉普拉斯定理进行计算
拉普拉斯定理是行列式按行或列展开定理的推广。在应用拉普拉斯定理时，为了计算上的方便，一般先利用行列式的性质对原行列式进行变形，再按含多个零的 行或 列展开。
例5 计算行列式 ，其中
.
分析：如果从第3行开始每一行都减去第2行，再从第3列开始每一列都加到第三世界国家列，可使行列式中更多的元素为零。
解：先按上述分析对行列式进行变换，
=
= ,
再由拉普拉斯定理可得
= .
（六）、 利用数学归纳法进行计算
数学归纳法多用于证明题。用数学归纳法计算 阶行列式，需要对同结构的低阶行列式进行计算，从中发现规律并得出一般性结论，然后再用归纳法征明其正确性。
例6计算行列式 ，其中
.
解：当 时， ；当 时， ；
当 时，
,
假设当 时，
,
那么当 时，将 按最后一行展开可
.
所以
=
= ,
综上可得
.
三、 从一题多解谈行列式的计算方法
行列式的计算灵活多样，选择合适的方法计算行列式,会使得其计算过程更加简化下面以一道题目为例介绍行列式的几种解法，希望能对读者有所启发。
例 计算 阶行列式
.
解法1（加边法）：
=
= =
=
= .
解法2（递推法）：
=
= +
=
=
=
=
=
解法3（三角形法）：将各列都加到第一列，并提取公因式，得：
,
第一列乘以 分别加到各列上，得：
= .
综上所述，像这种比较容易化成三角形的行列式运用三角形法来解比较容易。
小 结
本文首先介绍了几种解行列式的方法：递归法、利用范德蒙行列式进行计算、三对角行列式的计算、用“加边法”计算行列式、利用拉普拉斯定理进行计算、利用数学归纳法进行计算、定义法、三角形法，并举例说明各种方法的用法。最后以一题多解的形式对比了几种方法的应用。
参考文献
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[5] 唐仙芝,刘春新.n阶行列式计算方法探讨[J].天中学刊,2005(05):4-6.
[关键词]：课堂教学 “教与不教” 善教
一、为导而教
“教”，就是指教师在教学过程中发挥主导作用，设法启迪诱导学生合理地从不同角度展开思路，从多方面分析问题、解决问题，使之最大程度地调动学生学习的积极性，挖掘学生的潜在能力。而关于“教”，叶圣陶先生有一段精湛的论述：“教者，盖在善于启迪引导，使学生自出其力，自致其知，非所谓教师滔滔不绝讲授，学生默默聆听；导者，多方设法使学生能逐渐自求得之，卒抵于不待教师讲授。”从这个意义上来看，教师在教学中善于启发，调动学生学习的积极性、主观能动性。并教给学生科学的学习方法使他们勤于思考，乐于探索，使其逐渐不需要教师，离开教师也能学习。
例如，在讲数学归纳法时，抓住学生急于求知的欲望，不失时机地给出例题：若首项为a1，公差为d的等差数列{an}，求证：an=a1+（n-1）d，对一切自然数n都成立。教师边启发，边板书证明。塑造一个数学归纳法证明基本模型。然而这是一种初次接触且又十分抽象的理论证明，学生听后必然费解，此时就显示出教师讲的必要性。教师需在此时详细说明，并启发诱导，循序渐进。引导学生自己总结数学归纳法的证明步骤，强调数学归纳法的两步之间的相互关系，缺一不可。
在学生掌握数学归纳法之后，再给他们讲一个“秃头定理”――人人都是秃头的，并用数学归纳法证明这个结论。证明如下：
任取一个人，设其头发为n根（显然n∈N），
⑴当n=1时，既此人只有一根头发，显然是“秃头”的，命题成立；
⑵假设当n=k时命题成立，既当此人有k根头发时，他是“秃头”的。
则当n=k+1时，此人只增加一根头发，毫无疑问他是“秃头”的，既对n=k+1时，命题也同样成立。
综合以上⑴、⑵两步可知，对于任意n∈N，“秃头定理”成立。
教师讲完这个定理后，引起哄堂大笑，在大笑之余学生感到：为什么用数学归纳法，会得出如此荒唐的结论呢。在惊愕之中，教师趁机讲明：任何一种方法，都有一定的使用范围，这是一个颠扑不破的哲理。
因此，有效的讲解是学生快速、准确、严密地掌握数学中抽象或重要基础知识的充分条件。这样的讲解是为了今后的不教。这样的教也一定会开发学生的思维，增强课堂艺术，提高授课效果，活跃课堂气氛。如此的教远远大于不教。
二、导为善教
所谓“导”，就是在教学活动中，对那些学生能自己学懂、学会，自己能探索出结论或通过争论能探讨出结论的，教师不讲授，只启不发，给学生留下足够的独立空间，让学生自己去探索、去研究。数学课离不开分析例题，教师对例题分析处理的思想层次直接影响着数学思想的渗透的效果，而教师巧用时机，借助有利的题型，放开手让学生自己给自己讲，就会收到比教师讲更好的效果。
下面的例题就说明了这个问题：
例1.如果a、b∈R+，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2
教师在讲完它的证明后可进行如下的启发追问：（问1）：这种类型的题目似乎我们已经证过，谁能回忆一下？
学生必然有的答出是：a5+b5＞a3b2+a2b3（条件同上），教师给予肯定：这是不等式证明的第一节课学习的，同学们请看这两个题目（教师可做适当的关于指数规律的启发）并自语到：简直可以与语言学中的对联相媲美（目的是渗透数学美的思想）。（教师进而追问2）：能否把战果扩大些？（学生议论纷纷气氛，非常激烈）。有的说：“a2+b2＞ab+ab”（学生大笑，教师立即给出正确判断事实上这就是：a2+b2≥2ab并给出鼓励）。学生继续议论有：a4+b4≥a3b+ab3，a6+b6≥a5b+ab5或a6+b6≥a4b2+a2b4……学生纷纷类比猜想，并积极证明，教师再适当给出诱导：能否归纳出一般性的结论呢？最后大家一致得出：当a、b∈R+，且a≠b时，有an+bn＞an-1b+abn-1；an+bn＞an-2b2+a2bn-2……如此通过此例的这样引申，学生熟练地掌握了此类不等式的证明，同时又不知不觉地受到了“数学美”和“类比猜想”的数学思想的熏陶，也真正地实施了“变教为导”。
如此的处理一道例题，远比教师的条条有理、思路清晰的“事后诸葛”似的讲解效果好的多，因为教师的讲解往往是多次探求后的最佳通路，而最佳的寻求过程，特别是克服障碍的过程并未表现出来，结果是学生听起来津津有味，做起来却一筹莫展。
当然，“导”并非一味撒手不管，而是恰如其分地不教，给学生以独立思考得空间，让学生自己去想象、去发现、去创新，不仅可以拓宽学生的视野、拓广学生的认知领域，而且还可以培养学生分析问题、解决问题的能力。发现和纠正可能出现的各种错误，进而取得“以导胜教”的奇效。
三、教导结合
关键词： 一位数；自然数；自然数公理
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）15-0050-01
0.引言
1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB3100～3102-93）《量和单位》（11-2.9第311页）规定了自然数包括0，具有其合理性，但也带来一些争议，以下就有关“0”及由其引起的一些问题做些剖析。
1. 0并非一位数。
我们说一个数是 位数，应是：该数为非负整数，占有个数位且首位非0。如果没有“首位非0”的规定，一个数是几位数就说不清楚了。因此最小的一位书应该是1而不是0[1]。
2.自然数的分类。
小学教材都把自然数分为：1；质数；合数；三类。现在自然数集合有了0，则应该分为四类。0单独作为一类。
3.自然数公理。
1889年，意大利数学家佩亚诺（G.Peano）建立的自然数公理：
“这里要使用两个形式符号：1和1'，它们要满足以下5条公理：
（1）1是自然数；（2）每个自然数a都有一个后继数a'；（3）1不是任何自然数的后继数；（4）若a'=b'则a=b（5）（归纳公理）自然数的某个集合若含1，而且如果含一个自然数a就一定含a' ，那么这个集合含全体自然数”
现在自然数集合有了0，则以上公理中的1全得改为0。
4.数学归纳法。
我们知道，佩亚诺（G.Peano）建立的自然数公理是数学归纳法的逻辑依据，现在公理改了，数学归纳法也得相应更改，以往奠基是证明n=1时命题真，现在得改为证明n=0时命题真。
5.前a个自然数中n的倍数的个数。
以前，自然数集合中没有0，则前a个自然数中n的倍数的个数为■ ，现在自然数集合中有了0，则前a个自然数中 n的倍数的个数应为1+■ ，因为现在前a个自然数应该是：0，1，2， ……，a-1。
以下是[2]的一道例题：
前100个自然数中，既不是2的倍数，也不是3的倍数，还不是5的倍数的数有多少个？
解 前100个自然数中，
2的倍数有■=50（个），3的倍数有■=33（个），5的倍数有■=20（个），同时是2和3的倍数有■=16（个），同时是3和5的倍数有■=6（个），同时是2和5的倍数有■=10（个），同时是2，3，5的倍数有■=3（个），故既不是2的倍数，也不是3的倍数，还不是5的倍数的数有100－（■+ ■+ ■）+（■+ ■+■）－ =100－（50+33+20）+（16+6+10）－3
=26（个）。
本题默认前100个自然数为：1，2， 100。由于100是2的倍数（也是5的倍数），因此在计算时用容斥原理把它排除了。而如果认定前100个自然数为：0，1，2， 99，则由于0是2的倍数（也是3、5的倍数），因此在计算时用容斥原理同样得把它排除，因此两种认定，结果是一样的。但有时结果却不一样。
用容斥原理时没排除掉，后面的解法中，把2001换成0了，由于0是5的倍数（也是7的倍数），因此用容斥原理时排除掉了。
把0当作自然数，引起了不少争议问题，主要原因是小学数学中一直没把0当作自然数，建议小学教材中要强调“0是自然数”。
参考文献
