时间：2023-06-01 09:31:17
开篇：写作不仅是一种记录，更是一种创造，它让我们能够捕捉那些稍纵即逝的灵感，将它们永久地定格在纸上。下面是小编精心整理的12篇分数的基本性质教学反思，希望这些内容能成为您创作过程中的良师益友，陪伴您不断探索和进步。
东城第五小学（523129） 王金发
以不完全归纳推理为主要形式得出的猜想是一种合情推理，是我们发现新事物、探究新策略的有效途径，但这种推理是一种似真推理。为了提高猜想的合理性，我们在应用这种不完全归纳推理时，应当注意尽量多地考察被归纳的对象，被考察的对象越多、范围越广，结论的可靠性就越大。如果有可能，我们还可以采用其他论证手段加以证明。对此，近期再次执教“分数的基本性质”一课，感悟特别深刻，现整理如下与大家分享。
教学案例：
一、巧设习题，复习铺垫
12÷3＝（
）÷9
60÷15＝12÷（
）
192÷16＝（
）÷4
（
）÷23＝276÷46
二、故事引入，设疑激趣
师：同学们，今天老师给大家讲一个唐僧师徒西天取经路上的小故事。“一天，唐僧拿出三个大小一样的饼分给徒弟们吃，他先把第一个饼平均分成了2块，分给猪八戒1块；把第二个饼平均分成了4块，分给孙悟空2块；把第三个饼平均分成了8块，分给沙和尚4块。猪八戒一看，不高兴了，说唐僧师傅偏心，他得到的饼最少。”请问是这样吗？猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的几分之几？
生：猪八戒、孙悟空、沙僧分别得到了一个饼的1/2、2/4和4/8。
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多呢？
（学生的答案不一）
三、动手操作，提出猜想
师：唐僧的三个徒弟谁分到的饼最多？让我们一起动手来分分看。
1．折纸感知
师：我们每位同学手上都有三张大小相同的圆片，我们用圆片纸来代替饼折一折，看看唐僧是怎样分饼的。
出示操作要求：（1）请用折纸的方法分别表示出唐僧三次是怎样分饼的；（2）请在折好的圆片纸上分别用阴影部分表示出唐僧分给猪八戒、孙悟空、沙僧的饼。
（通过折纸、涂色等活动，引导学生初步感知1/2、2/4和4/8这三个分数是相等的，即1/2＝2/4＝4/8）
2．观察发现
师：请同学们观察一下这三个分数，分子和分母都不相同，它们之间有着怎样的关系呢？请与小组里的同学讨论。
多媒体出示讨论要求：（1）从左往右看，分子和分母是按照怎样的规律变化的？（2）从右往左看，分子和分母又是按照怎样的规律变化的？
3．大胆猜想
师：我们发现分数的分子、分母同时乘2或乘4，分数的大小都不变；反过来，分数的分子、分母同时除以2或除以4，分数的大小也不变。那么，这种规律在其他分数中也存在吗？
生：存在。
师：这只是同学们的猜想，如果要确定我们的猜想是否正确，我们还需要进行验证！
四、多维验证，丰富猜想
1．数图印证，直观为凭
师（多媒体出示下图）：请用画图的方法表示出相等的分数。
师：谁能告诉大家，在这两个等式中，从左往右，分子和分母是怎样变化的？反过来，从右往左看呢？
2．举例扩充，计算验证
师：还能再举出一些这样的例子吗？
生：
师：你是怎样验证它们是相等的？
生1：我是通过画图来验证的。
生2：我是用计算器把分数化成小数来验证的。
……
五、初步归纳，发现规律
师：观察刚才同学们所列举的分数，你能不能用自己的话说一说，从这些例子中发现的变化规律？
学生归纳总结出结论：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。
（这里师引导学生注意加入“0除外”）
【说明：教学至此，有不少教师可能就此罢手，进入新知巩固阶段。但我认为，教学到这里还不足以说明问题，为此我再次引入商不变的性质，让学生进行验证。】
六、演绎推理，深层验证
师：同学们，我们课前复习了商不变的性质，上节课也刚刚学习了分数与除法的关系，你能不能利用这两个知识对我们刚刚发现的这个规律进行再次验证呢？
（给学生充分交流、讨论的时间）
生3：因为分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，所以我们可以把分数看成除法。如2/3和6/9，就是2÷3和6÷9，根据商不变的性质，可以知道2÷3＝6÷9，所以2/3＝6/9。
师：现在我们可以肯定刚才的推理是正确的，即“分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变”，这就是分数的基本性质。
……
反思：
以不完全归纳推理为主要形式得出的猜想是科学探究的催化剂，这样的猜想往往意味着创新和发现。法国数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里发现真理的主要工具也是归纳和类比。”数学家高斯也说过：“一旦抓住真理，补充证明仅仅是时间问题。”由此，可以知道归纳推理对于发现真理的重要性。
数的认识教学设计
窗体底端
教学内容：义务教育课程标准实验教科书第65页
教学目标：
1、使学生通过复习加深对整数、小数、分数和百分数的理解，进一步明确有关数的意义和基本性质，体会整数与小数、小数与分数、分数与百分数的内在联系。
2、让学生体会到数在刻画现实世界中数量关系与空间形式方面的价值。
3、发展学生对数学的积极情感。
教学重点：分数和小数的基本性质
教学难点：整数、小数和分数之间的联系
设计理念：通过对学生已有认知的引入，呈现新的研究对象，激发学生的学习兴趣和探究欲望。学生之间的讨论交流，增强用数表达和交流信息的意识及能力，发展数感。提供有趣的教学内容，让学生体会了数学知识的生动有趣，体验数学的乐趣。
教学步骤
教师活动
学生活动
一、整理与反思
1、我们学过了哪些数？举例说明
2、回顾整数的意义
（1）追问：-1、-2…是整数吗？
判断：
A、自然数都是整数
B、整数就是自然数
C、负数比0小
D、负数都是整数
（2）排出整数的数位顺序表，个级、万级、亿级各包括哪几个数位？每个数位上的计数单位各是多少？相邻两个计数单位之间的进率是多少？
填空：（）个一千是一万；一亿里面有（）个千万；320000是由（）个万组成的；49个亿、49个万个49一组成的数是（）。
3、回顾分数的意义个
（1）你能想到哪些用分数表示信息的例子？
（2）谁来说说分数的意义？你对单位“1”是怎样理解的？
（3）什么是分数的基本性质？应用分数的基本性质可以解决哪些问题？
填空：（1）把8个桃平均分成4份，每份是（）个桃，每份是8个桃的（）（） 。（2）某班学生中，男生人数和女生人数的比是6：5，男生占全班人数的（）（） ，女生占全班人数的（）（） 。
4、回顾小数的意义
（1）举例什么样的数是小数？你认为小数与分数有怎样的关系？
（2）小数的性质是什么？
5、回顾百分数的意义
（1）你能想到哪些用百分数表示信息的例子
（2）百分率、百分比
整数、小数、分数和百分数
负整数
说出错在哪里，怎样改正比较合理。
学生独立完成
学生交流
二、练习与实践
1、完成83页的第1题
（1）学生填写在书上
（2）你是怎么想思考的？
0．5=12
2、3．7元=（）元（）角
0．45时=（）分
4000千克=（）吨
200秒=（）分（）秒
3、完成84页的第3题
先说说你能获得哪些信息？
指出：“23：00”不表示数量的多少
3、课后完成84页第4题
说说每题中两个单位之间的进率是多少？是怎样划算的？
“1311”“08”“012”“A5128766”“06”“225548”“0523-3651193”等是编号，其余都是数。
[关键词]认知过程；思维方式；数形结合
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]2095-3712（2014）23-0055-02[作者简介]慎立美（1972-），女，江苏南京人，江苏南京市扬子第三小学教师，一级教师。
“分数的基本性质”是小学阶段有关分数知识的一个非常重要的内容。这部分内容以分数的意义为基础，是学生学习约分、通分和异分母分数加减法及其他分数知识的重要前提。了解学生学习“分数的基本性质”的认知过程及思维方式，才能合理地进行教学设计，提高教与学的效果。以下是学生对该内容的三个认知阶段。
一、感知和体会“分子、分母都各不相同的分数的大小可以相等”
学生在学习“分数的认识”的过程中，对分数的大小已经有了一些感性理解和简单归纳，对“大小相等的分数”有初步的感知，但是还没有形成清晰的认识。学习“分数的基本性质”，首先要进一步感知和体会“分子、分母都各不相同的分数，大小可以相等”。
这一目标可以通过学生充分的体验感知达成。苏教版教材首先引导学生发现一些分数的分子分母并不相同但大小却相等的现象，让学生形成“大小相等的分数”的直观表象；接着引导学生利用折纸操作，找出几个和1/2大小相等的分数，以亲历体验的方式使学生对“分数等价类”思想获得初步的感知。分数等价类中每一个表示，各有各的用处，都有特定的价值。分数的这个特点，既有学习难度，又有思想高度，是一个重要的数学思想方法[1]。这一思想方法需要在教学中进行渗透，以有利于它将来的发展。
首先，观察能力的高低影响学生的水平。例如：学生发现分子分母并不相同但大小却相等的分数的现象，不仅要注意到分数的大小相等，而且要注意到这些分数的分子分母并不相同，它们是不同的分数。教师要引导学生在形成整体印象的基础上细致地观察局部，通过比较来了解事物之间的联系。
如学生在寻找和1/2大小相等的分数的过程中，不仅仅着眼于如何找到分数，还应该引导学生注意在折纸的过程中正方形的涂色部分分数所发生的变化，为抽象和验证分数的基本性质建立直观的表象基础。
其次，学生亲历操作活动所获得的经验有利于思维活动的顺利进行。例如：通过涂色来表示1/2这个操作步骤意义重大，学生在涂色的过程中，深化了分数与面积的对应关系，对所涂色区域形成强烈的认同感和很高的关注度，从而给学生留下深刻的印象。如果教师为了节约时间，提供事先已经涂好色的正方形纸片给学生，那是达不到上述效果的。
如折纸的操作让学生在动手的过程中眼、手、脑都积极地参与到活动中来，使学生为将来形成“分数等价类”的思想做准备。
二、发现和归纳“分数的分子和分母怎样变化，分数的大小不变”
通过第一阶段的观察和操作，学生发现等式中分子分母变化的规律是比较容易的，主要问题是语言表述的全面、准确与精炼。教师应该引导学生依据细致的观察分析进行归纳，通过分享交流、比较反思得出明确的结论。
这个阶段的教学以引导学生进行归纳推理，发展学生的抽象思维能力为主。
归纳推理是合情推理的一种，合情推理凭借的是经验和直觉。在这里，仅仅依靠学生的行为操作活动经验进行归纳推理是不够的，还要依靠学生的思维操作活动经验。因此，教材让学生脱离具体的图形，直接观察和分析等式中分数的分子分母的变化情况。教师不能急于求成，应该让学生具体说一说每个等式的变化情况，并将变化过程清晰地呈现出来，在此基础上让学生归纳，较为完整地经历归纳推理的思维过程。
发现学习策略可能掌握许多重要的技巧，但是发现并不意味着掌握。[2]在归纳推理的过程结束之后，教材要求学生根据分数的基本性质，写出一组相等的分数，这是“发现”后及时“掌握”所必需的环节，不能忽略。教师可以结合第一阶段学生看到的和找到的两组分数，让学生再说一说其他和1/3或1/2相等的分数。这一方面达成了及时掌握的目标，同时让学生清晰地感受到每组中大小相等的分数的个数是无限的，进一步渗透“分数等价类”的思想。
三、验证和解释“为什么分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变”
传统的数学教学缺少两样东西：通过条件预测结果能力的培养和依据结论探究成因能力的培养。学生缺少这两项能力，就无法完成一次真正的创造过程，也不利于创新型人才的成长[3]。通过上述两个阶段的学习，学生看到了现象，也归纳出了规律，学生的思维经历了从直观到抽象的过程，通过条件预测结果的能力也得到了提高。但是学生对规律内在成因的感知比较模糊，应该让抽象的结论再回到直观的经验中，并与过去的知识建立联系，帮助学生进一步理解规律，培养学生依据结论探究成因的能力。
这个阶段的教学以指导学生分别运用“转化”和“数形结合”的思想方法进行验证和解释，以渗透数学思想方法为主。
通过归纳推理得出分数大小不变的规律只能算是一种猜想，需要通过验证才能真正称为分数的基本性质。小学数学教学可以通过举例加以验证，但这并不是科学的验证方法，充其量就是概念、定理外延的扩展罢了，当然，举反例另当别论。鉴于小学生认知水平发展的阶段性，教材试图引导学生利用分数与除法内在的密切联系，将分数的基本性质转化为商不变的规律，用已有的知识来验证新知，这是一个非常合理的选择。实际教学时应该引导学生较为完整地经历转化的过程，不能一带而过。
教材中练习十一的第一题让学生在同一幅方格图中寻找表示相同涂色部分的不同分数，教师可以利用这道题帮助学生通过“数形结合”来解释分数的基本性质。当学生提到1/2=4/8时，脑海中既有两个对应的图形，也有分子分母同乘4的算式。但是由于整数认知对分数的干扰，学生会产生疑问：一个分子是1，一个分子是4，它们的大小怎么会相等呢？教师可以利用学生折纸时对1/2形成的深刻印象，将分子分母同乘4的过程通过课件在正方形中画出来。通过画图让学生直观地认识到将正方形从平均分成2份变成平均分成8份，就是将其中的每一份都平均分成4份，4/8所表示的“4份”就是原来1/2所表示的“1份”，所以1/2=4/8。
综上所述，学生学习“分数的基本性质”经历了感知和体会、发现和归纳、验证和解释的认知过程，学生的思维活动由直观到抽象，再回到直观。教材的编写遵循这样的认知与思维过程，教师教学时应该充分利用教材，根据学生的认知过程和思维方式精心设计教学，切实提高教学的效果。
参考文献：
[1] 张奠宙，等.小学数学研究[M].北京：高等教育出版社，2009.
关键词： 数学教学 自主探索 自主发展 教学模式
促进每一个学生发展是基础教育课程改革的核心理念，而自主探索正是一种强调以“人的发展为本”，体现学生主体性的学习方式。基于以上理念，我在教学中遵循“以学生发展为本”的思想和“引导自主探索，促进主动发展”的教学改革思路，构建了“设疑激情—引导探索—实践应用—反思体验”的教学模式，引导学生在自主探索学习中获得发展。
一、设疑激情，注入发展动力
教学初始，使学生“有疑”，乃是激起学生主动学习、勇于探究，推进学习过程即时进入有效情境的重要步骤。而“有疑”门道之一，即需教师的精心设计。
“疑”是探究的起点，有疑才能产生“认知冲突”。如教学《分数的基本性质》时，出示课题后，我就刻意设疑：“看到课题，同学们想到什么？有什么问题？”学生在静默片刻之后“问题四出”。其中有一个学生说：“看到课题，我想到了分数与除法的关系，又想到了商不变性质，我猜想分数中也可能有类似的性质。”我惊喜万分，立即顺水推舟：“你说的‘可能有类似的性质’，那么你能先讲讲商不变性质吗？”学生欣然圆满作答。这里，不难看出，是学生自己联系已知并进行了大胆推断，这其实等于是学生自己找到并初步明确了学习的主要目标，初步搭建了一个自主发展平台——尝试完成了温旧知新的意义建构。在得到了大多数学生的认可之后，探究新知的时机遂然而生。这样设疑激情能唤起学生上课注意力的高度集中，诱发学生强烈的求知欲望和积极的学习动机，产生浓厚的学习兴趣和高涨的学习热情，思维处于活跃状态，从“要我学”转化为“我要学”。
二、引导探索，开发发展潜能
《数学课程标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。教学时，当学生产生探索欲望和兴趣之后，教师所要考虑的应是如何提供适当的条件，即通过教师的引导，促进学生主动融入自主学习数学的生动场景之中，通过观察、操作、思忖、交流等方法探索新知，并从中体会数学思想方法。
如教学《分数的基本性质》时，首先分给每个学生三张一样大的长方形纸条（每张纸条上的阴影和空白部分各占一半），让学生随意将纸条折分成不同的若干等份再用分数表示出各张纸条的阴影部分。接着引导学生观察、比较、交流、讨论，从中有所发现。结果是鼓舞人心的——学生通过一阵沙沙的“手工活动”，得出了多样化的答案：“三个分数虽然不同，但它们实际上是相等的”；“我从左往右看，三个分数的分子分母都在扩大，从右往左看，三个分数的分子和分母都在缩小”；“我发现分子和分母扩大和缩小的倍数都相同”；“我从左往右看，三个分数的分子分母同时乘上一个数，分数大小不变。”……我故作惊讶，随机取来一学生的“作品”当场展示，果不其然，学生对分数基本性质的“奥秘”探索已是“唾手可得”了。他们一个个“其喜洋洋者矣”因为是他们自己用勤劳的双手和聪明的才智感悟了抽象概念中所蕴含的奥秘。这就是自主探究的魅力所在。这样，问题让学生去揭示，知识让学生去探索，规律让学生去发现，结论让学生去归纳，使学生学会了动手操作、观察思考、演绎推理等学习方法，培养了学生抽象概括能力和语言表达能力。可见，将学生从被动接受知识的地位推向主动探索获取知识的前台，给予他们自利和探索时空，这才是真正的“有意义”学习。
三、重视应用，拓宽发展渠道
新的课程观认为，学习数学知识不是最终目的，重要的是运用这些数学知识解决生活中的实际问题，从中体会数学学习的价值——掌握学习，并从中体验到学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣和信心，懂得运用有效方法探索新的问题，逐步形成独立探索的习惯和大胆探索的精神。
实践应用是数学学习的重要组成部分，当场的信息反馈，不但可以让学生巩固运用知识、形成技能技巧，还可发现学生存在的问题与差异，为后续学习提供策略依据。因此，我根据学情，有目的、有针对性地设计多层次的课堂练习，让学生“皆大欢喜”，人人得到不同程度的发展。在《分数的基本性质》规律应用阶段，我力求紧扣重点，精心设计新颖、多样、层次分明、由浅入深的练习题。基本练习，旨在巩固知识，认识学习分数基本性质的重要性，知道性质的用途；综合练习，旨在了解学生对概念的理解程度，了解学生掌握新知识的情况，使学生所学的知识融会贯通；拓展练习，旨在拓宽思路，培养学生的发散思维能力和创新能力；选择练习，旨在尊重差异，满足不同学生的学习要求。但这还不够，高品位的训练应有创新的成分。我于是特意设计了一个紧贴学生认知水平和生活实际的训练题：应用今天所学的新知编拟奇趣的童（神）话故事。结果，学生各自凭借已有知识和生活经验之“双翼”，编造了一个个“精妙的奇闻”。其中有个故事是这样的：“猴山上的猴子最喜欢吃猴王做的饼。有一天，猴王做了四块大小一样的饼分给小猴们吃，它先把第一块饼平均切成四块，分给甲猴子一块。乙猴子见到说：‘太少了，我要两块。’于是猴王就把第二块饼平均切成八块，分给了乙猴子两块。丙猴子更贪，硬说要三块……”此时学生已进入了数学的乐园，遨游在创新的自由天地。
四、总结反思，体验发展愉悦
当学生通过独立思考、自主探索，终于通过自己的努力解决具体数学问题时，他能从中体验到一种成功感，这是一种强有力而令人愉快的情绪体验。学生一旦有了这样的体验，就会产生再体验的情感、愿望。如果他能在以后的探索活动中继续获得成功的体验，那么这种内在需求就会持续加强，“会探索”和“爱探索”双翼齐飞，教学已达到“不需要教”的境界。
一、实施有效操作，感知概念还原
数学操作的过程实际上也可看成是概念的还原过程，即将概念还原到它的最初状态、本质状态，让学生亲历发现并彻底感知概念的内涵和外延。因此，在数学概念教学中，必须精心设计促进学生自觉进行操作的教学情境，让学生通过各种有效活动，达到内外合一，最终获得概念的内化。如在教“长方体和正方体的认识”时，课前先布置学生寻找一些日常生活中常见的长方体和正方体，并动手自制一个长方体和正方体，通过动手、观察、触摸等方法感知长方体和正方体的面、棱、顶点，使他们直观形象地认识和发现长方体和正方体的特征。这样既为后面要学的长方体和正方体的表面积和体积概念教学奠定了一定基础，又培养了学生的想象能力和逻辑思维能力。教师在学生有了直观感知的基础上，对定义进行科学、严谨的讲解，使得学生的自学和教师的讲授成为一个严密的整体，加深学生对数学概念的理解。在实际教学中，我们要杜绝各种脱离学生内部操作的虚假操作现象。
二、正确加工提取，建立概念表象
建立正确清晰的表象是由形象思维向抽象思维转化的桥梁。根据小学生的思维特征，在概念教学中，必须遵循从具体到抽象的原则，利用学生的生活经验，观察比较——感知辨认——加工提取——建立表象。例如，在听黄爱华老师教学“垂直”这个概念时，先让学生感知什么是同一平面，继而是互相，接着是直角。黄老师带领学生清晰地认识了垂直的表象，把概念中重点词的理解通过学生的语言描述及动手操作各个击破。最后为学生建立清晰概念“当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直”。
三、抽象升华定义，实现概念提炼
概念定义是概念从具体到抽象的升华与凝聚，是概念习得的高级阶段，但不是最终阶段。如果教师在概念教学中忽视操作与表象的建立，仓促引入定义，学生只能得到形式的定义语言叙述而已。同样，只进行操作与表象的建立，而不适时的进行抽象升华，进入概念定义阶段，也难以真正理解数学概念。
例如，对分数意义理解的三次飞跃。第一次是在学习小数以前，通过大量感性直观的认识，结合具体事物描述什么样的是分数，初步理解分数是平均分得到的，理解谁是谁的几分之几。第二次飞跃是由具体到抽象，把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份都可以用分数来表示。从具体事物中抽象出来。然后概括分数的定义，这只是描述性地给出了分数的概念。这是感性的飞跃。第三次飞跃是对单位“1”的理解与扩展，单位“1”不仅可以表示一个物体、一个图形、一个计量单位，还可以是一个群体等，最后抽象出，分谁，谁就是单位“1”，这样单位“1”与自然数“1”的区别就更加明确了。这样三个层次不是一蹴而就的，要展现知识的发展过程，引导学生在知识的发生发展过程中去理解分数。
虽然如此，每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不至于造成概念混乱的现象。有些概念不严格下定义，但也要依据学生的接受能力，或者用描述代替定义，或者用比较通俗易懂的语言揭示概念的本质特征，同时注意与将来的严格定义不矛盾。在此基础上，应根据具体情况酌情指出概念是发展的，不断变化的。如在三年级《认识分数》的练习中有这样一题：在一条彩带上写了“1”，然后观察其他的比较短的彩带各占它的几分之几？虽然分数的初步认识教学不要求提炼单位“1”，但仍可让学生说一说自己是怎样理解这个“1”的，很多学生就会想到这个“1”不仅可以表示1条彩带，1条电线，甚至是一块蛋糕、一个西瓜……这样的教学才是有发展性的。
四、不断再现运用，理解概念本质
不断再现、运用概念的价值不仅仅为了巩固概念，最为重要的是理解概念，通过对概念本质属性和规律的辨别选择，通过与更多概念联系、比较分辨，激活概念各种抽象属性，让学生真正获得知识。因此，教学中教师要精心设计概念再现与运用的具体情境，使学生扎实、透彻地理解概念本质。如在学习了数的整除、倍数、约数等概念后，接着学习能被2、3、5整除的数的特征。在进行“能被2、3、5同时整除的数”的练习时，将其变式为（1）能被2、3、5同时整除的数；（2）既含有约数2、3，又有约数5的数；（3）既是2的倍数，又是3和5的倍数的数；（4）既是3的倍数，又含有约数2，还能被5整除的数。说法不同，而本质相同，表达的都是一个意思。这种“变式法”能激活学生的思维，拓宽学生的思路，使学生对所学概念理解得更透彻、掌握更牢固，而且还为后面学生学习利用最大公约数和最小公倍数的知识解决有关应用题打好基础。
五、沟通激活联系，形成概念体系
没有孤立的数学概念，数学概念总是处于某一联系的知识网络中。在某一数学概念得到运用时，总是从相连的概念出发，进行沟通、激活，从而形成不同的动态的概念体系。
探索生活现象或数学现象中蕴含的规律，是数学学习的重要使命之一。因此，教学中要善于引导学生经历发现规律的过程，促进学生理解部分与整体的内在联系，通过有限去感悟无限，实现问题的有效解决。
一、联系生活，感知规律
探索规律是学生挑战自我的表现，也是展示学生才华与智慧的重要窗口。这是一个充满情趣与惊喜的探索之旅，学生能充分激活自己的知识积累、经验储备，进而积极地探索。探索数学现象中的规律，其间有困惑，也有喜悦，这是矛盾的载体，它会抓住学生的猎奇心理，诱发学生探究的好奇心，促使他们积极思考、乐于思考、敢于尝试。
如，在四年级上册“找规律”教学中，就以学生非常熟悉的情境为教学切入点：今天是星期几？明天呢？……通过司空见惯、极其熟悉的现象拉近规律与学生的距离，让学生感知到生活有规律，要善于研究和发现它们。利用学生的生活味原型，让学生在审视现实生活的同时，自发地感悟其中蕴藏的数学现象，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学与生活的密切联系。
再如，观察排列“…”，猜想其中蕴含的规律，想一想第9个是（ ）。学生把图形的规律弄清楚了，就很容易确定下一组图形。利用具体的图像提供的丰富表象，学生能够感知规律，并以规律作为判断的依据，顺利突破思维瓶颈，迅速解决问题。
二、活动反思，探究规律
巧妙地组织活动，引导学生对活动进行反思，探究规律，发现周期，利用周期的确定性去探求解决的方法。
如，在“找规律”的教学中，首先，设计站队活动游戏，让学生按照“男生、女生、男生……”这一规律排成一列；其次，利用人数增减的活动，引发学生思考“在变化中你发现了什么？”由于活动的主体是学生，学生会在站队中发现这种周而复始的规律。同时，在不同形式的变化中学生能够清晰地发现“开始男生，最后也是男生，男生一定比女生多1个”的规律，从而非常轻松地突破问题的难点。
再次，引入教材的主题图，引领学生进行观察，学生会自觉地把图中的信息进行梳理，也很直观地感悟到：夹子与手帕的关系、兔子与蘑菇的联系、篱笆与桩的关联性……图中的规律和站队活动的规律有机融合，实现学习的整合，促进知识的提炼和升华，学生能看出物与物之间的内在联系，悟出其中的周期性，从而能极其准确地把握规律。
三、灵活思索，发现规律
尽管生活现象、数学现象都纷繁复杂，但其中蕴含的规律是井然有序的。因此教师要促进学生从不同的角度去探索规律所在，让学生能够掌握其中的周期性，并进行科学合规的推理。例如，在具体的教学时组织画一画、想一想、算一算等自主学习活动，促使隐藏在现象中的规律逐步凸显出来，进而再现周期规律的合情推理活动。
再如，在“教学100以内的加、减法”之后，组织竞赛游戏。先指导学生在最里面的小正方形的4个角中，任意地写出4个数；再组织学生计算出相邻两个数的差（大数减小数），并填在外围的正方形中；接着让学生自主探索规律……活动不仅能激发学生的探究兴趣，也让学生学会有序思考。当学生按照规律进行不断拓展时，他们一定会发现：最外边的正方形，四个角上的数最终都会变成0。
自主探索、小组合作，让发现规律变得简单轻松。学生在认真计算、分析后发现规律是那么的真实，从而充满了成就感。
四、内化知识，应用规律
探索规律的最终目的是应用知识，让其内化，达成学以致用的理想境界。所以在教学中教师不仅要努力创设适宜的情境，激活学生的认知积累，引领学生进行必要的探索研究活动，还要引导学生进行科学的归纳，使规律与数学知识学习更加紧密地结合，从而促进学生对新知的建构。
如，在“分数的基本性质”教学中，设计思考题 “一个分数的分子和分母都加上同一个数，这个新分数与原来的分数相比较，你认为符合分数的基本性质吗？为什么？”学生会举出不同的实例来验证该说法的不科学性，有的学生会在特殊的举例中获得结论：如果这个分数是等于1的假分数，那么这个规律是可以用的。学生的不同例证有效地拓宽了学习视角，学生会在分析研究中逐步明白，分数的基本性质只适用于分子和分母的倍数关系，而不适用于和差关系。同时，还可以引导学生去探究特例“2 ／ 3的分子加10，分母加上几，分数的大小不变？”使数学学习更具灵活性。
[关键词]无痕教学；关注认知；促进生成
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）11-0075-01
教学是一门“隐蔽”的艺术。在教学中，教通过暗示、迂回或旁敲侧击等手段将教学意图渗透在教学过程之中，能够产生启发、引导的功效。数学教学如果能够达到“淡墨无痕”之境界，就能让学生在不知不觉中完成对数学知识的主动建构。无痕教学是一种具有美学韵味的教学，春风化雨、润物无声。正如著名教育家苏霍姆林斯基说的，“教学困难的原因在于把教学目的在学生面前以裸的形式进行。”数学教学是循序渐进、螺旋上升的，这就为实施“无痕教学”提供了可能。
一、把脉学生认知起点，追求“教”无痕
教学中，教师的“教”建基于对学生学情的精准把握。为此，教师要把脉学生的认知起点，让学生在不知不觉中展开学习。因为数学知识具有结构性、系统性的特质，所以教师在教学中既要深谋远虑，把握数学知识的逻辑关联，又要融会贯通，帮助学生理解数学知识的本质。
例如，教学“比的基本性质”时，教师通过学情调查，了解学生对于比的基本性质的认识后，引导学生根据“比与分数和除法的关联”，以及“商不变的规律”和“分数的基本性质”展开数学猜想：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比的大小不变。然后，顺着学生的思路，教师将教学重点定位于“化简比”，并将其与“约分”有效对接。从化简“整数比”到化简“分数比”“小数比”“整数分数小数混合比”，学生在不知不觉中运用了旧知（约分），激活了经验链接（化简比与约分），直指新知的数学本质（将比转化成最简单的整数比，相当于最简分数）。教学的最高境界就是追求“教”的无痕，在准确把握学生认知起点的基础上，能够让学生的新知与旧知无缝对接。
二、关注学生的认知过程，追求“学”无痕
在学生对数学知识展开自主探索的过程中，教师要关注学生的认知过程，追求“学”的无痕境界，要明确学生通过“学”，能够到达哪里，以及如何能够到达那里。在这个过程中，教师要渗透数学思想方法，追求教学“润物无声”之境界。
例如，教学“圆的认识”时，教师创设了一个教学情境：在一片青青的草地上，一只羊被拴在一棵树上，半个月过去了，会发生什么呢？教师给学生提供了一根细线（代表拴羊的绳子）、一支铅笔（代表小羊）、一枚图钉（代表树），让学生尝试通过模拟实验解决问题。在学生解决问题的过程中，教师相机点拨，使学生通过图钉认识了圆的圆心，通过细线认识了圆的半径，通过铅笔认识了圆的周长和面积。不仅如此，在模拟实验的过程中，教师巧妙地将圆心、半径、直径、周长和面积以及圆的画法等诸多知识“熔于一炉”，并且不着痕迹地加以引导、点拨、放大，引发了学生的争辩和反思。以具体的问题为载体，学生经历了圆的“形成”过程，从中获得了思想方法的启迪。
三、直面课堂的意外生成，追求“智”无痕
华东师范大学叶澜教授曾经深刻地指出，“课堂应是向未知挺进的旅程，我们随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景。”教学中，对于课堂上意外的、随机的生成，教师要及时跟进，善于调控，追求“智”的无痕。
例如，教学“平均数”时，在通过条形统计图、移多补少的方法探索出求平均数的数学模型后，教师让学生质疑问难。
生1：为什么电视里面的唱歌比赛或体操比赛要去掉一个最高分和一个最低分后再取平均数呢？
师：是啊，为什么呢？
生2：我认为“去掉一个最高分和一个最低分”是为了让最终分数更能表现一个人的实际水平。
生3：我觉得去掉一个最高分和一个最低分后，个别存有私心的评委所打的分数就没有用了。
生4：我觉得应该用差不多的那些分数的平均数，将那些太高或太低的分数都去掉。（众数意识的萌芽）
生5：我觉得可以先将所有评委打的分数从高到低或者从低到高排列，然后取中间数。（中位数的萌芽）
教师直面课堂生成，让学生自省自悟、自悟自得，在不经意间，学生触类旁通、豁然开朗。教师的机智退让――“是啊，为什么呢？”换来的是学生灵动的思维，换来的是教学中未曾预约的精彩生成。
案例回放：
设计这节练习课之前，我对这部分知识进行了梳理，有以下这些知识。
1.在同一道题目中既要求化简比，又要求求比值，可以选择合适的方法求比值和化简比，要求学生弄清楚化简比和求比值的不同之处。
2.考查学生掌握比的基本性质、比和除法、分数的联系。如15︰（ ）=（ ）︰15=3︰5。
3.比的基本性质的一些变式。如：4︰5的前项乘3，要使比值不变，后项应该乘（ ）或增加（ ）。
4.小数、分数与比的互化。如看到1.5要想到■或者3︰2。
5.比与上单元学习的分率句的转换，如：男女生人数的比是5︰4可以转化成男生是女生的■……
6.联系以前学过的几何图形，找出比，如写出两个正方形的边长的比，周长的比，面积的比，并能从中探索发现一些规律，会利用这些规律解决一些问题。
7.联系生活写比。如：写出盐和水、盐水质量的比，以及行的路程和时间的比，路程不变时，时间比和速度比的关系……
针对以上知识点的简要梳理，我设计了如下四个环节：
一、设计有效的训练习题，选择合理的解题方法
首先，是关于练习题的设计，好的设计是有效练习的首要条件，而实施的有效性却是关键。必须将教学目标分解到各种练习的设计中，并在实施过程中层层落实。只有这样，才能提高练习的有效性，才能让学生从“会”过渡到“熟”，而通过综合、拓展性练习，更进一步由“熟”过渡到“活”。
如第一环节：
1.化简下面各比，并求比值。
18∶108 ■∶■ 2∶0.125 1.2米∶9分米
2. 15∶（ ）=（ ）∶15=0.6=（ ）∶（ ）
■ =■ =（ ）∶24=14∶6=（ ）∶18
3.（1）4∶5的前项乘3，要使比值不变，后项应该乘（ ）或增加（ ）。
（2）4∶5的前项加上16，后项应加上（ ），才能使比值不变。
（3）A∶B（B≠0）的前项乘5，要使比值不变，后项应加上（ ）。
设计意图：通过第一题的练习主要让学生弄清楚化简比和求比值的区别，有的时候可以灵活选择方法，比如：2∶0.125可以把0.125化成分数■，或者比的前项和后项同时乘8（乘4简单），突破了常规的比的前项和后项同时乘100的方法，使化简更为简约。第二题的第1小题，略去了基础题。学生可以根据比和除法的关系，15∶x=0.6求x来解答，也可以根据小数、分数、比三者的关系把0.6化成■或3∶5，然后利用比的基本性质来解。第2小题14∶6不是一个最简整数比，而21正好是14的整倍数，要先把14∶6化简，拓宽学生的思维。
二、构建有效的数学体系，进行深层的知识加工
一个好的教师善于发现知识的前后内在联系，能够对现有的题目进行“深度加工”，发挥题目的最大的效能。教师对题目进行“深层次加工”，首先要整体把握教材中知识之间本质的联系，站在一个高的视角去审视，对题目进行开发挖掘、精心重组、适时补充。促进学生不断思考；发展学生积极的情感、态度和价值观。
第二环节：
1.分别写出每组正方形边长的比，再写它们周长的比，面积的比，并化简。
（1）
（2）
设计意图：通过这道题的练习使学生发现长度比、面积比的规律，这道题目的练习分四个层次：第一，是书上提出的要求，写出周长的比与面积的比，并应用比的基本性质进行化简；第二，是根据写出的比探索出周长比、面积比的规律，第三是应用这个规律解决类似的练习；第四将正方形的周长比、面积比的这个规律，推广到其他图形。
三、提供广阔的拓展空间，夯牢坚实的数理根基
任何一门学科的教学都不能仅仅囿于课堂教学范围内， 而应该学会给学生提供一个更广阔的空间，让学生去自由发挥自己的思维灵动性，我们知道数学课的教学不仅要让学生动手做，还要让学生动口说。一道题的设计具有开放性，给学生提供较为广阔的创造时空，激发求异思维，培养学生数学语言表达能力。
第三环节：
课前我调查了咱们班男女生人数以及参加体育、艺术2+1自选项目的情况，下面我们一起来试着解决一些有关的数学问题。
1.我们班有男生30人，女生24人，你能说出男女生人数的比吗？并化成最简整数比。
2.用不同的方法说说每句话的含义。
我们班选择参加软式排球项目的同学是选择参加乒乓球项目同学的■。
选择参加耐久跑项目的同学是选择参加仰卧起坐项目的同学1.5倍。
设计意图：从学生比较熟悉的生活情境入手，把比和以前学习的分数联系，能把分率转化成比，比转化成分率，小数转化成比，为学习比的应用做好准备。
四、探寻典型的错误案例，培养明辨的判断能力
判断题是学生容易忽视的一种题型，练习的正确率不高，客观原因是平时的练习中判断题出现得比率比较少，学生练习的机会也比较少，主观原因是学生思想比较松懈，对这类题目缺乏认真地思考，就匆匆下笔。鉴于此，教师也可以从平时学生的作业中搜集一些典型的错例，引导学生从这些错例中去反思错误产生的原因。
第四环节：
判断题
（1）甲数是乙数的■，乙数与甲数的比是■。
（2）正方形的周长与边长的比是4。
（3）今年小芳和妈妈年龄的比是1∶3，5年后小芳和妈妈年龄的比仍是1∶3。
（4）如果a∶b=5，那么■∶■=1。
（5）苹果重量的■等于梨子重量的■，那么苹果重量与梨子重量的比是3∶2。
【关键词】小学数学 教材 教学 学生
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0123-02
当前，随着新课改的深入推进和教学新情况的层出不穷，小学数学教学改革渐渐进入瓶颈期，对教师提出了更高的要求。面对新形势，小学数学教师应以新课改理念为行动指针，进一步强化“生本”观念，站在学生全面发展的全局高度，在正确把握教材、深入剖析教材的基础上，大力推行小组合作学习模式，促进学生自主学习能力的提升，强力推动学生个性化发展，从而拉动学生的数学素养水涨船高。
一、正确审视教材
小学数学教材中的知识分布条理清晰、布局合理，对基本概念、公式及法则的讲解深入浅出，教学节奏感适度，知识分布主次各得其所，系统性较强。小学数学教师在进行教学设计时，要正确审视教材，准确把握教材，对内容抽象，不易被学生理解的内容应着重讲解，可以借助多种教学方法的相互穿插，联合发力，放缓难点的理解坡度，将易混淆、易出错的部分做简单明晰的讲授，教学学生区分领会技巧。由于学生个性化差异明显，教师在施教中，可尝试设计多种层次、不同梯度的教学形式，帮助学生准确把握教材，深入领会教材，找准学习的切入点。
小学数学教师在窥探、研究教材时，应从教材内容的“活”上做文章，找准教材“活”的引线，用力牵引，创设“活络”有效的教学情境，激发学生的学习兴趣，促使学生从感性思维向理性思维的过渡。此外，课后练习题也应引起足够重视，因为课后练习题往往是与当堂教学内容最为贴切的“练兵”形式，小学数学教师在进行习题解析提醒时，应充分发挥教师主导作用，引导学生善于读题，正确理解题意，从中抽取出用价值的解题信息，并进行整合统筹，从而梳理出正确的解题路径，问题也就迎刃而解了。同时，通过对课后习题解题思路的正确领悟，学生对教材的编排意图有了一定的了解，对教材知识的学习思路更加清晰了，整个小学知识体系架构在学生心中隐约可现，运用教材、分析处理教材的能力大大增强。
二、注重反思教育，让反思成为学生学习的内驱力
小学数学学习不是简单的“物流运动”，而是通过“知其所以然”的过程性探讨，让学生的数学素养得到一定程度的提高，形成自己独具个性化的学习理念和学习方法，促进自身自主学习能力的跃升。小学数学知识体系虽然相对简单易懂，但其抽象性仍不可小觑，小学生身心发展尚待完善，感性认知占据主体地位，对数学知识本质的领悟不可能一蹴而就，这决定了小学生必须要经过多次思考、反复探索才能达到特定学习目标。反观当今小学数学课堂，反思的元素虽然星罗棋布，但未形成一定规律性，合力释放不够明显，经过认真窥探，小学数学课堂的反思节点还是可以清楚罗列的：第一，在思维横飞的小学数学课堂，小学生对问题的思考过程反思意识不强，教师可在一些解题思路、过程分析或运算过程表述中进行适度提醒，促使小学生反思意识觉醒，从而积极主动的进行大胆反思，让反思成为小学生学习数学的方法利器;第二，在小学数学教学活动中，当学生对一些拔高应用题或思维拓展题百思不得其解时，教师可适当做一些启发式的说明或点拨，引导学生对其解题思路进行重新梳理检查，找出症结所在，从而突破思维“桔梗”顺利找出解题突破口，这对学生的成功经验的收集总结具有积极的促进作用。如，在学习完“分数的基本性质”这一章节后，教师可创设一些针对性较强的习题供学生思考，为反思造势：请简述分数的基本性质推导衍生过程，你从中获得何种启示？通过对分数基本性质的学习，你觉得它的作用主要体现在哪些方面？这些带有思维延伸和拓展意味的问题，霎时点燃了学生的思维运行欲望，促使学生沿着反思的方向驰往，学生的学习能力、思维能力大幅提升。
三、关注教学评价机制的优化
学生的学习过程需要教学评价机制的检验，教师根据教学评价机制的运行情况，从中窥探出学生学习状态、学习效率等方面信息，既注重教学的过程性矫正，又对学生的学习水平作出了科学的判断。评价方式种类繁多，检测、阶段知识小结、自我评价及提问反馈等多种形式次第上场，优势各显，甚至交互作用、联合发力，科学、合理的评价机制甚嚣尘上。学生在教学评价机制正常运行和加速推进中，分析问题、解决问题的能力有所见长，创新思维意识和实践能力潜滋暗长，并且，随着新课改被逐步引向深入，一些新的教学评价形式更是脱颖而出，为教学评价的长远发展填注了新的动力。
总之，小学数学教学改革是一项长期而艰巨的任务，小学数学教师应在素质教育理念的正确指引下，以新课改为契机，强化教育发展观念，以发展的眼光看教育，以发展的思维审视教育研究，做与时展同步的教育改革先锋。
参考文献：
一、 导入时猜想――活跃学生思维
猜想导入有其独特的魅力，能很快吸引学生的注意力，使其情绪高涨、思维活跃，从而快速进入最佳的学习境地。
例如，在教学“分数的基本性质”时，笔者一开始就引导学生大胆猜想，猜猜在什么情况下分数的大小不变？几分钟后学生纷纷举手回答。
生1：我认为分数的分子和分母都加上同一个数，分数的大小不变。
生2：我觉得分数的分子和分母都减去同一个数，分数的大小不变。
生3：我想分数的分子和分母都乘同一个数（0除外），分数的大小不变。
生4：我认为分数的分子和分母都除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
每一种猜想都有学生认为是对的，甚至有学生认为四种猜想都是正确的，只有几位思维灵活的学生判断出了第三、四两种猜想是正确的。可见，学生对“分数的基本性质”的认识已有一定的基础，已自觉不自觉地把“商不变性质”迁移过来，部分学生的认识已接近知识的本质。对此，笔者并没有直接否定前两者的猜想，而是先肯定他们的大胆猜想，再鼓励他们用举例法来验证自己的猜想。由于不管学生的猜想正确与否，笔者都给予他们积极评价，因此学生参与验证的兴趣非常浓厚，思维也变得异常活跃。
二、 展开时猜想――放飞学生思维
猜想并非是凭空臆构、胡思乱想，而是依据已有的材料或知识经验，做出符合一定规律的推测性想象。在新知识展开时适时引导学生进行猜想，可帮助学生打开思维的通道，让学生的思维自由飞翔，加速知识表象在大脑中形成的速度，从而突出知识的本质特征。
例如，在教学“整数除以分数”时，笔者经历了如下的教学片断：
师：一辆汽车■小时行了18千米，这辆汽车每小时行驶多少千米？
生：求每小时行驶多少千米？就是求汽车的速度。因为“速度＝路程÷时间”，所以算式是18÷■。
师：这就是今天要学习的新知识――整数除以分数，请同学们猜想一下，18÷■可以怎样计算？（学生纷纷猜测并计算起来，笔者有意识地请用不同方法计算的学生上台板演。）
生1：18÷■＝18÷0.4＝45（千米）
生2：18÷■＝18×■＝45（千米）
生3：18÷■＝18÷2×5＝45（千米）
生4：18÷■＝18÷2÷5＝1.8（千米）
生5：18÷■＝18÷5×2＝7.2（千米）
生6：18÷■＝■÷■＝18÷■÷5＝9÷0.2＝45（千米）
师：以上六种算式，到底哪一种是正确的呢？我们一起来验证吧！
因为对自己班级的学情非常了解，所以笔者大胆放手，让学生进行算法猜想。不同的猜想思路让学生的思维得到充分拓展。最后通过合理验证，不仅得到正确的答案，而且优化了计算方法。
三、 巩固时猜想――提升学生思维
猜想是学生现有思维的真实展示。在教学进入知识的巩固阶段，适当引导学生展开猜想，可以让学生再次暴露自己的思维状态，促使他们调动自己已有的数学信息，开拓新思路，从而获得突破性结论，实现知识与能力的有效提升。
例如，在教学“角的度量”时的巩固环节，笔者引导学生经历了如下的猜想片断：
师：最后让我们进入智力大考验。（屏幕显示：一个量角器摆放在一个角上，但这个角的始边的具置学生看不到，已被一张纸遮盖住，学生只能看到角的终边和对应的刻度线。）
常规考验：被覆盖住的角的始边都与右边的零刻度线重合，让学生看着角的终边和对应的刻度来猜该角的度数。学生猜测后，把覆盖着的纸拿掉，让学生看到完整的角，来验证自己的猜想是否正确。这种情况连续出现几次，学生全部一次性猜中，所有学生都很高兴，很有成就感。然后出现变式：
变式考验1：角的始边与左边的零刻度线重合。（学生猜错）
变式考验2：角的始边没有与零刻度线重合。（学生猜错）
变式考验3：角的顶点没有和量角器的中心点重合。（学生猜错）
一、对话式结尾
在课堂的结尾处，教师一般采用谈话的方式来结束新课，常见的问题有：这节课，我们学习了什么内容？通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑问？……这样程序性的提问，是很难将课堂推向的。如果采用师生对话的方式，营造民主平等的交流氛围，就可以收到意想不到的效果。
一位教师在执教“三角形的内角和”时，这样设计结尾：
师：同学们，今天回家后，你们的爸爸妈妈一定会问，“你们在数学课上学了什么？”你会怎么回答呢？让我们来做一个角色扮演——你是小芳，我做小芳的妈妈。
师：小芳，今天数学课上学了什么知识呀？
生：三角形的内角和是180度。
师：这个知识我也会耶，是老师告诉你的吧？
生：不是！我是用三角形纸片拼出来发现的。
师：自己发现知识，这个学习方法真好。这与老师告诉的有什么区别呢？
生：印象很深刻。
师：学这个真是有用吗？举个例子说说。
……
在这个案例中，教师用对话的方式，与学生展开了积极的交流。整个对话过程分为三个层次：第一层次，指向于知识与技能层面；第二层次，指向于过程与方法的层面；第三层次，指向于情感态度与价值观层面。这种对话式的收口环节，课堂上洋溢着师生浓厚的情感，从而使数学课堂呈现丰富性。
二、归纳式结尾
数学知识往往呈现出一定的板块效应，它是由一个个知识点串联而成的。在数学学习过程中，为什么会出现一些学习困难的学生？其重要原因之一，就是在解题过程中，需要综合运用很多知识点，只要有一个知识点掌握得不牢固，就会做错题目。因此，有经验的教师善于帮助学生将零散的知识点连成线，把线编成网，这样就能完成知识点的网络建构。
一位教师在教学完六年级下册“确定位置”一课后，黑板上出现了这样的板书：
师（指着板书）：在确定物置的时候，要说清观测点、方向（角度）、距离。在这里，“方向”确定一个“面”，“角度”确定一条“线”，有了“距离”就能确定一个“点”了。
在这个案例中，教师的板书可谓简洁、精练。第一行是举例，第二行是概括确定位置的几个要素，第三行是对应几大要素，建构“面”“线”“点”的逻辑顺序。这样的总结，概括性强，方便记忆，有助于学生建构确定位置的知识体系。
三、反思式结尾
“学以致用”是学习知识的重要目的之一。在课堂教学中，教师可以巧妙地把学习内容与课尾自我反思有机结合起来，这样既能巩固新知，又能激发学生的情感。
教学“认识负数”一课的课尾部分，一位教师出示：如果用+10到-10之间的数来评价对这节课的满意程度，你准备怎么打分呢？（+10表示最满意，-10表示最不满意，0表示一般）
生：+8，我对这节课最满意，老师讲的知识都会了。
师：不错！不要骄傲，继续努力！
生：-2，我上课时中途注意力分散了一下。
师：你很诚实！知错就改，还是好孩子。
生：0，这节课我举手好几次，都没有机会回答。
师：没关系，老师相信你还会有机会的！对自己要有信心。
……
在这个案例中，教师引导学生通过反思后用“正负数”来评价自己本节课的表现，既有效地巩固了 “正负数”的知识，又能在自我评价中充分认识自我。这样的设计，既关注了学生的知识层面，又关注情感层面。
四、游戏式结尾
游戏是小学生喜欢的学习活动。课尾，学生感到疲倦，注意力不太集中了。如果把游戏活动引入进来，就可以激发学生的学习兴趣，从而让学生在兴趣盎然的游戏情境中结束新课。
在教学“分数的基本性质”一课时，一位教师在课尾设计了一个游戏情境。
师：同学们，下课前，我们来玩一个“动脑筋离开课堂”的游戏。请大家拿出课前发到手中的卡片，翻开看一下，是什么分数。老师出示一张分数卡片，如果你手中卡片上分数的大小和老师一样，你就可以走出教室。在走之前，要说出这两个分数为什么是相等的。
（学生顿时兴趣盎然。教师出示1/2，卡片上写有1/2、2/4、3/6、4/8、5/10、6/12的学生站起来了。教师请一位学生说理由。）
师（指名回答）：你能说出6/12=1/2的理由吗？
生：根据分数的基本性质，6/12的分子和分母同时除以6，就得到分数1/2。
（其他学生说出理由后，依次走出教室。接着，教师先后出示1/3、6/9、3/4，学生按要求依次走出教室。）
摘 要：培养学生数学思维能力是数学教学的重要任务，也是发展学生数学能力至关重要的途径。教师要让学生体验学习过程，培养独立思考探究的习惯。引导学生合作探究，发展学生的思维能力。加强语言表达训练，提高学生的思维能力。
关键词：小学数学 思维能力 独立思考 合作探究 语言表达
《小学数学新课程标准》指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”可见，数学知识虽然来源于生活，却是对生活中数学的高度概括和总结。人们学习数学，不仅要善于收集、整理、描述相关信息，还要善于对这些信息进行综合加工，并运用自己的思维结果去解决数学问题。数学是思维的体操，需要学生具有较强的抽象、逻辑思维能力，不但能够搞清楚数学知识、数学原理中反映的自然现象，还能利用所学知识去认识自然、解决生活、生产中的问题。因此，教师要从小学阶段开始着手培养、发展学生的数学思维能力，帮助学生树立正确的数学学习观。那么，我们该如何去培养学生的数学思维能力呢？
一、体验学习过程，培养独立思考的习惯
教师要彻底改变“只有教师讲解清楚，学生才能明白数学原理”的陈旧教育理念，放手发动学生去主动思考，培养学生自主学习能力。在自学的过程中，让学生体验学习、思考、探究的过程，养成通过独立思考将新知识构建到原有的知识体系之中的习惯，发展学生的思维能力，同时让学生潜移默化地感悟形成和发展数学思维的方法。比如，学习“长方形和正方形的认识”时，教师就可以提出这样的自学要求和思考问题：（1）自学课本第100页例1（从顺数第三行到倒数第五行），边看边思考；（2）例1中的两个图形各是什么形？它们各有几条边，几个角？每个角是什么角？用三角板比比看：（3）长方形和正方形有什么相同点和不同点？让学生先带着问题自主阅读课本，提取相关的信息，解决教师出示的预习题目，并标出自己有疑惑或认为值得探究的问题。然后，让学生在小组内展示自己的学习成果，并进行合作与探究，一方面分享学习成果，一方面对自己的学习结果进行纠正或补充。整个学习过程，体现了学生在教师引导下，通过读书、思考、辅以议论、质疑、操作，达到学习知识、培养思维、发展自学能力的目的，让学生的思维能力伴随着学生的整个学习过程。
二、注重合作探究，发展学生的思维能力
合作、探究是新课程理念提出的重要学习方法，旨在帮助学生树立合作和研究性学习的意识，发展学生的合作探究能力。在合作探究过程中，学生的思维发生碰撞，迸发出智慧的火花，推动学生认识不断提升、思维能力快速发展。但是，教师要对学生的合作探究活动进行科学的引导，重视对学生操作感知和知识迁移的指导，让活动探究活动有层次、有启发性、符合学生认识规律，让学生经历探索新知识的思维过程，引导学生自己想问题、寻方法、作结论，发现新知识的规律，从而培养学生学习能力，发展学生的数学思维能力。比如，在学习“比的基本性质”时，我彻底改变过多讲解、分析和说明比的基本性质的教学方法，而是让学生结合以前学过的“商不变的性质”和“分数的基本性质”知识，去探索理解并推导出“比的基本性质”的由来。在课堂教学活动中，教师引导学生通过自主学习、探索质疑、合作交流与学习实践等多个环节，促使学生的认识、理解不断加深。这样学生不但能够创造性地掌握“比的基本性质”，而且能够让学生掌握“比”、“除法”、“分数”三个知识点之间的不同与联系，进而实现知识点之间的融会贯通，推进学生数学思维能力的快速发展，达到举一反三、触类旁通的学习目的，提高学生的数学实践能力。
三、加强语言表达，促进学生思维能力发展
语言是思维的工具和外壳。语言表达既是对思维过程的表述，也是对思维过程的反思，对思维中存在的问题能尽早发现和纠正。因此，在数学教学过程中，教师也要安排语言表达活动，加强对学生的语言表达训练，以语言表达促进学生的数学思维的发展。教师要养成让学生说定义、定律、法则、公式、过程、算理、方法、规律、题意、思路、数量关系、式义等的习惯，让学生通过语言表达来传达自己对各个知识点的理解，通过说理中训练和培养学生的语言表达能力，促使学生的数学思维与语言表达同步发展，达到以语言促进数学思维发展的目的。例如，在学习“梯形面积的计算”时，当学生通过动手操作把两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形后，教师启发学生看图用准确简炼的数学语言，有条理、有根据地叙述公式的推导过程。即，两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平形四边形的底等于这两个梯形的上底与下底的和，高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。语言表达能够彻底改变学生学习中存在的“只可意会不可言传”的模糊境况，让学生对知识的理解更深入、更透彻。这样不仅可以训练学生的语言表达能力，加深学生对知识的理解，也培养了学生思维的逻辑性，帮助学生将相关的知识点联系起来，形成完整的知识和体系，对学生全面、灵活地思考问题有极大促进作用。
总之，对学生数学思维能力的培养，要立足于课堂教学，做到功夫在课内，将其灵活地把它贯穿于各个教学环节之中，并通过巧妙设计作业题将其延伸到课外学习过程之中，让培养发展学生的数学思维成为数学活动的主线，这样才能收到良好的教学效果。
