时间：2023-06-01 09:30:45
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇正方体的体积，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
教学目标：1. 通过操作和实践使学生发现并理解掌握长方体和正方体体积的计算方法。
2. 能运用长方体、正方体的体积计算方法解决一些简单的实际问题。
3. 培养学生观察分析、归纳推理、抽象概括的能力，发展学生空间观念。
教学重点：理解掌握长方体和正方体的计算方法。
教学难点：长方体和正方体体积公式的推导。
教学用具：长方体、正方体模型 、多媒体课件。
学生用具：1立方厘米的小正方体若干
教学过程：
一、复习导入
1、 复习体积概念和体积单位
提问：什么是体积？常用的体积单位有哪些？
2、直观感知体积，引出课题。（出示课件）
指出下列长方体和正方体的长、宽、高各是多少？正方体的棱长是多少厘米？并数一数分别包含几个体积是 1 立方厘米的小正方体？它的体积分别是多少立方厘米？
二、探究新知
这节课我们一起来研究长方体和正方体的体积是怎样计算的？（板书课题）
1、长方体体积计算方法。
（1）实践操作：用一个萝卜切成一个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体。再把这个长方体切成棱长1厘米的小正方体。数一数这个长方体是由多少个棱长1厘米的小正方体组成的？
说明：计量一个长方体的体积，就要看这个长方体含有多少个体积单位。
启发：再测量物体体积时，有些物体是不能切开，像上述方法那样计量体积的，因此必须找到一个计算长方体体积的方法。
（2）公式推导
A、分组拼摆，得出数据。（出示课件）
要求： 第一组 长4厘米 宽3厘米 高2厘米
第二组 长5厘米 宽3厘米 高2厘米
第三组 长4 厘米 宽2厘米 高2厘米
第四组 长5厘米 宽3厘米 高4厘米
问： 1、每行有几块？每层有几行？摆几层？怎样算出共几块？
2、它的体积是多少？
体积（立方厘米） 总块数 每行块数 行数 层数
B、观察数据，探究规律，推导出长方体的体积公式。
结合摆成的图形观察从实际操作中得出的数据，想一想这些数据与长方体的长、宽、高、体积有什么关系？你发现了什么？
概括：长方体所含体积单位数，正好等于长、宽、高长度单位数相乘的积。
小结：长方体的体积等于长乘宽乘高。板书：
长方体的体积=长×宽×高
如果用v表示体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以写成： V=abh
C、自学例1.
学生根据题目条件和要求独立计算，并完成课本空白处的填空，注意格式及单位名称。
2、正方体的体积的计算方法
（1）组织学生讨论：根据正方体长方体的关系，想一想正方体的体积应怎样计算？
启发：因为正方体是长、宽、高都相等的长方体。
所以 正方体的体积=棱长×棱长×棱长（板书）
如果用v表示体积，用a表示棱长，上面的公式可以写成：
V=aaa
aaa也可以写作“a? ” 读做“a的立方”，表示三个a相乘。所以正方体的体积公式写成：V= a?
（2）自学例2.，学生独立完成，核对检查。
三、看书质疑 学生自己看书40-42 页质疑
四、巩固练习。
1、填空
2、判断正误并说明理由
（1） 6?=18 （ ）
（2）一个长方体长5分米、宽4分米、高3 厘米，体积是
60立方分米。 （ ）
（3）一个正方体的棱长扩大2倍，它的体积也扩大2倍
（ ）
（4）一个棱长为6厘米的正方体，它的表面积和体积相等。（ ）
3、解决问题
（1）一根钢材长3米，宽4厘米，高5厘米，已知每立方分米的钢材重7.8千克，这根钢材一共重多少千克 ？
（2）一个棱长和是84分米的正方体，它的体积是多少？
（3）把9立方米的黄砂铺在长50米，宽3米的马路上，黄砂的平均厚度是多少厘米？
（4）把一块棱长10厘米的正方体钢坯，锻造成高和宽都是5厘米的长方体钢材，这块钢材长多少厘米？
五、课堂总结，学生谈收获。
提问：“今天学了什么内容？”“长方体正方体体积是怎样计算的？”“计算公式怎样”“计算时必须知道那些条件？”“必须注意那些问题？”
六、布置作业
课本练习七第5、6、7题
板书设计：
长方体和正方体的体积
长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=abh V= a?
五
长方体和正方体的体积
同步训练
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、单选题
(共4题；共8分)
1.
（2分）一个茶杯的容积大约是（
）
A
.
B
.
C
.
2.
（2分）如图，一根长2
m的长方体木料沿虚线锯成两段后，表面积增加100
cm2
，
它的体积是（
）。
A
.
200
cm3
B
.
10000
cm3
C
.
2
dm3
D
.
1
m3
3.
（2分）一个正方体的体积是125
，它的棱长是（
）cm。
A
.
5
B
.
15
C
.
25
4.
（2分）表面积是96
的正方体，它的体积是（
）
A
.
16
B
.
32
C
.
64
二、填空题
(共3题；共10分)
5.
（4分）单位换算
=_______
=_______
=_______
_______
6.
（4分）在横线上填上合适的单位。
一盒牛奶大约有250_______。
一个书包的容积大约是40_______。
一盒水彩笔的体积大约是40_______。
一个微波炉的体积大约是46_______。
7.
（2分）一张正方形硬纸皮，边长是24厘米；从四个角各切掉一边长为4厘米的正方形（如图），然后做成盒子。
（1）.这个盒子用了_______硬皮纸。
（2）.这个盒子的容积是_______。
三、解答题
(共3题；共25分)
8.
（15分）挖一个长10
、宽8
、深2
的蓄水池。（只列式不计算）
（1）.这个蓄水池占地多少平方米？
（2）.给这个蓄水池的四周和底部抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（3）.这个蓄水池最多蓄水多少立方米？
9.
（5分）养路工人要把19.2
m3的沙子铺在一条长40
m，宽4
m的路上，沙子的厚度是多少厘米？
10.
（5分）某果汁饮料厂原来用棱长是10cm的正方体包装盒包装果汁。改进生产工艺后，把原包装改成了棱长是5cm正方体包装盒，请你帮忙算一算，原来200盒果汁饮料，现在要装多少盒？（包装盒厚度忽略不计）。
参考答案
一、单选题
(共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题
(共3题；共10分)
5-1、
6-1、
7-1、
7-2、
三、解答题
(共3题；共25分)
8-1、
8-2、
8-3、
一、重视情境的创设
《课标》指出：“教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境。好的现实情境，应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学本质的、真实或合理的。
在教学《长方体和正方体》这一单元的知识时，我们给学生提供生活中随处可见的包装盒。在这种真实的、简明的、熟悉的素材中研究长、正方体的特征、体积，表面积、研究如何为长方体和正方体的物体设计包装盒，构成了一系列的情境串，让学生感受到学习长、正方体是现实生活的需要，是解决问题所必需的，从而产生浓厚的学习兴趣。
课例:情景串理念下的教学片段:
情境引入:
师:母亲节就要到了，老师到商店选了两盒礼物想送给自己的母亲，瞧:盒子形状是长方体的，老师想把这个盒子用精美的包装纸包起来。你们有什么问题要问吗？
生1：选用多大的纸合适呢?
生2：怎样裁纸呢?
师：是呀，怎么办呢？
生1:找一张很大的纸包包看，然后将多余的剪掉。
生2：我看还是先侧测这个盒子每个面的面积再决定吧。
生3：我认为把这个礼品盒拆开看看，照着拆开的样子选纸和裁纸比较好。
……
师：小组同学商量一下，哪种方法可行？然后利用手中的纸和长、正方体包装盒做一下实验。
学生动手实验，教师巡视。
……
我们在教学中应尽量给学生创设一种现实的情境，提供学生熟悉的素材，以使学生感受到学习数学的价值和趣味．
二、重视实物、学具和教具的使用
小学阶段的学生基本以直观加想像为主，因此测量部分的教学均要建立在学生大量操作感知的基础上。学具操作，能帮助学生形成空间观念，学具操作能促动创新意识的生成。
如：信息窗3《体积和体积单位》的教学。
第二个红点 体积单位
1．长方体和正方体都有()个面，()条棱、()个顶点。
2．长方体或正方体的()叫做它的表面积。
3．物体所占()叫做物体的体积。
4．4是28的()，28是4的()。
5．一个数的倍数的个数是()其中最小的倍数是()。
6．一个自然数不是()，就是()。
7．把60分解质因数是()。
8．长方体（或正方体）的体积=()。
9．5080毫升=()升=()立方分米
0.05立方米=()立方分米=()升
10．能同时被2、5整除的数的特征是()。
11．一个合数至少有()个约数。
12．一根方木长3米，底面为边长3分米的正方形，它的体积是()立方分米。
13．大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，小正方体的体积是大正方体的体积() /()。
二、判断（对的打“√”，错的打“×”，共10分）
1．正方体是由6个正方形围成的立体图形。 ()
2．长、宽、高相等的长方体是一个正方体。()
3．用四个同样大小的小正方体，可以拼成一个大正方体。()
4．一个自然数不是质数，就是合数。 ()
5．一个数的约数的个数是有限的。()
三、整理数据并填空（共20分）
下面的数据记录了某体育夏令营一组男生一次立足跳远的成绩：
（1）根据上面的成绩填写下表
（2）参加立足跳远的一共有()人。
（3）成绩在()段的人数最多，是()人。
（4）成绩超过1.29的共有()人。
四、应用题（每题6分，共48分）
1．小明读一本书，前4天平均每天看6.25页，后3天共看24页，小明这一星期平均每天看多少页？
2．下面是某地一天四个时刻的气温，算一算这一天的平均气温
3．一种木箱，长1.2米，宽0.8米，高1米，如果外面四周都刷上油漆，刷油漆的面积是多少？
4．有一种长方体钢材，长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重7.8千克，这根方钢材重多少千克？
5．有一个养鱼池长18米，宽12米，深3.5米，要在养鱼池各个面上抹一层水泥，防止渗水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克？
6．从一个长为6厘米长方体上截下一个体积是64立方厘米的正方体，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？
7．既能被6整除，又能被9整除的数，最小的是多少？
8．一张长方形纸，长48厘米，宽36厘米。要把这张纸裁成大小相等的正方形纸，而无剩余，正方形的边长最长是多少？
一、1．6、12、8
2．6个面的总面积
3．空间的大小
4．约数 倍数
5．无限的 它本身
6．偶数、奇数
7．60=2×2×3×5
8．底面积×高
9．5.08 5.08 50 50
10．个位上是0
11．3
二、1．×
2．√
3．×
4．×
5．√
三、（1）0、1、4、11、7、2
（2）25
（3）1.30～1.39 11
（4）20
四、1．7
2．13
3．4平方米
4．39千克
5．2130千克
6．128平方厘米
现以“四川省2013年小学数学青年教师优质课观摩活动”荣获一等奖的自流井区塘坎上小学黄际老师执教的“长方体和正方体的体积计算”一课为例进行分析。
一、问题引入时感悟“再创造”的思想
【片段一】
师：同学们，喜欢玩积木吗？
生：喜欢。
教师课件出示：1cm3的正方体积木搭成的2个长方体和一个不规则的立体图形。
师：老师用这种体积为1cm3的正方体积木搭成的图形，你知道它们的体积是多少吗？
教师和学生一起回顾旧知：要想知道一个物体的体积是多少，就看它含有多少个单位体积。
师：要知道这个长方体橡皮泥的体积（课件出示一个长方体橡皮泥），你有什么办法？
生1：将橡皮泥切成1cm3的正方体，数数有几个正方体就知道它的体积了。
生2：把长方体沉入装有水的烧杯里，水上涨的体积就是它的体积。
师：如果要知道一个长方体粉笔盒或一摞作业本的体积，怎么办？
生：可以用算的方法。
师：为什么？
生：因为粉笔盒和作业本切碎或者到浸没到水中以后就弄坏了，用计算的方法就不会弄坏，而且还更简便，不用去切或浸没。
师：很好，你真不错！知道解决问题要契合实际，找简便，适用的好方法。你们也会这样吗？
师：看来用“切”和“浸没”这两种方法求长方体的体积都有一定的局限。这里我们得用一种既不损坏长方体，还能简便求出长方体体积的方法――计算。可怎样算呢？
【导引一】在问题引入中，我们不难看出老师在从学生熟悉的搭积木出发，唤起学生已有知识和活动经验，沟通新旧知识的链接点，在放手让学生想办法求长方体的体积。橡皮泥是一个可切，可浸没的长方体，学生利用已有的认知基础“要想知道一个物体的体积是多少，就看它里面含有多少个单位体积”易于解决，但不能切、不能浸没于水中的粉笔盒和作业本，怎样求出其体积？
这种情形对学生来讲是一种挑战，能很好地激发学生探索新方法的欲望。同时，我们应该看到教师在这个过程中，让学生充分体验和感悟了解决问题要联系实际，要在已有经验和方法的基础上改进和研究新方法的“再创造”的基本数学思想。
二、探究过程中感悟“建模”的思想
【片段二】
师：现在一起来探究长方体体积计算方法。同桌合作，用12个1cm3的正方体摆出一个长方体，并把相关数据记录于下表中。
学生交流分享了6种不同的摆法，教师根据学生交流的情况将相应的数据记录于上表中。
师：现在仔细观察这个表，你有什么发现？
生1：我发现每排的排数、个数和层数有不同的摆法，但是摆出的长方体体积都是12cm3。
生2：因为用的1cm3的正方体总个数都是12个，所以无论怎么摆，摆出的长方体体积都是12cm3。
生3：我发现长方体的体积=长×宽×高。
生4：我发现每个长方体每排个数、排数、层数相乘，都等于长方体的体积。
师：是吗？（课件出示用1cm3的正方体摆出的3×2×2形状的长方体）以这个长方体为例，请你说给大家听听。
生：这个长方体每排个数是3，2排，2层。一层3乘2，用了6个小正方体；两层，6乘2，用了12小正方体。所以正方体的总个数是12，这个长方体的体积就是12立方厘米。因此，每排的个数乘排数再乘层数，等于长方体的体积。
师：前面有同学说“长方体的体积等于长乘宽乘高”，怎样想的？请说一说。
生：每排的个数乘排数再乘层数，等于正方体的总个数，正方体的总个数就是长方体的体积。这里，每排个数相当于摆出的长方体的长，排数相当于宽，层数相当于高。所以，长乘宽乘高等于长方体的体积。
师：我还不太明白，谁能结合这个长方体再说一说。
生：这个长方体每排个数相当于它的长，排数相当于宽，层数相当于高，每排个数、排数、层数相乘等于正方体的总个数，也就是长方体的体积。所以长方体的体积=长×宽×高。
师：这个每排个数是3个，排数是2排，层数是2层的长方体，它的长、宽、高各是多少？
生：长是3cm，宽是2cm，高是2cm。
师：为什么？。
生：因一个正方体的棱长是1cm，每排3个，长就是3个1cm，也就是3cm。排数是2排，宽就是两个1cm，也就是2cm，层数是2层，高就是2cm。
师：那么它的长乘宽乘高等于？
生：3乘2乘2等于12cm3。
师：与这个长方体体积――？
生：相等。
师：这么说你们都发现了：长方体的体积=长×宽×高？
【导引二】在这个探究过程中，学生通过同桌合作产生多种摆法，并借助实物和多媒体课件，交流、观察、比较、分析，活跃了思维，达到了对每排个数、排数、层数与正方体总个数的直观理解；沟通了每排个数、排数、层数、正方体总个数与摆出的长方体的长、宽、高、长方体体积之间的对应关系。
这个过程在数学上称为建模过程。学生通过拼摆和对比，将拼摆中的每排数、排数和层数与长方体的长宽高进行对应比较，将信息整理与思维聚焦融合起来，使学习经验和认识成果逐步归纳提炼为一个数学模型，即“长方体的体积=长×宽×高”。
【片段三】
师：同学们通过对“用12个1cm3的正方体摆出一个长方体”进行研究，发现这些长方体的体积等于长乘宽乘高的积。其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积吗？猜一猜。
生：我猜想其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积。
师：猜想的结果是否正确，是需要验证的。你们能验证吗？谁知道怎么验证？
生：我们用不同个数的正方体任意摆出一个长方体，看它的体积与长乘宽乘高的积是否相等来验证。
师：好主意。那就分小组合作验证吧。
师：用若干个1cm3的正方体任意摆出一个长方体，看它的体积与长乘宽乘高的积是否相等。把你们验证过程中的相关数据记录于下表中。
学生小组合作验证，然后向全班汇报。最后得出结论：长方体的体积=长×宽×高。
师：你们中有摆出的长方体体积与长乘宽乘高的积不相等的吗？
生：没有。
师：这下我们是用不同个数的1cm3的正方体任意摆出一个长方体，它的体积都等于长乘宽乘高的积了，那我们是不是可以说所有长方体的体积都等于长乘宽乘高的积呢？
生：可以。
【导引三】通过学生对“其它长方体的体积也等于长乘宽乘高的积吗”这个问题的研究，放飞了学生的思维。学生大胆猜想，分组探究，举例验证了“长方体体积=长×宽×高”。
这个研究过程就叫做数学模型的推广。因为我们通过一个或几个例子得到的结论，在数学上叫做不完全归纳法。这样得出的数学模型的可靠性值得怀疑。因此，教师通过组织学生进行任意举例验证，再度实施研究，进一步解释了本数学模型的正确性和合理性。虽然我们现在的解释还是处于低级阶段，但是给学生提供了深入进行数学研究的思路，就是不断地将已经形成的初步数学模型进行推广验证的思想方法。
三、讨论交流中感悟“演绎”的思想
【片段四】
师：每个小组举了2个例子，全班一共才举了10几个例子，验证了“长方体体积=长×宽×高”，其中还有些例子是重复的。就能说明所有长方体的体积都等于长乘宽乘高吗？
生：不能，但我们还可以继续举出很多这样的例子来验证。
师：就这样一直举下去？能举完吗？你打算怎么举例？
学生思考交流讨论形成共识：例子很多，举不完，但为了不重复和遗漏，要按照一定的顺序――从小到大的举例验证。
师：这个办法不错，很好！我们就用这个方法一起来验证：
师：就从第四组已经验证的这个长方体起，（课件展示长是5cm、宽2cm、高1cm的长方体。）由小变大依次进行验证。
师：这个长方体我们让它的长、宽不变，只让它的高变化。向高的方向增加一层（课件展示相应的长方体），看看现在这个长方体的情况。
生：这个长方体中1cm3正方体总个数是20个，它的体积就是20cm3，它的长、宽没有变化，所以长是5cm、宽2cm；这个长方体加高了一层的，也就是高增加了1cm，所以高变为了2cm变。这样，长乘宽乘高就是5乘2乘2等于20cm3。
师：这说明什么？
生：说明现在这个长方体的体积也等于长乘宽乘高的积。
师：好！如果长、宽继续保持不变，高再增加一层呢？
学生验证得出：高再增加一层得到的长方体的体积也等于它的长乘宽乘高的积。
师：那如果照这样依次增加到第四层，五层、六层、七层、八层、九层、十层能验证吗？试试看。
有学生通过计算验证，有学生借助课件，观察计算比较发现：长方体增加一层，他的体积就增加10cm3，高增加1cm，长乘宽乘高的积也增加10cm3于是验证了“长方体的体积=长×宽×高。”
师：不错！居然在验证过程中，还找到了他们的变化规律，利用这个变化规律来验证，就省事多了，你们真聪明！照这样依次增加到一百层、一千层，一万层……还能验证吗？闭眼，想像思考一下。
生：能验证。只要能摆出来，就都可以验证。
师：那我们现在还有必要再一一计算验证下去吗？为什么？
通过讨论，大家认为，不论那种情况我们都有验证，现在可以说所有的长方体的体积都能用长乘宽乘高来计算了。接着，教师和学生一起总结，并板书：“发现―猜想―验证―结果”。
【导引四】在这个交流讨论和共同验证的过程中，老师用“其中还有些例子是重复的。就能说明所有长方体的体积都等于长乘宽乘高吗？”“就这样一直举下去？能举完吗？”这样的问题，让学生在讨论交流的过程中，认识到前面的摆长方体进行的举例验证，虽然打破了总体积12cm3的局限，但自己在举例时，思维是无序的，信息是有限的。同时，老师这样的追问，把问题步步引向深入，把学生置于不能不去、不得不去解决的问题情境中，促使学生的思考不断深入。进而想出了在一个长方体的基础上由小到大依次添加一层，也就是长方体的长、宽不变的情况下，高依次增加一个单位长度，来验证所发现的“长方体的体积=长×宽×高”。
关键词：巧解;外接球;问题
【中图分类号】G633.6
有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是近年高考考查的一个热点.而正方体模型和长方体模型是学习立体几何的基础，掌握这两种模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。
一、以正方体为载体的外接球的有关问题
例1:（2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该
球的表面积为____________.
解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.
例2：(2008 天津理) 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体
积为 ，则该正方体的表面积为____________．
解析：要求正方体的表面积，先得求出正方体的棱长，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由球的体积可求出球的半径是 ，从而求出正方体的体对角线是 ，所以正方体的棱长为2，故该正方体的表面积为24.
例3： (2012 辽宁理) 已知正三棱锥P-ABC，点P,A,B,C都在半径为 的球面上，若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为.
解析：因为PA,PB,PC两两互相垂直，故正三棱锥
P-ABC的外接球即是以PA,PB,PC为棱的正方体的外接
球.所以球心到截面ABC的距离即为球半径减去正三棱锥
的高.设PA=PB=PC=a，则3a2=4R2=12,所以a=2.设正三棱锥P-ABC的高为h，
则 ，解得 = ，故圆心到截面ABC的距离为 .
例4：（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面
上，则此球的表面积为（ ）
A. 3πB. 4πC.D.6π
解析：四面体S-ABC中，SA=SB=SC=AB=BC=AC= ，由此可以联想到正方体这个载体，可求得正方体的棱长为1，体对角线为 ，从而外接球的直径也为 ，所以此球的表面积便可求得，故选A.
例5：（2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC， ，则球O的体积等于 .
解析：由于DA平面ABC，ABBC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图所示的长方体，又因为 ，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于 .
例4图例5图例6图
例6：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABBC，AA1=AB=BC=2,三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______________.
解析：由已知可构造一个正方体，则球的半径等于正方体体对角线的一半，即半径等于 ，球的表面积等12π。
二、以长方体为载体的外接球的有关问题
例7:（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点
上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为_______.
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为 ，故球的表面积为14π.
例8:（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为
16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16πB. 20πC. 24π D. 32π
解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例7，故选C.
例9:（2008年安徽高考题）已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB平面BCD，
BCDC，若 ，则B、C两点间的球面距离是______.
解析：首先可联想到例5，构造右图的长方体，于是AD为球的直径，O为球心，OB=OC=4为半径，要求B、C两点间的球面距离，只要求出∠BOC即可，在RtΔABC中，求出BC=4，所以∠BOC=60°，故B、C两点间的球面距离是 .
例10：(2012 辽宁文) 已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2 的正方形。若PA=2 ,则ΔOAB的面积为_____________.
解析：因为PA平面ABCD,四边形ABCD是边长为2 的正方形,所以可
以构造长方体。由已知可得PC2=PA2+AB2 ，所以故 .球心O
九年义务教育小学数学教学大纲指出：“使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表 象，能够识别所学的几何形体并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。”由此可见， “表象”在儿童的认知活动和空间观念的形成过程中，都具有十分重要的作用。因此，本单元的教学要尽量让 学生主动参与学习活动，通过眼、耳、口、手等多种感官去感知事物，借助实物直观、图像直观和语言启迪获 得有关形体及特征认识的表象，并逐步抽象、概括出有关概念，以发展学生的空间观念，培养他们思维的广阔 性。
（一）紧密联系生活实际，通过观察、操作、实验，帮助学生建立有关形体的表象。
1. 立体图形的认识要建立在对平面图形认识的基础上。本单元是学生比较深入地学习立体图形的开始，也 是学生空间观念由二维空间向三维空间的一次飞跃，教学时要注意帮助学生逐步建立有关立体图形的表象。有 的教师作过这样的教学尝试：首先，教师拿出一根小棒引导学生思考：我们可以把它看作一条什么？（线段） 然后让学生拿出3 根同样长的小棒，首尾顺次相连围成一个平面图形（三角形），认识线段可以围成平面图形 。紧接着复习我们学过的平面图形还有哪些（长方形、正方形、平行四边形和梯形）。最后让学生拿出6 根小棒 围成4 个三角形，教师指出像这样的图形就是立体图形。教师还可以边讲解边板书：线——面——体。并联系实际让学生说一说，日常生活中哪些物体的形状是立体图形，把学生头脑中形成的立体图形的表象由 特殊推向一般，从而发展学生的空间观念。
2. 长方体和正方体的表象要建立在观察和操作的基础上。教师可用切萝卜的直观演示帮助学生认识长方体 。第一步，教师在一个萝卜上横切一刀，得到一个横截面，让学生观察并摸一摸，直观感知面，获得“面”的 表象。在此基础上引导学生观察长方体有几个面，每个面是什么形状，哪些面完全相同。第二步，在切得的半 块萝卜上垂直于横截面纵切一刀，得到两个面，并指出两个面相交的边叫做“棱”。紧接着让学生摸一摸棱， 获得“棱”的表象。
然后引导学生观察长方体有多少条棱，量一量每条棱的长度，思考哪些棱的长度相等。第 三步，在切得的萝卜上垂直于横截面和纵截面再切一刀，得到三个面、三条棱，指出三条棱相交的点叫“顶点 ”，并让学生数一数，长方体有多少个顶点，最后系统归纳出长方体的特征。正方体的认识，其教学过程与长方体的教学过程类似，但要注意加强与长方体的联系。
3. 表面积与体积的概念、计算方法和公式，要建立在学生感知的基础上。长方体和正方体的表面积，在日 常生活中有广泛的应用。理解表面积的意义，不仅可以加深学生对长方体和正方体特征的理解，而且可以发展 学生的空间观念。教学时要通过操作活动（把长方体或正方体纸盒的6 个面展开），帮助学生理解表面积的概念 。 在此基础上结合具体例题教学有关形体表面积的计算方法。教材中没有给出计算表面积的公式，目的在于让 学生灵活运用所学知识解决简单的实际问题。
体积对学生来说是一个新概念，从面积到体积也是学生空间观念的一次飞跃，因此，学生在理解和应用上 都有一定的难度。教学时我们可以通过实验分三步帮助学生认识：第一步，感知物体所占的空间。先把一块石 头放入有水的玻璃杯中，观察水面的上升变化，并组织学生讨论水面上升的道理；再取一只装满细沙的杯子， 把沙倒出来，放入一块长方体木块，然后再装沙，让学生观察实验现象，并讨论为什么不能把倒出的沙全部装 回去的道理。在此基础上教师小结出；任何物体都占有一定的空间。第二步，比较物体所占空间大小。教师可 出示实物或挂图，让学生比较大小不同的几个物体，哪一个物体所占的空间大，使学生感知物体所占的空间有 大有小。第三步，归纳体积的意义，让学生明确物体所占空间的大小叫做“物体的体积”。
长方体的体积计算 公式要通过摆小木块的实验，引导学生发现长方体的体积与它的长、宽、高的积的关系，从而直观地推导出体积计算公式，并用字母表示。根据正方体与长方体的关系，可以直接由长方体的体积计算公式导出正方体的体 积计算公式，最后把长方体和正方体的体积计算方法统一成用底面积乘以高。 转贴于
（二）重视抽象和概括，发展学生的空间观念。
表象只是从感知到抽象的中介和桥梁，而教学的最终目的是要帮助学生把感性认识上升为理性认识。因此 ，教学过程中及时的抽象和概括，不仅有利于学生理性地掌握所学知识，而且在本单元还有利于发展他们的空 间观念。
例如：在引导学生初步感知长方体和正方体的特征后，还应抽象概括出长方体一般是由6 个长方形（ 也可能有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，正方体是由6 个完全相同的正方形围成的立体图形，这样 便于学生系统掌握所学知识。在此基础上，还要抽象出长方体和正方体的直观图（见下图），让学生识记。而 直观图去掉了长方体和正方体的非本质属性，保留其本质属性，有利于发展学生的空间观念。
二、加强比较，促进学生掌握易混知识的联系和区别，培养思维的深刻性。
（一）长方体和正方体特征的比较。教学时要通过实物的对比观察，引导学生说出长方体和正方体有哪些相同点和不同点，使学生明确正方体 是长、宽、高都相等的长方体（特殊的长方体），会用集合图表示出正方体和长方体之间的关系。学生掌握了 正方体和长方体的联系与区别，有利于较简捷地计算正方体的表面积与体积。
（二）表面积和体积的比较。
学习了长方体和正方体的表面积和体积后，有的学生可能会对表面积和体积这两个概念发生混淆。因此， 教师应结合实物（或图形）进行对比，使学生从这两个概念的含义、计量单位、所需数据的测量和计算方法等 方面进行区分，以加深对这两个概念的理解。
（三）容积和体积的比较。
容积和体积这两个概念既有联系又有区别。体积是指一个物体自身所占多大的空间，容积是指一物体中间 所能容纳多大体积的其它物品。容积和体积的计算方法虽然相同，但测量所需数据的方法却不同。计量容积一 般用体积单位，但计算液体的容积常用单位是升和毫升。容积和体积这些细微的差异，在教学中都要加以认真 的对比和区分，以便学生能够正确运用所学知识解决一些简单的实际问题。
（四）长度单位、面积单位、体积单位的比较。
在引导学生推导出相邻两个体积单位之间的进率后，应把长度单位、面积单位和体积单位列表进行对比， 以加深学生对体积单位及相邻两个体积单位间的进率的认识，使学生能正确使用体积单位和进行有关体积单位 间的换算。
三、进行变式训练，培养学生思维的灵活性。
（一）结合表面积的教学，进行变式训练。
本单元教材第2 节例1 的教学，教师可以启发学生变换思维的角度，进行一题多解的训练。通过这样的训练 ，既为学生解决一些简单的实际问题（有盖和无盖物体的表面积计算）奠定了思维方法的基础，又培养了学生 思维的灵活性，发展了他们的空间观念。
[关键词]善于提问 融会贯通 独立思考
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）11-049
“导而弗牵”取自《礼记・学记》，原文是：“故君子之教喻也，道（导）而弗牵，强而弗抑，开而弗达。”即要求教师要善于引导学生，而不是硬牵着学生走。课堂教学除了向学生提供接触知识的机会外，更要为学生的自主学习起到引导和督促的作用。那么，怎样才能做到“导而弗牵”呢？我从以下三个方面进行了研究与实践。
一、引导学生善于提问
1.先预习后提问。
上课前，我让学生先预习一下本章节的内容，然后再介绍学习本章的目的。如在教学“角的度量”时，先要认识直线、射线和角的关系。预习后让学生提问，生1问：“直线、射线与线段有什么联系和区别？”停了一会儿，众生答：“直线和射线都可以无限延伸，线段可以量出长度。”生2问：“线段和直线有什么区别？”生3答：“线段有两个端点，直线没有端点。”先预习后提问，学生注意力更集中，课堂气氛更活跃。
2.先操作后提问。
量角的大小，要用量角器。开始上课时，我先让学生用量角器去量锐角、钝角、直角、平角和周角。在操作中学生发现问题，生1问：“这些角有什么区别？”这时学生互相抢答。生2说：“锐角小于90°。”生3说：“直角等于90°。”生4说：“平角等于180°”。众生答：“钝角大于90°而小于180°。”此时，全体学生兴趣盎然、精力充足。接着我顺手在黑板上画出相交的两条线段（如右图），问全班学生：“看一看，想一想，你们发现了什么？”停一会儿，生5站起来说：“∠1和∠3、∠2和∠4的度数分别相等。”这样一问一答，提高了全部学生思维的敏捷性。
3.先比较后提问。
我在教笔算乘法时，先让学生做下列两组题：
8×4= 60×5=
8×40= 50×5=
8×400= 30×5=
当学生计算完后，我让学生仔细比较这两组计算结果，讲一讲你发现了什么？学生很快异口同声地说：“第一组题的第一个因数不变，第二个因数逐渐变大，积也随着变大；第二组题的第一个因数逐渐变小，第二个因数不变，积也随着变小。”这样先比较后提问不仅拓展思维，也使学生思维更活跃。
4.先观察后提问。
在日常生活中，许多物体的形状呈现为长方体或正方体。在教学中，我拿了几个长方体和正方体的物体让学生观察，然后提问：“长方体和正方体各有几个面？有哪些面的形状是相同的？”生1抢答：“长方体和正方体各有六个面，相对的两个面形状相同，面积相等。”生2补充说：“正方体的六个面都是形状相同的正方形，面积都相等。”这样先观察后提问，全班学生聚精会神，学习起来轻松愉快。
二、在温故知新中融会贯通
温故知新，通过巩固旧知识和扩大新知识，并融会贯通，开发学生的创新思维。
1.通过理解来解答基本题。
例如：求长方体和正方体的表面积。课堂上，我在长方体或正方体纸盒上分别标明“上”“下”“前”“后”“左”“右”六个面，再延长方体或正方体的棱剪开纸盒展示，让学生认真看清楚长方体和正方体的长、宽、高有什么关系？不久，生1举手答道：“上、下两个面，前、后两个面，左、右两个面的面积分别相等，六个面面积的和是这个长方体或正方体的总面积。”生2补充说：“正方体六个面的面积都相等。”最后我用字母表示长、宽、高，写出求长方体（正方体）体积的公式：V=abh（V=a3）或V=Sh。
2.运用公式来进行运算。
例如：我让学生动手测量出图书柜的长、宽、高，并计算出书柜的表面积。再要求每个学生回家后，测算出家中书柜（高柜或矮柜）以及电冰箱的表面积。通过实践操作，不仅巩固知识，而且扩大了学生的知识面，培养学生思维的灵活性和深刻性。
3.设计新试题检验。
例如：现有一根木条长320厘米，王师傅用它做了一个正方体的框架，还剩8厘米，问这个正方体的棱长是多少厘米？（注：锯口处损失忽略不计）解题时，学生都去翻书复习有关知识，知道正方体有12条棱，木条总长度320厘米分成12份，还剩8厘米，经过分析，列式计算：
（320-8）÷12=26（厘米）
答：这个正方体的棱长是26厘米。
三、在独立思考中学会善于思考
1.问题触发思考。
学习了等腰三角形，让学生懂得等腰三角形具有稳定性，就引导他们去单独思考、去研究、去发现。上课时，我提问：“谁能举出等腰三角形具有稳定性的例子？”过了一会儿，生1站起来说：“我们村里的老式瓦房盖屋顶面时，屋梁都做成等腰三角形，大等腰三角形中又有小等腰三角形。”生2说：“建高楼大厦时，都要搭竹架、铁手架，除了搭横架、直架外，还要再搭三脚架来稳定。”我问：“你们再想想，还有吗？”生3补充说：“自行车的三角架也是等腰三角形。”
2.任务驱动思考。
学习“位置与方向”这一课后，学生已懂得了教室的座位列（直）、行（横）的叫法，就能指出自己座位的位置，或表示某个同学的位置。我宣布：“今天的作业，请你们用‘位置与方向’的知识来标出我们学校的办公楼、教学楼、宿舍楼、食堂、运动场等的位置。”学生通过思考、分析、作图，先确定学校大门口的位置，再用方格纸画图，标出各建筑物的位置，完成我校校园示意图。
3.设计新试题检验。
例如：将棱长分别为6厘米和8厘米的两个正方体铁块熔铸成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，高是8厘米，求它的宽是多少厘米？
解题时，学生会这样思考：正方体的棱是相等的，两个正方体的体积之和等于熔铸成的长方体的体积。应先求出长方体的体积，再求长方体的宽。
解：分别求出两个正方体的体积，
6×6×6=216（立方厘米）
8×8×8=512（立方厘米）
再求熔铸成的长方体的体积，
216+512=728（立方厘米）
再根据求长方体的体积公式V=abh，
728÷13÷8=7（厘米）
答：长方体的宽是7厘米。
关键词：空间观念；实物观察；动手操作；作图能力
从平面图形的学习到立体图形的认知，在思维上是一次质的飞跃，尽管学生在以前的教学中和实际生活中对长方体和正方体已有所接触，但受思维水平的限制，这些认识还处在表层阶段。同时，几何形体知识的教学重在丰富学生的空间表象，发展空间观念。因此，在本单元的教学中需要注重长方体和正方体几何模型的抽象和建立，促进空间观念的有效发展。通过对照相关教学理论和结合对自己实际教学的反思，我觉得对本单元的教学应注意以下几个方面。
一、发展学生的空间观念和空间想象力是教学的主线
新课标指出，数学思考等目标的实现离不开知识和技能的学习，但知识与技能的学习必须以有利于数学思考、解决问题等目标的实现为前提。因此，本单元的教学要围绕学生对长方体、正方体的建模展开，所有的知识学习和技能训练都要以发展学生的空间观念为前提。长方体特征、表面积、体积计算方法的理解和掌握不是我们教学的唯一目的，更重要的是通过这些知识的学习来促进学生空间观念的发展。
六年级学生的思维处在由具体形象思维向抽象思维发展的过渡期，空间想象力的发展还不能脱离具体实物和图形的支持。教学中要以长方体和正方体表象的建立为重点，要让学生经过对大量实物或模型的观察、操作、猜测，抽取出长方体、正方体的本质特征，从而能由实物的形状想象出长方体、正方体的三视图，由长方体、正方体的三视图“还原”出实物的形状，能进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。如果我们只关注具体特征的抽象教学，只注重长方体、正方体表面积、体积计算公式的识记，而忽视模型的建立过程，忽视空间想象力的发展，就会制约学生的能力发展，降低教学质量。如学习长方体表面积或体积时，如果学生没能对长方体在头脑中建立丰富的表象，不能进行空间臆想，在解决一些基础的表面积、体积问题时反映不出问题，但对于一些变式问题，如计算通风管的用料、教室粉刷面积、测量不规则物体体积、等积转化等实际问题的解决就更显得困难重重了。而如果学生一旦建立了长方体和正方体的丰富表象，沟通了具体实物与三视图、展开图之间的联系，能够进行有效的空间臆想，这些特殊、复杂的实际问题就能迎刃而解了。
二、观察比较、动手操作是发展空间观念的基石
小学生学习的空间与图形多是直观性几何知识，他们获得直观几何知识并形成空间观念更多的是依赖于他们的动手操作，对实物、模型、三视图的观察、操作是建立表象、抽象模型、发展空间观念的基石。学生在学习空间与图形的过程中，是通过观察、拼摆、搭建、分类、组合、分解等实践活动来增加、积累自己的几何形体知识的学习经验，丰富自己的空间想象。
本单元的教学中，实物的观察、操作应贯穿整个教学过程。首先在抽象长方体、正方体特征时，要通过对不同的具体实物看看、摸摸、比比、想想来进行，通过对大量具体长方体实物的对比、交流，在头脑中归纳出长方体、正方体的本质特征，建立长方体、正方体的几何模型。
其次，在表面积计算方法的探讨中，让学生通过看一看、想一想、剪一剪、比一比，在进一步认识长方体特征的基础上建立表面积完整、清晰的概念和一般的计算方法，并利用这些概念和方法去解决实际问题，从而进一步发展学生的空间观念。
而在体积相关知识的学习中，那就更离不开具体实例的观察与操作。特别是在探究长方体体积计算方法时，只有让学生通过动手摆放和观察比较，才能真正地理解长方体体积为什么可以用长×宽×高来计算，即长方体长、宽、高的数据不仅可以表示三条棱的长度，同时也能表示所包含体积单位的个数，长多少就表示长里包含几个相应的体积单位，宽多少就能表示有这样的几排体积单位，高多少就能表示有这样的几层体积单位，所以长、宽、高的乘积就表示长方体所包含了多少个相应的体积单位，即这个长方体的体积。
第三，在解决相关体积的问题时，如黄沙填坑、筑路问题、等积转化，也要相应地借助模拟操作与空间臆想相结合，使学生比较清晰地认识到黄沙入坑后的形状，花坛中泥土的形状，水在长方体容器中的形状，从而使问题的解决变得顺畅，同时又丰富了学生的空间印象。如有这样一类问题：一个长4分米，宽3分米的长方体容器中盛有一些水，水中浸没着一个棱长2分米的正方体，当把正方体从水中取出后，水面会下降多少厘米？对此类问题的解决，学生必须清楚两点：（1）下降水的体积等于正方体的体积；（2）下降水面与原水面之间的空间形状是一个长方体。对于第一点，学生有实践经验的支持理解相对没有问题；对于第二点，就难于理解，如果不通过具体模拟操作加以观察比较，学生就无法想象和理解，但一旦通过具体操作和观察，就非常清晰地建立了水在长方体容器中的变化模型，从而使问题迎刃而解。
最后，看图能力和作图能力的培养是空间观念发展的关键。尽管六年级学生的抽象思维有了一定的发展，但还不能像成人一样随心所欲地进行空间表象的再现和臆想，对立体图形问题的解决还要依赖于具体图像。同时，由于在平面内画立体几何图形，其角度、尺寸不可能与实物一致，会受到平面图形知识的负迁移。因此，在本单元教学中，特别是起始阶段，一定要注意学生识图能力和作图能力的培养，以便丰富学生的空间表象思维，发展学生的空间观念。
在识图训练初期，尽量利用实物模型和直观图多角度地观察、比较、对照、想象和识别，如让学生从不同角度观察长方体模型，分析各个面的形状，同时对三视图与实物模型进行比较，明确长方体的基本构造。通过对大量实物、模型与直观图的观察、对照，使学生能正确、迅速地看懂三视图，并能想象出三视图所反映的真实图形，为后面离开模型和直观图进行空间臆想打下扎实的基础。
有了一定的识图能力后，教学中就应注意学生画长方体、正方体直观图能力的培养，要让学生根据已知条件想象出实际空间图形，然后作出相应的三视图来，以便理解和解决实际问题，同时进一步发展学生的空间形象力。
如有这样一类问题：把三个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，求长方体的表面积或体积。大部分学生能初步想象三个正方体拼成长方体的形状，但要结合具体数据进行悬想的能力发展还不是很好，很容易掉链子。但如果学生一旦把想象出的拼摆形状通过作图再现出来，然后根据作出的直观图进行数据确认，问题就容易解决了。通过对一幅幅三视图的再现，不仅帮助学生解决了实际问题，同时也丰富了学生的空间表象，发展了学生的空间观念。
对小学生来讲，在平面内作出富有立体感的空间图形是一个难点，不是通过一次两次训练就能见效的，需要一个循序渐进的过程和多加练习的过程，教师要在平时的教学中注意通过实物、教具的演示，对照实物画图、临摹三视图等，同时也要进行必要的空间图形画法的指导。同时，根据条件画出图形，能力提升的过程也就是空间观念不断发展的过程，两者是相辅相成的。
综上所述，长方体、正方体知识的教学，发展学生的空间观念和空间想象力是教学的主线，实物或模型的观察比较、动手操作是发展空间观念的基石，看图能力和作图能力的培养是空间观念发展的关键，三者相互联系、相互制约，也相互促进，只有“虚”与“实”的和谐共生，才能真正提高学生的空间观念，提高课堂教学的实效。
参考文献：
［1］彭国庆.对小学空间与图形教学的两点思考［J］.现代教育科学，2010（12）.
推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。小学阶段，根据数学知识的结构体系和学生的认知水平，小学数学教学应侧重于培养学生的合情推理能力，同时渗透演绎推理的思想。
笔者认为，在小学数学教学中，对学生推理能力的培养仍存在着一些教学误区，教师应该结合教学实践和学生学习数学的实际情况，实施有效的教学计策，在数学教学过程中切实培养学生的推理能力，促进学生的全面发展。
一、忌：盲目式教学；计：立足学生，内需驱动
在教学中，教师往往会陷入这样的误区：为了“学生推理”而设计“推理活动”，学生“活动”了，却“不推理”了。这是怎么回事呢？究其原因，是学生活动要求不明确，推理需求不强烈。教师在教学中应立足学生，基于学生的生活经验，以情感驱动、任务驱动等方式促进学生推理思维的发展，提高学生的推理能力。
例如，在“圆柱的表面积”（六下）教学中，计算圆柱表面积的难点在于圆柱侧面积的计算。教学时，教师可安排学生进行如下两个活动。活动一：准备一个圆柱体的薯片盒，让学生小组合作研究薯片盒的侧面积。由于侧面是一个曲面，学生在活动中会自然而然地把薯片盒剪开、展平，根据长方形的面积公式得到薯片盒的侧面积。活动二：观察薯片盒侧面展开图的长和宽，看看它们分别和圆柱的什么有关；要求圆柱的侧面积，要知道圆柱的哪些量。学生根据薯片盒剪开的过程不难发现展开图的长，即圆柱的底面周长，宽即圆柱的高，侧面积=底面周长×高。这两个活动基于学生的知识储备，活动的可操作性强，激发了学生的活动需求，促进了学生推理思维的发展。
二、忌：跳跃式教学；计：把握课堂，顺学而推
在小学数学教学中，教师有时会疏于知识的前后联系，将知识点分散地、零碎地让学生探索，这样不利于学生建立知识间的联系，也影响了学生用已有知识推导新知识。教师在课堂教学中应把握课堂，基于知识的生长点，遵循学生的认知规律，顺学而导，构建数学知识体系，合理发展学生的推理能力。
例如，在“长方体和正方体的认识“（六上）的教学中，我先让学生认识一般长方体，知道它的基本特征（8个顶点、12条棱、6个面、相对的2个面相同、相对的4条棱长度相等）；接着利用课件将长方体的长缩短使之与宽相等，再让学生观察这个比较特殊的长方体的特征，学生通过对比观察，推断出它不仅具有一般长方体的特征，还具有2个相同的正方形面、4个相同的长方形面，有2组棱长度相等；最后利用课件将比较特殊的长方体的高缩短（或延长），使之与长、宽相等，得出正方体模型。学生通过对比观察发现，正方体不仅具有长方体的特征，而且它的6个面都相同，3组棱长度都相等。这样采用“一般长方体比较特殊的长方体正方体”的教学流程比“一般长方体正方体”的教学更加合理，使长方体和正方体之间的联系更加紧密，更为重要的是有效提高了学生的推理能力。
三、忌：浅尝式教学；计：适度训练，梯度强化
在教学中，教师往往会由于课标的要求、教材的编排来设计学生的推理活动，当学生得出目标知识后，教师就立即用大量的练习来强化知识点。这样的教学看似也训练了学生的推理思维，但实际上学生的推理能力的发展是浅层次的，对知识点的理解也是肤浅的。
例如，教学“长方体和正方体体积”（六上）时，教师让学生用边长是1厘米的正方体摆成不同的长方体，观察长方体的长、宽、高、所用正方体的个数和长方体体积之间的联系，从而推导出“长方体体积=长×宽×高”“正方体体积=棱长×棱长×棱长”的结论。当知识目标初步达成时，教师往往急于让学生通过大量的体积计算来强化学生对长方体和正方体体积公式的理解和掌握，这就使学生的推理思维戛然而止，转为对公式的思维定式，这不利于学生推理能力的进一步发展。
基于深入培养学生推理能力的思考，我在教学中安排了三个层次的练习：1.已知长、宽、高，计算长方体（或正方体）的体积；2.已知长方体的体积、长和宽，求高；3.已知长方体的体积和底面积，求高。第一层次的练习旨在使学生巩固和运用推导出的体积公式；第二层次的练习旨在让学生根据已有的体积公式，推导出求高（或长、或宽）的变式，使学生的推理思维更进一步，从而内化体积与长、宽、高之间的联系；第三个层次旨在让学生初步感受底面积、 高与体积之间存在某种联系，引发学生进一步推理的需要，激发学生的探索欲望，为教学下一内容做好铺垫。
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、填空。
(共4题；共9分)
1.
（2分）装满煤的车厢，_______的体积就是_______的容积。
2.
（3分）长方体或正方体底面的面积叫做_______，所以长方体和正方体的体积也可以用_______×_______来计算。
3.
（1分）下面图形的体积是_______
4.
（3分）1060cm3=_______L
5.24m3=_______m3_______dm3
二、看图，计算球一共的体积。
(共1题；共5分)
5.
（5分）两个完全相同和量杯中盛有一样多的水，分别浸入一个苹果和一颗葡萄，两个量杯中的水位会有什么变化？为什么？
三、判断。
(共4题；共8分)
6.
（2分）1平方厘米和我们大拇指指甲的面积差不多．
7.
（2分）判断正误，在正方体下面画“T”．
（1）
(2)
(3)
(4)
（
）
(
T
)
（
）
（
）
8.
（2分）把一个石块放入一个正方体容器里，容器里的水溢出6.28立方厘米，石块的体积是6.28立方厘米．
．
（判断对错）
9.
（2分）两个体积一样大的水桶,它们的容积一样大。
四、应用题
(共4题；共20分)
10.
（5分）一个正方体玻璃鱼缸，从里面量棱长0.5米，这个鱼缸能装水多少？
11.
（5分）一个长方体水箱，长10
dm，宽8
dm，水深4.5
dm，当把一块石块放入水箱后，水位上升到6
dm。这块石块的体积是多少？
12.
（5分）将一块铁和15升水一起放入一个长4分米，宽2分米，高3分米的玻璃缸里这时的水面高2分米，这块铁块的体积是多少？
13.
（5分）把一根长2米的方木（底面是正方形）锯成三段，表面积增加5.76平方分米，原来这根方木的体积是多少立方分米？合多少立方米？
参考答案
一、填空。
(共4题；共9分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、看图，计算球一共的体积。
(共1题；共5分)
5-1、
三、判断。
(共4题；共8分)
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
四、应用题
(共4题；共20分)
10-1、
11-1、
【思路导航】
一个正方体和一个长方体拼成的新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4个正方形的面积，每个正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。50÷4×6=75（平方厘米）。
练习：一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
一个长方体，前面和上面的面积和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高都是以厘米为单位的质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导航】
长方体的前面与上面的面积和是长×高+长×宽=长×（高+宽），由于长方体的长、宽、高都是质数，所以有209=11×19=11×（17+2），即长、宽、高分别为11厘米、17厘米、2厘米或11厘米、2厘米、17厘米。知道了长、宽、高，求体积和表面积就容易了。这个长方体的体积是11×17×2=374（立方厘米），表面积是（11×17+11×2+17×2）×2=486（平方厘米）。
练习：一个长方体，它的前面和上面的面积和是110平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
“第三单元综合测试卷”参考答案：
一、1. 3070 4.5 0.9 6.2 2. 6 立体 3. 一个顶点的三条棱 4. 48 96 64 5. 236 240 6. 6 7. 11 8. 8 9. 9 10. 24 11. 88 二、1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.× 7.× 8.√ 9.× 10.× 三、1.D 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.A 四、1. 14 3.37 0.7 4.5 0.7 1.44 10 20 2. 250 12.7 15.66 1.9 23.9 6 3. 90 20.8 15.85 30 4. 102.9 12.04 五、1. 表面积：216平方厘米，体积：216立方厘米。 2. 表面积：（8×3+8×3+3×3）×2+3×3×4＝150（平方厘米），体积：3×3×3+8×3×3＝99（立方厘米） 六、1. 2016÷28÷12=6（米） 2. 设原来正方形铁皮的边长为x厘米，则x-2×2=2，得x=6。所以铁皮的面积为：6×6=36（平方厘米）。 3. （50×40+50×1.5×2+40×1.5×2）÷0.25＝9080（块） 4. 24×18×2×850＝734.4（吨） 5. 15×12+15×3.5×2+12×3.5×2－34＝345（平方米），345×0.2＝69（千克）